INDUCCION MATEMATICA PRIMER AÑO TERCER AÑO SEGUNDO AÑO

INDUCCION MATEMATICAPRIMER AOTERCER AOSEGUNDO AO

INDUCCION MATEMATICA

,,,Qu figura sigue ? Cuntas rectas forman cada figura? 3579Dibuja la figura y cuenta su nmero de rectas Cuntas rectas formarn la octava figura? ?17

Qu figura completa la serie? Cuntos crculos las forman? ,,,,1471013Dibuja la novena figura de la serie : Cuntos crculos la forman? 25?

Una sucesin numrica es:Secuencia de nmeros relacionados de tal manera que cada uno, despus del primero, se puede obtener del que le precede sumando a ste una cantidad fija llamada diferencia comn.2,7,12,17,22,27,32DIFERENCIA COMUN ES 5OBSERVA :

COMO ENCONTRAMOS EL TERMINO N-ESIMO ?an = a1 + (n 1) d

APLICACIONHallar el 23 trmino de la sucesin numrica 9 , 4 , -1

a23 = 9 + (23-1) (-5) a23 = 9 110

23 trmino es - 101d = 4 9d = -5Determinamos la diferencia comnConsecuente menos antecedenteSustituimos valores conocidosan = a1 + (n 1) d

Hallar el 38 trmino de la sucesin numrica 2/3 , 3/2, 7/3

a38 = 2/3 + (38 1) (5/6 a38 = 2/3 + 185/6

38 trmino es 189/6 o 63/2 d = 3 - 2 2 3

d = 5 6Determinamos la diferencia comnConsecuente menos antecedenteSustituimos valores conocidosan = a1 + (n 1) dAPLICACION

APLICACIONa6 = 3 + (6 1) d

8 = 3 + 5d

5d = 8 - 3

Diferencia comn es 1 Sustituimos valores conocidosan = a1 + (n 1) dHallar la diferencia comn de la sucesin numrica 3, , 8 donde 8 es el 6 trmino.an = a1 + (n 1) d Buscando el valor de d

*

APLICACION 30 = 4 + (n 1) ( 2 ) 30 = 4 + 2n - 2 28 = 2n n = 14 Sustituimos valores conocidosan = a1 + (n 1) dCuntos trminos tiene la progresin aritmtica 4, 6, 30 ?an = a1 + (n 1) d Buscando el valor de n Buscamos diferencia comn d = 6 4 d = 2*

APLICACION 20 = a1 + (15 1) ( 2/7 ) 20 = a1 + 4

a1 = 16 Sustituimos valores conocidosan = a1 + (n 1) dan = a1 + (n 1) d Buscando el valor de a a1 = an nd - d*El 15 trmino de una progresin aritmtica es 20 y la diferencia comn 2/7. Hallar el primer trmino.

Determinamos la diferencia comnSustituimos valores conocidosConsecuente menos antecedente9 5 = 4an = a1 + (n 1) d an = 5 + (n 1) 4 an = 5 + 4n - 4 an = 4n + 1 TERMINO ENESIMOGENERALIZACION

PRIMER AO

Buscamos la diferenciaConsecuente menos antecedente 9 5 = + 4n 4 ( 1 ) + 4n Primera posicin x + 4 = 5, donde x = + 1 + 14n + 1Generalizacin* Qu nmero sumado a cuatro veces la primera posicin de la sucesin da como resultado el primer trmino de sta ?GENERALIZACION

Buscamos la diferenciaConsecuente menos antecedente 12 - 8 = 4n 4 ( 1 ) 4n Primera posicin x + 4 = 8, donde x = 4 + 44n + 4Generalizacin* Qu nmero sumado a cuatro veces la primera posicin de la sucesin da como resultado el primer trmino de sta ?GENERALIZACION

Buscamos la diferenciaConsecuente menos antecedente 11 - 9 = 2n 2 ( 1 ) 2n Primera posicin x + 2 = 9, donde x = 7 + 282n + 7Generalizacin* Qu nmero sumado a dos veces la primera posicin de la sucesin da como resultado el primer trmino de sta ?GENERALIZACION

Cuntos cuadritos forman la figura que se ubica en la vigsima posicin ?591317214n + 14(20) + 181 cuadrados debe tener la vigsima figura

Cul es la regla para encontrar el nmero de cubos que hay en una figura cualquiera de esta sucesin? Cmo se puede expresar esta regla con una frmula ?375Generalizacin

De la siguiente sucesin, determina cuntos cuadrados hay en la quinta figura y escribe su generalizacin.25811Generalizacin

De la siguiente sucesin, determina cuntos cuadrados hay en la quinta figura y escribe su generalizacin.481216Generalizacin

De la siguiente sucesin, determina cuntos cuadrados hay en la quinta figura y escribe su generalizacin.591317Generalizacin

De la siguiente sucesin, determina cuntas bolitas hay en la sexta figura y escribe su generalizacin.47101316Generalizacin

De la siguiente sucesin, determina cuntas bolitas hay en la sexta figura y escribe su generalizacin.510152025Generalizacin

4,6,8,10,1. Hallar los dos trminos siguientes de las sucesiones que se indican:14-5,-2,1,4,1013-3,5,-7,9,13-151,4,9,16,36491,2,4,7,16221,-2,3,-4,7-827,23,19,15,1171,5,9,13,25297,-11,25,11,5,-6,17,21,12

2. Determine el dcimo trmino:8,12,16,20,3,6,9,12,9,11,13,15,57,60,63,66,15,17,69,24, 302784444n + 4 4(10) + 4 = 443n 3(10) = 302n + 7 2(10) + 7 = 273n + 54 3(10) + 54 = 84

2,4,6,8,3. Escribe la generalizacin de cada una de las sucesiones siguientes:5,10,15,20,5n10,20,30,40,10n50,57,64,71,7n + 4314,21,28,35,7n + 715,20,25,30,5n + 1035,40,45,50,5n + 3017,22,27,32,5n + 1225,50,42,35,40,37,42,2n10,12,30,35,55,60,47,

4. Completa cada sucesin numrica y escribe el patrn que la generaliza:3,6,9,12,15,18,213nGeneralizacin7,12,17,22,27,32,375n + 25,9,13,17,21,25,294n + 11,8,15,22,29,36,437n - 62,11,20,29,38,47,569n - 7

SEGUNDO AO

Buscamos la diferenciaConsecuente menos antecedente - 2 - ( - 5 ) = + 3n 3 ( 1 ) + 3n Primera posicin x + 3 = - 5, donde x = - 8 - 83n - 8Generalizacin* Qu nmero sumado a tres veces la primera posicin de la sucesin da como resultado el primer trmino de sta ?GENERALIZACION

Buscamos la diferenciaConsecuente menos antecedente 3 - 7/2 = - 1/2 n - 1/2 ( 1 ) - 1/2 n Primera posicin x - 1/2 = 7/2, donde x = 4 + 41 n + 4 2Generalizacin* Qu nmero sumado a 1/2 veces la primera posicin de la sucesin da como resultado el primer trmino de sta ?GENERALIZACION

Buscamos la diferenciaConsecuente menos antecedente 23 - 28 = - 5n - 5 ( 1 ) - 5n Primera posicin x - 5 = 28, donde x = 33 + 28- 5n + 33Generalizacin* Qu nmero sumado a - cinco veces la primera posicin de la sucesin da como resultado el primer trmino de sta ?GENERALIZACION

1. Determina el dcimo trmino:5,2,- 1,- 3n + 8- 221,12,0,- 1 2,n + 3 2 7 2- 3 ( 10) + 8 = 22-10 + 3 = - 7 2 2

44,41,38,35,2. Escribe la generalizacin de cada una de las sucesiones siguientes:28,23,18,13,- 5n + 338,-2,-12,-22,- 10n + 18-80,-66,-52,-38,14n - 94-5,-8,-11,-14,- 3n - 2-24,-18,-12,-6,6n - 30-30,-25,-20,-15,5n - 35-7,-5,-3,-1,2n - 98,-32,-24-17,0,6,1,3,- 3n + 4732,3,-10,-5,-20,,

-5,-7,-9,-11,20,10,0,-10,- 10n + 30-3,-8,-13,-18,- 5n + 22,-4,-10,-16,- 6n + 8-1,-2,-3,-4,- n 6,3,0,-3,- 3n + 9 3 2,-1, 1 2,0,1 n 2 2-20,-23,-5,-6,- 2n - 3-13,12, Escribe la generalizacin de cada una de las sucesiones siguientes:-22,

4,3,2,1,- n + 50,-9,-15,-21,-27,- 6n - 3 -33,72,3,52,2,- 1 n + 4 232,-10,-8,-6,-4,2n - 12-2, Escribe la generalizacin de cada una de las sucesiones siguientes:-3,-7,-11,-15,- 4n + 1-19,5,3,1,-1,- 2n + 7-3,-5,

TERCER AO

De la siguiente sucesin, determina cuntos cuadrados hay en la quinta figura y escribe su generalizacin.14916Generalizacin

Nmero de mosaicos blancos que tendr la figura que ocupa la quinta posicin en la siguiente sucesin:

Observamos que en las figuras propuestas, se presenta un mosaico blanco en cada una de sus esquinas.CUATRO MOSAICOS BLANCOS APARECEN EN CADA FIGURA MOSAICOS CENTRALES 1,4,9,16n2 + 4GeneralizacinBuscamos el quinto trmino:n2 + 4 = 52 + 4 = 2929 mosaicos blanco debe tener la quinta figura

En la siguiente sucesin determina cuntos cuadrados formarn la sexta figura. 1361015

Diferencias finitas1 a + b + c3a + b 4a + 2b + c 9a + 3b + c16a + 4b + ca(1)2 + b(1) + c = a + b + ca(2)2 + b(2) + c = 4a + 2b + ca(3)2 + b(3) + c = 9a + 3b + ca(4)2 + b(4) + c = 16a + 4b + c5a + b7a + b2a2a13 61023411abcGeneralizacin234

En la siguiente sucesin determina cuntas bolitas hay en la quinta figura y escribe su generalizacin. 261220

Diferencias finitas1 a + b + c3a + b 4a + 2b + c 9a + 3b + c 16a + 4b + ca(1)2 + b(1) + c = a + b + ca(2)2 + b(2) + c = 4a + 2b + ca(3)2 + b(3) + c = 9a + 3b + ca(4)2 + b(4) + c = 16a + 4b + c5a + b7a + b2a2a26 122046822abcGeneralizacin234

En la siguiente sucesin, en la figura 1 se ven tres caras del cubo, y en la figura 2 se ven nueve caras.391727

Diferencias finitas1 a + b + c3a + b 4a + 2b + c 9a + 3b + c 16 + 4b + ca(1)2 + b(1) + c = a + b + ca(2)2 + b(2) + c = 4a + 2b + ca(3)2 + b(3) + c = 9a + 3b + ca(4)2 + b(4) + c = 16a + 4b + c5a + b7a + b2a2a39 17 2768 1022abcGeneralizacin234En la vigsima quinta figura es posible ver 152 caras

Diferencias finitas1 a + b + c3a + b 4a + 2b + c 9a + 3b + c16a + 4b + ca(1)2 + b(1) + c = a + b + ca(2)2 + b(2) + c