Introduction

Objet de la programmation mathématique, construction d'un modèlemathématique, problème général de programmation mathématique etclassification, algorithme de résolution en programmation mathématiqueet convergence, exemples.

Objet de la programmation mathématique

Une des branches de la recherche opérationnelle qui consiste à établirla théorie et les méthodes de résolution des problèmes d'extremumsur des ensembles définis par des contraintes linéaires et non linéaires(égalités et inégalités).

Approche quantitative où l'on s'intéresse à maximiser ou minimiser unefonction objective qui mesure la performance ou la "qualité" de notredécision.

Permet de résoudre des problèmes de gestion et particulièrement ceuxoù le gestionnaire doit déterminer, face à différentes possibilités, l'utilisation optimale des ressources de l'entreprise pour atteindre unobjectif spécifique comme la maximisation des bénéfices ou laminimisation des coûts.

Des contraintes peuvent exister limitant le choix des valeurs desvariables.

Domaines d’application les plus divers : - la gestion et le planning industriels, - l'établissement des projets et la planification à long terme, - le domaine militaire, etc.

Étapes dans le processus de décision

1ière étape :

Construire un modèle qualitatif du problème envisagé, i.e. relever lesfacteurs les plus importants et établir les lois qui les régissent.

2ième étape :

Construire un modèle mathématique du problème envisagé, i.e.traduire le modèle qualitatif en langage mathématique.

Comprend également la construction d'une fonction économique desvariables dont la valeur maximale (ou minimale) correspond à lameilleure situation du point de vue du décideur.

3ième étape :

Construction et implantation d’algorithmes de résolution efficaces.

4ième étape :

Vérifier les résultats obtenus par le critère de la pratique.

De la sorte, on établit à cette étape dans quelle mesure le modèle etl'objet de simulation s'accordent dans les limites de la précision del'information initiale.

Construction d’un modèle mathématique

Problème général de programmation mathématique

Minimiser f(x)sujet à : gi(x) = 0, i = 1, 2, ..., m

hj(x) ≤ 0, j = 1, 2, ..., rx S

où x = (x1, x2, ..., xn) n désigne les inconnus,f, gi et hj sont des fonctions de n dans ,S est un sous-ensemble de l'espace n.

Dans cette classe de problèmes, toute l'information est complètementdéfinie.

Par opposition, la programmation stochastique concerne les problèmesdans lesquels l'information comporte des éléments indéterminés,ou bien les problèmes dont certains paramètres sont aléatoires maisdéfinis par des caractéristiques probabilistes connues.

(P)

Classification

Programmation linéaire :

La fonction économique f(x) est linéaire;

l'ensemble sur lequel on cherche l'extremum de cette fonction estdonné par un système linéaire d'égalités et d'inégalités.

Note :

PL comporte des classes de problèmes dont la structure permetd'établir des méthodes spéciales pour leur résolution, bien plusavantageuses que celles relatives aux problèmes de forme générale.

Ainsi, on a vu apparaître dans la programmation linéaire la classedes problèmes de transport.

Classification

Programmation non linéaire :

La fonction économique et les contraintes sont non linéaires.

Programmation convexe :

La fonction économique et l’ensemble des solutions réalisablessont convexes.

Programmation quadratique :

La fonction économique est quadratique et les contraintes sontlinéaires.

Programmation en nombres entiers :

Les variables sont soumises à la contrainte d’intégralité :

x S, entiers.

But de la programmation mathématique :

de fournir là où c'est possible des méthodes analytiques derésolution, ou, à défaut de telles méthodes, ce qui esthabituellement le cas, de créer des procédés de calcul efficacespour obtenir une solution approchée.

Solution du problème (P) :

tout vecteur x vérifiant les contraintes.

Solution optimale du problème (P) :

une solution qui minimise la fonction objective f(x) surl'ensemble de toutes les solutions.

Optimum locaux

On dit qu'un vecteur x0 est un optimum local de (P) si et seulement siil existe un voisinage V(x0) de x0 tel que x0 soit un optimum global duproblème:

Minimiser f(x)sujet à : gi (x) = 0, i = 1, 2, 3, ..., m

hj (x) ≤ 0, j = 1, 2, 3, ..., rx S V(x0).

Dans bien des cas, il est possible de donner des conditions nécessaireset/ou suffisantes pour qu'une solution x soit un optimum local.

Par contre, il est généralement impossible de caractériser les optimumsglobaux d'un problème d'optimisation sauf dans le cas très particulierdes programmes mathématiques convexes.

Ceci explique la difficulté de résoudre des programmes non convexes,et, entre autres, des problèmes d'optimisation en nombres entiers.

Convergence d’un algorithme de résolution

La plupart des méthodes de résolution des problèmes d'optimisationsont de nature itérative, i.e. qu'à partir d'un point initial donné x0, ilsengendrent une suite potentiellement infinie de points x0, x1, ..., xk, ...dont on espère qu'elle converge vers l'optimum cherché.

Un algorithme est globalement convergent si, quelque soit le pointde départ x0 choisi, la suite {xk} converge vers un point satisfaisantune condition nécessaire d'optimalité.

Elle n'implique pas la convergence vers un optimum global pour toutpoint de départ x0 ce qui serait trop sévère.

Un algorithme de résolution est un procédé qui permet, à partir de ladonnée du point initial x0, d'engendrer la suite x1, x2, ..., xk, ...

Un algorithme qui possède la propriété de convergence globale avecune condition de convexité nous assure la convergence de l'algorithmevers un optimum global du problème, quel que soit le point de départ.

Exemple :

Considérons la fonction s(x) = - e-x2 qui a un minimum unique en x=0,

et dont la dérivée s'(x) = 2 x e-x2 est représentée ci-dessous.

Si l'on prend x0 trop éloigné de 0 (par exemple x0 = 1), la méthode deNewton engendre une suite de points xk tendant vers l'infini.

Efficacité d’un algorithme de résolution

Du point de vue pratique, cela dépend du # d'itérations nécessaires pourobtenir une approximation à près ( fixé à l'avance) de l'optimum x*.

Si l'on compare entre eux plusieurs algorithmes, et si l'on admet que letemps de calcul par itération est sensiblement le même pour tous, lemeilleur est celui qui nécessitera le plus petit nombre d'itérations.

Malheureusement, il se révèle impossible de dégager des conclusionsgénérales de ce genre de comparaison. Suivant le point de départ choisi,la nature de la fonction à optimiser, la valeur de la tolérance choisie, lahiérarchie des algorithmes peut varier considérablement.

Convergence asymptotique

On veut dégager un critère ayant une certaine valeur d’absolu.

C’est l’étude du comportement de la suite {xk} au voisinagedu point limite x*.

Posons L = lim sup ||xk+1 – x*||.k ||xk – x*||

Convergence linéaire avec un taux < 1 ( = 1) : L

Convergence superlinéaire ( = 1) : L 0

Convergence quadratique ( = 2) : L 0

Problème du restaurateur

D'après le choix donné des produits, la valeur nutritive de chacun d'euxétant connue de même que leur prix, composer des rations satisfaisantaux besoins tout en réduisant au minimum les frais.

Soient n aliments différents etm substances nutritives (graisses, glucides, vitamines, etc.),

Désignons par :aij : la teneur (en unités de poids) de la jième substance

dans le iième aliment; bj : la quantité quotidienne minimale nécessaire de la

jième substance; xi : la consommation quotidienne du iième aliment.

Il est évident que xi ≥ 0.

n aijxi : la teneur totale dans la ration de la jième substance,i=1

cette teneur ne doit pas être inférieure à la quantité minimale bj :n aijxi bj, j = 1, 2, …, m.i=1

ci : prix unitaire du iième aliment,

n cixi : le prix de toute la ration,i=1

Modèle mathématique

n cixi

i=1 min

sous les conditions

n aijxi bj, j = 1, 2, …, m.i=1

xi ≥ 0 i = 1, 2, …, n.

Problème de transport

Il consiste à composer le programme du trafic d'un bien homogènede façon que le coût total du transport soit minimal

ai la quantité du bien disponible à la iième origine (i = 1, 2, ..., m);

bj la demande au jième point de destination (j = 1, 2, ..., n);

cij le coût unitaire du transport du bien de la iième origine à la jième

destination;

xij la quantité du bien expédié de l'origine i à la destination j.m n cijxij

i=1 j=1 : coût total du transport,

n xij

j=1 : quantité du bien livré par la iième origine,

m xij

i=1 : quantité du bien reçu par la jième destination,

Modèle mathématique

L’affectation des machines à des produits non complémentaires

Un atelier dispose de 4 machines i (i = 1, 2 , 3, 4) — un tour, unefraiseuse, une perceuse, etc. — sur lesquelles cinq produits différents j(j = 1, 2, 3, 4, 5) doivent être fabriqués.

Hypothèse : le marché est en mesure d'absorber des quantités illimitéesde chacun de ces produits,

il n'y a pas de temps de réglage lorsqu'une machine passed'un produit à l'autre.

pj : le profit unitaire résultant de la vente de j,

aij : la durée nécessaire (h.) pour réaliser le produit j sur la machine i,

hi : le # total d'heures disponibles mensuellement sur la machine i.

xj : le # d'unités de chaque produit à fabriquer mensuellement pour rendre maximal le profit total.

5 aijxj hi, i = 1, 2, 3, 4 le temps disponible sur chaquej=1 machine ne doit pas être dépassé

max 5 pjxj

j=1Maximiser le profit.

xj ≥ 0 j = 1, 2, …, 5.

L’affectation des machines à des produits complémentaires

Imaginons une entreprise qui fabrique n produits j.

La fabrication d'une unité du produit k (k ≠ j) emploie ajk unités duproduit j.

Une unité de j est vendue aj francs.

xj le nombre d'unités fabriquées,

yj le nombre d'unités vendues,

bij le % de la capacité de la machine i nécessaire pour fabriquer une unité de jcj le coût de fabrication d'une unité de j

xj - ajkxk - yj = 0, j = 1, 2, …, n.kj

Ce qui a été fabriqué de j est totalement employé, soitpour la fabrication d’un produit k, soit pour la vente.

n bijxj 100, i = 1, 2, …, mj=1

L’utilisation de chaque machine ne peut dépasser sacapacité.

On doit maximiser le profit :

n (ajyj - cjxj).j=1