Integrales Triples- Regiones Generales, Sustituciones y Aplicaciones

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    PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILEFACULTAD DE MATEMATICASDEPARTAMENTO DE MATEMATICAPrimer Semestre 2014

    MAT1630 Clculo IIIAyudanta 9 Solucin

    Seccin 9 Ayudante:Sebastin Soto(spsoto@uc.cl)

    Temas tratados: Integrales triples: regiones generales, sustituciones y aplicaciones.

    Nota: La mayora de problemas incluyen figuras, los cuales se encuentran disponibles en el Maple. Si

    se presentan dificultades para comprender una figura, revisar y ejecutar los cdigos para observar los

    slidos desde la perspectiva adecuada.

    Trabajaremos ahora con integrales triples, las cuales desde el punto de vista terico presentan similitudcon las integrales dobles, tanto en su clculo iterativo como en los procedimientos de sustitucin.

    Partiremos evaluando integrales triples de forma iterada. La principal dificultad que aparece en estipo de problemas es identificar e imaginar adecuadamente el slido, para establecer correctamente lextremos de integracin en cada intervalo.

    Problema 1: Considere el tetraedroT definido en R3 por los vrtices (0, 0, 0), (2, 0, 0), (0, 3, 0)(0, 0, 4). Calcule:

    T

    x dxdydz

    Solucin:

    Imaginndonos los puntos, podemos notar intuitivamente que el tetraedro corresponde a uno delimitadpor los planos coordenados (xy, yz y xz) y un plano a determinar. Graficando los puntos, obtenemun slido como el siguiente:

    1

    http://web.ing.puc.cl/~spsotomailto:spsoto@uc.clmailto:spsoto@uc.clhttp://web.ing.puc.cl/~spsoto
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    Tenemos que determinar este plano, que pasa por los puntos (2, 0, 0), (0, 3, 0) y (0, 0, 4) (ojo: no por origen, este genera los otros planos mencionados). Sea el plano dado por la ecuacin:

    ax+by+cz= d

    cona, b,c y dpuntos a determinar. Como pasa por el punto (2, 0, 0), entonces reemplazando:

    2a= d

    a=d

    2

    Anlogamente para los dems puntos:

    3b= d b= d3

    4c= d c= d4

    Luego, la ecuacin se reescribe como:d

    2x+

    d

    3y+

    d

    4z= d

    Como el plano no pasa por el origen, d

    = 0 y se pueden simplificar las d. Multiplicando a ambos lad

    por 12 obtenemos que:6x+ 4y+ 3z= 12

    Hecho esto, podemos escribir la integral. Podemos partir integrando en z pensando en la figura. Paello, notamos que zest acotado inferiormente por el planoxy con ecuacinz= 0y superiormente pel plano ya calculado.

    La pregunta siguiente sera, cmo integramos en el plano xy? Solo graficando los puntos que estn eeste plano obtenemos una regin como la siguiente:

    donde la lnea diagonal consiste en la interseccin del plano 6x+4y +3z= 12con el planoxy de ecuaciz= 0, i.e.6x+ 4y= 12es la ecuacin de esta recta.

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    Luego, escribir la integral se puede hacer de forma directa:

    I=

    20

    126x4

    0

    126x4y3

    0

    x dzdydx

    Esta expresin se puede calcular de forma directa pues integracin polinomial. De esta forma,

    I= 2

    Problema 2: Calcular

    D

    dxdydzdondeDes la regin limitada por:

    z=x2 +y2 , z= 4x2 + 4y2 , y= x2 , y= 3x

    Solucin:

    La principal dificultad de este problema radica en escribir la integral iterada, y para ello se requieconocer la regin sobre la cual se est integrando. Las primeras dos superficies corresponen a paraboloidey las segundas dos a funciones en el planoX Y que se extienden en todozpues no imponen restriccionsobre esta variable.

    En el plano xy se observa algo como lo siguiente:

    Considerando la coordenada z, esta puede moverse entre ambos paraboloides, donde evidentemenubicaremos el segundo paraboloide sobre el primero. Se puede entender mejor la situacin con el siguientgrfico:

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    Luego, notamos que la coordenada zsolo puede moverse entre ambos paraboloides, y luego las coordnadasx e y las integramos de acuerdo a lo ya aprendido sobre integrales dobles. En particular, podemhacer que y se mueva entre x2 y 3x de acuerdo a la primera figura y x entre 0 y 3. De esta forma, integral se escribe como:

    D

    dxdydz=

    30

    3xx2

    4x2+4y2x2+y2

    dzdydx

    Observe que la integracin es directa en este caso, pues solo estamos calculando polinomiales. Este un procedimiento sencillo, pero en extremo tedioso.

    Finalmente, D

    dxdydz= 947735

    Nuevamente, puede resultar imposible evaluar integrales en cierto orden iterado ya que no es posibdeterminar las primitivas. Sin embargo, cambiando el orden de integracin a veces s puede ser posibevaluar la integral. El problema es que al realizar el cambio de orden de integracin en tres dimensionepueden aparecer diversas consideraciones adicionales que pueden realmente complicar el proceso.

    En los siguientes problemas revisamos exclusivamente el proceso de cambio de orden de integracin.

    Problema 3: Cambie los rdenes de integracin:

    (a)

    1/20

    12x0

    24x2y0

    f(x,y,z) dzdydx a dxdzdy.

    (b)

    11

    1x21x2

    1x2y20

    f(x,y,z) dzdydxa dydzdx.

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    (c)

    10

    y20

    1y0

    f(x,y,z) dzdxdy a dydxdz.

    (d)

    10

    2xx

    1x0

    f(x,y,z) dzdydx a dzdxdy.

    Solucin:

    Para todos estos problemas, siempre la mejor prctica es tratar de graficar la regin de integracia partir de la informacin que la integral entrega. Luego, se trata de realizar el cambio de orden dintegracin a partir del grfico generado/imaginado.

    (a)Tenemos que la coordenada zse mueve entre el origen y el plano 4x+ 2y+z= 2. La coordenady se mover entre 0 y la recta y= 1 2x y la coordenada x entre 0 y 1/2. Agregando la coordenadacomo una proyeccin, obtenemos el grfico de un evidente tetraedro entre los planos coordenados y plano z= 2 4x 2y:

    Ahora bien, queremos integrar en primer lugar en x. Notamos que entonces la coordenada x se moveentre 0 y x= 1

    4(2 z 2y). Luego, la coordenada y se puede mover entre 0 y la recta de intersecci

    del plano dado con el plano yz (x= 0). Es decir, y vara entre 0 y 1 z/2. Finalmente, la coordenadzvara entre 0 y la interseccin de esta recta con el eje z, enz= 2. Es decir,

    1/20

    12x0

    24x2y0

    f(x,y,z) dzdydx=

    20

    1z/20

    14(22yz)

    0

    f(x,y,z) dzdydx

    (b)Nuevamente, partimos imaginndonos el grfico obtenido a partir de la regin que entrega la integriterada.

    La coordenada zse mueve entre 0 y el paraboloide z= 1 x2 y2 (ojo, es muy tentador pensar questo era una esfera, pero en dicho caso hubiese sido

    1 x2 y2). La coordenada y se mueve entre l

    semicircunferencias1 x2 y 1 x2 y la coordenada x se mueve entre1y1.

    No resulta del todo complicado notar que la regin buscada corresponde a:

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    Ahora queremos integrar en primer lugar en la coordenada y , luego en la coordenada zy finalmente ela coordenadax. Esto puede entenderse como que en el corte del slido en el planoxz(y= 0)se mapea cada punto de la regin una integral que se mueve entre ciertos y dados. El corte en el plano xzviendado por la siguiente figura:

    este corte viene representado por z= 1 x2

    y2

    haciendoy= 0, i.e. z= 1 x2

    . La primera pregunentonces es: entre dnde y dnde se mueve la coordenada y? Esta vendr dada por los extremos dparaboloide. Recordamos que:

    z= 1 x2 y2 y2 = 1 x2 z y=

    1 z x2

    En este caso, integramos entre ambos signos. Luego, debemos integrar esta funcin de z y x en Mirando la segunda figura, notamos que zpuede moverse entre 0 y 1x2. Finalmente,x puede moverentre1 y 1. De esta forma,

    1

    1

    1x2

    1x

    2

    1x2y2

    0 f(x,y,z) dzdydx=

    1

    1

    1x2

    0

    1zx2

    1zx

    2 f(x,y,z) dydzdx

    (c)Procedemos de forma similar. En primer lugar, a componente zpuede moverse entre0 y la superficz= 1 y que se cumple para todox. Luego, la componentex se mueve entre 0 e y2 en el planoxy y componentey entre 0 y 1. Graficando en primer lugar el plano xy :

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    Luego, agregando la componentez, el plano 1 y obtenemos un slido como el siguiente:

    Ahora consideraremos el plano xz, y en cada punto de este plano mapearemos una integral que dependde y . Entonces, dnde integramos en y?

    La coordenaday siempre estar delimitada por abajo por el plano y =

    x(indistinto dez) y por arribpor el planoy = 1 z. Luego, en el plano xzdebemos integrar primero enx. Observamos de inmedia

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    quex se mueve entre o yz= 1 y cony= x. Entonces, z= 1x x= (1 z)2. Finalmente, coordenada zse mover entre 0 y 1. De esta forma,

    10

    y20

    1y0

    f(x,y,z) dzdxdy=

    10

    (1z)20

    1zx

    f(x,y,z) dydxdz

    (d)Para la primera parte, estamos integrando primero enz, luego enx y luego eny, por lo que el plan

    xy nos marca la regin a la cual en cada punto estaremos mapeando una integral en z. El planoxy esdado por las eucaciones xy 2x, entre x= 0yx = 1. El slido as obtenido es el siguiente:

    Observe que al cambiar al primer orden de integracin seguimos integrando en zen primer lugar, por cual todo se reduce a cambiar el orde