INDICE ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN
INCORPORACIÓN DE UN MODELO DE COMPORTAMIENTO DINÁMICO EN LOS CRITERIOS DE DISEÑO DE ESTRUCTURAS Y EQUIPO PESADO SOMETIDOS A CARGAS ALEATORIAS
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE: D O C T O R E N C I E N C I A S C O N E S P E C I A L I D A D E N
INGENIERÍA MECÁNICA
M EN C CÁNDIDO ZAMORA CUAPIO
DIRECTOR: DR. GUILLERMO URRIOLAGOITIA CALDERON
MÉXICO, D.F. DICIEMBRE DEL 2006
2
3
4
1.1.- Resultados reportados en la literatura abierta
1.2.- Planteamiento del problema de Confiabilidad en Modelos de edificios de Cortante
1.2.1.- Análisis sísmico por el Método Estático
1.2.2.- Centro de Masa y Rigidez
1.2.3.- Excentricidad de diseño
1.3.- Metodología de Análisis Estructural y diseño
1.3.1.- Formulación de Modelos
1.3.2.- Modelo de un nivel con elementos resistentes en una dirección
1.3.3.- Modelo de Análisis
1.3.5.- Planteamiento dinámico
1.3.7.- Parámetros estudiados
1.3.9.- Excentricidad estática o estructural
1.3.10.- Distribución de resistencias
1.3.12.- Demanda de ductilidad
1.3.13.- Método de Análisis
CAPITULO 2
2.1. Información probabilística
2.2. Incertidumbre estadística
CAPITULO 3
3. Análisis de probabilidad de falla en secciones de elementos estructurales 60
3.1. Modelos estructurales deterministas y probabilistas 62
3.2. El problema de seguridad estructural 63
3.3. Sistema de tolerancia estructural 64
3.4. Compatibilidad con la probabilidad con las estructuras 65
3.5. Método del factor de seguridad parcial 66
3.6. El concepto del factor de seguridad y el requisito de formulación de invarianza 71
3.7. Consideraciones de probabilidad acerca del factor de seguridad 73
3.8. Factores de seguridad parcial 77
CAPITULO 4
4.1. Análisis de un elemento viga
4.1.1. Formulas para obtener la distribución de probabilidad
82
82
4.2. Propuestas de distribuciones de probabilidad en las variables del elemento viga 83
4.3. Distribución del momento 83
4.4. Distribución de S 83
4.5. Distribución de a(l-a) 83
4.6. Distribución de Pa(l-a) 84
4.7. Distribución de μy 84
4.8. Distribución del momento 84
4.9. Distribución de h2 85
6
85
4.13. Distribución de la acción 86
4.14. Distribución de la resistencia y determinación del riesgo 86
CAPITULO 5
5. Planteamiento de la Confiabilidad en función del tiempo 88
5.1. Formulación de la Confiabilidad 89
5.2. Idealización del Modelo estructural 90
5.3. Metodología de análisis del Modelo 91
5.4. Evaluación de la Confiabilidad 91
5.5.Algoritmo de Optimización 94
96
120
1.- Distribución de rigidez en los elementos de resistencia………….………...26
2.- Excentricidad…………………………………………………………………….27
4.- Comportamiento de los elementos resistentes………………………………29
5.- Modelo con tres elementos resistentes paralelos a la dirección del
sismo………………….......................................................................................31
6.- Modelos estructural con elementos de resistencia en dos direcciones
ortogonales………………………………………………………………………….32
7.- Estructuración del modelo de Cortante de un piso………………………….34
8.- Fuerzas de equilibrio que actúan para el modelo de un piso………………34
9.- Estructuración de un modelo de tres niveles………………………………...35
10.- Fuerzas dinámicas presentes en un modelo de tres niveles……………..35
11.- Equilibrio dinámico para un modelo de tres grados de libertad…………..37
12.- Incertidumbre de excentricidades……………………………………………39
13.- Distribución de resistencias…………………………………………………..40
14.- Distribución tipo campana…………………………………………………….61
15.- Modelo estructural y matemático…………………………………………….61
16.- Dirección del sismo……………………………………………………………61
17.- Dominio de definición y estado límite de falla de un modelo de
análisis de confiabilidad, para una soga que soporta una carga……………...69
18.- Estado límite de derrumbamiento compuesto para una soga atada a un
gancho y llevando una carga………………………………………………………70
19.- Dos representaciones diferentes de las fuerzas interiores en un plano de
una viga de concreto reforzado, ilustra el problema de formulación de
invarianza……………………………………………………………………………72
20.- Funciones de distribución con valores pequeños para R y S índice de
figuras………………………………………………………………………………..75
No. Nombre pag.
21.- El principio del método de factor de seguridad parcial por el cual una
definición codificada del conjunto de estados suficientemente seguros
constituye una superficie de estado límite convexa…………………………….78
22.- Ilustración que muestra los métodos de factores de seguridad parcial el
estado límite no convexo............................................................................... 78
II. Índice de cuadros o tablas
Tabla 3……………………………………………………………………………106
Cov[X,Y]; covarianza de las variables aleatorias X y Y
pf(μ ); probabilidad de falla del sistema
(x1,....,xn;σ ); función de distribución del valor esperado de eventos
independientes y su desviación estándar
fM(μ ); función de densidad de la variable aleatoria M
( ).Φ ; función de distribución
F.S; factor de seguridad
9
RESUMEN
En este trabajo se presenta un estudio para estimar la confiabilidad estructural en
Modelos de Edificios de Cortante de tres niveles que presentan torsión, debido a
solicitaciones sísmicas, como el que ocurrió en la Ciudad de México el 19 de Septiembre
de 1985. Donde estás estructuras experimentaron desplazamientos máximos de
entrepiso que ocasionaron daños y colapso de las mismas, ya que excedieron el estado
límite de seguridad estructural que especifica el reglamento de diseño sísmico de
México determinado en el presente como RDF87(Reglamento del Distrito Federal de
1987). Por lo tanto estos desplazamientos se tomaron como medida de respuesta
estructural mediante índices de confiabilidad, aplicando el Método de Rackwitz y
Fiessler, para obtener la probabilidad de falla, las funciones de distribución acumulativa,
la densidad y tasa de falla, con períodos fundamentales de los modelos de 0.5, 1.0, y
1.5 seg; que se aplican a una relación de planta con elementos en una y dos direcciones
ortogonales en los que se considera la influencia de parámetros significativos en la
respuesta lineal de edificios.
Además, con base a lo anterior, estas formas de medir la probabilidad de falla con
propiedades aleatorias para intensidades dadas, están referidas a un margen de
seguridad, que relaciona el desplazamiento máximo del extremo superior de la
estructura con respecto a su base en el instante de la falla mediante la función dada
por: [ ] ℜ∈∀→ℜφ x ,0,1:x)(x . Y representadas por medio de la solución exacta de un sistema
coherente en trayectorias y cortaduras mínimas, resaltando valores obtenidos similares
a otras estructuras evaluadas con otros Métodos de Confiabilidad, que se ubican
desplantadas en sitios de terreno blando del valle de México con características
similares a los sitios SCT.
10
ABSTRACT
This work presents a study that estimates the structural reliability of Sharp Building
Models of three levels that represent torsion torsion, due to seismic applications, like the
one that occurred in Mexico City on September 19th , 1985, where these structures
experimented maximum displacements between levels which caused severe damage
and destruction having exceeded the structural security limit determined by the seismic
design regulation code RDF87 (Federal District Regulation of 1987). However these
displacements were taken as measurements of structural response through the reliability
of failure, the functions of accumulative distributions, the density and the rate failure, with
fundamental periods from the models 0.5, 1.9 and 1.5 sec; which are applied to the
relation of a building with elements in one and two right-angled directions which are
considered the influence of significant parameters for the response of lineal buildings.
Based on what said above, these techniques to measure the probability, of failure with
random properties for given intensities, are referred to a margin of security, which relates
the displacement of the upper extreme of the structure with regards to its base when the
fault occurs, given by the function: [ ] ℜ∈∀→ℜφ x ,0,1:x)(x . These techniques are also
represented by means of the exact solution of a coherent system based on trajectories
and minimum cuttings, highlighting the results obtained similar to other evaluated
structures with other Methods of Reliability, which can be find removed on soft sites of
land in “Valle de Mexico” with similar characteristics to the SCT sites.
11
Desarrollar una metodología para estimar la confiabilidad estructural en modelos
de edificios de cortante de tres niveles sujetos a historias de cargas sísmicas
caracterizadas por su intensidad y medir su respuesta de estos modelos con
propiedades aleatorias, aplicando la función de estado límite de Rackwitz y
Fiessler. y evaluar la seguridad estructural empleando las normas de diseño
sísmico en México.
VI.I. Objetivos específicos
VI.I.1 Idealizar un modelo para estimar los índices de confiabilidad en estructuras
de cortante de uno y tres niveles, que considere las fuentes de incertidumbre más
significativas que llevan al estado límite una estructura.
VI.I.2 Analizar y evaluar las fuentes de incertidumbre en estos modelos, para
llegar a métodos y algoritmos de confiabilidad aplicables a condiciones prácticas,
como se establece en los criterios de diseño, específicamente en seguridad.
VI.I.3 Desarrollar y validar estos algoritmos para estimar la probabilidad de falla
en estos modelos de edificios, mediante el desarrollo de programas de computo
para calcular los índices de confiabilidad empleando el método de Rackwitz y
Fiessler.
VI.I.4 Realizar estudios paramétricos para analizar los índices de confiabilidad
con respecto a algunas variables importantes en estructuras típicas (secciones
transversales, Rigidez, etc). Además de utilizar los resultados para definir valores
de los índices de confiabilidad implícitos en las normas de diseño y seguridad.
12
Para establecer criterios de diseño sísmico sustentados en confiabilidad de estructuras
sujetas a solicitaciones sísmicas, es básico representar la probabilidad de falla
mediante alguna de las siguientes alternativas:
a) En términos de la tasa de falla, por unidad de tiempo para temblores de distintas
intensidades.
b) En términos de la probabilidad de falla durante la vida útil de la estructura.
c) A través de la probabilidad de falla para un temblor de intensidad especificada, o
para la intensidad que corresponde a un periodo de recurrencia dado.
En los casos a y b se basan en descripciones más completas de peligro sísmico, ya que
generan medidas globales de la probabilidad de falla, y confiabilidad; debido a que en el
análisis se integran todas las posibles ocurrencias e intensidades sísmicas del
movimiento del suelo en el sitio. Sin embargo, si el proceso de ocurrencia de temblores
es de Poisson, el caso “a” es mas general que el “b”, ya que contiene la información
completa, mientras que para estimar este último, se necesita conocer el intervalo de
tiempo entre eventos sísmicos.
La intensidad sísmica del movimiento del suelo puede expresarse, por ejemplo:
1.- En términos de la ordenada espectral que corresponde al periodo natural de
vibración de la estructura.
2.- En función de la máxima ordenada espectral que corresponde a un periodo de
recurrencia dado
3.- A través de la intensidad de Arias, definida como la cantidad de energía contenida en
el intervalo de tiempo que comprende a la fase intensa del movimiento del terreno en el
sitio.
4.- Por medio de la intensidad de Housner, considerada como el área del espectro de
seudo velocidad contenida en un intervalo de periodos.
13
El caso 1 conduce a resultados con menos dispersión en cuanto a las respuestas
estructurales que los casos 2, 3 y 4, debido a la estrecha relación entre la intensidad y
dichas respuestas. Cualquier definición de intensidad que se empleé es posible
relacionarla con la combinación más probable de magnitud M, y distancia R, que puede
afectar el estado límite de una estructura determinada en el sitio de interés; para
establecer y asociar la probabilidad de falla con fines prácticos a los criterios de diseño
sísmico.
Con base a lo anterior, este trabajo presentará dicha probabilidad de falla a través de un
sismo con intensidad especificada, donde se evalúa la respuesta estructural como el
desplazamiento máximo de entrepiso mediante la obtención de índices de confiabilidad
de los modelos de edificios de cortante de tres niveles.
Por otra parte, para calcular tasas de falla por unidad de tiempo, es esencial estimar la
probabilidad de falla ante temblores de distintas intensidades y la forma más simple para
estimar estas probabilidades es a través de un índice de confiabilidad, determinada por
distribuciones de probabilidad con propiedades de valores aleatorios, como son la media
y desviación estándar de un margen o factor de seguridad que considere los modos de
falla más significativos, idealizando las excitaciones sísmicas por medio de espectros de
peligro uniforme; de manera que, para una estructura particular, la excitación del
movimiento del terreno esté caracterizada por la ordenada espectral que corresponde al
periodo de vibración del sistema para un intervalo de recurrencia dado y permitan
implementar criterios de diseño sísmico. Sin embargo, para establecer dichos criterios,
es importante tomar en cuenta otras características que son relevantes durante el
movimiento del terreno, pudiendo afectar, radicalmente, el desempeño de los sistemas
estructurales, como pueden ser: la duración de la excitación sísmica, la evolución de la
varianza instantánea de la aceleración, así como la evolución del contenido de
frecuencias durante la misma. Además, debe considerarse la variabilidad de estas
características con las peculiaridades de fuente, como pueden ser, entre otras, la
magnitud M y la distancia R.
14
No obstante, evaluar las características detalladas del movimiento en función de M y R
no basta para especificar criterios de diseño. Por lo tanto es necesario, definir en
términos de fuente las características de la excitación que dominan la amenaza sísmica
en el sitio, o más específicamente, evaluar cuáles son las características detalladas de
la excitación en términos de M y R que son más probables de ocurrir y que afectan a
una estructura dada, con características conocidas o inciertas. También es importante
conocer cómo se afectan las características detalladas del movimiento debido a las
características de fuente cuando la excitación se asocia a un determinado nivel de
intensidad.
Por otra parte, cuando se llevan a cabo estudios de peligro sísmico es común asumir
que las incertidumbres en la excitación controlan la amenaza sísmica en el sitio, y que la
incertidumbre sobre las características de la estructura no influye radicalmente en los
resultados. Por ello, una gran cantidad de estos estudios considera a la estructura como
un sistema de un grado de libertad con propiedades deterministas; mientras que solo
unos pocos consideran a la estructura como un sistema de múltiples grados de libertad
con propiedades medias. Esto trae como consecuencia que las estimaciones de
respuesta estructural, se encuentre sesgadas en menor o mayor grado.
Es así, que en este trabajo se desarrolla un modelo de tres grados de libertad que toma
en cuenta la aparición de los posibles modos de falla, que es necesario evaluar para
estimar la confiabilidad de estas estructuras sujetas a sismo. Así mismo, se calcula la
incertidumbre asociada con las características propias de la estructura y su estado
límite, que influyen en el factor de sobre-resistencia.
15
VII.1. Contribuciones del trabajo
Se desarrolla un modelo estructural de cortante de uno y tres grados de libertad,
para estimar índices de confiabilidad, empleando funciones de distribución
probabilística con propiedades de valores aleatorios, que permiten evaluar el estado
límite de estas estructuras; y presentar su comportamiento estructural por funciones
de densidad, distribución acumulativa y tasa de falla, utilizando el Programa
MINITAB, así como la obtención de la probabilidad de falla, por el Método de
Rackwizt y Fiessler y se presenta esta respuesta con un Programa hecho en MATH
LAB, así como el desarrollo y análisis de la solución exacta de un sistema coherente
en trayectorias y cortaduras mínimas.
1. Se desarrolla una metodología, para obtener simulaciones de variables aleatorias
correlacionadas y evaluadas con el Programa MINITAB, y a un sistema coherente
en términos de cortaduras y trayectorias mínimas de las funciones de distribución.
2. Se desarrolla un algoritmo para obtener los índices de confiabilidad, con el
método de Rackwitz y Fiessler, para calcular la probabilidad de falla de estos
modelos de cortante con periodos de tiempo conocidos de 0.5, 1.0, y 1.5 s.
Finalmente, este Método se relaciona con las siguientes funciones de análisis
estructural:
• El criterio propuesto es aplicable a cualquier sistema estructural. No se
limita a sistemas, de marcos planos de edificios como los que se idealizo
en los modelos propuestos.
• Los índices de confiabilidad, y probabilidades de falla para los periodos de
tiempo seleccionados se encuentran asociados con las características e
incertidumbres de las acciones sísmicas de intensidades dadas que
pueden ocurrir durante la vida útil de la estructura.
3. Los criterios propuestos pueden servir de base para formular criterios de diseño
con objetivos específicos
El comportamiento y respuesta de estructuras incluye factores del entorno político,
social, y de normas de diseño, que impactan psicológicamente cuando éstas, son
sujetas a fenómenos o acciones naturales y/o artificiales como el sismo del 19 de
Septiembre de 1985 [6], que causó daños y fallas estructurales, afectando la vida
cotidiana de la zona o sitio en que ocurrió el sismo, además existieron pérdidas de vidas
humanas, materiales y económicas, de gran magnitud e incertidumbre. Por lo que se
procede a un estudio y una metodología, que permita idealizar estructuras con
propiedades de incertidumbre y obtener mayor aproximación a la realidad en el diseño
de estas estructuras ante este tipo de fenómenos.
Por otra parte después del sismo de 1985, se han hecho algunos estudios de modelos
no estacionarios [35], ya que anteriormente, para disipar la energía de estos
mecanismos estructurales, generalmente se habían hecho estudios de modelos
deterministas y estacionarios, como en los modelos que estudian la respuesta de torsión
en edificios de cortante de un nivel, sometidos a una excitación sísmica., en donde el
objetivo fue evaluar y analizar el comportamiento no lineal de estos modelos, con
períodos fundamentales de 0.5, 1.0, y 1.5., s; empleando cinco criterios de diseño
sísmico, para elementos en una y dos direcciones ortogonales, en los cuales se tuvo en
cuenta el efecto de la excentricidad accidental y la amplificación que se generá por
efectos dinámicos.
Los criterios evaluados fueron: Normas Técnicas Complementarias para diseño por
sismo del Reglamento del Distrito Federal [RDF87], Applied Technology Council [ATC],
National Building Code of Canada (NBC), Comité Euro-International du Beton, 1987
[CEB], y el criterio denominado [CRIT1], el cual se evaluó como una modificación del
RDF87, cambiando los coeficientes involucrados en las excentricidades de diseño.
En estos modelos se estudió la influencia de parámetros significativos en la respuesta
no lineal en edificios como los valores de excentricidad estática, el periodo de vibración
17
traslacional, la relación de aspecto de planta, el cociente de la resistencia real a
resistencia nominal y la distribución de resistencias en planta. Siendo este último
parámetro la demanda de ductilidad obtenida por el diseño de elementos y estructuras
sometidas a fuerzas de torsión y cortante [22].
18
estructuras sometidas a excitaciones sísmicas.
19
1.1. Resultados reportados en la literatura abierta.
En estos trabajos de confiabilidad estructural se ha propuesto establecer un criterio de
diseño sismoresistente, para sistemas estructurales, con base a la confiabilidad,
considerando, que no ha sido una tarea fácil, ni mucho menos ha estado exento de
puntos de vista contradictorios, ya que su desconocimiento genera dificultades
significativos en su aplicación.
Así, estos problemas se suman a las complejidades inherentes de los fenómenos en
estudio, que va desde la generación y propagación del terremoto, hasta la respuesta y
comportamiento estructural, claro, que en la toma de decisiones, el proceso se relaciona
con la seguridad. Por ejemplo al asumir el modelo de la excitación sísmica. Por lo tanto,
una metodología, para llevar a cabo esta propuesta, es idealizar los procesos y
ocurrencias de terremotos en sitios, para formular modelos probabilistas, y
particularizando las características de los registros de grandes movimientos y sus
historias de tiempo durante cada evento. Teniendo que afrontar los problemas que
surgen, por la insuficiente información estadística, para sustentar estos modelos
probabilistas. Y por consiguiente, se tienen que hacer supuestos simples acerca de los
modelos, para estimar los parámetros correspondientes, por medio de un análisis
estadístico.
Para este propósito; se han supuesto las distribuciones de probabilidad, principalmente
subjetivas, para describir el grado de certidumbre, en la alternativa de los valores
supuestos con características geológicas y geofísicas, así como de la información
estadística sobre los eventos ocurridos en otras regiones sísmicas, con parámetros
similares, para obtener las estimaciones del registro.
La alternativa de los modelos matemáticos representando las distribuciones de
probabilidad de magnitudes e intervalos de tiempo del terremoto, incluye a modelos
20
simples como el proceso Poisson, con tiempo homogéneo, y la selección al azar de
magnitudes independientes y las coordenadas espaciales, así, como la consideración
que existe entre la correlación del tiempo, magnitud, las coordenadas espaciales y la
liberación de energía debido al evento registrado.
Con base a lo anterior, uno de los aspectos que defienden la idea de formular métodos,
principalmente para aquellos que son probabilísticos. Es la generación de temblores
artificiales en particularizar las características de los registros de grandes movimientos y
sus historias de tiempo, para llevar un seguimiento estadístico de cada evento y
compararlos, con los registros generados, validando así el método de análisis supuesto.
Teniendo que afrontar los problemas originados por la insuficiente información
estadística, sobre la cual están basados aquellos modelos probabilistas; los cuales, se
han propuesto mediante una suposición simple, respecto a las formas e idealizaciones
de los modelos estructurales, para estimar los correspondientes parámetros de medida,
realizando un análisis estadístico Bayesiano.
Actualmente, las normas de diseño sísmico en México especifican el movimiento del
terreno mediante un espectro que relaciona aceleraciones máximas efectivas con
periodos naturales de estructuras de un grado de libertad. Este espectro se define a
través de coeficientes sísmicos y parámetros que caracterizan su forma, de acuerdo con
el tipo de terreno en el que será proyectada la estructura. Además, las normas de diseño
proveén fórmulas simples que determinan una distribución lateral de fuerzas y toman en
cuenta la disipación de energía, asociada con la posible incursión de la estructura en el
intervalo inelástico mediante la reducción de las fuerzas sísmicas.
A pesar de su sencillez y facilidad para las condiciones de la práctica profesional, las
normas mencionadas simplifican un problema muy complejo, ya que se basan en
suposiciones y en experiencias obtenidas del comportamiento de las estructuras durante
sismos ocurridos, lo que tiene como consecuencia que la confiabilidad o probabilidad de
supervivencia de estructuras sometidas a excitaciones sísmicas no esté establecida con
claridad en las normas de diseño.
21
De acuerdo con Esteva [11], el objetivo final de toda norma de diseño es lograr que las
estructuras construidas tengan un óptimo desempeño durante su ciclo de vida; por lo
tanto las propiedades mecánicas, rigidez y resistencia, de un sistema deberían ser
determinadas sobre las bases de un análisis de optimación, como el propuesto por
Rosenblueth [28]. De acuerdo con los autores mencionados, este análisis debe tomar en
cuenta las incertidumbres en las acciones a las que se somete la estructura durante su
ciclo de vida, así como la variabilidad en las propiedades geométricas y mecánicas de
los elementos que integran dicha estructura. Dicho análisis requiere de un estudio de
confiabilidad donde intervengan las incertidumbres mencionadas y un análisis de costo-
beneficio donde se maximicen las utilidades esperadas. El primer paso se fundamenta
en efectuar un análisis de confiabilidad, de acuerdo con Esteva [15] consiste en los
siguientes puntos:
1) Un estudio de análisis de daños para temblores de intensidades dadas, que tome en
cuenta las incertidumbres en las propiedades estructurales como son, las características
geométricas de los elementos, propiedades mecánicas, e incertidumbres en las
acciones verticales y acciones sísmicas, entre otros efectos.
2) Un análisis de peligro sísmico a fin de evaluar las probabilidades de ocurrencia de
temblores para intervalos dados de tiempo.
En México se han dedicado esfuerzos a estudiar varios de los conceptos mencionados;
entre ellos destacan los trabajos siguientes: Esteva y Villaverde [37] representan
aceleraciones y velocidades máximas de las excitaciones sísmicas mediante funciones
de atenuación, Ordaz M., Arboleda J., Singh S. K. [13] donde se obtienen historias
sísmicas mediante funciones de Green empíricas; Grigoriu y col. [32] representan las
características detalladas del movimiento del terreno por medio de procesos
estocásticos modulados en amplitud y frecuencia; Esteva [15] desarrolla un método
probabilista para evaluar la sismicidad de las fuentes cercanas; Meli y Mendoza [29]
mediante estudios experimentales caracterizan las propiedades estadísticas del
concreto y del acero estructural. Sin embargo, poco se ha hecho por unificar estos
conceptos e integrarlos en un formato de análisis de confiabilidad con el fin de evaluar el
22
desempeño estructural de manera que incorpore las principales fuentes de
incertidumbres que intervienen en la seguridad estructural.
Esteva y Ruiz [11] calculan tasas esperadas de falla de estructuras de concreto
reforzado sujetas a acciones sísmicas inciertas. Las características geométricas y
mecánicas, así como las acciones verticales, son simuladas aplicando el método de
Monte Carlo. En dicho trabajo, el mecanismo de falla estructural se evalúa considerando
el mínimo factor de seguridad en los entrepisos que integran el conjunto estructural.
Este factor es estimado a partir de la ductilidad demandada por las acciones sísmicas, y
la ductilidad disponible. Para esta última ductilidad se adopta una función de distribución
logarítmica normal. Un paso importante con respecto al anterior son los trabajos de
Esteva y col. [1] quienes calculan índices de confiabilidad de sistemas de múltiples
niveles y los relacionan con ductilidades esperadas de un sistema de cortante de un
grado de libertad, cuyas propiedades mecánicas se estiman a partir de un sistema
estructural complejo. Además, se toma en cuenta la variabilidad del movimiento del
terreno en función de las características de fuente, en la que se estudia la sensibilidad
de dicho índice con respecto a la fuerza cortante basal de diseño y al tipo de función
constitutiva utilizada para describir el comportamiento de los elementos cuando están
sujetos a cargas cíclicas. Estos autores concluyen que el índice de confiabilidad varía
linealmente con el logaritmo de la ductilidad y que es independiente de las
características de rigidez y resistencia del sistema. En los trabajos de Esteva y col. [2]
además de la capacidad del sistema en el que se toma en cuenta las ductilidades de
entrepiso, se propone como un indicador de colapso a la capacidad de deformación
máxima, asociada a un estado de fuerzas laterales que da como resultado una
configuración desplazada en el primer modo de vibrar de la estructura. La principal
limitante en estos trabajos se debe a que la configuración desplazada del sistema que
se adopta para establecer la capacidad de deformación estructural es independiente de
las características de rigidez y resistencia del sistema, y de las características del
movimiento del terreno.
Heredia-Zavoni y col.[8], proponen un modelo de daño inicial, para evaluar la respuesta
inelástica de estructuras, así como amplitudes de desplazamientos máximos y rigideces
23
secantes asociadas a cada nivel de desplazamiento. A partir de este modelo y de
respuestas sísmicas registradas o analíticas, los autores evalúan la función de densidad
de probabilidad del daño al inicio de cada evento sísmico. Con base en el planteamiento
anterior, Esteva y Heredia-Zavoni [9] y Montes-Iturrizaga y col. [6], desarrollan un
modelo probabilista para establecer políticas óptimas de mantenimiento de estructuras
instrumentadas en zonas sísmicas, para ello el proceso de acumulación de daño de una
estructura sometida a una serie de perturbaciones sísmicas durante su ciclo de vida es
modelado mediante un proceso de Markov. En este modelo, el daño al final de un
evento sísmico depende del nivel de daño al inicio de dicho evento, siendo ésta una de
las principales virtudes del modelo. Además de que dicho modelo puede ser orientado a
establecer criterios de diseño sísmico; esto no es considerado por los autores.
Collins y col. [12], proponen un procedimiento probabilista para evaluar el desempeño
de estructuras sujetas a excitaciones sísmicas. Dicho procedimiento consiste en evaluar
la respuesta de la estructura por medio de un sistema equivalente de un grado de
libertad, de manera que la historia de respuesta del sistema equivalente represente de
manera simple y confiable la historia de desplazamientos en el extremo superior del
edificio. En dicho trabajo, el desempeño de la estructura se representa por medio del
desplazamiento máximo de la historia de desplazamientos previamente obtenida, y es
afectado por factores que toman en cuenta la influencia de las características del sitio en
cuestión y la incertidumbre entre el sistema equivalente y el sistema de múltiples
niveles. Dicha metodología tiene la virtud de ser simple, además tiene la ventaja de que
la respuesta del sistema equivalente es posible relacionarla directamente con espectros
de peligro uniforme. Sin embargo, igual que en los trabajos del párrafo anterior, no es
posible evaluar cuantitativamente el nivel de daño de la estructura con respecto al
estado del daño de colapso de la estructura; además no se toma en cuenta la
contribución de todo el posible intervalo de intensidades sísmicas que pueden afectar el
comportamiento de la estructura y por lo tanto, no se tiene idea de la probabilidad de
falla del sistema.
1.2.- Planteamiento del problema en Modelos de Edificios de Cortante.
De acuerdo con lo anterior, sería deseable contar con un método de análisis de
confiabilidad que supere los inconvenientes mencionados, y permita tomar en cuenta
indicadores cuantitativos del estado límite asociado al mecanismo de falla del sistema,
donde se tomen en cuenta sus modos más probables de falla y se evalúen las
principales fuentes de incertidumbre relativas al movimiento del terreno en el sitio, así
como las asociadas a la estructura. Dicho formato de confiabilidad debe ser general y
poder emplearse para evaluar la seguridad de estructuras específicas, así como para
estudios de costo-beneficio futuros que conduzcan a diseños racionales de estructuras
en zonas sísmicas, como es la Ciudad de México que presenta un alto riesgo de
sismicidad.
Por lo tanto torsión sísmica en edificios se debe a la excentricidad que existe entre la
fuerza sísmica y la fuerza resistente, dando como resultado el acoplamiento de los
movimientos de traslación y rotación. Una forma de considerar estos efectos es por
medio de un análisis elástico en el cual se considere sólo traslación de los entrepisos, e
incorporando el efecto torsional en la estructura mediante fuerzas cortantes sísmicas
distribuidas para cada uno de los elementos resistentes. Este procedimiento se conoce
como método estático, y es aplicable a estructuras con alturas menores de 60m,
dependiendo además de la estructuración y características del edificio, así como de la
importancia del mismo. Sin embargo en la práctica, a pesar de dichas restricciones, un
gran número de estructuras se someten a un análisis sísmico de este tipo.
1.2.1.- Análisis sísmico por el Método Estático.
Para determinar los cortantes de diseño sísmico por torsión, en cada uno de los
elementos resistentes de un entrepiso, se define como la suma algebraica del cortante
directo producido por la fuerza cortante sísmica, que se encuentra aplicada en el centro
de torsión del entrepiso, y del cortante por torsión debido al momento torsionante, que
se obtiene de multiplicar la fuerza cortante sísmica por la excentricidad de diseño que
25
ocasione el efecto más desfavorable. En este método los efectos directos y por torsión
se incluyen de la siguiente forma:
Análisis por traslación: 1.- Supone una distribución lineal con la altura de las aceleraciones horizontales
provocadas por el sismo.
2.- Los cortantes de entrepiso, (V¡), que se originan de la respuesta traslacional, son
evaluados en dos direcciones ortogonales.
3.- Al suponer que el diafragma de piso es infinitamente rígido en su propio plano es
posible aplicar los principios de compatibilidad y equilibrio para encontrar una
distribución de cortantes de entrepiso a los elementos verticales en proporción a su
contribución a la rigidez lateral de entrepiso.
Análisis por torsión: 1.- La distribución asimétrica de masas y/o rigideces en las plantas de estructuras
genera rotación de las mismas, dicha rotación es el producto de la fuerza cortante
sísmica por una excentricidad de diseño definida de tal manera que incluye parámetros
no considerados en la respuesta estática de la estructura. La excentricidad estática
modificada o excentricidad de diseño comprende dos aspectos:
a) Amplificación por efectos Dinámicos: La excentricidad estática se modifica con un factor de amplificación, para tomar
en cuenta las diferencias entre los resultados de los métodos estáticos y
dinámicos de análisis sísmico.
b) Excentricidad Accidental: En la excentricidad de diseño se incluye una excentricidad accidental para tomar
en cuenta las características que no dependen de la amplificación dinámica. En
los reglamentos de diseño sísmico se toma como un incremento en los valores
nominales de la excentricidad estática calculada, debido a la combinación de los
siguientes efectos:
del terreno.
• Incertidumbre en la distribución en planta de rigideces, masas y
resistencias.
• Diferencias de acoplamiento entre la cimentación y el suelo de
desplante.
Comúnmente, la excentricidad accidental se expresa como un porcentaje d, de la
dimensión máxima b, de la planta del entrepiso que es perpendicular a la dirección del
sismo.
1.2.2.- Centro de Masa y Rigidez.
La resultante de las fuerzas resistentes de un entrepiso, función de la localización y
rigidez de los elementos verticales, estará aplicada en el centro de torsión o centro de
rigidez, mientras que la resultante de las fuerzas sísmicas que actúan en el entrepiso
estará ubicada en el centro de masas. Cuando en centro de masa coincide con el centro
de rigidez no hay efectos de torsión y el desplazamiento del entrepiso será solo de
traslación.
El centro de masas de un entrepiso (CM), se define como el centro de gravedad de las
cargas verticales; en caso de que las cargas verticales presentan una distribución
27
uniforme, el centro de masas coincidirá con el centroide geométrico de la planta del piso,
y será el lugar donde se considera aplicada la fuerza sísmica horizontal que actúa en
ese nivel.
El centro de torsión o centro de rigidez de un entrepiso (CS), es el punto donde al aplicar
la fuerza cortante sísmica de entrepiso, solo produce desplazamientos relativos de
traslación entre los dos niveles que comprenden el entrepiso.
Fig. 2.- Excentricidad estructural.
1.2.3.- Excentricidad de diseño.
Los reglamentos de diseño sísmico que contemplan los efectos torsionales en
estructuras establecen normas de diseño por torsión en función de las fuerzas
actuantes, la excentricidad estática, es, definida como la distancia entre el centro de
masas y el centro de torsión de un entrepiso; los factores de amplificación y de
desamplificación dinámica y la excentricidad accidental. Dichos factores se engloban en
excentricidades de diseño definidas por: ed1 = aes + db..................................................................(1)
ed2 = bes - db..................................................................(2)
En las ecuaciones anteriores a y b son los factores de amplificación y desamplificación
dinámica respectivamente, db es la excentricidad accidental, donde b es la máxima
dimensión de la planta en la dirección perpendicular del sismo (fig. 1,2,3.), y d es una
fracción de la misma.
Fig.3. Relación de planta.
1.2.4.- Distribución de resistencias asociada a los criterios de diseño Para una estructura con elementos resistentes en una y dos direcciones el RDF87,
considera para fines de diseño, que el momento torsionante Mti se tomara igual a la
fuerza cortante de entrepiso, multiplicada por la excentricidad de diseño, d1e , que para
cada elemento resistente resulte más desfavorable. Con la excentricidad de diseño se
pretende lograr que los valores de los momentos torsionantes calculados estáticamente
que ocurren en las estructuras reales, sean capaces de no permitir que se desarrollen
ductilidad excesiva. Por lo tanto en este trabajo sé continua con el estudio de cinco
criterios de diseño por torsión en los cuales se considera la distribución de resistencias
entre los elementos estructurales, con el fin de encontrar un mejor comportamiento
estructural en los modelos de edificios.
En la siguiente tabla se muestran los cinco criterios de diseño que consideran la
distribución del cortante sísmico en los elementos resistentes.
Criterios de
29
En la tabla anterior se observa que códigos como el de México (RDF87) y el de
CANADA (NBCC-1990), incluyen factores de amplificación dinámica de 1.5 veces la
excentricidad estática y 10% de excentricidad accidental; adicionalmente incluyen
factores de desamplificación de 1.0 y 0.5 respectivamente. Es decir los factores a, b, y
d, varían de un reglamento a otro, y determinan un factor de incremento de la
resistencia lateral total de las estructuras diseñadas por torsión. Esto se refleja en un
incremento relativo en el costo de la estructura, y en la distribución de daño entre los
elementos resistentes.
1.3. Metodología de Análisis Estructural y diseño
1.3.1.- Formulación de los Modelos Con base en los estudios que se han realizado acerca de la torsión, en este trabajo sé
continua con el planteamiento de este problema, para evaluar el comportamiento de
modelos de edificios de un nivel. El modelo a estudiar corresponde a una estructura
tridimensional conformada por tres y seis marcos planos representados por elementos
resistentes verticales, unidos por un diafragma infinitamente rígido, donde se supone
concentrada la masa del entrepiso. La ley de carga-deformación para los elementos se
considero bilineal histeretica estable con una pendiente en la segunda rama del 1% del
valor de la pendiente inicial (fig.4). En el comportamiento de los modelos no se
incluyeron los efectos de amortiguamiento ni los de degradación en las propiedades de
rigidez y resistencia.
30
1.3.2.- Modelo de un nivel con elementos resistentes en una dirección.
De acuerdo con los modelos estudiados en los cuales se consideraron dos elementos
resistentes paralelos a la dirección del sismo, en este estudio se evalúa la respuesta
sísmica no lineal de modelos de edificios de cortante de un nivel con tres elementos
resistentes con el objetivo de estudiar el comportamiento estructural que se origina en
estos modelos, y evaluar la influencia que producen los parámetros que se consideran
en este trabajo.
En este trabajo se estudian modelos con tres elementos resistentes con una
contribución en rigideces del 75% de la rigidez total del modelo, para los elementos
extremos y el 25% restante a los elementos centrales. Para estudiar el efecto de la
distribución de las resistencias en la respuesta de la estructura, se utilizo como
parámetro a Xr, que mide la distancia de la fuerza resistente del entrepiso al centro del
diafragma de piso. De acuerdo con el tipo de estructuración, en estos modelos se varían
los valores propuestos de la excentricidad estática o estructural y el de resistencias, solo
en dirección perpendicular a la distribución de los elementos resistentes, y se analizan
tres relaciones de aspecto de la planta, ( h= b/2, h= b, h= 2b ), correspondientes a
formas denominadas cuadrada, horizontal, y vertical respectivamente, donde h, es la
distancia paralela a la excitación sísmica y b, es la dimensión perpendicular, con las
características en masa y rigidez, para obtener tres periodos diferentes de 0.5, 1.0, 1.5 seg. Los modelos se diseñaron con los cinco criterios que consideran la distribución de
la sobreresistencia torsional en los elementos resistentes, asignando una
sobreresistencia estructural de 1.5 y un factor de comportamiento sísmico Q=4.0. En
todos los casos se incluye en los modelos la incertidumbre en la localización del centro
de masa, tomando posiciones con un valor de excentricidad nominal de 0.1b, a la
izquierda y derecha del centro de masas. Los análisis se efectúan con el programa de
Análisis Estático TORSION.
1.3.3.- Modelo de Análisis.
Con el fin de cubrir todos los casos de asimetría en las estructuras se consideran dos
modelos; uno excéntrico en rigideces en el que el centro de masas se localiza en el
centro geométrico de la planta, y el otro excéntrico en masas en donde el centro de
torsión se mantiene en el centro de la planta. Las respuestas se obtuvieron utilizando un
proceso de integración de las ecuaciones de equilibrio dinámico de los modelos [19].
Ya que la resistencia real (Rn) es sistemáticamente mayor que la nominal calculada
(Rn), [20]; para investigar su efecto sobre la respuesta de la estructura, se estudia para
una relación Rr/Rn de 1.50. El efecto de la incertidumbre en la localización del centro de
masas sobre la respuesta se considera, en todos los casos al analizar los modelos con
el centro de masas localizado en su posición original y a +0.1b y -0.1b de ella,
seleccionando aquellos resultados que dan la mayor respuesta.
Fig. 5.- Modelo con tres elementos resistentes paralelos a la dirección del sismo.
1.3.4.- Modelo con elementos resistentes en dos direcciones ortogonales.
La evaluación de modelos con elementos resistentes en dos direcciones ortogonales,
permite ampliar los rangos de variación de los parámetros estudiados en los modelos
con elementos resistentes en una sola dirección, como es el caso de variar los valores
de resistencia en dos direcciones ortogonales. En estos modelos, se sigue el mismo
criterio de distribución en planta de rigideces como en el caso de los modelos con
elementos resistentes en una dirección. Adicionalmente se estudia uno alterno a este en
donde se considera un incremento proporcional a un 5% de la rigidez torsional,
32
estudiándose las tres formas de la planta como son: ( h = b/2, h = b, h = 2b ), con las
características en masa y rigidez, para analizar los tres periodos, ( 0.5, 1.0, 1.5 seg ).,
tomando el mismo periodo en las dos direcciones ortogonales, variando inicialmente la
excentricidad estructural, y las resistencias a lo largo del eje horizontal con una sola
componente sísmica, donde se evaluó básicamente el comportamiento de los elementos
resistentes paralelos a dicha excitación. Finalmente, se diseñan los modelos con los
cinco criterios que consideran la contribución de la sobreresistencia torsional en los
elementos resistentes, asignando una sobreresistencia estructural de 1.5 y un factor de
comportamiento sísmico Q = 4.0. También en este análisis se incluye en los modelos la
incertidumbre en la localización del centro de masa, tomando posiciones con un valor de
excentricidad nominal de 0.1b.
Para un modelo con elementos resistentes en dos direcciones ortogonales como el que
se muestra en la fig.6., se consideró el centro de masa del sistema plano en el centro de
figura, con el objetivo de estudiar y analizar los resultados del caso simétrico. Ya que
este modelo tiene cambios con respecto a los parámetros y variables del modelo
simétrico con tres elementos en una dirección, como son el incremento de elementos
resistentes, así como la mayor información numérica que se obtiene.
En la idealización del modelo a estudiar se trata de representar, el comportamiento
estructural de un edificio real cuando es sometido a una acción sísmica, y asignando
uno de los criterios de distribución de rigieses en los elementos resistentes, que consiste
en dar la mayor rigidez en la periferia de la estructura, con un porcentaje en los
elementos resistentes de los extremos del 75% de la rigidez total de la estructura y el
25% al elemento restante.
Fig.6.-Modelo estructural con elementos resistentes en dos direcciones ortogonales
33
Para estudiar el efecto de la distribución de las resistencias sobre la respuesta de la
estructura, se utilizaron dos parámetros Xr e Yr que miden las distancias de la fuerza
resistente del entrepiso al centro del diafragma de piso. La posición nominal de la fuerza
resistente de un entrepiso es la que genera la aplicación directa de un criterio de diseño
por torsión. Los valores diferentes de Xr e Yr se logran incrementando la resistencia
de los elementos extremos correspondientes a los lados hacia donde se desea ubicar la
fuerza resistente, de esta manera se cumple con la norma de diseño, ya que la
resistencia de cada elemento no será menor que sus correspondientes resistencias
nominales.
El criterio, que se tomo para la distribución de rigideces, consistió en mantener
constante la rigidez del elemento que se encuentra en la parte central del modelo
estructural, y balanceando la de sus extremos, en función de la excentricidad estructural,
así como de la posición del centro de masa definida en el centro de figura del modelo,
(modelo excéntrico en rigideces). Con base a lo anterior se realizo un análisis estático,
para deducir las ecuaciones que rigen la distribución de la rigidez en cada uno de los
elementos.
Considerando que la fuerza sísmica actuara en la dirección "y", para los modelos con
elementos resistentes en una y dos direcciones ortogonales, y de acuerdo al sistema de
referencia del modelo tenemos las siguientes ecuaciones:
Ky1 = (kye * x(numely) + esx - xcm + Sum ) * Fy / X (1)
Kyi int = ( KTy - Kye ) * Fy / (mumely - 2 ) (2)
Ky numel = ( xcm - esx - Sum - Kye * x(1) ) * Fy / X (3)
Donde:
Kyi int = Rigidez correspondiente a un elemento intermedio "i".
Ky numel = Rigidez del último elemento.
Fy = Componente de la fuerza sísmica.
xcm = Posición del centro de masa respecto al centro del diafragma.
34
numely = Número total de elementos resistentes
KTy = Rigidez total de la estructura.
Kye = Fracción de la rigidez total asignada a los elementos extremos.
X = xnumely - x1
xi = Coordenada de cada elemento respecto al centro del diafragma.
Sum = Sumatoria desde i = 2 hasta numely-1 de (Kyi xi )
1.3.5.- Planteamiento dinámico
Una estructura de cortante se puede idealizar como una columna empotrada en la base,
con masas concentradas en la altura, a nivel de pisos, de tal forma que solo es posible
el desplazamiento horizontal de los entrepisos, ocasionando la aparición de tres tipos de
fuerzas que conforman las ecuaciones dinámicas, como se muestran en las siguientes
figuras:
x
y
z
k
m
1
Fig.7. Estructuración del modelo de cortante de un piso. FI
FR FA
FUERZAS DINAMICAS EN UN MODELO DE CORTANTE DE UN NIVEL
Fig.8. Fuerzas de equilibrio, que actúan para el modelo de un piso
35
Fig. 9. Estructuración de un modelo de tres niveles.
Esta hipótesis transforma el problema de una estructura con un número infinito de
grados de libertad, debido a la distribución discreta de masas, en una estructura con
desplazamientos horizontales a nivel de cada piso y sin rotaciones en los nudos.
Fig.10. Fuerzas dinámicas presentes en un modelo de tres niveles
FI1 + FR1 + FA1 = 0 (3)
FI2 + FR2 + FA2 = 0 (4)
FI3 + FR3 + FA3 = 0 (5)
FI = Vector de Fuerzas de inercia.
FI = [M] * {U"}
FR =Vector de aceleraciones de rigidez de cada entrepiso.
FR = [K] * {U}
{U} = Vector de desplazamientos totales
FA = Vector de fuerzas de amortiguamiento
FA = [C] * {U'}
36
Si se supone la vibración libre de un sistema, sin amortiguamiento, la ecuación de
equilibrio dinámico general se plantea como:
[M] * {U"} + [K] * {U} = {0} (6)
La ecuación tiene como solución
{U} = {a} sen(wt - f) (7)
Donde:
f = Ángulo de fase
w = Frecuencia natural de vibración del sistema
Efectuando la correspondiente sustitución, la ec.5., resulta:
- w2 [M]{a} Sen(wt - f) + [K]{a} sen(wt - f) = {0} (8)
Agrupando términos se obtiene:
[[K] - w2[M]] {a} = {0} (9)
Que corresponde a una ecuación homogénea cuya solución no trivial, esto es el caso
para el cual los ai son diferentes de cero, se obtiene cuando el determinante de la matriz
es igual a cero:
I[K] - w2[M]I = 0.0 (10)
La ecuación que resulta es un polinomio de grado n en w2, que puede ser satisfecho por
n valores de w2. Este polinomio recibe el nombre de ecuación característica del sistema.
1.3.6.-Solución al problema inverso de valores característicos
En el presente trabajo, a partir de la ecuación 8., se asigna un periodo fundamental al
modelo, una distribución de masas unitarias y una proporcionalidad de rigideces con la
37
altura; de las cuales se puede obtener la rigidez de entrepiso. Así, de acuerdo a la
fig.11.; el planteamiento dinámico para un sistema de cortante de tres grados de libertad
da como ecuaciones de equilibrio para la masa del piso M1, M2, M3:
Fig.11.-Equilibrio dinámico para un modelo de tres grados de libertad
(M1w2 - K1 - K2) U1 + K2U2 = 0 (11)
K2U1 + (M2w2 - K2 + K3) U2 + K3U3 = 0 (12)
K3U2 + (M3w2 - K3) U3 = 0 (13)
El determinante correspondiente a las ecuaciones (11), (12)., y (13), es:
0
=






De acuerdo a las proporcionalidades establecidas en la fig.7., se pueden efectuar las
siguientes simplificaciones:
w2 = W
a = K1 + K2 = K1 + G1K1 = K1 (1 + G1)
b = K2 + K3 = G1K1 + G2K1= K1 (G1 + G2)
Los valores de W que hacen posible la solución del determinante de la matriz de
coeficientes, son llamados valores característicos. Calculando el valor del determinante
de la matriz de coeficientes, igualando a cero y efectuando la sustitución de las variables
que están en función de la rigidez del entrepiso, se tiene:
38
G2mW+G1G2m2M1W) + K1( - M12G2m1W2 + M12G1m2W2 + M12G2m2W2 -
M12m1m2W2-M12G1m1m2W2) + M12m1m2W3 = 0
Las tres raíces reales de la ecuación corresponden a las tres rigideces del entrepiso que
guarda una relación directa con los tres modos de vibrar; donde la mayor corresponde al
primer modo de vibrar. De esta manera quedan definidas las propiedades que
relacionan el periodo y la rigidez de la estructura.
1.3.7.- Parámetros estudiados
El definir los parámetros que caracterizan de la manera más real el comportamiento no
lineal de un edificio, ante excitación sísmica es complicado, sin embargo trabajos sobre
el tema indican que la distribución de resistencias en planta, influye notablemente en su
respuesta. Otros parámetros considerados en este estudio son los siguientes: el período
desacoplado de vibración libre, la excitación estática ó estructural, la relación de aspecto
de la planta, y el cociente de resistencia real a resistencia nominal del edificio. 1.3.8.- El periodo de vibración libre en traslación En este parámetro se considero, la asignación de una masa unitaria a los diafragmas de
piso en los modelos, y de esta manera la rigidez total de la estructura, que es función
inversa del cuadrado del período resulta:
2T KT
24π =
Los valores del período que se proponen son 1.5, 1.0, y 0.5 s, para los modelos con
elementos resistentes en una y dos direcciones ortogonales. Tomando en cuenta que
para los elementos en dos direcciones ortogonales, se asigna el mismo valor del período
traslacional, dado por Tx = Ty.
39
1.3.9.- Excentricidad estática o estructural (es)
La excentricidad estática en una y dos direcciones ortogonales para todos los modelos
se normalizó respecto a la dimensión "b", de la planta. Se consideraron dos tipos de
asimetría: la asimetría proporcionada por movimiento del centro de rigideces y por el
movimiento del centro masa, dado que en el intervalo inelástico se trata de dos casos
distintos. Los valores de excentricidad normalizada que se estudian son desde 0.0, 0.1,
0.2, y 0.3, siendo 0.0, el caso simétrico. En las siguientes figuras se muestran los
valores de excentricidad que se proponen en los modelos.
Fig. 12.- Incertidumbre de excentricidades
1.3.10.- Distribución de resistencias
Las variables para determinar el efecto de la distribución de resistencias en planta están
dadas por "xr", para los modelos con elementos resistentes en una dirección e
incluyendo "yr", para los modelos con elementos resistentes en dos direcciones
ortogonales. Estas variables se emplearon para medir la distancia entre la resultante
de las resistencias y el centro geométrico del diafragma, considerando además que
estas variables fueron normalizadas respecto a la dimensión " b ", de la planta.
La variación de los valores de resistencia se definió para ambos ejes ortogonales de la
planta, de acuerdo con la norma de diseño, resultando valores de 0.0, 0.1, 0.2, y 0.3b,
para "x r", y "yr" con intervalos de 0.1b.
40
Para la definición del signo se propuso en función del sistema de referencia, con origen
en el centro de figura.
Fig.13. Distribución de resistencias
1.3.11.- Relación de aspecto de la planta. (h/b)
En los modelos se proponen tres diferentes relaciones de aspecto de la planta como
son: 0.5, 1.0, y 2.0, las cuales modifican a su vez el valor del radio de giro del diafragma
necesario para el cálculo de la masa rotacional y la relación de frecuencias
desacopladas [ref. 6].
1.3.12.- Demanda de ductilidad
La ductilidad es la capacidad de una estructura de sustentar deformaciones superiores a
las del limite elástico sin fallar. La definición se aplica cualquiera que sea el sentido que
se de al termino falla, sea que se trate de colapso, agrietamiento o deformación
excesiva [ref. 16].
La demanda de ductilidad se define como el cociente de la máxima deformación que
experimenta una estructura o parte de ella, sin fallar, entre la deformación que
corresponde a su limite de proporcionalidad o limite de fluencia. La demanda de
ductilidad de todo sistema que posee mas de un grado de libertad depende del tipo de
solicitación que se le imponga y del tipo de deformación que se elija para definirla. En
las estructuras la demanda de ductilidad de un elemento, de un entrepiso, o la demanda
de ductilidad global, esta gobernada por una relación resistencia-deformación. En
elementos, la deformación máxima es la correspondiente al desplazamiento longitudinal,
41
a la rotación o la deformación por cortante; en un entrepiso se considera como la
diferencia entre los desplazamientos de dos niveles consecutivos. La demanda de
ductilidad global representa un promedio pesado de las demandas de ductilidad de
entrepiso.
De las anteriores definiciones se puede observar que la demanda de ductilidad en
elementos puede ser mayor que la de entrepiso, que a su vez puede ser mayor que la
demanda de ductilidad global. Evaluaciones analíticas y experimentales muestran que el
máximo valor de reducción proveniente de la ductilidad es hasta de cuatro para
estructuras conformadas por marcos de concreto bien detallados o marcos de acero,
[ref.17].
1.3.14.- Método de Análisis
Para obtener la respuesta inelástica de los modelos se utilizó el programa TORSIÓN
[ref.9], para análisis dinámico. En este programa la estructura se idealiza como un
conjunto de marcos planos unidos por diafragmas rígidos de piso.
Las excitaciones sísmicas que se emplearon están dadas con intervalos de tiempo de 0.02 seg. Para efectos del análisis, se considero para el diseño de modelos, la influencia
de las dos componentes del sismo, en un 100% del efecto ocasionado en esa dirección,
más el 30% del efecto del sismo en la dirección perpendicular.
1.3.15.- Descripción de la excitación utilizada
Para el presente estudio se utilizó uno de los registros del temblor del 19 de septiembre
de 1985 en la Ciudad de México; denominado SCT, obtenido en la zona de suelo blando
de la ciudad.
Debido a la gran duración de la señal (180 seg.), que representa demasiado tiempo de
cálculo en un análisis inelástico, se optó por recortar el acelerograma de acuerdo al
concepto de intensidad de Arias [ref 18], que permite seleccionar el intervalo de tiempo
42
para el cual el registro presenta el máximo potencial de daño. El criterio consiste en
∫ ∫
t es la duración total del sismo. El criterio toma
la duración comprendida entre el 5 y el 95 por ciento de la energía disipada acumulada.
Este tipo de registro de las aceleraciones del suelo normalizadas contra la máxima
aceleración registrada; se muestra en la fig.9., que representa la intensidad de Arias,
como representativa del daño potencial que el sismo puede producir en un sitio dado,
medido como la suma de la energía disipada por todas las estructuras.
Aplicando el criterio de Arias a la señal SCT EW se observa una reducción en la
duración total de la señal, obteniendo un tiempo efectivo de 39 segundos, que
representan un considerable ahorro de tiempo en el proceso de cálculo. Mientras, para
la dirección NS se obtuvo una duración efectiva de 77 segundos. Ya que los efectos
máximos ocurren dentro del intervalo de los 39 seg., en esta investigación se tomo esta
duración.
La influencia de las condiciones iniciales de la señal excitadora sobre la respuesta del
modelo, hizo necesario una modificación en la parte inicial de los registros recortados;
de tal modo que las aceleraciones se incrementaran en forma gradual hasta alcanzar el
valor de la primera aceleración de la señal.
43
Método de confiabilidad aplicando datos de
mediciones aleatorias y de incertidumbre estadística.
44
2. Análisis del Fundamento teórico de la Confiabilidad estructural 2.1. Información probabilística Esta información permite obtener datos y medidas de las propiedades de los modelos
estructurales con base a las características de varias muestras de un modelo
estructural, para obtener propiedades de las variables con incertidumbre
representativas. Por lo tanto debe esperarse, que las fluctuaciones físicas o variaciones
de estos modelos sean incontrolables debido a muchos factores diferentes como los de
construcción de la estructura, magnitud M y distancia R, que se presentan como
variaciones aleatorias de las propiedades estructurales, mediante la aplicación de
funciones de distribución que representan la respuesta del modelo estructural sujeto a
un evento sísmico.
Normalmente, se anticipa que midiendo los resultados obtenidos directamente de las
funciones de distribución en los modelos estructurales dados, se obtienen diferentes
números, que representan dichas propiedades. Esta predicción se determina con la
experiencia que se deriva del estudio, en más de un caso propuesto y aplicado a
condiciones distintas de estado límite, considerando la misma propiedad aleatoria y
puede mostrar variaciones significantes entre estos resultados.
La conclusión es que la variación de los resultados obtenidos expresa la suma de las
fluctuaciones físicas del modelo estructural en observación y las fluctuaciones
inherentes al método de observación. Donde estas variaciones contribuyen a un tipo de
incertidumbre llamada medición de incertidumbre con variaciones aleatorias que pueden
ocasionar errores sistemáticos, y estos no pueden ser eliminados promediando.
En principio, no es posible quitar las variaciones generadas directamente por el método
midiendo consecuentemente los valores físicos obtenidos. Sin embargo, los métodos de
teoría probabilística hacen posible algunas veces formular declaraciones sobre la
naturaleza estadística de las fluctuaciones físicas.
45
Éste es el caso si el método de medición puede aplicarse en varios tiempos a una
estructura, por el que la propiedad física pertinente se conoce como constante o sólo
variando ligeramente de medida a medida. Y por una serie de medidas repetidas, se
genera información sobre la incertidumbre del método midiendo en una forma que a
través de los métodos estadísticos puede ser representado, por un modelo
probabilístico. Cuando el método de medición se aplica, a una estructura con
fluctuaciones físicas inherentes, la medida de incertidumbre, puede eliminarse dentro de
una descripción con naturaleza probabilística de las fluctuaciones físicas. Sin embargo,
la dependencia entre el error Y, y la cantidad física X no debe ser demasiado
complicada.
Ahora si tenemos una cantidad física que fluctúe aleatoriamente, entonces es natural
representarlo por una variable aleatoria X. Supuesto, que la cantidad sea moderada por
un método donde la medida de incertidumbre puede ser representada por una variable
aleatoria, la cual es independiente de X. Los resultados medidos son entonces la suma
Z = X + Y (2.1)
El análisis estadístico de las medidas de los datos, da estimaciones del valor medio E[Z]
y la varianza Var[Z]. Así, las propiedades de incertidumbre del método de medición son
de antemano conocidas y representadas por E[Y] y Var[Y]. Seguido entonces de (2.1),
ya que E[X]=E[Z]-E[Y] y la independencia entre X y Y está dada por:
Var[X]=Var[Z]-Var[Y] (2.2)
Si esta fórmula da valores negativos, la razón es que la suposición de independencia
entre X y Y no es válida. Sin está suposición, la fórmula (2.1) debe ser remplazada por
var[X]= Var[Z]- Var[Y] - 2Cov[X,Y] (2.3)
Donde el lado derecho siempre será no negativo. Sin embargo, la fórmula (2.3) no es
directamente aplicable en esta conexión porque la Var[Y] y Cov[X,Y] no son conocidas,
46
debido al método de medición, que en esta situación, es dependiente de la estructura,
para la medida.
Si suponemos que las medidas de incertidumbre probabilística, pueden ser descritas por
una distribución normal o gaussiana y que el análisis estadístico de datos en las
muestras moderadas, que también son razonables para describir estos datos por una
distribución normal, entonces no se opone con la información dada para asumir que
X=Z-Y, distribuido normalmente. Sin embargo, esta suposición no es una consecuencia
del supuesto que Z y Y, son distribuidos normalmente. Así, se requiere por tanto una
conclusión, en donde el par (Z, Y), tienen una distribución normal bidimensional, tal que
una suposición no puede ser verificada, por una medición y por consiguiente no será
posible verificar una suposición que condicione que X no se distribuye normalmente.
Un caso que ilustra en que sentido es posible "depurar" los resultados de medición, es
para evaluaciones de incertidumbre, cuando el método es bien examinado. Sin
embargo, se enfrenta una dificultad, cuando las propiedades de la estructura en estudio
son del tipo energético como es la “fuerza (acción sísmica)” que es difícil, si no imposible
el hecho de realizar medidas repetidas en la misma estructura de prueba. Por otra parte
la evaluación de la incertidumbre de mediciones, debe por consiguiente basarse en
investigaciones indirectas sobre la respuesta del modelo estructural sujeto un evento
sísmico, combinada con experiencias de las comparaciones de mediciones con métodos
diferentes.
Donde existe la posibilidad de eliminar totalmente la medición de incertidumbre al tratar
con fuerzas de masa u otras propiedades de materiales, que cambian irreversiblemente
durante el procedimiento de medición, dando como condición la unión de tales
mediciones, resultado de una muestra común de valores obtenidos comparables del
mismo método de medición. Para que estos resultados de medidas con métodos
diferentes, puedan ser comparables a las ya mencionadas, deben llegar a una regla de
transformación mediante un muestreo único de un método a otro de medición. De
cualquier forma, no necesariamente se requiere, que el valor de un dato transformado
del primer método de medición debe ser casi el mismo el valor, que se obtuvo por el
47
segundo método de medición, aunque un requerimiento como este, es común tenerlo
para métodos de medición con pequeña incertidumbre. Entonces, para medidas de
propiedades de material irreversible, la opción de este estudio no puede ser controlado
por mediciones, de un supuesto. Así una regla de transformación entre datos viene de
diferentes métodos de medición, donde debe ser considerado como un tipo de regla
general de corrección, para remover los errores sistemáticos del único método de
medición relativo al otro.
En general habrá una incertidumbre considerable sobre la verdad de una afirmación que
especifica el valor de un error sistemático. Si esta incertidumbre puede ser sujeta a una
evaluación cuantitativa. Es decir puede ser de carácter de supuesto, entonces esto
también puede ser representado por un modelo probabilístico que desde un punto de
vista matemático haga, que se desvíe en principio de un modelo estructural
probabilístico, para el conjunto de fluctuaciones o variaciones físicas. La incertidumbre
de cualquier forma es de una naturaleza diferente. Contrario a las fluctuaciones físicas,
la incertidumbre es afectada por investigaciones más detalladas.
Este hecho ha motivado la separación entre aleatoriedad e incertidumbre. La
aleatoriedad inherente relacionada a la estructura no puede ser reducida por
observación, lo que, si se puede con la incertidumbre. Las palabras "medición de
incertidumbre” parecen cubrir una mezcla de dos conceptos. Un método de medición
puede poseer un error sistemático el cual es conocido únicamente con un poco de
incertidumbre, pero por mas investigaciones detalladas del método de medición, está
incertidumbre, puede ser reducida o prácticamente removida. Además un error
sistemático, en un método de medición usualmente con fluctuaciones aleatorias, las
cuales normalmente son cubiertas por las palabras "medición de incertidumbre" aunque
las palabras, "medición de incertidumbre" posiblemente podría corregirse. De otro modo,
las medidas de aleatoriedad pueden ser afectadas por cambios de métodos en las
mediciones.
Vemos que la clasificación de las posibilidades del concepto discutido de
indeterminación entre aleatoriedad e incertidumbre es relativa a la estructura. Y este a
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su vez es el propio método de medición en estudio, entonces las funciones de
distribución [ ] ℜ∈∀→ℜ x ,0,1:x)(xφ , inherentes a la estructura son caracterizadas como
aleatoriedad. Si la estructura a medir es la estructura de estudio, entonces estamos
hablando acerca de mediciones de incertidumbre. Esta división da posibilidad de afectar
la confiabilidad estructural en estos modelos estructurales por especificaciones de
aleatoriedad e incertidumbre en las normas de diseño sísmico, que se aplican en
ingeniería.
Por lo que un problema de confiabilidad contiene demasiadas variables con
incertidumbre, que pueden ser reducidas con la obtención de muchos datos o
información sin afectar la propia configuración estructural. Donde estas variables
aleatorias, pueden ser afectadas por las funciones de distribución debido a la
aleatoriedad en las propiedades estructurales del modelo. Sin embargo, la medición de
incertidumbre ha sido discutida como una incertidumbre unida al resultado de una
simple medida. Esto le da el mismo carácter, como el concepto de modelo de
incertidumbre. La medida de incertidumbre de un tipo completamente diferente es
llamada incertidumbre estadística.
2.2. Incertidumbre estadística
El propósito de cualquier método de medición es generar información sobre una
cantidad relacionada a los modelos estructurales en medición. Si la cantidad es de
naturaleza fluctuante que requiera un modelo probabilístico para su descripción.
Entonces en el método de medición se debe hacer lo posible, para obtener información
cuantitativa acerca de los parámetros del modelo probabilístico escogido. Por lo que es
natural que un valor promedio generado de un solo análisis para una variable aleatoria X
es suficiente, para dar una solo estimación aproximada mediante el valor de X y es
insuficiente para dar algún dato, acerca de la desviación estándar de D[X]. Sin embargo,
si una muestra de X esta dada, y los valores promedio generados de un cierto número
valores independientemente de X, pueden usarse para las estimaciones dadas para
todos los parámetros del modelo. La razón se relaciona a una estimación de una
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muestra de X, siendo que tenga sentido y sea posible, será encontrado en la teoría de la
probabilidad matemática.
Para ilustrar el papel de los conceptos estadísticos en el análisis de confiabilidad, vale la
pena repetir los rasgos más básicos de la descripción de información que una muestra
de X de tamaño n contiene el valor medio E[X]: es suficiente para hacer la suposición,
simplificando que X tiene una desviación estándar conocida D[X]=σ . Además esa es la
única información disponible que se da como muestra x1,....,xn de X.
Entonces es obvio que una estimación del valor medio μ=E[X] debe calcularse como el
valor de alguna función μ (x1,....,xn;σ ). Recordando que los valores x1,....,xn, son
obtenidos por experimentos repetidos mutuamente independientes, que dan resultados
de X, o más precisos, como un solo resultado del vector aleatorio (x1,....,xn) donde
x1,....,xn son variables aleatorias distribuidas mutuamente independientes, como X es
natural estudiar las propiedades distribucionales de la variable aleatoria μ (x1,....,xn;σ ).
Por ejemplo, parece ser apropiado escoger la función μ como la función de estimación
esta dada por:
E[μ (x1,....,xn;σ )]=μ (2.2.1)
para que la varianza Var[μ (x1,....,xn;σ )] sé vuelva tan pequeña como sea posible. Está
probabilidad matemática requiere suposiciones distribucionales sobre X y la
determinación es en la mayoría de los casos un problema difícil en cálculo variacional.
Por otra parte, si nosotros estamos satisfechos con la clase de estimación lineal,
entonces ninguna suposición de distribución se necesita y resulta que la mejor opción es
el promedio
por lo cual, la desviación estándar es : [ ] n σμD = (2.2.3)
Observamos que el promedio x =( x1,+....+,x2)/n de la muestra es una estimación de μ
pero también la estimación es incierta. La desviación estándar (2.2.3) puede con la
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interpretación apropiada, ser tomada como una media de esta incertidumbre. En
particular se ve que la incertidumbre desaparece asintóticamente como n-α. En la
presente formulación disminuye inversamente proporcional a la raíz cuadrada del
tamaño de la muestra.
La incertidumbre de este tipo, es llamada incertidumbre estadística y como es visto,
involucra información incompleta debido al tamaño de la muestra finita. Esto puede ser
interpretado como una fluctuación aunque normalmente no se observa como tal en la
práctica. Sólo un simple valor del promedio x es obtenido de la muestra. Sin embargo,
uno puede imaginar una secuencia de resultados repetidos de μ por tomar nuevas
muestras de tamaño n. Entonces μ exactamente fluctúa como una cantidad con
indeterminación de tipo aleatorio y desviación estándar definida por (2.2.3).
La descripción cuantitativa de la incertidumbre estadística, aquí no es aproximada como
una capacidad para un modelo probabilístico con respecto a una evaluación de una
exactitud estructural. Esto es porque un modelo semejante requiere que puedan unirse
contribuciones de las diferentes fuentes de aleatoriedad e incertidumbre juntos en un
modelo integrado de reglas lógicamente consistentes. Supongamos que la variable
estándar ya mencionada X está contenida en un modelo estructural probabilística.
Desde el valor medio E[X] desconocido, es necesario calcular la probabilidad para
asumir que [X] ha dado un valor μ . De este modo, la probabilidad de falla se vuelve una
función pf(μ ) de μ . Entonces hay un problema de cómo μ debe ser escogido. Una
posibilidad es por supuesto su contenido con el valor de la pf(μ ) con un intervalo
conveniente de confianza para pf(μ ), determinado por el uso de