Interaction fluide structure et frequences.pdf

8/11/2019 Interaction fluide structure et frequences.pdf

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UNIVERSIT DE MONTRAL

DTERMINATION DES FRQUENCES NATURELLES DE STRUCTURES

SUBMERGES PAR LA MTHODE D'INTERACTIONS FLUIDE-

STRUCTURE BIDIRECTIONNELLE

FRDRICK DOMPIERRE

DPARTEMENT DE GNIE MCANIQUE

COLE POLYTECHNIQUE DE MONTRAL

MMOIRE PRSENT EN VUE DE LOBTENTION

DU DIPLME DE MATRISE S SCIENCES APPLIQUES

(GNIE MCANIQUE)

AVRIL 2010

Frdrick Dompierre, 2010.


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UNIVERSIT DE MONTRAL

COLE POLYTECHNIQUE DE MONTRAL

Ce mmoire intitul:

DTERMINATION DES FRQUENCES NATURELLES DE STRUCTURES SUBMERGES

PAR LA MTHODE D'INTERACTIONS FLUIDE-STRUCTURE BIDIRECTIONNELLE

prsent par : DOMPIERRE Frdrick

en vue de lobtention du diplme de : Matrise s sciences appliques

a t dment accept par le jury dexamen constitu de :

M. GARON Andr, Ph. D., prsident

M. PELLETIER Dominique, Ph. D., membre et directeur de recherche

M. PETTIGREW Michel, Post-Grad. Dipl., membre et codirecteur de recherche

M. REGGIO Marcelo, Ph. D., membre


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iv

RSUM

La prsente recherche vise l'valuation de la viabilit d'utilisation d'une mthode numriquercemment rendue disponible dans un logiciel commercial pour la prdiction du comportement

dynamique de roues de turbine hydraulique en fonctionnement au stade de conception.

Contrairement aux mthodes de prdiction classiques, cette mthode temporelle intgrant la

simulation des interactions fluide-structure permet d'inclure l'effet de l'coulement, de la

turbulence et de la viscosit du fluide agissant sur le comportement dynamique de la roue. cet

gard, une prdiction plus juste permet d'assurer une fiabilit accrue de cette composante

essentielle la gnration d'hydrolectricit.

L'objectif principal de la recherche est la validation de la mthode numrique propose pour la

prdiction du comportement dynamique de structures submerges. Cette mthode fait intervenir

deux solveurs distincts. Le premier rsout le systme associ au domaine structurel et le second,

le systme associ au domaine fluide. La rsolution est ralise de faon squentielle et le

transfert de donnes d'change assure le couplage. Pour valider cette faon de faire, une

mthodologie est d'abord dveloppe partir des fonctions logicielles disponibles. Dans un

premier temps, celle-ci est applique des cas test faisant intervenir des structures submerges

dans l'eau stagnante dont les frquences naturelles sont connues pour fin de validation. Aucun

coulement moyen n'est donc impliqu. Aussi, leur gomtrie est simple et permet une mise en

uvre relativement aise. Par la suite, la mthodologie est applique la prdiction des

frquences naturelles d'une roue de turbine en fonctionnement. Ce cas de figure intgre les effets

associs l'coulement.

La mthode numrique utilise permet de raliser des simulations temporelles exclusivement. La

mthodologie envisage est donc restreinte cette contrainte. Concernant les cas test en eau

stagnante, un dplacement initial est impos la structure puis elle est libre de vibrer dans le

fluide. L'analyse du dplacement d'un point attach la structure en vibration libre dont

l'amplitude est significative permet de dduire les frquences naturelles des modes excits. Cette

analyse consiste en l'ajustement d'un modle simple de sinusodes amorties au signal brut

provenant du logiciel. Les frquences naturelles sont des paramtres directement dtermins lors

de l'ajustement.


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v

Le premier cas de validation considr est celui d'un cylindre infiniment long et rigide vibrant

selon un degr de libert de translation dans un espace annulaire rempli d'eau. Ce cas possde une

solution thorique issue de la thorie potentielle pour fin de comparaison. La frquence naturelle

en fonction du degr de confinement est dtermine par des simulations adoptant diffrents

rayons extrieurs au niveau de l'anneau de fluide. Ce cas test permet la validation du logiciel

quant la prdiction de l'effet de l'eau et du confinement sur la rponse dynamique du cylindre.

Le second cas de validation considr est celui d'une plaque d'acier encastre par l'une de ses

extrmits et libre de vibrer dans l'eau selon ses diffrents modes de vibration. Ce cas est plus

complexe que celui du cylindre puisqu'il est tridimensionnel et fait intervenir la dformation

lastique de la structure. Ce cas possde des mesures exprimentales fiables de frquencesnaturelles. Il permet la validation du logiciel par rapport l'effet de l'eau sur la rponse

dynamique de la plaque en fonction des diffrents modes de vibration tudis.

Finalement, le dernier cas de simulation consiste en une roue de turbine de type Francis en

fonctionnement. Un domaine reprsentant une portion importante de la turbine est modlis dans

le but de minimiser l'effet des conditions limite imposes sur la roue l'tude. La simulation en

fluide seule est d'abord valide par des mesures ralises lors de l'essai sur turbine modle rduit.

Par la suite, des analyses modales de la roue de turbine seule avec diffrentes rsolutions etconditions limite permettent de vrifier la cohrence des rsultats pour la portion mcanique du

calcul. Une simulation transitoire drive de l'analyse modale est btie pour servir d'intrant la

simulation couple. Une fois la vrification des simulations fluide et solide effectue, la

simulation en interactions fluide-structure est lance. Au dpart, aucun chargement n'est appliqu

la roue et les champs de pression issus de la rsolution du domaine fluide sont imposs de faon

impulsive. La roue est alors soumise une rponse transitoire faisant intervenir plusieurs modes

dont la torsion, le soulvement et d'autres modes de degrs suprieurs. Ces modes sont amortis et

une rponse stationnaire est atteinte par la suite. Cette rponse confirme l'excitation d'un mode

thorique attendu pour une turbine possdant cette configuration particulire. Tous les modes

dtermins sont compars avec ceux obtenus par une mthode valide au niveau de la prdiction

des frquences naturelles de roues en eau stagnante, soit la mthode acoustique. Les

dplacements moyens pris diffrents points de contrle sont aussi compars avec ceux issus

d'un calcul mcanique statique classique galement pour fin de validation.


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vi

ABSTRACT

This research aims to assess the viability of using a numerical method recently made available incommercial software for the prediction the dynamic behaviour of hydraulic turbine runners in

operation at design stage. Unlike conventional prediction methods, this temporal method

integrating the simulation fluid-structure interactions can take into account the effect of the

surrounding flow, turbulence and fluid viscosity acting on the dynamic behaviour of the runner.

In this regard, a more accurate prediction ensures the increasing of reliability of this essential

component for the hydraulic power generation.

The main goal of this research is the validation of the numerical method proposed for theprediction of the dynamic behaviour of submerged structures. This method involves two separate

solvers. The first one solves the system associated with structural portion and the second solves

the fluid portion. The resolution is achieved sequentially by transferring exchange data ensuring

the coupling. To validate this approach, a methodology is first developed from the software

available features. The first step is to apply the methodology to test cases whose submerged

natural frequencies are known for validation purpose. The vibration of these simple systems is

carried out in still water, no mean flow is therefore involved. Also, their geometry is simple and

can be modelled relatively easily. Subsequently, the methodology is applied for the prediction of

natural frequencies of a turbine runner under operation conditions. This simulation incorporates

the effects associated with the flow.

The numerical method used allows to perform time-dependant simulations only. The proposed

methodology is then limited to this constraint. For the test cases in still water, an initial

displacement is imposed on the structure and it is to vibrate freely in the fluid. The analysis of

displacement of a point attached to the structure whose amplitude is significant allows to deduce

the natural frequencies of the modes involved in the resulting free vibration. This analysis

consists in the best fitting a simple model of damped sinusoids to the raw signal provided by the

software. The natural frequencies are parameters directly determined during the best fit.

The first validation test case considered is an infinitely long and rigid cylinder vibrating in a

translation degree of freedom through an annular space filled with water. This case possesses a

theoretical solution from the potential theory for validation purpose. By its nature, the geometry

can be reduced to a two-dimensional modelling and allows the use of relatively small mesh sizes


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vii

while having an acceptable resolution. The natural frequency depending on the degree of

confinement is determined by several simulations adopting different external radii for the fluid

annulus. This test case allows the validation of the software concerning the effect of water

confinement on the dynamic response of the cylinder.

The second validation test case considered is a steel plate embedded by one of its free ends and

free to vibrate according to its different vibration modes. This case is more complex than the

cylinder test case since it involves three-dimensional elastic deformation of the structure. This

case has reliable experimental measurements of natural frequencies. It allows the validation of

the software for the effect of water on the dynamic response in regard of its different vibration

modes.

Finally, the last simulation consists of a Francis turbine runner under operation condition. A

domain representing a significant portion of the turbine is modeled in order to minimize the effect

of boundary conditions imposed on the considered runner. The fluid simulation alone is first

validated by measurements made on the model test turbine. Subsequently, a modal analysis of the

turbine runner without any fluid contribution allows to validate the mechanical portion of the

calculation. A mesh convergence analysis ensures a good accuracy of the solid portion of the

simulation. Once the verification of fluid and solid simulations performed, the simulationincluding the fluid-structure interactions is launched. Initially, no load is applied to the runner

and pressure fields provided by the resolution of the fluid domain are imposed impulsively. The

runner is then subjected to a transient response involving several vibration modes including

torsion, uprising and other higher degree vibration modes. Thereafter, these modes are damped

and a steady response is reached. This response confirms the excitation of a theoretical vibration

mode for a turbine with this particular configuration. All determined vibration modes are

compared with those calculated by a validated method including fluid-structure interactions

namely the acoustic method. Finally, the mean displacements taken at different checkpoints are

compared with a typical static mechanical calculation also for validation purpose.


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ix

1.2.3 Effets de la prsence du fluide sur la rigidit du systme en vibration..................17

1.2.4 Effets du confinement ............................................................................................18

1.2.5 Effets d'une surface libre du fluide.........................................................................19

1.2.6 Effets d'un coulement primaire.............................................................................19

1.3 Mthodes de dtermination des frquences naturelles de structures submerges..........21

1.3.1 Mthodes analytiques .............................................................................................21

1.3.2 Mthodes exprimentales .......................................................................................23

1.3.3 Mthodes numriques ............................................................................................231.4 Applicabilit des mthodes de prdiction au problme actuel .......................................26

1.5 Conclusion......................................................................................................................26

CHAPITRE 2 CADRE THORIQUE CONCERNANT LES MTHODES NUMRIQUES

UTILISES............. ...................................................................................................................... 28

2.1 Mcanique des fluides incompressibles .........................................................................28

2.1.1 quations de base et mthodes numriques ...........................................................28

2.1.2 Mthodes des volumes finis ...................................................................................30

2.1.3 Erreurs rencontres lors de l'utilisation de la mthode des volumes finis..............33

2.2 Mcanique des solides lastiques linaire......................................................................34

2.2.1 quations de base rgissant la mcanique des solides linaire ..............................34

2.2.2 Mthodes des lments finis ..................................................................................36

2.2.3 Erreurs rencontres lors de l'utilisation de la mthode des lments finis .............40

2.3 Interactions fluide-structure ...........................................................................................41

2.4 Conclusion......................................................................................................................44

CHAPITRE 3 MTHODES ET RSULTATS POUR LE CAS DU CYLINDRE

CONFIN......................................................................................................................................45

3.1 Mise en contexte et but vis ...........................................................................................45


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x

3.2 Description du cas test du cylindre et mthodologie utilise.........................................46

3.3 Modlisation...................................................................................................................47

3.3.1 Modlisation du domaine structurel.......................................................................48

3.3.2 Modlisation du domaine fluide.............................................................................50

3.4 Rsultats .........................................................................................................................52

3.5 Post-traitement du signal ................................................................................................56

3.6 Analyse de convergence.................................................................................................57

3.7 Comparaison des rsultats de la mthode numrique avec ceux issus de formulationsthoriques ...................................................................................................................................59

3.8 Note sur le temps de calcul ............................................................................................61

3.9 Discussion et conclusion ................................................................................................62

CHAPITRE 4 MTHODES ET RSULTATS POUR LE CAS DE LA PLAQUE

ENCASTRE SUBMERGE.......................................................................................................63


4.2 Description du cas test et mthodologie utilise ............................................................64

4.3 Modlisation...................................................................................................................67

4.3.1 Modlisation du domaine structurel.......................................................................67

4.3.2 Modlisation du domaine fluide.............................................................................72

4.4 Rsultats .........................................................................................................................76

4.5 Post-traitement du signal ................................................................................................80

4.6 Analyse de convergence.................................................................................................83

4.7 Comparaison des rsultats de la mthode numrique avec les rsultats exprimentaux84

4.8 Note sur le temps de calcul ............................................................................................87

4.9 Discussion et conclusion ................................................................................................88


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xi

CHAPITRE 5 MTHODES ET RSULTATS POUR LE CAS D'UNE ROUE DE TURBINE

HYDRAULIQUE EN FONCTIONNEMENT..............................................................................91


5.2 Description du cas de la roue de turbine et mthodologie .............................................92

5.3 Sources dexcitation vibratoire pour une roue de turbine hydraulique ..........................94

5.3.1 Thorie lie l'interaction rotor-stator...................................................................95

5.4 Modlisation gomtrique..............................................................................................97

5.5 Modlisation et rsultats de la portion structurelle seule du calcul................................99

5.5.1 tude de convergence de l'analyse modale de la roue complte..........................100

5.5.2 Effets de la condition limite d'encastrement sur les frquences naturelles ..........105

5.5.3 Effets de l'tat de contrainte de la roue sur ses frquences naturelles..................107

5.5.4 Effets des conditions limite de priodicit sur les frquences naturelles .............108

5.5.5 Modle structurel utilis pour le calcul incluant les interactions fluide-structure110

5.5.6 Conclusion pour la simulation de la structure seule.............................................111

5.6 Modlisation et rsultats de la portion fluide seule du calcul ......................................112

5.6.1 Point de fonctionnement de la turbine pour la simulation fluide .........................113

5.6.2 Maillages du domaine fluide ................................................................................113

5.6.3 Conditions limite..................................................................................................115

5.6.4 Conditions initiales...............................................................................................118

5.6.5 Choix du pas de temps .........................................................................................118

5.6.6 Modle de turbulence ...........................................................................................119

5.6.7 Critres de convergence .......................................................................................119

5.6.8 Rsultats et discussions pour la simulation en fluide seule..................................119

5.6.9 Note sur le temps de calculs .................................................................................125


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xii

5.6.10 Conclusions de la section traitant de la simulation de la turbine Francis en fluide

seule......................................................................................................................................125

5.7 Simulation fluide-structure pour le cas de la roue de turbine ......................................126

5.7.1 Conditions limite..................................................................................................126

5.7.2 Conditions initiales...............................................................................................127

5.7.3 Critres de convergence .......................................................................................127

5.7.4 Rsultats pour la simulation en interactions fluide-structure ...............................128

5.7.5 Note sur le temps de calcul ..................................................................................136

5.8 Conclusion....................................................................................................................137

CONCLUSIONS ET RECOMMANDATIONS CONCERNANT L'ENSEMBLE DU PROJET

..................................................................................................................................................... 139

BIBLIOGRAPHIE ...................................................................................................................... 142

ANNEXES .................................................................................................................................. 147


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LISTE DES TABLEAUX

Tableau 3.1: Proprits de l'acier standard.....................................................................................47

Tableau 3.2: Proprits de l'eau......................................................................................................47

Tableau 3.3: Nombre de nuds des maillages solide du cas du cylindre confin.........................48

Tableau 3.4: Paramtres de la simulation mcanique temporelle du cas du cylindre confin.......49

Tableau 3.5: Paramtres des maillages utiliss pour le domaine fluide du cas du cylindre confin

................................................................................................................................................51

Tableau 3.6: Critres d'arrt pour la simulation du cas du cylindre confin intgrant lesinteractions fluide-structure....................................................................................................52

Tableau 3.7: Caractristiques du calculateur utilis.......................................................................61

Tableau 4.1: Dimensions des plaques considres pour l'tude.....................................................64

Tableau 4.2: Nomenclature utilise pour l'identification des modes des plaques encastres ........65

Tableau 4.3: Rsolution des maillages structurels de la plaque 2 pour l'analyse de convergence

des frquences naturelles calcules dans le vide....................................................................68Tableau 4.4: Frquences naturelles simules dans le vide pour le cas de la plaque encastre et

comparaison avec les valeurs mesures .................................................................................70

Tableau 4.5: Comparaison entre les frquences naturelles dans le vide de la plaque 2 (Vu)

rapporte aux dimensions de la plaque 14 de Linholm avec celles de la plaque 14 de

Lindholm ................................................................................................................................71

Tableau 4.6: Paramtres de la simulation mcanique temporelle pour le cas de la plaque encastre

................................................................................................................................................72

Tableau 4.7: Caractristiques des maillages fluide structurs utiliss pour l'analyse de

convergence des simulations intgrant les interactions fluide-structure pour le cas de la

plaque 2 encastre et submerge ............................................................................................73

Tableau 4.8: Caractristiques du maillage fluide non-structur utilis pour la plaque 2 encastre et

submerge...............................................................................................................................74


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xiv

Tableau 4.9: Critres d'arrt pour la simulation intgrant les interactions fluide-structure pour le

cas de la plaque encastre submerge ....................................................................................75

Tableau 4.10: Frquences naturelles calcules par la mthode bidirectionnelle avec maillages

fluide structurs pour le cas test de la plaque en comparaison avec les mesures

exprimentales........................................................................................................................85

Tableau 4.11: Comparaison des rsultats obtenus pour le cas de la plaque 2 encastre et

submerge par les maillages fluide structur (Gambit) et non-structur (ICEM)..................87

Tableau 4.12: Caractristiques du calculateur utilis pour les calculs...........................................88

Tableau 5.1: Caractristiques de l'interaction rotor-stator lies au nombre de directrices et nombred'aubes de la roue de turbine Francis considre ...................................................................96

Tableau 5.2: Analyse de convergence des frquences naturelles dans le vide pour la roue de

turbine Francis complte ......................................................................................................101

Tableau 5.3: Nomenclature utilise pour les diffrents modes de la roue de turbine Francis .....105

Tableau 5.4: Frquences naturelles dans le vide calcules pour les diffrentes conditions limite

considres pour la roue de turbine Francis complte .........................................................107

Tableau 5.5: Frquences naturelles dans le vide calcules avec et sans prcontrainte pour la roue

de turbine Francis complte .................................................................................................108

Tableau 5.6: Frquences naturelles dans le vide compares pour la roue de turbine Francis

complte et le secteur correspondant un cinquime du domaine ......................................109

Tableau 5.7: Paramtres de la simulation mcanique temporelle de la roue de turbine Francis .110

Tableau 5.8: Caractristiques du point de fonctionnement choisi ...............................................113

Tableau 5.9: Paramtres du maillage grossier de la turbine Francis tudie ...............................114

Tableau 5.10: Paramtres du maillage fin de la turbine Francis tudie......................................114

Tableau 5.11: Critres de convergence appliqus la simulation fluide de la turbine Francis

tudie ..................................................................................................................................119

Tableau 5.12: Rsultats du calcul fluide de la turbine Francis utilisant un maillage de 615 844

nuds et un pas de temps de 0,00025 seconde ....................................................................120


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xv

Tableau 5.13: Caractristiques du calculateur utilis...................................................................125

Tableau 5.14: Ressources ncessaires pour les calculs raliss pour le domaine fluide seulement

..............................................................................................................................................125

Tableau 5.15: Critres de convergence appliqus la simulation en interaction fluide-structure

pour le cas de la roue Francis...............................................................................................127

Tableau 5.16: Comparaison des donnes hydrauliques obtenues pour la simulation en fluide seule

et intgrant les interactions fluide-structure.........................................................................128

Tableau 5.17: Comparaison entre les dplacements statiques obtenus par la mthode incluant les

interactions fluide-structure et un calcul statique classique.................................................129

Tableau 5.18: Comparaison entre les frquences naturelles de la roue Francis calcules dans le

vide et dans l'eau par la mthode acoustique et par la mthode bidirectionnelle.................136

Tableau 5.19: Paramtres de la simulation en interactions fluide-structure et ressources

informatiques ncessaires.....................................................................................................136


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xvi

LISTE DES FIGURES

Figure 1-1: Schma d'un systme oscillant un degr de libert ....................................................9

Figure 1-2: Amplitude normalise de la rponse du systme un degr de libert en vibration

harmonique force en fonction du rapport entre la frquence d'excitation et la frquence

naturelle..................................................................................................................................12

Figure 1-3: Schma d'un systme oscillant deux degrs de libert en vibration force..............14

Figure 1-4: Amplitudes normalises de la rponse du systme deux degrs de libert en

vibration harmonique force en fonction du rapport entre la frquence d'excitation et la

premire frquence naturelle..................................................................................................14

Figure 1-5: Systme un degr de libert comportant une contribution de rigidit ajoute due la

prsence du fluide...................................................................................................................18

Figure 1-6: Solide section variable..............................................................................................22

Figure 2-1: Dfinition du volume de contrle partir de maille du domaine fluide .....................31

Figure 2-2: Volume reprsentant une portion infinitsimale d'un solide contraint........................34

Figure 2-3: lments quadratiques utiliss pour les simulations structurelles...............................37

Figure 2-4: Itrations de Newton-Raphson ( Kn reprsente la matrice jacobienne de la matrice

de rigidit l'itration n de Newton-Raphson) ................................................................40

Figure 2-5: Schma de rsolution bidirectionnelle des interactions fluide-structure (les solveurs

peuvent tre interchangs dpendamment de la nature du phnomne simul) ....................42

Figure 2-6: Interpolation des donnes d'change entre les domaines fluide et solide....................43

Figure 3-1: Schma reprsentant la gomtrie du cas test du cylindre confin .............................46

Figure 3-2: Tranche reprsentant la modlisation quasi-2D du cas du cylindre confin...............48

Figure 3-3: Maillages utiliss pour le domaine structurel du cas du cylindre confin...................48

Figure 3-4: Condition initiale de dplacement impose pour le cas du cylindre confin ..............49

Figure 3-5: Dplacement du cylindre seul en vibration libre en fonction du temps ......................50

Figure 3-6: Maillages utiliss pour le domaine fluide du cas du cylindre confin ........................51


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xvii

Figure 3-7: Signal du dplacement en fonction du temps calcul par la mthode bidirectionnelle

pour le cas du cylindre confin avec Dext= 1030 mm et maillages solide et fluide fins........53

Figure 3-8: Graphique des rsidus RMS associs la rsolution du domaine fluide en fonction du

nombre de pas de temps pour le cas du cylindre confin avec Dext= 1030 mm et maillages

solide et fluide fins.................................................................................................................54

Figure 3-9: Champs de vitesse et de pression calculs dans le fluide pour le cas du cylindre

confin avec Dext= 2000 mm et maillages solide et fluide fins.............................................55

Figure 3-10: Modle de sinusode amortie ajust pour le signal du cylindre confin avec Dext=

1030 mm et maillages solide et fluide fins.............................................................................57

Figure 3-11: Analyse de convergence de la frquence naturelle pour le cylindre confin avec D ext

= 2000 mm .............................................................................................................................58

Figure 3-12: Analyse de convergence du taux d'amortissement pour le cylindre confin avec D ext

= 2000 mm .............................................................................................................................58

Figure 3-13: Reprsentation schmatique du cylindre confin......................................................59

Figure 3-14: Masse hydrodynamique normalise par la masse du cylindre confin en fonction du

rapport des rayons intrieur et extrieur.................................................................................60

Figure 3-15: Taux d'amortissement calcul pour le cas du cylindre confin en fonction du rapport

des rayons intrieur et extrieur .............................................................................................61

Figure 4-1: Description schmatique de la gomtrie de la plaque encastre et du rservoir d'eau

dans lequel elle est submerge ...............................................................................................64

Figure 4-2: Visualisation des premiers modes de vibration de la plaque encastre.......................65

Figure 4-3: Maillage structurel de la plaque 2 (32x16)..................................................................67

Figure 4-4: Convergence des frquences naturelles dans le vide en fonction de la rsolution

(nombre de maillages du ct a ) pour la plaque 2............................................................68

Figure 4-5: Erreur sur les frquences naturelles calcules par rapport l'exprience de Lindholm

et al. (1965) pour la plaque 2 avec dimensions originales et modifies.................................69


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xviii

Figure 4-6: Topologie utilise pour les maillages fluide structurs pour le cas de la plaque

encastre submerge...............................................................................................................73

Figure 4-7: Coupe du maillage fluide structur utilis pour les simulations du cas de la plaque

encastre submerge...............................................................................................................74

Figure 4-8: Coupe du maillage fluide non-structur utilis pour la plaque 2 encastre et

submerge...............................................................................................................................75

Figure 4-9: Signal du dplacement calcul pour le cas test de la plaque encastre submerge

(Plaque 2, mode 3) .................................................................................................................76

Figure 4-10: Solution initiale pour les domaines structurel et fluide dans le cas de la plaque 2encastre submerge vibrant librement selon le mode 3........................................................77

Figure 4-11: Champ de vitesse dans l'coulement fluide gnr par le mouvement de la plaque 2

encastre submerge vibrant librement selon le mode 3 (le dplacement est exagr pour fins

de visualisation)......................................................................................................................79

Figure 4-12: Contours de pression dans l'coulement fluide gnrs par le mouvement de la

plaque 2 encastre submerge vibrant librement selon le mode 3.........................................79

Figure 4-13: Modle de sinusodes amorties ajust pour le cas test de la plaque encastre

submerge (Plaque 2, mode 3) ...............................................................................................81

Figure 4-14: Convergence des frquences naturelles calcules par rapport aux frquences

mesures pour le cas de la plaque 2 en fonction des maillages prsents au Tableau 4.7.....83

Figure 4-15: Masses ajoutes de diffrentes plaques ayant un rapport a/b = 1 dduites de

l'exprimentation de Lindholm et al. (1965) et Vu et al. (2007)............................................86

Figure 5-1: Schma des champs de vitesse causant l'interaction rotor-stator pour une turbinehydraulique.............................................................................................................................95

Figure 5-2: Domaine structurel correspondant au cinquime de la roue de turbine Francis tudie

................................................................................................................................................99

Figure 5-3: Domaines structurel et fluide correspondant au cinquime de la turbine Francis

tudie ....................................................................................................................................99


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xix

Figure 5-4: Maillage structurel de la roue Francis complte utilis pour l'analyse modale.........100

Figure 5-5: Visualisation des modes de la roue de type Francis (partie 1) ..................................102



Figure 5-8: Conditions limite C.L.1 et C.L.2 imposes sur le plateau d'accouplement de la roue de

turbine Francis complte pour l'analyse modale ..................................................................106

Figure 5-9: Maillage structurel utilis pour l'analyse incluant les interactions fluide-structure par

la mthode bidirectionnelle..................................................................................................109

Figure 5-10: Coupe du maillage fluide de la turbine Francis tudie au niveau de l'axe

distributeur ...........................................................................................................................115

Figure 5-11: Schma reprsentant les conditions limite imposes au distributeur de la turbine

Francis tudie......................................................................................................................116

Figure 5-12: Courbes de couple aux aubes de la turbine Francis tudie en fonction du temps .121

Figure 5-13: Graphique de convergence de la variation maximale de couple aux aubes (pic pic)

en fonction de la rsolution spatiale et temporelle...............................................................122

Figure 5-14: Contours de pression dans un plan horizontal au dessus de la ceinture de la roue de

turbine Francis tudie .........................................................................................................123

Figure 5-15: Schma montrant le positionnement des prises de pression l'entrefer .................124

Figure 5-16: Fluctuations de pression aux prises de pression A et B en comparaison avec la

mesure sur turbine modle rduit pour le calcul en fluide seul............................................124

Figure 5-17: Fluctuations de pression aux prises de pression A et B en comparaison avec lamesure sur turbine modle rduit pour le calcul en interactions fluide-structure ................129

Figure 5-18: Localisation des points d'enregistrement des dplacements pour la roue Francis ..131

Figure 5-19: Signaux des dplacements totaux de la roue Francis calculs pour les premiers

instants de la simulation intgrant les interactions fluide-structure .....................................132

Figure 5-20: Signaux des dplacements totaux de la roue Francis calculs pour la phase

stationnaire de la simulation intgrant les interactions fluide-structure...............................133


20/174

xx

Figure 5-21: Dplacement dynamique radial de la ceinture en fonction du temps......................134

Figure 5-22: Dplacement dynamique total de la roue Francis pour la phase stationnaire de la

simulation intgrant les interactions fluide-structure en comparaison avec le dplacement du

mode 5ND-1 fourni par l'analyse modale dans le vide ........................................................135


21/174

xxi

LISTE DES SIGLES ET ABRVIATIONS

a,b Amplitudes, dimensions

[ ]B Matrice d'opration des drives spatiales

c Vitesse du son, constante d'amortissement

cc Constante d'amortissement critique

C Constante quelconque

Crigidit Constante de rigidit

[ ]C Matrice d'amortissement

d Dplacement

D Module du dplacement, dimension caractristique, diamtre, diamtre de sortie

roue

D(ti) Dplacement calcul par le logiciel

{ }d Degr de libert de dplacement aux noeuds

{ }id Forme du mode i

E Module d'lasticit

nE Erreur sur les variables d'change

f Frquence

F Force

F0 Module de la force

)(tF Force d'excitation

{ })(tF Vecteur des forces d'excitation

G Module de cisaillement

Facteur de masse ajoute adimensionnel


22/174

xxii

xy Variations d'angle entre les facettesxety

H Chute, hauteur

i Incrment

k Constante de rappel, nombre de diamtres nodaux

maillageK Fonction de rigidit des mailles fluide

[ ]K Matrice de rigidit

Kn Matrice jacobienne de la matrice de rigidit l'itration n

L Longueur caractristique

m Masse, nombre entier li l'interaction rotor-stator

[ ]M Matrice de masse

mh Masse ajoute (ou masse hydrodynamique)

s

hm Masse ajoute par unit de longueur

n Normale, nombre entier li l'interaction rotor-statorN Vitesse de rotation

[ ]N Matrice des fonctions de forme

N11 Vitesse unitaire

n_dir Direction normale

P Champ de pression

p' Variations de pression

P Pression moyenne

Pmass Rsidu sur l'quation de continuit

Q Dbit

Q11 Dbit unitaire


23/174


24/174

xxiv

dZ Nombre de directrices

Dformation

Paramtre li au taux d'amortissement

Quantit quelconque vhicule dans l'coulement

Champ de donnes de transfert appliqu

*n Champ de donnes de transfert calcul l'itration n

Densit

Taux d'amortissement

Contrainte

Cisaillement

eff Diffusivit effective

Viscosit dynamique

Viscosit cinmatique

Module de Poisson

Frquence d'excitation

n Frquence naturelle

d Frquence naturelle amortie

viden _ Frquence naturelle dans le vide

submergen _ Frquence naturelle de la structure submerge


25/174

xxv

LISTE DES ANNEXES

Annexe 1 Programmes MATLAB........................................................................................147

Annexe 2 CommandesANSYSpour l'imposition des conditions initiales............................149


26/174

1

INTRODUCTION

Ce chapitre d'introduction a pour but de situer le projet de matrise dans son contexte industriel.Pour ce faire, une section d'introduction gnrale et sommaire aux turbines hydrauliques de type

Francis est d'abord prsente. Elle permet au lecteur de se familiariser aux concepts de base et au

vocabulaire lis au domaine. Par la suite, la dfinition du problme industriel duquel a merg le

projet de recherche est pose. Les objectifs poursuivis sont ensuite dfinis puis la mthodologie

propose pour la rsolution du problme est expose. Ce chapitre se termine par la prsentation

du plan du mmoire, faisant la description sommaire de chacun des chapitres.

Turbines gnrales

Pour bien circonscrire le problme industriel qui a initi ce projet de matrise, une brve

introduction au fonctionnement d'une turbine hydraulique est ncessaire.

Une turbine hydraulique est un ouvrage mcanique dont le but est la conversion de l'nergie

contenue dans un coulement d'eau en nergie mcanique. Cette nergie est gnralement utilise

pour entraner un alternateur pour la production d'lectricit.

Les composantes principales d'une turbine de type Francis sont montres aux Figures I-1 et I-2.


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28/174

3

Les principales composantes du groupe turbine-alternateur de type Francis ainsi que leurs

fonctions sont dcrites ci-dessous:

Barrage: Ouvrage servant au contrle du dbit d'un cours d'eau. Il cre un obstacle sur la rivire

qui permet d'obtenir une diffrence entre les niveaux amont et aval du rservoir. Il emmagasine

l'nergie potentielle.

Conduite force: Canal qui s'tend du rservoir la bche spirale dont le rle est d'alimenter la

turbine en eau.

Bche spirale: Composante ayant gnralement une forme de colimaon qui reoit l'eau de la

conduite force. Sa conception est telle qu'elle dirige l'eau le plus uniformment possible dans le

distributeur et transforme l'nergie de la chute en nergie cintique de rotation.

Distributeur: Anneau situ l'intrieur de la bche spirale qui possde gnralement un jeu

d'aubes fixes appeles avant-directrices et un jeu d'aubes orientables appeles directrices. Ces

dernires permettent d'ajuster le dbit et l'angle de l'coulement fourni la roue.

Roue de type Francis: Pice matresse responsable de la conversion de l'nergie contenue dans

l'eau en nergie mcanique. Il s'agit d'une pice tournante dont l'admission d'eau se fait

radialement avec une composante de vitesse circonfrentielle. L'coulement est redress dans laroue pour ne laisser qu'une composante essentiellement axiale en sortie. Le moment cintique

absorb par les aubes de la roue produit un couple mcanique l'arbre de la turbine.

Aspirateur: Diffuseur coud en aval de la roue dont le rle est de rcuprer l'nergie cintique

toujours disponible dans l'coulement. Il permet de rduire la pression statique en sortie de roue.

Arbre: Composante liant rigidement la roue et l'alternateur. L'arbre est gnralement support par

des paliers guide et de bute. Son rle est de transmettre le couple gnr par la roue

l'alternateur.

Alternateur: Dispositif permettant de convertir l'nergie mcanique fournie par la roue de turbine

en nergie lectrique.

Une attention particulire est porte dans cette section la roue de turbine de type Francis

puisqu'elle fait l'objet d'une analyse approfondie dans ce mmoire. Celle-ci est gnralement

ralise partir de pices en acier inoxydable coules, usines puis mcano-soudes. Ses pices

principales sont le plafond, l'aubage et la ceinture. Le plafond est la pice suprieure qui assure le


29/174

4

transfert du couple gnr par les aubes l'arbre. C'est par le plafond que la roue est accouple

l'arbre. Les aubes, quant elles, possdent une gomtrie complexe maximisant le rendement de

la turbine tout en minimisant la cavitation. Vu son importance conomique cruciale, la gomtrie

des aubes est gnralement une donne hautement confidentielle. Le nombre d'aubes d'une roue

Francis est impair la plupart du temps. Ce nombre fait partir intgrante du design. Finalement, la

ceinture est une pice annulaire servant solidariser l'aubage. Son rle est essentiellement

structurel. La Figure I.3 prsente les principales composantes de la roue Francis.

Figue I-3: Principales composantes d'une roue de type Francis

Les labyrinthes correspondent aux jeux existants entre la roue (partie tournante) et les flasques

(partie fixe). Sur une roue Francis, ils sont localiss au niveau du diamtre suprieur du plafondet au niveau de la ceinture, gnralement en amont du bord d'attaque des aubes. Ces jeux doivent

tre minimiss puisque l'coulement d'eau dans les labyrinthes ne produit aucun travail

contribuant au couple l'arbre. Ce volume d'eau est considr comme une perte.

Dfinition du problme

Comme c'est le cas pour plupart des machines mcaniques, les composantes de turbine sont

soumises des variations de chargement de toutes sortes. Ce cyclage doit tre connu pour la

prdiction de la vie en fatigue de ces lments.

Vu son rle primordial dans le processus de conversion de l'nergie, la roue est la pice

mcanique la plus critique au niveau oprationnel dune centrale. La justesse de la prdiction de

la vie en fatigue de cette composante est donc cruciale. En ce sens, la caractrisation des forces

statiques et dynamiques agissant sur la roue est ncessaire. Par la suite, une analyse prenant en

compte la rponse dynamique de la roue ce chargement doit tre ralise.


30/174

5

Les sources d'excitation sont multiples pour la roue. En voici quelques-unes:

-Interactions rotor-stator

-Alle de Von Karman au bord de fuite de l'aubage

-Pulsation due la prsence d'une torche instationnaire dans l'aspirateur

-Vibration engendre par la ligne d'arbre

-Variation du couple rsistif produit par l'alternateur

-Prsence d'un balourd d un mauvais quilibrage de la roue

Si la roue prsente un comportement rsonant par rapport une excitation donne, l'effet peuttre dvastateur au niveau de la vie en fatigue. En effet, lorsque la rsonance se produit, une

amplification dynamique importante de l'excitation est ressentie au niveau de la structure.

Physiquement, la composante acquiert de l'nergie vibratoire chaque cycle de l'excitation sans

pouvoir l'vacuer efficacement. Cette nergie n'arrive quitter le systme uniquement que par

l'action des forces d'amortissement. Si l'amortissement est faible, cette accumulation d'nergie est

considrable et entrane gnralement une destruction rapide de la composante.

Fondamentalement, la rsonance se produit lorsque plusieurs conditions sont satisfaites.Premirement, il doit exister une excitation dynamique possdant une frquence qui approche

l'une des frquences naturelles de la roue. En deuxime lieu, cette excitation doit possder une

compatibilit gomtrique avec le mode excit. Pour tre en mesure de prdire le phnomne au

stade de la conception, la caractrisation de l'excitation et des frquences naturelles en

fonctionnement de la composante est donc essentielle. Les frquences naturelles, qui sont le sujet

principal du prsent mmoire, sont particulirement difficiles prvoir, considrant le nombre

important de paramtres qui les influencent. La prsence d'eau autour de la roue est la principale

source de difficult au niveau de la prdiction. La masse d'eau vibrant avec la structure, altrant

ainsi les frquences naturelles, varie normment d'un mode de vibration l'autre. Les domaines

solide et fluide sont donc intimement lis pour former un systme vibratoire complexe. Ce

couplage fort doit alors tre pris en compte lors de la modlisation.

De plus, les problmes vibratoires sont de plus en plus prsents dans le domaine des turbines

hydrauliques. Pour des raisons essentiellement conomiques, lindustrie affiche une tendance la

rduction de la quantit dacier ncessaire la fabrication des roues. Cette mesure apporte deux


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6

effets pervers sur le plan mcanique. Son premier effet se manifeste par une augmentation de

ltat de contrainte gnral de la composante, augmentant aussi le risque de rupture

catastrophique en service. Une autre consquence qu'a cette rduction de la quantit de matriau

requis se manifeste par une rduction globale de la rigidit de la roue menant la rduction des

frquences naturelles en fonctionnement. Ces dernires approchent de plus en plus les frquences

dexcitation hydrauliques existantes. Il en dcoule un risque accru de rsonance et donc de

rupture catastrophique. Il existe donc un intrt majeur pour le dveloppement dune mthode de

prdiction prcise du comportement dynamique de ces structures.

Mthodologie

L'objectif de ce projet de matrise est d'valuer la faisabilit d'utilisation d'une mthode

numrique rcemment rendue disponible pour la prdiction du comportement dynamique de

roues de turbine hydraulique en fonctionnement. Cette mthode temporelle fait intervenir le

bouclage d'un solveur d'coulement fluide et d'un solveur mcanique. Pour chaque itration, des

donnes sont transfres entre les deux modules pour raliser la simulation incluant les

interactions fluide-structure.

L'objectif final est ambitieux de par les nombreux paramtres prsents (complexit gomtrique,prsence de confinement, effet de l'coulement, conditions limite, etc...). De ce fait, l'approche

gnrale concernant l'valuation de la faisabilit de l'utilisation de la mthode numrique est

d'abord la recherche de cas acadmiques simples suffisamment documents pour servir de cas de

validation. Cette approche permet l'isolation de certains paramtres d'analyse afin d'en dterminer

leurs effets propres. Il permet galement de raliser des simulations avec une bonne rapidit de

mise en uvre et de rsolution. Lorsque la caractrisation des premiers paramtres est ralise,

l'intgration des nouveaux paramtres de modlisation peut tre faite avec confiance.

Le premier cas test soumis au logiciel est celui d'un cylindre infiniment rigide de longueur infinie

vibrant en translation dans un espace annulaire rempli d'eau. Ce cas permet la ralisation de

simulations pseudo-bidimensionnelles rduisant de beaucoup la taille du calcul. Ce cas permet

l'tablissement d'un fil conducteur au niveau de la viabilit de la mthode. Il permet galement

une tude de sensibilit relative de paramtres tel que l'effet de confinement, les critres de

convergence, le pas de temps, la discrtisation spatiale, l'interpolation des donnes de transfert et


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7

ce dans un temps de calcul raisonnable. Il permet galement la validation du logiciel puisque ce

problme possde une solution analytique drive de la thorie potentielle.

Le second cas test est celui de diffrentes plaques encastres vibrant librement dans un rservoir

rempli d'eau stagnante. Cette fois, le cas test est tridimensionnel et permet de prendre en compte

l'effet du type mode de vibration sur l'altration des frquences naturelles. Ce cas test a fait

lobjet de mesures exprimentales extensives ralises par Lindholm et al. (1965) et par Vu et al.

(2007). Ces mesures permettent la validation des rsultats obtenus par calculs.

Finalement, la mthodologie est applique une roue de turbine hydraulique en fonctionnement.

Cette fois, les effets dus l'coulement et au confinement sont pris en compte ainsi que la

rotation de la roue et l'effet de l'acclration gravitationnelle. Les simulations des domaines fluide

et solide sont vrifies de faon indpendante et exhaustive avant de procder au couplage. Pour

la portion fluide du domaine, il existe des mesures ralises sur turbine modle rduit permettant

de valider l'approche. Malheureusement, aucune valeur de comparaison pour la rponse

dynamique de la roue submerge n'existe actuellement. Toutefois, les frquences naturelles de la

roue obtenues par la mthode bidirectionnelle sont compares celles obtenues par la mthode

acoustique. Celle-ci a fait l'objet de nombreux cas de validation, notamment au niveau de roues

de turbine submerges dans l'eau stagnante (Escaler et al. (2008), Lais et al. (2008), Vialle et al.(2008)).

Plan du mmoire

Le mmoire comprend cinq chapitres. Le premier chapitre prsente d'abord un cadre thorique

entourant le phnomne de vibration de structures submerges. Ce chapitre est articul en trois

volets. Le premier rappelle les bases de la thorie de la vibration classique. Le second met en

perspective les principaux mcanismes impliqus dans la vibrations de structures submerges.Finalement, une revue bibliographique permet de mettre en vidence les principales mthodes de

prdiction des frquences naturelles de structures submerges et leur contexte historique.

Le second chapitre retrace la thorie rattache aux calculs numriques d'coulement fluide

(couramment appele CFD, acronyme de computational fluid dynamics) et la mthode des

lments finis. Ces deux mthodes sont implmentes respectivement dans les deux solveurs de

base du module d'interactions fluide-structure bidirectionnel de ANSYS. la fin de ce chapitre,


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9

CHAPITRE 1 VIBRATION DE STRUCTURES SUBMERGES ET

MTHODES DE PRDICTIONPour bien situer le problme de la caractrisation des frquences naturelles de structures

submerges, un bref rappel thorique concernant les concepts de base de la thorie de la vibration

simpose. Par la suite, les principaux mcanismes par lesquels la prsence dun fluide lourd

influence le comportement dynamique dune structure submerge seront exposs. Finalement,

une revue bibliographique des diffrentes mthodes de prdiction sera ralise en mettant en

perspective leur aspect historique et en comparant le niveau de prcision atteint.

1.1 Rappel des concepts de base de la vibration

Le but de cette section est de poser les bases thoriques et les quations fondamentales de la

vibration qui sont utilises dans ce mmoire de matrise.

1.1.1 Systmes un degr de libert

Le modle de vibration de base pour un systme en oscillation harmonique est compos d'une

masse, d'un ressort et d'un amortisseur. La Figure 1-1 illustre ce modle. Son lment de masse

est libre de se dplacer en translation selon l'axe X.

Figure 1-1: Schma d'un systme oscillant un degr de libert

Le ressort est linaire, c'est--dire que sa force de rappel est proportionnelle selon la constante

k au dplacement de la masse m et la force gnre par l'amortisseur est proportionnelle

la vitesse par la constante d'amortissement c .

En accord avec la deuxime loi de Newton, la vibration libre d'un tel systme est dcrite par

l'quation (1.1).

0=++ kxxcxm &&& (1.1)


35/174

10

La vibration libre est amorce par des conditions initiales de dplacement, de vitesse, et

d'acclration. Lorsqu'il n'y a aucune force d'amortissement, le systme vibre indfiniment selon

sa frquence naturelle dcrite par l'quation (1.2).

m

kn =

(1.2)

La constante d'amortissement critique dun systme correspond la valeur limite du paramtre

c pour laquelle le systme perturb se stabilise vers sa position dquilibre sans oscillation. La

constante d'amortissement critique est dcrite par l'quation (1.3).

kmcc 2= (1.3)

En pratique, la notion de taux d'amortissement est souvent utilise. Il s'agit du rapport entre la

constante d'amortissement du systme et la constante d'amortissement critique (quation (1.4)).

cc

c=

(1.4)

Lorsque le taux d'amortissement est suprieur l'unit, aucune oscillation n'est possible et la

masse se dplace simplement vers sa position d'quilibre. Lorsque le taux d'amortissement est

infrieur l'unit, le dplacement pour le systme un degr de libert adopte un comportement

oscillant et revt la forme dcrite l 'quation (1.5).

[ ])cos()sin( tbtaex ddt += (1.5)

o a et b sont des amplitudes, 21 = nd reprsente la frquence

naturelle amortie et n= .

Si la valeur du taux damortissement est faible, la frquence naturelle amortie est trs prs de lafrquence naturelle du systme sans amortissement. Dans ce cas, une approximation acceptable

du taux d'amortissement utilise en pratique est dcrite l'quation (1.6).

d

(1.6)


36/174

11

La vibration force se produit lorsque qu'un terme )(tF non-nul excite le systme

prcdemment introduit. L'quation (1.7) reprsente la seconde loi de Newton applique au

systme un degr de libert en vibration force.

)(tFkxxcxm =++ &&& (1.7)

La force )(tF est de type harmonique si elle possde la forme pose l'quation (1.8).

)cos()(0

tFtF = (1.8)

La solution correspondant au dplacement de la masse en fonction du temps pour le systme un

degr de libert en vibration force harmonique et en rgime permanent est dcrite par l'quation

(1.9).

=2

222

0

1

2

arctansin

21

/

n

n

nn

tkF

x

(1.9)

L'amplitude normalise de la rponse du systme pour diffrents taux d'amortissement en

fonction du rapport entre la frquence d'excitation et la frquence naturelle est prsente la

Figure 1-2.


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12

Figure 1-2: Amplitude normalise de la rponse du systme un degr de libert en vibration

harmonique force en fonction du rapport entre la frquence d'excitation et la frquence naturelle

Lorsque la frquence dexcitation est infiniment faible, la force excitatrice peut tre considre

comme statique. Le systme sadapte en se dformant de sorte que le ressort reprenne la force

0F . C'est pourquoi la valeur de l'amplitude de rponse normalise atteint l'unit pour une

frquence d'excitation nulle. Lorsque la frquence augmente pour approcher la frquencenaturelle, la rponse augmente de faon spectaculaire, particulirement si le taux d'amortissement

est faible. De l'nergie vibratoire est alors accumule dans le systme et ne peut en sortir que par

l'action des forces d'amortissement. Ce phnomne est appel rsonance. Il s'agit d'un tat

mcaniquement indsirable pour une structure puisqu'elle est soumise des cycles amenant

souvent la propagation de dfauts sous forme de fissures. De plus, l'tat de contrainte

dynamique qui est le moteur de cette propagation subit une amplification similaire l'amplitude

de dplacement. Gnralement, il rsulte de la rsonance une rupture catastrophique peu aprs la

mise en service de l'quipement concern, d'o l'importance de bien connatre le comportement

dynamique des composantes en fonctionnement. Le design peut alors tre adapt pour viter le

phnomne. Finalement, lorsque la frquence d'excitation dpasse de 50% la frquence naturelle,

l'amplification dynamique est rduite drastiquement. Cette dernire tend vers 0 lorsque le rapport

de la frquence d'excitation sur la frquence naturelle devient trs grand.


38/174

13

1.1.2 Systmes degrs de libert multiples

Pour pouvoir reprsenter des structures relles et complexes, la thorie de base de la vibration

doit tre gnralise pour des systmes comportant plusieurs degrs de libert. Pour arriver

cette fin, l'quation dcrivant la seconde loi de Newton pour un tel systme peut tre crite sous

la forme matricielle (quation (1.10)).

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { })(tFxKxCxM =++ &&& (1.10)

En ngligeant le terme d'amortissement et supposant une solution telle que dcrite l'quation

(1.11), les frquences naturelles peuvent tre dtermines par l'quation (1.12).

{ } { } )sin( tXx = (1.11)

o { }X est un vecteur contenant les amplitudes de dplacement de chacun des degrs

de libert.

[ ] [ ] 02 = MK

(1.12)

Le systme possde autant de frquences naturelles que de degrs de libert. chaque frquence

naturelle est associ un mode propre de vibration. Un mode est un tat de vibration qui possde

une configuration de dplacement particulire. Chacun des modes est indpendant des autres

lorsque l'amortissement du systme est proportionnel. Cette particularit est appele

orthogonalit des modes (Thomson et al. (1998)). Les modes propres sont dtermins en

rinjectant chacune des frquences naturelles i

et en rsolvant pour le dplacement

(quation (1.13)).

[ ] [ ][ ]{ } 02 = ii XMK (1.13)

La forme des modes propres { }iX fournit l'amplitude relative entre les diffrents degrs de

libert. Lorsqu'en vibration libre, l'imposition de conditions initiales de dplacement arbitraires

une structure fait intervenir un ou plusieurs de ses modes propres. Ce dplacement initial peut

tre dcompos en une combinaison linaire des modes propres. La proportion de chacun de ces

modes dans la rponse de la structure dpend de la contribution de ceux-ci dans le dplacement

initial.


39/174

14

Lorsqu'un systme plusieurs degrs de libert est en vibration force, comme pour le cas du

systme un degr de libert, il existe une amplification dynamique importante lorsque la

frquence d'excitation approche une frquence naturelle. La Figure 1-3 prsente un systme

simple en vibration force deux degrs de libert.

Figure 1-3: Schma d'un systme oscillant deux degrs de libert en vibration force

L'amplitude normalise de la rponse des deux masses du systme en fonction du rapport entre la

frquence d'excitation et la frquence naturelle est prsente la Figure 1-4.

Figure 1-4: Amplitudes normalises de la rponse du systme deux degrs de libert en

vibration harmonique force en fonction du rapport entre la frquence d'excitation et la premire

frquence naturelle

Les structures relles possdent un nombre infini de degrs de libert et par consquent, un

nombre infini de modes propres. Il est noter que les modes simples et de basse frquence

relative sont gnralement plus risque en terme de rsonance. Ceux-ci possdent gnralement

moins d'amortissement que les modes de degrs suprieurs, gnrant une rsonance plus


40/174

15

importante si une excitation gomtriquement compatible possde une frquence au voisinage

d'une frquence naturelle. En effet, pour provoquer la rsonance, une compatibilit gomtrique

entre l'excitation et le mode dont la frquence naturelle concide est ncessaire (Pulpitel et al.

(2009)). Dans le cas des roues de turbines hydrauliques, la forme des champs d'excitation est

gnralement simple, excitant alors des modes de degrs infrieurs.

1.2 Mcanismes par lesquels un fluide lourd affecte la dynamique de

systmes en vibration

Cette section a pour objectif de prsenter l'effet global qua la prsence d'un fluide lourd sur un

systme en vibration. L'effet du fluide sur chacun des termes de l'quation de base de la vibration(quation 1.1) est expliqu pour une bonne comprhension du phnomne. Une attention

particulire est porte quant l'altration des frquences naturelles.

1.2.1 Effets de la prsence du fluide sur la masse du systme en vibration

La masse ajoute se dfinit comme l'effet apparent de la prsence du fluide rapport sur la masse

de la structure. Il s'agit de forces exerces par le domaine fluide en phase avec le terme de force

inertielle de la structure (Blevins (1995)). Lorsquun systme vibre dans leau, la masse ajoute

joue gnralement un rle prpondrant par rapport aux autres contributions. Pour un systme

un degr de libert submerg dans un fluide, la frquence naturelle est dcrite par l'quation

(1.14).

h

submergenmm

k

+=_

(1.14)

o hm reprsente la masse ajoute ou masse hydrodynamique.

La masse ajoute dpend fortement du rapport entre les densits du matriau de la structure et du

fluide. Pour une structure d'acier vibrant dans l'air, ce rapport est de l'ordre de 10000 et l'effet du

fluide est ngligeable. Par contre, lorsque l'eau est considre, le rapport est plutt de l'ordre de

10 et l'effet de masse ajoute peut tre majeur. Dans le cas d'une roue de turbine hydraulique, la

masse ajoute peut facilement dpasser la masse structurelle propre (Liang et al. (2006)). Aussi,

lorsque la structure est confine, l'effet de masse ajoute peut tre amplifi (voir Section 1.2.4).


41/174

16

Il est noter que pour un systme complexe, la valeur de la masse ajoute dpend de la gomtrie

de la structure et du mode de vibration (voir Section 4.7). Aussi, la rpartition de masse ajoute

ntant gnralement pas proportionnelle la distribution de la masse de la structure propre, la

forme des modes peut tre lgrement altre par la prsence du fluide (Lindholm et al. (1965)).

Puisque la dtermination analytique de la masse ajoute nest pas triviale pour une structure

complexe submerge en vibration (voir Section 1.3), elle peut tre dduite exprimentalement

pour une structure gomtrie donne. Supposant que le fluide n'a que des effets inertiels, la

masse ajoute peut tre dduite partir de la mesure des frquences naturelles dans lair et dans

le fluide par l'quation (1.15).

= 1

2

_

_

submergen

airn

h mm

(1.15)

La masse ajoute est essentiellement indpendante de la frquence et de lamplitude pour les

applications courantes. Les composantes de turbine hydraulique ne font pas exception cette

rgle. Aussi, la masse ajoute est indpendante du matriau structurel considr.

Pour une gomtrie et un mode de vibration donns, lquation (1.16) correspond une loi

dhomologie pour transposer la frquence naturelle selon diffrents matriaux, fluides et facteurs

d'chelle S .

11

22

2

1

2

1 1

FS

FS

E

E

Sf

f

+

+=

(1.16)

o 1

1

1

1

F

Sh

M

M

= est le facteur de masse ajoute adimensionnel.

Dans la littrature traitant de la dynamique de composantes de turbine hydraulique submerges,la valeur de la masse ajoute est rarement prsente explicitement. En fait, il est plutt dusage de

prsenter les valeurs du rapport de rduction des frquences (FRR) formul lquation

(1.17).

viden

submergenFRR

_

_

=

(1.17)


42/174

17

Ce choix de prsentation des rsultats est sans doute d au fait que dans cette industrie, lintrt

est port directement sur les frquences naturelles en vue dviter tout risque de rsonance. En ce

sens, le FRR peut savrer plus rvlateur que la masse ajoute dun point de vue pratique.

Toutefois, le FRRnest rutilisable directement que si la gomtrie, le matriau et le fluide sont

conservs. Sinon, la transposition doit tre faite par l'quation (1.16).

1.2.2 Effets de la prsence du fluide sur l'amortissement du systme en

vibration

Lorsqu'une structure est en vibration dans un fluide stagnant sans confinement, les forces

d'amortissement dues au cisaillement du fluide sont relativement faibles pour autant quel'amplitude des dplacements structurels demeure petite (Brennen (1982)). En effet, si l'amplitude

atteint l'ordre de grandeur de la dimension caractristique de la structure, des phnomnes

complexes dans l'coulement, comme le dcrochage, peuvent survenir (Brennen (1982)). Ceux-ci

peuvent alors gnrer un amortissement accru. Aussi, si la frquence de vibration est trs faible,

les forces visqueuses peuvent devenir importantes par rapport aux forces d'inertie. Dans tous les

cas, la magnitude des forces lies l'amortissement fluide sur une structure vibrant dans un fluide

stagnant dpend de la gomtrie considre et de la viscosit du fluide.

Dans le contexte de la recherche prsente dans ce mmoire, la vibration de structure d'acier dans

l'eau est considre. titre d'exemple, Liang et al. (2006) ont mesur un taux d'amortissement de

0.5 1% lors de la vibration d'une roue de turbine hydraulique l'chelle modle rduit selon

diffrents modes propres. Fritz (1972) a quant lui mesur un taux d'amortissement de l'ordre de

1% pour une cylindre faiblement confin en vibration dans l'eau. Mulcahy (1980) a mesur un

taux d'amortissement de 2% pour un tube d'changeur de chaleur faiblement confin dans l'eau.

Pour sa part, le confinement peut produire une amplification majeure des forces d'amortissement.Cet aspect est trait la Section 1.2.4.

1.2.3 Effets de la prsence du fluide sur la rigidit du systme en vibration

Une contribution du fluide la rigidit globale du systme en vibration est possible lorsque le

fluide est contenu dans une enceinte ferme et que le mouvement vibratoire tend altrer son

volume. Le fluide est alors comprim et fournit une force qui est fonction du dplacement du


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systme. La Figure 1-5 montre le schma d'un systme un degr de libert prsentant un effet

de rigidit ajoute.

Figure 1-5: Systme un degr de libert comportant une contribution de rigidit ajoute due la

prsence du fluide

Une application technique tirant profil du phnomne de rigidit ajoute est le ressort air. Dans

le cas de composantes de turbine submerges en fonctionnement, la contribution de rigidit du

fluide est peu prs nulle et n'est donc pas considre.

1.2.4 Effets du confinement

Une structure submerge en vibration est confine lorsque des parois solides se trouvent

proximit. Le confinement est d'autant plus grand que l'espace entre la structure et les parois

solides est faible. Son effet est senti sur les termes inertiel et d'amortissement du systme en

vibration.

Lorsque le confinement est lev, l'effet de masse ajoute augmente. Ce phnomne peut paratre

paradoxal puisque le volume de fluide impliqu est plus faible que lorsque la vibration est

ralise dans un rservoir de grande taille. Par contre, le trajet moyen d'une particule d'eau se

trouve allong par le confinement, augmentant du coup l'nergie cintique transmise au fluide.

Cette nergie cintique supplmentaire amplifie la masse ajoute (Brennen (1982)).

D'autre part, puisque le confinement fait intervenir des vitesses plus grandes du fluide et plus de

parois solides, les effets visqueux sont galement accrus. La portion du taux d'amortissement lie

la contribution visqueuse provenant du fluide tend augmenter drastiquement avec la rduction

du jeu entre la structure et les parois solides. Dans certaines applications, comme les changeurs

de chaleur, le jeu entre les tubes de mtal et les chicanes est si faible qu'un effet de film fluide

cras gnre la majeure partie de l'amortissement du systme global.

Dans le cadre de la recherche prsente dans ce mmoire, les roues de turbine hydraulique en

fonctionnement sont considres. Pour ce cas particulier, le confinement a un effet important au


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niveau de la masse ajoute. Cette dernire varie en fonction des diffrents modes de vibration

considrs. Par contre, l'effet sur l'amortissement est faible. Le confinement le plus important se

situe au niveau des labyrinthes. Puisque la grande majorit des modes de vibration (voir Section

5.5.1) ne fait pas intervenir de dplacements importants dans ces zones, les effets de masse

ajoute et d'amortissement ajout causs par la prsence des labyrinthes sont minimes.

1.2.5 Effets d'une surface libre du fluide

Inversement leffet de confinement, la prsence dune surface libre prs de la structure en

vibration a tendance rduire la masse ajoute. Toutefois, ce comportement possde un effet

non-linaire dont la prdiction est ardue (Brennen (1982)). Essentiellement, la surface libre rduitla quantit d'eau dplace par le systme en vibration ayant par consquent tendance diminuer

la masse ajoute. Au niveau de l'amortissement, il y a une dissipation de l'nergie cause par la

formation d'ondes la surface. Cette dissipation tend accrotre le taux d'amortissement.

Pour le projet de recherche prsent dans ce mmoire, la prdiction des effets de la prsence

d'une surface libre n'a pas t aborde puisque les composantes de turbine hydraulique sont

toujours pleinement submerges lorsqu'en fonctionnement.

1.2.6 Effets d'un coulement primaire

La contribution la plus complexe qu'a la prsence d'un fluide lourd sur le comportement

dynamique d'un systme vibrant est certainement due la prsence d'un coulement primaire. Ce

dernier peut avoir un effet majeur sur l'excitation de la structure. Diffrents mcanismes

d'excitation peuvent tre en jeu.

Le phnomne de turbulence se manifeste par des variations chaotiques des champs de vitesse et

de pression dans la plupart des coulements rencontrs en ingnierie. Ces variations se produisent diffrentes chelles et sur une vaste plage de frquence. Elles se traduisent par des variations du

chargement sur la structure submerge considre pouvant causer son excitation (Roth et al.

(2009)).

Un autre phnomne fluide peut galement tre l'origine de l'excitation d'une structure dans un

coulement. Il s'agit des fluctuations de chargements dues aux lchs de tourbillons de von

Karman. Ces tourbillons asymtriques sont forms dans le sillage d'un corps par le dcrochage


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instationnaire provoqu par la sparation de l'coulement. Ils se produisent lorsque le nombre de

Strouhal (quation (1.18)) approche la valeur de 0,2.

V

fLSt=

(1.18)

o f est la frquence des lchs de tourbillons, L , une

dimension caractristique lie l'paisseur du sillage et V , la vitesse caractristique de

l'coulement.

Lorsque l'un des modes structurels est excit par ce phnomne, les lches ont tendance

s'organiser pour respecter sa forme et l'excitation est alors accrue. De plus, il existe un

accrochage entre la frquence des lchs et la frquence naturelle structurelle sur une certaine

plage de vitesse caractristique de l'coulement. Cet accrochage gnre un hystrsis. Ce

phnomne d'excitation peut tre important pour certaines composantes de turbine hydraulique en

fonctionnement et sa caractrisation reste un domaine de recherche actif (Mazzouji et al. (2006),

Papillon et al. (2006)).

Une composante submerge peut tre excite par des variations des champs de vitesse et de

pression de l'coulement. Un exemple classique est l'interaction rotor-stator qui se manifeste dans

les turbomachines. Ces fluctuations de pression perues par les composantes sont dues la

superposition de champs tournants et stationnaires. Certains designs de turbine hydraulique

causent la prpondrance du phnomne (Coutu et al. (2004). La thorie concernant ce type

d'excitation est expose la Section 5.3.1.

Un autre phnomne d'excitation par l'coulement fluide est l'instabilit fluide-lastique. Elle se

produit lorsque l'nergie absorbe par la structure lors de son dplacement sous l'effet de

l'coulement excde l'nergie dissipe par amortissement (Pettigrew et al. (1991)). ce moment,

le dplacement s'amplifie jusqu' ce que certains mcanismes de dissipation supplmentaires

apparaissent pour contrebalancer l'apport d'nergie. Ce type d'excitation fluide est inexistant dans

le cas de composantes de turbine hydraulique en fonctionnement parce que les dplacements

structurels typiques sont en pratique trop faibles.

La prsence d'un coulement primaire n'a gnralement pas une influence marque sur la masse

ajoute. Par contre, l'amortissement peut tre affect de faon significative. Pour les composantes

de turbine hydraulique, le taux d'amortissement crot gnralement avec l'augmentation de la


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vitesse caractristique de l'coulement. Par contre, cette augmentation est fonction du mode de

vibration considr (Roth et al. 2009). L'amortissement ayant un rle prpondrant dans

l'amplification dynamique de composantes submerges cause par la rsonance, sa caractrisation

reste un sujet de recherche important.

1.3 Mthodes de dtermination des frquences naturelles de structures

submerges

Le comportement dynamique des structures submerges devant tre caractris dans plusieurs

disciplines lies l'ingnierie, plusieurs mthodes de prdiction ont t dveloppes. Cette

section prsente un aperu des principales mthodes ainsi que leur contexte historique. Ce rsumse veut un simple survol des mthodes existantes et n'a rien d'exhaustif. L'objectif principal de

cette section est essentiellement de positionner dans son contexte historique la mthode de

prdiction utilise dans ce projet de matrise.

1.3.1 Mthodes analytiques

La premire mthode de prdiction du comportement dynamique de structures submerges a t

dveloppe par Lamb (1932) et fait intervenir la thorie des coulements potentiels (Munson et

al. (2006)). Ces derniers font intervenir des fluides incompressibles dont la viscosit est nulle en

coulement irrotationnel. Dans ces conditions, les quations qui rgissent les coulements fluide

se rduisent la rsolution de l'quation de Laplace sur le domaine considr. Cette

simplification permet une rsolution analytique relativement simple. C'est pour cette raison que

cette mthode ft la premire apparatre pour la prdiction du comportement dynamique de

structures submerges.

Dans un premier temps, cette mthode a t applique des sections bidimensionnelles et

indformables pour simplifier le dveloppement. En imposant une vibration harmonique en

translation d'une section quelconque dans un fluide, il est alors possible de dduire la masse

ajoute (Brennen (1982)). Cette thorie s'applique lorsque les conditions suivantes sont

respectes (Blevins (1995)):


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22

1)2(0

fD

(1.19)

Au fil du temps, le dveloppement a t appliqu diffrentes sections bidimensionnelles et

tridimensionnelles. Les rsultats ont t rpertoris sous forme de tables dans lesquelles se

trouvent explicitement l'expression de la masse ajoute associe au dplacement harmonique de

la section considre selon des degrs de libert de translation ou de rotation. Les tables les plus

utilises sont probablement celles de Patton (1966) et Kennard (1967).

Le niveau de prcision est relativement faible pour la prdiction du comportement dynamique

d'une structure lastique vibrant selon ses diffrents modes. Il est nanmoins possible d'obtenir un

ordre de grandeur pour la masse ajoute.

Une variante de la thorie potentielle est la thorie des bandes (Blevins (1995)). Cette mthode

permet de gnraliser l'application de la thorie potentielle pour une structure section variable

(voir Figure 1-6). Le concept de base est d'valuer la masse ajoute par la thorie potentielle

prcdemment prsente et d'intgrer la contribution de chacune des sections le long de la

structure.

Figure 1-6: Solide section variable

L'quation (1.20) montre l'application de la thorie des bandes la gomtrie de la Figure 1-6.

dxxadxMMbb

s

hh == 02

0)(

4

(1.20)


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o shM reprsente la masse ajoute par unit de longueur dtermine par la thorie

potentielle et a reprsente la largeur de la plaque qui varie selon la direction X.

Cette mthode est d'autant plus prcise que la structure est allonge puisque les effets de bout ont

une importance relative moindre (Blevins (1995)).

1.3.2 Mthodes exprimentales

Compte tenu du manque de prcision des mthodes thoriques de prdiction des frquences

naturelles de structures submerges, des mthodes exprimentales ont t ncessaires pour offrir

une meilleure prcision de la prdiction. De manire gnrale, ces expriences sont menes sur

des structures gomtrie trs simple comme des plaques ou des cylindres. Ces structures servent

d'lments de base et sont utiliss dans plusieurs applications industrielles. Ces exprimentations

permettent de caractriser les paramtres les plus influents par rapport au comportement

dynamique et de valider les autres mthodes de prdiction. De plus, les rsultats peuvent tre

appliqus des cas de figure rels par des lois d'homologie (voir Section 1.2.1).

L'une des composantes fondamentales en mcanique est la plaque. Lindholm et al. (1965) ont

ralis des mesures exhaustives de frquences naturelles sur un lot de plaques totalement et

partiellement submerges. Par la suite, ils o

Documents

Interaction fluide structure et frequences.pdf