INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN ARAD - matearad.romatearad.ro/STUFF/olimpiadalocala2017/OLIMPIADA. GIMNAZIU. BAREM .2017.… · OLIMPIADA DE MATEMATIC Ă – ETAPA LOCAL Ă 24.02.2017

INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN ARAD Strada M.Scaevola nr.9, Telefon: 0257-280008,Fax 0257-214746,

web : www.isjarad.ro e-mail: [email protected]

OLIMPIADA DE MATEMATICĂ – ETAPA LOCALĂ 24.02.2017–

CLASA A V-A

SOLUȚII ŞI BAREME ORIENTATIVE

Notă: Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte.

Orice altă rezolvare se asimilează conform baremului.

Subiectul 1. Fie numărul 12345678910...999a = , unde cifrele sunt obținute scriind numerele naturale de la 1 la 999. Care este a 2017-a cifră?

Soluţie:

1, 2,3,...,9 9 cifre→

( ) ( )10,11,12,...,99 99 9 2 180 cifre→ − ⋅ =

⇒ mai avem nevoie de ( )2017 9 180 1828− + = (cifre).

Dar 1828 3 609 1= ⋅ +

100,101,102,..., 708 708 99 609→ − = (numere de trei cifre)

Cifra căutată este prima cifră a lui 709, adică 7.

Detalii rezolvare Barem asociat

1, 2,3,...,9 9 cifre→ ........................................................................................................ 1p

( ) ( )10,11,12,...,99 99 9 2 180 cifre→ − ⋅ =.....................................................................

1p

Observă că mai avem nevoie de ( )2017 9 180 1828− + = (cifre) ................................ 1p

1828 3 609 1= ⋅ + ........................................................................................................... 1p 100,101,102,..., 708 708 99 609→ − = (numere de trei cifre) ...................................... 2p Deduce că cifra căutată este prima cifră a lui 709, adică 7 .......................................... 1p



Subiectul 2. a) Să se afle restul împărțirii numărului ( )2017 2 1 2 ... 2016a = + + + + la 2016.

b) Să se arate că suma primelor 2017 numere impare este pătrat perfect.

c) Să se scrie numărul 22017 ca suma a 2017 numere naturale consecutive.

Soluţie: a) Fie ( )1 2 ... 2016 1 2016 2016 : 2 2017 1008A = + + + = + ⋅ = ⋅

( ) 22017 2017 2016 2017 1 2016 2017a⇒ = + ⋅ = + =

( )2 2

2016 20162016 1 1 1a M M= + = + = + .

În concluzie, restul împărțirii lui � la 2016 este 1.

b) 1 3 5 ... ,1 2 1 1,3 2 2 1,..., 2 2017 1 4033B x x= + + + + = ⋅ − = ⋅ − = ⋅ − =

( ) 21 4033 2017 : 2 2017 2017 2017B = + ⋅ = ⋅ = ⇒ B este pătrat perfect.

c) Notăm numerele cu , 1, 2,... 2016a a a a+ + + .

( ) ( ) ( ) 21 2 ... 2016 2017a a a a+ + + + + + + =

( ) ( )2 22017 1 2 ... 2016 2017 2017 1 2016 2016 : 2 2017a a+ + + + = ⇒ + + ⋅ =

22017 2017 1008 2017 : 2017 1008 2017 1009a a a+ ⋅ = ⇒ + = ⇒ =

22017 1009 1010 1011 ... 3025⇒ = + + + + .


a) ( )1 2 ... 2016 1 2016 2016 : 2 2017 1008A = + + + = + ⋅ = ⋅ ........................................ 1p

( ) 22017 2017 2016 2017 1 2016 2017a⇒ = + ⋅ = + =................................................

1p

( )2 2

2016 20162016 1 1 1a M M= + = + = +................................................................

1p

Deduce că restul împărțirii lui a la 2016 este 1........................................................ 0,5p b) 1 3 5 ... ,1 2 1 1,3 2 2 1,..., 2 2017 1 4033B x x= + + + + = ⋅ − = ⋅ − = ⋅ − = ....................... 0,5p

( ) 21 4033 2017 : 2 2017 2017 2017B = + ⋅ = ⋅ = ⇒ B este pătrat perfect ............... 1p

c) ( ) ( ) ( ) 21 2 ... 2016 2017a a a a+ + + + + + + =.............................................................

0,5p

22017 2017 1008 2017 : 2017 1008 2017 1009a a a+ ⋅ = ⇒ + = ⇒ =

..................... 1p

22017 1009 1010 1011 ... 3025⇒ = + + + + ................................................................ 0,5p



Subiectul 3. Ștefan va împlini x ani în anul 2x . Care este anul de naștere al lui Ștefan, dacă se știe că s-a născut în secolul XX?

Soluţie:

Anul nașterii lui Ștefan este 2x x− și 21901 2000x x≤ − ≤

2 2 2 243 1849 1900;44 1936;45 2025;46 2116= < = = =

244 44 1936 44 1892 1900− = − = < nu convine

245 45 2025 45 1980;1900 1980 2000− = − = < < convine

246 46 2116 46 2070 2000− = − = > nu convine

Concluzie: Ștefan s-a născut în anul 1980.


Deduce că anul nașterii lui Ștefan este 2x x− și 21901 2000x x≤ − ≤ ......................... 2p

Observă că 2 2 2 243 1849 1900;44 1936;45 2025;46 2116= < = = = .............................. 1p

Observă că 244 44 1936 44 1892 1900− = − = < nu convine...................................... 1p

Observă că 245 45 2025 45 1980;1900 1980 2000− = − = < < convine........................ 1p

Observă că 246 46 2116 46 2070 2000− = − = > nu convine........................................ 1p Concluzionează că Ștefan s-a născut în anul 1980......................................................... 1p



Subiectul 4. Câte numere de forma �� cu a, b, c cifre distincte există, dacă :

�� +a+b+c =2016

Soluţie:

�� + a + b + c = 2016

Descompunem : 100a +10a+a+100b+10b+b+100c+10c+c+a+b+c= 2016

112a + 112b +112c = 2016

112( a+b+c) = 2016

a+b+c = 18

Cum a, b, c sunt cifre distincte şi nenule avem posibilităţile : 9+8+1=18, 9+7+2=18, 9+6+3=18, 9+5+4=18, 8+7+3=18, 8+6+4=18, 7+6+5=18. Pentru fiecare avem 6 cazuri, deci în total sunt 7·6 =42 numere.


Descompune şi ajunge la forma :112a + 112b +112c = 2016........................................ 3p

Găseşte a+b+c = 18 ....................................................................................................... 1p Găseşte toate sumele............................................................................................... 2p

Definitivează, găsind cele 42 posibilităţi....................................................................... 1p



OLIMPIADA DE MATEMATICĂ – ETAPA LOCALĂ 24.02.2017 –

CLASA A VI-A




Subiectul 1. Numărul ��8�� împărțit la un număr de două cifre dă restul 98. Aflați numărul.

Soluție: Deoarece restul este mai mic decât împărțitorul și împărțitorul are două cifre, deducem că

împărțitorul este 99. Aplicând teorema împărțirii cu rest obținem ��8�� 99 ∙ � � 98. Adunând 1 în fiecare parte a egalității avem ��9�� 99 ∙ � � 99 99 ∙ �� 1�.

De aici deducem că 11|��9�� ∙ 1100 � �9�� . Cum 11|� ∙ 1100 ⟹ 11|�9��, de unde avem � 9. Numărul căutat este 9998.


Deduce împărțitorul 99 ……………...………………………...…………………..... 1p

Aplică teorema împărțirii cu rest și obține ��8�� 99 ∙ � � 98……..……………… 1p Adună 1 în fiecare parte a egalității și obține ��9�� 99 ∙ � � 99 99 ∙ �� 1� .... 1p

Deduce 11|��9�� ∙ 1100 � �9�� și 11|�9……………………...…………......... 2p Determină � 9 …………………………………….. …............................................ 1p Precizează numărul căutat 9998 ....…………………………………………………... 1p



Subiectul 2. Fie numerele 1 1 1 1

1 ...2 3 4 1997

a = + + + + + și 1 2 3 1996

1 ... .2 3 4 1997

b = + + + + +

a) Arătați că .a b< b) Determinați media aritmetică a numerelor a și .b

c) Demonstrați că 999a < și 999.b >

Soluție:

a) Fiecare din cele două numere este format din câte o sumă ce conține 1997 termeni. Comparând termenii celor două sume astfel: primul cu primul, al doilea cu al doilea, ... și

ultimul cu ultimul obținem1 1,=1 1

,2 2

=1 2

,3 3

<1 3

,4 4

< ...1 1996

.1997 1997

<

Observăm că primii doi termeni ai celor două sume sunt egali, iar începând cu al treilea fiecare termen al primei sume este mai mic decât termenul corespunzător al celei de a doua. Prin însumare, membru cu membru, obținem

1 1 1 1 1 2 3 19961 ... 1 ... .

2 3 4 1997 2 3 4 1997a b+ + + + + < + + + + + ⇔ <

b)

1 1 1 1 1 2 3 19961 ... 1 ...

2 3 4 1997 2 3 4 19972 2a

a bm

+ + + + + + + + + + ++

= = =

( )19961 1 1 2 1 3 1 1996

1 1 ...2 1 1 1 ... 1 19982 2 3 3 4 4 1997 1997

999.2 2 2

de ori + + + + + + + + + +

+ + + + + = = = =

6447448

c) Din a b< prin adunarea lui a în fiecare membru a inegalității obținem 2 .a a b< +

Împărțind la 2 ultima inegalitate avem 999.2

a ba

+< =

Din a b< prin adunarea lui b în fiecare membru a inegalității obținem 2 .a b b+ < Împărțind la

2 ultima inegalitate avem 999.2

a bb b

+< ⇔ >


a) Observă că primii doi termeni ai celor două sume sunt egali, iar începând cu al treilea fiecare termen al primei sume este mai mic decât termenul corespunzător al celei de a doua ............................................................................... 1p

Prin însumare, membru cu membru, obținem a b< ………...................................... 1p b) Precizează că

( )1 1 1 2 1 3 1 1996

1 1 ...2 2 3 3 4 4 1997 1997

2 2a

a bm

+ + + + + + + + + +

+ = =

..........

2p

Deduce că 999am = ………………………………………..……......................... 1p

c) Argumentează că 9992

a ba

+< = ………………………………………..….... 1p

Argumentează că 9992

a bb b

+< ⇔ > …………………………………...…..…... 1p

INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN ARAD Strada M.Scaevola nr.9,

web : www.isjarad.ro e

Subiectul 3. Punctele �, �, �, �

15AB BC cm+ = , iar [ ] [BC BD≡

mijlocul segmentului[ ].BC

Soluție:

Avem 15 2 2 2 30AB BC cm AB BC cm+ = ⋅ ⇔ + =

devine 2 3 30 5 30 6AB AB AB AB cm+ = ⇔ = ⇔ =

Cazul I Ordinea punctelor � �

Avem 9 6 3AD BD AB cm cm cm= − = − =

Fie [ ], 1,52 2

ADM AD AM MD cm∈ = = = =

1,5 6 4,5 12MN MA AB BN cm cm cm cm= + + = + + =

Cazul II Ordinea punctelor �Avem 6 9 15AD AB BD cm cm cm= + = + =

Fie [ ], 7,52 2

ADM AD AM MD cm∈ = = = =

Din 9BC BD cm= = avem AC BC AB cm cm cm= − = − =

4,5 3 1,5AN NC AC cm cm cm= − = − =

Detalii rezolvare

Determină 6AB cm= și 9BC cm=

Cazul I Ordinea punctelor � � �

Definește [ ], 1,5M AD AM MD cm∈ = =

Determină MN MA AB BN cm= + + =

Cazul II Ordinea punctelor � �

Definește [ ], 7,5M AD AM MD cm∈ = =

Determină 6MN AM AN cm= − =



aparțin dreptei �, astfel încât 3 2 ,AB BC⋅ = ⋅

].BC BD Calculați distanța dintre mijlocul segmentului

15 2 2 2 30AB BC cm AB BC cm+ = ⋅ ⇔ + = , (1). Cum 3 2AB BC⋅ = ⋅

2 3 30 5 30 6AB AB AB AB cm+ = ⇔ = ⇔ = . De unde 9BC cm= .

� � � � � � 9 6 3AD BD AB cm cm cm= − = − = .

3, 1,5

2 2

ADM AD AM MD cm∈ = = = = și [ ],N BC∈

9

2 2

BCBN NC cm= = = =

1,5 6 4,5 12MN MA AB BN cm cm cm cm= + + = + + =

� � � � � �

6 9 15AD AB BD cm cm cm= + = + = . 15

, 7,52 2

ADM AD AM MD cm∈ = = = = și [ ],N BC∈

9

2 2

BCBN NC cm= = = =

9 6 3 ,AC BC AB cm cm cm= − = − =

4,5 3 1,5AN NC AC cm cm cm= − = − = si 7,5 1,5 6 .MN AM AN cm cm cm= − = − =

Detalii rezolvare

9BC cm ………………………………………………� � � � � și figura corespunzătoare ……………

, 1,5M AD AM MD cm∈ = = și [ ],N BC∈ 4,5BN NC cm= = ……...

12MN MA AB BN cm= + + = …………………………………………� � � � � și figura corespunzătoare ……………

, 7,5M AD AM MD cm∈ = = și [ ],N BC∈ 4,5BN NC cm= = ……

6MN AM AN cm …………………………………………….…

a dintre mijlocul segmentului [ ]AD și

AB BC , relația (1)

94,5

2 2BN NC cm= = = = .

94,5 .

2 2BN NC cm= = = =

7,5 1,5 6 .MN AM AN cm cm cm

Barem asociat

……………………………………………….. 1p ……………. 1p

... 1p

…………………………………………. 1p …………… 1p

……... 1p

…………………………………………….….. 1p

INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN ARAD Strada M.Scaevola nr.9,

web : www.isjarad.ro e

Subiectul 4. Fie semidreptele ��

adiacente, respectiv unghiurile ∢

semidreapta �� bisectoarea ∢��

în prelungirea semidreptei ��. Ș

a) determinați măsura ∢EOF

b) demonstrați că unghiurile

Soluție:

a) Din �� bisectoarea ∢��

"�∢�� "�∢��

⇒ "�∢�� Din ��$� bisectoarea ∢�� avem

"�∢��$� "�∢$��

⇒ "�∢�� Cum ∢�� și ∢�� sunt suplementare avem:"�∢�� "�∢�� 180

180% ⟺ "�∢�� 2"�∢��

⟺ ( �"�∢�� ) Cum "�∢��$� "�∢�� b) Avem �OS� și �OA� semidrepte opuse

"�∢��,� 180% ⟺"�∢Din a) avem "�∢�� 2"�∢membru cele două egalități obținem "�∢��,� "�∢��.

a) Figura corespunzătoare problemei........................................................Deduce relația "�∢�� 2"�Argumentează că "�∢�� "Precizează că "�∢��$� 90%…………………………..…………b) Scrie relația "�∢�� "și "�∢�� 2"�∢��

Argumentează că "�∢��,� "



��,��,�� și ��, astfel ca unghiurile ∢�� și

∢�� și ∢�� de asemenea sunt adiacente. Se consider

��, semidreapta ��$� bisectoarea ∢�� și semidreapta

� Știind că unghiurile ∢�� și ∢�� sunt suplementare:

EOF;

unghiurile ∢��, și ∢�� sunt congruente.

avem

� "�∢��

2 (

� 2(. avem

�"�∢��

2 )

� 2). sunt suplementare avem:

180% ⟺"�∢�� "�∢�� "�∢��

� � "�∢�� 180% ⟺ 2( � 2"�∢�� 2

90% ⟺ "�∢�� "�∢�� "�∢��$�� "�∢�� "�∢��$� avem "�∢��$�

� semidrepte opuse de unde �∢�� "�∢�� "�∢�� "�∢��,��∢�� "�∢�� 180%, (2). Scăzând membru cu

ț ținem "�∢��,� � "�∢�� 0% de unde avem

Detalii rezolvare

toare problemei.........................................................………�∢�� "�∢�� 180%…………………"�∢�� "�∢��$� 90%……………………………………………..………………………."�∢�� "�∢�� "�∢��,� 180%, �1� � "�∢�� 180%, (2) ………………………"�∢��și precizează că∢��, ≡ ∢��.……

și ∢�� sunt

de asemenea sunt adiacente. Se consideră

și semidreapta ��,�

sunt suplementare:

� � "�∢��

2) 180%|: 2� � 90%.

� 90%.

� 180%, �1�. zând membru cu

de unde avem

Barem asociat

.……… 1p

…………………. 2p

………………… 1p ……………. 1p

�1� ……………………… 1p

…….. 1p




CLASA A VII-A




Subiectul 1. Arătați că numărul:

1 1 1 1 1 11 1 ... 1 1 1 ... 1

2 3 2 3p n

n n

= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + − − ⋅ − ⋅ ⋅ −

este natural, oricare ar fi

/ ∈ 1∗.

Soluție:

) ) ) ) ) )2 3 2 31 1 1 1 1 11 1 ... 1 1 1 ... 1

2 3 2 3n n

p nn n

= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + − − ⋅ − ⋅ ⋅ − =

2 1 3 1 1 2 1 3 1 1... ...

2 3 2 3

n nn

n n

+ + + − − − = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅

( )13 4 1 1 2... ...

2 3 2 3

nnn

n n

−+= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅

( ) ( )) 2) 1 2 1 21 1

2 2 2

n n n n nnn n

n n

⋅ + − ⋅ + − += ⋅ − = ⋅ =

Cum / ∈ 1∗ avem / și / � 1 numere consecutive. Știm că produsul a două numere consecutive este divizibil cu 2 de unde rezultă ( )1 2n n⋅ + M și cum 2 2M avem ( )1 2 2n n⋅ + − M .

Deducem că ( )1 2

2

n np

⋅ + −= ∈ 1, oricare ar fi / ∈ 1∗.


Deduce 1 1 1 3 4 1 1

1 1 ... 1 ...2 3 2 3 2

n n

n n

+ + + ⋅ + ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ ⋅ =

……………………….. 2p

Deduce ( )11 1 1 1 2 1

1 1 ... 1 ...2 3 2 3

n

n n n

− − ⋅ − ⋅ − = ⋅ ⋅ ⋅ =

……………………….... 2p

Calculează( )1 2

2

n np

⋅ + −= ……………………………...…….…………………. 1p

Argumentează că ( )1 2 2n n⋅ + − M ………………………………………………..... 1p

Precizează că ( )1 2

2

n np

⋅ + −= ∈ 1, oricare ar fi / ∈ 1∗…………….…………….. 1p



Subiectul 2. Să se arate că dacă numerele strict pozitive ,a ,b c ∈ℚ verifică relația

,a b c

b c a c a b= =

+ + + atunci:

a) 2 3 2 3 2 3

a b b c c a

a b c b c a c a b

+ + ++ + ∈

+ + + + + +ℚ.

b) ( ) ( ) ( )2 2 2

ab bc ca

c a b a b c b c a+ + ∈

− − −4 ∖ ℚ.

Soluție:

Din ( )

1

2 2

a b c a b c

b c a c a b a b c

+ += = = = ⇒

+ + + + +

2

2 .

2

a b c

b a c

c a b

= +

= + = +

Se deduce că .a b c= = Avem că:

a) 2 2 2 1

3 12 3 2 3 2 3 6 6 6 3

a b b c c a a a a

a b c b c a c a b a a a

+ + ++ + = + + = ⋅ = ∈

+ + + + + +ℚ.

b) ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2 23

2 2 2

ab bc ca a a a

c a b a b c b c a a a a+ + = + + = ∈

− − −4 ∖ ℚ.


Deduce că ( )

1

2 2

a b c a b c

b c a c a b a b c

+ += = = =

+ + + + + .................................................. 2p

Precizează că 2a b c= + , 2b a c= + , 2c a b= + și deduce că a b c= = …………….. 1p

Argumentează că 2 2 2

12 3 2 3 2 3 6 6 6

a b b c c a a a a

a b c b c a c a b a a a

+ + ++ + = + + = ∈

+ + + + + +ℚ 2p

Argumentează că ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2 23

2 2 2

ab bc ca a a a

c a b a b c b c a a a a+ + = + + = ∈

− − −4 ∖ ℚ 2p



Subiectul 3. Fie ABCD trapez dreptunghic, cu m�∢�� m�∢�� 90%, AB CD< și

.AC BD⊥ Punctele M și N sunt simetricele punctelor D și C față de punctul de intersecție

a diagonalelor, iar ,MP DC⊥ .P AC∈

a) Arătați că MADP este romb;

b) Demonstrați că AM ND⊥ și .BP DP⊥

Soluție:

a) Din MP DC⊥ și AD DC⊥ rezultă ��ǁ89 și atunci ∢��8 ≡ ∢98�, �1�, ca unghiuri alterne interne.

Fie { }AC BD O∩ = . Din ipoteză avem DM AP⊥ ⇒

"�∢�� "�∢9�8� 90%, �2�. Cum punctul M este simetricul punctului D față de punctulO avem [ ] [ ]DO OM≡ , �3�. Din

�1�, �2� și �3� avem AOD POM∆ ≡ ∆ ��;� de unde rezultă că

[ ] [ ]AO PO≡ , �4�. Din �3� și �4� avem MADP paralelogram și

datorită faptului că ,DM AP⊥ MADP romb. b) Punctul N este simetricul punctului C față de punctul O de unde avem [ ] [ ]NO OC≡

�5�. Din �3� și �5� avem DCMN paralelogram de unde avem 8>ǁ��. În DMN∆ avem NO înălțime din ipoteză, iar AD înălțime deoarece

�� ? ��ǁ8> @ ⇒ �� ? 8> Cum { }NO AD A∩ = avem A ortocentrul ,DMN∆ rezultăMA

este înălțime, de unde .MA ND⊥ Din MADP romb avem [ ] [ ]AD DP ADP≡ ⇒ ∆ isoscel și atunci "�∢��9�

"�∢�9��, �6�.Cum MD este mediatoarea[ ]AP și B MD∈ avem[ ] [ ]BA BP BAP≡ ⇒ ∆

isoscel și atunci "�∢��9� "�∢�9��, �7�. Folosind �6� și �7� avem: "�∢�9�� "�∢�9�� "�∢�9�� "�∢��9� � "�∢9�� "�∢�� 90%. De aici concluzia .BP DP⊥


Realizează figura corespunzătoare datelor din problemă .………………………… 1p

a) Argumentează căMADP paralelogram ………………………………………. 1p

Deduce că MADP este romb ……………………………………………………… 1p

b) Argumentează că AD înălțime în DMN∆ …………………………………... 1p

Precizează că A este ortocentrul DMN∆ de unde MA este înălțime, adică MA ND⊥ 1p

Demonstrează că "�∢��9� "�∢�9�� și "�∢��9� "�∢�9�� …………… 1p

Argumentează că "�∢�� 90% de unde avem BP DP⊥ ……………………… 1p



Subiectul 4. Punctele �, �, � și B sunt coliniare, în această ordine, astfel încât

[ ] [ ] [ ].AD DC CB≡ ≡ Punctul E este exterior dreptei ,AB O este mijlocul segmentului

[ ],AB iar F este simetricul punctului E față de .O Dacă { },FC EB M∩ = { }MD AF N∩ = și

{ },NC EB P∩ = arătați că:

a) 8 ;EB PB=

b) 48 .AFBE CPBA A=

Soluție:

a) DinO mijlocul segmentului [ ]AB avem

[ ] [ ]AO OB≡ iar din F simetricul punctului E față de

punctul O avem[ ] [ ]EO OF≡ de unde deducem că

AFBE este paralelogram (diagonalele se înjumătățesc).

În EFB∆ avem [ ]BO mediană, [ ]C BO∈ și1 1 2

23 3 3

BC AB BO BO= ⋅ = ⋅ = de unde C este

centru de greutate.

Din �>ǁ9� avem ∆9��~∆>�� 1

,2

PB BC

NA AC⇒ = = (1).

Din �>ǁ8� avem ∆�>�~∆�8�⇒1

,2

AN AD

BM BD= = (2).

Din [ ]FM mediană în EFB∆ avem 1

,2

MB

EB= (3).

Înmulțind relațiile (1), (2) și (3) avem 1 1 1 1

2 2 2 8

BP AN MB BP

NA MB EB EB⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇔ = 8EB BP⇔ = .

b) În ECB∆ avem 1 1 1

,8 8 8

PCBPCB ECB

ECB

ABPA A

EB A= ⇔ = ⇔ = ⋅ (4). Din C centru de greutate

în EFB∆ avem1

,3ECB EFB

A A= ⋅ (5).Avem BEF AFE∆ ≡ ∆ de unde

1,

2BEF AFE BEF AFBEA A A A= ⇒ = (6)

Din relațiile (4), (5) și (6) avem1 1 1 1 1 1 1

8 8 3 8 3 2 48PCB ECB EFB AFBE PCB AFBEA A A A A A= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇔ = ⋅ de unde deducem

48 .AFBE PBC

A A=




Realizează figura corespunzătoare datelor din problemă .…................................. 1p

a) Deduce că AFBE este paralelogram.................................................................. 1p

Din �>ǁ9� avem ∆9��~∆>�� de unde obține1

,2

PB

NA= (1).

Din �>ǁ8� avem ∆�>�~∆�8� de unde obține1

,2

AN

BM= (2).............................

1p

Din [ ]FM mediană în EFB∆ de unde avem1

,2

MB

EB= (3).

Înmulțind relațiile (1), (2) și (3) și obține 1

8

BP

EB= 8EB BP⇔ = . ........................

1p

b) În ECB∆ deduce 1

,8PCB ECB

A A= ⋅ (4). ………………………………..……... 1p

Din C centru de greutate în EFB∆ deduce 1

,3ECB EFBA A= ⋅ (5).…………………. 1p

Argumentează relația 1

2EFB AFBEA A= (6) și din (4), (5) și (6) deduce

48AFBE CPB

A A=....................................................................................................................

1p




CLASA A VIII-A




Subiectul 1. a) Arătaţi că:

( )1 1 1

x ... 2017 11 2 2 3 2016 2017

= + + + +

+ + + este număr natural.

b) Să se afle x şi y astfel încât: 2 2x 4x 4000004 y 6y 298 2017− + + − + =

Soluţie: a) Raţionalizând numitorii obţinem:

( )( )1201720162017...2312 +−++−+−=x

( )( ) 2016120171201712017 =−=+−=x

x = 2016, care este număr natural

b) Relaţia este echivalentă cu:

( ) ( )2 22 2x 2 2000 y 3 17 2000 17 2017− + + − + ≥ + =

cu egalitate pentru x = 2 şi y = 3.

Detalii rezolvare Barem

asociat

a) Raţionalizează numitorii............................................................................... 1p

( )( )x 2 1 3 2 ... 2017 2016 2017 1= − + − + + − +..............

1p

x = 2016, care este număr natural..................................................................... 1p

( ) ( )2 22 2b) x 2 2000 y 3 17− + + − +

..................................................

2p

m.s. 2000 17 2017≥ + = ..............................................................................

1p x = 2; y = 3.......................................................................................................

1p



Subiectul 2. Determinaţi numerele reale x, y, z ştiind că x + y + z = E

F , x2 + y2 + z2 =

E

G .

Soluţie:

Avem : (x+y+z)2= x2+y2+z2+2xy+2zx+2yz ⇒ x2+y2+z2+2xy+2zx+2yz =H

G

E

G +2xy+2zx+2yz =

H

G

xy+zx+yz = E

G ⇒ xy+zx+yz = x2+y2+z2ǀ· 2

2xy+2zy+2xz = 2x2+2y2+2z2

(x – y )2+ (y – z )2+ ( z – x) 2 = 0 ⇒ x – y = 0 ⇒ x = y

y – z = 0 ⇒ y = z

z – x = 0 ⇒ z = x

x = y = z , dar x + y + z = E

F ⇒ x = y = z =

I

F


Ajunge la xy+zx+yz =E

G ................................................................................................ 2p

Ajunge la (x – y )2+ (y – z )2+ ( z – x) 2= 0 .............................................................. 2p

Ajunge la x = y = z ................................................................................................ 2p

Finalizează x = y = z = I

F ................................................................................................ 1p



Subiectul 3. Pe planul pătratului ABCD se ridică perpendicularele AA', BB', CC' astfel încât A', B', C' se află de aceeaşi parte a planului pătratului şi [AA']≡ [BB']≡[CC']. Să se arate că planele (AB'C) şi (A'DC') sunt paralele.

Soluţie:

AA'⊥(ABCD) , CC'⊥(ABCD) ⇒ AA' ǀǀ CC' , dar [AA']≡ [CC'] ⇒ AA'C'C paralelogram ⇒

AC ǀǀ A'C' , AC⊂ ( AB'C) , A'C' ⊂ (A'DC') (1)

BB'⊥ ( ABCD), CC'⊥ (ABCD) ⇒ BB' ǀǀ CC' , dar [BB']≡[CC'] ⇒ BB'C'C paralelogram ⇒

B'C' ǀǀ BC , B'C'= BC ,

Dar BC=AD, BC ǀǀ AD ⇒ B'C' ǀǀ AD, B'C' =AD ⇒ ADC'B' paralelogram ⇒

AB' ǀǀ C'D , AB'⊂ (AB'C), C'D⊂ (A'DC') (2)

Din (1) + (2) ⇒ (AB'C) ǀǀ (A'DC').


Arată AC ǀǀ A'C' .................................................................................................... 2p

Demonstrează că ADC'B' paralelogram ................................................................. 3p

Definitivează (AB'C) ǀǀ (A'DC') ............................................................................. 2p



Subiectul 4. Fie a, b, c dimensiunile unui paralelipiped dreptunghic cu diagonala de 3 cm.

Să se demonstreze că: a (b c) b(c a) c(a b) 6+ + + + + ≤ .

Soluţie:

Diagonala paralelipipedului este 2 2 2a b c 3+ + =

geo aritm patratica

2 2 22 2 2 3

a 1 b 1 c 1A a 1(b c) b 1(c a) c 1(a b) (b c) (c a) (a b)

2 2 2ab bc ca a b c. Folosin d inegaliatea mediilor (m m m )

a b c a b cobţinem : ab bc ca a b c 3 si 1 A 3 3 6

3 3

+ + += ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + ≤ + + + + +

= + + + + + ≤ ≤

+ + + ++ + ≤ + + = ≤ = ⇒ ≤ + =

Detalii rezolvare Barem

asociat

a 1a 1 şi analoagele

2

+⋅ ≤

..................................................................

2p

Obţine A ab bc ca a b c= + + + + + ..................................................... 2p

Obţine 2 2 2ab bc ca a b c 3+ + ≤ + + = .................................................. 1p

Obţine 2 2 2

3a b c a b c

1 a b c 33 3

+ + + +≤ = ⇒ + + ≤

........................

1p

Obţine A 6≤ .............................................................................................. 1p

Documents

INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN ARAD - matearad.romatearad.ro/STUFF/olimpiadalocala2017/OLIMPIADA. GIMNAZIU. BAREM .2017.… · OLIMPIADA DE MATEMATIC Ă – ETAPA LOCAL Ă 24.02.2017