INGEGNERIA INFORMATICA

FONDAMENTI DI AUTOMATICA

29/06/2017

Prof. Marcello Farina

SOLUZIONI

ESERCIZIO 1 Si consideri il sistema descritto dalle seguenti equazioni:

A. Scrivere le equazioni del sistema linearizzato attorno ad un generico punto di equilibrio .

B. Si calcolino le condizioni di equilibrio corrispondenti all’ingresso . Determinare le

proprietà di stabilità dei movimenti di equilibrio trovati.

C. Si consideri la seguente legge di controllo proporzionale:

Si determini l’intervallo di valori che il parametro K deve assumere affinchè l’equilibrio

sia asintoticamente stabile.

SOLUZIONE

A. Si definiscono le variabili , , e . Il sistema

linearizzato nell’intorno di un punto equilibrio generico è:

B. Le soluzioni cercate si trovano ponendo u(t)=0 e . Esistono due movimenti di

equilibrio possibili:

I.

II. .

La matrice del sistema linearizzato ottenuto al punto B è

da cui si calcola

I.

, che presenta autovalori pari a 1 e - . L’equilibrio corrispondente

risulta essere instabile.

II. )=

, che presenta autovalori pari a -1 e - . L’equilibrio corrispondente

risulta essere asintoticamente stabile.

C. Ponendo , il sistema dinamico complessivo diventa

Linearizzando questo sistema (autonomo, dato che ora non presenta variabili esogene “libere”)

intorno a un generico punto di equilibrio si ottiene una matrice

Si noti che tale sistema presenta, come possibile equilibrio, il punto , per cui la matrice

del sistema linearizzato intorno a risulta

il cui polinomio caratteristico è . Condizione necessaria e sufficiente per

l’asintotica stabilità dell’equilibrio è che , cioè che .

ESERCIZIO 2 Si consideri il sistema lineare

A. Si calcoli la funzione di trasferimento del sistema e si verifichi che corrisponde alla seguente:

Si risponda alle seguenti domande relative alla funzione di trasferimento, motivando le risposte

brevemente ma in modo esaustivo:

a. E’ strettamente propria?

b. Qual è il guadagno ?

c. Qual è la costante di trasferimento ?

d. Si determinino i poli. Qual è il polo dominante?

e. Il sistema è asintoticamente stabile?

f. Si determino gli zeri.

g. E’ a fase minima?

B. Tra i diagrammi seguenti, motivando adeguatamente la risposta, si indichi quale corrisponde con

l’andamento della risposta forzata dell’uscita ad uno scalino di ampiezza unitaria u(t)=sca(t).

C. Si determini l’espressione analitica della risposta libera dell’uscita y(t) del sistema con condizione

iniziale .

D. Si determini l’espressione analitica della risposta forzata dell’uscita y(t) del sistema a fronte di un

ingresso esponenziale , per .

SOLUZIONE

A. Attraverso la formula si ottiene la funzione di trasferimento richiesta.

a. è strettamente propria.

b. .

c. .

d. I poli sono s=-1, s=-10. Il polo dominante è s=-1.

e. Dato che il numero di poli equivale all’ordine del sistema essi corrispondono con gli autovalori

dello stesso. Pertanto, il sistema risulta asintoticamente stabile.

f. Il sistema presenta uno zero in s=1/2.

g. In virtù del punto f. il sistema non è a fase minima.

B. La risposta è quella mostrata nel grafico A. Infatti:

dal punto A.e, la risposta forzata cercata converge;

dal punto A.b, il valore al quale converge la risposta forzata cercata è 2;

dal punto A.c e dall’applicazione del teorema della risposta iniziale la derivata della risposta

forzata cercata nel punto t=0 è negativa e pari a . Questo implica che la traiettoria è

caratterizzata dal fenomeno della risposta inversa.

A

B

C

D

dal punto A.d,, la costante di tempo del sistema è pari a s, per cui il tempo di

assestamento del sistema è circa pari a 5 s.

C. Dato che gli autovalori del sistema sono pari a e , i modi propri sono e .

La risposta libera dell’uscita è una combinazione lineare dei suddetti modi cioè

Inoltre, si calcola che e . Da ciò

si ricava che e .

D. La trasformata di Laplace del segnale di ingresso è

, da cui la trasformata di Laplace del

segnale di uscita (forzata) è

Per ricavare e si utilizza il metodo dei residui:

Per ricavare si pone s=0, ottenendo

da cui si ricava che . Antitrasformando la funzione ottenuta si ricava che per ,

ESERCIZIO 3 Si consideri di nuovo il sistema lineare

e la corrispondente funzione di trasferimento

A. Si traccino i diagrammi di Bode asintotici del modulo e della fase della funzione di trasferimento

G(s) sull’apposito foglio di carta semilogaritmica.

B. Tra i diagrammi seguenti, motivando adeguatamente la risposta, si indichi quale corrisponde con il

diagramma di Nyquist della funzione di trasferimento G(s).

C. Considerando il sistema di controllo

A

C

B

D

si determinino (approssimativamente) i valori che il parametro reale K deve assumere affinchè il

sistema retroazionato sia asintoticamente stabile. Suggerimento: è possibile usare il criterio di Nyquist

“esteso”.

SOLUZIONE

A. I diagrammi cercati sono mostrati nella figura sottostante.

B. Il diagramma corrispondente è il diagramma C.

C. Per risolvere il problema è possibile applicare il criterio di Nyquist. Si noti che la funzione di

trasferimento G(s) non presenta poli con parte reale positiva. Perciò P=0. Per il criterio di Nyquist

“esteso” condizione necessaria e sufficiente per l’asintotica stabilità del sistema retroazionato in

figura è che il diagramma di Nyquist di G(s) non compia giri attorno al punto

. In altre parole, si

chiede l’intervallo di valori di K per cui

o

. Ciò si verifica per

ESERCIZIO 4 Si consideri lo schema di controllo sottostante.

dove la funzione G(s) è la funzione di trasferimento di un sistema di ordine 2 ed è la seguente.

A. Si determini la funzione di trasferimento R(s) del regolatore in modo tale che

a. L’errore a transitorio esaurito sia tale che quando sca , n(t)=0 e

d(t)= sca .

b. L’ampiezza del segnale d’errore a transitorio esaurito, sia minore o uguale a . quando

0, d(t)=sin( ) e n(t)=0, con . rad/s.

c. La sovraelongazione percentuale della risposta del sistema ad anello chiuso a un segnale

sca sia minore del 3 % e il tempo di assestamento all’ % del valore di regime sia

minore di 10 s.

B. Si determini la funzione di trasferimento del regolatore ottenuto discretizzando R(s) con il

metodo di Eulero esplicito (in avanti) e con il valore di . s, valutando la variazione di margine

di fase dovuta alla discretizzazione.

C. Scrivere la corrispondente legge di controllo a tempo discreto, cioè il corrispondente sistema a

rappresentazione esterna nel dominio del tempo.

SOLUZIONE

A. Si considerino le specifiche del testo. Prima di tutto è necessario tradurle in specifiche sulla funzione

d’anello L(s).

a. E’ possibile soddisfare la specifica richiesta al punto a. ponendo . In questo caso si sceglie

, che corrisponde a porre , dato che il sistema già presenta un polo in s=0.

b. La seconda specifica corrisponde a richiedere che dB per . rad/s.

c. La terza serie di specifiche richiede una distinzione preliminare:

Se % si ha che S%=0 e che % , per cui si chiede che . rad/s;

Se % perchè S%<30 occorre che . , mentre si ha che % , dove

, da cui la richiesta sul tempo di assestamento si traduce in richiedere che .

Progetto

Prima di tutto si mette alla prova il regolatore statico . In questo caso si ottiene che

I diagrammi di Bode corrispondenti con sono mostrati sotto.

Si ricava che . rad/s e , da cui si ottiene che , il che non permette di

soddisfare la specifica c. si noti che non è possibile diminuire il guadagno del regolatore (che

permetterebbe di aumentare il margine di fase) perché un guadagno minore di 1 farebbe violare la

specifica b.

Per risolvere il problema, è necessario che il regolatore sia progettato in modo da cancellare il polo a

bassa frequenza (per realizzabilità si deve aggiungere un polo ad alta frequenza), cioè che, ad esempio

Ciò permette di ottenere

alla quale corrispondono i diagrammi di Bode seguenti

Si ricava che rad/s e , da cui si ottiene che . Le tre specifiche sono dunque

verificate.

B. Per determinare la funzione di trasferimento a tempo discreto si applica, nella funzione di

trasferimento trovata, la sostituzione

Si ottiene dunque

.

. .

. .

Il ritardo indotto dal campionamento e dal mantenitore è pari a

. , che corrisponde a una

variazione sul margine di fase pari a

. .

C. Per ricavare la legge di controllo si ricordi che

Si ricava che . . . Anti trasformando si ottiene