III. TEORI DASAR

A. Prinsip Dasar Metode Gayaberat

1. Teori gayaberat Newton

Teori gayaberat didasarkan oleh hukum Newton tentang gravitasi.

Hukum gravitasi Newton yang menyatakan bahwa gaya tarik menarik

antara dua buah benda adalah sebanding dengan massa kedua benda

tersebut dan berbanding terbalik dengan jarak kuadrat antara pusat massa

kedua benda tersebut. Hukum gravitasi Newton (Gambar 6):

Gambar 6. Gaya tarik menarik merarik antara dua benda m1 dan m2.

( )

dengan:

F = gaya tarik menarik (Newton)

G = konstanta universal gayaberat (6,67 x 10-11

m3kg

-1s

-2)

(1)

18

m1 = massa benda 1 (kg)

m2 = massa benda 2 (kg)

r = jarak antar pusat massa (m)

Untuk gaya gravitasi antara benda bermassa m dengan bumi bermassa

M, adalah:

karena jarak benda ke permukaan bumi sangat kecil, maka nilai r

sebanding dengan nilai jari-jari bumi (R), sehingga persamaan (2) menjadi:

2. Percepatan gravitasi

Dalam pengukuran gayaberat yang diukur bukan gaya gravitasi F,

melainkan percepatan gravitasi g. Hubungan antara keduanya dijelaskan

oleh hukum Newton II yang menyatakan bahwa sebuah gaya adalah hasil

perkalian dari massa dengan percepatan. Hukum Newton mengenai gerak

Newton, yaitu:

F = mg

Interaksi antara bumi (bermassa M) dengan benda di permukaan bumi

(bermassa m) sejauh jarak R dari pusat keduanya juga memenuhi hukum

tersebut, maka dari persamaan (3) dan (4) didapatkan:

g = G

dimana satuan g adalah m/det2 dalam SI, atau Gal (Galileo), yaitu 1

cm/det2. Karena pengukuran dilakukan dalam variasi percepatan gravitasi

(2)

(3)

(4)

(5)

19

yang begitu kecil, maka satuan yang sering digunakan adalah miliGal

(mGal).

Persamaan (5) menunjukkan bahwa besarnya percepatan yang

disebabkan oleh gravitasi di bumi (g) adalah berbanding lurus dengan

massa bumi (M) dan berbanding terbalik dengan kuadrat jari-jari bumi (R).

Dalam metode gravitasi, pengukuran dilakukan terhadap nilai

komponen vertikal dari percepatan gravitasi di suatu tempat. Namun pada

kenyataannya, bentuk bumi tidak bulat sehingga terdapat variasi nilai

percepatan gravitasi untuk masing-masing tempat.

Hal-hal yang dapat mempengaruhi nilai percepatan gravitasi adalah

perbedaan derajat garis lintang, perbedaan ketinggian (topografi),

kedudukan bumi dalam tata surya, variasi rapat massa batuan di bawah

permukaan bumi, perbedaan elevasi tempat pengukuran, dan hal lain yang

dapat memberikan kontribusi nilai gravitasi, misalnya bangunan.

3. Potensial gravitasi distribusi massa

Potensial gravitasi adalah energi yang diperlukan untuk memindahkan

suatu massa dari suatu titik ke titik tertentu. Suatu benda dengan massa

tertentu dalam sistem ruang akan menimbulkan medan potensial di

sekitarnya. Dimana medan potensial bersifat konservatif, artinya usaha

yang dilakukan dalam suatu medan gravitasi tidak tergantung pada lintasan

yang ditempuhnya tetapi hanya tergantung pada posisi awal dan akhir

(Rosid, 2005). Medan potensial dapat dinyatakan sebagai gradien atau

potensial skalar (Blakely, 1996), melalui persamaan:

20

( )

Fungsi U pada persamaan di atas disebut potensial gravitasi, sedangkan

percepatan gravitasi g merupakan medan potensial. Tanda minus

menandakan bahwa arah gayaberat menuju ke titik yang dituju.

Dengan mengasumsikan bumi dengan massa M bersifat homogen dan

berbentuk bola dengan jari-jari R, potensial gravitasi di permukaan dapat

didefinisikan dengan persamaan:

( ) ( )

( )

( ) ∫ ( ) ∫

( ) ∫

Gambar 7. Potensial massa tiga dimensi (Telford, dkk., 1990).

Berdasarkan persamaan (9), potensial yang disebabkan oleh elemen

massa dm pada titik (x, y, z) dengan jarak r dari P(0, 0, 0) adalah:

dimana (x,y,z) adalah densitas dan r2 = x

2 + y

2 + z

2.

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

21

Potensial total dari massa adalah:

∫ ∫ ∫

karena g adalah percepatan gravitasi pada sumbu z (arah vertikal) dan

dengan asumsi konstan, maka:

(

) ∫ ∫ ∫

B. Model Bumi

1. Bola simetris, tidak berotasi

Pada model ini jari-jari bumi r = a, potensial di luar bumi adalah U =

GM/r dengan M = massa bumi, dan gayaberat di permukaan bumi g =

GM/a2. Potensial U konstan untuk r konstan. Jika kita asumsikan bidang

ekuipotensial memiliki jari-jari yang sama dengan bumi, maka bidang

ekuipotensial berada pada a = r dengan g konstan. Kenyataannya model

ini masih jauh dari bentuk bumi sebenarnya.

Gambar 8. Model bola simetris tidak berotasi (Noor, 2012).

(11)

(12)

22

2. Bola simetris, berotasi

Pada model ini diasumsikan bola yang berputar belum terpengaruh

oleh perubahan bentuk akibat sentrifugal. Akan tetapi, sentrifugal tersebut

ikut diperhitungkan, maka jari-jari r = a. Potensial gaya berat di luar bumi

U = GM/r. Percepatan gayaberat di luar bumi GM/r2. Bidang ekuipotensial

adalah bidang yang memiliki nilai resultan gayaberat dan potensial

sentrifugal konstan. Potensial gayaberat total UT = GM/r ditambah

potensial sentrifugal. Maka, bidang ekuipotensial sudah tidak berada pada

r = a, karena pengaruh sentrifugal akan semakin besar ke arah ekuator.

Pada kasus ini, bidang ekuipotensial akan berimpit dengan mean sea level.

Gambar 9. Model bola simetris berotasi (Noor, 2012).

3. Ellips simetris, berotasi

Pada model ini bentuk bola telah berubah menjadi ellips disebabkan

deformasi pada densitas di dalam bumi (dianggap homogen) oleh gaya

23

sentrifugal akibat rotasi. Deformasi ini lebih dikenal dengan flattening.

Adanya efek tersebut membuat potensial gayaberat total dikatakan terdiri

dari komponen potensial gaya berat U, potensial sentrifugal, dan

flattening. Selain itu, akan terdapat selisih jarak bidang ekuipotensial pada

kutub bumi dan ekuator yang cukup siginifikan.

Gambar 10. Model ellips simetris berotasi (Noor, 2012).

4. Ellipsoid

Pada model ini bentuk bumi sudah berupa ellips dan juga dipengaruhi

oleh sentrifugal akibat rotasi sama seperti model sebelumnya. Hanya saja

pada model ini bidang ekuipotensial langsung didefinisikan kedalam

bentuk geometris berupa elipsoidal dan memiliki potensial gaya berat total

yang konstan dipermukaannya. Bentuk geometris elipsoidal dengan

potensial gayaberat total konstan dipermukaan inilah yang disebut

ellipsoid. Namun, bentuk ini masih belum merupakan bentuk bumi yang

24

sebenarnya karena densitas bumi masih dianggap homogen dan belum

memperhitungkan efek topografi pada kerak bumi. Ellipsoid adalah ellips

yang diputar pada sumbu pendeknya.

Gambar 11. Model ellipsoid (Noor, 2012).

5. Geoid

Bentuk muka bumi yang sebenarnya jauh dari keteraturan dan sulit

dijelaskan dalam bentuk geometris. Untuk itu, disepakati bentuk muka

bumi berupa sebuah bentuk yang memiliki nilai potensial gravitasi yang

sama di permukaannya dengan berimpit pada mean sea level di tempat

yang cukup jauh dari daratan (Lowrie, 2011). Permukaan inilah yang

selanjutnya disebut geoid.

Geoid sendiri didefinisikan sebagai sebuah bidang ekuipotensial medan

gravitasi bumi yang umumnya berada di dalam massa topografi pada

daratan dan kurang lebih berimpit dengan mean sea level (msl) di lautan

(Ellmann, 2005). Disebutkan berimpit dengan mean sea level karena

25

mempertimbangkan sentrifugal akibat rotasi sama halnya pada model bumi

yang bulat simetris dan berotasi.

Pada daratan, distribusi densitas di kerak bumi sangat kompleks.

Adanya variasi densitas massa membuat gayaberat yang terukur pada

permukaan bumi menjadi bervariasi juga. Ditambah lagi dengan rotasi

bumi yang dapat mengakibatkan massa tersebut terdeformasi yang dapat

mempengaruhi gayaberat terukur pada suatu titik di permukaan bumi.

Keberadaan massa tersebut juga ikut mempengaruhi bentuk geoid. Jika

pada model pertama bentuk geoid akan mengikuti bentuk muka laut, maka

ketika faktor massa diperhitungkan bentuk geoid akan berubah karena

terdapat variasi densitas massa yang mengakibatkan perbedaan gayaberat

di sekitar massa. Sebagai penyesuaian bentuk bidang agar tetap memiliki

potensial gayaberat yang konstan dipermukaannya, bidang ekuipotensial

harus menonjol naik mengikuti pengaruh potensial gayaberat dari massa

tersebut. Tonjolan pada bidang ekuipotensial yang diukur dari ellipsoid

referensi ini dikenal dengan undulasi geoid h atau N.

Gambar 12. Undulasi geoid di atas ellipsoid referensi disebabkan adanya massa

lokal di bawah ellipsoid (Lowrie, 2011).

Local

Gravity Geoid

Ellipsoidal Mass

Excess

26

C. Koreksi Metode Gayaberat

Besar nilai gravitasi bergantung kepada lima faktor, yaitu lintang, elevasi

topografi daerah sekitar pengukuran, pasang surut bumi, dan variasi densitas

di bawah permukaan (Telford, dkk., 1990). Eksplorasi gravitasi lebih

menekankan pada perubahan besar nilai gravitasi oleh karena variasi densitas

di bawah permukaan. Sementara nilai gravitasi yang terukur pada alat

gravimeter tidak hanya berasal dari nilai gravitasi yang disebabkan oleh

variasi densitas di bawah permukaan, tetapi juga dari keempat faktor lainnya.

Koreksi dalam metode gravitasi diperlukan untuk menghilangkan faktor-

faktor lain yang mempengaruhi besar nilai gravitasi sehingga didapatkan nilai

gravitasi yang hanya disebabkan oleh pengaruh variasi densitas di bawah

permukaan. Berikut adalah koreksi-koreksi yang dilakukan kepada data

gravitasi lapangan (gread):

1. Koreksi pasang surut (tide correction)

Gambar 13. Pengaruh gravitasi bulan di titik P (Kadir, 2000).

c

27

Efek pasang surut menyebabkan perubahan hasil pengamatan

percepatan gravitasi yang disebabkan oleh interaksi gravitasi bulan dan

matahari terhadap bumi maupun terhadap gravimeter. Efek ini

menyebabkan variasi percepatan gravitasi yang bergantung waktu

sehingga termasuk ke dalam koreksi Temporal Based Variation.

Sebagaimana pengaruh gaya gravitasi bulan dan matahari menyebabkan

perubahan bentuk permukaan air laut, hal itu juga menyebabkan

berubahnya bentuk bumi (earth distortion). Karena batuan memberikan

gaya eksternal lebih kecil dibandingkan air, besarnya distorsi bumi di

bawah pengaruh gaya eksternal lebih kecil dibandingkan besarnya distorsi

air laut. Besarnya distorsi air laut akibat efek pasang surut ini terukur

dalam meter, sedangkan besarnya distorsi bumi terukur dalam sentimeter.

Distorsi ini menyebabkan perubahan percepatan gravitasi dikarenakan

perubahan bentuk bumi, sehingga jarak gravimeter terhadap pusat bumi

berubah (percepatan gravitasi berbanding terbalik dengan kuadarat jarak).

Distorsi bumi bervariasi untuk setiap lokasi, dan variasi percepatan

gravitasi akibat efek pasang surut ini bisa mencapai 0,2 mGal.

Untuk menghilangkan pengaruh dari efek pasang surut tersebut, maka

data gayaberat yang diperoleh perlu dilakukan koreksi yang dalam hal ini

adalah koreksi pasang surut (tidal correction). Persamaan yang digunakan

untuk menghitung percepatan pasang surut yang dihasilkan akibat bulan

dan matahari, sebagaimana mereka berinteraksi pada setiap titik di bumi

sebagai fungsi waktu, sudah diperkenalkan oleh Longman pada tahun

28

1959. Pengaruh gravitasi bulan di titik P pada permukaan bumi yang

terlihat pada Gambar 13 dapat diselesaikan melalui persamaan:

( ) (

)

* (

) (

)

+

dimana:

= sudut lintang

= sudut deklinasi

t = moon hour angle

c = jarak rata-rata ke bulan

2. Koreksi apungan (drift correction)

Gambar 14. Koreksi apungan (Reynolds, 1997).

Koreksi apungan merupakan koreksi pada data gravitasi, sebagai akibat

perbedaan pembacaan nilai gravitasi di stasiun yang sama pada waktu

yang berbeda oleh alat gravimeter (Gambar 14). Perbedaan tersebut

disebabkan karena terjadi guncangan pegas dan perubahan temperatur

(12)

Repeated value at

base station

Drift

Time (h)

Dri

ft o

f gra

vim

eter

(g.u

.)

29

pada alat gravimeter selama proses perjalanan dari satu stasiun ke stasiun

berikutnya. Komponen gravimeter dirancang dengan sistem keseimbangan

pegas yang dilengkapi dengan massa beban yang tergantung diujungnya.

Karena pegas yang tidak elastis sempurna, maka sistem pegas

mengembang dan menyusut perlahan sebagai fungsi waktu.

Untuk menghilangkan efek tersebut, proses akusisi data atau

pengukuran dirancang dalam suatu lintasan tertutup sehingga besar

penyimpangan tersebut dapat diketahui. Koreksi apungan diberikan oleh

persamaan (13) berikut ini:

( )

dimana:

Dn = koreksi drift pada titik n

gakhir = pembacaan gravimeter pada akhir looping

go = pembacaan gravimeter pada awal looping

takhir = waktu pembacaan pada akhir looping

to = waktu pembacaan pada awal looping

tn = waktu pembacaan pada stasiun n

3. Koreksi lintang (lattitude correction)

Koreksi lintang pada data gravitasi diperlukan sebagai akibat dari rotasi

bumi. Hasil dari rotasi bumi tersebut akan menyebabkan perbedaan nilai

percepatan gravitasi di seluruh permukaan bumi, yaitu bervariasi dari

ekuator ke kutub atau bervariasi terhadap lintang.

(13)

30

Gambar 15. Perbedaan nilai gayaberat di kutub dan khatulistiwa (Sarkowi, 2011).

Secara matematis, anomali medan gravitasi di topografi dapat

dinyatakan dalam bentuk persamaan berikut:

∆g(x,y,z) = gobs (x,y,z) – gteoritis (x,y,z)

dengan ∆g(x,y,z) merupakan anomali medan gravitasi di topografi, dan

gobs(x,y,z) adalah medan gravitasi observasi di topografi yang sudah

dikoreksikan terhadap koreksi pasang surut, koreksi tinggi alat dan koreksi

drift. Sedangkan gteoritis(x,y,z) merupakan medan gravitasi teoritis di

topografi.

Medan gravitasi teoritis yang ditentukan lebih awal adalah medan

gravitasi normal yang terletak pada bidang datum (pada ketinggian z=0)

sebagai titik referensi geodesi. Rumusan medan gravitasi normal pada

bidang datum ini telah ditetapkan oleh The International Association of

geodesy (IAG) yang diberi nama Geodetic Reference System 1980

(GRS80) sebagai fungsi lintang, yaitu:

g( )=(978032,700 (1 + 0,0053024 sin2 - 0,0000058 sin

2 )) (15)

(14)

Increase Radius

Earth Rotation

Excess mass

g = 9,83 m/s2

g = 9,78 m/s2

31

dengan adalah garis lintang.

Dari persamaan (14) terlihat bahwa semakin tinggi letak lintangnya,

maka semakin besar percepatan gravitasinya. Jadi, medan gravitasi bumi

cenderung bertambah besar ke arah kutub.

4. Koreksi udara bebas (free air correction)

Koreksi udara bebas merupakan koreksi yang disebabkan karena

pengaruh variasi ketinggian terhadap medan gravitasi bumi. Koreksi ini

dilakukan untuk menarik bidang pengukuran (P) ke bidang datum yaitu

bidang geoid (Po) (Gambar 16).

Gambar 16. Koreksi udara bebas terhadap data gayaberat (Zhou, dkk., 1990).

Perhitungan koreksi udara bebas (free air correction) dilakukan dengan

cara (Rosid, 2005):

g = G

(16)

(17)

FREE AIR CORRECTION FAC = - 0,3086H

Gravity observation point

Land surface

Heigh

t

Datum surface

sea level

32

Jika pertambahan jari-jari dinyatakan dalam bentuk ketinggian di

atas muka laut h, maka:

dimana g adalah besar nilai gravitasi absolut dan r adalah jari-jari bumi.

Dengan memasukkan nilai g dan r ke dalam persamaan (18), maka

besar koreksi udara bebas adalah:

dimana h adalah ketinggian dalam pengukuran gravitasi.

Koreksi udara bebas (free air correction) tidak memperhitungkan

massa batuan yang terdapat di antara stasiun pengukuran dengan bidang

geoid. Koreksi akan dijumlah jika titik pengukuran berada di atas geoid.

Karena semakin tinggi h, maka g akan semakin kecil sehingga untuk

menyamakan dengan bidang geoid koreksi harus ditambah. Dan juga

sebaliknya, koreksi akan dikurang jika titik pengukuran berada di bawah

geoid. Namun, pada umumnya koreksi ini dijumlah karena permukaan

bumi berada di atas bidang geoid.

5. Koreksi Bouguer (Bouguer correction)

Koreksi Bouguer memperhitungkan massa batuan yang terdapat di

antara stasiun pengukuran dengan bidang geoid. Koreksi ini dilakukan

dengan menghitung tarikan gravitasi yang disebabkan oleh batuan berupa

slab dengan ketebalan H dan densitas rata-rata ρ (Gambar 17).

Koreksi ini dihitung dengan persamaan (20) (Telford, dkk., 1990):

(18)

(19)

33

dimana:

= 3,14; G = 6,67 10-11

m3kg

-1det

-3; dalam gr/cm

3; dan h dalam meter,

maka:

mGal

Tanda koreksi Bouguer berbanding terbalik dengan koreksi udara

bebas. Pada koreksi Bouguer, jika titik pengukuran berada di atas bidang

geoid, maka koreksi akan dikurang. Hal ini dikarenakan kandungan massa

di atas bidang geoid membuat nilai g titik pengukuran lebih besar dari nilai

g pada bidang geoid, sehingga untuk menarik titik pengukuran ke bidang

geoid koreksi harus dikurang. Dan juga sebaliknya, jika titik pengukuran

berada di bawah bidang geoid, koreksi akan ditambah.

Gambar 17. Koreksi Bouguer (Zhou, dkk., 1990).

6. Koreksi medan (terrain correction)

Koreksi medan atau topografi dilakukan untuk mengoreksi adanya

pengaruh penyebaran massa yang tidak teratur di sekitar titik pengukuran.

(20)

Gravity observation point

BOUGUER CORRECTION

Datum surface

sea level

Land surface

34

Dalam koreksi Bouguer diasumsikan bahwa titik pengukuran di lapangan

berada pada suatu bidang datar yang sangat luas. Sedangkan seringkali

kenyataan di lapangan memiliki topografi yang berundulasi seperti adanya

lembah dan gunung. Maka jika hanya dilakukan koreksi bouguer saja

hasilnya akan kurang sempurna.

Gambar 18. Stasiun yang berada dekat dengan gunung (Reynolds, 1997).

Gambar 19. Stasiun yang berada dekat dengan lembah (Reynolds, 1997).

Jika stasiun pengukuran berada dekat dengan gunung, maka akan

terdapat gaya ke atas yang menarik pegas pada gravimeter, sehingga akan

mengurangi nilai pembacaan gravitasi (Gambar 18).

Exces mass

Mass deficiency

35

Sementara jika stasiun pengukuran berada dekat dengan lembah, maka

akan ada gaya ke bawah yang hilang sehingga pegas pada gravimeter

tertarik ke atas. Hal ini akan mengurangi pembacaan nilai gravitasi

(Gambar 19).

Dengan demikian pada kedua kondisi tersebut, koreksi medan

ditambahkan kepada nilai gravitasi. Cara perhitungan koreksi topografi

dapat dilakukan dengan menggunakan Hammer Chart yang dikembangkan

oleh Sigmund Hammer. Hammer Chart membagi area ke dalam beberapa

zona dan kompartemen (segmen). Hammer melakukan pendekatan

pengaruh topografi dengan suatu cincin yang terlihat pada Gambar 20 di

bawah ini.

Gambar 20. Hammer Chart (Reynolds, 1997).

Menurut Reynolds (1997), besarnya koreksi topografi dengan

menggunakan pendekatan cincin silinder dituliskan dalam persamaan (22):

(

* √

√ +) mGal (22)

36

dimana:

N = jumlah kompartemen pada zona yang digunakan

r2 = radius luar (m)

r1 = radius dalam (m)

z = perbedaan ketinggian rata-rata kompartemen dan titik pengukuran

Sehingga besar nilai koreksi medan pada setiap stasiun pengukuran

gayaberat adalah total dari koreksi medan (TC) sektor-sektor dalam satu

stasiun pengukuran tersebut.

Setelah melakukan proses koreksi di atas, maka akan didapatkan nilai

yang disebut Anomali Bouguer (Bouguer Anomaly). Anomali Bouguer

adalah anomali yang disebabkan oleh variasi densitas secara lateral pada

batuan di kerak bumi yang telah berada pada bidang referensi yaitu bidang

geoid. Persamaan untuk mendapatkan nilai anomali Bouguer (gAB) adalah:

dimana:

= nilai pembacaan gravitasi di lapangan

= koreksi pasang surut

= koreksi apungan

= koreksi lintang

= koreksi udara bebas

= koreksi Bouguer

(23)

(24)

37

Nilai anomali Bouguer di atas sering disebut sebagai Complete Bouguer

Anomaly (CBA). Sedangkan anomali Bouguer yang didapatkan tanpa

memasukkan koreksi medan ke dalam perhitungan disebut Simple Bouguer

Anomaly (SBA). Sementara nilai lain yang biasa digunakan untuk survei

daerah laut adalah Free Air Anomaly (FAA). FAA adalah nilai anomali

Bouguer yang tidak memperhitungkan efek massa batuan sehingga tidak

memasukkan koreksi Bouguer ke dalam perhitungan.

D. Estimasi Densitas Permukaan Rata-Rata

Dalam eksplorasi geofisika dengan metode gravitasi dimana besaran yang

menjadi sasaran utama adalah rapat masa (kontras densitas), maka perlu

diketahui distribusi harga rapat massa batuan baik untuk keperluan

pengolahan data maupun interpretasi.

Rapat massa batuan dipengaruhi oleh beberapa faktor diantaranya adalah

rapat massa butir atau matriks pembentuknya, porositas, dan kandungan

fluida yang terdapat dalam pori-porinya. Namun demikian, terdapat banyak

faktor lain yang ikut mempengaruhi rapat massa batuan, diantaranya adalah

proses pembentukan, pemadatan (kompaksi) akibat tekanan, kedalaman, serta

derajat pelapukan yang telah dialami batuan tersebut.

Ada beberapa cara yang dapat digunakan untuk menentukan rapat massa

rata-rata, yaitu:

1. Analisis batuan daerah survei dari pengukuran di laboratorium

2. Metode Nettleton

3. Metode Parasnis

38

Analisis batuan daerah survei merupakan penentuan rapat massa rata-rata

batuan yang dilakukan secara kualitatif, sedangkan Metode Nettleton dan

Metode Parasnis merupakan penentuan rapat massa rata-rata batuan yang

dilakukan secara kuantitatif.

1. Metode nettleton

Gambar 21. Estimasi rapat massa dengan metode Nettleton (Telford, dkk., 1990).

Metode ini didasarkan pada pengertian tentang koreksi Bouguer dan

koreksi medan, dimana jika rapat massa yang digunakan sesuai dengan

rapat massa permukaan, maka penampang atau profil anomali gayaberat

topografi

Gayaberat

obsevasi

Anomali Bouguer Terbaik

Gb

(m

Gal)

G

ob

s (m

Gal)

E

leva

si

39

menjadi smooth. Dalam aplikasi, penampang dipilih melalui daerah

topografi kasar dan tidak ada anomali gayaberat target.

Anomali Bouguer titik amat pada suatu lintasan diplot dengan berbagai

macam harga rapat massa ( ). Nilai densitas permukaan diperoleh apabila

nilai anomali gayaberat yang dihasilkan tidak mempunyai korelasi dengan

topografi di daerah tersebut.

2. Metode parasnis

Metode parasnis didasarkan pada persamaan anomali Bouguer dengan

asumsi nilai anomali Bouguernya adalah nol.

dimana :

CBA = Anomali Bouguer Lengkap

= harga percepatan gravitasi observasi

= harga percepatan gravitasi normal

= koreksi udara bebas

= koreksi Bouguer

Dari asumsi tersebut diperoleh:

atau

( )

Dari persamaan (27) bila ruas kiri dinyatakan sebagai variabel y dan

ruas kanan sebagai variabel x, dan kedua variabel diplot sebaran datanya

pada koordinat kartesian, maka dapat dicari suatu persamaan garis linier

(27)

(25)

(26)

40

dengan metode kuadrat terkecil (least square). Persamaan regresi yang

dihasilkan adalah:

Dimana nilai a adalah nilai rapat masa batuan rata-rata.

Gambar 22. Grafik yang menunjukkan hubungan antara

dan ( ) (Sarkowi, 2011).

E. Analisis Spektrum

Analisis spektrum merupakan proses Transformasi Fourier (transformasi

dari domain waktu ke dalam domain frekuensi) untuk mengubah suatu sinyal

menjadi penjumlahan beberapa sinyal sinusoidal dengan berbagai frekuensi.

Hasil dari transformasi ini akan berupa spektrum amplitude dan spektrum

phase sehingga dapat memperkirakan kedalaman dengan mengestimasi nilai

bilangan gelombang (k) dan amplitudo (A) yang dapat digunakan untuk

menghitung lebar jendela filter yang selanjutnya dijadikan sebagai input data

dalam proses filtering, pemisahan anomali regional, dan anomali residual.

(28)

41

Blakely (1995) menurunkan spektrum dari potensial gayaberat yang

teramati pada suatu bidang horizontal.

( ) (

) (

)

| |( )

| |

Berdasarkan kedua persamaan diatas maka diperoleh:

( ) | |(

)

| |

Sehingga Transformasi Fourier anomali gayaberat pada lintasan yang

diinginkan adalah:

( ) (

)

(

) ( )

| |( )

dimana:

= anomali gayaberat

k = bilangan gelombang

Zo = ketinggian titik amat

Z = kedalaman benda anomali

Bila distribusi densitas bersifat random dan tidak ada korelasi antara

masing-masing nilai gayaberat, maka =1, sehingga hasil Transformasi

Fourier anomali gayaberat menjadi:

| |( )

dimana:

A = amplitudo

C = konstanta

(29)

(30)

(31)

(32)

42

Selanjutnya dengan melogaritmakan hasil Transformasi Fourier

tersebut di atas, maka akan diperoleh hubungan antara amplitudo (A)

dengan bilangan gelombang (k) dan kedalaman ( ):

( )| |

Hasil logaritma ini menunjukkan bahwa kedalaman rata-rata bidang

diskontinuitas rapat massa akan berbanding dengan kemiringan grafik

spektrum. Kemudian dari hubungan itu pula, dengan menggunakan metode

least square, maka estimasi kedalaman anomali adalah gradien dari

masing-masing grafik spektrum pada tiap lintasan. Hubungan panjang

gelombang (λ) dengan k diperoleh dari persamaan Blakely (1995):

dengan n adalah lebar jendela.

Gambar 23. Grafik hubungan antara amplitudo dan bilangan gelombang pada

analisis spektrum (Sarkowi, 2011).

(33)

(34)

(35)

Analisis Spektrum

Zona Regional

Zona Residual

Zona Noise

43

Maka didapatkan estimasi lebar jendelanya yaitu:

Ilustrasi penentuan kedalaman proses regresi data logaritma hasil

Transformasi Fourier ini akan ditunjukan pada Gambar 23.

F. Moving Average

Anomali Bouguer merupakan suatu nilai anomali gaya berat yang

disebabkan oleh perbedaan densitas batuan pada daerah dangkal dan daerah

yang lebih dalam di bawah permukaan. Efek yang berasal dari batuan pada

daerah dangkal disebut anomali residual, sementara efek yang berasal dari

batuan pada daerah yang lebih dalam disebut anomali regional. Proses ini

bertujuan untuk memisahkan antara anomali residual dengan anomali

regional yang terdapat pada anomali Bouguer. Selain itu, hasil pemisahan

anomali regional dan residual berguna sebagai bahan untuk interpretasi

kualitatif tentang kondisi bawah permukaan sebelum melakukan pembuatan

model struktur bawah permukaan (interpretasi kuantitatif).

Moving average window filter merupakan suatu metode atau teknik

pemisahan yang jika dianalisis dari spektrumnya akan menyerupai low pass

filter sehingga output dari proses ini adalah frekuensi rendah dari anomali

Bouguer yang akan merepresentasikan kedalaman yang lebih dalam

(regional). Karena frekuensi rendah ini mempunyai penetrasi yang lebih

dalam. Selanjutnya anomali residual didapatkan dengan cara mengurangkan

anomali regional dari anomali Bouguernya.

(36)

44

Persamaan moving average untuk lebar window N N adalah:

(

) ∑ ∑

( )

untuk anomali residualnya adalah:

( ) ( ) ( )

dan untuk estimasi lebar jendelanya didapatkan dari:

dimana:

= grid spasi

= frekuensi cut-off regional dan residual

Penerapannya pada peta 2D dimana harga pada suatu titik dapat

dihitung dengan merata-ratakan semua nilai di dalam sebuah kotak

persegi dengan titik pusat adalah titik yang akan dihitung harga (Gambar

24) (Robinson, 1988). Contoh penerapannya dengan jendela 5 5 pada data

2D sesuai dengan persamaan (40) berikut:

[( ) ( ) ( ) ( )]

Gambar 24. Sketsa moving average 2-D jendela 5 5 (Robinson, 1988).

(37)

(38)

(39)

(40)

45

Berdasarkan karakter spektrum dari filter ini, lebar window N N

berbanding langsung dengan low cut dari panjang gelombang atau high cut

frekuensi spasial dari low-pass filter, sehingga dengan bertambahnya lebar

window akan menyebabkan bertambahnya panjang gelombang regional

output. Dengan kata lain, lebar window terkecil menyebabkan harga

regionalnya mendekati anomali Bouguernya.

G. Pemodelan Struktur Bawah Permukaan

Pemodelan struktur bawah permukaan dilakukan dengan cara pemodelan

ke depan (forward modelling). Pemodelan ke depan adalah suatu proses

perhitungan data yang secara teoritis akan teramati di permukaan bumi jika

diketahui harga parameter model bawah permukaan tertentu (Grandis, 2009).

Dalam pemodelan dicari suatu model yang cocok atau fit dengan data

lapangan, sehingga model tersebut dianggap mewakili kondisi bawah

permukaan di daerah pengukuran.

1. Metode Talwani

Menurut Talwani (1959), pemodelan ke depan untuk menghitung efek

gayaberat model benda bawah permukaan dengan penampang berbentuk

sembarang yang dapat diwakili oleh suatu poligon bersisi n dinyatakan

sebagai integral garis sepanjang sisi-sisi poligon:

∮

Integral garis tertutup tersebut dapat dinyatakan sebagai jumlah integral

garis tiap sisinya, sehingga dapat ditulis sebagai berikut:

(41)

46

∑

Model benda anomali sembarang oleh Talwani didekati dengan

poligon-poligon dimana sistem koordinat kartesian yang digambarkan

seperti di atas. Untuk benda poligon sederhana seperti pada Gambar 25,

dapat ditunjukan dengan persamaan sebagai berikut:

∫

sehingga diperoleh:

,( ) ( (

( )-

dimana,

(

)

(

)

(

)

Gambar 25. Efek gravitasi poligon menurut Talwani (Talwani, 1959).

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

47

Untuk keperluan komputasi, persamaan (44) ditulis dalam bentuk yang

lebih sederhana, dengan mensubstitusikan harga-harga sin , cos , tan

dengan koordinat titik poligon dalam x dan z sebagai berikut:

{

(

)}

2. Efek gravitasi benda 2,5D

Perhitungan dua dimensi (2D) sepanjang profil yang tegak lurus

terhadap sumbu dari benda prismatik yang mempunyai panjang tak

berhingga telah dikenal dalam interpretasi kuantitatif metode gravitasi.

Metode perhitungan tersebut banyak digunakan karena perhitungannya

dilakukan dengan mengandaikan struktur geologi sebagai struktur yang

mendekati benda dua dimensi sehingga akan mempermudah perhitungan,

dan data yang diperoleh biasanya merupakan profil yang tegak lurus

terhadap strike. Pada kenyataannya setiap benda atau struktur pasti

mempunyai ujung. Oleh karena itu, untuk lebih mendekati keadaan alam

yang sebenarnya, maka diperkenalkan benda 2,5 dimensi. Benda 2,5

dimensi yaitu benda 3 dimensi yang mempunyai penampang yang sama

dengan panjang berhingga. Medan gravitasi pada titik yang berada di luar

suatu massa yang terdistribusi kontinyu dengan volume V (Gambar 26)

adalah:

( ) ( )

dengan potensial gravitasi:

( ) ∫ ( )

| |

(47)

(48)

(49)

48

Gambar 26. Medan gravitasi pada titik P( ) yang berada di luar suatu massa

yang terdistribusi kontinyu ( ) dengan volume V (Cady, 1980).

Gambar 27 menunjukkan benda 2,5 dimensi. Sumbu y paralel dengan

strike benda dan pengamatan dilakukan sepanjang profil pada bidang x-z.

Sumbu z positif ke bawah.

Gambar 27. Geometri benda 2,5D dengan sumbu z positif ke bawah (Cady, 1980).

49

Berdasarkan persamaan (48) dan (49), maka diperoleh persamaan:

Persamaan (50), (51), dan (52) merupakan turunan parsial pertama dari

integral volume. Dengan mengasumsikan densitas homogen, persamaan

(50) menjadi:

∭

( )

Fz dipilih untuk integrasi yang lebih detail karena total medan gravitasi

yang terukur memiliki arah yang vertikal yang disebut efek gravitasi.

Dalam metode gravitasi, strike benda dapat memiliki panjang y1 dan y2

yang berbeda. Untuk menghilangkan ambiguitas tanda, y1 dan y2 memiliki

tanda positif pada bidang x-z. y1 positif pada arah +y dan y2 positif pada

arah –y.

Berdasarkan persamaan (53), perhitungan Fz dari –y2 ke 0 dan dari 0 ke

y1 adalah:

∬[ ( ) ( ) ( )]

dengan √ dan √

Persamaan (54) pada bidang z adalah:

∫ [ ( ) ( ) ( )]

dx

Integral pada poligon dapat dimasukkan pada integral garis di sekitar

poligon dengan z sebagai fungsi x di tiap sisinya (Gambar 28), maka:

(51)

(52)

(53)

(54)

(55)

(50)

50

dengan:

dan merupakan batasan z dari perluasan sisi i. Persamaan (56) menjadi:

( )

dengan:

∮ [ ( )

]

dan

∮ [ √ ( ) ]

untuk n = 1 dan 2. Perhitungan ini dilakukan searah dengan jarum jam

pada N sisi poligon. Percepatan gravitasi g=Fz dari benda di bawah titik

amat dengan kontras densitas negatif bernilai positif ke bawah sepanjang

sumbu z.

Gambar 28. Hubungan x-z pada satu sisi cross section berbentuk poligon

(Cady, 1980).

(56)

(57)

(58)

(59)

51

H. Analisis Derivative

1. First Horizontal Derivative (FHD)

Dengan mengambil derivative dari gz di sepanjang sumbu x atau y,

maka didapat komponen FHD dari gayaberat untuk benda 2D sesuai

dengan persamaan (58) (Telford, dkk., 1976).

∬

Perhitungan FHD dihitung dengan menggunakan persamaan:

( ) ( )

dimana merupakan nilai anomali Bouguer (mGal) dan selisih jarak

lintasan (meter).

2. Second Vertical Derivative (SVD)

Metode SVD dapat digunakan untuk membantu interpretasi jenis

struktur terhadap data anomali Bouguer yang diakibatkan oleh adanya

struktur patahan turun atau patahan naik (Sarkowi, 2011).

Medan potensial U dengan sumber tidak berada di dalamnya akan

memenuhi persamaan Laplace sesuai dengan persamaan (62) (Telford,

dkk., 1976).

Untuk metode gayaberat, persamaannya sesuai dengan persamaan (63)

dan (64) berikut:

(60)

(62)

(63)

(61)

52

Untuk SVD persamaannya sesuai dengan persamaan (65) (Telford, dkk.,

1976) berikut:

(

)

Untuk data 1D persamaannya menjadi persamaan (66) berikut:

(

)

Berdasarkan persamaan di atas, tampak bahwa untuk suatu penampang

1D, anomali Second Vertical Derivative (SVD) (

) dapat dihitung dari

turunan satu kali terhadap data First Horizontal Derivative (FHD)

(

(

)). Sedangkan kriteria untuk menentukan jenis struktur patahan

adalah sebagai berikut:

2.1 Untuk sedimentary basin atau patahan turun berlaku:

(

)

|(

) |

2.2 Untuk granit batolit/intrusi dan patahan naik berlaku:

(

)

|(

) |

Untuk data anomali gayaberat dalam grid teratur, anomali Second

Vertical Derivative (SVD) dapat diturunkan melalui proses filtering,

dimana persamaan konvolusinya diberikan oleh persamaan (69):

( ) ∫ ∫ ( ) ( )

(65)

(66)

(69)

(64)

(67)

(68)

53

dimana F adalah filter Second Vertical Derivative (SVD) sesuai persamaan

(65) dan adalah anomali gayaberat sebagai data input. Berikut Gambar

27 merupakan contoh operator filter Second Vertical Derivative (SVD).

Gambar 29. Macam-macam koefisien filter SVD (Sarkowi, 2011).