Click here to load reader

III. TEORI DASAR A. Prinsip Dasar Metode Gayaberatdigilib.unila.ac.id/7539/16/BAB III.pdf · III. TEORI DASAR A. Prinsip Dasar Metode Gayaberat 1. Teori gayaberat Newton Teori gayaberat

  • View
    230

  • Download
    2

Embed Size (px)

Text of III. TEORI DASAR A. Prinsip Dasar Metode Gayaberatdigilib.unila.ac.id/7539/16/BAB III.pdf · III....

  • III. TEORI DASAR

    A. Prinsip Dasar Metode Gayaberat

    1. Teori gayaberat Newton

    Teori gayaberat didasarkan oleh hukum Newton tentang gravitasi.

    Hukum gravitasi Newton yang menyatakan bahwa gaya tarik menarik

    antara dua buah benda adalah sebanding dengan massa kedua benda

    tersebut dan berbanding terbalik dengan jarak kuadrat antara pusat massa

    kedua benda tersebut. Hukum gravitasi Newton (Gambar 6):

    Gambar 6. Gaya tarik menarik merarik antara dua benda m1 dan m2.

    ( )

    dengan:

    F = gaya tarik menarik (Newton)

    G = konstanta universal gayaberat (6,67 x 10-11

    m3kg

    -1s

    -2)

    (1)

  • 18

    m1 = massa benda 1 (kg)

    m2 = massa benda 2 (kg)

    r = jarak antar pusat massa (m)

    Untuk gaya gravitasi antara benda bermassa m dengan bumi bermassa

    M, adalah:

    karena jarak benda ke permukaan bumi sangat kecil, maka nilai r

    sebanding dengan nilai jari-jari bumi (R), sehingga persamaan (2) menjadi:

    2. Percepatan gravitasi

    Dalam pengukuran gayaberat yang diukur bukan gaya gravitasi F,

    melainkan percepatan gravitasi g. Hubungan antara keduanya dijelaskan

    oleh hukum Newton II yang menyatakan bahwa sebuah gaya adalah hasil

    perkalian dari massa dengan percepatan. Hukum Newton mengenai gerak

    Newton, yaitu:

    F = mg

    Interaksi antara bumi (bermassa M) dengan benda di permukaan bumi

    (bermassa m) sejauh jarak R dari pusat keduanya juga memenuhi hukum

    tersebut, maka dari persamaan (3) dan (4) didapatkan:

    g = G

    dimana satuan g adalah m/det2 dalam SI, atau Gal (Galileo), yaitu 1

    cm/det2. Karena pengukuran dilakukan dalam variasi percepatan gravitasi

    (2)

    (3)

    (4)

    (5)

  • 19

    yang begitu kecil, maka satuan yang sering digunakan adalah miliGal

    (mGal).

    Persamaan (5) menunjukkan bahwa besarnya percepatan yang

    disebabkan oleh gravitasi di bumi (g) adalah berbanding lurus dengan

    massa bumi (M) dan berbanding terbalik dengan kuadrat jari-jari bumi (R).

    Dalam metode gravitasi, pengukuran dilakukan terhadap nilai

    komponen vertikal dari percepatan gravitasi di suatu tempat. Namun pada

    kenyataannya, bentuk bumi tidak bulat sehingga terdapat variasi nilai

    percepatan gravitasi untuk masing-masing tempat.

    Hal-hal yang dapat mempengaruhi nilai percepatan gravitasi adalah

    perbedaan derajat garis lintang, perbedaan ketinggian (topografi),

    kedudukan bumi dalam tata surya, variasi rapat massa batuan di bawah

    permukaan bumi, perbedaan elevasi tempat pengukuran, dan hal lain yang

    dapat memberikan kontribusi nilai gravitasi, misalnya bangunan.

    3. Potensial gravitasi distribusi massa

    Potensial gravitasi adalah energi yang diperlukan untuk memindahkan

    suatu massa dari suatu titik ke titik tertentu. Suatu benda dengan massa

    tertentu dalam sistem ruang akan menimbulkan medan potensial di

    sekitarnya. Dimana medan potensial bersifat konservatif, artinya usaha

    yang dilakukan dalam suatu medan gravitasi tidak tergantung pada lintasan

    yang ditempuhnya tetapi hanya tergantung pada posisi awal dan akhir

    (Rosid, 2005). Medan potensial dapat dinyatakan sebagai gradien atau

    potensial skalar (Blakely, 1996), melalui persamaan:

  • 20

    ( )

    Fungsi U pada persamaan di atas disebut potensial gravitasi, sedangkan

    percepatan gravitasi g merupakan medan potensial. Tanda minus

    menandakan bahwa arah gayaberat menuju ke titik yang dituju.

    Dengan mengasumsikan bumi dengan massa M bersifat homogen dan

    berbentuk bola dengan jari-jari R, potensial gravitasi di permukaan dapat

    didefinisikan dengan persamaan:

    ( ) ( )

    ( )

    ( ) ( )

    ( )

    Gambar 7. Potensial massa tiga dimensi (Telford, dkk., 1990).

    Berdasarkan persamaan (9), potensial yang disebabkan oleh elemen

    massa dm pada titik (x, y, z) dengan jarak r dari P(0, 0, 0) adalah:

    dimana (x,y,z) adalah densitas dan r2 = x2 + y2 + z2.

    (6)

    (7)

    (8)

    (9)

    (10)

  • 21

    Potensial total dari massa adalah:

    karena g adalah percepatan gravitasi pada sumbu z (arah vertikal) dan

    dengan asumsi konstan, maka:

    (

    )

    B. Model Bumi

    1. Bola simetris, tidak berotasi

    Pada model ini jari-jari bumi r = a, potensial di luar bumi adalah U =

    GM/r dengan M = massa bumi, dan gayaberat di permukaan bumi g =

    GM/a2. Potensial U konstan untuk r konstan. Jika kita asumsikan bidang

    ekuipotensial memiliki jari-jari yang sama dengan bumi, maka bidang

    ekuipotensial berada pada a = r dengan g konstan. Kenyataannya model

    ini masih jauh dari bentuk bumi sebenarnya.

    Gambar 8. Model bola simetris tidak berotasi (Noor, 2012).

    (11)

    (12)

  • 22

    2. Bola simetris, berotasi

    Pada model ini diasumsikan bola yang berputar belum terpengaruh

    oleh perubahan bentuk akibat sentrifugal. Akan tetapi, sentrifugal tersebut

    ikut diperhitungkan, maka jari-jari r = a. Potensial gaya berat di luar bumi

    U = GM/r. Percepatan gayaberat di luar bumi GM/r2. Bidang ekuipotensial

    adalah bidang yang memiliki nilai resultan gayaberat dan potensial

    sentrifugal konstan. Potensial gayaberat total UT = GM/r ditambah

    potensial sentrifugal. Maka, bidang ekuipotensial sudah tidak berada pada

    r = a, karena pengaruh sentrifugal akan semakin besar ke arah ekuator.

    Pada kasus ini, bidang ekuipotensial akan berimpit dengan mean sea level.

    Gambar 9. Model bola simetris berotasi (Noor, 2012).

    3. Ellips simetris, berotasi

    Pada model ini bentuk bola telah berubah menjadi ellips disebabkan

    deformasi pada densitas di dalam bumi (dianggap homogen) oleh gaya

  • 23

    sentrifugal akibat rotasi. Deformasi ini lebih dikenal dengan flattening.

    Adanya efek tersebut membuat potensial gayaberat total dikatakan terdiri

    dari komponen potensial gaya berat U, potensial sentrifugal, dan

    flattening. Selain itu, akan terdapat selisih jarak bidang ekuipotensial pada

    kutub bumi dan ekuator yang cukup siginifikan.

    Gambar 10. Model ellips simetris berotasi (Noor, 2012).

    4. Ellipsoid

    Pada model ini bentuk bumi sudah berupa ellips dan juga dipengaruhi

    oleh sentrifugal akibat rotasi sama seperti model sebelumnya. Hanya saja

    pada model ini bidang ekuipotensial langsung didefinisikan kedalam

    bentuk geometris berupa elipsoidal dan memiliki potensial gaya berat total

    yang konstan dipermukaannya. Bentuk geometris elipsoidal dengan

    potensial gayaberat total konstan dipermukaan inilah yang disebut

    ellipsoid. Namun, bentuk ini masih belum merupakan bentuk bumi yang

  • 24

    sebenarnya karena densitas bumi masih dianggap homogen dan belum

    memperhitungkan efek topografi pada kerak bumi. Ellipsoid adalah ellips

    yang diputar pada sumbu pendeknya.

    Gambar 11. Model ellipsoid (Noor, 2012).

    5. Geoid

    Bentuk muka bumi yang sebenarnya jauh dari keteraturan dan sulit

    dijelaskan dalam bentuk geometris. Untuk itu, disepakati bentuk muka

    bumi berupa sebuah bentuk yang memiliki nilai potensial gravitasi yang

    sama di permukaannya dengan berimpit pada mean sea level di tempat

    yang cukup jauh dari daratan (Lowrie, 2011). Permukaan inilah yang

    selanjutnya disebut geoid.

    Geoid sendiri didefinisikan sebagai sebuah bidang ekuipotensial medan

    gravitasi bumi yang umumnya berada di dalam massa topografi pada

    daratan dan kurang lebih berimpit dengan mean sea level (msl) di lautan

    (Ellmann, 2005). Disebutkan berimpit dengan mean sea level karena

  • 25

    mempertimbangkan sentrifugal akibat rotasi sama halnya pada model bumi

    yang bulat simetris dan berotasi.

    Pada daratan, distribusi densitas di kerak bumi sangat kompleks.

    Adanya variasi densitas massa membuat gayaberat yang terukur pada

    permukaan bumi menjadi bervariasi juga. Ditambah lagi dengan rotasi

    bumi yang dapat mengakibatkan massa tersebut terdeformasi yang dapat

    mempengaruhi gayaberat terukur pada suatu titik di permukaan bumi.

    Keberadaan massa tersebut juga ikut mempengaruhi bentuk geoid. Jika

    pada model pertama bentuk geoid akan mengikuti bentuk muka laut, maka

    ketika faktor massa diperhitungkan bentuk geoid akan berubah karena

    terdapat variasi densitas massa yang mengakibatkan perbedaan gayaberat

    di sekitar massa. Sebagai penyesuaian bentuk bidang agar tetap memiliki

    potensial gayaberat yang konstan dipermukaannya, bidang ekuipotensial

    harus menonjol naik mengikuti pengaruh potensial gayaberat dari massa

    tersebut. Tonjolan pada bidang ekuipotensial yang diukur dari ellipsoid

    referensi ini dikenal dengan undulasi geoid h atau N.

    Gambar 12. Undulasi geoid di atas ellipsoid referensi disebabkan adanya massa

    lokal di bawah ellipsoid (Lowrie, 2011).

    Local

    Gravity Geoid

    Ellipsoidal Mass

    Excess

  • 26

    C. Koreksi Metode Gayaberat

    Besar nilai gravitasi bergantung kepada lima faktor, yaitu lintang, elevasi

    topografi daerah sekitar pengukuran, pasang surut bumi, dan variasi densitas

    di bawah permukaan (Telford, dkk., 1990). Eksplorasi gravitasi lebih

    menekankan pada perubahan besar nilai gravitasi oleh karena variasi densitas

    di bawah permukaan. Sementara nilai gravitasi yang terukur pada alat

    gravimeter tidak hanya berasal dari nilai gravitasi yang disebabkan oleh

    variasi densitas di bawah permukaan, tetapi juga dari keempat faktor lainnya.

    Koreksi dalam metode gravitasi diperlukan untuk menghilangkan faktor-

    faktor lain yang mempengaruhi besar nilai gravitasi sehingga didapatkan nilai

    gravitasi yang hanya disebabkan oleh pengaruh variasi densitas di bawah

    permukaan. Berikut adalah koreksi-koreksi yang dilakukan kepada data

    gravitasi lapangan (gread):

    1. Koreksi pasang surut (tide correction)

    Gambar 13. Pengaruh gravitasi bulan di titik P (Kadir, 2000).

    c

  • 27

    Efek pasang surut menyebabkan perubahan hasil pengamatan

    percepatan gravitasi yang disebabkan oleh interaksi gravitasi bulan dan

    matahari terhadap bumi maupun terhadap gravimeter. Efek ini

    menyebabkan variasi percepatan gravitasi yang bergantung waktu

    sehingga termasuk ke dalam koreksi Temporal Based Variation.

    Sebagaimana pengaruh gaya gravitasi bulan dan matahari menyebabkan

    perubahan bentuk permukaan air laut, hal itu juga menyebabkan

    berubahnya bentuk bumi (earth distortion). Karena batuan memberikan

    gaya eksternal lebih kecil dibandingkan air, besarnya distorsi bumi di

    bawah pengaruh gaya eksternal lebih kecil dibandingkan besarnya distorsi

    air laut. Besarnya distorsi air laut akibat efek pasang surut ini terukur

    dalam meter, sedangkan besarnya distorsi bumi terukur dalam sentimeter.

    Distorsi ini menyebabkan perubahan percepatan gravitasi dikarenakan

    perubahan bentuk bumi, sehingga jarak gravimeter terhadap pusat bumi

    berubah (percepatan gravitasi berbanding terbalik dengan kuadarat jarak).

    Distorsi bumi bervariasi untuk setiap lokasi, dan variasi percepatan

    gravitasi akibat efek pasang surut ini bisa mencapai 0,2 mGal.

    Untuk menghilangkan pengaruh dari efek pasang surut tersebut, maka

    data gayaberat yang diperoleh perlu dilakukan koreksi yang dalam hal ini

    adalah koreksi pasang surut (tidal correction). Persamaan yang digunakan

    untuk menghitung percepatan pasang surut yang dihasilkan akibat bulan

    dan matahari, sebagaimana mereka berinteraksi pada setiap titik di bumi

    sebagai fungsi waktu, sudah diperkenalkan oleh Longman pada tahun

  • 28

    1959. Pengaruh gravitasi bulan di titik P pada permukaan bumi yang

    terlihat pada Gambar 13 dapat diselesaikan melalui persamaan:

    ( ) (

    )

    * (

    ) (

    )

    +

    dimana:

    = sudut lintang

    = sudut deklinasi

    t = moon hour angle

    c = jarak rata-rata ke bulan

    2. Koreksi apungan (drift correction)

    Gambar 14. Koreksi apungan (Reynolds, 1997).

    Koreksi apungan merupakan koreksi pada data gravitasi, sebagai akibat

    perbedaan pembacaan nilai gravitasi di stasiun yang sama pada waktu

    yang berbeda oleh alat gravimeter (Gambar 14). Perbedaan tersebut

    disebabkan karena terjadi guncangan pegas dan perubahan temperatur

    (12)

    Repeated value at

    base station

    Drift

    Time (h)

    Dri

    ft o

    f gra

    vim

    eter

    (g.u

    .)

  • 29

    pada alat gravimeter selama proses perjalanan dari satu stasiun ke stasiun

    berikutnya. Komponen gravimeter dirancang dengan sistem keseimbangan

    pegas yang dilengkapi dengan massa beban yang tergantung diujungnya.

    Karena pegas yang tidak elastis sempurna, maka sistem pegas

    mengembang dan menyusut perlahan sebagai fungsi waktu.

    Untuk menghilangkan efek tersebut, proses akusisi data atau

    pengukuran dirancang dalam suatu lintasan tertutup sehingga besar

    penyimpangan tersebut dapat diketahui. Koreksi apungan diberikan oleh

    persamaan (13) berikut ini:

    ( )

    dimana:

    Dn = koreksi drift pada titik n

    gakhir = pembacaan gravimeter pada akhir looping

    go = pembacaan gravimeter pada awal looping

    takhir = waktu pembacaan pada akhir looping

    to = waktu pembacaan pada awal looping

    tn = waktu pembacaan pada stasiun n

    3. Koreksi lintang (lattitude correction)

    Koreksi lintang pada data gravitasi diperlukan sebagai akibat dari rotasi

    bumi. Hasil dari rotasi bumi tersebut akan menyebabkan perbedaan nilai

    percepatan gravitasi di seluruh permukaan bumi, yaitu bervariasi dari

    ekuator ke kutub atau bervariasi terhadap lintang.

    (13)

  • 30

    Gambar 15. Perbedaan nilai gayaberat di kutub dan khatulistiwa (Sarkowi, 2011).

    Secara matematis, anomali medan gravitasi di topografi dapat

    dinyatakan dalam bentuk persamaan berikut:

    g(x,y,z) = gobs (x,y,z) gteoritis (x,y,z)

    dengan g(x,y,z) merupakan anomali medan gravitasi di topografi, dan

    gobs(x,y,z) adalah medan gravitasi observasi di topografi yang sudah

    dikoreksikan terhadap koreksi pasang surut, koreksi tinggi alat dan koreksi

    drift. Sedangkan gteoritis(x,y,z) merupakan medan gravitasi teoritis di

    topografi.

    Medan gravitasi teoritis yang ditentukan lebih awal adalah medan

    gravitasi normal yang terletak pada bidang datum (pada ketinggian z=0)

    sebagai titik referensi geodesi. Rumusan medan gravitasi normal pada

    bidang datum ini telah ditetapkan oleh The International Association of

    geodesy (IAG) yang diberi nama Geodetic Reference System 1980

    (GRS80) sebagai fungsi lintang, yaitu:

    g( )=(978032,700 (1 + 0,0053024 sin2 - 0,0000058 sin2 )) (15)

    (14)

    Increase Radius

    Earth Rotation

    Excess mass

    g = 9,83 m/s2

    g = 9,78 m/s2

  • 31

    dengan adalah garis lintang.

    Dari persamaan (14) terlihat bahwa semakin tinggi letak lintangnya,

    maka semakin besar percepatan gravitasinya. Jadi, medan gravitasi bumi

    cenderung bertambah besar ke arah kutub.

    4. Koreksi udara bebas (free air correction)

    Koreksi udara bebas merupakan koreksi yang disebabkan karena

    pengaruh variasi ketinggian terhadap medan gravitasi bumi. Koreksi ini

    dilakukan untuk menarik bidang pengukuran (P) ke bidang datum yaitu

    bidang geoid (Po) (Gambar 16).

    Gambar 16. Koreksi udara bebas terhadap data gayaberat (Zhou, dkk., 1990).

    Perhitungan koreksi udara bebas (free air correction) dilakukan dengan

    cara (Rosid, 2005):

    g = G

    (16)

    (17)

    FREE AIR CORRECTION FAC = - 0,3086H

    Gravity observation point

    Land surface

    Heigh

    t

    Datum surface

    sea level

  • 32

    Jika pertambahan jari-jari dinyatakan dalam bentuk ketinggian di

    atas muka laut h, maka:

    dimana g adalah besar nilai gravitasi absolut dan r adalah jari-jari bumi.

    Dengan memasukkan nilai g dan r ke dalam persamaan (18), maka

    besar koreksi udara bebas adalah:

    dimana h adalah ketinggian dalam pengukuran gravitasi.

    Koreksi udara bebas (free air correction) tidak memperhitungkan

    massa batuan yang terdapat di antara stasiun pengukuran dengan bidang

    geoid. Koreksi akan dijumlah jika titik pengukuran berada di atas geoid.

    Karena semakin tinggi h, maka g akan semakin kecil sehingga untuk

    menyamakan dengan bidang geoid koreksi harus ditambah. Dan juga

    sebaliknya, koreksi akan dikurang jika titik pengukuran berada di bawah

    geoid. Namun, pada umumnya koreksi ini dijumlah karena permukaan

    bumi berada di atas bidang geoid.

    5. Koreksi Bouguer (Bouguer correction)

    Koreksi Bouguer memperhitungkan massa batuan yang terdapat di

    antara stasiun pengukuran dengan bidang geoid. Koreksi ini dilakukan

    dengan menghitung tarikan gravitasi yang disebabkan oleh batuan berupa

    slab dengan ketebalan H dan densitas rata-rata (Gambar 17).

    Koreksi ini dihitung dengan persamaan (20) (Telford, dkk., 1990):

    (18)

    (19)

  • 33

    dimana:

    = 3,14; G = 6,67 10-11 m3kg-1det-3; dalam gr/cm3; dan h dalam meter,

    maka:

    mGal

    Tanda koreksi Bouguer berbanding terbalik dengan koreksi udara

    bebas. Pada koreksi Bouguer, jika titik pengukuran berada di atas bidang

    geoid, maka koreksi akan dikurang. Hal ini dikarenakan kandungan massa

    di atas bidang geoid membuat nilai g titik pengukuran lebih besar dari nilai

    g pada bidang geoid, sehingga untuk menarik titik pengukuran ke bidang

    geoid koreksi harus dikurang. Dan juga sebaliknya, jika titik pengukuran

    berada di bawah bidang geoid, koreksi akan ditambah.

    Gambar 17. Koreksi Bouguer (Zhou, dkk., 1990).

    6. Koreksi medan (terrain correction)

    Koreksi medan atau topografi dilakukan untuk mengoreksi adanya

    pengaruh penyebaran massa yang tidak teratur di sekitar titik pengukuran.

    (20)

    Gravity observation point

    BOUGUER CORRECTION

    Datum surface

    sea level

    Land surface

  • 34

    Dalam koreksi Bouguer diasumsikan bahwa titik pengukuran di lapangan

    berada pada suatu bidang datar yang sangat luas. Sedangkan seringkali

    kenyataan di lapangan memiliki topografi yang berundulasi seperti adanya

    lembah dan gunung. Maka jika hanya dilakukan koreksi bouguer saja

    hasilnya akan kurang sempurna.

    Gambar 18. Stasiun yang berada dekat dengan gunung (Reynolds, 1997).

    Gambar 19. Stasiun yang berada dekat dengan lembah (Reynolds, 1997).

    Jika stasiun pengukuran berada dekat dengan gunung, maka akan

    terdapat gaya ke atas yang menarik pegas pada gravimeter, sehingga akan

    mengurangi nilai pembacaan gravitasi (Gambar 18).

    Exces mass

    Mass deficiency

  • 35

    Sementara jika stasiun pengukuran berada dekat dengan lembah, maka

    akan ada gaya ke bawah yang hilang sehingga pegas pada gravimeter

    tertarik ke atas. Hal ini akan mengurangi pembacaan nilai gravitasi

    (Gambar 19).

    Dengan demikian pada kedua kondisi tersebut, koreksi medan

    ditambahkan kepada nilai gravitasi. Cara perhitungan koreksi topografi

    dapat dilakukan dengan menggunakan Hammer Chart yang dikembangkan

    oleh Sigmund Hammer. Hammer Chart membagi area ke dalam beberapa

    zona dan kompartemen (segmen). Hammer melakukan pendekatan

    pengaruh topografi dengan suatu cincin yang terlihat pada Gambar 20 di

    bawah ini.

    Gambar 20. Hammer Chart (Reynolds, 1997).

    Menurut Reynolds (1997), besarnya koreksi topografi dengan

    menggunakan pendekatan cincin silinder dituliskan dalam persamaan (22):

    (

    *

    +) mGal (22)

  • 36

    dimana:

    N = jumlah kompartemen pada zona yang digunakan

    r2 = radius luar (m)

    r1 = radius dalam (m)

    z = perbedaan ketinggian rata-rata kompartemen dan titik pengukuran

    Sehingga besar nilai koreksi medan pada setiap stasiun pengukuran

    gayaberat adalah total dari koreksi medan (TC) sektor-sektor dalam satu

    stasiun pengukuran tersebut.

    Setelah melakukan proses koreksi di atas, maka akan didapatkan nilai

    yang disebut Anomali Bouguer (Bouguer Anomaly). Anomali Bouguer

    adalah anomali yang disebabkan oleh variasi densitas secara lateral pada

    batuan di kerak bumi yang telah berada pada bidang referensi yaitu bidang

    geoid. Persamaan untuk mendapatkan nilai anomali Bouguer (gAB) adalah:

    dimana:

    = nilai pembacaan gravitasi di lapangan

    = koreksi pasang surut

    = koreksi apungan

    = koreksi lintang

    = koreksi udara bebas

    = koreksi Bouguer

    (23)

    (24)

  • 37

    Nilai anomali Bouguer di atas sering disebut sebagai Complete Bouguer

    Anomaly (CBA). Sedangkan anomali Bouguer yang didapatkan tanpa

    memasukkan koreksi medan ke dalam perhitungan disebut Simple Bouguer

    Anomaly (SBA). Sementara nilai lain yang biasa digunakan untuk survei

    daerah laut adalah Free Air Anomaly (FAA). FAA adalah nilai anomali

    Bouguer yang tidak memperhitungkan efek massa batuan sehingga tidak

    memasukkan koreksi Bouguer ke dalam perhitungan.

    D. Estimasi Densitas Permukaan Rata-Rata

    Dalam eksplorasi geofisika dengan metode gravitasi dimana besaran yang

    menjadi sasaran utama adalah rapat masa (kontras densitas), maka perlu

    diketahui distribusi harga rapat massa batuan baik untuk keperluan

    pengolahan data maupun interpretasi.

    Rapat massa batuan dipengaruhi oleh beberapa faktor diantaranya adalah

    rapat massa butir atau matriks pembentuknya, porositas, dan kandungan

    fluida yang terdapat dalam pori-porinya. Namun demikian, terdapat banyak

    faktor lain yang ikut mempengaruhi rapat massa batuan, diantaranya adalah

    proses pembentukan, pemadatan (kompaksi) akibat tekanan, kedalaman, serta

    derajat pelapukan yang telah dialami batuan tersebut.

    Ada beberapa cara yang dapat digunakan untuk menentukan rapat massa

    rata-rata, yaitu:

    1. Analisis batuan daerah survei dari pengukuran di laboratorium

    2. Metode Nettleton

    3. Metode Parasnis

  • 38

    Analisis batuan daerah survei merupakan penentuan rapat massa rata-rata

    batuan yang dilakukan secara kualitatif, sedangkan Metode Nettleton dan

    Metode Parasnis merupakan penentuan rapat massa rata-rata batuan yang

    dilakukan secara kuantitatif.

    1. Metode nettleton

    Gambar 21. Estimasi rapat massa dengan metode Nettleton (Telford, dkk., 1990).

    Metode ini didasarkan pada pengertian tentang koreksi Bouguer dan

    koreksi medan, dimana jika rapat massa yang digunakan sesuai dengan

    rapat massa permukaan, maka penampang atau profil anomali gayaberat

    topografi

    Gayaberat

    obsevasi

    Anomali Bouguer Terbaik

    Gb

    (m

    Gal)

    G

    ob

    s (m

    Gal)

    E

    leva

    si

  • 39

    menjadi smooth. Dalam aplikasi, penampang dipilih melalui daerah

    topografi kasar dan tidak ada anomali gayaberat target.

    Anomali Bouguer titik amat pada suatu lintasan diplot dengan berbagai

    macam harga rapat massa ( ). Nilai densitas permukaan diperoleh apabila

    nilai anomali gayaberat yang dihasilkan tidak mempunyai korelasi dengan

    topografi di daerah tersebut.

    2. Metode parasnis

    Metode parasnis didasarkan pada persamaan anomali Bouguer dengan

    asumsi nilai anomali Bouguernya adalah nol.

    dimana :

    CBA = Anomali Bouguer Lengkap

    = harga percepatan gravitasi observasi

    = harga percepatan gravitasi normal

    = koreksi udara bebas

    = koreksi Bouguer

    Dari asumsi tersebut diperoleh:

    atau

    ( )

    Dari persamaan (27) bila ruas kiri dinyatakan sebagai variabel y dan

    ruas kanan sebagai variabel x, dan kedua variabel diplot sebaran datanya

    pada koordinat kartesian, maka dapat dicari suatu persamaan garis linier

    (27)

    (25)

    (26)

  • 40

    dengan metode kuadrat terkecil (least square). Persamaan regresi yang

    dihasilkan adalah:

    Dimana nilai a adalah nilai rapat masa batuan rata-rata.

    Gambar 22. Grafik yang menunjukkan hubungan antara dan ( ) (Sarkowi, 2011).

    E. Analisis Spektrum

    Analisis spektrum merupakan proses Transformasi Fourier (transformasi

    dari domain waktu ke dalam domain frekuensi) untuk mengubah suatu sinyal

    menjadi penjumlahan beberapa sinyal sinusoidal dengan berbagai frekuensi.

    Hasil dari transformasi ini akan berupa spektrum amplitude dan spektrum

    phase sehingga dapat memperkirakan kedalaman dengan mengestimasi nilai

    bilangan gelombang (k) dan amplitudo (A) yang dapat digunakan untuk

    menghitung lebar jendela filter yang selanjutnya dijadikan sebagai input data

    dalam proses filtering, pemisahan anomali regional, dan anomali residual.

    (28)

  • 41

    Blakely (1995) menurunkan spektrum dari potensial gayaberat yang

    teramati pada suatu bidang horizontal.

    ( ) (

    ) (

    )

    | |( )

    | |

    Berdasarkan kedua persamaan diatas maka diperoleh:

    ( ) | |(

    )

    | |

    Sehingga Transformasi Fourier anomali gayaberat pada lintasan yang

    diinginkan adalah:

    ( ) (

    )

    (

    ) ( )

    | |( )

    dimana:

    = anomali gayaberat

    k = bilangan gelombang

    Zo = ketinggian titik amat

    Z = kedalaman benda anomali

    Bila distribusi densitas bersifat random dan tidak ada korelasi antara

    masing-masing nilai gayaberat, maka =1, sehingga hasil Transformasi

    Fourier anomali gayaberat menjadi:

    | |( )

    dimana:

    A = amplitudo

    C = konstanta

    (29)

    (30)

    (31)

    (32)

  • 42

    Selanjutnya dengan melogaritmakan hasil Transformasi Fourier

    tersebut di atas, maka akan diperoleh hubungan antara amplitudo (A)

    dengan bilangan gelombang (k) dan kedalaman ( ):

    ( )| |

    Hasil logaritma ini menunjukkan bahwa kedalaman rata-rata bidang

    diskontinuitas rapat massa akan berbanding dengan kemiringan grafik

    spektrum. Kemudian dari hubungan itu pula, dengan menggunakan metode

    least square, maka estimasi kedalaman anomali adalah gradien dari

    masing-masing grafik spektrum pada tiap lintasan. Hubungan panjang

    gelombang () dengan k diperoleh dari persamaan Blakely (1995):

    dengan n adalah lebar jendela.

    Gambar 23. Grafik hubungan antara amplitudo dan bilangan gelombang pada

    analisis spektrum (Sarkowi, 2011).

    (33)

    (34)

    (35)

    Analisis Spektrum

    Zona Regional

    Zona Residual

    Zona Noise

  • 43

    Maka didapatkan estimasi lebar jendelanya yaitu:

    Ilustrasi penentuan kedalaman proses regresi data logaritma hasil

    Transformasi Fourier ini akan ditunjukan pada Gambar 23.

    F. Moving Average

    Anomali Bouguer merupakan suatu nilai anomali gaya berat yang

    disebabkan oleh perbedaan densitas batuan pada daerah dangkal dan daerah

    yang lebih dalam di bawah permukaan. Efek yang berasal dari batuan pada

    daerah dangkal disebut anomali residual, sementara efek yang berasal dari

    batuan pada daerah yang lebih dalam disebut anomali regional. Proses ini

    bertujuan untuk memisahkan antara anomali residual dengan anomali

    regional yang terdapat pada anomali Bouguer. Selain itu, hasil pemisahan

    anomali regional dan residual berguna sebagai bahan untuk interpretasi

    kualitatif tentang kondisi bawah permukaan sebelum melakukan pembuatan

    model struktur bawah permukaan (interpretasi kuantitatif).

    Moving average window filter merupakan suatu metode atau teknik

    pemisahan yang jika dianalisis dari spektrumnya akan menyerupai low pass

    filter sehingga output dari proses ini adalah frekuensi rendah dari anomali

    Bouguer yang akan merepresentasikan kedalaman yang lebih dalam

    (regional). Karena frekuensi rendah ini mempunyai penetrasi yang lebih

    dalam. Selanjutnya anomali residual didapatkan dengan cara mengurangkan

    anomali regional dari anomali Bouguernya.

    (36)

  • 44

    Persamaan moving average untuk lebar window N N adalah:

    (

    )

    ( )

    untuk anomali residualnya adalah:

    ( ) ( ) ( )

    dan untuk estimasi lebar jendelanya didapatkan dari:

    dimana:

    = grid spasi

    = frekuensi cut-off regional dan residual

    Penerapannya pada peta 2D dimana harga pada suatu titik dapat

    dihitung dengan merata-ratakan semua nilai di dalam sebuah kotak

    persegi dengan titik pusat adalah titik yang akan dihitung harga (Gambar

    24) (Robinson, 1988). Contoh penerapannya dengan jendela 5 5 pada data

    2D sesuai dengan persamaan (40) berikut:

    [( ) ( ) ( ) ( )]

    Gambar 24. Sketsa moving average 2-D jendela 5 5 (Robinson, 1988).

    (37)

    (38)

    (39)

    (40)

  • 45

    Berdasarkan karakter spektrum dari filter ini, lebar window N N

    berbanding langsung dengan low cut dari panjang gelombang atau high cut

    frekuensi spasial dari low-pass filter, sehingga dengan bertambahnya lebar

    window akan menyebabkan bertambahnya panjang gelombang regional

    output. Dengan kata lain, lebar window terkecil menyebabkan harga

    regionalnya mendekati anomali Bouguernya.

    G. Pemodelan Struktur Bawah Permukaan

    Pemodelan struktur bawah permukaan dilakukan dengan cara pemodelan

    ke depan (forward modelling). Pemodelan ke depan adalah suatu proses

    perhitungan data yang secara teoritis akan teramati di permukaan bumi jika

    diketahui harga parameter model bawah permukaan tertentu (Grandis, 2009).

    Dalam pemodelan dicari suatu model yang cocok atau fit dengan data

    lapangan, sehingga model tersebut dianggap mewakili kondisi bawah

    permukaan di daerah pengukuran.

    1. Metode Talwani

    Menurut Talwani (1959), pemodelan ke depan untuk menghitung efek

    gayaberat model benda bawah permukaan dengan penampang berbentuk

    sembarang yang dapat diwakili oleh suatu poligon bersisi n dinyatakan

    sebagai integral garis sepanjang sisi-sisi poligon:

    Integral garis tertutup tersebut dapat dinyatakan sebagai jumlah integral

    garis tiap sisinya, sehingga dapat ditulis sebagai berikut:

    (41)

  • 46

    Model benda anomali sembarang oleh Talwani didekati dengan

    poligon-poligon dimana sistem koordinat kartesian yang digambarkan

    seperti di atas. Untuk benda poligon sederhana seperti pada Gambar 25,

    dapat ditunjukan dengan persamaan sebagai berikut:

    sehingga diperoleh:

    ,( ) ( (

    ( )-

    dimana,

    (

    )

    (

    )

    (

    )

    Gambar 25. Efek gravitasi poligon menurut Talwani (Talwani, 1959).

    (42)

    (43)

    (44)

    (45)

    (46)

  • 47

    Untuk keperluan komputasi, persamaan (44) ditulis dalam bentuk yang

    lebih sederhana, dengan mensubstitusikan harga-harga sin , cos , tan

    dengan koordinat titik poligon dalam x dan z sebagai berikut:

    {

    (

    )}

    2. Efek gravitasi benda 2,5D

    Perhitungan dua dimensi (2D) sepanjang profil yang tegak lurus

    terhadap sumbu dari benda prismatik yang mempunyai panjang tak

    berhingga telah dikenal dalam interpretasi kuantitatif metode gravitasi.

    Metode perhitungan tersebut banyak digunakan karena perhitungannya

    dilakukan dengan mengandaikan struktur geologi sebagai struktur yang

    mendekati benda dua dimensi sehingga akan mempermudah perhitungan,

    dan data yang diperoleh biasanya merupakan profil yang tegak lurus

    terhadap strike. Pada kenyataannya setiap benda atau struktur pasti

    mempunyai ujung. Oleh karena itu, untuk lebih mendekati keadaan alam

    yang sebenarnya, maka diperkenalkan benda 2,5 dimensi. Benda 2,5

    dimensi yaitu benda 3 dimensi yang mempunyai penampang yang sama

    dengan panjang berhingga. Medan gravitasi pada titik yang berada di luar

    suatu massa yang terdistribusi kontinyu dengan volume V (Gambar 26)

    adalah:

    ( ) ( )

    dengan potensial gravitasi:

    ( ) ( )

    | |

    (47)

    (48)

    (49)

  • 48

    Gambar 26. Medan gravitasi pada titik P( ) yang berada di luar suatu massa yang terdistribusi kontinyu ( ) dengan volume V (Cady, 1980).

    Gambar 27 menunjukkan benda 2,5 dimensi. Sumbu y paralel dengan

    strike benda dan pengamatan dilakukan sepanjang profil pada bidang x-z.

    Sumbu z positif ke bawah.

    Gambar 27. Geometri benda 2,5D dengan sumbu z positif ke bawah (Cady, 1980).

  • 49

    Berdasarkan persamaan (48) dan (49), maka diperoleh persamaan:

    Persamaan (50), (51), dan (52) merupakan turunan parsial pertama dari

    integral volume. Dengan mengasumsikan densitas homogen, persamaan

    (50) menjadi:

    ( )

    Fz dipilih untuk integrasi yang lebih detail karena total medan gravitasi

    yang terukur memiliki arah yang vertikal yang disebut efek gravitasi.

    Dalam metode gravitasi, strike benda dapat memiliki panjang y1 dan y2

    yang berbeda. Untuk menghilangkan ambiguitas tanda, y1 dan y2 memiliki

    tanda positif pada bidang x-z. y1 positif pada arah +y dan y2 positif pada

    arah y.

    Berdasarkan persamaan (53), perhitungan Fz dari y2 ke 0 dan dari 0 ke

    y1 adalah:

    [ ( ) ( ) ( )]

    dengan dan

    Persamaan (54) pada bidang z adalah:

    [ ( ) ( ) ( )]

    dx

    Integral pada poligon dapat dimasukkan pada integral garis di sekitar

    poligon dengan z sebagai fungsi x di tiap sisinya (Gambar 28), maka:

    (51)

    (52)

    (53)

    (54)

    (55)

    (50)

  • 50

    dengan:

    dan merupakan batasan z dari perluasan sisi i. Persamaan (56) menjadi:

    ( )

    dengan:

    [ ( )

    ]

    dan

    [ ( ) ]

    untuk n = 1 dan 2. Perhitungan ini dilakukan searah dengan jarum jam

    pada N sisi poligon. Percepatan gravitasi g=Fz dari benda di bawah titik

    amat dengan kontras densitas negatif bernilai positif ke bawah sepanjang

    sumbu z.

    Gambar 28. Hubungan x-z pada satu sisi cross section berbentuk poligon

    (Cady, 1980).

    (56)

    (57)

    (58)

    (59)

  • 51

    H. Analisis Derivative

    1. First Horizontal Derivative (FHD)

    Dengan mengambil derivative dari gz di sepanjang sumbu x atau y,

    maka didapat komponen FHD dari gayaberat untuk benda 2D sesuai

    dengan persamaan (58) (Telford, dkk., 1976).

    Perhitungan FHD dihitung dengan menggunakan persamaan:

    ( ) ( )

    dimana merupakan nilai anomali Bouguer (mGal) dan selisih jarak

    lintasan (meter).

    2. Second Vertical Derivative (SVD)

    Metode SVD dapat digunakan untuk membantu interpretasi jenis

    struktur terhadap data anomali Bouguer yang diakibatkan oleh adanya

    struktur patahan turun atau patahan naik (Sarkowi, 2011).

    Medan potensial U dengan sumber tidak berada di dalamnya akan

    memenuhi persamaan Laplace sesuai dengan persamaan (62) (Telford,

    dkk., 1976).

    Untuk metode gayaberat, persamaannya sesuai dengan persamaan (63)

    dan (64) berikut:

    (60)

    (62)

    (63)

    (61)

  • 52

    Untuk SVD persamaannya sesuai dengan persamaan (65) (Telford, dkk.,

    1976) berikut:

    (

    )

    Untuk data 1D persamaannya menjadi persamaan (66) berikut:

    (

    )

    Berdasarkan persamaan di atas, tampak bahwa untuk suatu penampang

    1D, anomali Second Vertical Derivative (SVD) (

    ) dapat dihitung dari

    turunan satu kali terhadap data First Horizontal Derivative (FHD)

    (

    (

    )). Sedangkan kriteria untuk menentukan jenis struktur patahan

    adalah sebagai berikut:

    2.1 Untuk sedimentary basin atau patahan turun berlaku:

    (

    )

    |(

    ) |

    2.2 Untuk granit batolit/intrusi dan patahan naik berlaku:

    (

    )

    |(

    ) |

    Untuk data anomali gayaberat dalam grid teratur, anomali Second

    Vertical Derivative (SVD) dapat diturunkan melalui proses filtering,

    dimana persamaan konvolusinya diberikan oleh persamaan (69):

    ( ) ( ) ( )

    (65)

    (66)

    (69)

    (64)

    (67)

    (68)

  • 53

    dimana F adalah filter Second Vertical Derivative (SVD) sesuai persamaan

    (65) dan adalah anomali gayaberat sebagai data input. Berikut Gambar

    27 merupakan contoh operator filter Second Vertical Derivative (SVD).

    Gambar 29. Macam-macam koefisien filter SVD (Sarkowi, 2011).