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Introdução
Introdução à teoria das probabilidades
� Introdução
� Conceitos fundamentais
� Conceitos de probabilidade
� Teoremas para o cálculo de probabilidades
1
� Probabilidade condicional e independência
� Teorema de Bayes
� O termo PROBABILIDADEPROBABILIDADE é utilizado todos os dias de formaintuitiva, pois nos mais variados aspectos da nossa vida estápresente a incertezaincerteza :
�dizemos que existe uma pequena probabilidade de ganhar a MegaSena;
�dizemos que existe uma grande probabilidade de chover num diacarregado de nuvens;
�o político quer saber qual a probabilidade de ganhar as próximaseleições;
�o aluno interroga-se sobre qual a probabilidade de obter resultadopositivo num teste múltipla escolha, para o qual não estudou e
2
responde aleatoriamente.
�Todos estes exemplos têm uma característica comum, que é ofato de não conseguirmos prever com exatidãoexatidão ee dede antemãoantemãoqualqual oo resultadoresultado. No entanto os métodos probabilísticos vão nospermitir quantificar essa incerteza.
Divisão da Estatística
�� DescritivaDescritiva
�� InferênciaInferência
3
MatemáticaMatemática CriaçãoCriação dede modelosmodelos
ModelosModelosProbabilísticosProbabilísticos
ModelosModelosDeterminísticosDeterminísticos
ProbabilidadeProbabilidade
Estudo dos fenômenos da naturezaEstudo dos fenômenos da natureza
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ExperimentosExperimentosProbabilísticosProbabilísticos
ExperimentosExperimentosDeterminísticosDeterminísticos
Modelo determinístico:Modelo determinístico: é aquele em que ao conhecermos as variáveis de entrada é possível determinar as variáveis de saída (os seus resultados).
�������� Em experimentos determinísticosexperimentos determinísticos existe a certezacerteza doresultado que ocorrerá
�� FFísica clássicaísica clássica → fenômenos determinísticosExemplo:Exemplo: Distância percorrida no tempo em função da velocidade
Modelo aleatório, probabilístico ou estocástico:Modelo aleatório, probabilístico ou estocástico: é aquele em que, mesmo conhecendo as condições do experimento, não é possível determinar o seu resultado final.
5
possível determinar o seu resultado final.
�������� Em experimentos aleatóriosexperimentos aleatórios só é possível determinar a chancechance de ocorrência de um resultado.
�� BiologiaBiologia → fenômenos probabilísticosExemplo:Exemplo: Sexo de uma criança ao nascer.
A modelagem de um experimento aleatóriomodelagem de um experimento aleatório implica em responder três questões fundamentais:
�� Quais as suas possíveis formas de ocorrência?Quais as suas possíveis formas de ocorrência?
�� Quais são as chances de cada ocorrência?Quais são as chances de cada ocorrência?
�� De que forma se pode calcular essas chances?De que forma se pode calcular essas chances?
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Descrição do experimentoDescrição do experimento → açãoação e observaçãoobservação
EE11:: Ação:Ação: jogar um dado de seis faces
observação:observação: face voltada para cima
Exemplos:Exemplos:
EE22:: Ação:Ação: selecionar uma carta do baralho
observação:observação: valor e naipe da carta
EE33:: Ação:Ação: lançar uma moeda até que apareça cara
observação:observação: número de lançamentos
7
observação:observação: número de lançamentos
EE44:: Ação:Ação: acender uma lâmpada
observação:observação: tempo decorrido até que ela se apague
É o conjunto de todos os possíveis resultadostodos os possíveis resultadosde um experimento aleatório.
Espaço amostral (S)
�������� É o conjunto universoconjunto universo relativo aos resultadosde um experimento.
A cada experimento aleatório está A cada experimento aleatório está
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A cada experimento aleatório está A cada experimento aleatório está associado um conjunto de resultados associado um conjunto de resultados
possíveis ou possíveis ou espaço amostralespaço amostral ..
SS11={1,2,3,4,5,6}={1,2,3,4,5,6} ←← enumerável e finitoenumerável e finito
EE11:: Jogar um dado e observar a face voltada para cima.
Exemplos:
EE22:: Selecionar uma carta do baralho e observar o seu valore naipe.
9
S2={ás de ouro,..., rei de ouro, ás de paus,...,rei de paus,..., ás de espada,..., rei de espada,ás de copas,..., rei de copas} ←← enumerável e finitoenumerável e finito
EE33:: Lançar uma moeda até que apareça cara e observar onúmero de lançamentos.
Cara Cara CaraCoroa Coroa Coroa
SS33={1,2,3,4,5,...}={1,2,3,4,5,...}
EE :: Acender uma lâmpada e observar o tempo
1 1 2 1 2 3
←← enumerável e infinitoenumerável e infinito
← lançamentos
10
EE44:: Acender uma lâmpada e observar o tempodecorrido até que ela se apague.
SS44={t; t>0}={t; t>0} ←← contínuo e infinitocontínuo e infinito
Evento ou ocorrência:Evento ou ocorrência: é todo conjunto particular de resultados de SS ou ainda todo subconjunto de SS.�������� É designado por uma letra maiúscula (A, B, C).�������� A todo evento será possível associar uma probabilidade.
SS={1,2,3,4,5,6}={1,2,3,4,5,6}Espaço Espaço
amostralamostral
Exemplo: Lançamento de um dado
11
BB = Ocorrência de face maior que 4 = Ocorrência de face maior que 4 = {5, 6}= {5, 6}
A A = Ocorrência de face ímpar = {1, 3, 5}= Ocorrência de face ímpar = {1, 3, 5}EventosEventos
Ponto amostral: Ponto amostral: é qualquer resultado particular de um experimento aleatório
�������� Todo espaço amostral e todo evento são constituídos por pontos amostrais.
Exemplo : S={1,2,3,4,5,6}S={1,2,3,4,5,6}
A = {1,3,5}A = {1,3,5}
B = {5,6}B = {5,6}
← seis pontos amostraisseis pontos amostrais
← três pontos amostraistrês pontos amostrais
← dois pontos amostraisdois pontos amostrais
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Álgebra de Eventos
Como o espaço amostral S e os eventos são conjuntos, asmesmas operações realizadas com conjuntos são válidaspara os eventos.para os eventos.
Exemplo: AA e BB são eventos de SS
S={1,2,3,4,5,6} S={1,2,3,4,5,6}
A={1,3,5}A={1,3,5}
SS
AA BB
13
A={1,3,5}A={1,3,5}
B={5,6}B={5,6}
Os diagramas de Venndiagramas de Venn são úteis para dar intuição geométrica sobre a relação entre conjuntos.
�������� Intersecção:Intersecção: Ocorre AA∩∩∩∩∩∩∩∩BB, se ocorrer AA ee BB.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {1, 3, 55}
B = {55, 6}
�������� União:União: Ocorre AA∪∪∪∪∪∪∪∪BB, se ocorrer AA ouou BB (ou ambos).
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
B = {55, 6}
AA∩∩∩∩∩∩∩∩B = {5}B = {5}
14
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {1,3,51,3,5}
B = {5,65,6}
AA∪∪∪∪∪∪∪∪B = {1, 3, 5, 6}B = {1, 3, 5, 6}
S = {1, 22, 3, 44, 5, 66}
A = {1, 3, 5}
�������� Complemento: Complemento: Ocorre AA, se ocorrer SS, mas nãonão ocorrer AA..
�������� Diferença: Diferença: Ocorre AA--BB, se ocorrer AA, mas nãonão ocorrer BB..
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A A = A= Acc = {2, 4, 6}= {2, 4, 6}
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S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {11, 33, 5}
B = {5, 6}
AA--B B = {1, 3}= {1, 3}
Evento Impossível:Evento Impossível: é aquele evento que nunca irá ocorrer,é também conhecido como o conjunto vazio (∅∅∅∅).
�������� É um evento porque é subconjunto de qualquer conjunto,
Eventos Especiais
�������� É um evento porque é subconjunto de qualquer conjunto,portanto é subconjunto de SS (∅⊂∅⊂SS).
Exemplo: A1 = {(x, y); x2 + y2 < 0}
Evento Certo:Evento Certo: é aquele evento que ocorre toda vez que se realiza o experimento, portanto, esse evento é o próprio SS.
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�������� É um evento porque todo conjunto é subconjunto de simesmo (SS⊂⊂SS).
Exemplo: A2 = {(x, y); x2 + y2 ≥≥≥≥ 0}
Dois eventos AA e BB associados a um mesmo espaçoamostral SS, são mutuamente exclusivos quando a ocorrênciade um impedeimpede a ocorrência do outro (AA∩∩∩∩∩∩∩∩B=B=∅∅∅∅∅∅∅∅).
Eventos mutuamente exclusivos
Exemplos:
Exp.1.Exp.1. Lançamento de uma moeda e observação do resultado
SS={K,C}={K,C}
AA == OcorrênciaOcorrência dede caracara AA == {K}{K}
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AA == OcorrênciaOcorrência dede caracara AA == {K}{K}BB == OcorrênciaOcorrência dede coroacoroa BB == {C}{C}
AA ee BB sãosão mutuamentemutuamente exclusivosexclusivos
Exp.2.Exp.2. Lançamento de um dado e observação da face voltada para cima
SS={1,2,3,4,5,6}={1,2,3,4,5,6}SS={1,2,3,4,5,6}={1,2,3,4,5,6}
A = ocorrência de um nº ímpar = {1, 3, 5}
B = ocorrência de um nº maior que 4 = {5, 6}
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AA∩∩BB={5}={5} → A e B não são mutuamente exclusivos
Exercício: No lançamento de um dado, sejam:
A: saída de uma face par
B: saída de uma face menor que 4
Determine:
A = {2, 4, 6}
B = {1, 2, 3}
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
B =A ∪
B =A ∩
∪
B =A ∩
A =B -
B =A -
B A =∩
{ 1,2,3,4,6 }
{ 2 }
{ 5 }
{ 1,3 }
{ 4,6 }
{ 1,3 }
19
B =A ∪
B =A ∩B =A ∪
B =A -
A B =∩
A =A ∩
{ 5 }
{ 1,3,4,5,6 }
{ 1,3,4,5,6 }
{ 4,6 }
{ 4,6 }
∅
Técnicas de contagem Técnicas de contagem →→→→→→→→ determinar o número de elementos de um conjunto ou o número de resultados possíveis de um experimento.
Análise combinatória
experimento.
Seja AA um conjunto com nn elementos distintos entre si.
A = { a, b, c, d }A = { a, b, c, d }
Se são retirados xx elementos do conjunto AA é possível formar grupos de três tipos:
20
formar grupos de três tipos:
�������� PermutaçõesPermutações�������� ArranjosArranjos�������� CombinaçõesCombinações
ordemordem(b, c) (b, c) e (c, b)(c, b)
(a, b, c) (a, b, c) e (a, c, b)(a, c, b)
A = { a, b, c, d }A = { a, b, c, d }
naturezanatureza
(a, b, c) (a, b, c) e (a, c, b)(a, c, b)
(b, c) (b, c) e (b, d)(b, d)
(a, b, c) (a, b, c) e (a, b, d)(a, b, d)
21
PermutaçõesPermutações →→ ordemordem →→ (x(x == n)n)
n!Pn = {(a, b, c, d) , (a, b, d, c) , (a, c, b, d), ....2424 gruposgrupos
CombinaçõesCombinações →→ naturezanatureza →→ ((xx << n)n)
ArranjosArranjos →→ ordemordem e naturezanatureza →→ ((xx << n)n)
x)!(nn!
A xn −
= {(a, b) , (b, a) , (a, c) , (c, a), ... 1212 gruposgrupos
22
CombinaçõesCombinações →→ naturezanatureza →→ ((xx << n)n)
x)!(nx!n!
Cxn −
= {(a, b) , (a, c) , (a, d), ...66 gruposgrupos
Conceitos de probabilidade
Conceito clássico ou Conceito clássico ou Jogos de azar
Teoria das probabilidades
Conceito clássico ou Conceito clássico ou probabilidade probabilidade a prioria priori
Laplace (1812) Laplace (1812) →→→→→→→→ Teoria Analítica das probabilidadesTeoria Analítica das probabilidades→→→→→→→→
23
Laplace (1812) Laplace (1812) →→→→→→→→→→→→→→→→ sistematizou os conhecimentos da época
sobre probabilidades
Pierre-Simon Laplace(1749-1827)
Conceitos de probabilidade
DefiniçãoDefinição:: Seja EE um experimento aleatório e SS o espaçoamostral a ele associado, com nn pontospontos amostraisamostrais , todos
1.Conceito clássico ou probabilidade a priori
amostral a ele associado, com nn pontospontos amostraisamostrais , todosequiprováveis.Se existe, em SS, mm pontospontos favoráveisfavoráveis à realização de umevento AA, então a probabilidade de AA, indicada por P(A)P(A),será:
pontos favoráveispontos favoráveis
24
nm
P(A) =S#A#=
←←←←←←←← número de elementos de Anúmero de elementos de A
←←←←←←←← número de elementos de Snúmero de elementos de S
pontos possíveispontos possíveis
Pressuposições básicas:Pressuposições básicas:
1.1. O espaço amostral S é enumerávelenumerável e finitofinito .2.2. Os resultados do espaço amostral S são todos
equiprováveisequiprováveis .
Exemplo:
Experimento: Lançar uma moeda não viciada duas vezese observar a face voltada para cima em cada lançamento.
SS = {KK,KC,CK,CC} = {KK,KC,CK,CC}
25
P(KK) = P(KC) = P(CK) = P(CC) = 1/4
A = ocorrência de uma cara
A = {KC,CK}A = {KC,CK}
SS = {KK,KC,CK,CC} = {KK,KC,CK,CC}
A = {KC,CK}A = {KC,CK}
nn = número de pontos possíveis = #S=4#S=4
nm
P(A) =
nn = número de pontos possíveis = #S=4#S=4
mm = número de pontos favoráveis à ocorrência de A = #A=2#A=2
S#A#=
21
42 ==
26
24
A probabilidade de ocorrer uma cara em dois lançamentos
de uma moeda não viciada é .21
S={0,1,2}A = A = ocorrerocorrer umauma caracara #S=3#S=3
O espaço amostral se refere ao númeronúmero dede carascaras que podeocorrer em dois lançamentos de uma moeda não viciada.
Outra situação:Outra situação:
nm
P(A) =
A = A = {1}{1} #A=1#A=1
S#A#=
31=
As pressuposições foram atendidas?As pressuposições foram atendidas?1
Não é possível usar Não é possível usar o conceito clássico o conceito clássico
para calcular a para calcular a probabilidade de Aprobabilidade de A
27
P(0) = P(CC) =
P(1) = P(KC) + P(CK) =
P(2) = P(KK) =
21
41
41
Espaço Espaço amostral não amostral não equiprovávelequiprovável
Retira-se ao acaso duas cartas (sem reposição) de umbaralho completo de 52 cartas. Qual a probabilidade deobtermos um par de damas?
Exercício:
# S = C52,2 = =1326
A = retirada de duas damas e #A = C4,2 = =6
2! 50!52!
2! 2!4!
P(A) = 6/1326 = 0,0045
R: A probabilidade de se obter um par de damas é 0,45%.
2.Frequência relativa ou probabilidade a posteriori
O conceito de frequência relativa como estimativa de probabilidadesurgiu através do físico alemão
29
Richard Von Mises(1883-1953)
Definição:Definição: Seja EE um experimento aleatório e AA um evento.
Se após n n repetiçõesrepetições do experimento EE (sendo n
2.Frequência relativa ou probabilidade a posteriori
Se após n n repetiçõesrepetições do experimento EE (sendo nsuficientemente grande), forem observados mm resultados resultados favoráveisfavoráveis ao evento AA, então uma estimativaestimativa da probabilidade P(A)P(A) é dada pela frequência relativa
30
nm
fr = ←←←←←←←← ocorrências de Aocorrências de A
←←←←←←←← repetições de Erepetições de E
Exemplo: Lançamento de uma moeda honesta.
A = ocorrência de cara
P(A) = 0,5
Repetições do exper. Resultado Ocorrências de A Frequência relativa fr1 K 1 12 C 1 1/23 C 1 1/34 K 2 2/45 C 2 2/5
6 K 3 3/6
31
6 K 3 3/67 K 4 4/78 K 5 5/8… … … …n - m m/n
0,5
1f
P(A)
0
0,5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 n
P(A)
32
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 n
Estabilização da frequência relativa Estabilização da frequência relativa ffrr quando quando nn cresce.cresce.
Pressuposição:Pressuposição: nn deve ser suficientemente grande para que se possa obter um resultado com margem de erro razoável.
Exercício:
Se os registros indicam que 504, dentre 813 lavadoras automáticas de pratos vendidas por uma grande loja de varejo, exigiram reparos dentro da garantia de um ano, varejo, exigiram reparos dentro da garantia de um ano, qual é a probabilidade de uma lavadora dessa loja não exigir reparo dentro da garantia?
0,3801271103
813309
nm
f ====
33
3. Conceito moderno ou axiomático
No século XX, Andrei Kolmogorov conceituou probabilidade através de axiomasaxiomas rigorosos, tendo por base a axiomasaxiomas rigorosos, tendo por base a teoria da medida.
34
Andrei N. Kolmogorov(1903–1987)
DefiniçãoDefinição:: Se AA é um evento do espaço amostral SS, então onúmero real P(A)P(A) será denominado probabilidade daocorrência de AA, se satisfizer os seguintes axiomas:
3. Conceito moderno ou axiomático
ocorrência de AA, se satisfizer os seguintes axiomas:
AxiomaAxioma 11.. 00 ≤≤≤≤≤≤≤≤ P(A)P(A) ≤≤≤≤≤≤≤≤ 11
AxiomaAxioma 22.. P(S)=P(S)=11
AxiomaAxioma 33.. Se AA e BB são eventos de SS
35
AA∩∩∩∩∩∩∩∩B=B=∅∅∅∅∅∅∅∅
AxiomaAxioma 33.. Se AA e BB são eventos de SS
mutuamente exclusivos, então,
P(AP(A∪∪∪∪∪∪∪∪B)B) == P(A)+P(B)P(A)+P(B)
�������� O conceito axiomático não fornece formas e simcondiçõescondições para o cálculo das probabilidades.Os conceitos a priori e a posteriori se enquadramno conceito axiomático.
Exemplo:
Lançamento de um dado e observação da face voltada para cima
1A#A={2}A={2}
S={1,2,3,4,5,6}S={1,2,3,4,5,6} Primeiro axiomaPrimeiro axioma Terceiro axiomaTerceiro axioma
36
61
S#A#
P(A) ==B={1,3,5}B={1,3,5}
63
S#B#
P(B) ==
A={2}A={2}P(AP(A∪∪∪∪∪∪∪∪B)=P(A)+P(B)B)=P(A)+P(B)
P(AP(A∪∪∪∪∪∪∪∪B)=?B)=?P(A∪B)=1/6 + 3/6
P(A∪B)=4/6
Exercício: Três cavalos (A, B, C) estão numa corrida. Ocavalo A é duas vezes mais provável de ganhar que B, e ocavalo B é duas vezes mais provável que C. Qual aprobabilidade de que B ou C ganhe?
S = { A ganha, B ganha, C ganha }
P(A) = 2.P(B) e P(B) = 2.P(C)
P(A) + P(B) + P(C) = 1
P(A) = 4/7 e P(B) = 2/7 e P(C) = 1/7
� mutuamente exclusivos
⇒ 4p + 2p + p = 1 ⇒ p = 1/7
P(A) = 4/7 e P(B) = 2/7 e P(C) = 1/7
Então P(B∪C) = P(B) + P(C) = 2/7 + 1/7 = 3/7 = 0,4285
R: A probabilidade de que o cavalo B ou o C ganhe a corrida é42,85%.
Teoremas para o cálculo de probabilidades
Teorema 1Teorema 1. Se ∅∅ é um evento impossível, então P(P(∅∅∅∅∅∅∅∅)=)=00.
Teorema 2Teorema 2. Se AA é o complemento de AA, então P(A)=1P(A)=1--P(A)P(A).
38
Teorema 3Teorema 3. Se AA e BB são dois eventos quaisquer, então
P(AP(A--B) = P(A)B) = P(A)--P(AP(A∩∩∩∩∩∩∩∩B)B).
Demonstração:Demonstração:
39
P(A)P(A) −−−−−−−− P(AP(A∩∩∩∩∩∩∩∩B)B) = P(A= P(A−−−−−−−−B)B)
Teorema 4. Teorema 4. Soma das ProbabilidadesSoma das Probabilidades
Se AA e BB são dois eventos quaisquer, então
P(AP(A∪∪∪∪∪∪∪∪B) = P(A)+P(B)B) = P(A)+P(B) --P(AP(A∩∩∩∩∩∩∩∩B)B). P(AP(A∪∪∪∪∪∪∪∪B) = P(A)+P(B)B) = P(A)+P(B) --P(AP(A∩∩∩∩∩∩∩∩B)B).
Demonstração:Demonstração:
40
P(A)+P(B)P(A)+P(B) = P(A= P(A∪∪∪∪∪∪∪∪B)B)−−−−−−−− P(AP(A∩∩∩∩∩∩∩∩B)B)
A probabilidade de ocorrer um acidente em uma competição de carros é 0,18; a probabilidade de chover em um dia de competição é 0,28; e a probabilidade de ocorrer acidente e chuva em um dia
Exercício:
probabilidade de ocorrer acidente e chuva em um dia de competição é 0,08.
Determine a probabilidade de:
a) não ocorrer acidente na próxima competição;
b) chover ou ocorrer um acidente na próxima competição;
0,82
0,38
41
competição;
c) não chover e não ocorrer acidente na próxima competição;
d) chover, mas não ocorrer acidente na próxima competição
0,62
0,20
Solução: Sejam os eventos
AA: ocorrer um acidente em uma competição
BB: ocorrer chuva no dia da próxima corrida
AA∩∩∩∩∩∩∩∩BB:: ocorrer acidente e chuva em um dia de competição
P(A) = 0,18P(A) = 0,18
a) P(não ocorrer acidente na próxima competição)
P(B) = 0,28P(B) = 0,28
P(AP(A∩∩B) = 0,08B) = 0,08
42
a) P(não ocorrer acidente na próxima competição)
P(A) = 1 – P(A) = 1 – 0,18 = 0,82
b) P(chover ou ocorrer um acidente)
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
= 0,18 + 0,28 – 0,08
c) P(não chover e não ocorrer acidente)
= 0,18 + 0,28 – 0,08
= 0,38
43
∩∩∩∩ =
P(A∩B) = P(A∪B) = 1 – P(A∪B) = 1 – 0,38 = 0,62
d) P(chover, mas não ocorrer acidente )
P(B-A) = P(B) – P(A∩B) = 0,28 – 0,08 = 0,20
44
Exercício: Retira-se ao acaso uma carta de um baralhocompleto de 52 cartas. Qual a probabilidade de sair um reiou uma carta de espadas?
S = { 52 cartas }
A = tirar um rei = { K♣,K♦,K♥,K♠ } eA = tirar um rei = { K♣,K♦,K♥,K♠ } e
B = tirar uma carta de espadas = { A♠,2♠, ..., K♠}
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
P(A) = 4/52 e P(B) = 13/52 e P(A∩B) = 1/52P(A) = 4/52 e P(B) = 13/52 e P(A∩B) = 1/52
Então P(A∪B) = 4/52 + 13/52 – 1/52 = 16/52 = 0,3076
R: A probabilidade de se retirar um rei ou uma carta de espadas é30,76%.
Probabilidade condicional e independência
Sejam AA e BB dois eventos associados a um mesmo espaçoamostral SS. Se AA e BB não são eventos mutuamenteexclusivos (AA∩∩∩∩∩∩∩∩BB ≠≠≠≠≠≠≠≠ ∅∅∅∅∅∅∅∅), então AA e BB poderão ser eventosindependentesindependentes ou condicionadoscondicionados .independentesindependentes ou condicionadoscondicionados .
Exemplo:
ExperimentoExperimento:: Uma caixa contém cinco bolas equiprováveis,sendo três azuis e duas brancas. Duas bolas são retiradas,uma a uma, e suas cores são observadas.
duas bolasduas bolas
46
duas bolasduas bolas
Definimos, então, dois eventos:
AA11: a primeira bola é azul: a primeira bola é azul
BB22: a segunda bola é branca: a segunda bola é branca
As probabilidades dos eventos AA e BB serão calculadas em duas
Situação 1.Situação 1. Consideremos que a primeira bola retirada não é reposta →→→→→→→→ retirada sem reposiçãoretirada sem reposição
SS = {B, B, A, A, A}= {B, B, A, A, A} ←←←←←←←← enumerável, finito e equiprovávelenumerável, finito e equiprovável
As probabilidades dos eventos AA11 e BB22 serão calculadas em duas situações: retiradas semsem e com reposiçãocom reposição da primeira bola.
47
SS = {B, B, A, A, A}= {B, B, A, A, A} ←←←←←←←← enumerável, finito e equiprovávelenumerável, finito e equiprovável
S#A#
)P(A 11 =
AA11 = {A, A, A= {A, A, A }}
53=
42=
A probabilidade do BB22 depende da ocorrência ou não do AA11?
�������� Se ocorreu AA11, então temos P(P(BB22//AA11))
SS = {B, B, A, A}= {B, B, A, A}
S#/AB#
)/AP(B 1212 =
BB22//AA11 = {B, B}= {B, B} 4=
S#)/AP(B 12 =
41=
SS = {B, A, A, A= {B, A, A, A }}
�������� Se não ocorreu AA11, então temos P(P(BB22))
BB22 = {B}= {B} S#B#
)P(B 22 =
48
4
Se a bola Se a bola não for repostanão for reposta , a probabilidade de ocorrência do , a probabilidade de ocorrência do BB22 fica fica alteradaalterada pela ocorrência ou não do pela ocorrência ou não do AA11
P(BP(B22/A/A11) ) ≠≠ P(BP(B22))
BB22 = {B}= {B} S#
Definição:Definição: dois eventos quaisquer, AA e BB, são condicionados quando a ocorrência de um alteraaltera a probabilidade de ocorrência do outro.
Eventos condicionados
ocorrência do outro.
A probabilidade condicional de AA é denotada por
P(A/B)P(A/B)
49
(lêlê--se probabilidade de se probabilidade de AA dado que ocorreu dado que ocorreu BB)
AA11: a primeira bola é azul: a primeira bola é azul
BB22: a segunda bola é branca: a segunda bola é branca
Situação 2.Situação 2. Consideremos que a primeira bola retirada é reposta antes de tirar a segunda →→→→→→→→ retirada com reposiçãoretirada com reposição .
SS = {B, B, A, A, A}= {B, B, A, A, A}A# 3
50
S#A#
)P(A 11 =
AA11 = {A, A, A= {A, A, A }} 53=
BB //AA = {B, B}= {B, B} 52=
A probabilidade do BB22 depende da ocorrência do AA11?
�������� Se ocorreu AA11, então temos P(P(BB22//AA11))
SS = {B, B, A, A, A= {B, B, A, A, A }}
S#/AB#
)/AP(B 1212 =
BB22//AA11 = {B, B}= {B, B} 5S#)/AP(B 12 =
�������� Se não ocorreu AA11, então temos P(P(BB22))
S#B#
)P(B 22 =
SS = {B, B, A, A, A= {B, B, A, A, A }}
52== {B, B}= {B, B}BB22
51
S#
Se a bola Se a bola for repostafor reposta , a probabilidade de ocorrência do , a probabilidade de ocorrência do BB22
não é alteradanão é alterada pela ocorrência ou não do pela ocorrência ou não do AA11
P(P(BB22//AA11) = P() = P(BB22))
5
Definição:Definição: Dois eventos quaisquer, AA e BB, são independentes quando a ocorrência de um não alteranão altera a probabilidade de
Eventos independentes
quando a ocorrência de um não alteranão altera a probabilidade de ocorrência do outro.
P(A/B)=P(A)P(A/B)=P(A) e P(B/A)=P(B)P(B/A)=P(B)
52
Teorema do Produto das Probabilidades
Se AA e BB são dois eventos quaisquer, então
)∩(=)/( BA PABP
BA PBAP
)∩(=)/()(
)∩(=)/(AP
BA PABP
BPBA P
BAP)(
)∩(=)/(
53
P(AP(A∩∩∩∩∩∩∩∩B)B) ==P(A)P(A) P(B/A)P(B/A) P(AP(A∩∩∩∩∩∩∩∩B)B) ==P(B)P(B) P(A/B)P(A/B)
Caso particular:
AA e e BB são independentessão independentes ⇔⇔P(B/A)=P(B) P(B/A)=P(B) ee P(A/B)=P(A)P(A/B)=P(A)
P(AP(A∩∩B)=P(A)B)=P(A) P(B)P(B)
Condicionados: a ocorrência de
mutuamente mutuamente exclusivosexclusivos
AA∩∩∩∩∩∩∩∩BB==∅∅∅∅∅∅∅∅
Grau máximo de dependênciaentre dois eventos: a
ocorrência de um impede a ocorrência do outro
54
Condicionados: a ocorrência de um altera a probabilidade de ocorrência do outro
não não mutuamente mutuamente exclusivosexclusivos
AA∩∩∩∩∩∩∩∩BB ≠≠≠≠≠≠≠≠ ∅∅∅∅∅∅∅∅Independentes: a ocorrência de um não altera a probabilidade de ocorrência do outro
Exercício: Dois dígitos são selecionados aleatoriamente de1 a 9 sem repeti-los. Se a soma é par encontre aprobabilidade de ambos os números serem ímpares.
# S = C9,2 = 36# S = C9,2 = 36
A = ambos são ímpares
B = soma é par
A∩B = ambos ímpares com soma par
⇒ #A = C5,2 = 10⇒ #B = C5,2 + C4,2 = 10 + 6 = 16
A∩B = ambos ímpares com soma par
⇒ # A∩B = C5,2 = 10
P(A/B) =P(A B) 10/36 10
= = =0,625P(B) 16/36 16
∩
Teorema da Probabilidade Total eTeorema de Bayes
Seja SS um espaço amostral, com nn partições, onde está definido o evento AA. definido o evento AA.
n=3n=3
B1
B2
B3
Evento de interesseAA
56
BB11∪∪∪∪∪∪∪∪BB22∪∪∪∪∪∪∪∪BB3 3 = S= S
BB11∩∩∩∩∩∩∩∩BB2 2 = = ∅∅∅∅∅∅∅∅BB11∩∩∩∩∩∩∩∩BB3 3 = = ∅∅∅∅∅∅∅∅BB22∩∩∩∩∩∩∩∩BB3 3 = = ∅∅∅∅∅∅∅∅
BBii∩∩∩∩∩∩∩∩BBj j = = ∅∅∅∅∅∅∅∅Thomas Bayes(1702 –1761)
Exemplo: Em uma fábrica de parafusos, as máquinas 1, 2 e 3 produzem 25%, 35% e 40% do total produzido. Da produção de cada máquina, 5%, 4% e 2%, respectivamente, são defeituosos.
S = produção total da fábrica
B1 = produção da máquina 1B2 = produção da máquina 2B3 = produção da máquina 3
A = produção defeituosa
57
P(A) ?
Se escolhemos ao acaso um parafuso desta fábrica, qual é a probabilidade de que este parafuso seja defeituoso?
B ∩∩∩∩A B ∩∩∩∩A B ∩∩∩∩AB1∩∩∩∩A B2∩∩∩∩A B3∩∩∩∩A
A = (B1∩∩∩∩A) ∪∪∪∪ (B2∩∩∩∩A) ∪∪∪∪ (B3∩∩∩∩A) P(A) = ?
= P(B1∩A) + P(B2∩A) + P(B3∩A)P(A) = P[(B1∩A) ∪ (B2∩A) ∪ (B3∩A)]
P(B ∩∩∩∩A) = P(B ) . P(A/B )BA P )∩(
58
P(B1∩∩∩∩A) = P(B1) . P(A/B1)
P(B2∩∩∩∩A) = P(B2) . P(A/B2)
P(B3∩∩∩∩A) = P(B3) . P(A/B3)
P(A) = P(B1) . P(A/B1) + P(B2) . P(A/B2) + P(B3) . P(A/B3)
BP
BA PBAP
)()∩(=)/(
)/()(=)∩( BAPBP BA P .
Exemplo: Em uma fábrica de parafusos, as máquinas 1, 2 e 3 produzem 25%, 35% e 40% do total produzido. Da produção de cada máquina, 5%, 4% e 2%, respectivamente, são defeituosos.
P(A) = P(B1) . P(A/B1) + P(B2) . P(A/B2) + P(B3) . P(A/B3)
P(B1)=
P(B2)=
P(B3)=
0,25
0,35
0,40
Probabilidade de ser defeituoso dado que foi fabricado pela máquina 1
→
59
Probabilidade de ser defeituoso dado que foi fabricado pela máquina 2
Probabilidade de ser defeituoso dado que foi fabricado pela máquina 3
→ P(A/B1) = 0,05
→ P(A/B2) = 0,04
→ P(A/B3) = 0,02
P(B1)=
P(B2)=
P(B3)=
0,25
0,35
0,40
P(A/B1) = 0,05
P(A/B2) = 0,04
P(A/B3) = 0,02
P(A) = 0,25 . 0,05 + 0,35 . 0,04 + 0,40 . 0,02
P(A) = 0,0345 3,45% da produção de parafusos da fábrica é defeituosa
P(B3)=0,40 P(A/B3) = 0,02
P(A) = P(B1) . P(A/B1) + P(B2) . P(A/B2) + P(B3) . P(A/B3)
60
P(A) = P(B1) . P(A/B1) + P(B2) . P(A/B2) +...+ P(Bn) . P(A/Bn)
Teorema da Probabilidade Total:
∑=
=n
1iii )).P(A/BP(BP(A)
B1 = máquina 1B2 = máquina 2B3 = máquina 3
Escolhe-se ao acaso um parafuso e verifica-se que ele édefeituoso. Qual é a probabilidade de que seja damáquina 1, da máquina 2 e da máquina 3?
Máquina 2
61
Máquina 1 Máquina 3
Máquina 2
P(B1/A) = ? P(B2/A) = ? P(B3/A) = ?
Qual é a probabilidade de ocorrer B1, sabendo-se que ocorreu A?
Probabilidade condicionada:
P(B1/A) = ?
P(B1/A)
P(B1 ∩∩∩∩ A) = P(B1) . P(A/B1)
∑=
=3
1iii )).P(A/BP(BP(A)P(A)
A)P(B/A)P(B 1
1
∩=
62
∑=
= n
1iii
iii
)).P(A/BP(B
)).P(A/BP(B/A)P(B
Teorema de Bayes
Exemplo: Em uma fábrica de parafusos, as máquinas 1, 2 e 3 produzem 25%, 35% e 40% do total produzido. Da produção de cada máquina, 5%, 4% e 2%, respectivamente, são defeituosos.
B1 = produção da máquina 1B = produção da máquina 2
Escolhe-se ao acaso um parafuso e verifica-se que ele édefeituoso. Qual é a probabilidade de que seja damáquina 1, da máquina 2 e da máquina 3?
B2 = produção da máquina 2B3 = produção da máquina 3A = produção defeituosa
63
máquina 1, da máquina 2 e da máquina 3?
P(B1/A)
P(B2/A)
P(B3/A)
P(B1)= P(B2)= P(B3)=0,25 0,35 0,40
P(A/B1) = 0,05 P(A/B2) = 0,04 P(A/B3) = 0,02
Solução:
0,36230,0345
0,25.0,05P(A)
)).P(A/BP(B/A)P(B 11
1 ===0,0345P(A)
0,40580,0345
0,35.0,04P(A)
)).P(A/BP(B/A)P(B 22
2 ===
0,23190,0345
0,40.0,02P(A)
)).P(A/BP(B/A)P(B 33
3 ===
64
Se o parafuso é defeituoso, a probabilidade de ter sido fabricado pela Máquina 1 é 0,3623; pela Máquina 2 é
0,4058 e pela Máquina 3 é 0,2319
Exercício:
Em uma certa comunidade, 6 % de todos os adultos com mais de 45 anos têm diabetes. Um novo teste diagnostica corretamente 84% das pessoas que têm diabetes e 98% das que não tem a doença.que não tem a doença.
a) Qual é a probabilidade de uma pessoa diagnosticada como diabética no teste, ter de fato a doença? 0,7283
b) Qual é a probabilidade de uma pessoa que faça o teste seja diagnosticada como não diabética? 0,9308
DD – 0,84
65
DD – 0,84D – 0,06
DND – 0,16
DD – 0,02ND – 0,94
DND – 0,98
a) Qual é a probabilidade de uma pessoa diagnosticada como diabética no teste, ter de fato a doença?
DD – 0,84
D – 0,06
DND – 0,16
DD – 0,02
ND – 0,94
DND – 0,98
como diabética no teste, ter de fato a doença?
P(D).P(DD/D)P(D/DD)
P(D).P(DD/D) P(ND).P(DD/ND)
0,06 0,84 0,0504 0,05040,7283 72,83%
(0,06 0,84) (0,94 0,02) 0,0504 0,0188 0,0692
=+
×= = = = =× + × +
66
b) Qual é a probabilidade de uma pessoa que faça o teste seja diagnosticada como não diabética?
P(DND) P(D).P(DND/D) P(ND).P(DND/ND)
0,06 0,16 0,94 0,98 0,0096+0,9212 0,9308 93,08%
= += × + × = = =
