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PROFESSOR JAMUR SILVEIRA – RACIOCÍNIO LÓGICO

1

INSS

RACIOCÍNIO LÓGICO

PROF. ME. JAMUR SILVEIRA

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RACIOCÍNIO LÓGICO

1. Conceitos básicos de raciocínio lógico: proposições; valores lógicos das proposições; sentenças abertas; número de linhas da tabela verdade; conectivos; proposições simples; proposições compostas.

2. Tautologia. 3. Operação com conjuntos. 4. Cálculos com porcentagens.


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CONCEITOS BÁSICOS DE RACIOCÍNIO LÓGICO

Proposição

Denomina-se proposição a toda sentença, expressa em palavras ou símbolos, que exprima um juízo ao qual se possa atribuir, dentro de certo contexto, somente um de dois valores lógicos possíveis: verdadeiro ou falso.

Somente as sentenças declarativas podem-se atribuir valores de verdadeiro ou falso, o que ocorre quando a sentença é, respectivamente, confirmada ou negada.

Quando uma proposição é verdadeira, atribuímos-lhe o valor lógico V; quando ela é falsa, atribuímos-lhe o valor lógico F. Observação:

Não se pode atribuir valores de verdadeiro ou falso às outras formas de sentenças como as interrogativas, as exclamativas e as imperativas, embora elas também expressem juízos. Exemplos de proposições:

“O número 5 é ímpar” – é uma declaração (afirmativa); portanto, uma proposição. Sabemos ser verdadeira (valor lógico V).

“Todo homem é mortal” – é uma declaração (afirmativa); portanto, uma proposição. Sabemos ser verdadeira (valor lógico V).

“ 15127 ” – é uma declaração (negativa); portanto, uma proposição. Sabemos ser falsa (valor

lógico F).

“Nenhum peixe sabe ler” - é uma declaração (afirmativa); portanto, uma proposição. Sabemos ser verdadeira (valor lógico V). Exemplos de sentenças que não são proposições: (sentenças abertas)

“Qual o seu nome?” – é uma pergunta, e não uma declaração. Portanto, não é uma proposição. Não se pode atribuir a ela um valor lógico (V ou F).

“Que dia lindo!” – é uma sentença exclamativa, e não uma declaração. Portanto, não é uma proposição. Não se pode atribuir a ela um valor lógico (V ou F).

“Ana, vá estudar sua lição” – é uma sentença imperativa, e não uma declaração. Portanto, não é uma proposição. Não se pode atribuir a ela um valor lógico (V ou F).

“ 2013 x ” – é uma sentença aberta, e não uma declaração. Portanto, não é uma proposição. Não se pode atribuir a ela um valor lógico (V ou F). Proposição simples

Uma proposição é dita proposição simples quando não contém qualquer outra proposição como sua componente.


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Isso significa que não é possível encontrar como parte de uma proposição simples alguma outra proposição diferente dela. Não se pode subdividi-la em partes menores tais que alguma delas seja uma nova proposição. Exemplo: A sentença “Júlio gosta de esporte” é uma proposição simples, pois não é possível identificar como parte dela qualquer outra proposição diferente. Outros exemplos:

“Júlio fala inglês” “Laranja é uma fruta” “Todos os ricos são homens”

Proposição composta

Uma proposição é composta quando se pode extrair como parte dela uma nova proposição. Exemplo: A sentença “Paulo é irmão de Ana e de César” é uma proposição composta, pois é possível retirar-se dela outras proposições: “Paulo e irmão de Ana” e “Paulo é irmão de César”. Conectivos lógicos (ou estruturas lógicas)

Os conectivos lógicos agem sobre as proposições a que estão ligadas de modo a criar novas proposições. Alguns dos conectivos são:

Exemplo:

A sentença “Se Talita não bebe, então Carlos vai ao clube ou Bruna toma café”. É uma proposição composta na qual podemos observar alguns conectivos lógicos (“não”, “se..., então” e “ou”) que estão agindo sobre as proposições simples “Talita não bebe”, “Carlos vai ao clube” e “Bruna toma café”.

Operações com proposições

Assim como na Álgebra tradicional existem as operações com números (adição, subtração etc.), na Álgebra Booleana existem operações com as proposições.

O valor lógico (verdadeiro ou falso) de uma proposição composta depende somente do valor lógico de cada uma de suas proposições componentes e da forma como estas sejam ligadas pelos conectivos lógicos utilizados.


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Tabela - verdade É uma forma usual de representação das regras da Álgebra Booleana. Nela, é representada cada proposição (simples ou composta) e todos os seus valores lógicos possíveis. 1º- Conjunção: “A e B” (Representação: BA ).

Denominamos conjunção a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo “e”. Exemplo: Dadas as proposições simples: A: Marta é mãe de Beto. B: Marta é mãe de Carlos. A conjunção “A e B” pode ser escrita como:

BA : Marta é mãe de Beto e de Carlos.

Uma conjunção é verdadeira somente quando as duas proposições que a compõem forem

verdadeiras, Ou seja, a conjunção ”A ∧ B” é verdadeira somente quando A é verdadeira e B é

verdadeira também. Por isso dizemos que a conjunção exige a simultaneidade de condições.

Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da conjunção

“A e B” para cada um dos valores que A e B podem assumir.

2º- Disjunção: “A ou B” (Representação: BA ).

Denominamos disjunção a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo “ou”. Exemplo: Dadas as proposições simples: A: Tiago fala Francês. B: Tiago é universitário. A disjunção “A ou B” pode ser escrita como:

BA : Tiago fala Francês ou é universitário.

Uma disjunção é falsa somente quando as duas proposições que a compõem forem falsas.

Ou seja, a disjunção “A ou B” é falsa somente quando A é falsa e B é falsa também. Mas se A


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for verdadeira ou se B for verdadeira ou mesmo se ambas, A e B, forem verdadeiras, então a

disjunção será verdadeira. Por isso dizemos que, ao contrário da conjunção, a disjunção não

necessita da simultaneidade de condições para ser verdadeira, bastando que pelo menos uma

de suas proposiçoes componentes seja verdadeira.

Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da disjunção “A

ou B” para cada um dos valores que A e B podem assumir.

3º- Disjunção exclusiva: “ou A ou B” (Representação: BA ).

Denominamos disjunção exclusiva a proposição composta formada por duas proposições

quaisquer em que cada uma delas esteja precedida pelo conectivo “ou”. Exemplo: Dadas as proposições simples: A: O número 7 é par. B: O número 7 é ímpar. A disjunção exclusiva “ou A ou B” pode ser escrita como:

BA : Ou o número 7 é par ou o número 7 é ímpar.

A proposição disjunção condicional “ou A ou B” é falso somente quando A e B têm o

mesmo valor lógico (ambas são verdadeiras ou ambas são falsas), sendo verdadeiro quando A

e B têm valores lógicos contrários.

Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da proposição disjunção condicional “ou A ou B” para cada um dos valores que A e B podem assumir.

A B BA

V V F V F V F V V F F F 4º- Implicação (Condicional): “Se A, então B” (Representação: BA ).


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Denominamos condicional a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo “Se..., então” ou por uma de suas formas equivalentes. Exemplo: Dadas as proposições simples: A: Lucas é goiano. B: Lucas é brasileiro. A condicional “Se A, então B” pode ser escrita como:

BA : Se Lucas é goiano, então Lucas é brasileiro.

Uma condicional “Se A então B” é falsa somente quando a condição A é verdadeira e a

conclusão B é falsa, sendo verdadeira em todos os outros casos. Isto significa que numa

proposição condicional, a única situação que não pode ocorrer é uma condição verdadeira

implicar uma conclusão falsa.

Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos observar os resultados da proposição

condicional “Se A então B” para cada um dos valores que A e B podem assumir.

5º- Dupla Implicação (Bicondicional): “A se e somente se B” (Representação: BA ).

Denominamos bicondicional a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo “se e somente se”. Exemplo: Dadas as proposições simples: A: Sérgio é meu tio. B: Sérgio é irmão de um de meus pais. A bicondicional “A se e somente se B” pode ser escrita como:

BA : Sérgio é meu tio se e somente se Sérgio é irmão de um de meus pais.

A proposição bicondicional “A se e somente se B” é verdadeira somente quando A e B

têm o mesmo valor lógico (ambas são verdadeiras ou ambas são falsas), sendo falsa quando A

e B têm valores lógicos contrários.


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Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da proposição

bicondicional “A se e somente se B” para cada um dos valores que A e B podem assumir.

6th- Negação: “Não A” (Representação: A )

Definição

Uma proposição é a negação de outra quando: se uma for verdadeira, então a outra é obrigatoriamente falsa e, se uma for falsa, então a outra é obrigatoriamente verdadeira. Modos de Negação de uma Proposição Simples 1) Antepondo-se a expressão “não” ao seu verbo.

Exemplo: “Beto gosta de futebol”. “Beto não gosta de futebol”.

2) Retirando-se a negação antes do verbo.

Exemplo: “Ítalo não é irmão de Maria”. “Ítalo é irmão de Maria”.

3) Substituindo-se um termo da proposição por um de seus antônimos.

Exemplo: “n é um número ímpar”. “n é um número par”.

Observação

“Este lápis é verde” contradiz, mas não é a negação de “Este lápis é azul”, porque a negação desta “Este lápis não é azul” não obriga a que a cor do lápis seja verde. Poderia ser de qualquer outra cor, diferente das citadas.


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Tautologia

Uma proposição composta é uma tautologia se ela for sempre verdadeira

independentemente dos valores lógicos das proposições que a compõem.

Exemplos

1º- A proposição “ AA ” é uma tautologia, pois é sempre verdadeira, independentemente dos

valores lógicos de A. Veja na tabela-verdade a seguir:

2º- A proposição “ BABA ” é uma tautologia, pois é sempre verdadeira,

independentemente dos valores lógicos de A e de B. Veja na tabela-verdade a seguir:

Contradição

Uma proposição composta é uma contradição se ela for sempre falsa

independentemente dos valores lógicos das proposições que a compõem. Exemplo


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1º- A proposição “ AA ” é uma contradição, pois é sempre falsa, independentemente dos

valores lógicos de A. Veja na tabela-verdade a seguir:

Obs: Para se calcular o número de linhas da tabela-verdade, utilizamos a seguinte fórmula: 2n

Questões de Raciocínio Lógico – Parte I 1. A negação da afirmação: “Vai fazer frio e vai fazer calor”, é: a. Não vai fazer frio e não vai fazer calor. b. Vai fazer calor e vai fazer frio. c. Ou vai fazer frio ou vai fazer calor. d. Não vai fazer frio ou não vai fazer calor. e. Ou não vai fazer calor ou não vai fazer frio. 2. Negar que Pedro foi nadar se e somente se Maria estava vestida equivale a dizer que: a. Pedro foi nadar se e somente se Maria não estava vestida. b. Pedro foi nadar e Maria estava vestida. c. Pedro estava vestido e Maria estava nadando. d. Ou Pedro foi nadar ou Maria estava vestida. e. Pedro não foi nadar e Maria não estava vestida. 3. A negação da afirmação condicional "se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva"é: a. se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva b. não está chovendo e eu levo o guarda-chuva c. não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva d. se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva e. está chovendo e eu não levo o guarda-chuva

4. Dadas as proposições simples p e q, tais que p é verdadeira e q é falsa, considere as seguintes proposições compostas abaixo e indique quantas são verdadeiras:

1) p q 2) ~p → q 3) ~(p ~q) 4) ~(p ↔ q)

a. nehuma b. 1 c. 2 d. 3 e. 4


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5. Dado que a proposição P é verdadeira, Q é falsa e R e verdadeira, pode-se afirmar que as proposições compostas:

P → (Q R); Q → (P R) e R → (P Q) tem como valores-verdade (V ou F), respectivamente:

a. F V V b. F V F c. V V F d. V F V e. V V V

6. Sejam dadas as seguintes proposições compostas em que P e Q são proposições verdadeiras e R é uma proposição falsa:

I. P → (Q ~R)

II. R → (Q P)

III. (~P Q) → ~R

IV. R ↔ Q

V. P (R Q)

A sequência CORRETA do respectivo valor verdade de cada uma das proposições compostas acima é:

a. V V V F V b. V F F V F c. V V V V V d. F V F F V e. F V V F F

QUESTÕES RACIOCÍNIO LÓGICO – PARTE 2

1. A negação da afirmação “se o cachorro late então o gato mia” é: a. Se o gato não mia, então o cachorro não late. b. O cachorro late e o gato não mia. c. O cachorro não late e o gato não mia. d. Se o cachorro não late, então o gato não mia. e. O cachorro não late ou gato não mia.

2. A negação da proposição “Mário é brasileiro ou Maria não é boliviana” é:

a. Mário não é brasileiro ou Maria é boliviana. b. Mário não é brasileiro e Maria é boliviana. c. Mário não é brasileiro e Maria não é boliviana. d. Mário é brasileiro e Maria não é boliviana. e. Mário é brasileiro ou Maria é boliviana.

3. Na lista de frases apresentadas a seguir:

- “A frase dentro destas aspas é uma mentira.”


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- A expressão x + y é positiva.

- O valor de + 3 = 7.

- Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira. - O que é isto? Há exatamente: a. Uma proposição b. Duas proposições c. Três proposições d. Quatro proposições e. Todas são proposições

4. Sendo “p” a proposição: “Junior é alto”, e “q” a proposição: “Ricardo é baixo”, podemos

dizer que a proposição “p ↔ q”, traduzida para a linguagem corrente, é: a. Junior é alto ou Ricardo é baixo b. Ricardo é baixo e Junior é alto c. Se Junior é alto, então Ricardo é baixo d. Se Junior é alto, então Ricardo não é baixo e. Junior é alto se, e somente se, Ricardo é baixo

5. Sendo “p” a proposição: “Juliana gosta de Matemática”, e “q” a proposição: “Nayara

gosta de Física”, assinale a alternativa que corresponde à seguinte proposição em linguagem simbólica: “Se Nayara gosta de Física, então Juliana gosta de Matemática”.

a. p q

b. (~p) q c. q → p

d. (~p) (~q) e. q ↔ q

6. O número de combinações de valorações das proposições simples “A”, “B” e “C” para as

quais a proposição composta (A B) (~C) pode ser avaliada, assumindo valoração “V” ou “F”, será igual a: a. 2 b. 4 c. 8 d. 16 e. 32

7. Sejam as proposições simples “A”, “B”, “C”, “D”, “E” não necessariamente distintas. Se

“P” representa a proposição composta dada por: P: (~A → C) (B ↔ ~E) D. Então o número máximo de linhas “N” que a proposição composta ”P” poderá ter, será de: a. N ‹ 10 b. 10 ‹ N ‹ 20 c. 20 ‹ N ‹ 30 d. 30 ‹ N ‹ 40 e. 40 ‹ N ‹ 50

8. Considere as seguintes proposições:

A: 6 – 1 = 7 ou 6 + 1 › 2


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B: 6 + 3 › 8 e 6 – 3 = 4 C: 9 x 3 › 25 ou 6 x 7 ‹ 45 D: 5 + 2 é um número primo e todo número primo é impar Nesse caso, entre essas 4 proposições: a. Apenas uma é F b. Duas F c. Três F d. Quatro F e. Todas são F

9. Entre as opções abaixo, a única com valor lógico verdadeiro é:

a. Se Roma é a capital da Itália, Londres é a capital da França. b. Se Londres é a capital da Inglaterra, Paris não é a capital da França. c. Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França ou Paris é a capital da

França d. Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França ou Paris é a capital da

Inglaterra e. Roma é a capital da Itália e Londres não é a capital da Inglaterra

10. Considere as assertivas a seguir, sendo p e q proposições, e assinale a alternativa que

aponta a(s) CORRETA(S).

I. p ~q assume valor lógico verdadeiro, quaisquer que sejam os valores lógicos das variáveis sentenciais.

II. q ~p assume o valor lógico falso, quaisquer que sejam os valores lógicos das variáveis sentenciais.

III. p → p q assume o valor lógico verdadeiro, quaisquer que sejam as variáveis sentenciais.

a. Apenas I b. Apenas II c. Apenas III d. Apenas I e II e. I, II e III

11. Dadas as proposições compostas:

I. 3 + 4 = 7 ↔ 5³ = 125

II. 3 + 2 = 6 → 4 + 4 = 9

III. › 1 ¶ não é um número real

IV. › 1 → 2° = 2

V. › 0 ↔ ¶² ‹ 2

A que tem valor lógico FALSO é a:

a. I

b. II

c. III

d. IV


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e. V

12. Na tabela-verdade abaixo, “p” e “q” são proposições.

P q ?

V V F

V F V

F V F

F F F

A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é:

a. p q

b. p → q

c. ~(p → q)

d. ~(p q)

e. ~(~p) (~q)

13. Se “A”, “B” e “C” são proposições em que “A” e “C” são V e “B” é F, então:

(~A) ~(~B) C é V

a. Certo

b. Errado

14. Se A e B são proposições simples, então, completando a coluna em branco na tabela

abaixo, se necessário, conclui-se que a última coluna da direita corresponde à tabela-

verdade da proposição composta A → (B → A).

A B B → A A → (B → A)

V V V

V F V

F F V

F V F

a. Certo

b. Errado

15. Se A e B são proposições, completando a tabela abaixo, se necessário, conclui-se que a

proposição ~(A B) → ~A ~B é uma tautologia.

A B B A ~A ~B ~(A B) ~A ~B ~(A B) → ~A ~B

V V

V F

F F


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F V

a. Certo

b. Errado

16. Considerando-se as possíveis valorações V ou F das proposições A e B e completando-

se as colunas da tabela abaixo, se necessário, é correto afirmar que a última coluna

dessa tabela corresponde à tabela-verdade da proposição:

A (~B) → ~(A B).

A B ~B A (~B) A B ~(A B) A (~B) → ~(A B)

V V F

V F F

F V V

F F V

a. Certo

b. Errado

17. A última coluna da tabela-verdade abaixo corresponde à proposição (~p) (q → r).

P Q R ~P Q → R

V V V V

V V F F

V F V V

V F F V

F V V V

F V F V

F F V V

F F F V

a. Certo

b. Errado

18. A última coluna da tabela-verdade abaixo corresponde à proposição (P R) → Q.

P Q R P R

V V V V

V V F V

V F V F

V F F V

F V V F

F V F V


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F F V F

F F F V

a. Certo

b. Errado

OPERAÇÕES COM CONJUNTOS

União ou Reunião de conjuntos

A união dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.

A B = { x| x A ou x B } (Lê-se: A união B)

Ex: Se A={1,2,3,4} e B={1,3,4,5,6,7} então AB = {1,2,3,4,5,6,7}

Obs: Nesse caso, não repetir o número 1

Observe que:

Todos os elementos de A são também elementos do conjunto AB. Logo:

Logo, A ( AB).

O mesmo ocorre com o conjunto B, ou seja, B ( AB).

Podem ocorrer os seguintes casos de união de conjuntos:

a) A e B possuem alguns elementos em comum:

b) A e B não possuem nenhum elemento em comum:

1 2

4

3

5

7

6

A B

AB

A B

U

U


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c) Todos os elementos de A pertencem ao conjunto B:

Interseção de conjuntos

A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B, ou seja, que são comuns a A e B.

A B = { x| x A e x B }

Ex1: Se A={1,2,3,5,7,8,9} e B={2,3,8,9,10,15}

AB = C, ou seja, C={2,3,8,9}

Ex2: Através do diagrama de Venn-Euler tem-se: Conjunto Intersecção

Podem ocorrer os seguintes casos de Intersecção de conjuntos:

a) A e B possuem alguns elementos em comum:

b) A e B não possuem nenhum elemento em comum:

A B

A B

U

1

5

7

2

3

8 9

15

10

A B

A B

U

U

A B


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Obs: Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são disjuntos. Ou seja:

Se A B = => A e B são disjuntos.

c) Todos os elementos de A pertencem ao conjunto B:

Obs: Quando temos dois conjuntos A e B, por exemplo, e sabemos que AB a intersecção AB será o próprio conjunto A.

Propriedades dos conjuntos

1. Fechamento: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, a união de A e B, denotada por A

B e a interseção de A e B, denotada por A B, ainda são do conjunto universo.

2. Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que:

A A = A e A A = A

3. Inclusão: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:

A A B, B A B, A B A, A B B

4. Inclusão relacionada: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:

A B equivale a A B = B

A B equivale a A B = A

5. Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:

a) A (B C) = (A B) C

b) A (B C) = (A B) C

6. Comutativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:

A B = B A

A B = B A

7. Elemento neutro para a reunião: O conjunto vazio Ø é o elemento neutro para a reunião de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:

A Ø = A

8. Elemento "nulo" para a interseção: A interseção do conjunto vazio Ø com qualquer outro conjunto A, fornece o próprio conjunto vazio.

A Ø = Ø

A B A B=

A B

U

A B=A


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9. Elemento neutro para a interseção: O conjunto universo U é o elemento neutro para a interseção de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:

A U = A

10. Distributiva: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:

a)A ( B C ) = ( A B ) ( A C )

b) A ( B C ) = ( A B ) (A C )

Diferença de conjuntos

A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.

A-B = { x| x A e x B}

Do ponto de vista gráfico, a diferença pode ser vista como:

Ex: Se A={1,3,5,7} e B={1,3} então A-B = {5,7}

Podem ocorrer os seguintes casos de diferença de conjuntos:

a) A - B possuem alguns elementos em comum:

b) A - B não possuem nenhum elemento em comum:

c) Todos os elementos de A pertencem ao conjunto B, AB:

A B

A B

U

U

A-B = A

A B

A-B =

U


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d) Todos os elementos de B pertencem ao conjunto A, BA:

Complemento de um conjunto ou Complementar

O complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por C B

A , é a diferença entre os

conjuntos A e B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.

Se BA, então C B

A = A-B = { x| x A e x B }

Se AB, então C A

B = B-A = { x| x B e x A }

Graficamente, o complemento do conjunto B no conjunto A, é dado por:

Quando não existe dúvida sobre o universo U em que trabalhamos, simplesmente utilizamos a letra c posta como um expoente no conjunto, para indicar o complemento deste conjunto. Exemplos especiais são: Øc=U e Uc=Ø.

Ex 1: Se A = {1,2,3} e B = { 1,2,3,4,5}

C A

B = B – A = { 4,5}

Ex 2: Se B = {1,2} e D={1,3}, então o C B

D = D- B não existe, porque B D.

SÍMBOLOS DA LINGUAGEM DOS CONJUNTOS – RESUMO

A = {x|x tem a propriedade p} lê-se : A é o conjunto dos x tal que x tem a propriedade p.

a A lê –se : a pertence a A.

a A lê –se : a não pertence a A.

A = B lê-se: A é igual a B.

A B lê-se: A é diferente de B.

A B lê-se: A está contido em B.

A B lê-se: A não está contido em B.

A B lê-se: A contém B.

A B lê-se: A não contém B.

lê-se : conjunto vazio.

A U

B


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C A

B lê-se: complementar de B em relação a A.

A – B lê-se: A menos B.

A B lê-se: A inter B.

A B lê-se: A união B.

x lê-se: qualquer que seja x ou para todo x.

x lê-se: existe ao menos um x ou pelo menos um x.

x lê-se: não existe x algum.

p q lê-se: p é equivalente a q.

IMPORTANTE:

FÓRMULA DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS:

n ( A U B ) = n ( A ) + n ( B ) – n ( A ∩ B )

PORCENTAGENS Porcentagens As frações (ou razões) que possuem denominadores (o número de baixo da fração) iguais a 100, são conhecidas por razões centesimais e podem ser representadas pelo símbolo "%". O símbolo "%" é lido como "por cento". "5%" lê-se "5 por cento". "25%" lê-se "25 por cento". O símbolo "%" significa centésimos, assim "5%" é uma outra forma de se

escrever 0,05, ou por exemplo. Veja as seguintes razões:

Podemos representá-las na sua forma decimal por:

E também na sua forma de porcentagens por:


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Como calcular um valor percentual de um número? Agora que temos uma visão geral do que é porcentagem, como calcular quanto é 25% de 200? Multiplique 25 por 200 e divida por 100:

Se você achar mais fácil, você pode simplesmente multiplicar 25% na sua forma decimal, que é 0,25 por 200:

Assim temos:

1. 4% de 32 = 0,04 . 32 = 1,28 2. 15% de 180 = 0,15 . 180 = 27 3. 18% de 150 = 0,18 . 150 = 27 4. 35% de 126 = 0,35 . 126 = 44,1 5. 100% de 715 = 1,00 . 715 = 715 6. 115% de 60 = 1,15 . 60 = 69 7. 200% de 48 = 2,00 . 48 = 96

Repare que no quinto item, 100% de 715 corresponde ao próprio 715, isto ocorre porque 100% representa o todo, ocorre porque 100% é a razão de 100 para 100 (100 : 100) que é igual a 1. Por isto 100% de um número x é o próprio número x, já que o estaremos multiplicando por 1, para sabermos o valor da porcentagem. Analisando os itens de 1 a 4, podemos também perceber que quando o percentual é menor 100%, o número resultante será menor que o número original. Nos itens 6 e 7 percebemos que o resultado é maior que o número original. Isto ocorre porque o percentual é maior que 100%. Nos itens 2 e 3 observamos que 15% de 180 é igual a 18% de 150. a% de b é igual a b% de a. Isto é devido à propriedade comutativa da multiplicação que diz que a . b = b . a. Como transformamos uma razão ou fração em porcentagem? Vimos que razões centesimais são um tipo especial de razão, cujo consequente é igual a cem e podem facilmente ser expressas na forma de porcentagem, simplesmente se eliminando o consequente ou denominador cem e inserindo o símbolo de porcentagem após o antecedente ou numerador. Por exemplo:

Mas como transformamos a razão 3 : 15 em porcentagem? Simplesmente realizando a divisão, encontrando assim o valor da razão, multiplicando-o por 100 e inserindo o símbolo de porcentagem à sua direita, ou seja, multiplicamos por 100%:

Talvez você não tenha percebido, mas podemos utilizar a transformação de uma razão em porcentagem para calcular quantos por cento um número é de outro. Neste nosso exemplo 3 é 20% de 15. Dezoito é quantos por cento de quarenta e cinco?

Para que serve o cálculo da porcentagem? Razões são utilizadas para podermos comparar grandezas e em sendo a porcentagem uma razão, é exatamente esta a utilidade da porcentagem. Digamos que a população de uma cidade A cresceu de 100 mil para 125 mil em dez anos. Sabemos também que no mesmo período, a população da cidade B passou de 40 mil para 50 mil habitantes. Qual das cidades teve um aumento populacional maior? Aumento populacional da cidade A em porcentagem:

Aumento populacional da cidade B em porcentagem:

http://www.matematicadidatica.com.br/Razao.aspx


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Segundos os cálculos realizados acima, percebemos que embora a população da cidade A seja muito maior que a outra, o aumento percentual das duas populações foi o mesmo. Veja também que a razão da população atual para a população de 10 anos atrás, de ambas as cidades é a mesma, uma outra prova de que o crescimento foi proporcionalmente o mesmo: 125000 : 100000 = 50000 : 40000 = 1,25

QUESTÕES DE PORCENTAGEM – PARTE I

1. Das 96 pessoas que participaram de uma festa de confraternização dos funcionários do Departamento Nacional de Obras contra as secas, sabe-se que 75% eram do sexo masculino. Se, num dado momento antes do término da festa, foi constatado que a porcentagem dos homens havia se reduzido a 60% do total das pessoas presentes, enquanto que o número de mulheres permaneceu inalterado, até o final da festa, então a quantidade de homens que haviam se retirado era:

a. 36 b. 38 c. 40 d. 42 e. 44

2. Costuma-se dizer que em dias de jogos do Brasil na Copa do Mundo de Futebol o país literalmente “para”. Suponha que durante um jogo do Brasil na última Copa houve diminuição do fluxo de veículos que passaram por uma praça de pedágio de certa rodovia: a média habitual de 50 veículos por minuto passou a ser de 57 veículos por hora. Considerando esses dados, no momento de tal jogo o fluxo de veículos nessa praça foi reduzido em:

a. 98,1% b. 98,4% c. 98,6% d. 981% e. 984%

3. Em agosto de 2006, Josué gastava 20% de seu salário no pagamento do aluguel de sua casa. A partir de setembro de 2006, ele teve um aumento de 8% em seu salário e o aluguel de sua casa foi reajustado em 35%. Nessas condições, para o pagamento do aluguel após os reajustes, a porcentagem do salário que Josué deverá desembolsar é:

a. 22,5% b. 25% c. 27,5% d. 30%


24

e. 32,5%

4. Certo mês, um técnico em informática instalou 78 programas nos computadores de um Tribunal. Sabe-se que: na primeira semana, ele instalou 16 programas; na segunda, houve um aumento de 25% em relação à semana anterior; na terceira semana houve um aumento de 20% em relação à semana anterior. Assim sendo, se a tarefa foi concluída na quarta semana, o número de programas que foram instalados ao longo dela foi:

a. 28 b. 24 c. 22 d. 20 e. 18

5. Do total de X veículos que entraram no estacionamento de um Tribunal em certo dia, 25% transportavam somente o motorista, 30% transportavam exatamente 2 passageiros e os 54 restantes transportavam mais do que 2 passageiros. O número X é igual a:

a. 180 b. 150 c. 140 d. 120 e. 100

6. Observe na tabela os preços de alguns produtos comercializados por um atacadista.

Produto Bananas Desinfetante Feijão Papel Higiênico

Unidade Dúzia Embalagem de 20 litros

Saco de 10 kg Saco de 12 unidades

Preço 1,30 14,20 11,40 6,40

Na compra acima de R$ 200,00 o atacadista dá um desconto de 40% no frete que custa, normalmente, R$ 60,00.

Qual será o valor de uma compra, incluindo frete, de 20 dúzias de banana, 40 litros de desinfetante, 40 quilos de feijão e 60 unidades de papel higiênico?

a. R$ 192,00 b. R$ 169,00 c. R$ 167,80 d. R$ 131,80 e. R$ 109,00

7. Os carros de determinada marca sofreram um aumento de 25%. Como as vendas caíram muito, a montadora resolveu dar um desconto tal que os preços voltassem ao que eram antes do aumento. Esse desconto foi de:

a. 27,5% b. 25% c. 22,5% d. 20%


25

e. 17,5%

8. Multiplicando 5% por 30% resulta:

a. 1,5% b. 15% c. 75% d. 90% e. 150%

9. O valor de (50%)² é:

a. 2,5% b. 25% c. 250% d. 2500% e. 25000%

10. A razão 4/5, escrita na forma de percentagem, é igual a:

a. 0,80% b. 8% c. 4,8% d. 75% e. 80%

11. Um colégio tem 900 alunos, entre os turnos da manhã e da tarde. Sabendo que 53% destes estudam pela manhã, então o número de alunos que estudam pela tarde é:

a. 408 b. 423 c. 442 d. 477 e. 482

12. No final de um torneio, uma equipe havia vencido 32 jogos dos 50 disputados. A percentagem de jogos perdidos pela equipe é:

a. 64% b. 62% c. 54% d. 36% e. 18%

13. Considerando a taxa mensal constante de 10% de inflação, o aumento de preços em 2 meses será:

a. 2% b. 4% c. 20% d. 21% e. 121%


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14. Somente 25% dos 60 funcionários de um Tribunal eram mulheres. Depois de transferido um determinado número de funcionários do sexo masculino, as mulheres passaram a representar 30% do total de funcionários. O número de homens transferidos foi:

a. 5 b. 10 c. 15 d. 35 e. 45

15. Um aluno que realizou dois vestibulares, acertou no primeiro 60% das questões propostas em Matemática e no segundo 75%. A taxa de variação correspondente à melhora de seu desempenho nessa disciplina foi de:

a. 25% b. 20% c. 18% d. 15% e. 12%

QUESTÕES DE PORCENTAGEM – PARTE II

01. (FGV) O preço de venda de um artigo foi diminuído em 20%. Em que porcentagem devemos aumentar o preço diminuído para que com o aumento o novo preço coincida com o original?

a) 15% b) 20% c) 22,5% d) 25% e) 30%

02. (FGV/98) Dona Magaly aplicou, no início do ano, 25% de suas economias em Caderneta de Poupança e o restante em um fundo de ações. Após um ano a rentabilidade da Caderneta de Poupança foi de 16% e a do fundo de ações 26%. - Se o saldo da Caderneta de Poupança (CP), após um ano da data de aplicação, foi de R$ 29.000,00 qual o valor aplicado na CP? - Qual a rentabilidade global das aplicações de Dona Magaly? a) R$ 25.000,00 e 42% b) R$ 25.000,00 e 23,5% c) R$ 25.000,00 e 21% d) R$ 23.200,00 e 23,5% e) R$ 23.200,00 e 21%


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03. (FGV/91) Uma loja anuncia um desconto sobre o valor total, x, das compras de cada cliente, de acordo com o seguinte esquema: - Desconto de 10% para 10000 ≤ x < 20000 - Desconto de 15% para x ≥ 20000 Um cliente compra um par de sapatos por Cr$ 18.000,00 e um par de meias por Cr$ 2.000,00. O vendedor muito gentilmente se ofereceu para reduzir o preço das meias para Cr$ 1.500,00 e o cliente aceita a oferta. No caixa são aplicadas as regras do desconto promocional. Nessas condições, pode-se dizer que o cliente: a) teve um prejuízo de 700 cruzeiros. b) teve um lucro de 500 cruzeiros. c) não teve nem lucro nem prejuízo. d) teve um lucro de 450 cruzeiros. e) teve um prejuízo de 550 cruzeiros. 04. (FGV/11) Chama-se margem de contribuição unitária à diferença entre o preço de venda de um produto e o custo desse produto para o comerciante. Um comerciante de sapatos compra certo modelo por R$ 120,00 o par e o vende com uma margem de contribuição unitária igual a 20% do preço de venda. A margem de contribuição unitária como porcentagem do custo do produto para o comerciante é: a) 25% b) 22,5% c) 20% d) 17,5% e) 15% 05. (Ibmec) Obter um lucro de 25% sobre o preço de compra de uma mercadoria é equivalente a qual porcentagem sobre o preço de venda desta mercadoria? a) 25% b) 20% c) 15% d) 10% e) 5% 06. (FGV/88) Um lucro de 30% sobre o preço de venda de uma mercadoria representa que porcentagem sobre o preço de custo da mesma mercadoria? a) 30% b) 15% c) 42,86% d) 7,5% e) 21,42% 07. (FGV/86) Um lucro de 15% sobre o preço de venda de uma mercadoria, que porcentagem de lucro representa sobre o preço de custo da mesma mercadoria? a) 15% b) 17,64% (aproximadamente) c) 13,04% (aproximadamente) d) 7,5% e) 18,71% (aproximadamente) 08. (FGV/07) Determinada loja vende todos os produtos com pagamento para 45 dias. Para pagamento à vista, a loja oferece 8% de desconto. A taxa mensal de juro simples paga pelo cliente que prefere pagar após 45 dias é de aproximadamente: a) 0% b) 5,3% c) 8% d) 5,8% e) 4,2%


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09. (FGV/10) Lúcio emprestou R$10 000,00 a César, cobrando juros de 10% ao ano sobre o saldo devedor do ano anterior. César pagou R$3 000,00 um ano após o empréstimo e R$4 000,00 dois anos após o empréstimo. O valor da terceira parcela, que quitou a dívida, paga três anos após a concessão do empréstimo, foi: a) R$ 5.180,00 b) R$ 5.280,00 c) R$ 5.380,00 d) R$ 5.480,00 e) R$ 5.580,00 10. (FDRH) Fábio recebeu um empréstimo bancário de R$ 10.000,00, para ser pago em duas parcelas anuais, a serem pagas respectivamente no final do primeiro ano e do segundo ano, sendo cobrados juros compostos à taxa de 20% ao ano. Sabendo que o valor da 1ª parcela foi R$ 4.000,00, podemos concluir que o valor da 2ª foi de: a) R$ 8.800,00 b) R$ 9.000,00 c) R$ 9.200,00 d) R$ 9.400,00 e) R$ 9.600,00 11. (Mackenzie) Suponha que, no processo seletivo de 2007, a relação candidato/vaga teria sido

5,5 e que para 2008, um houvesse aumento de 18% no número de candidatos e um aumento de

10% no número de vagas oferecidas. A relação candidato vaga para 2008 será de:

a) 5,9 b) 5,4 c) 5,7 d) 6,0 e) 6,1 12. (FGV) Em três bimestres consecutivos, um individuo obteve reajustes salariais de 20% por

bimestre. Seu aumento acumulado no semestre foi de:

a) 60% b) 68,4% c) 72,8% d) 78,2% e) 81,4% 13. (BB 2006 - FCC) Um televisor é vendido em uma loja onde o comprador pode escolher uma das seguintes opções:

I. R$ 5.000,00, à vista sem desconto. II. R$ 1.000,00 de entrada e um pagamento no valor de R$ 4.500,00 em 1 (um) mês após

a data da compra. A taxa de juros mensal cobrada pela loja no pagamento da segunda opção, que vence em 1 (um) mês após a data da compra, é de

a) 30% b) 25% c) 20% d) 15% e) 12,5% 14. Suponha que em 2 meses um determinado título de capitalização teve seu valor reajustado em 38%. Sabendo que o reajuste no primeiro mês foi de 15%, podemos afirmar que o do segundo mês foi de:

a) 18,5% b) 19,5% c) 20% d) 21,5% e) 23% 15. Júlio fez uma compra de R$ 600,00, sujeita à taxa de juros de 2% ao mês sobre o saldo devedor. No ato da compra, fez o pagamento de um sinal no valor de R$ 150,00. Fez ainda


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pagamentos de R$ 159,00 e R$ 206,00, respectivamente, 30 e 60 dias depois de contraída a dívida. Se quiser quitar a dívida 90 dias depois da compra, quanto deverá pagar, em reais?

a) 110,00 b) 108,00 c) 106,00 d) 104,00 e) 102,00

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