Informe Analisis Estrutural II-portico

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ

FAC. INGENIERÍA CIVIL

}

INTRODUCCIÓN

Anteriormente se ha venido analizando el equilibrio de una estructura de

barras en función a su relación lineal entre causa y efecto. Las ecuaciones de

equilibrio se planteaban independientemente al estado de tracción al que

quedaba sometido el material constituyente de la estructura, asimismo se

despreciaba el margen de cambio de la geometría que la carga podría

producir.

La distorsión de la directriz recta de una barra sometida a un esfuerzo axial,

genera fuerzas internas en la que están acoplados dicho esfuerzo axial y una

ley de momentos flectores a lo largo de su directriz, analizándose así mismo

los conceptos de inestabilidad.

En el presente trabajo, se tiene en cuenta la incidencia de esos parámetros

al plantear las ecuaciones de equilibrio de la estructura, considerando el

comportamiento no lineal de la misma, atendiendo a la problemática

suscitada al contemplar el efecto de compatibilización, de las deformaciones

que genera la entrada de carga a la estructura con los estados de solicitación

de los elementos. Todo ello en un contexto restringido de movimiento, es lo

que se conoce como el análisis de segundo orden.

ANALISIS ESTRUCTURAL II



OBJETIVOS

Analizar un pórtico plano de concreto armado, considerando la aplicación simultanea de cargas y una armadura.

El objetivo será hacer una comparación tanto en el análisis de 1er orden como el análisis de 2do orden, y así poder hacer y observas las diferencias entre ellas.

El objetivo principal de este trabajo es realizar el análisis de 2do orden – Efecto P – Delta.

Este trabajo se desarrollara usando los programas del Mathcad 14 y el Sap2000 v15.




II.-MARCO TEORICO

ANÁLISIS DE SEGUNDO ORDEN

Se basa en satisfacer las ecuaciones de equilibrio para la estructura deformada, linealizando el efecto P - ∆

MÉTODO DE LA MATRIZ GEOMÉTRICA: Se generan momentos adicionales asociados al movimiento de.la masa que participa en la respuesta estructura! hacia su posición deformada asociada a la carga lateral. Estos parámetros corresponden a la no linealidad geométrica, es decir grandes deformaciones que provocan cambios notables en la geometría, de la estructura.

Las ecuaciones de equilibrio se plantean en la situación deformada de la estructura. A medida que las cargas se incrementan se observan los efectos de cambios en la geometría obteniéndose soluciones para calcular los desplazamientos asociados {u} aproximando el problema no lineal por medio de una secuencia de segmentos no lineales. A su vez se generan términos no lineales los cuales deben incluirse en la matriz de rigidez {k}, de manera que:

DONDE:

[k]: Matriz de rigidez convencional

[kG]: Matriz de rigidez geométrica

DETERMINACIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA BARRA EN TERORÍA DE SEGUNDO ORDEN: En este análisis el valor de los coeficientes que la integran ya no términos constantes, sino son términos dependientes del esfuerzo axial, por cuanto la forma final de la ecuación de equilibrio, depende de la propias soluciones del problema.

RIGIDEZ AL DESPLAZAMIENTO LONGITUDINAL: El efecto que se produce en una barra sometida al esfuerzo axial, no difiere al principio, al tener en cuenta o no los fenómenos derivados del análisis en segundo orden. Es por ello que de momento seguirán siendo válidas las expresiones y relaciones de equilibrio definidas en el análisis de primer orden.




DESARROLLO DEL ENUNCIADO

PREDIMENSIONAMIENTO

1. PREDIMENSIONAMIENTO DE COLUMNA

Tipo C1 Columna interior P=1.10PG

(para los primeros pisos)

N<3 pisos n= 0.30

Tipo C1 Columna interior P=1.10PG

(para los 4 últimos pisos

superiores)

N>4 pisos n= 0.25

Tipo C2, C3 Columnas extremas de

pórticos interiores

P=1.25PG

n= 0.25

Tipo C4 columnade esquina

P=1.50PG

n= 0.20

Acolumna=f∗Pservicio

n∗f 'c

Considerando que el diseño es en la ciudad de Huancayo:

f =1.25


8m 8m

2m

5m



n =0.25

Pservicio=W y∗162

=5∗162

=40 .00Ton

∴→ Acolumna=1.25∗4 0 ton.

0.25∗210Tom/m2=2.857m2

t 1∗t 2=2.857m2

∴→se usara : t 1=0.4m.

∴→se usara : t 2=0.85m .

2. PREDIMENSIONAMIENTO DE VIGA

h=Luz Libre10

aLuz Libre12

∴→h= 810

a812

=0.8 a0.67m.

∴→se usara :h=0.8m .

∴→se usara :b=0.4m.




a) ANALISIS DE PORTICO CON BASES EMPOTRADAS:

ANALISIS LINEAL:

ANALISIS NO LINEAL:




b) ANALISIS CON ROTULAS FIJAS EN LAS BASES:ANALISIS LINEAL:

ANALISIS NO LINEAL:




c) ANALISIS INVREMENTANDO LA RIGIDEZ DE LA COLUMNA EN 25%:

SABEMOS QUE LA SECCION DE LA COLUMNA ES DE 0.4 x 0.85

0.85 m

0.40 mEL CUAL ME ARROJA UNA MOMENTO DE INERCIA DE:

I=0.4 x 0.853

12

I=0.0204708333m4

LA NUEVA SOLICITACION INDICA QUE LA RIGIDEZ DEBE SER 25% MÁS:

I=0.0204708333+0.25 x 0.0204708333I=0.0255885417 m^4 MANTENIENDO EL ANCHO DE 0.40 m TENEMOS LA NUEVA DIMENSION DE:

I=0.0255885417=0.4 xh4

12

h=0.95

0.95 m




0.40 m

ANALISIS LINEAL:

ANALISIS NO LINEAL:




MATRIZ DE RIGIDEZ GEOMÉTRICA DE UNA BARRA AXIAL:

En la figura se muestra una barra sometida a una carga aplicada, la barra se mueve de su posición original i– j a su posición deformada i’ – j’:

DESPLAZAMIENTO:

1. extremo i:

En x: u1x

En y: u1y

2. Extremo j:

En x: u2x

En y: v2y

BARRA:

Área: A

Longitud: L

Módulo de elasticidad: E

LA DEFORMACIÓN ∆ X SE DETERMINA A PARTIR DE:




❑x=uxx

+ 12 ( u y

x )2

El segundo término es no lineal los desplazamientos Ux y Uy varían linealmente a lo largo del elemento y se obtienen a partir de la relación:

{uXu y}=[1− x

L0

xL

0 1− xL

0

0xL ]∗{u1Xu1 y

u2Xu2 y

}POR LO TANTO:

uxx

= 1L∗(−u1 X+u2x )………(1)

uyx

=1L∗(−u1 y+u2 y )………(2)

La energía de deformación Ui almacenado en la barra suponiendo que las relaciones constitutivas son elásticas lineales se determinan a partir de:

U=12∫E❑X

2 dV=¿ EA2∫0

L [ uxx +( uyx )2]2

dx¿

U=EA2∫0

L [( uxx )2

+( uxx )(u y

x )2

+( uyx )4]dx……….(3)

Si se sustituyen las ecuaciones (1), (2) en la ecuación (3), y se desprecia el término de alto orden, se tiene que:

U= EA2 L2

∫0

L

(u1 X2−2u1Xu2x+u2x2 )dx+ EA2L3

∫0

L

[(−u1X+u2 x)+(u1 y2−2u1 yu2 y++u2 y2 ) ]dx

DESARROLLANDO LA INTEGRAL:




U=EA2 L

(u1 X2−2u1Xu2x+u2x2 )+ EA

2L2[ (−u1 X+u2x )+(u1 y2−2u1 y u2 y++u2 y

2) ]………(4)

Para deformaciones relativamente grandes, la carga axial de tensión en la barra será constante e igual a:

F= EAL

(u2x−u1x )……….(5)

SUSTITUYENDO LA ECUACIÓN (5) EN LA ECUACIÓN (4):

U=EA2 L

(u1 X2−2u1Xu2x+u2x2 )+F2L

(u1 y2−2u1 yu2 y++u2 y2 )………(6)

La primera parte del teorema de Castigliano también es aplicable para deformaciones grandes, siempre y cuando se utilicen planteamientos adecuados para las deformaciones

Entonces a partir de la ecuación (6) se plantean las ecuaciones constitutivas (esfuerzo –deformación) como:

F1X=Uu1x

=EAL

(u1 X−u2 x)……… (7.1)

F1 y=Uu1 y

= FL

(u1 y−u2 y )……… (7.2)

F2X=Uu2x

= EAL

(−u1X+u2x )………(7.3)

F2 y=Uu2 y

= FL

(−u1 y+u2 y )………(7.4 )

EXPRESAMOS LAS ECUACIONES (7), EN NOTACIÓN MATRICIAL, TENEMOS:




EXPRESANDO BAJO UNA NOTACIÓN SIMBÓLICA, SE TIENE QUE:

Se observa que la rigidez total de la barra está compuesta por la matriz de

rigidez elástica o de primer orden [K❑] y la matriz de rigidez geométrica [KG ]o de segundo orden. Se puede notar que la matriz de rigidez elástica es la misma que se ha dado en el análisis de primer orden.

EXPRESIÓN GENERAL DE LA MATRIZ (ARRIOSTRES):

Siendo:

DX= Xj–Xi

DY= Yj-Yi

L=√DX 2+DY 2

Cx=cos=DXL

Cy=sen=DYL

EJE GLOBAL

EJE LOCAL:


[F1xF1 yF2xF2 y

]=EAL [ 1 0 −1

0 0 0−10

00

10

0000]∗{u1 xu1 y

u2 xu2 y

}+ FL [0 0 00 1 000

0−1

00

0−101

]∗{u1xu1 yu2xu2 y

}{F }=( [K❑]+[KG ]) {u }=[K ] {u }



Tanto en el extremo “i” como en el extremo “j” del elemento, los vectores a rotar son los correspondientes a:

- Desplazamiento: u⏟' (e)

=T⏟ (e)∗u⏟(e)

………(a)

- Fuerzas: : f⏟' (e)

=T⏟(e)∗f⏟(e)

………(b)

EN EL EJE LOCAL:

k⏟ ' (e)∗u⏟' (e)=f⏟ '(e)………(c )

REEMPLAZANDO (A), (B) EN (C):

k⏟ ' (e)∗T⏟ (e)

∗u⏟ (e)=T⏟(e)

∗f⏟(e)

MULTIPLICANDO POR T⏟T (e)

:

T⏟T (e)

. k⏟ '(e). T⏟ (e)

. u⏟ (e)=T⏟T (e)

. T⏟(e). f⏟(e)

SABEMOS QUE A NIVEL GLOBAL:

k⏟ (e)∗u⏟(e)

=f⏟(e)

POR LO TANTO:

k⏟ (e)=T⏟T (e)

. k⏟ '(e). T⏟ (e)

……… (d )




T⏟=[ cos sen 0−sen cos 000

00

cos−sen

00sencos

]=[ Cx Cy 0−Cy Cx 000

00

Cx−Cy

00CyCx

]… ..(¿1)

T⏟T=[cos −sen 0sen cos 000

00

cossen

00

−sencos

]=[Cx −Cy 0Cy Cx 000

00

CxCy

00

−CyCx

]……(¿2)

SABIENDO QUE:

K❑=EAL [ 1 0 −1

0 0 0−10

00

10

0000]

KG=FL [0 0 00 1 000

0−1

00

0−101

]POR LO TANTO:

K= EAL [ 1 0 −1

0 0 0−10

00

10

0000]+ FL [0 0 0

0 1 000

0−1

00

0−101

]………(e )

REEMPLAZANDO (*1), (*2) Y (E) EN (D) SE OBTIENE:





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