Click here to load reader

imo shortlist

  • View
    21

  • Download
    3

Embed Size (px)

DESCRIPTION

imo shortlist

Text of imo shortlist

  • Bi ging THSGQG thng 12/2014

    Trn Xun Bang-Trng THPT Chuyn V Nguyn Gip 1

    Mt s bi ton HH t ImoShortlist 2012. G1. Cho tam gic ABC, J l tm ng trn bng tip gc A. ng trn (J) tip xc BC, CA, AB ln lt ti M, L, K. cc ng thng LM v BJ ct nhau ti F, v cc ng thng KM v CJ ct nhau ti G. Gi S l giao im ca cc ng thng AF v BC, T l giao im ca cc ng thng AG v BC. Chng minh rng M l trung im ca ST. Li gii. t , ,CAB ABC BCA . ng thng AJ l phn gic gc CAB nn

    2JAK JAL

    . V 090AKJ ALJ nn K, L thuc ng trn ng

    knh AJ. Tam gic KBM cn nh B do BM = BK. BJ l phn gic KBM nn

    0902

    MBJ

    v 2

    BMK

    . Tng t 0902

    MCJ

    v 2

    CML

    nn

    BMF CML = 2

    . Suy ra LFJ MBJ BMF = 0902

    -

    2

    =2

    LAJ .

    Hn na, F v A cng v mt pha i vi JL nn F thuc ng trn ng knh AJ. Hon ton tng t, G cng thuc ng trn ng knh AJ. Do

    090AFJ AGJ . D thy cc ng thng AK v BC i xng nhau qua ng thng BF. Mt khc ,AF BF KM BF nn SM = AK. Tng t TM = AL. Nhng AK = AL. Suy ra SM = TM. Bnh lun: Sau khi pht hin A, F, K, J, L, G cng thuc mt ng trn, c rt nhiu cch khc gii tip bi ton. V d, t cc t gic JMFS v JMGT ni

    tip ta c th tm thy 2

    TSJ STJ

    .

    S

    F

    T

    G

    J

    L

    K

    M C

    B

    A

  • Bi ging THSGQG thng 12/2014

    Trn Xun Bang-Trng THPT Chuyn V Nguyn Gip 2

    Mt kh nng khc l s dng thc t l cc ng AS v GM l song song

    (c hai u l vung gc vi phn gic BJ), do 1MS AGMT GT

    G2. Cho ABCD l mt t gic ni tip c ng cho AC v BD gp nhau ti E. Cc tia AD v BC ct nhau ti F. G l im sao cho ECGD l mt hnh bnh hnh. H l im i xng ca E qua AD. Chng minh rng DHFG l t gic ni tip. Li gii. EAB EDC v DEC AEB (i nh) DCE DCA DBA EBA

    Suy ra DG CE CDEB EB AB

    (1)

    Mt khc CD FDFCD FABAB FB

    (2)

    T (1) v (2) suy ra DG FDEB FB

    (3)

    Ta li c CDA ABF (Do ABCD ni tip) GDC DCA (Do CGDE l hnh bnh hnh) DCA DBA suy ra GDF GDA GDC DCA ABF DBA DBF EBF

    GDF EBF (4) T (3) v (4) suy ra DGF BEF FGD BEF V H i xng E qua FD nn 0 0180 180FHD FED BEF FGD Suy ra pcm. G3. Cho tam gic ABC nhn vi cc ng cao AD, BE, CF. Tm ng trn ni tip cc tam gic AEF v BDF l I1 v I2 tng ng. Tm ng trn ngoi

    G

    H

    F

    E

    D

    C

    B

  • Bi ging THSGQG thng 12/2014

    Trn Xun Bang-Trng THPT Chuyn V Nguyn Gip 3

    tip cc tam gic tam gic ACI1 v BCI2 l O1 v O2 tng ng. Chng minh rng I1I2//O1O2. Li gii. t , , .CAB ABC BCA Ta thy chng minh ABI2I1 l t gic ni tip. Tht vy, gi I l giao ca cc tia AI1 v BI2. E, F l cc giao im khc B, C ca ng trn ng knh BC vi cc cnh AC, AB. Do

    ,AEF ABC AFE ACB AEF ABC vi t s ng dng cosAEAB

    .

    Mt khc 1 1 cosI A rIA r

    (t s ng dng)

    Suy ra 21 1 1cos (1 cos ) 2 sin 2I A IA I I IA I A IA IA

    Tng t 22 2 sin 2I I IB

    Suy ra 2 2

    1 2 . 2 2 .2 2I I IA IAsin IBsin I I IB

    Vy ABI2I1 ni tip. Nh th, I c cng phng tch i vi hai ng trn (O1) v (O2). C l mt giao im ca (O1) v (O2). Suy ra ng thng CI l trc ng phng ca (O1) v (O2). Do 1 2CI OO (1) By gi ta chng minh 1 2.CI I I (2) Gi Q l giao im ca ng thng CI vi I1I2. Ta c:

    1 1 1 1 2( )II Q I IQ II Q ACI CAI II I ACI CAI .

    I

    F

    E

    D

    I2

    I1

    O2

    O1

    C

    BA

  • Bi ging THSGQG thng 12/2014

    Trn Xun Bang-Trng THPT Chuyn V Nguyn Gip 4

    rng 1 2 2II I

    (Do ABI2I1 ni tip) v

    2ACI

    ,

    2CAI

    , suy ra

    01 1 902 2 2

    II Q I IQ

    . (2) c chng minh.

    T (1) & (2) suy ra I1I2//O1O2. Cch khc. Trc tin ta s chng minh A, I1, I2, B cng thuc mt ng trn. Gi l tm ni tip tam gic ABC, ta cn chng minh I I1.IA = I I2.IB Gi P, Q, R ln lt l tip im ca (I) vi AC, AB, BC. Khi I , I1 i xng vi nhau qua PQ. Tht vy, d thaays EFBC l t gic ni tip nn suy ra 1AEI ABI .

    Suy ra 1AEI ABI 1AIAE

    AB AI 1 osAI c A

    AI

    Gi '1I l im i xng vi qua PQ. Ta c:

    ' ' '' 0 01 1 11

    sinsin sin(90 2 ) sin(90 ) cos

    sin

    AI QI AQIAQI IQP A A

    AI QI AQI .

    Do '1 1I I . Hon ton tng t I v I2 i xng vi nhau qua QR. V th 21 2 1 2. . 2II IA II IB r AI I B l t gic ni tip. Mt khc ta li c 1 2CI I I (1) Tht vy, gi X l giao im ca 1 2,CI I I

  • Bi ging THSGQG thng 12/2014

    Trn Xun Bang-Trng THPT Chuyn V Nguyn Gip 5

    Ta c:

    0 0 01 1

    1 1180 90 90

    2 2XI I XII ABI AIC ABC ABC

    Suy ra 1 2CI I I Do cn chng minh 1 2CI OO Gi Y l giao im th hai ca (O0) v (O2). Khi 1 2CY OO (2) Mt khc, v l tm ng phng ca 3 ng trn (O1 ), (AI1I2B) v (O2) nn C, Y, I thng hng. (3) T (1), (2) v (3) ta c 1 2 1 2/ / .OO I I G4. Cho ABC l mt tam gic vi AB AC v ng trn (O) ngoi tip. Phn gic BAC ct BC ti D v E l im i xng ca D qua trung im M ca BC. Cc ng thng qua D v E vung gc vi BC ct cc ng AO v AD ln lt ti X v Y. Chng minh rng t gic BXCY ni tip c trong mt ng trn. Li gii. Phn gic BAC v ng trung trc ca BC gp nhau ti P l trung im ca cung nh BC. OP vung gc BC ti M. K hiu l Y' l im i xng ca Y qua ng thng OP. Khi BYC = BY'C t BXCY' l t gic ni tip suy ra BXCY l t gic ni tip.

    Ta cXAP =OPA =EYP ( do OA = OP v EY // OP). Nhng {Y, Y'} v {E, D} l cp im i xng qua OP nn EYP = DY'P v do XAP = DY'P = XY'P. Suy ra XAY'P l t gic ni tip. Ta c: XDDY' = ADDP = BDDC.

  • Bi ging THSGQG thng 12/2014

    Trn Xun Bang-Trng THPT Chuyn V Nguyn Gip 6

    Suy ra BXCY' l t gic ni tip. G5. Cho tam gic ABC c BCA = 900, D l hnh chiu ca C trn AB. Mt im X thuc on thng CD v K, L l cc im trn cc on AX, BX theo th t sao cho BK = BC v AL = AC. Gi M l giao im ca AL v BK. Chng minh MK = ML Li gii. Gi Q, N ln lt l cc giao im ca cc tia AX, BX vi ng trn ngoi tip tam gic ABC khc A, B. Thy ngay 090ANB AQB . Gi P l giao

    ME

    P

    X

    Y'Y

    D

    O

    CB

    A

    XN

    Q

    P

    LK

    M

    E

    D

    C

    BA

  • Bi ging THSGQG thng 12/2014

    Trn Xun Bang-Trng THPT Chuyn V Nguyn Gip 7

    im ca cc ng thng AN, BQ. Khi X l trc tm tam gic PAB nn P thuc ng thng CD. rng t gic PNDB ni tip nn AN.AP = AD.AB = AC2 = AL2. Do tam gic ALP vung L hay PL tip xc ng trn (A, AC). Tng t PK tip xc ng trn (B, BC). Mt khc, gi E l giao im ca cc ng trn (A, AC) v (B, BC) th E i xng C qua AB nn E thuc ng thng CD. Ta c PL2 = PC.PE = PK2 suy ra PL = PK, suy ra hai tam gic vung PML PMK . V th MK = ML.

    Cch 2. D thy, nu gi E l giao ca cc ng trn (A, AC) v (B, BC) khc C th E i xng vi C qua AB. Ta cng c AC v AE cng tip xc vi ng trn (B, BC). Gi Q l giao ca ng thng AK v (B, BC) khc K. Do AC, AE cng tip xc (B, BK) nn t gic CQEK l t gic iu ha. Do P l giao ca hai tip tuyn ca (B, BC) ti K v Q thuc ng thng CE. Ta c (PXCE) = - 1. Tng t gi N l giao ca ng thng BL vi ng trn (A, AC) th P' l giao im ca cc tip tuyn ca (A, AC) ti L v N thuc ng thng CE v (P'XCE) = - 1. Do P' trng P. Khi ng thng CE l trc ng phng ca hai ng trn (A, AC) v (B, BC) nn PL = PK. Hai tam gic vung PML PMK nn MK = ML.

    Cch 3. Gi U l giao im ca ng thng CD vi vi ng trn i qua ba im A, D, L. Do AC = AL nn AD. AB = AC2 = AL2. Do

    ALD ABL AUD ALD DBL . Do UD BDUAD BXDAD DX

    AB

    C

    D

    E

    M

    K L

    P

    Q

    N

    X

  • Bi ging THSGQG thng 12/2014

    Trn Xun Bang-Trng THPT Chuyn V Nguyn Gip 8

    Hai tam gic UDB v ADX u vung ti D nn ng dng. Suy ra

    ( DKB KAB)DUB DAX DKB do . Suy ra D, K, U, B cng thuc mt ng trn. Mt khc 090ULA UDA v 090UKB UDB nn AU AL v UK BK . p dng nh l Carnot cho tam gic MAB vi UL, UK, UD ng quy ta c 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) 0KM KB DB DA LA LM . Hn na 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2, , ,BK BC AL AC BD CB CD AD AC CD . T suy ra

    2 2LM KM hay LM = KM. G6. Cho ABC l mt tam gic c O l tm ng trn ngoi tip v I l tm ng trn ni tip. Cc im D, E v F ln lt thuc cc cnh BC, CA v AB sao cho BD + BF = CA v CD + CE = AB. Cc ng trn ngoi tip cc tam gic BFD v CDE ct nhau ti P D. Chng minh rng OP = OI. Li gii. Theo nh l Miquel cc vng trn (AEF) = (CA), (BFD) = (CB) v (CDE) = (CC) c mt im chung. V vy (CA) i qua im chung P D l im chung ca (CB) v (CC). Gi A', B', C' ln lt l giao im ca cc tia AI, BI, CI vi cc ng trn (CA), (CB) v (CC). B . Cho XOY . ng trn (XAY) = (C) ct phn gic gc XAY ti L. Khi 2 cos

    2AX AY AL

    .

    Tht vy, rng L l trung im cung XY khng cha A. t XL = YL = u, XY = v.

    U

    A B

    C

    D

    KL

    X

  • Bi ging THSGQG thng 12/2014

    Trn Xun Bang-Trng THPT Chuyn V Nguyn Gip 9

    Theo nh l Ptolemy AX.Y L + AY. XL = AL. XY (AX + AY) u = AL.v. (1)

    Ta c LXY = 2

    v = 2cos2

    u. (2)

    T (1) v (2) suy r b c chng minh. p dng b choBAC = v ng trn (C) l (CA), ct AI ti A' cho

    ta 2AA'cos2

    = AE + AF = BC.

    Tng t cho BB' v CC'. p dng b vi BAC = v (C) l ng trn ng knh AI. Sau X, Y l nhng tip im ca (I) vi AB v AC, do

    AX = AY = 12

    (AB + AC - BC). V vy, ta c 2AIcos2

    = AB + AC - BC

    Tip theo, nu (C) l ng trn (O) ca BAC v tia AI ct (C) ti M A ta

    c 2AM cos2

    = AB + AC.

    Tm li ta c:

    2AA'cos2

    = BC, 2AIcos2

Search related