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1

Introduction à la géostatistique

Avril 2006

2

Point de vue de la géostat

Gisement

Z(x1)

Z(x2)

Z(x3)

Gisement => infinité de points ou très grand nombre de « quasi-points »x : emplacement géographiquechaque point -> teneur -> Z(x)chaque teneur -> v. a. (ensemble forme une fonction aléatoire (de x))

3

Historique de la géostatistique

� 1930-1950 Théorie des fonctions aléatoires (Kolmogorov, Wiener)

� 1955 Daniel Krige : approche empirique (régression) pour corriger problèmes de biais conditionnel observé dans les mines

Pourquoi moins que prévu ?

Comment prévoir et tenir compte de l’effet support ?

� 1960-1970 Matheron (mines), Matern (foresterie), Gandin (météorologie) développent ensemble d’outils => naissance de la géostat linéaire stationnaire. Réponse aux questions de Krige.

Matheron donne le nom de « krigeage » à la méthode d’estimation qu’il développe.

� 1970 Polytechnique est la 1ère Université en A. du N. à enseigner la géostat (M. David)

4

Historique (suite)

� 1973 géostat linéaire non-stationnaire *� 1975 géostat non-linéaire� 1977 1er livre en anglais de géostat (M. David)� 1980 géostat linéaire multivariable *� 1985 simulations *

* Domaines encore actifs de recherche

� Aujourd’hui, la géostat est appliquée dans une foule de domaines (mines, pétrole, foresterie, agriculture, environnement, hydrogéologie, géotechnique, pêches, biologie, biomédical,…)

Gisement

Z(x1)

Z(x2)

Z(x1)

Z(x2)

Diagramme de dispersion

Moyenne ? Variance ? Covariance?

+ hypothèse stationnarité

Gisement

h

hh

h h

« h scattergram »

Z(x)

Z(x+h)

6

Faire varier « h »

Gisement

h1

h1h1

h1 h1

« h1 scattergram »

Z(x)

Z(x+h)

« h2 scattergram »

Z(x)

Z(x+h)

Gisement

h2

h2

7

« h » peut varier en direction et en module.

|h| =1

Z(x)

Z(x+h)

|h| =2

Z(x)

Z(x+h)

|h| =2

Z(x)

Z(x+h)

|h| Cov

On cherche si possible avoir au moins 30 points sur chaque diagramme

-Tolérance sur la direction

-Tolérance sur le module

8

Exemple

9

Avec tolérance de 0.5 sur |h| et 15o sur direction

10

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

1h=3 dir=0-180, Cov = 0.17

Z(x

+h)

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

1h=8 dir=0-180, Cov = 0.085

Z(x

+h)

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

1h=15 dir=0-180, Cov = -0.029

Z(x)

Z(x

+h)

2 4 6 8 10 12 14 16-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2Fonction de covariance

h ±0.5 θ=0 ou 180 ±15o

Cov

aria

nce

En pratique, on ne s’intéresse qu’à la covariance (corrélation)

11

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1h=3 dir=0-180, Cov = 0.16

Z(x

+h)

Le variogramme

Mesure la dispersion sur cette droite

12

[ ] ( )[ ]2h)+Z(x-Z(x)E

2

1h)+Z(x-Z(x)Var

2

1 = (h) =γ

Variogramme : définition

DécroîtCroîth

Doit exister = Cov(h=0)Si existe = palier Var

Constante connueConstantem

CovarianceVariogramme

13

Lien entre variogramme et covariance

)h(Cov)h( 2 −σ=γ

Covariance

Variogramme

h

14

Variogramme expérimental

Choisir une direction + tolérance angulaire

Discrétiser |h| en classes distinctes

Répartir les paires dans les classes

[ ]∑=

γ)h(N

iiie h)+x Z(- )xZ(

N(h) 2

1 = (h)

1

2

N(h) : nombre de paires dans la direction considéré et dans la classe de distance h

Exemple

1234321

1.3334

2.543

1.652

0.561

γ(h)N(h)h

h=1

4213231

0.8334

1.12543

1.252

1.2561

γ(h)N(h)h

0 1 2 3 4 50

0 . 5

1

1 . 5

2

2 . 5

3

0 1 2 3 4 50

0 .5

1

1 .5

2

2 .5

3

16

Le variogramme décrit la continuité spatiale du phénomène

5 10 15 20 25 30

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 250

0.5

1

1.5

2

0o

0 5 10 15 20 250

0.5

1

1.5

2

45o

0 5 10 15 20 250

0.5

1

1.5

2

90o

0 5 10 15 20 250

0.5

1

1.5

2

135o

17

10 20 30 40 50

10

20

30

40

50

60

N0 5 10 15 20 25

0

1000

2000

30000o

0 5 10 15 20 250

1000

2000

3000135o

0 5 10 15 20 250

1000

2000

300090o

0 5 10 15 20 250

1000

2000

300045o

10 20 30 40 50

10

20

30

40

50

60

10 20 30 40 50

10

20

30

40

50

60

+

10 20 30 40 50

10

20

30

40

50

60

=

0 5 10 15 20 250

1000

2000

3000

40000o

0 5 10 15 20 250

1000

2000

3000

4000135o

0 5 10 15 20 250

1000

2000

3000

400090o

0 5 10 15 20 250

1000

2000

3000

400045o

Effet pépite causé par le bruit ajoutéNotez comme la structure sous-jacentedemeure très visible

50 100 150 200

-2

0

2

Z

donnees

0 50 1000

0.5

1

1.5

2

g(h)

Variogramme

50 100 150 200

-2

0

2

Z

donnees

0 50 1000

0.5

1

1.5

2

g(h)

Variogramme

50 100 150 200

-2

0

2

x

Z

donnees

0 50 1000

0.5

1

1.5

2

h

g(h)

Variogramme

3 exmples en 1D

20

Le variogramme est une statistique d’ordre 2

Ce n’est pas suffisant pour caractériser tous les aspects d’une

image ou d’un processus

e.g. on peut créer plusieurs images ayant même « m », même

variogramme et présentant pourtant des textures très différentes

21

γ(h)

|h|h moyen dans

la classe

?

?

?

Dans les calculs géostat, on doit connaître Cov ou γ pour tout « h »

Modèle

Variogramme expérimental

22

γ(h)

|h|

?

Non, le modèle doit être admissible

Modèle admissible : modèle assurant que toute variance calculée à partir de celui-ci est positive

Modèles démontrés admissibles

23

γ(h)

|h|

+ +

+ + ++

+

Effet de pépite : C0

Portée : a

Palier : σσσσ2222 = C0 + C

Généralement,

24

0 50 100 150 2000

0.5

1

Gaussien

0 50 100 150 2000

1

2

Linéaire

0 50 100 150 2000

0.5

1

Linéaire avec palier

0 50 100 150 2000

1

2

3

Fractal avec b=1.5

0 50 100 150 2000

0.5

1

1.5

Fractal avec b=0.5

0 50 100 150 2000

2

4

6

DeWijsien

0 50 100 150 2000

1

2

Effet de trou cosinus

0 50 100 150 2000

0.5

1

1.5

Effet de trou sinus

Exemples de modèle

0 50 100 150 2000

0.5

1

Pépite

0 50 100 150 2000

0.5

1

Exponentiel

0 50 100 150 2000

0.5

1

Sphérique

0 50 100 150 2000

0.5

1

Circulaire

0 100 200 300 400 5000

0.5

1

Gravimétrique

0 100 200 300 400 5000

0.5

1

Magnétique

0 50 100 150 2000

0.5

1

Cubique

0 50 100 150 2000

0.5

1

Penta-sphérique (Christakos, 1984 p.264)

25

0 50 100 150 2000

0.5

1

Quadratique (Alfaro, 1984)

0 100 200 300 400 5000

0.5

1

Stable (Lantuéjoul,1994)

0 100 200 300 400 5000

0.5

1

Hyperbolique (Lantuéjoul, 1994)

0 500 1000 15000

0.5

1

BK Matern, p.30, 4e, s=2

0 100 200 300 400 5000

0.5

1

Christakos,1984, p.261

0 100 200 300 400 5000

0.5

1

Christakos, 1984, p.262

0 50 100 150 2000

0.5

1

Christakos, 1984, p.262 (74)

0 100 200 300 400 5000

0.5

1

Cosinus hyperbolique

0 100 200 300 400 5000

0.5

1

Stein

0 100 200 300 400 5000

0.5

1

Whittle

0 100 200 300 400 5000

0.5

1

Matern p.30, 2e, n=1

0 100 200 300 400 5000

0.5

1

Matern p.30, 2e, n=3

0 100 200 300 400 5000

0.5

1

1.5

BJ Matern p.30, 3e, k=0

0 500 1000 15000

0.5

1


0 500 1000 15000

0.5

1


0 100 200 300 400 5000

0.5

1

Bessel 2: Mantoglou et Wilson

26

Toute somme (coefficients positifs) de modèles de variogramme est admissible

Toute somme (coefficients positifs) de modèles de covariance est admissible

Tout produit (coefficients positifs) de modèles de covariance est admissible

Chaque modèle peut être isotrope ou anisotrope, les directions d’anisotropie peuvent varier d’un modèle à l’autre

Un modèle peut être admissible en 1D et non-admissible en en 2D, 3D,….

27

Modèles de base en mine

Effet de pépite

h

γ (h)

0h si C

0h si 0)h(

0 >

==γ

-Erreurs de mesure

-Erreurs de localisation

-Erreurs d’analyse (Gy)

-Microstructure non-identifiable dû au manque de données

Presque toujours présent mais

rarement seul

Effet de pépite pur =>

estimation impossible

28

Sphérique

h

γ (h)

≥

<<

−

=

=γ

ah si C

ah0 si a

h5.0

a

h1.5C

0h si 0

)h(

3

Modèle le + fréquent

e.g. teneur, épaisseur, …

Combiné avec effet pépite

29

Exponentiel

h

γ (h)

−−

−−=γ

a

|h|3exp1Cou

'a

|h|exp1C)h(

a: portée effective γ(h)=0.95*C

a’=a/3

Assez commun

Semblable au sphérique

30

Gaussien

h

γ (h)

−−

−−=γ

22

a

|h|3exp1Cou

'a

|h|exp1C)h(

a: portée effective γ(h)=0.95*C

a’=a/30.5

-Peu fréquent en mine-Variables très continues :e.g. topographie, gravimétrie, magnétisme,épaisseur,…- Problèmes numériques si absence d’effet de pépite

31

hb

h

γ (h)

b=1b=1.4b=0.6

2b0 0,|h| a

|h|C)h(

b

<≤>

=γ

-Modèles sans palier

-Moyenne, variance et covariance non définies

32

Anisotropies

1- Géométrique : les portées décrivent une ellipse

agap

θ

{ }

aa a

a a

g p

p g

θ

θ θ=

+2 2 2 2 1 2

cos sin/

θ = 0

θ = 30

θ = 45θ = 60

θ = 90

0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

2

Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (0,0,0)

h

γ(h)

0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

2


h

γ(h)

0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

2


h

γ(h)

0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

2


h

γ(h)

M o d . a n i s o . 2 D : t y p e , a x a y , r o t ( t r i g o ) , c

3 7 7 0 0 . 5

3 1 7 1 . 0 4 9 e + 0 0 9 4 5 1 . 5

3 - g a u s s i e n

3 - g a u s s i e n

Gaussien isotrope a=7, C=0.5+

Gaussien aniso géom.a45=17a135=∞

2- zonale : toute anisotropie qui n’est pas géométrique

=> somme de composantes isotropes et avec anisotropies géométriques

5 10 15 20 25 30

5

10

15

20

25

30

Ajustement assez bon pour 0-5 pixels dans toutes les directions

34

0 5 10 15 200

1000

2000

3000Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (0,0,0)

h

γ(h)

0 5 10 15 200

1000

2000


h

γ(h)

0 5 10 15 200

1000

2000


h

γ(h)

0 5 10 15 200

1000

2000


h

γ(h)

0o 135o 90o

450

10 20 30 40 50

10

20

30

40

50

60

N

Modèle sphérique avec anisotropie géométriquea(45)=20.4, a(135)=13.8

Oh non, je ne vais pas encore

me faire variographer!

35

Stratégie de modélisation� Définition minutieuse du domaine

� Examen des données, données extrêmes ?

� Au besoin sous-échantillonnage des données pour éviter de sur-représenter des zones particulières

� Variogramme omnidirectionnel => modèle isotrope candidat� Déterminer directions géologiques principales

� Calculer variogrammes directionnels (au moins 4 directions) attention aux

paramètres de calculs (classes de distance et tolérance)

� Comparer variogrammes directionnels au modèle isotrope candidat � acceptable => terminé� Inacceptable => ajuster un modèle anisotrope (géométrique)

� anisotrope (géométrique) acceptable => terminé� Inacceptable => anisotropie zonale ?

Dans tous les cas, il importe surtout d’ajuster les premiers points du variogrammeÉviter de « surajuster » les données

36

Remarques concernant le calcul des variogrammes

Objectifs:

� au moins 30 paires pour la plupart des points du variogramme

� 4-6 points avant le palier pour pouvoir ajuster modèle� h < hmax/2

• Doit avoir un minimum de données

>30 pour variogramme omnidirectionnel>60 pour variogrammes directionnels

• Influence le choix de largeur des classes

0 10 20 30 40 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1


h

γ(h)

Exemple

0 20 40 600

0.5

1


h

γ(h)

0 20 40 600

0.5

1


h

γ(h)

0 20 40 600

0.5

1


h

γ(h)

0 20 40 600

0.5

1


h

γ(h)

Variog. directionnels

Variog. omni

50 100 150 200

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

38

0 50 100 1500

0.5

1

1.5

14

38

52 78

64 76

46


h

γ(h)

-100 -50 0 50 100-100

-50

0

50

100

0 20 40 600

0.5

1

1.5

16

38 59

70 89 105

137


hγ(

h)

-100 -50 0 50 100-100

-50

0

50

100

0 20 40 600

0.2

0.4

0.6

0.8

1

51

164 273

341 459 522 593 615 721

769


h

γ(h)

-100 -50 0 50 100-100

-50

0

50

100

N=30 N=60 N=200

Effet de pépite apparent

0 20 40 600

0.5

1

15 39

66

89 126

159 156 154

161 212

Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (0,0,22.5)

h

γ(h)

0 20 40 600

0.5

1

14

46

62

79 121 113 149

147 181

174


h

γ(h)

0 20 40 600

0.5

1

5

39 72

82

96 139 152

171

172

200


h

γ(h)

0 20 40 600

0.5

1

17

40 73

91

116

111 136

143 207 183


h

γ(h)

0 20 40 600

0.5

1


h

γ(h)

0 20 40 600

0.5

1


h

γ(h)

0 20 40 600

0.5

1


h

γ(h)

0 20 40 600

0.5

1


h

γ(h)

N=40000 N=200

Ajustement ± bon; ne peut être amélioré sans altérer les autres ajustements

40

Autres outils utiles

-Validation croisée de modèles candidats (krigeage); eg. Tester un modèle

isotrope vs anisotrope; tester un effet de pépite de 10% vs 30%;…

-Modèle permet de prédire les variances des composites de tailles différentes ?

-Modèle permet de prédire les variances des valeurs krigées ?

-Variogramme des log(teneurs) pour identifier les anisotropies possibles, la

(les) portée, l’importance approximative de l’effet de pépite

-Variogramme d’une transformation des teneurs (eg. rang), même chose que

les log

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