Infe 04 - 1 / 70 Lezione 6 Inferenza statistica. Infe 04 - 2 / 70 parte 3 Esercizi sulla stima della media e della varianza

Infe 04 - 1 / 70

Lezione 6Inferenzastatistica

Infe 04 - 2 / 70

parte 3Esercizi sulla stima della media e della varianza

Infe 04 - 3 / 70

Strumenti di misura e strumenti di inferenza

v

n

jjn

m

n

jjn

Xn

S

Xn

X

εμ1

1

ε1

μ

1

222

1

Infe 04 - 4 / 70

• come tutti gli strumenti di misura, anche gli stimatori sono imperfetti e la loro stima del parametro presenta un’incertezza che deve essere quantificata.

• estraendo da una popolazione per cui è definita la variabile

casuale X avente densità f (x) qualsiasi con media e

varianza 2 un campione di n elementi a cui corrisponde l’insieme

di variabili casuali { X1, X2, …, Xn } si possono usare la media

campionaria e la varianza campionaria corretta per stimare i valori

dei parametri e 2 relativi all’intera popolazione.

incertezza dello stimatore campionario

v

n

jjn X

nS εμ

1

1

1

222

m

n

jjn X

nX ε

1μ

1

Infe 04 - 5 / 70

• La “probabilità” dell’evento:

è uguale alla “confidenza” con cui posso affermare:

incertezza dello stimatore media campionaria

mnmn XX ε,εμ

mnm X εμεμ P

Infe 04 - 6 / 70

• La “probabilità” dell’evento:

è uguale alla “confidenza” con cui posso affermare:

incertezza dello stimatore varianza campionaria corretta

v

nv

S11 2

2

P

v

n

v

n SS

1,

1σ

222

Infe 04 - 7 / 70

incertezza degli stimatori campionari

mnm X εμεμ P

• La determinazione dell’incertezza degli stimatori campionari si

conduce tramite lo studio della distribuzione di probabilità della

variabile casuale costituita dallo stimatore.

v

nv

S11

2

2

P

Infe 04 - 8 / 70

Riassunto stimatori campionari

• varianza campionaria corretta:

n

jnjn XX

nS

1

22

1

1

• se si estrae da una popolazione su cui è definita la variabile

casuale X avente distribuzione normale un campione di n

elementi con immagini { X1, X2, …, Xn } (con n > 1) ,

• allora la variabile casuale 2 :

segue una distribuzione di tipo “chi-quadro” con n -1 gdl.

111

2

2

22

nXXS

nn

j

njn

Infe 04 - 9 / 70

f ( ² )

²

La variabile 2

n

j

njnXXS

n1

2

2

22 1

Infe 04 - 10 / 70

Riassunto stimatori campionari


n

jnjn XX

nS

1

22

1

1

• se si estrae da una popolazione su cui è definita la variabile

casuale X avente distribuzione normale un campione di n

elementi con immagini { X1, X2, …, Xn } (con n > 1) ,

• allora la variabile casuale C 2 :

segue una distribuzione di tipo “modificata di chi-quadro”

con n -1 gradi di libertà.

11

1

1

2

2

22

nXX

n

SC

n

j

njn

Infe 04 - 11 / 70

La variabile C2

f ( C ² )

C ²

n

j

njnXX

n

SC

1

2

2

22

1

1

Infe 04 - 12 / 70

Chiediamoci ora:

“ Qual è la probabilità che, estraendo a caso un campione di n elementi da una popolazione su cui è stata definita una variabile

casuale X con distribuzione normale, il rapporto fra la varianza campionaria corretta e la varianza relativa all’intera popolazione

sia compreso nell’intervallo ? ” vv 1,1

v

nv

S11

2

2

P

11

1

1

2

2

2

nXX

n

S n

j

njn

Incertezza dello stimatore Sn2

Infe 04 - 13 / 70

vv C 11 2P


v

nv

S11

2

2

P

2

22

nS

C

Infe 04 - 14 / 70

vv CC 11 22 PP


v

nv

S11

2

2

P

Infe 04 - 15 / 70

Estraendo a caso un campione di n elementi da una popolazione per cui è definita una variabile casuale

X con distribuzione normale, media e varianza 2, c’è una probabilità pari a:

che il rapporto fra il valore ottenuto della varianza campionaria

corretta e la varianza della X per l’intera popolazione

sia compreso nell’intervallo

vv CC 11 22 PP

n

j

njnXX

n

S

1

2

2

2

σ1

1

σ

vv 1,1


Infe 04 - 16 / 70

vv CC 11 22 PP


v

nv

S11

2

2

P

Infe 04 - 17 / 70

vv CC 11 22 PP

v

nv

S

112

2

P


v

n

v

n SS

11

22

2

v

n

v

n SS

11

22

2

P

Infe 04 - 22 / 70

possiamo quindi sostenere che:

estraendo a caso un campione di n elementi da una popolazione

per cui è definita una variabile casuale X con distribuzione

normale, media e varianza 2, c’è una probabilità 1 - pari a

che l’intervallo casuale

contenga il valore della varianza 2 per l’intera popolazione.

I1- è l’intervallo di confidenza allo 1 - per la varianza

Intervallo di confidenza a (1 – )

v

n

v

n SSI

1,

1

22

1

vv CC 11α1 22 PP

Infe 04 - 23 / 70

se la X ha distribuzione normale la probabilità cercata corrisponde alla :

Riassunto

• Qual è la probabilità che il rapporto fra i valori della varianza

campionaria corretta Sn2 e della varianza 2 riferita all’intera

popolazione sia compreso nell’intervallo [ 1 - v , 1 + v ] ?


v

nv

S11

2

2

P

n

jnjn XX

nS

1

22

1

1

vv C 11 2P

Infe 04 - 24 / 70

Riassunto


v

n

v

n

vn

v

SS

S

11

11

22

2

2

2

n

jnjn XX

nS

1

22

1

1




Infe 04 - 25 / 70

Riassunto





v

n

v

n SS

11

22

2

P

n

jnjn XX

nS

1

22

1

1

corrisponde alla area della regione campita in verde:

Infe 04 - 26 / 70

Riassunto

• Qual è quindi la probabilità che il valore della varianza 2 riferita all’intera popolazione sia compreso nell’intervallo


vC 12P

v

n

v

n SS

1,

1

22

n

jnjn XX

nS

1

22

1

1

• con le nostre tavole:

vC 12P

Infe 04 - 27 / 70

Riassunto

• Qual è quindi la probabilità che il valore della varianza 2 riferita all’intera popolazione sia compreso nell’intervallo


v

v

C

C

1

12

2

PP

v

n

v

n SS

1,

1

22

n

jnjn XX

nS

1

22

1

1

• con le nostre tavole:

Infe 04 - 28 / 70

Intervallo di confidenza allo ... ?

• per bassi valori di n la f (C 2 ) non è simmetrica pertanto non è agevole individuare

il valore di v da cui si ottiene

un intervallo simmetrico con una prestabilita confidenza

0,100,05

da cui = 0,15 pertanto 1 - = 0,85 e non 0,90 !!!

– esempio:

= 0,10 gdl = 10

C2 0,05 = 0,394 da cui:

v 0,6

Infe 04 - 29 / 70

Intervallo di confidenza allo 0,90

• per bassi valori di n la f (C 2 ) non è simmetrica:

si preferisce pertanto definire un intervallo asimmetrico individuato dai due quantili e

– esempio:

= 0,10

gdl = 10

0,050,05

221

22 CC

Infe 04 - 30 / 70

Intervallo di confidenza

• Qual è l’intervallo di confidenza della varianza per la intera popolazione corrispondente ai due quantili e corrispondenti alla confidenza scelta?

corrisponde alla:


22

22

221

2

2212

22

2

C

S

C

S

CS

C

nn

n

P

P

n

jnjn XX

nS

1

22

1

1

221

22 CC

Infe 04 - 31 / 70

Intervallo di confidenza

• Qual è l’intervallo di confidenza della varianza per la intera popolazione corrispondente ai due quantili e corrispondenti alla confidenza scelta?

l’intervallo cercato è:


n

jnjn XX

nS

1

22

1

1

2

2

2

221

2

; C

S

C

S nn

221

22 CC

Infe 04 - 32 / 70

possiamo sostenere che:

estraendo a caso un campione da una popolazione su cui è definita

una variabile casuale X con distribuzione normale, media e

varianza 2, c’è una probabilità pari a 1 - che l’intervallo casuale

in cui e sono rispettivamente i valori del

quantile (/2) e del quantile (1 - /2) di una variabile C 2

che segue la distribuzione “modificata di chi-quadro”

con n -1 g.d.l contenga il valore della varianza 2.

Intervallo di confidenza varianza

2

2

2

221

2

1 ;

C

S

C

SI nn

221

22 CC

Infe 04 - 33 / 70

Stima intervallo di confidenza con 2

• varianza campionaria:

• avendo introdotto la distribuzione “chi-quadro”

è stato possibile affermare che la variabile aleatoria 2

segue tale distribuzione con n - 1 g.d.l..

n

i

nin XXn

S

1

22

1

1

n

i

nin XXSn

1

2

2

2

1

Infe 04 - 34 / 70

Stima intervallo di confidenza con 2

• varianza campionaria:

n

i

nin XXn

S

1

22

1

1

• se dispongo dei valori della 2

2

22

1 1χ

nn

Sn

1χ

1χ 2

22

2

2

inf,1sup,1

nS

nS

QnQn

nn

Infe 04 - 35 / 70

Esercizio 1 stima per intervalli della varianza

Infe 04 - 36 / 70

Esercizio 1

Supponiamo di avere unapopolazione di induttori per la soppressione di rumori e su tale popolazione definiamo una

variabile casuale X cheassume, per ciascuninduttore, valore uguale alvalore della induttanza misurata in H alla frequenza di 1,0 MHz.

Vogliamo individuare l’intervallo di confidenza allo 0,95 per la

varianza della X mediante l’uso di un campione composto da

n = 26 induttori.

Infe 04 - 37 / 70

Esercizio 1

Alla frequenza di 1,0 MHz la induttanza può essere misurata con l’uso di un “ponte per radio frequenza”

30204010 ZZZZ

30204010 YYYY

40

30201010 Y

YYCjY

40

302011

1

Y

YYCj

LjY

x

1012110

11

CCLC

LC x

x

Infe 04 - 38 / 70

Esercizio 1

e poi il valore dello stimatore “varianza campionaria corretta”

n

i

nin XXn

S

1

22

1

1

nel nostro caso il campione di 26 induttori ci porta a:

0144,0;97,7 22626 sx

dai valori misurati determino prima il valore dello stimatore “media campionaria”

n

i

in Xn

X

1

1

Infe 04 - 39 / 70

Esercizio 1

Se la induttanza degli induttori presenta una variabilità provocata da molteplici cause legate al processo produttivo che agiscono indipendentemente le une dalle altre allora è plausibile assumere che la variabile X che è stata definita presenti una distribuzione di tipo normale.

Se la variabile X ha una distribuzione di tipo normale con media e varianza 2 allora è possibile affermare che una nuova variabile casuale C2 definita dal rapporto fra la varianza campionaria

corretta e la varianza della popolazione 2

segue una distribuzione di tipo “modificata di chi quadro”

2

22

nS

C

Infe 04 - 40 / 70

Esercizio 1il campione è composto da n= 26 elementi pertanto opero con 25 g.d.l.

Dalle tabelle dei valori critici di C ²25 trovo che i valori dei due quantili 0,025 e 0,975 sono rispettivamente: 0,52 e 1,62

2

22

nS

C

2inf,1

22

2sup,1

2

σQn

n

Qn

n

C

S

C

S

52,0

0144,0

62,1

0144,0 2 0277,00089,0 2

Intervallo di confidenza allo 0,95

Infe 04 - 41 / 70

Esercizio 2stima per intervalli della varianza

Infe 04 - 42 / 70

Esercizio 2

Un campione è costituito da 11 resistori estratti da una popolazione infinita con distribuzione normale.

La misurazione della resistenza degli elementi del campione fornisce i seguenti valori, in k:

12,1 ; 12,2 ; 12,2 ; 12,2 ; 12,3 ; 12,3 ; 12,3 ; 12,4 ; 12,4 ; 12,4 ; 12,5 ;

Viene definita una variabile casuale X che assume, per ciascun resistore della popolazione, valore uguale a quello della resistenza in k diminuito di 12.

Si individui l’intervallo di confidenza allo 0,95 per la varianza della X.

Infe 04 - 43 / 70

Esercizio 2

e poi il valore dello stimatore “varianza campionaria corretta”

014,0111

1

1

22

n

inin XxS

dai valori misurati determino prima il valore dello stimatore “media campionaria”

3,011

1

1

n

iin xX

Infe 04 - 44 / 70



segue una distribuzione di tipo “modificata di chi-quadro”

2

22

nS

C

Esercizio 2

Se la resistenza dei resistori studiati presenta una variabilità provocata da molteplici cause legate al processo produttivo che agiscono indipendentemente le une dalle altre allora è plausibile assumere che la variabile X che è stata definita presenti una distribuzione di tipo normale.

Infe 04 - 45 / 70

Esercizio 2il campione è composto da n= 11 elementi quindi opero con 10 g.d.l. Dalla tabella, per

C ²10 trovo che i valori dei due quantili 0,025 e 0,975 sono rispettivamente: 0,325 e 2,05

2inf,1

22

2sup,1

2

Qn

n

Qn

n

C

S

C

S

325,0

014,0

05,2

014,0 2 0431,00068,0 2 Intervallo di confidenza allo 0,95

Infe 04 - 46 / 70

Esercizio 3stima per intervalli della varianza

Infe 04 - 47 / 70

Esercizio 3

Un campione è costituito da 31 resistori estratti da una popolazione infinita con distribuzione normale.

Viene definita una variabile casuale X che assume, per ciascun resistore della popolazione, valore uguale a quello della resistenza in k diminuito di 12.

La misurazione della resistenza degli elementi del campione fornisce:

Si individui l’intervallo di confidenza allo 0,95 per la varianza della X usando sia la distribuzione “modificata di chi-quadro” sia la distribuzione “chi-quadro”.

014,0131

1

1

22

n

inin XxS3,0

31

1

1

n

iin xX

Infe 04 - 48 / 70




2

22

nS

C

Esercizio 3


Infe 04 - 49 / 70

Se la variabile X ha una distribuzione di tipo normale con media e varianza 2 allora è possibile affermare che una nuova variabile

casuale 2 definita dal rapporto fra la varianza campionaria

corretta e la varianza della popolazione 2 moltiplicato per n-1

segue una distribuzione di tipo “chi quadro”

12

22 n

Sn

Esercizio 3


Infe 04 - 50 / 70

Esercizio 3• il campione è composto da n= 31 elementi quindi opero con 30 g.d.l.

2inf,1

22

2sup,1

2

Qn

n

Qn

n

C

S

C

S

560,0

014,0

57,1


• dalla tabella dei valori

critici di C ²30 trovo che i valori dei due quantili 0,025 e 0,975 sono rispettivamente: 0,560 e 1,57

Infe 04 - 51 / 70

Esercizio 3

• il campione è composto da n= 31 elementi pertanto opero con una distribuzione chi-quadro a 30 g.d.l.

• Dalle tabelle della f. cumulativa di ²30 trovo che i valori dei due quantili 0,025 e 0,975 sono rispettivamente: 16,791 e 46,979

30791,16

014,030

979,46

014,0 2

025,00089,0 2 Intervallo di confidenza allo 0,95

1χ

1χ 2

inf,1

22

2sup,1

2

nS

nS

Qn

n

Qn

n

Infe 04 - 52 / 70


Infe 04 - 53 / 70

Esercizio 4

Si è definita su di una popolazione di sfere da cuscinetto una variabile

casuale avente, per ciascuna sfera prodotta, valore uguale al valore

del diametro misurato in centimetri.

Un campione casuale costituito da 41 sfere mostra un valore

della media campionaria di 0,824 e

della deviazione standard campionaria corretta di 0,042.

Determinare l’intervallo di confidenza al 99% per la varianza della

variabile casuale relativa all’intera popolazione.

Infe 04 - 54 / 70




2

22

nS

C

Esercizio 4

Anche in questo esercizio dovremo assumere che la variabilità del diametro della sfere sia provocata da molteplici cause legate al processo produttivo che agiscono indipendentemente le une dalle altre allora. Con questa premessa è plausibile assumere che la variabile X che è stata definita presenti una distribuzione di tipo normale.

Infe 04 - 55 / 70

Esercizio 4• il campione è composto da n= 41 elementi pertanto opero con la

tabella dei valori critici

della C ² per 40 g.d.l.

2inf,1

22

2sup,1

2

Qn

n

Qn

n

C

S

C

S

518,0

00176,0

67,1


• dalla tabella trovo che i valori dei due quantili 0,005 e 0,995 sono rispettivamente: 0,518 e 1,67

Infe 04 - 56 / 70

Esercizio 4

• il campione è composto da n= 41 elementi pertanto opero con una distribuzione chi-quadro a 40 g.d.l.

• Dalle tabelle della f. cumulativa di ²40 trovo che i valori dei due quantili 0,005 e 0,995 sono rispettivamente: 20,707 e 66,766

40707,20

00176,040

766,66

00176,0 2


1χ

1χ 2

inf,1

22

2sup,1

2

nS

nS

Qn

n

Qn

n

Infe 04 - 57 / 70


Infe 04 - 58 / 70

Ricalcolare l’intervallo di confidenza dell’esercizio precedente nell’ipotesi che il campione sia costituito da 21 sfere.

Un campione casuale costituito da 21 sfere mostra un valore

della media campionaria di 0,824 e

della deviazione standard campionaria corretta di 0,042.

Determinare l’intervallo di confidenza al 99% per la varianza

della variabile casuale relativa all’intera popolazione.

Esercizio 5

Infe 04 - 59 / 70

Esercizio 5

• il campione è composto da n= 21 elementi pertanto opero con 20 g.d.l.

• dalla tabella della f. cumulativa

di ²20 trovo che i valori dei due quantili 0,005 e 0,995 sono rispettivamente: 7,434 e 39,997

20434,7

00176,020

997,39

00176,0 2

1χ

1χ 2

inf,1

22

2sup,1

2

nS

nS

Qn

n

Qn

n

Infe 04 - 60 / 70

Esercizio 5

• il campione è composto da n= 21 elementi pertanto opero con 20 g.d.l.

• dalla tabella della f. cumulativa

di ²20 trovo che i valori dei due quantili 0,005 e 0,995 sono rispettivamente: 7,434 e 39,997

1χ

1χ 2

inf,1

22

2sup,1

2

nS

nS

Qn

n

Qn

n

Intervallo di confidenza allo 0,990047,00009,0 2

Infe 04 - 61 / 70

Esercizio 5• il campione è composto da n= 21 elementi pertanto uso la funzione

C ² con 20 g.d.l.

2inf,1

22

2sup,1

2

Qn

n

Qn

n

C

S

C

S

372,0

00176,0

00,2

00176,0 2

• Dalle tabelle di


Infe 04 - 62 / 70

Esercizio 5• il campione è composto da n= 21 elementi pertanto uso la funzione

C ² con 20 g.d.l.

2inf,1

22

2sup,1

2

Qn

n

Qn

n

C

S

C

S


• Dalle tabelle di


Infe 04 - 63 / 70


Infe 04 - 64 / 70

Problema 1.

Il propulsore Mod. WEC viene prodotto da ACME Inc. mediante un processo automatizzato: dati storici confermano che la lavorazione di ogni elemento prodotto richiede tipicamente 1 ora e 40 minuti (1h 40min 00s): questo valore viene assunto come valore tipico per l'intera popolazione.

Un esperto di organizzazione aziendale suggerisce alla dirigenza di ACME la introduzione di una nuova macchina affermando che tale azione può ridurre in modo significativo il tempo di lavorazione necessario per realizzare il propulsore WEC.

A causa dei costi di esercizio della nuova macchina la dirigenza di ACME valuta che la sua introduzione risulta economicamente conveniente solamente nel caso in cui il tempo di lavorazione necessario per realizzare il propulsore WEC si riduca fino ad assumere un valore tipico per l'intera popolazione minore di 1 ora e 32 minuti (1h 32min 00s).

La dirigenza di ACME, con la collaborazione del costruttore della nuova macchina che ne mette a disposizione un esemplare affinché sia possibile sperimentarne il funzionamento, decide di condurre un test statistico allo scopo di confermare la effettiva utilità dell’acquisto della nuova macchina. Il test sarà condotto con un livello di significatività pari a 0,01.

Mediante la nuova macchina vengono realizzati 6 esemplari di propulsore WEC misurando, per ciascuno di essi, il tempo di lavorazione:

propulsore WEC #1 tempo di lavorazione = 1h 31min 06s






In base al risultato del test i dirigenti di ACME decidono di acquistare la nuova macchina oppure no?

Problema 3.

Si individui l’intervallo di confidenza al 95% per la varianza 2 della X riferita all’intera popolazione sulla base dei valori forniti dal campione del problema 1.

Esercizio 6

Infe 04 - 65 / 70

Problema 1.

Il propulsore Mod. WEC … Mediante la nuova macchina vengono realizzati 6 esemplari di propulsore WEC misurando, per ciascuno di essi, il tempo di lavorazione:







In base al risultato del test i dirigenti di ACME decidono di acquistare la nuova macchina oppure no?

Problema 3.

Si individui l’intervallo di confidenza al 95% per la varianza 2 della X riferita all’intera popolazione sulla base dei valori forniti dal campione del problema 1.

Esercizio 6

Infe 04 - 66 / 70

Esercizio 6

risoluzione:

La variabile casuale X con cui si descrive la durata della lavorazione viene definita come: un numero pari al tempo di lavorazione diminuito di 1 ora e 31 minuti ed espresso in multipli di 6 secondi:

propulsore WEC #1 tempo di lavorazione = 1h 31min 06s x1 = 1






Con queste premesse la varianza campionaria corretta risulta:

105

1 6

1

22 i

nin XxS

Infe 04 - 67 / 70

Esercizio 6

risoluzione:

Per individuare l'intervallo di confidenza della varianza della X relativa all'intera popolazione si costruisce una idonea variabile casuale 2 così definita:

che ha distribuzione di tipo "chi quadro" con n-1 gradi di libertà.

Si individuano quindi i due quantili della "chi quadro" relativi alle probabilità 0,025 e 0,975 che, per 5 gradi di libertà, risultano essere:

2

22 1

nS

n

832,12χ;831,0χ 2sup

2inf QQ

Infe 04 - 68 / 70

Esercizio 6

Da questi valori si individuano gli estremi dell'intervallo di confidenza cercato mediante la:

Sostituendo nella espressione i valori della varianza campionaria corretta, dei quantili della "chi quadro" e dei gradi di libertà si ottiene infine:

832,12;831,0 2sup

2inf cc

2

inf

22

2sup

2

χ1

χ1

Q

n

Q

n Sn

Sn

2,60831,0

105

832,12

10589,3 2

Infe 04 - 69 / 70

Esercizio 6

Risoluzione alternativa:

Per individuare l'intervallo di confidenza della varianza della X relativa all'intera popolazione si costruisce una idonea variabile casuale C 2 così definita:

che ha distribuzione di tipo “C 2 modificata di chi quadro" con n-1 gradi di libertà.

Si individuano quindi i due quantili della C 2 relativi alle probabilità 0,025 e 0,975 che, per 5 gradi di libertà, risultano essere:

2

22

nS

C

57,2;166,0 2sup

2inf QQ CC

Infe 04 - 70 / 70

Esercizio 6

Da questi valori si individuano gli estremi dell'intervallo di confidenza cercato mediante la:

Sostituendo nella espressione i valori della varianza campionaria corretta, dei quantili della C 2 e dei gradi di libertà si ottiene infine:

2inf

22

2sup

2

Q

n

Q

n

C

S

C

S

3,60166,0

10

57,2

1089,3 2

57,2;166,0 2sup

2inf QQ CC

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Infe 04 - 1 / 70 Lezione 6 Inferenza statistica. Infe 04 - 2 / 70 parte 3 Esercizi sulla stima della media e della varianza