Industrijska robotika-KNJIGA

1

1 UVOD

elja da realizuje maine koja e ga zameniti pri poslovima isuvie opasnim, napornim ili monotonim, kod oveka je prisutna, verovatno, oduvek. Veoma esto su konstrukcije poprimale ovekoliki izgled (Sl. 1.1. - 1.3.), delom zbog tenje da napravi sopstvenu repliku, a delom zbog lakeg uklapanja ovako koncipirane maine na radno mesto koje je ve prilagoeno oveku. Mada se tokom novije istorije mogu nai primeri sloenih mehanizama (Sl. 1.2.) koji su realizovali veoma sloene pokrete ovi ureaji, pri stroijem tumaenju, ne mogu biti nazvani robotima. Pre svega, od robota se oekuje znatno iri

Sl. 1.1. Skica ideje o nainu pogona noge robota (levo) i model viteza , Leonardo da Vini, oko 1495. god.

Sl. 1.3. Pokretne lutke za sluenje aja Sl. 1.2. Automat asovniara Jaquet Droz-a iz Japana, XVIII vek poznat pod nazivom Pisar, oko 1750.godine

spektar aktivnosti nego to su ovi automati mogli da realizuju tj. oekuje se da mogu da realizuju razliite zadatke (mada tekst koji Pisar, Sl. 1.2., ispisuje moe da bude proizvoljno zadat u duini od 40 karaktera, ipak ovaj automat moe samo da pie i to samo jednom vrstom slova), a intuitivno se oekuje samostalno i svrsishodno delovanje robota u okolini u

id16100375 pdfMachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! - http://www.pdfmachine.com http://www.broadgun.com

Industrijska robotika Uvod

2

kojoj se nalazi. Za realizaciju takvih maina tada nije bilo uslova.

Tabela 1. Pregled razvoja robotike God. Dostignue 1898 Nikola Tesla javno demonstrirao radiom upravljani (teledirigovani) model broda. 1946 Dor Devol (George Devol) razvio prvi magnetski kontroler. Na Pensilvanij-

skom univerzitetu realizovan Eniac, prvi savremeni raunar. 1952 Na MIT-u realizovana prva NC maina koja predstavlja prvi primer gde su

softver i hardver integrisani u okviru istog ureaja. 1954 Dozef Inglberger (Joseph Engelberger), student Kolumbija univerziteta, otkupio

prava na Devolov robot i osnovao prvu robotsku kompaniju Junimejn (Unimation).

1956 Izraz vetaka inteligencija uveden u naunu terminologiju 1962 Deneral Motors (General Motors) instalisao prvi robot (firma Junimejn) na

poslovima opsluivanja maine za livenje. 1968 Mobilni robot sa elementima vetake intel. (ejki (Shakey)) realizovan na SRI 1972 Prof. Vukobratovi postavio teoretske principe dvononog hoda. 1973 Sinsinati Milakron (Cincinati Milacron) razvio T3, prvi komercijalni robot. 1973 Na Stanford univerzitetu razvijen prvi jezik za programiranje robota (WAWE). 1976 U arls Draper (Charles Draper) laboratorijama na MIT-u razvijen RCC ureaj

za montau. 1977 ASEA ponudila na tritu dva industrijska robota na elektrini pogon. 1978 Prvi Puma robot iz firme Junimejn instalisan u Deneral Motors-u. 1979 SCARA (Selective Compliant Robot for Assembly) realizovan u Japanu. 1980 Poeo ubrzani razvoj industrijske robotike. 1984 Na Waseda univerzitetu razvijen Wabot-2 koji je bio u stanju da ita note i svira

elektrine orgulje. 1986 Na Waseda univerzitetu realizovan dvononi hodajui robot (WL-12) koji je hod

ostvario na osnovu ZMP-a. 1987 Kompamije ASEA i BBC Brown Boveri formirale ASEA Brown Boveri (ABB) 1992 Istraivaki 8-noni robot Dante I uao u krater vulkana Erebus na Antartktiku 1997 Honda javno prikazala autonomni humanoidni robot P3 (osmi prototip u okviru

projekta koji je poeo 1986 godine). 1998 U Japanu zapoet veliki projekat Humanoid. 2000 Realizovan prvi autonomni humanoidni robot ASIMO firme Honda, Japan.

Sony prikazao svoj humanoidni robot SDR (Sony Dream Robot) Jasno je da su za pojavu robotike morala postojati odgovarajua teorijska znanja i stei se adekvatni tehnoloki uslovi. Obzirom da se do ovih uslova stiglo postepenim razvojem nije

Uvod Industrijska robotika

3

mogue potpuno jednoznano odrediti kada je zapoeo razvoja robotike. Smatra se da je za pojavu robota od sutinskog znaaja bio razvoj teorije upravljanja, raunara i elektronike, pa se pregled razvoja robotike dat u Tabeli 1 je fokusira uglavnom na ove oblasti.

Sl. 1. 4. Plakat, glavni lik i scena iz predstave Rosumovi univerzalni roboti (RUR) ekog pisca Karela apeka.

Re robot je u savremeni renik 1920. godine uveo eki pisac Karel apek, u svom pozorinom komadu R.U.R. (Rosumovi univerzalni roboti, Sl. 1.4.). Re robot potie od eke rei robota koja oznaava teki rad. Postoji vie definicija ta je robot. Prema definiciji Meunarodne organizacije za standardizaciju (standard ISO 8373) manipulacioni industrijski robot je definisan kao automatsko upravljani reprogramabilni vienamenski manipulator sa tri ili vie upravljanih osa, koji moe biti nepokretan ili pokretan u odnosu na podlogu i koji se koristi u zadacima industrijske automatizacije. Prema definiciji Japanske asocijacije za robotiku (JARA) roboti se mogu klasifikovati u est klasa:

- Runo (pomou operatora) upravljani ureaji za rukovanje materijalom. - Ureaj za rukovanje materijalom koji je tako konstruisan da moe da realizuje

samo fiksni, unapred definisani, niz pokreta (engl. Fixed Sequence Robot). - Ureaj za rukovanje materijalom koji je tako konstruisan da moe da realizuje

niz pokreta koji lako moemo da modifikujemo (engl. Variable Sequence Robot).

- Robot kod kojeg se kretanje moe zapamtiti radi kasnijeg ponavljanja (engl. Playback Robot).

- Numeriki upravljani roboti koji imaju ureaj za runo obuavanje provoenjem kroz niz definisanih poloaja.

- Inteligentni roboti koji mogu da razumeju svoju okolinu i u stanju su da zavre zadatak uprkos izmenjenim radnim uslovima.

Zbog nesaglasnosti ovih definicija podaci o broju robota u Japanu nisu u potpunosti kompatibilni sa podacima o broju robota u drugim zemljama. Dok je u poetnim fazama razvoj uglavnom bio fokusiran na industrijsku robotiku, savremeni trenutak i bliska prolost su karakterisani naglom ekspanzijon razvoja robota i u drugim oblastima ivota. Tako se pojavljuju: roboti za domainstvo, roboti koji se koriste u terapeutske svrhe, roboti za negu starijih i onemoalih osoba, roboti za pomo pri hirurkim zahvatima, roboti za gaenje poara, roboti u industriji zabave ... (Sl. 1.5.). Neki od njih imaju humanoidni oblik (Sl. 1.6.). esto se robotika u drugim oblastima izvan industrijske naziva servisnom dok se, ukoliko roboti imaju ovekoliki izgled naziva humanoidnim.


4

a)

b) c)

d)

e)

f)

Sl. 1.5. Roboti van oblasti industrijske robotike: a) robot usisiva, b) terapeutski robot Faro, c) pomo hendikepiranim osobama, d) pomo pri hirurkim zahvatima, e).protivpoarni robot, f) roboti u industriji zabave

Sl. 1.6. Razvoj Asimo (HONDA) humanoidnog robota Razmotrimo detaljnije razvoj industrijske robotike. Ako preskoimo rane faze (pojava motora sa obrtnim magnetnim poljem i elektronskog raunara) za poetak ubrzanog razvoja industrijske robotike presudan je bio pronalazak tranzistora 1947. godine i integrisanog kola 1959. godine to je omoguilo minijaturizaciju, poveanje pouzdanosti rada raunara i njegovu primenu u upravljanju robotima. Time su omogueni intenzivni prorau-ni prilikom realizacije programiranih putanja, obrade senzorskih informacija i upravljanja elektrinim pogonima. U to vreme, 1961. godine, Dordu Devolu (George Devol) je odob-ren patent broj US 2998237, maine za rukovanje materijalom to je predstavljalo poetak industrijske robotike. Prva skica patenta prikazana je na Sl. 1.7. Jo u toku obrade patentne


5

prijave, 1956. godine formirana je kompanija Junimejn (Unimation) Inc., iji su osnivai bili Dord Devol i Jozef Englberger. Prvi prototip je izaao iz fabrike 1959. godine i insta-lisan u livnici u vlasnitvu GM u Nju Dersiju (General Motors, New Jersey), a 1961. godine poinje sa stalnim radom. Poetak industrijske primene robota prati i osnivanje istraivakih laboratorija za oblast robotike pri univerzitetima u SAD, Evropi i Japanu.

Sl. 1.7. Prvi patent i prvi industrsijski robot u GM fabrici u Trentonu, 1961. Naredni veliki napredak u razvoju robotike je omoguila pojava novih tehnologija za realizaciju upravljakih sistema mikroraunara, ime je znaajno uveana sposobnost robota da u realnom vremenu, pored ostalog, obrauju raznovrsne senzorske informacije, na osnovu kojih donose odluke o narednoj akciji koju treba izvriti i na taj nain obavljaju zadatke smanjenog stepena determinizma. Realno je da se oekuje da e se taj trend nastaviti, naroito zbog razvoja robotike koja nije industrijska i gde je adekvatna interakcija sa okolinom na osnovu senzorskih informacija, osnovni preduslov uspenog delovanja robota. Stoga se moe oekivati da e kod industrijskih robota u budunosti biti uvean stepen samostalnog delovanja to e imati veoma znaajan uticaj i na proizvodnju u budunosti. Kada je industrijska robotika u pitanju dva su osnovna pitanja na koja treba imati jasne odgovore. Prvo je: zbog ega treba koristiti robote, dok je drugo: kada ne treba koristiti robote. Kao odgovor na prvo pitanje uobiajeno se navode etiri razloga:

- poboljanje kvaliteta proizvoda, - poboljanje uslova rada, - smanjenje trokova i - olakan prelazak na proizvodnju drugog proizvoda (fleksibilnost).

U sluaju kada je potrebno poboljanja kvaliteta proizvoda roboti postiu bolje radne rezultate u odnosu na oveka kada je potrebno: pozicioniranje visoke tanosti, visoka ponovljivost pri ponavljanju pokreta, eliminacija odstupanja usled zamora i pouzdano merenje i kontrola kvaliteta korienjem senzora. Obzirom na karakteristike robota u smislu ostvarenja visoke tanosti i ponovljivosti dobro poznate, prva tri razloga su, nadamo se, jasna bez dodatnih objanjenja. Radi ilustracije kako se robotizacijom uz primenu senzora moe poveati kvalitet proizvoda naveemo primer firme Nissan iz Japana gde se za detekciju nesavrenosti bojene povrine koriste laserski senzori koje nose roboti. Uvoe-njem ovog sistema poveana je uspenost detekcije greaka sa 60% na 100%. Da bi se postigao visok kvalitet proizvoda i da bi se izbegle povrede, uslovi rada treba da


6

budu adekvatni1. Ukoliko se u okviru radnog mesta javlja potreba za podizanjem tekih predmeta ili ukoliko je posao monoton i ponavljajui ili ukoliko je radni prostor kontami-niran (buka, isparenja, praina, ...) ili ukoliko posao tokom dugog vremenskog perioda zahteva visok stepen koncetracije treba razmiljati o uvoenju automatizacije i robotizacije na takvo radno mesto. Tako se npr. u Nissan-u smatra da radno mesto treba automatizovati ukoliko tokom jedne smene podignut teret prelazi 20 tona ili ukoliko broj ponavljanja jedne akcije, isto tokom jedne smene, prelazi 4000. Tako je, za montau tokova na automobile (jedan toak ima masu od 20-30 kg) koja se tokom jedne smene realizuje 1000 puta razvi-jen poseban robot. Drugi karakteristian primer monotonih i ponavljajuih pokreta na rad-nim mestu je pakovanje i paletizacija, dok su isparenja prilikom bojenja veoma esto kan-cerogena i kontaminiraju radni prostor. U oba sluaja primena robota predstavlja adekvatno reenje. Kada se govori o ceni robotizacije radnog mesta treba voditi rauna o ceni samog robota i ureenju radnog mesta. Obzirom na osobinu robota da veoma tano ponavljaju pokrete, a da on-line prepoznavanje scene zahteva instalaciju veoma skupe opreme (ukoliko je scena takva da je uopte mogue prepoznavanje u realnom vremenu) potrebno je radno mesto realizovati kao viskoko struktuirano. To znai da je potrebno da se u svakom trenutku svi elementi potrebni u radnom procesu nalaze na tano odreenim i unapred poznatim lokaci-jama to se postie korienjem raznih vrsta dodavaa, paleta i sl. to zahteva ulaganje znaajnih sredstava. Da bi se sredstva uloena u ureenje radnog mesta to pre vratila veoma je poeljno da roboti rade vie smena, ukoliko je mogue, 24 asa dnevno. ivotni vek proizvoda je sve krai pa se neminovno zahteva skraivanje vremena razvoja novog proizvoda. Osim toga, i proizvodne linije treba da budu takve da mogu da se koriste za proizvodnju vie od jednog proizvoda. Stoga se postavlja zahtev za visokim stepenom fleksibilnosti, koji treba da bude vii ne samo u odnosu na krutu autonatizaciju ve i u odnosu na radne procese koje realizuje ovek. Tako je npr. Rolls-Royce za 75% skratio vreme obrade delova hemijskim nagrizanjem time to se maske za pokrivanje zatienih delova vie ne prave runo korienjem ablona, ve se koriste podaci iz CAD sistema. Sa druge strane, Nissan trenutno radi na formiranju jedinstvene linije za proizvdnju automobila na kojoj bi bilo mogue proizvoditi sve njihove modele (Intelligent Body Assembly System). To nameravaju da postignu korienjem jednostavnih robota kojima bi menjali pribore na liniji u skladu sa svakim novim modelom automobila. Drugo, ranije postavljeno, pitanje je bilo: kada ne treba koristiti robote? Odgovor je da robote ne treba koristiti onda kada su prednosti oveka u odnosu na robota znaajne za realizaciju zadatka. Prednosti oveka u odnosu na robota u procesu proizvodnje su sledee:

- ovek ima mnogo vei broj senzora koji su boljeg kvaliteta od onih koje koriste roboti. Osim toga, ovek mnogo efikasnije koristi senzorske informacije.

- ovek ima sposobnost uenja i moe da donosi ispravne odluke ak i kada svi potrebni podaci ne postoje.

- ovek je veoma fleksibilan i moe se lako prilagoditi drugom zadatku (ovek je lak za programiranje).

- ovek poseduje mobilnost u smislu jednostavnog prelaska sa jednog na drugo radno mesto.

1 Posmatrano kratkorono, preoptereenje ljudskog tela dovodi do zamora, a u duem periodu i do povreda.


7

- Novo radno mesto ne zahteva posebnu pripremu u smislu prilagoavanja oveku (male kapitalne investicije).

Ukoliko je na radnom mestu neophodno da izvrilac poseduje jednu ili vie pomenutih osobina potrebno je na to mesto postaviti oveka. Osvrnimo se, na kraju, na razvoj industrijske robotike u poslednje dve decenije. Prema UNECE (Press Release ECE/STAT/04/P01, Geneva, 20 tobr 2004), robotika je tokom poslednje decenije XX veka, posmatrano sa razliitih aspekata, znaajno napredovala. Tako, na primer, odnos nekih osnovnih ekonomskih i tehnolokih parametara sa poetka i sa kraja poslednje decenije XX veka to potvruje: nominalna cena robota je smanjena od 43% do 80%, broj isporuenih jedinica je uvean za 782%, broj razliitih tipova robota je uvean za 400%, ukupna nosivost je uveana za 26%, tanost pozicioniranja je uveana za 61%, brzina kretanja poslednje ose je uveana za 39%, maksimalni dohvat je uvean za 36%, srednje vreme rada pre pojave otkaza je uveano za 137% (sada iznosi i do 100,000 sati), veliina RAM-a je uveana za preko 400 puta a broj maksimalno upravljanih SS je uvean za 45% Period veoma znaajnog tehnolokog unapreenja industrijskih robota tokom ovog perioda je istovremeno praen konstantnim rastom trita. U tome su prednjaile Evropa i SAD obzirom da je Japan najvei deo robotizacije priveo kraju desetak godina ranije. Na kraju XX veka, u svetu se broj robota u upotrebi pribliio broju od 900.000 100.000 (poznat je broj proizvedenih i isporuenih robota ali se ne zna tano koliko je robota izvan upotrebe zbog zastarelosti). Iako je preporueni radni vek robota dvanaest godina, nije redak sluaj da se roboti koriste i posle tog perioda u zavisnosti od intenziteta ranijeg korienja ali i od ekonomske opravdanosti nove investicije. Broj robota u Japanu je u tom trenutku iznosio (ukljuujui i najjednostavnije manipulato-re) 389.442, u Sjedinjenim amerikim dravama 89.880, u Evropskoj uniji 198.897, ostatku Evrope 10.783, Aziji i Australiji 53.132, a u ostatku sveta 8.900. Broj robota na 10.000 industrijskih radnika u pojedinim zemljama je iznosio: Japan 272; Juna Koreja 125; SAD 52; EU 81; Nemaka 127; Italija 102; vedska 89; Velika Britanija 34; Australija 31. U automobilskoj industriji, koja je u znatno veoj meri robotizovana, u proseku, na 10.000 radnika dolazi 1000 robota (u Japanu 1.700, u Italiji 850 (najvie u Evropi), u SAD 590 robota, ...). Predvianja za period do kraja prve decenije XXI veka ukazuju na to da e broj novih, pro-izvedenih i instaliranih, robota dostii cifru od 131.000, odnosno da e broj aktivnih robota na kraju decenije dostii 1.150.000 jedinica. Cena robota e neznatno opadati a broj robota u odnosu na broj radnika e biti povean: predvia se 352 robota na 10.000 radnika u Ja-panu, preko 173 u Koreji, 171 u Nemakoj, 130 u Italiji, 90 u SAD. Interesantno je da je 2005. godine narueno 59% robota antropomorfne konfiguracije, 12%, cilindrine, 8% SCARA konfiguracije i ukupno 21% svih ostalih konfiguracija. Za samo pet godina, rast u servisnoj robotici iznosio je 31.600 jedinica. Sa 5.680 jedinica, podvodna robotika predstavlja glavni pravac komercijalizacije. Slede roboti za ienje, vojni i bezbednosni roboti, graevinarski roboti, medicinski roboti i mobilne platforme opte namene. Prodato je 1.9 miliona jedinica za domainstvo 1 milion robota-igraaka. Strah da e roboti zatvoriti mnoga radna mesta nije se pokazao u potpunosti opravdanim. Posle oekivanog otputanja na poetku robotizacije u nekoj industrijskoj grani, ubrzani rast obino otvara nova radna mesta ili se, usled opteg napretka drutva, otvaraju investi-cije u drugim granama ime se poveava potreba za radnom snagom, koja pri tome mora da


8

se prekvalifikuje. Opet, kao primer moemo uzeti automobilsku industriju gde se, posma-trano u celini, i pored povremenih kriza se belei konstantni rast novootvorenih radnih mesta.

LITERATURA An C., Atkenson C, and Hollerbach J.: Model-Based Control of a Robot Manipulator, The MIT Press, 1998. Angeles J.: Fundamentals of Robotic Mechanical Systems, Theory, Methods and Algorithms, Springer-Verlag, 2003. Asada H. and Slotine J.J.: Robot Analysis and Control, John Wiley and sons, 1985. Ben-Zion Sandler, Robotics- designing the Mechanisms for Automated machinery, Prentice Hall, Inc., 1991 Bruyninckx H. and De Schutter J.: Introduction to Inteligent Robotics, Katholieke Universteit Leuven, 2001. Craig J.: Introduction to Robotics: Mechanics & Control, Addison-Wesley, 1986. Dorf. R and Bishop R.: Modern Control Systems, Addison-Wesley, 1995. Eugene I. Rivin, Mechanical design of robots, McGraw-Hill, Inc., 1987 Fu K., Gonzales R., and Lee C.: Robotics: Control, Sensing, Vision and Intellignece, McGraw-Hill Book Company, 1987. Yamauchi Y., Application and evaluation of robots in Nissan, Proc. of Automotive Manufacturing International '93, pp 73-81, 1993. Emrich M., A New Wrinkle in Auto Body Manufacture-And Guess Who's Doing It, Proc. of Manufacturing Systems, pp. 44-46, August 1991. Sekine Y., Koyama S., Imazu H., Nissan's New Production System: Intelligent Body Assembly System, Proc. of SAE Int. Congress and Exposition, Feb 1991, Detroit. Seegrber L., Greifsysteme fr Montage, Handhabung und Industrieroboter, Expert-Verlag, 1993.

9

2 OSNOVNE DEFINICIJE I STRUKTURE MANIPULACIONIH ROBOTA

2.1 OSNOVNI POJMOVI

Mehanika struktura industrijskog robota se sastoji od segmenata spojenih zglobovima koji mogu biti rotacioni ili linearni (translatorni). Zadatak mehanike konstrukcije je da ostvari potrebno kretanje hvataljke robota tokom realizacije radnog zadatka. To znai da je potrebno da hvataljka u svakoj taki putanje ostvari planiranu poziciju i orijentaciju, kao i odgovarajuu brzinu i ubrzanje. Konstrukciona realizacija zglobova koji se danas primenjuju kod industrijskih robota je takva da jedan zglob omoguava samo jedno relativno kretanje (Sl. 2.1) segmenata koje povezuje. Jedno kretanje koje zglob dozvoljava (translaslacija ili rotacija) se, po analogiji sa terminologijom u mehanici, naziva jednim stepenom slobode (SS). Prema tome, zglob koji omoguava samo jedno relativno kretanje ima jedan stepen slobode i naziva se jednostrukim. Stoga se moe rei da se mehanika struktura robota sastoji od vie segmenata koji su povezani jednostrukim zglobovima. Jasno je da se sloena prostorna kretanja vrha robota ostvaruju istovremenim i usklaenim kretanjem vie zglobova. Pozicije zglobova se, bez obzira da li se radi o rotacionim ili linearnim zglobovima, se nazivaju unutranjim koordinatama.

a)

b)

Sl. 2.1. ematski prikaz a) rotacionog i b) translatornog zgloba

Obzirom da je za dostizanje proizvoljno zadate pozicije i orijentacije krutog tela u prostoru potrebno est stepeni slobode (tri translacije du osa koordinatnog sistema i tri rotacije oko njih) jasno je da mehanika struktura robota koja treba da obezbedi pozicioniranje vrha robota u bilo kojoj taki svog radnog prostora sa proizvoljnom orijentacijom mora da ima est jednostrukih, odgovarajue spregnutih, zglobova jer na taj nain mehanika struktura robota obezbeuje est stepeni slobode kretanja vrha robota. Stoga je jasno da, kada je u pitanju mehanika struktura sa est stepeni slobode, za proizvoljno zadatu poziciju i orijentaciju hvataljke u prostoru postoji samo jedno reenje (samo jedan skup vrednosti pomeraja u zglobovima) koje obezbeuje da hvataljka bude u zadatoj poziciji sa traenom orijentacijom. U sluaju da mehanika struktura ima vie od est stepeni slobode postoji vie moguih poloaja zglobova (teoretski, beskonano mnogo) sa kojima se ostvaruje traena pozicija i orijentacija hvataljke. Roboti ija mehanika struktura koja nosi hvataljku ima vie od est,

Industrijska robotika Osnovne definicije i ...

10

prostorno rasporeenih, zglobova (stepeni slobode) su uvek redundantni2. Treba uoiti da se redundantnost definie kao razlika u broju stepeni slobode koje zahteva realizacija radnog zadatka i broja stepeni slobode koje poseduje mehanika struktura robota. Ako robot poseduje "viak" stepeni slobode za odreeni zadatak on je za taj zadatak redundantan. U suprotnom sluaju nije. Prema tome, za neki zadatak robot koji ima est ili manje stepeni slobode moe, dok za neki drugi zadatak ne mora biti redundantan. Po pravilu, industrijski roboti imaju najvie est stepeni slobode, mada se na tritu ve pojavljuju realizacije koje imaju i vie SS3. Deo prostora u kome se hvataljka robota moe nai, naziva se radnim prostorom (engl. workspace). Oblik radnog prostora zavisi od vrste i rasporeda zglobova minimalne konfiguracije, dimenzija segmenata i opsega kretanja svakog zgloba. Na Sl. 2.7. je prikazana kontura radnog prostora u vertikalnoj ravni. Ukupan radni prostor se dobija rotacijom ove konture oko ose prvog zgloba. Potpuno operativnim radnim prostorom (engl. versatile workspace) nazivamo radni prostor u okviru kojeg robot moe u svakoj taki da ostvari bilo koju zahtevanu orijentaciju hvataljke. Maksimalnim radnim prostorom nazivamo deo prostora u okviru koga robot moe da dohvati svaku taku makar sa samo jednom moguom orijentacijom hvataljke. Jasno je da je maksimalni radni prostor vei, i da se u njegovim zonama koje su blie graninim oblastima smanjuje opseg moguih orijentacija hvataljke koje robot moe da postigne. Take koje su na graninoj spoljnoj povrini radnog prostora robot moe da dohvati samo sa potpuno ispruenom mehanikon strukturom pa je jasno da je u tim takama mogue ostvariti samo jednu orijentaciju hvataljke. Dodatna razmatranja vezana za radni prostor su data u odeljku 2.3. Kao to smo ve rekli mehanika struktura industrijskog manipulacionog robota se sastoji od segmenata koji su spojeni zglobovima. Prvi zglob, raunato od osnove je fiksiran za podlogu, dok je na poslednji privrena hvataljka. Ukupna mehanika konfiguracija se uobiajeno deli na dve celine: prva tri segmenta sa pripadajuim zglobovima (raunato od podloge) se nazivaju minimalnom konfiguracijom dok druga tri zgloba ine zglob hvataljke (Sl. 2.2). Adekvatnim izborom uglova minimalne konfiguracije se hvataljka pozicionira u eljenu taku radnog prostora dok se zglobom hvataljke obezbeuje zahtevana orijentacija. Celina koju formiraju poslednja tri zgloba u kinematskom lancu mehanike strukture robota se naziva zglobom hvataljke. Uobiajeno je da su sva tri zgloba rotaciona (Sl. 2.3) i realizovani tako da se sve tri ose seku u jednoj taki (taka A na Sl. 2.2). Ova taka ostaje nepokretna za bilo koju vrednost uglova u zglobovima 4, 5 i 6. Ovakva konstrukcija se naziva Ojlerovim zglobom. Ukoliko se taka A adekvatno pozicionira u radnom prostoru robota izborom odgovarajuih uglova u zglobovima hvataljke, se obezbeuje potrebna orijentacija hvataljke. Obzirom da se zglob hvataljke direktno nadovezuje na minimalnu

2 Ljudska ruka ima sedam stepeni slobode i redundantna je. Da biste lake shvatili znaaj redundantnosti naslonite

dlan na neki nepokretan objekat iz vae okoline, npr. zid. Obezbeujui da se trup i dlan ne pomeraju deo ruke izmeu dlana i ramena moe zauzeti vie poloaja. Stoga je jasno da nam redundantnost omoguava slobodu da zahtevenu poziciju i orijentaciju hvataljke ostvarimo takvim poloajem mehanike strukture koji nam najvie odgovara. 3 Firma Motoman je juna 2008. godine predstavila dvoruni model SDA10. Ukupno robot ima 15 SS (svaka ruka ima po 7 SS plus rotacija centralnog stuba), nosivost svake ruke je po 10 kg, ponovljivost je 0,1 mm. Obe ruke mogu raditi sinhrono na istom zadatku, ali se svakom rukom moe upravljati i nezavisno. Za detaljnije informacije videti http://www.motoman.com/motomedia/pr/SDA10web.pdf

Osnovne definicije i ... Industrijska robotika

11

z0

00x

y

A

Poslednji segmentminimalne konfiguracije

Sl. 2.2. Primer kinematske eme jedne mehanike konfiguracije. Zglobovi 1, 2 i 3 ine minimalnu konfiguraciju, a zglobovi 4, 5 i 6 zglob hvataljke. Sve tri ose zglobova 4, 5 i 6 se seku u taki A.

q

q q

5

4 6

Sl. 2.3. Kinematska ema zgloba hvataljke gde se sve tri ose seku u jednoj taki (Ojlerov zglob). konfiguraciju jasno je da se taka A na Sl. 2.2 ne pomera u odnosu na poslednji segment minimalne konfiguracije. Ova injenica e na pogodan nain biti iskoriena kasnije kod rasprezanja mehanike strukture pri reavanju inverznog kinematskog zadatka. Uobiajeno se mehanika struktura formira kao jednostruki kinematski lanac, mada se mogu nai primeri viestrukih kinematskih lanaca. Viestrukim kinematskim lancima se, uglavnom, vri prenos kretanja sa motora na zglob ukoliko je motor udaljen od zgloba koji osnauje tj. nije direktno povezan na osovinu zgloba mehanike strukture. To se najee odnosi na motore kojima je osnaen zglob hvataljke. Robotski manipulacioni sistem (Sl. 2.4.) se minimalno sastoji od:

- mehanike konfiguracije osnaene aktuatorima - odgovarajueg upravljakog ureaja (kontrolera) za upravljanje kretanjem

izvrnih organa, koji se obino nalazi u istom kuitu sa energetskim delom sistema za napajanje aktuatora.

- ureaja za runo navoenje robota, koji se esto naziva ureajem za obuavanje (engl. Teaching box) tj. programiranje robota.

Na Sl. 2.4 su data dva primera robotskih sistema i u oba sluaja se vide sve tri pomenute


12

Sl. 2.4. Kompletan sistem manipulacionih robota (mehanika konfiguracija, upravljaki ureaj i ureaj za obuavanje).

komponente. U pojedinanim sluajevima one mogu da variraju po veliini i obliku. Mogu postojati jo neki dodatni elementi (izvor ulja pod pritiskom za robot sa hidraulinim aktuatorima, disketna jedinica za unoenje programa koji je razvijen na nekom drugom ureaju, ...).

2.2 DEFINICIJA OSNOVNIH KOORDINATNIH SISTEMA

Za uspenu primenu robota neophodan je, u to veoj meri, univerzalan i standardizovan nain opisa informacija koje su znaajne i za robot i za zadatak. U odnosu na osnovni (spoljanji) koordinatni sistem (engl. world coordinates) se definie globalni poloaj robota i radnog mesta (Sl. 2.5). Globalni poloaj robota se opisuje poloajem koordinatnog sistema osnove robota (engl. base coordinates) . Spoljanji koordinatni sistem i koordinatni sistem osnove robota su nepokretni i ne menjaju svoj poloaj tokom realizacije zadatka. Poloaj hvataljke (ili alata ukoliko ga robot nosi) se definie posebnim koordinatnim sistem koji se postavlja u TCP (engl. Tool Center Point) ili u tano definisanu taku iji poloaj se precizira u odnosu na TCP. Poloaj TCP-a definie

Sl. 2.5. Osnovni koordinatni sistemi


13

proizvoa robota. U sluaju robota koji je prikazan na Sl. 2.5, koordinatni sistem osnove je postavljen tako da je osa Z koaksijalna sa osom prvog zgloba robota, X osa je upravna na nju, dok se osa Y bira tako da formira desni koordinatni sistem. U TCP je koordinatni sistem postavljen tako da je Z osa koaksijalna sa osom estog zgloba robota, X osa je normalna na ravan radnog stola, a Y osa je izabrana tako da ini desni koordinatni sistem sa X i Z osama. Koordinatni sistemi kojima se definie poloaj radnog mesta i radnog predmeta su: korisniki koordinatni sistem (engl. user coordinates) koji se odnosi na poloaj radnog mesta i koordinatni sistem objekta (engl. object coordinate system) koji se odnosi na radni predmet.

2.3 OSNOVNI RADNI PARAMETRI INDUSTRIJSKIH ROBOTA

Najvaniji parametari robota su: ponovljivost, tanost, rezolucija, veliina radnog prostora, kao i raspodela funkcije nosivosti u okviru radnog prostora. Ukoliko je robot doveden u odreenu taku radnog prostora u kojoj su mu zapamene unutranje koordinate a zatim se iz te take izvede, pa mu se izda komanda da se u vrati u istu taku, greka pozicioniranja u odnosu na taku u kojoj je prethodno bio se naziva ponovljivou. Drugim reima ponovljivost je rastojanje izmeu ostvarene i eljene pozicije ukoliko je robot u eljenoj poziciji prethodno bio i zapamtio unutranje koordinate koji toj poziciji odgovaraju. Ponovljivost se definie kao poluprenik kruga koji obuhvata sve tako dostignute poloaje. Tanost je rastojanje u prostoru izmeu ostvarene i zadate (komandovane) pozicije ukoliko robot u komandovanoj poziciji nije prethodno bio. Rezolucija je najmanji pomeraj komandovanog pokreta koji se moe realizovati. Veliina rezolucije je posledica ogranienog broja bitova digitalnog upravljakog sistema robota. Roboti imaju i za red veliina bolju ponovljivost od tanosti. Recimo, SCARA robot moe imati ponovljivost od 0.05mm, dok je tanost najmanje pet puta loija od ponovljivosti.

Dobra ponovljivostLoa tanost

Dobra ponovljivostDobra tanost

Sl. 2.6. Ilustracija tanosti i ponovljivosti Ukaimo jo jednom na razliku izmeu tanosti i ponovljivosti. Naime, kada se robot ve nalazi u nekoj taki radnog prostora mogu se zapamtiti vrednosti koordinata u zglobovima (za rotacione zglobove to su uglovi, za translatorne su to linearna izduenja) kojima odgovaraju trenutni poloaji segmenata. Kada se robot izvede iz te pozicije a zatim mu se komanduje da ponovo ode u istu taku (vrednosti koordinata koje treba ostvariti su poznate) greka pozicioniranja se naziva ponovljivou. Ukoliko se robotu komanduje da ode u taku u kojoj prethodno nije bio i nema informaciju o koordinatama u zglobovima koji toj poziciji odgovaraju, upravljaki ureaj robota mora da ih srauna" na osnovu kinematskog


14

modela koji poseduje. Greka pozicioniranja je u ovom sluaju dodatno indukovana odstupanjem parametara modela od stvarnih parametara robota i naziva se tanou. Dakle, ukoliko elimo da poveamo preciznost izvravanja zadataka, tanost robota je osnovni ograniavajui faktor. Stoga su razvijeni razni kalibracioni postupci pomou kojih se odstupanja stvarnih parametara robota od parametara koji upravljaki ureaj robota koristi minimiziraju. Ponovljivost pri tome ostaje nepromenjena. Ve ranije smo ukazali da se sam radni prostor moe dalje deliti na maksimalni i potpuno operativni u zavisnosti od mogunosti pristupanja svakoj njegovoj taki sa proizvoljnom orijentacijom hvataljke. U sluaju da je potrebno da se vodi rauna o odravanju eljene tanosti poloaja pod optereenjem (Sl. 2.7), radni prostor se deli na koncentrine prostore

Sl. 2.7. Radni prostor robota i maksimalno dozvoljeno optereenje na prirubnici hvataljke na razliitim pozicijama u koordinatnom sistemu osnove.

kojima se pripisuju vrednosti nosivosti robota. Tako je radni prostor pri najveoj nosivosti (a da je i dalje obezbeena eljena tanost pozicioniranja) daleko manji od radnog prostora neoptereenog manipulacionog robota. Vrlo esto se u podacima proizvoaa, samo navodi podatak o veliini radnog prostora neoptereenog robota, a tek se na osnovu posebnih zahteva daje informacija o veliina i obliku radnog prostora pod deliminim ili maksimalnim optereenjem. esto se radno prostor koji odgovara odreenoj tanosti pozicioniranja u kombinaciji sa nosivou robota prikazuje putem familije krivih za pribline vrednosti nosivosti robota u vertikalnoj ravni. Ove krive su odreene za maksimalnu vrednost momenta inercije po bilo kojoj od tri ose TCP koordinatnog sistema u centru mase objekta koji robot nosi. Sa Sl. 2.7 se vidi da je u konkretnom primeru nosivost na spoljanjim granicama radnog prostora smanjena za 70% u odnosu na unutranje granice.


15

2.4 OSNOVNE MEHANIKE STRUKTURE (KONFIGURACIJE) MANIPULACIONIH ROBOTA

U literaturi se mogu pronai razni naini sistematizacije industrijskih manipulacionih robota. Veoma esto su kriterijumi koji se koriste bazirani na njihovim tehnikim karakteristikama i vae u potpunosti samo u odreenom vremenskom periodu. Ovde je usvojena podela koja se bazira na tipu mehanike strukture minimalne konfiguracije robota obzirom da to predstavlja jednu od veoma vanih karakteristika, a koja je relativno nepromenljiva tokom vremena. Prikazaemo osnovne konfiguracije industrijskih robota.

2.4.1 Robot antropomorfne konfiguracije Kod veine robotskih konfiguracija, pa i kod ove, prvi stepen slobode ( raunato od podloge) je rotacioni i osa prvog zgloba je vertikalna. Ovaj zglob obezbeuje rotaciju kompletnog robota oko vertikalne ose. Ose drugog i treeg zgloba su meusobno paralelne,

1

2

3

Sl. 2.8. Kinematska ema i fotografija tipine robotska konfiguracija antropomorfnog tipa horizontalne i upravne na osu prvog zgloba. Kretanjem drugog i treeg zgloba se obezbeuje da se vrh minimalne konfiguracije pozicionira u proizvoljnu taku u vertikalnoj ravni koja sadri osu prvog zgloba. Skica kinematske strukture i fotografija robota antropomorfne konfiguracije su prikazani na Sl. 2.8. Mehanika struktura robota antropomorfne konfiguracije podsea na strukturu ruke oveka pa se stoga za drugi segment minimalne konfiguracije esto koristi naziv nadlaktica, a za trei podlaktica (Sl. 2.8.). Osnovna karakteristika robota antropomorfne konfiguracije je da moe da pree iznad prepreke koja mu se nae na putu. Ako pogledamo kinematsku emu ove konfiguracije jasno je da se pokretanjem npr. treeg zgloba utie na intenzitet momenta oko ose drugog zgloba ak i u sluaju da se ovaj zglob ne pomera. Ovaj uticaj se naziva sprezanjem. Stoga se kae da, ukoliko kretanje jednog zgloba utie znaajno na pogonske momente (ili pogonske sile ukoliko su zglobovi translatorni) drugih zglobova, posmatrana konfiguracija ima znaajno sprezanje meu zglobovima. Roboti antropomorfne konfiguracije su karakteristini po tome to imaju veliko sprezanje meu zglobovima.


16

2.4.2 Robot sferne (polarne) konfiguracije I kod sferne konfiguracije osa prvog zgloba je usmerena vertikalno navie dok je osa drugog horizontalna i upravna na osu prvog zgloba. Trei zglob je translatorni. Prema tome, kod sferne konfiguracije vrsta i raspored prva dva zgloba su istovetni kao kod antropomorfne. Kinematska ema sferne konfiguracije je prikazana na Sl. 2.9. Kao i ranije drugi i trei zglob omoguavaju pozicioniranje vrha minimalne konfiguracije u bilo kojoj taki vertikalne ravni, dok se rotacijom vertikalne ravni oko ose prvog zgloba vrh robota moe pozicionirati bilo gde u okviru radnog prostora

1

2

3

Sl. 2.9. Kinematska ema i fotografija robota sferna (polarne) konfiguracije Ova konfiguracija je nazvana sfernom po obliku radnog prostora koji predstavlja deo sfere, a polarnom obzirom da ugao rotacije drugog zgloba i izduenje treeg zgloba odgovaraju polarnim koordinatama. Treba primetiti da, poto je trei zglob translatoran, prilaz radnom mestu treba da bude bez prepreka obzirom da ih robot ove konfiguracije ne moe zaobii.

2.4.3 Robot cilindrine konfiguracije

Minimalna konfiguracija robota cilindrine konfiguracije ima jedan rotacioni i dva transla-torna zgloba (Sl. 2.10). I kod ove, kao i kod prethodnih konfiguracija, prvi segment pred-stavlja obrtni stub oko vertikalne ose pa je prvi zglob rotacioni i postavljen na isti nain kao i u prethodnim konfiguracijama. Drugi i trei zglob su translatorni (linearni). Osa drugog zgloba je vertikalna to znai da se njegovim kretanjem vri podizanje odnosno sputanje kompletne strukture koja se nalazi dalje od zgloba, prema vrhu robota. Osa treeg zgloba

1

2

3

Sl. 2.10. Kinematska ema i fotografija robota cilindrine konfiguracije


17

je horizontalna tako da se njegovim pokretanjem vri primicanje odnosno odmicanje hvataljke u odnosu na vertikalni stub robota. Ova konfiguracija se naziva cilindrinom prema obliku radnog prostora koji predstavlja deo cilindra. Roboti ove konfiguracije imaju veoma malo sprezanje meu zglobovima.

2.4.4 Robot scara konfiguracije Roboti SCARA konfiguracije (engl. Selective Compliance Assembly Robot Arm), imaju dva rotaciona i jedan translatorni zglob. Dva meusobno paralelna rotaciona zgloba sa vertikal-nim osama obrtanja su postavljeni na stubnu osnovu tako da se oba segmenta kreu u hori-zontalnoj ravni. Na kraju drugog segmenta se nalazi translatorni zglob ija osa je takoe vertikalna (Sl. 2.11). Zglob hvataljke ima najee samo jedan stepen slobode i to obrtanje oko vertikalne ose. Prema tome, roboti SCARA konfiguracije uobiajeno imaju samo etiri stepena slobode.

1 23

Sl. 2.11. Kinematska ema i fotografija robota SCARA konfiguracije Kretanjem rotacionih zglobova se vri pozicioniranje translatornog zgloba u eljenu taku horizontalne ravni, a zatim se sputanjem translatornog zgloba dovodi hvataljka do eljenog poloaja u okviru radnog prostora. SCARA konfiguracija ima veoma malo sprezanje meu zglobovima obzirom da gravitaci-ono optereenje u potpunosti prima sama mehanika struktura rotacionih zglobova. Roboti SCARA konfiguracije su prvi put realizovani u Japanu 1972. godine, i uglavnom su namenjeni za realizaciju montanih zadataka. Odlikuju se velikom tanou pozicioniranja i brzinom rada, kao i relativno velikom nosivou. Najvei nedostatak SCARA robota potie od njegove konstrukcije postavljen je visoko i zauzima veliki deo prostora iznad prostora u kome se obavljaju radni zadaci, tako da taj prostor mora da bude slobodan.

2.4.5 Robot Dekartove (pravougle) konfiguracije Minimalnu konfiguraciju kod ovih robota, kao to se vidi sa Sl. 2.12, ine tri translatorna zgloba ije su ose paralelne osama Dekartovog pravouglog koordinatnog sistema. Odatle potie i naziv ovakve konfiguracije (moe se sresti jo nekoliko naziva: pravougla, kartezijanska (engl. Cartesian) ili portalna (engl. gantry) konfiguracija ukoliko se robot postavi na postolje kojim se nadnosi nad radni prostor kojem pristupa odozgo). Obzirom na vrstu i raspored zglobova kod robota ove konfiguracije jasan je doprinos


18

kretanja u svakom od zglobova kretanju hvataljke, ime je programiranje, pa ak i runo voenje znatno olakano. Radni prostor predstavlja paralelepiped ije dimenzije zavise od opsega kretanja svakog zgloba

1

2

3

Sl. 2.12. Kinematska ema i fotografija robota pravougle konfiguracije

Sl. 2.13. Robot pravougle konfiguracije postavljen na postolje koje se nalazi iznad maine koju opsluuje Roboti ove konfiguracije imaju veoma malo sprezanje meu zglobovima. Radi smanjenja zauzetog prostora u pogonu roboti ovakve konfiguracije se veoma esto postavljaju na postolje (Sl. 2.13) kojim se izdiu iznad radne maine (portalni ili gantry robot). Naravno, u ovakvim sluajevima pristup radnom prostoru radne maine mora biti slobodan odozgo. Dimenzije postolja mogu biti takve da robot moe da opsluuje i po nekoliko maina

2.4.6 Paralelni roboti Sve dosada opisane konfiguracije su imale osnovnu formu kinematskog lanca, a samo su se razlikovale vrsta i dispozicija zglobova. Paralelni roboti se u tom smislu konstukciono sutinski razlikuju, ali smatramo da je potrebno da ih ovde pomenemo. Oni predstavljaju dve platforme (u nominalnom poloaju ove platforme su paralelne) koje su povezane segmentima promenljive duine (Sl. 2.14). Jedna platforma se smatra bazom ili osnovom (na Sl. 2.14 je to gornja platforma), a druga je radna ijim poloajem i orijentacijom se upravlja i na njoj se nalazi hvataljka.


19

Sl. 2.14. Fotografija paralelnog robota Promenom rastojanja izmeu odgovarajuih zglobova na baznoj i radnoj platformi menja se poloaj i orijentacija radne platforme na koju se postavlja hvataljka ili alat koji robot nosi. Promena rastojanja izmeu zglobova na baznoj i radnoj platformi se moe realizovati ili segmentima promenljive duine (teleskopski segmenti sa translatornim zglobovima) ili kao dvosegmentnim elementima sa rotacionim zglobovima kao to je prikazano na Sl. 2.14. Roboti ove konfiguracije se odlikuju izuzetnom agilnou (brzinom kretanja pri prelasku iz jednog poloaja u drugi), velikom krutou dranja poloaja i relativno malom masom u odnosu na nosivost obzirom da svaki segment (ruka) nosi samo jednu treinu optereenja za razliku od robota ripa kinematskog lanca gde svaki segment trpi celokupno optereenje. U ovoj knjizi se roboti ovakve konfiguracije nee detaljnije izuavati.

LITERATURA An C., Atkenson C, and Hollerbach J.: Model-Based Control of a Robot Manipulator, The MIT Press, 1998. Angeles J.: Fundamentals of Robotic Mechanical Systems, Theory, Methods and Algorithms, Springer-Verlag, 2003. Asada H. and Slotine J.J.: Robot Analysis and Control, John Wiley and sons, 1985. Ben-Zion Sandler, Robotics- designing the Mechanisms for Automated machinery, Prentice Hall, Inc., 1991 Bruyninckx H. and De Schutter J.: Introduction to Inteligent Robotics, Katholieke Universteit Leuven, 2001. Craig J.: Introduction to Robotics: Mechanics & Control, Addison-Wesley, 1986. Dorf. R and Bishop R.: Modern Control Systems, Addison-Wesley, 1995. Eugene I. Rivin, Mechanical design of robots, McGraw-Hill, Inc., 1987 Fu K., Gonzales R., and Lee C.: Robotics: Control, Sensing, Vision and Intellignece, McGraw-Hill Book Company, 1987. Fu K., Gonzales R., and Lee C.: Robotics: Control, Sensing, Vision and Intellignece, McGraw-Hill Book Company, 1987. J.M.Selig, Introductory Robotics, Prentice Hall, Inc., 1992 John Iovine, PIC Robotics, McGraw-Hill Companies, Inc., 2004 John M. Holland, Designing Autonomous Mobile Robots, Elsevier, Inc., 2004 Jorge Angeles, Fundamentals of Robotic Mechanical Systems, Springer-Verlag, New York, Inc., 2003


20

Lewin A.R.W.Edwards, Open-Source Robotics and Process Control Cookbook, Elsevier, Inc., 2005 Nwokah O., and Hurmuzlu Y., Editors, The Mechanical Systems Design Handbook, CRC Press, 2002. Paul E. Sandin, Robot mechanisms and mechanical devices, McGraw-Hill, Inc., 2003 Rade L., and Westergren B.: Mathematics Handbook for Science and Engineering, Studentlitteratur, Lund,1995. Sciavicco L. and Siciliano B.: Modeling and Control of Robot Manipulators, The McGraw-Hill Company, 1996. Thomas R. Kurefess Robotics and Automation Handbook, CRC Press LLC, 2005 Yoram Koren, Robotics for Engineers McGraw-Hill, 1985

21

3 KINEMATSKI MODEL ROBOTA I: POLOAJ I ORIJENTACIJA

ROBOTA U PROSTORU

3.1 UVOD

Ve smo ranije pomenuli da se robotski mehanizam moe predstaviti sistemom krutih tela spojenih zglobovima koji nazivamo kinematskim lancem. Radi matematikog opisa kretanja segmenata koji simultanim kretanjem odreuju ponaanje hvataljke, za svaki segment se, prema odreenim pravilima, postavlja koordinatni sistem koji se kree zajedno sa njim. Poto svaki od zglobova doputa samo jedno relativno kretanje (rotaciono ili translatorno), poloaj hvataljke je rezultat niza sukcesivnih rotacionih ili translatornih transformacija nad koordinatnim sistemima. U ovoj glavi e biti opisane elementarne transformacije i uveden pojam homogenih transformacija koje u okviru iste matrice objedinjuju rotaciju i translaciju. Na taj nain je mogue, poznavajui geometrijske karakteristike robota i trenutne veliine uglova u zglobovima, jednoznano odrediti poloaj i orijentaciju poslednjeg segmenta robota u odnosu na poetni. Obrnut zadatak, odrediti vrednosti uglova u zglobovima tako da hvataljka bude u tano odreenoj poziciji i sa eljenom orijentacijom je mnogo sloeniji i nije uvek jednoznano reiv.

3.2 KOORDINATNI SISTEMI I NJIHOVE TRANSFORMACIJE

Neka su dva desna koordinatna sistema Oo-xoyozo i O1-x1y1z1 spojeni koordinatnim poe-cima (Sl. 3.1.) ali neka im se ose ne poklapaju. Sistem Oo-xoyozo emo smatrati nepokret-nim. Neka su ortovi koordinatnih sistema Oo-xoyozo i O1-x1y1z1 dati sa 0 0 0{ , , }i j k i

1 1 1{ , , }i j k , respektivno. Uoimo li zatim taku P, vektor p

od koordinatnog poetka do take P, moemo izraziti u odnosu na bilo koji od dva posmatrana koordinatna sistema. Vektor p izraen u odnosu na nepokretni (bazni) koordinatni sistem Oo-xoyozo je dat sa:

o ox o oy o oz op p i p j p k

(3.1) dok izraen u odnosu na koordinatni sistem O1-x1y1z1 postaje:

1 1 1 1 1 1 1x y zp p i p j p k

(3.2) Bez obzira u kom koordinatnom sistemu je izraen vektor p , re je o reprezentacijama istog vektora pa za komponentu npr. u x pravcu moemo pisati

Industrijska robotika Kinematika: poloaj robota

22

Sl. 3.1. Elementarne transformacije koordinatnih sistema

0 0 1 0

1 1 0 1 1 0 1 1 0

ox

ox x y z

p p i p i

p p i i p j i p k i

(3.3)

Sline relacije se mogu uspostaviti i za komponente u preostala dva pravca, y i z

1 1 0 1 1 0 1 11 0oy x y zp p i j p j j p k j

(3.4)

1 1 0 1 1 0 1 1 0oz x y zp p i k p j k p k k

(3.5) Sva tri izraza (3.3-3.5) moemo napisati u kompaktnoj formi

10 0 1p R p

(3.6) gde je 10R definie relativno ugaono odstupanje koordinatnih sistema Oo-xoyozo i O1-x1y1z1

1 0 1 0 1 010 1 0 1 0 1 0

1 0 1 0 1 0

i i j i k iR i j j j k j

i k j k k k

(3.7)

Matrica 10R se naziva matricom rotacije. Iz (3.7) se vidi da kolone matrice 10R predstavljaju projekcije ortova koordinatnog sistema O1-x1y1z1 na sistem Oo-xoyozo. Na slian nain kao u izrazima (3.3-3.5), izraavajui komponente vektora 1p preko vektora 0p moemo napisati

01 1 0p R p

(3.8) gde je

0 1 0 1 0 101 0 1 0 1 0 1

0 1 0 1 0 1

i i j i k iR i j j j k j

i k j k k k

. (3.9)

Matrice 10R i 01R predstavljaju jedna u odnosu na drugu inverzne transformacije. Obzirom

Kinematika: poloaj robota Industrijska robotika

23

da je skalarni proizvod vektora ( 0 0 0 0i j j i ) komutativan lako se moe pokazati da vai

0 1 1 11 0 0( ) ( )TR R R

(3.10) Matrice za koje vai (3.10) se nazivaju ortogonalnim. Vektori kolone u 10R su jedinine duine i meusobno su ortogonalni. U sluaju desnog koordinatnog sistema determinanta matrice 10R ima vrednost +1. Ortogonalne matrice ija detereminanta ima vrednost 1 nazivamo matricama rotacije. Prema tome, moemo da zakljuimo da su matrice rotacije R ortogonalne.

3.2.1 Elementarne rotacije Razmotrimo rotacije koordinatnog sistema Oo-xoyozo oko njegovih koordinatnih osa. Pozitivnim smerom rotacije smatramo rotaciju u pravcu kazaljke na asovniku gledajui iz koordinatnog poetka u pravcu ose. Razmotrimo, najpre, rotaciju koordinatnog sistema oko z ose. Posle rotacije (Sl. 3.2) za ugao koordinatni sistem Oo-xoyozo se premeta u novi poloaj obeleen sa O1-x1y1z1.

Sl. 3.2. Rotacija koordinatnog sistema oko z ose

Imajui u vidu da vae sledee relacije 1 0 cosi i

, 1 0 sinj i

, 1 0 cosj j

,

1 0 sini j

i 1 0 1k k

kao i na osnovu izraza (3.7) dobija se

,

cos sin 0sin cos 0

0 0 1zR

(3.11)

gde ,zR oznaava matricu rotacije oko z ose za ugao . Zbog pojednostavljenog zapisiva-

nja nadalje emo, kada god je to pogodno, koristiti skraeni zapis sin S i cos C , pa skraenim zapisivanjem (3.11) postaje


24

,

00

0 0 1z

C SR S C

(3.12)

Na slian nain se mogu odrediti matrice rotacija oko ostalih koordinatnih osa. Najpre emo odrediti matricu rotacije oko y ose. Na Sl. 3.3 je ematski prikazana rotacija koordinatnog sistema oko y ose. Na isti nain kao ranije sledi

Sl. 3.3. Rotacija koordinatnog sistema oko y ose

,

00 1 0

0y

C SR

S C

(3.13)

Za rotaciju koordinatnog sistema oko x ose (Sl. 3.4) sledi

Sl. 3.4. Rotacija koordinatnog sistema oko x ose

,

1 0 000

xR C SS C

(3.14)

Matrice rotacija (3.12), (3.13) i (3.14) koje predstavljaju rotacije oko koordinatnih osa x,y i z za odreeni ugao se nazivaju elementarnim matricama rotacije.


25

Primer 3.1. Za sluaj relativnog poloaja koordinatnih sistema Oo-xoyozo i O1-x1y1z1 kao na Sl. 3.5. odrediti matricu rotacije kao i projekcije vektora 1i

, 1j

, 1k

na ose koordinatnog sistema Oo-xoyozo

Sl. 3.5. Transformacija koordinatnog sistema u Primeru 3.1. Ve je ranije reeno da kolone u matrici rotacije (3.7) predstavljaju projekcije ortova koordinatnog sistema O1-x1y1z1 na sistem Oo-xoyozo. Prema tome

1

2 20

2 2

i

, 1

2 20

2 2

j

, 1

010

k

,

pa sledi

0 0

10

0 0

cos 45 cos 45 00 0 1

cos 45 cos 45 0R

2 2 2 2 00 0 12 2 2 2 0

gde je sa 10R oznaena matrica rotacije izmeu koordinatnih sistema Oo-xoyozo i O1-x1y1z1.

3.2.2 Slaganje rotacija Pretpostavimo da se koordinatni poeci sistema Oo-xoyozo, O1-x1y1z1 i O2-x2y2z2. poklapaju ali da im se koordinatne ose ne poklapaju, tj. da su sistemi rotirani jedan u odnosu na drugi. Matrica 10R predstavlja matricu rotacije izmeu koordinatnih sistema Oo-xoyozo, i O1-x1y1z1, matrica 21R matricu rotacije izme O1-x1y1z1, i O2-x2y2z2 a matrica 20R predstavlja matricu rotacije izmeu koordinatnih sistema Oo-xoyozo, i O2-x2y2z2. Uoimo li ponovo taku P (kao na Sl. 3.1) njene koordinate moemo izraziti na sledei nain

10 0 1p R p

(3.15)


26

20 0 2p R p

(3.16)

21 1 2p R p

(3.17) Ukoliko (3.17) smenimo u (3.15) sledi

1 20 0 1 2p R R p

(3.18) odakle uporeivanjem izraza (3.16) i (3.18) sledi

2 1 20 0 1R R R

(3.19) Izraz (3.19) opisuje transformaciju koordinata vektora pri vie sukcesivnih rotacija to se naziva slaganjem rotacija. Ako su nam poznate koordinate vektora p u odnosu na koordinatni sistem O2-x2y2z2 (vektor 2p

), iz izraza (3.18) se jasno vidi sledee: da bi dobili koordinate istog vektora u odnosu na koordinatni sistem Oo-xoyozo vektor 2p

treba prvo

pomnoiti matricom rotacije 21R da bi dobili njegove koordinate u odnosu na koordinatni sistem O1-x1y1z1, a zatim, novodobijeni vektor pomnoiti matricom rotacije 10R . Rezultat je vektor p izraen u odnosu na koordinatni sistem O0-x0y0z0. Izraz (3.18) se moe interpretirati i na drugi nain. Pretpostavimo sada da se u poetnom trenutku sva tri koordinatna sistema poklapaju. Zarotirajmo zajedno koordinatne sisteme O1-x1y1z1, i O2-x2y2z2 u odnosu na sistem Oo-xoyozo za matricu rotacije 10R , a zatim samo koordinatni sistem O2-x2y2z2 u odnosu na O1-x1y1z1 za 21R . Pri vie uzastopnih rotacija koordinatni sistem koji se kree nazivamo tekuim koordinatnim sistemom. Posebno je vano da se istakne da je od izuzetne vanosti redosled rotacija. Da bi to ilustrovali, razmotrimo dve uzastopne rotacije: rotaciju za ugao oko y ose, a zatim rotacija za ugao oko tekue z ose. U skladu sa predhodnim razmatranjem sledi

, ,

0 00 1 0 0 0

0 0 0 1y z

C S C S C C C S SR R R S C S C

S C S C S S C

Ako se redosled rotacija izmeni i prvo se realizuje rotacija za ugao oko z ose, a zatim rotacija za ugao oko tekue y ose, sledi

, ,

0 00 0 1 0

0 0 1 0 0z y

C S C S C C S C SR R R S C S C C S S

S C S C

Obzirom da rezultat nije isti, moeno zakljuiti da mnoenje matrica rotacije nije komutativno i da se mora voditi rauna o redosledu rotacija. Dakle,

*R R

Ilustrovaemo ovo jo oiglednije sledeim primerom. Zarotirajmo paralelepiped oko x0 ose za + 2 , a zatim oko novog poloaja y ose ponovo za + 2 . Poloaj paralelepipeda posle


27

svake od rotacija je prikazan na Sl. 3.6.a. a)

b)

Sl. 3.6. Uzastopne rotacije tela Meutim, promenimo redosled rotacija, i paralelepiped zarotirajmo prvo oko y0- ose za

2 , a zatim oko x- ose za 2 . Poloaj paralelepipeda posle svake od transformacija je prikazan na Sl. 3.6.b. Oigledno je da je rezultujui poloaj paralelepipeda drugaiji nego u prethodnom sluaju. U svim prethodnim primerima rotacije su realizovane oko osa tekueg koordinatnog sistema. Razmotrimo sada slaganje rotacija oko nepokretnog koordinatnog sistema. Na Sl. 3.7. su prikazane dve uzastopne rotacije koordinatnog sistema O0-x0y0z0, prvo oko ose y0 za ugao (novi poloaj koordinatnog sistema je prikazan sa O1-x1y1z1), a zatim za ugao oko ose z0 (novi poloaj koordinatnog sistema je prikazan sa O2-x2y2z2).

Sl. 3.7. Uzastopne rotacije koordinatnog sistema oko osa nepokretnog koordinatnog sistema Poto se prva rotacija vri oko ose y0 koja istovremeno predstavlja i trenutnu osu rotacije vai:

0 , 1yp R p

Poto se sledea rotacija vri oko ose z0 nepokretnog koordinatnog sistema, da bismo primenili zakon o slaganju rotacija (3.19) treba najpre vratiti koordinatni sistem u prvobitno stanje (primeniti rotaciju oko ose y0 za ugao ), zatim realizovati rotaciju oko ose z0 za

y0

z0

x0

y

x

z

z1

y1

x11

200

2

02

0

y0

z0

1

02

0

y

xz

1

200

z1

y1

x1


28

ugao , a zatim ponovo izvriti rotaciju oko ose y0 za ugao . Prema tome, sledi

1 , , , 2y z yp R R R p

(3.22) Konano, ukupna transformacija se dobija u sledeoj formi:

0 , , , , 2 0 , , 2;y y z y z yp R R R R p p R R p

(3.23) Prema tome, moemo da zakljuimo da za rotacije oko fiksnog koordinatnog sistema moemo da primenimo zakon o slaganju rotacija (3.19) oko trenutnih osa ali obrnutim redom u odnosu na redosled rotacija oko osa nepokretnog koordinatnog sistema. Ako ovo primenimo na prethodni primer rotacije paralelepipeda, i ako elimo da postignemo isti rezultat kao pri rotaciji oko y0 za 2 , a zatim oko x za 2 , prvo moramo da izvrimo rotaciju oko x0 za 2 , a zatim oko y0 isto za 2 , to je prikazano na Sl. 3.8.

Sl. 3.8. Slaganje rotacija oko osa fiksnog koordinatnog sistema Prema tome, moemo da zakljuimo da za slaganje rotacija vai sledee pravilo:

2 1 20 0 1R R R ako se rotacija vri oko osa trenutnog koordinatnog sistema. 2 2 10 1 0R R R ako se rotacija vri oko osa nepokretnog koordinatnog sistema.

Napomenimo da je pri reavanju zadataka na ovu injenicu potrebno posebno obratiti panju.

3.2.3 Rotacija oko proizvoljne ose U dosadanjim primerima smo razmatrali rotacije koordinatnih sistema oko njihovih osa. Meutim, postavlja se pitanje kako pronai matricu rotacije ukoliko je rotacija izvrena za odreeni ugao oko proizvoljne ose definisane ortom t , koja se ne poklapa ni sa jednom od koordinatnih osa, (Sl. 3.9.). Neka su projekcije orta t , na nepokretni koordinatni sistem date sa , ,

T

x y zt t t t

. Ovaj zadatak se moe reiti na sledei nain: osu definisanu ortom t

treba najpre zarotirati tako da se poklopi sa nekom od koordinatnih osa, npr. sa z osom, zatim treba izvriti rotaciju za posmatrani ugao i na kraju vratiti osu u njen prvobitni poloaj. Da bi realizovali predloeni nain i vektor t

poklopili sa z osom treba ga najpre

rotirati za ugao oko z0 ose, a zatim za ugao oko ose y0 nepokretnog koordinatnog sistema. Zatim treba izvriti traenu rotaciju za ugao , i na kraju vratiti vektor t u prvobitni poloaj. Prema tome, sledi


29

Sl. 3.9. Rotacija oko proizvoljne ose

, , , , , ,t z y z y zR R R R R R (3.24)

Sa Sl. 3.9 je oigledno

2 2 2 2

2 2

sin , cos

sin , cos

y x

x y x y

x y z

t t

t t t t

t t t (3.25)

pa se, mnoenjem matrica iz (3.24) dobija traena matrica rotacije u obliku:

2

2,

2

(1 ) (1 ) (1 )(1 ) (1 ) (1 )(1 ) (1 ) (1 )

x x y z x z y

t x y z y y z x

x z y y z x z

t C C t t C t S t t C t S

R t t C t S t C C t t C t S

t t C t S t t C t S t C C

. (3.26)

3.2.4 Ojlerovi uglovi Jedan od naina za definisanje eljene orijentacije koordinatnog sistema je putem zadavanja tri uzastopne rotacije izvedene na tano odreeni nain. Ovo omoguavaju Ojlerovi uglovi jer predstavljaju tri uzastopne rotacije ( , i ) izvedene po tano utvrenom redosledu. Postoji vie naina definisanja Ojlerovih uglova, ali emo mi pomenuti samo dva koja se najee sreu: ZYZ i ZYX.

I nain: ZYZ Ojlerovi uglovi Prema ovom nainu definisanja Ojlerovih uglova, treba koordinatni sistem iz poetnog poloaja zarotirati oko z0 ose za ugao , zatim oko novog poloaja ose y (osa y' na Sl. 3.10.) izvriti rotaciju za ugao , i na kraju, oko novog poloaja ose z (osa z'') za ugao .


30

Sl. 3.10.Transformacije koordinatnog sistema preko ZYZ Ojlerovih uglova Primenom pravila o slaganju rotacija dobijamo:

10 , , ,z y zR R R R

(3.27) pa sledi

10

C C C S S C C S S C C SR S C C C S S C S C C S S

S C S S C

(3.28)

ime je matrica rotacije odreena.

II nain: ZYX Ojlerovi uglovi U ovom sluaju, krajnju orijentaciju koordinatnog sistema dobijamo kada koordinatni sistem iz poetnog poloaja zarotiramo oko ose z0 za ugao , zatim oko novog poloaja ose y izvrimo rotaciju za ugao , i na kraju, oko novog poloaja ose x izvrimo rotaciju za ugao .

Na isti nain kao ranije moemo dobiti konanu matricu rotacije u obliku:

10

C C C S S S C C S C S SR S C S S S C C S S C C S

S C S C C

(3.29)

ime je i za ovaj sluaj definisana odgovarajua matrica rotacije.

3.2.5 Rotacija definisana uglovima skretanja, valjanja i propinjanja Matricu rotacije moemo definisati nizom uzastopnih rotacija oko osa nepokretnog koordinatnog sistema po odreenom redosledu (Sl. 3.11.): rotacija oko z0 ose za ugao , rotacija oko x0 ose za ugao i rotacija oko y0 ose za ugao . Po analogiji sa kretanjem vozila (broda, aviona) ugao nazivamo uglom skretanja (definie skretanje sa kursa),


31

Sl. 3.11. Uglovi skretanja, valjanja i propinjanja ugao nazivamo uglom valjanja (odgovara bonom valjanju broda) a ugao nazivamo uglom propinjanja. Zbog ve steene navike korienja, navodimo termine za ove uglove na engleskom jeziku: ugao skretanja se naziva yaw, ugao valjanja roll, a ugao propinjanja pitch. Matrica rotacije ima sledei oblik

10 , , ,z y xR R R R

ili u konanoj formi

10

C C S C C S S S S C S CR S C C C S S S C S S S C

S C S C C

(3.30)

3.2.6 Odreivanje ose i ugla rotacije ako je poznata matrica rotacije

Sama matrica rotacije nam ne daje fiziku predstavu o kakvoj rotaciji se radi. Stoga je pogodno, ukoliko je poznata matrica rotacije izmeu dva koordinatna sistema, da se odredi ekvivalentna osa oko koje treba izvriti rotaciju i ugao rotacije koji odgovaraju datoj matrici rotacije. Ako je, u optem obliku, matrica rotacije data sa

11 12 13

21 22 23,

31 32 33

k

r r r

R r r rr r r

(3.31)

onda je ekvivalentni ugao, obeleimo ga sa , dat sa

11 22 33 1arccos2

r r r

(3.32) a projekcije orta ose t su date sa

32 23

13 31

21 12

12 sin

r r

t r r

r r

(3.33)


32

3.2.7 Homogene transformacije Do sada smo razmatrali transformaciju koordinata samo usled rotacije dva koordinatna sis-tema, meutim, pored rotacije javlja se potreba i za translacijom. Na Sl. 3.12. su prikazana dva paralelna koordinatna sistema Oo-xoyozo i O1-x1y1z1. Vektorom 10d

,

Sl. 3.12. Translacija koordinatnog sistema izraenim u odnosu na koordinatni sistem Oo-xoyozo, je definisana translacija koordinatnog poetka sistema O1-x1y1z1 u odnosu na koordinatni poetak sistema Oo-xoyozo. Obzirom da su koordinatni sistemi paralelni veza izmeu vektora 0p

i 1p

kojim su definisane koordi-

nate take P u odnosu na svaki od ova dva koordinatna sistema je data sa:

10 1 0p p d

(3.34)

Ako je koordinatni sistem O1-x1y1z1 dodatno rotiran u odnosu na Oo-xoyozo, tada je veza izmeu ovih koordinatnih sistema data sa:

1 10 0 1 0p R p d

(3.35)

gde 10R oznaava matricu rotacije izmeu dva koordinatna sistema. Pretpostavimo, dalje, da se tri koordinatna sistema Oo-xoyozo, O1-x1y1z1 i O2-x2y2z2 nalaze u proizvoljnom relativnom odnosu tj. da im se koordinatni poeci ne poklapaju i da im ose nisu paralelne. Obzirom da koordinate proizvoljne take P koju moemo izraziti u odnosu na bilo koji od ovih koordinatnih sistema, moemo napisati:

1 10 0 1 0

2 21 1 2 1

p R p d

p R p d

(3.36)

Zamenimo li (3.36) u (3.35) dobijamo

1 2 1 2 10 0 1 2 0 1 0p R R p R d d

(3.37)

Meutim, veza izmeu koordinatnih sistema Oo-xoyozo i O2-x2y2z2 se moe napisati direktno

2 20 0 2 0p R p d

(3.38)

Uporeivanjem (3.37) i (3.38) sledi


33

2 1 20 0 1R R R

(3.39)

2 1 1 20 0 0 1d d R d

(3.40) Matrica rotacije 20R se, kao i ranije, moe izraziti proizvodom dve uzastopne matrice rotacije 10R i 21R . Vektor rastojanja koordinatnih poetaka 20d

sistema Oo-xoyozo i O2-x2y2z2

je izraen kao vektorski zbir vektora 10d

i 21d

, ali moramo uoiti da je neophodno da se vektor 21d

izrazi odnosu na bazni koordinatni sistem Oo-xoyozo. (ukoliko elimo da vrimo

operacije nad dva vektora, oni moraju biti predstavljeni u odnosu na isti koordinatni sistem). Vezu izmeu koordinatnih sistema Oo-xoyozo, O1-x1y1z1 i O2-x2y2z2 iz prethodnog primera moemo izraziti proizvodom matrica formiranih od matrice rotacije i vektora translacije na sledei nain:

1 1 2 2 1 2 1 2 10 0 1 1 0 1 0 1 0d d d d

0 1 0 1 0 1R R R R R

(3.41) Lako se moe uoiti da i rezultujua matrica ukupne transformacije ima istu strukturu pri emu je matrica ukupne rotacije defnisana sa (3.39), a vektor translacije izrazom (3.40). Matrica formirana na sledei nain od matrice rotacije i vektora translacije izmeu dva koordinatna sistema

3 3 3 111 12 13

21 22 23

1 3 1 131 32 33

d0 1

0 0 0 1

x

y

z

r r r d matrica vektorr r r d rotacije translacijeR

Hr r r d vektor faktor

perspektive skaliranja

(3.42)

se naziva matricom homogene transformacije i obeleiemo je sa H. Matrica R definie rotaciju izmeu dva posmatrana koordinatna sistema, a vektor d translaciju izmeu njihovih koordinatnih poetaka. Vektor iz poslednje vrste matrice H, vektor [0,0,0] se naziva vektorom perspektive, a lan 4, 4H faktorom skaliranja. U svim primerima koji su od interesa za nas, vektor perspektive i faktor skaliranja e biti konstantni i imae vrednosti kao u (3.42). Prema tome, pomou homogenih transformacija se u okviru iste matrice objedinjavaju transformacije koordinata nastale usled rotacije i translacije izmeu dva koordinatna sistema. Ukupna transformacija nastala kao rezultat niza sukcesivnih transformacija se, kao i u sluaju rotacija, dobija uzastopnim mnoenjem matrica odgovarajuih homogenih transformacija redosledom kojim su se dogaale. Pravila za slaganje rotacija i redosled transformacija, koje su izvedene ranije za rotacije, u potpunosti vae i za homogene transformacije. Po analogiji sa rotacijama, homogene transformacije koje odgovaraju samo jednom stepenu slobode kretanja u odnosu na koordinatne ose nazivamo osnovnim homogenim transformacijama. Prema tome, osnovne homogene transformacije kojima se opisuje samo


34

translatorno kretanje su:

,

1 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

x a

a

H

, ,

1 0 0 00 1 00 0 1 00 0 0 1

y bb

H

, ,

1 0 0 00 1 0 00 0 10 0 0 1

z cHc

(3.43.)

gde matrica Hx,a oznaava translaciju du ose x za duinu a, matrica Hy,b translaciju du ose y za duinu b, a matrica Hz,c translaciju du ose z za duinu c. esto se radi asocijativnijeg obeleavanja umesto Hx,a moe sresti oznaka Transx,a , umesto Hy,b se moe sresti Transy,b , a Transz,c umesto Hz,c. Osnovne homogene transformacije za rotaciono kretanje su:

, , ,

1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0

, ,

0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

x y z

C S C SC S S C

H H HS C S C

(3.44.)

gde matrica Hx, oznaava rotaciju oko ose x za ugao , matrica Hy, rotaciju oko ose y za ugao , a matrica Hz, rotaciju oko ose z za ugao . I u ovom sluaju se radi jasnijeg obeleavanja umesto Hx, moe sresti oznaka Rotx, , umesto Hy, se moe sresti Roty, , a Rotz, umesto Hz,. U svim ovim sluajevima je jasno da se radi o homogenim transformacijama a ne o matricama rotacije po dimenzijama matrica.

3.3 KINEMATSKI MODEL ROBOTSKOG MANIPULATORA

Matematiki aparat koji smo razvili u prethodnim odeljcima za odreivanje transformacija koordinatnih sistema u prostoru je veoma pogodan za opis kretanja robota. Naime, robot se moe predstaviti nizom krutih segmenata spojenih zglobovima koji nazivamo kinematskim lancem (Sl. 2.2). Kretanje u jednom zglobu pokree odgovarajui segment, a time i sve ostale segmente koji se nalaze dalje, prema vrhu kinematskog lanca ukljuujui i poslednji segment - hvataljku4 iji poloaj i orijentaciju, esto i tokom kretanja, a sasvim sigurno u odreenim takama kada je to od interesa za realizaciju zadatka, moramo ostvariti. Neka je svakom od segmenata robota ukljuujui i hvataljku pridruen koordinatni sistem koji je u odnosu na svoj segment nepokretan. Ovi koordinatni sistemi se nazivaju lokalnim za razliku od nepokretnog sistema u odnosu na koji se kretanje lokalnih koordinatnih sistema izraava, a koji se jo naziva spoljanjim (globalnim ili fiksnim, ...). Poznavanjem tanog poloaja koordinatnih sistema svakog od segmenata, kao i vrednosti unutranjih koordinata u zglobovima mogue je jednoznano odrediti poloaj i orijentaciju hvataljke (Sl. 3.13). Ovaj zadatak je poznat kao direktni kinematski problem. Obrnuti zadatak, kako odrediti unutranje koordinate u svakom od zglobova tako da se hvataljka nae u zahtevanoj poziciji sa zahtevanom orijentacijom, je poznat kao inverzni

4 Poslednji segment robota moe biti, zavisno od radnog zadatka, hvataljka ili neki ureaj (npr. aparat za takasto

ili avno zavarivanje, glodalo, prskalica za bojenje, ...).


35

kinematski problem i nije jednoznano reiv. Svaki od ovih zadataka e u okviru ove glave biti posebno obraen. Koordinatni sistemi se na segmente mogu postavljati na razliite naine, jedino poloaj sva-kog od njih u odnosu na sopstveni segment uvek mora biti potpuno poznat i tokom vre-mena nepromenljiv. Meutim, odreena sistematizacija u izboru poloaja koordinatnih sis-tema je neophodna, a opte prihvaen dogovor o nainu postavljanja koordinatnih sistema je poznat kao Denavit-Hartenbergova ili DH notacija (konvencija). Prvi sistematski nain

H01

0i-11iH

001nH

Sl. 3. 13. Transformacija poloaja lokalnih koordinatnih sistema i rezultujui poloaj hvataljke tokom kretanja robota

definisanja poloaja koordinatnih sistema primenjen u algoritmu za modeliranje dinamike manipulacionih robota je predloen od strane M. Vukobratovia ali je tokom vremena po-tisnut DH notacijom.

3.3.1 Denavit - Hartenbergova notacija Uvoenje DH notacije emo zapoeti razmatranjem osnovnih transformacija izmeu dva koordinatna sistema: i-1-vog i i-tog sa koordinatnim poecima Oi-1 i Oi (Sl. 3.14) iji meusobni poloaj zadovoljava sledee uslove:

- osa xi je normalna na osu zi-1; - osa xi see osu zi-1.

Uoimo da je izmeu ova dva koordinatna sistema umetnut pomoni koordinatni sistem sa osama xP, yP i zP iji koordinatni poetak OP je definisan presekom osa zi-1 i xi. Razmotrimo transformacije koje je potrebno primeniti da bi se ova dva koordinatna sistema poklopila. Ukupnu transformaciju emo podeliti u dva koraka: najpre emo i-1-vi koordi-natni sistem pomeriti tako da se poklopi sa pomonim, a zatim emo ga pomeriti tako da se poklopi sa i-tim. Sa slike se vidi da je za poklapanje koordinatnih poetaka Oi-1 i OP najpre potrebno koordinatni sistem i-1 zarotirati za ugao oko ose zi-1 a zatim ga translatorno po-meriti za veliinu d du iste ose. (Primetite da se ose zi-1 i zP poklapaju). Da bi se pomoni koordinatni sistem poklopio sa i-tim, potrebno ga je translatorno pomeriti du ose xP za veliinu a, a zatim zarotirati, isto oko ose xP, za ugao .


36

Sl. 3.14. Meusobni odnos koordinatnih sistema pri DH konvenciji

Prema tome, da bi se i-1-vi koordinatni sistem doveo do poklapanja sa i-tim potrebno je izvriti sledee transformacije

1 , , , ,ii z z d x a xH Rot Tran Tran Rot

(3.45) to se moe u formi homogenih transformacija (prve dve transformacije su objedinjene u jednu, druge dve u drugu transformaciju) izraziti na sledei nain

1 , ,

0 00 0

0 0 10 0 0 1

i i

i i

i iPi z z d

i

C SS C

H Rot Trand

(3.46)

, ,

1 0 00 00 00 0 0 1

i i

i

i iiP x x a

i i

a

C SH Rot Tran

S C

(3.47)

ili u formi jedinstvene transformacije izmeu i-1-vog i i-tog koordinatnog sistema

1 00 0 0 1

i i i i i i i

i i i i i i iii

i i i

C S C S S a CS C C C S a S

HS C d

. (3.48)

Prema tome, ukupna transformacija izmeu dva koordinatna sistema proizvoljnog meusobnog poloaja ali takvog da su ispunjena dva ranije navedena uslova, se moe opisati sa etiri elementarne transformacije. Drugim reima, korienjem DH notacije, ukupna transformacija je opisana sa samo etiri parametra , , d, i a, koji se nazivaju DenavitHartenbergovim (ili skraeno DH) parametrima.


37

Da bi se meusobni poloaj dva koordinatna sistema koji pripadaju susednim segmentima robotskog mehanizma, u optem sluaju, mogao opisati transformacijom (3.48) potrebno je da se obezbedi da koordinatni sistemi koje pridruujemo pojedinanim segmentima mehanizma zadovoljavaju oba navedena uslova ( 1i ix z i ix see 1iz ). Stoga razmotrimo dva susedna segmenta robota, i-1-vi i i-ti, (na Sl. 3.15. je pretpostavljeno da su segmenti spojeni rotacionim zglobovima sa samo jednim stepenom slobode) gde su ose obrtanja zglobova obeleene sa zi, zi-1 i zi-2, i da se, u optem sluaju, mimoilaze u prostoru. Pretpostavimo, dalje, da je koordinatni sistem sa poetkom Oi-1 ve postavljen. Tada je mogue odrediti zajedniku normalu izmeu osa zi i zi-1 kao zajedniku normalu izmeu dve mimoilazne prave (na Sl. 3.15. je ova zajednika normala obeleena sa ia ). Ako u pravcu zajednike normale ia postavimo osu xi (smer se moe birati proizvoljno), a osu yi odredimo tako da sa xi i zi obrazuje desni koordinatni sistem tada koordinatni sistemi Oi-1 i Oi predstavljaju dva koordinatna sistema koji zadovoljavaju oba ranije navedena uslova i njihov meusobni poloaj moemo opisati Denavit-Hartenbergovim parametrima. DH parametri , d, a i izmeu dva koordinatna sistema koji se nalaze na dva susedna segmenta su definisani na sledei nain:

- parametar a je rastojanje izmeu osa zi-1 i zi mereno du ose xi - parametar d je rastojanje koordinatnog poetka Oi-1 i preseka osa xi i zi-1 mereno

du ose zi-1; - parametar je ugao izmeu osa zi-1 i zi (od ose zi-1 ka osi zi) meren u ravni

normalnoj na osu xi; - parametar je ugao izmeu osa xi-1 i xi meren u ravni normalnoj na osu zi-1 - Parametre , d, a i je mogue na slian nain odrediti i u sluaju linearnog

(translatornog) zgloba, koji je prikazan na Sl. 3.16. Kod translatornog zgloba poloaj samog zgloba nije vaan jer e se prilikom kretanja uvek na isti nain translatorno pomerati deo sistema koji

Sl. 3.15. DH parametri za rotacioni zglob

se u kinematskom lancu nalazi posle njega. Zbog toga se koordinatni sistem postavlja tako da se parametri uproste, tj. zi-1 osa se postavlja u pravcu izduivanja translatornog zgloba i bira se da 0ia . Osa xi se postavlja u istom ili suprotnom smeru od vektora zi-1zi.


38

Veliina d odgovara unutranjoj koordinati qi. Nulta vrednost qi odgovara poloaju kada se koordinatni poeci Oi i Oi-1 poklapaju. Za translatorni zglob ugao i, nije promenljiv ve fiksan i predstavlja kinematski parametar, isto kao i ugao i.

Sl. 3.16 DH parametri za linearni (translatorni) zglob Kada se za dati robot izvri pridruivanje koordinatnih sistema pojedinim segmentima i odrede DH parametri tada su homogene matrice transformacije funkcije samo unutranjih koordinata qi u zglobovima. Napomenimo da slobodno telo u prostoru ima est stepeni slobode, dok se relativni poloaj dva koordinatna sistema prema DH notaciji opisuje sa samo sa etiri parametra. To je mogue zbog toga to je ovde poloaj koordinatnih sistema ogranien sa dva dodatna uslova ( 1i ix z i ix see 1iz ) ime se oduzimaju dva stepena slobode. DH parametrima se moe pridruiti odreeno fiziko znaenje. Tako, parametar ai reprezentuje duinu segmanta, i ugao izmeu osa zglobova istog segmenta ("uvrnutost" segmenta, engl. twist), parametar di predstavlja smaknutost (engl. offset) koordinatnih poetaka Oi-1 i Oi (u sluaju pravilnih geometrijskih oblika segmenata di predstavlja smaknutost centara zglobova) dok parametar i predstavlja ugao meusobnog zakretanja i-1-vog i i-tog koordinatnog sistema to je u sluaju linearnog zgloba posledica savijenosti segmenta. U sluaju rotacionog zgloba ai, di, i i predstavljaju fiksne parametre mehanizma dok promenljiva i predstavlja unutranju koordinatu qi (ugao zakretanja izmeu dva segmenta). U sluaju translatornog zgloba parametri ia , i i i su fiksni parametri mehanizma, a promenljiva id predstavlja unutranju koordinatu qi (pomeraj u zglobu). Takoe je vano da se napomene da pri proceduri odreivanja poloaja koordinatnih sistema koji pripadaju pojedinim segmentima ni u jednom trenutku nije voeno rauna o stvarnom obliku segmenata i stvarnom poloaju zglobova. Naime, kinematski model robota predstavljen DH notacijom odgovara svim stvarnim mehanikim konfiguracijama sa datim rasporedom i tipom zglobova tj. odgovara svim konfiguracijama kod kojih se sve ose zglobova nalaze na istim mestima. Oblik samih segmenata ne utie na DH parametre to predstavlja prednost DH notacije.


39

Treba obratiti panju da kod DH notacije postoji neslaganje u rednom broju zgloba i njemu pripadajueg koordinatnog sistema. Naime, numeracija segmenata kinematskog lanca kree od segmenta vezanog za podlogu i poinje sa 1 (1, 2, ..., n). Numeracija zglobova takoe poinje od podloge na isti nain kao i kod segmenata, ali se koordinatni sistemi koji pripadaju zglobovima numeriu drugaije. Osa baznog zgloba (zglob kojim se robot povezuje sa podlogom) se uvek obeleava sa z0, tj. numeracija poinje od nule. To znai, da je i-ti zglob prvi zglob i-tog segmenta dok je odgovarajui koordinatni sistem i-1-vi to se moe videti na Sl. 3.14. i Sl. 3.15. Na isti nain, prvi zglob poetnog segmenta kinematskog lanca (segment 1) je zglob 1, a njemu pripadajui koordinatni sistem je O0. Procedura formiranja kinematskog modela (postavljanja koordinatnih sistema i formiranja matrica transformacije) poinje identifikacijom osa svih zglobova jer tip i raspored zglobova moraju biti poznati unapred. Pri odreivanju poloaja koordinatnih sistema prema DH konvenciji treba voditi rauna o nekim specifinostima na koje emo sada ukazati. Najpre treba ukazati na injenicu da se bazni koordinatni sistem moe postaviti bilo gde na osi z0 (njegov poloaj nije jednoznano odreen i moe se izabrati nama najpovoljnija pozicija) a ose x0 i y0 treba odrediti tako da se oformi desni koordinatni sistem. Dalje se koordinatni sistemi postavljaju na nain opisan ranije. Razmotrimo, dalje, situaciju koja se javlja ako dve ose zglobova zi-1 i zi pripadaju istoj ravni. Tu se mogu javiti dva sluaja:

- ose zi-1 i zi se seku, - ose zi-1 i zi su paralelne.

U drugom sluaju, koji je sasvim est u praksi, postoji beskonano mnogo zajednikih normala osa zi-1 i zi. U tom sluaju se osa xi bira tako da bude normalna a da zi-1 i da prolazi kroz Oi-1. Primetimo da je u tom sluaju id jednako nuli, a zbog paralelnosti osa zi-1 i zi parametar i je takoe jednak nuli. Kada je osa xi odreena, osa yi se bira tako da oformi desni koordinatni sistem. U prvom sluaju, kade se ose zi-1 i zi seku, xi se bira kao normala na ravan koja je definisana osama zi-1 i zi dok je smer xi proizvoljan. Najprirodniji izbor koordinatnog poetka Oi je u preseku osa zi-1 i zi mada se moe izabrati bilo koja taka na osi zi. Treba primetiti da je u ovom sluaju parametar ia jednak nuli. Takoe treba obratiti panju na postavljanje koordinatnog sistema na poslednji (n-ti) segment, tj. na postavljanje koordinatnog sistema hvataljke (Sl. 3.15). Koordinatni poetak.

Sl. 3.17. Postavljanje koordinatnog sistema hvataljke On se moe izabrati proizvoljno, ali treba voditi rauna da se DH parametri maksimalno uproste. Zbog toga se preporuuje da se On bira simetrino izmeu prstiju hvataljke, jedino


40

treba da se obezbedi da je osa xn upravna na zn-1. Ukoliko je poslednji zglob rotacioni treba osu zn izabrati tako da je paralelna zn-1Postupak za formiranje kinematskog modela robota proizvoljne mehanike konfiguracije se moe sistematizovati u nekoliko sledeih koraka:

1. Locirati i oznaiti sve ose zglobova od z0 do zn-1. 2. Postaviti bazni koordinatni sistem bilo gde na z0 osi.

Napomena: korake 35 ponavljati za 1i do 1i n 3. Locirati koordinatni poetak Oi na mestu gde zajednika normala na ose

zi i zi-1 preseca osu zi. Ako se zi preseca sa zi-1 onda Oi postaviti u taku preseka, a ako su ose zi i zi-1 paralelne onda Oi postaviti u zglob zi.

4. Postaviti osu xi du zajednike normale izmeu zi-1 i zi kroz taku Oi ili u pravcu koji je normalan na ravan odreenu osama zi i zi-1 ako se ove dve ose seku.

5. Postaviti yi tako da se formira desni koordinatni sistem. 6. Postaviti koordinatni sistem hvataljke na pogodan nain. 7. Formirati tablicu parametara ia , id , i , i . 8. Formirati homogenu matricu transformacije zamenjujui vrednosti

parametara iz tablice, formirati ukupnu matricu transformacije mnoei redom sve matrice od poetne do krajnje.

Odavde se moe zakljuiti sledee: - koordinatni sistemi se postavljaju u zglobove robota, - na svakom segmentu se nalaze po dva koordinatna sistema, - prvi koordinani sistem (raunato od poetka (baze) kinematskog lanca pripada

prethodnom segmentu, drugi koordinatni sistem je vezan za dotini segment i njegov poloaj se menja zajedno sa promenom poloaja dotinog segmenta.

Na opisani nain je mogue u potpunosti definisati poloaje svih koordinatnih sistema i oformiti ukupnu matricu transformacije koja povezuje poziciju i orijentaciju krajnjeg koordinatnog sistema kinematskog lanca (koordinatnog sistema hvataljke) izraenu u odnosu na bazni (nepokretni) koordinatni sistem

3.3.2 Direktni kinematski problem

Pod direktnim kinematskim problemom podrazumevamo odreivanje pozicije i orijentacije koordinatnog sistema poslednjeg segmenta kinematskog lanca u odnosu na nepokretni (bazni) koordinatni sistem ukoliko su poznate vrednosti pomeraja u zglobovima (ugao zakretanja za rotacioni i izduenje za translatorni zglob). Ilustrovaemo ovo na nekoliko primera.

Primer 3.2: Odrediti tablicu DH parametara i matrice homogenih transformacija za ravanski trosegmentni robotski manipulator prikazan na Sl. 3.18.


41

a) bez ucrtanih koordinatnih sistema b) sa ucrtanim koordinatnim sistemima Sl. 3.18. Trosegmentna ravanska konfiguracija

Tablica Denavit - Hartenbergovih parametara je data u sledeoj tabeli Tabela 1. Denavit - Hartenbergovi parametri Segment

ia

i

id

i

1 1l

0 0 1q

2 2l

0 0 3q

3 3l

0 0 3q

Matrice pojedinanih transformacija su date sa: 1

110

1 1 0 11 1 0 1

0 0 1 00 0 0 1

C S l CS C l S

H

2

221

2 2 0 22 2 0 2

0 0 1 00 0 0 1

C S l CS C l S

H

3

332

3 3 0 33 3 0 3

0 0 1 00 0 0 1

C S l CS C l S

H

dok je ukupna transformacija data sa

1 2 3

1 2 33 1 2 30 0 1 2

123 123 0 1 12 123123 123 0 1 12 1230 0 1 00 0 0 1

C S C C Cl l lS C S S Sl l lH H H T

gde je 1 2 3123 sin ( )S q q q , 1 2 3123 cos ( )C q q q .

Primer 3.3: Odrediti tablicu DH parametara i matrice homogenih transformacija za trosegmentnu antropomorfnu konfiguraciju sa Sl. 3.19 ako su duine drugog i treeg segmenta a2 i a3, respektivno. Poloaji odgovarajuih koordinatnih sistema prema DH notaciji su ucrtani na Sl. 3.19. dok su Denavit - Hartenbergovi parametari dati u Tabeli 2:


42

Tabela 2. Denavit - Hartenbergovi parametri Segment

ia

i

id

i

1 0 /2 0 1q

2 2a

0 0 2q

3 3a

0 0 3q

Matrice pojedinanih homogenih transformacija su date sa

2 3

2 31 2 30 1 2

1 0 1 0 2 2 0 2 3 3 0 31 0 1 0 2 2 0 2 3 3 0 3

, ,

0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 00 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

C S C S a C C S a CS C S C a S S C a S

H H H (3.49)

Sl. 3.19. Antropomorfna minimalna konfiguracija dok je ukupna transformaciona matrica data sa

3 2

3 1 2 3 3 20 0 1 2

3 2

1 23 1 23 1 1 23 21 23 1 23 1 1 23 2

23 23 0 23 20 0 0 1

C C C S S C a C a CS C S S C S a C a C

H H H HS C a S a S (3.50)

gde je 2 323 sin ( )S q q , 2 323 cos ( )C q q . Na taj nain je odreena ukupna transformacija krajnjeg koordinatnog sistema O3 u odnosu na bazni O0 u funkciji koordinata u zglobovima. Vektor pozicije koordinatnog sistema O3 je definisan etvrtom kolonom u matrici (3.50) i njegove koordinate direktno odgovaraju koordinatama koordinatnog poetka O3 u odnosu na O0. Najee se direktni kinematski problem ovim smatra reenim. Meutim, obzirom da nam matrica rotacije ne daje reenje u obliku neke od uobiajenih reprezentacija orijentacije koordinatnih sistema ponekad je


43

pogodno odrediti orijentaciju krajnjeg koordinatnog sistema u eljenoj formi. Pretpostavimo da elimo da orijentaciju koordinatnog sistema O3 definisanu matricom rotacije iz (3.50) predstavimo ZYX Ojlerovim uglovima ija je matrica rotacije data sa (3.29). Drugim reima, elimo da odredimo Ojlerove uglove , i tako da ukupna rotacija odgovara rotaciji koja je definisana matricom rotacije (3.29). Matrica rotacije definisana u okviru homogene transformacija (3.50) je data sa

11 12 1330 21 22 23

31 32 33

1 23 1 23 11 23 1 23 1

23 23 0

C C C S S r r rR S C S S C r r r

S C r r r

.

Matrica rotacije izraena ZYX Ojlerovim uglovima je

30

C C C S S S C C S C S SR S C S S S C C S S C C S

S C S C C

Obzirom da elimo da obe rotacije kao rezultat daju istu ukupnu rotaciju pojedinani lanovi u ovim dvema matricama treba da su jednaki. Izjednaavanjem izraza uz pojedine lanove dobijamo

11r C C (3.51 )

12r C S S S C (3.52)

13r C S C S S (3.53)

21r S C (3.54)

22r S S S C C (3.55)

23r S S C C S (3.56)

31r S (3.57)

32r C S (3.58)

33r C C (3.59)

Na ovaj nain smo dobili sistem od 9 jednaina sa 3 nepoznate koji moemo reiti na vie naina. Ako (3.51) pomnoimo sa S , a (3.54) sa C

11r S S C C (3.60)

21r C C S C (3.61)

i od jednaine (3.60) oduzmemo jednainu (3.61), dobijamo


44

11 21 0r S r C

21

11

rStg

C r

odakle, konano, sledi

21

11

rarctg

r

Zatim, pomnoimo (3.58) sa C , a (3.59) S , pa dobijamo

32r C C C S (3.62)

33r S S C C (3.63)

Ako zatim od (3.62) oduzmemo (3.63 ) sledi

32 33 0r C r S

pa konano dobijamo

32

33

rStg

C r

32

33

rarctg

r

Da bi odredili ugao pomnoimo (3.51) sa C , a (3.54) sa S

11 /r C C C

21 /r S C S

odakle sledi

211r C C C

(3.64)

221r S S C

(3.65) Ako zatim (3.64) saberemo sa (3.65) sledi:

2 211 21r C r S C S C (3.66)

Ako jednainu (3.57) pomnoimo sa C i podelimo sa S dobijamo

31C

r CS

(3.67)

Ako desnu stranu u (3.66) zamenimo sa (3.67) dobijamo

11 21 31C

r C r S rS


45

11 21

31

r C r S Cr S

odakle sledi

31

11 21

rCtg

S r C r S

i konano dobijamo

31

11 21

rarctg

r C r S

Time je direktan kinematski problem u potpunosti reen

Primer 3.4: Odrediti tablicu DH parametara i matrice homogenih transformacija za sferni zglob ija kinematska ema je prikazana na Sl. 3.19.

a) kinematska ema zgloba b) koordinatni sistemi zgloba hvataljke Sl. 3. 20. Sferni (Ojlerov) zglob

Poloaj koordinatnih sistema zgloba hvataljke je prikazan na Sl. 3.20.b. Tablica Denavit - Hartenbergovih parametara je data sa Tabela 3. Denavit - Hartenbergovi parametari

Segment ia i id i

4 0 2 0 4q

5 0 2 0 5q

6 0 0 6d 6q

Pojedinane matrice transformacija su:


46

43

4 0 4 04 0 4 0

0 1 0 00 0 0 1

C SS C

H

54

5 0 5 05 0 5 0

0 1 0 00 0 0 1

C SS C

H (3.68)

65

6

6 6 0 06 6 0 0

0 0 10 0 0 1

C SS C

Hd

dok je ukupna matrica transformacije data sa

6 4 5 63 3 4 5

6

6

6

4 5 6 4 6 4 5 6 4 6 4 5 4 54 5 6 4 6 4 5 6 4 6 4 5 4 5

5 6 5 6 5 50 0 0 1

H H H H

C C C S S C C S S C C S C S dS C C C S S C S C C S S S S d

S C S S C C d (3.69)

ime je zadatak reen. Primetimo da matrica rotacije iz (3.69) odgovara matrici rotacije kada je orijentacija zadata ZYZ Ojlerovim uglovima. Vrednost rotacije za ugao q4 odgovara vrednosti ugla , za ugao q5 uglu , a za ugao q5 uglu . To je i razlog to se sferni zglob jo naziva i Ojlerovim zglobom.

Primer 3.5: U ovom primeru emo prikazati formiranje kinematsk

Documents

Industrijska robotika-KNJIGA