INTRODUCCION A LA MEC¢´ ANICA¢´ ¢â‚¬› ~vmunoz ¢â‚¬› homepage ¢â‚¬› cursos ¢â‚¬› ... ra los cursos de Mec¢´anica

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  • INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA

    Herbert Massmann

  • AGRADECIMIENTOS (1997)

    Aproximadamente la mitad de los problemas que figuran al final de cada caṕıtu- lo no son originales del autor, sino que provienen de controles, pruebas y listas de ejercicios que han circulado en la Facultad de Ciencias y en la Facultad de Ciencias F́ısicas y Matemáticas de la Universidad de Chile durante la última década. Lamen- tablemente resulta casi imposible establecer quiénes son los autores intelectuales de estos problemas para aśı poder darles el debido crédito.

    Deseo agradecer a Vı́ctor Muñoz, Miguel Kiwi, Fernando Lund, Patricia López, Pamela Weber, Claudio Romero y Lorena Céspedes, que con sus comentarios han me- jorado el texto y permitieron pesquisar muchos de los errores de las versiones prelimi- nares. Finalmente también mis agradecimientos al Dr. Hugo Arellano que gentilmente permitió incorporar a estos apuntes la lista de problemas que él confeccionó para el curso.

    Herbert Massmann

    Notas adicionales (2007)

    Los apuntes aqúı presentados han servido de base, durante mucho tiempo, pa- ra los cursos de Mecánica I y II, correspondientes al Primer y Segundo Semestre de Licenciatura en F́ısica de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Chi- le. La versión presentada en este archivo se basa en la última preparada por el Dr. Herbert Massmann de que disponemos, correspondiente al año 1997. No todas las fuentes estaban disponibles, sin embargo, y completar estos apuntes ha signifi- cado reconstruir algunos caṕıtulos (12–14) a partir de copias en papel. De hecho, en esta versión dos caṕıtulos no están incluidos: Gravitación (Cap. 11) y Ondas Sonoras (Cap. 15). Ambos se pueden encontrar como documentos separados, en http://llacolen.ciencias.uchile.cl/~vmunoz/cursos/mecanica2/mecanica2.html .

    Los agradecimientos que están más arriba fueron copiados del texto original del Dr. Massmann. Por mi parte, quisiera agregar agradecimientos a Areli Zúñiga, Ni- colás Rojas y Max Ramı́rez, que, en años posteriores, también han colaborado en la escritura de algunas secciones o en la confección de figuras.

    Esperamos completar y mejorar estos apuntes en la medida que el tiempo y la colaboración de nuestros colegas y alumnos lo permita.

    Vı́ctor Muñoz

  • Índice general

    1 Expansiones y Trigonometŕıa 1 1.1 Expansiones y series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Elementos de trigonometŕıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Solución a algunos de los problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    2 Cinemática en una dimensión 26 2.1 Posición, velocidad y aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2 El camino inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3 Máximos y mı́nimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4 Problemas: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.5 Solución a algunos de los problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.6 Elementos del cálculo infinitesimal e integral . . . . . . . . . . . . . . 56

    3 Cinemática en dos y tres dimensiones 58 3.1 Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.2 Cinemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.3 ∗ Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.5 Solución a algunos de los problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

    4 Las leyes de Newton 88 4.1 Espacio y tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.2 Las leyes de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.3 Uso de las leyes de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.4 Roce cinético y estático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.6 Solución a algunos de los problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

    5 TRABAJO Y ENERGÍA 126 5.1 Trabajo y enerǵıa para movimientos en una dimensión . . . . . . . . . 126 5.2 Trabajo para un movimiento en tres dimensiones . . . . . . . . . . . . 132 5.3 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

    i

  • ÍNDICE GENERAL ii

    5.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 5.5 Solución a algunos de los problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

    6 Momento lineal y colisiones 159 6.1 Conservación del momento lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.2 Colisiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 6.3 Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 6.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 6.5 Solución a algunos de los problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 6.6 Colisión de dos discos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

    7 Torque, centro de masas y equilibrio 187 7.1 Producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 7.2 Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 7.3 Centro de masas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 7.4 Evaluación numérica del centro de masas . . . . . . . . . . . . . . . . 194 7.5 Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 7.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 7.7 Solución a algunos de los problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

    8 Momento angular 218 8.1 Momento angular de una PARTÍCULA . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 8.2 Momento angular de varias part́Iculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 8.3 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 8.4 Solución a algunos de los problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

    9 Rotación de un cuerpo ŕıgido 233 9.1 Las ecuaciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 9.2 Momento de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 9.3 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 9.4 Solución a algunos de los problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

    10 Fuerzas ficticias 263 10.1 Referencial uniformemente acelerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 10.2 Referencial en rotación uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 10.3 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 10.4 Solución a algunos de los problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

    12 Fluidos 324 12.1 Conceptos preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 12.2 La presión atmosférica P0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 12.3 Principio de Arqúımedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 12.4 La fórmula barométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

  • ÍNDICE GENERAL 0

    12.5 Tensión superficial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 12.6 Capilaridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 12.7 Fluidos en movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 12.8 Aplicaciones del Principio de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 12.9 ∗ Viscosidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 12.10Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 12.11Solución a algunos de los problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

    13 Oscilador armónico 362 13.1 La ecuación diferencial ẍ(t) + ω20x(t) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 13.2 El oscilador armónico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 13.3 El oscilador armónico atenuado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 13.4 El oscilador armónico forzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 13.5 Osciladores armónicos acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 13.6 ∗ Modos normales de una cuerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 13.7 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 13.8 Solución a algunos de los problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396

    14 Ondas 400 14.1 La ecuación de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 14.2 Solución de la ecuación de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 14.3 Ondas estacionarias en una cuerda de largo L . . . . . . . . . . . . . . 409 14.4 ∗ Desarrollo de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412 14.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 14.6 Solución a algunos de los problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

  • Caṕıtulo 1

    Expansiones y Trigonometŕıa

    20 Marzo 2006 En este primer caṕıtulo se recopilarán algunos resultados de las matemáticas que son básicos para los caṕıtulos que siguen.

    1.1 Expansiones y series

    Consideremos las expansiones:

    (1 + x)1 = 1 + x

    (1 + x)2 = 1 + 2x + x2

    (1 + x)3 = 1 + 3x + 3x2 + x3

    (1 + x)4 = 1 + 4x + 6x2 + 4x3 + x4

    (1 + x)5 = 1 + 5x + 10x2 + 10x3 + 5x4 + x5

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