INFLUENCIA DA DISSIPAÇÃO VISCOSA NA TRANSFERENCIA DE …

INFLUENCIA DA DISSIPAÇÃO VISCOSA NA TRANSFERENCIA DE

CALOR EM TUBOS CONCENTRICOS NO ESCOAMENTO TURBULENTO

Luiz Armando Gonzalez da Silva

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS

DE PÔS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL 00 RIO

DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OB

TENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIENCIAS (M.Sc.)

Aprovada por:

Martin Schmal Presidente

Leopoldo EurictJdonçalves de Bastos

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL JULHO DE 1977

i

DA SILVA, LUIZ ARMANDO GONZALEZ

Influência da Dissipação Viscosa na Transferência de Calor em Tubos Concêntricos no Escoamento Turbulento [Rio de Janeiri] 1977.

VI, 62p., 29,7cm (COPPE/UFRJ, M.Sc., Engenharia Me

cânica, 1977) •

Tese - Univ. Fed. Rio de Janeiro - COPPE.

1. Transferência de Calor. I. COPPE/UFRJ II. Título (Série).

ii

Dedico este trabalho a todos àqueles que dele se utilizarem.

iii

AGRADECIMENTO

Agradeço a todas as pessoas que, direta ou indire

tamente colaboraram para que este trabalho fosse concluído.

Lembro de maneira especial a Bia, pelos trabalhos

datilográficos, a CAPES, pelo apoio econômico, ' MARTIN SCHMAL,

um orientador de verdade, a família de Eduardo Bourdette, pelo

apoio psicológico e a meus pais, pela formação que me deram.

iv

SUMÁRIO

Determina-se o perfil de temperatura no escoamento

de um fluido Newtoniano, turbulento, através de dois tubos ci -

lindrícos concentrícos considerando a dissipação viscosa. Util!

zam-se perfis de velocidade turbulento em camadas distintas Pª! tindo das expressões de Deissler e Quarmby. Determinam-se os

perfis de difusividade turbulento de quantidade de movimento em

camadas distintas segundo Deissler e Quarmby e o perfil de dif~

sividade turbulento de calor segundo Aser e Chao. Resolve-se o

sistema numericamente pelo método de Crank-lJicholson.

A influência da dissipação viscosa sobre o perfil

de temperatura é bastante pronunciado na região do escoamento

turbulento próximo às paredes dos tubos interno e externo e cres

cena direção axial.

..

V

ABSTRACT

The temperature profile for a turbulent flow, of a

newtonian fluid flowing between two concentric tubes has been determined. The velocity profile was based on the Deissler and Quarmby equations for turbulent flows. The momentum difusivity equation for the turbulent flow has been evaluated according to Deissler and Quarmby and the heat difusivity equations and represented according to Aser and Chao. These equations with

the corresponding boundary conditions has beem solved employing the numerical method of Crank-Nicholson,

The influence of the dissipation on the temperature profile is pronounced in the turbulent flow in the neighborhood of the inner and outer wall of the tube and increases in the axial direction.

CAPfTULO I

INTRODUÇÃO

CAPfTULO II

vi

fNDICE

.........................................

DIFUSIVIDADE TÉRMICA TURBULENTA ....................

CAPfTULO III

PERFIL DE TEMPERATURA

CAPfTULO IV

RESULTADOS . . . . . . .................................

CAPfTULO V

CONCLUSÕES ........................................

BIBLIOGRAFIA ............................................

NOMENCLATURA ............................................

AP!NDICE I ............................................

APl:NDICE II . • .......................................... .

AP!NDICE III ............................................

Pág.

1

9

16

31

33

34

35

36

42

51

vii

fNDICE DAS FIGURAS:

FIGURA 1 - PERFIL DE VELOCIDADE.......................... 45

FIGURA 2 - PERFIL DE DIFUSIVIDADE TfRMICA •••••••••••••••• 46

FIGS,3,4,5,6 - PERFfS DA TEMPERATURA ••••••••••••••••••••••• 47-50

1

CAPfTULO I

INTRODUÇÃO

O escoamento turbulento em tubos concêntricos tem si

do objeto de estudo de muitos pesquisadores, tanto teóricos, quan

to experimentais.

O perfil de velocidade para o escoamento em tubos con

cêntricos que será utilizado neste trabalho, foi desenvolvido e

equacionado por Quarmby1, baseado na teoria de Prandtl-von Kàrmànn.

Quarmby aplicou a hipótese de similaridade de von Kãrmãnn em tu

bos cilíndricos concêntricos para descrever a dependência dope~

fil de velocidade, tanto na região interna, quanto na externa do

escoamento, tendo como parãmetros o número de Reynolds e a rela

ção entre os raios dos tubos. Estes trabalhos foram feitos para

escoamento completamente desenvolvido.

A dependência do perfil de velocidade com estes par~

metros tem sido verificada experimentalmente. A escolha adequada

dó perfil de velocidade é fundamental na resolução da equação da

energia para a determinação do coeficiente de transferência de

calor em tubos cilíndricos concêntricos.

2

a - Formulação das equaçoes para o perfil de velocidade

Para definir o perfil de velocidade no escoamento tur

bulento em dutos, levamos em consideração duas regiões.

A primeira é a região próxima da parede do duto. A

preocupaçao em considerar esta região, em separado, deve-se ao

fato de ser a presença da parede do tubo tão significativa que

modifica o regime do escoamento no caso dele ser

tornando-o laminar.

turbulento,

O perfil de velocidade para esta região é deduzido a

partir da expressão de Deissle.r2, para a difusividade turbulenta,'

ou seja:

(I. l) .•.

onde .!!, é um fator de amortecimento que considera o efeito de

presença da parede no escoamento turbulento.

A segunda região é aquela onde. se dá o escoamento tur

bulento perfeitamente caracterizado.

O perfil de velocidade, nesta região, é calculado a

partir da hipótese de similaridade de von Kàrmànn, onde a difu

sividade turbulenta é dada por·~

+ · dv ; z

2 (I. 2)

3

sendo

dv+ / d2v z z

R.-.K--2 2 dy dy + 2

.

(I.Za)

o comprimento de mistura de Prandtl.

As velocidades do perfil da subcamada e

do escoamento principal, respectivamente, bem como os respecti-dv+ dv+ z z

vos gradientes --1 e --2 são iguais no limite da subcamada. dy+ dy+

A viscosidade molecular µ* e incluída tanto na sub

camada, quanto no escoamento principal e a variação da tensão de

cisalhamento através do duto é considerada.

Através de um balanço de forças num elemento do flui

do obtém-se, para.fluidos newtonianos, a seguinte relação:

+ T y

= 1 - (I. 3)

onde T representa uma tensão de cisalhamento do escoamento e

Tp a tensão de cisalhamento junto ã parede, tanto para o tubo

circular, quanto para o canal de placas paralelas. ·Além disso,

T = ( 1 + E:m) Tp \1

(I. 4)

é obtido a partir das definições de tensão de cisalhamento no

escoamento principal e na subcamada.

Neste trabalho, tanto os perfís de velocidade inter-

4

nos, corno externos do escoamento anular, sao obtidos a

das equações (I.l), (I.2) e (1.4).

b - Perfil interno

partir

Consequentemente para o perfil de velocidade na subca

rnada, próximo da parede interna do escoamento anular, vem

+ dv ,/,. Z 1

--"'-'i = ---------------- (I. 5)

válida para + + O < y. < y O • , sendo

1 "-1 quando +

Yi = O.

A parte correspondente ao escoamento principal do peE

fil interno, obtido através de (I.2a) e (I.4) é dada por

válida + para y .e.. 1

+ V = V z .

1.1

<

+

dz + . V z .

21 ---=

d +2

Y· 1

+ +

+ + z -K(dv /dy.)

Z • 1 21

1

dv; -~T 21

+ dy. 1

y. < 1 Ym. ' sendo

1

+ dv+ dv 2 . z zi 11 = z . e Zl + dy.

1

+ + Yi = Y.e_. •

1

+ dy. 1

(I. 6)

quando

5

c - Perfil externo

Correspondente à parte externa do perfil, podemos de

terminar duas expressões baseados nos mesmos conceitos que per

mitiram descrever o perfil interno.

A parte correspondente ã subcamada ~

sera descrita por:

válida para O<+< Ye +

Y,t e

sendo

(I. 7)

para +, Ye = O.

A parte correspondente ao escoamento principal dope~

fil externo também é obtida através de (I.2a) e (I.4) resultan

do:

d2 + + / + 2

vz -K(dv z2e dy e) 2e =

d +2 ,,; J 1

[;'. 2 Ye ___ 2e

d + Ye

(I. 8)

válida para + + + sendo Y,t < Ye < Ym

e e

dv+ dv+ + + z2e z1e

V = vz1e e = z2e d + d + Ye Ye

quando + + Ye = Y,t

e

6

As relações entre as tensões de cisalhamento nas equ~

çoes (I.S) - (I.8) são substituídas e integradas para a determf

nação do perfil de velocidade. Obtém-se essa relação a partir de

um balanço de forças no escoamento em tubos concêntricos, ou se

ja

para r. < r < r l. m

T

T. l.

e

T

=

=

r. (r 2 - r 2 ) l. m

r (r 2 - r~) m l.

r (r 2 - r 2

) e m r (r 2

- r 2) e m

para rm < r < re enquanto

= r. (r 2

- r 2)

1. e m

T. r (r 2 - r~)

1. e m 1.

(I. 9)

(I.10)

Necessitam-se, ainda, de outros parâmetros que se e~

centram nas equaçoes (I.S) - (I.8) e suas respectivas condições

limítrofes, ou seja:

+ +

y. y .e.. = l.

+ + l. Ym. + Ym

l. e

(I.11)

+ + Ye

y .e. = + + e Ym. + Ym l. e

(I.12)

onde

+ + + Ym. = r - r.

mt l. l.

( I.13)

onde

e

onde

r mt

7

+ + Ym = r - r e mt e

(I.14)

+ ITi/p r. = r

1 \)

(I.15)

ITe/p + r = r e \)

(I.16)

rmt é o raio de velocidade máxima turbulenta.

O raio correspondente ã velocidade máxima turbulenta

pode ser obtido através do produto do raio correspondente

ã velocidade máxima laminar obtida analiticamente e o parame-

tro 1, que relaciona os raios de velocidade máxima turbulen

ta e laminar. Este parâmetro, k, foi determinado experimen -

talmente em função do número de Reynolds para diferentes valo

res de b.

Logo, sendo

1

[ztn(re/ri)J 2

,ê:· raio correspondente ã velocidade máxima laminar, tem-se

1

[z.e~cre/ri)J 2

(I.17)

(I.18)

,r, Em recente trabalho realizado por Schmal et a1tJ fo-

ram determinadas correções para os parâmetros geométricos como

8

função do número de Reynolds, atribuindo a cada parâmetro um

polinômio que melhor se ajustasse ã curva de dados obtidos exp~

rimentalmente.

g possível calcular os parâmetros que se fazem neces

sários para a determinação do perfil de velocidade, conhecendo

se a relação entre os raios, b, e o número de Reynolds.

Note-se, também, que foram feitas verificações para

os casos de b = 1, 05 e b = 50 o que, do ponto de vis ta prático,

corresponde a um canal de placas paralelas e um tubo cilíndrico,

respectivamente.

Nesse trabalho utilizar-se-á os dados obtidos 4 por ,,

tanto na determinação do perfil de difusividade, quanto na de

terminação do perfil de temperatura.

9

CAPfTULO II

DIFUSIVIDADE TrRMICA TURBULENTA

Como visto anteriormente, a relação entre a difusivi

dade turbulenta de quantidade de movimento, Em' e o comprime~

to de mistura, l, dado pela hipótese de similaridade de von

Kàrmãnn é feito através de:

dv Em = pl2 z

dy (I. 2)

sendo

dv yd2v

l = K __ z __ z

dy dy 2 (I. Za)

No entanto, o uso da equaçao (I.2) estabelece que a

difu'sividade turbulenta de quantidade de movimento é zero, no

raio correspondente à máxima velocidade turbulenta, rm , t

A difusividade turbulenta de calor, e obtida a

partir da relação entre e

Assim, EH e diferente de zero, uma vez que o calor

10 ·

é transferido através de posições assimétricas.

A difusividadé Em pode ser descrita no escoamento

principal por uma expressão dada por Leung et al 5 .Verificou-se

que a mesma é válida utilizando os valores experimentais de Em

dados por Quarmby ,

Para a região próxima da parede é utilizada a expre~

sao de Deissler 9• Esta expressão, para a parede interna, é da

da por

(I 1.1)

sendo válida para

Expressão similar é dada para a região próxima ã par~

de externa, ou seja

sendo válida para

+ + O<ye<yl

e

(II.2)

É importante salientar a semelhança entre a difusivi

dade turbulenta de quantidade de movimento, Em, e a viscosida

de cinemática, v, dita difusividade molecular da quantidade de

movimento. Ambas têm a mesma dimensão e representam o mesmo fe-

nomeno, no escoamento turbulento e laminar, respectivamen-

11

te.

As equaçoes (II.l) e (II.2) foram obtidas por Deiss

ler! através de considerações adimensionais. Nesta expressão,

a difusividade turbulenta, cm' se aproxima de zero, somente

quando + y aproxima-se de zero.

~ A expressao geral, proposta por Deissler e:

Na região afastada da parede o valor da difusividade

turbulenta, cm, e descrito pela expressão dada por Leung et

al 5 para tubos circulares concêntricos. Foi baseada em expres

sao para tubos circulares dada por Reichardt 6 , que a obteve a

través de resultados experimentais.

A expressao obtida experimentalmente por Reichardt 6

para tubos circulares é dada pela seguinte expressão:

(II. 3)

As equaçoes propostas por Quarmby~ descritas para a

parede interna e externa são, respectivamente:

-\)

c m = + 2s1)

O 6 ./_;_ ' T.

l. B · (1 -

l.

•

onde

1 - ( 1 -

8. = 1

12

+

_1 e-Ym.) + l

Ym e

1 -

+ y. l

- e . l

sendo esta expressao, (II.4), válida para + + yi < Y1· < y ,e. m.

onde +

ª =l- Y-+e "e

Ym e

sendo a expressao (II.S) válida para

l l

+ + + Y,e < Ye < Y

e me

(II.4)

e

(II.5)

g interessante notar a diferença existente entre as e

quações (II.4) e (II.S) devido a um fator de multiplicação cons

~ tante I ~ 'e

Esta diferença torna-se necessária para .l:')iminar ,_. à.

descontinuidade existente entre as ve~ocidades máximas de cada

lado do perfil.

A descontinuidade i proveniente da diferença entre as

definições de velocidade internas e externas, uma vez que uma i

definida em função da tensão de cisalhamento na parede interna

13

e a outra em função da tensão de cisalhamento na parede exter

na.

Sendo estas duas tensões diferentes devido a nao ha

ver simetria em tubos concêntricos, as velocidades definidasde~

ta forma terão, forçosamente, que apresentar a descontinuidade.

Outro ponto importante de ser observado nas equaçoes

(II.4) e (II.S), é a presença dos parâmetros Ci e Ce• respecti

vamente.

Leung, E.Y. et a1 5 fizeram uso das equaçoes (II.1) e

(II.2) para cálculo da difusividade turbulenta de quantidade de

movimento, e:m' nas subcamadas e das equações (II.4) e (II.5),

com 'i e 'e iguais a zero para o escoamento principal.

O valor de e:m dado para + Y.e.

1

pela equação,,(II.1) é > .

igúal ao dado pela equação (II.4) para a mesma posição.

Descontinuidade semelhante ocorreu entre as equaçoes

(II.4) e (II. 5).

Os parâmetros 'i e 'e sao introduzidos nas equaçoes

(II.4) e (II.S) para evitar estas descontinuidades.

Logo, se a diferença entre os valores das difusivida-

des e:m calculadas no ponto comum às duas regiões, subcamada

e escoamento principal, com T. e T iguais a zero, for chama-1 e

do de t. (e:m) , tem-se~

t.(e:m). + + + +

(II.6) e. = (Ym. - yi)/(Ym. - Y.e. ) 1 1 1 1 1

14

válida para + + + y .e. < Y· < Ym. e

1 1 1

+ + + + ce = li (Em) (ym - y ) / (y - Y.e)

e . e e me e

válida para + + + Y.e < y < Ym e e e

Os valores de ll(Em). e 1

do-se a equação (II.1) da equação

sao obtidos subtrain

e a equaçao (II. 2) da

(II. 5).

Uma vez conhecidos os valores da difusividade de qua~

tidade de movimento, Em, podemos, através da relação do tipo

determinar o valor da difusividade turbulenta de calor, EH.

A difusividade turbulenta de calor, EH, na expressao

(III.4) é obtida introduzindo as expressoes para Em na expre~

sao para EH/ Em apresentada por J enkins ~ ou por Azer e Chao 1-.

A expressao dada por Jenkins~ baseia-se no tratamen

to do "vortice turbulento" como uma esfera de raio igual ao com

primento de mistura, l, a qual libera calor e quantidade de

movimento enquanto se move com uma velocidade v.

A expressao proposta tem a seguinte forma:

90 lv' a, 1 [1 -µ2ll2Ct J. 1 - E - exp EH li 6 Ct µ=l µ6 lv'

= Pr (II.7) 90 .ev' a, 1 [1 .-µ2ll2V J Em 1.- • E - exp li 6 V µ=l lv'

As expressoes propostas por Azer e Chao 7 sao obtidas

15

4 ', através de argumentos semelhantes aos usados por· Jenkins': re

sultando, entretanto, em ·equações.descritas em função do núme

ro de Reynolds e do número de Prandtl do escoamento.

As equaçoes sao expressas da seguinte forma:

1 + - o , 4 s [ + + o , 2 sl

135 Re exp (-yi/ymi) J =---------------__;;;.._ ____ _

1 + 57 R - O , 4 6 p - O , 5 8 [ ( +/ + ) O • 2 5] e r exp - Y· y l. m.

l.

válida para Pr > 0,6 e

1 + 13 5 Re - 0 '

4 5 exp [e -y: / y + ) o ' 2 5l

i m. J l. =

1 + 380(Re

válida para Pr < 0,6.

P) -o,ss [c+;+)º,2sJ r exp - y. y l. m.

l.

(II.8)

(II.9)

' Expressões similares is equaçoes (II.8) e (II.9)> sao ,)

obtidas para a parte externa do escoamento substituindo

e +

Ym. por l.

+ Ym .

e

16

CAPfTULO III


Análoga à análise teórica da transferência de calor a

partir da equaçao da energia para os casos de canal de placas

paralelas e tubo circular é feita a análise para tubos circula

res concêntricos.

O interesse principal sobre esta geometria está na

possibilidade de diferentes condições térmicas de contorno em

cada uma das duas superfícies de transferência de calor.

Além disso, problemas de transferência de calor, ne~

ta geometria, apresentam dificuldades nas condições de contorno.

Podem ser solucionados pelo método da superposição de soluções

fundamentais da equação da energia linearizada, tal como pode

ser visto em trabalhos realizados por Hatton e Quarmby~,,; para o

canal de placas paralelas e Reynolds, Lundberg e McCuen!;·

tubos circulares concêntricos.

para

Trabalhos anteriores sobre soluções fundamentais para

tubos circulares concêntricos foram efetuados por Leung et 5 al \.j·

17

e Lee e Barrow9 • Contêm hipóteses e resultados empíricos ares

peito da descrição do perfil de velocidade e da variação da

difusividade turbulenta as quais têm sido mostradas imprecisas

por Quarmby 2•

Lee e Barrow9 admitem que o raio correspondente à má

xima velocidade no escoamento turbulento é o mesmo que no escoa

mento laminar. Leung et a1 5 propuseram que a diferença entre

estas duas quantidades fosse uma função da relação entre os

raios dos tubos cilíndricos concêntricos.

Mais recentemente, em trabalho realizado por Quarmby~

é mostrado que o raio correspondente à máxima velocidade no es-

coamento turbulento,

tre os raios, quanto

r ' mt é dependente, tanto da relação en-

do número de Reynolds e que, co~sequente -

mente, o perfil de velocidade é, também, dependente destes dois

parâmetros.

Admitindo a hipótese da bi-dependência do perfil de

velocidade propõe-se, neste trabalho, determinar o perfil de

, 1 transferência axial e radial admitindo um fluxo de calor cons -

tante na. parede do tubo externo enquanto a_parede do tubo in,

terno está isolada, determinando o efeito da dissipação viscosa

no escoamento turbulento anular. Resolve-se a equação da ener

gi~ considerando a dissipação viscosa e as difusividades molecu

lar e de calor turbulentos variando com a posição. Considera-se

o escoamento em regiões distintas sub-laminar e turbulento.

18

Equação Geral da Energia

A equaçao da energia em termos das propriedades de

transporte, considerando fluido newtoniano e expressa em coor

denadas cilíndricas, apresenta-se da seguinte forma:

+ V z aT ) =

r az az,

= K [1 _!._ (r aT ) + 1 [r ar ar r 2

+ a 2

T] +

az 2

{(ave

+µ --

ª z

+ .:. av z )2

+ ( av z r a e ar

av )2

+ _..!. az

[~ (III.1)

As condições impostas ao problema específico, sao:

a) Fluxo de calor ·constante na parede externa do tubo;

b) Fluxo de calor nulo na parede interna;

c) No início do aquecimento a temperatura do fluido é i

gual à temperatura ambiente;

d) A condução axial é desprezada;

e) Introduz-se a difusividade turbulenta térmica EH;

19 .

f) Regime estabelecido.

Após estas considerações, a equaçao resultante e:

k[: ~ (r aT)] (ªvz f aT + 2µ - = pCvvz

r ar ar ar az

ou

a [/r ( r :: )] +

2µr

(ª;: f aT = vzr (III. 2)

pCV ar

A equaçao (III.2) aplica-se para o caso de escoamento

laminar e para as propriedades do fluido constante~.Para o caso

turbulento, introduz-se o termo de difusividade térmica turbu -

lenta, e:H.

Então teremos:

2µr + --

aT V r

z az (III.3)

onde -µ significa uma associação entre a viscosidade molecular

e a viscosidade turbulenta.

No caso em que haja variação das propriedades do flui

do, teremos:

(III.4)

~

A equaçao (III.4) e solucionada para as seguintes con

dições de contorno:

20

a) para z=O o fluido nao esti aquecido e encontra-se a

uma temperatura T . e'

b) existe um fluxo de calor uniforme e constante diferen

te de zero, qe, na parede externa onde, r = r ou e

na parede interna, onde desde que a

parede oposta seja isolada.

A equaçao (III.4) seri adimensionalizada definindo as

seguintes variiveis adimensionais:

r R =

V

e V

z

D

Para o caso de perfil de temperatura completamente de

senvolvido, aT az é constante, o que pode ser verificado a par-

tir de um simples balanço de calor. Consequentemente, a equaçao

diferencial radial torna-se uma equação diferencial ordiniria.

Em função das variiveis adimensionais,

: ~~ EH + _:_) RdeJ

R dR~ v P r dRj

= b - 1

2b

+ Ec • _2_ ( dv;_e ·)2 = . V + 2 dR

ze

(III. 5)

sendo r

b = ~ r.

l.

21

Considerando o fluxo de calor constante e tendo os

perfís de velocidade e temperatura completamente desenvolvidos,

pode-se mostrar que

onde 6e é a temperatura adimensional da parede externa e em

é a temperatura adimensional que traduz a temperatura de mistu

ra do fluido.

Esta igualdade verifica-se, também, quando o fluxo de

calor é fornecido ao escoamento através da parede interna.

Para aquecimento na parede externa, mantendo a parede

interna isolada, temos o seguinte balanço:

1

1

---,,--- ; ~

---

Znre q dz ~ fluxo de calor fornecido pela fonte sobre a parede

externa.

Assim,

d9 =

dz+

onde

çao numérica.

Solução Numérica

dv z

dr

podemos

1

Re Pr

e

-+-

22

fluxo de calor gerado por dissipa

ção viscosa.

escrever

4b Re • dv+/dR . X z

+ Ec • (III.6) (b+l) +2 + dz+ vz re

será o incremento adotado na solu-

Para solução do problema foi usado o método das dife

renças finitas de Crank-Nicolson.

chamando

Partindo da equaçao (III.S)

Ec•~ ( dv:e )2 =

· V dR z

= b - 1

2b

e

de

23

podemos escrever:

- - LR- + 1 d~ de~ 2

Ec•-+2 b-1 + + de -- V r

R dR dR

rearranjando, vem:

d 2 e L-- +

dR<2

L de

R dR

vz 2b ze e dz +

+ de

dR

dL

dR + Ec•-v-~-, ('::• ) •

ze.

b - 1 + + de = Th vzere dz+

(III. 7)

(III.8)

Aplicando, agora, o método de Crank-Nicholson na equ~

çao acima, temos:

= _i_Íce zh2L' r+l,s+l

(III.9)

:: = 4

1h[cer+l ,s+l - er-1,s+l) + Jer+l ,s - er'-1,s~

(III.10)

(II I.11) dR 2h

dz1 h (III.12)

24

+ + V - V

2 e r+l 2 e r-1 (III.13)

dR 2h

e

L = Lr

R = Rr

Então

+-- ce -e )+ ce -e ) + r 1 r-1 -Lr [ ~ ( L + - L ) 1 Rr4h r+l,s+l r-1,s+l r+l,s r-1,s Zh 4h

= (b - 1)

2b (e - e ) r,s+l r,s

+ -v r+l 2 e

2h

(III.14)

Considerando a parede interna isolada e, sobre a par~

de externa a incidência de um fluxo de calor constante, podemos

dizer:

por definição

e O

= (T -q D

Te)/--L k

r e R =

donde, para

(b-1) + +

r = r + R e

25

= R!1 qq z

1 =

dR e 2

de

+

(!II.15)

~ o na parede nula V zere = a convecçao e Zb dz+

2

2 ( d:~ ) = Ec o a dissipação na parede ~

nula • e +2 vz

Então

: ~ (1Rde ) = O R dR dR

d 2 e 1 de de dL 1--+ +--= O

dR 2 R dR dR dR (III.16)

Explicitando cada elemento da equaçao (III.16), em

termos de diferenças finitas, atrav;s do m;todo de Crank Nichol

son, podemos escrever que:

e + n + - + h

2 (III.17)

onde ,en+l representa a , temperatura adimensional na parede do

tubo externo.

quando

Para o tubo interno, vem:

r = r. 1

... R = R. 1

+ qq z

26

= o (III.18)

com desenvolvimento semelhante ao utilizado para obtermos a e

quação (III.16), concluimos:

e = e o,s l,s (III.19)

~ onde" e o,s e o valor da temperatura adimensional na parede do

tubo interno.

As equaçoes (III.16) e (III.18) sao as representações

formais dos efeitos sobre o problema das condições de contorno

impostas.

=

Voltando à equaçao (III.14)

~- e -2e +e + e -2e +e Lr[ · J 2h2 ( r+l ,s+l r ,s+l, r-1,s+l) ( r+l ,s r ,s r-1,s)

b - 1

2b (e - e ) r,s+l r,s

2Ec

+2 V

ze .r

(III. 20)

Agrupando os coeficientes de urna mesma posição e rear

ranjando, temos:

27

11r +

1r + _::_(

1r+l-

1r-l)llr + [

L2h 2 Pr•4h 4h 2h ~ r+l,s+l -- V r T Lr (b-1) + +~ h 2 2b ze; e. r ,s+l

+ -2_ _ r _ _ r r- T = __ r_ + r + _ r .. . , [

L L 1 (L +l-L l)~ ~L L . 1 (L +l-Lr-i'~ 2h 2 Pr•4h 2h r-l ,s+l 2h 2 Pr•4h 4h ,2h

•T -[-r+l ,s

'Tr-1,s (II I.~l)

Chamando de:

~r L 1

(Lr+l 2~ 1r-l ~ A + r + = r _2h 2 Pr•4h 4h

(III. 22)

Br = ~ Lr (b - 1) + r~

V 112 2b ze

(III.23)

G~: - Lr 1 (

1r+l ;h Lr-1 ~ cr = .

Pr•4h 4h (III. 24)

e

Drs= _ILr + Lr +...:..(Lr+l-Lr-l)~T _I_ Lr+ (b-l)v+ r;JT L2h 2 Pr•4h .4h Zh ~ r+l,s L h 2 2b z~ ~ r,s

(III. 25)

Substituindo as expressoes (III. 22), (III. 23), (III.

28

24) e (III. 25) na equaçao (III. 21), obtemos:

D r,s (III. 26)

Os coeficientes A , B e Cr sao constantes segundo a r r

direção axial, variando na direção radial.

O termo D varia tanto na direção radial, quanto r,s

na axial.

A sua variação na direção axial deve-se ao fato dele

depender dos valores de temperaturas calculadas em uma secçao

transversal "s".

Os primeiros valores de D r,s ou seja, os valores de

D sao obtidos através da condição inicial que, ~ostra .. ser r,o

e = e = o p/qq·~ r,o r,l

Através da equaçao (III.26) e com o auxílio da condi

çao inicial e das condições de contorno na parede interna e ex

terna, estabelecemos um sistema de equações que irá nos permi -

tir determinar o perfil de temperatura.

Assim, desenvolvendo o sistema a partir da

(III.26), podemos escrever:

equaçao

29

r=l A e + B e + e e D = 1 2 1 1 1 o 1 r=2 A2ea + B 262 + e e = D 2 1 2 r=3 A

3 e 4 + B

ªªª + e e = D

3 2 3

(III. 27)

r=n

Ora, de acordo com as equaçoes (III.17) e (III.19) sa

bemos que

+ - + 4R 4

e

h

2 e

qualquer que seja "s".

Aplicando as equaçoes (III.17) e (III.19) no sístema

(III.27) e, escrevendo o novo'sistema na ordem crescente dos

Índices das temperaturas, temos:

r=l (B1+C1)61 + AI 62 = D1

r=2 c2 e i + B262 + A2 e a = D2

r=2 cae2 + Baea + Aae 4 = D4

........... (III. 28)

r=n-1 e e +B e +A e =D n-1 n-2 n-1 n-1 n-1 n n-1 r=n Cn6n-l + (An+Bn) 6n = Dn

30

onde h2 + ~)

4 2

Para solucionar o sistema (III.28), faremos uso do Mi

todo de Eliminação de Gauss.

31

CAPITULO IV

RESULTADOS

Inicialmente foram determinados os perfís de velocf

dade para um número de Reynolds caracterizando o escoamento tur

bulento e para um valor do parâmetro geométrico b limitado para

o escoamento em tubo circular e escoamento em placas planas,co~

forme Fig. 1. Para Re 86 610 e para b=Z,88 e com base nos resul

tados do perfil de velocidade (Fig. 1), foram calculados os per

fís de difusividade da quantidade de movimento. Os resultados

sao bastante satisfatórios, já que não apresentam descontinuid!

de na região correspondente ã velocidade máxima turbulenta. Con

forme Fig. 2. Estes resultados foram utilizados para determinar , .,

os perfis de temperatura para Pr=l e diferentes valores de ES•

As Figs. 3 e 4 mostram os perfís de temperatura radiais para df

ferentes posições axiais, caracterizando especialmente a influ

ência da dissipação viscosa. A influência da dissipação viscosa

é marcante na região do escoamento turbulento próximo às pare -

des dos tubos interno e externo. A temperatura do fluido é bem

maior junto ã parede do tubo externo e cresce na direção axial.

' Na região central do escoamento, a temperatura do fluido é pra-"

ticamente igual a temperatura de entrada para qualquer posição

axial. Nota-se, pela Figura, que o perfil de temperatura próxi-

32

mo ã parede interna apresenta dois valores máximos. Não há sig

nificado físico para o caso e justifica-se o seu aparecimento~

mente devido ao perfil de difusividade, baseado em condições s~

mi-empíricas válidas para escoamentos específicos, já que aso

lução numérica é convergente e o método é suficientemente precf

so, conforme demonstram os resultados para o perfil de velocida

de.

Os resultados encontrados nao podem ser comparados

experimentalmente devido a não disponibilidade de resultados ex

perimentais para o problema específico.

Podem ser calculados os perfís de temperatura e o

método permite calcular, para diferentes valores de Pr, de Ec

kert e Reynolds. O estudo é extensivo para outras geometrias e

casos limites como tubo circular e canal de placas planas para

lelas.

33

CAPfTULO V

CONCLUSÕES

As expressoes para os perffs de velocidade e de difu

sividade turbulentos em camadas distintas próximas as paredes

dos tubos interno e externo são bastante satisfatórias e podem

ser utilizadas para resolver a equação da energia.

Devido ã dissipação viscosa, os perffs de temperat~

ra do fluido apresentam regiões com temperaturas mais altas

que a temperatura de entrada, próximas às paredes dos tubos in

terno e externo. O perfil de temperatura varia sensivelmente na

direção axial.

Os resultados do perfil de temperatura nao podem

ser .c.c~mparados devido a não disponibilidade dos mesmos na li te

ratura, mesmo para o caso limite de Ec=O. Além do mais, as con

dições de contorno deste estudo sao diferentes das apresentadas

para trabalhos anteriores.

34

REFER~NCIAS

1. QUARMBY, A., Int. J. Meeh. Sei,!, 205 (1967).

2. DEISSLER, R.G., NACA Report 1247 (1955).

3. SCHMAL, M., RUSSO, C. et al, Rev. Bras. Teen. i, 83 (1975).

4. QUARMBY, A. e ARNAUD, R.K., Chem. Eng. Sei., 24.

5. LEUNG, E.Y., KAYS, N.M. and W.C. REYNOLDS, Stanford Univ.

Eng. Report, AHT-4.

6. REICHARDT, H., Z. Angew. Math. Meeh. 31, 208 (1951).

7. AZER, N.I. and CHAO, B.T., Int. J. Heat Mass Transfer, 1

121 (1960).

8. REYNOLDS, W.C., LUNDBERG, R.E. e MeCUEN, P.A., Int. J.

Heat Mass Transfer.

9. LEE, Y. and BARROW, H., Proe. I. Meeh. Engrs. 178, 1 (1964).

10. QUARMBY, A., J. Aeronaút. Seo. 71, 47 (1967).

11. QUARMBY, A., Appl. Se. Pes • .!2_, 205 (1968).

12. ZURMÜHL, R. Praktrsehe Mathemathik Springer Verlag, Berlin

1965.

NOMENCLATURA:

r

R

raio variável

raio adimensional

z posição axial

T temperatura

35

Te temperatura de entrada

D Z(re-ri) Vz velocidade axial

cp calor específico

q fluxo de calor

vi velocidade adimens ional v 2/1../-iiP

r+ raio adimensional r Vr/p/3

z + variável axial adimens ional Z/D

y+ variável adimensional

• tensão de cisalhamento

v viscosidade cinemática

µ ~ viscosidade dinãmica turbulenta p

Ê ..... ~·

H k

e b

Pr

Ec

Re

SUBSCRITOS

i

e

1

densidade

difusividade turbulenta de quantidade de movimento

difusividade turbulenta de calor

condutividade térmica

temperatura adimensional (T-Te)/qD/k relação de raios

n9 de Prandtl

n9 de Eckert

n9 de Reynolds

interno

externo

sub-camada laminar

m posição correspondente a máxima velocidade t turbulento

36

APílND'rCE I

A adimensionalização da equaçao (III.4), segundo as

variáveis adimensionais estabelecidas neste trabalho, é detalha

damente mostrada neste Apêndice.

Relembrando nosso modelo matemático e as variáveis a

dimensionais propostas, temos:

R =

CÁLCULOS

r

r -r. e l.

= (T-T )/qD e k

aR =

+ z =

1

ar r · "'r. e _.1.

2µr

ac V

z

D

e

Podemos dizer que:

(ª:: r =

aT V r

z az

+ r e ·lr e/ p • r = e

V

V + z

V Z = -;::::::::::;::::: I T el p'

ae k )

e = 3T qD

(III.4)

37

ae ae ar = •

aR ar aR

mas ar

= (re - r.) aR l.

e ae ae aT

= ar aT ar

sendo

ae k =

aT qD

Portanto:

aT q.D ae =

ar k(re-r~ aR

chamemos

k(re - ri) aT = L e = X

q.D ar

Podemos, então, dizer:

ae = L•X

aR

donde

a2 e ax = L-

aR 2 aR mas

ax ax ar =

aR ar aR

sendo

vem

mas

Portanto

temos:

e

mas

ar

aR

ax =

aR

X

ax =

aR

Substituindo

=

38

= r - r. e l

ax (re - r.)

l ar

ôT =

ar

a2 T (re - r.)

l ar 2

q.D

k(r -r.) 2 aR 2 e 1

Para a variação de temperatura, segundo a direção z,

= az D

ae ae az = --+

az + az az

as ae aT =

az aT az

ae k = portanto

aT qD

então

mas

e

mas

portanto,

mas

portanto:

39

ar q ae =

az + k az

Para o gradiente de velocidade, vem:

+ avz 1

= avz Í-rfp e

av+ + avz ar z = •

aR ar clR

ar = re - r.

aR 1

+ + avz avz av z

= ar avz ar

av: 1 =

dVZ h: el p'

IÇ{p + avz av z

= • ar (re-ri) 3R

+

,r.crr; = vre

e re

=

40·

+ vr e

3R

Substituindo estes valores adimensionalizados, na e

quaçao (III.4), obtemos:

a [ ZRq ae~ - (EH+cx)- - + 3R k 3R

q ae R(re-r

1.) - -

k 3z+

_,. 3v; )2

=

3R.

Após alguns algebrismos, tem-se

1 3 [ EH 1 ) 3Bj

µk V 2 1

( 33V} r 3R(-;+Pr R3R + _z_.

R vpCpq +2

(re-ri) vz

+ + ae vz re = • (re - ri)

Zre 3z+

=

Multiplicando e dividindo por 2 o 29 termo do 19 mem

bro e,-considerando que

qD re = nT D = Z(re-ri) e b =

k r. l

vem:

1 ~[(EH + _:_) R 3~

µ v2 2 ( av; r z + • =

R Cpnt +2 3R v P r 3R VP vz ílR

temos:

= b -1

2b

Como

+ + vz re

µ = 1

Vp

~ ~~EH+~ )RôJ R aR " p aR r

ae ôz+

. v2 e z

Cpti t

2 + Ec--+2

vz

= Ec (número de Eckert)

.

( a3v:)

b-1 ae + + = V r b z e az+

zendo

nal de

. 4 2

APflNDICE II

t r .~(~'.!;~~)

!-----~"

1 1

-----·

· 1 1 rr. ].

- I __ _

dz

Balanço de Calor no Interior do Tubo Anular.

dT m

Dividindo qD

= kdem,

os dois membros da equaçao por

tem-se

qd qD de = rr(r 2-r~)v pC - --.!!!

dz + e 1 z P k dz +

e

Dividindo e multiplicando a parcela a direita do

igualdade por r~ e 1

r2 e ' vem

(b-1) qd t2-1) qD dern

4rrr! b q + = v pC rrr 2 -- ---dz+ z p e b2 k dz+

fa-

si-

43

Desagrupando

colocando-o ã esquerda

dem

dz+ dos demais elementos da .equaçao e

do sinal de igualdade, temos

portanto

mas

k 4b = +

(b + 1)

Sabe-se que

=

RePr

L

RePr

4b • ---+

(b + 1)

qd = n(r 2 -r~)v µdv /dr e 1 z z

Substituindo em (A-11.5), temos,

de 1 m

= RePr

Se substituirmos na (A-11.6) k qD

r2 e

r~ 1

por

plicarmos e dividirmos por vz, teremos:

dem 1 =

dz + RePr

rearranjando, ve-se:

4b v~µdvz/dr ---+ (b + 1) pv 2 C llTdz+

z p

1

llT e se multi

44

de 1 4b . .;;2 . µdv /dr m • + . z = • --+

RePr (b + 1) C llT 2 dz + dz

p pvz

mas

+ d + µ dvz re. vz = \) = p dr re(re-r) dR

e + 2 + v 2v r

y2 = z e z r2

e

decorrendo destas igualdades, temos a seguinte equaçao:

4b

(b + 1)

+ Re dv /dR + E X z

e + + v ~r+ dz z e

o 500 1000

FIG: 1

PERFIL DE VELOCIDADES

Re = 86610

b= 2,88

Ymáx = 0,229509 E -K>2

1500 2000

-~ ,.

EC( U)

_ 961499 E ,1. 02

600 1000

FIG: 2

PERFIL DE DIFUSIVICI/.IDE

TÉRMICA

RI= 86610

Pr = 1,0

b = 2,88

1500

30 -

o.

24

15

.

o 500 1000

FIG: 3


Re = 86610

Pr = 1,0

Z+-= 100

Ec = 0,1

/ -

li!oo 2000

;ioo,1....--------------------------------------------------, 279

225

160

112

75

•

' o 500 1000

FIG: 4


Re =86610

Pr= IP z+ = 100

Ec = o,5

,.-

.

. 1500 2000

T-Te Q/R

1500

1000

Re ; 86610 b ; 2,aa

z+ CD - 54

@ - 108

@ - 172


FIG: 5

4000

3000

2000

1000

150

Rc = 86610 b = 2,88

.. Z

. ,.

@) 216

@ 270

®

500

50


1000 1500 y+ 2000

FIG 6

51

APlcNDICE III

LISTAGEM

o C(

w z <

' -, < w~ o~

"' o~ -W C( ...

w

ºº º"' <.> ..J ;: <::, C( ~

w" d8 Ww lL o

wo 1 o~

 _z (/) C(

w > z ::J

1 _ O i ·,·,<:!,

w z < -, < w ~. a~

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lE=SALVA,UNIT=DISKPACN,RECOfD=160C,AREA=I a=CARTOE5,UNIT=REAOER

5:LAG5,UNI1:PRINTER F l N CT íON O Jf I L < YI , U I. PUS O J CCMMO~ Xl,Xi,XS,X6,X3,X4,XN2,X8,X9 OlFIL=XNZ*Ul•Yl•(l.·EXP(•XN2•UI•YIJJ RETUR~ E~ O

M A M K 2

o cr w z < .., .. w!:! oz o

"' o~ -w cr .,

w

ºº o .. <>

..J i < :, cr o. w:,; 08 Ww u. o

wo ow

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z ::)

2

1

B 1 g1 ~ ~ ~6 ~ t. v ter~ ~ l t u ~ • H , ,. , n , r 1 • u 1, u (Jl • v t(J

CCMMO~ D2,h0,X5,X6,X3,X4,X7,X8,X9 H,=H/2,0 Y= YI U=UI Ol =CU I DC 1 I=NO,N OC 2 J=l•~ A/\=H2•FON( Y ,U,OUJ 8 ~ = H 2 • FO N ( Y + H 2, li+ H 2 • ( OU + A N / 2 • O l , CU + ,\ N > C/\=H2•FON( Y+H2,U+H2• C QU+~N/2 ,Ol ,OU tBNJ O/\=H2•FON(Y+H2,U+HZ•(DU+CNJ,DU+2.0•CNJ Y= YtH U=U+H•{OU+(~N+EN+CNl/!.01 Ol =CU + ( A N + 2 • C.,. E N + 2. 0 • C N + O t, J / 3 • G CCNTI ~UE VECC I l=U C(NTI~UE D,:cDU iHTUR~ E/\ D

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RC=El•Rl A=C.2C2095E 02 8=0.1H•08CE·03 C= ·(). !. E3ó6 7E·09 D=C.7 lOOHE·lS E=O.(i F=G.O RC ~=RE /( A +B•RE + C•RE• • 2+D*R E•* 3+E•RE• •, +F •RE **5 l A=0.9!7841 B=0.4,f:264E 03 C=·C.578l~~E 07 D=C.519342E 11 E= ·G • 1 54 .3 l 9 E 15 R=l.Q/RE F~=~+f•R+C•~••2•D*R•*3•E•R••4

1 A=0.1.:5899E 02 IfCRE·SBOGC.G>l,1,2 B=0.1<96l7E Ot C =O. 5 S 56 9 7 E O 9 D=·il.S959ó4E 13 E=v.146292E 17 YLI=A+8•R+C•R••2+D•R••3+E•R••4 R= l•O/RE GC TO 3

2 YLI=lS.15 1 RrT:F"*(SQRT((R0••2•qI••2l/12•Al0GIR0/Rl)J))

Al=RMT/Rl Yi'Ü=( l·Al/ElJ•ROH I F ( Y M C -s 2 C • () 1, , 4 , 5

4 A=·O.E88057E·02 8:(;.2C2633E-03 C=·C. 731127E·OE D:G.!210!1E·C8 E=·C 7i;Q243E•l2 X~2=Ã•é•fMO•C•YH0••2+C•YM0••3+E•Y'C••4 G( TO 6

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P. 54

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