15.4 Integrales dobles en forma polar

Algunas veces, las integrales son más fáciles de evaluar si cambiamos a coordenadas polares.Esta sección describe cómo realizar el cambio y cómo evaluar integrales sobre regiones cuyasfronteras están dadas por ecuaciones en coordenadas polares.

Integrales en coordenadas polares

Para definir la integral doble de una función sobre una región R en el plano xy, iniciamos di-vidiendo a R en rectángulos cuyos lados fueran paralelos a los ejes coordenados. Ésta era laforma natural para usarlos porque sus lados tenían valores constantes, ya sea de y o de x. En coordenadas polares, la forma natural es un “rectángulo polar”, cuyos lados tienen valores constantes de r y u.

Suponga que una función f (r, u) está definida sobre una región R acotada por los rayos u 5 a y u 5 b y por las curvas continuas r 5 g1(u) y r 5 g2(u). Suponga también que 0 # g1(u) # g2(u) # a para cualquier valor de u entre a y b. Entonces R está dentro de una región con forma de abanico Q, definida por las desigualdades 0 # r # a y a # u # b.Observe la figura 15.21.

15.4 Integrales dobles en forma polar 853

Dividimos a Q con una rejilla de arcos y rayos. Los arcos se obtienen de circunferenciascon centro en el origen, con radios Dr, 2Dr, …, mDr, donde Dr 5 aym, mientras que los rayosestán dados por

donde Du 5 (b 2 a)ym9. Los arcos y rayos dividen a Q en pequeños parches llamados “rec-tángulos polares”.

Numeramos los rectángulos polares que están dentro de R (sin importar el orden), lla-mando a sus áreas DA1, DA2, …, DAn. Sea (rk, uk) cualquier punto en el rectángulo polar cuyaárea es DAk. Luego formamos la suma

Si f es continua en R, esta suma tiende a un límite cuando refinamos la rejilla para hacer que Dr y Du tiendan a cero. El límite se conoce como la integral doble de f sobre R. En símbolostenemos

límn:q

Sn = 6R

ƒsr, ud dA.

Sn = an

k=1 ƒsrk, ukd ¢Ak.

u = a, u = a + ¢u, u = a + 2¢u, Á , u = a + m¿¢u = b,

0

R

Q

u � b

u � p�r

�r

�Ak

2�r

3�r

�u

(rk, uk)

r � g1(u)

a � 2�u

a � �u

u � a

u � 0

r � g2(u) r � a

FIGURA 15.21 La región R: g1(u) # r # g2(u), a # u # b, está contenida en la región conforma de abanico Q: 0 # r # a, a # u # b. La partición de Q mediante arcos de circunferenciay rayos induce una partición de R.

Para evaluar este límite, primero tenemos que escribir la suma Sn de forma que exprese a DAk en términos de Dr y Du. Por conveniencia, elegimos a rk como el promedio de los ra-dios de los arcos interno y externo que acotan al k-ésimo rectángulo polar DAk. Así, el radio del arco interno que acota a DAk es rk 2 (Dry2) (figura 15.22) y el radio del arco externo es rk 1 (Dry2).

El área de un sector en forma de cuña en un círculo que tiene radio r y ángulo u es

como se aprecia, si se multiplica el área del círculo pr2, por uy2p, es decir, la fracción del área del círculo contenido en la cuña. De esta forma, las áreas de los sectores circulares subten-didos por estos arcos en el origen son

Por lo tanto,

DAk 5 área del sector grande 2 área del sector pequeño

Al combinar este resultado con la suma que define a Sn nos da

Cuando n : ` y los valores de Dr y Du tienden a cero, estas sumas convergen a la integraldoble

Una versión del teorema de Fubini dice que el límite aproximado por estas sumas puede eva-luarse por integraciones sencillas repetidas con respecto a r y u como

Determinación de los límites de integración

El procedimiento para calcular los límites de integración en coordenadas rectangulares fun-

ciona para las coordenadas polares. Para evaluar sobre una región R en coor-

denadas polares integrando primero con respecto a r y luego con respecto a u, se realizan los

siguientes pasos.

1. Elabore un bosquejo. Elabore un bosquejo de la región y marque las curvas de la frontera(figura 15.23a).

2. Determine los límites de integración en r. Imagine un rayo L que parte del origen y quecorta a R en la dirección creciente de r. Marque los valores de r donde L entra y sale de R.Éstos son los límites de integración en r. Estos límites por lo general dependen del ángulou que forma L con el semieje positivo x (figura 15.23b).

3. Determine los límites de integración en u. Obtenga los valores mínimo y máximo de u queacotan a R. Éstos son los límites de integración en u (figura 15.23c). La integral iteradapolar es

6R

ƒsr, ud dA = Lu=p>2u=p>4 L

r=2

r=22 csc u

ƒsr, ud r dr du.

4R ƒsr, ud dA

6R

ƒsr, ud dA = Lu=b

u=a L

r=g2sud

r=g1sud ƒsr, ud r dr du.

límn:q

Sn = 6R

ƒsr, ud r dr du.

Sn = an

k=1 ƒsrk, ukdrk ¢r ¢u.

= ¢u2

c ark + ¢r2b2

- ark - ¢r2b2 d = ¢u

2 s2rk ¢rd = rk ¢r ¢u.

Radio interior:12

ark - ¢r2b2

¢u

Radio exterior:12

ark + ¢r2b2

¢u.

A = 12

u # r2,

854 Capítulo 15: Integrales múltiples

Sector pequeño

Sector grande

0

�u

�rrk�r

2rk �

�r2

rk �

�Ak

FIGURA 15.22 La observación de que

nos conduce a la fórmula DAk 5 rk DrDu.

¢Ak = a área del sec

tor más grandeb - a área del sec

tor más pequeñab

y

x0

2R

x2 � y2 � 4

y � �2�2 �2, �2

⎛⎝

⎛⎝

y

x0

2R

L

�

Entra en r � �2 csc �

Sale en r � 2

r sen � � y � �2o

r � �2 csc �

y

x0

2R

L

El � máximo es .�2

El � mínimo es .�4

y � x

�2

(a)

(b)

(c)

FIGURA 15.23 Determinación de loslímites de integración en coordenadaspolares.

- -

EJEMPLO 1 Determine los límites de integración para integrar f (r, u) sobre la región R queestá dentro de la cardioide r 5 1 1 cos u y fuera de la circunferencia r 5 1.

Solución

1. Primero trazamos la región y marcamos las curvas frontera (figura 15.24).

2. En seguida obtenemos los límites de integración en r. Un rayo típico que sale del origenentra a R cuando r 5 1 y sale cuando r 5 1 1 cos u.

3. Al final, encontramos los límites de integración en u. Los rayos desde el origen que cortana R varían desde u 5 2py2 hasta u 5 py2. La integral es

Si f (r, u) es una función constante cuyo valor es 1, entonces la integral de f sobre R es elárea de R.

Lp>2

-p>2 L1+cos u

1 ƒsr, ud r dr du.

15.4 Integrales dobles en forma polar 855

Área en coordenadas polaresEl área de una región cerrada y acotada R en el plano de coordenadas polares es

A = 6R

r dr du.

Esta fórmula del área es congruente con todas las fórmulas anteriores, no obstante, no lodemostraremos.

EJEMPLO 2 Obtenga el área encerrada en la lemniscata r2 5 4 cos 2u.

Solución Graficamos la lemniscata para determinar los límites de integración (figura 15.25)y vemos, a partir de la simetría de la región, que el área total es cuatro veces la porción del pri-mer cuadrante.

Cambio de integrales cartesianas a integrales polares

El procedimiento para cambiar una integral cartesiana a una integral polar implica dos pasos. Primero, en la integral cartesiana se sustituye x 5 r cos u y y 5 r sen u, yremplazamos dx dy por r dr du. Luego, obtenemos los límites de integración de ambas coorde-nadas polares para la frontera de R. La integral cartesiana se convierte entonces en

donde G representa la misma región de integración descrita ahora en coordenadas polares. Esto es como el método de sustitución del capítulo 5, excepto que ahora se sustituyen dos va-riables en vez de una. Observe que el área diferencial dx dy no se sustituye por dr du, sino porr dr du. En la sección 15.8 estudiaremos de manera más general los cambios de variables (sus-tituciones) en integrales múltiples.

6R

ƒsx, yd dx dy = 6G

ƒsr cos u, r sen ud r dr du,

4R ƒsx, yd dx dy

= 4Lp>4

02 cos 2u du = 4 sen 2u d

0

p>4= 4.

A = 4Lp>4

0 L24 cos 2u

0 r dr du = 4L

p>40

cr2

2d

r=0

r=24 cos 2u

du

Área diferencial en coordenadas polares

dA = r dr du

y

x

Entra enr � 0

r2 � 4 cos 2�– �

4

�4

Sale enr � �4 cos 2�

FIGURA 15.25 Para integrar sobre la región sombreada, variamos r de 0 a

y u de 0 a py4 (ejemplo 2).24 cos 2u

1 2

L

�

Entra enr � 1

Sale enr � 1 � cos �

r � 1 � cos �

y

x

� ��2

� � – �2

FIGURA 15.24 Determinación de loslímites de integración en coordenadas polarespara la región del ejemplo 1.

EJEMPLO 3 Evalúe

donde R es la región semicircular acotada por el eje x y la curva (figura 15.26).

Solución En coordenadas cartesianas, la integral en cuestión es una integral fácil no elemen-tal y no existe un modo directo para integrar con respecto a x o a y. Sin embargo, esta integral y otras similares son importantes en matemáticas (en estadística, por ejemplo), así que necesitamos encontrar una manera de evaluarlas. Las coordenadas polares nos ayudan eneste caso. Al sustituir x 5 r cos u, y5 r sen u, y remplazar dy dx por r dr du, estamos en condi-ciones de evaluar la integral de la siguiente manera

La r en r dr du era justo lo que necesitábamos para integrar Sin esto, no hubiéramos podidoobtener con facilidad la antiderivada para la primera integral iterada (la más interna).

EJEMPLO 4 Evalúe la integral

Solución La integración con respecto a y nos da

una integral difícil de evaluar sin tablas.Las cosas mejoran si cambiamos la integral original a coordenadas polares. La región de

integración en coordenadas cartesianas está dada por las desigualdades y 0 # x # 1, lo que corresponde al interior de un cuarto del círculo unitario x2 1 y2 5 1 en elprimer cuadrante. (Observe el primer cuadrante de la figura 15.26). Al sustituir las coordena-das polares x 5 r cos u, y 5 r sen u, 0 # u # py2 y 0 # r # 1, y remplazar dx dy por r dr duen la integral doble, obtenemos

¿Por qué la transformación a coordenadas polares es tan efectiva aquí? Una razón es que x2 1 y2 se simplifica a r2. Otra es que los límites de integración se vuelven constantes.

EJEMPLO 5 Determine el volumen de la región sólida limitada arriba por el paraboloidez 5 9 2 x2 2 y2 y abajo por el círculo unitario en el plano xy.

Solución La región de integración R es el círculo unitario x2 1 y2 5 1, el cual se describe encoordenadas polares por r 5 1, 0 # u # 2p. La región sólida se representa en la figura 15.27.El volumen está dado por la integral doble

= Lp>2

0 cr4

4d r=1

r=0 du = L

p>20

14

du = p8

.

L1

0 L21-x2

0 (x2 + y2) dy dx = L

p>20 L

1

0 (r2) r dr du

0 … y … 21 - x2

L1

0 ax2 21 - x2 +

(1 - x2)3>23

b dx,

L1

0 L21-x2

0 (x2 + y2) dy dx.

er2

.

= Lp

0 12

se - 1d du = p2

se - 1d.

6R

ex2+y2

dy dx = Lp

0 L

1

0 er2

r dr du = Lp

0 c1

2 er2 d

0

1

du

ex2+y2

y = 21 - x2

6R

ex2+y2

dy dx,

856 Capítulo 15: Integrales múltiples

0 1

1

y

x–1

r � 1

� � 0� � �

y � �1 � x2

FIGURA 15.26 La región semicircular delejemplo 3 es la región

0 … r … 1, 0 … u … p.

FIGURA 15.27 La región sólida delejemplo 5.

22

–2

z

x

y

z � 9 � x2 � y2

x2 � y2 � 1

9

EJEMPLO 6 Usando integración polar, calcule el área de la región R en el plano xy encerradaen la circunferencia x2 1 y2 5 4, arriba de la recta y5 1, y abajo de la recta y5 x.

Solución En la figura 15.28 se presenta una gráfica de la región R. Observe primero que larecta y 5 x tiene una pendiente 5 tan u, de manera que u 5 py3. En seguida observeque la recta y 5 1 interseca a la circunferencia x2 1 y2 5 4 cuando x2 1 1 5 4, o x 5 . Aún más, la recta radial desde el origen que pasa por el punto ( , 1) tiene una pendien-te 1y 5 tan u con un ángulo de inclinación u 5 py6. Esta información se muestra en lafigura 15.28.

Ahora, para la región R, cuando u varía de py6 a py3, la coordenada polar r varía desde la recta horizontal y 5 1 hasta el círculo x2 1 y2 5 4. Al sustituir r sen u por y en la ecua-ción para la recta horizontal, tenemos que r sen u 5 1, o r 5 csc u, la cual es la ecuación polarde la recta. La ecuación polar de la circunferencia es r 5 2. De esta forma, en coordenadas polares, para py6 # u # py3, r varía de r 5 csc u a r 5 2. Se deduce que la integral iterada delárea nos da

= 12

a4p3

+ 113b - 1

2a4p

6+ 13b = p - 13

3.

= 12

C4u + cot uDp>3p>6= L

p>3p>6

12

C4 - csc2 uD du= L

p>3p>6 c1

2 r2 d r=2

r=csc u du

6R

dA = Lp>3p>6 L2

csc ur dr du

1313

131313

13

= 174

L2p

0 du = 17p

2.

= L2p

0c92

r2 - 14

r4 d r=1

r=0 du

= L2p

0 L1

0 s9r - r3d dr du

6R

s9 - x2 - y2d dA = L2p

0 L1

0 s9 - r2d r dr du

15.4 Integrales dobles en forma polar 857

Ejercicios 15.4

Regiones en coordenadas polaresEn los ejercicios 1 a 8, describa, en coordenadas polares, la región dada.

1. 2.

x

y

40

1

4

x

y

90

9

3. 4.

x

y

10

�3

x

y

1–1 0

1

FIGURA 15.28 La región R en elejemplo 6.

x

y

y � 1, or � cscu

2

2

1

0 1

y � �3x

x2 � y2 � 4

(1, �3)

(�3, 1)

p6

p3

R

En los ejercicios 31 y 32, obtenga

a. la masa del sólido. b. el centro de masa.

c. los momentos de inercia con respecto a los ejes coordenados.

31. Un cubo sólido en el primer octante está acotado por los planos coor-denados y los planos x 5 1, y 5 1 y z 5 1. La densidad del cubo es d(x, y, z) 5 x 1 y 1 z 1 1.

32. Una cuña como la del ejercicio 22 tiene las dimensiones a5 2, b 5 6y c 5 3. La densidad es d(x, y, z) 5 x 1 1. Observe que si la den-sidad es constante, el centro de masa será (0, 0, 0).

33. Masa Determine la masa del sólido acotado por los planosx 1 z 5 1, x 2 z 5 21, y 5 0 y la superficie y 5 . La den-sidad del sólido es d(x, y, z) 5 2y 1 5.

34. Masa Calcule la masa de la región sólida acotada por las super-ficies parabólicas z 5 16 2 2x2 2 2y2 y z 5 2x2 1 2y2 si la densidaddel sólido es

Teoría y ejemplosTeorema del eje paralelo Sea Lc.m. una recta que pasa por el centro demasa de un cuerpo de masa m, y sea L una recta paralela a h unidades de distancia desde Lc.m.. El teorema del eje paralelo dice que los momen-tos de inercia Ic.m. e IL del cuerpo con respecto Lc.m. satisfacen la ecuación

(2)

Como en el caso bidimensional, el teorema ofrece una manera rápida decalcular un momento cuando se conocen el otro momento y la masa.

35. Demostración del teorema del eje paralelo

a. Demuestre que el primer momento de un cuerpo en el espaciocon respecto a cualquier plano que pase por el centro de masa del cuerpo es cero. (Sugerencia: Coloque el centro de masa delcuerpo en el origen y suponga que el plano es el plano yz. ¿Qué le dice entonces la fórmula x5 MyzyM?).

IL = Ic.m. + mh2.

dsx, y, zd = 2x2 + y2 .

2z

15.7 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas 875

b. Para demostrar el teorema del eje paralelo, coloque el cuerpo con su centro de masa en el origen, con la recta Lc.m. a lo largo del eje z y la recta L perpendicular al plano xy en el punto (h, 0,0). Sea D la región del espacio ocupada por el cuerpo. Luego, con la notación de la figura,

Desarrolle el integrando de esta integral y complete la demostración.

36. El momento de inercia con respecto a un diámetro de una esfera sólidade densidad constante y radio a es (2y5)ma2, donde m es la masa de laesfera. Obtenga el momento de inercia con respecto a una recta tan-gente a la esfera.

37. El momento de inercia del sólido del ejercicio 21 con respecto al eje zes Iz 5 abc(a2 1 b2)y3.

a. Use la ecuación (2) para determinar el momento de inercia delsólido con respecto a la recta paralela al eje z que pasa por el centro de masa del sólido.

b. Use la ecuación (2) y el resultado del inciso a) para obtener el mo-mento de inercia del sólido con respecto a la recta x 5 0, y 5 2b.

38. Si a 5 b 5 6 y c 5 4, el momento de inercia de la cuña sólida delejemplo 22 con respecto al eje x es Ix 5 208. Calcule el momento deinercia de la cuña con respecto a la recta y 5 4, z 5 24y3 (la orilla del extremo de la cuña es angosta).

IL = 9D

ƒ v - hi ƒ 2 dm.

z

x

yc.m.

L

D

v � xi � yj

(x, y, z)

Lc.m.

hi

v � hi

(h, 0, 0)

15.7 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas

Cuando un cálculo en física, ingeniería o geometría implica un cilindro, un cono o una esfera,con frecuencia simplificamos nuestro trabajo usando coordenadas cilíndricas o esféricas, las cua-les se presentan en esta sección. El procedimiento para hacer la transformación a estas coorde-nadas y evaluar las integrales triples resultantes es similar a la transformación a coordenadaspolares en el plano estudiada en la sección 15.4.

Integración en coordenadas cilíndricas

Para obtener las coordenadas cilíndricas en el espacio combinamos las coordenadas polares delplano xy con el eje z. Esto asigna a todos los puntos en el espacio una o más ternas de coorde-nadas de la forma (r, u, z), como se muestra en la figura 15.42.

DEFINICIÓN Las coordenadas cilíndricas representan un punto P en el espaciomediante ternas de coordenadas (r , u, z ) donde

1. r y u son las coordenadas polares de la proyección vertical de P sobre el plano xy.

2. z es la coordenada vertical rectangular.

0

rx

z

yy

z

x

P(r, u, z)

u

FIGURA 15.42 Las coordenadas cilíndricasde un punto en el espacio son r, u y z.

Los valores de x, y, r y u en coordenadas rectangulares y cilíndricas están relacionados porlas ecuaciones usuales.

876 Capítulo 15: Integrales múltiples

Ecuaciones que relacionan las coordenadas rectangulares (x, y, z) y lascilíndricas (x, u, z)

r2 = x2 + y2, tan u = y>x x = r cos u, y = r sen u, z = z,

En coordenadas cilíndricas, la ecuación r 5 a describe no sólo una circunferencia en elplano xy, sino todo un cilindro alrededor del eje z (figura 15.43). El eje z está dado por r 5 0.La ecuación u 5 u0 describe al plano que contiene al eje z y forma un ángulo u0 con el semi-eje positivo x. Al igual que en las coordenadas rectangulares, la ecuación z 5 z0 describe unplano perpendicular al eje z.

Las coordenadas cilíndricas son buenas para describir los cilindros cuyo eje corre a lo lar-go del eje z y a los planos que contienen al eje z o que son perpendiculares al mismo eje z. Superficies como ésta tienen ecuaciones con coordenadas cilíndricas constantes:

Para calcular integrales triples sobre una región D en coordenadas cilíndricas, partimos laregión en n pequeñas cuñas cilíndricas, y no en cajas rectangulares. En la k-ésima cuña cilín-drica, r, u y z cambian por Drk, Duk y Dzk, y el mayor de estos números entre todas las cuñascilíndricas se llama la norma de la partición. Definimos la integral triple como un límite de lassumas de Riemann aplicadas a estas cuñas. El volumen de una cuña cilíndrica DVk se obtiene almultiplicar el área DAk de su base en el plano ru por la altura Dz (figura 15.44).

Para un punto (rk, uk, zk) en el centro de la k-ésima cuña, ya hemos calculado en coorde-nadas polares que DAk 5 rkDrkDuk. Entonces DVk 5 DzkrkDrkDuk y una suma de Riemann paraf sobre D tiene la forma

La integral triple de una función f sobre D se obtiene considerando el límite de las sumas deRiemann con particiones cuyas normas tienden a cero

.

Las integrales triples en coordenadas cilíndricas se evalúan entonces con integrales iteradas,como en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 1 Defina los límites de integración en coordenadas cilíndricas para integrar unafunción f (r, u, z) sobre la región D acotada abajo por el plano z 5 0, a los lados por el cilindrocircular x2 1 (y 2 1)2 5 1 y arriba por el paraboloide z 5 x2 1 y2.

Solución La base de D también es la proyección R de la región sobre el plano xy. La fronterade R es la circunferencia x2 1 (y 2 1)2 5 1. Su ecuación en coordenadas polares es

r = 2 sen u.

r2 - 2r sen u = 0

x2 + y2 - 2y + 1 = 1

x2 + s y - 1d2 = 1

límn:q

Sn = 9D

ƒ dV = 9D

ƒ dz r dr du

Sn = an

k=1 ƒsrk, uk, zkd ¢zk rk ¢rk ¢uk.

z = 2.

u = p3

r = 4

z

y

x

0

a

r � a,u y z varían

z � z0,r y u varían

u � u0,r y z varían

z0

u0

FIGURA 15.43 Ecuaciones concoordenadas constantes en coordenadascilíndricas producen cilindros y planos.

Δz

r Δur Δr Δu

r

z

ΔrΔu

FIGURA 15.44 En coordenadas cilíndricas,el volumen de la cuña se aproxima medianteel producto DV5 Dz r Dr Du.

Volumen diferencial en coordenadascilíndricas

dV = dz r dr du

Cilindro, radio 4, su eje es el eje z

Plano que contiene al eje z

Plano perpendicular al eje z

La región aparece en la figura 15.45.Determinamos los límites de integración comenzando con los límites en z. Una recta M

paralela al eje z que pasa por un punto típico (r, u) en R, entra a D en z 5 0 y sale enz 5 x2 1 y2 5 r2.

A continuación obtenemos los límites de integración en r. Un rayo L que pasa por (r, u)partiendo del origen, entra a R en r 5 0 y sale en r 5 2 sen u.

Por último, determinamos los límites de integración en u. Cuando L barre R, el ángulo uque forma con el semieje positivo x va desde u 5 0 hasta u 5 p. La integral es

El ejemplo 1 ilustra un buen procedimiento para determinar los límites de integración encoordenadas cilíndricas. El procedimiento se resume como sigue.

Cómo integrar en coordenadas cilíndricas

Para evaluar

sobre una región D en el espacio en coordenadas cilíndricas, integrando primero con respecto a z, luego con respecto a r y al final con respecto a u, siga los pasos siguientes.

1. Elabore un bosquejo. Trace la región D junto con su proyección R sobre el plano xy. Marque las superficies y curvas que acotan a D y a R.

2. Determine los límites de integración en z. Trace una recta M paralela al eje z, que pase porun punto típico (r, u) de R. Mientras z crece, M entra a D en z 5 g1(r, u) y sale en g2(r, u).Éstos son los límites de integración en z.

y

z � g1(r, u)

x R

r � h2(u)

(r, u)

z � g2(r, u)

D

r � h1(u)

zM

y

xR

r � h2(u)

D

r � h1(u) z � g1(r, u)

z � g2(r, u)

z

9D

ƒsr, u, zd dV

9D

ƒsr, u, zd dV = Lp

0 L

2 sen u

0 L

r2

0 ƒsr, u, zd dz r dr du.

15.7 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas 877

FIGURA 15.45 Determinación de loslímites de integración para evaluar unaintegral en coordenadas cilíndricas (ejemplo 1).

3. Determine los límites de integración en r. Trace un rayo L desde el origen que pase por (r, u). El rayo entra a R en r 5 h1(u) y sale en r 5 h2(u). Éstos son los límites de inte-gración en r.

4. Determine los límites de integración en u. Cuando L barre R, el ángulo u que forma con elsemieje positivo x va desde u 5 a hasta u 5 b. Éstos son los límites de integración en u.La integral es

EJEMPLO 2 Encuentre el centroide (d 5 1) del sólido encerrado por el cilindro x2 1 y2 5 4,acotado arriba por el paraboloide z 5 x2 1 y2, y abajo por el plano xy.

Solución Trazamos el sólido, acotado arriba por el paraboloide z 5 r2 y abajo por el planoz 5 0 (figura 15.46). Su base R es el disco 0 # r # 2 en el plano xy.

El centroide del sólido está en su eje de simetría, en este caso, el eje z. Esto haceque Para hallar dividimos el primer momento Mxy entre la masa M.

Para encontrar los límites de integración para las integrales de la masa y el momento, continuamos con los cuatro pasos básicos. Completamos nuestro bosquejo inicial. Los demáspasos dan los límites de integración.

Los límites en z. Una recta M paralela al eje z, que pasa por un punto típico (r, u) en labase, entra al sólido en z5 0 y sale en z5 r2.

Los límites en r. Un rayo L que pasa por (r, u) saliendo desde el origen, entra a R en r 5 0y sale en r5 2.

Los límites en u. Cuando L barre sobre la base, como una manecilla de reloj, el ángulo uque forma con el semieje positivo x va desde u 5 0 hasta u 5 2p. El valor de Mxy es

El valor de M es

= L2p

0 L

2

0 r3 dr du = L

2p

0 cr4

4d

0

2

du = L2p

04 du = 8p.

M = L2p

0 L

2

0 L

r2

0 dz r dr du = L

2p

0 L

2

0cz d

0

r2

r dr du

= L2p

0 L

2

0 r5

2 dr du = L

2p

0 c r6

12d

0

2

du = L2p

0 163

du = 32p3

.

Mxy = L2p

0 L

2

0 L

r2

0 z dz r dr du = L

2p

0 L

2

0 cz2

2d

0

r2

r dr du

z ,x = y = 0 .sx, y, zd

9D

ƒsr, u, zd dV = Lu=b

u=a L

r=h2sud

r=h1sud L

z=g2sr, ud

z=g1sr, ud ƒsr, u, zd dz r dr du.

L

u � a u � b

r � h2(u)

y

z � g1(r, u)

z � g2(r, u)

x

r � h1(u)

D

zM

(r, u)

u

a b

R

878 Capítulo 15: Integrales múltiples

z

M4

Centroide

L

x y

x2 � y2 � 4r � 2

z � x2 � y2

� r2

(r, u)

FIGURA 15.46 El ejemplo 2 muestra cómoencontrar el centroide de este sólido.

Por lo tanto,

y el centroide es (0, 0, 4y3). Observe que el centroide está fuera del sólido.

Coordenadas esféricas e integración

Las coordenadas esféricas ubican puntos en el espacio mediante dos ángulos y una distancia,como muestra la figura 15.47. La primera coordenada, es la distancia del punto al origen. A diferencia de r, la variable r nunca es negativa. La segunda coordenada, f, es elángulo que forma con el semieje positivo z. Se requiere que esté en el intervalo [0, p]. La tercera coordenada es el ángulo u medido en coordenadas cilíndricas.

OP1

r = ƒ OP1 ƒ ,

z =Mxy

M= 32p

3

18p

= 43

,

15.7 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas 879

DEFINICIÓN Las coordenadas esféricas representan un punto P en el espaciomediante la terna ordenada (r, f, u) en la que

1. r es la distancia de P al origen.

2. f es el ángulo que forma con el semieje positivo z (0 # f # p).

3. u es el ángulo de las coordenadas cilíndricas (0 # u # 2p).

OP1

En los mapas de la Tierra, u se relaciona con el meridiano de un punto sobre nuestro pla-neta y f con su latitud, mientras que r se relaciona con la altitud sobre la superficie terrestre.

La ecuación r 5 a describe la esfera de radio a con centro en el origen (figura 15.48). La ecuación f 5 f0 describe un cono cuyo vértice está en el origen y cuyo eje está a lo largodel eje z. (Ampliamos nuestra interpretación para incluir el plano xy como el cono f 5 py2).Si f0 es mayor que py2, el cono f 5 f0 se abre hacia abajo. La ecuación u 5 u0 describe elsemiplano que contiene al eje z y forma un ángulo u0 con el semieje positivo x.

Ecuaciones que relacionan las coordenadas esféricas con las coordenadascartesianas y cilíndricas

(1)

r = 2x2 + y2 + z2 = 2r2 + z2.

z = r cos f, y = r sen u = r sen f sen u,

r = r sen f, x = r cos u = r sen f cos u,

EJEMPLO 3 Determine una ecuación en coordenadas esféricas para la esfera x2 1 y2 1(z 2 1)2 5 1.

Solución Usamos las ecuaciones (1) para sustituir x, y y z:

Ecuaciones (1)

1

1

r 7 0 r = 2 cos f .

r2 = 2r cos f

r2ssen2 f + cos2 fd = 2r cos f

r2 sen2 fscos2 u + sen2 ud + r2 cos2 f - 2r cos f + 1 = 1

r2 sen2 f cos2 u + r2 sen2 f sen2 u + sr cos f - 1d2 = 1

x2 + y2 + sz - 1d2 = 1

r � a, f y u varían

u � u0, r y f varían

x

y

P(a, f0, u0)f0

zf � f0, r y u varían

u0

FIGURA 15.48 Las ecuaciones decoordenadas constantes en coordenadasesféricas dan esferas, conos y semiplanos.

y

z

0

r

x

x

y

P(r, f, u)

z � r cos f

f

u

r

FIGURA 15.47 Las coordenadas esféricasr, f y u y su relación con x, y, z y r.

6447448

6447448

El ángulo f varía desde 0 en el polo norte de la esfera hasta py2 en el polo sur; el ángulo u noaparece en la expresión de r, reflejando la simetría con respecto al semieje z (véase la figura15.49).

EJEMPLO 4 Determine una ecuación en coordenadas esféricas para el cono .

Solución 1 Use la geometría. El cono es simétrico con respecto al eje z y corta al primercuadrante del plano yz a lo largo de la recta z 5 y. El ángulo entre el cono y el semieje posi-tivo z es, por lo tanto, py4 radianes. El cono consta de los puntos cuyas coordenadas esféri-cas tienen a f igual a py4, de manera que su ecuación es f 5 py4. (Véase la figura 15.50).

Solución 2 Use álgebra. Si usamos las ecuaciones (1) para sustituir x, y y z obtenemos elmismo resultado:

Las coordenadas esféricas son útiles para describir esferas con centro en el origen, semiplanosacoplados a lo largo del eje z y conos con vértice en el origen y eje a lo largo del eje z. Super-ficies como éstas tienen ecuaciones con valores constantes para las coordenadas:

Al calcular integrales triples sobre una región D en coordenadas esféricas, partimos laregión en n cuñas esféricas. El tamaño de la k-ésima cuña esférica, que contiene a un punto (rk , fk , uk), está dado por los incrementos Drk , Duk , Dfk , en r, u y f. Tal cuña esférica tienecomo aristas un arco circular de longitud rkDfk , y otro arco circular de longitud rk sen fk Duk ;su espesor es Drk . La cuña esférica aproxima bien un cubo de las mismas dimensiones, cuandoDrk , Duk y Dfk son pequeños (figura 15.51). Se puede demostrar que el volumen de la cuñaesférica DVk es DVk 5 rk

2 sen fkDrkDfkDuk para un punto (rk , fk , uk) elegido dentro de lacuña.

La suma de Riemann correspondiente para una función f (r, f, u) es

Cuando la norma de la partición tiende a cero y las cuñas esféricas son cada vez más pequeñas,las sumas de Riemann tienen un límite si f es continua:

En coordenadas esféricas, tenemos

Para evaluar integrales en coordenadas esféricas, por lo general integramos primero con res-pecto a r. El procedimiento para encontrar los límites de integración es como sigue. Restrin-giremos nuestra atención a la integración sobre dominios dados por sólidos de revolución entorno del eje z (o partes de ellos), tales que los límites de u y f sean constantes.

dV = r2 sen f dr df du.

límn:q

Sn = 9D

ƒsr, f, ud dV = 9D

ƒsr, f, ud r2 sen f dr df du.

Sn = an

k=1 ƒsrk, fk, ukd rk

2 sen fk ¢rk ¢fk ¢uk .

u = p3

.

f = p3

r = 4

f = p4

.

cos f = sen f

r cos f = r sen f

r cos f = 2r2 sen2 f

z = 2x2 + y2

z = 2x2 + y2

880 Capítulo 15: Integrales múltiples

Esfera de radio 4, centro en el origen

Cono que abre hacia arriba desde el origen, formando un ángulo de py3 radianes con el semieje positivo z

Semiplano, acoplado con el eje z formando un ángulode py3 radianes con el semieje positivo x

Volumen diferencial en coordenadasesféricas

dV = r2 sen f dr df du

Ejemplo 3

r 7 0, sen f Ú 0

0 … f … p

r sen f

r sen f Δu

Δr

uu � Δu

rΔf

y

z

x

Or

f

FIGURA 15.51 En coordenadas esféricas,

= r2 sen f dr df du.

dV = dr # r df # r sen f du

y

z

x

�4

� �

�4

� �

z � �x2 � y2

FIGURA 15.50 El cono del ejemplo 4.

y

x

z

2

1

rf

x2 � y2 � (z � 1)2 � 1r � 2 cos f

FIGURA 15.49 La esfera del ejemplo 3.

Cómo integrar en coordenadas esféricas

Para evaluar

sobre una región D en el espacio en coordenadas esféricas, integrando primero con respecto a r, luego con respecto a f, y por último con respecto a u, siga estos pasos.

1. Elabore un bosquejo. Trace la región D junto con su proyección R sobre el plano xy. Mar-que las superficies que acotan a D.

2. Determine los límites de integración en r. Trace un rayo M desde el origen hacia D for-mando un ángulo f con el semieje positivo z. Trace además la proyección de M sobre el plano xy (llámela proyección L). El rayo L forma un ángulo u con el semieje positivo x.Al crecer r, M entra a D en r 5 g1(f, u), y sale en r 5 g2(f, u). Éstos son los límites de integración en r.

3. Determine los límites de integración en f. Para cualquier u dado, el ángulo f que Mforma con el eje z va desde f 5 fmín hasta f 5 fmáx. Éstos son los límites de integraciónen f.

x

y

z

R

D

L

θ

M

r � g2(f, u)

r � g1(f, u)

u � au � b

fmáx

fmínf

xyR

r � g1(f, u)D

z

r � g2(f, u)

9D

ƒsr, f, ud dV

15.7 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas 881

4. Determine los límites de integración en u. El rayo L barre R cuando u va de a a b. Éstosson los límites de integración en u. La integral es

EJEMPLO 5 Calcule el volumen del “cono de helado” D cortado en la esfera sólida r # 1por el cono f 5 py3.

Solución El volumen es la integral de f (r, f, u) 5 1 sobre D.

Para determinar los límites de integración para evaluar la integral, comenzamos bosque-jando D y su proyección R sobre el plano xy (figura 15.52).

Los límites de integración en r. Trazamos un rayo M desde el origen hacia D que forme un ángulo f con el semieje positivo z. También trazamos L, la proyección de M sobre el planoxy, junto con el ángulo u que forma L con el semieje positivo x. El rayo M entra a D en r 5 0 y sale en r 5 1.

Los límites de integración en f. El cono f 5 py3 forma un ángulo de py3 con el semiejepositivo z. Para cualquier u, el ángulo f puede variar desde f 5 0 hasta f 5 py3.

Los límites de integración en u. El rayo L barre R cuando u va de 0 a 2p. El volumen es

EJEMPLO 6 En el ejemplo 5, un sólido de densidad constante d 5 1 ocupa la región D. Determine el momento de inercia del sólido con respecto al eje z.

Solución En coordenadas rectangulares, el momento es

En coordenadas esféricas, x2 1 y2 5 (r sen f cos u)2 1 (r sen f sen u)2 5 r2 sen2 f. Porlo tanto,

Para la región del ejemplo 5, esto se convierte en

= 15

L2p

0 a- 1

2+ 1 + 1

24- 1

3b du = 1

5 L

2p

0

524

du = 124

s2pd = p12

.

= 15

L2p

0 Lp>3

0s1 - cos2 fd sen f df du = 1

5 L

2p

0 c-cos f +

cos3 f

3d

0

p>3 du

Iz = L2p

0 Lp>3

0 L

1

0r4 sen3 f dr df du = L

2p

0 Lp>3

0 cr5

5d

0

1

sen3 f df du

Iz = 9sr2 sen2 fd r2 sen f dr df du = 9r4 sen3 f dr df du.

Iz = 9sx2 + y2d dV.

= L2p

0 c- 1

3 cos f d

0

p>3 du = L

2p

0 a- 1

6+ 1

3b du = 1

6 s2pd = p

3.

= L2p

0 Lp>3

0 cr3

3d

0

1

sen f df du = L2p

0 Lp>3

0 13

sen f df du

V = 9D

r2 sen f dr df du = L2p

0 Lp>3

0 L

1

0r2 sen f dr df du

V = 7Dr2 sen f dr df du,

9D

ƒsr, f, ud dV = Lu=b

u=a Lf=fmáx

f=fmín

Lr=g2sf, ud

r=g1sf, ud ƒsr, f, ud r2 sen f dr df du.

882 Capítulo 15: Integrales múltiples

x y

z

R

L

MD

u

Esfera r � 1

Cono f � p3

FIGURA 15.52 El cono de helado delejemplo 5.

En la siguiente sección ofrecemos un procedimiento más general para determinar dV encoordenadas cilíndricas y esféricas. Por supuesto, el resultado es el mismo.

15.7 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas 883

Fórmulas para conversión de coordenadas

CILÍNDRICAS A ESFÉRICAS A ESFÉRICAS A

RECTANGULARES RECTANGULARES CILÍNDRICAS

Fórmulas correspondientes para dV en integrales triples:

= r2 sen f dr df du

= dz r dr du

dV = dx dy dz

u = u z = r cos f z = z

z = r cos f y = r sen f sen u y = r sen u

r = r sen f x = r sen f cos u x = r cos u

Ejercicios 15.7

Evaluación de integrales en coordenadas cilíndricasEvalúe las integrales en coordenadas cilíndricas de los ejercicios 1 a 6.

1. 2.

3. 4.

5.

6.

Cambio de orden de integración en coordenadas cilíndricasLas integrales que hemos visto hasta ahora sugieren que hay órdenes deintegración preferidos para las coordenadas cilíndricas, pero es usual queotros órdenes funcionen y que en ocasiones sean más fáciles de evaluar.Evalúe las integrales de los ejercicios 7 a 10.

7. 8.

9.

10.

11. Sea D la región acotada abajo por el plano z 5 0, arriba por la esferax2 1 y2 1 z2 5 4, y a los lados por el cilindro x2 1 y2 5 1. Enuncielas integrales triples en coordenadas cilíndricas que dan el volumende la región D, usando los siguientes órdenes de integración.

a. b. c.

12. Sea D la región acotada abajo por el cono y arriba por el paraboloide z 5 2 2 x2 2 y2. Enuncie las integrales triples en

z = 2x2 + y2

du dz drdr dz dudz dr du

L2

0 L24- r2

r-2 L

2p

0sr sen u + 1d r du dz dr

L1

0 L2z

0 L

2p

0sr2 cos2 u + z2d r du dr dz

L1

-1 L

2p

0 L

1+cos u

04r dr du dzL

2p

0 L

3

0 L

z>30

r3 dr dz du

L2p

0 L

1

0 L

1>2-1>2sr2 sen2 u + z2d dz r dr du

L2p

0 L

1

0 L

1>22- r2

r3 dz r dr du

Lp

0 Lu>p

0 L

324- r2

-24- r2 z dz r dr duL

2p

0 Lu>2p

0 L

3+24r2

0 dz r dr du

L2p

0 L

3

0 L218- r2

r2>3 dz r dr duL2p

0 L

1

0 L22- r2

r dz r dr du

coordenadas cilíndricas que dan el volumen de D usando los siguien-tes órdenes de integración.

a. b. c.

Obtención de integrales iteradas en coordenadas cilíndricas13. Dé los límites de integración para evaluar la integral

como una integral iterada sobre la región acotada abajo por el planoz 5 0, a los lados por el cilindro r 5 cos u y arriba por el paraboloi-de z 5 3r2.

14. Convierta la integral

en una integral equivalente en coordenadas cilíndricas y evalúe el re-sultado.

En los ejercicios 15 a 20, enuncie la integral iterada para evaluarsobre la región D dada.

15. D es el cilindro circular recto cuya base es la circunferencia r 5 2 sen uen el plano xy y cuya parte superior está en el plano z 5 4 2 y.

z

y

x

z � 4 � y

r � 2 sen �

7D ƒsr, u, zd dz r dr du

L1

-1 L21-y2

0 L

x

0sx2 + y2d dz dx dy

9 ƒsr, u, zd dz r dr du

du dz drdr dz dudz dr du