Instituto Politécnico Nacional...de abordar y reflexionar situaciones cercanas a la vida cotidiana de los estudiantes, es decir emplear problemas que le sean familiares a los alumnos,

I

Instituto Politécnico Nacional Centro de Investigación en Ciencia Aplicada

y Tecnología Avanzada

Estudio de la función lineal en bachillerato a través del desarrollo

del lenguaje gráfico

Tesis que para obtener el grado de

Maestría en Ciencias en Matemática

Educativa

Presenta:

Ramón Licona Morado

Director de tesis

Dr. Apolo Castañeda Alonso

Ciudad de México, junio de 2017

II

III

IV

Resumen

En el presente trabajo se expone la elaboración de una secuencia didáctica escrita, su

implementación en una clase de matemáticas ayudará al aprendizaje de la función lineal, a través

del desarrollo del lenguaje gráfico con la incorporación de herramientas tecnológicas. Se propone

el uso del graficador dinámico Geogebra, para visualizar (es la habilidad para representar,

transformar, generar, comunicar, documentar y reflejar, información visual en el pensamiento y

el lenguaje en que aprende) comportamientos.

El objetivo de esta secuencia es favorecer el tránsito entre las distintas representaciones de las

funciones lineales a través del trabajo con distintas representaciones graficas lineales, las cuales

ponen a prueba los conocimientos previos del alumno sobre este tema.

La secuencia didáctica fue diseñada para alumnos de último semestre del nivel de preparatoria,

en el CECyT 14 del IPN, con esta secuencia los alumnos los alumnos desarrollaron más su

habilidad de visualización, ya que cada propuesta hecha en la situación didáctica, exige distinto

nivel de abstracción.

V

Summary

In the present work the elaboration of a written didactic sequence is presented, its

implementation in a mathematics class will help the learning of the linear function, through the

development of the graphic language with the incorporation of technological tools. It proposes

the use of the dynamic grapher Geogebra, to visualize (it is the ability to represent, to transform,

to generate, to communicate, to document and to reflect, visual information in the thought and

the language in which it learns) behaviors.

The purpose of this sequence is to favor the transit between the different representations of the

linear functions through the work with different linear graphical representations, which put to test

the previous knowledge of the student on this subject.

The didactic sequence was designed for students of the last semester of the high school level, in

the CECyT 14 of the IPN, with this sequence the students the students developed more their

visualization ability, since each proposal made in the didactic situation, demands different level of

abstraction.

VI

Glosario

Función: es el conjunto de pares ordenados (x,y), donde x,y ε ℛ , donde a cada elemento de x, le

corresponde un solo elemento en y.

Lenguaje gráfico: entendido como la habilidad de lectura de información visual

Situación didáctica: Proceso donde se crea un dispositivo, que vincula al diseñador con quien

ejecuta la acción mediante tareas específicas. Este dispositivo articula mediante variables de

control entre el conocimiento y el saber.

Transformaciones: se trata de operaciones sobre funciones que nos permiten establecer un

vínculo entre las distintas representaciones de una función

Visualizar una función: es la habilidad para representar, transformar, generar, comunicar,

documentar y reflejar, información visual en el pensamiento y el lenguaje en que aprende

VII

Índice de imágenes y tablas Página

Figura I. Tabla de valores 5

Figura 1. Gráfica de la función cuadrática 6

Figura 2. Variación de m 7

Figura 3. Variación de m 7

Figura 4 Variación de b 8

Figura 5. Traslación vertical 9

Figura 6. Intersección de una parábola y una recta 10

Figura 7. Utilizando las gráficas para encontrar las raíces 10

Figura 8. La multiplicación de dos rectas 11

Tabla 2. Gráficas que pasan por el origen 14 y 15

Tabla 3. Gráficas que no cambia su ordenada al origen 16

Tabla4. Gráficas varias de una recta (con Geogebra) 18

Figura 9. (a, f(a)) 20

Figura 10. Gráfica de una desigualdad 21

Figura 11. Gráfica seccionada (creciente, constante y decreciente) 22

Figura 12. Desplazamiento de una grafica 27

Figura 13. Para obtener la gráfica en un desplazamiento 28

Figura 14. Análisis didáctico Lehmann 29

Figura 15. Gráfica de una recta y su tabular 31

Figura 16. Gráfica de una función cubica con su tabular 32

Figura 17. Gráfica de rectas paralelas 33

Figura 18. Ejemplo de la gráfica de una recta 40

Figura 19. Gráfica de una recta con m=0 42

Figura 20. Gráfica donde cambia m y b 43

VIII

Índice

Página

Introducción IX

Capítulo I: Planeación de la investigación

1

Capítulo II: Marco teórico

4

Capítulo III: Análisis preliminar a libros de texto

19

Capítulo IV: Desarrollo de una propuesta

39

Capítulo V: Implementación y análisis de resultados

49

Capítulo VI: Conclusiones

69

Referencias

74

IX

Introducción

En este trabajo se plasman algunas de las ideas que a lo largo de mi carrera docente me han

inquietado: el que los alumnos comprendan e interioricen efectivamente conocimientos

matemáticos relativos a la función lineal. Para poder lograr esto, se necesita la ayuda de un

conocimiento teórico para el diseño de situaciones didácticas, que permita problematizar la

función lineal y motivar tareas específicas para estudiar la función, como por ejemplo, hacer

variar su estructura, introducir una discusión sobre su representación, transferir información

entre esas representaciones o incluso realizar tareas de exploración para analizar su

comportamiento.

Esto logrará movilizar los conocimientos previos y establecer nuevas habilidades que hagan de la

función lineal, una herramienta útil en el estudio de fenómenos de variación. Al presentar

proponer estas situaciones, el alumno se irá involucrando en la construcción de una idea función

lineal más amplia, que pueda impactar su opinión o percepción sobre la matemática que estudia.

Será la misma necesidad e interés del alumno la que servirá como motivación para realizar las

actividades y apropiarse de estos conocimientos, que ayudaran en la modelación de

problemáticas de la vida cotidiana y a su resolución, por ello, es importante plantear situaciones

en las que el alumno enfrente conflictos y problematice su aparente conocimiento memorístico.

En la aplicación de una situación didáctica, es de vital importancia que el profesor sea un monitor

activo de la misma, y el alumno no se confunda al ir desarrollándola, para ello se debe observar

de manera continua las problemáticas y dificultades que enfrenta. Es de mucha importancia en

esta actividad, que el alumno logre una amplia visualización de la función lineal, al representar,

transformar, generar, comunicar, documentar y reflejar todas aquellas experiencias; como

preguntas, dudas, errores, procedimientos para ir organizado y fortaleciendo su conocimiento.

Esta situación didáctica fue aplicada a alumnos de sexto semestre del CECyT 14, en la aplicación

se detectaron dificultades en la construcción en la gráfica de una función lineal, pero fue con la

ayuda del debate grupal, el uso del software, el trabajo colaborativo, que los alumnos pudieran

X

superarlos y resolver sus dudas y dificultades. Será la “combinación” de la tecnología y el

enfrentamiento a una problemática la que ayudará a un alumno en su quehacer del aprendizaje.

11

Capítulo I: Planteamiento de la investigación

Los docentes del área de matemáticas conocemos y enfrentamos cotidianamente el problema de

altos índices de reprobación. Para algunos estudiantes, la clase de matemáticas se vuelve un

obstáculo infranqueable y esto provoca la deserción escolar y una permanente frustración hacia la

matemática. Sin embargo, esto no es un fenómeno exclusivo de nuestro país, se trata de una

problemática que afrontan todos los sistemas educativos, la enseñanza de la matemática es un

área que ha atraído el interés de muchos investigadores educativos para avanzar en explicaciones

y proponer nuevos métodos para el aprendizaje y la enseñanza.

La didáctica de las matemáticas es un campo científico que se ha desarrollado en diversas partes

del mundo, y en los últimos treinta años se ha conformado una comunidad internacional de

expertos que se ha enfocado en entender la compleja interacción que existe entre las personas y

las matemáticas a través de cuestionamientos sobre cómo, por qué, para qué, dónde: aprender y

enseñar matemáticas.

Nuestro proyecto de investigación se ubica en este contexto. Nuestra preocupación inicial es

entender qué son las funciones, por qué se enseñan, para qué se enseñan, cómo podríamos

enseñarlas y qué herramientas nos ayudan a mejorar y potenciar esta tarea. Los alumnos deben

de ser capaces de saber analizar una expresión matemática y las partes que la conforman, para

nuestro caso es la función lineal y las partes que la componen. (Dominique, 2005; pag. 120)

De acuerdo con Hitt (2002) los alumnos de bachillerato presentan dificultades en el estudio de la

función lineal, particularmente en lo que se refiere a dominio aritmético, por ejemplo, en el

manejo de tablas, definición del contradominio (rango), coordenadas. A esto hay que agregar

que, en los cursos previos se ha enfatizado la función como una fórmula y no se han motivado

tareas o actividades de lectura o decodificación de información sobre las gráficas.

El tema de función lineal se aborda desde el segundo grado de secundaria. Durante el tercer

grado el alumno se enfrenta a diversas actividades como el despeje de literales, la relación de una

fórmula con la tabla de datos y el uso de diversos medios de representación matemática, donde

12

destaca el uso de lenguaje algebraico, tablas y gráficas. Así también se introducen diversos

problemas de aplicación, por ejemplo, Escareño (1993) propone el siguiente problema que está

asociado a un comportamiento proporcionalidad: “Oscar y Alberto desean hacer un regalo y

piensan cooperar cada uno con la misma cantidad si cada uno aporta $500, $1000, $1500 y

$2000, ¿cuánto juntan?”, observamos que en este problema la regla es y = 2x

También es importante señalar que hay dos antecedentes importantes que se abordan en los

programas de secundaria, el primero es la introducción de las primeras reglas de la escritura

algebraica, por ejemplo, 2a en lugar de a + a, ab en lugar de a x b. En segundo lugar, es el énfasis

de abordar y reflexionar situaciones cercanas a la vida cotidiana de los estudiantes, es decir

emplear problemas que le sean familiares a los alumnos, como el desplazamiento de un vehículo

a velocidad constante, el costo de un viaje en taxi, situaciones de compra-venta, entre otros. Estos

conocimientos son importantes para retomar el estudio de la función lineal en bachillerato, ya

que los programas de estudios plantean el abordaje de problemas de contextos matemáticos que

conduzcan a una ecuación lineal empleando diferentes métodos de solución.

Estos contextos matemáticos hacen referencia a la incorporación o el planteamiento de algún

fenómeno de la vida real que tenga un comportamiento lineal. Por ejemplo, al modelar el

desplazamiento de un automóvil, el estudiante puede reconocer el sentido de la situación,

imaginarla, reconocer las variables involucradas e incluso, identificarse con ella. Un argumento

fundamental es el manejo de la información visual como parte de la actividad matemática al

enfrentar problemas, y el uso de esto contexto motiva el tránsito entre los contextos, algebraico,

geométrico, numérico, icónico y verbal con cierta versatilidad.

Los cuestionamientos sobre la influencia de la tecnología en el aprendizaje y la enseñanza de las

matemáticas pueden atendidas a partir de las contribuciones que la tecnología hace en las tareas

matemáticas que los estudiantes emprenden, los tipos de actividad matemática en las que se

involucran y el conocimiento y entendimiento matemático. Sin embargo, esto no sólo se aplica a

la manipulación de objetos matemáticos; como hacer un cálculo, realizar un procedimientos,

obtener un resultado. También aplica a las acciones mentales de los estudiantes. Pea (1987) usó el

término "tecnologías cognitivas" para aquellas tecnologías que ayudan a "trascender las

13

limitaciones de la mente ... en las actividades de pensamiento, de aprendizaje y de resolución de

problemas" (p.91). Para facilitar la dimensión técnica de la actividad matemática, la función

cognitiva de la actividad matemática, permite al usuario tomar medidas sobre los objetos

matemáticos o las representaciones de esos objetos. Para facilitar la dimensión conceptual de la

actividad matemática, la retroalimentación visual adquiere una importancia crítica (por ejemplo,

Hillel, Kieran y Gurtner, 1989). Una herramienta cognitiva debe reaccionar en respuesta al

usuario proporcionando evidencias claramente observables de las consecuencias de las acciones

del usuario "en la superficie de la pantalla" (Balacheff y Kaput, 1996; Balacheff y Sutherland,

1994).

La adquisición de un dominio del lenguaje gráfico, entendido como la habilidad de lectura de

información visual, permitirá integrar el álgebra básica con el estudio de curvas y contribuir a

una definición más fortalecida de función lineal.

A partir de estas ideas, el propósito de esta investigación es plantear una actividad didáctica que

contribuya al aprendizaje de la función lineal, a través del desarrollo del lenguaje gráfico,

incorporando herramientas tecnológicas para visualizar comportamientos y favorecer el tránsito

entre diferentes representaciones. En estas actividades se propone asociar la ecuación de una

recta con su representación gráfica, motivar análisis de su variación y haciendo un análisis de los

aspectos locales (intervalos) y aspectos globales (dominio). La intención es que el alumno

desarrolle habilidades de interpretación y análisis y pueda aplicar sus conocimientos a otros

planteamientos y situaciones experimentales.

Asumimos que la actividad didáctica crea un escenario de aprendizaje en la cual el estudiante

puede analizar y reflexionar la forma de resolverlo al enfrentar sus conocimientos previos, como

por ejemplo: nociones, definiciones, utilización de reglas, teoremas, con las nuevas ideas que

surgen durante el proceso de resolución producto de sus reflexiones, la visualización, la

identificación de regularidades, etcétera. En este contexto de actividad matemática, la validación

de resultados juega un papel importante ya que pone en confrontación las ideas previas con los

resultados obtenidos, en nuestro caso, el uso del Geogebra fungirá como el medio ya que permite

la graficación y la exploración de las expresiones algebraicas.

14

Concluimos así, que este modelo didáctico el maestro crea las condiciones necesarias para que el

estudiante pueda apropiarse del conocimiento, por parte del estudiante, éste tendrá que

involucrase a una actividad matemática, pero para que éste se involucre el profesor debe tener la

habilidad de cómo presentar los contenidos y convencer al estudiante de que lo que está

realizando es importante.

15

Capítulo II: Marco teórico

La idea de “aprender matemáticas” en el ámbito escolar ha ido cambiando en los últimos años.

Antes se aceptaba que un buen estudiante era quien podía repetir las tablas de multiplicar y hacer

operaciones más o menos complejas, pero en la actualidad esta idea ha cambiado. Las nuevas

perspectivas sobre el aprendizaje señalan que saber matemáticas no se limita al buen dominio

algorítmico, también se requiere la capacidad para analizar comportamientos de algún

fenómeno, modelar situaciones, enunciar y resolver problemas. En síntesis, tener un

conocimiento funcional.

Douady (1995) señala que el conocimiento matemático es una manifestación de las relaciones

didácticas en donde se observan dos tendencias por parte del profesor. El problema de la

enseñanza de las matemáticas se puede abordar desde dos perspectivas, la primera, considerando

al profesor (enseñar) que se refiere a la creación de las condiciones que producirán la apropiación

del conocimiento. Y desde la perspectiva del estudiante (aprender), que implica involucrarse en

una actividad intelectual donde la interacción de los elementos del sistema didáctico (profesores,

estudiantes y conocimientos) permitan el surgimiento del conocimiento.

Nuestra investigación se enmarca en el contexto del estudio de las funciones, en particular de las

funciones lineales. Pero iniciar nuestra reflexión es necesario recapitular algunas ideas previas. La

solución de ecuaciones de una variable, por ejemplo: x+2=0, 2x+9=0, generalmente se trabajan a

nivel simbólico como una prolongación del cálculo aritmético, aplicando una serie de reglas, y

alejado de cualquier contexto, problemática o aplicación. Esto ocasiona que los estudiantes se

refugien en la memorización de procedimientos sin reconocer una lógica o fundamento en las

operaciones y no logren conectar los conceptos entre sí. En este escenario, son numerosas las

dificultades (obstáculos epistemológicos) que presentan los estudiantes, los cuales son persistentes

y recurrentes.

El aprendizaje del cálculo algebraico debe ser entonces un equilibrio o interacción entre la

“construcción del significado” y la familiaridad técnica en los algoritmos. No basta con

proporcionarle uno o varios problemas para que el estudiante sea diestro en una competencia

16

algebraica, esto es una cuestión a largo plazo que requiere de diversos escenarios se significación,

por ejemplo, las interconexiones entre diferentes registros para favorecer la confrontación de

ideas y controlar los resultados. Por esta razón, la secuencia didáctica incorpora tareas sobre

aspectos gráficos y algebraicos, la conversión entre representaciones, que implica, pasar de una

representación algebraica a una gráfica o viceversa (Hitt, 2002).

Pero para entender la idea de tránsito, primero es necesario caracterizar las diferentes formas de

función: mediante una fórmula explícita, mediante una tabla de valores bajo una regla, mediante

el trazado de una curva, mediante una relación de dependencia y mediante correspondencias

arbitrarias.

La representación mediante una fórmula explícita implica el uso de un lenguaje simbólico

algebraico, para el caso de la función lineal esta interpelación se presenta de la forma f (x) = ax +

b.

La representación mediante una tabla de valores bajo una regla está constituida por un arreglo

numérico, en donde existe una relación entre dos variables, dichas variables están relacionadas

mediante un arreglo discreto. Dado los valores (dominio) bajo una regla se calculan los valores

correspondientes (imágenes) y se anotan bajo un arreglo tabular. Por ejemplo, Calcular las

imágenes de Xi= 0,1,2,3,4,5,6,7 bajo la regla f(x) = x +2.

Tabla 1. Tabla de valores

x y 0 2 1 3 2 4 3 5 4 6 5 7 6 8 7 9

La representación mediante el trazado de una curva se realiza en un sistema de coordenadas

cartesianas, esta forma nos podemos visualizar el comportamiento de la gráfica e identificar

dominio, rango, gráfica creciente, decreciente, raíces, intersecciones con los ejes, etcétera. La

17

habilidad para representar, transformar, generar, comunicar, documentar y reflejar información

visual está asociada con el manejo de formas gráficas. Esta es una forma de trabajo matemático

que permite extender la idea función y ayuda a los estudiantes a relacionar relaciones algebraicas

con imágenes. Por ejemplo, dada la relación y = f (x) permite asociar un valor a cada x y colocar

estos valores en una gráfica. Sea el caso de la función f (x) = x2 +3, ejemplo: y = f (2)= (2)2 +3

Figura 1. Grafica de una función cuadrática

Una relación de dependencia establece un vínculo entre dos variables en diferentes campos del

conocimiento humano y no sólo en matemáticas, como física, química, economía, medicina, por

ejemplo, el área de un cuadrado está en función de la medida de su lado, la fuerza está en función

del producto de la masa por la aceleración, la dosis de un medicamento está en función de la

gravidez del paciente.

La representación mediante correspondencias arbitrarias, se establece la correspondencia entre

variables o entre elementos de un conjunto pueden establecerse en términos de elecciones

arbitrarias, tomando en cuenta el concepto de función, la generalización de este concepto pudo

evolucionar gracias a los procesos de matematización de la ciencia, como a la propia extensión

del aparato técnico y de sus fundamentos en matemáticas. Por ejemplo,

𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 3, 𝑠𝑖𝑥 ≥ 56 − 3𝑥, 𝑠𝑖𝑥 < 5

18

Operaciones con funciones

En Swokowski (1980) se puede observar una introducción al trazado de las gráficas considerando

traslaciones tanto horizontales como verticales, alargamientos y ensanchamientos. Bajo esta

misma perspectiva se analizarán las gráficas de la función lineal f (x) = mx + b, y observar la

representación gráfica cuando el parámetro m se hacen variar. Este parámetro está asociado al

valor de la pendiente (crecimiento o decrecimiento), es decir la inclinación de la recta con el eje

de las x. Si la pendiente es negativa la recta es decreciente, es decir, el ángulo que forma la recta

con el eje x es obtuso, si tenemos una pendiente positiva el ángulo que forma la recta con el eje x

es agudo, y el último caso como es una recta con pendiente nula la recta será paralela al eje x,

donde su expresión es de la forma y = k.

Para m > 0 Para m < 0 Para m = 0

Figura 2. Variación de m

Ahora analizaremos con más detalle el parámetro m. Cuando se trata de valor positivos y asignamos valores cada vez más grandes para m, entonces la recta tiene una inclinación cada vez mayor.

19

Para m = 1 Para m > 1 Para m > 1

Figura 3. Variación de m Cuando hacemos variar el parámetro b varía, para los casos b > 0, b < 0, b = 0 se observa el siguiente comportamiento.

Para b > 0 Para b < 0 Para b = 0

Figura 4. Variación de b

Por lo tanto, podemos concluir que el parámetro b indica la intersección de la recta con el eje y.

En el trabajo anterior (transformaciones) se mostró como bosquejar gráficas, a partir de gráficas

prototipo y sus transformaciones. A continuación, presentamos otra forma de tratar a las

funciones que nos permitan bosquejar gráficas a partir de un análisis visual más amplio, donde se

ven involucradas herramientas analíticas y numéricas.

No hay que perder de vista que el objetivo primordial en este tipo de actividad matemática es

propiciar la relación entre objetos matemáticos aparentemente no vinculados, es decir, favorecer

el tránsito entre diversas representaciones de la función.

20

En la suma de funciones se parte del criterio de sumar imágenes, que en las gráficas se muestran

como alturas. También existen puntos clave para el trazado de graficas derivado del análisis local

(ceros de la función). Para el caso de la suma de una recta + recta, partimos del caso cuando a f

(x) se le suma una constante que este caso se puede escribir como g (x) = c.

Figura 5.

Podemos observar que la función suma se conservan las propiedades de la gráfica f (x) = x, sólo

con la diferencia sufrió una traslación vertical positiva de 2 unidades.

Cuando se suman dos rectas cualesquiera, en este caso utilizaremos los ceros de las raíces, es decir

los puntos donde éstas cortan al eje x, trazamos las alturas de cada una de las rectas hasta la

intersección con las mismas rectas, dos puntos de intersección se toman como referencia para

trazar la recta (suma).

La multiplicación de recta x recta implica realizar el producto de las imágenes de dos funciones

para un valor x. Por ejemplo la función y = x2 la podemos interpretar como y = x· x, si graficamos

y = x observamos que es positiva en el primer cuadrante si multiplicamos esta función por si

misma el resultado será positivo, la función y =x es negativa en el tercer cuadrante, si la

multiplicamos por si misma el resultado será positivo, por lo tanto nuestra nueva función

multiplicación se encuentra el primer y segundo cuadrante, la función y = x x , tiene una raíz de

multiplicidad 2 en el punto (0,0)

21

Figura 6. Si las rectas son de la forma y = ax+b, por ejemplo y= x-3, y = 4x+1, se sigue la siguiente

secuencia. Identificamos las raíces de cada una de las rectas y trazamos rectas perpendiculares al

eje x, y que pasen por las raíces antes calculadas, se analizan algunas regiones específicas y por

último se traza la gráfica. Por ejemplo, sea y1 = x-3 y2 = 4x+1, trazamos las gráficas

correspondientes

Figura 7.

Calculamos las raíces utilizando herramientas algebraicas y encontramos que son x1= -/

0 y x2 = 3,

sobre estas raíces se trazan perpendiculares al eje x sólo con el objetivo de separar las regiones,

observamos que, para valores, menores que -/0 las dos gráficas se encuentran por debajo del eje de

las x, entonces su producto es positivo. La segunda observación es que entre las raíces -/0 y 3 una

de las graficas se encuentra por encima del eje x la otra se encuentra por debajo del eje x por lo

22

tanto el producto es negativo, por último, después de la raíz 3 las dos rectas se encuentran por

encima del eje x y su producto será positivo y como las rectas tienen raíces de multiplicidad uno

su corte con el eje de las x es como el de una recta. Por ultimo trazamos la gráfica multiplicación.

Figura 8. Se ha hecho hincapié en la importancia de representar a una función en sus diferentes

representaciones a fin de fortalecer los vínculos y los significados propios de cada representación.

Desafortunadamente la enseñanza tradicional enfatiza el manejo algebraico y el tabular y la

consecuencia inmediata es la falta de flexibilidad y una abundancia de mecanización y

memorización por parte de los estudiantes.

Existen formas alternativas para representar a las funciones por ejemplo a través de

transformaciones y operaciones en las que se utiliza el bosquejo de gráficas a través de un análisis

visual que involucra simultáneamente herramientas analíticas y numéricas. A diferencia del

método de la tabulación, en el método de las transformaciones no hay necesidad de realizar

operaciones aritméticas para la construcción de la gráfica, aunque se requiere de un amplio

repertorio conceptual para trabajar con las funciones.

La Tecnología para el estudio de las funciones

23

El impacto de las tecnologías en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas pueden ser

reconocidas a nivel de las técnicas empleadas, el uso de la tecnología precisa de nuevas técnicas

dependientes de esta herramienta, los valores pragmáticos y epistémicos de las técnicas

tradicionales tienen que ser consideradas y las nuevas técnicas tienen que ser examinadas para

una posible contribución epistémica.

En particular, el sistema algebraico computacional o sistema de álgebra computacional (CAS, del

inglés computer algebra system) es una herramienta que facilita el cálculo simbólico. La principal

diferencia entre un CAS y una calculadora tradicional es la capacidad del CAS para trabajar con

ecuaciones y fórmulas simbólicamente, en lugar de numéricamente. Es decir, una expresión

como a + b es interpretada siempre como "la suma de dos variables", y no como "la suma de dos

números" (con valores asignados). El CAS fue creado para facilitar la simplificación de la mayoría

de las expresiones simbólicas comunes de la misma manera, las tareas se pueden realizar sin gran

reflexión, por eso para los estudiantes las técnicas de oprimir un botón tienden a predominar

sobre las técnicas ordinarias que causan dolor de cabeza, entonces, las técnicas del papel y el lápiz

tienden a perder sentido debido a los comandos del CAS, esta absolencia es un problema porque

las técnicas tradicionales ya no pueden más guiar un rol de conceptualización. Se requiere

reflexionar sobre un nuevo tipo de tareas.

La didáctica de las matemáticas se ha enfocado en reconsiderar el estudio de un dominio

identificando la absolencia de las técnicas tradicionales al concebir nuevas técnicas con nuevos

componentes praxiologicos ligadas a las nuevas herramientas y en su posible valor epistémico.

Pero esto no es fácil porque la cultura matemática esta implícitamente ligada con la técnica del

papel y el lápiz y no se está acostumbrado a la idea que otras herramientas puedan apoyar a la

conceptualización.

Muchos maestros no han considerado incorporar el uso de la tecnología en el salón de clases, lo

cual puede mostrar una resistencia para replantear las actividades de enseñanza y crear

situaciones relevantes para darle sentido a las tareas con tecnología. Sin la calculadora, los

estudiantes se enfocan únicamente en atender procedimientos algorítmicos, con la ayuda de la

24

calculadora, los estudiantes pueden construir técnicas para una variedad de procedimientos y

aprenden sobre propiedades de los conceptos reflejados en esas técnicas.

Las potencialidades de nuevas herramientas sólo pueden ser aprendidas considerando el impacto

de la tecnología en las técnicas ya existentes y en las posibles técnicas nuevas que los estudiantes

pueden desarrollar como un puente entre tareas y teorías. Los nuevos artefactos son usados como

herramientas para facilitar algunas técnicas y así tener un fuerte impacto en el nivel técnico de la

actividad matemática, haciendo nuevas técnicas posibles y a viejas técnicas en cierto sentido

obsoletas, sin embargo, también hemos mencionado que los cambios en la enseñanza y en el

aprendizaje de un dominio de la matemática resultado de este impacto no son directamente

determinantes por un artefacto.

Para esta investigación, se empleará el software Geogebra el cual es un programa que fue

desarrollado para permitir la exploración y la manipulación directa y dinámica de la geometría a

través de la interacción didáctica. Es un medio donde el estudiante tiene la posibilidad de

experimentar con una materialización de los objetos matemáticos, de sus representaciones y de

sus relaciones, de tal forma que los estudiantes pueden vivir un tipo de experimentación

matemática que no es posible tener de otra forma por el carácter dinámico del programa es decir

la geometría se le estudia dinámicamente no estática, esto permite que el estudiante pueda

modificar las construcciones de esta forma pueda encontrar como se relacionan los elementos de

tales construcciones de una forma normal. Por consiguiente, es natural esperar que los estudiantes

que trabajen con Geogebra, podrán avanzar en su comprensión y conocimiento de la geometría

de una manera distinta a la que ofrecen los medios tradicionales.

En este escenario tecnológico, se pretenden motivar la adquisición del concepto de función a

través de diversas tareas de conversión entre diferentes representaciones del mismo objeto

matemático “función”. Por ejemplo, pasar de una representación tabular a una representación

gráfica y de una representación gráfica a una algebraica, generalmente nuestros estudiantes están

acostumbrados a transitar en las representaciones tabular y grafica es decir dada una tablas de

valores construir su grafica correspondiente y rara vez se le pide el caso inverso (reversibilidad

didáctica), pasar de una gráfica a un arreglo tabular (Hitt, 2002).

25

Una habilidad importante que es necesario desarrollar en los estudiantes es la visualización. Esta

capacidad no es entendida como el simple acto de ver, pues por ejemplo, visualizar una función,

es la habilidad para representar, transformar, generar, comunicar, documentar y reflejar

información visual en el pensamiento y el lenguaje del que aprende, de modo que al realizar la

actividad de visualización se requiere de nociones matemáticas relacionadas a los ámbitos

numéricos, gráficos, algebraicos o verbales, pero exige también el uso de un lenguaje común para

explicar ciertos fenómenos incluso para describir experiencias vivenciales.

Una línea recta tendrá una representación algebraica de la forma y = mx + b donde m será el

valor asignado a la pendiente, es decir, la inclinación de la recta que forma con el eje de las

abscisas y b el valor de la ordenada al origen. A continuación, mostramos algunas

representaciones gráficas para diferentes valores de m y de b.

Tabla 2.

Representación Algebraica

Valor de la pendiente

Valor de la ordenada al

origen

Representación gráfica

Análisis con relación a los cuadrantes

y = x m = 1 b = 0

m > 0 cuadrantes

I y III

y = 3x m = 3 b = 0

m > 0 cuadrantes

I y III

𝑦 =13𝑥 𝑚 = /

4 b = 0

m > 0 cuadrantes

I y III

26

y = -x m = -1 b = 0

m < 0

cuadrantes II y IV

y = -3x m = -3 b = 0

m < 0

cuadrantes II y IV

𝑦 = −13𝑥 𝑚 = −

13 b = 0

m < 0

cuadrantes II y IV

y = 0 m = 0 b = 0

m = 0

Gráficas de rectas que no pasan por el origen.

Tabla 3.

Representación algebraica Valor de la pendiente Valor de la ordenada

al origen Representación

gráfica

y = x+2 m = 1 b = 2

27

y = 3x+2 m = 3 b = 2

Representación

algebraica Valor de la pendiente Valor de la Ordenada al origen


231

+= xy 31

=m b = 2

y = -x+2 m = -1 b = 2

y = -3x+2 m = -3 b = 2

231

+-= xy 31

-=m b = 2

28

y = 2 m = 0 b = 2

La ecuación de la recta que pasa por un punto p1 (x1, y1) y pendiente m, se tiene que para p (x , y)

otro punto sobre la recta, el valor de la pendiente será 𝑚 = 56578687

, por lo tanto, despejando se

tiene y - y1 = m (x- x1). Un análisis nos permitirá observar que el punto (0, b) es un punto singular.

Visualmente (0, b) representa el punto donde la recta corta al eje y.

Tabla 4.

Representación Algebraica

Representación como Pareja ordenada

Representación Gráfica

35+=xy (0,3)

Representación

Algebraica Representación como

Pareja ordenada Representación

gráfica

12--=xy (0,-1)

y = x+2 (0,2)

29

y = 0 (0,0)

y = -2 (0,-2)

y = -x (0,0)

A partir de los ejemplos desarrollados podemos darnos cuenta que el uso del programa

Geogebra, podemos hacer construcciones que nos permiten ver a la matemática desde una

perspectiva diferente a la que normalmente se usa en el aula (lápiz, papel y pizarrón) con la

posibilidad de poder alterar las construcciones (dinamizado) de esta forma ofrecer al estudiante

un ambiente de reflexión para que pueda predecir el comportamiento de una gráfica e ir

formulando sus conclusiones.

30

Capítulo III: Análisis preliminar a libros de texto

Se realizó un análisis de dos libros de textos los cuales servirán de base para identificar las

características del concepto de función y tener un referente para el diseño didáctico. Es

importante esta revisión debido a que en los libros de texto podemos observar las estrategias que

utilizan los autores para comunicar ideas matemáticas y cómo emplean y definen los objetos

matemáticos asociados a las funciones, tales como: gráficas, tablas, fórmulas, ejemplos, variables,

problemas, aplicaciones.

Sabemos que un mismo concepto puede ser explicado de diferentes formas, en el caso específico

de función puede ser explicado, como una relación entre conjuntos, como pares ordenados, como

una relación entre dos variables. El análisis en esta sección se desarrolla considerando diferentes

argumentaciones de las funciones (Castañeda, 2004), sobre lo geométrico-analítico, sobre lo

algebraico y sobre lo analítico.

Análisis del libro Trigonometría con Geometría Analítica de Swokowski

Cabe señalar que este libro se encuentra entre unos de los primeros libros de consulta para

alumnos y profesores. Swokowski (1980) hace un tratamiento del concepto de función

relacionando con fenómenos que ocurren en nuestro medio y son fáciles de observar, además

realiza una descripción de los elementos que componen a una función, de esta forma dota a los

lectores de una serie de elementos importantes para el estudio de las funciones y además sienta los

elementos básicos para el estudio de la función lineal vista en los cursos de geometría analítica.

Ubicación del tema. El estudio de las funciones en general se ubica en el capítulo 3 de esta obra y

se desglosa de la forma siguiente:

Capítulo 1: Conceptos fundamentales de álgebra.

Capítulo 2: Ecuaciones y desigualdades.

Capítulo 3: Funciones.

Capítulo 4: Funciones polinomiales y funciones racionales.

Capítulo 5: Funciones exponenciales y logarítmicas.

31

Capítulo 6: Funciones trigonométricas.

Capítulo 7: Trigonometría analítica.

Capítulo 8: Sistemas de ecuaciones y desigualdades.

Capítulo 9: Números complejos.

Capítulo 10: Sucesiones y series.

Capítulo 11: Temas de geometría analítica.

Como antecedentes al tema, Swokowski presenta en el capítulo 1, los conceptos introductorios

que servirán de base para el estudio de la función en general y posteriormente al estudio de la

función lineal: reglas y teoremas de los conceptos fundamentales del álgebra, donde incluye

operaciones con los números reales, exponentes, radicales, polinomios, expresiones algebraicas,

factorización, ecuaciones lineales, desigualdades, ecuaciones de segundo grado y aplicaciones.

Argumento sobre lo Geométrico

Podemos emplear la gráfica de una función f para analizar el comportamiento de f (x)

cuando los valores de x del dominio varían, la gráfica de la función f se define cuando

el conjunto de todos los puntos (x, f (x)) en un plano coordenado con x en el dominio

de f, esto equivale a decir que la gráfica de f es la misma que la de la ecuación y=f (x)

y que si P(a,b) está en la gráfica, entonces la ordenada b es el valor correspondiente de

f (a).

Swokowski, 1980; p.123

Figura x.

32

Argumento sobre lo analítico

W= í(x, y): -1< x £ 4, 2 £ y < 3 ý, la notación que describe a W se traduce por “El

conjunto de todos los pares ordenados (x, y) tales que -1< x £ 4 y 2 £ y <3” por

consiguiente un punto P (x, y), está en la gráfica de W si y sólo si las abscisas x es

mayor que -1 y menor o igual a 4, mientras que la ordenada y es mayor o igual a 2 y

menor que 3.

Swokowski (1980); p.107

Figura x.

En esta definición se observa el énfasis sobre el concepto de dominio y rango de una función,

conceptos fundamentales para el estudio de la función.

Argumento sobre lo Geométrico-Analítico

Después de exponer lo relativo a las intersecciones con los ejes y raíces, describe el

comportamiento de las funciones en intervalos para determinar si una función es creciente,

decreciente o constante y proporciona algunos ejemplos

f es creciente en S si f (x1) < f (x2), siempre que x1 y x2 estén en S y x1<x2.

f es decreciente en S si f (x1)> f (x2), siempre que x1 y x2 estén en S y x1<x2.

f es constante en S si f (x1) = f (x2), siempre que x1 y x2 estén en S.

Swokowski (1980); p. 125

33

Figura x.

Observamos en la gráfica anterior que en el intervalo 0<x≤5 la función es creciente, en el

intervalo de 5<x≤8 la función es constante y en el intervalo 8>x≤9, la función es decreciente.

Swokowski (1980) introduce el concepto de función considerando fenómenos que ocurren en

nuestro entorno, por ejemplo: el desplazamiento de un automóvil en un determinado tiempo, la

variación de la temperatura en un instante determinado, el poder adquisitivo de nuestra moneda,

etc. Por otra parte, el autor hace un esfuerzo para organizar los conceptos para enlazarlos; desde

su notación hasta su gráfica. Para el trazado de gráficas el autor emplea la idea de traslaciones

horizontales y verticales (transformaciones), simetrías, intersección con los ejes, con el objetivo de

darle sentido a las gráficas.

Una función de un conjunto x a un conjunto y es una regla que asocia a cada

elemento x de X un único elemento y de Y, al elemento y se le llama la imagen de x

bajo f y se denota por f (x), al conjunto x se le denomina el dominio de la función. El

rango de la función está constituido por todas las imágenes de los elementos de x.


En esta definición el autor define a una función como una relación entre dos conjuntos, mediante

una regla de correspondencia, define que es el rango y dominio de una función, da la escritura

utilizada para representar una función f (x).

34

Ejemplo1: sea f la función con dominio R tal que f (x)=x2, para toda x en R calcule f

(-6), f ( 3), y f (a), donde a es un número real y determina el rango de f


Este ejemplo emplea funciones reales de variable real, denota a una función como una fórmula.

Ejemplo 2.- Sea x el conjunto de números reales no negativos y f, la función de x a R

definida por f(x)= 𝑥 + 1, para toda x en X. Calcule f (4) y f (p). Encuentre f (b+c) y

f (b)+f (c), donde b y c están en x


Se restringe el dominio de la función, por las características de la misma, que en este caso solo son

x ≥ 0. En este ejemplo podemos observar que se introducen conceptos de cálculo al evaluar

funciones de la forma f (x + h).

De función uno a uno. Una función f de x a y es una función uno a uno, siempre

que a ¹ b en x entonces f (a) ¹ f (b).


Si es una función uno a uno entonces la función evaluada en a es diferente que la función

evaluada en b, por lo tanto, a ¹ b. Ejemplos.

a) si f (x)=3x+2, con x real, demuestre que f es uno a uno.

b) g (x)= x2+5.


En el primer ejemplo se aplica la definición de función uno a uno, también está implícita la

definición de función ya que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo un

elemento del segundo conjunto.

35

En el segundo ejemplo se puede observar un nuevo elemento en el concepto de función ya que

dos elementos distintos del primer conjunto le corresponden la misma imagen, entonces se puede

concluir esta función no es uno a uno.

Definición de función constante y tipos de funciones

Una f de x a y es una función constante si existe algún elemento c (fijo) en y tal que

f (x)=c para toda x en X

Swokowski (1980), p.119

Todos los elementos de primer conjunto tienen como asociado al mismo elemento del segundo

conjunto, por lo tanto, se sigue cumpliendo la definición de función.

Paridad de funciones. Definición.

Una función f con dominio X es:

1.- Par si f(-x) = f(x) para toda x en X

2.- Impar si f(-x) = -f(x), para toda x en X

f es una función par cuando f (x) es un polinomio que sólo tiene potencias pares en

x, además es representada por una gráfica simétrica con respecto al eje de las

ordenadas, análogamente si es impar f (x) es un polinomio que sólo tiene potencias

impares en x y la representación es una gráfica que es simétrica con respecto al

origen.


Segunda definición de función en Swokowski

36

Una función con dominio en X es un conjunto W de pares ordenados tales que para

cada x en X, existe un único par ordenado (x, y) en W con x como primer elemento

del par.


El concepto de función ahora es tratado como pares ordenados, es decir “en pares distintos no se

repite el primer elemento”.

Ejercicios propuestos. Los ejercicios abordan las siguientes características: evaluar funciones para

puntos específicos, simplificaciones de expresiones algebraicas, sustituciones, cálculo del dominio

de la función, resolución de desigualdades (no se explica), determinación de paridad de

funciones, despejes, conversión de lenguaje cotidiano a lenguaje algebraico.

Gráfica de una función.

Podemos emplear la gráfica de una función f para analizar el comportamiento de

f (x) cuando los valores de x del dominio varían. La gráfica de una función f se

define como el conjunto de todos los puntos (x, f (x)), en el plano coordenado con x

en el dominio de f. Esto equivale a decir que la gráfica de f es la misma que la de la

ecuación y = f (x).


La gráfica de una función nos proporciona valiosa información, que se puede emplear para

analizar el comportamiento de algún fenómeno particular (huracanes, sismos, tornados,

degradación de una sustancia radioactiva, incremento de una población, etc.). Sustituye la

notación f por y = f (x), es decir la función es tratada como una ecuación y como un conjunto de

pares ordenados (x, f (x)), es decir como una tabulación.

Definiciones de funciones lineales y tipo de funciones

37

I) f es creciente en S si f (x1) < f (x2), siempre que x1 y x2 estén en S y x1 < x2

II) f es decreciente en S si f (x1) > f (x2), siempre que x1 y x2 estén en S y x1 < x2

III) f es constante en S si f (x1) = f (x2) para toda x1, x2


Teorema de simetría

1.- La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje y.

2.- La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen.


Funciones lineales

Definición. - f es una función lineal si f(x)= ax + b donde a y b son reales y a ≠ 0

La función se define como una ecuación, donde el exponente máximo de la

variable es uno, y con las restricciones a y b Ì R, y a ≠ 0


Definición: Sea L una recta no paralela al eje y: P1 (x1,y1), P2 (x2,y2) dos puntos

diferentes de L la pendiente m de L se define 𝑚 = 5:6578:687

, si L es paralela al eje y, su

pendiente no está definida.


Introduce el concepto de pendiente, utilizada precisamente para definir el concepto de línea,

como lugar geométrico.

Teoremas:

I.- La gráfica de una ecuación x=a es una recta vertical cuya intersección con el eje

x es a.

38

II.- La gráfica de la ecuación y = b es una recta horizontal, cuya intersección con el

eje y es b


Se refiere a rectas con características especiales, ya que, si por ejemplo se iguala a cero tanto x

como y, estas rectas nos estarán representado las ecuaciones del eje de las x y el eje de las y,

donde la segunda no representa función, es una relación, la primera es una función constante.

Ecuación de la recta dados un punto y su pendiente

La ecuación de una recta con pendiente m que pasa por un punto

P1 (x1, y1) es y - y1 = m (x –x1).


Si tenemos un punto por donde pasa una recta y su pendiente, entonces estas dos condiciones

son suficientes para calcular la ecuación de la recta, otras condiciones suficientes para hallar la

ecuación de una recta son dadas su pendiente y su ordenada al origen.

El desplazamiento de una gráfica, en el caso de una recta, cuando es creciente sigue siendo

creciente aun cuando sufra un desplazamiento.

Figura x

39

Desplazamientos verticales con c>0

Figura x

Cambia la gráfica, pero no el dominio y el rango, solo cambian los intervalos de crecimiento y

decrecimiento. Por ello para lograr una transformación es necesario el aplicar un

desplazamiento, ya sea de manera horizontal f (x) a f (x-c) y/o de forma vertical de f (x) a f (x)-c,

una herramienta de mucha utilidad, para el logro de una visualización de una función.


Es para Lehmann, la transformación un artificio para ayudar a entender las gráficas de

una función y sus cambios, es decir, es una herramienta en la visualización:

DEFINICIÓN: transformación es una operación por la cual una relación, expresión o figura se cambia en otra siguiendo una ley dada. La operación de mover 1os ejes coordenados en el plano coordenado a una posición diferente, de manera que1os nuevos ejes sean , respectivamente , paralelos a 1os ejes primitivos, y dirigidos en cl mismo sentido, se llama traslación de 1os ejes coordenados . Por ello, para poder lograr una transformación, será necesaria una traslación en donde los puntos (x, y), sufrían un cambio y ahora serán (x´, y´)

40

Figura x

Lhemann (1994); p. 133

Análisis didáctico del libro Álgebra de Lehmann

Esta obra es una de las más utilizadas por estudiantes y profesores del nivel medio superior como

material de consulta y resolución de ejercicios. El estudio de la función lineal se encuentra en el

capítulo IV, aunque la presentación del concepto de función se encuentra en el capítulo III. El

libro de Lehmann se encuentran organizado de la siguiente manera:

Capítulo I Conceptos fundamentales.

Capítulo II Operaciones algebraicas.

Capítulo III Concepto de función.

Capítulo IV Función lineal.

Capítulo V Función cuadrática.

Capítulo VI Desigualdades e inecuaciones.

Capítulo VII Inducción matemática teorema del binomio.

Capítulo VIII Números complejos.

Capítulo IX Variación de funciones.

Capítulo X Progresiones.

Capítulo XI Teoría de ecuaciones.

Capítulo XII Fracciones parciales.

41

Capítulo XIII Permutaciones y combinaciones.

Capítulo XIV Probabilidad.

Capítulo XV Determinantes.

Capítulo XVI Logaritmos.

Capítulo XVII Interés y anualidades.

El estudio de la función lineal y de las funciones en general tiene como antecedentes: el manejo

de las 6 operaciones elementales, adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación, y

radicación, operaciones algebraicas, productos notables, factorización, mínimo común múltiplo,

exponentes y radicales.

Concepto de función

Si dos variables x y y están relacionadas de tal modo que para cada valor admisible

de x (dentro del dominio), le corresponde uno o más valores de y, se dice que y es

función de x.

En el capítulo III, además de definir a la función, Lehmann explica los tipos de funciones,

notación y posteriormente presenta una serie de ejercicios relativos a la dependencia.

Argumento sobre lo geométrico

Definición 1. El conjunto de todos los puntos, y solo ellos cuyas coordenadas

satisfacen la ecuación y = f (x) se llama lugar geométrico o gráfica de la ecuación

Definición 2. Todo punto cuyas coordenadas satisfacen la ecuación y=f (x) se dice

que pertenecen al lugar geométrico.

Lhemann (1994); p. 68

42

La explicación pone de manifiesto la importancia del concepto de lugar geométrico, este

concepto establece cómo están formadas las curvas en general, cuál es su comportamiento, su

dominio, rango, simetrías, intersección con los ejes, intervalos donde es creciente, decreciente.

Además, establece la relación entre la tabulación y la gráfica, tal como lo podemos observar en la

siguiente figura, donde se muestra la gráfica de la función 2x+5

Figura x.

Cada uno de los pares ordenados mostrados en la tabla se encuentran ubicados en la gráfica, por

lo tanto, podemos decir que estos puntos pertenecen al lugar geométrico que en este caso es una

recta. Las definiciones escritas por el autor nos dan un acercamiento a los dos problemas

fundamentales de la geometría analítica.

Argumento sobre lo analítico

El autor muestra cómo resolver ecuaciones utilizando el método de las trasformaciones aplicable

a ecuaciones equivalentes:

Consideremos la expresión

f (x)=0 (1)

y g(x), si se suman a ambos miembros de 1 obteniéndose, por la propiedad aditiva

de la igualdad la ecuación

43

f (x) + g (x)= g (x) (3)

sea r una raíz de 1, de modo que f (r)º 0, sustituyendo r en lugar de x en 3.

Obteniéndose la identidad 0+g (r) º g(r), lo que significa que r es una raíz de 3.

Recíprocamente, sea s una raíz de 3, se obtiene la identidad f (s)+ g(s) º g (s), por la

propiedad sustractiva de la igualdad tenemos la identidad f (s) º 0, lo que significa

que s es también una raíz de 1. Por lo tanto, las ecuaciones 1 y 3 son equivalentes

Lhemann (1994); p. 84

En la resolución de ecuaciones de primer grado con una variable x, la podemos representar como

f (x)=0, el método general para la resolución, consiste en transformar f (x)=0 en F (x) =0, esto es

cierto si y solo si f (x)=0, F (x) tengan las mismas raíces.

Argumento sobre lo algebraico

Este análisis describe relaciones numéricas con literales y cortantes, por ejemplo. Trazar la gráfica

de la función y = x3 - 8x2+15 x

Figura x.

44

Aquí intervienen 3 formas distintas, ligadas, para representar un mismo objeto matemático donde

la relación que tiene x con y está regida por la expresión algebraica y = x3 - 8x2+15 x

Argumento Geométrico- Analítico

Analizar la naturaleza de la solución del sistema

x - 2y = 4 (1)

2x-4y = -3 (2)

y comprobar el resultado gráficamente. Si intentamos eliminar cualquiera de las dos

variables resulta que la otra variable también se elimina. Cuando ocurre esto el

sistema debe de analizarse con más detalle. Así si multiplicamos la ecuación 1 por 2

obtenemos la ecuación equivalente 2x - 4y = 8, la cual, sin embargo, contradice a la

segunda ecuación del sistema por tanto el sistema es incompatible, es decir no tiene

solución, las gráficas de las dos ecuaciones dadas muestran que se trata de 2 rectas

paralelas, es decir que no tienen ningún punto en común, esta es la comprobación

geométrica que no hay solución para el sistema dado.

Lhemann (1994); p. 96

Figura x.

A través del método gráfico se puede observar el comportamiento gráfico del sistema ecuaciones

y se puede reconocer la naturaleza del sistema. También es posible analizar aspectos como la

45

variación de los coeficientes y su efecto en las rectas que se generan, analizar la pendiente de las

rectas, entre otros.

El concepto de función que señala Lehmann enfatiza la relación entre variables y esto podría

generar alguna confusión, sin embargo, es importante reconocer que la función es básicamente

un tipo de relación que se puede expresar en diferentes formas; como tabla, como gráfica, como

expresión algebraica.

Si dos variables x, y están relacionadas de tal modo que para cada valor admisible

de x (dentro de su dominio) le corresponde uno o más valores de y se dice que y es

una función de x.

Lhemann (1994), p. 68

El concepto de función se presenta como una relación entre variables, por ejemplo, la relación

y = 2x +5 nos expresa que para cada valor que se asigne a x queda determinado un valor

correspondiente de y.

x 0 1 2 -1 -2 -3 y 5 7 9 3 1 -1

El autor pone de manifiesto que las funciones son relaciones y lo ejemplifica a través de una tabla

de valores. Cabe señalar que el autor está utilizando 2 formas distintas para referirse al mismo

concepto: por medio de una ecuación y por medio de una tabulación.

Ejercicios propuestos

El péndulo de oscilación T de un péndulo de longitud L está dado por la fórmula

𝑇 = 2𝜋 =>, g es la aceleración constante debido a la gravedad. Expresar L como

función de T

Si f (x) = x4 - 5x2 + 4 calcular f (1), f (-1), f (2), f (-2)

Lhemann (1994); p. 71

46

El primer ejercicio se concibe a la función como una fórmula. En el segundo ejercicio se

vislumbra una parte de la definición de función (pares ordenados).

Representación gráfica de funciones

Esté método tiene la ventaja de que proporciona visualmente un diagrama del

comportamiento de una función dada una variable. Muchos fenómenos de nuestro

entorno pueden ser modelados como un comportamiento de una función lineal,

esto permite entre otras cosas: predecir, simular algún fenómeno.

Definición: El conjunto de todos los puntos y sólo ellos cuyas coordenadas satisfacen

la ecuación, se llama lugar geométrico (L)

Definición: Todo punto cuyas coordenadas satisfacen la ecuación se dice que

pertenecen al lugar geométrico (L)

Lhemann (1994); p.79

Las definiciones dan un pequeño acercamiento a las definiciones de los 2 problemas

fundamentales de la geometría analítica “dada la gráfica construir su ecuación, dada su ecuación

construir su gráfica”.

Función lineal

La función racional entera de x de grado está dada por la expresión: a0 x n + a1 x n-1+

a2 x n-2+….+ an-1 x +an con a0 ¹ 0, donde n es un número entero y positivo y a0,

a1,…. an son constantes cualesquiera siendo a0 ¹ 0.

Lhemann (1994); p. 81

Dada la definición formal de una función racional de grado x, especifica cuáles son las

condiciones para que dicha función sea lineal o de primer grado, dadas las condiciones escribe la

definición formal de función lineal a0x + a1

47

Ecuación idéntica o identidad. Es una igualdad en la cual ambos miembros son iguales, para

todos los valores de las variables para los cuales están definidos los miembros.

(a-b)2 º a2 -2ab +b2 (1)

8

86/≡ 1 + /

86/ (2)

Lhemann (1994); p. 82

En la expresión 1 se satisface para cualquier valor a, b. En la expresión 2 se satisface para

cualquier número real excepto el 1, aquí se pone de manifiesto la importancia del dominio de una

función.

Ecuación condicional, o simplemente ecuación. Una ecuación es una igualdad en la cual ambos

miembros son iguales solamente para ciertos valores particulares de las variables. Ejemplos

X2 – 5x + 4 = 0 (1)

x + y = 5 (2)

Lhemann (1994); p.82

En la ecuación 1 solo se satisface para cuando x=-4 y -1, en la ecuación número 2 tiene un

número infinito de soluciones.

En este tipo de ecuaciones se da el argumento analítico para la solución de ecuaciones.

Una ecuación se reduce a una identidad para ciertos valores particulares asignados

a las variables, entonces se dice que la ecuación se satisface para dichos valores.

48

Lhemann (1994); pág.82

Tipos de problemas en ambos libros

Swokowski concibe a la función como una correspondencia entre dos conjuntos y partir de ahí, lo

asocia con diversos fenómenos que suceden en nuestro entorno.

A cada libro le corresponde un número de páginas.

A cada Hombre una fecha de cumpleaños.

Si se mide la temperatura ambiental durante un día, entonces, a cada instante le

corresponde una temperatura

Swokowski (1980), pág.116

Después de estos ejemplos introduce la definición formal del concepto de función.

Los primeros ejercicios tienen que ver con planteamientos como: dada una expresión algebraica

ya sea en forma explícita o implícita escribirla en términos de todas las variables que existan, por

ejemplo, en la fórmula F = m a podemos observar que la fuerza está en función de la masa y la

aceleración, entonces se pide que se exprese la masa como función de la fuerza y la aceleración, o

escribir la aceleración como función de la masa y la fuerza.

La siguiente parte de los problemas se refieren al cálculo del dominio de la variable

independiente, en esta parte el alumno hará uso de la solución de ecuaciones y desigualdades.

La última parte de los problemas son semejantes a los de la primera parte, sólo que en este caso

los problemas que se presenta están escritos en el lenguaje común, entonces el estudiante tiene

que traducir el problema a un lenguaje algebraico, posteriormente despeja la variable que se le

solicita. Ejemplo:

De una pieza rectangular de cartulina de 20 x 30 pulgadas, se construye una caja

abierta, cortando de las esquinas, cuadrados iguales de área x2 y doblando hacia

49

arriba la cartulina para formar las caras laterales. Exprese el volumen v de la caja

en función de x


Lehmann por su parte, utiliza ejercicios de dos tipos: de manipulación algebraica, por ejemplo,

en la fórmula para calcular el volumen de un cono circular recto 𝑣 = /4𝜋𝑟Bℎ, se pide expresar el

radio como función de v y h, en esta primera parte el alumno hace uso de los despejes de

fórmulas.

El otro tipo de ejercicios es de análisis de funciones, por ejemplo, dada una función se pide

evaluarla para un valor determinado:

Si f (x) = x2 – x + 1, calcular f (1), f (-2) y f (B4) en esta parte el alumno emplea la sustitución y aplica

operaciones para determinar valores puntuales sobre la curva.

Notas finales

Esta revisión tuvo por objetivo analizar los aspectos conceptuales de la función considerando a la

matemática misma como objeto de estudio. El propósito fue discutir los significados en diferentes

situaciones matemáticas, presentes en los libros de texto, y de esta forma explicar lo que autor

“entiende” por cierto concepto matemático y el uso que se le da a éste.

50

Capítulo IV: Desarrollo de una propuesta

La función es uno de los conceptos más importantes de la matemática del nivel medio superior,

ya que sirve de base para el estudio de gran parte de la matemática superior. En nuestro análisis

preliminar hemos mostrado que posee una enorme complejidad, ya que se trata de un concepto

matemático que tiene diversas formas de representación, algebraica, numérica, gráfica, y por otra

parte, admite diversas operaciones que modifican su naturaleza y tienen efectos en su

representación, por ejemplo, al multiplicar dos funciones lineales el resultado es una nueva

función, con una forma gráfica diferente a la lineal.

La visualización es otro aspecto que está presenten en el estudio de las funciones desde su

representación gráfica. Se trata de una compleja operación analítica que no se reduce a la

capacidad visual o al acto de ver, en un sentido más amplio la visualización es la habilidad para

representar, transformar, generar, comunicar, documentar y reflejar información visual en el

pensamiento del que aprende. Esta capacidad del pensamiento es sumamente importante para

realizar el trabajo con las gráficas, ya que la visualización articula diferente tipo de información,

tanto gráfica, simbólica, numérica.

Por otra parte, se consideró emplear el programa geogebra, dada su capacidad para manipular

dinámicamente objetos matemáticos, representar datos numéricos en tablas, presentar gráficas,

hacer ajuste de curvas mediante distintos modelos de regresión, realizar operaciones simbólicas

sobre las funciones generadas, hacer conversión de una representación a otra, entre muchas otras

operaciones. Esto permite estudiar un problema matemático desde distintos puntos de vista y

representaciones de manera articulada, contribuyendo a establecer nuevas relaciones entre

representaciones en juego y una mayor organización conceptual de los objetos matemáticos.

Para la formulación de la propuesta didáctica se tomarán los siguientes aspectos previamente

analizados a) transformaciones gráficas, b) la visualización, c) el uso del geogebra y d) el tránsito

entre diferentes representaciones del concepto de función.

51

Respecto a las “transformaciones”, se trata de operaciones sobre funciones que nos permiten

establecer un vínculo entre las distintas representaciones de una función. El geogebra sirve como

herramienta de graficación pues nos ayuda a realizar comparaciones y predecir formas gráficas

de forma instantánea, por ejemplo, dada la función f (x) = mx + b, los parámetros a modificar son

el valor de la pendiente (m) y el valor de la ordenada al origen (b).

El tipo de problemas que se puede resolver utilizando el método de las transformaciones es muy

variados, por ejemplo, dada la siguiente gráfica:

Figura x.

a) Calcular el valor de la pendiente m

b) Calcular el valor del cruce con el eje y

c) Escribir la representación algebraica

El método de las transformaciones nos permite observar los cambios que sufre una gráfica

cuando son modificados los parámetros. En nuestro ejemplo, m y b en la función de la forma f

(x)= mx +b.

Para resolver el problema propuesto tomaremos como punto de partida la función lineal llamada

identidad f (x) = x, aquí observamos varias situaciones, por ejemplo, el valor de la pendiente es

igual a 1, el valor de b (ordenada al origen) es igual a cero. Si modificamos el valor de la

pendiente y elegimos un valor más grande obtenemos una recta más inclinada, en caso contrario

la recta tendrá una inclinación menor a la identidad.

52

En relación al tema de la visualización, podemos señalar que se ha convertido en un argumento

importante para el estudio de las matemáticas que está asociado con la disponibilidad tecnológica

para representar imágenes de conceptos matemáticos. Esta habilidad está asociada con la

capacidad para identificar regularidades y características de los objetos, así como extraer

información matemática a partir de representaciones gráficas.

Y en relación a la parte tecnológica, se utilizará el software geogebra que tiene la capacidad de

manipular dinámicamente objetos matemáticos geométricos, representar datos numéricos en

tablas y numéricamente, hacer ajustes de curvas mediante distintos modelos de regresión, realizar

operaciones simbólicas sobre las funciones generadas, hacer conversión de una representación a

otra y comparar resultados, entre otras muchas capacidades. Este programa también tendrá la

función de ayudar a los estudiantes a comprobar resultados.

Y en la intersección de los tres elementos anteriores, ubicamos el argumento de “transito entre

diferentes representaciones” de la función lineal. Esto significa que las tareas matemáticas tienen

la intención de motivar el tránsito de información entre las diferentes representaciones del

concepto de función.

Desarrollo de la propuesta didáctica

Para el diseño de las actividades se consideró la función de la forma f (x) = mx + b como referente

para inicia un análisis sobre el valor de la pendiente y las características de su forma gráfica. Por

ejemplo, dada la gráfica de una recta determinar si la pendiente es positiva, negativa o nula, se le

pregunta al estudiante ¿cómo es el valor de la pendiente?, determina el valor el parámetro b,

bosqueja la gráfica correspondiente sin tabulación. Estas actividades están orientadas a que el

estudiante realice bosquejos de gráficas de funciones con la forma f (x)= ± km ± c, sin pasar por la

tabulación.

Los primeros dos cuestionamientos abordan la noción de pendiente. La segunda pregunta se

refiere al uso de estrategias para ubicar los lugares por los que pasa la gráfica de una función. Se

53

espera por ejemplo, que un estudiante pueda identificar el termino independiente en la función f

(x)= mx + b, posteriormente esa información puede usarse como punto de partida para la

construcción de la gráfica correspondiente y finalmente también sirve de apoyo para la

construcción de la ecuación de la recta. Este trabajo matemático propone que el estudiante no

utilice la tabulación para determinar la gráfica de la función, sino que utilice otro tipo de

argumentos para definir el trazo.

Para estudiar el concepto de pendiente en las funciones lineales, en principio, el estudiante puede

utilizar las ideas del sentido común asociados a este concepto y después reconocer la característica

de “inclinación” sobre la recta, es decir, darle un sentido analítico a lo que representa. Para

referirnos a la pendiente de una recta, empleamos un número que indica su grado de inclinación

el cual puede ser cualquier número real y lo denotaremos con la letra m, considerando esto,

definimos pendiente es nula a una recta horizontal, es decir m = 0

Figura x.

Para hacer una aproximación del valor de la pendiente tomaremos como referencia una recta

con pendiente 1, que corresponde con la función f (x)= x, a medida que se incrementa el valor, la

gráfica se hace cada vez más inclinada hasta el supuesto m = a donde se tendría una recta

vertical.

54

El parámetro b se le da el nombre de “ordenada al origen” y representa gráficamente la distancia

del origen al cruce de la recta con el eje y, por ejemplo tenemos diferentes valores para b,

respectivamente en las siguientes figuras.

Figura x. La hacer variar los parámetros m y b, el estudiante puede asociar la expresión simbólica con su

respectiva gráfica y esto le puede permitir formular algunas predicciones, por ejemplo para el

caso de b=0, ¿qué posición toma la gráfica?, si b es muy grande ¿cómo cambia la inclinación de la

recta?, entre muchas otras. Además, en este escenario el estudiante emplea la “visualización”

como recurso para explicar ciertos comportamientos gráficos, formas, relaciones con el plano, y

también como medio predictivo, al anticipar las formas de las gráficas.

A partir de las actividades realizadas, se espera que el alumno elabore sus propias conclusiones,

por ejemplo, al relacionar la medida angular con la pendiente positiva, al identifica la inclinación

de la recta con el signo positivo o negativo. En toda la situación el profesor fungirá como un guía,

y podrá añadir algunas preguntas que convenga, por ejemplo:

a) ¿Qué relación existe entre la pendiente y el ángulo de inclinación?

b) ¿Cómo identificamos en una recta si la pendiente es positiva o negativa?

c) ¿Cuánto debe de medir el ángulo de inclinación de la recta para que la pendiente sea

considerada positiva o negativa?

Actividades a desarrollar

55

Es segunda se presentan las actividades que integran la secuencia. Está divida en 5 bloques, que a

continuación describimos.

Actividad 1 Dadas la descripción del tipo de pendiente de rectas dibujar cada una de ellas.

a) Pendiente negativa que pase por el I cuadrante b) Pendiente negativa que pase por el III cuadrante c) Pendiente positiva y que pase por el origen d) Pendiente cero, paralela al eje de las x y por el origen e) Líneas una con pendiente negativa y otra con pendiente positiva y que se crucen en el

IV cuadrante Las preguntas giran en torno a la pendiente, se pretende que el estudiante utilice la información y la aplique a los diferentes casos. Actividad 2 II.-Instrucciones: Dadas las siguientes graficas decida si el valor de m (pendiente) es positiva, negativa o cero. Además, si el valor de b (ordenada al origen) es positiva, negativa o cero

m.______ b_____ m ____ b____ m____ b____

m.______ b_____ m ____ b____ m____ b____

56

m.______ b_____ m ____ b____ m____ b____

m.______ b_____ m ____ b____ m____ b____

Estas graficas plantean al estudiante diferentes casos de pendiente y ordenada al origen, la

matemática utilizada en esta parte sigue siendo esencialmente el método de las transformaciones

y la visualización.

Actividad 3 Dadas las siguientes, funciones bosquejar cada una de ellas sin tabulación

a) y=-x b) y=2x c) y=1/2x d) y=x+1 e) y=x-10 f) y=4x+5

En este planteamiento se pretende observar cómo emplean la información de la pendiente y la

ordenada al origen para establecer la gráfica.

57

Actividad 4 Dadas las siguientes ecuaciones construir un bosquejo de la representación gráfica, sin tabulación.

a) 5x -3y-2=0 b) -4x-5y-1=0

Esta actividad está encaminada a observar cómo el estudiante realiza los procesos algebraicos y

resolución de ecuaciones, ya que las ecuaciones sugeridas están en la forma general es decir de la

forma Ax + By + C = 0 y se tiene que pasar la forma f (x) = mx + b, ya que ésta es la forma

sugerida en la exposición anterior y es la que se utiliza frecuentemente. Observaremos si logran

formular su gráfica, el dominio del coeficiente de la pendiente y su signo, además observar si la

traslación sobre el eje de las ordenadas es correcta.

Actividad 5 Completar la siguiente tabla

Valor de la pendiente

Representación Cruce con el eje y

Representación algebraica


m=0 b= -2 f(x) =-2

m=1 b=-1 f(x) = x-1

m= b=0 f (x)=

En esta última parte se plantea una intersección de las actividades mostradas anteriormente por

ejemplo en la primera parte, se proporciona la expresión algebraica y se pide calcular la

58

pendiente, la ordenada al origen y realizar la gráfica correspondiente, en la segunda parte se

proporciona la gráfica y se pide calcular el valor de la pendiente, la ordenada al origen y la

expresión algebraica que representa. Queremos observar cómo transita por diferentes

representaciones el alumno.

Notas finales

Cuando se incorpora una tecnología a una clase de matemáticas como un recurso didáctico,

sabemos de antemano que no se resolverán los típicos problemas de la enseñanza y el aprendizaje

de las matemáticas, pero estos dispositivos tecnológicos brindan oportunidades para explorar,

conjeturar, analizar y verificar ideas.

Esta secuencia es innovadora, no sólo por el uso de la tecnología computacional, sino porque se

trata de actividades que usualmente no encontramos en los libros de texto. En los libros podemos

observar típicos problemas donde se proporciona la expresión algebraica para que se construya la

gráfica correspondiente y rara vez se proporciona la gráfica para construir la expresión algebraica

que la genero. También, se proporcionan métodos alternativos para el trazado de gráficas, a

través de un análisis matemático de las relaciones algebraicas y empleando otros referentes como

el método de las transformaciones, el uso de software especializado, la posibilidad de articular el

tránsito entre diferentes representaciones, entre otros. Un aspecto importante es que se deja de

lado la tabulación para la construcción de gráficas.

En las actividades se puede observar que el argumento de la visualización sustenta de método de

las transformaciones, pues una vez efectuada la trasformación, la visualización es el referente para

realizar un análisis de las relaciones gráficas. Hay que considerar que la visualización no sólo es

acto de ver formas, sino que es una habilidad para representar, transformar, generar, comunicar,

documentar y reflejar información visual en el pensamiento del que aprende. Así mismo, el uso

del software matemático para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas es de gran

trascendencia ya provee de múltiples representaciones tales como la algebraica, tabular y gráfica,

si a esto se le agrega la capacidad dinámica de los objetos matemáticos, encontramos que el

59

programa satisface las expectativas para poder ser considerado como una herramienta auxiliar en

el proceso enseñanza aprendizaje de las matemáticas.

Por último, es importante destacar la relevancia de transitar entre diferentes representaciones, ya

que esto permite que los alumnos puedan abordar el estudio de la función lineal desde diferentes

referentes matemáticos.

60

Capítulo V: Implementación y análisis de resultados

La situación didáctica fue implementada con estudiantes de sexto semestre del CECyT 14 del

IPN, pero para el análisis de los resultados sólo se tomaron en cuenta 3 alumnos, elegidos de

forma aleatoria.

A continuación, se describe la secuencia del trabajo que se utilizó para realizar las actividades.

1. Un alumno elegido al azar pasa a resolver la primera pregunta en el pizarrón

2. Los demás estudiantes resuelven el mismo planteamiento en su cuaderno. El profesor

verifica que el trabajo se desarrolle de forma individual.

3. El profesor utiliza el Geogebra para obtener una gráfica que se ajuste a las condiciones

iniciales, haciendo hincapié en el tipo de inclinación que debe tener la recta y la región del

plano por donde debe pasar.

4. El estudiante que pasó a resolver el ejercicio en el pizarrón rectifica su resultado con el que

muestra el profesor.

Las funciones específicas del Geogebra en la situación didáctica son las siguientes:

1. Por medio del Geogebra el estudiante se da cuenta si el bosquejo corresponde a las

condiciones dadas por el profesor.

2. Las exploraciones gráficas pueden orientar a identificar las condiciones dadas en la

situación.

3. La animación en Geogebra muestra un ambiente interactivo

La función del profesor durante la implementación de la situación fue sólo de guía. Sólo indicó

las instrucciones y las condiciones de cada actividad. Se mantuvo a la espera de que los

estudiantes realizaran las actividades. El profesor sólo intervino en algunos casos donde los

estudiantes mostraban ciertas dificultades para realizar la actividad. Están intervenciones fueron

muy esporádicas.

61

La situación didáctica está conformada por 5 grupos de preguntas con un total de 28 problemas.

El primer grupo trata de la relación que existe entre la pendiente y su representación gráfica, la

segunda parte se agregan dos nuevos elementos, el primero es el valor de la ordenada al origen y

el segundo una representación gráfica donde el estudiante tiene que identificar si la pendiente es

positiva, negativa o cero, lo mismo para el valor de la ordenada al origen. El tercer grupo hace

alusión al tránsito entre la representación algebraico al gráfico sin el uso de la tabulación. En el

último grupo se consideran puntos de referencia de la función lineal: la pendiente, la ordenada al

origen, la expresión algebraica de una función lineal, la gráfica de x.

Análisis

A continuación, se presentan las respuestas generadas por los alumnos Miguel, Jesús e Isabel. Se

agregan comentarios relativos a las respuestas de los alumnos. Algunas respuestas no contienen

observaciones debido a que los estudiantes resolvieron correctamente los cuestionamientos.

Actividad 1

Dadas la descripción del tipo de pendiente de rectas dibujar cada una de ellas.

Pregunta 1

Pendiente negativa y que pase por el cuadrante I

Miguel Jesús Isabel

La inclinación es correcta, pero

no sabe ubicar los cuadrantes

del plano.

62

Pregunta 3

Pendiente positiva y que pase por el origen.


Pregunta 4

Pendiente cero, paralela al eje de las x


63

Pregunta 5

Dos rectas una con pendiente negativa y otra con pendiente positiva que se corten el IV

cuadrante.


En las actividades realizadas podemos observar que los estudiantes logran identificar la forma y

posición de la pendiente cuando esta es positiva, negativa y cero.

Actividad 2

Instrucciones: Dadas las siguientes graficas decida si el valor de m (pendiente) es positiva, negativa

o cero. Además, si el valor de b (ordenada al origen) es positiva, negativa o cero

Pregunta 6


m=0

b=+

m=+

b=+

m=0

b=0

Esta relacionando el signo de la

pendiente con la parte positiva

del eje y

No hay una identificación sobre

el significado del valor de la

ordenada al origen

64

Pregunta 7


m=-

b=-

m=-

b=+

m=-

b=-

El signo de la pendiente si lo

puede interpretar con la

gráfica, existe problemas con la

interpretación de la ordenada

al origen.

Pregunta 8


m=0

b=0

m=0

b=0

m=0

b=0

65

Pregunta 9


m=-

b=0

m=-

b=0

m=-

b=0

Pregunta 10


m=+

b=+

m=+

b=-

m=+

b=+

Problema con la interpretación

del valor de la ordenada al

origen con el eje x

66

Pregunta 11


m=+

b=-

m=+

b=-

m=+

b=+

La intersección de la recta con

el eje x se toma como el valor

para b

Pregunta 12


m=+

b=0

m=+

b=0

m=+

b=0

67

Pregunta 13


m=-

b=0

m=-

b=0

m=-

b=0

Pregunta 14


m=-

b=0

m=-

b=0

m=-

b=0

68

Pregunta 15


m=+

b=-

m=+

b=-

m=+

b=+

Confusión en las intersecciones

con los ejes

Pregunta 16


m=-

b=+

m=-

b=+

m=-

b=-

Se le da el mismo signo, tanto a

la pendiente como a la

ordenada al origen

69

Pregunta 17


m=-

b=+

m=-

b=+

m=-

b=-

Se le da el mismo signo, tanto a

la pendiente como a la

ordenada al origen

Los tres estudiantes pueden relacionar el valor de la pendiente con su representación gráfica, ya

que en los resultados obtenidos se ha observado que, en los tres casos, el valor de la pendiente

(positivo, negativo y cero), han sido identificados sin ninguna dificultad.

Actividad III

Instrucciones: dadas las siguientes funciones bosquejar cada una de ellas sin tabulación

70

Pregunta 18

y = -x


Se observa que tanto el valor de

la pendiente como la ordenada

al origen están mal ubicadas, tal

vez de deba al signo de la

pendiente, para que la recta

cruce el eje x negativa

71

Pregunta 19

y= 2x


El signo de la pendiente

corresponde con la gráfica,

hay confusión en el cruce

con el eje y, ya que

considera al 2 como el cruce

con el eje x, tal vez se deba a

que el 2 aparece junto a la x.

El signo de la pendiente

corresponde con la gráfica, hay

confusión en el cruce con el eje

y, ya que considera al 2 como el

cruce con el eje x, tal vez se

deba a que el 2 aparece junto a

la x.

El signo de la pendiente si


pero no corresponde la

inclinación, aquí volvemos a

observar el mismo error, al

considerar al 2 como cruce con

el eje x.

72

Pregunta 20

y= 1/2x


La inclinación de la recta da

una buena aproximación

con la expresión algebraica.

La inclinación de la recta da una

buena aproximación con la

expresión algebraica.

Pregunta 21

y= x+1


El signo de la pendiente si


pero existe confusión con

definir la intersección con el

eje y, considera 1 como la

intersección con el eje x

La pendiente si corresponde,

con la gráfica en este caso no

ha considerado el valor de la

ordenada al origen, sigue

considerándola cero

La pendiente si corresponde con la

gráfica en este caso no ha

considerado el valor de la

ordenada al origen, sigue

considerándola cero

73

Pregunta 22

y= x-10


La intersección con el eje y si

corresponde, pero tiene

problemas con el signo de la

pendiente

El signo de la pendiente es

correcto, aquí podemos observar la

misma confusión al considerar al -

10, como la intersección con el eje

x

Pregunta 23

y= -5x+5


No considera el valor de la

pendiente, a pesar de que el

estudiante usa y = -x como

referencia.

No construyó ninguna

gráfica

No considera el valor de la

pendiente, a pesar de que el

estudiante usa y = -x como

referencia.

En esta sección observamos que se tiende a confundir el signo de la ordenada al origen con el de

la pendiente. También notamos que a medida que se va aumentando el valor de los parámetros

74

de la función lineal de la forma y = mx + b los estudiantes presentan más problema para el

trazado de las gráficas, a pesar de que tienen una correcta interpretación grafica de una

pendiente negativa. Otro aspecto importante es que los estudiantes usan función identidad como

gráfica de referencia.

Actividad 4

Instrucciones: Dadas las siguientes ecuaciones construir un bosquejo de la representación gráfica

de cada una de ellas.

Pregunta 24

5x-3y-2 = 0


Al escribir la función lineal

en su forma general el

estudiante tendrá que

convertir esta expresión a la

forma y=mx+b, y en esta

conversión se ha observado

que los tienen dificultades

en el manejo algebraico

Estas dificultades se observan

en este alumno

Estas dificultades se observan en

este alumno

75

Pregunta 25

-4x-5y-1=0


Se observaron las mismas

dificultades algebraicas que

en el ejercicio anterior

Se observaron las mismas

dificultades algebraicas que en el

ejercicio anterior

Podemos observar que en la pregunta 24 y 25 las expresiones se dan en forma general, para que

el estudiante pueda identificar los parámetros m y b, tendrá que colocar la expresión en forma de

función de una variable y es precisamente en este despeje donde los estudiantes presentan

dificultades.

Actividad 5

Pregunta 26

Instrucciones: completar la siguiente tabla.

En las dos primeras actividades se dan como datos iniciales la expresión algebraica, y en la última

se da como dato inicial la gráfica. A continuación, se presenta la gráfica que presenta el

estudiante y los valores correspondientes a esa gráfica.

76

Estudiante Pendiente Cruce con y Forma función Gráfica

Miguel

m=-

b=0

f(x)=-x

La gráfica resultante no es la solicitada en el planteamiento, al estudiante le cuesta trabajo

concebir la existencia de graficas de la forma y =± k


Jesús

m=0

b=0

f(x)=-2

Todos los elementos están ubicados correctamente.


Isabel

m=-

b=0

f (x)=-2x

77

La gráfica resultante no es la señalada en el planteamiento. Al estudiante le cuesta trabajo

concebir la existencia de graficas de la forma y=± k, aquí observamos un dato interesante

referente a la función identidad, como referencia

Pregunta 27


Miguel

m=-

b=-1

f (x)= x-1

El signo de la pendiente es incorrecto, en este caso se hace uso de la función identidad


Jesús

m=-

b=-1

f (x)= x-1

El signo de la pendiente es incorrecto, la gráfica no es precisa.


Isabel

m=-

b=0

f (x)= x-1

El signo de la pendiente es incorrecto, la ordenada al origen es incorrecta. En este caso se hace

uso de la función identidad

78

Pregunta 28

Los tres estudiantes determinaron que m = +, b = 0 y la función f (x)= x

En las dos primeras actividades los estudiantes tenían la consigna de identificar los parámetros m

y b con la expresión algebraica y después representar la gráfica. En la pregunta 26 sólo un

estudiante pudo representar la gráfica correctamente, en la pregunta 27 ningún estudiante lo

logró. La pregunta 28 plantea obtener los valores m, b y la función, en esta pregunta los tres

estudiantes lograron responder correctamente.

Notas finales

La situación está integra por diversas preguntas que están articuladas y tiene un orden creciente

en el nivel de dificultad. La primera actividad que se refiere al trazado de rectas donde se da

como punto de partida las características de la pendiente y la ubicación de la recta en diferentes

puntos del plano cartesiano, encontramos que la representación de las rectas con pendientes

diferentes (positivas, negativas y cero) no presenta mayor obstáculo, esto se debe principalmente a

que el estudiante cuenta con una idea de la inclinación de una recta si “sube” es positiva o “baja”

es negativa.

En la segunda actividad se observó confusión al interpretar el valor de la ordenada al origen

como la intersección del eje x, este caso se presenta en las preguntas 11 y 16 realizadas por la

estudiante Isabel. Por otra parte, con base a las preguntas 18 al 23, se observa que al ir

aumentado los parámetros de la función lineal por ejemplo pasar de y = x, a y = 3x+5, y =1/2x -

4, el estudiante tiene ciertas dificultades para bosquejar las gráficas, dos estudiantes tratan de

resolver las dificultades apoyándose en dos graficas que ya conocen y que les sirven como

referencia que en este caso es y= x , y=-x, aquí observamos que el estudiante hace uso de dos

elementos importantes; el uso de conocimientos previos y el uso del método de las

transformaciones, ya que este método parte de dos expresiones (y=x, y=-x), para ir generando

otras funciones del mismo grado o grados mayores.

79

En las preguntas 24 y 25 se observaron problemas de tipo algebraico específicamente al realizar

despejes, ya que la expresión se presenta en forma de ecuación y se tiene que transformar a la

forma pendiente ordenada al origen para que el estudiante pueda identificar los parámetros m y b,

y pueda realizar el bosquejo de la gráfica correspondiente.

80

Capítulo VI: Conclusiones

Los alumnos tienen su acercamiento formal con el concepto de función a través del estudio de la

función lineal. Resulta importante que su experiencia con este tema sea significativa y le provea

de una base de conceptos que le ayuden continuar con el estudio de funciones más complejas.

Con esta idea se desarrolló una situación didáctica para el estudio de la función lineal donde se

consideró un problema inicial, el de la variación de parámetros, como fuente y oportunidad de

producir aprendizaje.

Esta situación tuvo la característica de enfrentar al estudiante a una serie de planteamientos que

no era posible resolverlos de forma directamente, y además, los planteamientos conducían al

menos a dos contextos de representación, en este caso algebraico y geométrico.

Para realizar el diseño y desarrollo de la situación, se siguió la metodología de la ingeniería

didáctica y se realizó un estudio didáctico de la matemática en los libros de texto, en particular se

analizaron los libros de Lehmann y Swokowski los cuales son ampliamente consultados por

estudiantes y profesores. Se pudo constantar en el análisis didáctico que los autores en repetidas

ocasiones dan por hecho que el estudiante ya cuenta con conocimientos previos que le servirán de

base para comprender los temas que el autor trata de transmitir, sin embargo, la conexión de

ideas y conceptos no siempre es directa.

En lo que se refiere al análisis epistemológico, se realizó un análisis de la forma en que se

introducen y establecen las definiciones de los conceptos matemáticos. Por ejemplo, en Lehmann

se observa que las definiciones emplean ampliamente el simbolismo y esto contrasta con los

señalamientos como el de Hitt (2002), que menciona que los estudios desarrollados sobre la

comprensión de funciones muestran que para la enseñanza media la definición más apropiada es

la que explícitamente se refiere a la variable.

Observamos también que Swokowski introduce el método de las transformaciones para el estudio

de las funciones, esto permite realizar un análisis de curvas por medio del bosquejo de gráficas,

que toma como base a las funciones lineales. Un aspecto importante que interviene es la

81

visualización, la cual favorece la reflexión, comparación, predicción, comunicación de ideas

matemáticas, comprensión de conceptos matemáticos, el tránsito entre diferentes

representaciones.

Por otra parte, la situación hace uso de los recursos tecnológicos, en particular de Geogebra cuya

función fue la de comprobación de resultados. El uso de esta tecnología permite el desarrollo de

un lenguaje gráfico a través de exploraciones en un ambiente dinámico, el uso de nuevas

tecnologías en el aula pueden ser de mucha ayuda para la comprensión de conceptos; pero, su

uso irreflexivo puede provocar mal entendidos y distorsiones que pueden alterar el aprendizaje, al

usar por ejemplo la calculadora no se debe confiar totalmente en los resultados , es usual cometer

errores al teclear o en algunos casos el problema puede provenir de la programación interna de la

calculadora.

El diseño de esta situación parte de la ecuación de la recta de la forma y = mx + b, se pide al

estudiante que determine el valor de la pendiente y la ordenada al origen y realice un bosquejo de

la misma, las tareas pueden ser resueltas a partir del diseño de actividades como por ejemplo el

bosquejo de expresiones de la forma y = mx, en donde el único parámetro es el valor de m. La

segunda actividad se diseñó tomando como base la primera actividad, a la cual se le agregaron

cuestionamientos relativos al parámetro b, en esta actividad se proporciona una serie de graficas

donde el estudiante identifica el valor de la pendiente y el de la ordenada al origen, como se trata

de bosquejo de graficas esta identificación es para los casos positivo, negativo o nula, esta

actividad tuvo como propósito hacer que el alumno transite de la representación gráfica a la

algebraica. (Hitt, 2002).

En la última actividad se proporciona como dato inicial la representación gráfica en donde el

estudiante identifica el valor de la pendiente, el valor de la ordenada al origen y se pide la

expresión algebraica que la generó, claro la expresión algebraica sólo es una aproximación, ya

que se trata sólo de bosquejos.

Podemos mencionar que cuando a la ecuación lineal se le añaden otras condiciones como es el

caso de pasar de la forma y=mx a la forma y=mx+b el estudiante confunde los signos de la

82

pendiente y la ordenada al origen o son intercambiadas las representaciones graficas de la

pendiente y la ordenada al origen.

Con la implementación de este diseño el estudiante puede extender el estudio de la función lineal

a los demás tipos de funciones como son las funciones cuadráticas, cúbicas, exponenciales,

trigonométricas ya que los métodos explicados son ajustados con relativa facilidad para el estudio

de otro tipo de funciones.

La metodología utilizada en la implementación es llevada en dos momentos, en la primera se da

una explicación sin el uso de tecnología. El segundo momento se realiza cuando el estudiante

pasa al pizarrón a realizar el bosquejo de la gráfica con las condiciones que el profesor ha

indicado, los demás estudiantes hacen lo mismo sólo que en su cuaderno de notas, el profesor

cuida que esta actividad se realice en forma individual, posteriormente el estudiante traza con

Geogebra la gráfica o la expresión abordada indicando las características que debe de tener.

En esta actividad el uso del Geogebra tuvo dos funciones, la primera fue para que el estudiante

pudiera darse cuenta si el trazo que había realizado era correcto (comprobar resultado). La

segunda, ya con la gráfica correcta el estudiante busca y encuentra el motivo del error que se ha

cometido cuando este realiza el trazo de la gráfica.

Es de suma importancia subrayar que la explicación que da el profesor es mínima, sólo se hace

mención de las instrucciones de la actividad y se resuelven algunas dudas puntuales.

El diseño cuenta con un total de 28 actividades divididas en 5 bloques. Solo se han considerado a

3 alumnos de un total de 12 para el análisis de resultados, estos fueron escogidos de acuerdo a su

desempeño académico donde la mayor incidencia de errores fue para el alumno de desempeño

académico bajo, a pesar de esto podemos mencionar que la actuación de este alumno no fue del

todo desalentadora.

83

Bosquejar una gráfica es una actividad en donde intervienen varios elementos explicados con

anterioridad como son: la visualización, método de las transformaciones, es el desarrollo de estas

dos habilidades, algo muy difícil de lograr en el alumno, será mediante una actitud proactiva, con

la que el alumno ira mejorando las mismas, además de lograr con ello que el alumno logre una

seguridad en los aprendizajes utilizados en el aula y fuera de ella.

Interpretación gráfica de los parámetros m y b, como ya se indicó la importancia de desarrollar

un lenguaje grafico en los estudiantes le permiten resolver otro tipo de situaciones, como son la

resolución de problemas que involucran fenómenos físicos, el diseño que proponemos es una

buena aproximación para desarrollar este tipo de lenguaje.

Del análisis de resultados podemos mencionar lo siguiente. En la primera actividad observamos

que los tres estudiantes cuentan con la concepción de la interpretación gráfica de una pendiente

negativa, positiva o nula, en el segundo bloque podemos apreciar que el segundo estudiante y el

tercero se confunden al interpretar como el valor de la ordenada la intersección con el eje x,

también se observó que a medida que se aumentan los términos de la función lineal, los

estudiantes tienen dificultades para bosquejar la gráfica.

En los resultados obtenidos se ha encontrado una dificultad recurrente. Cuando se le pide

bosquejar la gráfica y ésta se proporciona como expresión con forma general, los estudiantes

reconocen que deben realizar despejes, pero fallan al momento de establecer la función f (x), ya

sea por un mal despeje o por algún error en los signos.

De acuerdo a los resultados obtenidos podemos concluir lo siguiente. El bosquejo de graficas que

pasan por el origen, es decir en donde el parámetro b es igual a 0, los estudiantes no presentan

mayor dificultad. Cuando se da como dato inicial la representación gráfica y se pide que se de las

características de la pendiente y la ordenada al origen los estudiantes presentan dificultades

mínimas.

En la última actividad se cumple uno de los objetivos de este diseño y es precisamente que el

estudiante transite entre diferentes representaciones, ya que en la actividad se proporciona como

84

dato inicial la representación gráfica y se pide escribir el valor de la pendiente, la ordenada y la

expresión algebraica que generó la gráfica.

Al concluir esta actividad didáctica, habrá una mejora en las habilidades que se utilizan en la

visualización (La habilidad para representar, transformar, generar, comunicar, documentar y

reflejar información), pero será la perseverancia en problemáticas similares a esta, la que ayudará

a incrementar estas habilidades necesarias en la visualización.

85

Referencias

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J. Bishop, K. Clements, C. Keitel, J. Kilpatrick, y C. Laborde (Eds.), International handbook of Mathematics education (pp 429-501). Boston: Kluwer.

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Instituto Politécnico Nacional...de abordar y reflexionar situaciones cercanas a la vida cotidiana de los estudiantes, es decir emplear problemas que le sean familiares a los alumnos,