UNIVERZA V MARIBORU

FAKULTETA ZA ELEKTROTEHNIKO,

RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO

Anton Štuhec

ISKANJE NAJKRAJŠE POTI MED DVEMA TOČKAMA Z

ALGORITMOM A*

Diplomska naloga

Maribor, september 2008

i

UNIVERZA V MARIBORUFAKULTETA ZA ELEKTROTEHNIKO,RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO2000 Maribor, Smetanova ul. 17

Diplomska naloga visokošolskega strokovnega študijskega programa

ISKANJE NAJKRAJŠE POTI MED DVEMA TOČKAMA Z

ALGORITMOM A*

Študent: Anton ŠTUHEC

Študijski program: visokošolski strokovni, Računalništvo in informatika

Smer: Programska oprema

Mentor: red. prof. dr. Borut ŽALIK

Komentor: doc. dr. David Podgorelec

Maribor, september 2008

ii

iii

ZAHVALA

Zahvaljujem se mentorju dr. Borutu Žaliku za

pomoč in vodenje pri opravljanju diplomske

naloge. Prav tako se zahvaljujem vsem članom

Laboratorija za geometrijsko modeliranje in

algoritme multimedije.

Posebna zahvala velja staršem, ki so mi

omogočili študij.

iv

ISKANJE NAJKRAJŠE POTI MED DVEMA TOČKAMA Z ALGORITMOM A*

Ključne besede: iskanje najkrajše poti, Dijkstrov algoritem, algoritem BFS, algoritem A*, hevristična funkcija

UDK: 004.92:514(043.2)

Povzetek

Cilj naloge je preučiti hevristični algoritem A* in ga uporabiti za iskanje najkrajše poti

med dvema točkama na površju. Implementirali smo ga v programskem jeziku C++ v

obliki programske knjižnice, primerne za vključitev v program za prikazovanje površja.

Omogočili bomo izbiranje med večimi hevrističnimi funkcijami in nabori parametrov le-

teh ter s primerjavo rezultatov poizkušali poiskati čim optimalnejše nastavitve. Nalogo

pričnemo s predstavitvijo drugih rešitev problema iskanja najkrajše poti in opisom

predhodnikov algoritma A*. Omenimo zgodovino ter nastanek algoritma, nadaljujemo pa

z opisom postopka. Opišemo hevristične funkcije, implementirane v programu, na koncu

pa komentiramo dobljene rezultate.

v

SEARCH FOR THE SHORTEST PATH

BETWEEN TWO POINTS WITH A* ALGORITHM

Key words: Shortest path search, Dijkstra algorithm, BFS algorithm, A* algorithm, heuristic function

UDK: 004.92:514(043.2)

Abstract

Our goal is to analyze the A* algorithm to determine possible improvements and to

implement it in programming language C++. The work begins with presentation of other

solutions of our problem and with a description of ancestors of the A* algorithm. We

mention history of algorithm, proceed with description of the procedure and its properties.

Then we describe heuristic functions, which we have implemented in program, and

possible improvements, followed by description how the task was realized. At the end we

show the results of algorithm A*.

vi

VSEBINA

1Uvod...............................................................................................................................1

2Predstavitev algoritmov iskanja najkrajše poti...............................................................3

1.1 Dijkstrov algoritem ................................................................................................. 3

1.2 Algoritem BFS ........................................................................................................ 4

3Algoritem A*..................................................................................................................8

1.3 Zgodovina algoritma A* ......................................................................................... 8

1.4 Opis algoritma A* ................................................................................................... 8

................................................................................................................................... 11

1.5 Hevristične funkcije .............................................................................................. 12

1.5.1 Razdalja Manhattan ....................................................................................... 12

1.5.2 Diagonalna razdalja ....................................................................................... 13

1.5.3 Evklidska razdalja .......................................................................................... 14

4Načrtovanje algoritma za iskanje najkrajše poti med točkama površja........................16

1.6 Priprava mape ....................................................................................................... 16

1.7 Implementacija ..................................................................................................... 17

1.7.1 Algoritem A* ................................................................................................. 17

1.7.2 Hevristične funkcije ....................................................................................... 18

1.7.3 Testna aplikacija ............................................................................................ 18

1.7.4 Volos .............................................................................................................. 20

5Analiza in rezultati........................................................................................................21

6Sklep.............................................................................................................................32

LITERATURA...............................................................................................................33

1

1 Uvod

V sodobnem načinu življenja, ko nam vedno znova primanjkuje čas in je le-ta

najdragocenejši, moramo vsako delo opraviti kar najhitreje. Pri tem nam je v veliko pomoč

tehnika, ki pa potrebuje dobre in optimizirane algoritme. Velikokrat se v tehniki in v

življenju pojavi potreba prehoda iz ene do druge točke, kar lahko predstavlja veliko

porabljenega časa in napora. Za pohitritev in poenostavljanje so bili razviti algoritmi za

iskanje najkrajše poti [7]. Ti algoritmi se med drugim uporabljajo pri iskanju poti v

komunikacijah, v igrah, v upravljanju robotiziranih vozil ter za pomoč pri potovanju ljudi.

Algoritmi za iskanje najkrajše poti še vedno predstavljajo velik zalogaj tudi za današnje

hitre računalnike, saj je hitrost algoritma odvisna od števila točk, ki jih algoritem mora

pregledati, le-to pa je lahko v praksi zelo visoko. Zato algoritme poskušamo optimizirati.

Glavni cilj optimizacije je zmanjšati število točk za pregledovanje na tolikšno število,

kolikor je točk v najdeni najkrajši poti. V ta namen poizkušamo vnaprej predvidevati

mogoče ovire.

Namen naloge je preučiti enega izmed najbolj priljubljenih algoritmov za iskanje

najkrajše poti – algoritem A*. Osredotočili se bomo na iskanje poti med dvema točkama na

površju. Algoritem uporablja za odločanje o smeri iskanja hevristično metodo iskanja z

izbiro najboljšega (angl. best-first search) in vedno najde najkrajšo pot od začetne do

končne točke, če ta obstaja. Pri implementaciji je potrebno preučiti možnosti za

optimizacijo programske kode, uporabiti podatkovne strukture ter algoritem spisati v taki

obliki, da se potem lahko vključi v kak program. Podatki o površju so lahko v kateri koli

obliki, zato mora biti algoritem prilagodljiv. Zaradi primerjanja rezultatov lahko algoritem

uporablja različne hevristične funkcije, zato je potrebno vgraditi možnost različnih

hevristik. Spreminjamo hevristične funkcije in opazujemo dobljene rezultate, s čimer lahko

določimo, katera funkcija se bolje obnaša. Za delovanje algoritma potrebujemo tudi

ustrezne podatke, ki jih moramo pravilno zbrati in jih na najenostavnejši način na koncu

tudi predstaviti, kot najdemo najkrajšo pot.

2

Diplomska naloga je sestavljena iz šestih poglavij. Po uvodnem poglavju predstavimo

druge rešitve problema iskanja najkrajše poti in podrobneje opišemo Dijkstrov algoritem in

algoritem BFS, ki predstavljata najpomembnejša predhodnika algoritma A*. V tretjem

poglavju predstavimo algoritem A*. Najprej omenimo zgodovino ter nastanek, nato pa

opišemo delovanje in lastnosti algoritma. Sledi opis vloge hevristične funkcije in njenih

lastnosti, nakar se osredotočimo na tri izbrane funkcije, ki smo jih uporabili v programu. V

nadaljevanju naloge opišemo postopek izdelave algoritma, od načrtovanja in priprave

mape do izdelave testne aplikacije. Nato prikažemo dobljene rezultate ter analiziramo

obnašanje algoritma z različnimi hevrističnimi funkcijami. Na koncu povzamemo delo.

3

2 Predstavitev algoritmov iskanja najkrajše poti

Iskanje najkrajše poti je eden izmed problemov teorije grafov [4]. Najkrajšo pot

dobimo tako, da poiščemo najmanjšo vsoto povezav med vozlišči v grafu. V primeru, ko

iščemo najkrajšo pot med točkama na površju, moramo točke površja predstaviti kot

vozlišča v grafu, povezave na površju pa kot povezave med vozlišči grafa. Zaradi

razgibanosti terena povezavam dodamo uteži, ki nam predstavljajo prehodnost terena.

Težje prehoden je teren, večjo utež damo povezavi, oziroma, če je teren neprehoden,

nastavimo utež na neprehodno. Največkrat uporabljeni algoritmi pri iskanju najkrajše poti

so:

• Dijkstrov algoritem [1, 3],

• Belmanov in Fordov algoritem [1],

• A* iskalni algoritem [1, 2, 3],

• Floyd-Warshallov algoritem [1] ter

• Johnsonov algoritem [1].

1.1 Dijkstrov algoritem

Algoritem je razvil Nizozemec Edsger Dijkstra leta 1959 [8]. Rešuje problem iskanja

najkrajše poti v usmerjenem grafu z nenegativnimi obtežitvami med povezavami in

zagotovo najde najkrajšo pot, če le-ta obstaja. Algoritem gradi seznam pregledanih vozlišč,

v katerem so vozlišča, ki predstavljajo najkrajšo pot od začetnega do trenutnega vozlišča.

Cena premika v naslednjo vozlišče je vsota uteži od začetnega do trenutnega vozlišča.

Slika 1 prikazuje delovanje algoritma v 2D prostoru. Vidimo začetno točko v črni barvi,

končno točko pa v rdeči. Črtice prikazujejo delovanje algoritma. Bolj je barva rumena, bolj

je točka oddaljena od začetne točke.

4

Slika 1: Delovanje Dijsktrovega algoritma na 2D mreži

1.2 Algoritem BFS

Algoritem BFS (angl. Best-First-Search) deluje na podoben način kot Dijkstrov, vendar

za ocenjevanje oddaljenosti do končne točke uporablja hevristično funkcijo [5]. Namesto

izbiranja točke, ki je bližje začetni, izbere tisto, ki je bližje končni točki poti. Algoritem

BFS ne zagotavlja najkrajše poti, vendar deluje po zaslugi hevristične funkcije veliko

hitreje kot Dijkstrov algoritem. Iz seznama nepregledanih točk vzame točko, potem s

pomočjo hevristične funkcije izračuna sosedom te točke oceno ter se premakne na točko z

najnižjo oceno. Na primer, če je končna točka južneje od trenutne točke, se algoritem

5

usmeri na poti, ki vodijo južno. Slika 2 prikazuje pot med začetno točko v črni barvi in

končno točko v rdeči, ki jo izračunamo s pomočjo algoritma BFS. Rumeni kvadratki so

točke z višjo hevristično oceno nadaljnje poti do končne točke, sive pa predstavljajo točke

z nizko hevristično oceno.

Slika 2:Delovanje algoritma BFS na 2D mreži

Algoritem BFS izgubi hitrost, ko imamo na poti ovire. Postane požrešen, saj preverja

vedno več točk tudi tedaj, ko ni na pravi poti. Ker algoritem samo ocenjuje pot do končne

točke in ne ocenjuje premika v naslednjo točko, se lahko premika v tisti smeri, ki je

najdaljša. Algoritem ne zagotavlja, da bo našel najkrajšo pot, je pa kljub temu zelo

pomemben, saj je podajanje informacije o smeri premika na način, ki ga uvaja ta algoritem,

osnova za delovanje mnogih drugih, zmogljivejših algoritmov.

6

Na slikah 3 in 4 sta prikazana Dijkstrov algoritem in algoritem BFS na mapi z ovirami.

Pri Dijkstrovem algoritmu so svetlejši kvadratki bolj oddaljeni od začetne točke, pri BFS

pa rumeni kvadratki pomenijo višjo hevristično oceno nadaljevanja poti do končne točke.

Slika 3:Delovanje Dijkstrovega algoritma na 2D mreži z oviro.

7

Slika 4:Delovanje algoritma BFS na 2D mreži z oviro.

8

3 Algoritem A*

1.3 Zgodovina algoritma A*

Iskalni algoritem A* je bil prvič opisan leta 1968, vendar ne v taki obliki, kot jo

poznamo danes [8]. Takrat se je imenoval algoritem A in je deloval samo na oceni premika

v naslednjo točko brez hevristične funkcije. Podoben je bil Dijkstrovemu algoritmu, vendar

je deloval na vseh ocenah, tudi na negativnih. Sedanja izvedba algoritma je sestavljena iz

ocene premika g(s), ki predstavlja oceno poti od trenutne v naslednjo točko ter hevristične

funkcije h(s), ki nam da dolžino poti od trenutne točke do končne točke. Ti dve oceni nam

predstavljata ocenitveno funkcijo f(s), na podlagi katere se algoritem odloča o naslednjem

vozlišču. Algoritem A* nam bo poiskal najkrajšo pot med začetno in končno točko, če ta

pot obstaja, in to naredil relativno hitro v primerjavi z ostalimi algoritmi.

1.4 Opis algoritma A*

Algoritem A* je algoritem, ki si za iskanje poti pomaga s hevristično funkcijo, kar

pomeni, da ne išče poti na slepo, ampak izračuna najboljšo smer za raziskovanje, kar ga

naredi tako fleksibilnega [6]. Osnovni gradniki algoritma so:

1. Graf – prostor kjer algoritem išče najkrajšo pot med začetno in končno

točko. Graf je lahko sestavljena iz objektov, ki so različnih oblik. Ločimo

jih glede na število robov objektov (štirikotni, šesterokotni, trikotni ...).

2. Vozlišče – struktura, ki predstavlja objekt na mapi in vsebuje informacije

za delovanje algoritma.

3. Ocenitvena funkcija sestavljata jo ocena premika, ki predstavlja dolžino

prepotovane poti in hevristična funkcija, ki predstavlja dolžino načrtovane

poti.

9

Graf vsebuje vozlišča, ki posredujejo informacijo o lokaciji vozlišča in povezave

med njimi. Ocenitveno funkcijo sestavljata ocena premika iz trenutne v naslednjo točko, ki

je dolžina prepotovane poti in hevristična funkcija, ki nam pove oceno od trenutne do

končne točke. Izračun ocenitvene funkcije je pomemben, saj nam predstavlja kakovost

premika, s tem pa tudi kakovost algoritma. V algoritem vključimo odprti in zaprti seznam.

Odprti seznam vsebuje vozlišča, ki še niso bila obiskana, zaprti pa vozlišča, ki so že bila

obiskana.

Zahtevnost algoritma A* je odvisna od hevristične funkcije. V najslabšem primeru je

zahtevnost eksponentna funkcija dolžine rešitve, ki predstavlja najkrajšo pot. Če

hevristična funkcija h(s) zadovoljuje pogoj |h(s) - h*(s)| ≤ O(log h*(s)), kjer je h*(s)

optimalna hevristična funkcija ali natančna ocena poti od s do končne točke, potem je

časovna zahtevnost algoritma polinomska. Povedano z drugimi besedami, napaka

hevristične funkcije ne sme rasti hitreje od logaritma optimalne hevristične funkcije, da

vrne pravo razdaljo od s do končne točke [2].

Pri napravah, ki so omejene s pomnilnikom, pa je pomembna tudi prostorska

zahtevnost. V najslabšem primeru je zveza med dolžino rešitve in številom točk, ki si jih

moramo zapomniti, eksponentna. Rešitve se pojavijo v razširitvi algoritma A* z različnimi

imeni kot so: IDA* (angl. iterative deepening A*), MA* (angl. Memory bounded A*),

SMA* (angl. simplified memory bounded A*) [8].

Pri iterativnem poglabljanju (IDA*) in SMA* hitro dobimo približek rešitve, ki ga

kasneje, če imamo čas, izboljšujemo. Princip je v tem, da omejimo ocenitveno funkcijo f.

Točke s preveliko vrednostjo f ne dodajamo v odprti seznam. V naslednjih ciklih se

povečuje število točk v odprtem seznamu, pri čemer pa opazujemo, ali se cena poti

izboljšuje. Prednost je, da hitro dobimo približek poti in porabimo sorazmerno malo

spomina [10].

Če je hevristična funkcija sprejemljiva, kar pomeni, da je ocena od trenutne do

končne točke točna, potem pomeni, da je A* optimalen algoritem. Če se uporablja zaprta

množica, ki je množica omejenih točk, potem mora biti hevristična funkcija monotona, da

10

bo A* optimalni algoritem. Hevristična funkcija je monotona, če imamo povezave točk od

A do C in od A do B do C, potem bo ocena A do C vedno manjša ali enaka vsoti ocen od A

do B in od B do C. Monotonost je enaka trikotniški neenakosti. Za vse y, ki so sosedi x,

mora veljati g(x)+h(x) <= g(y)+h(y).

Psevdokod algoritma A*

1. P – začetno vozlišče

2. Izračunamo f ( f = g + h) za P.

3. Dodamo P v odprti seznam.

4. Vzamemo B iz odprtega seznama (B je vozlišče z najmanjšo vrednostjo f).

- Če je B enak končnemu vozlišču, potem izhod (pot je najdena).

- Če je odprti seznam prazen, potem izhod (poti ni mogoče najti).

5. Za vsakega soseda S vozlišča B ponavljamo:

- Izračunamo f vozlišča S.

- Če je S v odprtem ali zaprtem seznamu

o Če ima S nižjo oceno f, potem prepišemo oceno f in starša,

o drugače dodamo v odprti seznam.

6. B prestavimo iz odprtega v zaprti seznam. Ponavljamo od točke 4, dokler ne

pridemo do končne točke.

Slika 5 nam prikazuje delovanje algoritma A* v 2D prostoru. Začetno točko nam

prikazuje moder kvadrat, končno pa rdeč. Sivi kvadrati nam predstavljajo neprehodno

območje. Vsak kvadrat ima zapisan rezultat ocenitvene funkcije zgoraj levo, ki je seštevek

obeh ocen premika. Spodaj levo je zapisana ocena premika od začetne točke, spodaj desno

pa hevristična ocena do končne točke. Puščice kažejo na starša, kvadrati obrobljeni z

zeleno in rumenim krogom pa nam predstavljajo najdeno pot.

11

Slika 5: Delovanje algoritma A* v 2D prostoru

12

1.5 Hevristične funkcije

Hevristična funkcija h(s) pove algoritmu približek minimalne ocene poti od vsake točke

s do končne točke. Za algoritem je zelo pomembna izbira hevristične funkcije. Hevristična

funkcija se uporablja za vodenje algoritma. Glede na dobljen rezultat funkcije lahko

sklepamo o hitrosti in pravilnosti algoritma.

• Če je hevristična funkcija 0 (h(s) = 0), potem algoritem deluje samo z oceno

premika, kar ga spremeni v Dijkstrov algoritem.

• Če je h(s) vedno manjši ali enak oceni premika od s do končne točke, potem

zagotovo algoritem najde najkrajšo pot.

• Če je h(s) vedno enak oceni premika od s do končne točke, potem algoritem

sledi najboljši poti in ne pregleduje nepotrebnih vozlišč, kar naredi

algoritem hitrejši.

• Če je h(s) včasih večji od ocene premika od s do končne točke, potem A* ne

zagotavlja, da najde najkrajšo pot.

• Če je h(s) vedno večji od ocene premika od s do končne točke, potem se A*

spremeni v algoritem BFS.

Po ugotovitvi, kaj želimo od algoritma, lahko glede na razmerje med oceno premika in

hevristično oceno to tudi dosežemo. Če hočemo hiter algoritem, mora biti razmerje čim

manjše, če pa hočemo zelo natančen algoritem, razmerje povečamo. V nalogi bomo opisali

tri najbolj znane hevristične funkcije.

1.5.1 Razdalja Manhattan

Oceno dobimo tako, da seštejemo vsa vozlišča od trenutnega do končnega, pri čemer se

premikamo samo vodoravno in navpično, izpustimo vse diagonalne premike ter ne

upoštevamo nobenih neprehodnih območij. V (3.1) nam n pomeni trenutno točko

končnaTočka pa je končna točka. Slika 5 prikazuje premike, dobljene s pomočjo

13

hevristične funkcije razdalja Manhattan. Rumeni kvadratki pomenijo nižjo oceno, črni pa

višjo.

h(n) = abs(n.x – končnaTočk.x) + abs(n.y – končnaTočka.y) (3.1)

Slika 6:Delovanje algoritma na 2D mreži ob uporabi hevristične funkcije razdalja Manhattan.

1.5.2 Diagonalna razdalja

Če na mapi omogočamo diagonalne premike, potem moramo izbrati drugačno

hevristično funkcijo. Funkcija sešteva vse, tako diagonalne kot vodoravne in navpične

premike. Oceno dobimo tako, da vzamemo največjo absolutno razliko med koordinatama

trenutne in končne točke (3.2). Slika 6 nam prikazuje premike s pomočjo hevristične

funkcije diagonalna razdalja.

14

h(n) = max ( abs( n.x - končnaTočka.x ), abs( n.y - končnaTočka.y ) ) (3.2)

Slika 7:Delovanje algoritma na 2D mreži ob uporabi hevristične funkcije diagonalna razdalja.

1.5.3 Evklidska razdalja

Ko je v mapi omogočeno, da se lahko premikamo v katerikoli smeri, lahko uporabimo

evklidsko razdaljo, ki nam kot rezultat vrne kvadratni koren kvadriranih razlik koordinat

trenutne in končne točke (3.3). Pri uporabi te funkcije imamo lahko probleme, saj je

evklidska razdalja vedno manjša od razdalje, dobili bomo najkrajšo pot, vendar bo

algoritem porabil več časa. Slika 7 prikazuje premike s pomočjo hevristične funkcije

evklidske razdalje.

15

h(n) = sqrt( (n.x – končnaTočka.x)2 + (n.y – končnaTočka.y)2 ) (3.3)

Slika 8: Delovanje algoritma na 2D mreži ob uporabi hevristične funkcije evklidska razdalja.

16

4 Načrtovanje algoritma za iskanje najkrajše poti med

točkama površja

V tem poglavju bomo opisali razvoj, ugotovitve in načine, kako smo se lotili izdelave

algoritma. Algoritem mora na podlagi danih točk grafa, začetne in končne točke izračunati

najoptimalnejšo pot ter jo vrniti v predpisani obliki, da se lahko potem pot prikaže.

1.6 Priprava mape

Podatke o terenu lahko dobimo iz različnih virov. Lahko je to višinska slika ali

tekstovna datoteka. Zaradi možnosti uporabe različnih virov smo naredili javno funkcijo,

ki dodaja točko za točko v strukturo, kjer so zapisane vse informacije o točkah. Strukturo

smo poimenovali vozlišče ter ji dodali naslednje parametre:

- koordinati točke,

- višinsko koordinato,

- status za prehodnost ali neprehodnost,

- starša,

- status, v katerem seznamu se točka nahaja (odprt, zaprt), in

- oceno premika.

Površje smo predstavili v vektorju, v katerega dodajamo vozlišča. Pomembno pri

postavitvi terena je, da dobimo meje terena, da jih v nadaljevanju ne prekoračimo in da

vsako točko enolično označimo s takimi parametri, da do nje lahko dostopamo. Po vnosu

vseh točk moramo izbrati še začetno in končno točko, med katerima želimo določiti

najkrajšo pot.

17

1.7 Implementacija

1.7.1 Algoritem A*

Po uspešnem vnosu terena in preverjanju začetnega in končnega vozlišča se začne

izvajati algoritem. Najprej začetno vozlišče vstavimo v odprti seznam. Potem ponavljamo

naslednje korake, dokler imamo v odprtem seznamu kakšen element.

1. V vsakem koraku uredimo odprti seznam tako, da je vozlišče z najmanjšo oceno

premika na prvem mestu.

2. Vzamemo prvo vozlišče iz odprtega seznama in ga določimo kot trenutnega.

3. Če je trenutno vozlišče enako končnemu, zaključimo algoritem.

4. Drugače vse sosede vozlišča, ki imajo status prehoden in niso v zaprtem

seznamu, vstavimo v odprti seznam, jim določimo za starša trenutno vozlišče in

izračunamo ocene premika od trenutnega vozlišča. Če je sosednje vozlišče že v

odprtem seznamu, moramo pogledati, če je ocena premika manjša. V tem

primeru nastavimo starša na trenutno vozlišče in zamenjamo oceno premika v

tej smeri.

Ko algoritem pride do končnega vozlišča, se rekonstruira pot. Vzamemo končno točko,

jo damo v vrsto, vzamemo starša končni točki in ga damo v vrsto. To ponavljamo, dokler

starš ni začetna točka.

Oceno premika izračunamo s pomočjo ocene premika v smeri naslednje točke in

hevristične ocene premika od trenutne do končne točke. Za oceno premika v smeri

naslednje točke smo določili konstanti. Za vodoravni in navpični premik smo določili

konstanto 10, za diagonalni pa 14. Konstanti smo pomnožili z absolutno razliko med

višinskima koordinatama teh dveh točk. Za izračun hevristične ocene smo dali uporabniku

na izbiro tri hevristične funkcije. Te so razdalja Manhattan, diagonalna razdalja in

evklidska razdalja. Možnost izbire hevristične funkcije se dopušča zato, ker nekje deluje

bolje ena funkcija, drugje pa druga.

Za odprti seznam smo uporabili v programskem jeziku C++ vgrajene strukture, ki jih

lahko urejamo. V vsakem koraku elemente seznama urejamo v naraščajočem vrstnem redu

18

glede na seštevek ocene premika v smeri nasledjne točke in hevristične ocene od trenutne

do končne točke, da ne porabljamo časa z iskanjem naslednje točke.

V nadaljevanju algoritma pregledamo vse sosede trenutne točke. Ker vemo koordinati

točke x in y, lahko s prištevanjem in odštevanjem k tem koordinatam dobimo vseh 8

sosedov. Pri tem moram preverjati, da ne prestopim mej mape, kajti če je točka na robu,

potem ima samo tiste sosede, ki obstajajo. Za vsakega soseda, ki ni na zaprtem seznamu in

je ta sosed na območju, ki je prehodno, je potrebno potem izračunati oceno premika v tej

smeri. To izračunamo s prej omenjenim postopkom. Če točka ni na odprtem seznamu, mu

pripišemo potrebne parametre, za starša mu nastavimo trenutno točko ter ga vstavimo na

odprti seznam. Če pa je sosed na odprtem seznamu, mu izračunamo oceno premika v tej

smeri in če je manjša kot je bila prejšnja ocena, mu pripišemo sedanjo oceno, starš tega

soseda pa je trenutna točka. Algoritem ponavlja postopek, dokler trenutna točka ni enaka

končni točki ali pa dokler odprti seznam ni prazen.

Po končanem algoritmu se z vračanjem prebere dobljena pot, ki se vstavlja v seznam.

Pot dobimo tako, da zadnjo točko vstavimo v seznam, pogledamo starša tej točki in tako

dolgo iščemo starša naslednji točki, da ne pridemo do začetne točke algoritma.

1.7.2 Hevristične funkcije

Hevristične funkcije smo implementirali v metodi, ki računa hevristično oceno premika

od trenutne do končne točke. Kot vhodne parametre prejme indekse točk, kot izhod pa vrne

hevristično oceno za dane parametre. Vhodna parametra sta točki, od katere pa do katere

računamo oceno. V algoritmu računamo oceno od trenutne točke do končne. V sami

funkciji najprej preko indeksov dostopimo do koordinat točk, nato pa glede na izbiro

hevristične funkcije izračunamo oceno premika. Ker celoten algoritem deluje na mapi, za

izračun ocene uporabljamo samo koordinati x in y.

1.7.3 Testna aplikacija

Ker algoritem kot samostojni program vrne rezultate v določeni strukturi in ob veliko

podatkih te rezultate težko primerjamo, smo izdelali testno aplikacijo, ki nam podano mapo

prikaže v tridimenzionalni obliki in z barvo označi pot, ki jo algoritem izračuna. Testno

19

aplikacijo smo izdelali v programskem jeziku C# s Framework 2.0 in knjižnicami DirectX.

Omejili smo se na prikaz terena, dobljenega z višinskimi slikami v bitni obliki. Višinsko

sliko naložimo v metodi LoadHeightData, ki prebere višino in širino slike in zaporedoma

vstavlja koordinate v dvodimenzionalno polje.

Slika 8 prikazuje površje v testni aplikaciji. Za izris poti na prikazanem površju smo

morali točke poti prebrati iz tekstovne datoteke, ki jo je algoritem ustvaril ob končanem

postopku. Po prebiranju poti iz datoteke se v metodi določanja točk določi barva glede na

to, ali je ta točka na poti ali ne. Če je točka del poti, se ji dodeli roza barva.

Slika 9: Prikaz površja s testno aplikacijo

20

1.7.4 Volos

Volos je program, ki omogoča čimbolj realističen prikaz pokrajine in objektov ob

uporabi obstoječe strojne opreme srednjega razreda. Kot podlaga za zgradbo pokrajine

uporablja digitalni model reliefa, hkrati pa omogoča določanje geometrije pokrajine preko

zunanjega urejevalnika. Poleg prikazovanja pokrajine sistem omogoča prikazovanje drugih

objektov, ki jih najdemo na površju (hiše, drevesa, daljnovodi, ...). Volos omogoča tudi

realističen prikaz gibajočih se objektov, pogled istega objekta iz več različnih kotov in

možnost simulacije krmiljenja naprav preko posebnih uporabniških vmesnikov [12].

21

5 Analiza in rezultati

V tem poglavju bomo podali rezultate in ugotovitve diplomske naloge. Rezultati se

navezujejo na hitrost algoritma glede na izbiro hevristične funkcije. Dobljeni rezultati so

bili pridobljeni na dveh mapah v velikosti 128 točk × 128 točk in 900 × 900 točk. Nazadnje

bomo podali rezultate, dobljene na digitalnem reliefu Slovenije, v katerem je okoli

2.127.000 višinskih točk. Vse rezultate smo pridobivali z izvedljivim programom,

prevedenim v produkcijskem (ang. release) načinu.

Prva implementacija algoritma brez sprememb je, kot je bilo predvideno, bila zelo

počasna in je za realno reševanje problema bila neuporabna. Kot ozko grlo se je pojavil

del, kjer smo iz mape iskali točko. Pri mapi 128 ×128 točk je izračun najkrajše poti s

hevristično funkcijo Manhattan trajal 8 sekund, pri mapi 900 × 900 točk pa 20 sekund. S

hevristično funkcijo diagonalne razdalje je izračun pri mapi 128 × 128 točk trajal 8

sekund, pri mapi 900 × 900 točk pa 21 sekund. Pri evklidski razdalji je program potreboval

za manjšo mapo 10 sekund za večjo pa 24 sekund. Za vsa merjenja smo vzeli za začetno

točko (0, 0) za končno pa točko z največjima koordinatama x in y.

Slike od 9 do 11 prikazujejo najdeno pot z osnovnim algoritmom na mapi 128 × 128

točk brez izboljšav in s tremi različnimi hevrističnimi funkcijami. Kot vidimo, so poti

različne. Vendar algoritem s spreminjanjem hevristične funkcije ni deloval hitreje, saj je

pri vsaki rešitvi našel pot, v kateri je bilo enako število točk (222), pri tem pa je tudi

pregledal enako število točk (223).

22

Slika 10: Izris poti, dobljene s hevristično funkcijo razdalje Manhattan z algoritmom brez izboljšav in brez upoštevanja višinske komponente.

Slika 11: Izris poti, dobljene s hevristično funkcijo diagonalne razdalje z algoritmom brez izboljšav in brez upoštevanja višinske komponente.

23

Slika 12:Izris poti, dobljene s hevristično funkcijo evklidske razdalje z algoritmom brez izboljšav in brez upoštevanja višinske komponente.

Hevristično funkcijo smo pomnožili z absolutno razliko višinske koordinate trenutne in

končne točke. V enačbah 5.1, 5.2 in 5.3 nam s predstavlja trenutno točko končnaTočka pa

končno točko.

h(s) = abs( s.x – končnaTočka.x) + abs ( s.y – končnaTočka.y) * abs ( s.z – končnaTočka.z) (5.1)

h(s) = max ( abs(s.x –končnaTočka.x) , abs(s.y – končnaTočka.y) ) * abs (s.z – končnaTočka.z ) (5.2)

h(s) = sqrt ( (s.x – končnaTočka.x)2 + (s.y – končnaTočka.y) 2 ) * abs (s.z – končnaTočka.z) (5.3)

Na slikah 12 do 20 je pot označena z roza barvo, pregledane točke pa so označene z

modro. Pri delovanju algoritma s hevristično funkcijo razdalje Manhattan (slika 12) pot

vsebuje 261 točk, algoritem pa jih je pregledal 5318.

24

Slika 13:Izris poti, dobljene s hevristično funkcijo razdalje Manhattan in z upoštevanjem višinske komponente.

Če pri enakih vrednostih parametrov poizkušamo s hevristično funkcijo diagonalne

razdalje (slika 13), dobimo naslednje rezultate. Število točk v poti je 261, pregledali pa

smo 4893 točk. Kot vidimo, smo pregledli manj točk, kar pa pomeni tudi hitrejše delovanje

algoritma. Iz slike (slika 13) se vidi, da je algoritem izbral pot v drugi smeri, kot pri

uporabi hevristične funkcije razdalje Manhattan (slika 12).

25

Slika 14: Izris poti, dobljene s hevristično funkcijo diagonalne razdalje in z upoštevanjem višinske komponente.

26

Enak preizkus smo naredili tudi za hevristično funkcijo evklidska razdalja (slika 14).

Število točk v poti je bilo 287, pregledali pa smo jih 5114. Kot vidimo, je algoritem s

hevristično funkcijo evklidska razdlja pregledal največ točk.

Slika 15: Izris poti, dobljene s hevristično funkcijo evklidske razdalje in z upoštevanjem višinske komponente. .

Po dobljenih rezultatih lahko sklepamo, da je hevristična funkcija preslaba, saj nam

algoritem pregleda preveč točk, kar ga upočasni. Vidi se tudi, da se hevristična funkcija

preveč odloča glede na višino. Če hočemo prepotovati neko pot v naravi, se odločamo o

smeri glede višine iz trenutne v naslednjo točko in ne iz trenutne do končne, kot je delovala

sedanja hevristična funkcija. To poskušamo realizirati tako, da absolutno razliko višine

med trenutno in naslednjo točko pomnožimo z oceno premika iz trenutne v naslednjo točko

(enačbi 5.4 in 5.5). Hevristične funkcije ostanejo enake kot v prejšnjem poizkusu.

g(s) = abs(s.z – s+1.z) * 10 za navpične in vodoravne premike (5.4)

g(s) = abs(s.z – s+1.z) * 14 za diagonalne premike (5.5)

27

Za hevristično funkcijo razdalja Manhattan (slika 15) algoritem pregleda 835 točk in

najde pot, v kateri je 311 točk. Za hevristično funkcijo diagonalne razdalje (slika 16)

algoritem pregleda 1295 točk, najde pa pot, v kateri je 255 točk. Pri hevristični funkciji

evklidska razdalja (slika 17) algoritem najde pot z 292 točkami, pri tem pa pregleda 859

točk.

Slika 16: Izris poti, dobljene z upoštevanjem višinske komponente in z dopolnitvijo hevristične funkcije razdalje Manhattan

28

Slika 17: Izris poti dobljene z upoštevanjem višinske komponente in z dopolnitvijo hevristične funkcije diagonalne razdalje

Slika 18: Izris poti dobljene z upoštevanjem višinske komponente in z dopolnitvijo hevristične funkcije evklidske razdalje

29

Kot vidimo iz rezultatov, nam je ta izboljšava prinesla pohitritev algoritma, ker je

pregledal manj točk, vendar pa se je zato zvečalo število točk v najdeni poti. V naslednjem

preizkusu smo razširili hevristične funkcije s tretjo koordinato. Hevristična funkcija vrne

oceno premika od trenutne do končne točke z absolutnimi razlikami vseh treh koordinat x,

y, z (enačbe 5.6, 5.7 in 5.8). Ocena premika iz trenutne v naslednjo točko je ostala enaka

kot v prejšnjem primeru.

h(s) = abs( s.x – končnaTočka.x) + abs ( s.y – končnaTočka.y) + abs ( s.z – končnaTočka.z) (5.6)

h(s) = max ( abs(s.x –končnaTočka.x) , abs(s.y – končnaTočka.y) ) + abs (s.z – končnaTočka.z ) (5.7)

h(s) = sqrt ( (s.x – končnaTočka.x)2 + (s.y – končnaTočka.y) 2 + abs (s.z – končnaTočka.z)2 ) (5.8)

Po tej spremembi nam algoritem s hevristično funkcijo razdalja Manhattan (slika 18) vrne pot z 241 točkami, pregleda pa 417 točk. Pri delovanju s hevristično funkcijo diagonalna razdalja (slika 19) pregleda 1218 točk in vrne pot z 236 točkami. Za delovanje s hevristično funkcijo evklidska razdalja pa pregleda 276 točk in vrne pot z 222 točkami.

Slika 19: Izris poti, dobljene s hevristično funkcijo razdalje Manhattan in z vključevanjem višinske komponente brez

obtežitve

30

Slika 20: Izris poti, dobljene s hevristično funkcijo diagonalne razdalje in z vključevanjem višinske komponente brez obtežitve

Slika 21: Izris poti, dobljene s hevristično funkcijo evklidske razdalje in z vključevanjem višinske komponente brez obtežitve

31

Povzamemo spreminjanje hevristične ocene. Prva sprememba je bila množenje

hevristične funkcije z absolutno razliko med trenutno in končno točko. Druga sprememba

je bila množenje premika iz trenutne točke v naslednjo z absolutno razliko med tema

točkama, tretja pa dodajanje absolutne razlike med trenutno in končno točko v hevristično

funkcijo. V Tabeli 1 prikažemo zbrane rezultate v odstotkih, ki jih dobimo, če delimo

število točk v poti s številom pregledanih točk.

Tabela 1: Rezultati učinkovitosti algoritma na mapi 128 × 128 točk, glede na število pregledanih točk in številom točk v poti

Sprememba\Hev. fun. Razdalja Manhattan Diagonalna razdalja Evklidska razdaljaSprememba 1 0,4% 0,5% 0,5%Sprememba 2 39% 19% 26%Sprememba 3 57% 19% 80%

Kot vidimo iz tabele, se je najbolje odrezala hevristična funkcija evklidske razdalje s tretjo

spremembo.

32

6 Sklep

Algoritem A* je zelo razširjen pri iskanju poti v igrah in na terenu. Od njegovih

predhodnikov se razlikuje v tem, da poti ne išče na slepo, ampak s pomočjo hevristične

funkcije dobi približno smer poti. Zaradi njegove prilagodljivosti, ki jo dosežemo s

hevristično funkcijo, lahko algoritem dobro deluje na različnih mapah.

Algoritem smo razvili z namenom vključitve v programsko okolje Volos [12].

Implementirali smo ga kot knjižnico v programskem jeziku C++. Nalogo smo pričeli s

pregledom obstoječih rešitev problema iskanja najkrajše poti med dvema točkama ter

nekatere tudi opisali. V nadaljevanju smo opisali algoritem A* ter podali njegove lastnosti.

Opisali smo postopek implementacije, omenili pomen hevrističnih funkcij in s pomočjo

testne aplikacije prikazali dobljene rezultate.

Ob zaključku lahko povemo, da je algoritem A* res uporaben, hiter in prilagodljiv, kar

smo lahko videli iz rezultatov testne aplikacije in samega programa Volos, kjer je vključen.

33

LITERATURA

[1] Cormen, T. H., C. E. Leiserson, R. L. Rivest, C. Stein, »Introduction to

Algorithms«, MIT Press in McGraw-Hill, London, 2001.

[2] Russell, S.J., P. Norvig, »Artifical Intelligence: A Modern Approach«, Prentice

Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 2000.

[3] Shapiro Stuard C. »Encyclopedia of Artificial Intelligence«, John Wiley &

Sons, New York, 1992.

[4] Nilsson J. Nils »Artificial intelligence A new synthesis«, Morgan Kaufmann, Hong

Kong, 1998.

[5] http://www-cs-students.stanford.edu/~amitp/gameprog.html#paths (22.09.2008).

[6] http://www.policyalmanac.org/games/aStarTutorial.htm (22.09.2008).

[7] http://en.wikipedia.org/wiki/Shortest_path_problem (22.09.2008).

[8] Hart, P. E., Nilsson, N. J., Raphael, B., »A Formal Basis for the Heuristic Determination of Minimum Cost Paths« 1968, IEEE Transactions on Systems Science and Cybernetics SSC4 (2): pp. 100–107

[9] E. W. Dijkstra »A note on two problems in connexion with graphs«, (1959),

pp. 269–271.

[10] http://luks.fe.uni-lj.si/sl/studij/SUIS/seminarji/gradb/toc.htm (22.09.2008).

34

[11] http://www.riemers.net/eng/Tutorials/DirectX/Csharp/Series1/tut8.php

(22.09.2008).

[12] http://gemma.uni-mb.si/volos/index_SI.html (22.09.2008).