INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL€¦ · AGRADECIMIENTOS Agradezco a la Sección de Estudios de Posgrado e Investigación Unidad Profesional Zacatenco del Instituto Politécnico Nacional

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN UNIDAD ZACATENCO

“DISEÑO DE UNA PRENSA HIDRÁULICA PARA EXTRAER O INTRODUCIR PERNOS Y BUJES DE

PARTES AUTOMOTRICES MEDIANTE EL ANÁLISIS MATEMÁTICO Y EL MÉTODO DEL ELEMENTO

FINITO”

T E S I S

PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRO EN CIENCIAS EN

INGENIERÍA MECÁNICA

PRESENTA:

ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO

DIRIGIDA POR: M. en C. GABRIEL VILLA Y RABASA

MÉXICO D.F., ENERO 2005

DEDICATORIAS A MI MADRE GEÑA Porque aunque no estés conmigo en cuerpo, siempre te llevo en el corazón.

A MI PADRE VICTOR Por tu incondicional apoyo, gracias a ti

soy lo que soy y seré lo que seré.

A MI ESPOSA GISELA Porque eres mi compañera, mi fuente de inspiración y motivación además de apoyo y comprensión en los momentos difíciles de mi vida siempre con amor.

AL ING. ALFONSO CAMPOS VAZQUEZ Porque su apoyo es fundamental para

seguir adelante y cumplir mis metas.

A MIS HERMANOS Víctor Manuel, Ma. Eugenia y Ma. Guadalupe Porque son mi familia que quiero mucho y su apoyo es importante para mi.

AGRADECIMIENTOS

Agradezco a la Sección de Estudios de Posgrado e Investigación Unidad

Profesional Zacatenco del Instituto Politécnico Nacional por permitirme realizar mis estudios de posgrado.

Agradezco al Ing. Alfonso Campos Vázquez por ser un gran amigo y compañero, por su infinito apoyo y comprensión.

Agradezco muy en especial al M. en C. Gabriel Villa y Rabasa por su apoyo moral y académico, además de brindarme su amistad sincera.

Agradezco al Dr. Guillermo Urriolagoitia Calderón por los conocimientos adquiridos durante las clases que impartió, así como los comentarios para la mejor realización de éste trabajo.

Agradezco al Dr. Luis Héctor Hernández Gómez por sus siempre acertados comentarios en los trabajos de investigación y felicitarlo por su gran profesionalismo además de ser un excelente ser humano.

Agradezco al M. en C. Ricardo López Martínez por sus consejos y revisión de éste trabajo.

Agradezco al M. en C. Jesús Silva Lomelí, por su valiosa participación en el

desarrollo de éste trabajo. Agradezco al M. en C. Abraham Rodríguez Galeotte (Carrrrnal) amigo y

compañero por su apoyo y amistad brindada.

Agradezco a los compañeros de la sección Juan Manuel Sandoval, Gabriel Serrano y Raúl Delgado por su amistad y apoyo.

Agradezco a todos los profesores e investigadores de la SEPI por los conocimientos brindados.

CONTENIDO

RESUMEN i ABSTRACT ii OBJETIVO iii JUSTIFICACIÓN iv ÍNDICE DE FIGURAS v ÍNDICE DE TABLAS vii SIMBOLOGÍA viii INTRODUCCIÓN x CAPITULO I. ESFUERZO Y DEFORMACIÓN

1.1 Mecánica de materiales. 1 1.2 Método de las secciones. 1 1.3 Definición de esfuerzo. 3 1.4 Tensor esfuerzo 5 1.5 Ecuaciones diferenciales de equilibrio. 9 1.6 Esfuerzo normal máximo en barras cargadas axialmente. 11 1.7 Esfuerzos cortantes. 14 1.8 Análisis de los esfuerzos normales y cortantes. 18 1.9 Deformación unitaria. 19 1.10 La prueba de tensión y la deformación unitaria normal 19 1.11 Esfuerzos principales en problemas bidimensionales. 22 1.12 Esfuerzos cortantes máximos en problemas bidimensionales 24 1.13 Falla de un elemento. 26 1.14 Esfuerzo de diseño (trabajo). 27 1.15 Selección del factor de seguridad. 28 CAPITULO II. PRENSAS 2.1 Prensas. 31 2.2 Tipos de prensas. 32 2.2.1 Prensa inclinada. 35 2.2.2 Prensa de escote. 35 2.2.3 Prensa de puente. 36 2.2.4 Prensa de costados rectos. 36 2.2.5 Prensa de yunque. 38 2.2.6 Prensa de junta articulada. 38 2.2.7 Prensa dobladora 40 2.2.8 Cizallas de escuadrar. 41 2.2.9 Prensa de revçolver. 41 2.2.10 Prensa hidráulica. 42

2.2.11 Prensa de transferencia. 43 2.2.12 Máquina de cuatro correderas. 44 2.3 Mecanismos de transmisión para prensas. 46 2.4 Mecanismos de alimentación. 48 2.5 Antecedentes de la prensa a diseñar. 49 2.6 Descripción de la prensa a diseñar. 51 CAPITULO III. EL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO 3.1 Antecedentes históricos del método del elemento finito. 53 3.2 Campo de aplicación del método del elemento finito. 54 3.3 Método del elemento finito. 56 3.4 Fundamentos del método de elemento finito. 59 3.5 Procedimiento del método del elemento finito. 60 3.5.1 Discretización del dominio. 60 3.5.2 Seleccionar las funciones de interpolación. 60 3.5.3 Definir las propiedades de los elementos. 60 3.5.4 Ensamblar las propiedades de los elementos para obtener las ecuaciones del

sistema, considerando las condiciones de frontera del espécimen.

61 3.5.5 Resolver el sistema de ecuaciones. 61 3.5.6 Efectuar cálculos adicionales. 62 3.6 Tipos de elementos en el método de elemento finito. 62 3.6.1 Elemento barra. 62 3.6.2 Elemento placa. 63 3.6.3 Elementos sólidos. 63 3.6.4 Sólidos axisimétricos. 64 3.6.5 Placa plana en flexión. 64 3.6.6 Cascaron axisimétrico. 65 3.6.7 Cascaron curvo. 65 3.7 Formulación de elementos finitos. 68 3.7.1 El método directo. 68 3.7.2 El método variacional. 68 3.7.3 Los métodos de los residuos ponderados. 68 3.8 Elementos isoparamétricos 68 3.9 Ventajas y desventajas del método del elemento finito 69 CAPITULO IV. ANÁLISIS MATEMÁTICO 4.1 Descripción de los elementos a diseñar. 71 4.2 Generalidades acerca de vigas. 71 4.2.1 Tipos de vigas, de cargas y características. 72 4.2.2 Esfuerzo normal en vigas. 73 4.3 Generalidades acerca de elementos a tensión. 74 4.4 Esfuerzo en elementos a tensión. 75 4.5 Elementos a tensión con barrenos. 75

4.6 Áreas netas o efectivas. 76 4.7 Esfuerzo cortante en conexiones. 77 4.8 Generalidades acerca de columnas. 78 4.8.1 Ecuaciones de la AISC para columnas. 80 4.9 Análisis de la carga necesaria. 82 4.10 Análisis de la viga A y B. 83 4.11 Tornillos a Tensión. 85 4.12 Análisis de la columna. 88 4.13 Análisis de la viga D. 90 4.14 Análisis de la viga E. 94 4.15 Tornillos de sujeción. 95 4.16 Perfil “C” sometido a tensión. 96 4.17 Análisis de la viga C. 97 CAPITULO V. ANÁLISIS POR COMPUTADORA 5.1 Elementos analizados con computadora. 98 5.2 Análisis con computadora de la viga A y B. 98 5.3 Análisis con computadora de tornillos a tensión F. 99 5.4 Análisis con computadora de la columna G. 101 5.5 Análisis con computadora de la viga D. 102 5.6 Análisis con computadora de la viga E. 104 5.7 Análisis con computadora de los tornillos H sometidos a cortante doble. 106 5.8 Análisis con computadora del perfil “C” sometido a tensión. 107 5.9 Análisis con computadora del marco de carga de la prensa.

108

REFERENCIAS 110 BIBLIOGRAFÍA 112 CONCLUSIONES 113 TRABAJOS A FUTURO 114 ANEXO 115

RESUMEN

En el presente trabajo se desarrolla el diseño de una prensa hidráulica para dar servicio a talleres mecánicos; se hace el diseño mediante la mecánica de materiales con teorías que se encuentran dentro de los análisis elásticos calculando cada uno de los elementos que la componen, como son: vigas, columnas, elementos a corte, elementos a tensión, etc. Las ecuaciones matemáticas de la mecánica de materiales nos ayudan a determinar las dimensiones mínimas necesarias para que nuestros elementos trabajen dentro de ciertas condiciones de operación, obteniendo el dimensionamiento real del elemento; en algunas ocasiones el dimensionamiento está restringido por lo que se proponen dimensiones iniciales y en base a ellas se determinan las reales. Habiéndose obtenido el dimensionamiento real de cada elemento, para asegurarnos de que el diseño es correcto se analiza cada componente por métodos computacionales, en éste caso se utiliza el método del elemento finito, con aplicación de ANSIS, SOLIDWORK y COSMOS. Al final comparamos los esfuerzos máximos obtenidos en los métodos computacionales y los utilizados como esfuerzos de trabajo para el diseño, asegurándonos que los primeros sean menores que los segundos y así confirmar que el diseño de la prensa es correcto.

i

ABSTRACT

In the present work the design of a hydraulic press is developed to give service to mechanical factories; the design by means of the mechanics becomes of materials with theories that are within the elastic analyses calculating each one of the elements that compose it, as they are: beams, columns, elements to cut, elements to tension, etc.

The mathematical equations of the mechanics of materials help to determine necessary the minimum dimensions us so that our elements work within certain conditions of operation, obtaining the real sizing of the element; in some occasions the sizing is restricted reason why initial dimensions set out and on the basis of them the real ones are determined.

Having itself obtained the real sizing of each element, in order to assure to us

that the design is correct analyzes each component by computacionales methods, in this one case the method of the finite element is used, with application of ANSIS, SOLIDWORK and the COSMOS.

In the end we compared the maximum stress obtained in the computacionales

methods and the used ones as stress of work for the design, assuring to us that first they are minors who the seconds and thus to confirm that the design of the press is correct.

ii

OBJETIVO

Diseñar y analizar una prensa hidráulica para extraer o introducir bujes y pernos en partes automotrices mediante conceptos y ecuaciones básicas de la resistencia de materiales, así como los métodos modernos de análisis (Método de Elemento Finito) como base para un diseño óptimo, eficiente, confiable y competitivo, con el objeto de que se un producto al alcance de cualquier taller por pequeño que éste sea. iii

JUSTIFICACIÓN

En la gran mayoría de los talleres mecánicos automotrices pequeños se tiene la necesidad de extraer o introducir bujes, pernos, baleros, etc., en diferentes elementos. El comprar una prensa de gran capacidad genera un gasto considerable para esos talleres los cuales se ven afectados económicamente, es decir afectaría la poca liquidez de dichas microempresas, por lo que a pesar de ser necesario éste equipo le resulta prohibitivo su adquisición. Esto lo observé cuando cursaba el nivel medio superior, por lo que construí una prensa en el primer semestre de licenciatura en la ESIME Azcapotzalco en la carrera de Ingía. Mecánica. El resultado fue que sí servía pero carecía de un análisis profundo de elementos; es decir, fue hecha sin un diseño que respaldará el dimensionamiento, por lo que de ingeniería no tenia nada según el profesor. Por un tiempo funcionó pero después de un tiempo algunos elementos comenzaron a fallar, por lo que quedó abandonada. Es por ello que ahora ha surgido la inquietud de retomar el diseño de dicha prensa y realizarlo de forma adecuada, es decir, con todas las herramientas de diseño tanto matemáticas como computacionales para su óptimo funcionamiento, ya que debe ser económica y satisfacer necesidades de pequeños talleres mecánicos automotrices.

iv

ÍNDICE DE FIGURAS

FIGURA TÍTULO PÁG CAPÍTULO I. ESFUERZO Y DEFORMACIÓN.

1.1 Seccionamiento de un cuerpo. 2 1.2 Componentes de la fuerza ∆P. 4 1.3 Estado general de esfuerzo actuando sobre un elemento infinitesimal en el

sistema coordenado inicial. 5

1.4 Estado general de esfuerzo actuando sobre un elemento infinitesimal en el sistema girado un cierto ángulo.

6

1.5 Elementos de esfuerzo en un plano. 8 1.6 Elemento infinitesimal con esfuerzos y fuerzas de cuerpo. 9 1.7 Miembro con una distribución no uniforme del esfuerzo en la sección a-a. 13 1.8 Condiciones de carga que causan esfuerzos cortantes entre las interfaces de

bloques unidos con pegamento.

16 1.9 Condiciones de carga que causan esfuerzos cortantes y de aplastamiento en

tornillos.

17 1.10 Conexiones remachadas. 18 1.11 Condición de carga que causa un esfuerzo cortante crítico en dos planos de

soldadura de filete.

19 1.12 Máquina universal de pruebas (Cortesía de la MTS System Corporation) 21 1.13 Probeta cilíndrica de pruebas. 22 1.14 Funciones angulares para esfuerzos principales. 25 1.15 Representaciones equivalentes para un esfuerzo cortante puro.

27

CAPÍTULO II. PRENSAS. 2.1 Prensa punzonadora revolver de hierro fundido, 1936. 31 2.2 Prensa inclinable de bastidor con escote de manivela simple con alimentación de

doble rodillo. Capacidad 1MN.

35 2.3 Diseños típicos de bastidores usados en prensas. 36 2.4 Toldo completamente formado con una carrera en una prensa cerrada de

palanca acodillada.

38 2.5 Prensa de junta articulada con bastidor de hierro fundido, capacidad 5.3 MN. 39 2.6 Prensa dobladora controlada por tarjetas. 40 2.7 Pasos del formado de tubo de gran diámetro en prensa. 41 2.8 Prensa revólver de 0.27 MN que usa computadora de control numérico. 42 2.9 Prensa de embutido de doble acción. 43

2.10 Prensa de transferencia con capacidad de 2.2 MN que produce 1600 placas terminales para arrancar por hora.

44

2.11 Secuencia de operaciones en una máquina de cuatro correderas. 45 2.12 Mecanismos de transmisión usados en prensa. 46 2.13 Prensa automática de alta velocidad con corredera de alimentación movida por

una flecha motriz. Capacidad 0.3 MN.

49 2.14 Parte estructural de la prensa a diseñar. 50 2.15 Vigas flexionadas. 51

v

2.16 Esquema simple de la prensa.

52

CAPÍTULO III. EL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO. 3.1 Elemento barra. 62 3.2 Elemento placa en esfuerzo plano. 63 3.3 Elementos sólidos. 63 3.4 Sólido axisimétrico. 64 3.5 Placa plana bajo flexión. 64 3.6 Cascarón axisimétrico. 65 3.7 Cascarón curvo.

65

CAPÍTULO IV. ANÁLISIS MATEMÁTICO. 4.1 Elemento sometido a carga axial. 74 4.2 Cortante simple (a) y cortante doble (b). 78 4.3 Representación y ecuaciones de columnas dependiendo de sus tipos de apoyo. 80 4.4 Diagrama de cuerpo libre y dimensiones de la viga A. 83 4.5 Diagramas V y M de la viga A. 84 4.6 Elemento columna. 88 4.7 Representación de cargas y apoyos en la viga D. 90 4.8 Diagramas V y M de la viga D. 93 4.9 Diagramas V y M de la viga E. 94

4.10 Tornillo de sujeción sometido a fuerza cortante doble.

95

CAPÍTULO V. ANÁLISIS CON COMPUTADORA. 5.1 Esfuerzo en placas A y B. 98 5.2 Deformación en placas A y B. 99 5.3 Esfuerzos en los tornillos a tensión. 99 5.4 Esfuerzos en el apoyo de el tornillo a tensión. 100 5.5 Deformación en el tornillo a tensión. 100 5.6 Esfuerzos que se presentan en columna G. 101 5.7 Esfuerzos en el apoyo de la columna. 101 5.8 Deformación en la columna G. 102 5.9 Esfuerzos en el apoyo de la viga D. 102 5.10 Esfuerzos en la viga D. 103 5.11 Deformación 3D de la viga D. 103 5.12 Deformación 2D de la viga D. 104 5.13 Esfuerzos en los apoyos de la viga E. 104 5.14 Esfuerzos en la viga E. 105 5.15 Deformación en la viga E. 105 5.16 Esfuerzos en tornillos H sometidos a cortante doble. 106 5.17 Deformación en los tornillos H. 106 5.18 Esfuerzos en el perfil “C”. 107 5.19 Esfuerzos concentrados en los barrenos del perfil “C”. 107 5.20 Deformación en el perfil “C”. 108 5.21 Distribución de esfuerzos en el marco de carga de la prensa. 109 5.22 Deformación en el marco de carga de la prensa. 109

vi

ÍNDICE DE TABLAS

TABLA TÍTULO PÁG CAPÍTULO I. ESFUERZO Y DEFORMACIÓN. N/A

CAPÍTULO II. PRENSAS. N/A

CAPÍTULO III. EL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO. 3.1 Variables típicas en un análisis por elemento finito.

55

CAPÍTULO IV. ANÁLISIS MATEMÁTICO. 4.1 Valores de factor de reducción U. 77 4.2 Series estándar de roscas de tornillo UN y UNR, pulgadas. 86 4.3 Dimensiones básicas de tuercas hexagonales pesadas, contratuerca hexagonal

pesada, ranurada hexagonal pesada y almendrada pesada, pulgadas.

87

CAPÍTULO V. ANÁLISIS CON COMPUTADORA. N/A

vii

SIMBOLOGÍA

P Carga aplicada a un cuerpo. ∆ Decremento de una cantidad. A Área transversal. σ Esfuerzo normal. τ Esfuerzo cortante. σ1, σ2 y σ3 Esfuerzos principales 1,2 y 3 respectivamente. dx, dy y dz Diferencial de “x”, “y” y “z” respectivamente. ∑ Sumatoria. N Newton. Lb Libra. m Metro. in Pulgada. τmax Esfuerzo cortante máximo V Fuerza cortante. τprom Esfuerzo cortante promedio. t , e Espesor. d Diámetro. MPa Mega pascales. Ksi Libas por pulgada cuadrada. Ao Área transversal original. L Longitud. Lo Longitud inicial. ε Deformación unitaria. mm Milímetros. θ Ángulo que define el plano del esfuerzo normal máximo o mínimo. α Ángulo a cual se inclina un plano. FS Factor de seguridad. MN Mega Newton. min Minuto. π Constante igual a 3.1416 E Módulo de elasticidad del material. ν Módulo de Poisson del material. u(x) y v(x) funciones de desplazamiento lineales M Momento. I Momento de inercia. “y” Distancia del centroide a cualquier punto de la sección transversal. S Módulo de sección. C Distancia máxima “y” Mmax Momento máximo. σt Esfuerzo normal de trabajo. τt Esfuerzo cortante de trabajo.

viii

Pcr Carga crítica. RE Relación de esbeltez. k Radio de giro de la sección transversal. CS Coeficiente de seguridad. Cc Relación de esbeltez límite. σadm Esfuerzo normal admisible. σpc Esfuerzo normal en el punto de cedencia. σcr Esfuerzo normal crítico. In Interferencia. dc Diámetro común. σe

tmax Esfuerzo tangencial máximo del exterior. σi

tmin Esfuerzo tangencial mínimo del interior. Pz Presión de zunchado. de Diámetro exterior. di Diámetro interior. GPa Giga pascales. h Altura. b Base. ix

INTRODUCCIÓN Toda máquina o estructura deberá soportar, transmitir y transformar las fuerzas a que se somete, cuando realizan el trabajo para las cuales fueron concebidas; esto se podrá lograr, si todos sus elementos están diseñados y fabricados apropiadamente. En la práctica de ingeniería tales condiciones se deben de cumplir con el mínimo gasto de un material dado. A parte del costo, a veces, como en el diseño de satélites la factibilidad y éxito de toda la misión puede depender del peso de una carga. El tema de la mecánica de materiales implica métodos analíticos para determinar la resistencia, la rigidez y la estabilidad de los diversos elementos sometidos a cargas. De dichos métodos analíticos se deriva por lo tanto el diseño de máquinas o estructuras. El objetivo final del diseño mecánico es producir un dispositivo de utilidad que sea seguro, eficiente y práctico. Cuando se inicia el diseño de una máquina o de un elemento mecánico independiente, es importante definir las funciones y las especificaciones de diseño para el dispositivo por completo, es decir, definir el material a utilizar, las cargas que soporta, la forma de cómo está apoyado, etc. Al enfocarse en un diseño , el ingeniero debe establecer criterios que servirán de guía en los procesos de toma de decisiones inherentes a cualquier proyecto. Como para cada problema de diseño existen distintas alternativas en relación a su solución, cada una debe evaluarse en función de los criterios que integran la lista. Quizá no exista un mejor diseño, pero los diseñadores deben de trabajar para obtener el que resulte ser óptimo, esto es, el ingeniero del diseño debe maximizar los beneficios y reducir al mínimo las desventajas. A continuación se muestran los criterios generales en el diseño mecánico o de maquinaria:

• Seguridad. • Rendimiento. • Confiabilidad. • Facilidad para fabricar. • Disponibilidad de servicio o reemplazo de componentes. • Facilidad en cuanto operación. • Costo inicial bajo. • Costos de operación y mantenimiento bajos. • Tamaño reducido y de poco peso. • Poco ruido y escasa vibración; que opere con suavidad. • Uso de materiales accesibles y facilitar la compra de componentes. • Uso prudente de partes cuyo diseño es único junto con componentes en el mercado. • Que su aspecto resulte atractivo y adecuado para su aplicación.

x

Por lo anteriormente expuesto en el presente trabajo se analiza y diseña los componentes mecánicos y estructurales de una prensa de 5 toneladas, utilizando las teorías y ecuaciones de la resistencia de materiales (mecánica de materiales) validando el diseño por métodos computacionales, en éste caso se utilizó el método del elemento finito. El sofware utilizado para modelar los elementos fue SOLIDWORD y para hacer el análisis de ellos se utilizó el COSMOS y ANSYS, dependiendo de la complejidad del elemento.

Esta tesis cuenta con cinco capítulos. El capitulo I nos Muestra toda la teoría de la

resistencia de materiales, desde el concepto de esfuerzo y deformación, hasta esfuerzo principales y cortantes máximo y mínimo, así como una breve explicación del ensayo de tensión simple. El capitulo II nos da una referencia de los tipos y formas de prensas hidráulicas, sus tipos de mecanismos de transmisión y alimentación, así como una breve descripción de la prensa a diseñar. El capitulo III muestra la teoría del método de elemento finito, fundamentos, procedimiento, tipos de elementos, formulación, ventajas y desventajas, etc. El capitulo IV es donde se realiza todo el diseño de los elementos de la prensa mediante las ecuaciones de diseño de la resistencia de materiales, se definen todos los componentes obteniendo las dimensiones mínimas necesarias para la carga que soportan. El capitulo V se verifican los diseños de los componentes mediante métodos computacionales, asegurando que los esfuerzos máximos presentados en los elementos sean menores a lo esfuerzos de trabajo utilizados en su diseño. Finalmente es importante destacar que el trabajo que aquí se presenta se encuentra dentro del proyecto de investigación dirigido por:

M en C GABRIEL VILLA Y RABASA “ANÁLISIS DE ESFUERZOS A TEJIDOS ORGÁNICOS Y ELEMENTOS MECÁNICOS

PARA SU PROCESAMIENTO”. Con clave CGPI 2003-0991.

xi

CAPITULO II. PRENSAS

CAPITULO I ESFUERZO Y DEFORMACION

1.1 Mecánica de materiales.

En toda construcción de ingeniería, a las partes componentes de una estructura o máquina se

deben asignar tamaños físicos definidos. Estas partes deben ser adecuadamente proporcionadas para

resistir las fuerzas reales o probables que puedan llegar a actuar sobre ellas.

El tema de la mecánica de materiales, o de la resistencia de materiales, como ha sido llamado

tradicionalmente, implica métodos analíticos para determinar la resistencia, la rigidez y la estabilidad

de los diversos miembros sometidos a carga.

El comportamiento de un miembro sometido a fuerzas depende no sólo de las leyes

fundamentales de la mecánica newtoniana que rigen el equilibrio de las fuerzas, sino también de las

características mecánicas de los materiales de que está hecho el miembro. La información necesaria

relativa a los materiales proviene de los laboratorios, donde los materiales son sometidos a la acción de

fuerzas conocidas con precisión y donde el comportamiento de probetas de ensayo es observado con

particular interés respecto a sus propiedades de ruptura, deformaciones, etc..

1.2 Método de las secciones

Uno de los problemas principales de la mecánica de sólidos es la investigación de la resistencia

interna de un cuerpo; es decir, la naturaleza de las fuerzas que se generan dentro de un cuerpo para

equilibrar el efecto de las fuerzas aplicadas externamente. Para tal fin se emplea un método uniforme

de enfoque. Se prepara un croquis completo del miembro bajo investigación, sobre el cual se muestran

todas las fuerzas externas que actúan sobre él en sus respectivos puntos de aplicación. Tal croquis se

denomina diagrama de cuerpo libre.

ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 1


Todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, incluidas las fuerzas reactivas causadas por los

soportes, así como el peso propio del cuerpo debido a su masa, son consideradas como fuerzas

externas. Además, como un cuerpo estable en reposo está en equilibrio, las fuerzas que actúan sobre él

satisfacen las ecuaciones del equilibrio estático. Entonces, si las fuerzas que actúan sobre un cuerpo

como el mostrado en la figura l.l satisfacen las ecuaciones de equilibrio estático y se muestran todas

actuando en él, el croquis representa un diagrama de cuerpo libre. Luego, como la determinación de las

fuerzas internas causadas por las fuerzas externas es uno de los fines principales de esta ciencia, se pasa

una sección arbitraria por el cuerpo, separándolo completamente en dos partes.

El resultado de tal proceso puede verse en las figura 1.1, donde un plano arbitrario ABCD

separa el cuerpo original en dos partes distintas. A este proceso se le llamará método de las secciones.

Fig. 1.1 Seccionamiento de un cuerpo.



Entonces, si todo el cuerpo está en equilibrio, cualquier parte de él debe también estar en

equilibrio. Sin embargo, para tales partes de un cuerpo, algunas de las fuerzas necesarias para mantener

el equilibrio deben actuar en la sección cortada. Estas consideraciones conducen a la siguiente

conclusión fundamental: Las fuerzas aplicadas externamente a un lado de un corte arbitrario deben ser

equilibradas por las fuerzas internas desarrolladas en el corte o, brevemente, las fuerzas externas están

equilibradas por las fuerzas internas. Veremos luego que los planos de corte son orientados en

direcciones particulares para satisfacer requisitos especiales. El método de las secciones es el primer

paso en la resolución de todos los problemas en que se investigan fuerzas internas.

1.3 Definición de esfuerzo

En general, las fuerzas internas que actúan sobre áreas infinitesimales de un corte, son de

magnitudes y direcciones variables. En la mecánica de sólidos es particularmente importante

determinar la intensidad de esas fuerzas sobre las diversas porciones de una sección ya que la

resistencia a la deformación y a las fuerzas depende de esa intensidad. En general, tales fuerzas varían

de punto a punto y están inclinadas con respecto al plano de la sección. Es conveniente resolver esas

intensidades perpendicular y paralelamente a la sección investigada. Por ejemplo, las componentes de

un vector fuerza ∆P que actúa sobre un área ∆A se muestran en la figura l.2. En este diagrama

particular, la sección por el cuerpo es perpendicular al eje x y las direcciones de

∆Px y de la normal a ∆A coinciden.

Como las componentes de la intensidad de una fuerza por unidad de área, es decir, del esfuerzo,

son ciertas sólo en un punto, la definición matemática del esfuerzo es:

AP

AP

AP z

Axz

y

Axy

x

Axx ∆

∆=

∆

∆=

∆∆

=→∆→∆→∆

limlimlim000

τστ (Ecs 1.1)

Donde, en los tres casos, el primer subíndice de τ o σ indica que considera el plano

perpendicular al eje x y el segundo designa la dirección de la componente del esfuerzo.



La intensidad de la fuerza perpendicular o normal a la sección se llama esfuerzo normal en un

punto (σ). Es habitual llamar esfuerzos de tensión a los esfuerzos normales que generan tensión sobre

la superficie de una sección. Por otra parte, aquellos que empujan contra ella son esfuerzos de

compresión Las otras componentes de la intensidad de la fuerza actúan paralelamente al plano del área

elemental, esas componentes se llaman esfuerzos cortantes (τ).

∆P ∆PY

∆PZ

∆PX

Fig. 1.2 Componentes de la fuerza ∆P

.

Entonces los esfuerzos normales resultan de componentes de fuerzas perpendiculares al plano

de corte y los esfuerzos cortantes resultan de las componentes tangenciales al plano de corte.

Debe hacerse énfasis en que los esfuerzos multiplicados por las respectivas áreas sobre las que

ellos actúan dan fuerzas. En una sección imaginaria, una suma vectorial de esas fuerzas, llamada

resultante de esfuerzos, mantiene un cuerpo en equilibrio. En la mecánica de sólidos, las resultantes de

esfuerzos en una sección dada por lo general se determinan primero, y luego, aplicando las fórmulas ya

establecidas, se determinan los esfuerzos.



1.4 Tensor esfuerzo

Si. además de la sección implicada en el cuerpo libre de la figura 1.2, se pasa otro plano por el

cuerpo a una distancia infinitesimal y paralelo al primero, quedará aislada una rebanada elemental.

Entonces, si se pasan otros dos pares de planos normales al primer par, quedará aislado del cuerpo un

cubo de dimensiones infinitesimales. Este cubo se muestra en la figura l.3.

Todos los esfuerzos que actúan sobre él están identificados en el diagrama. Los primeros

subíndices sobre las τ y σ asocian el esfuerzo con un plano perpendicular a un eje dado; los segundos

subíndices designan el sentido del esfuerzo. Sobre las caras cercanas del cubo (es decir, sobre las caras

alejadas del origen), los sentidos del esfuerzo son positivos si ellos coinciden con los sentidos positivos

de los ejes. Sobre las caras del cubo hacia el origen, del concepto acción-reacción de equilibrio. los

esfuerzos positivos actúan en sentido opuesto al sentido positivo de los ejes.

Fig. 1.3 Estado general de esfuerzo actuando sobre un elemento infinitesimal en el sistema coordenado

inicial.



Fig. 1.4. Estado general de esfuerzo actuando sobre un elemento infinitesimal en el sistema

girado un cierto ángulo.

Si en un punto se escoge un conjunto diferente de ejes, los esfuerzos correspondientes son como

se muestran en la figura l.3. Esos esfuerzos están relacionados, pero en general no son iguales a los

mostrados en la figura l.4. El proceso de cambiar esfuerzos de un conjunto de ejes coordenados a otro

se llama transformación de esfuerzos.

El estado de esfuerzo en un punto que puede ser definido por tres componentes sobre cada uno

de los tres ejes mutuamente perpendiculares (ortogonales), se llama en terminología matemática

tensor. Procesos matemáticos precisos se aplican para transformar tensores, incluidos los esfuerzos, de

un conjunto de ejes a otro. Un examen de los símbolos para los esfuerzos en la figura l.3 muestra que

hay tres esfuerzos normales: zzzyyyxxx στστστ === '' y seis esfuerzos cortantes: xzzxzyyzyxxy ττττττ ''''' .

En contraste, un vector fuerza P tiene sólo tres componentes: Px Py y Pz. Éstas pueden escribirse de

manera ordenada como un vector columna:



⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

PzPyPx

(Ec 1.2)

En forma análoga, las componentes de esfuerzo pueden ordenarse como sigue:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

zzyzx

yzyyx

xzxyx

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

στττστττσ

τττττττττ

(Ec 1.3)

Ésta es una representación matricial del tensor esfuerzo. Se trata de un tensor de segundo rango

que requiere dos índices para identificar sus elementos o componentes. Un vector es un tensor de

primer rango y un escalar es un tensor de rango cero. A veces, por brevedad, un tensor esfuerzo se

escribe en notación indexada como τij, donde se entiende que i y j pueden tomar las designaciones x,y y

z.

El tensor de esfuerzos debe ser simétrico es decir τij = τji, esto se infiere directamente de los

requisitos de equilibrio para un elemento. Existe la posibilidad de un cambio infinitesimal en esfuerzo

de una cara del cubo a otra y la posibilidad de la presencia de fuerzas de cuerpo (inerciales). Siempre se

debe cumplir entonces que: τxy = τyx..

En forma similar, tenemos que: τxz = τzx y τyz = τzy Por consiguiente, los subíndices para los

esfuerzos cortantes son conmutativos (es decir, su orden puede intercambiarse) y el tensor esfuerzo es

simétrico.. El hecho de que los subíndices son conmutativos significa que los esfuerzos cortantes sobre

planos mutuamente perpendiculares de un elemento infinitesimal son numéricamente iguales y que

∑Mz = 0 no se satisface por un sólo par de esfuerzos cortantes. Las puntas de las flechas de los

esfuerzos cortantes deben encontrarse en esquinas diametralmente opuestas de un elemento para que se

satisfagan las condiciones de equilibrio.



En la mayoría de las situaciones subsecuentes consideradas, más de dos pares de esfuerzos

cortantes rara vez actuarán simultáneamente sobre un elemento. Por consiguiente, los subíndices

usados antes para identificar los planos y sentidos de los esfuerzos cortantes resultan superfluos. En

tales casos, los esfuerzos cortantes serán designados por τ sin ningún subíndice. Sin embargo, debe

recordarse que los esfuerzos cortantes siempre se presentan en dos pares. Esta simplificación de la

notación puede usarse convenientemente para el estado de esfuerzo mostrado en la figura 1.5.

Y σy

σy

σx σx

τ

τ

X

Fig. 1.5 Elemento de esfuerzo en un plano

Los esfuerzos bidimensionales mostrados en la figura se denominan esfuerzos en el plano. En

representación matricial tales esfuerzos pueden escribirse como:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

00000

y

x

σττσ

(Ec 1.4)

Debe notarse que el sistema de ejes seleccionado inicialmente puede no dar la información más

importante sobre el esfuerzo en un punto. Entonces, usando los procedimientos de la transformación de

esfuerzos, los esfuerzos se examinan en otros planos. Usando tales procedimientos, se mostrará luego



que existe un conjunto particular de coordenadas que diagonaliza al tensor esfuerzo, que entonces toma

la forma:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

3

2

1

000000

σσ

σ

(Ec 1.5)

Se debe notar la ausencia de esfuerzos cortantes. Para el caso tridimensional, se dice que los

esfuerzos son triaxiales, ya que son necesarios tres esfuerzos para describir completamente el estado de

esfuerzo. Para esfuerzo plano, σ3=0 el estado de esfuerzo es biaxial. Tales esfuerzos ocurren, por

ejemplo, en láminas delgadas sometidas a esfuerzo en dos direcciones mutuamente perpendiculares. En

miembros cargados axialmente, sólo queda un elemento del tensor esfuerzo; tal estado se denomina

uniaxial.

1.5 Ecuaciones diferenciales de equilibrio

Un elemento infinitesimal de un cuerpo debe estar en equilibrio. Para el caso bidimensional, el

sistema de esfuerzos que actúan sobre un elemento infinitesimal (dx)(dy)(l) se muestra en la figura 1.6.

En esta deducción, el elemento es de espesor unitario en la dirección perpendicular al plano del papel.

Y

σy τyx

X

σy

σx

τxy

σx

τyx

τxy

Fig. 1.6 Elemento infinitesimal con esfuerzos y fuerzas de cuerpo



De la figura 1.6 se obtienen las siguientes ecuaciones:

dxx

xxx ∂

∂+=

σσσ dy

yy

yy ∂

∂+=

σσσ

(Ecs. 1.6)

dyyyx

yxyx ∂

∂+=

τττ dx

xxy

xyxy ∂

∂+=

τττ

Note que se toma en cuenta la posibilidad de un incremento en los esfuerzos de una cara del

elemento a la otra. Por ejemplo, como la razón de cambio de σx en la dirección x es ∂σx/ ∂x y se da un

paso de magnitud dx, el incremento es (∂σx/ ∂x )dx. La notación de derivada parcial tiene que usarse

para diferenciar entre las direcciones.

Las fuerzas inerciales o de cuerpo, como las causadas por el peso o por efectos magnéticos, se

designan X y Y y están asociadas con el volumen unitario del material. Con esas notaciones:

0)1()1()1)((

)1()1)(( ,0

=×+×−×∂∂

++

×−×∂∂

++→=Σ

dxdyXdxdxdy

dydydxFx

yxy

yxyx

xx

xx

ττ

τ

σσσ

(Ec 1.7)

Simplificando y recordando que τxy = τyx se cumple, obtenemos la ecuación básica de equilibrio

para la dirección x. Esta ecuación, junto con una análoga para la dirección y, tiene la forma:

0

0

=+∂

∂+

∂

∂

=+∂

∂+

∂∂

Yyx

Xyx

yxy

yxx

στ

τσ

(Ec 1.8)

El equilibrio por momento del elemento, ∑Mz = O, se satisface ya que τxy = τyx .Puede

demostrarse que para el caso tridimensional, una ecuación típica de un conjunto de tres, es:

0=+∂∂

+∂∂

+∂∂ X

zyxzxyxx ττσ

(Ec 1.9)



Observe que en la deducción de las ecuaciones previas, no se han usado las propiedades

mecánicas del material. Esto significa que esas ecuaciones son aplicables ya sea a material elástico,

plástico o viscoelástico. Es también muy importante notar que no hay suficientes ecuaciones de

equilibrio para determinar los esfuerzos desconocidos. En el caso bidimensional, dado por la ecuación:

0

0

=+∂

∂+

∂

∂

=+∂

∂+

∂∂

Yyx

Xyx

yxy

yxx

στ

τσ

(Ecs 1.10)

En la ecuación anterior existen tres esfuerzos desconocidos, σx , σy y τxy y sólo dos ecuaciones.

Para el caso tridimensional, hay seis esfuerzos, pero sólo tres ecuaciones. Así entonces, todos los

problemas de análisis de esfuerzos son de forma interna estáticamente indeterminados.

Un procedimiento numérico que implica volver discreto un cuerpo en un gran número de

pequeños elementos finitos, en vez de los infinitesimales de antes, se usa ahora con frecuencia en

problemas complejos. Tal análisis con elementos finitos depende de las computadoras electrónicas de

alta velocidad para resolver grandes sistemas de ecuaciones simultáneas. En el método del elemento

finito, así como en el enfoque matemático, las ecuaciones de la estática son complementadas por las

relaciones cinemáticas y por las propiedades mecánicas del material.

1.6 Esfuerzo normal máximo en barras cargadas axialmente

En la mayor parte de las situaciones prácticas con barras cargadas axialmente, es conveniente

determinar directamente el esfuerzo normal máximo. Esos esfuerzos se desarrollan sobre secciones

perpendiculares al eje de la barra. Para tales secciones, el área de la sección transversal de una barra es

un mínimo y la componente de la fuerza aplicada es un máximo, lo que resulta en un esfuerzo normal

máximo.



La ecuación básica para determinar directamente el esfuerzo normal máximo en una barra

cargada axialmente se da aquí en la forma habitual, es decir, sin ningún subíndice. Sin embargo, los

subíndices se agregan con frecuencia para indicar el sentido del eje de la barra. Esta ecuación da el

esfuerzo normal máximo en una sección perpendicular al eje del miembro. Entonces,

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡== 22

inlbo

mN

AP

areaFuerzaσ (Ec 1.11)

Donde P es la fuerza axial aplicada y A es el área de la sección transversal del miembro. Es

conveniente notar que el esfuerzo normal a dado por la ecuación 1.11 es una descripción completa del

estado de esfuerzo en una barra cargada axialmente. La ecuación 1.11 se aplica estrictamente sólo a

barras prismáticas (es decir, a barras que tienen área transversal constante). Sin embargo, la ecuación es

razonablemente exacta para miembros ligeramente ahusados. La resultante de esfuerzo para uno

uniformemente distribuido, actúa por el centroide del área de una sección transversal y garantiza el

equilibrio de un miembro axialmente cargado. Si la carga es más compleja, como la de la parte de

máquina mostrada en la figura 1.7, la distribución del esfuerzo no es uniforme. Aquí, en la sección a-a,

además de la fuerza axial P. se desarrolla también un momento flexionante M.

Fig. 1.7 Miembro con una distribución no uniforme del esfuerzo en la sección a-a.



Un razonamiento similar se aplica a miembros cargados axialmente en compresión y puede

entonces usarse la ecuación 1.11. Sin embargo, debe tenerse cuidado al investigar los miembros en

compresión. Éstos pueden ser tan esbeltos que no se comporten de la manera esperada. Por ejemplo,

una caña de pescar común, bajo una fuerza de compresión axial pequeña, tiene la tendencia a pandearse

lateralmente y a colapsarse.. La ecuación 1.11 es aplicable sólo a miembros robustos cargados

axialmente en compresión (es decir, bloques cortos). Llamando bloque corto a un bloque cuya menor

dimensión es aproximadamente un décimo de su longitud

Algunas veces los esfuerzos de compresión aparecen cuando un cuerpo está soportado por otro.

Si la resultante de las fuerzas aplicadas coincide con el centroide del área de contacto entre los dos

cuerpos, la intensidad de las fuerzas o esfuerzo entre los cuerpos puede determinarse de nuevo con la

ecuación 1.11. Es costumbre llamar a este esfuerzo normal esfuerzo de aplastamiento. Numerosas

situaciones similares aparecen en problemas mecánicos bajo las arandelas empleadas para distribuir

fuerzas concentradas. Esos esfuerzos de aplastamiento pueden aproximarse dividiendo la fuerza

aplicada P entre el área correspondiente de contacto, obteniendo así un esfuerzo de aplastamiento

nominal.

Al aceptar la ecuación 1.11, debe tenerse en cuenta que el comportamiento del material está

idealizado. Cada partícula de un cuerpo se supone que contribuye igualmente a resistir la fuerza. Se

implica una perfecta homogeneidad del material por tal suposición. Los materiales reales, como los

metales, consisten en un gran número de granos, mientras que la madera es fibrosa. En materiales

reales, algunas partículas contribuyen más a resistir una fuerza que otras. Las distribuciones ideales de

esfuerzos no existen en realidad si la escala escogida es suficientemente pequeña. La verdadera

distribución de esfuerzos varía en cada caso en particular y es sumamente irregular, sin embargo, en

promedio, hablando estadísticamente, los cálculos basados en la ecuación 1.11 son correctos y, por

consiguiente, el esfuerzo promedio calculado representa una cantidad altamente significativa.

Es también importante notar que las ecuaciones básicas para determinar esfuerzos, tal como la

ecuación 1.11, suponen un material inicialmente libre de esfuerzos. Sin embargo, al ser fabricados, los



materiales suelen ser alisados, resaltados, forjados, soldados, doblados y martillados. En las

fundiciones, los materiales no se enfrían uniformemente. Esos procesos pueden inducir altos esfuerzos

internos llamados esfuerzos residuales. En los problemas reales, tales esfuerzos residuales pueden ser

de gran tamaño y deben ser investigados cuidadosamente y luego sumados a los esfuerzos calculados

para el material inicialmente libre de esfuerzos. Ahora bien, como tenemos esfuerzos normales sólo en

una dirección el esfuerzo cortante máximo en una barra cargada axialmente es la mitad del valor del

esfuerzo normal máximo.

1.7. Esfuerzos cortantes

Algunos materiales de la ingeniería (por ejemplo, el acero al bajo carbono) son más débiles en

cortante que en tensión, y, bajo cargas grandes, se desarrollan deslizamientos a lo largo de sus planos

de esfuerzo cortante máximo.

De acuerdo con la ecuacion 1.11, esos planos de deslizamiento en una probeta a tensión forman

ángulos de 45° con el eje de la barra, y es donde se presentan los esfuerzos cortantes máximos

τmax=P/2A. Sobre las superficies pulidas de una probeta, esas líneas pueden ser observadas fácilmente y

se llaman líneas de Lüders(1). Este tipo de comportamiento del material corresponde a una falla dúctil.

En muchas aplicaciones rutinarias de la ingeniería, grandes esfuerzos cortantes pueden

desarrollarse en posiciones críticas. Determinar tales esfuerzos con precisión suele ser difícil, sin

embargo, suponiendo que en el plano de una sección se desarrolla un esfuerzo cortante uniformemente

distribuido, puede encontrarse fácilmente una solución. Usando este enfoque, el esfuerzo cortante

promedio τprom se determina dividiendo la fuerza cortante V en el plano de la sección entre el área

correspondiente A.

mN

22 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡==

inlb

AV

areafuerza

promτ (Ec 1.12)

En la figura 1.8 se muestran algunos ejemplos de dónde puede usarse convenientemente la

ecuación 1.12. En la figura l.8(a) se muestra un pequeño bloque unido con pegamento a otro bloque



más grande. Separando el bloque superior del inferior por una sección imaginaria se obtiene el diagra-

ma de equilibrio mostrado en la figura l8(b). El pequeño par aplicado Pe, que genera pequeños

esfuerzos normales perpendiculares a la sección a-a, es comúnmente despreciado. Con base en esto,

τprom mostrado en la figura l.8(c), puede encontrarse usando la ecuación 1.12 dividiendo P entre el área

A de la sección a-a. Un procedimiento similar se usa para determinar τprom en el problema mostrado en

la figura l.8(d). Sin embargo, en este caso, dos superficies pegadas están disponibles para transferir la

carga aplicada P. El mismo enfoque, usando secciones imaginarias, es aplicable a miembros sólidos.

Fig. 1.8 Condiciones d

ING. ALEJANDRO ESCAM

(a

(b)

(c)

e carga que causan esfuerzos cortantes entre las inte

con pegamento

ILLA NAVARRO 15

(d

(e)

(f)

rfaces de bloques unidos


Ejemplos de dos conexiones atornilladas se muestran en las figuras l.9(a) y (e). Esas conexiones

pueden analizarse de dos maneras distintas. Según una de ellas, se supone que un tornillo apretado

desarrolla una fuerza de apriete suficientemente grande tal que la fricción desarrollada entre las

superficies en contacto impide que la junta se deslice. Para tales diseños se emplean comúnmente

tornillos de alta resistencia.

Un enfoque alternativo ampliamente usado supone que ocurre un deslizamiento tal que la

fuerza aplicada es transferida primero a un tornillo y luego del tornillo a la placa conectora, como se

ilustra en las figuras l.9(b) y (f). Para determinar τprom en esos tornillos, se usa simplemente el área

transversal A de un tornillo en vez del área de la superficie de contacto de la junta para calcular el

esfuerzo cortante promedio. Se dice que el tornillo mostrado en la figura l.9(a) está en cortante simple,

mientras que el mostrado en la figura l.9(e) está en cortante doble.

(a) (b) (c) (d)

(e) (f) (g) (h)

Fig. 1.9 Condiciones de carga que causan esfuerzos cortantes y de aplastamiento en tornillos

En conexiones soldadas, requiere consideración otro aspecto del problema. En casos como los

de las figuras l.9(a) y (e), cuando la fuerza P es aplicada, una presión muy irregular se desarrolla entre



un tornillo y las placas. La intensidad nominal promedio de la presión se obtiene dividiendo la fuerza

transmitida entre el área proyectada del tornillo sobre la placa. A éste se le llama esfuerzo de

aplastamiento. El esfuerzo de aplastamiento en la figura 1 .9(a) es ,/ tdPb=σ donde t es el espesor de

la placa y d es el diámetro del tornillo. Para el caso en la figura l.9(e), los esfuerzos de aplastamiento

para la placa media y las placas exteriores son d/ 11 tP=σ y d/ 2tP , respectivamente. 2=σ

El mismo procedimiento se aplica también a conexiones remachadas.

(a) (b) Fig. 1.10 Conexiones remachadas.

En el enfoque previo de diseño, ha sido despreciada la resistencia friccional entre las superficies

en contacto en los conectores. Sin embargo, si la fuerza de apriete desarrollada por un conector es

suficientemente grande y confiable, la capacidad de una junta puede ser determinada con base en la

fuerza de fricción entre las superficies en contacto. Esta condición se muestra en la figura 1.10. Con el

uso de tornillos de alta resistencia con rendimiento del orden de 100 ksi (700 MPa), éste es un método

aceptable en el diseño estructural de acero. El apriete requerido de tales tornillos se especifica

usualmente como aproximadamente el 70% de su resistencia a la tensión.

Para los fines de un análisis simplificado, se especifica un esfuerzo cortante permisible basado

en el área nominal de un tornillo. Esos esfuerzos se basan en experimentos. Esto permite que el diseño

de conexiones, al usar tornillos de alta resistencia, se lleve a cabo de la misma manera que para los



tornillos o los remaches ordinarios.

Otra manera de unir miembros entre sí es por medio de soldadura. Un ejemplo de una conexión con

soldaduras de filete se muestra en la figura 1.11. El esfuerzo cortante máximo ocurre en los planos a-a

y b-b, como se muestra en la figura l.11(b). La capacidad de tales soldaduras es usualmente dada en

unidades de fuerza por unidad de longitud de soldadura.

Fig. 1.11 Condición de carga que causa un esfuerzo cortante critico en dos planos de soldadura de

filete

1.8 Análisis de los esfuerzos normales y cortantes

Una vez que la fuerza axial P o la fuerza cortante V, así como el área A, han sido determinadas

en un problema dado, pueden aplicarse fácilmente las ecuaciones 1.11 y 1.12 para calcular los

esfuerzos normal y cortante. Esas ecuaciones que dan, respectivamente, las magnitudes máximas de los

esfuerzos normal y cortante, son particularmente importantes, ya que determinan la demanda máxima

sobre la resistencia de un material. Esos esfuerzos máximos ocurren en una sección de área transversal

mínima y/o de fuerza axial máxima. Tales secciones se llaman secciones críticas.

En los problemas más simples, la sección crítica para el arreglo particular que se analiza puede

encontrarse usualmente por inspección. En otros problemas, esto puede requerir un extenso análisis, el

cual suele hacerse ahora con ayuda de una computadora.



Para el equilibrio de un cuerpo en el espacio, las ecuaciones de la estática requieren del

cumplimiento de las condiciones siguientes:

∑ ∑∑∑∑∑

==

==

==

0Mz 0Fz

0My 0Fy

0Mx 0Fx

(Ecs. 1.13)

1.9 Deformación unitaria

El esfuerzo puede relacionarse con la deformación por unidad de longitud de una probeta

usando medios experimentales para establecer una relación esfuerzo-deformación unitaria para un

material específico. Esta relación se llama modelo constitutivo de un material y expresa las

propiedades mecánicas más importantes de un material durante un proceso de carga. El modelo

constitutivo de un material se basa en resultados de experimentos que se llevan a cabo en condiciones

muy simples de carga. Cuando una relación constitutiva se combina con las ecuaciones de equilibrio y

compatibilidad, puede predecirse el comportamiento estructural general.

1.10 La prueba de tensión y la deformación unitaria normal

Las propiedades mecánicas de los materiales usados en ingeniería se determinan por medio de

experimentos efectuados sobre pequeñas probetas. Esos experimentos se llevan a cabo en laboratorios

equipados con máquinas de prueba, como la que se muestra en la figura 1.12, capaces de cargar en

tensión o en compresión.

Han sido desarrollados varios tipos de prueba para evaluar las propiedades de los materiales

bajo diferentes condiciones de carga, como carga estática de corta duración y cíclica, y también prue-

bas a largo plazo y de carga impulsiva. A través de los años, cada una de esas pruebas se ha

estandarizado de manera que pueden ser comparados los resultados obtenidos en diferentes

laboratorios. En los Estados Unidos, la American Society for Testing and Materials (ASTM) ha

publicado guías para efectuar tales pruebas y proporciona límites para los que el uso de un material



particular se considera aceptable.

Fig. 1.12 Máquina universal de pruebas (Cortesía de la MTS System Corporation).

Uno de los experimentos más importantes es la prueba de tensión o compresión en la cual una

fuerza axial creciente P se aplica a una probeta cilíndrica como la de la figura 1.13. El área transversal

original Ao de la porción central de la probeta se calcula exactamente y dos marcas de calibración se

inscriben a una distancia Lo entre sí. La distancia Lo se llama longitud calibrada de la probeta. En un

experimento, el cambio en la longitud de esta distancia se mide por medio de un dispositivo llamado

extensómetro, Durante un experimento, el cambio en la longitud calibrada se registra como función de

la fuerza aplicada. Con la misma carga y una longitud calibrada mayor se observa una mayor

deformación que cuando la longitud calibrada es pequeña. Por tanto, es muy importante referirse a la

deformación observada por unidad de longitud calibrada (es decir, a la intensidad de la deformación).



Si Lo longitud calibrada inicial y L es la longitud observada bajo una carga dada. el

alargamiento calibrado es ∆L = L – Lo. El alargamiento (o contracción) є por unidad de la longitud

calibrada inicial está dado por:

0LL∆

=ε (Ec. 1.14)

Esta expresión define la deformación unitaria en tensión (o en compresión}. Como esta

deformación unitaria está asociada con el esfuerzo normal, se llama comúnmente deformación unitaria

normal. Se trata de una cantidad sin dimensiones, pero es costumbre referirse a ella como si tuviera la

dimensión de mm/mm, in/in, m/m ó µm/m microdeformación unitaria). A veces la deformación

unitaria se da como un porcentaje de la longitud original. La cantidad є es por lo general muy pequeña.

Fig. 1.13 Probeta cilíndrica de pruebas

Como por lo general las deformaciones unitarias que se encuentran son muy pequeñas, es

posible emplear medios muy versátiles para medirte usando extensómetros eléctricos desechables.



Éstos se fabrican de alambre muy fino o laminitas muy delgadas que se pegan al miembro que

se está investigando. Cuando las fuerzas son aplicadas al miembro, el alargamiento o contracción de

los alambres o laminitas tiene lugar en forma concurrente con cambios similares en el material. Esos

cambios de longitud alteran la resistencia eléctrica del extensómetro que puede medirse y calibrarse

para indicar la deformación unitaria que está ocurriendo. Tales extensómetros, adecuados para diversas

condiciones ambientales, están disponibles en varias longitudes que varían entre 4 y 140 mm.

1.11 Esfuerzos principales en problemas bidimensionales

A menudo el interés se centra en la determinación del máximo esfuerzo posible, como es dado

por las ecuaciones de transformación de esfuerzo.

θτθσσσσ

σ 22cos22´` senyxyx

x+

−+

+= (Ec. 1.15)

θτθσσ

τ 2cos22

+−

−= senyxxy (Ec.1.16)

Por lo que se encuentran primero los planos en que tales esfuerzos ocurren. Para encontrar el

plano para un esfuerzo normal máximo o mínimo, la ecuación 1.15 se deriva con respecto a α y la

derivada se iguala a cero; es decir:

02cos22

=+−

−= θτθσσ

θσ

sendd yxx

( ) 2/2tan 1

yx

xy

σστ

θ−

= (Ec. 1.17)

Dónde el subíndice del ángulo θ se usa para designar el ángulo que define el plano del esfuerzo

normal máximo o mínimo. La ecuación 1.17 tiene dos raíces, ya que el valor de la tangente de un

ángulo en el cuadrante diametralmente opuesto es el mismo, como puede verse en la figura 11.14. Esas



raíces están a 180° entre sí, y como la ecuación 1.17 es para un ángulo doble, las raíces de θ1 están a

90° entre sí. Una de esas raíces localiza el plano sobre el cual actúa el esfuerzo normal máximo; la otra

localiza el plano correspondiente al esfuerzo normal mínimo. Para distinguir entre esas dos raíces, se

usa una prima y una doble prima como notación.

Fig. 1.14 Funciones angulares para esfuerzos principales.

Antes de evaluar esos esfuerzos, observe cuidadosamente que si se quiere la posición de los

planos en que no actúan esfuerzos cortantes, la ecuación 1.16 debe hacerse igual a cero. Esto da la

misma relación que la ecuación 1.17. Por tanto, llegamos a una importante conclusión: Sobre planos

en que ocurren esfuerzos normales máximos o mínimos, no se tienen esfuerzos cortantes.

Esos planos se llaman planos principales de esfuerzo y los esfuerzos que actúan en esos planos,

o sea los esfuerzos normales máximo y mínimo, se llaman esfuerzos principales. Las magnitudes de

los esfuerzos principales pueden obtenerse sustituyendo los valores de las funciones seno y coseno

correspondientes al ángulo doble dado por la ecuación 1.17 en la ecuación 1.15. Entonces los

resultados se simplifican y la expresión para el esfuerzo normal máximo (denotado por σ1) el

esfuerzo normal mínimo (denotado por σ2) toma la forma

( ) 22

21minmax' 22 xy

yxyxox τ

σσσσσσ +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −±

−== (Ec. 1.18)



Donde el signo positivo frente a la raíz cuadrada debe usarse para obtener σ1 y el signo negativo

para obtener σ2. Los planos en que esos esfuerzos actúan pueden determinarse usando la ecuación 1.17.

1.12. Esfuerzos cortantes máximos en problemas bidimensionales

Si σx , σy y τxy son conocidos para un elemento, el esfuerzo cortante sobre cualquier plano

definido por un ángulo θ está dado por la ecuación 1.16 y puede hacerse un estudio del esfuerzo

cortante. Entonces, para localizar los planos sobre los que actúan los esfuerzos cortantes máximo o

mínimo, la ecuación 1.16 debe ser diferenciada con respecto a θ y la derivada igualada cero. Al hacerlo

así y simplificar los resultados, se obtiene:

( )

2/2tan 2

xy

yx

τσσ

θ−

= (Ec. 1.19)

Donde se pone el subíndice 2 a θ para designar el plano sobre el cual el esfuerzo cortante es

máximo o mínimo. Igual que la ecuación 1.17, la ecuación 1.19 tiene dos raíces, que de nuevo pueden

diferenciarse entre sí poniendo a θ2 una prima o una doble prima. Los dos planos definidos por la

ecuación son mutuamente perpendiculares. Además, el valor de tan2θ2 por la ecuación 1.18 es el

recíproco negativo del valor de tan 2 θ1 de la ecuación 1.17. Por consiguiente, las raíces para los

ángulos dobles de la ecuación 1.19 están a 90° de las correspondientes raíces de la ecuación 1.17. Esto

implica que los ángulos que localizan los planos de esfuerzo cortante máximo o mínimo forman

ángulos de 45° con los planos de los esfuerzos principales. La sustitución en la ecuación 1.15 de las

funciones seno y coseno correspondientes al ángulo doble dado por la ecuación 1.19 y determinadas

como se hizo antes en la figura 1.14, da los valores máximo y mínimo de los esfuerzos cortantes. Éstos,

después de efectuar algunas simplificaciones, son:

( ) 22

minmax

2 xyyx τ

σστ +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −±= (Ec. 1.20)

El esfuerzo cortante máximo difiere entonces del esfuerzo cortante mínimo sólo en el signo.

Además, como las dos raíces dadas por la ecuación 1.19 localizan planos a 90° entre sí, este resultado



también significa que los valores numéricos de los esfuerzos cortantes sobre los planos mutuamente

perpendiculares son los mismos. El esfuerzo cortante más grande, independientemente del signo, será a

menudo llamado el esfuerzo cortante máximo.

El sentido del esfuerzo cortante puede siempre ser determinado por sustitución directa de la raíz

particular de θ2 en la ecuación 1.16. A diferencia de los esfuerzos principales para los cuales no se

presentan esfuerzos cortantes sobre los planos principales, los esfuerzos cortantes máximos actúan

sobre planos que usualmente no están libres de esfuerzos normales. La sustitución de θ2 de la ecuación

1.19 en la ecuación 1.15 muestra que los esfuerzos normales que actúan sobre los planos de los es-

fuerzos cortantes máximos son:

2'yx σσ

σ−

= (Ec. 1.21)

Por tanto, un esfuerzo normal actúa simultáneamente con el esfuerzo cortante máximo a menos

que yx σσ + sea cero.

Si yx yσσ en la ecuación 1.20 son esfuerzos principales, xyτ es cero y la ecuación 1.20 se

simplifica a:

( )2min

maxyx σσ

τ−

±= (Ec. 1.22)

Los resultados de este análisis se muestran en la figura 1.15. La ecuación 1.17 muestra cla-

ramente que en ausencia de esfuerzos normales, los esfuerzos principales son numéricamente iguales al

esfuerzo cortante. El sentido de los esfuerzos normales se obtiene con la ecuación 1.17. Los esfuerzos

cortantes actúan hacia la diagonal DF en la dirección de los esfuerzos principales de tensión; véase la

figura l.15 (a).



Y

Fσ1=⏐τxy⏐ σ2=⏐τxy⏐ F

X

(a) (b) (a) (b)

τxy

D

450

τxy

⏐τxy⏐

450

D

⏐τxy⏐

(c) (c)

Fig. 1.15 Representaciones equivalentes para un esfuerzo cortante puro. Fig. 1.15 Representaciones equivalentes para un esfuerzo cortante puro.

1.13 Falla de un elemento 1.13 Falla de un elemento

Se requiere que un diseñador seleccione un material y dimensione adecuadamente un elemento

para realizar una función especificada sin fallar.

Se requiere que un diseñador seleccione un material y dimensione adecuadamente un elemento

para realizar una función especificada sin fallar.

Falla se define como el estado o condición en el cual un elemento o una estructura deja de

realizar su trabajo para el cual fue concebido, de manera adecuada. Dentro de falla tenemos las

Falla se define como el estado o condición en el cual un elemento o una estructura deja de

realizar su trabajo para el cual fue concebido, de manera adecuada. Dentro de falla tenemos las



siguientes condiciones:

Falla elástica.- Se presenta como resultado de una deformación elástica excesiva.

Falla por fluencia.- Se caracteriza por una deformación plástica excesiva. La resistencia de

fluencia, el punto de fluencia y el límite de proporcionalidad se usan como índices de la resistencia con

respecto a la falla por la fluencia de los elementos que están sujetos a cargas estáticas.

Falla por flujo plástico.- Se presenta como resultado de la deformación plástica excesiva

después de mucho tiempo bajo un esfuerzo constante. En máquinas o estructuras que están sujetas a

esfuerzos altos, temperatura alta, o ambos, durante mucho tiempo, el flujo plástico es una

consideración de diseño importante, y el límite de flujo es el índice de resistencia que se debe usar. El

límite de flujo plástico normalmente disminuye con el aumento de temperatura.

Falla por fractura.- Es una separación completa del material. La resistencia última de un

material es el índice de resistencia a la falla por fractura bajo cargas estáticas en las que no interviene el

flujo plástico.

1.14 Esfuerzo de diseño (trabajo)

La mayoría de los problemas de diseño incluyen muchas variables desconocidas. Normalmente,

se estima la carga que deben soportar la estructura o la máquina. La carga real puede variar

considerablemente de la estimación, especialmente cuando deben considerarse cargas para algún

tiempo futuro. Ya que la prueba generalmente daña el material, las propiedades de un material que se

usa en una estructura o máquina no pueden evaluarse directamente, sino que normalmente se

determinan haciendo pruebas en especimenes de un material similar. Aún más, los esfuerzos

verdaderos que existirán en una estructura o máquina son desconocidos porque los cálculos se basan en

suposiciones acerca de la distribución de los esfuerzos en el material.

Debido a esto y a otras variables desconocidas, se acostumbra diseñar para soportar la carga

necesaria para producir la falla, la cual es mayor que la carga real estimada, o usar un esfuerzo

admisible (o de diseño o trabajo), que esté por debajo del esfuerzo requerido para producir la falla.



Un esfuerzo de permisible se define como el esfuerzo máximo permitido en el cálculo de

diseño. El factor de seguridad (FS), puede definirse como la relación entre una carga que produce la

falla y la carga real estimada. El factor de seguridad también puede definirse como la relación entre la

resistencia de un material y el esfuerzo máximo calculado en el material. En forma de ecuación, el

factor de seguridad puede escribirse como:

real

falla

PP

FS =

real

fallaFSσσ

= (Ecs. 1.22)

FS

fallaadmisible

σσ =

1.15 Selección del factor de seguridad

La selección de un factor de seguridad que debe usarse en distintas aplicaciones es una de las

tareas más importantes de los ingenieros. Por una parte, si el factor de seguridad se elige demasiado

pequeño, la posibilidad de falla se torna inaceptablemente grande; por otra, si se elige demasiado

grande, el resultado es un diseño caro o no funcional. La elección de un factor de seguridad apropiado

para una determinada aplicación de diseño requiere de un acertado juicio por parte del ingeniero

basado en muchas consideraciones como las siguientes:

1. Variaciones que pueden ocurrir en las propiedades del elemento bajo consideración.

La composición, resistencia y dimensiones del elemento están sujetas a pequeñas variaciones

durante la manufactura. Además las propiedades del material pueden alterarse y, con ello, introducir

esfuerzos residuales debido al calentamiento o deformación que puedan ocurrir durante la manufactura,

almacenamiento, transporte o construcción del material.

2. Número de cargas que pueden esperarse durante la vida de la estructura o máquina.

Para la mayoría de los materiales el esfuerzo último disminuye al aumentar el número de



aplicaciones de carga. Este fenómeno se conoce como fatiga y, si se ignora, puede provocar una falla

repentina.

3. Tipo de cargas que se han planeado para el diseño, o que puedan ocurrir en el futuro.

Muy pocas situaciones de carga se conocen con certeza. La mayoría de las cargas de diseño son

aproximaciones. Además, las alteraciones futuras o cambios en el uso pueden introducir cambios en la

carga real. Para cargas dinámicas, cíclicas o de impulso, se requieren mayores factores de seguridad.

4. Tipo de falla que pueda ocurrir.

Los materiales frágiles comúnmente fallan de manera repentina, sin indicación previa de que el

colapso es inminente. Por otra parte, los materiales dúctiles, como el acero estructural, con frecuencia

sufren una sustancial deformación, llamada cadencia, antes de fallar, dando así una advertencia de que

existe una sobrecarga. Sin embargo, la mayoría de las fallas de estabilidad o por pandeo son repentinas,

sea frágil el material o no.

5. Incertidumbre debida a los métodos de análisis.

Todos los métodos de diseño se basan en ciertas suposiciones simplificadoras que se traducen

en que los esfuerzos calculados sean sólo aproximaciones de los esfuerzos reales.

6. Deterioro que pueda ocurrir en el futuro por mantenimiento incorrecto o por causas naturales

inevitables.

Un factor de seguridad mayor es necesario en localidades donde las condiciones como la

corrosión y la putrefacción son difíciles de controlar o hasta de descubrir.

7. Importancia de un elemento dado a la integridad de la estructura completa.

Los refuerzos y los elementos secundarios pueden diseñarse en muchos casos, con un factor de

seguridad menor que el empleado para los elementos principales.

Además de lo anterior, hay la consideración adicional relativa al riesgo para la vida y para la

propiedad que una falla produciría. Cuando una falla no implica un riesgo para la vida, sino sólo un

riesgo mínimo para la propiedad, puede considerarse el uso de un factor de seguridad menor. Por

último está la consideración práctica de que, a menos que se utilice un diseño cuidadoso con un factor



de seguridad no excesivo, una estructura o máquina puede no desempeñar la función para la que fue

diseñada.

Para la mayor parte de las aplicaciones estructurales y de maquinaria, los factores de seguridad

se establecen en las especificaciones de diseño o en los códigos de construcción elaborados por comités

de experimentados ingenieros que trabajan con sociedades profesionales, con la industria o con

agencias federales, estatales o municipales.



CAPITULO II PRENSAS

2.1 Prensas

La máquina utilizada para la mayoría de las operaciones de trabajo en frío y algunos en caliente,

se conoce como prensa. Consiste de un bastidor que sostiene una bancada y un ariete, una fuente de

potencia, y un mecanismo para mover al ariete linealmente y en ángulos rectos con relación a la

bancada.

En la fig. 2.1 se muestra una prensa punzonadora revólver para uso vinícola, que tiene una

garganta de 1.5 m de profundidad, de 16 a 32 estaciones de herramientas y una fuerza de 0.7 MN que

perforaría un perímetro de 625 mm en una placa de acero dulce de 6.3 mm.

FIG. 2.1 Prensa punzonadora revólver de hierro fundido, 1936.

Una prensa debe estar equipada con matrices y punzones diseñados para ciertas operaciones

específicas. Aunque algunas prensas se adaptan mejor que otras para cierto tipo de trabajo, la mayoría

de operaciones de formado, punzonado y cizallado, se pueden efectuar en cualquier prensa normal si se

usan las matrices y punzones adecuados. Esta versatilidad hace posible usar la misma prensa para una



gran variedad de trabajos y operaciones, lo cual es una característica deseable para las producciones pe-

queñas.

Las prensas tienen capacidad para la producción rápida, puesto que el tiempo de operación es

solamente el que se necesita para una carrera del ariete, más el tiempo necesario para alimentar el

material. Por consiguiente, se pueden conservar bajos costos de producción. Cualquier producto que se

pueda fabricar con metal delgado y que no requiera de una precisión extrema en las tolerancias

dimensionales, se puede producir económicamente en este tipo de máquina.

Tiene una adaptabilidad especial para los métodos de producción en masa, como lo evidencia su

amplia aplicación en la manufactura de piezas para automóviles y aviones, artículos de ferretería,

juguetes y utensilios para cocina.

2.2 Tipos de prensas

Es difícil hacer una clasificación de máquinas prensadoras, ya que la mayoría de ellas son

capaces de desarrollar varios tipos de trabajo. Por tanto, no es muy correcto llamar a una prensa, prensa

dobladora, a otra, prensa de repujado, y aún a otra, prensa recortadora, pues los tres tipos de ope-

raciones se pueden hacer en una máquina. Sin embargo, a algunas prensas diseñadas especialmente

para un tipo de operación, se les puede conocer por el nombre de la operación, como por ejemplo,

prensa punzonadora aprensa acuñadora. La clasificación más sencilla está en relación a la fuente de

energía (ya sea operada manualmente o con potencia).

Muchas de las máquinas operadas manualmente se usan para trabajos en lámina delgada de

metal, principalmente en trabajo en la obra, pero la mayor parte de maquinaria para producción se

opera con potencia. Otra forma de agrupar a las prensas, está en función del número de arietes o los

métodos para accionarlos.

La mayoría de los productores las nombran de acuerdo al diseño general del bastidor, aunque se

pueden designar de acuerdo con el arreglo de la transmisión de la energía o el propósito principal para



el que se usará la prensa. Los tipos más generales de clasificación de prensas son los siguientes:

Con respecto a la fuente de energía:

1. Manual.

2. Potencia.

• Mecánica

• Vapor, gas, neumática

• Hidráulica

Con respecto al ariete:

1. Vertical de simple efecto

2. Vertical de doble efecto

3. En cuatro correderas

4. De configuración especial

Con respecto al diseño del bastidor:

1. De banco

2. Inclinable

3. De escote

4. De puente

5. De costados rectos

6. Yunque

7. Columna

Con respecto al método de aplicación de potencia al ariete:

1. Manivela

2. Leva

3. Excéntrica

4. Tornillo de potencia

5. Cremallera y piñón

6. Junta articulada



7. Hidráulica

8. Palanca acodillada

9. Neumática

Con respecto al propósito de la prensa:

1. Cizallas de escuadrar

2. Cizallas de círculos

3. Dobladora

4. Punzonado

5. Extruido

6. Empalmado

7. Enderezado

8. Forzado

9. Acuñado

10. De transferencia

11. Roedora

12. Estirado

13. Revólver

14. Forja

Para seleccionar el tipo de prensa a usar en un trabajo dado, se deben considerar varios factores.

Entre éstos están el tipo de operación a desarrollar, tamaño de la pieza, potencia requerida, y la

velocidad de la operación.

Para la mayoría de operaciones de punzonado, recortado y desbarbado, se usan generalmente

prensas del tipo de manivela o excéntrica. En estas prensas, la energía del volante se puede transmitir al

eje principal, ya sea directamente o a través de un tren de engranajes. La prensa de junta articulada se

ajusta idealmente a las operaciones de acuñado, prensado o forja. Tiene una carrera corta y es capaz de

imprimir una fuerza tremenda. Las pensas para operaciones de estirado tienen velocidades más lentas

que las de punzonado y recortado.



Las prensas operadas hidráulicamente son en especial deseables para este trabajo. Cuando se

estira acero dulce, la práctica normal es la de no exceder 20 m/min; el aluminio y otros metales no

ferrosos se pueden trabajar a velocidades mayores de 45 m/min.

2.2.1 Prensa inclinada

En la fig. 2.2 se muestra una prensa inclinable de manivela doble con bastidor de escote. El

bastidor inclinado de la máquina ayuda a descargar de la prensa las piezas y desperdicios. Las piezas se

pueden deslizar por gravedad en una caja de carga, o el material se puede alimentar a las matrices por

medio de una canal. La mayoría de prensas de este tipo son ajustables y varían su posición desde la

vertical hasta un ángulo bastante inclinado.

Fig. 2.2 Prensa inclinable de bastidor con escote de manivela simple con alimentación de doble rodillo.

Capacidad 1MN.

Este arreglo se prefiere para trabajo diversificado de prensa, pues muchas tareas se hacen mejor

con la prensa en posición vertical; particularmente si las partes se descargan a través de la matriz. Las

prensas inclinables se usan frecuentemente en la producción de piezas pequeñas que implican doblado,

punzonado, recortado y operaciones similares.

2.2.2 Prensa de escote

Las prensas de escote o de bastidor en C se llaman así debido a la disposición de la abertura del



bastidor de la prensa, como se ilustra en la fig. 2.2. Tal diseño del bastidor se muestra también en la fig.

2.3, con algunos otros diseños comunes de bastidores. Las prensas de escote proporcionan un excelente

espacio libre alrededor de las matrices y permiten usar la prensa para piezas largas o anchas. Las

operaciones de estampado se pueden efectuar en una prensa de escote, usando frecuentemente la de

tipo inclinable.

Fig. 2.3 Diseños tipicos de bastidores usados en prensas

2.2.3 Prensa de puente

La prensa de puente ilustrada también en la fig. 2.3, se denomina así por la forma peculiar de su

bastidor. La parte más baja del bastidor, cerca de la bancada, es ancha, para permitir el trabajo en

lámina de metal de áreas grandes; la parte superior es angosta. Los cigüeñales son pequeños en relación

al área de la corredera y la bancada de la prensa, ya que estas prensas no están diseñadas para trabajo

pesado. Se usan para recortado, doblado y desbarbado.

2.2.4 Prensa de costados rectos

Conforme aumenta la capacidad de una prensa, se hace necesario aumentar la resistencia y

rigidez del bastidor. Las prensas de costados rectos son más fuertes, pues las grandes fuerzas son



soportadas hacia arriba en dirección vertical por los costados del bastidor; y hay poca tendencia a que

la alineación de punzones y matrices se vea afectada por el esfuerzo. Estas prensas se encuentran

disponibles para capacidades mayores de 11 MN. Las prensas de costados rectos se fabrican con

diversos medios de suministro de energía y diferentes métodos de operación. Para las prensas más

pequeñas, generalmente se usa una sola manivela o excéntrica, pero conforme aumenta el tamaño de la

pieza, se necesitan manivelas adicionales para distribuir la carga uniformemente en la corredera.

La corredera se puede suspender en posición, ya sea por una, dos o cuatro guías o puntos de sus-

pensión. Las prensas de doble efecto usadas ampliamente en las operaciones de embutido, tienen un

ariete externo que precede al punzón y sujeta al habilitado antes de la operación de punzonado. El

ariete externo es impulsado generalmente por un mecanismo especial de balancín o leva, mientras que

para el ariete interior, que lleva al punzón, es un mecanismo de manivela. En la fig. 2.4 ser muestra una

gran prensa cerrada de costados rectos con palanca acodillada de doble efecto. La presión se aplica a la

corredera en cuatro puntos. Esta es una ventaja característica de las prensas de áreas grandes debido a

que tal construcción previene la inclinación de la corredera con cargas desequilibradas. El mecanismo

de palanca acodillada en esta máquina es para controlar el movimiento del pisador del habilitado.

Un mecanismo de palanca acodillada, mostrado en la fig. 2.12, se puede describir como un

conjunto de dos o más barras tales que aunque unidas extremo a extremo no están alineadas, excepto

cuando la "rodilla" se endereza. Como consecuencia, se logra una gran fuerza en los extremos; al

momento en que se aplica esta fuerza, y cuando no hay movimiento en el pisador del habilitado, se le

conoce como periodo de detención. Esto es necesario para sujetar el habilitado en las operaciones de

embutido, y se recomienda frecuentemente tener un ligero paro en el punzón, para dejar que el metal se

ajuste adecuadamente bajo la presión.



Fig. 2.4 Toldo completamente formado con una carrera en una prensa cerrada de palanca

acodillada.

Los bastidores de costados rectos se usan también en las prensas hidráulicas en las que hay

impacto de cargas pesadas, tal como en el formado de material de calibre grueso, forjado en prensa,

acuñado y embutido profundo.

2.2.5 Prensa de yunque

Las prensas de yunque, como la ilustrada en la fig. 2.3, tienen un eje grueso que se proyecta

desde el bastidor de la máquina, en lugar de la bancada ordinaria. Donde está provista de bancada, se

acondiciona moviéndola hacia un lado al usar el yunque. Esta prensa se usa principalmente en objetos

cilíndricos que implican operaciones de empalmado, reborde de contornos, punzonado, remachado y

repujado.

2.2.6 Prensa de junta articulada

Las prensas proyectadas para el acuñado, calibrado y repujado fuerte, deben ser muy

voluminosas para soportar las grandes cargas concentradas que se les aplican.



La prensa mostrada en la fig. 2.5 está diseñada para este propósito, y está equipada con un

mecanismo de junta articulada para accionar la corredera. El eslabón superior o articulación de esta

prensa, está abisagrado en un extremo en la parte superior del bastidor y sujeto a un pasador en el otro.

El eslabón inferior está también sujeto al mismo pasador y el otro extremo a la corredera. Un tercer

eslabón está sujeto a los extremos del pasador y actúa en dirección horizontal para mover a la junta,

como se ilustra en la fig. 2.12. En cuanto se coloca a los dos eslabones de articulación en posición

rectilínea, la corredera ejerce una gran fuerza.

Este tipo de prensa siempre ha tenido uso amplio en el acuñado de monedas. De acuerdo a las

pruebas efectuadas por The United States Mint en Filadelfia, se requiere una fuerza de 0.9 MN para

lograr impresiones claras de monedas de medio dólar hechas en una matriz cerrada. Junto con el

acuñado de monedas, se pueden prensar en frío con este tipo de máquina, muchas otras piezas tales

como medallas, llaves ciegas, placas para automóvil, cajas para relojes y utensilios de plata.

También se pueden efectuar operaciones de calibrado, cabeceado en frío, enderezado,

estampado pesado y otras similares. Ya que la carrera de este tipo de prensa es corta y lenta, no se

adapta a las operaciones de embutido o doblado.

Fig. 2.5 Prensa de junta articulada con bastidor de hierro fundido; capacidad 5.3 MN.



2.2.7 Prensa dobladora

Las prensas dobladoras se usan para doblar, formar, rebordear, repujar, desbarbar y punzonar

lámina metálica de bajo calibre. Tales prensas pueden tener espacio para lámina de 6 m de ancho y 16

mm de espesor. La fig. 2.6 es una prensa dobladora controlada con tarjeta perforada que

automáticamente formará, punzonará y cortará a la longitud piezas de acero. Las tarjetas se pueden

producir con papel ordinario para perforar.

La capacidad de presión requerida de una prensa dobladora para un material dado, se determina

por la longitud de la pieza, el espesor del metal y el radio del doblez. El radio mínimo interior de

doblez se limita usualmente a un valor igual al espesor del material.

Para las operaciones de doblado, la presión requerida varía en proporción a la resistencia a la

tensión del material. Las prensas dobladoras tienen carreras cortas, y están equipadas generalmente con

un mecanismo impulsor de tipo excéntrico.

Fig. 2.6 Prensa dobladora controlada con tarjetas.

La fig. 2.7 ilustra dos prensas poco usuales que con material de calibre grueso se emplean en la

producción de tubería de 760 y 915 mm para sistemas de gasoductos. Como primer paso de la

operación, la prensa del tipo dobladora, flexiona a la gran placa en forma de “U”. A partir de esta



forma, se le comprime en una prensa "O" a presiones mayores de los 125 MPa dentro de una forma

tubular. Después de esta serie de operaciones de formado, se suelda por resistencia a la tubería, se

limpia y se revisa.

Fig. 2.7 Pasos del formado de tubo de gran diámetro en prensa.

2.2.8 Cizallas de escuadrar

Esta máquina se usa exclusivamente para cizallar láminas de acero y se fabrica tanto para

operación manual como operación con motor. Se pueden colocar láminas con un ancho mayor de 3 m.

Están provistas de pisadores hidráulicos cada 300 mm para prevenir cualquier movimiento de la lámina

durante el corte. En la operación, la lámina avanza sobre la bancada de manera que la línea de corte se

encuentre bajo la cuchilla. Cuando se acciona el pedal, los pisadores descienden" y las cuchillas cortan

progresivamente a lo largo de la lámina.

2.2.9 Prensa de Revólver

Las prensas de revólver se adaptan especialmente a la producción de piezas de lámina metálica

que tengan diversos modelos de agujeros de muchos tamaños. En las prensas convencionales de esta



clase, se prepara una plantilla para guiar al punzón, y el tamaño del agujero se selecciona haciendo

girar un revólver que contiene los punzones.

La fig. 2.8 ilustra una prensa punzonadora de revólver de 0.3 MN con control de cinta, que

puede trabajar láminas de tamaños de 1200 a 1830 mm. La lámina se posiciona debajo del punzón a

una velocidad de la mesa de 6 m/min. Se pueden perforar agujeros mayores de 120 mm en acero de 9.4

mm de espesor, a razón de más de 30 por minuto con una precisión de 0.13 mm. Se pueden ajustar al

revólver 32 punzones diferentes.

Fig. 2.8 Prensa revólver de 0.27 MN que usa computadora de control numérico.

2.2.10 Prensa hidráulica

Las prensas hidráulicas tienen carreras más prolongadas que las prensas mecánicas y desarrollan

plena fuerza a lo largo de toda la carrera. Sin embargo, la capacidad de estas prensas es fácilmente

ajustable, y sólo se puede usar una fracción de la fuerza. También se puede ajustar la longitud de la

carrera como sea necesaria. Las prensas hidráulicas se adaptan especialmente a operaciones de

embutido profundo, debido a su movimiento lento y uniforme. También se usan para otras operaciones

numerosas que requieren de grandes fuerzas, tales como el aglomerado de metales en polvo, extruido,

laminado, moldeo de plástico y forjado. No se recomiendan para recortado fuerte y operaciones de

punzonado, ya que el choque del rompimiento es perjudicial para la prensa. El mantenimiento es mayor



que para las prensas mecánicas, aun cuando la operación de la prensa es más lenta. Las prensas

hidráulicas pequeñas se asemejan a las prensas de costados rectos. Para trabajo de grandes áreas se usa

la de construcción tipo poste o de cuatro columnas.

La prensa hidráulica que se muestra en la fig. 2.9 está especialmente diseñada para hacer

embutidos profundos en toda clase de lámina metálica. El punzón principal de embutido, montado en la

corredera superior, se mueve en tándem con la corredera del pisador, el cual lo rodea debajo hasta que

hace contacto con el habilitado. La matriz descansa sobre la placa soporte; por debajo de ésta hay un

dado amortiguador que ayuda a mantener la presión en el habilitado o a expulsar la pieza formada.

Fijado el pisador en la corredera principal y el dado amortiguador libre, la prensa actúa como prensa

hidráulica de acción simple.

Fig. 2.9 Prensa de embutido de doble acción.

2.2.11 Prensa de Transferencia

Las prensas de transferencia siendo completamente automáticas, son capaces de realizar

simultáneamente operaciones consecutivas. El material se alimenta a la prensa en forma de rollos o

habilitados desde un apilamiento alimentador. En la operación, el material se mueve de una estación a

la siguiente por medio de un mecanismo sincronizado con el movimiento de la corredera. Cada matriz

es una unidad separada y está provista de un punzón que se puede ajustar independientemente desde la

corredera principal. La fig. 2.10 es una unidad de 2.2 MN y produce 1 600 placas terminales de



arrancador por hora.

Fig. 2.10 Prensa de transferencia con capacidad de 2.2 MN que produce 1600 placas terminales

para arrancar por hora.

El uso económico de las prensas de transferencia depende de la cantidad de producción, pues su

ritmo normal es de 500 a 1 500 piezas por hora. Los productos manufacturados con este equipo

incluyen faros para carrocerías, cascos para el tambor de freno, charolas para cubos de hielo, puertas

para refrigerador y piezas para estufas.

2.2.12 Máquina de Cuatro Correderas

La máquina de cuatro correderas tiene muchas ventajas sobre la punzonadora en las operaciones

complejas de formado de piezas pequeñas hechas de lámina metálica.

La máquina básica tiene cuatro correderas con transmisión de fuerza separadas 90" que se

controlan independientemente por levas para moverse en forma progresiva siguiendo un ciclo. La fig.

2.11 muestra la secuencia de operaciones para el formado de una grapa de ballesta.



Fig. 2.11 Secuencia de operaciones en una máquina de cuatro correderas.

La máquina de cuatro correderas se puede equipar con punzones, herramientas para corte y

recorte, dispositivos elevadores y selectores, taladros y en algunos casos, un punzón vertical. Las

herramientas se pueden hacer para girar, abrir o cerrar si la operación así lo requiere.

Se alimenta a la máquina de material enrollado, ya sea alambre o fleje, se endereza primero

pasándolo por unos rodillos montados en el bastidor.

Se pueden usar tolvas y posicionadores de precisión si las piezas se recortan previamente;

también se pueden emplear máquinas para soldar por puntos y a tope. El proceso puede ser casi

automático y permite la fabricación masiva de piezas.



2.3 Mecanismos de transmisión para prensas

La mayoría de mecanismos de transmisión para prensas que se usan para comunicar potencia a la

corredera, se muestran en la fig. 2.12.

Fig. 2.12 Mecanismos de transmisión usados en prensa,

La transmisión más común es la de manivela simple, la cual da a la guía un movimiento

armónico simple. En una carrera de descenso la corredera se acelera, alcanzando su velocidad máxima

a mitad de la carrera, entonces se desacelera. La mayoría de operaciones de prensa ocurren cerca de la

mitad de la carrera, a la velocidad máxima de la corredera.

La transmisión excéntrica da un movimiento como el de la manivela y se usa frecuentemente en

donde se requiere una carrera más corta. Sus proponentes argumentan que tiene una mayor rigidez y

una menor tendencia a la deflexión que una transmisión de manivela.

Se usan levas en donde se desea algún movimiento especial, tal como una detención en la parte

inferior de la carrera. Esta transmisión tiene cierta similitud con la transmisión excéntrica, excepto que



se usan rodillos seguidores para transmitir el movimiento a la corredera.

Las prensas de cremallera y engrane se usan solamente en donde se necesita una corredera muy

larga. El movimiento de la corredera es mucho más lento que en las prensas de manivela, y se obtiene

movimiento uniforme. Tales prensas tienen topes para controlar la longitud de la carrera y se pueden

equipar con alguna característica de retorno rápido para elevar la corredera de regreso a la posición

inicial. La prensa común de husillo es un ejemplo familiar.

La transmisión hidráulica se usa en muchas prensas para una gran variedad de trabajos. Se

adapta especialmente a presiones grandes y bajas velocidades en las operaciones de formado, prensado

y embutido.

En la transmisión de tornillo, la corredera se acelera por medio del disco de fricción que está

acoplado al volante; y conforme el volante se mueve hacia abajo, se le aplica una mayor velocidad. El

movimiento de la corredera es acelerado, desde el principio hasta el final de la carrera. Toda la energía

almacenada es absorbida por la pieza al final de la carrera. La acción se asemeja a la de un martinete,

pero es más lenta y hay menor impacto. A las prensas de este tipo se les conoce como prensas de

percusión.

Se usan diversos mecanismos de eslabón en las transmisiones para prensa, debido ya sea al tipo

de movimiento que tienen o a las ventajas mecánicas que desarrollan. Es de uso muy común la junta

articulada, debido a que tiene una gran ventaja mecánica cerca del final de la carrera cuando los dos

eslabones se aproximan a una línea recta. Debido a la gran capacidad de carga de estos mecanismos, se

usa para operaciones de acuñado y calibrado.

Las transmisiones excéntricas o hidráulicas se pueden sustituir por la de manivela que se

muestra en la figura 2.12 . Los mecanismos de palanca acodillada se usan primordialmente para fijar al

habilitado en la operación de embutido y se hacen en una variedad de diseños.

La corredera auxiliar en la figura es accionada por una manivela, pero se pueden usar

excéntricas o levas. El objeto principal de este mecanismo es obtener un movimiento que tenga un pe-



riodo de detención adecuado de manera que se pueda sujetar efectivamente al habilitado.

2.4 Mecanismos de alimentación.

La seguridad es una consideración fundamental en las operaciones con prensa, y debe tomarse

toda precaución para proteger al operador. Siempre que sea posible, se debería alimentar el material a

la prensa por medios que eliminen cualquier posibilidad de que el operador tenga sus manos cerca de

las matrices. En los trabajos de producción prolongada, tales características se pueden lograr

económicamente de varias maneras.

Los dispositivos de alimentación aplicados a las prensas de tamaños mediano y pequeño tienen

la ventaja de alimentar rápido y de manera uniforme a la máquina en adición a las características de

seguridad.

Uno de los tipos comunes de mecanismos de alimentación es el de avance con doble rodillo que

emplea material enrollado y carretes para el desecho. La operación de los rodillos de avance está

controlada por un excéntrico en el cigüeñal a través de una articulación hacia una rueda de trinquete, la

cual jala al material a lo largo de la matriz. Cada vez que el ariete se mueve hacia arriba, los rodillos

giran y alimentan la cantidad adecuada de material para la siguiente carrera. Se puede variar la cantidad

de material alimentado a través de los rodillos, proporcionando a la máquina de un excéntrico variable.

En la Fig. 2.13 se muestra una prensa automática de alta velocidad equipada con un avance de

corredera. El desecho de esta prensa se corta en pequeñas longitudes para su fácil manejo, en lugar de

volverse a enrollar en el carrete de desecho. Para materiales pesados, se pueden usar rodillos para

enderezar, que actúan también como rodillos de avance. Otro tipo de dispositivo de avance es el

alimentador con cuadrante indicador de estaciones.

Este método está diseñado para recibir piezas simples que se han habilitado o formado

previamente en alguna otra prensa. También aquí la indicación está controlada por un excéntrico en el

cigüeñal a través de un mecanismo de eslabón adecuado hacia el cuadrante indicador. Cada vez que se

efectúa una carrera, el cuadrante indica una estación. Toda alimentación por parte del operador, tiene



lugar al frente de la máquina, lejos de las matrices. Las partes ligeras se pueden apilar en un depósito y

colocarse en posición por un dispositivo de succión. Se levanta una pieza de encima de la pila por

medio de dedos de succión y se coloca contra un tope calibrado en la matriz. El depósito de

alimentación se puede usar también con un mecanismo de movimiento alternativo que alimente las

piezas del fondo de la pila. La alimentación por gravedad se usa algunas veces en las prensas

inclinadas, resbalando el habilitado en cajas por encima de la matriz.

Fig. 2.13 Prensa automática de alta velocidad con corredera de alimentación movida por una flecha

motriz. Capacidad 0.3 MN.

2.5 Antecedentes de la prensa a diseñar.

Hace algunos años se intento diseñar la prensa en cuestión, pero no se logro cumplir con las

expectativas requeridas, además de que con el tiempo de uso, sufrió deformaciones plásticas excesivas,

por lo que se justifica el rediseño de ella en este trabajo. Cabe mencionar que en ese entonces no se

hizo un diseño completo de los elementos mecánicos y estructurales que formaban la estructura de la

prensa, por lo que se realizo sólo con cálculos empíricos.



En las figuras 2.14 se muestra la prensa, solamente la parte estructural, ya que actualmente esta

incompleta, le falta la parte hidráulica la cual es mediante un gato hidráulico de 2 toneladas de

capacidad colocado en la parte superior.

Fig. 2.14 Parte estructural de la prensa a diseñar.



En la figura 2.15 se muestra como se han flexionado permanentemente las vigas de perfil en

acero debido a la presión hidráulica que se ejerce en ellas.

Fig. 2.15 Vigas flexionadas.

2.6 Descripción de la prensa a diseñar.

En la figura 2.16 se muestra un bosquejo de lo que seria la prensa, anexando al final del trabajo

un dibujo completo con dimensiones y características.

Como se puede observar en el esquema, tendremos varios tipos de elementos debido a la acción

de la fuerza hidráulica. Por mencionar algunos: vigas, columnas, elementos sometidos a tensión,

tornillos, remaches, soldadura, etc, .

En el capitulo IV es dónde aplicaremos las ecuaciones de diseño de resistencia de materiales y

analizaremos cada elemento para determinar sus dimensiones mas adecuadas. El material a utilizar será

acero estructural determinando también cual sería el perfil mas adecuado.



Fig. 2.16 Esquema simple de la prensa


CAPITULO III. METODO DEL ELEMENTO FINITO

CAPITULO III EL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO

3.1. Antecedentes históricos del método del elemento finito.

El principio básico del método del elemento finito ha sido empleado durante siglos en diferentes

formas. Todas ellas tienen la característica común de reemplazar un problema real por uno más simple,

haciendo uso de los llamados elementos finitos. Si el problema simplificado puede resolverse y la

solución obtenida representa una solución verdadera para el problema real y con una precisión

satisfactoria, entonces este método pasa a ser una herramienta poderosa y muy útil. A pesar de que el

desarrollo actual del método del elemento finito lo hace ser bastante más sofisticado que los conocidos

en la antigüedad, el esquema básico de sustituir un problema real mediante uno simplificado sigue

siendo el mismo.

Las primeras noticias que se tienen del empleo del método del elemento finito se remontan a

mucho más de dos mil años, en la antigua Grecia, cuando se aplicó este método a la geometría. Los

matemáticos de aquella época aproximaron el número trascendente π, substituyendo un círculo por un

polígono regular de muchos lados y obtuvieron de este modo resultados sorprendentemente precisos.

Arquímedes, uno de los mas grandes matemáticos de la antigüedad, usó elementos finitos para

determinar volúmenes de sólidos, el nombró a su procedimiento “método exhaustivo”. Éste método lo

llevo al umbral del cálculo. El método de elemento finito se empezó a desarrollar tal y como lo

conocemos en la actualidad en la década de los 40s.

La formulación general del método de la teoría matricial de estructuras, basado en los principios

energéticos fundamentales de la elasticidad (el principio de los trabajos virtuales de D´Alembert), se

debió a Argyris y Kesley(2).

En 1953, Levy(3) introdujo la formulación del método basándose en la matriz de rigidez. Levy

aplicó esta formulación para estudiar el comportamiento elástico de las alas tipo Delta en aeronaves,

resolviendo las ecuaciones planteadas con computadoras digitales. En esta época M. J. Turner formó un



pequeño grupo dentro de la compañía Boeing con el fin de desarrollar un método de análisis para

aplicar la formulación de la matriz de rigidez en cálculos dinámicos de estructuras. Como resultado, en

1956, Turner, Clough, Martin y Topp publicaron un artículo(4) considerado como la contribución clave

en el progreso del método del elemento finito. Este trabajo y el presentado por Argyris y Ke1sey(2)

dieron origen a que el método tuviera un desarrollo explosivo y que fuera aplicado extensamente en la

ingeniería.

El término "método del elemento finito" fue propuesto por Clough(5) en 1960, en una

publicación referente a problemas de elasticidad plana. El problema de la flexión de placas fué tratado

en primera instancia por Melosh(6) y por Adini y Clough(7), ambos trabajos fueron publicados en 1961 y

emplearon elementos finitos rectangulares.

En 1963, Grafton y Strome(8) publicaron un trabajo concerniente al estudio de conchas deldagas,

empleando un elemento finito cónico. Este trabajo introdujo el análisis axisimétrico para su aplicación

en conchas delgadas y recipientes sometidos a presión.

Melosh(9), en 1963, estableció las bases matemáticas para fundamentar el método del elemento

finito, convirtiéndolo en un área de estudio interesante para los académicos. Melosh reconoció que el

método del elemento finito es una variante del método de Rayleigh-Ritz y lo confirmó como una

técnica de uso general para manejar problemas continuos de elasticidad. Zíenkewicz y Cheung(10)

interpretaron el método del elemento finito de una manera más amplia, presentando la formulación

variacional del método.

Hasta 1967, los matemáticos e ingenieros trabajaron con el método del elemento finito

separados unos de los otros. Hoy en día ambos campos tienen conocimiento uno del otro, no obstante,

los matemáticos raras veces se interesan en los problemas de ingeniería.

3.2. Campo de aplicación del método del elemento finito.

En nuestro tiempo el avance en el campo de la computación ha sido grande, involucrando en

ello los adelantos en el desarrollo de software. Así se puede mencionar que en el área de diseño y



cálculo se tienen paquetes de gran potencia, dentro de los cuales se pueden mencionar, el COSMOS, I-

DEAS, SAP, CATIA, NASTRAN, ANSYS, ABAQUS, NISA, PATRAN, etc.

Estos paquetes de diseño y cálculo, tienen algo en común, que su procedimiento de análisis se

basa en el método del elemento finito. La combinación entre éste método y el desarrollo de la

computación ha venido a dar como resultado una poderosa herramienta de análisis.

El método del elemento finito se basa principalmente en análisis matricial y su uso ha alcanzado

las áreas de transferencia de calor, mecánica de fluidos, hidráulica, electromagnetismo, estructuras, etc.

Dentro del análisis estructural podemos resolver estructuras reticulares como vigas, marcos,

armaduras, columnas y estructuras continuas como placas, cascarones, membranas, etc. Así también se

pueden llevar a cabo análisis dinámicos y problemas no lineales geométricos o por material.

En la tabla 3.1. se muestran las variables típicas en un análisis por elemento finito.

VARIABLES TÍPICAS EN EL ANÁLISIS POR ELEMENTO FINITO

APLICACION PRIMARIO ASOCIADO SECUNDARIO

Análisis de esfuerzos Desplazamiento.

Rotación.

Fuerza.

Momento.

Esfuerzo.

Criterio de falla.

Error estimado.

Transferencia de

calor.

Temperatura. Flujo. Flujo interior.

Error estimado.

Flujo potencial. Función

Potencial

Velocidad

Normal

Velocidad

Interior

Error estimado

Navier - Stokes Velocidad

Presión

Presión Error estimado

Potencial eléctrico Campo eléctrico Densidad de flujo Error estimado.

Potencial magnético Flujo magnético Densidad de

corriente

Error estimado



3.3. Método del elemento finito.

El método del elemento finito(11), (12), (13), (14) y (15) es una técnica de análisis numérico empleada

para obtener soluciones aproximadas para una amplia variedad de problemas de ingeniería. En la

actualidad, se sabe que en muchas situaciones es necesario resolver estos problemas obteniendo

soluciones numéricas aproximadas en vez de soluciones exactas.

Las alternativas que el analista puede elegir para solucionar problemas son numerosas. Una

posibilidad consiste en hacer planteamientos a priori que simplifiquen el problema de manera que

pueda resolverse. En algunas ocasiones este procedimiento funciona; pero lo usual es que se resuelve

un problema similar que aproxima la solución del problema real pero que conduce a respuestas muy

imprecisas o erróneas. Ahora que se dispone de computadoras digitales poderosas, la alternativa más

viable consiste en retener la complejidad del problema y tratar de encontrar una solución numérica con

alto grado de aproximación

La aparición de la computadora alteró radicalmente la capacidad disponible para resolver

ecuaciones diferenciales parciales, lográndose que las soluciones numéricas estén al alcance de la

mayoría de los analistas, ya que el número de términos que puede emplearse para representar el

fenómeno que se modela (temperatura, presión o desplazamiento) es muy grande.

Muchos son los métodos aproximados que se han desarrollado para el análisis numérico; el

método que más se ha empleado es el de diferencias finitas. Los modelos de diferencias finitas (el cual

está formado por ecuaciones diferenciales formuladas para un arreglo o red de puntos) se mejora

conforme se emplean una mayor cantidad de puntos. Esta técnica puede usarse para solucionar

problemas complejos; pero, en aquellos casos en los que se tienen geometrías irregulares o

especificaciones de condiciones de frontera poco usuales, el método de las diferencias finitas se torna

difícil de emplear. .

En tiempos más recientes se ha desarrollado el método del elemento finito, el cual es también

un método aproximado de análisis numérico. A diferencia del método de las diferencias finitas, el cual

contempla la región modelada como un arreglo o red de puntos, el método del elemento finito emplea



un arreglo de varias subregiones o elementos de tamaño muy pequeño y que están interconectados

entre sí. El modelo por elementos finitos de un problema, ofrece una aproximación por elementos de

las ecuaciones gobernantes.

La premisa básica del método del elemento finito es que el dominio de estudio puede modelaras

o aproximarse analíticamente, reemplazándolo por elementos discretos perfectamente ensamblados.

Como dichos elementos pueden ser colocados en una gran variedad de posiciones y dimensiones, se

puede usar para representar aun las formas más complejas.

Con el fin de recalcar el principio básico del método del elemento finito, se reproduce la

definición dada por L. J. Segerlind(27) en lo concerniente a este principio: "El concepto fundamental del

método del elemento finito consiste en que cualquier función característica del medio continuo, como

la temperatura, presión, o desplazamiento, puede aproximarse por un modelo discreto compuesto de

una serie de funciones continuas pieza a pieza, definidas en un número finito o subdominios.

Las funciones continuas pieza a pieza se definen empleando los valores de la cantidad continua

en un número finito de puntos en su dominio".

Dichas series de funciones continuas se eligen comúnmente de manera que aseguren la

continuidad del comportamiento de éstas a través del medio continuo completo; aun en los casos en que

los campos elegidos no aseguren continuidad, se pueden obtener soluciones satisfactorias.

Si el comportamiento de una estructura se rige por una sola ecuación diferencial, entonces, tanto

el método del elemento finito, como el método de las diferencias finitas, pueden aplicarse para obtener

una solución satisfactoria de la ecuación. Pero si es necesario emplear distintas ecuaciones diferenciales

para describir el comportamiento de un medio continuo, ya sea porque éste está compuesto de varios

materiales o que las propiedades físicas del material no son homogéneas, únicamente el método del

elemento finito puede aplicarse directamente.

Del mismo modo que otros procedimientos numéricos alternativos, empleados para solucionar

problemas prácticos en el campo de la mecánica del medio continuo, el método del elemento finito



requiere formular y resolver sistemas de ecuaciones diferenciales. La principal ventaja de este método

reside en la capacidad de ser automatizado para formar ecuaciones y la habilidad que tiene para

representar estructuras irregulares y complejas, así como condiciones de frontera diversas.

Como se mencionó antes, el método del elemento finito posee una alta capacidad para

representar formas complejas, mientras que el método de las diferencias finitas presenta muy serias

dificultades para discretizar formas complejas.

Cabe aclarar que el método del elemento finito cuando emplea la formulación variacional

calcula, en primera instancia, los desplazamientos en los nodos de los elementos. Además, para obtener

una solución satisfactoria, realiza varias iteraciones con todos los elementos, esto es, parte de los

resultados obtenidos en una primera iteración, para repetir los cálculos de desplazamiento y, de este

modo, mejorar paulatinamente resultados posteriores que van aproximando a los reales, repitiendo este

procedimiento es posible alcanzar un factor de exactitud elegido por el usuario del método.

Una vez que se encuentran los desplazamientos de los nodos, éstos pueden traducirse en

deformaciones y posteriormente en esfuerzos. Para calcular los esfuerzos a partir de las deformaciones,

se emplea la ley de Hooke (Ecuaciónes 3.1) en dos dimensiones, que establece que:


---------- (3.1)


3.4. Fundamentos del método de elemento finito.

En un problema del medio continuo de cualquier dimensión, la variable bajo consideración (ya

sea presión, temperatura, desplazamiento, esfuerzo, o alguna otra cantidad) tiene una infinidad de

valores, ya que es una función de cada uno de los puntos que forman el cuerpo o dominio de estudio.

Como consecuencia de ésto, el problema tiene un número infinito de incógnitas El método del

elemento finito discretiza el dominio reduciendo el problema a un número finito de incógnitas,

mediante la división del dominio en elementos y expresando al mismo tiempo el campo de incógnitas

en términos de funciones aproximadas para cada elemento.

Las funciones de aproximación (también llamadas funciones de interpolación) son definidas en

términos de los puntos nodales. El comportamiento del campo de la variable respecto de los elementos

viene dado por los valores nodales del campo de la variable y las funciones de interpolación para los

elementos. Para el método del elemento finito, los valores nodales en el campo de la variable se

convierten en las nuevas incógnitas. Una vez que se resuelven las incógnitas, las funciones de

Interpolación definen la variable a través del ensamble de los elementos.

Naturalmente, la exactitud de la solución depende tanto del tamaño, como de la cantidad de

elementos usados, así como de las funciones de interpelación empleadas. No se deben elegir funciones

arbitrariamente, porque no se cumplirían las condiciones de compatibilidad requeridas. Normalmente

se eligen funciones de interpolación de modo que la variable o sus derivadas sean continuas a través de

los límites de los elementos adyacentes.

El método del elemento finito posee una característica que lo hace único entre los métodos

numéricos aproximados. Esta característica es la capacidad para formular soluciones para elementos

individuales antes de ensamblarlos para representar el problema completo. Un ejemplo de dicha

característica es que si se estuvieran tratando problemas de análisis de esfuerzos, sería posible

encontrar la rigidez para cada elemento y ensamblar todos los elementos para determinar

posteriormente la rigidez de la estructura completa. En esencia, un problema complejo se reduce

considerando varios problemas simplificados.



3.5. Procedimiento del método del elemento finito.

El método del elemento finito es un procedimiento ordenado, el cual puede resumirse a grandes

rasgos como:

3.5.1. Discretización del dominio.

El primer paso consiste en dividir el dominio de estudio en elementos. Puede emplearse una

amplia variedad de formas de elementos y si se tiene el suficiente cuidado, se pueden emplear

diferentes tipos de elementos en la misma discretización. En realidad, cuando se analiza una estructura

que tiene diferentes tipos de componentes, como son placas y vigas, no sólo es deseable sino necesario,

emplear diferentes tipos de elementos en el mismo dominio. A pesar de que la decisión del tipo y

número de elementos a usar son cuestiones de ingeniería, el análisis puede apoyarse en la experiencia

de otros analistas para guiarse.

3.5.2. Seleccionar las funciones de interpolación.

El siguiente paso es asignar los nodos de cada elemento y elegir el tipo de función de

interpolación para representar el cambio de la variable sobre el elemento. La variable puede ser un

escalar, un vector, o un tensor de orden superior. En muchas, ocasiones, pero no siempre, se

seleccionan polinomios como funciones de interpelación para la variable porque éstos se integran y

diferencian fácilmente. El grado del polinomio elegido depende del número de nodos asignado a cada

elemento, de la naturaleza y el número de las incógnitas de cada nodo y los requerimientos de

continuidad impuestos a los nodos, a lo largo de los límites de los elementos. La magnitud de la

variable, así como la magnitud de sus derivadas, pueden ser las incógnitas existentes en cada nodo.

3.5.3. Definir las propiedades de los elementos.

Una vez que ha sido establecido el modelo de elementos finitos (esto es, ya que se eligieron los

elementos y sus funciones de interpolación), se está en posibilidad de determinar las ecuaciones

matriciales que expresan las propiedades de cada uno de los elementos. Para realizar ésto se puede



emplear alguna de las cuatro formulaciones posibles de el método del elemento finíto: la formulación

directa, la formulación variacional, la formulación de los pesos residuales o la formulación del balance

de energía La formulación variacional es generalmente la más conveniente, pero para cualquier

aplicación, la selección de la formulación depende completamente de la naturaleza del problema.

3.5.4 Ensamblar las propiedades de los elementos para obtener las ecuaciones del sistema,

considerando las condiciones de frontera del espécimen.

Para determinar las propiedades de todo el sistema modelado por la red de elementos, se deben

"ensamblar" las propiedades de todos los elementos. Esto es, se requiere combinar las ecuaciones

matriciales expresando el comportamiento del dominio entero, o sistema. Las ecuaciones matriciales

para el sistema tienen la misma forma que las ecuaciones para un sólo elemento, excepto que éstas

contienen muchos más términos, porque incluyen a todos los nodos.

La base para realizar el procedimiento de ensamble se fundamenta en el hecho de que en un

nodo, donde se interconectan elementos, el valor de la variable es el mismo para cada elemento que

comparte dicho nodo. El ensamble de las ecuaciones de los elementos es una labor rutinaria y

usualmente se hace empleando computadoras digitales.

Antes de que las ecuaciones del sistema estén listas para ser solucionadas, deberán modificarse para

introducir las condiciones de frontera del problema. Esta parte es fundamental para llevar a buen

término un análisis mediante el método del elemento finito. Si no se representan de una forma

adecuada las condiciones de frontera que tiene el espécimen modelado, los resultados obtenidos serán

poco confiables.

3.5.5. Resolver el sistema de ecuaciones.

El proceso de ensamble del paso anterior, establece una serie de ecuaciones simultáneas, las

cuales pueden resolverse para obtener los valores nodales de la variable. Si el sistema de ecuaciones es

lineal, se pueden emplear varias técnicas de solución comunes, como son la Eliminación de Gauss, el

método de Eliminación de GaussSeidel, o la descomposición de Cholesky(12); si las ecuaciones son no-



lineales, su solución es más difícil de obtener. Puede emplearse el método de Newton-Raphson, el

método de Sustituciones Sucesivas(16), o algún otro método iterativo para resolver sistemas de

ecuaciones no-lineales.

3.5.6. Efectuar cálculos adicionales.

En muchas ocasiones deseamos usar la solución de los sistemas de ecuaciones para calcular

otros parámetros importantes. Por ejemplo, en un problema de elasticidad plana, la solución del sistema

de ecuaciones da como resultado los desplazamientos nodales. Partiendo de dichos valores, es posible

calcular tanto las deformaciones, como los esfuerzos principales en los nodos, así como en los

centroides de los elementos. De la misma manera es posible calcular los ángulos principales, así como

otras magnitudes que sean de interés para los usuarios del método del elemento finito.

3.6. Tipos de elementos en el método de elemento finito.

Los tipos de elementos finitos más comunes se pueden clasificar de la siguiente manera:

3.6.1. Elemento barra.

Éste es el elemento más común dentro de la familia de los elementos finitos. Cuando se

combina con elementos del mismo tipo, describen estructuras como las armaduras y marcos. Cuando se

combinan con elementos de otro tipo como los elementos placa, forman estructuras atiesadas.

Fig. 3.1 Elemento barra. ING. ALEJANDRO ESCAMILLA NAVARRO 62


3.6.2. Elemento placa.

Los elementos finitos básicos son las placas delgadas cargadas en su propio plano (la condición

de esfuerzo plano), y podemos tener elementos triangulares y cuadriláteros.

Fig. 3.2 Elemento placa en esfuerzo plano.

3.6.3. Elementos sólidos.

Son la generalización tridimensional de los elementos en esfuerzo plano. El tetraedro y el

hexaedro son las formas más comunes de los elementos tridimensionales, y son esencialmente para

modelos analíticos de problemas de mecánica de sólidos y rocas y de estructuras para plantas

nucleares.

Fig. 3.3 Elementos sólidos.



3.6.4. Sólidos axisimétricos.

Uno de los campos de aplicación más importante dentro del método de elemento finito es el

análisis con sólidos axisimétricos. Una gran variedad de problemas de ingeniería caen en ésta categoría

incluyendo tanques de acero y de concreto, recipientes de contenido nuclear, rotores, pistones, flechas y

escapes de cohetes. En estos elementos tanto la carga como la geometría, usualmente son axisimétricos.

Fig.3.4 Sólido axisimétrico.

3.6.5. Placa plana en flexión.

Son usados no sólo entre sí, sino también junto con cascarones y miembros de pared delgada.

Las formas geométricas son análogas a las de los elementos en esfuerzo plano, con mayor énfasis

también en las formas triangulares y cuadriláteras.

Fig. 4.5 Placa plana bajo flexión.



3.6.6. Cascaron axisimétrico.

Tienen la misma importancia en aplicaciones prácticas que los sólidos axisimétricos, aunque

aquí las formulaciones se derivan de la teoría de la membrana. Dentro de esta formulación está la

diferencia con respecto a los elementos placa en flexión y tensión y sirve para identificar problemas

clave.

Fig. 3.6 Cascarón axisimétrico.

3.6.7. Cascaron curvo.

Cuando una estructura está curva, es preferible usar elementos cascaron curvo para los modelos

analíticos. Dentro de las ventajas está la habilidad para describir de forma más adecuada la geometría

de una superficie curva. Existe un gran número de alternativas para formular este tipo de elementos.

Fig. 3.7 Cascarón curvo.



Para realizar un análisis mediante el método del elemento finito, es necesario comenzar con la

discretización del dominio de estudio, de este modo se idealiza la región física de interés. Así, por

ejemplo, una estructura puede idealizarse empleando elementos axiales, mientras que las regiones

planas pueden ser discretizadas con elementos en forma de polígonos, como es el triángulo, y los

sólidos por elementos poliédricos , como es el tetraedro.

Si se desea subdividir una superficie cerrada empleando poliedros debe tenerse en cuenta la

siguiente propiedad de los poliedros: V - E + F = 2, donde V es el número de vértices, E es el número

de aristas y F es el número de caras. Entonces V - E + F es un invariante para los poliedros. Esto

significa que si se divide cualquier superficie cerrada en F regiones mediante E arcos que unan en pares

V vértices, entonces la expresión V-E+F es independiente del método que se emplee para dividir la

superficie.

Para una superficie plana idealizada, como una red de polígonos, la relación VE+F =1,

mientras que para un toroide, ésta es V-E+F=0. A los números 2, 1 y 0 se les denomina "característica"

de la superficie, de modo que una esfera se dice que tiene característica 2.

Conforme las investigaciones en el campo del método del elemento finito se han hecho más

sofisticadas y requieren de discretizaciones más exactas, ha sido preciso emplear elementos de forma

complicada. Los problemas idealizados con elementos unidimensionales, en los cuales se presenta una

flexión excesiva, no pueden manejarse adecuadamente empleando elementos axiales simples, con

funciones de desplazamiento lineales u(x) y v(x).

De este modo, se deriva el elemento curvo empleando una expansión cúbica para la función de

desplazamiento v (x). . Adicionalmente, para considerar factores tales como la deformación del cuerpo

rígido y estados de deformación permanente, se hace necesaria la inclusión de elementos con

refinamiento.

El analista puede seleccionar alguna de las siguientes tres categorías de elementos finitos:

1. Elementos de forma simple sin refinamiento.



2. Elementos de forma simple con refinamiento.

3. Elementos de forma complicada con refinamiento.

Así, también los elementos finitos pueden clasificarse dependiendo de la dimensionalidad

involucrada, por lo que se tiene:

1. Elementos unidimensionales (axiales).

2. Elementos bidimensionales.

3. Elementos tridimensionales.

Los elementos unidimensionales tienen una sección transversal determinada, pero por lo

general se representan esquemáticamente como un segmento de línea. El área de la sección transversal

puede variar a lo largo de su longitud, no obstante que para muchos problemas el área es constante.

El empleo más común de estos elementos es en problemas de transferencia de calor y en

problemas estructurales qué involucran miembros que soportan fuerzas axiales (tipo armadura).

Los elementos finitos bidimensionales, que se emplean con mayor frecuencia, son el triángulo y

el cuadrilátero. La capacidad de modelar fronteras curvas se obtiene agregando nodos intermedios en

los lados del elemento. Es posible emplear ambos tipos de elementos en un mismo dominio, siempre

que éstos tengan la misma cantidad de nodos en los lados que comparten elementos adyacentes. El

espesor de los elementos puede ser constante, o bien, puede variar en función de las coordenadas del

elemento.

Los elementos tridimensionales más comunes son los tetraedros y paralelepípedos y en

ambos, los elementos lineales sólo presentan lados rectos, mientras que los elementos de orden superior

pueden tener superficies curvas.



3.7. Formulación de elementos finitos.

La matriz característica del elemento finito tiene diferentes nombres en problemas de distintas

áreas. En mecánica estructural se le llama matriz de rigidez, y nos relaciona fuerzas con

desplazamientos en nodos. En conducción de calor esta se llama matriz de conductividad, y nos

relaciona temperaturas con flujos en los nodos.

Existen tres maneras importantes de derivar la matriz característica del elemento:

3.7.1. El método directo.

Éste está basado en razones físicas. Limitado a elementos muy simples, pero tiene un valor de

estudio debido a que este aumenta el entendimiento del concepto físico del método del elemento finito.

3.7.2. El método variacional.

Es aplicable a problemas que pueden ser establecidos por ciertas expresiones integrales tal

como la expresión de la energía potencial.

3.7.3. Los métodos de los residuos ponderados.

Son particularmente formulados para problemas en los cuales las ecuaciones diferenciales son

conocidas, pero no son funcionales para poder establecer como variacional.

3.8. Elementos isoparamétricos.

Cuando se tienen dificultades en idealizar superficies o fronteras curvas usando elementos con

lados rectos y superficies planas, se requiere emplear elementos con lados y/o caras curvas. Estos

elementos son paramétricamente equivalentes con sus elementos rectilíneos correspondientes, por ello

se les denomina ''elementos isoparamétricos”.Las funciones de coordenadas ε1 (x,y) y ε2 (x,y) serán en

general curvilíneas Dichas funciones de coordenadas relacionan las coordenadas cartesianas x, y con



los sistemas de coordenadas curvilíneas de los elementos isoparamétricos. Además, los elementos

adyacentes deben coincidir entre ellos con una sola interfase de modo que sus lados sean determinados

únicamente por los puntos nodales comunes.

3.9. Ventajas y desventajas del método del elemento finito

Dentro de las principales ventajas que presenta el método del elemento finito, se enumeran las

siguientes:

1. Es aplicable a todos los problemas de la mecánica del medio continuo, y problemas físicos en

general, que sean gobernados por ecuaciones diferenciales.

2. Es factible aplicarse a elementos compuestos de diferentes materiales, con propiedades físicas

distintas.

3. Pueden modelarse cuerpos con frontera de forma irregular, empleando elementos finitos con

lados rectos, aproximando la forma de la frontera; o bien, usar elementos con lados curvos y de

este modo modelar exactamente la frontera del dominio de estudio.

4. El tamaño y forma de los elementos puede variar. De esta forma, la malla de elementos finitos

se refina y/o expande, según se requiera, para analizar aquellas áreas consideradas críticas.

5. Este método posee la capacidad de analizar cuerpos con condiciones de frontera discontinua o

mixta, sin dificultades.

6. Los programas de cómputo desarrollados para un determinado problema pueden generalizarse

para resolver cualquier problema del mismo tipo. Esto es, si se escribe un programa para

determinar la distribución de esfuerzos en una barra prismática, puede emplearse dicho

programa para resolver los problemas de este mismo tipo, que surjan. El desarrollo de este tipo

de programas de cómputo está limitado por la capacidad de memoria de las computadoras y por



el costo asociado con la elaboración de dichos programas; no obstante, en la actualidad, estos

dos factores han sido superados con computadoras de gran capacidad y de costo reducido.

La principal desventaja del método del elemento finito, estriba en que, debido a la gran cantidad

de cálculos requeridos aun para resolver problemas simples, es indispensable el empleo de programas

de cómputo y el uso de computadoras en general. Adicionalmente en aquellos casos en los cuales es

necesario cambiar varias veces la geometría del dominio de estudio, este método requiere generar para

cada cambio de geometría, una malla diferente, lo cual hace que el análisis sea lento y tedioso. Esto

ocurre, por ejemplo, cuando se optimizan entalladuras, lo cual requiere de una variación de la

geometría del dominio, y por ende, es necesario generar varias mallas de elementos finitos


CAPITULO IV. ANÁLISIS MATEMÁTICO

CAPITULO IV ANÁLISIS MATEMÁTICO

4.1 Descripción de los elementos a diseñar.

Dentro de la prensa se presentan varios tipos de elementos dependiendo de la forma de

aplicación de su carga, en éste capítulo se presentará de forma muy general la teoría de mecánica de

materiales de cada elemento es decir sus principios y ecuaciones para posteriormente hacer el diseño de

cada elemento.

Los elementos de que se compone la prensa son los siguientes:

1. Viga.

2. Elementos a tensión.

3. Tornillos.

4. Columna.

El análisis se hará con diferentes perfiles de acero, comparándolos y determinando cual sería el

mejor para cada elemento.

4.2 Generalidades acerca de vigas.

Los elementos que soportan cargas aplicadas perpendicularmente a sus ejes longitudinales se

llaman vigas. En general las vigas son barras rectas y largas que tienen secciones transversales

constantes. Las vigas pueden considerarse entre los elementos estructurales mas importantes. Como

ejemplos se encuentran los miembros usados para soportar el piso de un edificio, la cubierta de un

puente o ala de un aeroplano. También el eje de un automóvil, la pluma de una grúa e incluso muchos

de los huesos del cuerpo humano funcionan como vigas.



Debido a las cargas aplicadas, las vigas desarrollan una fuerza cortante y un momento

flexionante internos que, en general, varían de punto a punto a lo largo del eje de la viga. Para poder

determinar la variación de las fuerzas cortantes y momentos flexionantes, nos ayudamos de diagramas

los cuales ilustran dicha variación y lo más importante, nos muestran los valores máximos que

utilizamos para el diseño.

4.2.1 Tipos de vigas, de cargas y características.

Podemos tener muchas combinaciones en cuanto a cargas y características de la viga, por

ejemplo una clasificación general de cargas aplicadas en una viga es la siguiente:

1. Carga concentrada.- Suponemos que se aplica en un punto.

2. Carga uniformemente repartida.- Carga aplicada uniformemente a lo largo de una longitud.

3. Carga uniformemente variable.- carga aplicada linealmente gradual desde un valor cero a un

máximo a lo largo de una longitud.

Una clasificación en cuanto los tipos de apoyos en una viga es la siguiente:

1. Viga simplemente apoyada.- Aquella que no tiene voladizos, es decir en su inicio y fin de

longitud se encuentra un apoyo.

2. Viga con voladizos (1 o 2).- En uno o en dos extremos no termina o inicia en apoyo.

3. Viga en cantiliver.- en un extremo está empotrada y en otro libre.

4. Viga continua.- Es aquella que tiene mas de dos apoyos.

Las vigas de acuerdo al número de incógnitas se pueden también dividir en isostáticas e

hiperestáticas. Las vigas isostáticas son aquellas en que las ecuaciones de equilibrio son suficientes

para resolverlas y las hiperestáticas son las que las ecuaciones de equilibrio son insuficientes para

resolverlas y requerimos ecuaciones de la geometría de la deformación.



4.2.2 Esfuerzo normal en vigas.

En vigas se presentan dos esfuerzos, esfuerzos cortantes y esfuerzos normales. Para diseñar una

viga siempre consideramos el esfuerzo normal, ya que el esfuerzo cortante en valores máximos es muy

pequeño en comparación con el esfuerzo normal, por lo que tenemos la siguiente ecuación:

yI

M=σ ............(Ec. 4.1)

Esta ecuación representa el esfuerzo en cualquier punto de la viga, considerando a M que es el

momento flexionante en ese punto, I momento de inercia de la sección transversal e y que es la

distancia del centroide a la fibra mas alejada en la sección transversal.

Si se tienen los valores máximos de M que lo obtenemos del diagrama y la máxima distancia

“Y” que le vamos a llamar C, entonces tendremos el máximo esfuerzo normal en la viga. Para diseño

en perfiles de acero nos valemos de un módulo que llamamos módulo de sección y lo representamos

con la letra S y su ecuación es:

CIS = ..........(Ec. 4.2)

Por lo que la ecuación 4.1 queda:

SM

=σ ..........(Ec. 4.3)

Para diseño tendremos que:

t

MAXMSσ

= ..........(Ec. 4.4)



Obteniendo el módulo de sección buscamos en las tablas del apéndice A y determinamos las

dimensiones y tipo de elemento a utilizar.

4.3 Generalidades acerca de elementos a tensión.

Es común encontrar elementos sujetos a tensión en puentes, armaduras, torres y miembros

usados como tirantes. Una ventaja es que en estos elementos no existe pandeo, es decir para su análisis

suponemos que la línea de acción de la carga que afecta a dicho elemento pasa por todos los centroides

de las secciones transversales resistentes, a este tipo de carga se le llama carga axial y es la forma más

simple en el análisis de elementos mecánicos. Este tipo de carga se muestra en la figura 4.1.

Este tipo de elemento nos ayuda a determinar algunas propiedades mecánicas de materiales,

mediante la prueba de tensión simple.

P

P

A

Fig. 4.1 Elemento sometido a carga axial.



4.4 Esfuerzo en elementos a tensión.

Como es obvio en elementos a tensión sólo se presentan esfuerzos normales y la ecuación para

calcularlos simplemente es la fuerza axial entre el área resistente. Cabe aclarar que el área resistente

siempre es perpendicular a la fuerza y la ecuación es:

AP

=σ ..........(Ec. 4.5)

Para diseño requerimos el área mínima por lo que el esfuerzo será el esfuerzo de trabajo y la

ecuación queda:

t

PAσ

= ..........(Ec. 4.6)

4.5 Elementos a tensión con barrenos.

Un elemento sin agujeros y sometido a una carga de tensión puede resistir, sin fracturarse

perfectamente la carga para la que fue concebido. Pero por otra parte tenemos un elemento a tensión

con agujeros para tornillos, éste puede fallar por fractura en la sección neta que pasa por los agujeros.

Ésta carga de falla puede ser más pequeña que la carga para el cual se diseñó.

Se debe tomar en cuenta que la parte del elemento que tiene un área transversal reducida por los

agujeros, es muy corta comparada con su longitud total y que seguramente la falla se presentaría dónde

están dichos agujeros.

En éste trabajo los elementos a tensión los diseñaremos bajo dos criterios, mediante el área neta o

efectiva y concentración de esfuerzos.



4.6 Áreas netas o efectivas.

La presencia de un agujero en un elemento a tensión, incrementa los esfuerzos, aún si el agujero

está ocupado por un tornillo. Se tiene menos área sobre la que puede distribuirse la carga y habrá

concentración de esfuerzos a lo largo del borde del agujero.

La tensión se supone uniformemente distribuida sobre la sección neta del elemento. El término

área neta de la sección transversal o simplemente área neta se refiere al área bruta de la sección

transversal menos las de las ranuras, muescas y agujeros. Por ejemplo en la fabricación de estructuras

de acero para conectarse con tornillos, los agujeros se hacen con diámetro 1/16 pulgada mayor que el

correspondiente al tornillo. Además se considera que el punzonado del agujero daña o aún destruye

1/16 de pulgada más del metal circundante, por tanto el área de los agujeros que se resta corresponde a

un diámetro 1/8 de pulgada mayor que el diámetro nominal del conector.

Para el diseño de éste tipo de elementos, se calcula el área mínima requerida, a ésta se le

suma el área estimada de agujeros, el resultado será el área mínima requerida para soportar la carga

considerando los agujeros es decir el área neta mínima requerida como se muestra en la ecuación 4.7:

( ) ndeU

PAt

Min +=σ

..........(Ec. 4.7)

Donde:

P- Carga a la que se somete el elemento.

σt- Esfuerzo de trabajo.

U- Factor de reducción de 0.90, el cual es para considerar la distribución no uniforme y concentración

del esfuerzo de la tabla 4.1.

n- Número de agujeros.

d- Diámetro del agujero.

e- Espesor propuesto del patín o alma.



U=0.90 Los perfiles W, M o S con anchos de patín no menores a dos tercios de sus

peraltes y las estructurales cortadas de esos perfiles, siempre que la conexión sea

por patines, deben tener no menos de tres conectores por hilera en la dirección de

la fuerza.

U=0.85 Los perfiles W, M o S que no cumplan las condiciones del párrafo anterior, T

estructurales cortadas de esos y otros perfiles, incluyendo secciones armadas,

deberán tener no menos de tres conectores por hilera en la dirección de la fuerza.

U=0.75 Todos los miembros con conexiones atornilladas o remachadas con solo dos

conectores por hilera en la dirección de la fuerza.

Tabla 4.1. Valores de factor de reducción U.

4.7 Esfuerzo cortante en conexiones.

Las cargas aplicadas a una estructura o máquina generalmente se transmiten a los elementos

estructurales a través de conexiones que emplean tornillos, remaches, pernos, clavos etc. En todas éstas

conexiones, uno de los esfuerzos inducidos mas significativos es el esfuerzo cortante.

A la fuerza que genera un esfuerzo cortante se le llama fuerza cortante y se representa

generalmente con la letra V, debe notarse que en este caso el área transversal resistente es paralela a la

fuerza V.

Se pueden presentar casos de cortante doble o cortante simple, dependiendo de cuantas áreas

resistente del tornillo son las que actúan, en la figura 4.2 se representa cuando se presentaría cortante

doble o cortante simple.



(a)

(b)

Figura 4.2 Cortante simple (a) y cortante doble (b).

La ecuación para calcular el esfuerzo cortante es:

AV

=τ ..........(Ec. 4.8)

Como en éste caso vamos a diseñar, se requiere de un esfuerzo cortante permisible o de trabajo

y despejar el área por lo que para diseño tendríamos:

t

VAτ

= ..........(Ec. 4.9)

con la ecuación anterior calculamos el área mínima necesaria para la carga soportada y el

material.

4.8 Generalidades acerca de columnas.

Cuando un elemento se somete a una carga de compresión y éste elemento es largo y esbelto la

carga puede ser suficientemente grande como para que se deflexione lateralmente, para ser específicos,

los elementos largos sometidos a una fuerza de compresión axial se llaman columnas y la deflexión

lateral que sufren se llama pandeo.



Con frecuencia el pandeo de una columna puede conducir a una repentina y dramática falla de

una estructura o mecanismo y por tanto debe de presentarse una especial atención en el diseño de

columnas de modo que sean capaces de soportar con seguridad las cargas sin pandearse.

La carga axial máxima que una columna puede soportar cuando está a punto de pandearse se

llama carga crítica (Pcr). Para una columna ideal se puede determinar el valor de dicha carga crítica en

función de su longitud y su sección transversal, Euler fue el que determinó esa ecuación que es la

siguiente:

2

2

LEIPcr

π= ..........(Ec. 4.10)

Dónde:

E-Módulo de elasticidad del material.

I-Momento de inercia mínimo de la sección transversal.

L-Longitud del elemento.

Una medida de flexibilidad de la columna es la relación de esbeltez es decir, la relación que

existe entre la longitud del elemento y el radio de giro (k) de la sección transversal.

kLRE = ..........(Ec. 4.11)

AIk = ..........(Ec. 4.12)

Las ecuaciones anteriores de Pcr y RE son para condiciones ideales, pero la forma en que está

apoyada la columna también afecta, por lo que en la figura 4.3 se presentan las ecuaciones para analizar

columnas dependiendo de la forma en que están apoyadas.



Empotrada - Libre

( )

kLRE

REE

LEIP

CR

CR

2

4

2

2

2

2

=

=

=

πσ

π

Doblemente empotrada

( )

kLRE

REE

LEIP

CR

CR

2

4

2

2

2

2

=

=

=

πσ

π

Doblemente articulada

( )

kLRE

REE

LEIP

CR

CR

=

=

=

2

2

2

2

πσ

π

Empotrada – Articulada

( )

kLRE

REE

LEIP

CR

CR

7.0

404.2

2

2

2

2

=

=

=

πσ

π

Fig. 4.3 Representación y ecuaciones de columnas dependiendo de sus tipos de apoyo.

4.8.1 Ecuaciones de la AISC para columnas.

Para el diseño de columnas regularmente recurrimos a las ecuaciones de la American Institute

of Steel Construction (AISC), las cuales dependiendo de la relación de esbeltez indican si se trata como

una columna intermedia o larga, también la relación de esbeltez depende como ya se vió anteriormente

de cómo esté apoyada la columna. Dicha comparación se basa en un número llamado relación de

esbeltez límite Cc que depende directamente de la geometría del elemento y su propiedades.



Las ecuaciones características son las siguientes:

Si RE < Cc se considera columna intermedia

( )( )3

3

81

83

35

cc CRE

CRECS −+= ..........(Ec. 4.13)

( )( ) CSCRE PC

cadm

σσ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−= 2

2

21 ..........(Ec. 4.14)

Si RE > Cc se considera columna larga

CS=1.92 ..........(Ec. 4.15)

2

2

)(2512

REE

admπσ = ..........(Ec. 4.16)

En el análisis de las partes a compresión en máquinas sigue los mismos principios descritos

anteriormente, una de las fórmulas más ampliamente usadas en diseño de máquinas para columnas

intermedias de acero es la de J.B. Jonson que se muestra a continuación:

Si L/k=Cc

CSEkL

PCPC

admσ

π

σσ

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−= 2

2

41 ..........(Ec. 4.17)

Si L/k>Cc

CScr

admσ

σ = ..........(Ec. 4.18)



4.9 Análisis de la carga necesaria.

Si consideramos que para un caso extremo de ajuste en prensa entre un eje y un balero, perno,

buje, etc., para un diámetro exterior de 17 cm e interior de 8 cm como máximo se tiene una

interferencia de 0.010mm. Como tenemos la interferencia, para calcular la fuerza axial necesaria para

extraer un elemento, se puede analizar mediante las ecuaciones de Lamé para cilindros compuestos de

pared gruesa, cuya ecuación es:

[ minmax ti

tec

EdIn σσ −= ] ..........(Ec. 4.19)

Para el elemento exterior se tiene el esfuerzo tangencial máximo:

zie

iezt

e PddddP 5688.122

22max =⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

+=σ ..........(Ec. 4.20)

Dejamos el esfuerzo tangencial en función de la presión de zunchado y calculamos ahora el

esfuerzo tangencial mínimo para el elemento interior.

zti P−=minσ ..........(Ec. 4.21)

Sustituyendo en la ecuación de interferencia los esfuerzos, el diámetro común y el módulo de

elasticidad (200Gpa) obtenemos la presión de zunchado.

( )[ ]

MPaP

PPx

x

z

zz

7321.9

5688.110200

08.0101 95

=

−−=−



Con la presión de zunchado podemos calcular la fuerza normal (N) que se presenta en las

superficies en común, considerando un espesor de contacto e=39mm con la normal ya calculamos la

fuerza mínima necesaria de extracción considerando el coeficiente de rozamiento (µ=0.39).

)039.0)(08.0)((107321.9 6 ππ xedPAPN czz ===

.3792202.37)95392)(39.0(

392.95

kgFkNNF

kNN

====

=µ

De este análisis determinamos que la capacidad de la prensa debe ser de 4 toneladas. Pero

comercialmente el gato hidráulico de botella más próximo superior en capacidad es de 5 toneladas es

decir 49050 N.

4.10 Análisis de la viga A y B.

Lo que buscamos es el diseño de nuestra viga, por lo que partimos de datos como el esfuerzo

máximo, CS, relación base y altura, longitud, etc. En la figura 4.4 se muestran el diagrama de cuerpo

libre y dimensiones de la viga.

12 plg.=0.3048m

h b

24525N 24525N

5 Ton = 49050N

Fig. 4.4 Diagrama de cuerpo libre y dimensiones de la viga.



Si se considera que: σmax=250Mpa, CS=1.6, b/h=5, se tendrán los siguientes diagramas:

12 plg.=0.3048m

0.1524m

24525N 24525N

V

x

24525N

24525N

M

x

5 Ton = 49050N

(-)

(+)

(-)

MMáx

Fig. 4.5 Diagramas V y M de la viga.

Del diagrama sabemos que para determinar el momento flexionante máximo su ecuación es:

mNL

PabM Máx −=== 61.37373048.0

)1524.0)(1524.0(49050

Para diseñar secciones rectangulares se necesita el esfuerzo de trabajo (σt) y la relación b/h por

lo que se propone b/h = 5; ahora calculamos dicho esfuerzo y posteriormente las dimensiones.



MPaxCSMáx

t 25.1566.110250 6

===σσ

cmmx

hb

Mht

Máx 06.30306.0)5(1025.156

)61.3737(6

)(

63 63

====σ

Por lo tanto se requiere de una altura h = 31.75mm. y una base b = 158.75mm., la longitud

acotada en la figura 4.4 es sin considerar todavía la distancia de los barrenos de los tornillos a los

extremos de la viga lo cual se analizará mas adelante. Del análisis de los tornillos a tensión se requiere

un diámetro de 19.05mm. Por lo tanto se requiere que la distancia de los barrenos al extremo de la viga

sea como mínimo de 2 veces mayor que el diámetro del tornillo, esto es, una distancia de 1 ½ plg

=0.0381m. Por lo que la placa tendrá de longitud total:

L=0.3048+2(0.0381)=0.381m=15plg

4.11 Tornillos a Tensión.

Se tendrán 2 tornillos unidos a la viga superior A e inferior C los cuales soportarán una carga de

24525N cada uno por lo que es el caso de carga axial. Como al retirar la carga éstos elementos sufren

una carga de impacto se considerará un coeficiente de seguridad de 2.5.

MPaMPaCSMáx

t 1005.2

250===

σσ

246 1045.2

1010024525 mx

xPA

AP −===⇒=

σσ

445.2

22 dcmA π==



cmd 76.1)45.2(4==

π

Como los tornillos son largos se recomienda un diámetro exterior de cuerda d=19.05mm. Se

especifica la designación del tornillo y tuerca en base a la tabla 4.2 y 4.3.

Tabla 4.2 Series estándar de roscas de tornillo UN y UNR, pulgadas. Hilos por pulgada Tamaño nominal Diámetro mayor

básico Gruesa (UNC) Fina (UNF) Extrafina (UNEF)

0 0.0600 80

1 0.0730 64 72

2 0.0860 56 64

3 0.0990 48 56

4 0.1120 40 48

5 0.1250 40 44

6 0.1380 32 40

8 0.1640 32 36

10 0-1900 24 32

12 0.2160 24 28 32

¼ 0.2500 20 28 32

5/16 0.3125 18 24 32

3/8 0.3750 16 24 32

7/16 0.4375 14 20 28

½ 0.500 13 20 28

9/16 0.5625 12 18 24

5/8 0.6250 11 18 24

¾ 0.7500 10 16 20

7/8 0.8750 9 14 20

1 1.000 8 12 20

1 1/8 1.1250 7 12 18

1 ¼ 1.2500 7 12 18

1 3/8 1.3750 6 12 18

1 ½ 1.5000 6 12 18

Fuente. Series estándar de roscas del libro fundamentos de diseño de mecánica, sujeciones, uniones y

conexiones. Shigley.



Tabla 4.3 Dimensiones básicas de tuercas hexagonales pesadas, contratuerca hexagonal pesada,

ranurada hexagonal pesada y almendrada pesada, pulgadas.

Hexagonales pesadas Almendrada hexagonal

Altura H

Tamaño nominal

D Anchura W

Lisa o ranurada Contratuerca

Anchura W Altura H

¼ ½ 15/64 11/64 7/16 9/32

5/16 9/16 19/64 13/64 ½ 21/64

3/8 11/16 23/64 15/64 9/16 13/32

7/16 ¾ 27/64 17/64 11/16 29/64

½ 7/8 31/64 19/64 ¾ 9/16

9/16 15/16 35/64 21/64 7/8 39/64

5/8 1 1/16 39/64 23/64 15/16 23/32

¾ 1 ¼ 47/64 27/64 1 1/8 13/16

7/8 1 7/16 55/64 31/64 1 5/16 29/32

1 1 5/8 63/64 35/64 1 ½ 1

1 1/8 1 13/16 1 7/64 39/64 1 11/16 1 5/32

1 ¼ 2 1 7/32 23/32 1 7/8 1 ¼

1 3/8 2 3/16 1 11/32 25/32 2 1/16 1 3/8

1 ½ 2 3/8 1 15/32 27/32 2 1/4 1 ½

Fuente. Series estándar de roscas del libro fundamentos de diseño de mecánica, sujeciones, uniones y

conexiones. Shigley.

De las tablas 4.2 y 4.3 tenemos que para un diámetro nominal de ¾ de pul.=19.05mm gruesa

(UNC) se tienen 10 hilos por pulgada, especificación del tornillo ¾-10UNC. Con respecto a las tuercas

de sujeción se tiene que para un diámetro nominal de tornillo de ¾ para una tuerca hexagonal lisa se

requiere que tenga una altura H=47/64 pul=18.65mm. y una anchura W=1 ¼ pul=31.49mm.



4.12 Análisis de la columna.

El elemento que ejercerá la fuerza de la prensa lo consideramos como columna, el análisis se

hará como ya se mencionó por las fórmulas de la AISC. En la figura 4.6 se muestra la longitud y la

carga a la que se somete el elemento.

49050N

0.381m

49050N

Figura 4.6 Elemento columna.

Se considera que está empotrada libre, por lo tanto se tiene que la relación de esbeltez límite es:

84.12710250

)10207(226

922

===x

xECcPC

πσπ

Considerando la columna como larga y de las condiciones de Euler en los apoyos se va tener

que:



162

642

2

4

2 dd

d

AIk ===

π

π

por lo tanto k=d/4

ddkLRE 048.3

4

)381.0(22===

CSkL

EAP

2

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=π

mmmdEdd

45.2702745.0)2()048.3(

)4(490502

22

2 ==⇒=π

π

Ahora verificamos que con ese diámetro se cumpla la relación entre la relación de esbeltez y la

relación de esbeltez límite.

8.12711102745.0048.3

<==kL

Por lo tanto la suposición de que es columna larga es equivocada. Ahora suponemos que será

intermedia.

CSEkL

PCPC

admσ

π

σσ

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−= 2

2

41



⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−= 292

26

2 )10207(4)048.3(102501)4(49050dx

xd ππ

mmmd 28028.0 ==

Ahora verificamos que con ese diámetro se cumpla la relación entre la relación de esbeltez y la

relación de esbeltez límite.

8.12786.108028.0048.3

<==kL

Si se cumple la relación por lo tanto el diámetro determinado es correcto. Se requiere un

diámetro d = 28mm =1 1/8 pulg.

4.13 Análisis de la viga D.

Se requiere que la prensa tenga un ancho de 24 pulgadas y la viga inferior “C” de 15 pulgadas

de la misma longitud que la viga superior 1, se supone que en sus apoyos está empotrada la viga

superior 2 por lo tanto es una viga hiperestática:

64.37 kN/m

4.5 plg 0.114 m

4.5 plg 0.114 m

15 plg 0.381 m

Figura 4.7 Representación de cargas y apoyos en la viga.



Aplicando las ecuaciones de equilibrio:

)381.0(37.640 −+==Σ BA RRFy

)22.4(52.24 EcRR BA ⇒=+

)3045.0)(381.0(37.64)609.0(0 +−+−==Σ↵− BAAB MMRM

)23.4(46.7609.0 EcMMR BAA ⇒=−+−

Ahora escribimos la ecuación general de momento desde cero hasta el último tramo:

>−

><−<+>−

><−<−><+><−=2

495.0495.037.642

114.0114.037.640 xxxxxRxMM AA

2202

2495.0

237.54114.0

237.64

>−<−>−<+><−><=−= xxxRxMMdx

YdEI AA

1332 495.0

637.64114.0

637.64

2CxxxRxMEI A

A +>−<−>−<+><−><=θ

214432 495.0

2437.64114.0

2437.64

62CxCxxxRxMEIY AA +><+>−<−>−<+><−><=

Condiciones de frontera si x=0, θ=0 y Y=0, por lo tanto C1 y C2 son cero. Obtenemos las

ecuaciones definitivas:

332 495.0637.64114.0

637.64

2>−<−>−<+><−><= xxxRxMEI A

Aθ



4432 495.024

37.64114.024

37.6462

>−<−>−<+><−><= xxxRxMEIY AA

La otra condición de frontera es si x=0.609m la pendiente y flecha también es cero, por lo tanto:

De la ecuación de θ:

332 495.0609.0637.64114.0609.0

637.64609.0

2609.00 >−<−>−<+><−><= A

ARM

)24.4(28.1185.0609.00 EcRM AA ⇒+−=

De la ecuación de Y:

4432 495.0609.024

37.64114.0609.024

37.64609.06

609.02

0 >−<−>−<+><−><= AA RM

)25.4(1605.00376.0185.00 EcRM AA ⇒+−=

Resolviendo el sistema de ecuaciones (4.22), (4.23), (4.24) y (4.25) obtenemos las reacciones:

RA=12.26kN

RB=12.26kN

MA=1.62kN-m

MB=1.62kN-m

Trazando los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante.



64.37 kN/m

4.5 plg 0.114 m

4.5 plg 0.114 m

15 plg 0.381 m

V

M

x

x

12.26kN

12.26kN

0.94kN-m

1.62kN-m 1.62kN-m

(+)

(-)

(+)

(-)

Figura 4.8 Diagramas V y M de la viga.

Del diagrama obtenemos que el momento flexionante máximo es:

MMAX=1.62kN-m.

336

336.10036.1

1025.1561062.1 cmmx

xMSt

MAX ====σ

Del manual del IMCA página 47 (VER ANEXO) buscamos un módulo de sección “S” de un

perfil “L” de lados iguales y encontramos que S=11.60 cm3, por lo que obtenemos un perfil de

especificación 76mmX8mm, esto es 7.6 cm de lado por 0.8 cm de espesor.



4.14 Análisis de la viga E. 4.14 Análisis de la viga E.

Considerando el caso mas desfavorable que es cuando tenemos una carga concentrada en el

centro de la viga y que ésta está simplemente apoyada se tiene que:

Considerando el caso mas desfavorable que es cuando tenemos una carga concentrada en el

centro de la viga y que ésta está simplemente apoyada se tiene que:

24.525kN

0.3045m 0.3045m 0.3045m 0.3045m

12.262kN 12.262kN kN

V V

x x

x x

M M MMAX

12.262kN 12.262kN

12.262kN 12.262kN

(-)

(+)

MMAX

(+)

Figura 4.9 Diagramas V y M de la viga. Figura 4.9 Diagramas V y M de la viga.



( ) mkNL

PabM MAX −=== 733.3609.0

)3045.0)(3045.0(525.24

3346

389.231089.23

1025.15610733.3 cmmxxxMS

t

Max ==== −

σ

Del manual del IMCA pagina 47 (VER ANEXO) buscamos un módulo de sección “S” de un

perfil “L” de lados iguales y encontramos que S=24.41 cm3, por lo que obtenemos un perfil de

especificación 89mmX13mm, esto es 8.9 cm de lado por 1.3 cm de espesor.

4.15 Tornillos de sujeción.

Cada tornillo carga la mitad de la carga total es decir 24525N, pero como se tienen 2 vigas D, el

elemento está sujeto a cortante doble como se muestra en la figura 4.9, por lo que el área resiste

solamente 12262.5N. para calcular el diámetro mínimo requerido se tiene que:

Figura 4.10 Tornillo de sujeción sometido a fuerza cortante doble.

La ecuación de esfuerzo cortante es la siguiente:

ττ VA

AV

=⇒=

El esfuerzo cortante de trabajo es τt=80Mpa, por lo tanto:

2246 06.31006.3

108024525 cmmx

xA === −



406.3

2dA π==

cmd 97.1=

Se requiere un diámetro de 1.97 cm, recurrimos a la tabla 4.1 y determinamos que es un

diámetro nominal de 7/8 plg. Cuya especificación es 7/8-9UNC.

4.16 Perfil “C” sometido a tensión.

El perfil “C” está sometido a tensión y además tiene agujeros de 7/8 pul. = 22.22mm para

acoplar con la viga D, resiste una carga de 24.525kN y su análisis es el siguiente, como mínimo un

área de:

barrenost

Min nAU

PA +=σ

Para calcular el área de los barrenos es (d)(e) es decir diámetro por espesor, por lo que

tendremos que proponer espesores de perfiles y determinar cual es el correcto, además el diámetro de

los agujeros es 7/8 plg, pero recordando lo que se vió en áreas netas debemos de sumarle 1/8 de plg =

3.175mm, por lo que el diámetro de los agujeros es 1 pul = 0.0254m.

De la página 52 y 53 del manual del IMCA (VER ANEXO) proponemos un espesor de patín de

tf = 6.93mm =6.93x10-3m y tenemos:

22436

61.51061.5)1093.6)(0254.0(2)75.0(1025.156

24525 cmmxxx

AMin ==+= −−

Buscamos un perfil que tenga esa área o mayor y encontramos: CE 76mmx6.10kg/m.

Verificamos que esa área soporte la carga es decir:



2434 1015.4)1093.6)(0254.0(21068.7 mxxxAefectiva

−−− =−=

NxxAUP efectivat 48.48744)1015.4)(1025.156(75.0 46 === −σ

2452484.48744 >

Podemos decir entonces que ese perfil soporta perfectamente la carga, no podemos reducirlo

puesto que en el manual del IMCA es el mas pequeño. Se necesita un perfil CE76x6.10 para el

elemento a tensión.

4.17 Análisis de la viga C.

Ésta viga depende del peralte del elemento a tensión lo que nos dará su máximo valor de ancho

b=3pul.. Y su espesor será el mismo de las vigas A y B, h=1 ¼ pul., así como una longitud de

L=15pul.


CAPITULO V. ANÁLISIS CON COMPUTADORA

CAPITULO V ANÁLISIS CON COMPUTADORA

5.1 Elementos analizados con computadora.

Cada uno de los componentes de la prensa que se diseñaron en el capitulo IV, ahora se

analizarán con métodos computacionales para demostrar que efectivamente el diseño está dentro de los

valores límites de esfuerzo y deformación y no se presentará falla alguna.

El método computacional empleado en algunos elementos fue el programa SOLIDWORKS con

COSMOSX y en otros por su sistema de cargas o geometría más complicada se realizaron en ANSYS.

5.2 Análisis con computadora de la viga A y B.

Tenemos el análisis de la viga A y B la figura 5.1 muestra el esfuerzo que se presenta y la figura

5.2 muestra la deformación. Como se puede observar y comparar los esfuerzos y deformaciones están

dentro de los valores límites, por lo que el diseño es correcto.

Fig. 5.1 Esfuerzo en placas A y B



Fig. 5.1 Deformación en placas A y B.

5.3 Análisis con computadora de tornillos a tensión F.

Ahora tenemos el análisis de los tornillos a tensión en la figura 5.3 y 5.4 muestra los esfuerzos

que se presenta y la figura 5.5 muestra la deformación. Como se puede observar y comparar los

esfuerzos y deformaciones están dentro de los valores límites, por lo que el diseño es correcto.

Fig. 5.3 Esfuerzos en los tornillos a tensión.



Fig. 5.4 Esfuerzos en el apoyo de el tornillo a tensión.

Fig. 5.5 Deformación en el tornillo a tensión.



5.4 Análisis con computadora de la columna G.

Ahora tenemos el análisis de la columna G sometida a compresión en la figura 5.6 y 5.7 muestra

los esfuerzos que se presenta y la figura 5.8 muestra la deformación. Como se puede observar y

comparar los esfuerzos y deformaciones están dentro de los valores límites, por lo que el diseño es

correcto.

Fig. 5.6 Esfuerzos que se presentan en columna G.

Fig. 5.7 Esfuerzos en el apoyo de la columna.



Fig. 5.8 deformación en la columna G.

5.5. Análisis con computadora de la viga D.

Ahora tenemos el análisis de la viga D en la figura 5.9 y 5.10 muestra los esfuerzos que se

presenta con unidades en N/m2 y las figuras 5.11 y 5.12 muestra la deformación en metros. Como se

puede observar y comparar los esfuerzos y deformaciones están dentro de los valores límites, por lo

que el diseño es correcto.

Fig. 5.9 Esfuerzos en los apoyos de la viga D.



Fig. 5.10 Esfuerzos en la viga D.

Fig. 5.11 Deformación en 3D de la viga D.



Fig. 5.12 Deformación 2D de la viga D.

5.6 Análisis con computadora de la viga E.

Ahora tenemos el análisis de la viga E en la figura 5.13 y 5.14 muestra los esfuerzos que se

presentan y la figura 5.15 muestra la deformación. Como se puede observar y comparar los esfuerzos y

deformaciones están dentro de los valores límites, por lo que el diseño es correcto.

Fig. 5.13 Esfuerzos en los apoyos de la viga E.



Fig. 5.14 Esfuerzos en la viga E.

Fig. 5.15 Deformación en la viga E.



5.7 Análisis con computadora de los tornillos H sometidos a cortante doble.

Ahora tenemos el análisis de los tornillos H, en la figura 5.16 muestra los esfuerzos que se

presentan en N/m2 y la figura 5.17 muestra la deformación en metros. Como se puede observar y

comparar los esfuerzos y deformaciones están dentro de los valores límites, por lo que el diseño es

correcto.

Fig. 5.16 Esfuerzos en tornillos H sometidos a cortante doble.

Fig. 5.17 Deformación en los tornillos H.



5.8 Análisis con computadora del perfil “C” sometido a tensión.

Ahora tenemos el análisis del perfil “C”, en la figura 5.18 y 5.19 muestra los esfuerzos que se

presentan y la figura 5.20 muestra la deformación. Como se puede observar y comparar los esfuerzos y

deformaciones están dentro de los valores límites, por lo que el diseño es correcto.

Fig. 5.18 Esfuerzos en el perfil “C”.

Fig. 5.19 Esfuerzos concentrados en los barrenos del perfil “C”



Fig. 5.20 Deformación en el perfil “C”.

5.9 Análisis con computadora del marco de carga de la prensa.

Ahora analizaremos por métodos computacionales el marco de cargas, es decir ya no los

componentes por separado sino que en conjunto; de igual manera se observa que los esfuerzos y

deformaciones están dentro de los valores límites por lo tanto el diseño de todo el conjunto es correcto.

En la figura 5.21 se muestra la distribución de esfuerzos en N/m2. y en la figura 5.22 se muestra la

curva elástica de deformación.

Con estos análisis computacionales se cumple el objetivo de estar 100% seguros de que el

diseño mecánico de los elementos de la prensa es válido, además de poder comparar análisis

matemáticos de mecánica de materiales con métodos computacionales como el COSMOS y ANSYS.



Fig. 5.21 Distribución de esfuerzos en el marco de carga de la prensa.

Fig. 5.22 Deformación en el marco de carga de la prensa.


REFERENCIAS

1. También conocidas como líneas de Piobert. Nombradas en honor, respectivamente de los citados investigadores alemán y Francés del siglo XIX.

2. J.H.Argyris y S. Kesley, Energy Theorems and Structural Analysis. Butterworth, London, 1960.

3. S. Levy, Structural Analysis and Influence Coeficients for Delta Wings. Journal of Aeronautical (or aerospace) Sciencies, vol. 20, No. 7, pp 449-454, 1953.

4. M. J. Turner, R. W. Clough, H. C. Martin y L. J. Topp, Stiffnes and Deflection Analisys of Complex Structures.

Journal of Aeronautical (or aerospace) Sciencies, vol. 23, No. 9, pp 805-823, 1956.

5. R. W. Clough, The Finite Element Method in Plane Stress Analysis. Procedings of the Second Conference on Electronic Computation, American Society of Civil Engineers, pp 345-377, New York, 1960.

6. R. J. Melosh, A. Stiffnes Matrix for the Analysis of Thin Plates in Bending. Journal of Aeronautical (or aerospace) Sciencies, vol. 28, No. 1, pp 34-42, 1961. 7. A. Adini and R. W. Clough, Analysis of Plate Bending by the Finite Element Method. Report to National Science Foundation, Grant G7337, 1961.

8. P. E. Grafton and D. R. Strome, Analysis of Axisymetric Shells by the Direct Stiffnes Method.

Journal of the American Institute of Aeoronautics and Astronautics, vol. 1, No. 10, pp 1631-1637, 1963.

9. R. J. Melosh, Basis for Derivation of Matrices for the Direct Stiffness Method. Journal of the American Institute of Aeoronautics and Astronautics, vol. 1, No. 7, pp 1631-

1637, 1963.

10. O. C. Zienkiewicz and Y. R. Cheung, The Finite Element Method in Structural and Continuum Mechanics.

Mc Grraw Hill, London, 1977.

110

11. L. J. Segerlind, Applied Finite Element Analysis. Jhon Wiley & Sons, U.S.A., 1976.

12. K. H. Huebner and E. A. Thornton, The Finite Element Method for Engineers. Jhon Wiley & Sons, 2nd. Edition, U.S.A., 1982.

13. H. C. Martin and G. F. Carey, Introduction to Finite Element Analysis. Theory and Applications.

Mc. Graw Hill, U.S.A., 1973.

14. R. D. Cook, Concepts and Applications of Finite Element Analysis. Jhon Wiley & Sons, 2nd. Edition, U.S.A., 1981.

15. J. A. Ortega y L. H. Hernández, Análisis del Elemento Finito y sus Aplicaciones a la Ingeniería. Sección de estudios de Posgrado e Investigación. ESIME, México, 1985.

16. B. Carnaham, H. A. Luther and J. O. Wilkes, Applied Numerical Methods. Jhon Wiley & Sons, U.S.A., 1969.

111

BIBLIOGRAFÍA

• Mecánica de Materiales. Ferdinand P. Beer. Editorial Mc. Graw Hill.

• Mecánica de Sólidos.

Egor P. Popov. Editorial Pearson Education.

• Mecánica de Materiales.

R. C. Hibbeler. Editorial Pearson.

• Mecánica de Materiales.

Riley. Editorial Limusa Wiley.

• Análisis de Estructuras.

Mc Cormac. Editorial Alfaomega.

• Diseño de Estructuras de acero.

Mc. Cormac. Editorial Alfaomega.

• Diseño de Elementos de Máquina.

Robert L. Mott. Editorial Prentice may.

• Procesos de Manufactura Versión SI.

B. H. AMSTEAD. Editorial CECSA.

• Resistencia de Materiales.

E. J. Hear. Editorial Interamericana.

• Método de Elemento Finito.

G. Urriolagoitia Sección de estudios de Posgrado e Investigación. ESIME, México.

• Manuales de aplicación SOLIDWORK, COSMOS y ANSYS.

• http://www.hidrafresa.com/lomipower.htm

112

CONCLUSIONES

Debido al presente trabajo se ha llegado a las siguientes conclusiones:

• La construcción de cualquier elemento o máquina mediante conocimiento empírico no siempre es correcta y puede fallar.

• La utilización de los modelos matemáticos de la Mecánica de Materiales es siempre válida, usándolos de manera adecuada, pues se observa que el diseño de los elementos mecánicos de la prensa son correctos al compararlos con los resultados de los métodos computacionales.

• Es importante en cualquier diseño contar con una herramienta tan valiosa como los métodos computacionales de análisis, es éste trabajo se utilizó el Método del Elemento Finito; para el modelado y análisis nos valimos de dos software, para las partes de sencillo análisis se uso SOLIDWOK y COSMOS; para las partes mas complejas se usó ANSYS.

• El uso del Método del Elemento Finito simplifica el diseño mecánico es decir se confirma el diseño; además se observa que los resultados por métodos computacionales y los resultados por análisis matemáticos (Mecánica de Materiales), son muy cercanos, lo que verifico el correcto diseño.

• Al comparar la primer prensa construida y la prensa del diseño, se observan cambios importantes en el dimensionamiento de los elementos, debido a estos cambios la primer prensa construida falló, pues no estaba diseñada sólo construida mediante aproximaciones empíricas.

113

TRABAJOS A FUTURO

• Desarrollar el diseño hidráulico de la prensa, es decir, no utilizar un gato hidráulico, sino un pistón; esto debido a la recomendación del Dr. Guillermo Urriolagoitia Calderón.

• Realizar el diseño con nuevos materiales o aleaciones parta reducir peso.

• Determinar los esfuerzos en la soldadura y determinar cual es la más correcta.

• Estudiar el Método del Elemento Finito para casos más complejos.

• Realizar el estudio de costo para verificar que efectivamente su construcción no sea cara y se cumpla el objetivo de que esté al alcance de cualquier taller mecánico por pequeño que éste sea.

• Realizar el análisis para automatizar la prensa hidráulica.

114

ANEXO 115

Del manual del Instituto Mexicano de Construcción de Acero (IMCA):

116

117

118

119

Documents

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL€¦ · AGRADECIMIENTOS Agradezco a la Sección de Estudios de Posgrado e Investigación Unidad Profesional Zacatenco del Instituto Politécnico Nacional