Io Ganymède Europe Callisto

2009/10/18 La course des satellites galiléens de Jupiter II 2

Les satellites de Jupiter représentent une très bonne illustration d’un système képlérien simple si l’on ne prend pas en compte les faibles perturbations des orbites :

- orbites circulaires (ellipse e=0)- orbites planes (dans le plan équatorial de Jupiter)- périodes suivant la 3ème loi de Kepler

Dans le TD 1 avec le support de Géogébra il a été construit un modèle animé temporellement :

- avec vue au-dessus de pôle de Jupiter- vue dans le plan équatorial dans une direction

perpendiculaire à la direction du point vernal- animation temporelle dans cette dernière vue pour le

repérage temporel

Dans ce deuxième TD, on va se placer sur la Terre pour voir plus réellement ce que l’on observe. Fichier de départ : plajosat_syssol0.ggb


Les satellites vus de la Terre

orbi

teTe

rre

T

H

SJ

• On part de l’animation précédente avec sa direction de visée.

• Jupiter tourne sur son orbite entrainant ses satellites

• Centre de l’orbite : le Soleil

• On est sur le Terre qui est aussi en orbite

• Jupiter est donc vu dans la direction TJ

• La direction de projection sera perpendiculaire à TJ

1 - Jupiter tournant autour du Soleil et la Terre aussi la direction de projection tourne aussi.

2 – La distance TJ varie avec les deux rotations.Vu de la terre les distances angulaires Jupiter-satellites varieront avec la distance Terre-Jupiter.

Premier travail : tracer à l’échelle un modèle simplifié Soleil Terre Jupiter.



Simplifications :

• Les orbites, Jupiter, Terre, satellites sont circulaires

• Jupiter et son plan équatorial sont dans l’écliptique.

PT = 365.25 jPJ = 4332.59 j

Données à rentrer dans la partie tableur de la feuille.

aT = 1 u.a.aJ = 5.2 u.a.

Données supplémentaires :

Longitudes origines des planètes en fonction de la date origine : l0T et l0J

Attention le "°" est important pour l’homogénéité des calculs ultérieurs



Créer sur la feuille Géogébra du système de Jupiter, un système Soleil-Terre-Jupiter qui soit fonction du temps.

Centre xH = 5000 ; yH = 0 cellule B17 et B18

• Echelle du graphique : pour rester compatible avec les dimensions du graphique des satellites.

Unité en u.a. (unités astronomiques) échelle distance = x 400

• Décalage

gdist=400 cellule B16

Le décalage peut être choisi tout autre, à la convenance de chacun.



Orbites des planètes.

cercle de centre H et rayon 1 x 400

Mettre dans le graphique :

• le point Soleil

• l’orbite de la Terre

cercle de centre H et rayon 5.2 x 400 • l’orbite de Jupiter

ct=cercle[H,D7*gdist]cj=cercle[(H,H),D6*gdist]

H=(x_H,y_H)

x_H = B17 y_H=B18

Cacher les étiquettes



Positions des planètes

Long. planètes = vitesse angulaire x temps + longitude 0

Vitesse angulaire = 360 / période

Calculer les longitudes des deux planètes en fonction du temps

lt=(360/B7)*tps+E7lj=(360/B6)*tps+E6

Placer les planètes en coordonnées polaires et translations

T=translation[(D7*gdist;lt),vecteur[O,(x_H,y_H)]]

J=translation[(D6*gdist;lj),vecteur[O,(x_H,y_H)]]

Tracer les segments Soleil-planètes et Terre-Jupiter :sht=segment[H,T]shj=segment[H,J]stj=segment[T,J]

Enlever les étiquettes des segments.

Soit le point O=(0,0)


Graphiques système de Jupiter et Système Soleil-Terre-Jupiter


Positions de Jupiter

Le graphique permet de savoir où se trouve Jupiter dans le ciel à une date donnée.

Orientons le graphique pour un observateur à midi. Ouest

Est

Déterminer la position relative de Jupiter par rapport au Soleil

- même direction : conjonction, non visible

- à 180° : opposition, visible toute la nuit

- à l’Ouest : visible plutôt le matin

- à l’Est : visible plutôt le soir

- Est et Ouest suivant rotation de la Terre

- horizon et Soleil au plus haut

On peut faire afficher l’élongation de Jupiter : angle HTJ. elong=Angle[H, T, J].

Elongation : distance angulaire Soleil-planète.


La vision projetée de la Terre n’est pas celle du TD1, suivant un axe perpendiculaire à la direction du point vernal.

La vision terrestre est la projection sur une droite perpendiculaire à la direction Terre-Jupiter.


La direction de visée est TJ.

Construire le vecteur Terre-Jupiter

vtj=vecteur[T, J]

Regardons ce qui se passe à la hauteur de Jupiter.

Cette droite donnera la direction de la vision de Jupiter et des satellites vus de la Terre.


Terre

Vision suivant convention du TD1

Vision suivant position demandée

Constatation ?

Supposons la Terre dans une direction orthogonale à celle de visée.

Droite de projection

Direction Terre

Projection

Comparaison des visions

Vision jovicentrique et vision terrestre

L’effet de perspective est différent.


la longitude héliocentrique de la Terre lTerre

Connaissant à une date t

la longitude héliocentrique de Jupiter lJup

les rayons des orbites aTerre et aJup

la position du satellites par rapport à Jupiter lSat


On peut construire la droite de projection perpendiculaire à TJ en J

orbite Jupiter

orbi

te T

erre

H

T

S

lJup

lTerre

lSatJS’

Et trouver les positions des projections (S’).

aT

aJ

dproj=Perpendiculaire[O, stj]

S’ = Intersection[dproj, Perpendiculaire[S, dproj]]

dproj

Soit S un satellite


Les satellites vus de la Terreorbite Jupiter

orbi

te T

erre

H

T

S

lJup

lTerre

lSatJS’

aT

aJ

dproj

Remarque : par simplicité, on projette orthogonalement (SS’), mais réellement il faudrait trouver l’intersection de TS avec la droite de projection.

La distance Terre Jupiter est au minimum de 4.2 u.a. soit plus de 600 000 000 de km et la distance la plus grande d’un satellite est de 1 883 000 km.

La différence est négligeable (voir diapositive du calcul de l’erreur).



p

yp

p’

S

J

Terre

Soleil

S’’

S’’’

Le satellite se projette en S’

Pour la lisibilité, les projections seront tournées et translatées sur pp’.

Quelles opérations faire ?

1 – Rotation pour amener JT verticalement

Angle du vecteur JT : 0

Donc tourner de angle du vecteur JT :

= 270°-0

S’ vient en S’’

2 – Translation de yp en ordonnées

S’’ vient en S’’’

Terre

0

S’



2 - Rotation

S’’’=Translation[ Rotation[

Intersection[dproj, Perpendiculaire[S3J, dproj]], θ, O], Vecteur[O, (0, y0 + B20)]]

= 270°-Angle[Vecteur[O, (100, 0)], vtj]

3 – Translation de yp en ordonnées

Résumons

1 – Projection - intersection

dproj=Perpendiculaire[O, stj]

S’=Intersection[dproj, Perpendiculaire[S, dproj]]

Le point de projection sera :

0 = Angle[Vecteur[O, (100, 0)], Vecteur[J, T]]

pyp

p’

S

J

Terre

Soleil

S’’

S’’’Terre

0S’

S’=Rotation[S’,,O]


Effet de la distance

Les angles sous lesquels on voit Jupiter et ses satellites est aussi fonction de la distance Terre Jupiter.

Variation : de 4.2 à 6.2 u.a.

• Plage de variation en u.a. et en % ?

Soit +/-19.2 %

C’est l’ensemble Jupiter et satellites qui paraîtra plus ou moins grand.

Représenter sur une troisième projection, d’ordonnée yp’, l’aspect relatif suivant la distance.

On prendra la projection déjà construite comme projection moyenne, celle où Jupiter est à 5.2 u.a. de la Terre.

Dernier étape


Effet de la distance

L’abscisse du point de projection du satellite variera comme l’inverse de la distance TJ.

L’abscisse du point de projection sera multiplié par le facteur 5.2/TJ

P3SD=(x(P3S) 5.2 / (Longueur[vtj]/ gdist),y0 + B20 + B21)

Remarque : si l’on trace un cercle représentant Jupiter, il faudra aussi tenir compte des variations de son rayon avec la distance.


Eclipses

Il est possible de simuler les éclipses des satellites par Jupiter.

Conditions ?

- dans la projection le satellite doit passer derrière

- être à moins d’un rayon de Jupiter

On connaît la longitude jovicentrique du satellite JS = lS

= β0-Si 00 le satellite est en arrière de Jupiter.

p

yp

p’

S

J

S’

Terre

Soleil

S’’

S’’’

0

x S( ’’’)

Soit l’angle SJT

Critère de distance Satellite-Jupiter : valeur de x(S’’’).


Eclipses

• Test sous Géogébra pour savoir si le satellite est derrière et près de Jupiter :

p

yp

p’

S

J

S’

Terre

Soleil

S’’

S’’’

0

x S( ’’’)

>90 ∧ >270

Si le test vrai, il est derrière, s’il est faux devant.

• Test distance à Jupiter

Le satellite sera à l’intérieur du cercle de Jupiter si :

abs(x(S’’’)) < C6 / 1000

•Test complet (valeur logique) pour le non l’affichage du satellite :

fecl = α > 90 ° α < 270 ° abs(x(PS)) < C6 / 1000∧ ∧


Comme dans le TD1, on peut tracer les configurations temporelles en faisant croître les ordonnée des satellites en fonction de la variable tps.

IV - Tracé des configurations temporelles

Il faudra alors activer la trace des points PxSD


Cette erreur peut être calculée à partir du schéma suivant :

Projection réelle P’ intersection de ST avec la droite de projection

Projection utilisée P intersection de la ligne passant pas S et parallèle à la droite de projection

Erreur : e = PP’

S

J

T

PP’droite de

projectionY

R

d

V - Erreur due à l’effet de projection

En projetant suivant une direction parallèle à l’axe Terre-Jupiter et non la direction terre Satellite on fait une approximation donc une erreur.


Erreur due à l’effet de projection suivant une direction parallèle à l’axe Terre-Jupiter et non la direction terre Satellite.

Calcul

Similitude des triangles SPP’ et SYT

S

J

T

PP’droite de

projectionY

R

d

Le satellite est repéré par le rayon R de son orbite et l’angle de JS avec la droite de projection.

PP

SP

YS

YJ JTe

R

R

R d

'

s in

co s

sin

Construction et calculs dans Géogébra en faisant varier l’angle , c’est-à-dire le temps.

L’erreur pour Callipso ne dépasse pas 3 km et l’erreur sur l’angle, Jupiter au plus près, vaut atan(3/((5.2-1)*150000000) 5/1000ème de sec d’arc.

Faire tracer la variation de e en fonction de tps avec une échelle appropriée.


. . . . . FIN


la longitude héliocentrique de la Terre lJup

Connaissant à une date t

la longitude héliocentrique de Jupiter lTerre

les rayons des orbites aTerre et aJup

la position du satellites par rapport à Jupiter lSat

Il faut calculer l’orientation de GJ pour projeter S sur la perpendiculaire à GJ

orb ite Jup iter

orbi

te T

erre

O

G

S

lJup

lTerre

lSatJ

S ’


GJ O J OG O J OG l lJup Terre2 2 2 2 co s( )GJ a a a a l lJ T J T Jup Terre

2 2 2 2 co s( )

Triangle OGJ :

a a G J a G JT J J2 2 2 2 cos

cos

a G J a

a G JJ T

J

2 2 2

2

Méthode analytique


Quand la vision de la Terre est-elle semblable (à une homothétie près) À la convention d’observation TD partie I ?

La Terre doit voir Jupiter dans la direction de longitude géocentrique = +90°

Quand cela se produit-il ?

Vision géocentrique


Quand cela se produit-il ?

Jupiter doit être entre les deux traits verticaux bleus. Longitudes héliocentriques des points J1J2

J1J2

Mesurer par Géogébra les longitudes de J1 et J2 et l’angle J1HJ2.

Construire les demi-droites limites et trouver les points d’intersection avec l’orbite de Jupiter : J1et J2.


Longitudes de Jupiter

yv1=demidroite[(-gdist+B16,0),(-gdist+B16,100)]yv2=demidroite[(gdist+B16,0),(gdist+B16,100)]P1J=intersection[yv1,cj]P2J=intersection[yv2,cj]

J1J2

HJ2 = 101.1°HJ1 = 78.9°

Durée du passage ?

267 jours

Période sidérale de Jupiter : 360° en 4333j


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