Interférences et désordre (suite)...Interférences et désordre (suite) * Localisation faible * Rétrodiffusion cohérente en optique (PC) * Fluctuations universelles de conductance0

Interférences et désordre (suite) * Localisation faible

* Rétrodiffusion cohérente en optique (PC)

* Fluctuations universelles de conductance * Longueur de cohérence de phase

Conduction quantique et Physique mésoscopique, cours 8 PHY 560B Gilles Montambaux users.lps.u-psud.fr/montambaux 10/03/2017

0 L

Trajectoires opposées

Croisement

Effet d’ordre 1/g

( , ')P r r

conductance ~ transmission conductance moyenne ~ probabilité

probabilité classique + corrections quantiques

Résumé

Drude, Ohm

localisation faible

04i φπ

φ magnétorésistance négative

oscillations Sharvin-Sharvin période φ0 /2=h/2e

04i

eφπφ

0

( )4 tie

φπφ〈 〉

3

Effets cohérents et croisements quantiques

La probabilité de croisement quantique est 1/g

Corrections quantiques

Fluctuations, corrélations Croisements quantiques

Transport classique 22

cleG gh

=

Les effets quantiques sont d’ordre (fluctuations, oscillations, corrections)

Dans un bon métal (g >>1), les effets quantiques sont petits

21cl g

G eh

×

exemple: les oscillations Aharonov-Bohm (ou Sharvin-Sharvin) dans un métal sont d’ordre . 2 /e h

( )/int /0

2 ( ) etD

t dtg P t e eφτ ττ

∞− −∆ −− = ∫

Localisation faible

( )int / /0

( ) 2 ( , ) etD

t dtg B P t B e eφτ ττ

∞− −∆ − = −∫

2

int ( , ', ) (2 ') ( )D i e P r r t r rtA tδ δ

∂ − ∇ + = − ∂

'r r=

0int

0/( , )sinh 4 /

BSP t BBDt

φπ φ

= 0 0 0in( ) ( ) ( )4 4 4

t ( , 0) ( ) 4

t t ti i

l

i

cSP t B e P t e eDt

φ φ φπ π πφ φ φ

π= = = =

int int( , ) ( , , ) P t B P r r t dr= ∫

Sous champ magnétique:

où la probabilité intégrée de retour à l’origine s’obtient à l’aide de

avec

Exemple: champ uniforme dans plan infini

22 /Gg

e h=

5

Correction de localisation faible à la conductance (sans dimension)

( )i0

n/ /

t2 ( ) et tB

D

dtg P t e eφτ ττ

∞− −= − − ∆ ∫

min , , )(

0

/2( )4

D B

d

D

D dtgt

φτ τ τ τπ τ

− ∆ 2 ∫

Contributions des trajectoires de diffusion fermées dont la taille est limitée par la taille du système, la cohérence de phase, le champ magnétique, etc.

, , )min(c D Bφτ τ τ τ

2d =

( )cL TgL

∆ = −

( )1 ln ce

L Tglπ

∆ = −

1 ( 1 )d quasi D= −

c cL Dτ=

6

lne

Lg

lφ∆ −

0

0

/( )sinh 4 /

BSP tBDtφ

π φ=

( )min ,ln

e

BLgl

Lφ∆ − 2 0BBL φ=

( )4

SP tDtπ

=

B non nul :

R

B Bergmann, 84

déf :

expression exacte pour la magnétoconductance :

expression approchée pour B grand :

B=0:

Localisation faible à 2D /( )e

t

D

P t teg dφττ τ

−∞∆ ∝ − ∫

7

lne

Lg

lφ∆ −

0

0

/( )sinh 4 /

BSP tBDtφ

π φ=

( )min ,ln

e

BLgl

Lφ∆ − 2 0BBL φ=

( )4

SP tDtπ

=

B non nul :

R

B Bergmann, 84

déf :

B=0:

La correction disparait quand

20B Lφ φ

BL Lφ

( )L Tφ

Magnétorésistance négative

20B Lφ φ

Localisation faible à 2D /( )e

t

D

P t teg dφττ τ

−∞∆ ∝ − ∫

8

M.E. Gershenson et al.

( )L Tg

Lφ∆ = − e

Lgg M l

φ∆ = −

1 ( 1 )d quasi D= −

elg ML

20el nm10M

Longueur de localisation eM lξ =

Lφ ξ

9

0

cos 4LL

m

mm

Lg e

Lφφ φπ

φ

∞ −

=−∞

∆ = − ∑

2 2 /4

0

( ) cos 44

m L Dt

m

eP t L mDt

φπφπ

−

= ∑

000

ln c 42 osmz e

LL Lg KL l L

m mφφπ

φπφ>

∆ = − +

∑

2 2 /4

0

( ) cos 44

m L Dt

zm

eP t LL mDt

φππ φ

−

= ∑

φ

Ensemble d’anneaux

Oscillations quantiques /( )e

t

D

P teg t dφτ

τ

τ−∞∆ = − 2 ∫

“Sample specific” interference

φ

φ

Oscillations de période

Après moyenne sur le désordre, ne reste que la contribution des trajectoires appariées

0 /h eφ =

Différence de phase entre les trajectoires 0

2 φπφ

0

4 φπφ

Anneau unique (Webb et al., 1985)

Cylindre (Sharvin-Sharvin, 1981) ou moyenne sur différents anneaux

Oscillations « Aharonov-Bohm »

… qui disparaissent en moyenne

Différence de phase

Oscillations de période 0 / 2 / 2h eφ =

Si le nombre N d’anneaux augmente, L’harmonique décroit comme L’harmonique subsiste

Chaîne d’anneaux

C. P. Umbach et al., Phys. Rev. Lett. 56, 386 (1986)

Chaîne de N anneaux d’argent

h/e α N -1/2

a = 940 nm

h/2e

0φ

0 / 2φ

1/ N

h/e

12

Appl. Phys. Lett. 50, 1289 (1987)

Cohérence de phase

Non- localité

13

Fluctuations universelles de conductance

Conductance en fonction d’un paramètre extérieur (champ magnétique)

Au Si numérique

( )G B

Lee,Stone, Fukuyama, Universal conductance fluctuations in metals, Phys. Rev. 35, 1039 (1987)

Fluctuations reproductibles

L’amplitude est universelle 222 2 eG G G G

hδ δ= = −

L Lφ2 25800

he

= Ω

Dans un bon métal, δG

15

clG G G= + ∆Moyenne

2GδVariance

La correction ∆G est supprimée par le champ magnétique

Sous champ, la variance est réduite d’un facteur 2

G

G

2Gδ

B

D. Mailly, M. Sanquer, J. Physique I, 2, 357 (1992)

Magneto-fingerprints = empreintes digitales magnétiques

Chaque trace représente une figure d’interférence

unités e2/h

16

Origine de l’universalité des fluctuations Analogie avec l’optique Formule de Landauer

17

Les fluctuations relatives d’intensité sont grandes, d’ordre 1

b a

22ab abT Tδ =

Comparer avec les fluctuations universelles de conductance ? δG

18

b, a : canaux entrant et sortant

Formule de Landauer multicanal

2

4Fk SMπ

=Nombre de canaux :

b a

Conductance = transmission

ak

bk

,

2 22 2ab

a b

e eh

G Th

T == ∑

19

Optique : mesure de Tab , Ta , ou T

Electronique : mesure de ,

aba b

T T= ∑a ab

bT T= ∑

,ab

a bT T= ∑

,

2 22 2ab

a b

e eh

G Th

T == ∑

b a

Landauer

b, a : canaux entrant et sortant

2abgT

M=

abT

' 'ab a bT T

Conductance = transmission

20

2

,

2ab

a bG Te

h= ∑

'' ' '' 'ab a b ab a ab a bb T TT T T T δ δ= +

2

, ', ,'

''ab a b

a a b bTg Tδδ δ = ∑

Fluctuations de conductance et de speckle

21

a b

a’ b’

' 'ab a bT T

' 'ab a bT Tδ δ

'' ' '' 'ab a b ab a ab a bb T TT T T T δ δ= +

' ' , ' , 'ab a b a a b bT T δ δ=

a

a’

b

b’

Fluctuations de speckle vs fluctuations de conductance C1

a

a’

b

b’

22

2

ab ab abT T Tδ δ =

' ' , ' , '2

, ', , 'ab a b a a b b

a a b bg T Tδ δ δ= ∑

Loi de Rayleigh

N’explique pas les fluctuations de conductance…

a a’

a’ = a b’=b

a

a’

b

b’

2

, ', ,'

''ab a b

a a b bTg Tδδ δ = ∑

22 22

4 2 1elg gM

M M L = =


23

' 'ab a bT T

' ' ' 'ab ba b a a bT TT T δ δ+

+ ??? +

' ' , ' , 'ab a b a a b bT T δ δ

24

a

a’ b’ a’

a b’

b

b

1/g

j’*

j’

j*

j

j’*

j’ j*

j


25

' ' ' , ''2

3 ab a b b bab a bT T

gT Tδ δ δ=

2' ' , ' , '

, ', , '

23 ab a b a a b ba a b b

g T Tg

δ δ δ = + ∑

a

a’ b’ a’

a b’

b

b

1/g

, 'a aδ +

23

4

4 4 13 3

elg gMg M M L

= =

N’explique pas les fluctuations de conductance…


26

' ' '2'2

15 abab a a bb gTT T Tδ δ =

2'2 '

, ', , '

215 ab a ba a b b

T Tg

gδ = ∑

Fluctuations universelles de conductance !

a

a

a’

b

b

a’ b’

b’

1/g2

24

2 4

2 215 15

g Mg M

= =


27

' ' , ' , ' ,' 2' ' , '2 2

3 15ab a b a a b b a a b bab a bT T

gT T

gδ δδ δ δ δ

= + + +


C1 C2 C3

2

22 4 2

3 15g g g

M Mδ + += 1elg

M L

Fluctuations de speckle vs fluctuations de conductance

28

Fluctuations de conductance = 2 conductances + 2 croisements

2 22 22 2

2

1e eh hg

G gδ

=

× ⇒


1/g2

29

22

2GG δδ →

Diffuson « classique »

Cooperon « interference »

* Un champ magnétique supprime la contribution du cooperon ( )intP t

4 combinaisons

Fluctuations universelles et cohérence de phase

30

clG G G= + ∆Moyenne

2GδVariance

La correction ∆G est supprimée par le champ magnétique

Sous champ, la variance est réduite d’un facteur 2

G

G

2Gδ

D. Mailly, M. Sanquer, J. Physique I, 2, 357 (1992)

Magnetofingerprints = empreintes digitales magnétiques

Chaque trace représente une figure d’interférence

unités e2/h

31

22

2GG δδ →

Diffuson « classique »

Cooperon « interference »

* Un champ magnétique supprime la contribution du cooperon ( )intP t

4 combinaisons

( ) ( )int clP t P t et* Les processus de déphasage détruisent

2 0L L Gφ δ ⇒ →

Fluctuations universelles et cohérence de phase

,min2 2

)

2

(

2

,22

( )1

e

D B

D

dtt PG g teh g

φτ τ

τ

τ

τδ

×

× ∫

int( ) ( ) ( )clP t P t P t= +

Distribution de boucles

20

22222 )1 (

D

eh

dtt P tGτ

δ∞

= ∫


33

20

22222 )1 (

D

eh

dtt P tGτ

δ∞

= ∫2

( ) tDqP t e−= ∑

1,2,...,nq nLπ

= = ∞

( )

222

4122 1eh L

Gq

δ

= ∑

222 22

15eh

Gδ

=

L Lφ

( )

222

2122 1

n D

eh E

Gδτ

= ∑

Plus généralement

Exemple: le fil quasi-1D limite mésoscopique

34

22

20

/2/ 2

12 24

D t

D

d dttt

eh

G e φττδπ τ

∞−

=

∫/ 2

4( )

dD

tP t τ

π

=

2 22 2

442

2 2 2d d

D

Le eh h L

G φ φττ

δ

−−

=

* c

dLNL

=

addition classique de N éléments incohérents : (4 ) / 2

1dG L

δ −∼

L L φExemple: le fil quasi-1D limite macroscopique

35

Fluctuations gaussiennes ?

3Gδ =

nGδ =

43 11 O

gg

g

×

2Gδ =2

2 11 ( )g Og

×

2 2 2

1 1n

n nng

G Og

gδ −−

×

2 conductances et 2 croisements

3 conductances et 4 croisements

n conductances et (2n- 2) croisements

G = ( )O g (1)O

g → ∞Fluctuations gaussiennes dans la limite

+

36

Cohérence de phase

Temps de cohérence de phase Longueur de cohérence de phase

Les sources de décohérence sont les degrés de liberté dynamiques * Couplage électron-phonon * Interactions électron-électron * Impuretés magnétiques

La cohérence de phase n’est pas détruite par un désordre statique

( )Tφτ

L Dφ φτ=

37

Grenoble, Institut Néel

0.1

1

10

100

0.001 0.01 0.1 1 10 100 T (K)

L φ ( µ

m)

3/ 2L Tφ−∝

e--ph interaction

1/3L Tφ−∝

e--e- interaction (AAK)

3012

3014

3016

3018

3020

3022

3024

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200

R +

offs

et (O

hms)

B (G)

30mK

60mK

2000mK

470mK

0

( )BWL

g B f φδφ

=

Mesure de magnétorésistance dans des fils

?

( )L Tφ

Rappel 2D :

38

Ag

Ag

Cu

Au 2/3 31( )

AT B TTφτ

= +

Déphasage dans des fils métalliques

e-phonon e-e

Saturation due aux impuretés magnétiques Saclay

39

Origine de la décohérence de phase (qualitatif)

( )tϕ+

02

( )i

i te eφπφ ϕ

Déphasage aléatoire dépendant de la position des atomes, des autres électrons, des impuretés magnétiques,

0

2 ( )tφπ ϕφ

+

0

2 ( )tφπ ϕφ

− +

0

4 ( ) ( )t tφπ ϕ ϕφ

+ −

04 ( )i i t

eφπ ϕφ

+ ∆

21 ( )( ) 2 /i t tt

e ee φϕϕ τ− ∆ −∆

Déphasage :

Moyenne sur les trajectoires et la dynamique des degrés de liberté extérieurs

Propriétés spectrales de systèmes complexes Théorie des matrices aléatoires

La semaine prochaine …

Le prix nobel de physique 2016 : Topologie et matière condensée

Le matin

L’après-midi

Diapositive numéro 1Diapositive numéro 2Effets cohérents et croisements quantiquesDiapositive numéro 4Diapositive numéro 5Diapositive numéro 6Diapositive numéro 7Diapositive numéro 8Diapositive numéro 9Diapositive numéro 10Diapositive numéro 11Diapositive numéro 12Diapositive numéro 13Diapositive numéro 14Diapositive numéro 15Diapositive numéro 16Diapositive numéro 17Diapositive numéro 18Diapositive numéro 19Diapositive numéro 20Fluctuations de speckle vs fluctuations de conductance C1Diapositive numéro 22Diapositive numéro 23Diapositive numéro 24Diapositive numéro 25Diapositive numéro 26Diapositive numéro 27Diapositive numéro 28Diapositive numéro 29Diapositive numéro 30Diapositive numéro 31Diapositive numéro 32Diapositive numéro 33Diapositive numéro 34Fluctuations gaussiennes ?Diapositive numéro 36Diapositive numéro 37Diapositive numéro 38Diapositive numéro 39Diapositive numéro 40

Interférences et désordre (suite)

* Localisation faible

* Rétrodiffusion cohérente en optique (PC)

* Fluctuations universelles de conductance

* Longueur de cohérence de phase

Conduction quantique et Physique mésoscopique, cours 8 PHY 560B

Gilles Montambaux users.lps.u-psud.fr/montambaux

10/03/2017

0

L

Trajectoires opposées

Croisement

Effet d’ordre 1/g

conductance ~ transmission

conductance moyenne ~ probabilité

probabilité classique + corrections quantiques

Résumé

Drude, Ohm

localisation

faible

magnétorésistance

négative

oscillations

Sharvin-Sharvin

période f0 /2=h/2e

3

Effets cohérents et croisements quantiques

La probabilité de croisement quantique est 1/g

Corrections quantiques

Fluctuations, corrélations

Croisements quantiques

Transport classique

Les effets quantiques sont d’ordre

(fluctuations, oscillations, corrections)

Dans un bon métal (g >>1), les effets quantiques sont petits

exemple: les oscillations Aharonov-Bohm (ou Sharvin-Sharvin) dans un métal

sont d’ordre .

Localisation faible

Sous champ magnétique:

où la probabilité intégrée de retour à l’origine

s’obtient à l’aide de

avec

Exemple: champ uniforme dans plan infini

5

Correction de localisation faible à la conductance (sans dimension)

Contributions des trajectoires de diffusion fermées dont la taille est limitée

par la taille du système, la cohérence de phase, le champ magnétique, etc.

6

B non nul :

R

B

Bergmann, 84

déf :

expression exacte pour la magnétoconductance :

expression approchée pour B grand :

B=0:

Localisation faible à 2D

6

7

B non nul :

R

B

Bergmann, 84

déf :

B=0:

La correction disparait quand

Magnétorésistance négative

Localisation faible à 2D

7

8

M.E. Gershenson et al.

Longueur de localisation

9

f

Ensemble d’anneaux

Oscillations quantiques

“Sample specific” interference


Après moyenne sur le désordre, ne reste que

la contribution des trajectoires appariées

Différence de phase entre les trajectoires

Anneau unique (Webb et al., 1985)

Cylindre (Sharvin-Sharvin, 1981)

ou moyenne sur différents anneaux

Oscillations « Aharonov-Bohm »

… qui disparaissent en moyenne

Différence de phase


Si le nombre N d’anneaux augmente,

L’harmonique décroit comme

L’harmonique subsiste

Chaîne d’anneaux

C. P. Umbach et al., Phys. Rev. Lett. 56, 386 (1986)

Chaîne de N anneaux d’argent

h/e a N -1/2

a = 940 nm

h/2e

h/e

12

Appl. Phys. Lett. 50, 1289 (1987)

Cohérence de phase

Non- localité

13


Conductance en fonction d’un paramètre extérieur (champ magnétique)

Au

Si

numérique

Lee,Stone, Fukuyama, Universal conductance fluctuations in metals, Phys. Rev. 35, 1039 (1987)

Fluctuations reproductibles

13

L’amplitude est universelle

Dans un bon métal, dG

éù

æö

D=-+

êú

ç÷

ç÷

êú

èø

ëû

å

22

/4

0

()cos4

4

mLDt

z

m

e

PtLLm

Dt

f

p

pf

-

=

å

/

()

e

t

D

P

t

e

g

t

d

f

t

t

t

-

¥

D= -

2

ò

f

0

/

he

f

=

0

2

f

p

f

0

4

f

p

f

0

/2/2

he

f

=

0

f

0

/2

f

1/

N

()

GB

2

2

22

e

GGGG

h

dd

==-

:

LL

f

=

2

25800

h

e

= W

cl

GGG

=+D

Moyenne

2

G

d

Variance

G

G

2

G

d

2

2

abab

TT

d

=

ab

T

a

k

r

b

k

r

2

4

F

kS

M

p

=

b

a

,

22

22

ab

ab

ee

h

GT

h

T

=

=

å

,

ab

ab

TT

=

å

aab

b

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,

ab

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TT

=

å

2

ab

g

T

M

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ab

T

''

abab

TT

2

,

2

ab

ab

GT

e

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=

å

'

''

'

''

abababa

abab

b

TT

TTTT

dd

= +

2

,',,

'

'

'

abab

aabb

T

g

T

d

d

d

=

å

''

abab

TT

''

abab

TT

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'

''

'

''

abababa

abab

b

TT

TTTT

dd

= +

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ababaabb

TT

dd

=

2

ababab

TTT

dd

=

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2

,',,'

ababaabb

aabb

g

TT

d

dd

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å

2

,',,

'

'

'

abab

aabb

T

g

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d

d

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2

22

2

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1

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l

gg

M

MML

æö

==

ç÷

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:=

''

abab

TT

''

''

ab

b

ab

aab

TT

TT

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+

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ababaabb

TT

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'

'','

'

2

3

ababbb

abab

TT

g

TT

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d

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2

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,',,'

2

3

ababaabb

aabb

gTT

g

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éù

= +

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å

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1

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e

l

gg

M

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==

:=

'

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2

'

2

15

ab

aba

ab

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T

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2

'

,',,'

2

15

abab

aabb

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g

g

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2

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22

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g

M

gM

==

'',',',

'

2

'

','

22

315

ababaabbaabb

abab

TT

g

TT

g

d

d

d

ddd

æö

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ç÷

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2

2

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315

g

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1

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22

22

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1

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2

2

2

G

G

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d

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()

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Pt

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Moyenne

2

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G

2

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2

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t

t

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ø

´

ò

:

int

()()()

cl

PtPtPt

=+

2

0

2

2

2

2

2

)

1

(

D

e

h

dt

tPt

G

t

d

¥

æö

ç÷

èø

=

ò

2

0

2

2

2

2

2

)

1

(

D

e

h

dt

tPt

G

t

d

¥

æö

ç÷

èø

=

ò

2

()

t

Dq

Pte

-

=

å

1,2,...,

n

qn

L

p

= =¥

(

)

2

2

2

4

12

2

1

e

h

L

G

q

d

æö

ç÷

èø

=

å

2

2

2

2

2

15

e

h

G

d

æö

ç÷

èø

=

LL

f

=

(

)

2

2

2

2

12

2

1

nD

e

h

E

G

d

t

æö

ç÷

èø

=

å

2

2

2

0

/

2

/2

12

2

4

D

t

D

d

dt

t

t

e

h

G

e

f

t

t

d

pt

¥

-

æö

ç÷

è

æö

ç÷

ø

=

ø

è

ò

/2

4

()

d

D

t

Pt

t

p

æö

ç÷

ø

=

è

22

2

2

4

4

2

2

22

d

d

D

L

ee

hhL

G

ff

t

t

d

-

-

æö

æöæö

æö

=

ç÷

ç÷ç÷

ç÷

èø

èøèø

èø

:

*

c

d

L

N

L

æö

=

ç÷

èø

addition classique de N éléments incohér

ents :

(4)/2

1

d

G

L

d

-

~

LL

?

f

3

G

d

=

g

®¥

Fluctuations gaussiennes dans la limite

n

G

d

=

4

3

1

1

O

g

g

g

æö

ç÷

è

´

ø

:

2

G

d

=

2

2

1

1

()

g

O

g

´

:

22

2

1

1

n

nn

n

g

G

O

g

g

d

-

-

æ

´

ö

ç÷

èø

::

G

=

()

Og

(1)

O

()

T

f

t

LD

ff

t

=

3/2

LT

f

-

µ

1/3

LT

f

-

µ

0

()

BWL

gBf

f

d

f

æö

=

ç÷

ç÷

èø

()

LT

f

3012

3014

3016

3018

3020

3022

3024

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

R +offset (Ohms)

B (G)

30mK

60mK

2000mK

470mK

2/33

1

()

ATBT

T

f

t

= +

()

t

j

+

0

2

()

i

it

ee

f

p

f

j

0

2()

t

f

pj

f

+

0

2()

t

f

pj

f

-+

0

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tt

f

pjj

f

+-

0

4()

iit

e

f

pj

f

+D

2

1

()

()

2

/

it

t

t

e

e

e

f

j

j

t

-D

-

D

::

Documents

Interférences et désordre (suite)...Interférences et désordre (suite) * Localisation faible * Rétrodiffusion cohérente en optique (PC) * Fluctuations universelles de conductance0