Prlogo

El presente informe de laboratorio que tiene por ttulo pndulo fsico y teorema de Steiner en la seccin a la cual pertenece el grupo de trabajo estuvo a cargo del Ing. Jos Pachas, profesor del curso de fsica II de la facultad de Ingeniera Mecnica.

El tema nos es til para entender los diferentes mtodos que existen para hallar el momento de inercia de un cuerpo, sobre todo si tiene una geometra desconocida.

Tambin es una oportunidad que tenemos los alumnos pertenecientes al grupo, para poder dar un aporte que sea til a nuestros compaeros, con los cuales intercambiaremos informacin sobre el tema desarrollado, resultados y as sacar conclusiones con las cuales sacar recomendaciones para mejorar el experimento realizado.

ndice

Prologo ndiceObjetivos Representacin esquemticaFundamento terico Materiales Clculos y resultadosObservacionesConclusiones Recomendaciones BibliografaApndice

Objetivos

Comprobar experimentalmente las leyes del pndulo fsico constituido por una barra metlica, midiendo el periodo de oscilacin del mismo para varias posiciones del centro de oscilacin.

Hallar la variacin del T (periodo), respecto a la longitud entre el c.g. y el eje en que oscila.

Determinar el tipo de movimiento respecto al ngulo de giro de la barra metlica.

Conocer el procedimiento del clculo del momento de inercia para cuerpos con geometra desconocida.

Fundamentacin Terica

El pndulo fsico Un pndulo fsico es cualquier cuerpo rgido que puede oscilar alrededor de un eje horizontal bajo la accin de la fuerza de gravedad. En la Figura 1 se representa la oscilacin en un instante dado:

Figura 1

La distancia desde el punto de apoyo hasta al centro de gravedad del cuerpo es igual a b. En la misma Figura se representan las fuerzas que actan sobre el cuerpo rgido. Si el momento de inercia respecto a un eje une pasa por O del cuerpo rgido es , la segunda ley de Newton de rotacin da como resultado,

Se debe observar que la fuerza de reaccin R que ejerce el pivote en O sobre el cuerpo rgido no hace torque, por lo que no aparece en la ecuacin. Adems, tambin es necesario resaltar que esta ecuacin diferencial no es lineal, y por lo tanto el pndulo fsico no oscila con M.A.S. Sin embargo, para pequeas oscilaciones (amplitudes del orden de los 10), , por tanto,

Es decir, para pequeas amplitudes el movimiento pendular es armnico. La frecuencia angular propia es:

el periodo y la frecuencia propios sern:

La cinemtica del movimiento pendular para pequeas oscilaciones es en funcin de las variables angulares (elongacin angular, velocidad angular y aceleracin angular),

En la siguiente simulacin se ilustra, una regla oscilando. Se permite cambiar el punto de suspensin, la posicin angular inicial, la velocidad angular inicial. Tambin se pueden graduar la velocidad de barrido y la amplificacin en el oscilgrafo.

MOMENTO DE INERCIA

Dado un eje arbitrario, para un sistema de partculas se define como la suma de los productos entre las masas de las partculas que componen un sistema, y el cuadrado de la distancia r de cada partcula al eje escogido. Representa la inercia de un cuerpo a rotar. Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo) lo anterior se generaliza como:

El subndice V de la integral indica que hay que integrar sobre todo el volumen del cuerpo.Este concepto, desempea en el movimiento de rotacin un papel anlogo al de masa inercial en el caso del movimiento rectilneo y uniforme. (La masa es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslacin y el Momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotacin).

Momentos de inerciaDado un eje que pasa por el centro de masa de un slido, y dado un segundo eje paralelo al primero, el momento de inercia de ambos ejes est relacionado mediante la expresin:

Donde:Es el momento de inercia del cuerpo segn el eje que no pasa a travs de su centro de masas;Es el momento de inercia del cuerpo segn un eje que pasa a travs de su centro de masas;Es la masa del objeto;Es la distancia perpendicular entre los dos ejes.El resultado anterior puede extenderse al clculo completo del tensor de inercia. Dado una base vectorialBel tensor de inercia segn esa base respecto al centro de masas y respecto a un punto diferente del centro de masas estn relacionados por la relacin:

Donde:Es el vector con origen en G y extremo en P.

DemostracinSe asumir, sin prdida de generalidad, que en un sistema de coordenadas cartesiano la distancia perpendicular entre los ejes se encuentra a lo largo del eje x y que el centro de masas se encuentra en el origen. El momento de inercia relativo al eje z, que pasa a travs del centro de masas, es:

El momento de inercia relativo al nuevo eje, a una distancia perpendicular r a lo largo del eje x del centro de masas, es:

Si desarrollamos el cuadrado, se obtiene:

El primer trmino es Icm, el segundo trmino queda como mr2, y el ltimo trmino se anula, puesto que el origen est en el centro de masas. As, esta expresin queda como:

Clculos y Resultados

2. a. Grafique T vs L

Encontrar el valor de L para un periodo mnimo como ya conocemos la funcin por la cual se rige que es una especie de parbola, entonces hallamos la primera derivada la igualamos a 0, as obtenemos el mximo relativo:

b. A partir de la ecuacin (13.1), con I dada por la ecuacin (13.2), encuentre el valor de l para que el periodo es mnimoL minino con la ecuacin = 31.77 cm

c. compare el valor del obtenido en b). con el obtiene de la grfica en (a)lminimo obtenido por la ecuacin= 31.77 cmlminimo obtenido por la grfica = 33.95 cm

%error = =6.42%

d. cul es el periodo mnimo para esta distancia?El periodo mnimo obtenido con la relacin (13.1)

Remplazando l=33.95 cmT= 1.6008622 se. De su grfico, puede deducir dos puntos de oscilacin con el mismo periodo?

3. tabla 2N de huecoeje de oscilacin (cm)(periodo)2T2 (s2)Momento de inercia (Kg.m2)(cm2)

1502.660.7872312500

2452.740.729817212025

3402.620.620315041600

4352.550.528274021225

5302.510.44570346900

6252.610.38621714625

7202.820.33383366400

8153.140.27878662225

9104.250.25155906100

105.86.990.2068703325

4. Haga la grfica l2 vs Ii

Columna1linercia

I10.250.78723187

I20.20250.72981721

I30.160.62031504

I40.12250.52827402

I50.090.44570346

I60.06250.38621714

I70.040.33383366

I80.02250.27878662

I90.010.25155906

I100.00250.20687033

5. El grafico anterior, y por comparacin con la ecuacin (13.2) determine, segn la graficaMasa =2.3708 kgIG =0.2287 kg.m2

6. Comparar el valor de Ig obtenido en el paso 5 con el de la formula analtica, hallar el error experimentalTerico: =

Masa M=2.382 Kg%error masa = =0.47019%%error IG= =4.86688%

7. Hallar la longitud del pndulo simple equivalenteEl periodo de las oscilaciones delPndulo fsico o compuesto, es

La expresin del periodo del pndulo simple de longitudes

Igualando ambas expresiones obtenemos

En este caso hallaremos la longitud del pndulo simple equivalente para el hueco 5

= =0.9099m8. Demostrar en forma analtica las relaciones (14.1) y (14.2)ECUACION 14.1.

En la posicin mostrada el cuerpo esta desplazado del equilibrio un ngulo . La distancia de O al centro de gravedad es d, en momento de inercia del cuerpo alrededor del eje rotacin es I y la masa es m .Cuando el cuerpo se desplaza como se muestra, el peso mg causa un momento de torsin de restitucin.= -(mg) (dsen)Si se suelta el cuerpo, oscila alrededor de su posicin de equilibrio. El movimiento no es armnico simple porque el momento de torsin es proporcional a (>15) en radianes, y el movimiento es aproximadamente armnico simple. Entonces=-(mgd)La ecuacin del movimiento es , as que:

Entonces:=

ECUACION 14.2:El momento de inercia para un sistema de n partculas con respecto de un eje de giro y si el cuerpo es tal que su masa est distribuida en forma continua, subdividimos su masa en elementos infinitesimales dm ubicados a una distancia r del eje de rotacin, esto significa que el momento de inercia est dado por:dm

La figura representa un cuerpo continuo ubicado en el plano de la hoja ,donde el eje z pasa por el centro de masa del cuerpo ,esto significa que las coordenadas del centro de masa son dadas por: =0 =0 =0Las coordenadas del elemento de masa dm son:X= y=r z=0Las coordenadas del punto P son:X=a y=0 z=0Por P pasa otro eje de giro perpendicular a la hoja y paralelo al eje Z . El trazo CP =a. El momento de inercia del cuerpo con respecto al eje Z que pasa por el centro de masa es:=El momento de inercia del cuerpo con respecto de un eje que pasa por P y que es paralelo al eje z del centro de masa es:

De la figura y aplicando el teorema del coseno para un tringulo, que relaciona las dimensiones de dos de sus lados y el ngulo comprendido entre ellos, se obtiene:

De manera que: Dado que a =constante, tenemos: = Por otro lado sabemos que por definicin de coordenadas del centro de masa: = donde M =

= +

Conclusiones En un pndulo fsico, cuanto ms se acerca el eje de oscilacin al centro de gravedad, su periodo disminuye y luego aumenta.

En el experimento se pudo hallar la longitud de un pndulo simple equivalente a la barra metlica, utilizando previamente el periodo experimental.

En el desarrollo del laboratorio nos dimos cuenta que existe fuerzas que no consideramos en los resultados como la fuerza de friccin del aire.

En el experimento se pudo poner a prueba las frmulas de pndulo fsico hechas en clase.

Comentarios

Durante la experiencia tuvimos un percance cuando el pndulo chocaba con el soporte, por lo que debimos ser cuidadosos para que no haya un choque entre estos dos materiales.

Al momento del conteo de las oscilaciones se tiene que estar muy concentrado al momento de presionar el botn para detener el conteo ya que de eso depende que exista un menor margen de error en los clculos.

Mientras realizamos el experimento debemos corroborar algunas teoras previamente aprendidas para mejorar el aprendizaje sobre dicho experimento.