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Representaciones Matriciales de GrafosIsomorfismos de Grafos

Grafos Planos

Matematica Discreta

Agustın G. Bonifacio

UNSL

Teorıa de Grafos III

Agustın G. Bonifacio Matematica Discreta


Grafos Planos

Matriz de AdyacenciaMatriz de Incidencia

a b c d ea 0 1 0 0 1b 1 0 1 0 1c 0 1 2 0 1d 0 0 0 0 2e 1 1 1 2 0

Definicion

Dado un grafo G = (V,E), la matriz de adyacencia de G, denotadaA(G), se construye de la sig. manera:

1 Seleccionamos un orden de los vertices.

2 El elemento aij , i 6= j, es el numero de aristas incidentes en i y j.

3 Si i = j, el elemento aii es 2 veces el numero de ciclos que incidenen i.



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Observaciones

(a) Por construccion, la matriz es cuadrada.

(b) Es posible obtener el grado de un vertice v, δ(v), en un grafoG sumando el renglon de v o la columna de v en A(G).

(c) Al ser A(G) simetrica, esto es, aij = aji, no es una formamuy eficiente de representar un grafo.



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Ejemplo

a b c d ea 0 1 0 1 0b 1 0 1 0 1c 0 1 0 1 1d 1 0 1 0 0e 0 1 1 0 0

= A

a b c d ea 2 0 2 0 1b 0 3 1 2 1c 2 1 3 0 1d 0 2 0 2 1e 1 1 1 1 2

= A2

Existen 2 trayectorias delongitud dos entre a y c :(a, b, c) y (a, d, c).

Existen 3 trayectorias delongitud 2 que empiezan yterminan en c.



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Teorema 8.5.3

Si A es la matriz de adyacencia de un grafo simple, entonces elelemento ij de An es igual al numero de trayectorias de longitud ndel vertice i al vertice j, para n = 1, 2, . . .

Prueba. (Por induccion sobre n).Paso Base. Si n = 1, entonces A1 = A. El elemento ij de A es 1 siexiste una arista de i a j (esto es, una trayectoria de longitud 1), y0 en caso contrario.Paso Inductivo. Supongamos que el Teorema es cierto para n.Como

An+1 = AnA,

tenemos que

elemento ik de An+1 = renglon i de An × columna k de A.



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renglon i de An : (s1, . . . , sj, . . . , sm),columna k de A : (t1, . . . , tj , . . . , tm)T ,

elemento ik de An+1 = s1t1 + s2t2 + . . .+ sjtj + . . . + smtm.

Por H.I., sj = # trayectorias de long. n de i a j.

tj es 0 o 1,

tj = 0 Entonces no hay arista de j a k, y por lo tanto hay sjtj = 0trayectorias de long. n+ 1 de i a k donde la ultima arista es{j, k}.

tj = 1 Entonces hay sjtj = sj trayectorias de long. n+ 1 de i a kdonde la ultima arista es {j, k}

Sumando sobre j obtenemos todas las trayectorias de i a k delong. n+ 1, lo que verifica el paso inductivo.

Por el Principio de Induccion, el Teorema queda demostrado. �



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Ejemplo

a b c d ea 9 3 11 1 6b 3 15 7 11 8c 11 7 15 3 8d 1 11 3 9 6e 6 8 8 6 8

= A4

Existen 6 trayectorias de longitud 4 de d a e : (d, a, d, c, e),(d, c, d, c, e), (d, a, b, c, e), (d, c, e, c, e), (d, c, e, b, e),(d, c, b, c, e).



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e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7v1 1 1 1 0 0 0 0v2 0 0 1 1 1 0 1v3 0 0 0 0 0 1 0v4 1 1 0 1 0 0 0v5 0 0 0 0 1 1 0

Definicion

Dado un grafo G = (V,E), la matriz de incidencia de G, denotadaQ(G), se construye de la sig. manera:

1 Seleccionamos un orden de los vertices y de las aristas.

2 El elemento qij es 1 si ej es incidente en vi y 0 en otro caso.

Observaciones

(a) En un grafo sin lazos cada columna tiene dos 1.

(b) La suma del renglon de vi da δ(vi).Agustın G. Bonifacio Matematica Discreta


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DefinicionResultados

Consigna: Dibuje 5 vertices a, b, c, d y e. A continuacion, conecte a conb, b con c, c con d, d con e y e con a.

Definicion

Los grafos G1 = (V1, E1) y G2 = (V2, E2) son isomorfos existenfunciones biyectivas f : V1 −→ V2 y g : E1 −→ E2 de manera que laarista e es incidente en v y w en G1 si y solo si la arista g(e) es incidenteen f(v) y f(w) en G2. El par de funciones (f, g) recibe el nombre deisomorfismo de G1 en G2. Si G1 y G2 son isomorfos, escribimosG1

∼= G2.



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Ejemplo

Para G1 y G2 en la figura, un isomorfismo se define con f quelleva minusculas en mayusculas y g(xi) = yi para i = 1, . . . 5.



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Teorema

La relacion de isomorfismo entre grafos ∼= es una relacion de equivalencia.

Prueba.

Sea G = (V,E). Las funciones identidad Id : V −→ V yId : E −→ E son biyectivas y por lo tanto definen un isomorfismode G en G. Por lo tanto G ∼= G y ∼= es reflexiva.

Supongamos G1∼= G2. Entonces f : V1 −→ V2 y g : E1 −→ E2

forman un isomorfismo de G1 en G2. Entonces f−1 y g−1 forman

un isomorfismo de G2 en G1, ya que “e es incidente en v y w en G1

si y solo si la arista g(e) es incidente en f(v) y f(w) en G2” implica“e′ es incidente en v′ y w′ en G2 si y solo si la arista g−1(e′) esincidente en f−1(v′) y f−1(w′) en G1”. Por lo tanto, G2

∼= G1 y ∼=es simetrica.

Transitividad: Ejercicio. �



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a b c d ea 0 1 0 0 1b 1 0 1 0 0c 0 1 0 1 0d 0 0 1 0 1e 1 0 0 1 0

A B C D EA 0 1 0 0 1B 1 0 1 0 0C 0 1 0 1 0D 0 0 1 0 1E 1 0 0 1 0



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Teorema 8.6.4

Los grafos G1 y G2 son isomorfos si y solo si, para algun orden de susvertices, sus matrices de adyacencia son iguales.

Prueba. (=⇒). Supongamos G1 y G2 isomorfos. Entonces existenf : V1 −→ V2 y g : E1 −→ E2 que preservan adyacencia. Sea v1, . . . , vnun orden de los vertices en V1 y sea A1 = (a1ij) la matriz de adyacencia de

G1 relativa al orden v1, . . . , vn. Sea A2 = (a2ij) la matriz de adyacenciade G2 relativa al orden f(v1), . . . , f(vn). Entonces, para i 6= j,a1ij = k ⇐⇒ ∃ k aristas e1, . . . , ek incidentes en vi y vj ⇐⇒ ∃ k aristas

g(e1), . . . , g(ek) incidentes en f(vi) y f(vj) ⇐⇒ a2ij = k.Ademas, si i = j,a1ii = k ⇐⇒ ∃ k/2 aristas e1, . . . , ek/2 incidentes en vi y vj ⇐⇒ ∃ k/2aristas g(e1), . . . , g(ek/2) incidentes en f(vi) y f(vj) ⇐⇒ a2ii = k. Por lotanto, A1 = A2.(⇐=) Ejercicio. �



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Corolario 8.6.5

Sean G1 y G2 grafos simples. Las siguientes afirmaciones sonequivalentes:

(i) G1∼= G2.

(ii) Existe f : V1 −→ V2 biyectiva tal que v y w son adyacentes enG1 si y solo si f(v) y f(w) son adyacentes en G2.

Prueba. (i) =⇒ (ii) por definicion de isomorfismo.Para ver (ii) =⇒ (i), sea v1, . . . , vn un orden en V1 y sea A1 lamatriz de adyacencia asociada. Sea A2 la matriz de adyacencia deG2 asociada al orden f(v1), . . . , f(vn). Como v y w sonadyacentes en G1 si y solo si f(v) y f(w) son adyacentes en G2,A1 = A2. Por el Teorema 8.6.4, G1

∼= G2. �



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Los grafos simples G y H son isomorfos, ya que existef : V (G) −→ V (H) definida por f(w) = a, f(x) = d,f(y) = b, f(z) = c que preserva adyacencia.

Otro isomorfismo manda w, x, y, z a c, b, d, a.



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Definicion

Una propiedad P es un invariante siempre que, dados dos grafosG1 y G2 tales que G1

∼= G2, si G1 cumple P entonces G2 tambienla cumple.

Ejemplos

Son propiedades invariantes:

(i) “Tener la misma cantidad de vertices”.

(ii) “Tener la misma cantidad de aristas”.

(iii) “Tener un ciclo simple de longitud k” (Ejercicio).



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Ejemplo

Para k ∈ N, “tener un vertice de grado k” es una propiedadinvariante.

Prueba. Supongamos G1∼= G2. Entonces existen f : V1 −→ V2 y

g : E1 −→ E2 biyectivas que preservan adyacencia. Supongamosque G1 tiene un vertice v tal que δ(v) = k. Queremos ver queδ(f(v)) = k. Como δ(v) = k, existen e1, . . . , ek incidentes en v.Por lo tanto, g(e1), . . . , g(ek) inciden en f(v). Al ser g inyectiva,δ(f(v)) ≥ k.Sea e′ ∈ E2 incidente en f(v). Como g es sobre, existe e ∈ E1 talque g(e) = e′. Al ser g(e) incidente en f(v) en G2, e incide en ven G1. Pero e1, . . . , ek son todas las aristas incidentes en v, por loque e = ei para algun i = 1, . . . , k. Entonces δ(f(v)) ≤ k y, por lotanto, δ(f(v)) = k. �



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¿Como demostrar que dos grafos no son isomorfos? Comprobandoque son distintos respecto a una propiedad invariante.

G1 y G2 no sonisomorfos, ya que|E1| = 7 y |E2| = 6.

G1 y G2 no son isomorfos,ya que G1 tiene verticesde grado 3 y G2 no.



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G1 y G2 no sonisomorfos, ya que G2

tiene ciclos simples delongitud 3 y G1 no.



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La biyeccion que manda u, v, w, x, y, z a 1, 3, 5, 2, 4, 6 es unisomorfismo de G1 a G2. Otro isomorfismo entre estos dosgrafos manda u, v, w, x, y, z a 6, 4, 2, 1, 3, 5.

Tanto G1 como G2 como G4 son isomorfos a K3,3, el grafobipartito completo con 3 vertices de cada lado.

G3 no es isomorfo a los demas, ya que contiene a K3 y en unbipartito no hay triangulos.



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En un grafo simple con n vertices, cada par de vertices puedeformar una arista o no. Hacer la eleccion para cada par devertices especifica un grafo determinado, por lo que el numero

de grafos con n vertices es 2(n

2).

Por ejemplo, hay 64 grafos simples con 4 vertices. Sinembargo, existen 11 clases de isomorfismos:

Las clases tienen diferentes tamanos.



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DefinicionHomomorfismos y Teorema de KuratowskiPrueba de la Formula de Euler

Tres ciudades C1, C2 y C3 deberan conectarse en formadirecta con cada una de otras tres ciudades, C4, C5 y C6.¿Puede disenarse un sistema de rutas de manera que ningunase cruce?

Definicion

Un grafo es plano si se puede dibujar en el plano sin que sus aristasse crucen.

Ejemplo

K4 es plano.



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Si un grafo plano se dibujaen el plano, este se divide enregiones contiguas llamadascaras.

Una cara se caracteriza porel ciclo que forma sufrontera.

Si denotamos por f elnumeros de caras, por e elnumero de aristas y por v elnumero de vertices, el grafode la figura tiene f = 4,e = 8 y v = 6. Por lo tanto,se satisface la ecuacion:

f = e− v + 2.



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Teorema (Formula de Euler para grafos)

Si G es un grafo plano conexo con e aristas, v vertices y f caras,entonces

f = e− v + 2.



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K3,3 no es plano.

Supongamos que sı. Como cada ciclo tiene al menos 4 aristas, cadacara esta limitada por al menos 4 aristas. El numero de aristas queacotan las caras es al menos 4f.

En un grafo plano, cada arista pertenece al menos a dos ciclosfrontera, por lo tanto

2e ≥ 4f.

Por la formula de Euler, como e = 9 y v = 6, tenemos

18 = 2 · 9 ≥ 4(9− 6 + 2) = 20,

lo que es absurdo. Por lo tanto K3,3 no es plano.



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K5 no es plano.

Supongamos que sı. Como cada ciclo tiene al menos 3 aristas, cadacara esta limitada por al menos 3 aristas. El numero de aristas queacotan las caras es al menos 3f.

En un grafo plano, cada arista pertenece al menos a dos ciclosfrontera, por lo tanto

2e ≥ 3f.

Por la formula de Euler, como e = 10 y v = 5, tenemos

20 = 2 · 10 ≥ 3(10− 5 + 2) = 21,

lo que es absurdo. Por lo tanto K5 no es plano.



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Definicion

Si un grafo G tiene un vertice v de grado 2 y aristas {v, v1} y {v, v2} conv1 6= v2, se dice que las aristas {v, v1} y {v, v2} estan en serie. Lareduccion de una serie consiste en eliminar el vertice v de la grafica G ysustituir las aristas {v, v1} y {v, v2} por la arista {v1, v2}. Decimos que elgrafo G′ que se resulta se obtiene de G al reducir una serie. Porconvencion, G se obtiene de sı mismo a traves de una reduccion de serie.

G′ se obtiene de G al reducir una serie.



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Definicion

Los grafos G1 y G2 son homomorfos si G1 y G2 se pueden reducira grafos isomorfos mediante una sucesion de reducciones de serie.

Ejemplo

G1 y G2 son homomorfas, ya que se pueden reducir a G′.

Observacion

La relacion de homomorfismo entre dos grafos es de equivalencia.Cada clase de equivalencia consiste en un conjunto de grafosmutuamente homomorfos.



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Teorema de Kuratowski

Un grafo G es plano si y solo si no contiene ningun subgrafohomomorfo a K5 o K3,3.

Prueba. Escapa el alcance de este curso �

Ejemplo

Veamos que G no es plano.



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Ejemplo (cont.)



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Teorema (Formula de Euler para grafos)

Si G es un grafo plano conexo con e aristas, v vertices y f caras,entonces

f = e− v + 2.

Prueba. Por induccion sobre el numero de aristas.Paso Base.



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Paso Inductivo.

H.I: La formula de Euler vale para grafos con n aristas.

Sea G grafo plano y conexo con n+ 1 aristas.Caso 1: G no tiene ciclos.



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Caso 2: G tiene un ciclo.

Como se verifica el paso inductivo, el Teorema queda demostradopor el Principio de Induccion. �


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