introdução eletrotécnica

Profº Jaime Mariz Eletrotécnica Básica

Eletrotécnica Básica

1. Resoluções de Circuitos em corrente contínua

Definições:

a) Bipolo � é qualquer dispositivo elétrico com dois terminais;

Ex.: Resistor, indutor, capacitor, gerador, etc.

Símbolo do bipolo:

b) Circuito Elétrico � é um conjunto de bipolos elétricos

interligados;

c) Gerador de Tensão Contínua � é um dispositivo elétrico que

impõe uma tensão entre seus terminais, qualquer que seja o

valor da corrente.

Símbolo do Gerador de tensão contínua:

d) Gerador de Corrente Contínua � é um dispositivo que impõe

uma corrente, qualquer que seja o valor da tensão aplicada aos

terminais.

Símbolo do Gerador de corrente contínua:

e) Associação de Dipolos em Série � é um conjunto de bipolos

ligados de tal maneira que a corrente que passa por um bipolo,

obrigatoriamente, passa pelos outros.

1

V

- +

B1 B2 B3 B4


f) Associação de bipolos em paralelo � é um conjunto de bipolos

ligados de tal maneira que a tensão aplicada a um é,

obrigatoriamente, aplicada aos outros.

g) Ligação de Bipolos em Estrela � é um conjunto de três bipolos

ligados de acordo com a figura abaixo

h) Ligação de Bipolos em Triângulo (delta) � é um conjunto de

três bipolos ligados conforme com a figura abaixo

2

B1 B2 B3 B4

B1

B2 B3

B1

B3

B2


Leis dos circuitos: o processo de resolução de circuitos em

corrente contínua baseia nas seguintes leis da Física:

a) Lei de Ohm:R

VI = ou V = RI

b) 1ª Lei de Kirchhoff (lei das correntes): o somatório das

correntes que convergem para um mesmo nó é igual a zero;

(princípio: a energia não pode ser criada ou destruída)

å = 0I

I3 + I5 � I1 � I2 � I4 = 0

I3 + I5 = I1 + I2 + I4

c) 2ª Lei de Kirchhoff (lei das tensões): a soma algébrica das

tensões ao longo de um caminho fechado é igual à soma

algébrica das quedas de voltagem existentes nessa malha

(princípio: a toda ação corresponde uma reação igual e

contrária). å å= RIE ou 0RIE =- åå

-E1+E2+E3=I1R1�I2R2+I3r3-I4R4

-E1+E2+E3-I1R1+I2R2-I3r3+I4R4=0

Análise de Malhas para resolução de circuitos3

I5 I1

I2

I4

I3

+ -

- +

+ -

+-

+ -

+-

- +


Este processo é válido para circuitos planares (que podem ser

representados num plano, sem cruzamentos de linha), contendo

apenas bipolos lineares e sem geradores de corrente.

Exemplo 01:

1ª Malha (ABEF): 100 � 40 =5I1 + 5I1 + 10(I1 � I2)

2ª Malha (BCDE): 40 = 10I2 + 10(I2 � I1)

60 = 20I1 - 10I2 60 = 20I1 - 10I2

40 = -10I1 + 20I2 (x2) 80 = -20I1 + 40I2

140 = 30I2

I2 =140/30 = 4,67A

60 = 20I1 � 10 x 4,67 � I1 = (60 + 46,7)/20

I1= 5,33A

Exemplo 02:

4


Nó A: I4 = I1 + I3

Nó B: I2 = I3 + I6

Nó C: I1 = I5 + I6

Malha ADCEF: E1 = I1R1 + I4R4 + I5R5

Malha BCD: E2 - E6 = I2R2 + I6R6 - I5R5

Malha ABCD: -E6 = -I3R3 + I6R6 � I4R4 - I5R5

Aplicando as Leis de Kirchhoff podemos transformar circuitos

ligados em �Y� em circuitos ligados em �D�

5


�D� em �Y�

321

31

RRR

RRRa

++=

321

21

RRR

RRRb

++=

321

32

RRR

RRRc

++=

�Y� em �D�

Rc

RcRaRbRcRaRbR1

++=

Ra

RcRaRbRcRaRbR2

++=

Rb

RcRaRbRcRaRbR3

++=

Exemplo 03:

6


2. Resoluções de Circuitos em corrente alternadaA quase totalidade dos sistemas elétricos trabalha com correntes e

tensões alternadas. Isto se deve ao fato de:

a) Ser mais fácil o transporte da energia para lugares distantes;

b) Ser econômica a transformação de níveis de tensão e de

corrente, de acordo com a necessidade;

c) Ser econômica a transformação de energia elétrica em

energia mecânica e vice-versa;

Força Eletromotriz de um alternador elementar

fm = Fluxo Máximo encadeado com a espira

w = Velocidade angular da espira (rad/seg)

a = wt = ângulo formado pelo plano da espira com o planoperpendicular às linhas de fluxo

f = fm.coswt

dt

de

f-= para uma espira

tsen.ndt

)tcos.(dn

dt

dne m

mwfw=

wf-=

f-=

mas: mm nE fw= então: tsen.Ee m w=

7


Função periódica

y = f(t) é periódica se assumir o mesmo valor f(t) para

instantes espaçados de T, 2T, 3T,...

então y = f(t) = f(t+T) = f(t+2T) = ... = f(t+nT)

T = período

Freqüência

nº de períodos (ou ciclos) por segundos (Hertz ou Hz)

T

1f = ex.: para f = 60Hz Þ T = 1/60 = 0,01667 seg

Então ft2sen.Eef2T

2m p=Þp=

p=w

Freqüências usuais:50Hz (Europa, Paraguai)60Hz (Brasil, USA)25Hz (alguns sistemas de tração elétrica)250 a 2700Hz (Telefonia comercial)25 a 40 kHz (Sondagem submarina) ultra-som30 kHz (telegrafia sem fio)150 kHz (Radiodifusão � Ondas Longas)500 a 1500 kHz (Radiodifusão � Ondas Médias - 200 a 600m)30 MHz (Radiodifusão � Ondas Curtas até 10m)

8


Fase e diferença de Fase

F(t) = A.sen(wt+q) \ (wt+q) = ângulo de Fase

Se duas grandezas senoidais)tsen(.Ee

)tsen(.Ee

22m2

11m1

q-w=

q+w= têm a

mesma freqüência, a diferença de fase ou defasagem entre elas

em um dado instante será: 2121 )t()t( q-q=q+w-q+w

ex.: )30tsen(.75e

)30tsen(.100e

2

1

°-w=

°+w=

30 � (-30) = 60° � a senóide e1 passa pelos seus valores

zero e máximo com avanço de 60°

sobre a senóide e2

Quando duas ou mais grandezas

alternadas têm a mesma fase

elas se acham em concordância

de fase ou simplesmente em

fase

9


Quando a Diferença de fase

entre duas grandezas alternadas

for de 90° elas estão em

quadratura

Quando a diferença de fase for

de 180°, estão em oposição

Valor Médio

A expressão que dá o valor médio de uma função é:

ò=T

0

médio dt)t(fT

1Y

para a senóide esse valor é nulo para um ciclo, e por isso é

definido para um semi período. Assim o valor médio de

i=Im.sena pode ser achado integrando a senóide de 0 a p.

[ ] mmm

0

m

0

médiom I637,0I.2

)11(I

cosI

d.sen.I1

I =p

=+p

=a-p

=aap

= pp

ò

Analogamente: mm

médio V637,0V.2

V =p

=

10


Valor eficaz

Energia transformada em calor por uma c.c. I em uma resistência

R em t segundos: I2Rt

Energia transformada em calor pela corrente alternada i na

mesma resistência é, a cada instante i2R

Assim: ò ò=\=T

0

T

0

222

t

1.dt.iIdt.RiRtI sendo T=2p (período)

òòpp

a÷øö

çèæ a-

p=aa

p=

2

0

22

m2

0

22m

2dcos

2

1

2

1

2

Id.sen.I

2

1I

mmm

2m

2

0

2m2 I707,0

2

I

2

II

2

I

2

2sen

4

II

2

===Þ=úûù

êëé a

-ap

=p

analogamente: mm

V707,02

VV ==

OBS.: os voltímetros e amperímetros de corrente alternada

indicam os valores eficazes de corrente e tensão

Representação vetorial das Grandezas Senoidais

a = wt radianos

0x=0A.senwt=Im.senwt

Vantagens:

11


1. O vetor mostra as duas características que definem a senóide:

o ângulo de fase e o valor máximo;

2. A diferença de fase entre as duas grandezas alternadas pode

ser representada vetorialmente. A figura

ao lado nos mostra o vetor OB em

avanço de q graus sobre o vetor AO. Se

OB e AO representam os valores

máximos das voltagens e1 e e2, elas

serão expressas por:

e1 = OB.senwt e2 = OA.sen(wt-q)

3. A soma ou a diferença de duas ou mais grandezas senoidais

se reduz a uma composição de vetores.

)cos(.I.I.2III 12m2m12m2

1m2

m0 f-f++=

2m21m1

2m21m10

.cosI .cosI

sen.Isen.Itan

f+ff+f

=f

Parâmetros dos circuitos de C.A

12

O


Resistência Unidade: W(ohm)

Carga Resistiva ou carga ôhmica

Indutância Unidade: H (Henry)

Carga IndutivaCapacitância Unidade: F (Farad)

Carga Capacitiva

Lei de Ohm para os circuitos de C.A

Consideremos uma bobina com resistência elétrica ® e indutância

(L):

sR

�r=

Passando-se uma corrente elétrica nessa bobina aparecerá um

fluxo magnético f dados por: f = Li

Se �i� é variável, �f� também será! Þ aparecerá uma f.e.m. de

auto indução dada por:

( )dt

diL

dt

Lid

dt

de ==

f=

na figura anterior, temos então:

dt

di

dt

diLRiv \+= Þ derivada da corrente elétrica em relação ao

tempo.

13


Uma bobina que tem uma resistência �R� e uma indutância �L� é

representada conforme abaixo:

Se o circuito tem elevada resistência elétrica e indutância

desprezível, o representamos apenas pela resistência, e dizemos

que o circuito é puramente ôhmico ou puramente resistivo.

Se ocorrer o inverso, isto é, se a resistência por desprezível em

relação ao efeito da indutância, e dizemos que ele é puramente

indutivo.

Ex.: enrolamento de máquinas elétricas, transformadores, etc.

Se forem considerados tanto a resistência quanto a indutância do

circuito, então ele será denominado circuito indutivo ou circuito RL.

Circuito puramente Ôhmico

L = 0

R ¹ 0R

viRiv

dt

diLRiv =\=\+=

14

0


Supondo v = Vmax.senwt Þ R

tsen.Vi

max w=

tsen.ItsenR

Vi max

maxw=w=

Quando a tensão for máxima, a corrente também será:

tsen.ItsenR

Vitsen.Vv max

maxmax w=w=\w=

Dizemos então que as duas senóides estão em fase entre si ou

que a corrente e a voltagem então em fase num circuito puramente

ôhmico.

R

VI

R

V707,0I.707,0

R

VI

efef

maxmax

maxmax =Þ===

Conclusão: os circuitos puramente ôhmicos, quando alimentados

por corrente alternada, apresentam o mesmo

comportamento do que quando alimentados por corrente

contínua. A freqüência das correntes alternadas não

influencia os fenômenos que se processam no circuito.

Circuito puramente Indutivo

L ¹ 0

R » 0dt

diLv

dt

diLRiv =\+=

Nos circuitos puramente indutivos toda tensão aplicada aos

seus terminais é equilibrada pela f.e.m. de auto-indução.

15

0


Dado:

( ) ( )dt

tsendI.L

dt

tsen.IdLvtsen.Ii max

maxmax

w=

w=Þw=

cosq = sen(q+90°)

cos30° = sen(p/6 +90°)

0,866 = 0,866

tcos.I.Lv max ww=)90tsen(.I.Lv max °+ww=

Isto é, essa voltagem é também alternada senoidal com valor

máximo igual a wLImax, defasada 90° em adiantamento em relação

à corrente alternada do circuito.

Vmax = wLIMax Þ 0,707 Vmax = 0,707 wLIMax

Vef = wLIef Þ Vef = XLIef

XL = wL = 2pfL Þ Reatância indutiva (análoga à resistência)

Unidade da reatância: W (Ohms)

Observamos que a reatância Indutiva é função da freqüência e da

indutância: fÞX LÞX

Conclusão: Sempre que uma corrente alternada atravessa um

circuito puramente indutivo (de reatância XL = 2pfL),

tem-se uma queda de tensão dada por Vef = XL.Ief,

defasada de 90° em adiantamento em relação à16


corrente. Em outras palavras: aplicando-se uma

voltagem alternada senoidal aos terminais se um

reatância XL de um circuito puramente indutivo, verifica-

se a passagem de uma corrente elétrica de valor Ief =

Vef/XL ,defasada de 90° em atraso em relação à tensão.

Exemplos:

1°) Um circuito puramente indutivo onde temos L=0,5H é

alimentado por uma tensão cujo valor eficaz é 110v e cuja

freqüência é 60Hz. Calcule o valor eficaz da corrente alternada

que circula nesse circuito.

XL=2pfL = 2x3,14x60x0,5 = 188,4W

Ief = Vef/XL = 110/188,4 = 0,584A

Ief = 584mA

2°) No problema anterior, traçar o diagrama vetorial e

representação senoidal da tensão e corrente eficaz.

Ex.: v = 50.sen(30t + 90°)

i = 10.sen30t

17


3°) Num circuito puramente ôhmico, aplicou-se uma voltagem dada

por v=120.sen(314t). Se a resistência total do circuito mede

10W, calcule qual deverá ser a leitura de um amperímetro se

corretamente inserido no circuito.

Vef = 0,707.Vmax = 0,707x120 = 84,84V

Ief = Vef/R = 84,84/10 = 8,484 A

18


Revisão de Números Complexos

1j1j 2 -=Þ-=

Z1 = 6 Z4 = -3 + j2

Z2 = 2 � j3 Z5 = -4 � j4

Z3 = j4 Z6 = 3 + j3

19


Outras formas dos números complexosq=\=q cosZx

Z

xcos

q=\=q senZyZ

ysen

Z = x + jy = |Z|cosq + j|Z|senq = |Z|(cosq +jsenq)

Tgq = y/x

x

yarctg=q 22

yxZ +=

argumento de Z Módulo ou valor absoluto de Z

A fórmula de Euler, e±jq = (cosq ± jsenq), possibilita outra

forma para representação dos números complexos, chamada

forma exponencial:

Z = x ± jy = |Z|(cosq ± jsenq) = |Z|e±jq

A forma polar ou de Steinmetz para um número complexo Z é

bastante usada em análise de circuitos e escreve-se

|Z|Ð±q onde �q� aparece em graus

Esses quatro meios de se representar um número complexo estão

resumidos a seguir. O emprego de um ou de outro depende da

operação a ser efetuada.

Forma retangular Z = x ± jy 3 + j4Forma Polar Z = |Z|Ð±q 5Ð53,13Forma exponencial Z = |Z|e±jq 5ej53,13

Forma trigonométrica Z = |Z|(cosq ±jsenq) 5(cos53,13+jsen53,13)

20


Conjugado de um número complexo

O conjugado Z* de um número complexo Z = x + jy é o número

complexo Z* = x � jy

Ex.: Z1 = 3 - j2 Z1* = 3 + j2

Z2 = -5 + j4 Z2* = -5 � j4

Z3 = -6 + j10 Z3* = -6 � j10

Na forma polar, o conjugado se Z = |Z|Ðq é Z* = |Z|Ð-q

Na forma Z = |Z|[cos(q) + jsen(q)] o conjugado de Z é

Z* = |Z|[cos(-q) + jsen(-q)]

Mas cos(q)=cos(-q) e sen(-q) = -sen(q), então

Z* = |Z|[cos(q) - jsen(q)]

ex.: Z = 7Ð30° � Z* = 7Ð-30°

Z = x + jy

Z* = x - jy

Z = |Z|ejq

Z* = |Z|e-jq

Z = |Z|Ðq

Z* = |Z|Ð-q

Z = |Z|(cosq + jsenq)

Z* = |Z|(cosq - jsenq)Z1=3 + j4 � Z1*=3 � j4

Z2=5Ð143,1° � Z2*=5Ð-143,1°O conjugado Z* de um número complexo Z é sempre a imagem de

�Z� em relação ao eixo real, como mostra a figura.

21


Soma e diferença de números complexos

Para somar ou subtrair dois números complexos, soma-se ou

subtrai-se separadamente as partes reais e imaginárias dos

números na forma retangular.

Z1=5-j2 Z1+Z2=(5-3)+j(-2�8)=2�j10

Z2=-3�j8 Z1�Z2=[5�(-3)]+j[(-2)�(-8)]=8+j6

Multiplicação de números complexos

O produto de dois números complexos, estando ambos na

forma potencial ou na forma polar:

Z1=|Z1|ejq1=|Z1|Ðq1 Z1.Z2 = (|Z1|.|Z2|).e

j(q1+q2)

Z2=|Z2|ejq2=|Z2|Ðq2 Z1.Z2 = (|Z1|.|Z2|)Ðq1+q2

O produto pode ser obtido na forma retangular, tratando-se os

números complexos como se fossem binômios:

Z1.Z2 = (x1+jy1)(x2+jy2) = x1x2 + jx1y2 + jy1x2 + j2 y1y2

= (x1x2 + y1y2) + j(x1y2 + y1x2)

ex. 01: Z1 = 5ejp/3 Z1Z2 = (5.2)e

j(p/3-p/6) = 10ejp/6

Z2 = 2e-jp/6

ex. 02: Z1 = 2Ð30° Z1Z2 = (5.2)Ð[30+(-45)]

Z2 = 5Ð-45° Z1Z2 = 10Ð-15°

22


Divisão de números complexos

)21(j

2

1

2j2

1j1

2

1e

Z

Z

eZ

eZ

Z

Z q-qq

q

== Þ forma exponencial

)(Z

Z

Z

Z

Z

Z21

2

1

22

11

2

1q-qÐ=

qÐqÐ

= Þ forma polar

A divisão na forma retangular se faz multiplicando-se

numerador e denominador pelo conjugado do denominador.

22

22

12212121

22

22

22

11

2

1

yx

)xyxy(j)yyxx(

jyx

jyx

jyx

jyx

Z

Z

+-++

=÷ø

öçè

æ++

=-

-

Exemplos:

1) Z1=4ejp/3, Z2=2e

jp/6 Þ 6j

6j

3j

2

1e2

e2

e4

Z

Zp

p

p

==

2) Z1=8Ð-30°, Z2=2Ð-60° Þ °Ð=-Ð-Ð

= 304602

308

Z

Z

2

1

3) Z1=4-j5, Z2=1+j2 Þ 5

13j6

2j1

2j1

2j1

5j4

Z

Z

2

1 --=÷

ø

öçè

æ--

+-

=

Transformação: forma polar Þ forma retangular

50Ð53,1° = 50(cos53,1° + jsen53,1°)= 50x0,6 + j50x0,7997= 30 + j40

100Ð-120° = 100.cos(-120) + 100.jsen(-120)= -100.cos(60) + 100.jsen(-120)= -100.0,5 + 100.(-0,866) = -50-j86,6

23


Circuito puramente Capacitivo

Se v = Vmax.senwt

q = Cv

dt

)tsen.V(dC

dt

)Cv(d

dt

dqi

max w===

i = w.C.Vmax.sen(wt + 90°)

i = Imax.sen(wt + 90°)

Se Imax = w.C.Vmax

0,707.Imax = 0,707.w.C.Vmax

Ief = w.C.Vef ou efef IC

1V

w= \

C

C

XfC2

1

XC

1

=p

=w

Reatância Capacitiva

A corrente num circuito puramente capacitivo está 90° adiantada

em relação à tensão

OBS.: num circuito indutivo: f Þ XL Þ corrente¯f Þ XC¯ Þ corrente

Se f=0 Þ XC = ¥ \ capacitor não deixa passar corrente DC

Circuito RL ou indutivo

24


Praticamente consiste de um circuito puramente ôhmico de

resistência �R� em série com um circuito puramente indutivo de

indutância �L�

A corrente �i� ao atravessar a

resistência �R�, provoca uma

queda de tensão dada por VR=Ri

em fase com a corrente �i�.

A corrente �i� ao atravessar a indutância �L�, determina uma

queda de tensão indutiva Vx = XLi, defasada de 90° em

adiantamento sobre a corrente �i�.

A queda de tensão total atuante entre os terminais do circuito é

dada pela soma vetorial de VR e VX:

)XR(i)iX()Ri(VVVVVV2L

222L

22X

2RXR +=+=+=\+= ZiVXRiV

2L

2 =Þ+= \

Z = impedância do circuito

Z é um número complexo da forma: Z= R+jXL = R+jwL

Considerando-se �Z� numa representação gráfica, teremos:

25


R

Xarctg

R

Xtg LL =q\=q

Na forma polar podemos escrever:

qÐ= ZZ 2L

2XRZ +=

R

Xarctg)L(RZ L22 Ðw+=

Circuito RC ou Capacitivo

Se �i� é igual a 1 ampere, teremos:

÷øö

çèæw

-=-=C

1jRjXRZ C

C

1X

R

Xarctg C

c

w=Þ÷

øö

çèæ -=q

Z

Xarcsen C-

=q

Z

Rarccos=q

Na forma polar: qÐ=-

Ð÷øö

çèæw

+= ZR

Xarctg

C

1RZ C

22

Outra forma da lei de Ohm:

26


E = (R+jX)I

22XRZ +=

R

Xarctg=q

qÐ= ZZR

XarctgXRZ

22 Ð+=

Exemplos:

1) Um circuito RL série de R=20W e L=20mH tem uma impedância

de módulo igual a 40 W. Determinar o ângulo de defasagem da

corrente e tensão, bem como a freqüência do circuito.

Z = R+jXL = |Z|Ðq Þ 40.cosq + j40.senq

Z = 20+jXL = 40Ðq q = arccos 20/40 = arccos 1/2

q = 60°

XL = 40.sen60° = 40x0,866 Þ XL = 34,6W

XL = 2pfL Þ f = XL/2pL Þ 34,6/(6,28 x 0,02)

f = 34,6/0,1256 Þ f = 275,5Hz

2) Um circuito série de R = 8W e L = 0,02H tem uma tensão

aplicada de v = 283.sen(300t+90°). Achar a corrente �i�.27

E = ZI


XL = wL = 300x0,02 = 6W Þ Z = 8 +j6

Vef = 0,707 x 283 101006822 ==+

Vef = 200 q = arctg 6/8 = 36,9°

V = 200Ð90° Z = 10Ð36,9°

°Ð=°Ð°Ð

== 1,53209,3610

90200

Z

VI

)1,53t300sen(.220i °+=

3) Dados v = 150.sen(5000t+45°) e i = 3sen(5000t-15°),

construir os diagramas de fasores e da impedância e

determinar as constantes do circuito (R e L)

v = 0,707x150Ð45° = 106,05Ð45°I = 0,707x3Ð-15° = 2,12Ð-15°

3,43j25)866,0j5,0(50Z

)60senj60(cos5060501512,2

4505,106

I

VZ

+=+=

°+=°Ð=°-Ð°Ð

==

XL = 2pfL = wL = 43,3 \L = 43,3/5000 Þ L = 8,66mH

R = 25W

Circuito RL série

28


Conclusão: O circuito RL em série se comporta exatamente como

um circuito RL que tenha resistência ôhmica igual a

R = R1 + R2 e reatância indutiva XL = XL1 + XL2.

Assim sendo

Z= Z1 + Z2 =(R1 + jXL1) + (R2 + jXL2) = (R1 + R2) + j(XL1 + XL2)

Ou na forma fasorial:

21

21221

221

RR

LLarctg)LL()RR(ZZ

+w+w

Ðw+w++=qÐ=

Circuito RL série

29


Conclusão: o circuito RC série se comporta exatamente como um

circuito RC que tenha resistência ôhmica igual a R =R1 + R2

e reatância capacitiva 21

2C1CCC

1

C

1XXX

w+

w=+=

Assim teremos: Z = Z1 + Z2 = (R1 + jXC1) + (R2 + jXC2)

÷÷ø

öççè

æ

w+

w++=+++=

21212C1C21

C

1

C

1j)RR()XX(j)RR(

ou na forma fasorial:

21

21

2

21

221

RR

C

1

C

1

arctgC

1

C

1)RR(ZZ

+

÷÷ø

öççè

æ

w+

w-

Ð÷÷ø

öççè

æ

w+

w++=qÐ=

Podemos então generalizar:

30


V = V1 + V2 + V3 = Z1I + Z2I + Z3I

V = I(Z1 + Z2 + Z3) = IZT

ZT = Z1 + Z2 + Z3

Generalizando:

Circuito Paralelo

T321321321T

Z

1

Z

1

Z

1

Z

1V

Z

V

Z

V

Z

VIIII =÷÷

ø

öççè

æ++=++=++=

321T Z

1

Z

1

Z

1

Z

1++=

generalizando

...Z

1

Z

1

Z

1

Z

1

321T

+++=

O inverso da impedância de um circuito é chamada de

Admitância, cujo símbolo é Y.

Então no circuito acima teremos:

IT = I1 + I2 + I3 = Y1V + Y2V + Y3V = V(Y1 + Y2 + Y3)

IT = YTV \

Num circuito paralelo podemos dizer que a corrente do circuito

é igual ao produto da tensão total aplicada aos seus terminais pela

admitância total equivalente.31

ZT = Z1 + Z2 + Z3 + ...


Portanto a Admitância equivalente de qualquer número de

admitâncias em paralelo é igual a soma das admitâncias

individuais.

Z = R ± jX \+jX Þ reatância indutiva (XL)

-jX Þ reatância capacitiva (-Xc)

Analogamente:

Y = G ± jB \G Þ Condutância

B Þ Susceptância+jB Þ Susceptância capacitiva (BC)

-jB Þ Susceptância indutiva (-BL)

Unidades de Y, G e B Þ MHO ou ou W-1

Como a corrente �I� pode estar adiantada, atrasada ou em

fase com �V�, conseqüentemente, 3 casos podem ocorrer:

1° Caso

V = |V|ÐqV = |I|Ðq

Rº0ZI

VZ =Ð=

qÐqÐ

=

A impedância do circuito éuma resistência pura de�R� ohms

Gº0YY

IY =Ð=

qÐqÐ

=

A admitância do circuito éuma condutância pura de�G� mhos

2°Caso: O fasor corrente está atrasado de um ângulo q em relaçãoà tensão

32


V = |V|Ðf

I = |I|Ð(f-q)

)(I

VZ

q-fÐfÐ

=

LjXRZ +=qÐ

A impedância de umcircuito com fasores �V�e �I� nesta situaçãoconsta de umaresistência e umareatância indutiva emsérie

fÐq-fÐ

=V

)(IY

LjBG)(Y -=q-Ð

A impedância do circuitoconsta de umacondutância e umasusceptância indutivaem paralelo

3°Caso: O fasor corrente está avançado de um ângulo q emrelação à tensão

V = |V|Ðf

I = |I|Ð(f+q)

)(I

VZ

q+fÐfÐ

=

LjXRZ +=qÐ

A impedância do circuitoconsta de umaresistência e umareatância capacitiva emsérie

fÐq+fÐ

=V

)(IY

LjBG)(Y -=q-Ð

A impedância do circuitoconsta de umacondutância e umasusceptância capacitivaem paralelo

Conversão Z - Y

Forma polar: dado Z=5Ð53,1°

33


)53,1(2,01,535

1

Z

1Y °-Ð=

°Ð==

Forma Retangular: Y = 1/Z

22 XR

jXR

jXR

jXR.

jXR

1

jXR

1jBG

+-

=--

+=

+=+

2222 XR

Xj

XR

RjBG

+-

++

=+22 XR

RG

+=

22 XR

XB

+-

=

Z = 1/Y

22 BG

jBG

jBG

jBG.

jBG

1

jBG

1jXR

+-

=--

+=

+=+

2222 BG

Bj

BG

GjXR

+-

++

=+22 BG

GR

+=

22BG

BX

+-

=

Exemplos:1) Dado Z = 3 + j4, achar a admitância equivalente Y.

)]1,53sen(j)1,53[cos(2,0)1,53(2,01,535

1

Z

1Y -+-=°-Ð=

°Ð== Y = 0,12 �

j0,16 G = 0,12MHOS B = -0,16MHOS

outro método

( ) MHOS12,0169

3

XR

RG

22=

+=

+=

( ) MHOS16,0169

4

XR

XB

22-=

+-

=+-

= Y = 0,12 - j0,16

2) No circuito série abaixo, achar I e ZT. Mostrar que a soma das

quedas de tensão é igual à tensão aplicada

34


ZT = Z1 + Z2 + Z3 = 4 + j3 � j6 Þ ZT = 4 � j3

52534Z22

T ==+=

°-=-

=q 9,364

3arctg ZT = 4 � j3 = 5Ð(-36,9°)

Impedância Capacitiva

°Ð=°-Ð°Ð

== 9,3620)9,36(5

0100

Z

VI

T

V1 = IZ1 = 20Ð36,9° x 4 = 80Ð36,9°= 80(cos36,9°+jsen36,9°) = 64 + j48

V2 = IZ2 = 20Ð36,9° x 3Ð90° = 60Ð126,9°= 60(cos126,9°+jsen126,9°) = -36 + j48

V3 = IZ3 = 20Ð36,9° x 6Ð90° = 120Ð(-53,1°)= 120[cos(-53,1)+jsen(-53,1)] = 72 � j96

V = V1 + V2 + V3 = (64 + j48) + (-36 + j48) + (72 � j96)

V = 100 + j0 = 100Ð0°

3) Achar a corrente total e a impedância total do circuito paraleloabaixo, traçando o diagrama de fasores:

Z1 = 10Ð0°

35


°Ð=Ð+= 1,5353

4arct43Z

222

)9,36(108

6arct68Z

223 °-Ð=

-Ð+=

)9,36(10

050

1,535

050

010

050

Z

V

Z

V

Z

VIIII

321321T -Ð

Ð+

ÐÐ

+ÐÐ

=++=++= = 5Ð0 + 10Ð(-

53,1) + 5Ð36,9= 5 + 10[cos53,1 + jsen(-53,1)] + 5[cos36,9 + jsen36,9]= 5 + 10[0,60 - j0,80] + 5[0,80 + j0,60]= (5 + 6 + 4)+j(-8+3) = 15-j5

= )45,18(81,1515

5arctg515 22 -Ð=÷

øö

çèæ -Ð+

Logo: °Ð=°-Ð

°Ð== 45,1816,3

)45,18(81,15

050

I

VZ

TT

ZT = 3,16(cos18,45 + jsen18,45) = 3 + j1

°Ð=°Ð°Ð

== 05010

050

Z

VI

11 )1,53(10

1,535

050

Z

VI

22 °-Ð=

°Ð°Ð

==

°Ð=°-Ð

°Ð== 9,365

)9,36(10

050

Z

VI

33

Fasores V e I Soma dos Fasores Circuito equivalente

4) As duas impedâncias Z1 e Z2 da figura abaixo estão em série

com uma fonte de tensão V = 100Ð0°. Achar a tensão nos

terminais de cada impedância e traçar o diagrama dos fasores

de tensão.

Zeq = Z1 + Z2 = 10 + 4,47(cos63,4 + jsen63,4)

Zeq = 10 + 2 + j4 = 12 + j4

36


Zeq = 45,1865,1212

4arctg412

22 Ð=Ð+

)45,18(9,745,1865,12

0100

Z

VI

eq

°-Ð=Ð

°Ð==

V1 = IZ1 = 7,9Ð(-18,45)x10 = 79Ð(-18,45) = 79,9 - j25

V2 = IZ2 = [7,9Ð(-18,45)]x[4,47Ð63,4]

= 35,3Ð(45) = 25 + j25Verifica-se que:

V1 + V2 = 75 - j25 + 25 + j25 = 100 +j0 = 100Ð0°

5) Calcular a impedância Z2 do circuito série da figura abaixo:

º6020)15(5,2

4550

I

VZeq Ð=

°-Ð°Ð

==

Zeq = 20(cos60° + jsen60°) = 10 + j17,3

Como Zeq = Z1 + Z2:

5 + j8 + Z2 = 10 + j17,3 Þ Z2 = 10 �5 + j17,3 � j8Z2 = 5 + j9,3

6) Determinar a corrente em cada elemento do circuito série-paralelo abaixo

37


14,814,142j1410j5

)10j(510Zeq Ð=+=

++=

)14,8(07,714,814,14

0100

Z

VI

eqT -Ð=

Ð°Ð

==

)14,8(07,7x10j5

)10j(5I.ZV

10j5

)10j(5Z TABABAB -Ð

+==\

+=

)54,71(16,310j)14,8(07,7x10j5

)10j(5

10j

VI AB1 °-Ð=ú

û

ùêë

é-Ð

+==

)46,18(32,65)14,8(07,7x10j5

)10j(5

5

VI AB2 °Ð=ú

û

ùêë

é-Ð

+==

7) Achar a impedância equivalente e a corrente total do circuito

paralelo abaixo

2,0j5j

1Y1 -== 2,0jj

5

1

5j

j

xj5j

xj12

-=-

==

0866,0j05,066,8j5

1Y2 -=

+=

0866,0j05,0100

66,8j5

66,85

)66,8j5(

)66,8j5)(66,8j5(

)66,8j5(22

-=-

=+-

=-+

-

38


067,015

1Y3 ==

1,0j10j

1Y4 =

-= 1,0jj

10

1

10j

j

xj10j

xj12

==-

=-

Yeq = 0,117 � j0,1866 = 0,22Ð(-58°)

IT = V.Yeq =(150Ð45°)[0,22Ð(-58°)]=33Ð(-13°)

°Ð=°-Ð

== 5855,4)58(22,0

1

Y

1Z

eqeq

8) Determinar a Impedância do circuito paralelo abaixo

°-Ð=°Ð°Ð

== 3663,06050

245,31

V

IY Teq

Yeq = 0,63(cos(-36°)+jsen(-36°) = 0,51 � j0,37

Como Yeq = Y1 + Y2 + Y3, então:

37,0j51,0)12,0j16,0(1,0Y3j4

1

10

1YY 11eq -=-++Þ

+++= Y1 = 0,51 � j0,37

� 0,1 �0,16 +j0,12 = 0,25 � j0,25

39


)45(35,025,0

25,0arctg25,025,0Y 22

1 -Ð=-

Ð+=

=-Ð

==4535,0

1

Y

1Z

11 Z1 = 2,86Ð45° = 2 + j2

9) Dado o circuito série-paralelo (misto) abaixo, calcular Zeq.

22AB43

4j35,0j2,0

4j3

1

2j

1

5

1Y

++

+-=-

++=

34,0j32,016,0j12,05,0j2,0YAB -=++-=

)7,46(467,032,0

34,0arctg34,032,0Y 22

AB °-Ð=÷ø

öçè

æ -Ð+=

56,1j47,17,4614,2)7,46(467,0

1

Y

1Z

ABAB +=°Ð=

-Ð==

Zeq = 2 +j5 + Zab = 2 + j5 + 1,47 + j1,56

Zeq = 3,47 + j6,56 = 7,42Ð62,1°

40

Potência Elétrica

De grande interesse nos equipamentos elétricos.

Ex.: Potência de um transformador, de um alternador, de um

transmissor de rádio, etc

Se a tensão na figura ao lado for

função do tempo, a corrente resultante

também o será. O produto da tensão

pela corrente, em qualquer instante, se

chama Potencia Instantânea e é dada

por: p = viA potência p pode ter valores positivos e negativos.

�p� positiva Þ transferência de energia da fonte para o circuito.

�p� negativa Þ transferência de energia do circuito para a fonte.

Consideremos o caso ideal em que o circuito passivo consta

de um elemento indutivo e apliquemos a ele uma tensão senoidal

da forma v = Vmax.senwt; a corrente resultante terá a forma

i = Imax.sen(wt-p/2). Assim a potência será:

p = vi = Vmax.Imax. senwt[sen(wt-p/2)]

Como sen(wt-p/2) = -coswt

p = Vmax.Imax.senwt[-cos(wt)]

Como senX.cosX = ½ sen2X

t2senIV2

1p maxmax w=

A potencia tem freqüência duas vezes

maior que a corrente e tensão.

Quando v e i são + Þ p é + Þ energia �

Quando v e i são - Þ p é - Þ energia �

No caso de um circuito puramente

capacitivo os resultados são análogos.

Se aplicarmos, agora, uma tensão v = Vmax.senwt a uma

estrutura que só contenha resistência, a corrente será

I = Imax.senwt e a potência será:

p = Vmax.Imax.sen2wt

como sen2x= ½ (1-cos2x)

)t2cos1(IV2

1p maxmax w-=

Então a potencia nesse tipo de circuito tem freqüência duas vezes

mais que a tensão ou corrente. Além disso, a potência aqui é

sempre positiva e varia de zero ao valor máximo Vmax.Imax

O valor médio da potência nesse caso

será: maxmaxIV2

1p =

Consideremos finalmente o caso de um circuito passivo genérico

em que aplicada v = Vmax.senwt teremos uma corrente resultante

I = Imax.sen(wt+f)

f será positivo se o circuito for capacitivo

f será negativo se o circuito for indutivo

Então

p = vi = Vmax.Imax.senwt.sen(wt+f)

como sena.senb = ½ [cos(a-b)-cos(a+b)] e cos(-a) = cosa

)]t2cos([(cosIV2

1p maxmax f+w-f=

Então a potencia em cada instante tem uma componente

cossenoidal cujo valor médio é zero, e também um termo

independente do tempo e constante igual a fcosIV2

1maxmax

O valor médio de p é: f= cosIV2

1p maxmax , como

2

II

2

VV

max

max

=

=

P = VIcosf

cosf é chamado de fator de potência. O ângulo f é o ângulo de V

e I e seu valor varia de +90° a �90°. Portanto, cosf e

conseqüentemente P são sempre positivos. Entretanto, para indicar

o sinal de f, diz-se que um circuito indutivo, que tem a corrente

atrasada em relação à tensão, tem um fator de potência atrasado.

Num circuito capacitivo a corrente está adiantada em relação à

tensão e diz-se que tem um fator de potência adiantado.

Potência Aparente (S):

O produto VI chama-se potência aparente e representa-se pelo

símbolo S. A unidade é o Volt-ampere (VA) e o seu múltiplo mais

usado é o Quilovolt-ampere (KVA) = 1000VA

Potência Reativa (Q):

O produto VIsenf chama-se potência reativa e indica-se pelo

símbolo Q. A unidade é o Volt-ampere-reativo (VAr) e o seu múltiplo

mais empregado é o Quilovolt-ampere-reativo (KVAr) = 1000Var.

Triângulo de Potências:

Circuito Indutivo

Aparente.Pot

Média.Potcos =q

Circuito Capacitivo

|S|2 = |Q|2 + |P|2 S = P ± jQ

|KVA|2 = |KVar|2 + |KW|2

Potência Média ou Real (P) Þ Potência Transformada em calor

Atrasado

Adiantado

Potência Aparente (S) Þ Potência Total do circuito

Potência Reativa (Q) Þ Potência Gasta para haver a troca de

energia entre o sistema e o

capacitor/indutor

Observemos que:

Seja v = |V|eja e i = |I|ej(a + f)

S = VI* = |V|eja.|I|e-j(a + f) = VIe-jf

S = VIcosf - jVIsenf Þ S = P - jQ

Potência Média ou Real (P) Þ

ReR

VRIcosVIP

2R2 ===q= [VI*]

Potência Reativa (Q) Þ

ImX

VXIVIsenQ

2R2 ===q= [VI*]

Potência Aparente (S) Þ S = VI = I2Z = V2/Z Þ valor absoluto de [VI*]

Fator de Potência Þ S

P

Z

Rcosfp ==q=

Exemplo 01)

Dado um circuito de impedância Z = 3 + j4 e uma tensão

V=100Ð30° determine o triângulo de potencias.

)1,23(201,535

30100

Z

VI °-Ð=

°Ð°Ð

==

Método 1:

P = I2R = (20)2x3 = 1200W

Q = I2X = (20)2x4 = 1600Var atrasada

S = I2Z = (20)2x5 = 2000VA

cosq = cos53,1° = 0,6 atrasado

Método 2:

S = VI = 100x20 = 2000VA

P = VIcosq = 2000.cos53,1° = 1200W

Q = VIsenq = 2000.sen53,1° = 1600Var

fp = cosq = cos53,1° = 0,6 atrasado

Método 3:

S = VI* = 100Ð30°x20Ð23,1° = 2000(cos53,1° + jsen53,1°)

S = 1200 + j1600

P = 1200W

Q = 1600Var

S = 2000VA

Correção de fator de potência

Instalações industriais Þ cargas indutivas � corrente atrasada em

relação à tensão aplicada

No triângulo de potencias Þ a hipotenusa �S� indica a

potencia total requerida do sistema, e o cateto �P� indica a

potencia útil fornecida.

É, portanto, desejável que �S� se aproxime o máximo e �P�,

isto é, que o ângulo f se aproxime de zero, para que o fator de

potência (cosf) se aproxime da unidade.

No caso de uma carga indutiva aumenta-se o fator de

potência colocando-se capacitores em paralelo com a carga. Como

a tensão nos terminais da carga permanece a mesma, a potência

útil P não varia. Como o fator de potência é aumentado, a corrente

e a potência aparente diminuem, obtendo-se assim uma utilização

mais eficiente da instalação industrial.

P = VI.cosf

S = VI*

Exemplos:

1) Corrigir o valor do o fator de potência do exemplo anterior(Z=3+j4 e V = 100Ð30°) para 0,9 atrasado, acrescentandocapacitores em paralelo. Achar S� após a correção, e a potênciareativa dos capacitores.

S = 2000Va

P = 1200w

Q = 1600Var

cosf = 0,6 atrasado

cosf� = 0,9f� = arccos 0,9 = 26°

cosf� = P/S�S� = 1200/0,9 = 1333VA

senf� = Q�/S�

Q� = S�.sen26° = 1333sen26°

Q� = 585Var

A potência reativa doscapacitores será:

Qcap = Q � Q� = 1600 � 585

Qcap = 1015Var adiantado

2) Dado um circuito em que, aplicada a tensãov = 150sen(wt+10°), a corrente resultante éi = 5sen(wt � 50°), determinar o triângulo das potências.

°Ð=°Ð= 10106102

150V

)50(54,3)50(2

5I °-Ð=°-Ð=

S = VI* = (106Ð10)(3,54Ð50)

S = 375Ð60°= 187,5 + j325

P = Re[VI*] = 187,5W

Q = Im[VI*] = 325Var atrasado

223255,187*VIS +==

S = 375 VA

fp = cos60° = 0,5 atrasado

3) Em um circuito série de dois elementos a potência é 940 watts e

o fator de potência é 0,707 adiantado. Sendo

v = 99sen(6000t + 30°) a tensão aplicada, determinar as

constantes do circuito.

°Ð=°Ð= 3070302

99V

P = VIcosf

940 = 70I(0,707) \ A19I707,0x70

940I =Þ=

Como o fator de potência é 0,707 adiantado, ofasor corrente está adiantado em relação à tensão,

do ângulo de f = arccos0,707 = 45°, então:I = 19Ð(45+30) Þ I = 19Ð75°

6,2j6,2)45(68,37519

3070

I

VZ -=°-Ð=

°Ð°Ð

==

Como Z = R � jXc = R �j(1/wC)

R = 2,6W

F1,646,2x6000

1C6,2

C

1XC m==Þ=

w=

Outro Método:

I = 19A P = RI2 Þ 940 = R(19)2 Þ W== 6,219

940R

2

Z = |Z|Ð45° = R � jXc = 2,6 � jXc

Como q = -45° Þ Xc = 2,6W F1,64

)6,2(6000

1

X

1C

C

m==w

=

4) Dado o circuito série abaixo, determinar o triângulo daspotências.

Z =3+j6�j2 = 3+j4 = 5Ð53,1°

)1,143(101,535

)90(50I °-Ð=

°Ð°-Ð

=

S = VI* = [50Ð(-90)](10Ð143,1)

S = 500Ð53,1° Þ S = 300 + j400

P = 300w

Q = 400Var atrasado

S = 500Va

Outro método

I = 10A Þ P = RI2 = 3.102 = 300w

Qj6 = 6.102 = 600Var atrasado

Q-j2 = 2.102 = 200Var adiantado

Q = Qj6 - Q-j2 = 600 � 200 = 400Var atrasado

5) A corrente eficaz total no circuito abaixo é 30A. Determine aspotências.

533,0j4,2Z

)3j9)(3j9(

)3j9)(12j20(Z

4)3j5(

4)3j5(Z

eq

eq

eq

-=

Þ+-+-

=

Þ+-

-=

P = IT2R = 302x2,4 = 2160w

Q = IT2X = 302x0,533 = 479,7Var adiantado

Va22107,4792160S22 =+=

6) Determinar o triângulo das potências de cada braço do circuito

abaixo e soma-los para obter o triângulo do circuito todo.

Ramo 01: °Ð=°Ð°Ð

== 305304

6020

Z

VI

11

S1 = VI1* = (20Ð60°)[5Ð(-30°)]

= 100Ð30° = 86,6 + j50

Logo:P1 = Re[VI1*] = 86,6w

Q1 = Im[VI1*] = 50Var atrasado

S1 = [VI1*] = 100Va

fp1 = P1/S1 = 0,866 atrasado

Ramo 02: °Ð=°Ð°Ð

== 04605

6020

Z

VI

22

S2 = VI2* = (20Ð60°)(4Ð0°)

= 80Ð60° = 40 + j69,2

Logo:P2 = Re[VI2*] = 40w

Q2 = Im[VI2*] = 69,2Var atrasado

S2 = [VI2*] = 80Va

Fp2 = P2/S2 = 0,5 atrasado

Exemplo 06 (continuação)

Total: PT = P1 + P2 = 68,6 + 40 = 126,6w

QT = Q1 + Q2 = 50 + 69,2 = 119,2Var

ST = PT + jQT = 126,6 + j119,2 = 174Ð43,4°

ST = |ST| = 174Va

)atrasado(727,0174

6,126

S

Pfp

T

TT ===

7) Um motor de indução cuja saída é 2HP tem rendimento de 85%.

Com essa carga o fator de potência é de 0,8 atrasado.

Determinar as potências de entrada.

(%)100xN

N

entrada

saída=h 2HP = 1755w

S = 1755/0,85 = 2190Va

q = arcos 0,80 = 36,9º

Q = 2190sen36,9 = 1315Var (atrasado)

P = Scosq = 2190 x 0,80 = 1752w

8) Determinar o triângulo das potências totais do circuito paralelo

abaixo, sendo de 20w a potência dissipada no resistor de 2W.

A16,32

20IRIP 1

21 ==Þ=

2

5arctg525j2Z

221

-Ð+=-=

Z1 = 5,38Ð(-68,2º)

V = I1Z1 = 3,16 x 5,38 » 17v

Tomando V = 17Ð0º

93,2j17,1º2,6816,3)º2,68(38,5

º017

Z

VI

11 +=Ð=

-ÐÐ

==

º4521j1Z2 Ð=+=

48,8j48,8)º45(12º452

º017

Z

VI

22 -=-Ð=

ÐÐ

==

IT = I1 + I2 = (1,17 + j2,93) + (8,48 � j8,48)

IT = = 9,65 � j5,55 = 11,1Ð(-29,9º)

ST = V.IT* = 17Ð0 x 11,1Ð29,9 = 189Ð29,8 = 164 +j94

PT = 164w , QT = 94Var (atrasado) , ST = 189Va

Cosf = 164/189 = 0,868 (atrasado)

8) Determinar as potências de uma associação de 3 cargasindividuais, assim especificadas: Carga 1 - 250Va, fp = 0,5atrasado; Carga 2 - 180w, fp = 0,8 adiantado; Carga 3 - 300Va,100Var atrasado.

Carga 01:

S = 250va

cosf = 0,5atrasado

P = S/cosf = 250/0,5 = 125w

f = arccos 0,5 = 60º

Q = Ssenf = 250sen60º = 216Varatrasado

Carga 02:

S = 180va

cosf = 0,8adiantado

S = P/cosf = 180/0,8 = 225w

f = arccos 0,8 = 36,9º

Q = Ssenf = 225sen36,9º = 135Varadiantado

Carga 03:S = 300va

Q = 100Varadiantado

f = arcsenQ/S = arcsen 100/300 = 19,5º

P = Scosf = 300cos19,5º = 283w

Então: PT = 125 + 180 + 283 = 588w

QT = 216 � 135 + 100 = 181Var atrasado

ST = PT + jQT = 588 +j181 = 616Ð17,1 Þ ST = 616Va

cosf = P/S = 588/616 = 0,955 atrasado

9) Um transformador de 25Kva fornece 12Kw a uma carga com

fator de potência 0,6 atrasado. Determinar a percentagem de

plena carga que o transformador alimenta. Desejando-se

alimentar cargas de fp unitário com esse mesmo transformador,

quantos Kw podem ser acrescidos, até que o transformador

esteja a plena carga.

P = 12 Kw Þ S = P/cosf = 12/0,6 = 20KVa

A percentagem de plena carga é: (20/25)x100 = 80%

cosf = 0,6 Þ f = arccos 0,6 = 53,1º

Q = Ssenf = 20sen53,1 = 16Kvar atrasado

Como as cargas adicionais tem fp=1, Q permanece

inalterado

Quando o trafo estiver a plena Þ S� = 25KVa

f� = arcsen Q/S� = arcsen 16/25 = 39,8º

PT = S�cosf� = 25cos39,8º = 19,2Kw

Então a carga adicional = PT � P = 19,2 � 12 = 7,2Kw

10) Um transformador de 500KVa está operando a plena carga

com fator de potência total de 0,6 atrasado. O fator de potência

é melhorado, acrescentando-se capacitores, para 0,9 atrasado.

Quantos KVar capacitivos são necessários? Após a correção

do fator de potência, que percentagem da plena carga o

transformador estará alimentando?

Plena carga

P = VIcosf = 500 x 0,6 = 300Kw

f= arccos0,6 = 53,1º

Q = VIsenf = 500sen53,1º = 400Kvar atrasado

Quando cosf� = 0,9 atrasado

f� = arccos0,9 = 26º

S� = 300/0,9 = 333KVa

Q� = 333sen26º = 146KVar atrasado

Então carga capacitiva = Q � Q� = 400 � 146

= 254KVar adiantado

% plena carga = (330/500)x100 = 66,7%

11) Considere o circuito abaixo, ao qual se aplica uma voltagem

de freqüência igual a 50Hz. Determinar qual deve ser a

capacitância para que o fator de potência do circuito seja 0,80,

e neste caso, dizer se a corrente estará em avanço ou em

atraso.

Se cosf = 0,80 Þ f = arccos 0,80 = 36,87º

Ramo ab: Z1 = 5W Þ Y1 = 1/5

Ramo cd: Z2 = 2 + j4 Þ

20

4j2

42

4j2

)4j2)(4j2(

)4j2(1Y

222

-=

+

-=

-+-

=

Yfg = Y1 + Y2 Þ

10

2j3

20

4j6

20

4j24

20

4j2

5

1 -=

-=

-+=

-+

Zfg = 13

20j30

23

20j30

)2j3)(2j3(

)2j3(10

Y

122

fg

+=

++

=+-

+=

Ramo ef: Zef = 2 -jXc

Impedância Total: ZT = Zef + Zfg =

ZT = 13

20j30X13j26

13

20j30jX2 C

C

++-=

++-

13

X1320j

13

56

13

)X1320(j56Z CCT

-+=

-+=

tgf = tg36,87º = 0,75 = X/R

56

X1320

13

5613

X1320

75,0 C

C

-=

-

=

20 - 13XC = 56 x 0,75 = 72

W-=--

= 70,113

2042XC

Então 24,3j3,413

)7,1(1320j

13

56ZT +=

--+=

fC2

1

C

1XC p

=w

=

F10x87,1C70,1x50x2

1

fX2

1C

3

C

-=Þp

=p

=

Ressonância em circuitos de corrente alternada

Parte imaginária Positiva, então

corrente atrasada

Um circuito está em ressonância quando a tensão aplicada

em fase com a corrente resultante, apesar do circuito ter reatância

capacitiva e indutiva. Portanto Z = R. V em fase com I Þ fator de

potência = 1

Ressonância em Série

jXRC

1LjRZ +=÷

øö

çèæ

w-w+= em ressonância Þ X=0

isto é, C

1L

w=w Þ w2LC = 1 Þ

LC

1

LC

1

LC

12 ==w\=w

como LC2

1ff2L 0 p

=Þp=w ciclos/seg

0

na ressonância: R)XX(RZ 2CL

2 =-+=

Com Þ=Z

VI a corrente vai ser máxima

Se a freqüência do circuito for menor que w0 Þ o circuito passa a

ter a reatância capacitiva maior do que a reatância indutiva saindo

então da ressonância.

Se a freqüência do circuito for maior que w0 Þ o circuito passa a

ser predominantemente indutivo. O circuito sai da ressonância.

C

1

fC2

1X

LfL2X

C

L

w=

p=

w=p=

Ressonância Paralela

R, L, C Þ elementos puros

jBGL

1CjGY +=÷

øö

çèæ

w-w+=

L

1CBBB LC w-w=-=\

O circuito está em ressonância quando B = 0, isto é, quando:

LC2

1ff2

LC

1

L

1C 00 p

=\p=wÞw==wÞw

=w

Na ressonância Y = G +jB portanto Y é mínimo, a corrente

(I = VY) também será

Quando w < w0 Þ BL > BC Þ predominantemente indutivo

Quando w > w0 Þ BL < BC Þ predominantemente capacitivo

Problemas

1) Num circuito RLC série, R=10W, L=5mH e C=12,5mF.

Representar graficamente o módulo e o ângulo da impedância

em função de w, com w variando de 0,8w0 e 1,2w0.

Na ressonância: Þ=w=wLC

10

segrad

10634000

10x625

1

)10x5,12)(10x5(

1==Þ

---

XL0 = w0L = 4000(5x10-3) = 20W

XC0 = W==w - 20

)10x5,12x4000(

116

0

Z0 = R + j(XL0 � XC0) = 10 +j(20-20) = 10Ð0º

w XL XC Z

0,8w= 3200 16 25,0 10-j9,0 13,4Ð-42,0º0,9w= 3600 18 22,2 10-j4,2 10,8Ð-22,8º

w= 4000 20 20,0 10 10,0Ð0,0º1,1w= 4400 22 18,2 10+j3,8 10,7Ð20,8º1,2w= 4800 24 16,7 10+j7,3 12,4Ð36,2º

2) Aplica-se uma tensão V=100Ð0º ao circuito série do problema

anterior. Achar a tensão em cada elemento para =3600� , 4000

e 4400 rad/s. Traçar o diagrama do fasor tensão em cada

freqüência.

-Para =3000rad/s, � º8,2226,9)º8,22(8,10

º0100

Z

VI Ð=

-ÐÐ

==

Então VR = 9,26Ð22,8º x 10 = 92,6Ð22,8º

VL = (9,26Ð22,8º)x(18Ð90º) = 167Ð112,8º

VC = (9,26Ð22,8º)x[22,2Ð(-90º)] = 205,6Ð(-67,2º)

-Para =4000rad/s, � º010)º010

º0100

Z

VI Ð=

ÐÐ

==

Então VR = 10Ð0º x 10 = 100Ð0º

VL = (10Ð0º)x(20Ð90º) = 200Ð90º

VC = (10Ð0º)x[20Ð(-90º)] = 200Ð(-90º)

-Para =4400rad/s, � )º8,20(34,9)º8,20(7,10

º0100

Z

VI -Ð=

ÐÐ

==

Então VR = 9,34Ð(-20,8º) x 10 = 93,4Ð(-20,8º)

VL = [9,34Ð(-20,8º)]x(22Ð90º) = 205,5Ð69,2º

VC = [9,34Ð(-20,8)]x[18,2Ð(-90º)] = 170Ð(-110,8º)

3) Num circuito RLC série com R=5�, L=20mH e numa capacitância

variável aplica-se uma tensão de freqüência de 100Hz.

Determinar C para que o circuito entre ressonância.

Em ressonância as reatâncias são iguais:

( )F27,1

)10x20()1000x2(

1

Lf2

1C

fC2

1fL2

322m=

p=

p=\

p=p -

4) Uma tensão V=10Ð0º, de freqüência 1000rad/s é aplicada a um

circuito série constituído de R=5�, C=20 F� e uma indutância

variável L. Ajusta-se L até que a tensão no resistor seja

máxima. Achar a tensão em cada elemento.

Como VR=RI, a tensão no resistor é máxima na

ressonância, quando é máxima a corrente. Na

ressonância as reatâncias são iguais. Assim:

W==w

= - 5010x20x1000

1

C

1X

6C XL = 50 , Z=R=5� Ð0º

º02º05

º010

Z

VI Ð=

ÐÐ

== então VR = RI = 5x2Ð0º = 10Ð0º

VL = XLI = (50Ð90º)(2Ð0º) = 100Ð90º, VC = 100Ð(-90º)

Circuitos Trifásicos

É de 120º a diferença de fase entre as tensões induzidas nas três

bobinas igualmente espaçadas, como mostra a figura. Na

seqüência ABC, a tensão na Bobina �A� atinge um máximo em

primeiro lugar, seguida pela bobina �B� e, depois, por �C�. Essa

seqüência fica evidente pelo diagrama de fasores, sendo positiva a

rotação anti-horária, onde os fasores passam por um determinado

ponto fixo na seqüência: A-B-C-A-B-C-A-B-C...

Dependendo da maneira de ligar as bobinas AA�, BB�, CC�,

podemos tê-las ligadas em Triângulo (�) ou em Estrela (Y)

Esse tipo de ligação chama-se de estrela. Nesse caso as correntes

nas bobinas (ou de fase) são iguais às correntes na linha (ou de

linha). Ao contrário, as tensões de linha (entre duas fases) são 3

maiores do que as tensões de fase (entre fase e neutro)

FL II =

Vab = Van + Vbn

VL = 2.VF.cos30º

FLFL V3V2

3V2V =Þ=

Essa é uma ligação em triângulo ou delta ( ). As tensões de linha�

são iguais às de fase, porém as correntes de linha são 3 vezes as

correntes de fase.

LF VV =

Ia = Iab - Ica

Ia = Iab + Iac

IL = 2.IF.cos30º

FLFL I3I2

3I2I =Þ=

A escolha de uma tensão de referência com ângulo de fase nulo,

determina os ângulos de fase de todas as demais tensões do

sistema. No exemplo a seguir VBC foi escolhida para referência. O

triângulo abaixo mostra todas as tensões.

Seqüência ABC

VAB = VLÐ120º

VBC = VLÐ0º

VCA = VLÐ240º

º903

VV LAN Ð÷

øöç

èæ=

)º30(3

VV LBN -Ð÷

øöç

èæ=

)º150(3

VV LCN -Ð÷

øöç

èæ=

Seqüência CBA

VAB = VLÐ240º

VBC = VLÐ0º

VCA = VLÐ120º

)º90(3

VV LAN -Ð÷

øöç

èæ=

º303

VV LBN Ð÷

øöç

èæ=

º1503

VV LCN Ð÷

øöç

èæ=

N

A

N

A

BC

C B

Num sistema trifásico a quatro fios de 208 volts, as tensões de

linha são de 208 volts e as tensões de linha para neutro (tensões

de fase) são de 3208 ou 120 volts. Assim:

VBC = 208Ð0º VAN = 120Ð90º

VAB = 208Ð120º VBN = 120Ð(-30º)

VCA = 208Ð240º VCN = 120Ð(-150º)

Cargas trifásicas equilibradas

Exemplo 1Um sistema ABC trifásico a três condutores, 110 volts,

alimenta uma carga em triângulo, constituída por 3

impedâncias iguais de 5Ð45º . Determinar as correntes�

de linha IA, IB e IC e traçar o diagrama de fasores

2,21j7,5º7522º455

º120110

Z

VI ABAB +=Ð=

ÐÐ

==

55,15j55,15)º45(22º455

º0110

Z

VI BCBC -=-Ð=

ÐÐ

==

7,5j2,21º19522º455

º240110

Z

VI CACA +-=Ð=

ÐÐ

==

ABC

Aplicada a lei dos nós para cada vértice da carga,

tem-se:

IA = IAB + IAC = 22Ð75º - 22Ð195º = 38,1Ð45º Þ

IA = 26,94 + j26,94

IB = IBA + IBC = -22Ð75º + 22Ð(-45º) = 38,1Ð(-75º)

IB = 9,86 + j36,80

IC = ICA + ICB = 22Ð195º - 22Ð(-95º) = 38,1Ð165º Þ

IC = -36,80 + j26,94

O diagrama de fasores mostra as correntes de

linha, equilibradas, de 38,1 amperes, com ângulos

de fase de 120º entre elas.

�Para uma carga equilibrada ligada em triângulo, a

tensão de linha é igual a tensão de fase e a

corrente de linha é 3 vezes a corrente de fase�

Exemplo 2: Um sistema CBA trifásico a quatro condutores, 208

volts, alimenta uma carga em estrela, constituída por

impedâncias 20Ð(-30º) . Calcular as correntes de�

linha e traçar o diagrama de fasores.

A figura mostra o circuito aplicadas as tensões de

linha para neutro da seqüência CBA. O diagrama

acima apresenta todas as correntes de linha

verificando-se que elas retornam pelo condutor

neutro. Assim:

)º60(0,6)º30(20

)º90(120

Z

VI ANA -Ð=

-Ð-Ð

==

º600,6)º30(20

º30120

Z

VI BNB Ð=

-ÐÐ

==

º1800,6)º30(20

º150120

Z

VI CNC Ð=

-ÐÐ

==

A corrente do neutro será:

IN = -(IA + IB + IC) Þ

= -[6,0Ð(-60º) + 6,0Ð60º 6,0Ð180º] Þ IN = 0

Este diagrama de fasores mostra as correntes

equilibradas de linha, estando cada uma delas

adiantada com relação à tensão de fase do ângulo

da respectiva impedância.

�Numa carga equilibrada ligada em triângulo, as

correntes de linha são iguais às correntes de

fase. A corrente no neutro é nula e a tensão de

linha é 3 vezes a tensão de fase. Isto é FL V.3V = �

Carga Desequilibrada em triângulo

A solução, quando a carga é desequilibrada e ligada em triângulo,

consiste em calcular as correntes de fase e, em seguida, por

aplicação aos nós da lei de Kirchhoff para as correntes, determinar

as três correntes de linha. As correntes de linha não serão iguais e

sua defasagem não será de 120º, como ocorre nas cargas

equilibradas.

Exemplo 03: Um sistema trifásico ABC de 240 volts, a 3

condutores, tem carga ligada em triângulo com ZAB

= 10Ð0º, ZBC = 10Ð30º e ZCA = 15Ð(-30º).

Calcular as três correntes de linha e traçar o

diagrama de fasores.

As correntes serão calculadas da seguinte maneira:

º12024º010

º120240

Z

VI

AB

ABAB Ð=

ÐÐ

==

)º30(24º3010

º0240

Z

VI

BC

BCBC -Ð=

ÐÐ

==

º27016)º30(15

º240240

Z

VI

CA

CACA Ð=

-ÐÐ

==

Aplicando-se a Lei dos Nós, teremos:

IA = IAB + IAC = 24Ð120º - 16Ð270º = 38,7Ð108,1º

IB = IBA + IBC = -24Ð120º + 24Ð(-30º) = 46,4Ð(-45º)

IC = ICA + ICB = 16Ð270º - 24Ð(-30º) = 21,2Ð190,9º

Carga desequilibrada ligada em estrela com 4 condutores

Num sistema a quatro fios, o condutor neutro transporta corrente

somente quando a carga é desequilibrada e a tensão em cada uma

das impedâncias de carga permanece fixa e de amplitude igual à

existente entre linha e neutro (tensão de fase). As correntes de

linha são desiguais e sua defasagem não é 120º

Exemplo 04: Um sistema trifásico CBA trifásico a quatro fios, 208

volts, tem carga ligada em estrela com ZA = 6Ð0º,

ZB = 6Ð30º e ZC = 5Ð45º. Calcular as correntes

de linha e no neutro e traçar o diagrama de fasores.

)º90(20º06

)º90(120

Z

VI

A

ANA -Ð=

Ð-Ð

==

º020º306

º30120

Z

VI

B

BNB Ð=

ÐÐ

==

º10524º455

º150120

Z

VI

C

CNC Ð=

ÐÐ

==

A corrente de neutro será a soma:

IN = -(IA + IB + IC) = -[20Ð(-90º) + 20Ð0º + 24Ð105º]

IN = 14,1Ð(-166,9º)

Potência em cargas Trifásicas Equilibradas

Carga �: FL

FL

I3I

VV

=

=

Potencia em cada fase: PF = VFIFcos�

Potencia Total: PT = 3VFIFcos�, mas LF

LL

F

VV

3

3I

3

II

=

==

q= cosIV3P LLT

Carga Y: FL

NFL

IV3V

0III

=

=\=

Potencia em cada fase: PF = VFIFcos�

Potencia Total: PT = 3VFIFcos�, mas LF

LL

F

II

3

3V

3

VV

=

==

q= cosIV3P LLT

então

q= cosIV3P LLT

q= senIV3Q LLT

LLT IV3S =

Exemplo 01: Qual a potência fornecida por um sistema trifásico

equilibrado se cada fio conduz 20A e a tensão entre

os fios é de 220v para um FP igual a unidade?

W76121x20x220x73,1cosIV3P LLT ==q=

Exemplo 02: cada fase de um gerador trifásico ligado em �

alimenta uma carga máxima de 100A numa tensão

de 240v com FP de 0,6 indutivo. Calcule:

a) tensão de linha;

b) corrente de linha;

c) potência trifásica aparente;

d) a potência trifásica útil;

a) VL = VF = 240v

b) IL = 1,73IF = 1,73 x 100 = 173A

c) LLT IV3S = Þ 1,73 x 240 x 173 = 71800VA = 71,8KVA

d) q= cosSP TT Þ 71,80 x 0,6 = 43,1KW

Exemplo 03: cada fase de um gerador trifásico ligado em Y libera

uma corrente de 30A para uma tensão de fase de

254v e um FP de 80% indutivo.

a) Qual a tensão no terminal do gerador?

b) Qual a potência desenvolvida em cada fase?

c) Qual a potência trifásica total?

a) VL = 3VF = 1,73 x 254 = 439,9v

b) q= cosIVP FFF Þ 254 x 30 x 0,80 = 6096W

c) FFFT P3cosIV3P =q= Þ 3 x 6096 = 18.288W

Transformador

dt

dN

f=u

dt

d

dt

d PS

PS

f=

f

f=f

dt

dNV

dt

dNV

SSS

PPP

f=

f=

a==S

P

S

P

N

N

V

V

� é a relação de transformação

Como PP = PS

VP.IP = VS.IS

=\=S

P

P

S

S

P

V

V

I

I

V

V

Exemplo 01: Um transformador com núcleo de ferro funcionando

com uma tensão no primário de 120V, possui 500

espiras no primário e 100 no secundário. Calcule a

tensão no secundário.

v24500

100x120

N

VNV

N

N

V

V

P

PSS

S

P

S

P ===Þ=

Exemplo 02: Um transformador tem razão de transformação (�) de

1:5. Se a bobina do secundário tiver 1000 espiras e a

tensão no secundário for de 30v, qual a tensão no

primário e o número de espiras do primário.

v65

30

5

VV

V

V

5

15:1 S

PS

P ===Þ===a

espiras20030

1000x6N

30

6

1000

N

N

N

V

VP

P

S

P

S

P ====Þ=

Autotransformador

Perda e eficiência de um transformador

Perdas no Cobre = IP2.RP + IS

2.RS

Perdas no Núcleo = Por histerese e por correntes Foucalt

NúcleoCobreSS

SS

P

S

PerdasPerdascosIV

cosIV

P

PEficiência

++qq

==

Exemplo 04: Um Trafo abaixador de 10:1 de 5kVA tem uma

especificação para a corrente do secundário com

uma carga máxima de 50A. A perda no cobre é de

100w. Se a resistência do Primário é 0,6�, qual a

resistência do Secundário e a perda do Cobre do

secundário.

A550x10

1

N

INI

N

N

I

I

P

SSP

P

S

S

P =÷øö

çèæ==Þ=

Perdas no Cobre = IP2.RP + IS

2.RS = 100W

52 x 0,6 + 502RS = 100

W=-

= 034,02500

15100RS

Perda de Potência Secundário = IS2.RS = 50

2x(0,034)

= 85W

Máquinas Rotativas

Alternador: gerador de corrente alternada com excitação no

estator

Gerador de CA com excitação no Rotor

A freqüência da voltagem gerada depende dos pólos do campo e

da velocidade de funcionamento do gerador

120

pnf = f = freqüência (Hz)

p = número total de pólos

n =velocidade do rotor (RPM)

Exemplo 01: Qual a freqüência de um alternador de 4 pólos

funcionando a uma velocidade de 1500RPM.

Hz50120

1500x4

120

pnf ===

Eficiência de um Gerador de CA

entrada

Saída

P

Peficiência =

Exemplo: Um motor de 2HP propulsiona um alternador que tem

uma demanda de carga de 1,1Kw. Qual a eficiência do

Alternador?

Potencia de Entrada = 2HP x 746 = 1492w

Potencia de Saída = 1,1Kw = 1100w

%1,73737,01495

1100eficiência ===

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introdução eletrotécnica