Introducere n electronic

In prezent tiina si cunostintele in domeniul electronici ne permit proiectarea unor computere cu performante remarcabile . Aceste aparate execut calcule complexe in fraciuni de secunda care cu ceva timp in urma presupuneau ore ntregi de lucru cu cifrele .Pasul de la magnetism la electricitate si electronica a fost uria. Studiul efectelor magnetismului au avut loc din cele mai vechi timpuri dar nu s-au fcut progrese remarcabile pana la William Gilbert 1540-1603.El a trit in Anglia in timpul lui Shakespeare si a fost unul din doctorii reginei Elisabeta.Ca si muli ali doctori ai vremii sale , Gillbert a fost deosebit de interesat de magnetism . El a ajuns la concluzia ca din timp ce magnetismul avea efecte asupra obiectelor , el putea avea puteri vindectoare si pentru corpul uman. El a descoperit ca multe substane alturi de chihlimbar puteau atrage obiecte foarte uoare dar nu toate puteau atrage obiecte in acelai grad . In jurul anului 1746 un profesor din Europa si-a extins studile pe tema electricitii in coloniile americane . Benjamin Franklin (1706-1790) era curios cu privire la orice . Se spune ca a pornit prima revista in tara sa . El a inventat cuptorul care-i poarta numele , a alcatuit prima biblioteca circulanta si prima societate tiinific . El a fost de-asemenea ambasadorul Americii in Franta.Ca rezultatul propriilor experimente Franklin a concluzionat ca existau doua tipuri de electricitate : pozitiva sau plus(+) si negative sau minus(-). A spus ca electricitatea nu a fost creata prin frecarea unui tub de sticla ci era doar transferata . El a continuat cu afirmaia ca atunci cnd un obiect neelectrizat era frecat apareau doua tipuri de sarcina . Ori ctig electricitate si ajungea la starea pozitiva oi pierdea ceva din fluidul electric lsnd obiectul intr-o stare negativa . Ideea ca electricitatea putea fi creat sau distrus a fost foarte important. Benjamin Franklin a fost un experimentator serios si a fcut multe descoperiri valoroase . El s-a fcut cel mai bine cunoscut pentru experimental sau cu zmeul de hrtie .In 1752 Franklin si-a nlat zmeul intr-o zi in care o furtuna era pe cale sa izbucneasc .In partea de sus a zmeului el a poziionat un cablu ndreptat spre cer .La celalalt capt al frnghiei el a legat o cheie metalica . Cnd a nceput sa ploua aa uda a nceput sa conduc electricitatea . Bateria lui Volta: Alecsandro Volta 1745-1827 - profesor de fizica la universitatea italiana , a avut o idee diferit cu privire la originea electricitii. Volta este cunoscut ca si inventatorul pilei voltaice , in mod obinuit cunoscuta sub numele de baterie . Pe data de 20 martie 1800 Volta a trimis o scrisoare in societatea regala din Londra descriind descoperirea sa . El a creat un ansamblu din zinc si discuri de cupru cu hrtie sau discuri de piele intre ele . Volta a umezit discul din mijloc intr-o soluie srat sau acid uor precum oetul sau sucul de lmie .El a construit un ansamblu nalt alternnd zincul , hrtia si discurile de cupru si a demonstrat prezenta voltajului electric. Coulomb si Faraday: Charles de Coulomb 1736-1806 a fost prima persoana care a msurat cantitatea de electricitate si magnetism generate intr-un circuit . Pn atunci numai fluxul de electricitate nu si cantitatea au putut fi defectate . El a inventat cteva tipuri de instrumente pentru msurarea cantitilor electrice.Michael Faraday 1791-1867 a fost la origine un constructor de instrumente. Cnd Faraday a ajuns la vrsta de 29 de ani el a nceput o serie de experimente in ce privete legtura dintre electricitate si magnetism . Munca lui de pionierat a constat in a nelege cum funcioneaz curenii electrici . Experimentele sale au stat la baza multor invenii practice precum motorul , generatorul , transformatorul , telegraful si telefonul , dar acestea au aprut cu 50 pana la 100 de ani mai trziu . Faraday a creat cuvinte precum : electrod , anod , catod si ion ca sa descrie munca lui .Noi nc folosim aceti termini astzi in electricitate si electronic.

Circuitele sunt prezente in foarte multe domenii tehnice: in sistemul electroenergetic, in

calculatoare, in sistemele de telecomunicatii, in aparatura audio sau TV etc. Un circuit fizic este format

prin interconectarea mai multor dispozitive electrice: rezistoare, bobine, condensatoare, diode,

tranzistoare, amplificatoare operationale, baterii, transformatoare, motoare electrice, generatoare

electrice si altele.

Teoria circuitelor foloseste relatii matematice care descriu comportarea electrica a acestor

circuite fizice. Unui circuit fizic format din dispozitive electrice i se asociaza un circuit electric alcatuit

din modele idealizate care se numesc elemente (ideale) de circuit. Un element de circuit modeleaza un

singur fenomen fizic descris de o relatie matematica simpla intre tensiunile si curentii bornelor. Daca

elementul are doua borne, este parcurs de curentul i(t) si are tensiunea u(t) intre borne atunci:

- rezistorul ideal caracterizat de relatia u(t)=Ri(t) modeleaza efectul rezistiv,

- bobina ideala caracterizata de relatia u(t)=Ldi(t)/dt modeleaza efectul inductiv,

- condesatorul ideal caracterizat de relatia i(t)=Cdu(t)/dt modeleaza efectul capacitiv,

unde u si i sunt functii de timpul t iar R, L si C sunt constante in raport cu u(t) si i(t).

Orice model (circuit electric), este o aproximatie a circuitului fizic. De exemplu o bobina

realizata pe un tor de ferita (la care efectul inductiv predomina in raport cu cel rezistiv si cu cel

capacitiv) se poate modela printr-o bobina ideala. Daca rezultatele teoretice obtinute in urma analizei

circuitului electric corespund cu rezultatele practice obtinute in urma masuratorilor facute asupra

circuitului fizic inseamna ca modelul este corect. Comportarea unui dispozitiv electric poate fi

aproximata prin mai multe modele (scheme echivalente) in functie de conditiile de lucru (semnale mari

sau semnale mici, gama de frecvente a semnalelor utilizate, gama temperaturilor de functionare etc.).

De exemplu un tranzistor bipolar are modele diferite pentru semnale mari sau semnale mici si pentru

frecvente de ordinul kilohertzilor sau megahertzilor.

Fenomenele electromagnetice se propaga cu o viteza aproximativ egala cu viteza luminii in vid

c=3 108 m/s. Fie un semnal sinusoidal s(t,x)=Asin2f(t-x/c) de frecventa f care se propaga cu viteza c

dupa directia x. Propagarea dupa directia celei mai mari dimensiuni dmax a circuitului fizic introduce o

intarziere t=dmax/c. Daca t este neglijabil fata de cea mai mica perioada Tmin=1/fmax (fmax -frecventa

maxima) a unui semnal de interes practic, este evident ca efectul de propagare poate fi neglijat. In acest

caz se poate considera ca semnalele se propaga instantaneu (cu viteza infinita) si un astfel de model se

numeste circuit electric cu parametri concentrati. Conditia t

modeleaza cu un circuit electric cu parametri distribuiti. Intr-un circuit cu parametri distribuiti curentii

si tensiunile sunt functii de timp si de variabile spatiale; comportarea circuitului este influentata de

pozitia relativa a dispozitivelor electrice. Intr-un circuit cu parametri concentrati, admitand ca

propagarea se face instantaneu, curentii si tensiunile sunt functii numai de timp nu si de variabile

spatiale; un astfel de model nu tine seama de pozitia relativa a dispozitivelor electrice. Fiind mai

simplu, modelul de circuit cu parametri concentrati este de preferat atunci cand poate fi utilizat.

Fie, de exemplu, un cablu cu lungimea L=1Km format din doua conductoare. Daca prin cablu

trece un curent i cu f=250KHz rezulta =1,2KmL si se adopta un model cu parametri distribuiti. In

acest caz, daca x este distanta masurata de la un capat al cablului, i(t,x)=Isin2f(t-x/c)=Isin(2ft-2x/)

si la acelasi moment t i are valori diferite in functie de x (de exemplu i(t,0)=Isint2ft si

i(t,/2)=Isin(2ft-)). Daca prin cablu trece un curent de frecventa industriala f1=50Hz rezulta

=6000Km>>L si i(t,x)=Isin2f1 t nu depinde de x.

Teoria prezentata in continuare se refera numai la circuitele cu parametri concentrati. Teoria circuitelor include analiza calitativa si cantitativa a comportarii circuitelor. In consecinta, instrumentele acestei teorii sunt matematice si c0onceptele si rezultatele utilizate sunt exprimate prin variabile de circuit si ecuatii de circuit care leaga intre ele aceste variabile. Teoria circuitelor nu se ocupa de fenomenele fizice care au loc in interiorul unui element de circuit. Mrimi i relaii fundamentale n electrotehnica

Starea de ncrcare electric a corpurilor. Sarcina electric Stri de electrizare ale corpurilor: starea de ncrcare electric starea de polarizare Starea de ncrcare electric a corpurilor se poate obine prin mai multe procedee:

frecare, vergea de sticl frecat cu postav, sau baston de ebonit frecat cu postav contact iradiere nclzire

Starea de ncrcare electric a corpurilor se manifest prin efecte: fore ce se exercit asupra asupra altor corpuri din vecintate cupluri

Definiie: Sarcina electric : mrimea fizic scalar cu ajutorul creia se caracterizeaz starea de ncrcare electric a corpurilor

Notaie: q, Q Unitate de msur: coulomb, [C] ; submultipli: mC (10-3), C (10-6), nC (10-9), pC (10-12) Sarcini electrice elementare: electronul, sarcin negativ, qe = -1.602 10

-19C Sarcina electric este mrime fizic discret, ea este multiplu al sarcinii electrice elementare se va considera n cadrul teoriei macroscopice o mrime fizic continu este independent de sistemul de referin

Principiul conservrii sarcinii eletrice: Sarcina electric nu poate fi creat nici distrus ci numai transportat

n sisteme fizice izolate electric sarcina electric se pstreaz constant. Clasificarea corpurilor din punct de vedere al meninerii strii de electrizare:

corpuri izolante, starea de incrcare electric se menine pe aceste corpuri n locul unde a fost produs un timp ndelungat, exemple: sticla, ebonita, lemnul uscat, polietilena, PVC, aerul uscat

corpuri conductoare, transmit starea de electrizare in ntreg corpul n timp foarte scurt, exemple: metalele

corpuri semiconductoare, menin sau transmit starea de electrizare in timpi intermediari Repartiia (distribuia) sarcinii pe corpuri poate fi:

volumetric , sarcina se gsete distribuit n ntreg volumul corpului, caracteristic materialelor izolante

Se definete: Densitatea de volum sau densitatea volumetric a sarcinii electrice

v = lim( v

q

)v0 = dv

dq [C/m3], Q = v dv

+

++

+

+ ++

++

+

+

+

+

+

+

+

+

++

+

+

++

++

+

+

+

+

+

+

+

++

+

+

+

+

+

, V q

Fig. 1.1

- superficial, sau de suprafa , sarcina se afl pe suprafaa corpului, caracteristic pentru conductoare

Se definete: Densitatea de suprafa sau densitatea superficial a sarcinii electrice

s = lim( s

q

)s0 = ds

dq [C/m2], Q = s ds

liniar, sau de linie , sarcina se afl pe corpuri filiforme (fire subiri, cabluri, linii electrice) Se definete: Densitatea de linie sau densitatea liniar a sarcinii electrice

l = lim( l

q

)l0 = dl

dq [C/m], Q = l dl

punctiform, caracteristic pentru corpuri punctiforme sau corpuri de dimensiuni foarte mici, corpuri la care vectorii de poziie ai diferitelor puncte din corp coincide n raport cu sistemul de refrin

Se vorbete , n acest caz despre corpuri punctiforme, fr dimensiuni n care se afl o anumit sarcin electric punctiform Cmpul electric n vid. Intensitatea cmpului electric. Liniile de cmp electric. Defniie: Cmpul electric este starea de existen a materiei din jurul corpurilor electrizate, ce se caracterizeaz prin faptul c exercit fore sau cupluri ( aciuni ponderomotoare) asupra unor corpuri electrizate aflate n cmpul electric. Studiul cmpului electric se face cu ajutorul unui mic corp ncrcat electric, numit corp de prob . Se consider c un astfel de corp de prob ncrcat cu sarcina electric q este aezat ntr-un punct, in vid , unde exist cmp electric. Vom constata experimental c asupra corpului de prob se exercit o for F . Se definete :

Intensitatea cmpului electric E ntr-un punct este egal cu raportul dintre fora F exercitat de cmpul electric asupra unui corp de prob i sarcina electric q a corpului de prob situat n acel punct.

S, q

S

Fig. 1.2

l

q

Fig. 1.3

q

FE = [V/m] V-volt, m-metru

Prin convenie sarcina electric a corpului de prob se consider pozitiv, astfel c E i F au acelai sens. Pentru studiul cmpului electric n vid se mai definete:

Inducia electric D nvid este ED 0= [C/m2]

Unde mrimea scalar 0 este o constant universal, numit permitivitatea vidului

90 1094

1

= [F/m] F farad

Linia de cmp electric este curba tangent n orice punct la intensitatea cmpului electric E . Linia de cmp electric are sensul de la sarcina electric negativ spre sarcina electric pozitiv. Imaginea liniilor de cmp electric dintr-o seciune prin cmpul considerat se numete spectru electric.

Tensiunea electric. Potenialul. Interpretare energetic Se definete: Tensiunea electric dintre dou puncte A i B ntr-un cmp electric, n vid, este egal cu integrala de linie a vectorului intensitate a cmpului electric E de la A pn la B pe drumul considerat:

=B

AAB dlEU [V]

EE

dl

P

Fig. 1.6

'

''

'E

''E

ld

ld

ld

Linii de cmp

A

B

( C )

'

''

Fig. 1.20

Tensiunea electric este o mrime scalar, se msoar n voli [V], nu depinde de drum n cmp electrostatic. Se msoar cu aparate numite voltmetre ale cror borne se conecteaz ntre cele dou puncte A i B: Mai mult se poate arta faptul c tensiunea n cmp electrostatic pe un contur nchis este nul:

0= dlE Potenialul unui punct oarecare M se definete ca tensiunea dintre acel punct M i un punct de referin M0 unde potenialul se consider nul:

VM = 0M

MdlE

Tensiunea se poate exprima cu ajutorul potenialului prin relaia : UAB = VA VB Interpretare energetic: Lucrul mecanic efectuat pentru a deplasa un corp de prob ncrcat cu sarcina electric q, n cmp electric , din punctual A pn n punctual B este:

LAB = === B

A

B

A

B

AdlEqdlEqdlF q (VA VB)= q UAB

UAB = q

LAB= LAB(q=1)

Ca atare, tensiunea dintre dou puncte reprezint raportul dintre lucrul mecanic efectuat pentru a deplasa un corp de prob ntre cele dou puncte i sarcina electric q a corpului de prob, tensiunea reflect din acest punct de vedere capacitatea de a efectua un lucru mecanic, sau de a produce energie. Fluxul electric. Legea fluxului electric

Se numete flux electric printr-o suprafa S integrala de suprafa a induciei electrice D prin acea suprafa.

= S dSD [C] dSD = D dS cos

D , inducia electric ntr-un punct al suprafeei S, dS vectorul arie elementar n acelai punct al suprafeei, normal (perpendicular) pe suprafaa S Fluxul electric este o msur ptrunderii cmpului electric prin suprafaa S.

Legea fluxului electric ne spune c:

E, D

n

ds

C

S

Fig. 1.15

Fluxul electric prin orice suprafa nchis din cmpul electric este egal n orice moment cu suma sarcinilor electrice libere din interiorul suprafeei nchise:

QdSD

= .int

innd seama de relaia ED 0= expresia legii fluxului electric se poate scrie:

0

.int

=Q

dSE

relaie ce se cunoate sub denumirea de teorema lui Gauss. Legea fluxului electric este o lege general a electromagnetismului, valabil att n regim static ct i n regim variabil al mrimilor de stare ale cmpului. Consecinele acestei legi sunt:

exist sacini electrice sarcinile electrice sunt surse de cmp electric liniile de cmp ncep i se termin pe sarcini electrice

Aplicaii ale legii fluxului electric. Cmpul electric al unei sarcini punctiforme. Cmpul electric al conductorului rectiliniu, infinit lung. Cmpul electric al unei sarcini punctiforme. Fie o sarcin electric punctiform Q pozitiv, situat n vid. Ne propunem s determinm intensitatea cmpului electric n punctul M aflat la distana r .

Se alege o suprafa nchis ce trece prin punctul dat i are o simetrie fa de sarcina Q dat sfer cu centrul n Q.

n||D;ED;n||E 0 = Din legea fluxului electric:

= QsdD ;

= Q0cosdsD

= QdsD

22

r4Q

DQr4D

==

Intensitatea cmpului electric este

2

0 r4Q

E

=

sau vectorial: r20

ur4

QE

=

unde rr

u r = i rezult: rr

r4Q

E2

0

=

Pentru cazul a n sarcini punctiforme n321 Q...,,Q,Q,Q vom avea:

==

==n

1k k

k2k0

kn

1kk r

rr4

QEE

Dac n puntul M se aeaz o alt sarcin q, atunci cmpul electric creat de Q n M va exercita o for asupra sarcinii q:

r20

ur4

QqEqF

==

Aceasta este formula forei ce se exercit ntre dou sarcini electrice punctiforme aflate n vid i situate la o distan r una fa de cealalt, numit i formula lui Coulomb.

EDn

Q

r

rur

Fig. 1.16

M

n alt mediu dect vidul apare permitivitatea mediului :

2

21

r4

qqF

=

iar fora F va scdea de r ori. Cmpul electric al conductorului rectiliniu, infinit lung.

Considerm un conductor de raz R avnd axa perpendicular pe figur, n figur fiind reprezentat seciunea circular a conductorului. Fie densitatea de linie l a sarcinii pe conductor.

Se consider un cilindru bl S2S += nchis unde lS este suprafaa lateral iar bS este suprafaa bazei.

LQ;QsdD lintint ==

atunci: LsdDsdD lSS bl

=+

rDLLrD ll

22 ==

iar: r2

E0

l

=

Fig. 1.18

Conductoare n regim electrostatic Regimul electrostatic presupune c sarcinile electrice sunt fixe n spaiu i constante n timp. Corpurile conductoare metalice se caracterizeaz, din punct de vedere microscopic, prin faptul c posed purttori mobili de sarcin electric, electronii liberi din conductor. Dac n interiorul corpului

conductor exist cmp electric de intensitate E atunci electronii liberi se mic prin conductor i condiia de echilibru electrostatic nu se mai respect. Pe baza celor menionate rezult urmtoarele consecine privind comportarea corpurilor conductoare (metalelor) n regim electrostatic:

intensitatea cmpului electric este nul n interiorul conductorului,

potenialul electric este constant n interiorul conductorului

suprafaa conductorului este echipotenial

nu exist sarcini electrice n interiorul conductoarelor, sarcinile electrice sunt repartizate doar la suprafaa conductorului

intensitatea cmpului electric este perpendicular pe suprafaa conductorului

efectul de ecranare: n interiorul unei caviti dintr-un material conductor intensitatea cmpului electric este nul

Condensatorul. Capacitatea electric

Se numete condensator sistemul fizic format din dou corpuri metalice , numite armturi, separate ntre ele prin materiale electroizolante i ncrcate cu sarcini electrice egale i de semne contrare.

La ncrcarea condensatorului cu sarcinile electrice Q1 = +Q i Q2 = Q, cele dou armturi vor avea potenialele V1 i V2 iar tensiunea dintre armturi va fi U12. Modificnd sarcina electric de pe armturi la valoarea Q i tensiunea dintre armturi se modific i devine U12

. Pentru orice condensator avem relaia :

Fig. 1.38

+Q1 -Q 2

d

S

a

1 2d

S

D

E

ds

dl

b

CconstU

Q

U

Q==== .....

'12

'

12

[F]

C, capacitatea condensatorului F, farad; 1F = 10-6F, 1nF = 10-9F, 1pF = 10-12F Se vorbete uneori despre capacitatea unui conductor; n acest caz trebuie s considerm armtura a doua la infinit, iar potenialul acesteia nul V2 = V = 0. Capacitatea unor condensatoare simple Capacitatea condensatorului plan Condensatorul plan are dou armturi egale, plane i paralele, separate ntre ele printr-un material izolant (dielectric) liniar i omogen de permitivitate . Dac distana dintre armturi este foarte mic se poate neglija efectul de margine, iar intensitatea cmpului electric are aceeai valoare n toate punctele din tre armturi, cmpul electric este uniform.

Valoarea capacitii se poate calcula astfel:

C = d

S

dE

SE

dE

SD

dlE

dSD

U

Q ====

2

1

Pentru calculul lui Q s-a aplicat legea fluxului electric pentru o suprafa nchis de forma unui paralelipiped ce conine n interior armtura pozitiv, iar pentru calculul tensiunii s-a calculat integrala intensitii cmpului electric pe o dreapt ce unete cela dou armturi.

Capacitatea condensatorului cilindric. Condensatorul cilindric este format din dou armturi cilindrice, coaxiale , de raze R1 i R2 ntre care se afl un dielectric (material electroizolant) de permitivitate .

Fig. 1.38

+Q1 -Q 2

d

S

a

1 2d

S

D

E

ds

dl

b

R1

R2

r

+Q

-Q

Fig. 1.41

UQ

C = ;

ELr2DLr2dsDQ ===

1

22

1

2

1

2

1

12 ln222 R

R

L

Q

r

dr

L

Qdr

Lr

QldEU

=

=

==

1

2ln

2

R

R

lC

=

Capacitatea condensatorului sferic

Condensatorul sferic este format din dou armturi sferice, concentrice, de raze R1 i R2. ntre armturi se afl un material dielectric de permitivitate . Capacitatea se calculeaz astfel:

ldE

sdD

U

QC

2

1

==

== 22 r4Er4DsdD

=

==

21

R

R

2

2

1R

1

R

1

4

Qrd

r4

QldEU

2

1

Capacitatea condensatorului sferic devine:

21 R1

R1

4C

=

Pentru 2R rezult

1R4C = ceea ce reprezint capacitatea unei sfere de raz R1 n raport cu infinitul aflat ntr-un dielectric de permitivitate .

-Q

R1

R2

+Q

Fig. 1.43

Conexiunea condensatoarelor. Rezolvarea reelelor de condensatoare Conexiunea serie a condensatoarelor Se consider n condensatoare C1, C2, ...Cn legate n serie.

Vom nlocui conexiunea dat cu un condensator echivalent Cs pentru care: AB

As

U

qC =

Datorit principiului conservrii sarcinii electrice sarcinile electrice de pe armturile condensatoarelor sunt egale

An21 qq...qq ===

Tensiunea la bornele fiecrui condensator n parte va fi:

n

An2

A21

A1 C1

qU...;C1

qU;C1

qU ===

Tensiunea ntre bornele AB este:

+++=++=

n

nABCCC

QUUUU1

...11

...21

21

Capacitatea echivalent la legarea n serie a mai multor condensatoare va fi:

=

=++=n

1k kn21s C1

C1

...C1

C1

C1

[ ]1FC1 =

elastana (inversul capacitii) Cs < min{C1, C2,...,Cn}

Dac C1 = C2 = ...=Cn = C, atunci n

CCs =

Sarcina electric pe armturile condensatoarelor este:

n

AB

CCC

UQ

1...

11

21

+++=

Tensiunile la bornele condensatoarelor se pot calcula astfel:

C 1 C 2 C n+ q A + q A + q A

- q A - q A

- q AA B

Fig. 1.44

UAB

1213132

32

121

1 .......

...

)1

...11

( +++=

+++=

nnn

n

AB

n

AB

CCCCCCCCC

CCCU

CCCC

UU , sau pentru n = 2

ABUCC

CU

21

21 +=

Conexiunea paralel a condensatoarelor

n cazul conexiunii paralel a mai multor condensatoare tensiunea la borne este aceeai, iar condensatoarele se ncarc cu sarcinile:

ABnnAB22AB11 UCq...UCq;UCq === Sarcina electric total preluat de condensatoare de la surs este :

n21A q...qqq +++= Condensatorul echivalent Ce va avea pe armturi aceeai sarcin electric qA atunci cnd tensiunea lui la borne este UAB

Capacitatea echivalent a condensatoarelor la legarea n paralel va fi:

AB

n21

AB

Ae U

q...qq

U

qC

+++== ;

=

=+++=n

1kkn21e CC...CCC

Dac C1 = C2 = ...=Cn = C, atunci Ce = n C

C 1 C 2 C n

q 1 q 2 q n

- q 1 - q 2 - q n

A

B

UAB

Fig. 1.45

Rezolvarea reelelor condensatoare O reea de condensatoare este format din mai multe condensatoare i surse conectate ntre ele ntr-un anumit mod. A rezolva o reea de condensatoare nseamn s se determine sarcinile electrice de pe armturi i tensiunile la bornele condensatoarelor cnd se cunosc valorile condensatoarelor i tensiunile electromotoare ale surselor. Pentru rezolvarea reelei de condensatoare se va proceda astfel:

se vor stabili arbitrar semnele sarcinilor electrice de pe armturile condensatoarelor, se vor face notaiile pe circuit pentru sarcinile electrice de pe armturi i tensiunile la bornele

condensatoarelor, se va aplica principiul conservrii sarcinii electrice pentru armturile conectate n fiecare nod al

reelei: suma algebric a sarcinilor electrice de pe armturile conectate galvanic ntre ele este nul, acest lucru este valabil dac iniial condensatoarele erau descrcate; se vor lua n considerare doar n-1 dintre ecuaii, n fiind numrul de noduri ale reelei

pentru fiecare poriune nchis de circuit (bucl, ochi) suma algebric a tensiunilor la bornele condensatoarelor este egal cu suma algebric a tensiunilor electromotoare ale surselor din acel circuit,

se alctuiete sistemul de ecuaii de rezolvat, se va folosi relaia Q = C U pentru a avea ca necunoscute numai tensiunile sau numai sarcinile electrice

se rezolv sistemul de ecuaii nodul 1, laturile 1, 2, 3 -Q1 + Q2 + Q3 = 0 nodul 2, laturile 3, 4, 5 -Q3 + Q4 + Q5 = 0 nodul 3, laturile 1, 2, 6 Q1 Q2 -Q6 = 0 bucla 1, laturile 1, 2 U1 + U2 = E1 + E2 bucla 2, laturile 2, 3, 4, 6 -U2 + U3 + U4 + U6 = -E2 +E3 + E4 + E6 bucla 3, laturile 3, 5 -U4 + U5 = -E4 E5 Se folosete relaia Q = C U sau U = Q/C Observaie: teorema a II-a a lui Kirchhoff se poatescrie i pentru bucle ce nu trec numai prin laturi, de exemplu pentru bucla format din latura 2, E3, UAB, C6 ecuaia este -U2 + UAB + U6 = -E2 + E3

Starea electrocinetic. Tensiunea electromotoare Experiena arat c n anumite condiii corpurile conductoare se pot afla n stare electrocinetic. Dac se realizeaz o diferen de potenial ntre dou puncte sau regiuni ale unui corp conductor se constat c poate apare o deplasare ordonat a purttorilor de sarcin prin conductor.

Se numete curent electric deplasarea ordonat de sarcin electric. Starea electrocinetic poate fi pus n eviden prin anumite efecte: - efectul magnetic - n vecintatea conductoarelor parcurse de cureni electrici asupra unui ac magnetic se manifest fore i cupluri care nu existau n lipsa strii electrocinetice. Aceste fore i cupluri acioneaz att asupra corpurilor aflate n micare i ncrcate cu sarcin electric ct i asupra unor corpuri aflate n stare de magnetizare; - efectul mecanic - acesta trebuie corelat cu efectul magnetic deoarece este vorba de fore ce se exercit asupra conductoarelor parcurse de cureni electrici aflate n cmp magnetic sau ntre conductoarele parcurse de cureni electrici; - efectul caloric - conductoarele parcurse de cureni se nclzesc; - efectul chimic - la trecerea curenilor electrici prin soluii de acizi, baze sau sruri n interiorul acestora apar reacii chimice; - efectul luminos - apare n anumite condiii ca o consecin a efectului caloric (ex. filamentul unei lmpi cu incandescen) sau alteori apare independent ca n cazul descrcrilor electrice n gaze rarefiate; Un exemplu de apariie a strii electrocinetice este urmtorul: se consider un disc metalic de raz r0 (fig. 1.2) ce se poate roti n jurul axei sale Dac discul se rotete cu o anumit vitez unghiular se constat c apare o tensiune electric U ntre axul discului i periferie. Aceast tensiune depinde de viteza unghiular a discului, tensiunea se anuleaz la anularea vitezei. Calitativ fenomenul se poate explica astfel: cilindrul metalic este constituit din reeaua cristalin caracteristic metalelor n care se afl i electronii liberi n micarea lor de agitaie termic. Cnd discul nu se mic n interiorul su sarcinile electrice pozitive i negative se compenseaz deci la scar macroscopic nu apare cmp electric. Prin rotirea discului fora centrifug F cf , ce acioneaz asupra tuturor punctelor materiale din disc, va centrifuga fluidul electronilor liberi spre periferia discului. n acest fel periferia discului se ncarc cu sarcin electric negativ, iar zona central va rmne ncrcat cu sarcin electric pozitiv.ntre zona central i periferie va apare un cmp electric ce acioneaz la rndul su prin fora

F e asupra electronilor liberi din disc i tinde s-i readuc n zona central. La o turaie constant a discului fora centrifug F cf va fi echilibrat de fora electric F e i prin disc nu va exista curent electric de conducie. Putem spune c din acest punct de vedere n disc exist un regim electrostatic ce se caracterizeaz prin relaia:

0=+ ecf FF (1.1)

n timpul variaiei turaiei discului datorit necompensrii celor dou fore va apare o deplasare

Fig. 1.2

ordonat de sarcin ntre periferie i zona central, prin urmare va apare o stare electrocinetic n disc, ce se caracterizeaz prin relaia:

0+ ecf FF (1.2)

n experimentul descris fora centrifug este aceea care acioneaz asupra sarcinii electrice din disc. Ea este o for neelectric ce acioneaz asupra sarcinilor electrice i de aceea se mai numete for imprimat. Raportul dintre fora neelectric (fora imprimat) i sarcina electric asupra creia acioneaz se numete intensitate de cmp electric imprimat:

iineel

Eq

F

q

F== (1.3)

mprind relaiile (1.1) i (1.2) la q se obine pentru regimul electrostatic:

0=+ EE i (1.4) iar pentru regimul electrocinetic:

0+ EE i (1.5) Prin definiie integrala de linie a sumei dintre intensitatea cmpului electric imprimat i intensitatea cmpului electric coulombian se numete tensiune electromotoare i se noteaz cu e sau ue:

+= C i sdEEe )( (1.10) Tensiunea electromotoare este numeric egal cu lucrul mecanic efectuat de fora rezultant pentru deplasarea sarcinii electrice unitare pe conturul nchis C:

+== C i sdFFqqL

e )(1

(1.11)

Integrala (1.10) poate fi descompus sub forma:

=+= C C iiC sdEsdEsdEe (1.12) Prin urmare tensiunea electromotoare este egal cu integrala pe contur nchis a intensitii cmpului electric imprimat, deoarece pentru cmpul electric coulombian este valabil relaia

=C sdE .0 Sursele de tensiune electromotoare se simbolizeaz n circuitele electrice prin simbolurile din fig. 1.3. De remarcat faptul c tensiunile electromotoare ale diferitelor surse pot fi produse i prin alte procedee dect prin accelerare mecanic: prin efecte chimice, prin difuzie, prin fenomene de contact sau prin alte efecte.

Fig. 1.3 n cazul unor cmpuri electrice imprimate sursele de tensiune electromotoare acioneaz ca nite pompe electrice ce pun n micare, pe cale neelectric, sarcinile electrice. Curentul electric. Densitatea de curent Deplasarea ordonat de sarcin electric sub aciunea cmpului electric, numit curent electric, se caracterizeaz prin mrimea fizic numit intensitate a curentului electric i notat cu i. Intensitatea curentului electric se definete n raport cu o anumit suprafa, n general deschis (fig. 1.6). n cazul teoriei macroscopice intensitatea curentului electric este egal cu sarcina electric a purttorilor mobili care strbate suprafaa considerat n unitatea de timp:

dt

dQ

t

Qi

t=

= 0

lim (1.16)

Mrimea fizic i, intensitatea curentului electric, este o mrime fizic scalar. Ea are semn pozitiv dac sensul ales pentru i coincide cu sensul de deplasare al sarcinii electrice pozitive. Prin urmare sensul curentului electric i este opus sensului de deplasare al electronilor din conductoarele metalice (curent electric de conducie). n regim staionar, cnd i este constant, curentul electric se numete curent continuu. n regim variabil se noteaz cu i valoarea intensitii curentului electric la un moment dat i=i(t) numit i valoare instantanee sau valoare momentan. Starea electrocinetic se caracterizeaz local prin mrimea denumit densitatea de curent, notat cu J. n cazul curentului electric de conducie din conductoarele metalice, intensitatea curentului prin suprafaa S se poate scrie:

,= S dAJi (1.17) unde J este densitatea de curent ntr-un punct oarecare al suprafeei S iar d A este elementul de arie

din acel punct: dAnAd = , n este versorul normal la suprafaa A n punctul considerat. Densitatea curentului electric J este o mrime fizic vectorial, o mrime derivat. n sistemul de uniti S.I. unitatea de msur a densitii curentului electric se numete amper pe metru ptrat (A/m2). n practic se folosete frecvent unitatea amper pe milimetru ptrat: 1A/mm2 = 106 A/m2. Orientativ, valorile uzuale ale densitii

Fig. 1.7

curentului electric sunt: la linii electrice aeriene J = 2 10 A/mm2, la aparate i maini electrice J = 2 4 A/mm2. Pentru cazul curentului continuu repartiia densitii de curent n seciunea conductorului este uniform, iar dc seciunea este transversal se poate scrie i = J A.

Legea conservrii sarcinii electrice. Teorema I a lui Kirkhhoff

Fig 1.13 Legea conservrii sarcinii electrice stabilete o legtur ntre sarcina electric dintr-o suprafa nchis i intensitatea curentului electric prin suprafaa . n regim electrostatic dac suprafaa nchis formeaz un sistem izolat atunci sarcina electric din interiorul sistemului izolat este constant. S considerm (fig. 1.11) un condensator ncrcat cu sarcin electric avnd armturile conectate la ntreruptorul K iniial deschis. Prin nchiderea ntreruptorului K condensatorul se descarc prin firele conductoare ce leag armturile prin intermediul ntreruptorului. n interiorul suprafeei nchise care trece prin dielectricul dintre armturi i taie conductorul metalic se afl sarcina electric Q. Este evident faptul c la nchiderea comutatorului K sarcina electric de pe armtura aflat n interiorul suprafeei scade, conductorul fiind strbtut de un curent electric ce transport sarcina electric n afara suprafeei . n form integral legea conservrii sarcinii electrice se enun astfel: intensitatea curentului electric de conducie total i care iese printr-o suprafa nchis oarecare este n fiecare moment egal i de semn contrar cu derivata sarcinii electrice adevrate Q (din

interiorul suprafeei) n raport cu timpul. Expresia matematic a legii este:

dt

dQi = (1.22)

Cu alte cuvinte legea conservrii sarcinii electrice ne spune c exist o variaie a sarcinii electrice adevrate din interiorul unei suprafee nchise numai dac exist un transport de sarcin (curent electric) prin suprafaa . O consecin imediat a legii conservrii sarcinii electrice este prima teorem a lui Kirchhoff. Fiind considerate n conductoare ce intersecteaz suprafaa nchis (fig. 1.13) avem:

Fig. 1.11

=

=n

k

kii

1

unde se adopt convenional un semn, de exemplu semnul + pentru curenii care ies din suprafaa i semn opus pentru cei care au sens opus. Relaia (1.33) devine:

=

=n

k

ki 0 (1.35)

Aceasta reprezint teorema I a lui Kirchhoff: suma algebric a intensitii curenilor electrici ce ies printr-o suprafa nchis este nul. Legea conduciei electrice. (Legea lui Ohm) Pentru conductoare liniare i izotrope, legea conduciei electrice numit i legea lui Ohm se poate scrie sub forma:

EJ = respectiv: JE =

unde este o constant de material numit conductivitatea electric. Mrimea fizic = 1/ se numete rezistivitatea electric. Pentru rezistivitatea electric se mai folosete frecvent unitatea de msur:

.101 62

mm

mm=

Pentru a deduce forma integral a legii conduciei electrice vom integra expresia pentru o poriune 1-2 a unui conductor :

=2

1

2

1sdJsdE

Integrala se va efectua n lungul liniei mijlocii a conductorului, vectorul ds fiind orientat dinspre punctul 1 spre 2. Vom presupune c n conductor vectorii E i J sunt colineari, i avnd aceeai orientare cu ds . Dar:

====2

1

2

1

2

1

2

112

S

li

S

dsids

isdJiarusdE

prin urmare:

S

liu 1212 = (1.46)

Am presupus c suprafaa S a seciunii transversale a conductorului este constant, materialul conductorului are rezistivitatea ; l12 este lungimea conductorului. Mrimea:

S

l

S

lR

== 121212

este rezistena electric a conductorului ntre punctele 1 i 2.

Conductorul se reprezint n schemele electrice prin simbolurile notate cu R sau r. Sistemul fizic dintre punctele 1 i 2 poart numele de rezistor. Frecvent n limbajul curent se utilizeaz pentru rezistor denumirea de rezisten. Mrimea invers, notat cu G: G = 1/R se numete conductan i se msoar n siemens (S). Dac mediul conductor este neliniar simbolul rezistorului este cel din cazurile c,d. Pentru o poriune de circuit care conine ntre punctele 1 i 2 i o surs de tensiune electromotoare orientat dinspre 1 spre 2 , forma integral a legii conduciei electrice rezult :

=+2

1

2

1)( sdJEE i care conduce la: iRUU e =+ 1212 12

Sensurile mrimilor din relaia sunt asociate ca n fig. Dac una din mrimile U12, Ue12 sau i are sens opus celei din figur ea va interveni n relaie cu semnul minus, de exemplu pentru asocierea de sensuri din cazul b relaia este:

iRUU eb =+ 12

Teorema a II-a a lui Kirchhoff.

= =

=n

k

n

k

ekk kUiR

1 1

)()(

adic: n lungul unui contur nchis format din laturi de circuit avnd rezistenele Rk i parcurse de cureni de intensitate ik suma algebric a cderilor de tensiune pe rezistenele din circuit este egal cu

suma algebric a tensiunilor electromotoare din laturile circuitului . Aceasta este teorema a II-a a lui Kirchhoff.

Se menioneaz faptul c teorema se poate aplica att pe contururi nchise prin poriuni conductoare ct i n lungul unor poriuni mixte ce cuprind att laturi parcurse de cureni ct i tensiuni ntre borne (fig. 1.19). De exemplu pentru circuitul din fig. 1.19 pe conturul format de laturile 1-3-6-5 se obine:

653155663311 EEEERiRiRiRi =+ , iar pe conturul nchis ntre bornele AB prin laturile 2-5-6 se obine:

.655522 EERiURi AB =+

Legea transformrii energiei elecromagnetice n conductoare parcurse de cureni (Legea Joule-Lenz) Experimental se constat c un conductor parcurs de curent electric se nclzete, prin urmare n procesul de conducie electric apare o transformare a energiei electrice n energie termic. Puterea p cedat de cmpul electromagnetic unitii de volum dintr-un material conductor este egal cu produsul

dintre intensitatea cmpului electric E i densitatea de curent J, adic:

JEp =

Aceast relaie, cu enunul susmenionat reprezint forma local a legii transformrii energiei cmpului electrocinetic n medii parcurse de cureni, sau legea Joule-Lenz n form local. n medii conductoare omogene, izotrope i lipsite de cmpuri imprimate relaia anterioar se poate scrie:

02

2 >

===J

JJEp

n astfel de medii transformarea energiei electrice n energie termic este inversibil. Integrnd expresia pentru o poriune oarecare de circuit (lipsit de cmpuri imprimate) se obine:

=== v S iUdAJdlEdvJEP 122

1

unde U12 este cderea de tensiune determinat de curentul de intensitate i n lungul poriunii 1-2 de curent.

Se observ c P > 0, transformarea energetic fiind ireversibil. Unitatea de msur pentru puterea P se numete watt [w]. Energia consumat n rezistor ntr-un

interval de timp se poate calcula: =t

dtPW0

Dac puterea este constant n timp atunci energia este W = P t. Unitatea de msur a energiei n SI este Joule = 1 watt x 1s. Se utilizeaz frecvent n electrotehnic unitatea kilowattor: 1kWh = 3,6 x 106 J.

n cazul n care n poriunea 1-2 exist i cmp electric imprimat, expresia general a puterii cedate de cmpul electromagnetic unitii de volum a mediului conductor devine:

JEJJEJJEp ii ===2

)( (1.71)

Primul termen al expresiei (1.71) 2Jp = reprezint puterea corespunztoare efectului Joule-Lenz transformat n cldur n interiorul conductorului. Termenul al doilea reprezint densitatea de volum a puterii aferente conversiei de energie electromagnetic corespunztoare cmpului electric imprimat. Scriind relaia (1.71) n forma:

2

JJEp i =+ (1.72)

i dac toi termenii relaiei sunt pozitivi, atunci se observ c suma dintre puterea cedat de cmpul electromagnetic i puterea corespunztoare cmpului electric imprimat se transform n cldur prin efect Joule-Lenz n interiorul conductorului. Forma integral a legii transformrii energiei electromagnetice n medii conductoare se obine prin integrarea expresiei (1.71) n lungul poriunii 1-1. Se obine:

iUiRiU e=2

12 (1.73

Conductivitatea i rezistivitatea electric a materialelor Aa cum s-a artat n paragraful 1.1.2 conductivitatea electric i rezistivitatea electric sunt mrimi fizice caracteristice materialelor utilizate n electrocinetic . Trebuie menionat faptul c inclusiv materialele izolante folosite n tehnic nu au o conductivitate electric nul, ele nu sunt izolatoare perfecte.

Materialele se mpart, dup valorile rezistivitii n: - materiale izolante, la care rezistivitatea = 10 108 20 m;

- materiale conductoare, cu rezistivitatea = 10 106 8 m;

- materiale semiconductoare, cu rezistivitatea .1010 85 m= Dintre materialele conductoare metalice folosite n tehnic, argintul are rezistivitatea cea mai mic, dar fiind un material preios utilizarea lui este limitat. Materialul conductor de baz folosit pentru conductoarele electrice este cuprul, avnd o rezistivitatea cu puin mai mare dect a argintului. De aceea cuprul este un metal deficitar, el este frecvent nlocuit cu aluminiul (cabluri electrice, linii aeriene, colivii ale unor maini asincrone etc.) La aceeai rezisten electric i lungime a conductorului de aluminiu seciunea acestuia este de 1,6 ori mai mare dect a conductorului de cupru. n aceleai condiii, greutatea conductoarelor de aluminiu este de aproximativ jumtatea din greutatea conductoarelor de cupru, n plus tona de cupru este de cca. 1,7 ori mai scump dect tona de aluminiu (Al: 1601 USD/ton, Cu: 2698 USD/ton - cotaii spot Londra, 1 mai 1996), ceea ce relev avantaje economice importante. Aliajele de mare rezistivitate (tabelul 1.1) au o serie de aplicatii specifice n tehnic. Cele care au un coeficient de temperatur sczut, cum sunt manganina i constantanul se folosesc la construcia rezistenelor etalon i de precizie. Celelalte sunt utilizate la construcia aparatelor electrotehnice (rezistene pentru nclzire, reostate ) n tabelul 1.2 sunt date, pentru orientare, valorile rezistivitilor, concentraiilor de electroni nn i goluri np i mobilitilor n i p pentru Cu (material conductor) i Ge (material semiconductor).

Tabelul 1.2 Materialul

[m] 10-2

nn [m-3] 106

np [m-3] 106

n [m2/Vs] 10-4

p [m2/Vs] 10-4

Cupru 1,7510-6 81022 - 45 - Germaniu intrinsec

47 2,41013 2,41013 3800 1800

Germaniu de tip n

1 1,61015 3,41011 3800 1800

Se observ c la materialele semiconductoare mobilitatea are valori mult mai mari dect la metale.

Dependena de temperatur. Experiena arat c, n general, rezistivitatea materialelor conductoare depinde de temperatur n domenii de variaie limitate (nu prea mari) i la temperatur obinuit se poate scrie:

)1)(0()( 0+= (1.60)

Coeficientul 0 depinde de materialul conductor i se numete coeficient de temperatur al rezistivitii i se msoar n SI n 1/0C. n literatur, n mod obinuit, se dau valorile rezistivitilor pentru o temperatur a mediului ambiant de 20oC.

La materialele conductoare metalice coeficientul de temperatur este pozitiv avnd ordinul de mrime ,/104 03 C adic o variaie a rezistivitii de cca 4% pentru o variaie a temperaturii de 100C. La materialele semiconductoare coeficientul de temperatur poate fi i negativ. Supraconductibilitatea La temperaturi foarte joase, mai mici de 100 K rezistivitatea unor metale sau aliaje scade brusc la 0. Acest fenomen a fost descoperit n 1911 de ctre Kamerling Onnes i poart numele de supraconductibilitate. Temperatura la care valoarea rezistivitii devine nul se numete temperatur critic Tc, fiind o caracteristic a materialului conductor. n fig. 1.20 se prezint variaia rezistivitii cu temperatura pentru argint (fig. 1.20,a) i staniu (fig. 1.20,b). n timp ce la Ag rezistivitatea scade liniar cu scderea temperaturii, la Sn rezistivitatea scade brusc la zero la o temperatur Tc = 3,72

0 K. Staniul este un metal supraconductor pe cnd argintul nu este. Se cunosc o serie de materiale supraconductoare metalice sau aliaje, acestea prezentnd un interes teoretic i

aplicativ deosebit.

n tabelul 1.3 sunt date temperaturile critice pentru cteva materiale supraconductoare. Temperatura critic a materialelor supraconductoare depinde de valoarea cmpului magnetic exterior. n stare de supraconductibilitate apar proprieti i comportri interesante, dintre care menionm:

Tabelul 1.3 Materialul Tc [K] Al Sn Pb Nb Ti

1,175 3,72 7,18 8,7 0,39

a) b) Fig. 1.20

- un curent odat stabilit ntr-un material supraconductor se menine timp ndelungat dac temperatura T < Tc; - n interiorul unui material supraconductor nu se poate stabili un cmp magnetic (efect Meissner); - efectul de supraconductibilitate exist numai sub o anumit valoare a cmpului magnetic numit cmp magnetic critic Hc. Starea de magnetizare. Cmpul magnetic n vid Experimental se constat c exist n natur substane, ca de exemplu magnetitul (Fe3O4), care au proprietatea c ntre ele sau ntre ele i corpuri din fier apar fore sau cupluri care nu sunt de origine mecanic, termodinamic sau electric. De asemenea ntre conductoare parcurse de cureni sau ntre magnetit i conductoare parcurse de cureni apar aciuni ponderomotoare (fore, cupluri). Se spune despre magnetit c este n stare de magnetizare. i alte substane se pot afla n stare de magnetizare, unele se afl n aceast stare n mod permanent iar altele numai cnd se afl n apropierea altor corpuri magnetizate sau n apropierea unor conductoare parcurse de cureni. Se vorbete astfel despre o stare de magnetizare permanent caractersitic magnetitului, oelului dur sau altor substane i despre o stare de magnetizare temporar caractersitic de exemplu fierului moale. Starea fizic din jurul corpurilor magnetizate prin intermediul creia se manifest aciunile ponderomotoare

caracteristice se numete cmp magnetic. Starea de magnetizare a unui mic corp magnetizat se caracterizeaz prin mrime vectorial numit moment magnetic m, mrime fizic primitiv. Cmpul magnetic se caracterizeaz n vid prin mrimea fizic vectorial numit inducie magnetic B. O posibil relaie de definire a celor dou mrimi fizice este dat de expresia cuplului C care se exercit asupra unui corp magnetizat de moment magnetic m cnd se afl situat ntr-un cmp

magnetic de inducie B :

C m B= (2.1)

Curbele tangente n orice punct la vectorul inducie B se numesc linii de cmp magnetic. Dac un mic corp magnetizat de moment magnetic m se afl ntr-un cmp magnetic ca n fig. 2.1, atunci cuplul C tinde s roteasc micul corp astfel nct o direcie caracteristic a corpului magnetizat (direcia lui m ) s se suprapun peste aceea a induciei magnetice. Un exemplu practic este acul magnetic (micul corp magnetizat) care, dac este lsat liber, se rotete pn cnd axa lui se suprapune peste linia cmpului magnetic terestru. Axa m a corpului magnetizat poart numele de direcie de magnetizare. Unitatea de msur a induciei magnetice n vid este tesla [T] sau weber pe metru ptrat Wb/m2: 1 T = 1 Wb/m2 = 1 N/Am. Unitatea de msur a momentului magnetic este amper x metru ptrat A m2. n cmp magnetic uniform de inducie B asupra unui corp magnetizat se exercit numai un cuplu. Valoarea acestui cuplu este:

sin= BmC (2.5) n studiul cmpului magnetic n vid se mai definete i o alt mrime fizic vectorial numit intensitatea cmpului magnetic n vid H:

B H= 0 (2.8)

unde 0 este permeabilitatea magnetic a vidului, o constant fizic ce se msoar n henry pe metru [H/m] n sistemul de uniti SI. Este evident c n vid este suficient una din mrimile B i H pentru a caracteriza cmpul magnetic, deoarece cele dou difer doar printr-o constant cu dimensiuni. Unitatea de msur n SI a intensitii cmpului magnetic este amper pe metru [A/m].

Pentru a caracteriza starea de magnetizare a unor corpuri masive se introduce mrimea vectorial numit magnetizaie M . Astfel, dac ne intereseaz starea de magnetizare dintr-un punct P din corpul magnetizat (fig. 2.2), atunci putem nota cu m momentul magnetic al unui mic domeniu de volum v ce conine n interior punctul P. Se definete magnetizaia M n punctul P din corp prin relaia:

Mm

v

dm

dvv= =

lim

0

(2.9)

Momentul magnetic rezultant m al corpului se poate scrie:

= v dvMm (2.10) Fluxul magnetic. Legea fluxului magnetic

Se definete fluxul magnetic printr-o suprafa oarecare S deschis ca mrimea scalar egal cu integrala de suprafa a induciei magnetice B pe acea suprafa:

= BdAS

(2.33)

Pentru a defini fluxul magnetic este necesar alegerea unui sens al vectorului arie dA n raport cu suprafaa S, respectiv a unui sens al vectorului normal la suprafaa n :

dA ndA=

Relaia (2.33) exprim fluxul magnetic ca o sum a fluxurilor magnetice elementare: d B dA = . Dac ntre inducia magnetic B i normala la suprafa este unghiul , atunci:

= B dAS

cos (2.34)

Fluxul magnetic este o mrime fizic derivat, care se msoar n SI n weber [Wb]: 1 Wb = 1Vs. n cazul unui cmp

magnetic uniform B = const. i a unei suprafee S plane, expresia fluxului magnetic devine:

= B S cos (2.35)

unde S este aria suprafeei plane iar este unghiul dintre normala n la suprafa i inducia magnetic

B . Fluxul magnetic este maxim cnd

= = 2

, . B S

Legea fluxului magnetic, n form integral se enun astfel: Fluxul magnetic prin orice suprafaa nchis este n orice moment nul. Expresia matematic a legii este;

= 0dAB (2.36)

Fig. 2.2

Fig. 2.14

Legea fluxului magnetic evideniaz urmtoarele aspecte practice: - cmpul induciei magnetice este solenoidal, liniile de cmp ale induciei magnetice sunt ntotdeauna linii nchise, pentru un magnet permanent la care n exterior liniile de cmp ale lui B ies din polul nord i intr n polul sud, ele continu i prin interiorul magnetului de la polul sud spre polul nord, - dac magnetul permanent este tiat n dou rezult doi magnei permaneni cu dou perechi de poli Nord-Sud.

- cei doi poli magnetici nu pot fi separai, nu exist sarcini magnetice similare sarcinilor electrice.

1.19 Tensiunea magnetic. Tensiunea magnetomotoare

ntr-un cmp magnetic oarecare se definete tensiunea magnetic ntre dou puncte 1 i 2 ca mrimea scalar egal cu integrala de linie a intensitii cmpului magnetic ntre punctele 1 i 2 de pe curba C (fig. 2.23).

=2

112 sdHUm

n sistemul de uniti SI unitatea de msur a tensiunii magnetice este amperul [A]. n cazul n care punctele P1 i P2 se afl pe o curb (C) care este o linie de cmp magnetic (fig. 2.24,a) tensiunea magnetic este pozitiv cnd este calculat n sensul intensitii cmpului magnetic H (dinspre P1 spre P2). n cazul unei curbe nchise () se definete

tensiunea magnetomotoare n lungul curbei () nchise prin relaia:

= sdHUmm (2.64) Dac prin suprafeele ce se sprijin pe curba () fix n spaiu nu exist cureni electrici de conducie, tensiunea magnetomotoare n lungul curbei () este nul. Att tensiunea magnetic, ct i tensiunea magnetomotoare sunt mrimi fizice derivate importante pentru studiul cmpului magnetic.

Legea circuitului magnetic Legea circuitului magnetic se refer la integrala de linie a intensitii cmpului magneticH n lungul unei curbe nchise (). n form integral legea circuitului magnetic se enun astfel: integrala de linie a intensitii cmpului magnetic H n lungul oricrei curbe nchise este egal cu suma dintre intensitatea curentului electric de conducie total (solenaia) care strbate orice suprafa ce se

sprijin pe curba () i derivata n raport cu timpul a fluxului electric prin acea suprafa:

+=

SSAdD

dt

disdH (2.65)

respectiv:

+=S

mm AdDdt

dU (2.66)

unde = S

i = N i este curentul total ce strbata suprafaa nchis numit i solenaie.

Al doilea termen din membrul drept al relaiei (2.67) se numete intensitatea curentului de deplasare id prin suprafaa S:

=S

d Adt

Di

(2.68)

mrimea:

JD

td =

(2.69)

fiind densitatea curentului de deplasare. Acest curent apare n cazul curentului alternativ.

Aplicaii ale legii circuitului magnetic Cmpul magnetic al conductorului rectiliniu parcurs de curent.

S considerm pentru nceput un conductor rectiliniu, infinit lung, parcurs de curentul de conducie de intensitate i (fig. 2.29). Din motive de simetrie n raport cu axa conductorului liniile de cmp magnetic sunt cercuri situate n plane perpendiculare pe conductor. n plus valoarea intensitii cmpului magnetic H este aceeai n toate punctele aflate la distana r de axul conductorului. Vom aplica legea circuitului magnetic pentru un contur format de linia de cmp ce trece prin punctul P:

= ildH Mai departe:

H r i =2

de unde rezult:

Hi

r=

2 (2.80)

relaie cunoscut i sub numele de formula Biot-Savart. Cmpul magnetic al bobinei toroidale Considerm un tor (fig. 2.30) uniform bobinat, spir lng spir, avnd N spire parcurse de un curent electric de intensitate i. Se poate aplica legea circuitului magnetic pentru un contur de raz r ce trece prin mijlocul miezului magnetic al torului.

= iNsdH n membrul drept al relaiei (2.82) apare termenul Ni deoarece suprafaa S ce se sprijin pe curba este strbtut de N ori de curentul i.

Termenul Hi mai poart denumirea de solenaie = Ni. Mai departe:

iNrH = 2

de unde:

HN i

r=

2

(2.83)

Se observ c intensitatea cmpului magnetic este neuniform n seciunea torului. n practic pentru R R R Rext extint int, >> se folosete relaia de calcul:

HNi

Rmed=

2 (2.84)

considernd cmpul magnetic aproximativ uniform n seciunea torului. Legea induciei electromagnetice

Experiena arat c n prezena unui cmp magnetic variabil n timp apare ntotdeauna un cmp electric. Se spune despre acest cmp electric c este un cmp electric indus cruia i se asociaz corespunztor o tensiune electromotoare indus. Astfel, dac o spir se afl n poziie fix n apropierea unui magnet permanent, dei ea este strbtut de cmp magnetic prin spir nu apare curent electric (fig. 2.31,a). n schimb, cnd spira se deplaseaz, astfel nct fluxul magnetic prin spir s se modifice, prin spir apare un curent electric ce poate fi pus n eviden cu un instrument de msur. Experiena arat de asemenea c sensul curentului indus n spir depinde de sensul de variaie al fluxului magnetic prin suprafaa ce se sprijin pe conturul spirei. n form integral legea induciei electromagnetice se enun astfel: tensiunea electromotoare indus n lungul unei curbe nchise oarecare este egal i de semn contrar cu derivata n raport cu timpul a fluxului magnetic prin

orice suprafa deschis S ce se sprijin pe curba .

Ud

dt

d

dte

S= = (2.85)

S-a notat cu

= S fluxul magnetic total printr-o suprafa deschis oarecare S ce se sprijin

pe conturul nchis . n cazul prezentat n figura 2.31 unde exist o singur spir N=1, fluxul magnetic total

= = S este egal cu fluxul magnetic propriu-zis sau fascicular prin spir.

n practic intervin ns situaii cnd curba nchis are mai multe spire, ca n fig. 2.32. n acest caz notnd cu fluxul magnetic fascicular mediu printr-o spir se observ c:

= N

iar relaia (2.85) se scrie:

Ud N

dtNd

dte =

=

( ) (2.86)

De reinut faptul c nu este vorba despre un flux magnetic mai mare de N ori produs de magnetul permanent, ci este fluxul magnetic produs de acelai magnet prin suprafaa S care se sprijin pe un contur ce nlnuie fluxul de N ori.

Semnul minus din expresia legii induciei electromagnetice apare pentru a asocia sensul tensiunii electromotoare induse cu sensul de variaie a fluxului magnetic. Sensul tensiunii electromotoare induse se poate stabili cu ajutorul regulii lui Lenz independent de expresia analitic a legii induciei electromagnetice. Conform regulii lui Lenz: sensul tensiunii electromotoare induse este astfel nct, dac circuitul se presupune nchis printr-un conductor, atunci curentul indus ce ar apare prin

circuit ar avea un astfel de sens nct s se opun variaiei fluxului

magnetic prin suprafaa S ce se sprijin pe . Se prezint n fig. 2.34 patru situaii n care se indic variaia induciei magnetice B (crete sau scade) i sensul corespunztor al curentului indus i al induciei magnetice Bindus produse de curentul indus. Referindu-ne la fig. 2.34, a, pentru vederea din fa a spirei

(desenul de sus) se observ c fluxul magnetic prin spir este orientat spre figur i crete datorit creterii lui B. Ca urmare, pentru a se opune creterii acestui flux, inducia magnetic a cmpului produs de curentul indus trebuie s aib n interiorul spirei sensul dinspre figur spre observator, rezult astfel sensul curentului indus iindus asociat cu Bindus dup regula burghiului drept. n cazul fig. 2.34, b deoarece fluxul induciei magnetice B prin spir scade, sensul cmpului magnetic al curentului indus trebuie s coincid cu al lui B pentru a se opune scderii acestuia. Rezult n consecin sensul curentului indus i al tensiunii electromotoare induse Ue. Aplicaii ale legii induciei electromagnetice

a) b)

c) d) Fig. 2.34

Tensiunea electromotoare indus prin transformare Presupunem un transformator monofazat reprezentat n fig. 2.37 funcionnd n gol (fr sarcin conectat la bornele secundare 2-2). nfurarea primar 1-1 i secundar 2-2 sunt dispuse pe un miez confecionat din tole de oel electrotehnic (silicios). nfurarea primar avnd N spire este alimentat de la reea cu o tensiune alternativ sinusoidal n circuitul acesteia apare un curent i, de asemenea variabil n timp, care va produce prin circuitul magnetic un flux magnetic variabil n timp. Presupunem o variaie sinusoidal a fluxului magnetic prin seciunea miezului:

= max sin t (2.99)

nfurrile primar i secundar fiind strbtute de un flux magnetic variabil n timp se vor induce n acestea tensiunile electromotoare:

ud

dtN

d

dtN te m1

11 1= = =

cos (2.100)

ud

dtN

d

dtN te2

22 2= = =

cos (2.101)

Am neglijat dispersia considernd acelai flux mijlociu prin fiecare din cele dou nfurri. Se observ c cele dou tensiuni electromotoare induse sunt defazate cu 900 n urma fluxului magnetic inductor . Valorile efective ale tensiunii electromotoare induse n nfurrile transformatorului sunt:

UfN U

fNe m e m1 1 2 2

2

2

2

2= =

, (2.102)

Se observ c raportul dintre valorile efective ale t.e.m. este:

U

U

N

N

e

e

1

2

1

2

= (2.103)

Tensiunea electromotoare indus prin micare de rotaie Presupunem (fig. 2.38) o spir 1-1 care se rotete cu viteza unghiular constant ntr-un cmp magnetic uniform de inducie B. Spira are o form dreptunghiular i are axa perpendicular pe liniile de cmp magnetic. Dac d A este vectorul normal la suprafaa plan S ce se sprijin pe conturul al spirei, atunci la un moment dat fluxul magnetic prin spir are valoarea:

= B S cos

unde S este aria dreptunghiului limitat de spir. Cum spira se afl n micare de rotaie = t fluxul magnetic este variabil n timp:

= B S tcos

Aplicnd legea induciei electro-magnetice n forma dat de relaia (2.85), se deduce:

Fig. 2.37

tSBdt

due sin=

= (2.104)

Altfel, considernd curba ataat spirei n micare i aplicnd formula (2.97) rezult pentru tensiunea electromotoare:

tBStDlBlB

D

dlBvsdiBvsdBvu le

sinsin)(2sin2

sin)sin()(

===

==== (2.105)

La calculul integralei din relaia (2.105) s-a inut seama c la producerea t.e.m. rezultante n lungul conturului i aduc aportul doar cele dou laturi de lungime l ale spirei care sunt perpendiculare pe liniile de cmp magnetic. Tensiunile electromotoare induse n laturile spirei ce se rotesc n plane paralele cu figura se anuleaz. Rezult astfel pentru tensiunea electromotoare indus aceeai expresie ca n relaia (2.104). il este un versor

orientat dup direcia dat de produsul scalar v B .

Tensiueai electromotoare indus prin micare de translaie ntr-o bar metalic AB care alunec cu viteza v pe un etrier metalic n form de U (fig. 2.36). ntregul sistem se afl n cmp magnetic uniform de inducie B constant n timp i perpendicular pe planul figurii. Dac l este lungimea medie a barei AB, atunci pentru calculul t.e.m. induse se consider curba nchis ce trece prin bara metalic AB i este antrenat mpreun cu bara. Sensul cmpului electric indus i al t.e.m. induse se stabilete pe baza relaiei E v B= . Altfel sensul tensiunii electromotoare induse se poate stabili pe baza regulii minii drepte: se aeaz mna dreapt deasupra barei ABastfel nct cmpul magnetic s intre n palm iar degetul mare s fie orientat n sensul vitezei v. Cele patru degete ale minii vor indica sensul t.e.m. induse. Valoarea t.e.m. induse rezult:

== lBvldBvue )( (2.98) Singura poriune a conturului n lungul creia apare cmp electric imprimat indus este AB, care este n micare cu viteza v . Restul conturului este fix. Aceeai expresie a t.e.m. induse prin micare se poate deduce pe baza relaiei (2.89). Astfel presupunem c la momentul t bara AB se afl la distana x fa de captul etrierului. Dup un timp dt bara se deplaseaz pe distana dx = vdt. Corespunztor creterii suprafeei S egal cu dA = l dx vom avea o cretere a fluxului magnetic prin aceast suprafa d BdA Bldx = = . Pentru tensiunea electromotoare indus rezult valoarea:

ud

dtB l

dx

dtB l ve = = =

identic cu cea dat de relaia (2.98).

Fig. 2.38

Relaii ntre fluxuri i cureni. Inductivitatea proprie i mutual

S considerm o spir filiform parcurs de un curent de intensitate i i fie fluxul magnetic produs de acest curent prin conturul C al spirei. Se numete inductivitate proprie a spirei mrimea fizic dat de relaia:

Li

= >

0 (2.214)

Inductivitatea proprie a spirei depinde numai de dimensiunile i forma spirei i de permeabilitatea magnetic a mediului n care se afl spira. Dac mediul magnetic este liniar atunci dependena ntre i i este liniar, iar inductivitatea este o mrime constant. Sensul de referin al mrimilor i i se asociaz dup regula burghiului drept astfel c inductivitatea proprie este o mrime scalar pozitiv. Unitatea de msur a inductivitii n sistemul de uniti S.I. este henry [H].

Pentru un circuit filiform oarecare, de exemplu pentru o bobin format din N spire se definete inductivitatea proprie ca raportul dintre fluxul magnetic total sc care strbate suprafaa mrginit de curba C i intensitatea i a curentului ce strbate bobina:

Li i

sc= =

(2.217)

Dup cum se observ din figura 2.52, a curba C urmrete conturul conductorului filiform al bobinei i se nchide prin exteriorul bobinei. Fluxul magnetic sc care strbate conturul C se numete flux magnetic total sau nlnuire magnetic sc = . Fluxul magnetic total se poate exprima n

funcie de fluxul magnetic fascicular printr-o spir cu relaia:

=

Fig. 2.36

a) b) Fig. 2.52

S considerm acum dou spire cuplate magnetic. Dou spire sau n general dou circuite se zic cuplate magnetic dac o parte din fluxul magnetic produs de unul din circuite strbate conturul celuilalt circuit.

S presupunem n figura 2.53,a, dou spire 1 i 2, spira 1 fiind parcurs de curentul de intensitate i1, iar i2 = 0. Dac notm cu 11 fluxul magnetic propriu produs de curentul i prin spira 1, atunci inductivitatea proprie a spirei 1 este:

Li

1111

1

0= >

(2.219)

O parte din fluxul magnetic propriu 11 notat cu 21 i numit flux mutual strbate i conturul spirei 2, restul fluxului magnetic notat cu d1 care nu strbate spira 2 fiind numit flux de dispersie al spirei 2 n raport cu spira 1. Evident c n cazul a dou spire filiforme avem ndeplinit relaia:

11 21 1= + d (2.220)

Se numete inductivitate mutual L21 a spirei 2 fa de spira 1 raportul dintre fluxul mutual 21 i curentul i1 care produce acest flux:

Li

i2121

12 0= =

, (2.221)

Reciproc dac se consider spira a doua parcurs de curentul i2 i curentul din prima spir este nul i1 = 0, se poate defini inductivitatea mutual L12 a spirei 1 n raport cu spira 2:

Li

i1212

21 0= =

, (2.222)

n cazul unor medii magnetice liniare, izotrope i omogene cele dou inductiviti mutuale satisafc condiia de reciprocitate:

L L21 12= (2.223)

Valoarea comun a celor dou inductiviti mutuale se noteaz cu M = L21=L12. De remarcat faptul c fluxul 21 poate fi pozitiv (fig. 2.53, b) sau negativ (fig. 2.52) n funcie de sensurile de referin alese pentru elementul de arie d A din spira 2. Cum elementul de arie d A din spira 2 se asociaz dup regula burghiului drept cu sensul curentului i2 prin aceast spir, flux magnetic

a) b) c) Fig. 2.53

21 pozitiv nseamn c sensul fluxului 21 este acelai cu al fluxului magnetic propriu al spirei 2 produs de curentul i2. Exprimarea flux magnetic 21 negativ nseamn sens contrar al fluxului mutual fa de sensul fluxului magnetic propriu. Corespunztor inductivitile mutuale L21 i L12 pot rezulta pozitive sau negative. Fie n figura 2.54 dou bobine cuplate magnetic avnd N1 respectiv N2 spire. Presupunem la nceput c numai bobina 1 este parcurs de curentul i1 (i2=0). n general (fig. 2.54,a) fluxurile magnetice fasciculare sunt i n acest caz diferite pentru spirele bobinelor, dar vom considera un cuplaj magnetic echivalent ca cel din figura 2.54, b. Corespunztor se definesc urmtoarele fluxuri magnetice fasciculare medii: 11 - fluxul magnetic propriu care strbate spirele bobinei 1; 21 - fluxul magnetic mutual sau util care, este produs de bobina 1, dar strbate i spirele bobinei 2; d1 - fluxul magnetic de dispersie al bobinei 1 fa de 2, care se nchide prin aer n jurul bobinei 1 i nu strbate bobina 2. Acestor fluxuri magnetice le corespund urmtoarele inductiviti: - inductivitatea proprie L11 a bobinei 1:

LN

i i11

11 1

1

11

1

= =

(2.224)

- inductivitatea mutual L21 a bobinei 2 fa de bobina 1:

LN

i21

21

1

=

- inductivitatea de dispersie Ld1 a bobinei 1 fa de bobina 2:

Li

d

d

11

1

=

Inductivitile sunt parametri fizici globali ai

circuitelor electrice care permit exprimarea fluxurilor magnetice n funcie de curenii care produc aceste fluxuri. n schemele electrice inductivitatea proprie se reprezint ca n figura 2.55. Inductivitatea mutual M dintre dou bobine cuplate magnetic se reprezint ca n figura 2.56. Precizarea semnului inductivitii mutuale M n schemele electrice se face, uzual, conform urmtoarei convenii: una dintre bornele fiecrei bobine (numit uneori nceput al nfurrii) se marcheaz cu un asterisc sau altfel. Dac curenii i1 i i2 au acelai sens fa de bornele marcate (ambii cureni intr

a) b) Fig. 2.54

Fig. 2.55 Fig. 2.56

a) b) Fig.2.2

i

u

M(U/RS,U)

Caracteristica sursei ideale

Dreapta de sarcin

U

tg=RS

u

i

n bornele marcate sau ambii cureni ies din bornele marcate) inductivitatea mutual se consider pozitiv iar cuplajul magnetic se numete adiional. n caz contrar (n una din bobine curentul intr n borna marcat iar n cealalt curentul iese din borna marcat) cuplajul magnetic al celor dou bobine este n opoziie, iar inductivitatea mutual este negativ. Circuite electrice decurent continuu. Elemente de circuit. Surse de tensiune electromotoare. Surse de curent. Elemente de circuit Se numete circuit , un ansamblu de generatoare i receptoare, cu legtur conductoare ntre ele.

Elementele unui circuit de curent continuu sunt sursele de energie sau de tensiune electromotoare i

rezistoarele electrice. Mrimile care intervin sunt: tensiunea electromotoare (E), cderea de tensiune

sau tensiunea electric (U), intensitatea curentului electric (I), i puterea electric (P). Rezistoarele sunt

caracterizate prin parametrul R, numit rezisten electric. Surse de tensiune electromotoare Sursa ideal de tensiune electromotoare este un element activ bipolar, prevzut cu dou borne, prin intermediul crora se leag la circuit; bucurndu-se de proprietatea c tensiunea la bornele sale este riguros constant i ea nu depinde de valoarea curentului debitat, avnd rezistena intern nul. Cu alte cuvinte caracterul ideal al sursei se traduce prin faptul c ea poate menine la bornele sale o tensiune constant, indiferent de valoarea rezistenei de sarcin RS,conectat la bornele sale (deci la orice valoare a curentului prin circuit). La intersecia caracteristicii cu dreapta de sarcin, se afl punctul M, ale crui coordonate vor caracteriza regimul de curent continuu al circuitului. Sursa ideal de tensiune i caracteristica ei sunt prezentate n figura 2.2a,b: Sursa real de tensiune electromotoare

n realitate, sursa ideal de tensiune nu poate exista, deoarece conform legii lui Ohm

=

R

ui , cnd

rezistena R devine zero, avem i , deci puterea (p=ui) , devine infinit, lucru care ntr-o situaie real nu este posibil.

Din acest motiv generatorul real , reprezentat n figura 2.3,a, trebuie s cuprind n serie cu cel ideal o rezisten Ri (rezisten interioar), care limiteaz curentul la o valoare finit.

Conform legii lui Ohm, avem: iRR

Ei

+=

Tensiunea la bornele sursei reale de tensiune este dat de relaia: ub = E - iRi = E - u; unde u

= Ri i este cderea intern de tensiune , pe rezistena Ri . Caracteristica sursei reale rezult ca n figura

2.3,b.

Intersecia caracteristicii sursei reale de tensiune cu axele de coordonate se face n punctele:

- punctul de mers n gol, cu coordonatele I = 0 i ub = U0 = E;

- punctul de mers n scurtcircuit, cu coordonatele I = ISC = E/RI i ub = 0. Curentul de

scurtcircuit ISC este mult mai mare dect curentul nominal al sursei reale, putnd duce la distrugerea

sursei . Deci n cazul sursei reale , tensiunea la borne depinde de curentul stabilit prin circuit,

caracteristica sursei reale apropiindu-se de caracteristica sursei ideale cu att mai mult cu ct rezistena

intern Ri , este mai mic. Sursa ideal de curent este un element activ bipolar, care se bucur de prorietatea c intensitatea curentului debitat este riguros constant i ea nu depinde de valoarea tensiunii la borne. Sau cu alte cuvinte sursa ideal de curent se caracterizeaz prin faptul c va putea menine n circuit un curent constant indiferent de valoarea rezistenei de sarcin RS. Sursa ideal de curent i caracteristica sa sunt reprezentate n figura 2.4 a,b.

0 i

u

Caracteristica sursei ideale

U0=

ub

u

Caracteristica

sursei reale

ISC

a) b) Fig. 2.3

i

u Caracteristica sursei ideale

Sursa real de curent n practic nu poate exista o surs ideal de curent deoarece,conform legii lui

Ohm, (u = iR), la mers n gol , R = , rezult u i ar debita o putere (p = ui) infinit. Din

acest motiv, sursa real de curent cuprinde n paralel cu cea ideal o rezisten Ric (rezisten

interioar), conform schemei din figura 2.5 a, iar caracteristica sa devine cea din figura 2.5 b.

Caracteristica sursei de curent reale, uGiR

uii is

i

s == , se apropie de caracteristica ideal cu att

mai mult cu ct rezistena intern Ri ,este mai mare.

Intersecia caracteristicii sursei reale de curent cu axele de coordonate se face n punctele: - punctul de mers n gol, cu coordonatele: i = 0 i u = U0 = RicIs; - punctul de mers n scurtcircuit, cu coordonatele: i = ISC = IS i u = 0.

a) b) Fig. 2.4

0 i

u

I0

M(Io,RSI)

Caracteristica sursei ideale

Dreapta de sarcin

i = i

a) b) Fig. 2.5

0 Is

i ic

ic

i

Is

Metoda teoremelor lui Kirchhoff. Structura circuitelor se caracterizeaz prin: ramuri (sau laturi), noduri i ochiuri (sau bucle). n figura 2.1 este reprezentat un circuit care conine surse (E5 i E6) i rezistoare (R1, R2, R3, R4, R5 i R6). Se numete latur (sau ramur) a unui circuit o poriune neramificat a sa, de exemplu latura AB, latura BD, etc. Numrul de laturi ale unui circuit se noteaz cu L. n cazul figurii 2.1, L = 6. Se numete nod, punctul de intersecie a cel puin trei laturi ale circuitului. n figura 2.1 nodurile sunt A, B, C i D. Numrul de noduri ale unui circuit se noteaz cu N, n figura 2.1 avem N = 4. Se numete bucl (ochi) a unui circuit, un traseu conductor nchis n acel circuit. Numrul de bucle independente (ochi de plas), ale unui circuit se notez cu litera B. n figura 2.1 pot fi ochiuri urmtoarele trasee: ABDA, DBCD, ADCA, etc.

Teorema I a lui Kirchhoff se refer la un nod al unei reele electrice, i are urmtorul enun: Suma algebric a intensitilor curenilor din cele n laturi care converg ntr-un nod al unui circuit de curent continuu, este nul:

0In

1k

k ==

Ca semn al curenilor se poate considera, de exemplu, semnul plus pentru curenii care pleac din nod i semnul minus pentru curenii care intr n nod. Teorema a II-a a lui Kirchhoff se refer la un ochi de reea, i are urmtorul enun: Suma algebric a tensiunilor electromotoare a surselor din cele N laturi ale unui ochi de reea, este egal cu suma algebric a produselor dintre rezistena total a fiecrei laturi i curentul care parcurge latura respectiv.

==

=N

1k

kk

N

1k

k IRE

Practic pentru calculul curenilor ntr-o reea se procedeaz dup cum urmeaz: a) Se stabilete numrul de noduri n i numrul de laturi l ale reelei. Se calculeaz numrul de ochiuri sau bucle fundamentale cu relaia: b = l n + 1. b) Se atribuie n mod arbitrar un sens fiecrui curent din laturile reelei; se marcheaz aceste sensuri prin sgei. c) Se aleg ochiurile independente i sensul de referin (sau de parcurgere) n fiecare ochi, care se marcheaz printr-o sgeat. d) Se scrie prima teorem a lui Kirchhoff pentru n-1 noduri ale reelei. e) Se scrie a doua teorem a lui Kirchhoff pentru ochiurile findamentale alese. f) Se rezolv sistemul de ecuaii obinut. Curenii care rezult din calcul, cu semnul plus (pozitivi) circul n latur n acelai sens cu sensul ales la nceput, n etapa b). Curenii care rezult din calcul negativi (cu semnul minus), circul n latura corespunztoare, n sens contrar celui ales iniial.

Fig. 2.1

I3

E1 R1

R7 R8

E2

R2

R3 E3

E5

R5

R6

E4

R4

I1

I2 I4

I7 I8

I6 I5

0 1 2

3 4

I

III

IV

II

Circuitul are 5 noduri (n = 5), i 4 bucle independente ( care nu se suprapun) (b = 4) i 8 laturi

(l = 8). Se verific c: l = b+n-1. Se scriu teoremele lui Kirchhoff, pentru n 1 =4 noduri, i pentru cele 4 bucle independente, rezultnd sistemul de ecuaii: - nod 1: I4 I1 I7 = 0 - nod 2: I1 + I2 + I8 = 0 - nod 3: -I3 - I2 - I5 = 0 - nod 4: I3 + I6 I4 = 0 - bucla I: R1I1 R7I7 R8I8 = E1 - bucla II: R4I4 + R6I6 + R7I7 = E4 - bucla III: -R2I2 + R5I5 + R8I8 = -E2 + E5 - bucla IV: -R3I3 + R5I5 + R6I6 = E5 E3 E1 = 80 V, E2 = 160 V, E3 = 50 V, E4 = 110 V, E5 = 65 V, R1 = 20 , R2 = 15 , R3 = 30 , R4 = 5 , R5 = 5 , R6 = 20 , R7 = 30 , R8 = 10 . nlocuind n sistem valorile corespunztoare coeficienilor, i rezolvnd sistemul, n care curenii din laturi sunt neconoscute, prin metoda substituiei sau folosindu-ne de programul MathCad, se obin soluiile: I1 = 3 A, I2 = 2 A, I3 = 1 A, I4 = 4 A, I5 = -3 A, I6 = 3 A, I7 = 1 A, i I8 = -5 A. Sensurile reale ale curenilor I5 i I8 sunt inverse, iar sursa de tensiune E5 lucreaz n regim de receptor. Metoda curenilor ciclici

n cadrul acestei metode se lucreaz cu un numr de b necunoscute, cureni fictivi, numii de contur, asociai cte unul pentru fiecare bucl. Cu alte cuvinte numrul de ecuaii este egal cu numrul de ochiuri (bucle) independente. n ecuaiile date de teorema a doua a lui Kirchhoff, se inlocuiesc curenii din laturi cu curenii de contur (curentul dintr-o latur reprezint suma algebric a curenilor de contur respectivi) i se obine un sistem cu b ecuaii i b necunoscute, de forma: R11Ic1 + R12Ic2 ++ R1bIcb = Ec1 (1) R21Ic1 + R22Ic2 ++ R2bIcb = Ec2 : : : : : : : Rb1Ic1 + Rb2Ic2 ++ RbbIcb = Ecb Metoda curenilor ciclici const n scrierea ecuaiilor curenilor de contur, n rezolvarea acestui sistem de ecuaii (a crui numr de ecuaii este egal cu numrul de

necunoscute i egal cu numrul de bucle independente) i n calculul curenilor din laturi n funcie de curenii de contur, astfel: a) se stabilesc curenii de contur i sensurile lor de referin, care coincid cu sensurile de parcurgere ale buclelor respective : Ic1, Ic2, Ic3, , Icb. b) se formeaz sistemul de ecuaii n care: Rkk este rezistena proprie a buclei k, adic suma rezistenelor aflate pe laturile buclei respective; Rkv este rezistena aflat pe latura comun buclei k i v. Dac sensurile pozitive ale curenilor ciclici Ick i Icv coincid n ramura comun atunci n sistem Rkv are semnul plus, n caz contrar are semnul minus. Eck este suma tensiunilor electromotoare din bucla independent k, exprimat fa de sensul de referin al curentului de contur Ick al buclei k. c) se rezolv sistemul de ecuaii (1), n care necunoscutele sunt curenii de contur (ciclici) Ick. d) se suprapun n fiecare latur curenii de contur pentru a obine curentul real al laturii respective. Ca i aplicaie se consider problema prezentat la seciunea pecedent, a crei date ni le reamintim: S se afle curenii din laturile circuitului reprezentat n figura 2.9, n care :

E1 = 80 V, E2 = 160 V, E3 = 50 V, E4 = 110 V, E5 = 65 V, R1 = 20 , R2 = 15 , R3 = 30 , R4 = 5 ,

R5 = 5 , R6 = 20 , R7 = 30 , R8 = 10 .

Rezolvare: Deoarece circuitul are 8 laturi i 5 noduri,

rezult c numrul buclelor independente este de 4,

conform relaiei lui Euller, deci vom avea 4 cureni

ciclici Ic1, Ic2, Ic3, Ic4, cte unul pentru fiecare bucl

independent, pe care i notm pe figur, ei parcurgnd

bucla corespunztoare n sensul arbitrar, stabilit pe

figur, astfel:

Ic1 strbate pe E1, R1, R8, R7

Ic2 strbate pe E4, R4, R7, R6

Ic3 strbate pe E2, R2, R5, E5, R8

Ic4 strbate pe E5, R5, R3, E3, R6

Urmtoarea etap const n scrierea sistemului de ecuaii pentru determinarea curenilor ciclici pentru circuitul de fa, fiind format din patru ecuaii cu patru necunoscute: R11Ic1 + R12Ic2 + R13Ic3 + R14Ic4 = Ec1

I3

E1 R1

R7 R8

E2

R2

R3 E3

E5

R5

R6

E4

R4

I1

I2 I4

I7 I8

I6 I5

Ic1

Ic3 Ic2

Ic4

Fig. 2.9

R21Ic1 + R22Ic2 + R23Ic3 + R24Ic4 = Ec2

R31Ic1 + R32Ic2 + R33Ic3 + R34Ic4 = Ec3

R41Ic1 + R42Ic2 + R43Ic3 + R44Ic4 = Ec4

Unde coeficienii sunt:

R11 = R1 + R7 + R8 = 60 - reprezint suma rezistenelor ochiului 1

R22 = R4 + R6 + R7 = 55 - reprezint suma rezistenelor ochiului 2

R33 = R2 + R5 + R8 = 30 - reprezint suma rezistenelor ochiului 3

R44 = R3 + R5 + R6 = 55 - reprezint suma rezistenelor ochiului 4

R12 = R21 = - R7 = -30 , s-a luat cu minus deoarece prin R7 curenii Ic1 i Ic2 au sensuri contrare

R13 = R31 = - R8 = -10 ; R24 = R42 = R6 = 20 ; R34 = R43 = R5 = 5 ;

R14 = R41 = R23 = R32 = 0 deoarece ohiurile 1 i 4, respectiv 2 i 3 nu au laturi comune.

Ec1 = E1 = 80 V; Ec2 = E4 = 110 V; Ec3 = - E2 + E5 = - 95 V; Ec4 = E5 E3 = 15 V;

nlocuind valorile obinute se obine:

60Ic1 - 30Ic2 - 10Ic3 = 80

-30Ic1 + 55Ic2 + 20Ic4 = 110

-10Ic1 + 30Ic3 + 5Ic4 = - 95

20Ic2 + 5Ic3 + 55Ic4 = 15

n urma rezolvrii sistemului se obin soluiile: Ic1 = 3 A; Ic2 = 4 A; Ic3 = -2 A; Ic4 = -1 A.; dup

care se deduc curenii reali prin aplicarea teoremei supranunerii efectelor, oinndu-se:

I1 = Ic1 = 3A; I2 = -Ic3 = 2A; I3 = -Ic4 = 1A; I4 = Ic2 = 4A; I5 = Ic3 + Ic4 = -3A; I6 = Ic2 + Ic4 = 3A; I7

= Ic2 Ic1 = 1A; I8 = Ic3 Ic1 = -5A.

Metoda potenialelor nodale Pentru studiul circuitelor prin metoda potenialelor nodale considerm exemplul anterior,cu aceleai date, parcurgnd urmtoarele etape: - se alege un nod de referin simbolizat prin legare la pmnt a crui potenial se consider nul, iar

I

E1 R1

R7 R8

E2

R2

R3 E3

E5

R5

R6

E4

R4

I

II

I I

I I

0 1

4 3

2

V1 V2

V4 V3

V2

V3

V4

V1

V1 V2

V3 V4 Fig. 2.10

restul nodurilor se numeroteaz; aici se observ c cel mai convenabil este nodul 0.- se introduc potenialele nodurilor n raport cu nodul de referin V1, V2, V3, V4 acestea fiind potenialele nodale i reprezint necunoscutele sistemului. Pentru determinarea potenialelor nodale trebuie alctuit i rezolvat sistemul urmtor de ecuaii: G11V1 G12V2 -- G1nVn = EG(1) -G21V1 + G22V2 -- G2nVn = EG(2) .

-Gn1V1 Gn2V2 -+ GnnVn = EG(n)

Fiecare ecuaie corespunde unui nod. n general nr. de ecuaii n = p 1, unde p este numrul de noduri ale circuitului.Se observ c diagonala principal a matricei sistemului, alctuit din coeficienii necunoscutelor, este pozitiv, iar restul termenilor sunt negativi.

G11 = 60

17

R

1

R

1

R

1

741

=++ S reprezint conductana total a laturilor legate la nodul (1), sau suma

conductanelor laturilor legate la nodul (1).

G22 = 60

13

R

1

R

1

R

1

821

=++ S suma conductanelor laturilor legate la nodul (2).

G33 = 10

3

R

1

R

1

R

1

532

=++ S suma conductanelor laturilor legate la nodul (3).

G44 = 60

17

R

1

R

1

R

1

643

=++ S suma conductanelor laturilor legate la nodul (4).

G12 = G21 = 20

1

R

1

1

= S suma conductanelor laturilor care leag direct nodul (1) cu nodul (2).

G14 = G41 = 5

1

R

1

4

= S suma conductanelor laturilor care leag direct nodul (1) cu nodul (4).

G23 = G32 = 15

1

R

1

2

= S suma conductanelor laturilor care leag direct nodul (2) cu nodul (3).

G34 = G43 = 30

1

R

1

3

= S suma conductanelor laturilor care leag direct nodul (3) cu nodul (4).

G13 = G31 = G24 = G42=0 deoarece ntre nodurile 1 i 3 respectiv 2 i 4 nu exist legtur direct

n membrul drept al ecuaiilor apar sume ale produselor EG, pentru laturile care se ntlnesc n modul

a crui ecuaie se scrie. Aceste sume se pot scrie i ca sume de rapoarte ntre tensiunea electromotoare

E i rezistena R a laturii respective. Aceste rapoarte sunt de fapt curenii de scurtcircuit ai laturilor i

anume dac latura (1) o deconectm din schem i o punem n scurtcircuit atunci curentul prin aceast

latur va fi: E1/R1 = E1G1.

EG pentru nodul (1) reprezint suma algebric a curenilor de scurtcircuit ai laturilor ce se ntlnesc

n nodul (1). n acest sum, termenii laturilor pentru care sursele sunt orientate cu borna pozitiv spre

nod sunt pozitivi, iar ceilali sunt negativi; prin urmare avem:

EG(1) = 1

1

4

4

R

E

R

E =18; EG(2) =

12

176

R

E

R

E

2

2

1

1 =+ ; EG(3) = 3

76

R

E

R

E

R

E

5

5

3

3

2

2 = ;

EG(4) = 3

61

R

E

R

E

4

4

3

3 = ;

nlocuind valorile obinute mai nainte, se obine sistemul:

60

17V1

20

1V2

5

1V4 = 18

20

1V1 +

60

13V2

15

1V3 =

12

176

15

1V2 +

10

3V3

30

1V4=

3

76

5

1V1

30

1V3 +

60

17V4 =

3

61

n urma rezolvrii acestui sistem, se obin urmtoarele soluii: V1 = 30 V; V2 = 50 V; V3 = -80 V; V4 = -60 V.

Se determin curenii din fiecare latur, aplicnd legea lui Ohm, astfel:

- pentru latura 1 avem: E1 + (V1 V2) = R1I1 => I1 = 1

211

R

)VV(E += 3 A;

- pentru latura 2 avem: E2 - (V2 V3) = - R2I2 => I2 = 2

322

R

)VV(E += 2 A;

- pentru latura 3 avem: E3 - (V4 V3) = R3I3 => I3 = 3

343

R

)VV(E = 1 A.

- pentru latura 4 avem: E4 + (V4 V1) = R4I4 => I4 = 4

144

R

)VV(E += 4 A;

- pentru latura 5 avem: E5 + V3 = R5I5 => I5 = 5

35

R

VE += -3 A

- pentru latura 6 avem: V4 = -R6I6 => I6 = 6

4

R

V= 3 A;

- pentru latura 7 avem: V1 = R7I7 => I7 = 7

1

R

V= 1 A;

- pentru latura 8 avem: V2 = - R8I8 => I8 = 8

2

R

V= - 5 A;

. Teorema lui Tellegen

Fie doua circuite 1 si 2 care au acelasi graf orientat G cu N noduri si L laturi (sensurile tensiunii

si curentului se asociaza dupa regula de la receptoare pentru toate laturile). Daca [I](1) = [i1,i2,...,il]t

este vectorul curentilor din laturile circuitului 1 care satisfac teorema I a lui Kirchhoff si [U](2) =

[u1,u2,...,ul]t este vectorul tensiunilor laturilor circuitului 2 care satisfac teorema a II-a a lui Kirchhoff,

atunci:

uk

t ik

tk

L ( ) ( ) ( ) ( )2 1 01

========

Demonstratie: Teorema lui Tellegen este o consecinta a teoremelor lui Kirchhoff. Trebuie sa aratam ca

[ U ](2)T

[ I ](1) = 0. Daca [I](1) si [U](2) satisfac teoremele lui Kirchhoff, atunci avem:

AI (1) = 0 si U (2) = At V (2)

Rezulta: [U(2)]T[I(1)] = [At V (2)]t I (1)= V (2) t A I(1). Dar AI (1) = 0 deci U (2) t I(1) =0. Q.E.D.

Am demonstrat ca existenta celor doua teoreme ale lui Kirchhoff implica teorema lui Tellegen.

Se poate demonstra ca oricare dintre teoremele lui Kirchhoff im