Intervali pouzdanosti

7/25/2019 Intervali pouzdanosti

1/14

Intervali pouzdanosti

Interval pouzdanosti za srednju vrijednost ( kada je poznat in30 )

Jedan aspekt inferencijalne (analitike) statistike je proces procjenjivanjavrijednosti parametra iz informacija sadranih u uzorku (procjena). Npr.: Jedanod !merikanaca je trenutno na dijeti." Ili #rosjena pla$a uitelja jest % &'kune".

udu$i da su populacije iz kojih su te vrijednosti doivene velike* te vrijednosti suprocjene istinitih parametara i izvedene su iz podataka sadranih u uzorku.

+ano pitanje koje se name$e prilikom procjene veliine uzorka* a to je: ,oliko i

velik treao iti uzorak kako i procjena ila -to tonija". Na ovo pitanje nije lakood/ovoriti jer veliina uzorka ovisi o vi-e faktora* kao -to su eljena preciznost ivjerojatnost stvaranja tone procjene.

#retpostavimo da profesor eli odrediti srednju vrijednost /odina svih studenatakoji slu-aju predmete ovaj semestar. 0ecimo da je rije o 122 studenata i na3esrednju vrijednost /odina tih studenata* recimo ''.4 /odine. #rofesor moezakljuiti kako je srednja vrijednost /odina svih studenata ''.4 /odina. 5vakavtip procjene naziva se tokasta procjena (point estimate procjena jednimbrojem).

Tokasta procjenaje speci6na numerika vrijednost procjene srednje vrijednosti

populacije. Najolja tokasta procjena populacijske sredine jest sredina

uzorka X .

7ru/i tip procjene naziva se intervalna procjena. Intervalna procjena srednjevrijednosti populacije je interval ili opse/ vrijednosti kori-tenih za procjenu tesrednje vrijednosti. 8a procjena moe* ali i ne mora sadravati vrijednostparametra koje/ se procjenjuje. 9 ovom sluaju to je srednja vrijednostpopulacije.

9 intervalnoj procjeni* srednja vrijednost populacije se nalazi izme3u dviju

vrijednosti. Npr. Intervalna procjena za srednju do svih studenata moe iti26.9


2/14

Nivo pouzdanostiintervalne procjene srednje vrijednosti populacije je vjerojatnostda $e ta intervalna procjena sadravati srednju vrijednost populacije.

Interval pouzdanosti je speci6na intervalna procjena srednje vrijednostipopulacije odre3ena koriste$i podatke iz uzorka i koriste$i speci6ni nivopouzdanosti.

8ri su naje-$i intervali pouzdanosti koji se koriste: 2;* %; i ; intervalpouzdanosti.

#rimjenjuju$i centralni /ranini teorem moe se zakljuiti da kada je veliina

uzorka velika* prilino %; sredine uzorka $e pasti unutar 1.96 standardne

po/re-ke populacijske sredine.8o jest*

1.96( n )

0ecimo da je uzeta sredina uzorka X . 8ada je vjerojatnost %; da ona pada

unutar opse/a od 1.96( n ) . Na isti nain* vjerojatnost je %; da $e

intervalX 1.96 ( n ) sadravati .

=apisano malo dru/aije*

X1.96( n ) .+rijednost kori-tena za %;>tni interval pouzdanosti* 1.?* je doivena iz 8alice1. =a interval pouzdanosti ;* vrijednost '.%& se koristi umjesto 1.? u formuli.

Jer se i ostali intervali pouzdanosti koriste u statistici* simol z/2 se koristi u

op$enitoj formuli za intervale pouzdanosti. . !ko za neki podatak izraunamoz/2 vrijednost* na primjer* 1.'&* to znai da se taj podatak nalazi na 1.'&

standardne devijacije desno od srednje vrijednosti. Jednako tako vrijednost94.0=z

znai da se odre3eni podatak nalazi na 2. standardne devijacije

lijevo od srednje vrijednosti. @rko slovo predstavlja ukupnu povr-inu u

oa repa" krivulje standardne normalne distriucije. A' predstavlja povr-inu

jedno/ repa". +eza izme3u i nivoa pouzdanosti je ta da je navedeni nivo


3/14

pouzdanosti (postotak) ekvivalentan decimalnoj vrijednosti 1> i ornuto.

,ada je interval pouzdanosti %;* B2.2%* jer 1>2.2%B2.%* ili %;. ,ada je

B2.21* tada 1> B2. i doijemo interval pouzdanosti ;.

Cormula za interval pouzdanosti srednje vrijednosti za speci6an :

Xz/2( n )


4/14

0je-enje: Jer je traen ;>tni interval pouzdanosti* z/2=2.58 . 9vr-tavaju$i u

formulu doijemo:

Xz/2( n )


5/14

Flika 4. %;>tni interval pouzdanosti za svaku sredinu uzorka

!ko je eljena pouzdanost ;* intervali pouzdanosti se moraju pove$ati tako da od 122 intervala sadri populacijsku sredinu.

Jer se i ostali intervali pouzdanosti (osim 2;* %; i ;) nekad koriste u

statistici* neophodno je oja-njenje kako prona$i vrijednost zaz/2

. ,ao -to jereeno prije* /rko slovo oznaava ukupnu povr-inu u oa repa" krivulje

standardne normalne distriucije. +rijednost za je prona3ena oduzimanjem

decimalno/ ekvivalenta traeno/ nivoa pouzdanosti od 1. Npr. !ko je potreno

prona$i &; interval pouzdanosti* tada =10.98 * ili 0.02 . 8ada se A'

doije dijeljenjem sa 2 . 7akle* A'B2.21. ,onano* z0.01 jest

vrijednost koja $e dati povr-inu od 0.01 u desnom repu" krivulje standardne

normalne distriucije* -to je prikazano na Flici .


6/14

Flika . A' za &;>tni interval pouzdanosti

7a i se doila vrijednost z/2 za &;>tni interval pouzdanosti* trea oduzeti

0.01 od 1 i doije se 0.9900 . =atim trea prona$i u 8alici 1. vrijednost

koja je najlia 0.9900 ( u ovom sluaju 0.9901 ) i onda prona$i od/ovaraju$u

vrijednost z . 9 ovom primjeru* to je 2.33 .

Flika %. #ostupak traenja z/2 za &;>tni interval pouzdanosti

=a intervale pouzdanosti samo se pozitivne z vrijednosti koriste u formuli.

,ada je poetna varijala normalno distriuirana i je poznat* standardna

normalna raspodjela se moe koristiti za pronalazak intervala pouzdanosti ez

ozira na veliinu uzorka. ,ada je n30 * raspodjela srednjih vrijednosti $e iti

prilino normalna pa makar se poetna raspodjela razlikovala od normalne.

8ako3er* ako je n 30 * s se moe zamijeniti sa u formuli za intervale

pouzdanosti* te se standardna normalna raspodjela moe koristiti za pronalazakintervala pouzdanosti* kao -to je to prikazano u sljede$em primjeru.


7/14

Primjer 2.

Fljede$i podaci prikazuju uzorak imovine (u milijunima dolara) 42 kreditnih unija.#rona3i 2;>tni interval pouzdanosti srednje vrijednosti.

0je-enje:

1. korak. #rona3i srednju vrijednost i standardnu devijaciju za dane podatke.

Frednja vrijednost uzorka jest X=11.091 . Ftandardna devijacija jest

s=14.405 .

'. korak. #rona3i A'. Jer je traen 2;>tni interval pouzdanosti*

=10.90=0.10 i

2=0.10

2=0.05

4. korak. #rona3i z/2 . 5duzimanjem 0.05 od 0.5000 doijemo 0.4500 .

8raenu vrijednost z doijemo iz 8alice 1 i iznosi 1.65 . (Napomena: 5va

vrijednost je prona3ena promatraju$i vrijednosti izme3u 0.4495 i 0.4505 .

#reciznija vrijednost z * doivena matematiki* iznosi 1.645 .)

. korak. 9vrstimo u formulu:

Xz/2( sn )


8/14

11.0911.65 (14.40530)


9/14

0je-enje: Jer je =0.01 (ili 10.99 )* z/2=2.58 i E=1 . 9vr-tavaju$i u

formulu doijemo:

n=

(

z/2

E

)

2

=

[

2.58 3

1

]

2

=59.9

-to se zaokrui na 60 . #rema tome* profesor trea minimalno ?2 studenata

kako i io ; si/uran da $e procjena unutar 1 /odine iti istinita.

!lgebarski izvod "ormule za interval pouzdanosti

,ao -to je reeno prije* samplin/ distriucija srednje vrijednosti je prilino

normalna kada se prouava velik roj uzoraka n 30 . +rijedi*

z=

X

/n

+jerojatnost da $e z imati vrijednost izme3u z/2 i z/2 jest 1 .

@ra6ki prikaz se vidi na Flici ?.

Flika ?. @ra6ki prikaz vrijednostiz

#rema tome*

z/2 preuzeto .11.'21

Documents

Intervali pouzdanosti