Ipotesi di piccoli spostamenti - UniNa STiDuE: l ...unina.stidue.net/Politecnico di Milano/Ingegneria Strutturale/Corsi... · POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA

POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI – A.A. 2007-08 1

Ipotesi di piccoli spostamenti

NE

• Permette di confondere la traiettoria con lo spostamento, ovvero assimilare la cinematica finitaa quella di un atto di moto a partire dalla configurazioe iniziale G0

EFO

RM

AZ

ION • Spostamenti e deformazioni sono cosi piccoli da non influenzare il modo con cui l’equilibrio si

instaura nella struttura. E’ pertanto possibile imporre le condizioni di equilibrio nella configurazione iniziale (indeformata)

STA

TO

DI

DE

Nello studio dell’equilibrio elastico è irrilevante conoscere la traiettoria:

OLID

I :

LO

S

lo stato iniziale e finale sono sufficienti per definire la deformazione

NIC

A D

EI

SO

Nei problemi idrodinamici o nelle deformazioni di solidi elasto-plastici è necessario seguire la storia di deformazione e conoscere le velocità che

descrivono il moto tangente alla traiettoria

MEC

CA descrivono il moto tangente alla traiettoria.


Sux

x3

Corpo deformabile

NE

SuP0x1

x2 Corpo deformabile

EFO

RM

AZ

ION P

Γ0: configurazione iniziale (t=0)

STA

TO

DI

DE 0 g ( )

Γ: configurazione deformata al tempo t

OLID

I :

LO

S

( , )x x X t= è una funzione vettoriale che descrive la traiettoria di P di coordinate X

NIC

A D

EI

SO ( , ) ( , )s X t x X t X= − Vettore spostamento

MEC

CA

POLITECNICO DI MILANO - CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA DEI MATERIALI – A.A. 2007-08 3N

E

Configurazione deformata

Superficie vincolata

EFO

RM

AZ

ION

1 1 2 2 3 3p( X s ,X s ,X s )+ + +

STA

TO

DI

DE

1 2 3P( X ,X ,X )

OLID

I :

LO

S

1 1 2 3s ( X X X )⎧ ⎫

Configurazione indeformata

NIC

A D

EI

SO 1 1 2 3

1 2 3 2 1 2 3

3 1 2 3

s ( X ,X ,X )s( X ,X ,X ) s ( X ,X ,X )

s ( X ,X ,X )

⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

VETTORE SPOSTAMENTO

MEC

CA 3 1 2 3s ( , , )⎩ ⎭




NE

EFO

RM

AZ

ION

STA

TO

DI

DE

Ipotesi di CONGRUENZA

il cambiamento di configurazione avviene senza lacerazioni o sovrapposizione di materiale e nel rispetto

OLID

I :

LO

S lacerazioni o sovrapposizione di materiale e nel rispetto delle condizioni al contorno

( X X X )⎧ ⎫ ⎧

NIC

A D

EI

SO

1 1 2 3

1 2 3 2 1 2 3

3 1 2 3

s ( X ,X ,X )s( X ,X ,X ) s ( X ,X ,X )

s ( X X X )

⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭funzioni continue ad un

uSsussssss

33

22

11

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

condizioni al contorno

MEC

CA 3 1 2 3s ( X ,X ,X )⎩ ⎭funzioni continue ad un

solo valore nel puntoss 33⎩ condizioni al contorno


Misura della deformazione locale (variazione di volume e di forma nell’intorno di un punto)

NE



EFO

RM

AZ

ION

gradiente di

indeformata

ψ

STA

TO

DI

DE

Incremento infinitesimo dello spostamento del

d s d XΨ=spostamento

ψ

OLID

I :

LO

S

1 1 1s s sds dX dX dX

⎧ ⎫∂ ∂ ∂+ +⎪ ⎪

Incremento infinitesimo dello spostamento del punto P rispetto allo spostamento del punto P0

1 1 1s s sX X X

⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂ ∂

NIC

A D

EI

SO 1 1 1

1 1 2 31 2 3

2 2 22 1 2 3

1 2 3

ds dX dX dXX X Xs s s

d s ds dX dX dXX X X

= + +⎪ ⎪∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎪ ⎪∂ ∂ ∂⎪ ⎪= = + +⎨ ⎬∂ ∂ ∂⎪ ⎪

1 2 31 1

2 2 22 2

1 2 3

X X Xds dX

s s sds dX

X X Xd dX

⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎪

⎪⎬

⎫

⎪

⎪⎨

⎧= )(

)(

2

1

sgradsgrad

sd

MEC

CA 1 2 3

3 3 33 1 2 3

1 2 3

s s sds dX dX dX

X X X

⎪ ⎪⎪ ⎪∂ ∂ ∂

= + +⎪ ⎪∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎩ ⎭

1 2 33 3

3 3 3

1 2 3

ds dXs s sX X X

⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎢ ⎥∂ ∂ ∂

⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦

⎪⎭

⎪⎩ )( 3sgrad


Tensore delle deformazioni

NE ϑ+ε=Ψ

EFO

RM

AZ

ION

parte simmetrica parte emisimmetrica

1 11 1 1s s s

X X X⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂ ∂

STA

TO

DI

DE

)(21 TΨ+Ψ=ε )(

21 TΨ−Ψ=ϑ1 2 3

2 2 2

1 2 3

X X Xs s sX X X

ψ

⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂

= ⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥

OLID

I :

LO

S

1 2 3

3 3 3

1 2 3

s s sX X X

⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦

NIC

A D

EI

SO

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

++++++

= 233222222112

1,33,11,22,11,11,1

21ε ssssss

ssssss

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

−−−−

= 00

123322112

1,33,11,22,1

ssssssss

ϑ

MEC

CA

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ +++ 3,33,33,22,33,11,3

2,33,22,22,22,11,22ssssss ⎥

⎥⎦⎢

⎢⎣ −− 0

02

3,22,33,11,3

2,33,22,11,2

ssssssssϑ


Deformazione

NE

d s d XΨ=

EFO

RM

AZ

ION

spostamento del punto P nell’intorno di P0 d s εd X d Xϑ= +

STA

TO

DI

DE

d X d Xϑ+ +

OLID

I :

LO

S

0s s d X d Xε ϑ= + +

NIC

A D

EI

SO

+ +

MEC

CA


( ) ( ), ,1 1 Tensore di piccole deformazioni2 2

Tij i j j is sε ε= Ψ + Ψ ⇔ = +

NE

( ) ( )

( ) ( )

, ,

, ,

2 21 1 Tensore di rotazione2 2

ij i j j i

Tij i j j is sθ θ= Ψ − Ψ ⇔ = −

EFO

RM

AZ

ION

( ) ( )0s X s X d X d Xε θ= + +

STA

TO

DI

DE ( )0 Traslazione rigidas X ⇔

risulta ortogonale a dx: si ricorda infatti che la forma quadraticad Xθ

OLID

I :

LO

S

g q

associata ad una matrice emisimmetrica è nulla per cui e' a d X d Xθ ⊥

NIC

A D

EI

SO

( )

( )

11 1,1 1,11 =021 = Rotazione attorno all'asse 3

s s

s s

θ

θ ω

= −

= ⇔

MEC

CA ( )12 1,2 2,1 3= Rotazione attorno all asse 3

2s sθ ω= − ⇔


Significato fisico delle componenti del tensore ε

Nel piano x x con s non nulloε s

NE

Si consideri il segmento AB di lunghezza dX orientato secondo l’asse X1, {dX1,0,0}T. Ilpunto B, per effetto della deformazione, subisce uno spostamento relativo ds = ψ dX

Nel piano x1 – x2 con s0 non nulloε11 = s1,1

EFO

RM

AZ

ION punto B, per effetto della deformazione, subisce uno spostamento relativo ds ψ dX

1 1,1 1,2 1,3 1 1,1 1

0ds s s s dX s dXds s s s s dX

⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥

0

STA

TO

DI

DE

2 2,1 2,2 2,3 2,1 1

3 3,1 3,2 3,3 3,1 1

00

ds s s s s dXds s s s s dX

= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎩ ⎭0 0 0 0

0

OLID

I :

LO

SN

ICA

DEI

SO

MEC

CA



Nel piano X X con s non nulloε = s

NE

Nel piano X1 – X2 con s0 non nulloε11 = s1,1

Lunghezza della fibra

EFO

RM

AZ

ION

gdeformata dξ1

STA

TO

DI

DE

Th. di Pitagora

OLID

I :

LO

S

2 2 2 2

1 2 1 21 1 1 1 2 1 2 1 1

s s s sd dX s dX s s dX s dx

X X X Xξ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= + + − + + − = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

NIC

A D

EI

SO 1 1 1 1

2 2

1 1 2 1 11 1 1,1 111 2 1

X X X X

s s s s d dxdx dx s

X X X X dxξ

ε

∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ −= + + + + ⇒ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

MEC

CA 1 1 1 1 1X X X X dx∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Misura la variazione di lunghezza di una fibra unitaria originariamente disposta come X1. Analoghe considerazionivalgono per le fibre dirette come gli assi X2 e X3.



NE

ε12 = ½(s1,2+s2,1)

EFO

RM

AZ

ION

Nel piano X1 – X2con s0 non nullo

STA

TO

DI

DE

OLID

I :

LO

SN

ICA

DEI

SO

MEC

CA


EEFO

RM

AZ

ION

STA

TO

DI

DE

( ) ( ) ( )2 2 1 1 2 2 1 11 1 2 1

s s X dX s s X dXtan s X

dX dXα α

+ ∂ ∂ − ∂ ∂≈ = = = ∂ ∂

OLID

I :

LO

S 1 1dX dX

( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 22 2 1 2

2 2

s s X dX s s x dXtan s X

dX dXα α

+ ∂ ∂ − ∂ ∂≈ = = = ∂ ∂

NIC

A D

EI

SO 2 2dX dX

s s∂ ∂

MEC

CA 1 2

12 1 22 1

s sX X

γ α α∂ ∂

≡ + = +∂ ∂


⎛ ⎞

tensore delle piccole

NE ⎫⎧ 11ε

1 1 2 32

jiij

j i

ss ( i, j , , )

X Xε

⎛ ⎞∂∂= + =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

deformazioni

EFO

RM

AZ

ION

⎥⎤

⎢⎡ 131211 εεε

⎪⎪⎪⎪⎫

⎪⎪⎪⎪⎧

22

11

εεε

⎥⎤

⎢⎡ εεε 312111

STA

TO

DI

DE

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

=

33

2322

. εεεε

sim ⎪⎪

⎪⎪⎬

⎪⎪

⎪⎪⎨=

12

33

22εεε

ε⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ εεεεεε=ε

332313

322212

OLID

I :

LO

S

⎦⎣ 33

⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

⎩ 23

13

22εε

)( 21 jiijij ≠= γε

⎦⎣

tensore doppio simmetrico

NIC

A D

EI

SO

pp

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

γεγγγε

=ε 3221

221221

3121

2121

11 ε12=γ12/2, metà dello scorrimento angolare tra fibre originariamente ortogonali edisposte secondo gli assi delle coordinate.

Non necessariamente α1=α2 ma nel tensore ε si riporta in ε12 e ε21 la semisomma

MEC

CA

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ εγγ 33232

1132

122 Non necessariamente α1 α2 ma nel tensore ε si riporta in ε12 e ε21 la semisomma

dei due angoli al fine di simmetrizzarla. Noto ε12 è nota la semisomma di α1 e α2,non i loro singoli valori che sono s12 e s21


Esercizio 1h=10mm

d 0 01mm deformata

NE

d1=0.01mm

d2=0.01mm

deformata amplificata

12

EFO

RM

AZ

ION

8

10

12x2

STA

TO

DI

DE

2

4

6

OLID

I :

LO

S

⎪⎧ 21)( dxxxxs ⎪

⎪⎧ =ε 12

22111 ),( d

hxxx

0 2 4 6 8 10 12

x10

2

NIC

A D

EI

SO

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=

=

2221

212

1221

211

),(

),(

dxxxxs

dh

xxs

⎪⎪

⎪⎪⎨ =ε 22

12122 ),( d

hxxx

MEC

CA ⎪⎩ 22212 ),(

h⎪⎪⎩

+=γ 222

121

2112 ),( dhxd

hxxx


Deformazioni principali

NE ⎪

⎫⎪⎧

⎪⎫

⎪⎧⎥⎤

⎢⎡ γγ−ε α 01312

1212

111 ne

0=−ε αα nen

EFO

RM

AZ

ION

0)( =−ε αnIe⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨=

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ −εγγγ−εγ

α

α

00

3

2

332321

1321

3221

221221

nn

ee

STA

TO

DI

DE

Soluzioni non banali del sistema ⇒ problema agli autovalori:

valori di ‘e’ che annullano il determinante della matrice dei coefficienti

OLID

I :

LO

S valori di e che annullano il determinante della matrice dei coefficienti

0322

13 =−+− IeIeIe⇒=−ε 0)det( Ie

NIC

A D

EI

SO

autovalori: t tt i

simmetrica ⇒ teorema algebra lineare assicura l’esistenza di tre radici

ε

MEC

CA autovalori:

eI, eII, eIII Deformazioni principaliautovettori:

nI, nII, nIII Direzioni principali


D f i i i i li

Deformazione

NE

Deformazioni principali

eI eII eIII DEFORMAZIONI PRINCIPALI

EFO

RM

AZ

ION eI, eII, eIII DEFORMAZIONI PRINCIPALI

non dipendono dal sistema di riferimento originale assunto

STA

TO

DI

DE

C ffi i ti d ll’ i h i di d ti d l i t di if i t t

0322

13 =−+− IeIeIe

OLID

I :

LO

S

)(13322111

γγ+γγ+γγ−εε+εε+εε=

ε+ε+ε=

II

Coefficienti dell’equazione sono anche indipendenti dal sistema di riferimento assunto

INVARIANTI DI DEFORMAZIONE

NIC

A D

EI

SO

)det()(

3

31133223211243311332222112

ε=

γγ+γγ+γγεε+εε+εε=

II

IIIIIIIIIIII

IIIIII

eeeeeeIeeeI

++=++=

2

1

MEC

CA

IIIIII

IIIIIIIIIIII

eeeI =3

2


Deformazione

NE

• Variazione di volume

EFO

RM

AZ

ION

i I II IIIdV dX dX dX=

{ }{ }{ }1 1 1d I I II II III IIIdV dX ( e ) dX ( e ) dX ( e )= + + +

STA

TO

DI

DE { }{ }{ }1 1 1d I I II II III IIIdV dX ( e ) dX ( e ) dX ( e )+ + +

Variazione di volume indipendente dal sistema di riferimento

OLID

I :

LO

S

1 2 3 11 1 1 1 1dI II III

i

dV( e )( e )( e ) I I I I

dV= + + + = + + + +

NIC

A D

EI

SO

Per piccole deformazioni i

321 III >>>> IIIIIIi

id eeeIdV

dVdV++==

−1

MEC

CA i

L’invariante lineare I1 rappresenta la variazione di volume nell’intorno del punto


Deformazione

NE

• Variazione di forma

Deviatore di Deformazione

EFO

RM

AZ

ION

11⎥⎤

⎢⎡ γγθ−ε 312

1212

111

Deviatore di Deformazione

STA

TO

DI

DE

)(31

31

3322111 eeeI ++==θ

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ θ−εγγγθ−εγ=η

332321

1321

3221

221221

OLID

I :

LO

S

ha invariante lineare nullo

NIC

A D

EI

SO

quindi rappresenta una deformazione a volume costante

MEC

CA


Tensori di Sforzo e Deformazione

R t i d l i t di if i t

NE

Rotazione del sistema di riferimento

⎬⎫

⎨⎧

⎬⎫

⎨⎧⎪

⎬⎫⎪

⎨⎧ ∧

ααxx coscos)(cos 1

EFO

RM

AZ

ION

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

⎭⎬

⎩⎨=

⎭⎬

⎩⎨ −

=⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨=

∧

∧

∧

αα

ααyxn

ααxxn

y

x

cossin

cos)90(cos

)(

)(cos

sin)90(cos)(cos

)(

1

2

1

STA

TO

DI

DE ⎭⎩⎭⎩⎪⎭⎪⎩ααyx coscos)(cos 2

⎥⎤

⎢⎡ α−α⎥⎤

⎢⎡ τσ⎥⎤

⎢⎡ αα

=⎥⎤

⎢⎡ τσ sincossincos 1211xyxx NN Txy )12()( σ=σ

xn yn

OLID

I :

LO

S ⎥⎦

⎢⎣ αα⎥⎦

⎢⎣ στ⎥⎦

⎢⎣ αα−

=⎥⎦

⎢⎣ στ cossincossin 2212yyyx

NN σ=σ

NIC

A D

EI

SO

αατ+ασ+ασ=σ=σ cossin2sincos 122

222

11xTxxx nn

αατ−ασ+ασ=σ=σ cossin2cossin 122

222

11yTyyy nn

MEC

CA

)sin(coscossin)( 22122211 α−ατ+αασ−σ−=σ=τ x

Tyxy nn

122211yyyy


R t i d l i t di if i t

Tensori di Sforzo e Deformazione

NE

Rotazione del sistema di riferimento

EFO

RM

AZ

ION

STA

TO

DI

DE

NN Txy )12()(⎥⎤

⎢⎡ α−α⎥⎤

⎢⎡ γε⎥⎤

⎢⎡ αα

⎥⎤

⎢⎡ γε sincossincos 122

1112

1xyxx

xn yn

OLID

I :

LO

S NN Txy )12()( ε=ε⎥⎦

⎢⎣ αα⎥⎦

⎢⎣ εγ⎥⎦

⎢⎣ αα−

=⎥⎦

⎢⎣ εγ cossincossin 22122

12

21

yyyx

y

22T

NIC

A D

EI

SO ααγ+αε+αε=ε=ε cossinsincos 12

222

211x

Txxx nn

ααγ−αε+αε=ε=ε cossincossin 122

222

11yTyyy nn

MEC

CA

)sin(coscossin)( 22122

122112

1 α−αγ+ααε−ε−=ε=γ xTyxy nn


Prova Sperimentale di Trazione

Misura delle deformazioni tangenzialiEsempio 2

NE

Rosetta estensimetrica

EFO

RM

AZ

ION

STA

TO

DI

DE

2 211 22 12cos sin sin cosηηε ε α ε α γ α α= + +

OLID

I :

LO

SN

ICA

DEI

SO

MEC

CA


)0()90i ()90(i)90(

)0cos()0sin()0(sin)0(cos22

11122

222

11 ε=γ+ε+ε=ε→≡ηoooo

ooooaa

NE 222

)45cos()45sin()45(sin)45(cos

)0cos()90sin()90(sin)90(cos

12221112

222

211

22122

222

11

γ+

ε+

ε=γ+ε+ε=ε→≡η

ε=γ+ε+ε=ε→≡η

oooob

ooooc

b

c

EFO

RM

AZ

ION 222

STA

TO

DI

DE

c

a

ε=εε=ε

22

11

OLID

I :

LO

S

cab ε−ε−ε=γ 212

NIC

A D

EI

SO

MEC

CA


EEFO

RM

AZ

ION

STA

TO

DI

DE

OLID

I :

LO

SN

ICA

DEI

SO

MEC

CA


EEFO

RM

AZ

ION

STA

TO

DI

DE

OLID

I :

LO

SN

ICA

DEI

SO

MEC

CA

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