Informatike dhe Programim.pdf

Dr. sc. Ahmet SHALA

INFORMATIKË DHE PROGRAMIM FAKULTETI I INXHINIERISË MEKANIKE

VITI I PARË, SEMESTRI I PARË

PRISHTINË, 2014

Dr. sc. Ahmet SHALA

2

Parathënie

Programe që mund të i shfrytëzojmë në Inxhinieri, janë: MathCad për matematikë, ndërsa për nivele më të larta Matlab - gjuhë programuese dhe C++ programimi, etj.

MS Office paketi ka përdorim të gjithanshëm pra kuptohet edhe në Inxhinieri si: përpunimi i tekstit në MS Word, Llogaritjet-Tabelat-grafiqet etj., në Excel dhe prezantimet në PowerPoint.

MathCad mund të shfrytëzohet për caktim të reaksioneve (zgjidhje të sistemeve të ekuacioneve të ekuilibrit) si dhe për llogaritje dhe vizatim të diagrameve statike, duke i analizuar të gjitha specifikat e diagrameve statike si rastet kur forca transversale është zero, momenti i përkuljes maksimal. Gjithashtu ky softver mund të përdoret mjaft mirë në analizë dhe sintezë të mekanizmave etj.

Matlab si gjuhë programuese e nivelit të lartë është i destinuar për lëmine e rregullimit në përgjithësi. Baza e punës së këtij softveri është në matrica.

Ky libër është i renditur sipas Syllabusit (plan-programit) të lëndës Informatikë dhe programim (semestri i parë) për nivelin e studimeve Bachelor në Fakultetin e Inxhinierisë Mekanike por mund të përdoret edhe nga ana e studentëve dhe studiuesve tjerë të lëmive teknike.

Mendojmë se me aplikim të këtyre softverëve aplikativë dhe gjuhëve programuese do t’i tërheqim studentët më tepër, dhe kurrsesi nuk do të shkaktojmë “mos studim të hollësishëm të lëmive” në aspektin teorik, përkundrazi do të kemi më shumë kohë për studim të rasteve të veçanta – speciale e nuk do të humbim kohë në zgjidhje p.sh të një sistemi të ekuacioneve të komplikuar, etj. Fundja “Njeriu e ka krijuar teknologjinë për t’ia lehtësuar punët vetit e jo për t’ia komplikuar”.

Duke qenë i hapur për vërejtje dhe sugjerime qëllim mira, shpresojmë se ky libër do të mirëpritet.

Prishtinë, Shtator 2014 Autori

Informatikë dhe Programim

3

PËRMBAJTJAParathënie ............................................................................................................................................... 2 1. MS Word ............................................................................................................................................ 4

1.1. Hapi i parë në MS Word dokument, Dizajnimi i fletëve të dokumentit ..................................... 4 1.2. Rregulla të arta ............................................................................................................................ 5 Si të përpilojmë një dokument? ......................................................................................................... 5

1.2.2. Udhëzime si të realizohet dokumenti/file ‘Rregulla të arta’ në Word ................................. 6 1.3. Si të krijojmë Tabela në Word .................................................................................................. 11 1.4. Thyerja e dokumentit që përmban fotografi në Word ............................................................... 13 1.5. Shkrimi e formulave në Word ................................................................................................... 14 1.6. Disa elemente tjera në MS Word dokument ............................................................................. 16

1.6.1. Krijimi i Folderit në Desktop: ............................................................................................ 17 1.6.2. Krijimi i File-it NË WORD ............................................................................................... 17 1.6.3. Elemente shtesë për WORD .............................................................................................. 18

1.7. Përmbajtja e titujve të dokumentit në Word ............................................................................. 19 2. MS Excel .......................................................................................................................................... 20

2.1. Formulat e para ......................................................................................................................... 20 2.2. Llogaritja e një Fature ............................................................................................................... 21 2.3. Mesatarja dhe grafiku – Departamenti Mekatronikë ................................................................ 22 Shembull 1: ...................................................................................................................................... 24 Shembull 3: ...................................................................................................................................... 28

3. MS Power Point ............................................................................................................................... 29 3.1. Startimi i programit ................................................................................................................... 29

4. Softveri MATHCAD ........................................................................................................................ 38 4.1 Startimi i Softverit MATHCAD ................................................................................................ 38 4.2. Operacionet aritmetikore me numra ......................................................................................... 39 4.3. Vlera e funksioneve themelore trigonometrike ......................................................................... 40 4.4. Logaritmi natyral dhe ai me bazë arbitrare ............................................................................... 42 4.5. Veprimet me numra kompleks .................................................................................................. 43 4.6. Veprimet-operacionet me njësi ................................................................................................. 45 Shembull .......................................................................................................................................... 47 4.7. Zgjidhja e ekuacioneve dhe sistemeve të ekuacioneve ............................................................. 48

4.7.1. Zgjidhja e ekuacionit linear me një të panjohur ................................................................. 48 4.7.2. Zgjidhja e ekuacionit kuadratik .......................................................................................... 49 4.7.3. Zgjidhja e sistemit të ekuacioneve ..................................................................................... 51 4.7.4. Zgjidhja e inekuacioneve ................................................................................................... 54

4.8. Veprimet me vektor dhe matrica ............................................................................................... 55 4.8.1. Veprimet me vektor ........................................................................................................... 55 4.8.2. Veprimet me matrica .......................................................................................................... 56

4.9. Paraqitja grafike e funksioneve ................................................................................................. 58 4.9.1. Funksionet me një variabël ................................................................................................ 58 4.9.2. Funksionet që ndryshojnë në intervale të veçanta sipas argumentit .................................. 60 4.9.3. Grafiku i funksioneve parametrike .................................................................................... 61 4.9.4. Funksionet me dy variabla ................................................................................................. 62

4.10. Derivatet dhe integralet e funksioneve .................................................................................... 63 5. Softveri Matlab (MATrix LABoratory) ........................................................................................ 65

5.1. Instalimi dhe Startimi i softverit Matlab ................................................................................... 65 5.2. Paraqitja grafike e funksioneve ................................................................................................. 69 5.3. Matlab / Simulink...................................................................................................................... 76

5.3.1. Krijimi i modelit për zgjidhje të ekuacioneve (sistemit të ekuacioneve) diferenciale të të gjitha llojeve ................................................................................................................................. 82

Literatura .............................................................................................................................................. 86

Dr. sc. Ahmet SHALA

4

1. MS Word

1.1. Hapi i parë në MS Word dokument, Dizajnimi i fletëve të dokumentit

Shkoni në Page Layout/Page Setup

Page Setup 3 Page Setup 4 Page Setup 5

Margjinat-Margins Formati i letrës Karakterizime të:

Lartë – Top A4 faqes së parë

21x29.7cm faqeve çift dhe tek

Majtas Djathtas pozicionimi i Header

Left Right pozicionimi i Footer

Poshtë - Bottom


5

1.2. Rregulla të arta

Si të përpilojmë një dokument?

Në mënyrë që dokumenti i ynë të ketë pamje sa më të mirë e profesionale, e sidomos nëse jemi fillestarë në përdorimin e kompjuterit duhet t’i kemi disa rregulla parasysh. Këto rregulla do të na ndihmojnë që ta rregullojmë dokumentin më shpejtë dhe mjaft lehtë. Gjithmonë duhet ta kemi parasysh që:

Të mos shtypim më shumë se një hapësirë në mes të fjalëve (ka mënyra tjera se si të

krijojmë tabela, tituj ose kryerreshta.

ENTER përdoret vetëm në fund të paragrafeve (jo në fund të do rreshti sepse vetë

programi kalon në rreshtin tjetër nëse ka nevojë.

Nëse në dokumentin tonë kemi të numërojmë diçka atëherë këtë duhet ta bëjmë me

mundësitë që ofron Word e jo t’i shkruajmë vetë numrat.

Në kryerreshta të përdoret TAB në vend të hapësirave.

Titujt të rreshtohen me “alignment” dhe renditja me Heading 1, 2, 3 etj

Të regjistrojmë/ruajmë punën tonë herë pas here edhe pa e përfunduar dokumentin (në rast

se ndalet rryma apo bllokohet kompjuteri të humbim sa më pak nga puna jonë)

Praktikohet që në vend të ‘ë’ shkruhet ‘w’ dhe më vonë ato ndërrohen me një komandë

(kjo vlen vetëm kur shkruajmë dokumente në shqip)

Rregullat e mësipërme duhet të respektohen gjatë shkrimit (daktilografimit) të dokumentit. Kurse, për të krijuar një dokument në tërësi duhet që të ndiqen hapat si më poshtë:

1. Shtypet teksti i dokumentit (pa bërë rregullime).

2. Ndërrohet ‘w’ me ‘ë‘ nëse ka nevojë.

3. Rregullohen titujt dhe nëntitujt (duke përfshirë edhe fonti, madhësia, ”alignment” etj).

4. Theksohen fjalët ose rreshtat që ka nevojë (Theksimi zakonisht bëhet me Bold, Italic ose

Underline).

5. Selektohen dhe jepet komanda për numërimin e rreshtave që ka nevojë ose për krijimin e

pikave në fillim të rreshtave të rëndësishëm (bullets).

6. Zvogëlohet përqindja e faqes në “Whole Page” për ta parë nëse ka nevojë të bëhet edhe

ndonjë ndryshim, nëse jo dokumenti është gati.

VËREJTJE: Qëllimi i këtij dokumenti është që të udhëzojë përdoruesit se si të shkruhet drejtë një dokument dhe çka duhet të kenë parasysh, si dhe të ushtrohet, pasi që ky dokument duhet të përgatitet nga vetë përdoruesi.

Dr. sc. Ahmet SHALA

6

1.2.2. Udhëzime si të realizohet dokumenti/file ‘Rregulla të arta’ në Word

Fleta e dokumentit është A4 Margjinat

Heading 1

Nga kjo pamje shohim se titulli kryesorë është shkruar:

Heading 1, lloji i shkrimit ‘Times New Roman’ madhësia ‘14’ i theksuar me Bold ‘B’, alignment ‘Center’


7

Karakteristikat e Paragraf

Karakteristikat e Tabs në tërë tekstin janë të njëjta dhe atë Left: 1cm, 2cm

Dr. sc. Ahmet SHALA

8

dhe Right 17cm me ‘.....’

Heading 2

Nga kjo pamje shohim se titulli i dytë është shkruar:

Heading 2, lloji i shkrimit ‘Times New Roman’ madhësia ‘12’ i theksuar me Bold ‘B’, alignment ‘Left’

Karakteristikat e Paragraf këtu ndryshojnë vetëm hapësirat para dhe pas tekstit, të tjerat janë njëjtë si në rastin e Heading 1.


9

Teksti Normal

Nga kjo pamje shohim se teksti i zakonshëm është shkruar:

Normal, lloji i shkrimit ‘Times New Roman’ madhësia ‘12’, alignment ‘Justify’

Karakteristikat e Paragraf këtu ndryshojnë sepse nuk kemi hapësira para dhe pas tekstit, Line spacing: 1.5 lines

Listimet automatike me ‘Bullets’

Nga kjo pamje shohim se listimet ‘Bullets’ janë shkruar:

lloji i shkrimit ‘Times New Roman’ madhësia ‘12’, alignment ‘Justify’

Karakteristikat e Paragraf këtu ndryshojnë sepse nuk kemi hapësira para dhe pas tekstit, Line spacing: 1.5 lines dhe rregullimi i tekstit është bërë me ‘Indentation’. Të tjerat janë njëjtë si në normal tekst.

Dr. sc. Ahmet SHALA

10

Numërimet në këtë dokument kanë karakteristika të njëjta me ‘Bullets’.

Në rastin e shënimit të vërejtjes është përdorë shkrim i kombinuar, Bold, Italic, Underline.

Dy vijat për ta veçuar janë realizuar me ‘Bottom Border’ poshtë dhe lartë .


11

1.3. Si të krijojmë Tabela në Word

Dokumentet që krijojmë ndonjëherë përmbajnë edhe tabela. Në tabela mund të organizohet informacion i ndryshëm por qëllimi kryesor i një organizimi të tillë është lehtësia për t’u lexuar.

Që të krijojmë një tabelë ndjekim këta hapa: 1. Klikojmë menynë Insert

2. Klikojmë Table

3. Në dritaren që na shfaqet shkruajmë sa kolona

(columns) dhe sa rreshta (rows) do të ketë tabela

e jonë

4. Klikojmë OK

5. E mbushim tabelën me informacion

Informacioni në tabela organizohet në: rreshta dhe

shtylla (kolona)

Zakonisht rreshti i pare dhe/ose shtylla e parë përmbajnë janë përshkrim për informacionin që ndodhet në kolonat dhe shtyllat tjera. Për ilustrim do ta marrim si shembull orarin e mësimit.

Ora E hënë E martë E mërkurë E enjte E premte E shtune

1. Matematikë Art figurativ Gjuhë angleze Matematikë Edukatë fizike

2. Gjuhë shqipe Muzikë TIK Matematikë Matematikë

3. Gjuhë angleze Gjuhë shqipe Edukatë fizike Biologji Gjuhë shqipe

4. Gjeografi Matematikë Gjeografi Informatikë Kimi

5. Fizikë Muzikë Histori Fizikë Orë kujdestarie

6. Kimi Kimi

Tani do të shohim disa forma të gatshme të tabelave. Njëlloj si më sipër ndjekim hapat 1 deri në 4 pastaj:

Klikojmë Design...

Në dritaren që na shfaqet në rubrikën Table Styles zgjedhin njërin nga formatet e

parapërcaktuara.

Dr. sc. Ahmet SHALA

12

Ora E hënë E martë E mërkurë E enjte E premte E shtune

1. Matematikë Art figurativ Gjuhë angleze Matematikë Edukatë fizike

2. Gjuhë shqipe Muzikë TIK Matematikë Matematikë

3. Gjuhë angleze Gjuhë shqipe Edukatë fizike Biologji Gjuhë shqipe

4. Gjeografi Matematikë Gjeografi Informatikë Kimi

5. Fizikë Muzikë Histori Fizikë Orë kujdestarie

6. Kimi Kimi

Nëse dëshirojmë që të autoformatojmë një tabelë ekzistuese atëherë:

Klikojmë kudo në tabelë dhe pastaj klikojmë Design>Table Styles... dhe

pastaj zgjedhim formatin e Tabelës.


13

1.4. Thyerja e dokumentit që përmban fotografi në Word

Microsoft Word nuk shërben vetëm për të shkruar dokumente por ai është tekst procesor i dokumenteve (përpunon dokumentet në forma mjaft atraktive – kjo dukuri njihet me emrin thyerje (faqosje)) në kuptimin e vërtetë të fjalës.

Në mënyrë që dokumenti të ketë pamje sa më atraktive nuk mjafton që të theksojmë vetëm: Titujt

Të nënvizojmë ndonjë fjalë

Të përdorim “Bullets” , apo

Të përdorim numërimin

Në dokumentin tonë ne gjithashtu mund të përdorim edhe disa elemente të tjera si: Tabela

Fotografi

WordArt (Lloj i veçantë i shkrimit me efekte speciale e cila në përgjithësi përdoret për të

krijuar emblema ose logo)

Që në dokumentin tonë të fusim një fotografi (nga kompjuter) duhet të ndiqen këto hapa: 1. Klikojmë në dokument ku duam ta vendosim fotografinë.

2. Klikojmë menynë Insert

3. Klikojmë nënmenynë Picture >

4. Klikojmë Clipart ose File form në varësi se a dëshirojmë të

fusim ndonjë fotografi nga libraria e Wordit (Clipart) apo

ndonjë të krijuar nga ne.

5. E zgjedhim fotografinë dhe klikojmë Insert.

Që të mund të vendoset fotografia kudo në tekst duhet që të klikohet fotografia dhe pastaj klikohet: Format>Text Wrapping , pastaj zgjedhet Square.

Që në dokumentin tonë të fusim një WordArt duhet të ndiqen këto hapa 1. Klikojmë në menynë Insert > Wordart

2. E zgjedhim stilin e shkronjave dhe klikojmë OK.

3. E shkruajmë tekstin që dëshirojmë dhe klikojmë OK.

Dr. sc. Ahmet SHALA

14

1.5. Shkrimi e formulave në Word

Insert – Object – Microsoft Equation 3.0 ose ikona


15

Shembull: shkruani shprehjen për funksionin 3 5

3

2 x

xy

Dr. sc. Ahmet SHALA

16

1.6. Disa elemente tjera në MS Word dokument

Përveç përdorimit të “Bullets”, numërimit, “Alignment”, përdorimit të Wordart-it dhe futjes së fotografive në dokumente, ekzistojnë edhe një varg udhëzimesh të cilat mundësojnë në mënyrë automatike të fusim elemente tjera si p.sh.:

Numërimi i faqeve

Përdorimi i fusnotave

Përdorimi i “Header” dhe “Footer”

Që të numërojmë faqet në mënyrë automatike duhet që: 1. Të klikojmë Insert>Page Numbers…

2. Zgjedhim se a duam numrat në pjesën e epërme të faqes (Header) apo në fund të faqes

(Footer) si dhe a duam në mes (Center), majtas (Left) apo djathtas (Right), dhe mund të

zgjedhim llojin dhe madhësinë e fontit të tyre, nëse klikojmë Format… dhe

Që të vendosim një Header duhet që: 1. Të klikojmë Insert>Header ose Footer ose double click te numri i faqes

2. E shkruajmë Header-in dhe Footer-in

3. Klikojmë Close Header and Footer

Që të vendosim fusnota1 ndiqni hapat në vijim:

1. Klikojmë Reference>Insert Footnote

Shkruajmë fusnotën dhe pastaj klikojmë prapë në tekst për të vazhduar tekstin.

1 Fusnota është tekst që përshkruan ose jep informacion më të hollësishëm për një fjalë apo fjali të shënuar me ndonjë shenjë specifike (*) apo në të shumtën e rasteve me numra indeks lartë (superscript) në dokument. Zakonisht përdoret në dokumente ku citohen fakte të ndryshme dhe në fusnotë shënohet burimi se nga janë marrë ato.


17

1.6.1. Krijimi i Folderit në Desktop:

Me tastin e djathtë të miut - New Folder ose në Windows Explorer Home > New Folder,

Brenda këtij Folderi në Word të krijohet një file me emrin Ushtrimi 1,

Të kopjohet ky Folder në Diskun C, të provohet përmes opsioneve:

a. Edit copy-----Edit paste,

b. CTRL+C------CTRL+V,

c. Me tastin e djathtë të mausit COPY-----PASTE,

d. Me tastin e djathtë të mausit SEND TO,

e. EDIT CUT-----EDIT PASTE,

f. CTRL+X----paste me maus,

g. Kap e lësho me maus. (Drag & drop with mouse)

1.6.2. Krijimi i File-it NË WORD

Hapni programin WORD dhe shkoni: Save as në Save in definoni vendin ku dëshironi të ruani (Folderi “me iniciale” aty ku e keni ruajtur) dhe nën opsionin File Name vëni emrin Ushtrimi 1 dhe zgjidhni opsionin

Save

Dr. sc. Ahmet SHALA

18

1.6.3. Elemente shtesë për WORD

Ë=ALT+0203

ë=ALT+137

ç=ALT+135

Ç= ALT+128

Zëvendësimi në tastaturë i kllapës “[“ ose cilit do tast në tastaturë: TOOLS--AUTOCORRECT OPTIONS—AUTOCORRECT—REPLACE--[--WITH--ALT+137--REPLACE

Ruajtja e dokumentit ekzistues pas ndërhyrjeve në të SAVE==CTRL+S

Ndërrimi i njësisë matëse: TOOLS-OPTIONS-GENERAL-MEASUREMENT UNITS-CM 1. Në file e hapur titulli tij: HYRJE NE WORD B2

2. Shtimi apo largimi i shiritit Standard, Formating, Drawing etj: VIEW-TOOLBARS-

STANDARD, FORMATING, DRAWING etj.

3. Ndryshoni fontin e këtij titulli ARIAL. Ngjyra e shkronjave le të jetë e kuqe dhe madhësia

12 dhe 21 pt. (përmes veglave te formatimit dhe FORMAT-FONT (FONT, FONT

STYLE dhe SIZE)

4. Le të jetë i rreshtuar në qendër CTRL+E.

5. Të krijohet një Footer me “emri dhe mbiemri” – VIEW-HEADER AND FOOTER.

6. Kryerreshti të dhëmbëzohet për 2cm FORMAT-TABS-TAB STOP POSITION (2 cm)-

ALIGNMENT-LEFT-SET-OK,

7. Hapësira ndërmjet rreshtave të jetë 1.5 lines: FORMAT-PARAGRAPH-LINE

SPACING (1.5 lines),

8. Të shkruhet një listë me tre emra. Kjo listë të numërohet me numra romak: FORMAT-

BULLETS AND NUMBERING-NUMBERED,

9. Paraqitja e indeksit A2 apo A2: FORMAT—FONT—SUBSCRIPT OSE

SUPERSCRIPT


19

1.7. Përmbajtja e titujve të dokumentit në Word

Kryeni 4 hapat e nevojshëm për realizim të përmbajtjes në Word.

Dr. sc. Ahmet SHALA

20

2. MS Excel

2.1. Formulat e para

Shkruani në kutitë përkatëse shprehjet në rreshtin e parë prej kolonave D, E deri I.

Vlera e numrit ‘n’ merret rreshtit përkatës.

Një formulë p.sh në kutinë shkruajmë: =(A14-B14)/C14


21

Pas zëvendësimit të formulave tabela e plotësuar duket kështu:

Duhet theksuar që plotësohet vetëm rreshti i parë dhe pastaj klikojmë në kutinë përkatëse, shkojmë në këndë të saj me Mouse dhe tasti i majt i Mouses i shtypur tërhiqet poshtë në kolonën përkatëse.

2.2. Llogaritja e një Fature

Dr. sc. Ahmet SHALA

22

2.3. Mesatarja dhe grafiku – Departamenti Mekatronikë


23

Në të njëjtin File mund të paraqesim Grafikun vijues, së pari selektojmë vlerat e fituara mesatare për lëndët, pastaj shkojmë në Insert/Charts/Column dhe duke zgjedhur paraqitjen grafike ku në aksin ‘x’ horizontal selektojmë emrat e ‘lëndëve mësimore’ kurse në aksin ‘y’ vlerat e mesatareve përkatëse të tyre dhe shfaqet Grafiku vijues:

Dr. sc. Ahmet SHALA

24

Shikoni gjithashtu shembujt vijues.

Shembull 1:


25

Formatizimi:

FORMAT – CELLS –ALIGNMENT (text alignment-horizontal center, vertical center)

Të provohet për një qelulë të selektuar TEXT CONTROL: - WRAP TEXT (e kthen tekstin në dy ose më tepër rreshta për qelulë = ALT + ENTER,

- SHRINK TO FIT (e përshtatë gjatësinë e tekstit sipas madhësisë së qelulës dhe

- MERGE CELLS (i bashkon qelulat)

- ORIENTATION (orienton tekstin në pjesrrtësi sipas dëshirës)

FORMAT – NUMBER: Formatizon numrat sipas kategorisë; numra, monedhë (currency) etj, duke bërë përshtatjen edhe të decimaleve sipas nevojës

Paraqitja Grafike – INSERT CHARTS

Dr. sc. Ahmet SHALA

26

Hapet dialogu, dhe duke mbajtur të shtypur tastin CTRL celulat: selektojmë artikujt dhe pjesëmarrja në fitim

Shembull 2

Për shembullin e mësipërm, të përcaktohet : - çmimi njësi (për copë),

- shitja e 60% të sasisë me çmimin e llogaritur për copë,

- për 40% të sasisë së mbetur, çmimi njësi (për copë) rritet për 30%,

- të provohet fshehja e disa kolonave dhe rreshtave,

- insertimi dhe fshirja e disa kolonave dhe rreshtave,

- rritja e numrit të fletëve punuese në librin punues,

- ngrirja e një rreshti ose shtylle, sortimi, filtrimi,

- rregullimi automatik i gjerësisë së kolonave dhe rreshtave,

- vendosja e shënimeve në header dhe footer,

- përsëritja e ndonjë rreshti apo kolone në secilën faqe,

- rregullimi i shtypjes së dokumenteve p.sh. në një faqe,

- opsioni save autorecover për çdo 5 min.


27

Fshehja e disa shtyllave apo rreshtave bëhet duke bërë më parë selektimin e tyre dhe pajtaj duke zgjedhur opcion FORMAT- COLUMN (ROW)-HIDE dhe me miun e djathtë HIDE

Insertimi dhe fshirja a) Selektohet vendi ku dëshirohet të shtohen apo fshihen rreshtat dhe shtyllat dhe zgjedhet

opcioni INSERT ROW (COLUMN) dhe EDIT DELETE,

b) Njëjtë veprohet edhe me miun e djathtë INSERT ose DELETE.

Shtimi dhe fshirja e fletëve punuese: a) TOOLS-OPTIONS-GENERAL-SHEETS in NEW WORKBOOK

b) INSERT WORKSHEET,

c) Me miun e djathtë INSERT WORKSHEET

Ngrirja e rreshtit apo shtyllës: Selektohet rreshti apo shtylla ku dëshirohet të ngrihen dhe zgjedhet WINDOW-FREEZE PANES

Sortimi: selektojmë rreshtin apo shtyllën e dëshiruar dhe FORMAT SORT,

Filtrimi: selektojmë rreshtin e parë dhe zgjedhim DATA-FILTER-AUTO FILTER

Rregullimi automatik i gjerësisë së kolonave dhe rreshtave:

a) Selektohen rreshtat apo shtyllat dhe klikohet dy here në mes të shkronjave që paraqesin

shtyllat apo numrave që paraqesin rreshtat,

Dr. sc. Ahmet SHALA

28

b) FORMAT-ROW-AUTOFIT dhe FORMAT-COLUMN-AUTOFIT SELECTION

Vendosja e shënimeve në header dhe footer-VIEW HEADER and FOOTER-CUSTOM HEADER/FOOTER ose FILE- PAGE SET UP-HEADER/FOOTER- CUSTOM HEADER/FOOTER

Përsëritja e ndonjë rreshti apo kolone në secilën faqe: FILE- PAGE SET UP-SHEET-ROWS TO REPEAT AT TOP / COLUMNS TO REPEAT AT LEFT

Opcioni save autorecover për çdo 5 min – TOOLS-OPTIONS-SAVE-SAVE AUTORECOVER INFO EVERY

Mbrojtja e fajllit me shifër: TOOLS-OPTIONS-SECURITY

Shembull 3:

Të paraqitet grafikisht funksioni: 2xy ku x merr vlerat (-2, 2), me hapin prej 0.5 dhe;

- Të shkruhet emri i funksionit si: “Funksioni”,

- Në boshtin OX, “Vlerat për x”,

- Në boshtin OY, “Vlerat për y”.

Funksioni

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

Vlerat për x

Vle

rat

për

y


29

3. MS Power Point

3.1. Startimi i programit

Shkruajmë titullin dhe nëntitujt sipas nevoje

Dr. sc. Ahmet SHALA

30

Për të shtuar slide të ri shkojmë në ‘’New Slide’’

Në Power Point 2003

dhe kemi pamjen vijuese:


31

Plotësojmë edhe këtë slide me disa të dhëna për Power Point.

Dr. sc. Ahmet SHALA

32

Në slide mund të vendosim Tabela, Foto, Grafe dhe aktivizojmë ndonjë video etj. Shih slide në vijim ku me Insert/Pictures/From File p.sh foto.jpg kemi vendosur fotografin

Kurse me Insert/Movie kemi vendosur shfaqjen e një video prezantimi – filmi

Gjatë vendosjes së videos jemi pyetur se a dëshirojmë që video të startoj automatikisht apo kur të klikohet në të, kemi zgjedhur ‘Automatically’’

Gjithashtu me ndihmën e Mausit përshtatim madhësinë e ekranit të videos.


33

Zakonisht në slide të fundit gjatë prezantimeve të ndryshme vendoset një slide për thirrje për pyetje, falënderim për vëmendje etj.

Dr. sc. Ahmet SHALA

34

Në vijim të shohim rregullim e shfaqjes së slideve gjatë prezantimit dhe disa mundësi të bukura që na ofron Power Point.

Nëse shtypim ‘’F5’’ do të shohim rrjedhën e prezantimit pa ndonjë efekt të shtuar por solidet

do të shfaqen përnjëherësh ashtu siç janë komplete.

Në pjesët tekstuale mund të japim efekte të ndryshme të shfaqjes së tekstit, si paragraf-pas-

paragrafi por edhe me shkronja të një-pas-njëshme etj.

Selektojmë sipas radhës që duam të shfaqet teksti dhe shkojmë në Animations/Custom

Animation p.sh. zgjedhim ‘‘Fly In’’


35

Kështu të dy titujt do të shfaqen përnjëherësh që shihet edhe nga numrat e shfaqur në slide ‘’1’’, nëse duam që në ‘’mouse click’’ të shfaqet titulli apo pjesa e tekstit tjetër atëherë klikojmë në tekstin e dytë,

dhe zgjedhim ‘‘Start On Click’’ etj. dhe në slide para tekstit të dytë shfaqet numri ‘’2’’ e kështu do të vazhdonim edhe me paragrafe tjera nëse ka.

Dr. sc. Ahmet SHALA

36

Tekstin në slide Nr. 2 e kemi rregulluar ashtu që të shfaqen pas klikimit të Mouses paragrafi i radhës.

Për slide Nr. 3 dhe Nr. 4 kemi zgjedhur gjithashtu që titulli, imazhi dhe video prezantimi të shfaqen njëi pas tjetrit me rastin e klikimit të Mouses.


37

Duhet theksuar që Power Point ka edhe shumë mundësi dhe efekte tjera që ju mund ti hulumtoni vetë.

Është e rëndësishme se mund të lëshojmë slidet të paraqiten dhe të masim kohëzgjatjen dhe të ruajmë atë rrjedhë në format pps (ppsx) duke shkuar në Slide Show / Rehearse Timings

Vërejtje: Nëse duam ti hapim për ndryshim të file-at e formatit pps (ppsx) atëherë hapim programin Power Point dhe pastaj shkojmë në File/Open dhe nga aty e hapim file-in e formatit pps (ppsx) dhe do të shfaqet i njëjtë sikurse file i formatit ppt (pptx).

Dr. sc. Ahmet SHALA

38

4. Softveri MATHCAD

4.1 Startimi i Softverit MATHCAD

Pas instalimit të softverit MATHCAD, ai startohet përmes file-it mathcad.exe apo icon-nës që krijohet gjatë instalimit në Desktop ose në menynë kryesore

Në vijim është paraqitur pamja e dritares kryesore të programit MathCad, nga ku shihen veglat të cilat ai posedon, lehtë shihen mundësitë e mëdha të tij për aplikim përkatësisht edhe programim.

Me rëndësi për këtë program është se shënimet matematikore janë identike me ato shënime që i kemi mësuar tek matematika me dorë.


39

4.2. Operacionet aritmetikore me numra

b 681

10Rezultati numra të perzier:

b681

10Rezultati thysor:

ab

6.217 1083

Fuqizimi:

nb 4.084n

a 2.571

n 3

Rrenja e n-të:

b 8.252a 4.123

Rrenja katrore:

a

b0.25

Pjestimi:

a b 1.158 103

Prodhimi:

a b 51.1

Zbritja:

a b 85.1

Mbledhja:

b 68.10a 17

Shkruani dy numra:

Në këtë pjesë është paraqitur realizimi i operacioneve të thjeshta aritmetikore ndërmjët dy numrave.

Dr. sc. Ahmet SHALA

40

4.3. Vlera e funksioneve themelore trigonometrike

cot x( ) 1.732

kotangjenti i këndit:

tan x( ) 0.577

tangjenti i këndit:

cos x( ) 0.866

kosinusi i këndit:

sin x( ) 0.5

sinusi i këndit:

Vlerat e funksioneve trigonometrike për x të dhënë në shkallë:

x 30 deg

Shkruani vlerën e argumentit në shkallë:

cot x( ) 1.732

kotangjenti i këndit:

tan x( ) 0.577

tangjenti i këndit:

cos x( ) 0.866

kosinusi i këndit:

sin x( ) 0.5

sinusi i këndit:

Vlerat e funksioneve trigonometrike për x të dhënë:

Vërejtje: kur nuk shkruhet njësia e këndit ai është në radian, nëse shumëzohet me “deg” argumenti është në shkallë.

x 0.5236

Shkruani vlerën e argumentit:

Në vazhdim është paraqitur mënyra e llogaritjes së funksioneve themelore trigonometrike, argumenti është në radian.


41

Gjithashtu mund të llogariten edhe funksionet e kundërta trigonometri

Shkruani vlerën e argumentit:

x 0.5

Vlerat e funksioneve trigonometrike për x të dhënë:

Vërejtje: nëse pjestohet me “deg” rezultati do të fitohet në shkallë, në të kundërtën në radian.

"arcsin-arkussinus" i këndit:

asin x( )

deg30

"arccos-arkuskosinus" i këndit:

acos x( )

deg60

"arctg-arkustangjent" i këndit:

atan x( ) 0.464

"arcctg-arkuskotangjent" i këndit:

acot x( ) 1.107

Dr. sc. Ahmet SHALA

42

4.4. Logaritmi natyral dhe ai me bazë arbitrare

Llogaritja e logaritmit natyral dhe atij me bazën

Shkruani një numër pozitiv: x 5.67

Logaritmi natyral:

ln x( ) 1.735

Logaritmi me bazë 10:

log x( ) 0.754

Llogaritja e logaritmit me bazë arbitrare.

Shkruani një numër pozitiv:

x 12.78

Shkruani bazën e logaritmit:

b 2

Logaritmit i numrit x me bazë b:

log x b( ) 3.676

që është identike me:

ln x( )

ln b( )3.676


43

4.5. Veprimet me numra kompleks

c1 c2 12.4 15.55i

Ndryshimi i numrave kompleks c1 dhe c2:

c1 c2 34.4 17.79i

Shuma e numrave kompleks c1 dhe c2:

c2 a2 b2 i

b2 1.12a2 11

Le të marrim edhe një numër tjetër komleks:

a12

b12 28.731


c1 28.731

Intensiteti:

Vërejtje: Për të fituar numrin e konjuguar c (me vizë lartë) duhet të shkruhet c dhe pastaj të shtypet butoni në tastaturë që përmban thonjëzat '' .

c1

23.4 16.67i

Numri i konjuguar i këtij numri kompleks është:

c1 23.4 16.67i

Numri kompleks është:

Vërejtje: Për pjesën imagjinare shkruhet "1i" ose 1j".

c1 a1 b1 i

Numri kompleks:

b1 16.67a1 23.4

Shkruani pjesën reale dhe imagjinare të numrit komleks:

Dr. sc. Ahmet SHALA

44

Prodhimi i numrave kompleks c1 dhe c2:

c1 c2 238.73 209.578i

Sqarim: Duke ditur se i · i = -1 dhe:

a1 b1 i( ) a2 b2 i( ) a1 a2 b1 b2 a1 b2 b1 a2( ) i

Atëherë

a1 a2 b1 b2 238.73

a1 b2 b1 a2( ) i 209.578i

Pjestimi i numrave kompleks c1 dhe c2:

c1

c22.258 1.286i

Sqarim: Duke ditur se:

a1 b1 ia2 b2 i

a1 b1 i( ) a2 b2 i( )a2 b2 i( ) a2 b2 i( )

a1 a2 b1 b2

a22

b22

b1 a2 a1 b2

a22

b22

Atëherë pjesa reale është:

a1 a2 b1 b2

a22

b22

2.258

kurse pjesa imagjinare është:

b1 a2 a1 b2

a22

b22

i 1.286i


45

4.6. Veprimet-operacionet me njësi

MathCad punon në bazë të sistemeve të njohura të njësive që shihen në pamjen vijuese e cila hapet nga menyja kryesore Tools/Worksheet Options…:

Me qëllim të dhënies së njësisë në vlerën përkatëse së pari shkruhet vlera pastaj ajo shumëzohet me njësinë përkatëse ose duke shkuar në Insert/Unit ose “Ctrl+U” dhe paraqitet pamja vijuese:

Dr. sc. Ahmet SHALA

46

Në këtë rast sistemi i njësive është SI dimensioni është për Length-Gjatësi njësia në Meters[m] –

metra.

Gjithashtu mund të bëhet shndrimi i njësive nga një lloj në tjetrin p.sh. metrat në centimetra ose metrat në inches etj. që janë shtjelluar në vijim.

Nëse dëshirojmë të kthejmë një metër = 1 m në centimetra, atëherë e ekzekutojmë prodhimin

dhe me “double click” ose me veprim si në pamjet paraprake definojmë njësinë e dëshiruar ose shkruajmë direkt në katrorin e zi “cm” dhe do të fitojmë:

Në mënyrë analoge bëjmë shndërrimin e metrave në njësi të dimensionit të njëjtë vetëm me emërime tjera.

Gjithashtu mund të kryhen veprime të mbledhjes, zbritjes, shumëzimit dhe pjesëtimit me njësi, normalisht duke mos ua humbur kuptimin fizik (mbledhje te mollëve me dardha). Duhet theksuar se veprimet aritmetikore ndërmjet vlerave të dimensionit të njëjtë por të njësive të ndryshme janë të lejuara, rezultati do të jetë në sistemin e definuar paraprakisht si në vijim, që në rastin tonë është SI:

1.5 m 20 cm 1.7m

ose

1.5 m 20 cm 0.5 ft 2 yd 3.681m

Nga këto që paraqitëm më lartë shihet se duhet pasur kujdes gjatë përdorimit të emërimeve sepse mund të ndikojmë në emërimet bazë të softverit MathCad dhe të përziejmë shënimet apo të mos kemi rezultat e në rastin më të keq rezultate jo-reale pra kontradiktore.

Për këtë arsye kur vendosim të punojmë me njësi, duhet t’u ikim përdorimit të emërimeve të reja me m, min, hr, s etj. sepse këto janë të rezervuara për metra, minuta, orë, sekonda, etj.

Udhëzim/Preferencë:

Nga problematika e shtjelluar më parë rrjedhë udhëzimi se gjatë punës me kompjuter-softver aplikativ apo gjuhë programuese të gjitha të dhënat të jenë sipas sistemit ndërkombëtar SI dhe ato të mos shënohen, pas fitimit të rezultateve, njësitë do të nënkuptohen vetvetiu duke u bazuar në sistemin SI.

Le të shohim një shembull.


47

Shembull

Një automjet ka kaluar rrugën prej d = 1000 m për kohën t = 1.2 min, sa ka qenë shpejtësia dhe nxitimi i automjetit gjatë lëvizjes?

Zgjidhje:

Rruga e kaluar:

d 1000 m

Koha e lëvizjes

t 1.2 min

Shprehja për shpejtësi është:

vd

t

atëherë shpejtësia është:

v 13.889m

s

ose në km/h do të jetë (hr=hours=orë):

v 50km

hr

Shprehja për nxitim është:

av

t

atëherë nxitimi është:

a 0.193m

s2

Dr. sc. Ahmet SHALA

48

4.7. Zgjidhja e ekuacioneve dhe sistemeve të ekuacioneve

4.7.1. Zgjidhja e ekuacionit linear me një të panjohur

Ekuacioni linear me një të panjohur ka një zgjidhje të vetme, prandaj mund të përdoret solve block – blloku i zgjidhjes Given, si në vijim.

Ekuacioni kuadratik linear me një të panjohur ka formën a x +b = c.

Shkruani vlerat e koeficientëve a, b, dhe c:

a 2 b 2 c 8

Shkruani një vlerë orientuese për x:

x 0

Given

a x b c

x find x( )

Rezultati do të jetë:

x 3

Vërejtje: Blloku i zgjidhjeve Given mund të përdoret për caktimin e zgjidhjeve të çfarëdo ekuacioni apo sistemi të ekuacioneve por duhet pasur kujdes se ku bllok na jep vetëm një zgjidhje të mundshme që orientohet rreth vlerave orientuese fillestare. Shikojeni njësinë në vijim.


49

4.7.2. Zgjidhja e ekuacionit kuadratik

Në vijim është paraqitur caktimi i zerove të funksionit kuadratik polinomial f(x) = ax2 + bx + c me përdorim të funksionit "polyroots".

Shkruani vlerat e koeficientëve a, b, dhe c:

a 1 b 2 c 8

v c b a( )T

z polyroots v( )

Zerot e ekuacionit kuadratik janë:

z2

4

ose me përdorim të simbolikës: shkruajmë ekuacionin duke përdorë barazimin e “bold-nxirë” që vjen me shtypje të “Ctrl + =” ose e marrim nga menyja “Boolean”, pastaj vendosim kursorin te variabla x dhe shkojmë në Symbolics/Variable/Solve dhe fitohet rezultati.

Dr. sc. Ahmet SHALA

50

Le të provojmë me përdorim të solve block-ut Given:

Ekuacioni kuadratik


x 0

Given

x2

2 x 8 0

x Find x( )


x 2

Ekuacioni kuadratik


x 2

Given

x2

2 x 8 0

x Find x( )


x 4

Kështu pra me ndryshim të vlerës orientuese të x-it kemi fituar dy zgjidhje. Pra çdoherë kërkohet zgjidhja që është më afër vlerës orientuese.

Vërejtje: Në rastet kur fitohen shprehje të gjata atëherë vetëm ekzekutohen rezultatet me “=’’ dhe rezultatet do të jenë më të qarta, si në shembullin vijues:

Në mënyrë analoge zgjidhen edhe ekuacionet e rendeve më të larta se dy. Shikoje shembullin vijues që është kombinim i solve block-ut Given dhe simbolikës dhe do të paraqet të gjitha zgjidhjet e mundshme.


51

4.7.3. Zgjidhja e sistemit të ekuacioneve

Le të shohim zgjidhjen e sistemit linear të ekuacioneve:

x 0 y 0

Given

x y 1

3 y 5 x 0

x

y

Find x y( )

Zgjidhja do të jetë:

x 1.5 y 2.5

Dr. sc. Ahmet SHALA

52

Në vijim është paraqitur zgjidhja e sistemit jolinear të ekuacioneve:

x 0 y 0

Given

x2

y2 6

x y 2

zgjidhja Find x y( )

zgjidhja2.414

0.414

Nga zgjidhja e mëparshme shihet se kemi fituar vetëm një zgjidhje dhe atë reale, nëse dëshirojmë të shohim edhe zgjidhjet tjera përfshi edhe ato imagjinare përdorim shembullin vijues, ku është përfshirë edhe simbolika.

x 0 y 0

Given

x2

y2 6

x y 2

zgjidhja Find x y( )1 2

2 1

2 1

1 2

zgjidhja0.414

2.414

2.414

0.414

Nga ky shembull shihet se ekziston edhe zgjidhje tjetër dhe atë reale. Duhet theksuar se me këtë metodë shihen edhe zgjidhjet imagjinare që është paraqitur në shembullin vijues:


53

kurse me metodën paraprake shihet vetëm një zgjidhje dhe atë nëse ekziston ajo reale, kurse zgjidhjet imagjinare nuk shihen, shih shembullin vijues:

x 0 y 0

Given

x y 1

3 y 5 x 2 x3 0

zgjidhja Find x y( )

zgjidhja0.861

1.861

Dr. sc. Ahmet SHALA

54

4.7.4. Zgjidhja e inekuacioneve

Në vijim është paraqitur zgjidhja e një inekuacioni linear me metodën simbolike:

Në mënyrë analoge realizohet edhe zgjidhja e inekuacionit të rendit të dytë, që është paraqitur në vijim:

Nga kjo lexojmë se zgjidhje janë të gjitha vlerat e x-it ndërmjet numrave –2 dhe +2 si dhe të gjithë vlerat e x-it më të mëdha se 5.


55

4.8. Veprimet me vektor dhe matrica

Meqë matrica e rendit nx1 paraqet vektorë, atëherë veprimet janë analoge.

4.8.1. Veprimet me vektor

Janë dhënë dy vektorë në rrafsh:

a

2

3

0

( nënkupton vektorin a=2·i+3·j+0·k )

b

3

2

0

( nënkupton vektorin b=3·i+2·j+0·k )

Shuma e vektorëve:

a b

5

5

0

Ndryshimi i vektorëve:

a b

1

1

0

Produkti skalar i vektorëve:

a b 12


a b 2 i 3 j 0 k( ) 3 i 2 j 0 k( ) 2 3 i i 3 2 j j 0 0 k k 12

ku siq dihet i·i = j·j = k·k =1 dhe i·j = i·k = j·k =0

Produkti vektorial i vektorëve:

a b

0

0

5

Dr. sc. Ahmet SHALA

56

që siq shihet është një vektor normal në rrafshin e përfaqësuar nga vektorët a dhe b dhe ka intensitet të barabartë me 5 (pesë). Minus (-) tregon se ka kahje të kundërt me kahjen pozitive në këtë rast të aksit z (k).

Kjo është identike me:

a b 2 i 3 j 0 k( ) 3 i 2 j 0 k( )

a b 2 2 i j( ) 2 0 i k( ) 3 3 j i( ) 3 0 j k( ) 0 3 k i( ) 0 2 k j( )

a b 4 k 0 j 9 k( ) 0 i 0 j 0 i( )

a b 0 i 0 j 5 k

ku siq dihet i x i = j x j = k x k = 0 dhe i x j = -j x i = k, j x k = -k x j = i, i x k = -k x i = j

4.8.2. Veprimet me matrica

Në vijim janë paraqitur veprimet themelore me matrica.

Matricat e dhëna:

M

1

5

6

7

8

9

1

2

3

N

1

4

1

0

8

2

1

2

1

Shuma e matricave M+N:

N M

2

9

5

7

0

11

0

4

4

M N

2

9

5

7

0

11

0

4

4

Ndryshimi i matricave M-N:

M N

0

1

7

7

16

7

2

0

2

N M

0

1

7

7

16

7

2

0

2

Produkti i matricave M·N:

M N

28

35

39

54

60

66

14

13

15

N M

5

24

15

2

18

18

2

6

6


57

Matrica e transponuar e M: Matrica e transponuar e N:

MT

1

7

1

5

8

2

6

9

3

NT

1

0

1

4

8

2

1

2

1

Matrica inverse e M: Matrica inverse e N:

M1

0.333

0.167

0.167

0.667

0.167

1.833

0.333

0.167

1.5

N1

1

0.5

0

0.167

0

0.167

0.667

0.5

0.667

Pwrcaktori - determinanta i matricave M dhe N:

M 18 N 12

Në vijim është paraqitur mënyra e bashkimit të matricave sipas rreshtave apo shtyllave

Matricat e dhëna:

A

1

3

4

2

7

9

B

1

3

4

2

7

9

Me përdorim të funksionit stack bëhet bashkimi i matricave njëra nën tjetrën (sipas rreshtave):

stack A B( )

1

3

4

1

3

4

2

7

9

2

7

9

Me përdorim të funksionit augment bëhet bashkimi i matricave njëra pas tjetrës (sipas kolonave):

augment A B( )

1

3

4

2

7

9

1

3

4

2

7

9

Dr. sc. Ahmet SHALA

58

4.9. Paraqitja grafike e funksioneve

4.9.1. Funksionet me një variabël

Në vijim janë paraqitur pamjet e moduleve që hapen me “double cick” në grafikun paraprak, kështu kemi realizuar trashësinë më të madhe të lakores f(x), kemi përcaktuar që ndarjet e aksit x të jenë 20 ato të aksit y 10, forma e paraqitjes së grafikut është zgjedhur “Boxed-kuti”, në grafik të shihen numrat dhe vijat ndarëse, legjenda të mos shihet etj.


59

Gjithashtu përmes modulit paraprak kemi zgjedhur titullin e grafikut, dhe kemi emëruar akset përkatëse.

Grafiqet në MathCad mund të paraqiten edhe në forma tjera p.sh në koordinata polare si në vijim:

Dr. sc. Ahmet SHALA

60

4.9.2. Funksionet që ndryshojnë në intervale të veçanta sipas argumentit

Duke shfrytëzuar modulin “programming”

përkatësisht urdhrat “Add Line” “ if ” “ otherwise “ është definuar funksioni shkallë në koordinatat e Dekartit dhe ato polare si në vijim:

Marrim një interval të x-it:

x 10 9.9 10

Definojmë funksionin:

f x( ) 2 2 sin x( ) 10 x 0if

2 0 x 5if

2 2 cos x( ) 5 x 9if

0.25 otherwise

10 5 0 5 100

1

2

3

4

f x( )

x


61

Marrim një interval për :

0 0.01 360 deg


r 7 2 sin 2 cos 0 45 degif

7 45 deg 225 degif

7 2 sin 2 cos 225 deg 360 degif

7 otherwise

0

30

60

90

120

150

180

210

240

270

300

330

10

8

6

4

2

0

r

7

Siç shihet ky grafik paraqet një të ashtuquajtur gungë.

4.9.3. Grafiku i funksioneve parametrike

Shkruani ekuacionet parametrike për x dhe y në funksion të parametrit t:

x t( ) sin 2 t( ) y t( ) sin 3 t( )

1 0 1

1

0

1

Lakorja parametrike

y t( )

x t( )

Dr. sc. Ahmet SHALA

62

4.9.4. Funksionet me dy variabla

Shkruani funksionin f(x,y) grafikun e të cilit e dëshironi:

f x y( ) x3

sin 4 y( ) y2

cos 3 x( )

Grafiku 3D scatter:

f

Sipërfaqja e interpoluar:

f


63

4.10. Derivatet dhe integralet e funksioneve

Siç është parë më herët softveri MathCad posedon një modul të specializuar për derivate dhe integrale të funksioneve “Calculus”. Le të shohim se si llogaritet në mënyrë simbolike një derivat i funksionit. Pas shënimit të shprehjes për derivimi e selektojmë atë dhe shkojmë në Symbolics/Evaluate/Symbolically ose përmes tastaturës Shift+F9 dhe fitojmë rezultatin:

Siç shihet moduli “Calculus” përmban nën-module për llogaritje të derivateve të rendeve n-ta, integraleve të caktuara dhe të pacaktuara, shumave, prodhimeve si dhe limiteve. Gjithashtu këtu gjen përdorim edhe moduli “Symbolic”

Dr. sc. Ahmet SHALA

64

Llogaritja e derivatit të parë me simbolikë:

x2 x x

2 2 sin x( ) d

d2 2 x 2 cos x( )

Llogaritja e derivatit të dytë me simbolikë:

2x

2 x x2 2 sin x( ) d

d

22 2 sin x( )

Llogaritja e integralit të pacaktuar me simbolikë:

x2 x x2 2 sin x( )

d x

2 1

3x

3 2 cos x( )

Llogaritja e integralit të caktuar:

1

2

x2 x x2 2 sin x( )

d 7.246

Llogaritja e limit të funksionit me simbolikë:

2x2 x x

2 2 sin x( ) lim

8 2 sin 2( ) 9.819

Llogaritja e shumës: n 10 Llogaritja e prodhimit:

1

n

i

2 i i2

495

1

n

i

3 i2 2 i

6.184 1016

Gjithashtu mund të realizohet paraqitja grafike e funksionit së bashku me derivateve të tij:

Marrim një interval të x-it:

x 10 9.99 10


f x( ) 2 x x2 2 sin x( )

10 5 2.1316282072803 1013

5 10

0

50

100f x( )

xf x( )

d

d

2x

f x( )d

d

2

x


65

5. Softveri Matlab (MATrix LABoratory)

Softveri Matlab llogaritet si gjuhë programuese e rendit të lartë dhe është mjaft e përshtatshme për përdorim në inxhinieri në përgjithësi. Baza e këtij softveri janë matricat. Përndryshe ky softver është i specializuar për rregullimin e sistemeve inxhinierike. Posedon numër mjaft të madh të moduleve (rregullatorëve) të projektuar deri më sot. Pak a shumë programimi në Matlab është i ngjashëm me programin në C, C++. Matlab posedon “Converter” përmes të cilëve e bënë përkthimin e file-ve të shkruar në C, C++ dhe ia përshtat vetvetes.

E metë e këtij softveri, që e kam vërejt gjatë përvojës time, është se file-at e shkruar në versionin paraprak nuk funksionojnë si duhet në versionin e ri. Deri më sot versionet e këtij softveri kanë arritur deri te “Matlab 7”. Mirëpo shumicën e file-ve është e mundur të “convert-ohen” nga njëri version në tjetrin.

5.1. Instalimi dhe Startimi i softverit Matlab

Për të instaluar softverin Matlab duhet të posedoni file-at instalues (zakonisht në CD) dhe licencën (numrin serik të tij). Instalimi i këtij softveri është i ngjashëm me softverët – programet tjerë dhe pas ekzekutimit të setup.exe duhet t’i përcjellin kërkesat dhe udhëzimet që paraqiten gjatë instalimit.

Pasi që është instaluar softveri, ai do të jetë i regjistruar në menynë /Programs, ku janë edhe programet tjera që keni në kompjuterin tuaj.

Pas këtij ekzekutimi do të paraqitet dritarja vijuese:

Dr. sc. Ahmet SHALA

66

Në pjesën “Command Window” fillohet me ekzekutime, llogaritje …

Nëse dëshirojmë të llogarisim shumën e dy numrave atëherë i shkruajmë ato në Command window dhe shtypim butonin “Enter” dhe do të kemi pamjen me përgjigjen vijuese:


67

Le të definojmë dy matrica:

431

120

131

A dhe

476

15.02

011

B ,

atëherë shkrimi i këtyre matricave dhe operimet me to, bëhen si në vijim:

Definimi i matricave dhe mbledhja, zbritja, shumëzimi i tyre, etj:

Dr. sc. Ahmet SHALA

68

Matrica inverse caktohet me inv(A) ose A^(-1), kurse matrica e transponuar caktohem me A’.

Mund të realizohen edhe operacione tjera me matrica, kështu meqë i kemi definuar matricat A dhe B, p.sh. le të llogarisim shprehjen: A+B- (A*B)+inv(A)*A’-B


69

5.2. Paraqitja grafike e funksioneve

Paraqitja grafike e funksioneve është mjaft e lehtë në Matlab, si për funksionet një, dy dhe tre dimensionale.

Në vijim kemi realizuar paraqitjen grafike të funksionit me një variabël y = f(x).

Dr. sc. Ahmet SHALA

70

Paraqitjeve grafike mund t’u bashkëngjiten edhe shënime tjera si:

X Label – emërtimi i aksit x

Y Label – emërtimi i aksit y

Title – Titulli i grafikut (emërtimi i grafit). Etj.

Të gjitha këto mund të realizohen duke hapur menynë “Insert” dhe shtypur secilën njëra pas tjetrës sipas dëshirës tone, shiko pamjen vijuese.

Gjithashtu mund të ndryshohet ngjyra dhe trashësia e lakores, mund të shtohet ndonjë sqarim tjetër etj, në grafikun tonë si legjenda etj.


71

Në një dritare të grafikut mund të paraqiten dy e më tepër funksione si në figurën vijuese.

Dr. sc. Ahmet SHALA

72

Funksionet dihet se mund të jepen në formë parametrike, pra:

atëherë grafiku y = f(x) do të jetë:


73

Le të shikojmë paraqitjen grafike të funksionit në hapësirë, pra z = f(x,y) ose F(x,y,z)=0, si lakore dhe sipërfaqe në hapësirë.

Në vijim kemi marrë një lakore të dhënë në koordinatat cilindrike (r,q,z) dhe ato të dhëna në formën parametrike (në funksion të parametrit t), pastaj kemi shkruar lidhjen ndërmjet koordinatave cilindrike dhe atyre të Dekartit (x,y,z) dhe kemi paraqitur grafikun e lakores në hapësirë.

Grafiku me urdhrin: plot3(x,y,z)

Dr. sc. Ahmet SHALA

74

Le të shohim në vijim paraqitjet grafike 3D të sipërfaqeve.

Grafiku me urdhrin: plot3(x,y,z)


75

Grafiku me urdhrin: mesh(x,y,z)

Grafiku me urdhrin: surf(x,y,z)

Dr. sc. Ahmet SHALA

76

5.3. Matlab / Simulink

Simulink është moduli kryesor dhe më i rëndësishëm i softverit Matlab. Përmes Simulink-ut bëhet ndërlidhja e moduleve (toolbox) përbërëse të Matlab-it. Në simulink mund të ndërtojmë modelin tonë për shqyrtim. Le të shohim një pasqyrë hap pas hapi të disa mundësive të Simulink-ut.

Me shkruarje në “Command Window” urdhrin “simulink” ose me klikim të ikonës

hapet dritarja vijuese:


77

Në anën e majtë të dritares paraprake shihen disa nga modulet përbërëse të Matlab / Simulinkut, me klikim në ndonjërën nga modulet në anën e djathtë do të paraqiten nën-modulet përkatëse.

Le të hapim një file të ri për simulimet tona: në dritaren paraprake shkojmë në File/New/Model

dhe hapet dritarja (modeli i ri) si në vijim:

Në këtë dritare “untitled” mund të ndërtojmë modelin tonë për simulim.

Dr. sc. Ahmet SHALA

78

Le të realizojmë modelin për paraqitje grafike të një funksioni dhe derivatit të tij sipas kohës “t” të dhënë në “Command Window” apo siç e kupton Matlab-i të lexuar nga “Workspace”. Sëpari në “Command Window” definojmë parametrin-kohën “t” dhe funksionin “ y “:

Shkojmë në Simulink Library Browser / Sources / From Workspace, moduli “From Workspace” tërhiqet për “miut” në dritaren ku jemi duke ndërtuar modelin tonë:

Pastaj hapim modulin “From Workspace” dhe në vend të variablës “simin” shkruajmë variablën tonë [t,y] si në vijim:


79

Kështu tani nëpërmjet modulit “From Workspace” është mundësuar bartja (leximi) në Simulink / untitled e funksionit y. File-in “untitled” po e emërojmë me emrin grafiku pra modeli ynë do të ruhet në file-in grafiku.mdl.

Nga Simulink Library Browser / Sinks marrim modulin për grafiqe “Scope” dhe e tërheqim në modelin tonë “grafiku”.

Lidhja e dy moduleve “From Workspace” (i riemëruar si y(t)) dhe modulit “Scope” bëhet përmes “miut”.

Kështu modeli ynë është i gatshëm për simulim. Mund të shkojmë në Simulation/Start ose të

klikojmë në shenjën dhe në një dritare të veçantë do të shohim grafikun e funksionit y(t) si në vijim:

Dr. sc. Ahmet SHALA

80

Vërejtje: “Scope” i janë ndërruar parametrat nga ata default në parametrat që shihen në anën e djathtë si: ngjyra e prapavijës, ngjyra dhe trashësia e lakores etj.

Në mënyrë të ngjashme shkojmë në Simulink Library Browser / Continous dhe marrim modulin për llogaritje të derivatit “Derivative” dhe e vendosim në modelin tonë. Për grafik të derivatit të funksionit marrim edhe një modul nga “Scope” dhe emërojmë p.sh. “derivati i y(t)” si në pamjen vijuese:


81

Këto dy grafe është e mundshme të bashkohen dhe të paraqiten në një dritare. Së pari bashkojmë sinjalet përmes modulit “Mux” i cili merret nga Simulink Library Browser / Signal Routing dhe kemi pamjen vijuese.

Me stratim të Simulimit do të paraqitet dritarja me grafet si në vijim:

Dr. sc. Ahmet SHALA

82

5.3.1. Krijimi i modelit për zgjidhje të ekuacioneve (sistemit të ekuacioneve) diferenciale të të

gjitha llojeve

Ekuacionet diferenciale duhet të jenë në funksion të kohës. Le të shohim realizimin e zgjidhjes së një ekuacioni diferencial të rendit të dytë p.sh.:

)sin(2'' txx ose në Mekanikë: )sin(2 txx .............................................................. (1)

me kushte fillestare për t = 0, x = 0, x’ = 0.5.

Dihet se ekuacioni (1) paraqet një ekuacion diferencial të rendit të dytë, me koeficient konstantë, johomogjen. Zgjidhja e tij kërkohet në dy pjesë, për atë homogjene dhe zgjidhja e veçantë:

vh xxx

Zgjidhja homogjene nënkupton zgjidhjen e ekuacionit diferencial:

02 hh xx ......................................................................................................................... (2)

Zgjidhja e ekuacionit (2) kërkohet në formën:

)2cos()2sin( 21 tCtCxh , ku C1 dhe C2 janë konstante të integrimit.

Zgjidhja e veçantë varet prej formës së pjesës johomogjene, në rastin tonë ajo supozohet e formës:

)sin(tAxv , prej nga: )cos(tAxv dhe )sin(tAxv ,

këto zëvendësohen në ekuacionin (1) dhe fitojmë:

)sin()sin(*2)sin( ttAtA ,

përkatësisht

)sin()sin( ttA . .................................................................................................................... (3)

Që të vlejë ky barazim duhet që konstanta A të jetë A=1, atëherë zgjidhja e veçantë është:

)sin(txv .

Kështu zgjidhja e përgjithshme ka marrë formën:

)sin()2cos()2sin( 21 ttCtCxxx vh ........................................................... (4)

Nëse derivojmë, anë për anë sipas kohës, shprehjen (4), do të fitojmë:

)cos()2sin(2)2cos(2 21 ttCtCx ............................................................. (5)

Duke zëvendësuar kushtet fillestare 0ot dhe x = 0 , 5.0x , në ekuacionet (4) dhe (5) do të

fitojmë:

(4)=> )0sin()02cos()02sin(0 21 CC

(5)=> )0cos()02sin(2)02cos(25.0 21 CC


83

përkatësisht

20 C ,

125.0 1 C ,

prej nga:

4

2

22

1

2

5.01

C dhe 02 C .

Kështu me zëvendësim të konstanteve C1 dhe C2 në ekuacionin (4), zgjidhja e ekuacionit diferencial (1) do të jetë:

)sin()2sin(4

2ttx , .................................................................................................. (6)

kurse derivati i parë (shpejtësia në mekanikë) do të jetë:

)cos()2cos(2

1ttx . ................................................................................................... (7)

Shprehjet (6) dhe (7) të paraqitura grafikisht do të duken si në vijim:

Legjenda: funksioni x(t) me vijë të plotë kurse derivati i tij me vijë të ndërprerë -----

Duke ditur se problemet reale përshkruhet me ekuacione diferenciale mjaft të komplekse dhe në të shumtën e rasteve “të pazgjidhshme me dorë” në vijim le të realizojmë zgjidhjen e ekuacionit paraprak në Matlab, dhe modeli vijues do të jetë udhërrëfyes mjaft i mirë për zgjidhje edhe të ekuacioneve (sistemit të ekuacioneve) tjera diferenciale.

Dr. sc. Ahmet SHALA

84

Së pari bëjmë uljen e rendit të ekuacionit diferencial, pra marrim këto shënime:

)1(xx ,

)1()2( dxxx , .................................................................................................................... (8)

prej nga )1()2()2( xxdxx .

Ekuacionin (1) e shkruajmë në formën:

)sin(*2 txx .................................................................................................................... (9)

Në këtë ekuacion hyrje (ngacmim) në funksion të kohës është M=sin(t), e cila brenda nën-programit të zgjidhjes së ekuacioneve diferenciale do të identifikohet me u, atëherë ekuacionet (8) dhe (9) paraqesin dy ekuacione diferenciale të rendit të parë të rrjedhura nga ekuacioni diferencial i rendit të dytë (1). Një veprim i tillë shpesh quhet edhe paraqitje e ekuacioneve diferenciale nëpërmjet variablave të gjendjes. Kështu ekuacionet që duhet të shkruhet në nën-programin zgjidhja.m do kenë formën:

dx(1)=x(2)

dx(2)=-2*x(1)+u.

Listingu i nën-programit për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale zgjidhja.m është dhënë në vijim:


85

Në vijim duhet të krijojmë modelin për simulim, të cilin do ta emërojmë modeli.mdl. Në “Command Window” shkruajmë:

>> t = ( 0 : 0.01 : 10 ) ' ; M = sin( t );

Pas hapjes së Simulinkut, hapim modelin e ri në dritaren modeli.mdl, vendosim modulim për lexim të të dhëna nga “Command Window” përkatësisht modulin “From Workspace” dhe aty shënojmë se ky modul duhet të lexoj funksionin M.

Nga “Simulink Library Browser / User-Defined Funcions” tërheqim modulin “S-Function” dhe e vendosim në modelin tonë. Me “double-click” hapim modulin “S-Function” dhe në vend të kërkimit të hapjes së nën-programit “system” shkruajmë emrin e nën-programit “zgjidhja”.

Pas startimit të simulimit do të paraqitet dritarja me grafet për x(t) dhe derivatin e tij ----.

Legjenda: funksioni x(t) me vijë të plotë kurse derivati i tij me vijë të ndërprerë -----

Siç shihet zgjidhja është e njëjtë me zgjidhjet e realizuara me dorë.

Dr. sc. Ahmet SHALA

86

Literatura

[1] Ligjërata të autorizuara nga profesori i lëndës.

[2] Mathcad User Guide & Electronic boks & Documentations Help

[3] Matlab User Guide & Help

[4] Ahmet Shala, Software-t Aplikative, Prishtinë 2004-2011

[5] Ahmet Shala, Bazat e punes me kompjuter, Prishtinë 2009

Sponzor: N.Sh.T “EALGA” – Prishtinë

Ndërmarrje e specializuar për Inspektim-Testim-Certifikim

ASHENSOR – VINÇA – SKILIFTE & TELEFERIKE

Linku per download: MathCad 14

http://goo.gl/UAGND4

Linku per download: MathCad 15

http://goo.gl/kbqLcf

Linku per download: Matlab R2014a win32&64https://goo.gl/HHcqjH

Linku per download: Matlab R2014a win32 http://goo.gl/NXZzOQ

Documents

Informatike dhe Programim.pdf