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Intuizione e rigorenella nascita e nello sviluppo

del calcolo infinitesimaleMarco Bramanti

Come storicamente sono nati il concetto di limite e il concetto di derivata.Perché questo può essere interessante?

"Nulla è più importante che vedere le sorgenti dell'invenzione, che sono, amio avviso, degne di interesse ancora maggiore di quella dovuta all'invenzionestessa" (Leibniz).

"L'invenzione del calcolo infinitesimale, accanto alla geometria euclidea, è lapiù grande creazione in tutta la matematica." (Morris Kline)

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La matematica che conosciamo è nata e si è sviluppata sulla spinta:

1) della sfida posta da problemi esterni (es.: problemi fisici); 2) di esigenze che obbediscono alla sua logica interna.

Non sempre la matematica nasce già rigorosa.In certe sue fasi storiche, la matematica ha allentato le richieste di rigore per avere

più efficacia nel risolvere problemi urgenti;tuttavia, a lungo andare il progresso matematico richiede rigore: senza rigore, dopo

alcuni passi la ricerca matematica cade.

Il 1600-1700 è un periodo storico in cui la matematica fu poco rigorosa, perchéaveva qualcosa di urgente da fare: far nascere la scienza moderna;

il 1800 fu invece chiamato "il secolo del rigore": finalmente si capì davvero ilfondamento di ciò che da 200 anni si stava facendo.

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Da Galileo a Newton: l'urgenza di una nuova matematicaper la nascita della scienza nel 1600

Galileo: Newton: 1564-1642 1642-1727

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La "nuova matematica" creata ai tempi di Galileo:

1585: uso dei numeri decimali (con la virgola): Simon Stevin, 1548-1620;1591: algebra simbolica, Francois Viète, 1540-1603;1614: logaritmi, John Napier, 1550-1617; Jobst Bürgi, 1552-1632,

Henry Briggs, 1561-1631;1637: geometria analitica, René Descartes, 1596-1650, e Pierre de Fermat, 1601-1665 (quindi, rappresentazione grafica di una funzione).

Galileo non si fidò mai di questa "matematica moderna", che probabilmentegiudicava non rigorosa (come in effetti era, come vedremo).

Newton utilizzò invece tutti questi strumenti, e ne inventò altri di totalmente nuovi:le derivate, gli integrali, le serie numeriche; in breve, inventò il .calcolo infinitesimale

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Confrontiamo i due personaggi su un esempio concreto: la legge di caduta dei gravi.Newton:

= œ 1>"

##.

Galileo:

"Gli spazi percorsi in tempi diversi stanno tra loro come i quadrati dei tempi"

ossia

= À = œ > À > Þ" # " ## #

In Newton: In Galileo:compare la nessuna "costante fisica"idea di funzione idea di proporzione

costante di proporzionalità 1

=ß 1ß > = ß = ß > ß > sono , dimensionati non sono numeri ma l' è importante l' è indiffer

numeri grandezzeunità di misura unità di misura

" # " #

ente

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L'invenzione del calcolo infinitesimale di Newton e Leibniz

Precursori e pionieri del calcolo infinitesimale in epoca moderna

1571-1630 Johann Keplero massimi, aree, volumi1584-1667 Gregorio di St. Vincent area sotto l'iperbole1596-1650 René Descartes normali1598-1647 Bonaventura Cavalieri aree e volumi1601-1665 Pierre de Fermat massimi e minimi, tangenti, aree1602-1675 Gilles Persone de Roberval tengenti, aree1608-1647 Evangelista Torricelli aree e volumi1616-1703 John Wallis aree1620-1687 Nicolaus Mercator serie di potenze per il logaritmi1623-1662 Blaise Pascal aree1630-1677 Isaac Barrow aree, tangenti, lunghezza d'arco1638-1675 James Gregory aree, serie1642-1727 Isaac Newton serie, flussioni, th. fondam. del calcolo1646-1716 Gottfried Wilhelm Leibniz differenziali, th. fondam. del calcolo1661-1704 Guillaume F. l'Hospital testo sul calcolo differenziale1667-1748 Johann Bernoulli calcolo sugli esponenziali

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Problemi che Newton si pone sulle "fluenti" (=funzioni):

1. Il problema di determinare la velocità (istantanea) di variazione della grandezzafluente;

2. Il problema di determinare la retta tangente al grafico, (in relazione al problemadella ricerca dei "punti di massimo e minimo" della funzione).

Motivazioni che si ponevano nel XVII sec. per questi problemi:

• problemi di ottica legati alla fabbricazione di lenti (serve la normale alla curva,quindi la tangente);

• problemi di massimo e minimo in astronomia (es. punti di massima/minimadistanza dal sole di un pianeta), balistica (es. angolo di alzo di un cannone che rendemassima la gittata);

• problemi di cinematica (la velocità di un punto mobile è tangente alla suatraiettoria in ogni istante).

• studio dei moti in cui la velocità cambia ad ogni istante (es. caduta di un grave,rotolamento su un piano inclinato, oscillazioni di un pendolo): serve una nozione divelocità .istantanea

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Newton attacca i due problemi simultaneamente, in quanto:

1. Dà una definizione analitica di (derivata) della funzione ; laflussione B >a bdefinizione si regge sul concetto suggestivo, vago e insidioso di "primo rapporto diincrementi nascenti".

2. Ragionando sul grafico della funzione , mostra che tale velocità istantaneaB >a bnon è altro che il coefficiente angolare della retta tangente: per far questo usa unsuggestivo argomento geometrico di similitudine tra un triangolo fissato ed unovariabile ed "evanescente"; al tempo stesso, questa similitudine geometrica supportal'evidenza del fatto che il "primo rapporto di incrementi nascenti", precedentementecitato, esista effettivamente.

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Dall' :Introductio ad Quadratura Curvarum(scritta nel 1676, pubblicata nel 1704 in appendice all'Ottica)

Anzitutto la definizione di derivata:

"Le flussioni stanno tra loro come gli incrementi delle fluenti generati in ugualiintervallini di tempo, tanto più accuratamente quanto più brevi sono questi. Per parlarepiù accuratamente, stanno tra loro come i .primi rapporti degli incrementi nascenti"

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Se ad esempio , Newton considera ed esprime ciò cheC œ 0 B B œ B > ß C œ C >a b a b a bnoi chiamiamo come . Questo rapporto, dice, è tanto piùC B C > ÎB >w w wa b a b a baccuratamente uguale al rapporto degli incrementi delle fluenti quanto più gli intervallidi tempo sono piccoli, cioè:

C > C > 9 C >

B > B > 9 B >¶

w

w

a b a b a ba b a b a b

o, semplificando le cose nel caso :B œ >

C > ¶C > 9 C >

9wa b a b a b

dove, col suo linguaggio, è l' .9 istante evanescente

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Relazione col concetto di tangente.

"Si conduca la retta e la si prolunghi fino a . Ritorni l'ordinata al suo luogoG- O ,-iniziale , e andando a coincidere i punti e , la retta coinciderà con laFG G - GOtangente , e il triangolo evanescente , nella sua ultima forma, svanirà simileGL GI-al triangolo , e i suoi lati evanescenti e staranno tra loro, in ultimo,GIX GIßI- G-come stanno tra loro i lati dell'altro triangolo e , e perciò in questoGIX ßGIß IX GXrapporto stanno le flussioni delle linee e ".EFß FG EG

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Newton "dimostra" così che il "primo rapporto degli incrementi nascenti" (cioè laflussione) è uguale al coefficiente angolare della retta tangente. Poi prosegue:

"Se i punti e distano di un qualsiasi intervallo per quanto piccolo, la retta G - GOdisterà per un piccolo intervallo dalla tangente. Affinché la retta coincida con laGOtangente , e si trovino i rapporti ultimi delle linee , e , i punti e GL GI IG G- G -devono concorrere fino a coincidere del tutto. Nelle cose matematiche non si devonocommettere errori per quanto minimi".

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Vediamo la sua definizione alla prova dei fatti: come calcola la derivata di una potenza.

Dallo Scholium alla sez. I dei "Principia", scritto nel 1687:

"Fluisca la quantità uniformemente, e si debba trovare la flussione della quantità . NelB B8

tempo in cui la quantità fluendo diventa , la quantità diventa , cioè, per ilB B 9 B B 98 8a bmetodo delle serie infinite,

B 89B 9 B 8 8 "

#8 8" # 8#a b ecc.

E gli incrementi,

9 89B 9 B 8 8 "

# e ecc.8" # 8#

a b

stanno tra loro come

" 8B 9B 8 8 "

# sta a ecc.8" 8#

a b

Svaniscano ora quegli incrementi, e il loro ultimo rapporto sarà di a : e perciò la" 8B8"

flussione di sta alla flussione di come sta a .B B " 8B8 8"

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Col nostro linguaggio:

0 B œ Ba b 8

0 B 9 œ B 9 œ B 89B 9 B 8 8 "

#a b a b a b8 8 8" # 8# ecc.

0 B 9 0 B

9 9œ œB 89B 9 B Ba b a b ‚ ‚8 8" # 8# 88 8"#a b ecc.

œ 8B 9B 8 8 "

#8" 8#a b ecc.

"Svaniscano ora quegli incrementi..." (cioè: facciamo tendere a zero ), e troveremo:9

8B8"

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"Forse può essere obiettato che non c'è alcun ultimo rapporto di grandezzeevanescenti; perché il rapporto, prima che le quantità siano svanite, non èl'ultimo, e quando sono svanite, non c'è. Ma con lo stesso argomento sipotrebbe sostenere che un corpo che arriva in un certo posto e lì si ferma, nonha un'ultima velocità, perché la velocità, prima che il corpo arrivi nel luogo,non è l'ultima velocità, e quando è arrivato, non esiste. Ma la risposta è facile;perché per ultima velocità si intende quella con cui il corpo si muove né primadi arrivare nel suo luogo finale né dopo, ma nel preciso istante in cui arriva.(...) E analogamente, per ultimo rapporto di grandezze evanescenti si deveintendere il rapporto delle quantità non prima che esse svaniscano e non dopo,ma il rapporto con cui esse svaniscono".

Per quanto vago e criticabile, questo concetto di flussione, nelle mani di Newton, sirivelò potentissimo.

Con gli strumenti matematici del calcolo infinitesimale, Newton costruì l'edificiodella fisica come la studiamo oggi.

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In effetti Newton in alcuni passi seppe esprimere in modo molto preciso e corretto(anche se puramente discorsivo) il concetto di :limite

"Quegli ultimi rapporti con cui le quantità svaniscono non sonoeffettivamente rapporti di quantità ultime, ma limiti a cui i rapporti di quantitàche decrescono indefinitamente si avvicinano con continuità, e a cui essi sipossono avvicinare così strettamente che la loro differenza è minore diqualsiasi assegnata quantità, ma che essi non possono né superare néraggiungere prima che le quantità siano indefinitamente diminuite. (...) Diconseguenza, ogni volta che, per rendere le cose più semplici da comprendere,io parlerò in ciò che segue di quantità infinitamente piccole o evanescenti, oultime, abbiate cura di non intendere quantità che siano determinate nellagrandezza, ma pensate sempre a quantità che devono essere diminuiteindefinitamente".

(Dallo Scholium alla sez. I dei Principia).

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In questo passo troviamo:

• l'idea di limite come quantità costante a cui una quantità variabile si avvicinaindefinitamente;

• l'idea che questo "avvicinarsi indefinitamente" possa essere precisatoquantitativamente;

• l'idea moderna di infinitesimo come quantità variabile che diviene indefinitamentepiccola, anziché come quantità costante infinitamente piccola.

Si capisce quindi che Newton, nella sostanza, aveva una comprensione chiara delsignificato dei suoi procedimenti; tuttavia, mantenne queste idee sul piano discorsivo,non riuscì a incorporarle effettivamente e operativamente nella teoria, ad esempio,introducendo un simbolo analogo al nostro "lim" per distinguere, anche nellenotazioni, un quoziente dal limite del quoziente.

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A proposito della "nuova matematica" di Newton:

in realtà, per rendere più accettabile dall'ambiente scientifico del tempo leconclusioni della sua opera, Newton nei "Principia" fece un uso moderato del calcoloinfinitesimale, ed utilizzò abbondanti argomentazioni geometriche (come aveva fattoGalileo).

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Nel 18° secolo, matematici e fisici si scatenarono, estendendo i metodi del calcoloinfinitesimale, in matematica, e applicandoli ai più svariati campi della fisica.

Principali analisti del 18° secolo e applicazioni del calcolo infinitesimale

1622-1703 Vincenzo Viviani integrazione multipla1646-1716 Gottfried Wilhelm Leibniz derivate parziali, equazioni differenziali1654-1705 Jakob Bernoulli problema della brachistocrona1667-1748 Johann Bernoulli pb. della brachistocrona, equaz. differ.1685-1731 Brook Taylor serie di Taylor1685-1753 George Berkeley critica ai fondamenti del calcolo1687-1753 Nicolaus I Bernoulli regole per le derivate parziali1698-1746 Colin MacLaurin testi di calcolo infinitesimale1700-1782 Daniel Bernoulli problema della corda vibrante1707-1783 Leonhard Euler equaz. differenziali, libri di testo1713-1765 Alexis Clairaut equazioni differenziali1717-1783 Jean D'Alembert problema della corda vibrante1718-1799 Maria Agnesi testi di calcolo differenziale1736-1813 Joseph Lagrange calcolo con serie di potenze

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Cauchy, il concetto di limitee i fondamenti del calcolo infinitesimale

Augustin-Louis Cauchy (1789-1857)

La definizione di limite

Cauchy, Corso di Analisi Lezioni sul Calcolo Differenziale (1821), (1829), scritti perl'Ecole Polytechnique:

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In queste opere (1821-1823), Cauchy:

• introduce la nozione moderna di limite;

mediante questa nozione dà la prima definizione rigorosa di:

• funzione infinitesima,• funzione continua,• derivata,• integrale definito,• convergenza di una serie.

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Se vogliamo descrivere il concetto di infinitesimo non dobbiamo pensare ad unaquantità costante che è infinitamente piccola, ma dobbiamo pensare ad una quantitàvariabile che diviene indefinitamente piccola: questa è la grande differenza.

"Quando i valori successivamente attribuiti ad una stessa variabile si avvicinanoindefinitamente ad un valore fissato, in maniera da finire col differire da questo ditanto poco quanto si vuole, quest'ultimo (valore fissato) è detto il limite di tutti glialtri. (...) Indicheremo il limite verso cui converge una data variabile conl'abbreviazione lim posta davanti a questa variabile".

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"Sovente i limiti verso cui convergono delle espressioni variabili si presentano informa indeterminata, e ciò non ostante si può ancora fissare, con l'aiuto di metodiparticolari, i veri valori di questi stessi limiti. Così, per esempio, i limiti a cui siavvicinano indefinitamente le due espressioni variabili

sin!!

!ß " a b "!

quando converge verso zero, si presentano sotto le forme indeterminate ; e! !!„_ß "

pertanto questi limiti si possono calcolare come segue.Si ha evidentemente, per valori numerici molto piccoli di ,!

sin sin sinsin tan

! ! !

! ! ! Þ

Di conseguenza il rapporto , sempre compreso tra le quantità esin sinsin! !

! !œ "ß

sintan

!!œ cos!, dove il primo è limite del secondo, avrà lui stesso l'unità come limite.

(...)"

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La distinzione netta tra la funzione (quantità variabile) e il limite a cui essa tende(quantità costante), è non solo affermata a parole da Cauchy, ma incorporataformalmente nella teoria, con l'introduzione del simbolo "lim". Questo è un enormepasso avanti rispetto a Newton.

Confrontiamo ancora con Newton:

"(...) ogni volta che, per rendere le cose più semplici da comprendere, io parlerò inciò che segue di quantità infinitamente piccole o evanescenti, o ultime, abbiate cura dinon intendere quantità che siano determinate nella grandezza, ma pensate sempre aquantità che devono essere diminuite indefinitamente (...)".

"Quantità infinitamente piccola" è il concetto suggestivo, ambiguo e in ultimaanalisi fuorviante con cui dai tempi di Zenone (nell'antica Grecia) fino al 18° secolo siè denotato una simultaneamente quantità variabile che diviene indefinitamentepiccola quantità costante (il limite zero) a cui essa tende, e la . Il superamento diquesta confusione di concetti ha sbloccato lo sviluppo del pensiero matematico,consentendo un progresso mai visto prima.

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Dai limiti alla continuità

Karl Theoodor Wilhelm Weierstrass, 1815-1897

Weierstrass, 1886 dà la definizione di limite:epsilon-delta per dire che una grandezza diventa sempre più piccola è sufficiente dire che è piùpiccola di un numero reale epsilon arbitrariamente prefissato, purché la variabiledifferisca per meno di un numero delta opportuno da un certo valore fissato.

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Rispetto alla formulazione "discorsiva" di Cauchy della definizione di limite, quelladi Weierstrass si presta meglio ad essere utilizzata operativamente in dimostrazionianche complesse.

Nella sistemazione moderna dei primi elementi del calcolo infinitesimale, i problemimaggiori si incontrano non tanto nel dimostrare le proprietà principali delle derivate edegli integrali (che costituiscono il cuore della teoria, dal punto di vista operativo), main alcune delicate proprietà dei limiti e delle funzioni continue, su cui si basano poialtre proprietà di derivate e integrali.

Una è una grandezza che varia in modo continuo ossia tale che ilfunzione continua suo grafico sia una curva continua, proprio nel senso intuitivo del termine: può esseretracciata "senza staccare la penna dal foglio".

Funzione continua Funzione discontinua

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Mediante la nozione di limite di Cauchy si può dare una definizione rigorosa difunzione continua, si possono cominciare a studiare le proprietà delle funzionicontinue, e ci si imbatte in nuovi problemi.

"Se una funzione continua su un intervallo ha segno opposto nei due estremidell'intervallo, deve esistere un punto dell'intervallo in cui si annulla"

Perché è vero? Perché la curva (grafico) e la retta (asse ) sono linee continue, "nonBhanno buchi". Ma cosa significa esattamente che non hanno buchi? E come sidimostra?

Dipende dalle proprietà dell'insieme dei numeri reali...

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L'essenza della continuità: i numeri reali

Richard Dedekind, 1831-1916

Dedekind,1872, "Continuità e numeri irrazionali"

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"Nell'autunno del 1858, come professore al Politecnico di Zurigo, mi trovai per laprima volta a dover tenere lezioni sul calcolo differenziale, e sentii più acutamente chemai in precedenza la mancanza di un fondamento realmente scientifico perl'aritmetica. Specialmente nel provare il teorema che ogni grandezza che cresce concontinuità, ma non oltre ogni limite, deve certamente tendere a un valore limite, iodovetti ricorrere ad evidenze geometriche. Si afferma frequentemente che il calcolodifferenziale tratta con grandezze continue, e tuttavia non viene mai data unaspiegazione di questa continuità; anche le più rigorose esposizioni del calcolodifferenziale non basano le loro dimostrazioni sulla continuità ma, con maggiore ominore consapevolezza del fatto, si appellano a nozioni geometriche o suggerite dallageometria, o dipendono da teoremi che non sono mai stabiliti in modo puramentearitmetico".

L'ulteriore passo che attendeva di esser fatto, per una chiarificazione del calcoloinfinitesimale, era un fondamento chiaro e definitivo della teoria dei numeri reali, che fornisseun fondamento analitico chiaro alle varie idee connesse al concetto di .continuità

Il saggio di Dedekind:• definisce costruttivamente i numeri reali a partire dai numeri razionali• coglie la proprietà fondamentale dei numeri reali, che non ha invece il sistema dei

numeri razionali: la .continuità

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L'aritmetizzazione dell'analisi

Sulla base di questo fondamento della teoria dei numeri reali sarà possibile aWeierstrass, dimostrare le proprietà-chiave dei limiti e delle funzioni continue.

Il cerchio quindi si chiude: la teoria conduce dal sistema dei numeri razionali(dominio dell'aritmetica) a quello dei numeri reali, alla nozione di limite, alle proprietàdelle funzioni continue, e finalmente ai concetti di base del calcolo differenziale eintegrale e le loro proprietà.

Questo processo è stato chiamato .aritmetizzazione dell'analisi

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Le costruzioni matematicheCosa significa definizione costruttiva in matematica?

Per definire l'oggetto elementare che appartiene a una teoria complessa, lo siintroduce come oggetto complesso di una teoria semplice.

Nel caso dei numeri reali:consideriamo l'insieme dei numeri razionali e spacchiamolo in due: diciamo "tutti

questi numeri razionali a destra, tutti questi a sinistra". Questa suddivisione di indue insiemi è ciò che Dedekind chiama un , o , ed è un insieme di infinititaglio sezionenumeri razionali.

Talvolta la sezione individua come un numero razionale, comeelemento separatore nel caso:

œ B − À B Ÿ " B − À B "e f e f.Talvolta invece no, come nel caso:

œ B − À B Ÿ ! B ! B Ÿ # B − À B ! B #˜ ™ ˜ ™ oppure e e .# #

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Ora Dedekind definisce "insieme dei numeri reali" l'insieme di tutte le sezioni.

Le sezioni che individuano come elemento separatore un numero razionale siidentificano con i "vecchi" numeri razionali; le altre sezioni si identificano con"nuovi" numeri, che saranno i numeri irrazionali.

La cosa metodologicamente interessante è che si identifica un numero reale,l'oggetto che si deve definire (l'oggetto semplice della teoria complessa), con unparticolare insieme di infiniti numeri razionali (oggetto complesso della teoria piùsemplice).

Nell'insieme dei numeri reali così definito si definiscono la somma, il prodotto, larelazione . Si dimostrano le usuali proprietà delle operazioni e della relazioneŸd'ordine, e infine si dimostra la :proprietà di continuità

Se consideriamo ora una sezione di numeri reali (non più di numeri razionali) ossiauna suddivisione di in due insiemi, del tipo "tutti questi numeri reali a destra, tutti‘questi a sinistra", ora la sezione individua sempre un elemento separatore (razionale oirrazionale).

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Procedimenti infiniti e insiemi infinitiNotiamo che con questo genere di costruzioni entra a far parte della pratica

matematica l'utilizzo, che diventerà poi sistematico, degli insiemi di infiniti oggettimatematici un. Dedekind considera infiniti numeri razionali come numero reale.

E quando vorrà definire la somma di due numeri reali questo implica che si sappiaoperare su insiemi di infiniti oggetti che concepiamo, ciascuno, come un oggettomatematico. Questa è un'idea fondamentale che attraverso tutti gli studi dell'800 e inparticolare quelli dell'analisi viene emergendo: il concetto di insieme, e in particolaredi insieme infinito.

Quindi: la nozione di infinito e la nozione di insieme sono le due nozioni strumentometodologico della grande unificazione compiuta nell'analisi dell'800.

E questi concetti apriranno nuovi orizzonti e nuovi problemi all'analisi di fine '800-inizio '900. Ma questa è un'altra storia...