Inferências Geográfica: Classificação contínua Processo Analítico Hierárquico Inferência Bayesiana

Inferências Geográfica: Classificação contínua

Processo Analítico Hierárquico Inferência Bayesiana

Análise Multi-Critério

Classificação continua (Fuzzy Logic)

Inferência BayesianaSuporte a decisão

Técnica AHP (Processo Analítico Hierárquico)

Classificação contínua (Fuzzy Logic)

Lógica convencional Paradoxo insolúvel

119900

117700

115500

114400

221100

Muito Muito baixabaixa

abaixo abaixo médiamédia

Acima Acima médiamédia

Muito Muito altaalta

AltoAltomédiamédiabaixabaixa AltaAlta

baixabaixa

Eu sempre minto.

Áreas com declividade de 9,9% serão classificadas diferentemente de áreas com inclinação de 10,1%, não importando as demais condições

Lógica Fuzzy Fuzzy Logic” é uma extensão da lógica

Booleana, que tem sido estendida para manipular o conceito de “verdade parcial”, isto é, valores compreendidos entre “completamente verdadeiro” e “completamente falso”.

0

11

Falso

Verdade

Lógica Boleanaz

FF VV

F(z)

Lógica Fuzzyzz

VVFF

00

11

Falso

Verdade

Conjuntos Fuzzy: exemplo

Exemplo: Altura de Pessoas S um conjunto fuzzy ALTO, que responderá a pergunta: " a que grau uma pessoa “z” é alta? Z : S = (z, f(z)) especialistas

00

11

BAIXO

ALTO

z

f(z)

1.5 2.1

0.50.5

Exemplo: ”João é ALTO" = 0.38

1.2,11.25.16.0/)5.1(

5.1,0)(

zsezsez

zsezf

Conjuntos Fuzzy: exemplo

Outro exemplo - Declividade

f(z) = 0 se z

f(z) = 1/[1+ (z )2] se < z <

f(z) = 1 se z

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 .025

40

Declividade

Mínimo () Máximo ()

f(z)f(z) = = 0 se z 0.025 f(z)f(z) = = 1/[1+ 0.025(z 40)2] se < z < 40 f(z)f(z) = = 1, se z 40

Na prática: Realizar mapeamento para espaço [0,1]

determinação de valores limites (mínimo e máximo) estabelecer função de mapeamento: linear, quadrática, sigmóide

Mapeamento para fuzzy

Campo deCampo deAmostrasAmostras [0,1][0,1]Grade deGrade de

valoresvalores

f(z)f(z)

SuperfícieSuperfíciecontínuacontínua

Análise Multi-CritérioAnálise Multi-Critério

Operadores Fuzzy : E

Saída controlada pelo menor valor de pertinência fuzzy ocorrendo em cada localização. Operador apropriado quando todas as evidências devem estar presentes para a hipótese ser verdadeira.

c = MIN (a, b, c, ......)

A, B, C, .. são os valores de pertinência nos mapas

0,75

0,60

0,30

0,70

0,55

0,00

0,65

0,40

1,00

0,50

0,65

0,40

0,75

0,55

0,20

0,60

0,40

0,00

0,50

0,60

0,30

0,70

0,55

0,00

0,60

0,40

0,00

A Bc = A E A

Operadores Fuzzy : OU

Saída controlada pelo maior valor de pertinência fuzzy ocorrendo em cada localização.

c = Max (a, b, c, ......)

A, B, C, .. são os valores de pertinência nos mapas

0,75

0,60

0,30

0,70

0,55

0,00

0,65

0,40

1,00

0,50

0,65

0,40

0,75

0,55

0,20

0,60

0,40

0,00

0,75

0,65

0,40

0,75

0,55

0,20

0,65

0,40

1,00

A Bc = A OU A

Operadores Fuzzy: Produto algébrico

c = i

onde i é a função de pertinência para o i-ésimo mapa

O valor dessa função combinada tende a ser muito pequeno, produto de valores entre 0 e 1. A saída é sempre menor que a menor contribuição.

n

i 1

0,75

0,60

0,30

0,70

0,55

0,00

0,65

0,40

1,00

0,50

0,65

0,40

0,75

0,55

0,20

0,60

0,40

0,00

0,37

0,39

0,12

0,52

0,30

0,00

0,39

0,16

0,00

A B c

Operadores Fuzzy: Soma algébrica

c = 1- (1-i)

Nessa operação o resultado é sempre maior, ou igual, a maior contribuição do valor de pertinência fuzzy. Duas evidências pesam mais do que cada uma individualmente. Por exemplo, a soma algébrica fuzzy de (0,75 e 0,50) é 1 – ( 1-0,75)*(1- 0,50), que é igual a 0,875 .

n

i 1

0,25

0,40

0,70

0,30

0,45

1,00

0,35

0,60

0,00

0,50

0,35

0,60

0,25

0,45

0,80

0,40

0,60

1,00

0,12

0,14

0,42

0,07

0,20

0,80

0,14

0,36

0,00

0,87

0,86

0,58

0,92

0,79

0,80

0,86

0,84

1,00

1 - A

1 - B 1 - A

c (1 - i)

2

1i




Abordagem BayesianaPrincipal conceito: Probabilidade a priori e a posteriori

Ocorrência de chuva no dia seguinte dado que a média 80 dias de chuva por ano no local.

probabilidade a priori : P(chuva) = 80/365 Refinamento: dada uma certa época do ano

a posteriori : Fator época do ano (Fépoca do ano)

P(chuva | época do ano) = P(chuva) * (Fépoca do ano)

Outras evidências: choveu ontem, choveu hoje P(chuva|evidência) = P(chuva) * (Fépoca do ano) * Fdia anterior * Fdia

hoje 1

2

1 pode ser tratado com a priori em relação a 2

Abordagem Bayesiana - Exemplos

Ex. 1 – prospecção mineralAnomalia geoquímica de zinco > 250 ppm

Prob. A priori > 250 ppmFatores (a posteriori)Mapa geológico

rocha A e B favorávelrocha C e D desfavorável

Intensidade de assinatura geofísicaTipo de vegetaçãoBaseado em conhecimento (Especialista pondera as evidências)Baseado em dados (dados históricos suficientes)

Ex. 2 – diagnostico médicoCombinação de sintomas clínicos

Ex. 2 – Distribuição espacial de epicentros sísmicos.Combinação

Técnica Bayesiana – Exemplo de aplicação1- Considere o problema de se encontrar depósitos de um determinado mineral em uma região que possui uma área de 10.000 km2, e que já tenham sido identificados 200 depósitos nesta região.

2- A area foi dividida em celulas de 1 km2 e ocorre somente 1 deposito em cada celula.

Notação N{} = contagem de unidadesN{R} = 10.000 unidades de áreaN{D} = 200 depósitos conhecidos com área de 1 km2.Densidade de depositosN{D}/N{R} = 200/10000=0.02

probabilidade a priori P{D} = N{D}/N{R} = 0.02

R

A

Técnica Bayesiana – Exemplo de aplicaçãoNova evidencia:

Observou-se em mapa de anomalia magnética da região, que 180 dos 200 depósitos conhecidos ocorreram dentro da área de anomalia.

P{D / A} > 0.02 P{D / A} < 0.02

Dado esta evidência, a probabilidade pode ser expressa por:

R

A

RA

DR A

A DA D

D A

Anomalia (A) = 3600 Celulas

Técnica Bayesiana

P{D / A} é a probabilidade condicional de um deposito ‘D’

dado que a célula está dentro da área de anomalia ‘A’.

RA

DR A

A D

A D

D A

P{D∩A} = N{D∩A} / N{R} é a proporção da área

total onde ocorre simultaneamente deposito e anomalia.P{A} = N{A} / N{R}

Técnica Bayesiana RA

DR A

A D

A D

D AP{D / A} = 180 / 3600 = 0,05

P{D} = 0.02P{D / A} = 2,5 vezes maior que P{D}

Anomalia (A)Não Anomalia

(A)Depósito (D) N{D∩A} (180) N{D∩A} (20) D (200)

Não Depósito (D)N{D∩A} (3420) N{D∩A} (6380) D (9800)

N{A} (3600) N{A} (6400)N{R} (10000)

Usando-se esta evidência, a exploração de novos depósitos do mesmo tipo, será muito mais eficiente e com uma área de pesquisa reduzida de 10.000 km2 para 3.600 km2 .

Técnica Bayesiana

P (posteriori) = P(priori) * (Fevidência)

Pode-se expressar P{ D / A} em termos da P(priori) mais fator multiplicativo.Qual a probabilidade de uma célula estar na região de

anomalia ‘A’, dado que esta célula contém um deposito?

P{A / D} = 180/200=0.9

Dado que: P{A∩D} = P{D∩A}

Probabilidade a posteriori de um depósito, dado que a célula esta na área de anomalia

P(priori) * (Fatorevidência)

Técnica Bayesiana

P{A / D} = 180/200=0.9

P{D / A} = 0,02 * 2,5 = 0,05

0,9/0,36 = 2,5 fator multiplicativo

P{A} = N{A} / N{R} = 3600 / 10000 = 0,36

A presença de anomalia magnética, faz com que a probabilidade de deposito seja 2.5 vezes maior do que a probabilidade a priori.

Técnica BayesianaProbabilidade a posteriori da ocorrência de um deposito, dada a ausência da anomalia.

P{A} = (10000-3600)/10000=0.64

P{A / D} = 20/200=0.1

= 0,1/0,64 = 0,15625

A probabilidade a posteriori da ocorrência de depósitos em posições onde não há anomalia magnética é 0.15625 vezes menor do que a probabilidade a priori.

P{D / A} = 0.2*0.15625 = 0.003125

Baseado em uma única fonte de evidência, podemos reduzir a área de pesquisa de 10.000 km2 para 3600 km2, porque a chance de se encontrar depósito onde não há anomalia é significativamente menor do que onde há anomalia.

Análise Multi-Critério




Suporte à Decisão - Conceitos Básicos Decidir é escolher entre alternativas.

Podemos encarar o processo de manipulação de dados num sistema de informação geográfica como uma forma de produzir diferentes hipóteses sobre o tema de estudo.

O conceito fundamental dos vários modelos de tomada de decisão é o de racionalidade.Onde indivíduos e organizações seguem um comportamento de escolha entre alternativas, baseado em critérios objetivos de julgamento, afim de satisfazer um nível pré-estabelecido de aspirações.

Suporte à Decisão - Conceitos Básicos

Um modelo racional de tomada de decisão preconiza quatro passos:

Definição do problema: formular o problema como uma necessidade de chegar a um novo estado.

Busca de alternativas: estabelecer as diferentes alternativas (aqui consideradas como as diferentes possíveis soluções do problema) e determinar um critério de avaliação.

Avaliação de alternativas: cada alternativa de resposta é avaliada.

Seleção de alternativas: as possíveis soluções são ordenadas, selecionando-se a mais desejável ou agrupando-se as melhores para uma avaliação posterior.

A Técnica AHP - Processo Analítico Hierárquico

Quando temos diferentes fatores que contribuem para a nossa decisão, como fazer para determinar a contribuição relativa de cada um ?

Thomas Saaty (1978) propôs, uma técnica de escolha baseada na lógica da comparação pareada, denominada Técnica AHP.

Livro: Multicriteria Decision Making – The Analytical Hierarchy process Pittsburg, RWS Publications , 1992

Neste procedimento, os diferentes fatores que influenciam a tomada de decisão são comparados dois-a-dois, e um critério de importância relativa é atribuído ao relacionamento entre estes fatores, conforme uma escala pré-definida.


Escala de Valores AHP para Comparação PareadaEscala de Valores AHP para Comparação Pareada

2,4,6,8 Valores intermediários entre julgamentos - possibilidade de compromissos adicionais.

AHP- Exemplo: Decidir sobre a compra de um SIGDecidir sobre a compra de um SIGFatores importantes: Fatores importantes:

hardwarehardware, , softwaresoftware, , serviço de vendasserviço de vendas

Matriz de Comparação Par-a-Par - Fator Hardware

Hardware Sistema 1 Sistema 2 Sistema 3

Sistema 1 1 4 8

Sistema 2 1/4 1 6

Sistema 3 1/8 1/6 1

A matriz apresentada reflete o fato que o Sistema 1 émoderadamente / essencialmente preferido em relação ao Sistema 2, e têm uma importância demonstrada / extrema com relação ao Sistema 3.

Passo 1- Importância relativa dos fatores entre sistemas.

Critérios objetivos

Sistema 1 Sistema 1 = 1 Sistema 2 Sistema 3 = 6Sistema 2 Sistema 1 = 1/4 Sistema 3 Sistema 2 = 1/6Sistema 3 Sistema 1 = 1/8

Matriz de Comparação Par-a-Par - Fator Hardware


Sistema 1 1 4 8Sistema 2 1/4 1 6Sistema 3 1/8 1/6 1

Total 1,375 5,167 15

Passo 2-Normalizar colunas

Sistema 1 0,727 0,774 0,533Sistema 2 0,182 0,194 0,400Sistema 3 0,091 0,032 0,067

Hardware

Matriz de Comparação Par-a-Par - Fatores

Hardware Cálculo da média Vetor de MédiaSistema 1 (0,727+ 0,774+0,533)/3 = 0,678Sistema 2 (0,182+0,194+0,400)/3 = 0,259Sistema 3 (0,091+0,032+ 0,067)/3 = 0,063

Passo 3- Média de cada linha normalizada representa as prioridades para as três opções alternativas, em relação ao fator Hardware (pesos do fator hardware de cada sistema

Fator Sistema 1 Sistema 2 Sistema 3hardware 0,678 0,259 0,063Software 0,077 0,186 0,737

Serviço de ven. 0,653 0,251 0,096

Matriz de avaliação dos três fatores

Matriz de Comparação de Fatores

Fator Hardware Software Serviço Vendas

hardware 1 1/8 1/5Software 8 1 6

Serviço de ven. 5 1/6 1

Total 14 1,292 7,20

Passo 4- Importância relativa entre os fatores.

hardware 0,072 0,097 0,028Software 0,571 0,774 0,833Serviço vendas.

0,357 0,129 0,139

Fator Matriz normalizada

Matriz de Comparação de FatoresPasso 5-

Pesos dos fatores.

Fator Matriz normalizada

Fator Cálculo da pesos Vetor de Média

hardware(0,072 + 0,097 + 0,028)/3

= 0,066

Software (0,57 + 0,774 + 0,833)/3 = 0,726Serviço vendas.

(0,357 + 0,129 + 0,139)/3 = 0,208

Sistema 1(0,066*0,678 + 0,726*0,077 + 0,208*0,653)= 0,236

Sistema 2 (0,066*0,259 + 0,726*0,186 + 0,208*0,251)= 0,204

Sistema 3 (0,066*0,063 + 0,726*0,737 + 0,208*0,096)= 0,559

O sistema de maior peso, considerando os fatores utilizados, é o sistema 3. Então o mais adequado para

aquisição

Consistência da seleção realizadaPara aceitar o resultado deste processo, é necessário conhecer se há consistência na comparação pareada realizada. Neste caso o parâmetro para avaliar isto é denominado Razão de consistência (RC)

A razão de consistência (RC) que é a tolerância permitida, é estimada pela expressão: RC = IC/IR Onde IC é o índice de consistência e IR é o índice tabelado.

IC IC = ( -n) / (n-1) onde n é o numero de fatores

= valor médio do vetor de consistência

Consistência da seleção realizada

Estimando IC

Passo 1: Considere que os critérios atribuídos ao fator Hardware (tabela abaixo) foi justo


Sistema 1 1 4 8Sistema 2 1/4 1 6Sistema 3 1/8 1/6 1

Hardware Vetor de MédiaSistema 1 0,678Sistema 2 0,259Sistema 3 0,063

= valor médio do vetor de consistênciaPasso 2: Calcula-se o vetor soma

ponderada1,000 4,000 8,000 0,6780,250 1,000 6,000 * 0,2590,125 0,167 1,000 0,063

=

1,000*0,678 + 4,000*0,259 + 8,000*0,063 = 2,2180,250*0,678 + 1,000*0,259 + 6,000*0,063 = 0,807 0,125*0,678 + 0,167*0,259 + 1,000*0,063 = 0,191

2,218/0,6780,807/0,2590,191/0,063

3,2713,1163,032

=Vetor de consistência =

Passo 3 : Calcula-se o vetor de consistência

Passo 4 : Calcula-se o valor médio do vetor de consistência = (3,0271 + 3,116 + 3,032)/3 = 3,140

Razão de consistênciaA razão de consistência (RC) que é a tolerância permitida, é estimada pela expressão: RC = IC/IR Onde IC é o índice de consistência e IR é o índice aleatório conforme tabela abaixo.

RC = IC/IR = 0,070/0,58 = 0,12Segundo o método desenvolvido por TS, o valor de RC deve ser menor que 0,10 para

que a decisão seja consistente

IC = ( -n) / (n-1) onde n é o numero de fatoresIC = (3,140 –3) / (3-1) = 0,070

n IR2 0,003 0,584 0,905 1,126 1,247 1,328 1,41

Processo AHP

Passo 1: Comparar os critérios dois-a-dois

Passo 2: Verificar a consistência dos dados Compara a matriz de pesos com uma matriz aleatória Consistente se a probabilidade da matriz ser aleatória é menor

que 10% Passo 3:

Produzir os pesos (soma = 1.0) Fazer uma inferência por média ponderada

Interface


Documents

Inferências Geográfica: Classificação contínua Processo Analítico Hierárquico Inferência Bayesiana