Integrales Dobles en Coordenadas Polares

Abraham Vela Torres A01214563Emilio Moyers Barrera A01330132

Figuras “especiales”Hay ocasiones en las que las curvas como

circunferencias, cardioides y las rosas son más fáciles de describir en coordenadas polares (puede resultar muy complicado utilizar coordenadas cartesianas).

Volumen en un rectángulo polar

Sea una superficie sobre una región R y suponiendo que f es contínua y positiva. Entonces el volumen del sólido está dado por:

Una nueva forma de escribir la integral

En coordenadas polares, el rectángulo habría tenido la forma:

Además:

Eje polar

Rr=a

r=b

θ=α

θ=β

Para calcular el volumen se divide la región R en rectángulos polares más pequeños (utilizando una cuadrícula polar) y siendo las dimensiones de una pieza; el área está dada por:

Si consideramos el límite cuando la partición tiende a cero, entonces el límite es una integral doble:

Pasos para determinar los límites de integración

Bosquejar la gráfica de la función.

Encontrar los límites de integración del radio r, dónde entra a la superficie que se busca y dónde sale de ella. (Comúnmente dependen del ángulo θ que L hace con el eje positivo de las “x”).

Encontrar los límites de integración de θ; en otras palabras encontrar el valor mínimo y el valor máximo de la frontera en la región R.

Cambiando las integrales cartesianas a integrales polares.

Integral cartesiana:

Parametrizar la ecuación:x=r*cosθy=r*sinθ

Posteriormente reemplazar dx, dy por r, dr, dθ.

Finalmente encontrar los límites de integración para la región R.

Ejemplo 1Evalúa dónde R es la región en

el semiplano superior acotada por los círculos:

Utilizando los pasos para convertir una función a coordenadas polares sabemos que:

Entonces podemos escribir la integral de forma polar:

Resolver , nota utilizar la identidad:

Ejemplo 2

Encuentre el volumen del sólido acotado por el plano z=0 y el paraboloide z=1-x2-y2

Cuando z=0

Además si se rota una parábola 360º , se obtiene el paraboloide, por lo tanto:

Y la integral se escribe:

Área en coordenadas polares

El área de una región encerrada y delimitada R, en el plano coordenado polar, está dada por:

Regiones generalesEl objetivo es encerrar una región S en

rectángulos polares y conocer la función que delimita la superficie.

Para hacer la integral podemos tener dos tipos de conjuntos los r-simples y los θ-simples.

S es r-simple si:

S es θ-simple si:

Ejemplo 3Encuentra el volumen del sólido que yace

debajo del paraboloide z=x2+y2, arriba del plano xy y y dentro del cilindro x2+y2=2x

El sólido está arriba del círculo

Sabemos que para transformar a coordenadas polares,

Por lo tanto:

Entonces la región acotada por el Disco es:

Y convirtiendo la integral en coordenadas cilíndricas a polares obtenemos:

Para resolverla, recordar que:

Volumen=3π/2