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1 INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN INCORPORACIÓN DE UN MODELO DE COMPORTAMIENTO DINÁMICO EN LOS CRITERIOS DE DISEÑO DE ESTRUCTURAS Y EQUIPO PESADO SOMETIDOS A CARGAS ALEATORIAS T E S I S QUE PARA OBTENER EL GRADO DE: D O C T O R E N C I E N C I A S C O N E S P E C I A L I D A D E N INGENIERÍA MECÁNICA P R E S E N T A: M EN C CÁNDIDO ZAMORA CUAPIO DIRECTOR: DR. GUILLERMO URRIOLAGOITIA CALDERON MÉXICO, D.F. DICIEMBRE DEL 2006

INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

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Page 1: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

1

INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN

INCORPORACIÓN DE UN MODELO DE COMPORTAMIENTO DINÁMICO EN LOS CRITERIOS DE DISEÑO DE ESTRUCTURAS Y EQUIPO PESADO SOMETIDOS A CARGAS ALEATORIAS

T E S I S

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE: D O C T O R E N C I E N C I A S C O N E S P E C I A L I D A D E N

INGENIERÍA MECÁNICA

P R E S E N T A:

M EN C CÁNDIDO ZAMORA CUAPIO

DIRECTOR: DR. GUILLERMO URRIOLAGOITIA CALDERON

MÉXICO, D.F. DICIEMBRE DEL 2006

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Page 4: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

4

INDICE Pág.

I. Índice de figuras

II. Índice de cuadros

III. Simbología

IV. Resumen

V. Abstract

VI. Objetivo

VII. Justificación

7

8

8

9

10

11

12

INTRODUCCIÓN 16

CAPITULO 1

1.- Estado del arte

1.1.- Resultados reportados en la literatura abierta

1.2.- Planteamiento del problema de Confiabilidad en Modelos de edificios de Cortante

1.2.1.- Análisis sísmico por el Método Estático

1.2.2.- Centro de Masa y Rigidez

1.2.3.- Excentricidad de diseño

1.2.4.- Distribución e resistencias asociada a los criterios diseño

1.3.- Metodología de Análisis Estructural y diseño

1.3.1.- Formulación de Modelos

1.3.2.- Modelo de un nivel con elementos resistentes en una dirección

1.3.3.- Modelo de Análisis

1.3.4.- Modelo con elementos resistentes en dos direcciones ortogonales

1.3.5.- Planteamiento dinámico

1.3.6.- Solución al problema inverso de valores característicos

1.3.7.- Parámetros estudiados

1.3.8.- El periodo de vibración libre en traslación

1.3.9.- Excentricidad estática o estructural

1.3.10.- Distribución de resistencias

1.3.11.- Relación de aspecto de la planta

1.3.12.- Demanda de ductilidad

1.3.13.- Método de Análisis

19

19

24

24

26

27

28

29

29

30

31

31

34

36

38

38

39

39

40

40

40

Page 5: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

5

1.3.14.- Descripción de la excitación utilizada 41

CAPITULO 2

2.- Análisis del Fundamento teórico de Confiabilidad estructural 44

2.1. Información probabilística

2.2. Incertidumbre estadística

2.3. Modelo de Incertidumbre

44

48

55

CAPITULO 3

3. Análisis de probabilidad de falla en secciones de elementos estructurales 60

3.1. Modelos estructurales deterministas y probabilistas 62

3.2. El problema de seguridad estructural 63

3.3. Sistema de tolerancia estructural 64

3.4. Compatibilidad con la probabilidad con las estructuras 65

3.5. Método del factor de seguridad parcial 66

3.6. El concepto del factor de seguridad y el requisito de formulación de invarianza 71

3.7. Consideraciones de probabilidad acerca del factor de seguridad 73

3.8. Factores de seguridad parcial 77

CAPITULO 4

4. Modelos Probabilísticos para estructuras tipo viga 79

4.1. Análisis de un elemento viga

4.1.1. Formulas para obtener la distribución de probabilidad

82

82

4.2. Propuestas de distribuciones de probabilidad en las variables del elemento viga 83

4.3. Distribución del momento 83

4.4. Distribución de S 83

4.5. Distribución de a(l-a) 83

4.6. Distribución de Pa(l-a) 84

4.7. Distribución de μy 84

4.8. Distribución del momento 84

4.9. Distribución de h2 85

Page 6: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

6

4.10. Distribución de bh2 85

4.11. Distribución de /6μ2x

85

4.12. Distribución de f 85

4.13. Distribución de la acción 86

4.14. Distribución de la resistencia y determinación del riesgo 86

CAPITULO 5

5. Planteamiento de la Confiabilidad en función del tiempo 88

5.1. Formulación de la Confiabilidad 89

5.2. Idealización del Modelo estructural 90

5.3. Metodología de análisis del Modelo 91

5.4. Evaluación de la Confiabilidad 91

5.5.Algoritmo de Optimización 94

CAPITULO 6

6. Análisis de resultados

Índice de Anexos de Análisis de resultados

96

120

7. Conclusiones 104

Apédice A 107

Apéndice B 117

Apéndice C 119

Referencias 121

Page 7: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

7

I. Índice de figuras

No. Nombre pag.

1.- Distribución de rigidez en los elementos de resistencia………….………...26

2.- Excentricidad…………………………………………………………………….27

3.- Relación de planta………………………………………………………………28

4.- Comportamiento de los elementos resistentes………………………………29

5.- Modelo con tres elementos resistentes paralelos a la dirección del

sismo………………….......................................................................................31

6.- Modelos estructural con elementos de resistencia en dos direcciones

ortogonales………………………………………………………………………….32

7.- Estructuración del modelo de Cortante de un piso………………………….34

8.- Fuerzas de equilibrio que actúan para el modelo de un piso………………34

9.- Estructuración de un modelo de tres niveles………………………………...35

10.- Fuerzas dinámicas presentes en un modelo de tres niveles……………..35

11.- Equilibrio dinámico para un modelo de tres grados de libertad…………..37

12.- Incertidumbre de excentricidades……………………………………………39

13.- Distribución de resistencias…………………………………………………..40

14.- Distribución tipo campana…………………………………………………….61

15.- Modelo estructural y matemático…………………………………………….61

16.- Dirección del sismo……………………………………………………………61

17.- Dominio de definición y estado límite de falla de un modelo de

análisis de confiabilidad, para una soga que soporta una carga……………...69

18.- Estado límite de derrumbamiento compuesto para una soga atada a un

gancho y llevando una carga………………………………………………………70

19.- Dos representaciones diferentes de las fuerzas interiores en un plano de

una viga de concreto reforzado, ilustra el problema de formulación de

invarianza……………………………………………………………………………72

20.- Funciones de distribución con valores pequeños para R y S índice de

figuras………………………………………………………………………………..75

Page 8: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

8

No. Nombre pag.

21.- El principio del método de factor de seguridad parcial por el cual una

definición codificada del conjunto de estados suficientemente seguros

constituye una superficie de estado límite convexa…………………………….78

22.- Ilustración que muestra los métodos de factores de seguridad parcial el

estado límite no convexo............................................................................... 78

23.- Viga sometida a carga uniforme……………………………………………..82

II. Índice de cuadros o tablas

Tabla 3……………………………………………………………………………106

III. Simbología

E[X]; esperanza de la variable aleatoria X

E[Y]; esperanza de la variable aleatoria Y

E[Z]; esperanza de la variable aleatoria Z

Var[X]; varianza de la variable aleatoria X

Var[Y]; varianza de la variable aleatoria Y

Var[Z]; varianza de la variable aleatoria Z

Cov[X,Y]; covarianza de las variables aleatorias X y Y

pf(μ ); probabilidad de falla del sistema

(x1,....,xn;σ ); función de distribución del valor esperado de eventos

independientes y su desviación estándar

fM(μ ); función de densidad de la variable aleatoria M

( ).Φ ; función de distribución

g(x); función de estado límite

F.S; factor de seguridad

Page 9: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

9

RESUMEN

En este trabajo se presenta un estudio para estimar la confiabilidad estructural en

Modelos de Edificios de Cortante de tres niveles que presentan torsión, debido a

solicitaciones sísmicas, como el que ocurrió en la Ciudad de México el 19 de Septiembre

de 1985. Donde estás estructuras experimentaron desplazamientos máximos de

entrepiso que ocasionaron daños y colapso de las mismas, ya que excedieron el estado

límite de seguridad estructural que especifica el reglamento de diseño sísmico de

México determinado en el presente como RDF87(Reglamento del Distrito Federal de

1987). Por lo tanto estos desplazamientos se tomaron como medida de respuesta

estructural mediante índices de confiabilidad, aplicando el Método de Rackwitz y

Fiessler, para obtener la probabilidad de falla, las funciones de distribución acumulativa,

la densidad y tasa de falla, con períodos fundamentales de los modelos de 0.5, 1.0, y

1.5 seg; que se aplican a una relación de planta con elementos en una y dos direcciones

ortogonales en los que se considera la influencia de parámetros significativos en la

respuesta lineal de edificios.

Además, con base a lo anterior, estas formas de medir la probabilidad de falla con

propiedades aleatorias para intensidades dadas, están referidas a un margen de

seguridad, que relaciona el desplazamiento máximo del extremo superior de la

estructura con respecto a su base en el instante de la falla mediante la función dada

por: [ ] ℜ∈∀→ℜφ x ,0,1:x)(x . Y representadas por medio de la solución exacta de un sistema

coherente en trayectorias y cortaduras mínimas, resaltando valores obtenidos similares

a otras estructuras evaluadas con otros Métodos de Confiabilidad, que se ubican

desplantadas en sitios de terreno blando del valle de México con características

similares a los sitios SCT.

Page 10: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

10

ABSTRACT

This work presents a study that estimates the structural reliability of Sharp Building

Models of three levels that represent torsion torsion, due to seismic applications, like the

one that occurred in Mexico City on September 19th , 1985, where these structures

experimented maximum displacements between levels which caused severe damage

and destruction having exceeded the structural security limit determined by the seismic

design regulation code RDF87 (Federal District Regulation of 1987). However these

displacements were taken as measurements of structural response through the reliability

of failure, the functions of accumulative distributions, the density and the rate failure, with

fundamental periods from the models 0.5, 1.9 and 1.5 sec; which are applied to the

relation of a building with elements in one and two right-angled directions which are

considered the influence of significant parameters for the response of lineal buildings.

Based on what said above, these techniques to measure the probability, of failure with

random properties for given intensities, are referred to a margin of security, which relates

the displacement of the upper extreme of the structure with regards to its base when the

fault occurs, given by the function: [ ] ℜ∈∀→ℜφ x ,0,1:x)(x . These techniques are also

represented by means of the exact solution of a coherent system based on trajectories

and minimum cuttings, highlighting the results obtained similar to other evaluated

structures with other Methods of Reliability, which can be find removed on soft sites of

land in “Valle de Mexico” with similar characteristics to the SCT sites.

Page 11: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

11

VI. Objetivo

Desarrollar una metodología para estimar la confiabilidad estructural en modelos

de edificios de cortante de tres niveles sujetos a historias de cargas sísmicas

caracterizadas por su intensidad y medir su respuesta de estos modelos con

propiedades aleatorias, aplicando la función de estado límite de Rackwitz y

Fiessler. y evaluar la seguridad estructural empleando las normas de diseño

sísmico en México.

VI.I. Objetivos específicos

VI.I.1 Idealizar un modelo para estimar los índices de confiabilidad en estructuras

de cortante de uno y tres niveles, que considere las fuentes de incertidumbre más

significativas que llevan al estado límite una estructura.

VI.I.2 Analizar y evaluar las fuentes de incertidumbre en estos modelos, para

llegar a métodos y algoritmos de confiabilidad aplicables a condiciones prácticas,

como se establece en los criterios de diseño, específicamente en seguridad.

VI.I.3 Desarrollar y validar estos algoritmos para estimar la probabilidad de falla

en estos modelos de edificios, mediante el desarrollo de programas de computo

para calcular los índices de confiabilidad empleando el método de Rackwitz y

Fiessler.

VI.I.4 Realizar estudios paramétricos para analizar los índices de confiabilidad

con respecto a algunas variables importantes en estructuras típicas (secciones

transversales, Rigidez, etc). Además de utilizar los resultados para definir valores

de los índices de confiabilidad implícitos en las normas de diseño y seguridad.

Page 12: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

12

VII. Justificación

Para establecer criterios de diseño sísmico sustentados en confiabilidad de estructuras

sujetas a solicitaciones sísmicas, es básico representar la probabilidad de falla

mediante alguna de las siguientes alternativas:

a) En términos de la tasa de falla, por unidad de tiempo para temblores de distintas

intensidades.

b) En términos de la probabilidad de falla durante la vida útil de la estructura.

c) A través de la probabilidad de falla para un temblor de intensidad especificada, o

para la intensidad que corresponde a un periodo de recurrencia dado.

En los casos a y b se basan en descripciones más completas de peligro sísmico, ya que

generan medidas globales de la probabilidad de falla, y confiabilidad; debido a que en el

análisis se integran todas las posibles ocurrencias e intensidades sísmicas del

movimiento del suelo en el sitio. Sin embargo, si el proceso de ocurrencia de temblores

es de Poisson, el caso “a” es mas general que el “b”, ya que contiene la información

completa, mientras que para estimar este último, se necesita conocer el intervalo de

tiempo entre eventos sísmicos.

La intensidad sísmica del movimiento del suelo puede expresarse, por ejemplo:

1.- En términos de la ordenada espectral que corresponde al periodo natural de

vibración de la estructura.

2.- En función de la máxima ordenada espectral que corresponde a un periodo de

recurrencia dado

3.- A través de la intensidad de Arias, definida como la cantidad de energía contenida en

el intervalo de tiempo que comprende a la fase intensa del movimiento del terreno en el

sitio.

4.- Por medio de la intensidad de Housner, considerada como el área del espectro de

seudo velocidad contenida en un intervalo de periodos.

Page 13: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

13

El caso 1 conduce a resultados con menos dispersión en cuanto a las respuestas

estructurales que los casos 2, 3 y 4, debido a la estrecha relación entre la intensidad y

dichas respuestas. Cualquier definición de intensidad que se empleé es posible

relacionarla con la combinación más probable de magnitud M, y distancia R, que puede

afectar el estado límite de una estructura determinada en el sitio de interés; para

establecer y asociar la probabilidad de falla con fines prácticos a los criterios de diseño

sísmico.

Con base a lo anterior, este trabajo presentará dicha probabilidad de falla a través de un

sismo con intensidad especificada, donde se evalúa la respuesta estructural como el

desplazamiento máximo de entrepiso mediante la obtención de índices de confiabilidad

de los modelos de edificios de cortante de tres niveles.

Por otra parte, para calcular tasas de falla por unidad de tiempo, es esencial estimar la

probabilidad de falla ante temblores de distintas intensidades y la forma más simple para

estimar estas probabilidades es a través de un índice de confiabilidad, determinada por

distribuciones de probabilidad con propiedades de valores aleatorios, como son la media

y desviación estándar de un margen o factor de seguridad que considere los modos de

falla más significativos, idealizando las excitaciones sísmicas por medio de espectros de

peligro uniforme; de manera que, para una estructura particular, la excitación del

movimiento del terreno esté caracterizada por la ordenada espectral que corresponde al

periodo de vibración del sistema para un intervalo de recurrencia dado y permitan

implementar criterios de diseño sísmico. Sin embargo, para establecer dichos criterios,

es importante tomar en cuenta otras características que son relevantes durante el

movimiento del terreno, pudiendo afectar, radicalmente, el desempeño de los sistemas

estructurales, como pueden ser: la duración de la excitación sísmica, la evolución de la

varianza instantánea de la aceleración, así como la evolución del contenido de

frecuencias durante la misma. Además, debe considerarse la variabilidad de estas

características con las peculiaridades de fuente, como pueden ser, entre otras, la

magnitud M y la distancia R.

Page 14: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

14

No obstante, evaluar las características detalladas del movimiento en función de M y R

no basta para especificar criterios de diseño. Por lo tanto es necesario, definir en

términos de fuente las características de la excitación que dominan la amenaza sísmica

en el sitio, o más específicamente, evaluar cuáles son las características detalladas de

la excitación en términos de M y R que son más probables de ocurrir y que afectan a

una estructura dada, con características conocidas o inciertas. También es importante

conocer cómo se afectan las características detalladas del movimiento debido a las

características de fuente cuando la excitación se asocia a un determinado nivel de

intensidad.

Por otra parte, cuando se llevan a cabo estudios de peligro sísmico es común asumir

que las incertidumbres en la excitación controlan la amenaza sísmica en el sitio, y que la

incertidumbre sobre las características de la estructura no influye radicalmente en los

resultados. Por ello, una gran cantidad de estos estudios considera a la estructura como

un sistema de un grado de libertad con propiedades deterministas; mientras que solo

unos pocos consideran a la estructura como un sistema de múltiples grados de libertad

con propiedades medias. Esto trae como consecuencia que las estimaciones de

respuesta estructural, se encuentre sesgadas en menor o mayor grado.

Es así, que en este trabajo se desarrolla un modelo de tres grados de libertad que toma

en cuenta la aparición de los posibles modos de falla, que es necesario evaluar para

estimar la confiabilidad de estas estructuras sujetas a sismo. Así mismo, se calcula la

incertidumbre asociada con las características propias de la estructura y su estado

límite, que influyen en el factor de sobre-resistencia.

Page 15: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

15

VII.1. Contribuciones del trabajo

Se desarrolla un modelo estructural de cortante de uno y tres grados de libertad,

para estimar índices de confiabilidad, empleando funciones de distribución

probabilística con propiedades de valores aleatorios, que permiten evaluar el estado

límite de estas estructuras; y presentar su comportamiento estructural por funciones

de densidad, distribución acumulativa y tasa de falla, utilizando el Programa

MINITAB, así como la obtención de la probabilidad de falla, por el Método de

Rackwizt y Fiessler y se presenta esta respuesta con un Programa hecho en MATH

LAB, así como el desarrollo y análisis de la solución exacta de un sistema coherente

en trayectorias y cortaduras mínimas.

1. Se desarrolla una metodología, para obtener simulaciones de variables aleatorias

correlacionadas y evaluadas con el Programa MINITAB, y a un sistema coherente

en términos de cortaduras y trayectorias mínimas de las funciones de distribución.

2. Se desarrolla un algoritmo para obtener los índices de confiabilidad, con el

método de Rackwitz y Fiessler, para calcular la probabilidad de falla de estos

modelos de cortante con periodos de tiempo conocidos de 0.5, 1.0, y 1.5 s.

Finalmente, este Método se relaciona con las siguientes funciones de análisis

estructural:

• El criterio propuesto es aplicable a cualquier sistema estructural. No se

limita a sistemas, de marcos planos de edificios como los que se idealizo

en los modelos propuestos.

• Los índices de confiabilidad, y probabilidades de falla para los periodos de

tiempo seleccionados se encuentran asociados con las características e

incertidumbres de las acciones sísmicas de intensidades dadas que

pueden ocurrir durante la vida útil de la estructura.

3. Los criterios propuestos pueden servir de base para formular criterios de diseño

con objetivos específicos

Page 16: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

16

INTRODUCCIÓN

El comportamiento y respuesta de estructuras incluye factores del entorno político,

social, y de normas de diseño, que impactan psicológicamente cuando éstas, son

sujetas a fenómenos o acciones naturales y/o artificiales como el sismo del 19 de

Septiembre de 1985 [6], que causó daños y fallas estructurales, afectando la vida

cotidiana de la zona o sitio en que ocurrió el sismo, además existieron pérdidas de vidas

humanas, materiales y económicas, de gran magnitud e incertidumbre. Por lo que se

procede a un estudio y una metodología, que permita idealizar estructuras con

propiedades de incertidumbre y obtener mayor aproximación a la realidad en el diseño

de estas estructuras ante este tipo de fenómenos.

Por otra parte después del sismo de 1985, se han hecho algunos estudios de modelos

no estacionarios [35], ya que anteriormente, para disipar la energía de estos

mecanismos estructurales, generalmente se habían hecho estudios de modelos

deterministas y estacionarios, como en los modelos que estudian la respuesta de torsión

en edificios de cortante de un nivel, sometidos a una excitación sísmica., en donde el

objetivo fue evaluar y analizar el comportamiento no lineal de estos modelos, con

períodos fundamentales de 0.5, 1.0, y 1.5., s; empleando cinco criterios de diseño

sísmico, para elementos en una y dos direcciones ortogonales, en los cuales se tuvo en

cuenta el efecto de la excentricidad accidental y la amplificación que se generá por

efectos dinámicos.

Los criterios evaluados fueron: Normas Técnicas Complementarias para diseño por

sismo del Reglamento del Distrito Federal [RDF87], Applied Technology Council [ATC],

National Building Code of Canada (NBC), Comité Euro-International du Beton, 1987

[CEB], y el criterio denominado [CRIT1], el cual se evaluó como una modificación del

RDF87, cambiando los coeficientes involucrados en las excentricidades de diseño.

En estos modelos se estudió la influencia de parámetros significativos en la respuesta

no lineal en edificios como los valores de excentricidad estática, el periodo de vibración

Page 17: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

17

traslacional, la relación de aspecto de planta, el cociente de la resistencia real a

resistencia nominal y la distribución de resistencias en planta. Siendo este último

parámetro la demanda de ductilidad obtenida por el diseño de elementos y estructuras

sometidas a fuerzas de torsión y cortante [22].

Page 18: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

18

CAPÍTULO I

Estado del arte

Métodos de Análisis de confiabilidad aplicados a

estructuras sometidas a excitaciones sísmicas.

Page 19: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

19

1.- Estado del arte

1.1. Resultados reportados en la literatura abierta.

En estos trabajos de confiabilidad estructural se ha propuesto establecer un criterio de

diseño sismoresistente, para sistemas estructurales, con base a la confiabilidad,

considerando, que no ha sido una tarea fácil, ni mucho menos ha estado exento de

puntos de vista contradictorios, ya que su desconocimiento genera dificultades

significativos en su aplicación.

Así, estos problemas se suman a las complejidades inherentes de los fenómenos en

estudio, que va desde la generación y propagación del terremoto, hasta la respuesta y

comportamiento estructural, claro, que en la toma de decisiones, el proceso se relaciona

con la seguridad. Por ejemplo al asumir el modelo de la excitación sísmica. Por lo tanto,

una metodología, para llevar a cabo esta propuesta, es idealizar los procesos y

ocurrencias de terremotos en sitios, para formular modelos probabilistas, y

particularizando las características de los registros de grandes movimientos y sus

historias de tiempo durante cada evento. Teniendo que afrontar los problemas que

surgen, por la insuficiente información estadística, para sustentar estos modelos

probabilistas. Y por consiguiente, se tienen que hacer supuestos simples acerca de los

modelos, para estimar los parámetros correspondientes, por medio de un análisis

estadístico.

Para este propósito; se han supuesto las distribuciones de probabilidad, principalmente

subjetivas, para describir el grado de certidumbre, en la alternativa de los valores

supuestos con características geológicas y geofísicas, así como de la información

estadística sobre los eventos ocurridos en otras regiones sísmicas, con parámetros

similares, para obtener las estimaciones del registro.

La alternativa de los modelos matemáticos representando las distribuciones de

probabilidad de magnitudes e intervalos de tiempo del terremoto, incluye a modelos

Page 20: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

20

simples como el proceso Poisson, con tiempo homogéneo, y la selección al azar de

magnitudes independientes y las coordenadas espaciales, así, como la consideración

que existe entre la correlación del tiempo, magnitud, las coordenadas espaciales y la

liberación de energía debido al evento registrado.

Con base a lo anterior, uno de los aspectos que defienden la idea de formular métodos,

principalmente para aquellos que son probabilísticos. Es la generación de temblores

artificiales en particularizar las características de los registros de grandes movimientos y

sus historias de tiempo, para llevar un seguimiento estadístico de cada evento y

compararlos, con los registros generados, validando así el método de análisis supuesto.

Teniendo que afrontar los problemas originados por la insuficiente información

estadística, sobre la cual están basados aquellos modelos probabilistas; los cuales, se

han propuesto mediante una suposición simple, respecto a las formas e idealizaciones

de los modelos estructurales, para estimar los correspondientes parámetros de medida,

realizando un análisis estadístico Bayesiano.

Actualmente, las normas de diseño sísmico en México especifican el movimiento del

terreno mediante un espectro que relaciona aceleraciones máximas efectivas con

periodos naturales de estructuras de un grado de libertad. Este espectro se define a

través de coeficientes sísmicos y parámetros que caracterizan su forma, de acuerdo con

el tipo de terreno en el que será proyectada la estructura. Además, las normas de diseño

proveén fórmulas simples que determinan una distribución lateral de fuerzas y toman en

cuenta la disipación de energía, asociada con la posible incursión de la estructura en el

intervalo inelástico mediante la reducción de las fuerzas sísmicas.

A pesar de su sencillez y facilidad para las condiciones de la práctica profesional, las

normas mencionadas simplifican un problema muy complejo, ya que se basan en

suposiciones y en experiencias obtenidas del comportamiento de las estructuras durante

sismos ocurridos, lo que tiene como consecuencia que la confiabilidad o probabilidad de

supervivencia de estructuras sometidas a excitaciones sísmicas no esté establecida con

claridad en las normas de diseño.

Page 21: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

21

De acuerdo con Esteva [11], el objetivo final de toda norma de diseño es lograr que las

estructuras construidas tengan un óptimo desempeño durante su ciclo de vida; por lo

tanto las propiedades mecánicas, rigidez y resistencia, de un sistema deberían ser

determinadas sobre las bases de un análisis de optimación, como el propuesto por

Rosenblueth [28]. De acuerdo con los autores mencionados, este análisis debe tomar en

cuenta las incertidumbres en las acciones a las que se somete la estructura durante su

ciclo de vida, así como la variabilidad en las propiedades geométricas y mecánicas de

los elementos que integran dicha estructura. Dicho análisis requiere de un estudio de

confiabilidad donde intervengan las incertidumbres mencionadas y un análisis de costo-

beneficio donde se maximicen las utilidades esperadas. El primer paso se fundamenta

en efectuar un análisis de confiabilidad, de acuerdo con Esteva [15] consiste en los

siguientes puntos:

1) Un estudio de análisis de daños para temblores de intensidades dadas, que tome en

cuenta las incertidumbres en las propiedades estructurales como son, las características

geométricas de los elementos, propiedades mecánicas, e incertidumbres en las

acciones verticales y acciones sísmicas, entre otros efectos.

2) Un análisis de peligro sísmico a fin de evaluar las probabilidades de ocurrencia de

temblores para intervalos dados de tiempo.

En México se han dedicado esfuerzos a estudiar varios de los conceptos mencionados;

entre ellos destacan los trabajos siguientes: Esteva y Villaverde [37] representan

aceleraciones y velocidades máximas de las excitaciones sísmicas mediante funciones

de atenuación, Ordaz M., Arboleda J., Singh S. K. [13] donde se obtienen historias

sísmicas mediante funciones de Green empíricas; Grigoriu y col. [32] representan las

características detalladas del movimiento del terreno por medio de procesos

estocásticos modulados en amplitud y frecuencia; Esteva [15] desarrolla un método

probabilista para evaluar la sismicidad de las fuentes cercanas; Meli y Mendoza [29]

mediante estudios experimentales caracterizan las propiedades estadísticas del

concreto y del acero estructural. Sin embargo, poco se ha hecho por unificar estos

conceptos e integrarlos en un formato de análisis de confiabilidad con el fin de evaluar el

Page 22: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

22

desempeño estructural de manera que incorpore las principales fuentes de

incertidumbres que intervienen en la seguridad estructural.

Esteva y Ruiz [11] calculan tasas esperadas de falla de estructuras de concreto

reforzado sujetas a acciones sísmicas inciertas. Las características geométricas y

mecánicas, así como las acciones verticales, son simuladas aplicando el método de

Monte Carlo. En dicho trabajo, el mecanismo de falla estructural se evalúa considerando

el mínimo factor de seguridad en los entrepisos que integran el conjunto estructural.

Este factor es estimado a partir de la ductilidad demandada por las acciones sísmicas, y

la ductilidad disponible. Para esta última ductilidad se adopta una función de distribución

logarítmica normal. Un paso importante con respecto al anterior son los trabajos de

Esteva y col. [1] quienes calculan índices de confiabilidad de sistemas de múltiples

niveles y los relacionan con ductilidades esperadas de un sistema de cortante de un

grado de libertad, cuyas propiedades mecánicas se estiman a partir de un sistema

estructural complejo. Además, se toma en cuenta la variabilidad del movimiento del

terreno en función de las características de fuente, en la que se estudia la sensibilidad

de dicho índice con respecto a la fuerza cortante basal de diseño y al tipo de función

constitutiva utilizada para describir el comportamiento de los elementos cuando están

sujetos a cargas cíclicas. Estos autores concluyen que el índice de confiabilidad varía

linealmente con el logaritmo de la ductilidad y que es independiente de las

características de rigidez y resistencia del sistema. En los trabajos de Esteva y col. [2]

además de la capacidad del sistema en el que se toma en cuenta las ductilidades de

entrepiso, se propone como un indicador de colapso a la capacidad de deformación

máxima, asociada a un estado de fuerzas laterales que da como resultado una

configuración desplazada en el primer modo de vibrar de la estructura. La principal

limitante en estos trabajos se debe a que la configuración desplazada del sistema que

se adopta para establecer la capacidad de deformación estructural es independiente de

las características de rigidez y resistencia del sistema, y de las características del

movimiento del terreno.

Heredia-Zavoni y col.[8], proponen un modelo de daño inicial, para evaluar la respuesta

inelástica de estructuras, así como amplitudes de desplazamientos máximos y rigideces

Page 23: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

23

secantes asociadas a cada nivel de desplazamiento. A partir de este modelo y de

respuestas sísmicas registradas o analíticas, los autores evalúan la función de densidad

de probabilidad del daño al inicio de cada evento sísmico. Con base en el planteamiento

anterior, Esteva y Heredia-Zavoni [9] y Montes-Iturrizaga y col. [6], desarrollan un

modelo probabilista para establecer políticas óptimas de mantenimiento de estructuras

instrumentadas en zonas sísmicas, para ello el proceso de acumulación de daño de una

estructura sometida a una serie de perturbaciones sísmicas durante su ciclo de vida es

modelado mediante un proceso de Markov. En este modelo, el daño al final de un

evento sísmico depende del nivel de daño al inicio de dicho evento, siendo ésta una de

las principales virtudes del modelo. Además de que dicho modelo puede ser orientado a

establecer criterios de diseño sísmico; esto no es considerado por los autores.

Collins y col. [12], proponen un procedimiento probabilista para evaluar el desempeño

de estructuras sujetas a excitaciones sísmicas. Dicho procedimiento consiste en evaluar

la respuesta de la estructura por medio de un sistema equivalente de un grado de

libertad, de manera que la historia de respuesta del sistema equivalente represente de

manera simple y confiable la historia de desplazamientos en el extremo superior del

edificio. En dicho trabajo, el desempeño de la estructura se representa por medio del

desplazamiento máximo de la historia de desplazamientos previamente obtenida, y es

afectado por factores que toman en cuenta la influencia de las características del sitio en

cuestión y la incertidumbre entre el sistema equivalente y el sistema de múltiples

niveles. Dicha metodología tiene la virtud de ser simple, además tiene la ventaja de que

la respuesta del sistema equivalente es posible relacionarla directamente con espectros

de peligro uniforme. Sin embargo, igual que en los trabajos del párrafo anterior, no es

posible evaluar cuantitativamente el nivel de daño de la estructura con respecto al

estado del daño de colapso de la estructura; además no se toma en cuenta la

contribución de todo el posible intervalo de intensidades sísmicas que pueden afectar el

comportamiento de la estructura y por lo tanto, no se tiene idea de la probabilidad de

falla del sistema.

Page 24: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

24

1.2.- Planteamiento del problema en Modelos de Edificios de Cortante.

De acuerdo con lo anterior, sería deseable contar con un método de análisis de

confiabilidad que supere los inconvenientes mencionados, y permita tomar en cuenta

indicadores cuantitativos del estado límite asociado al mecanismo de falla del sistema,

donde se tomen en cuenta sus modos más probables de falla y se evalúen las

principales fuentes de incertidumbre relativas al movimiento del terreno en el sitio, así

como las asociadas a la estructura. Dicho formato de confiabilidad debe ser general y

poder emplearse para evaluar la seguridad de estructuras específicas, así como para

estudios de costo-beneficio futuros que conduzcan a diseños racionales de estructuras

en zonas sísmicas, como es la Ciudad de México que presenta un alto riesgo de

sismicidad.

Por lo tanto torsión sísmica en edificios se debe a la excentricidad que existe entre la

fuerza sísmica y la fuerza resistente, dando como resultado el acoplamiento de los

movimientos de traslación y rotación. Una forma de considerar estos efectos es por

medio de un análisis elástico en el cual se considere sólo traslación de los entrepisos, e

incorporando el efecto torsional en la estructura mediante fuerzas cortantes sísmicas

distribuidas para cada uno de los elementos resistentes. Este procedimiento se conoce

como método estático, y es aplicable a estructuras con alturas menores de 60m,

dependiendo además de la estructuración y características del edificio, así como de la

importancia del mismo. Sin embargo en la práctica, a pesar de dichas restricciones, un

gran número de estructuras se someten a un análisis sísmico de este tipo.

1.2.1.- Análisis sísmico por el Método Estático.

Para determinar los cortantes de diseño sísmico por torsión, en cada uno de los

elementos resistentes de un entrepiso, se define como la suma algebraica del cortante

directo producido por la fuerza cortante sísmica, que se encuentra aplicada en el centro

de torsión del entrepiso, y del cortante por torsión debido al momento torsionante, que

se obtiene de multiplicar la fuerza cortante sísmica por la excentricidad de diseño que

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25

ocasione el efecto más desfavorable. En este método los efectos directos y por torsión

se incluyen de la siguiente forma:

Análisis por traslación: 1.- Supone una distribución lineal con la altura de las aceleraciones horizontales

provocadas por el sismo.

2.- Los cortantes de entrepiso, (V¡), que se originan de la respuesta traslacional, son

evaluados en dos direcciones ortogonales.

3.- Al suponer que el diafragma de piso es infinitamente rígido en su propio plano es

posible aplicar los principios de compatibilidad y equilibrio para encontrar una

distribución de cortantes de entrepiso a los elementos verticales en proporción a su

contribución a la rigidez lateral de entrepiso.

Análisis por torsión: 1.- La distribución asimétrica de masas y/o rigideces en las plantas de estructuras

genera rotación de las mismas, dicha rotación es el producto de la fuerza cortante

sísmica por una excentricidad de diseño definida de tal manera que incluye parámetros

no considerados en la respuesta estática de la estructura. La excentricidad estática

modificada o excentricidad de diseño comprende dos aspectos:

a) Amplificación por efectos Dinámicos: La excentricidad estática se modifica con un factor de amplificación, para tomar

en cuenta las diferencias entre los resultados de los métodos estáticos y

dinámicos de análisis sísmico.

b) Excentricidad Accidental: En la excentricidad de diseño se incluye una excentricidad accidental para tomar

en cuenta las características que no dependen de la amplificación dinámica. En

los reglamentos de diseño sísmico se toma como un incremento en los valores

nominales de la excentricidad estática calculada, debido a la combinación de los

siguientes efectos:

Page 26: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

26

• Efectos de propagación de ondas que provocan movimiento torsional

del terreno.

• Incertidumbre en la distribución en planta de rigideces, masas y

resistencias.

• Diferencias de acoplamiento entre la cimentación y el suelo de

desplante.

Comúnmente, la excentricidad accidental se expresa como un porcentaje d, de la

dimensión máxima b, de la planta del entrepiso que es perpendicular a la dirección del

sismo.

fig.1. Distribución de rigidez en los elementos resistentes.

1.2.2.- Centro de Masa y Rigidez.

La resultante de las fuerzas resistentes de un entrepiso, función de la localización y

rigidez de los elementos verticales, estará aplicada en el centro de torsión o centro de

rigidez, mientras que la resultante de las fuerzas sísmicas que actúan en el entrepiso

estará ubicada en el centro de masas. Cuando en centro de masa coincide con el centro

de rigidez no hay efectos de torsión y el desplazamiento del entrepiso será solo de

traslación.

El centro de masas de un entrepiso (CM), se define como el centro de gravedad de las

cargas verticales; en caso de que las cargas verticales presentan una distribución

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27

uniforme, el centro de masas coincidirá con el centroide geométrico de la planta del piso,

y será el lugar donde se considera aplicada la fuerza sísmica horizontal que actúa en

ese nivel.

El centro de torsión o centro de rigidez de un entrepiso (CS), es el punto donde al aplicar

la fuerza cortante sísmica de entrepiso, solo produce desplazamientos relativos de

traslación entre los dos niveles que comprenden el entrepiso.

Fig. 2.- Excentricidad estructural.

1.2.3.- Excentricidad de diseño.

Los reglamentos de diseño sísmico que contemplan los efectos torsionales en

estructuras establecen normas de diseño por torsión en función de las fuerzas

actuantes, la excentricidad estática, es, definida como la distancia entre el centro de

masas y el centro de torsión de un entrepiso; los factores de amplificación y de

desamplificación dinámica y la excentricidad accidental. Dichos factores se engloban en

excentricidades de diseño definidas por: ed1 = aes + db..................................................................(1)

ed2 = bes - db..................................................................(2)

En las ecuaciones anteriores a y b son los factores de amplificación y desamplificación

dinámica respectivamente, db es la excentricidad accidental, donde b es la máxima

dimensión de la planta en la dirección perpendicular del sismo (fig. 1,2,3.), y d es una

fracción de la misma.

Page 28: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

28

Fig.3. Relación de planta.

1.2.4.- Distribución de resistencias asociada a los criterios de diseño Para una estructura con elementos resistentes en una y dos direcciones el RDF87,

considera para fines de diseño, que el momento torsionante Mti se tomara igual a la

fuerza cortante de entrepiso, multiplicada por la excentricidad de diseño, d1e , que para

cada elemento resistente resulte más desfavorable. Con la excentricidad de diseño se

pretende lograr que los valores de los momentos torsionantes calculados estáticamente

que ocurren en las estructuras reales, sean capaces de no permitir que se desarrollen

ductilidad excesiva. Por lo tanto en este trabajo sé continua con el estudio de cinco

criterios de diseño por torsión en los cuales se considera la distribución de resistencias

entre los elementos estructurales, con el fin de encontrar un mejor comportamiento

estructural en los modelos de edificios.

En la siguiente tabla se muestran los cinco criterios de diseño que consideran la

distribución del cortante sísmico en los elementos resistentes.

Criterios de

diseño a b d

RDF87 1.5 1.0 0.10

NBCC 1.5. 0.5 0.05

ATC 1.0 0.0 0.00

CEB 0.5 0.0 0.05

CRIT1 1.0 0.5 0.10

Tabla. 1. Criterios de diseño por torsión.

Page 29: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

29

En la tabla anterior se observa que códigos como el de México (RDF87) y el de

CANADA (NBCC-1990), incluyen factores de amplificación dinámica de 1.5 veces la

excentricidad estática y 10% de excentricidad accidental; adicionalmente incluyen

factores de desamplificación de 1.0 y 0.5 respectivamente. Es decir los factores a, b, y

d, varían de un reglamento a otro, y determinan un factor de incremento de la

resistencia lateral total de las estructuras diseñadas por torsión. Esto se refleja en un

incremento relativo en el costo de la estructura, y en la distribución de daño entre los

elementos resistentes.

1.3. Metodología de Análisis Estructural y diseño

1.3.1.- Formulación de los Modelos Con base en los estudios que se han realizado acerca de la torsión, en este trabajo sé

continua con el planteamiento de este problema, para evaluar el comportamiento de

modelos de edificios de un nivel. El modelo a estudiar corresponde a una estructura

tridimensional conformada por tres y seis marcos planos representados por elementos

resistentes verticales, unidos por un diafragma infinitamente rígido, donde se supone

concentrada la masa del entrepiso. La ley de carga-deformación para los elementos se

considero bilineal histeretica estable con una pendiente en la segunda rama del 1% del

valor de la pendiente inicial (fig.4). En el comportamiento de los modelos no se

incluyeron los efectos de amortiguamiento ni los de degradación en las propiedades de

rigidez y resistencia.

Fig.4.- Comportamiento de los elementos resistentes.

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30

1.3.2.- Modelo de un nivel con elementos resistentes en una dirección.

De acuerdo con los modelos estudiados en los cuales se consideraron dos elementos

resistentes paralelos a la dirección del sismo, en este estudio se evalúa la respuesta

sísmica no lineal de modelos de edificios de cortante de un nivel con tres elementos

resistentes con el objetivo de estudiar el comportamiento estructural que se origina en

estos modelos, y evaluar la influencia que producen los parámetros que se consideran

en este trabajo.

En este trabajo se estudian modelos con tres elementos resistentes con una

contribución en rigideces del 75% de la rigidez total del modelo, para los elementos

extremos y el 25% restante a los elementos centrales. Para estudiar el efecto de la

distribución de las resistencias en la respuesta de la estructura, se utilizo como

parámetro a Xr, que mide la distancia de la fuerza resistente del entrepiso al centro del

diafragma de piso. De acuerdo con el tipo de estructuración, en estos modelos se varían

los valores propuestos de la excentricidad estática o estructural y el de resistencias, solo

en dirección perpendicular a la distribución de los elementos resistentes, y se analizan

tres relaciones de aspecto de la planta, ( h= b/2, h= b, h= 2b ), correspondientes a

formas denominadas cuadrada, horizontal, y vertical respectivamente, donde h, es la

distancia paralela a la excitación sísmica y b, es la dimensión perpendicular, con las

características en masa y rigidez, para obtener tres periodos diferentes de 0.5, 1.0, 1.5 seg. Los modelos se diseñaron con los cinco criterios que consideran la distribución de

la sobreresistencia torsional en los elementos resistentes, asignando una

sobreresistencia estructural de 1.5 y un factor de comportamiento sísmico Q=4.0. En

todos los casos se incluye en los modelos la incertidumbre en la localización del centro

de masa, tomando posiciones con un valor de excentricidad nominal de 0.1b, a la

izquierda y derecha del centro de masas. Los análisis se efectúan con el programa de

Análisis Estático TORSION.

Page 31: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

31

1.3.3.- Modelo de Análisis.

Con el fin de cubrir todos los casos de asimetría en las estructuras se consideran dos

modelos; uno excéntrico en rigideces en el que el centro de masas se localiza en el

centro geométrico de la planta, y el otro excéntrico en masas en donde el centro de

torsión se mantiene en el centro de la planta. Las respuestas se obtuvieron utilizando un

proceso de integración de las ecuaciones de equilibrio dinámico de los modelos [19].

Ya que la resistencia real (Rn) es sistemáticamente mayor que la nominal calculada

(Rn), [20]; para investigar su efecto sobre la respuesta de la estructura, se estudia para

una relación Rr/Rn de 1.50. El efecto de la incertidumbre en la localización del centro de

masas sobre la respuesta se considera, en todos los casos al analizar los modelos con

el centro de masas localizado en su posición original y a +0.1b y -0.1b de ella,

seleccionando aquellos resultados que dan la mayor respuesta.

Fig. 5.- Modelo con tres elementos resistentes paralelos a la dirección del sismo.

1.3.4.- Modelo con elementos resistentes en dos direcciones ortogonales.

La evaluación de modelos con elementos resistentes en dos direcciones ortogonales,

permite ampliar los rangos de variación de los parámetros estudiados en los modelos

con elementos resistentes en una sola dirección, como es el caso de variar los valores

de resistencia en dos direcciones ortogonales. En estos modelos, se sigue el mismo

criterio de distribución en planta de rigideces como en el caso de los modelos con

elementos resistentes en una dirección. Adicionalmente se estudia uno alterno a este en

donde se considera un incremento proporcional a un 5% de la rigidez torsional,

Page 32: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

32

estudiándose las tres formas de la planta como son: ( h = b/2, h = b, h = 2b ), con las

características en masa y rigidez, para analizar los tres periodos, ( 0.5, 1.0, 1.5 seg ).,

tomando el mismo periodo en las dos direcciones ortogonales, variando inicialmente la

excentricidad estructural, y las resistencias a lo largo del eje horizontal con una sola

componente sísmica, donde se evaluó básicamente el comportamiento de los elementos

resistentes paralelos a dicha excitación. Finalmente, se diseñan los modelos con los

cinco criterios que consideran la contribución de la sobreresistencia torsional en los

elementos resistentes, asignando una sobreresistencia estructural de 1.5 y un factor de

comportamiento sísmico Q = 4.0. También en este análisis se incluye en los modelos la

incertidumbre en la localización del centro de masa, tomando posiciones con un valor de

excentricidad nominal de 0.1b.

Para un modelo con elementos resistentes en dos direcciones ortogonales como el que

se muestra en la fig.6., se consideró el centro de masa del sistema plano en el centro de

figura, con el objetivo de estudiar y analizar los resultados del caso simétrico. Ya que

este modelo tiene cambios con respecto a los parámetros y variables del modelo

simétrico con tres elementos en una dirección, como son el incremento de elementos

resistentes, así como la mayor información numérica que se obtiene.

En la idealización del modelo a estudiar se trata de representar, el comportamiento

estructural de un edificio real cuando es sometido a una acción sísmica, y asignando

uno de los criterios de distribución de rigieses en los elementos resistentes, que consiste

en dar la mayor rigidez en la periferia de la estructura, con un porcentaje en los

elementos resistentes de los extremos del 75% de la rigidez total de la estructura y el

25% al elemento restante.

Estructuración del modelo Modelo matemático.

Fig.6.-Modelo estructural con elementos resistentes en dos direcciones ortogonales

Page 33: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

33

Para estudiar el efecto de la distribución de las resistencias sobre la respuesta de la

estructura, se utilizaron dos parámetros Xr e Yr que miden las distancias de la fuerza

resistente del entrepiso al centro del diafragma de piso. La posición nominal de la fuerza

resistente de un entrepiso es la que genera la aplicación directa de un criterio de diseño

por torsión. Los valores diferentes de Xr e Yr se logran incrementando la resistencia

de los elementos extremos correspondientes a los lados hacia donde se desea ubicar la

fuerza resistente, de esta manera se cumple con la norma de diseño, ya que la

resistencia de cada elemento no será menor que sus correspondientes resistencias

nominales.

El criterio, que se tomo para la distribución de rigideces, consistió en mantener

constante la rigidez del elemento que se encuentra en la parte central del modelo

estructural, y balanceando la de sus extremos, en función de la excentricidad estructural,

así como de la posición del centro de masa definida en el centro de figura del modelo,

(modelo excéntrico en rigideces). Con base a lo anterior se realizo un análisis estático,

para deducir las ecuaciones que rigen la distribución de la rigidez en cada uno de los

elementos.

Considerando que la fuerza sísmica actuara en la dirección "y", para los modelos con

elementos resistentes en una y dos direcciones ortogonales, y de acuerdo al sistema de

referencia del modelo tenemos las siguientes ecuaciones:

Ky1 = (kye * x(numely) + esx - xcm + Sum ) * Fy / X (1)

Kyi int = ( KTy - Kye ) * Fy / (mumely - 2 ) (2)

Ky numel = ( xcm - esx - Sum - Kye * x(1) ) * Fy / X (3)

Donde:

Ky1 = Rigidez del primer elemento.

Kyi int = Rigidez correspondiente a un elemento intermedio "i".

Ky numel = Rigidez del último elemento.

Fy = Componente de la fuerza sísmica.

xcm = Posición del centro de masa respecto al centro del diafragma.

Page 34: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

34

numely = Número total de elementos resistentes

KTy = Rigidez total de la estructura.

Kye = Fracción de la rigidez total asignada a los elementos extremos.

X = xnumely - x1

xi = Coordenada de cada elemento respecto al centro del diafragma.

Sum = Sumatoria desde i = 2 hasta numely-1 de (Kyi xi )

1.3.5.- Planteamiento dinámico

Una estructura de cortante se puede idealizar como una columna empotrada en la base,

con masas concentradas en la altura, a nivel de pisos, de tal forma que solo es posible

el desplazamiento horizontal de los entrepisos, ocasionando la aparición de tres tipos de

fuerzas que conforman las ecuaciones dinámicas, como se muestran en las siguientes

figuras:

x

y

z

k

m

1

MODELO DE CORTANTEDE UN NIVEL

Fig.7. Estructuración del modelo de cortante de un piso. FI

FRFA

FUERZAS DINAMICAS EN UN MODELO DE CORTANTEDE UN NIVEL

Fig.8. Fuerzas de equilibrio, que actúan para el modelo de un piso

Page 35: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

35

Fig. 9. Estructuración de un modelo de tres niveles.

Esta hipótesis transforma el problema de una estructura con un número infinito de

grados de libertad, debido a la distribución discreta de masas, en una estructura con

desplazamientos horizontales a nivel de cada piso y sin rotaciones en los nudos.

Fig.10. Fuerzas dinámicas presentes en un modelo de tres niveles

FI1 + FR1 + FA1 = 0 (3)

FI2 + FR2 + FA2 = 0 (4)

FI3 + FR3 + FA3 = 0 (5)

FI = Vector de Fuerzas de inercia.

FI = [M] * {U"}

{U"} = Vector de aceleraciones totales.

[M] = Matriz diagonal de masas.

FR =Vector de aceleraciones de rigidez de cada entrepiso.

FR = [K] * {U}

[K] = Matriz de rigidez del sistema

{U} = Vector de desplazamientos totales

FA = Vector de fuerzas de amortiguamiento

FA = [C] * {U'}

[C] = Matriz de amortiguamiento

{U'} = Vector de velocidades totales

Page 36: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

36

Si se supone la vibración libre de un sistema, sin amortiguamiento, la ecuación de

equilibrio dinámico general se plantea como:

[M] * {U"} + [K] * {U} = {0} (6)

La ecuación tiene como solución

{U} = {a} sen(wt - f) (7)

Donde:

ai = Amplitud del movimiento en la iésima coordenada

f = Ángulo de fase

w = Frecuencia natural de vibración del sistema

Efectuando la correspondiente sustitución, la ec.5., resulta:

- w2 [M]{a} Sen(wt - f) + [K]{a} sen(wt - f) = {0} (8)

Agrupando términos se obtiene:

[[K] - w2[M]] {a} = {0} (9)

Que corresponde a una ecuación homogénea cuya solución no trivial, esto es el caso

para el cual los ai son diferentes de cero, se obtiene cuando el determinante de la matriz

es igual a cero:

I[K] - w2[M]I = 0.0 (10)

La ecuación que resulta es un polinomio de grado n en w2, que puede ser satisfecho por

n valores de w2. Este polinomio recibe el nombre de ecuación característica del sistema.

1.3.6.-Solución al problema inverso de valores característicos

En el presente trabajo, a partir de la ecuación 8., se asigna un periodo fundamental al

modelo, una distribución de masas unitarias y una proporcionalidad de rigideces con la

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37

altura; de las cuales se puede obtener la rigidez de entrepiso. Así, de acuerdo a la

fig.11.; el planteamiento dinámico para un sistema de cortante de tres grados de libertad

da como ecuaciones de equilibrio para la masa del piso M1, M2, M3:

Fig.11.-Equilibrio dinámico para un modelo de tres grados de libertad

(M1w2 - K1 - K2) U1 + K2U2 = 0 (11)

K2U1 + (M2w2 - K2 + K3) U2 + K3U3 = 0 (12)

K3U2 + (M3w2 - K3) U3 = 0 (13)

El determinante correspondiente a las ecuaciones (11), (12)., y (13), es:

0

)3K - 2w3(M 3K 0

3K 3K - 2K - 2w2(M 2K

0 2K )2K - 1K - 2w1(M

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

De acuerdo a las proporcionalidades establecidas en la fig.7., se pueden efectuar las

siguientes simplificaciones:

w2 = W

a = K1 + K2 = K1 + G1K1 = K1 (1 + G1)

b = K2 + K3 = G1K1 + G2K1= K1 (G1 + G2)

Los valores de W que hacen posible la solución del determinante de la matriz de

coeficientes, son llamados valores característicos. Calculando el valor del determinante

de la matriz de coeficientes, igualando a cero y efectuando la sustitución de las variables

que están en función de la rigidez del entrepiso, se tiene:

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38

K12(-G1G2)+K12(G1G2M1W+m1G2M1W+G1G2m1M1W+G1m2M1W+

G2mW+G1G2m2M1W) + K1( - M12G2m1W2 + M12G1m2W2 + M12G2m2W2 -

M12m1m2W2-M12G1m1m2W2) + M12m1m2W3 = 0

Las tres raíces reales de la ecuación corresponden a las tres rigideces del entrepiso que

guarda una relación directa con los tres modos de vibrar; donde la mayor corresponde al

primer modo de vibrar. De esta manera quedan definidas las propiedades que

relacionan el periodo y la rigidez de la estructura.

1.3.7.- Parámetros estudiados

El definir los parámetros que caracterizan de la manera más real el comportamiento no

lineal de un edificio, ante excitación sísmica es complicado, sin embargo trabajos sobre

el tema indican que la distribución de resistencias en planta, influye notablemente en su

respuesta. Otros parámetros considerados en este estudio son los siguientes: el período

desacoplado de vibración libre, la excitación estática ó estructural, la relación de aspecto

de la planta, y el cociente de resistencia real a resistencia nominal del edificio. 1.3.8.- El periodo de vibración libre en traslación En este parámetro se considero, la asignación de una masa unitaria a los diafragmas de

piso en los modelos, y de esta manera la rigidez total de la estructura, que es función

inversa del cuadrado del período resulta:

2TKT

24π=

Los valores del período que se proponen son 1.5, 1.0, y 0.5 s, para los modelos con

elementos resistentes en una y dos direcciones ortogonales. Tomando en cuenta que

para los elementos en dos direcciones ortogonales, se asigna el mismo valor del período

traslacional, dado por Tx = Ty.

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39

1.3.9.- Excentricidad estática o estructural (es)

La excentricidad estática en una y dos direcciones ortogonales para todos los modelos

se normalizó respecto a la dimensión "b", de la planta. Se consideraron dos tipos de

asimetría: la asimetría proporcionada por movimiento del centro de rigideces y por el

movimiento del centro masa, dado que en el intervalo inelástico se trata de dos casos

distintos. Los valores de excentricidad normalizada que se estudian son desde 0.0, 0.1,

0.2, y 0.3, siendo 0.0, el caso simétrico. En las siguientes figuras se muestran los

valores de excentricidad que se proponen en los modelos.

Fig. 12.- Incertidumbre de excentricidades

1.3.10.- Distribución de resistencias

Las variables para determinar el efecto de la distribución de resistencias en planta están

dadas por "xr", para los modelos con elementos resistentes en una dirección e

incluyendo "yr", para los modelos con elementos resistentes en dos direcciones

ortogonales. Estas variables se emplearon para medir la distancia entre la resultante

de las resistencias y el centro geométrico del diafragma, considerando además que

estas variables fueron normalizadas respecto a la dimensión " b ", de la planta.

La variación de los valores de resistencia se definió para ambos ejes ortogonales de la

planta, de acuerdo con la norma de diseño, resultando valores de 0.0, 0.1, 0.2, y 0.3b,

para "x r", y "yr" con intervalos de 0.1b.

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40

Para la definición del signo se propuso en función del sistema de referencia, con origen

en el centro de figura.

Fig.13. Distribución de resistencias

1.3.11.- Relación de aspecto de la planta. (h/b)

En los modelos se proponen tres diferentes relaciones de aspecto de la planta como

son: 0.5, 1.0, y 2.0, las cuales modifican a su vez el valor del radio de giro del diafragma

necesario para el cálculo de la masa rotacional y la relación de frecuencias

desacopladas [ref. 6].

1.3.12.- Demanda de ductilidad

La ductilidad es la capacidad de una estructura de sustentar deformaciones superiores a

las del limite elástico sin fallar. La definición se aplica cualquiera que sea el sentido que

se de al termino falla, sea que se trate de colapso, agrietamiento o deformación

excesiva [ref. 16].

La demanda de ductilidad se define como el cociente de la máxima deformación que

experimenta una estructura o parte de ella, sin fallar, entre la deformación que

corresponde a su limite de proporcionalidad o limite de fluencia. La demanda de

ductilidad de todo sistema que posee mas de un grado de libertad depende del tipo de

solicitación que se le imponga y del tipo de deformación que se elija para definirla. En

las estructuras la demanda de ductilidad de un elemento, de un entrepiso, o la demanda

de ductilidad global, esta gobernada por una relación resistencia-deformación. En

elementos, la deformación máxima es la correspondiente al desplazamiento longitudinal,

Page 41: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

41

a la rotación o la deformación por cortante; en un entrepiso se considera como la

diferencia entre los desplazamientos de dos niveles consecutivos. La demanda de

ductilidad global representa un promedio pesado de las demandas de ductilidad de

entrepiso.

De las anteriores definiciones se puede observar que la demanda de ductilidad en

elementos puede ser mayor que la de entrepiso, que a su vez puede ser mayor que la

demanda de ductilidad global. Evaluaciones analíticas y experimentales muestran que el

máximo valor de reducción proveniente de la ductilidad es hasta de cuatro para

estructuras conformadas por marcos de concreto bien detallados o marcos de acero,

[ref.17].

1.3.14.- Método de Análisis

Para obtener la respuesta inelástica de los modelos se utilizó el programa TORSIÓN

[ref.9], para análisis dinámico. En este programa la estructura se idealiza como un

conjunto de marcos planos unidos por diafragmas rígidos de piso.

Las excitaciones sísmicas que se emplearon están dadas con intervalos de tiempo de 0.02 seg. Para efectos del análisis, se considero para el diseño de modelos, la influencia

de las dos componentes del sismo, en un 100% del efecto ocasionado en esa dirección,

más el 30% del efecto del sismo en la dirección perpendicular.

1.3.15.- Descripción de la excitación utilizada

Para el presente estudio se utilizó uno de los registros del temblor del 19 de septiembre

de 1985 en la Ciudad de México; denominado SCT, obtenido en la zona de suelo blando

de la ciudad.

Debido a la gran duración de la señal (180 seg.), que representa demasiado tiempo de

cálculo en un análisis inelástico, se optó por recortar el acelerograma de acuerdo al

concepto de intensidad de Arias [ref 18], que permite seleccionar el intervalo de tiempo

Page 42: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

42

para el cual el registro presenta el máximo potencial de daño. El criterio consiste en

encontrar la curva de la función acumulada de la energía del sismo, tomada como:

∫∫

ft

t

dtt

dtt

0

2

0

2

a

a

)(

)(

Donde a(t) es la aceleración del suelo y f

t es la duración total del sismo. El criterio toma

la duración comprendida entre el 5 y el 95 por ciento de la energía disipada acumulada.

Este tipo de registro de las aceleraciones del suelo normalizadas contra la máxima

aceleración registrada; se muestra en la fig.9., que representa la intensidad de Arias,

como representativa del daño potencial que el sismo puede producir en un sitio dado,

medido como la suma de la energía disipada por todas las estructuras.

Aplicando el criterio de Arias a la señal SCT EW se observa una reducción en la

duración total de la señal, obteniendo un tiempo efectivo de 39 segundos, que

representan un considerable ahorro de tiempo en el proceso de cálculo. Mientras, para

la dirección NS se obtuvo una duración efectiva de 77 segundos. Ya que los efectos

máximos ocurren dentro del intervalo de los 39 seg., en esta investigación se tomo esta

duración.

La influencia de las condiciones iniciales de la señal excitadora sobre la respuesta del

modelo, hizo necesario una modificación en la parte inicial de los registros recortados;

de tal modo que las aceleraciones se incrementaran en forma gradual hasta alcanzar el

valor de la primera aceleración de la señal.

Page 43: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

43

CAPÍTULO II

Análisis del Fundamento teórico de Confiabilidad estructural

Método de confiabilidad aplicando datos de

mediciones aleatorias y de incertidumbre estadística.

Page 44: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

44

2. Análisis del Fundamento teórico de la Confiabilidad estructural 2.1. Información probabilística Esta información permite obtener datos y medidas de las propiedades de los modelos

estructurales con base a las características de varias muestras de un modelo

estructural, para obtener propiedades de las variables con incertidumbre

representativas. Por lo tanto debe esperarse, que las fluctuaciones físicas o variaciones

de estos modelos sean incontrolables debido a muchos factores diferentes como los de

construcción de la estructura, magnitud M y distancia R, que se presentan como

variaciones aleatorias de las propiedades estructurales, mediante la aplicación de

funciones de distribución que representan la respuesta del modelo estructural sujeto a

un evento sísmico.

Normalmente, se anticipa que midiendo los resultados obtenidos directamente de las

funciones de distribución en los modelos estructurales dados, se obtienen diferentes

números, que representan dichas propiedades. Esta predicción se determina con la

experiencia que se deriva del estudio, en más de un caso propuesto y aplicado a

condiciones distintas de estado límite, considerando la misma propiedad aleatoria y

puede mostrar variaciones significantes entre estos resultados.

La conclusión es que la variación de los resultados obtenidos expresa la suma de las

fluctuaciones físicas del modelo estructural en observación y las fluctuaciones

inherentes al método de observación. Donde estas variaciones contribuyen a un tipo de

incertidumbre llamada medición de incertidumbre con variaciones aleatorias que pueden

ocasionar errores sistemáticos, y estos no pueden ser eliminados promediando.

En principio, no es posible quitar las variaciones generadas directamente por el método

midiendo consecuentemente los valores físicos obtenidos. Sin embargo, los métodos de

teoría probabilística hacen posible algunas veces formular declaraciones sobre la

naturaleza estadística de las fluctuaciones físicas.

Page 45: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

45

Éste es el caso si el método de medición puede aplicarse en varios tiempos a una

estructura, por el que la propiedad física pertinente se conoce como constante o sólo

variando ligeramente de medida a medida. Y por una serie de medidas repetidas, se

genera información sobre la incertidumbre del método midiendo en una forma que a

través de los métodos estadísticos puede ser representado, por un modelo

probabilístico. Cuando el método de medición se aplica, a una estructura con

fluctuaciones físicas inherentes, la medida de incertidumbre, puede eliminarse dentro de

una descripción con naturaleza probabilística de las fluctuaciones físicas. Sin embargo,

la dependencia entre el error Y, y la cantidad física X no debe ser demasiado

complicada.

Ahora si tenemos una cantidad física que fluctúe aleatoriamente, entonces es natural

representarlo por una variable aleatoria X. Supuesto, que la cantidad sea moderada por

un método donde la medida de incertidumbre puede ser representada por una variable

aleatoria, la cual es independiente de X. Los resultados medidos son entonces la suma

Z = X + Y (2.1)

El análisis estadístico de las medidas de los datos, da estimaciones del valor medio E[Z]

y la varianza Var[Z]. Así, las propiedades de incertidumbre del método de medición son

de antemano conocidas y representadas por E[Y] y Var[Y]. Seguido entonces de (2.1),

ya que E[X]=E[Z]-E[Y] y la independencia entre X y Y está dada por:

Var[X]=Var[Z]-Var[Y] (2.2)

Si esta fórmula da valores negativos, la razón es que la suposición de independencia

entre X y Y no es válida. Sin está suposición, la fórmula (2.1) debe ser remplazada por

var[X]= Var[Z]- Var[Y] - 2Cov[X,Y] (2.3)

Donde el lado derecho siempre será no negativo. Sin embargo, la fórmula (2.3) no es

directamente aplicable en esta conexión porque la Var[Y] y Cov[X,Y] no son conocidas,

Page 46: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

46

debido al método de medición, que en esta situación, es dependiente de la estructura,

para la medida.

Si suponemos que las medidas de incertidumbre probabilística, pueden ser descritas por

una distribución normal o gaussiana y que el análisis estadístico de datos en las

muestras moderadas, que también son razonables para describir estos datos por una

distribución normal, entonces no se opone con la información dada para asumir que

X=Z-Y, distribuido normalmente. Sin embargo, esta suposición no es una consecuencia

del supuesto que Z y Y, son distribuidos normalmente. Así, se requiere por tanto una

conclusión, en donde el par (Z, Y), tienen una distribución normal bidimensional, tal que

una suposición no puede ser verificada, por una medición y por consiguiente no será

posible verificar una suposición que condicione que X no se distribuye normalmente.

Un caso que ilustra en que sentido es posible "depurar" los resultados de medición, es

para evaluaciones de incertidumbre, cuando el método es bien examinado. Sin

embargo, se enfrenta una dificultad, cuando las propiedades de la estructura en estudio

son del tipo energético como es la “fuerza (acción sísmica)” que es difícil, si no imposible

el hecho de realizar medidas repetidas en la misma estructura de prueba. Por otra parte

la evaluación de la incertidumbre de mediciones, debe por consiguiente basarse en

investigaciones indirectas sobre la respuesta del modelo estructural sujeto un evento

sísmico, combinada con experiencias de las comparaciones de mediciones con métodos

diferentes.

Donde existe la posibilidad de eliminar totalmente la medición de incertidumbre al tratar

con fuerzas de masa u otras propiedades de materiales, que cambian irreversiblemente

durante el procedimiento de medición, dando como condición la unión de tales

mediciones, resultado de una muestra común de valores obtenidos comparables del

mismo método de medición. Para que estos resultados de medidas con métodos

diferentes, puedan ser comparables a las ya mencionadas, deben llegar a una regla de

transformación mediante un muestreo único de un método a otro de medición. De

cualquier forma, no necesariamente se requiere, que el valor de un dato transformado

del primer método de medición debe ser casi el mismo el valor, que se obtuvo por el

Page 47: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

47

segundo método de medición, aunque un requerimiento como este, es común tenerlo

para métodos de medición con pequeña incertidumbre. Entonces, para medidas de

propiedades de material irreversible, la opción de este estudio no puede ser controlado

por mediciones, de un supuesto. Así una regla de transformación entre datos viene de

diferentes métodos de medición, donde debe ser considerado como un tipo de regla

general de corrección, para remover los errores sistemáticos del único método de

medición relativo al otro.

En general habrá una incertidumbre considerable sobre la verdad de una afirmación que

especifica el valor de un error sistemático. Si esta incertidumbre puede ser sujeta a una

evaluación cuantitativa. Es decir puede ser de carácter de supuesto, entonces esto

también puede ser representado por un modelo probabilístico que desde un punto de

vista matemático haga, que se desvíe en principio de un modelo estructural

probabilístico, para el conjunto de fluctuaciones o variaciones físicas. La incertidumbre

de cualquier forma es de una naturaleza diferente. Contrario a las fluctuaciones físicas,

la incertidumbre es afectada por investigaciones más detalladas.

Este hecho ha motivado la separación entre aleatoriedad e incertidumbre. La

aleatoriedad inherente relacionada a la estructura no puede ser reducida por

observación, lo que, si se puede con la incertidumbre. Las palabras "medición de

incertidumbre” parecen cubrir una mezcla de dos conceptos. Un método de medición

puede poseer un error sistemático el cual es conocido únicamente con un poco de

incertidumbre, pero por mas investigaciones detalladas del método de medición, está

incertidumbre, puede ser reducida o prácticamente removida. Además un error

sistemático, en un método de medición usualmente con fluctuaciones aleatorias, las

cuales normalmente son cubiertas por las palabras "medición de incertidumbre" aunque

las palabras, "medición de incertidumbre" posiblemente podría corregirse. De otro modo,

las medidas de aleatoriedad pueden ser afectadas por cambios de métodos en las

mediciones.

Vemos que la clasificación de las posibilidades del concepto discutido de

indeterminación entre aleatoriedad e incertidumbre es relativa a la estructura. Y este a

Page 48: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

48

su vez es el propio método de medición en estudio, entonces las funciones de

distribución [ ] ℜ∈∀→ℜ x ,0,1:x)(xφ , inherentes a la estructura son caracterizadas como

aleatoriedad. Si la estructura a medir es la estructura de estudio, entonces estamos

hablando acerca de mediciones de incertidumbre. Esta división da posibilidad de afectar

la confiabilidad estructural en estos modelos estructurales por especificaciones de

aleatoriedad e incertidumbre en las normas de diseño sísmico, que se aplican en

ingeniería.

Por lo que un problema de confiabilidad contiene demasiadas variables con

incertidumbre, que pueden ser reducidas con la obtención de muchos datos o

información sin afectar la propia configuración estructural. Donde estas variables

aleatorias, pueden ser afectadas por las funciones de distribución debido a la

aleatoriedad en las propiedades estructurales del modelo. Sin embargo, la medición de

incertidumbre ha sido discutida como una incertidumbre unida al resultado de una

simple medida. Esto le da el mismo carácter, como el concepto de modelo de

incertidumbre. La medida de incertidumbre de un tipo completamente diferente es

llamada incertidumbre estadística.

2.2. Incertidumbre estadística

El propósito de cualquier método de medición es generar información sobre una

cantidad relacionada a los modelos estructurales en medición. Si la cantidad es de

naturaleza fluctuante que requiera un modelo probabilístico para su descripción.

Entonces en el método de medición se debe hacer lo posible, para obtener información

cuantitativa acerca de los parámetros del modelo probabilístico escogido. Por lo que es

natural que un valor promedio generado de un solo análisis para una variable aleatoria X

es suficiente, para dar una solo estimación aproximada mediante el valor de X y es

insuficiente para dar algún dato, acerca de la desviación estándar de D[X]. Sin embargo,

si una muestra de X esta dada, y los valores promedio generados de un cierto número

valores independientemente de X, pueden usarse para las estimaciones dadas para

todos los parámetros del modelo. La razón se relaciona a una estimación de una

Page 49: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

49

muestra de X, siendo que tenga sentido y sea posible, será encontrado en la teoría de la

probabilidad matemática.

Para ilustrar el papel de los conceptos estadísticos en el análisis de confiabilidad, vale la

pena repetir los rasgos más básicos de la descripción de información que una muestra

de X de tamaño n contiene el valor medio E[X]: es suficiente para hacer la suposición,

simplificando que X tiene una desviación estándar conocida D[X]=σ . Además esa es la

única información disponible que se da como muestra x1,....,xn de X.

Entonces es obvio que una estimación del valor medio μ=E[X] debe calcularse como el

valor de alguna función μ (x1,....,xn;σ ). Recordando que los valores x1,....,xn, son

obtenidos por experimentos repetidos mutuamente independientes, que dan resultados

de X, o más precisos, como un solo resultado del vector aleatorio (x1,....,xn) donde

x1,....,xn son variables aleatorias distribuidas mutuamente independientes, como X es

natural estudiar las propiedades distribucionales de la variable aleatoria μ (x1,....,xn;σ ).

Por ejemplo, parece ser apropiado escoger la función μ como la función de estimación

esta dada por:

E[μ (x1,....,xn;σ )]=μ (2.2.1)

para que la varianza Var[μ (x1,....,xn;σ )] sé vuelva tan pequeña como sea posible. Está

probabilidad matemática requiere suposiciones distribucionales sobre X y la

determinación es en la mayoría de los casos un problema difícil en cálculo variacional.

Por otra parte, si nosotros estamos satisfechos con la clase de estimación lineal,

entonces ninguna suposición de distribución se necesita y resulta que la mejor opción es

el promedio

∑n

1iiX

n1μ

== (2.2.2)

por lo cual, la desviación estándar es : [ ]nσμD = (2.2.3)

Observamos que el promedio x =( x1,+....+,x2)/n de la muestra es una estimación de μ

pero también la estimación es incierta. La desviación estándar (2.2.3) puede con la

Page 50: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

50

interpretación apropiada, ser tomada como una media de esta incertidumbre. En

particular se ve que la incertidumbre desaparece asintóticamente como n-α. En la

presente formulación disminuye inversamente proporcional a la raíz cuadrada del

tamaño de la muestra.

La incertidumbre de este tipo, es llamada incertidumbre estadística y como es visto,

involucra información incompleta debido al tamaño de la muestra finita. Esto puede ser

interpretado como una fluctuación aunque normalmente no se observa como tal en la

práctica. Sólo un simple valor del promedio x es obtenido de la muestra. Sin embargo,

uno puede imaginar una secuencia de resultados repetidos de μ por tomar nuevas

muestras de tamaño n. Entonces μ exactamente fluctúa como una cantidad con

indeterminación de tipo aleatorio y desviación estándar definida por (2.2.3).

La descripción cuantitativa de la incertidumbre estadística, aquí no es aproximada como

una capacidad para un modelo probabilístico con respecto a una evaluación de una

exactitud estructural. Esto es porque un modelo semejante requiere que puedan unirse

contribuciones de las diferentes fuentes de aleatoriedad e incertidumbre juntos en un

modelo integrado de reglas lógicamente consistentes. Supongamos que la variable

estándar ya mencionada X está contenida en un modelo estructural probabilística.

Desde el valor medio E[X] desconocido, es necesario calcular la probabilidad para

asumir que [X] ha dado un valor μ . De este modo, la probabilidad de falla se vuelve una

función pf(μ ) de μ . Entonces hay un problema de cómo μ debe ser escogido. Una

posibilidad es por supuesto su contenido con el valor de la pf(μ ) con un intervalo

conveniente de confianza para pf(μ ), determinado por el uso de (2.2.2) y (2.2.3).

Dentro del modelo mencionado para incertidumbre estadística, un p% del intervalo de

confianza de un parámetro como μ o de la pf(μ ) es un intervalo que tiene una

probabilidad de p% para cubrir el valor verdadero de μ o pf(μ ). Esta probabilidad puede

ser interpretada como una frecuencia relativa relacionada a la ya mencionada secuencia

imaginaria de muestras.

Page 51: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

51

Es razonable pedir una sola definición de la probabilidad del total de fallos

incondicionales de probabilidad pf. Tal que una probabilidad se necesita en un modelo

de decisión que esta basado en el principio de aumentar al máximo alguna medida de

utilidad. Una definición natural es un promedio del peso de los valores diferentes de

pf(μ ) es decir

μ)f(μ)dμ(pPtodoμ ff ∫= (2.2.4)

En la cual f( μ ) ≥ 0 es un peso conveniente satisfaciendo la función

1μ)dμf(todoμ

=∫ (2.2.5)

Se ve que la f(μ ) posee propiedades como una función de densidad para una variable

aleatoria. Si μ se interpreta como un resultado de una variable aleatoria M, entonces

pf(μ ) es la probabilidad de falla condicional dado que M=μ de acuerdo al teorema de

suma de la teoría de probabilidad, la probabilidad de falla total se vuelve

μd)μ(f)μ(p=p Mμtodo

ff ∫ (2.2.6)

En la cual fM(μ ) es la función de densidad de M. De ese modo, la función de peso f(μ )

puede interpretarse como una función de densidad fM(μ ) para el parámetro μ modelado

como una variable aleatoria M. En cuanto a (2.2.2) y (2.2.3) deben generarse las

propiedades de la distribución de M de alguna manera de la información contenida en la

muestra x1,....,xn. De resultados de X y el conocimiento de la desviación estándar

D[X]=σ .

La manera usual de analizar este problema es por la teoría estadística de Bayes. Antes

de que la información de la muestra esté disponible, una densidad fM(μ ) se une a M.

Y se asume que esta densidad predeterminada representa el conocimiento disponible

sobre μ ante la muestra x1,....,xn., que es conocida. Desde el vector aleatorio (x1,....,xn)

de acuerdo a la multiplicación el teorema para eventos independientes tiene la densidad

condicional dada por

∏=

)/(=),......(,.......n

1iixn1nX1X μxfxxf (2.2.7)

el total de densidad se vuelve

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52

∏=

, )/()(=),......(,.......n

1iixMn1nX1XM μxfμfxμxf (2.2.8)

y de este modo la densidad condicional

∏=

)/()(),....../(n

1iixMn1M μxfμαfxxμf (2.2.9)

Donde "α " quiere decir proporcional a (es decir, los dos lados son iguales, salvo una

constante normalizando determinada por 2.2.5). Ésta es la llamada densidad posterior

de M dada la muestra x1,....,xn, si el lado derecho de (2.2.9) es proporcional a una

densidad uno, aun cuando la fM( μ ) se pone a uno ó si fM( μ ) se pone a una función de

μ la cual esta lentamente variando comparada a la variación de

)/(Π=

μxf ix

n

1i (2.2.10)

Entonces tal que la función varia lentamente de μ , puede reemplazar la densidad

anterior y servir como un modelo para no tener información anterior.

El producto (2.2.10) considerado como una función del parámetro μ es, llamada la

función de probabilidad. Esta formulación de un modelo para la descripción de la

incertidumbre estadística y su reducción por ponerse al día en las bases de la

información muestral es llamada Bayesiana. La formula (2.2.9) es un caso especial de la

llamada formula de Bayes.

Si adoptamos el método estadístico de Bayes como una forma racional de información

disponible, entonces como consecuencia debemos usar la más reciente densidad

posterior a la de M como la función frn la formula (2.2.4).

Por lo tanto, si tomamos a X como una función normalmente distribuida y con la función

de densidad dada por: )_

()/(σμx

φσ1

=μxfx (2.2.11)

La función de probabilidad se vuelve

∏= ⎥

⎥⎥

⎢⎢⎢

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−∏

=)/(

n

1i

2

σ

μix

21expα

n

1iμixxf ⎥

⎤⎢⎣

⎡)+−∑

=(−= 2μi2μμ

1i2ix22σ

1exp

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53

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛/−

ϕ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ )+−(−

nσxμαxx2μμ

2σ1αexp 22

2 (2.2.12)

Donde x es el promedio de x1,......xn. Así la probabilidad de la función es proporcional a

la distribución de densidad normal mediante el valor x y la desviación estándar n/σ .

Por lo tanto, en el extremo derecho de (2.2.9) es una densidad cuando )μ(fM es

reemplazado por 2.2.1. Y formalmente, el conjunto de densidad anterior para una

constante es expresada, por una densidad M, la cual es difusa sobre todo R. Entonces

la densidad de M se vuelve

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛/−

ϕ=),......(nσxμ

σn

nx1μIxMf (2.2.13)

De donde surge una interrogante de: ¿Que es la distribución normal con valor medio x y

desviación estándar n/σ ?. No tiene valor alguno la analogía con la estimación μ en

(2.1.2). Desde la función condicional de distribución de X es:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=≤(σμ-xΦμ) xIXP (2.2.14)

El total posterior de la función de distribución es obtenido como en (2.1.6) para

dμnσxμ

σμxΦ

σnxxIxXp n1 ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛/−

ϕ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=),......≤( ∫∞

∞− (2.2.15)

con la correspondiente función de densidad

dμnσxμσ

σμx

σnxxIxXP

xxxIxf 2n1n1x ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛/−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

ϕ=),.......,≤(∂∂

=),......,( ∫∞

∞−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛/+

−/+

=n11σ

xxσn11σ

1 (2.2.16)

Donde la integral puede ser calculada por el uso de las formulas dadas en las

ecuaciones 2.2.17 y 2.2.18. La densidad posterior de X está dada para ser normal con el

valor medio x y desviación estándar n/1+1σ . Así la influencia en X de la

incertidumbre estadística es que X, en lugar del valor medio desconocido μ obtiene

asignado el valor medio x y, en lugar del valor de desviación estándar conocido, obtiene

Page 54: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

54

el valor más grande de la desviación estándar asignada n/1+1σ . La densidad

posterior de X dada la muestra es llamada densidad predecible de X.

Las siguientes fórmulas, frecuentemente son útiles en cálculos de la densidad de

distribución normal

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −ϕ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

2

2

1

1

σμx

σμxσ

⎟⎟

⎜⎜

+/

)+/()(−ϕ

⎟⎟

⎜⎜

+

−ϕ= +

22

2121

22

21

212

221

22

21

1

σσσσσσσμσμx

σσμ2μ (2.2.17)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

++=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∫

∞− 22

21

22

212121

11σσ

ϕσσσ

ϕσ

ϕσσ

zdxxzx

(2.2.18)

La probabilidad de error puede ser representada como el valor medio de una función

especial Ψdentro de las variables aleatorias. Esta es la función que toma el valor 1 si

dentro de las variables toma valores que corresponden a un punto en el conjunto de

errores y por todos los demás puntos toma el valor 0. Para simplificar suponemos que X

es la única dentro de la variable aleatoria. Entonces tenemos el error condicional de

probabilidad

[ ] ∫∞

∞−μ(Ψ=μ)(Ψ=)μ( )dxII xXEPf (2.2.19)

Y así de acuerdo a (2.1.6) el total de errores de probabilidad

∫ ∫μ

∞− ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ μ()(Ψ=

todoxf xfxP )dxI

[ ] μ),.........μ()μ()(Ψ= 1

∞− μ∫ ∫ dxxfdxxfx nMtodo

x II

∫∞

∞− 1 ),.........()(Ψ= dxxxxfx nx I (2.2.20)

Así se puede calcular cualquier error de probabilidad dado M=μ y después de esto tener

cuidado de la incertidumbre estadística por incondicionalidad a través del uso de la

densidad posterior para el parámetro M o primero incluir la incertidumbre estadística

directamente dentro de la variable X para obtener su distribución predecible antes del

modelo estructural es considerado para él calculo de la probabilidad de falla.

Esto en general depende de las propiedades matemáticas si un procedimiento es más

conveniente que otro.

Page 55: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

55

Suponemos que una distribución normal con parámetros 00 σ,μ puede ser asignada a M

como una distribución anterior. Aplicando las formulas (2.2.17) y (2.2.18) para mostrar

que X tiene una distribución predecible normal con parámetros

r+nμr+xn 0 y

r+n1+r+n

σ (2.2.21)

donde ( )200 σ,μ=r . Por comparación con (2.2.16) vemos que al escoger la densidad

anterior a una contribución de información corresponde a la muestra de “tamaño” r y

con valor promedio σo.

Los métodos Bayesianos que tienen cuidado en la incertidumbre estadística relacionada

a la certeza estructural se pude tratar con un modelo de incertidumbre estadística.

2.3. Modelo de Incertidumbre

La aleatoriedad e incertidumbre contiguas a las variables dentro del mecanismo

establecen para el análisis, con certeza la inclusión de la incertidumbre relacionada a la

formulación del estado límite pertinente dentro del modelo estructural.

Un estado límite es una relación entre la entrada de variables que definen el estado

cuando la estructura está en el umbral, de pasar a un evento adverso considerado, y se

puede ser definido por la ecuación 0),.....,( 1 =nxxg ; en la cual “g” es alguna función de la

entrada de variables escogidas tal que 0>)x(g , para toda x en el interior del conjunto

seguro, y de g(x)<0, para x en el acontecimiento interno adverso, es decir el conjunto de

falla. Desde la frontera entre los dos conjuntos =g {xIg(x)=0}, es definida únicamente

por el modelo mecánico y el evento adverso considerado, al escoger de la función g,

que no es única. Para n=3, el estado límite g es una superficie. Para n general también

denotamos g como él estado límite de superficie.

La función particular g escogida por esta definición es llamada estado límite de la

función.

Page 56: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

56

En el proceso de transformar un estado límite, formulado teóricamente en un modelo

matemático, se hace entre varios parámetros físicos. Éstos se anticipan para tener

influencia en la interrogante de sí la estructura es, de hecho, en el estado físico descrito

por la formulación verbal como la falla o ninguna falla. Si dejamos n variables x1,...,xn,

que tomen parte en la descripción del problema de confiabilidad y hay más variables

relevantes, entonces un punto dado (x1,...,xn) no es con toda seguridad un punto en el

conjunto de falla o un punto en el conjunto seguro. Por comprender la estructura que las

variables descuidadas hacen a los valores. Si esta asignación de valores es de una

naturaleza aleatoria, también es un evento aleatorio si el punto dado (x1,...,xn)

corresponde a la falla o no. Nosotros podemos imaginar que cada vez que las variables

ignoradas hacen a los valores el espacio n-dimensional del modelo estructural es

dividido en un conjunto seguro y un conjunto de falla. Así la superficie de estado límite,

se comprende como una superficie al azar de alguna población de superficies. Una

superficie se selecciona de la población por la asignación de valores a las variables

dadas.

La razón de que algunas variables físicas dadas en el modelo de formulación puede ser

cualquiera de las que no son conocidas (posiblemente están más allá de la imaginación)

o, si están identificados que tienen influencia cuantitativamente desconocida e

interacción con otras variables. Esto significa que no es posible eliminar las

fluctuaciones aleatorias de la superficie del estado límite de realización a realización

sólo por extender la dimensión del espacio. Sin embargo, de esta manera al inicio, es

posible disminuir las fluctuaciones de la superficie del estado límite. Siendo esta

disminución neutralizada por las variables extras que tiene fluctuaciones aleatorias entre

evento y evento.

La representación matemática de un estado del límite da lugar a la incertidumbre más

allá que las fluctuaciones causadas por las variables descuidadas. El estado límite se

formula en términos de las variables escogidas x1,...,xn, por uso de un poco más o

menos extensiva del conjunto de funciones matemáticas. A menudo estas funciones son

generados, por el uso de modelos mecánicos idealizados para la estructura y su

comportamiento. Además, estos pueden ajustarse a las observaciones experimentales

Page 57: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

57

del comportamiento de falla de algunas estructuras. Estos procesos matemáticos de

idealización inducen a errores sistemáticos a cualquier situación dada de la superficie de

fracaso. Quizás este error puede disminuirse por un modelo de formulación más

detallado. Para el análisis de confiabilidad el punto es que los dos limites de tiempo y los

dictados de las razones operacionales, en la práctica no debemos estar confiados con

algunos niveles demasiado sofisticados de detalle. Por consiguiente, un error

sistemático de tamaño desconocido siempre se presenta. Esto debe ser tomado en

cuenta cuantitativamente en el análisis de confiabilidad por uso de un criterio de

variables. Con el punto de vista superior que toda contribución de incertidumbre debe

ser en forma racional y unificada, tal que el estado límite sea representado por una

unión de probabilidad de distribución.

Una distribución de probabilidad es relativamente interpretada como un conjunto de

posibilidades por las probabilidades asignadas. El problema práctico enfrentado a la

formulación de un modelo de probabilidad consiste en establecer el conocimiento que

permite escoger de este conjunto de posibilidades. Poniendo al día por uso de nueva

información, entonces significa cambiar los pesos de esas posibilidades que están en

conflicto con la nueva información. En el problema estadístico es conseguir

conocimientos sobre el valor medio μ por una variable aleatoria X. Sí escogemos un

conjunto de posibles valores μ , representando nuestro conocimiento sobre μ en la

forma de la densidad anterior fM(μ ). Después de conseguir la muestra de X podemos

revalorar el conjunto de posibilidades por uso de las reglas de la teoría de probabilidad

matemática para obtener un conjunto de pesos importantes descrita por la densidad

posterior fM(μ I g(x)).

En el problema del estado límite en el modelo de incertidumbre, tiene la opción del

conjunto de posibilidades, en la adopción de capacidad, para el error sistemático en

situaciones experimentales, reducir el problema a evaluar la estadística de

incertidumbre. La diferencia entre llevar la capacidad calculada por uso del modelo del

estado límite y llevar la capacidad observada define una muestra de una población,

donde el valor medio expresa el error del modelo sistemático. A menudo el conjunto de

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58

peso correcto de posibilidades es un objeto desconocido relacionado a un experimento

supuesto en el que se hacen repeticiones una y otra vez.

En realidad las posibilidades físicas de hacer repeticiones bajo condiciones iguales

están normalmente muy limitadas o incluso excluidas en principio. En común con la

descripción probabilística de un fenómeno de fluctuación y del conocimiento incierto

sobre una cantidad fija es que la descripción es dada en términos de un conjunto de

posibilidades. La diferencia está en la información en base a la opción de los pesos

relativos. Por lo que la teoría de probabilidad es capaz de predecir frecuencias relativas

y por consiguiente un modelo probabilístico posee un poder particular de predicción para

los fenómenos aleatorios de fluctuación contra la cual la esencia del modelo puede ser

probada.

Una comprobación de esencia de un método son los resultados bajo un criterio, del cual

son expresados como un conjunto de posibilidades de peso, debe entonces basarse en

las experiencias de las aplicaciones repetidas del método: a cada aplicación solo puede

notarse un evento observable si ocurre o no. El evento puede ser específico a la

aplicación y debe ser escogido en tal forma que de acuerdo con el método consigue la

probabilidad p. En la sucesión de aplicaciones del método, la frecuencia relativa de la

ocurrencia del evento puede ser en cualquier momento. La desviación entre p y la

frecuencia relativa observada junto con el número de aplicaciones da alguna evidencia

sobre esencia del método de juicio con relación a la sucesión considerada de eventos

notables. También desviaciones grandes o falta de estabilización de tendencias son

señales de menos utilidad del método. Cuando esto se reconoce a través de

experiencias obtenidas, el requisito de comportamiento racional dará fuerza a una

revisión del método de juicio a la larga (es decir, bajo la hipótesis que hay buena

voluntad para aprender de la experiencia). En general el análisis de confiabilidad no se

considera para los errores radicales porque a menudo son difíciles de formular en

términos de un modelo probabilístico cuantitativo.

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59

CAPÍTULO III Análisis de Probabilidad de falla en secciones de elementos estructurales

Probabilidad de falla en secciones y elementos

estructurales de un Modelo de Edificio de Cortante.

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60

3.- Análisis de Probabilidad de falla en secciones de elementos estructurales

La confiabilidad estructural se fundamenta en la teoría de probabilidad, que es

axiomática, es decir teórica, y para el diseño de estructuras aplicando los criterios de

diseño sísmico implica cumplir con las normas definidas en el reglamento de diseño

[RCDF87-NTC]. Estas normas expresan un resumen de experiencias deducidas con una

confiabilidad propuesta, para que las estructuras estén dentro de la seguridad y suponer

que ocurrirá la probabilidad de falla estructural durante el periodo de vida útil de la

estructura, con base a la teoría de estado límite.

Así, estos modelos probabilistas están en función de la inferencia estadística, que

acumula experiencias, que servirán para planear y tratar de adivinar el futuro en función

del pasado, en donde surgirán interrogantes del diseñador o constructor del ¿Por qué de

la aplicación de un reglamento? Para esto la estadística nos permite verificar el nivel de

confianza y la probabilidad de acertar a la distribución probabilística mediante la

realización de una simulación aleatoria con funciones discretas y continuas, como son

las distribuciones de Weibull y Gaussiana, las cuales tienen un comportamiento con

medidas de tendencia central y dispersión dados por: la media, mediana, varianza y

desviación estándar. Esta medidas sirven para calcular la probabilidad de falla de una

estructura permitiendo racionalizar e idealizar un sistema de diseño, apoyada en la

teoría de estado límite, que estará entre el rango del conjunto de seguridad y falla a

través de una función g(x)=0, que contiene una región de variables aleatorias e

incertidumbre de las acciones externas, así como de las propiedades mecánicas y

geométricas que la estructura requiere para su diseño.

Un caso de estas funciones de distribución con esta tendencia se observa en la fig.3.,

donde se comparan dos curvas de resistencia del concreto, en las que existe una

diferencia notable con respecto a la resistencia de las normas de Estados Unidos y

México.

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61

Fig. 14. Distribución tipo campana

Por lo tanto podemos idealizar la acción de una carga sísmica, que actúa sobre un

modelo estructural de concreto reforzado estructurado con muros y columnas unidos por

un sistema de piso o diafragma de piso, de la cual podemos obtener su distribución de

probabilidad dado por E[A(sis.)], contra la resistencia esperada E[R(Ki)], fig.3.1.

Fig. 15. Modelo estructural y matemático.

Resultando un coeficiente de seguridad como se indica a continuación.

[ ][ ] s.cSERE

= (3.1)

Debido a la siguiente relación de planta del sistema estructural de la, fig. 3.2.

Fig. 16. Dirección del sismo

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62

Donde estos valores de probabilidad expresan una aproximación en porcentaje de falla y

seguridad estructural de la siguiente forma: 1 - confiabilidad = riesgo Donde la distribución de probabilidad del evento se traza a través del área dada por la

función de densidad P(a≤x≤b)= Área, que en este caso representa una carga uniforme y

“x” es una variable aleatoria, con un conjunto de variables de distribución de

probabilidad, para este modelo:

AR=F.S

dadconfiabili=Cacción la de esperado valor al=A

aresistenci la de esperado valor al=R

3.1. Modelos estructurales deterministas y probabilistas

El análisis estructural probabilista es un método para formular un modelo matemático

con el cual podemos cuestionar y obtener respuesta de: ¿cuál es la probabilidad de

conocer el comportamiento estructural, donde una o más de sus propiedades mecánicas

y geométricas son de naturaleza aleatoria, y en algunos casos la acción también tenga

propiedades aleatorias?. Así, este análisis estructural probabilista puede ser estudiado

como una extensión del análisis estructural determinista, el cual se refiere a la

formulación de un modelo matemático con el que podemos conocer la respuesta de:

¿Cuál es el comportamiento de una estructura con sus propiedades mecánicas y

geométricas, debido a las cargas que es sometida?

Comentario

3.1.a.- Si un modelo determinista es tratado como probabilista, la respuesta se

localizara en un evento con distribución de propiedades probabilísticas entre cero

y uno, si la respuesta es uno, el comportamiento del modelo es determinista, y sí

el evento de probabilidad es cero, entonces este modelo no tiene interés, el cual

simula un comportamiento de ocurrencia 1, en el que se propone “¿Qué

dimensiones debe tener una estructura, cuyo comportamiento es generado por

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63

una acción con base al universo del modelo?. Entonces el diseño estructural

probabilista es un problema de decisión, para el análisis estructural, que definirá:

¿Qué dimensiones deben ser asignadas a la estructura para que sus propiedades

tengan una respuesta óptima, con base al modelo probabilista? O en otra forma

equivalente tenemos: ¿Qué valores de probabilidad y ocurrencia, debe tener la

estructura respecto a su comportamiento, para diseñarla óptimamente? [59].

3.2. El problema de la seguridad estructural

Se analiza la operabilidad y serviciabilidad estructural, con base a las propiedades de

cargas que soportarán las estructuras, para llevarlas a un comportamiento de capacidad

de carga última, en el dominio del estado límite, y conocer ¿Qué tan grande debe ser la

carga aplicada al modelo de acuerdo con el mejor criterio, y llevarlo a su capacidad de

carga última?. Todo esto con el fin de que el ingeniero diseñe y garantice, que la

estructura no fallara bajo servicio o al menos que hay un riesgo extremadamente

pequeño de que la falla estructural ocurrirá. La diferencia entre estos dos valores se

llama margen de seguridad. Por lo tanto la experiencia acumulada de un constructor

debe ser necesariamente la base, para asignar el valor del margen de seguridad de

diseño, y por otro lado, esta claro que la variedad de estructuras son diversas, y hay la

necesidad de obtener información estadística, así como una descripción de

experiencias, para lograr un análisis racional [60].

Así, la reacción de la sociedad durante la ocurrencia de un evento en el que existan

probabilidades de fallas estructurales, tendrá en principio una interrogante, sobre si la

Ingeniería ha tenido demasiadas iniciativas en la valoración de este tipo de problema,

para estar en los niveles del margen de seguridad requeridos. Al mismo tiempo, la

necesidad de una compatibilidad económica, resultado de un modelo estructural

racional, equivalente a una herramienta plasmada en el reglamento de construcciones

[RCDF87], que debe estar a nuestro alcance, ya que posiblemente un ingeniero no se

apoya siempre en este sistema autorizado de normas como entidad que debiera

contener los elementos básicos para realizar propuestas de diseño con diferentes

criterios e incertidumbre.

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64

3.3. Sistema de tolerancia estructural.

Un sistema de tolerancia como referencia, ocurre cuando una medida geométrica de un

componente constructivo esta acompañada, por una especificación de tolerancia T, que

significa, cumplir con las normas y requerimientos técnicos, como son las dimensiones

del componente, que tendrán un limite dentro del intervalo probabilístico dado por [B-

T/2,B+T/2]. Donde esta medidas permiten evaluar al elemento de construcción,

verificando si cumple con de los requerimientos normativos, cuando se aplican las

normas de diseño, las cuales permiten controlar el diseño con un mayor grado de

confiabilidad el rango de la medida propuesta.

Sin embargo, es probable que todos los componentes generados de una pieza o

elemento, en un proceso de diseño, sean sujetos a una medida de control de fabricación

con el propósito de rechazar los elementos, que no satisfacen una o más de las

especificaciones de tolerancia. Es decir implementar un control de calidad total, y por

otro lado, el proceso de trabajo no debe ser demasiado refinado, a tal grado que, las

medidas sean exactas innecesariamente, especialmente si el costo de fabricación se

realizó con una precisión confiable. Con este punto de vista, los requerimientos de

tolerancia llegan a ser una herramienta adaptable de control, para el proceso de

producción y construcción.

A su vez, la interpretación del concepto de probabilidad, en los tiempos más recientes y

el lenguaje de las matemáticas han sido desarrolladas formalmente, con el propósito de

evaluar estos sistemas, con un proceso en términos de lógica y la variable tiempo, que

han tenido éxito. Y en estos términos, se han aplicado las herramientas de control de

tolerancia, sin ningún problema en la confiabilidad estructural, siendo una de las

razones, para las aplicaciones prácticas de la teoría matemática abstracta, que nos

permite ver diferentes interpretaciones en el mismo concepto de probabilidad que puede

ser usado como modelo, en el cual se especifica que este puede ser operado con un

gran número de repeticiones bajo situaciones controladas, y a esto, es lo que llamamos

Page 65: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

65

frecuencia de probabilidad e interpretación, para que una estructura deba considerarse

con fluctuaciones materiales y geométricas.

Estas variaciones se interpretan en forma de histogramas o curvas basadas en datos de

medida, y términos de probabilidad, llamada frecuencias relativas, que describe un

elemento con incertidumbre de tipo físico, para el conocimiento de los ingenieros acerca

de la estructura a diseñar. Por lo tanto, la inclusión de este elemento de incertidumbre

físico, en el modelo determinista, cambia a modelo probabilístico.

Por otra parte esta teoría probabilística, también se interpreta como un sistema de

cálculo en la confiabilidad estructural, aplicada con un criterio profesional, donde las

probabilidades se expresan en grados o eventos de ocurrencia posibles a través de

idealizaciones matemáticas, que son una alternativa, para expresar un valor u otra

cantidad de distribución de probabilidad, que posiblemente describe un conjunto de

seguridad o falla. Y esto indica asumir un criterio, para dar seguimiento a este proceso,

que en la práctica significa un problema particular del ingeniero y para darle solución,

será con base a sus propias experiencias.

En la guía práctica, el trabajo del Ingeniero se debe apoyar en las recomendaciones

existentes de un código, ejecutado por una autoridad representada con marco jurídico

competente y calificado, para discutir y obtener experiencias de la misma especialidad.

Y así, cuantificar y evaluar los diseños de sistemas estructurales con propiedades

aleatorias e incertidumbre presentadas, en los criterios de diseño dados, explícitamente

e implícitamente en el código, que regula los niveles de confiabilidad de las estructuras

diseñadas en la práctica.

3.4. Compatibilidad de la probabilidad con las estructuras

El concepto de probabilidad en sus diferentes interpretaciones, sigue un principio de

supuestos, en los cuales, surgen situaciones de procesos repetibles, dando origen a

criterios base, para una interpretación en el contenido de información del concepto de

Page 66: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

66

probabilidad matemática, teniendo ventaja en la evaluación de estos criterios, respecto a

este modelo, comparado con otros, como la teoría de lógica difusa.

Otro parámetro filosóficamente importante, es el problema de decisión, que puede ser

demostrado con la teoría de probabilidad, en la cual, dicho problema se encuentra

dentro de un supuesto superior, comparado, con otros modelos de evaluación cuando

estos conciernen juegos de azar de tipo relativo y específicamente simples, con base a

reglas de cálculo de probabilidad en donde algún apostador ganará, el cual, podrá no

seguir aquellas reglas del juego de azar. De esta propiedad es interesante la selección

de los métodos de decisión, para las bases teóricas acerca de la confiabilidad

estructural.

3.5. Método del factor de seguridad parcial

El concepto de estado límite se relaciona a un requisito especificado, que se define

como un estado de la estructura que incluye sus cargas en las que, la estructura está

justamente en el punto de no satisfacer el requisito. A menudo este último requisito se

formula verbalmente. Sin embargo, normalmente el requisito se interpreta y se formula

dentro de un modelo matemático, para las propiedades geométricas y mecánicas de la

estructura y para las acciones en la estructura, proponemos x1,x2,...,xn., ser esas

variables que contribuyen independientemente a esa parte del modelo matemático que

involucra geometría, propiedades de fuerza y acciones. Estas variables son libres en el

sentido que, puede escogerse sus valores libremente e independientemente dentro de

un subconjunto Rn de un campo espacial n-dimensional. Siendo, este un subconjunto de

una función o las variables n que se encuentran en el dominio de definición del modelo.

Por lo que, a cada opción de valores en la estructura idealizada o definida

singularmente, le corresponden cargas singularmente definidas. Así, esta estructura con

sus cargas es solo una idealización matemática que satisface o no, a un estado límite,

propuesto como requisito. Además, posiblemente “t” no puede comprenderse en

absoluto como un objeto físico, por ejemplo, porque la carga excede la capacidad última

de la estructura.

Page 67: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

67

Sí idealizamos una estructura muy simple que consiste en una soga arreglada a un

gancho soportando una carga, y se supone el gancho más fuerte que la soga, estamos

idealizando un problema de confiabilidad, que corresponde al requisito de que la soga

soporte la carga.

Este problema puede formularse en términos de dos variables libres, la fuerza tensor “r”

de la soga y el peso “s” de la carga. Ambas cantidades son positivas por definición. Así

el dominio de definición del modelo es el subconjunto Rn+ de R2. Claramente, esta

estructura de la soga con su carga no puede comprenderse como un objeto físico si “r” y

“s” son escogidos tal que r<s. No obstante permitimos R2+ ser el dominio de definición,

para la estructura considerada como un objeto matemático. Si el modelo matemático

está extendido por una variable geométrica “a”, definida como el área de corte

transversal de la soga, podemos calcular la tensión en la soga como s/a,

independientemente del valor de “r”. Es más, si el modelo está extendido por la ley de

Hooke y con una longitud “l” de la soga podemos calcular el desplazamiento resultante

de la carga, cuando su peso “s” es transferido gradualmente a la soga, bajo el supuesto

de que el gancho “s” esta completamente rígido. El desplazamiento se vuelve ls/(aE)

donde “E” es el coeficiente de elasticidad, con base a la "ley" de Hooke que expresa: “el

alargamiento proporcional relativo a la tensión en la soga”.

Un análisis de confiabilidad considerando el requisito simultáneo, de que la soga debe

resistir la carga y que el desplazamiento será más grande que el dado, por un valor “ δ ”,

se formula en términos de las cinco variables a,l,E,r,s., que por definición todas son

positivas. Así, el dominio por definición del modelo extendido es R5+. Aquí asumimos

que el problema de confiabilidad puede formularse en términos de un número finito de

variables x1,........xn, en el que existirán problemas pertinentes a la confiabilidad donde

esta formulación requiere el uso de una infinidad conveniente de variables o funciones,

en particular cuando sea el caso de las resistencias con propiedades de variaciones

aleatorias temporales y acciones espaciales pertinentes.

Un requisito del estado límite, es dividir el dominio de definición del modelo en dos

conjuntos, el conjunto de seguridad y el de falla. El límite del primero, qué por supuesto,

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68

también es el límite del conjunto de falla, se llama estado límite. Por otra parte este

modelo es considerado dentro del estado límite de una estructura suficientemente

simple y es representada como el conjunto de puntos ceros, para una pequeña parte de

una función diferenciable g(x1,........xn)., qué se define por todas partes, del dominio de

definición del modelo y toma valores positivos en el interior del conjunto de seguridad y

valores negativos en el interior del conjunto de falla. Es más, si el conjunto de seguridad

simplemente se conecta, nosotros decimos que el estado límite es regular. Así, el

estado límite se da como el conjunto de valores de las variables de entrada (x1,........xn)

para que:

0=)x,...,x(g n1 (3.5.1)

Se da énfasis a que la opción de “g” no es única. Por ejemplo, los g3 de la función

pueden usarse en lugar de “g” en (3.5.1). Por lo tanto, las partes del estado límite que

pertenecen al conjunto de falla o seguridad, pueden escogerse según sea el caso, en un

problema dado. Además, pueden ser considerados o clasificados en dos categorías

principales como son los estados límite de derrumbamiento (estados límite de carga

última) y los estados límite de servicio. Así, un estado límite de derrumbamiento

normalmente representa una situación donde la estructura esta justo en el punto de

colapsar en su totalidad, esto es, pasar a un estado irreversible, que puede tener una

naturaleza catastrófica y de que la estructura sólo se recupere, por reparación o

reconstrucción total. Un estado límite de serviciabilidad corresponde al límite entre un

estado aceptable y un estado no aceptable bajo el uso normal o común. Un estado

semejante es a menudo reversible con respecto al daño directo de la estructura en el

sentido de que la estructura este sometida a cargas por abajo del limite de seguridad.

Sin embargo, pasando a un estado de límite de serviciabilidad también puede causar

daño permanente a la estructura, como formación de articulaciones u otros daños

visibles. Generalmente, este daño no levantará un problema de confiabilidad de la

categoría de estado límite de derrumbamiento, en que la estructura está sujeta al

mantenimiento general.

En otro caso, el estado límite de derrumbamiento para la soga estará dado por la

función

srs)g(r, −= (3.5.2)

Page 69: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

69

Así, el estado limite de derrumbamiento es: r = s, y la falla, puesto por r < s y el conjunto

de seguridad puesto por r > s, ver Fig.3.5.1.

Fíg.17. Dominio de definición y estado límite de falla de un modelo de análisis de confiabilidad,

para una soga que soporta una carga.

El requisito del desplazamiento, debido a la carga es un valor “b” que se encuentra en la

categoría de un estado de límite de serviciabilidad. Y la función “g” puede ser escogida

como:

lsaEsrElag −δ=),,,,( (3.5.3)

Así, la serviciabilidad del estado límite está en función de δ aE=ls, y la falla, dado por

δ aE<ls y el conjunto de seguridad puesto por δ aE ≥ ls.

En el análisis de confiabilidad, las dos categorías de estado límite, serán consideradas

separadamente. Y la situación será diferente, cuando dos o más estados límite de

derrumbamiento pueden ser de importancia.

En este caso asumimos que la capacidad del gancho es mucho más grande que la

capacidad de la soga. Si esté supuesto no puede mantenerse, debemos presentar otra

alternativa dada por la variable rk, con propiedades temporales, para la capacidad del

gancho, y rt, es la capacidad de la soga.

Entonces tenemos un estado límite de derrumbamiento compuesto, que puede definirse

como los puntos ceros de la función

{ } sr,rmin=)s,r,r(g tktk (3.5.4)

S S Estado de falla r≤s Estado de limite r=s R2 + Estado de seguridad: r>s r r

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70

El conjunto de seguridad es la intersección de los dos conjuntos dados por

srysr tk >>11

., mientras que el conjunto de fracaso es la unión de los dos conjuntos

dados por srk ≤1

., y srt ≤1

. El estado límite dado por el min{rk, rt}=s, ver Fig. 3.5.2.

Fig. 18. Estado límite de derrumbamiento compuesto para una soga atada

a un gancho y soportando una carga.

Bajo las condiciones de diferenciabilidad especificadas, para la función “g” y para n=3, la

ecuación (3.5.1) define una elemento diferencial pequeño de superficie. Y el estado

límite se denota por consiguiente, como la superficie del estado límite o el conjunto de

falla. Por lo tanto, para razones prácticas estas terminologías se usan para cualquier n.

Típicamente el problema de la diferenciabilidad, entra en situaciones como en la

ecuación (3.5.4), donde físicamente las posibilidades pertinentes son diferentes.

Entre los problemas de estado límite con conjuntos de seguridad convexos, son

utilizados generalmente en la práctica.

Por definición un conjunto convexo con la propiedad de que todos los puntos de la línea

recta que une cualquiera de dos puntos del conjunto, están en el mismo. En otras

palabras, si dos estructuras de un tipo dado son representadas por puntos dentro de un

conjunto de seguridad convexo, entonces cualquier estructura diseñada por

interpolación lineal entre las dos estructuras también es una estructura segura.

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71

En particular los problemas de estado límite convexos están preparados para la

aplicación del método determinístico conocido como el método del factor de seguridad

parcial o el método del coeficiente parcial.

En la actualidad, este método se ha autorizado en los códigos dinamarqueses, así como

en los códigos de muchos países. El código europeo actual, también esta basado en el

método de factor de seguridad parcial, para un nivel de seguridad autorizado.

3.6. El concepto del factor de seguridad y el requisito de formulación de invarianza

La documentación de seguridad para una estructura ha sido basada en la proporción del

cociente dado, entre la capacidad de carga calculada “r” y un efecto de carga

correspondiente “s”. Esta proporción:

srn = (3.6.1)

se llama factor de seguridad, desde n>1 si y sólo si r>s, la declaración n>1 describe que

la estructura corresponde a un punto en el conjunto de seguridad, mientras la

declaración n<1 expresa que la estructura corresponde a un punto en el conjunto de

falla.

A simple vista puede dar la impresión, de que el tamaño de “n” es una medida de

seguridad, naturalmente, para una definición dada de “r” y también de “s”. Un aumento

de “n” reflejará seguridad aumentada dado que n>1. Sin embargo, debe notarse que el

factor de seguridad depende de cómo se define la resistencia “r”. Por ejemplo, si

asumimos que la proporción 33

3 nsr

= , como un factor de seguridad.

Ahora definimos a “r” como la resistencia de un corte transversal de concreto reforzado

en una viga plana sujeta a una fuerza normal “N” y un momento “s”. Las fuerzas

interiores se aplican a una distancia del refuerzo, con referencia a un eje dado, ver

Fig.3.6.1. Sin embargo, la opción de este eje es arbitraria. Una opción natural es un eje

a través del centro geométrico de la sección de corte. Así, una opción común, es un eje

a través del centro del refuerzo. Si el momento torsor, causado por la acción la viga es

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72

“s” cuando se refiere al eje con una distancia “a”, entonces el momento “s”, con respecto

al eje al refuerzo es dado por S1=S + a N. Consecuentemente el factor de seguridad

(3.6.1) puede ser

Fig.19.Dos representaciones diferentes de las fuerzas

interiores en un plano de una viga de concreto reforzado,

ilustra el problema de formulación de invarianza

Escrito como

SR

aN-SaN-rn

1

1 == (3.6.2)

donde r1 = r + a N = la resistencia con la cual s1 = s + a N, debe ser comparado. De

(3.6.2) tenemos, que si n > 1, para alguna opción de “a” entonces n > 1, para toda “a”.

Sin embargo, el factor de seguridad puede tomar todos los valores en el intervalo abierto

de 1 (para ∞→a ±"" ) “a” (para Nsa 1= ). Sólo, el valor de n = 1, es invariante con respecto

a “a”. Esto corresponde al hecho de que el estado límite está dado por la ecuación.

01-srs)g(r, == (3.6.3)

Naturalmente la superficie de falla correspondiente es independiente de a.

La naturaleza arbitraria de la definición de la resistencia “r”, tiene como consecuencia un

valor arbitrario en el factor de seguridad, que hace característico el manejo de un valor

difícil en las técnicas del contexto de códigos. Necesariamente, una especificación del

factor de seguridad "n” debe estar acompañada por especificaciones de las fórmulas

para la resistencia que corresponde al factor de seguridad especificado. Sin embargo,

es muy inoportuno si el código requiere ser formulado en un nivel de detalle semejante,

para ambos, porque esto llevará fácilmente a la confusión y falta de claridad teórica,

ocasionando bloqueo en la aplicación y desarrollo, para la mejora de modelos teóricos

más universales en mecanismos estructurales. Así, se origina un requisito motivado,

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73

para que las especificaciones de seguridad en los códigos, haciéndose independientes

de formulaciones equivalentes y de resistencias arbitrarias, así como de los efectos de

acción correspondientes. Por supuesto, el rendimiento de estas cantidades son

variables escogidas principalmente bajo las consideraciones de conveniencia

matemática. Con toda seguridad, los diferentes tipos de problemas de análisis de

confiabilidad serán mediante una resistencia no definible o de manera clara, por una

sola cantidad escalar. En particular esto se ve en problemas mecánicos, donde el

requisito discutido puede ser expresado, diciendo que el sistema de seguridad del

código, debe ser invariante de la formulación.

3.7. Consideraciones de probabilidad acerca del factor de seguridad

En una formulación probabilística el factor de seguridad (3.6.1) es una variable aleatoria

SRN = (3.7.1)

donde R y S son variables aleatorias que corresponden a la definición de resistencia

escogida. La probabilidad que la estructura no está fallando es entonces:

P(N>1)=P(R>S) (3.7.2)

Contrariamente al propio factor de seguridad, esta probabilidad es invariante con

respecto a la definición de R, y es requerida para todas las definiciones de resistencia

consideradas con respecto a un estado límite dado y se define el efecto de acción

correspondiente en uno y el mismo espacio de probabilidad.

Así, asumimos que R y S son mutuamente independientes y distribuidas según la

distribución normal con parámetros ),( RR σμ y ),( SS σμ , respectivamente ( μ = el valor

medio, 2σ = la varianza). Entonces:

)σσ

μμφ(0)RP(S1)P(N

2S

2R

SR

+

−=<−=> (3.7.3)

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74

Donde Φ es la función de distribución normal regularizada. Este resultado sigue del

hecho, que la diferencia entre dos variables normalmente distribuidas es normalmente

distribuida.

Si esta opción de modelo ha hecho que “t” no sea justificado naturalmente, por una

opción como alternativa de definición de la resistencia, para asumir que esta, y el efecto

de acción son mutuamente independientes y normalmente distribuidos. Entonces, aquí,

el requisito sobre la formulación de la invarianza, se presenta con otra apariencia.

Donde los supuestos distribucionales sobre R y S dependen de la definición escogida de

R. Por lo tanto, un código probabilístico no puede ser formulado con base a las variables

del rendimiento como R y S E[.]

En las bases de (3.5.1), llamado factor de seguridad central “n”, puede definirse por

[ ][ ]SEREnc = (3.7.4)

Donde E[.] es el valor medio. Un factor de seguridad más general es: q

pp.q s

rn = (3.7.5)

qué es fundamentado en un valor pequeño escogido rp, sq, para R y S definido por, ver

Fig.3.6.1.

p)rP(R p =< (3.7.6)

q)SP(S q =< (3.7.7)

Si R y S son asumidas para una distribución normal entonces tenemos

s

Rc μ

μn = (3.7.8)

Mientras E[N] no existe.

Ésta es una consecuencia del hecho que S tiene una densidad de probabilidad positiva

en cualquier zona de cero.

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75

Fig.20. Funciones de distribución con valores pequeños para R y S.

Además tenemos

Sq

Rp1c

SqS

RpRq.p Vk1

Vk1n

kk

n+

−=

σ+μ

σ+μ= − (3.7.9)

donde VR= RR μσ / , VS= SS μσ / son los coeficientes de variación para R y S,

respectivamente, y donde kp, se define por ( )pkΦ =p (y correspondientemente para kp ).

La estructura se diseña tal que (3.7.10), toma un valor 1- pf es decir, tal que:

βσσ

μμ2S

2R

SR =+

− (3.7.10)

donde ( )β−Φ =pf es la probabilidad de fracaso. Después de un trabajo algebraico de

factores de seguridad con tendencia central, “n” puede ser expresado entonces por β a

través de la fórmula

2R

2

2S

2R

22S

2R

c Vβ1VVβVVβ1

n−

−++= (3.7.11)

Es dado por ∞→cn , para 1/βVR → . De esto sigue que la estructura no puede diseñarse

para tener la probabilidad de falla pf que corresponde a β si 1/βVR ≥ . Sin embargo

existe una inconsistencia física. Esta es por la distribución normal que asigna una

probabilidad positiva al evento R<0. Para los valores pequeños de VR, la inconsistencia

no tiene importancia, pero el modelo pierde su pertinencia para los valores de VR o β

para lo cual VR no es considerablemente menor que l/β . Una opción típica de orden de

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76

tamaño, para β será 4 o 5. El modelo de distribución normal para R está a favor por

consiguiente de VR más grande con un valor que es aproximadamente entre 0.15 ≅ 1/6.7

La variación grande de nc, con VR y VS. Para β dado (para β=4, tenemos nc= 1, 1.84,

2.76; para VR = VS = 0, 0.1, 0.15, respectivamente) ilustra la inconveniencia de usar el

factor de seguridad central para las asignaciones de valor en un código que, cuando lo

ideal, intenta mantener control en el valor de β y así en la probabilidad de falla dentro de

una clase de seguridad dada.

Si nc dado por (3.7.11) que se sustituye en (3.7.9) obtenemos

)Vk)(1βV(1

Vβ)/V(V1βV1βV1

Vk1n

SqR

2R

22SRS

R

Rp1p.q ++

−++

−= − (3.7.12)

Escogiendo p = 0.05 y q = 0.98 (valores típicos, empleados, por ejemplo en los códigos

dinamarqueses) conseguimos que k1–p = 1.645 y kq = 2.054. Para β =4 nosotros

conseguimos n = 0.5.,0.98 = 1,1.27,1.59 para VR = VS = 0,0.1,0.15 respectivamente. La

variación de n = 0.05.,0.98 se ve para estar aproximadamente 3 veces menos de la

variación de n, para este ejemplo. Esta propiedad, que los factores de seguridad “n”,

por una opción conveniente de “p” y “q” para un valor compuesto de β muestra

considerablemente menos variación con el coeficiente de variación para R y S que los

factores de seguridades centrales, se presenta de una manera análoga para los factores

de seguridad llamados parciales. Éstos son los elementos fundamentales del método de

seguridad usadas en varios códigos actuales de diferentes países.

De donde asumimos que R y S son mutuamente independientes y ambos con

distribución lognormal. Entonces

[ ] [ ] [ ]RlogVar21RElogRlogE −= (3.7.13)

[ ] )V1log(RlogVar R2+= (3.7.14)

Page 77: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

77

Y correspondientemente para S. (Introduce la anotación Rμ y μ , para E[R] y E[S],

respectivamente). Formula derivada para la probabilidad de fracaso P(R<S) y los

factores de seguridad centrales nc. Muestra que nc, está limitado para todos los valores

finitos de VR y VS, es decir, que el defecto por (3.7.11) no existe aquí. Derivar np.q bajo el

supuesto de 1<<1<< 22SR VyV lo cual permite el uso de:

[ ] [ ]RElogRlogE ≅ (3.7.15)

[ ] 2RVRlogVar ≅ (3.7.16)

3.8. Factores de seguridad parcial

El requisito de la formulación de invarianza, hace necesario que el método de seguridad

parcial debe ser aplicado a las variables de entrada del modelo mecánico, en lugar del

fraccionamiento arbitrario en resistencia y el efecto de carga correspondiente, Así, es

necesario ir a la ecuación de estado limite (3.5.1).

0=)x,...,x(g n1 (3.8.1)

y asigna todas las especificaciones de seguridad a las variables de la entrada x1,. . ,xn

del modelo. En conexión con el código, éstas variables de entrada deben por

consiguiente ser seleccionadas de una clase regularizada de variables en las que las

especificaciones del código operan. Esto, necesariamente, no significa que estas

características técnicas son independientes de ese modelo o clase de modelos en los

que las variables seleccionadas participan.

Los métodos de factores de seguridad parcial es, en sus principios matemáticos, un

método deterministico, que actúa de la manera siguiente. Sí consideraremos el caso

n=2., correspondiendo a cada punto (x1,x2) en el dominio de definición del modelo de la

zona rectangular abierta de (x1,x2) definido como el producto del conjunto cartesiano.

Page 78: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

78

Fig.21. El principio del método de factor de seguridad parcial por el cual

una definición codificada del conjunto de estados suficientemente seguros

se constituye una superficie estado límite convexa.

Fig.22. Ilustración que muestra que los métodos de factores de seguridad

parcial están situados para el estado límite no convexo es considerado.

Los coeficientes f2f1m2m1 α,α,α,α son llamados factores de seguridad parcial con valores

especificados de código que son más grandes o igual a 1. Si está, abierta esta zona de

(x1,x2) es un subconjunto del conjunto seguro.

Page 79: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

79

CAPÍTULO IV Modelos Probabilísticos para estructuras tipo viga

Índices de Confiabilidad estructural para elementos

tipo viga.

Page 80: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

80

4.- Modelos Probabilísticos para elementos estructurales tipo viga.

La confiabilidad estructural en las construcciones de Ingeniería es concebida con la idea

de satisfacer diferentes necesidades, más o menos explicitas, para soportar o resistir

esfuerzos, pero no es el objetivo primordial. Por lo tanto, el diseño se efectúa

considerando el conocimiento de las necesidades, de las acciones que actuarán, y de

las propiedades de los materiales utilizando métodos de análisis y diseño, aproximados

a cada circunstancia, lo que permite encontrar el “mejor diseño” y la probabilidad de que

una estructura, un sistema estructural o un elemento estructural satisfaga las

condiciones de estado límite y de servicio, para las que fue creada. Consecuentemente,

se define como confiabilidad o probabilidad de éxito. Y al complemento de la

confiabilidad se le conoce como probabilidad de falla (Pf = 1 – c), donde Pf es igual a la

probabilidad de falla y “c” es la confiabilidad, dado que la suma de probabilidades debe

ser uno. Además, no debemos entender el término falla como “ruina”, ya que la falla

puede ser la no satisfacción de las necesidades, de las acciones para las que fue

diseñada en términos de sus funciones, tanto de resistencia, como de servicio. Aunque

algunas veces si puede ser equivalente, y en otras se le conoce únicamente como la

probabilidad de excedencia.

La evaluación de un buen nivel de confiabilidad será relativa a la naturaleza de las

construcciones, y a las acciones que deberá soportar en función de la vida útil deseada

o supuesta, y al costo o problema que implique su falla.

A continuación calcularemos las funciones de distribución de probabilidad considerando

las siguientes distribuciones de probabilidad.

A- R Z =

2cm/kg 61.223220021002Aσ

2RσZσ

2cm/kg 00.000,22cm/00kg.000,22cm/00kg.000,4Z

=+=+=

=−=

Page 81: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

81

Variable que convierte: a N[0,1]

σμ-x w = P

Para la distribución normal de Z =0

944 8- 2cm61kg223

2cm00kg2000- 2cm61kg223

2cm00kg2000- Z

ZσZ- Zw .

/./.

/./. ====

Para un riesgo menor a 0.0000003

Otra distribución:

NA[4000,400]

NR[3000,800]

El r iesgo = 0.1357; de cada 100 casos 14 fallaran

Confiabil idad = 0.8643

1.12- w ;12.1-43.8941000- 0w

cm/43kg.89428002400Zσ

2cm/00kg.10003000- 4000Z

===

=+=

==

Page 82: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

82

4.1. Análisis de un elemento viga

fig. 23. Viga sometida a carga uniforme

Donde:

L = longitud de la viga

b = base de la viga

h = altura de la viga

Además estas variables t ienen distribución de probabil idad normal

aleatoria.

4.1.1. Fórmulas para obtener la distribución de probabilidad

La medida de adición: 2yσ

2xσyxσ

yμxμyxσ

+=+

+=+

La medida de sustracción: 2yσ

2xμy-xσ

yμ-xμy-xμ

+=

=

La multipl icación: 2yσ

2xσ

2xσ

2yμ

2yσ

2xμxyσyμxμxyμ

++=

=

El cociente: 2/1

2yσ

2yμ

2xσ

2yμ

2yσ

2xμ

yμ1

y/xσ

yμxμ

y/xμ

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

+

+=

=

Page 83: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

83

4.2. Propuestas de distribuciones de probabilidad en las variables del elemento viga

NL[600, 10] Np[80,000.00, 5000]

Na[200, 10] Nh[40, 5]

Nb[20, 3]

710133PM ; SMf ton; 00.80P

kg 50.200,8013366.666.10'66600.2000 x 33.333,5

33.333,562 x4020S

2cm/kg 00.2000yf 133P;33P.162x4P

====

==

==

===

4.3. Distribución del momento:

l)a-l(aP

M =

Primero obtengo la distribución de (l-a):

[ ]14.14,400a-lN

cm 14.14210210a-lσ

cm 00.40000.200-00.600aμ-lμa-lμ

=

=+=

===

4.4. Distribución de S:

6bhS

2

=

4.5. Distribución de a(l-a)

77.900,4)a-l(aσ

)214.14(210)210(2400)214.14(2200)a-l(aσ

2yσ

2xσ

2xσ

2yμ

2yσ

2xμ)a-l(aσ

ton 00.000,80)400(200)a-l(aμ

=

++=

++=

==

Page 84: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

84

4.6. Distribución de Pa(l-a)

861x10.530.449,560´635)a-l(paσ

2x5000276.900,42000,x52000,80276.900,x42000,80)a-l(paσ

864x1000.000,00x80.000,80)a-l(paμ

==

++=

==

4.7. Distribución de μy: Puede ser una constante: σy=0

4.8. Distribución del Momento:

[ ] [ ]5,40Nh ;3,20Nb ;62bhS

60.951x102x/yσ,610.67x102

x/yμNM

59.51x10l

a)-(lpaσ

5066708x10.100.100,36000.956,11'32900.600,409

6001

yx

667x10.10M

667x10.1060080x10.64M

yμxμ

xyμ

861x10.5,864x10)a-l(aNP

l)a-l(aP

M

=

==

=

=+=σ

=

====

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

Page 85: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

85

4.9. Distribución de Nh2

[ ]00.283,00.600,12Nh

2832σh

282.935 50 80,0002x525x2522x402σh

00.600,12402h

=

=

=+=+=

==

4.10. Distribución de Nbh2

698.469,72bh

)2x32283(23 x 21,600()2x283220(2bh

=

++=

4.11. Distribución de la medida por la constante μx2/6

[ ]

SMf

245,1 2yσ ,333,5 2

yμ SN

00.469,7 ,00.000,322Nbh

=

==

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

4.12. Distribución de Nf

2cm/00kg.486fσ

6x102/1

200.245,12333,5))2951.x(02333,5()2)x1,245267.((10

333,51

xyσ

2/1

2yσ

2yμ

2xσ

2yμ

2yσ

2xμ

yμ1

x/yσ

2cm/kg 00.000,23333x10.5

610 x 67.10SMf

=

+

+=

+

+=

===

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

Page 86: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

86

4.13. Distribución de la acción:

[ ] 2cm/kg 00.486 ,00.000,2fσ

4.14. Distribución de la resistencia y determinación del riesgo.

[ ]

[ ]

riesgo10000002110

0.002118

0.002118Riesgo 86;2- 2cm27kg697

2cm00kg0002-w

2cm27kg69725002486Rσ

500.00 , 4,000.00R si

000021180Riesgo 4.03; - 2cm18kg496

2cm00kg0002-w

2cm10kg49621002486Zσ

0z :paraZσ

Z -Zw

2cm00kg0002 2cm00kg0002- 2cm00kg0004A- RZ

100 000004Rσ

==

===

=+=

===

=+=

=

=

===

=

.

./.

/.,

/.

:

./.

/.,

/.

/.,/.,/.,

,.,

σ

[ ]

[ ]

falla. de adprobabilid de 8% 0.076; = Riesgo 43416,100697000001w

00697Zσ

00500000003NRsi

51000002000003sc

02070Riesgo

04210490000001w

10496Zσ

00100000003NR:suponemos Si

...,-

.

.,.,:

;..,.,.

.

...,-

.

.,.,

−==

=

==

=

−==

=

Page 87: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

87

CAPíTULO V

Planteamiento de la confiabilidad en función del tiempo

Probabilidad de falla estructural de un sistema de tres

grados de libertad.

Page 88: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

88

5. Planteamiento de la confiabilidad en función del tiempo

En este trabajo se presenta el estudio de la confiabilidad en función del tiempo, llamado

modelo “estocástico” en el cual se obtendrá la probabilidad de falla estructural y las

condiciones de serviciabilidad y seguridad de las estructuras, en términos del

reglamento de construcciones del Departamento del Distrito Federal (RCDF) [ 12 ].

Además, este estudio dará importancia al comportamiento estructural, en sus variables

como la resistencia (Ri), que estará determinada en términos de la capacidad de

deformación del material o algún tipo permisible de esfuerzos. Posteriormente, se

estudia la respuesta de la fatiga, en función de la confiabilidad y entre otros problemas

estudiaremos los de dinámica estructural.

Sí X., está en función del tiempo. Esto podrá ser, debido a los cambios de carga con el

tiempo (quasi-static), y por las propiedades del material, que cambian con el tiempo,

entre otros como un resultado directo de la aplicación de carga o por algún deterioro del

mecanismo la fatiga y corrosión son ejemplos típicos del deterioro de la resistencia(R).

El problema de confiabilidad elemental en términos estocásticos, es decir con el tiempo

variante y con una resistencia R(t) y los efectos de carga S(t), en un tiempo t dado.

Pf(t)=P[R(t)≤S(t)]………………………………………………………(5.1)

Si la probabilidad instantánea de una densidad de funciones PR(t) y fS(t) de R y S respectivamente son conocidos en el instante de la probabilidad de falla Pf(t), se puede

obtener aplicando la integral por convolución.

Y estrictamente la ecuación 5.1., se puede aplicar si el efecto de la carga S se

incrementa en intervalos del tiempo t, si el efecto de la carga se repite en este instante.

La falla no puede ocurrir precisamente en el mismo instante del tiempo t (asumiendo que

la trayectoria en un tiempo pequeño “t” el miembro fallo)

Page 89: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

89

Esto en general genera un cambio en la carga o efecto de la carga, que es requerida;

esto es considerable si se tiene lo siguiente:

• Cambios de carga discreto

• Para cargas que varían en un tiempo continuo pequeños δt arbitrarios,

en un tiempo t, es considerado un instante de tiempo t.

Con esta interpretación estará dado como:

[ ]

[ ] )(dxx(t)fP0x(t)G

x(t)f t∫=≤

……………………………………………………………(5.2)

5.1. Formulación de la Confiabilidad En este trabajo se presenta un estudio para estimar la confiabilidad en Modelos de

Edificios de Cortante de tres niveles que presentan torsión, cuando son sometidas a

solicitaciones sísmicas, y cuyo objetivo es evaluar y analizar la respuesta estructural en

términos de distribución acumulativa, densidad y tasa de falla del parámetro

determinado como demanda de ductilidad estructural, representado como un sistema

coherente en términos de trayectorias y cortaduras mínimas, así, como la obtención de

la probabilidad de falla del sistema aplicando el algoritmo de optimización de Rackwitz y

Fiessler, del cual se elaboró un programa. Con base a lo anterior se toma en cuenta las

incertidumbres de las propiedades mecánicas y geométricas de la estructura, con un

comportamiento lineal sujeto a procesos no estacionarios que corresponden a

acelerogramas sintéticos, para un sitio, donde se localiza el movimiento, con

características de la componente sísmica EW ubicado en el sitio SCT, durante el sismo

del 19 de Septiembre de 1985.

Además los criterios y algoritmos para evaluar y la selección de los coeficientes de

diseño sísmico se determinan mediante el uso y presentación de valores óptimos, dados

por las propiedades estructurales y sísmicas en las que se incluyen las incertidumbres

mecánicas y geométricas de las mismas. Las cuales han sido estudiadas y evaluadas

Page 90: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

90

durante un largo tiempo (Esteva 1967, 1968, 1969, 1976; Rosenbluet 1976). Estos

algoritmos han sido desarrollados para los casos en los cuales la ocurrencia de los

terremotos de diferentes intensidades en un sitio dado, es modelada, o por un proceso

de Poisson o por un proceso de renovación.

Así, evaluamos los códigos de diseño sísmico por torsión en México, y con criterios de

confiabilidad estructural, de estos modelos estructurales sometidos a acciones sísmicas

con estas características, y que proporcionan aleatoriedad en las excentricidades

estructurales y diseño, las cuales permiten, idealizar y generar modelos de edificios de

cortante con excentricidad en masas y rigideces aleatorias, que contienen propiedades

de incertidumbre en su probabilidad de falla. Con una metodología de análisis dinámico

y comparando los desplazamientos entre el diseño analítico y el modelo matemático de

diseño por torsión.

5.2 Idealización del Modelo Estructural

En está metodología se idealiza, discretiza y resuelve numéricamente un modelo

matemático de una estructura de cortante de tres niveles con excentricidad en rigideces

y masas, que proporcionan aleatoriedad e incertidumbre en la posición de la fuerza

resultante de diseño por torsión, compuesta en la relación de planta por seis elementos

ortogonales, es decir tres en la dirección “x” y tres en la dirección “y”, para someter este

modelo estructural al sismo real y artificial con las características de la componente EW

del sitio SCT registrado el 19 de Septiembre de 1985, y evaluar su comportamiento y

respuesta estructural, con base a los criterios de diseño sísmico por torsión, en el que se

asigna al menos el 70% de resistencia a uno de los elementos resistentes que soportan

una carga uniforme a través de un diafragma rígido. Y a su vez se compara está

respuesta con los resultados obtenidos por el método analítico de análisis dinámico.

Page 91: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

91

5.3. Método de Análisis Para obtener la respuesta lineal de los modelos se utilizó el programa TORSION [9],

para análisis dinámico modal con excentricidades estructurales que generan torsión

sísmica, donde la estructura se idealiza como un conjunto de marcos planos unidos por

diafragmas rígidos de piso.

5.4. Evaluación de Confiabilidad Una vez definidos los estados límite, las variables consideradas como aleatorias, sus

leyes y parámetros estimados, podemos proceder a la evaluación de la confiabilidad, o

de su complemento, la probabilidad de falla, para un escenario elegido. Para los análisis

de confiabilidad de estructuras son necesarias algunas hipótesis [21]:

1. El estado de la estructura está definido en un espacio resultado de un vector de

variables aleatorias;

2. La estructura puede estar en uno de dos estados posibles es decir, estado de

falla o estado de seguridad

La frontera entre ambos estados se conoce como superficie de estado límite. El estado

de seguridad es el estado de una estructura que es capaz de satisfacer todas las

necesidades (mecánicas y de servicio) para las que fue diseñada.

Si Z se define como la diferencia entre la resistencia R y la solicitación S, entonces G(Z)

es la función de estado límite elemental, definida como:

G(Z)= R-S… ……………………………………………………….(5.4)

Donde R es la variable que representa los recursos del sistema y S es la variable que

define la demanda (como un esfuerzo o una deformación). G(Z)>0 define el estado de

seguridad y G(Z)≤0 definen el estado de falla. La probabilidad de falla es entonces:

Page 92: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

92

( )( ) dzZfP 0ZG Zf ∫= ≤ ………………………………………..……(5.4.1)

Donde ( )zzf es la función de densidad de probabilidades de Z. Una dificultad importante

en el análisis de confiabilidad resulta del hecho de que los parámetros estadísticos de la

solicitación (y algunas veces los de resistencia no están dados directamente porque los

análisis estadísticos fueron hechos para las variables de base de la estructura (cargas,

propiedades de los materiales, geometría, etc.).

Se suponen conocidas al menos sus funciones de distribución de probabilidades

marginales. La variable Z y el vector iX están ligados por una transformación llamada

transformación mecánica:

Z=Z( iX )……………………………………………(5.4.2)

Se supone como primera aproximación que esta transformación es conocida, inclusive si

para la mayoría de las estructuras, la transformación se conoce sólo con la ayuda de un

algoritmo, por ejemplo un programa de elementos finitos.

Donde, para el estado límite )(ΧG ik , donde k=1,…,m, definido en función de variables de

base iΧ con m n,1,...,i = es el número de estados límite y “n” el numero de variables

aleatorias de base, la probabilidad de falla está definida como:

( )( ) ( ) n1iiDikf dx,...,dxxxf0ΧGProbPf∫=≤= …….......... (5.4.3)

donde ( )ix xfi

representa la densidad de probabilidades conjunta del vector iΧ y fD el

dominio de falla. La confiabilidad es el complemento de la probabilidad de falla, es decir:

fr P1P −= …………...………………………......…. (5.4.4)

Con base a lo anterior calculamos el índice de confiabilidad, y en una aproximación de la

probabilidad de falla, el propuesto por Hasofer y Lind expresado por β. El índice de

Hasofer y Lind es invariante y simple de obtener, al menos para muchos casos de

Page 93: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

93

interés práctico. Sus autores proponen el no trabajar en el espacio de variables físicos

sino de efectuar un cambio de variables y colocarse así, en el espacio de variables

normales estándar (media nula y desviación estándar unitaria) estadísticamente

independientes. La transformación de las variables Χ en variables normales estándar

es:

)(Χ= TU …………......…………………..……...… (5.4.5)

A esta transformación se le llama transformación probabilista. Esta existe siempre para

variables continuas. Se tiene así, para la función de estado límite:

0UGUG =≡Χ )())(( ………………….….……......….(5.4.6)

Y para la probabilidad de falla:

n10UGf duduUP ,...,)()(∫ φ= ≤ …………………………..…(5.4.7)

Donde, )(uφ es la función de densidad de probabilidades de la función normal de “n”

dimensiones.

El índice de confiabilidad β se define como la distancia más corta del origen a la función

límite G(U)=0 en el espacio U. Esta distancia, proporciona un hiperplano tangente a la

función límite en el punto *P , llamado punto de falla más probable, no punto de diseño.

Este método es conocido como Método de Confiabilidad de Primer Orden, FORM (First

Order Reliability Method). Por lo que la probabilidad de falla se aproxima como:

( )β−φ≈fP ……………………………………....…….(5.4.8)

Donde ( )φ es la función normal estándar. Esta aproximación es la de primer orden. El

grado de aproximación depende de la no linealidad de la función de estado límite. El

resultado sólo es exacto cuando la función límite es lineal y las variables de base

normales. La solución por el método FORM se reduce a solucionar un problema de

Page 94: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

94

optimización, en donde se busca minimizar β , con la condición de que G(U)=0, la cual

se encuentra mediante un algoritmo de optimización.

5.5. Algoritmo de optimización Existen diferentes métodos de optimización que están disponibles para determinar la

distancia mínima y el punto *P , si disponemos de la función límite y de su gradiente para

cada paso de iteración del proceso. El algoritmo de optimización, para resolver este

problema es el de Rackwitz y Fiessler. Y está dado por la fórmula iterativa siguiente:

( ) ( ) ( )( )( )

( )( )jij

jj

ij

i1j

i αuG

uG.αuu ⎥⎦

⎤⎢⎣

∇−=+ ………………………….…(5.5.1)

en donde ( ) ( )( )

( )( ) ,uGuG,...,

uGuGuG

t

n1 ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂

∂∂

=∇ es el vector gradiente de la función de estado límite,

( )( )( )

( ) ⎥⎥

⎢⎢

∇=α

j

jij

iuGuG ………………………………….…(5.5.2)

y ( )jiα es el vector de cosenos directores de la normal a la función límite orientada hacia

el origen, y ( )( )juG es el valor de la función de estado límite evaluada en el punto ( )ju . El

índice (j) indica el paso de iteración. Esta expresión nos conduce generalmente al punto *P y la distancia mínima se define como: ( ) 21 /**tuuβ = , *u las coordenadas del punto *P .

Cada iteración necesita de la evaluación de la función límite G(U) y de su gradiente

( )uG∇ .

Page 95: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

95

CAPíTULO VI

Análisis de resultados

Respuesta de los Modelos de Estructuras de Cortante

Page 96: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

96

6. Análisis de resultados y gráficas

Los resultados que se obtuvieron en estos modelos de estructuras de cortante, se

presentan como en todo experimento de simulación donde existe la necesidad de

generar valores de las variables aleatorias mediante una distribución de probabilidad

que representan los factores y características de los edificios, como de la acción

sísmica, y así obtener de estos modelos un comportamiento más aproximado a su

idealización estructural a través de su respuesta, utilizando índices de confiabilidad que

garanticen la seguridad estructural en este tipo de edificios y estructuras. Por lo tanto,

estos resultados se presentan en las figuras 1-7., que describen la deformación de una

estructura de cortante simétrica de uno y tres niveles sometida a un sismo como el que

ocurrió el la Ciudad de México el 19 de Septiembre de 1985 y en donde se tomo y

evaluó como medida estructural el desplazamiento máximo de entrepisos, mediante el

análisis del Programa llamado TORSION, el cual se concluyo y valido en el desarrollo de

este trabajo, así mismo se obtuvo de este programa los desplazamientos estructurales

con una aproximación similar, comparado con el Método Experimental en el que se

simula un sistema de un grado de libertad, dando como resultado un desplazamiento

máximo de 2.5cm, y en el programa TORSIÓN se obtuvo un desplazamiento de

2.488480 cm. Con esto también se puede demostrar en forma analítica de la siguiente

forma:

( )

cm 2.4828

segkg39.4786

segcm 98.1

d :será entodesplazami ely

segkg 39.4786

seg 1.0kg) (1.0

TmK entonces

kg. 1.0

segcm 98.1

segcm-kg 98.07

gwm la obtiene se Así,

segcm 98.1 g 0.1 como así ,

segcm-kg 98.07kgf 0.1 tomamos sí

segcm-kg 7 980.kgf 1 bién ó N 9.807 kgf 1

2

2

2

2

2

2

2

2

22

==

===

===

→→

→→

2

2

44 ππ

Page 97: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

97

Finalmente se llevo este problema a una estructura de tres niveles y para validar este

programa se tomaron los datos de un ejemplo propuesto de una estructura de tres

niveles resuelto por el Método Analítico de Análisis Modal Espectral (Ej. 3.3.4., pag. 111

ref.54]., y sus resultados son similares a los que se obtuvieron con el Programa Torsión.

Y se presentan en la tabla 2. ESTRUTURAS

Sistema de un

Grado de Libertad

Sistema de tres Grados de Libertad

Caso 1 experimental y

numerico Caso 2

Métodos de Análisis

K M x k M x

Método Experimental 0.981 0.1 2.3

200 0.407750 0.2471

200 0.407750 2.2583

Programa Torsión 0.981 0.1 2.3

80 0.203875 3.3648

200 0.407750 1.0700

200 0.407750 1.8700 Método de Análisis

Modal Espectral (Llibro)

80 0.203875 2.7100

TABLA 2

Con base a lo anterior, también tenemos en las fig.1, 2 y 3 la descripción de las

respuestas de una estructura de cortante de un nivel para periodos de 0.5, 1.0 y 2.0

seg., en donde se observa que la función máxima de densidad y distribución

probabilística, se presenta para el periodo de 0.5 seg., siendo esta la máxima

deformación que se obtuvo tanto experimentalmente, como analíticamente y empleando

el programa TORSIÓN. Así, podemos tener que la relación de estado límite de una

estructura estará dada y conviene establecer en los reglamentos de diseño la

disposición de que se verifique, en ambas direcciones ortogonales, 3.2≤min

maxx

x .,

donde las 2x” son respectivamente los desplazamientos relativos entre pisos

consecutivos, máximo y mínimo de los elementos resistentes en la dirección que se

analiza.

Page 98: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

98

Fig.4. Funciones de Cortadura mínima

Page 99: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

99

Fig.8. Función de tasa de falla

Page 100: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

100

6.1. Descripción gráfica del registro símico

La excitación sísmica, que se utilizo, para obtener la respuesta estructural correspondió

a la componente horizontal del sismo SCT de 1985, como se muestra en la fig.9., así

como el tipo de instrumento de medida de estos sismos fig.10 y 11.

fig.9. Registro Sísmico de la componente N-S, de 1985

Page 101: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

101

FIG.10.Principio básico de operación y registro de un sismógrafo que mide el desplazamiento vertical del

terreno.

Fig.11.Censor triaxial de banda ancha

Page 102: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

102

Con base a lo anterior se realizo un estudio adicional del comportamiento de una viga

con sección rectangular de la que se cálculo su probabilidad de falla, con un porcentaje

de 2kg/cm 200f´c = , un 22 kg/cm 000 2´000 E un y kg/cm 200,fy == 4 , cuyas trayectorias

generaron la envolvente de la fig.12., en la que se observa que el criterio analítico, es

más racional comparado con el criterio del A.C.I. Además se cálculo su probabilidad de

falla con estas propiedades y características, resultando igual al 8%. Y a su vez

consideramos otro estudio, para conocer un poco más sobre las normas y criterios de

diseño, realizando un estudio analítico de segundo orden comparado nuevamente con el

criterio del A.C.I., a una estructura de tres niveles y los resultados son los que se

obtuvieron mostraron que un estudio analítico nos lleva a un diseño más racional

comparado con la norma de diseño en un porcentaje del 2.5% (tabla 2). Y en la fig.13.,

se tiene la descripción del movimiento de las fuerzas resultantes de cinco códigos de

diseño por torsión.

fig. 12. Curva real del concreto (trayectorias)

Page 103: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

103

fig.13. Fuerzas resultantes de códigos por torsión

Por lo anterior sabemos que de una población de estructuras su probabilidad de falla

será del 12.93%, esto de acuerdo a la fig.14

fig.14.Función de falla de Rackwitz y Fiessler

Page 104: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

104

7. Conclusiones

Se formuló un modelo para el análisis de confiabilidad de estructuras con un

comportamiento estructural por torsión. La confiabilidad se evaluó en términos de

índices de confiabilidad para intensidades dadas, función de distribución acumulativa,

función de densidad y función de tasa de falla correlacionada por un sistema coherente

en términos de trayectorias y cortaduras mínimas. Así, medimos la probabilidad de falla

referida a un margen de seguridad que relaciona el desplazamiento del extremo superior

de la estructura con respecto a su base.

De los casos analizados se concluyo lo siguiente:

1. Para el modelo estructural, en su probabilidad de falla se encontró que tiene un

índice de confiabilidad de 1.13=β , es decir tiene una probabilidad de falla del

12.93%, lo que demuestra, con respecto a una de las filosofías de diseño, que

esta debe estar dentro del margen de seguridad, donde al menos una estructura

falle en una población de 100 estructuras, esto quiere decir que durante un sismo

con las características que se utilizo en ente estudio, implicaría en términos

probabilísticos una probabilidad de falla del 10%. Entonces, se observa que en la

realidad las estructuras experimentan un índice confiabilidad mucho mayor, de lo

marca un criterio de diseño.

2. Se observa también que de acuerdo a estudios realizados con estructuras reales

y aplicando métodos probabilísticos, se encontró que el índice de confiabilidad

para estructuras reales en sitio no agrietadas es menor a 2.0=β y comparado

con este trabajo estamos dentro de este rango, lo cual indica que la metodología

de aproximación es aceptable.

3. Otra observación que podemos determinar es que un criterio de diseño no es

precisamente el más optimo para la seguridad estructural, dado que los

coeficientes de diseño y los procesos de construcción, que deberían garantizar la

confiabilidad estructural, para que dicha estructura no falle ante este tipo de

Page 105: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

105

eventos, a veces nos llevan a estructuras sobré diseñadas y costosas. Además

con un mayor índice de probabilidad de falla.

Con base a lo anterior se demuestra que el algoritmo que seguimos en este trabajo nos

genera una base de datos bastante confiable para simular estructuras con diversos

parámetros estructurales que contiene incertidumbre en sus propiedades tanto

estructurales como geométricas.

Trabajo futuro

Se propone instrumentar dos o tres edificios de la Unidad Zacatenco y registrar las

deformaciones experimentales durante un sismo, con objeto de hacer la validación

específica del caso.

Page 106: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

106

Tablas

Factores de amplificación dinámica Diferencia

Método Analítico Análisis de segundo orden

Código A.C.I. %

1.0815591 1.111100 0.0295409 (3%) Planta Baja

1.0580645 1.081080 0.0230155 (2%) Primer Piso

1.0226140 1.052633 0.0300190 (3%) Segundo Piso

Tabla. 3. Resultados del Análisis por el Código A.C.I., y un Método Analítico, para

un comportamiento dinámico

Page 107: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

107

Apéndice A

Programa I. Para el Análisis Modal Espectral (TORSION). Instituto de Ingeniería , UNAM. program torsion;

const

NNmax = 10;

NMmax = 10;

var

str1, str2, str3 : string;

Ar1, Ar2, fp : text;

Xcm, Ycm : array[1..NNmax] of real;

Mxy, m6AT2 : array[1..3*NNmax] of real;

rig, res, yield, YT, YC, rr : array[1..NMmax, 1..NNmax] of real;

B : array[1..NMmax, 1..NNmax] of integer;

DM, Dmax, Tmax : array[1..NMmax, 1..NNmax] of real;

XY : array[1..NMmax, 1..3] of real;

MT, NNMT : array[1..NMmax] of integer;

D, V, A, F : array[1..3*NNmax] of real;

KD, KR : array[0..NNmax, 1..2] of real;

FF : array[0..NNmax] of real;

KK : array[1..3*NNmax, 1..3*NNmax] of real;

escala, ang, coseno, seno, AT, ATo, ATo2, T, C6AT, C6AT2 : real;

ss, cc, sc, s2, c2, Dinf, Dsup, DD, VV : real;

iax, iay, ia, iv, id : real;

Xo, Yo : array[0..2000] of real;

SK, R, h, mm, Mr2 : real;

NNE, NM, NMT, i, j, k, k1, l, m, n, c, NN, NPRA, NP, kxy : integer;

procedure DATOS1;

begin

mm:=0.01; kxy:=1;

write('Marcos ortogonales? s¡=0 '); readln(kxy);

write('Archivo de datos ? '); readln(str1);

write('Archivo de salida ? '); readln(str2);

Page 108: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

108

write('Nom. del acelerograma ? '); readln(str3);

Assign( Ar1 , str1 ); Reset(Ar1);

Assign( Ar2 , str2 ); Rewrite(Ar2);

Assign( fp , str3 ); Reset(fp);

write('Num. de puntos en el registro '); readln(NPRA);

write('Fac. de escala aceleraciones '); readln(escala);

write('Angulo sismo ');readln(ang);

write('paso de integraci¢n ATo ');readln(ATo);

ang:=3.1416*ang/180;

coseno:=cos(ang); seno:=sin(ang);

for i:=0 to NPRA-1 do begin

read(fp, h);

Xo[i]:=escala*h*coseno;

Yo[i]:=escala*h*seno;

end;

AT:=1.38*ATo; ATo2:=ATo * ATo;

C6AT:=6/AT; C6AT2:=C6AT/AT;

close(fp);

end;

procedure DATOS2;

begin

readln(Ar1, str1); writeln(Ar2, str1);

if str1 = 'FIN' then begin

close(Ar1); close(Ar2);

exit;

end;

readln(Ar1, NNE, NM, NMT);

for i:=1 to NNE do begin

readln(Ar1, Mxy[i], Mr2, Xcm[i], Ycm[i]);

j:=i+NNE;

Mxy[j]:=Mxy[i]; Mxy[j+NNE]:=Mr2;

end;

for m:=1 to NMT do begin

readln(Ar1, NNMT[m]);

for i:=1 to NNMT[m] do begin

readln(Ar1, rig[m,i], res[m,i]);

yield[m,i]:=2*res[m,i]/rig[m,i];

end;

Page 109: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

109

end;

for m:=1 to NM do

readln(Ar1, MT[m], XY[m,1], XY[m,2], XY[m,3]);

(*** fin de lectura ***)

for m:=1 to NM do begin

l:=MT[m];

ang:=XY[m,1]; ang:=3.1416*ang/180;

cc:=cos(ang); ss:=sin(ang);

for i:=1 to NNMT[m] do begin

rr[m,i]:= (XY[m,2] - Xcm[i])*ss - (XY[m,3] - Ycm[i])*cc;

YT[m,i]:= yield[l,i] / 2;

YC[m,i]:=-yield[l,i] / 2;

B[m,i]:=0;

end;

XY[m,1]:=cc; XY[m,2]:=ss;

end;

(*** inicia ceros desplazam. y velocidad ***)

for i:=1 to 3*NNE do begin

D[i]:=0; V[i]:=0; m6AT2[i]:=6*Mxy[i]/(AT*AT);

end;

(*** inicia ceros Dmax y Tmax ***)

for i:=1 to NNE do

for m:=1 to NM do begin

Dmax[m,i]:=0; Tmax[m,i]:=0;

end;

end;

procedure RIGIDEZ;

begin

(*** ceros matriz de rigidez y vector de fzas. ***)

for i:=1 to 3*NNE do begin

F[i]:=0;

for j:=i to 3*nne do KK[i,j]:=0;

end;

(*** calcula para cada marco su contribucion a ***)

(*** la matriz de rigidez y al vector de fzas. ***)

for m:=1 to NM do begin

Page 110: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

110

l:=MT[m]; NN:=NNMT[m];

cc:=XY[m,1]; ss:=XY[m,2];

c2:=cc*cc; s2:=ss*ss; sc:=ss*cc; Dinf:=0;

for i:=1 to NN do begin

Dsup := D[i]*cc + D[i+NN]*ss + rr[m,i]*D[i+2*NN];

VV := V[i]*cc + V[i+NN]*ss + rr[m,i]*V[i+2*NN];

DD:=Dsup - Dinf; Dinf:=Dsup;

DM[m,i]:=DD;

(*** revisa el estado de fluencia de ***)

(*** los elementos resistentes ***)

case B[m,i] of

0 : begin

if DD > YT[m,i] then B[m,i]:= 1;

if DD < YC[m,i] then B[m,i]:=-1;

end;

1 : if VV < 0 then begin

YT[m,i]:=DD;

YC[m,i]:=DD - yield[l,i];

B[m,i]:= 0;

end;

-1 : if VV > 0 then begin

YT[m,i]:=DD + yield[l,i];

YC[m,i]:=DD;

B[m,i]:= 0;

end;

end;

(*** ensambla matriz rigz. y vector de fzas. ***)

SK:=rig[l,i]; R:=res[l,i];

case B[m,i] of

0 : FF[i]:=R - (YT[m,i] - DD)*SK;

1 : begin

SK:=mm*SK;

FF[i]:= R + (DD - YT[m,i])*SK;

end;

-1 : begin

SK:=mm*SK;

FF[i]:=-R - (DD - YC[m,i])*SK;

end;

Page 111: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

111

end;

KD[i-1,1]:=KD[i-1,1] + SK; KD[i-1,2]:=-SK;

KD[i,1]:=SK;

end;

(*** ensambla ***)

for i:=1 to NN do begin

KR[i,1]:=KD[i,1]*rr[m,i]; KR[i,2]:=KD[i,2]*rr[m,i];

end;

for n:=1 to NN do begin

j:=n+NN; k:=j+NN;

KK[n,n]:=KK[n,n] + KD[n,1]*c2;

KK[n,j]:=KK[n,j] + KD[n,1]*sc;

KK[n,k]:=KK[n,k] + KR[n,1]*cc;

F[n]:=F[n] + FF[n]*cc;

KK[j,j]:=KK[j,j] + KD[n,1]*s2;

KK[j,k]:=KK[j,k] + KR[n,1]*ss;

F[j]:=F[j] + FF[n]*ss;

KK[k,k]:=KK[k,k] + KR[n,1]*rr[m,n];

F[k]:=F[k] + FF[n]*rr[m,n];

end;

for n:=1 to NN-1 do begin

i:=n+1; j:=i+NN; k:=j+NN;

KK[n,i]:=KK[n,i] + KD[n,2]*c2;

KK[n,j]:=KK[n,j] + KD[n,2]*sc;

KK[n,k]:=KK[n,k] + KR[n,2]*cc;

i:=n+NN;

KK[i,j]:=KK[i,j] + KD[n,2]*s2;

KK[i,k]:=KK[i,k] + KR[n,2]*ss;

i:=n+2*NN;

KK[i,k]:=KK[i,k] + KR[n,2]*rr[m,n];

i:=n+1; j:=n+NN; k:=j+NN;

KK[i,j]:=KK[i,j] + KD[n,2]*sc;

KK[i,k]:=KK[i,k] + KR[n,2]*cc;

i:=n+NN+1;

KK[i,k]:=KK[i,k] + KR[n,2]*ss;

end;

end;

end; (* RIGIDEZ *)

Page 112: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

112

procedure ESCRIBE;

begin

writeln(Ar2, T:13:2);

for i:=1 to NNE do begin

for m:=1 to NM do begin

if abs(DM[m,i]) > Dmax[m,i] then begin

Dmax[m,i]:=abs(DM[m,i]);

Tmax[m,i]:=T;

end;

write(Ar2, DM[m,i]:8:3, ' (', B[m,i]:2, ') ' );

end;

writeln(Ar2);

end;

end;

procedure MAXIMOS;

begin

writeln(Ar2, ' *** Desplazamientos m ximos ***');

for m:=1 to NM do write(Ar2, ' D T ');

writeln(Ar2);

for i:=1 to NNE do begin

for m:=1 to NM do begin

DD := Dmax[m,i] * 2/yield[m,i];

write(Ar2, DD:6:2, Tmax[m,i]:7:2, ' ');

end;

writeln(Ar2);

end;

writeln(Ar2);

end;

procedure rul;

begin

for i:=1 to NNE do begin

for j:=1 to 3*NNE do write(Ar2, KK[i,j]:6:1); writeln(Ar2, F[i]:6:3);

end; writeln(Ar2);

for i:=NNE+1 to 2*NNE do begin

for j:=1 to 3*NNE do write(Ar2, KK[i,j]:6:1); writeln(Ar2, F[i]:6:3);

end; writeln(Ar2);

Page 113: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

113

for i:=2*NNE+1 to 3*NNE do begin

for j:=1 to 3*NNE do write(Ar2, KK[i,j]:6:1); writeln(Ar2, F[i]:6:3);

end; writeln(Ar2);

end;

procedure TRIAN;

begin

c:=1;

for k:=1 to NNE do begin

if k <> NNE then begin

i:=k+1; h:=KK[k,i]/KK[k,k];

KK[i,i]:=KK[i,i] - KK[k,i]*h; KK[k,i]:=h;

if kxy <> 0 then

for j:=NNE+1 to NNE+k+c do KK[i,j]:=KK[i,j] - KK[k,j]*h;

for j:=2*NNE+1 to 2*NNE+k+c do KK[i,j]:=KK[i,j] - KK[k,j]*h;

F[i]:=F[i] - F[k]*h;

end

else c:=0;

if kxy <> 0 then

for i:=NNE+1 to NNE+k+c do begin

h:=KK[k,i]/KK[k,k];

for j:=i to NNE+k+c do KK[i,j]:=KK[i,j] - KK[k,j]*h;

for j:=2*NNE+1 to 2*NNE+k+c do KK[i,j]:=KK[i,j] - KK[k,j]*h;

F[i]:=F[i] - F[k]*h;

KK[k,i]:=h;

end;

for i:=2*NNE+1 to 2*NNE+k+c do begin

h:=KK[k,i]/KK[k,k];

for j:=i to 2*NNE+k+c do KK[i,j]:=KK[i,j] - KK[k,j]*h;

F[i]:=F[i] - F[k]*h;

KK[k,i]:=h;

end;

F[k]:=F[k]/KK[k,k];

end;

(***************)

c:=1;

for k1:=1 to NNE do begin

k:=NNE + k1;

if k <> 2*NNE then begin

Page 114: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

114

if kxy <> 0 then

for i:=k+1 to 2*NNE do begin

h:=KK[k,i]/KK[k,k];

for j:=i to 3*NNE do KK[i,j]:=KK[i,j] - KK[k,j]*h;

F[i]:=F[i] - F[k]*h;

KK[k,i]:=h;

end

else begin

i:=k+1; h:=KK[k,i]/KK[k,k];

KK[i,i]:=KK[i,i] - KK[k,i]*h; KK[k,i]:=h;

for j:=2*NNE+1 to 2*NNE+k1+c do KK[i,j]:=KK[i,j] - KK[k,j]*h;

F[i]:=F[i] - F[k]*h;

end;

end

else c:=0;

if kxy <> 0 then

for i:=2*nne+1 to 3*NNE do begin

h:=KK[k,i]/KK[k,k];

for j:=2*nne+1 to 3*NNE do KK[i,j]:=KK[i,j] - KK[k,j]*h;

F[i]:=F[i] - F[k]*h;

KK[k,i]:=h;

end

else

for i:=2*nne+1 to 2*nne+k1+c do begin

h:=KK[k,i]/KK[k,k];

for j:=i to 2*nne+k1+c do KK[i,j]:=KK[i,j] - KK[k,j]*h;

F[i]:=F[i] - F[k]*h;

KK[k,i]:=h;

end;

F[k]:=F[k]/KK[k,k];

end;

(***************)

for k:=2*NNE+1 to 3*NNE do begin

for i:=k+1 to 3*NNE do begin

h:=KK[k,i]/KK[k,k];

for j:=i to 3*NNE do KK[i,j]:=KK[i,j] - KK[k,j]*h;

F[i]:=F[i] - F[k]*h;

KK[k,i]:=h;

end;

Page 115: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

115

F[k]:=F[k]/KK[k,k];

end;

end; (* TRIAN *)

procedure SOL;

begin

for i:=3*NNE-1 downto 2*NNE do

for j:=i+1 to 3*NNE do F[i]:=F[i] - KK[i,j]*F[j];

(***********)

if Kxy <> 0 then

for i:=2*NNE-1 downto NNE+1 do

for j:=i+1 to 3*NNE do F[i]:=F[i] - KK[i,j]*F[j]

else

for i:=2*NNE-1 downto NNE+1 do begin

for j:=2*NNE+1 to i+NNE+1 do F[i]:=F[i] - KK[i,j]*F[j];

F[i]:=F[i] - KK[i,i+1]*F[i+1];

end;

(***********)

i:=NNE;

if kxy <> 0 then

for j:=NNE+1 to 3*NNE do F[i]:=F[i] - KK[i,j]*F[j]

else

for j:=2*NNE+1 to 3*NNE do F[i]:=F[i] - KK[i,j]*F[j];

for i:=NNE-1 downto 1 do

for j:=2*NNE+1 to i+2*NNE+1 do F[i]:=F[i] - KK[i,j]*F[j];

if kxy <> 0 then for i:=NNE-1 downto 1 do

for j:=NNE+1 to i+NNE+1 do F[i]:=F[i] - KK[i,j]*F[j];

for i:=NNE-1 downto 1 do F[i]:=F[i] - KK[i,i+1]*F[i+1];

end;

(**** MAIN PROGRAM ****)

begin

DATOS1;

repeat

DATOS2; T:=0;

if str1 = 'FIN' then exit;

for NP:=0 to NPRA-1 do begin (* secuencia iterativa *)

RIGIDEZ;

ESCRIBE;

Page 116: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

116

iax:=Xo[NP+1] - Xo[NP]; iay:=Yo[NP+1] - Yo[NP];

for i:=1 to NNE do begin

j:=i+NNE; k:=i+2*NNE;

A[i]:= -Xo[NP] - F[i] / Mxy[i];

A[j]:= -Yo[NP] - F[j] / Mxy[j];

A[k]:= - F[k] / Mxy[k];

F[i]:= Mxy[i] * (-iax + C6AT*V[i] + 3*A[i]);

F[j]:= Mxy[j] * (-iay + C6AT*V[j] + 3*A[j]);

F[k]:= Mxy[k] * ( C6AT*V[k] + 3*A[k]);

end;

for i:=1 to 3*NNE do KK[i,i]:=KK[i,i] + m6AT2[i];

TRIAN; SOL;

for i:=1 to 3*NNE do begin

ia:= ( C6AT2*F[i] - C6AT*V[i] - 3*A[i] ) / 1.38;

iv:=ATo*(A[i] + ia/2);

id:=ATo* V[i] + ATo2*(A[i]/2 + ia/6);

D[i]:=D[i] + id;

V[i]:=V[i] + iv;

end;

T:=T + ATo;

end;

MAXIMOS;

until 1=2;

end.

Page 117: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

117

Apéndice B

Programa II. Para Análisis de Confiabilidad Método de Rackwitz y Fiessler

SQRT(SUM((Desp1-media)**2)/COUNT(Desp1)-1))

%function [ ]=cand( )

grad;r=0;

u1=0;u2=0;u3=0;

x1=0.3398;x2=1.83109;x3=41.44;

sigma1=0.08596;sigma2=0.528866;sigma3=10.4734;

m1=x1;m2=x2;m3=x3;

un=zeros(3,1);

for n=1:1000

eval(['Gu=x3*x2-98.1*x1;'])

for i =1:2

eval(['X',num2str(i),'=u',num2str(i),'*sigma',num2str(i),'+m',num2str(i),';'])%

end

load('dif');

G1=eval(G1);

G2=eval(G2);

G3=eval(G3);

for i =1:3

eval(['Ga',num2str(i),'=(G',num2str(i),')^2;'])% sym(''x',num2str(i),''')'])

end

Gf=sqrt(Ga1+Ga2+Ga3);

for i =1:3

eval(['alfa',num2str(i),'=G',num2str(i),'/Gf;'])% sym(''x',num2str(i),''')'])

eval(['alfa(i,1)=alfa',num2str(i),';'])

Page 118: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

118

end

alfa;

%*************inicio de programa******************************************

eval(['beta=un''*alfa;'])

eval(['gama=((beta-(Gu/Gf))*alfa);'])

eval(['gamasqrt=gama''*gama;'])

eval(['gamarootsqrt=sqrt(gamasqrt);'])

%vpa=(gamarootsqrt)

u1=gama(1,1);u2=gama(2,1);u3=gama(3,1);

un=[u1;u2;u3];

for i =1:3

eval(['mnew',num2str(i),'=u',num2str(i),'*sigma',num2str(i),'+m',num2str(i),';'])%

eval(['m',num2str(i),'=mnew',num2str(i),';'])%

end

x1=m1;x2=m2;x3=m3;

k(n,1)=gamarootsqrt;

end

r=1:1000;

k

plot(r,k)

Page 119: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

119

Apéndice C

Programa III. (Para graficar salidas de los registros Sísmicos)

PROGRAM ORDEN

IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z)

PARAMETER (N=900)

DIMENSION T(N),AD(N),F(N)

OPEN (unit=1,FILE='meli50.sal',STATUS='OLD')

OPEN (unit=2,FILE='meli50.out',STATUS='NEW')

x=0.0

READ(1,5)F(I)

5 FORMAT(67x,3x,f10.8)

DO 10 I=1,N

READ(1,3)F(I)

3 FORMAT(67x,f10.8)

AD(I)=F(I)

c a5=T(I)

c a5=T(I)*31.62

WRITE(2,20)X,F(I)

X=X+0.002

10 CONTINUE

20 FORMAT(F6.4,3x,f10.8)

close(1)

close(2)

STOP

END

Page 120: INSTITITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

120

Índice de Anexos de Análisis de resultados

No. Figura pag.

1.- Función de distribución para T=0.5seg

2.- Función de distribución para T=1.0seg

3.- Función de distribución para T=2.0seg

4.- Función cortadura mínima

5.- Distribución de probabilidad

6.- Distribución de probabilidad para T=0.5, 1.0 y 2.0 seg

7.- Distribución de periodos para T=0.5, 1.0 y 2.0 seg.

8.- Función de tasa de falla

9.- Registro sísmico de la componente N-S de 1985

10.-Principio básico de operación y registro de un sismógrafo que mide el

desplazamiento vertical del terreno

11.- Censor triaxial de banda ancha

12.-Curva real del concreto (trayectorias).

13.-Fuerzas resultantes de códigos por torsión

14.- Función de falla de Rackwitz y Fiessler

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98

98

98

98

98

98

99

100

101

101

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