II. TÉMA Kockázati transzferek, kockázatmérés · biztosítási kockázat. A biztosítással kombinált banki termékek esetében a A biztosítással kombinált banki termékek

II. TÉMA Kockázati transzferek, kockázatmérés

Kockázatok a banki – és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában

A tanulmányt készítette: Budapesti Corvinus Egyetem Biztosítási Oktató és Kutató Csoport Dr.Szüle Borbála 2009. december

A Pénzügyi Szervezetek Állami Felügyelete az általa kiszabott bírságokból befolyt – Felügyeletnél maradó – összeg terhére, a hatályos jogszabályok alapján nyilvános pályázatot hirdetett. Ez a kiadvány a nyilvános pályázaton támogatást nyert el.

Kockázatok a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásában 2009.december

1

Tartalomjegyzék

TARTALOMJEGYZÉK.......................................................................................................................... 1

1. BEVEZETÉS ........................................................................................................................................ 2

2. A BIZTOSÍTÁSSAL KOMBINÁLT BANKI TERMÉKEK ÉS KOCKÁZATAIK ...................... 4

2.1. KOCKÁZATI SZEMPONTÚ CSOPORTOSÍTÁS ....................................................................................... 4 2.2. A KOCKÁZAT MÉRÉSÉNEK LEHETŐSÉGEI TERMÉKKOMBINÁCIÓKNÁL .............................................. 8

3. ELMÉLETI MODELL A BIZTOSÍTÁSSAL KOMBINÁLT BANKI.......................................... 16

TERMÉKEK KOCKÁZATÁNAK MÉRÉSÉRE................................................................................ 16

3.1. MODELLFELTEVÉSEK ..................................................................................................................... 16 3.1.1. A bank modellje ..................................................................................................................... 19 3.1.2. A biztosítások jellemzői ......................................................................................................... 22

3.2. A KOCKÁZAT MÉRÉSE BIZTOSÍTÁS NÉLKÜLI HELYZETBEN ............................................................. 30 3.3. KOCKÁZAT ÉS VEGYES ÉLETBIZTOSÍTÁS ........................................................................................ 34 3.4. KOCKÁZAT ÉS UNIT-LINKED ÉLETBIZTOSÍTÁS ................................................................................ 38

4. SZIMULÁCIÓS EREDMÉNYEK.................................................................................................... 43

5. ÖSSZEFOGLALÁS ........................................................................................................................... 56

IRODALOMJEGYZÉK ........................................................................................................................ 58

MELLÉKLET......................................................................................................................................... 60


2

1. Bevezetés

A banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódása az utóbbi évek egyik jellemző

tendenciája volt. Napjainkban sok fejlett országban – Magyarországon is – gyakran

előfordul, hogy bankok és biztosítók között akár tulajdonosi kapcsolódás is kialakul,

illetve nem ritka az sem, hogy egyes banki- és biztosítási termékek között található

kapcsolat. A banki és biztosítási tevékenység egyaránt alapvetően összefügg bizonyos

kockázatokkal (például a hitelkockázattal, illetve a biztosítási események

bekövetkezésével összefüggő kockázattal), így a kockázatkezelés egyes fajtái

megszokottak mind a bankok, mind pedig a biztosítók esetében. A banki és biztosítási

tevékenység összekapcsolódása azonban az egyébként adott kockázatokon kívül

további kockázatok megjelenésével járhat, amelyek felderítése és mérése a tevékenység

kockázatosságának mérsékléséhez járulhat hozzá.

Míg a banki tevékenység során jelentős szerepe van a hitelezésnek, a biztosítási

tevékenységet leginkább adott biztosítási kockázatok vállalása jellemzi, e két – sok

tekintetben különböző – tevékenység összekapcsolódásának több területen is

megmutatkozhatnak a kockázattal kapcsolatos hatásai. A tevékenységek

összekapcsolódásának kockázati hatásai jelentkezhetnek az egyes termékek szintjén

(például valamely hitel törlesztése problémásabbá válhat valamely a hitel valamely

biztosítási termékkel történő összekapcsolásával összefüggésben) és a kockázatok

megjelenhetnek az intézmények szintjén is (a magasabb kockázat például nagyobb

tőkeszükséglettel járhat). A bankok, illetve biztosítók felügyeletével foglalkozó

intézményeknek érdemes lehet ezekkel a kockázatokkal is foglalkozni.

Jelen tanulmány a banki és biztosítási tevékenységek összekapcsolódásából adódó

kockázati hatásokkal foglalkozik. A „kockázat” fogalma rendkívül sokféleképpen

értelmezhető, így a tanulmány a banki és biztosítási tevékenység összekapcsolódásából

eredő kockázati hatások általános bemutatásán túl a biztosítással kombinált banki

termékek kockázatait a fontosabb jellemzők alapján felépített elméleti modell keretein

belül elemzi. Az elméleti modell előnye lehet, hogy ebben a keretben levezethetők


3

olyan eredmények is, amelyek alapján akár kockázati szempontból rangsorolhatók is

egyes biztosítási termékek, amelyekkel banki termékek kombinálhatók. A tanulmány

terjedelmi korlátai miatt nem vállalkozhat a gyakorlatban tapasztalható bonyolult és

cégenként különböző jellemzőkkel rendelkező helyzetek (sokféle paraméterrel

jellemezhető biztosítási állományok, illetve banki adatok) pontos modellezésére. A

tanulmányban bemutatott elméleti modell eredményei azonban alkalmasak lehetnek a

gyakorlatban felmerülő kockázati hatások irányának bemutatására, illetve elősegíthetik

a kockázati hatások mérésére szolgáló modellek fejlesztését.

A tanulmányban a biztosítással kombinált banki termékek fontosabb jellemzőinek

bemutatásán túl egyes kockázatok mérésével kapcsolatos megfontolások leírása is

megtalálható. Ezt követően a biztosítással kombinált banki termékek kockázati

hatásainak mérésére kidolgozott elméleti modell eredményein túl a tanulmány az

eredmények szemléltetésére szimulációs számítások eredményeit mutatja be.


4

2. A biztosítással kombinált banki termékek és kockázataik

2.1. Kockázati szempontú csoportosítás

A biztosítással kombinált banki termékek tág megnevezés, többféle konstrukció is

besorolható lehet ebbe a kategóriába. A banki és biztosítási termékek kombinálása

például a következőképpen valósulhat meg:

– lakáscélú hitelek esetében lakásbiztosítást is köt az ügyfél

– kötelező gépjármű felelősségbiztosításnál (vagy másfajta biztosításnál) a

biztosítási díj esetében kedvezmény nyújtására kerülhet sor, ha a biztosítási

díjat adott banknál vezetett folyószámláról csoportos beszedési megbízással

egyenlítik ki

– megtakarítások (bankbetét) kombinálható életbiztosítással olyan módon,

hogy az ügyfél által befizetett pénz egy része valamely életbiztosítási

termékbe (például befektetési egységekhez kötött életbiztosításba1), másik

része pedig valamilyen lekötött betétben kerül lekötésre

– jelzáloghitelhez „törlesztési” biztosítás (tulajdonképpen hitelfedezeti

biztosítás) köthető, amely például elhalálozás, rokkantság,

keresőképtelenség, munkanélküliség esetében a fennálló tartozás

meghatározott részét fizeti meg a biztosított személy helyett

– olyan életbiztosítással kombinált jelzálogkölcsön-konstrukció alakítható ki,

amelynél a kölcsön tőketörlesztése az életbiztosítás elérési2 összegéből

történik

Az egyik legegyszerűbb csoportosítás szerint a banki és biztosítási termékek

összekapcsolása során két esetet különböztethetünk meg aszerint, hogy a kétféle termék

kombinálása milyen módon befolyásolja a termékek „kockázatosságát”. A banki és 1 Ezt a biztosítást szokás unit-linked biztosításnak is nevezni. 2 Az életbiztosításokkal kapcsolatos néhány elméleti tudnivalóval a tanulmány későbbi részei foglalkoznak.


5

biztosítási termékek „kockázatossága” ebben az esetben a termékekben megjelenő

„alap” kockázatra utal: hiteltermékeknél például a hitel vissza nem fizetésének

kockázatára, megtakarításoknál arra a kockázatra, hogy a bank esetlegesen nem tudná

visszafizetni a (befektetőt megillető hozamokkal növelten) a megtakarítás összegét, a

biztosítások esetében pedig a biztosítási szerződésekben szereplő biztosítási esemény

bekövetkezésére. Az addicionális termékszintű kockázati hatások szempontjából tehát

a következő eseteket lehet érdemes megkülönböztetni:

– A banki és a biztosítási termékek egymás kockázatosságát lényegében nem

befolyásolják: ezek egymástól függetlenek, a kétfajta termék

összekapcsolódása mindössze a keresztértékesítés (cross-selling) egyik

fajtájának tekinthető.

A banki és a biztosítási terméket ekkor lényegében párhuzamosan

értékesítik, például megtakarítási termék (például bankbetét) választásakor

valamilyen fajta biztosításra is felhívják a figyelmet a bankban, de a banki és

biztosítási termék ezen túl semmilyen módon nem függ össze (illetve még

például kedvezmény járhat a biztosítási díjból akkor, ha valamilyen banki

termékkel – például folyószámlával – rendelkezik az ügyfél). Nyilvánvaló,

hogy ebben az esetben elsősorban az értékesítési bevétel esetleges

növekedéséről van szó, ha például bankfiókokban biztosítást értékesítenek,

akkor a banki tevékenység hatékonysága növekedhet, ami a bank

intézményszintű kockázatát csökkentheti (ehhez hasonlóan az értékesítés

fokozódása növelheti a biztosító működésének biztonságát is, ami a biztosító

intézményszintű kockázatának csökkenését eredményezheti). Előfordulhat

természetesen akár az is, hogy ezen keresztértékesítés (cross selling) során a

különböző költségek meghaladják az intézmények többletjövedelmét, ami

akár az intézményszintű kockázat emelkedését is jelentheti. Termékszintű

(„termékintegrációból” adódó) kockázati hatásokról azonban jellemzően

nincs szó, tehát például az előbbiekben említett biztosítás kötése nem hat

nagy mértékben a megtakarítás értékalakulására. Lényegében ide sorolhatók

olyan termékkombinációk is, amelynél megtakarítás (például valamilyen

fajta bankbetét) és biztosítás kombinálására kerül sor olyan módon, hogy

biztosítás vásárlásánál a bankbetétnek bizonyos módon garantált lehet a

hozama (a hozamgarancia ára bizonyos szempontból tekinthető egyfajta


6

„marketing” jellegű költségnek), a banki és biztosítási termék pénzáramlásai

ekkor általában nem függnek össze közvetlenül „termékintegráció” miatt.

– A banki és biztosítási termék összekapcsolódása alapvetően befolyásolhatja

valamely termék kockázatosságát, adott esetben akár a termékek

kifejlesztése is mindkét termék jellegzetességeinek figyelembevételével

történhet (ezt lehet például „termékintegrációnak” is nevezni). A kétféle

termék kombinálásának kockázati hatásai ekkor már termékszinten is

mérhetők lehetnek, így ez az eset fokozottabb figyelmet érdemel.

Erre az esetre példa lehet az, amikor lakáshitel igénybevételekor például tűz,

illetve elemi kár kockázatokra lakásbiztosítást köt az ügyfél, vagy az a példa

is említhető, hogy jelzálogkölcsön nyújtásakor életbiztosítást köt valamely

ügyfél. Ezekben az esetekben a hitel törlesztésére tehát akkor is lehet mód (a

biztosító szolgáltatása révén), ha az ügyfélnek esetlegesen fizetési problémái

merülnének fel (például a lakásbiztosításos példában tűzkár esetén

előfordulhatna, hogy biztosítás nélkül az ügyfél számára pénzügyi

szempontból túlságosan megterhelő lenne a hiteltörlesztés, illetve ha

életbiztosítással rendelkezik egy ügyfél, akkor esetleges elhalálozásakor is

lehetséges lehet a korábban igénybe vett jelzálogkölcsön törlesztése).

Amennyiben a biztosítási díjakat az ügyfél fizeti, a hitelt, illetve kölcsönt

nyújtó bank számára ezekben az esetekben előnyös lehet kockázati

szempontból, ha az ügyfél ilyen jellegű biztosítást is köt. Ezzel van

összefüggésben, hogy több esetben is olyan konstrukciók állnak az ügyfelek

rendelkezésére, amelynél a banki és biztosítási terméket nagymértékben

„összehangolják” kifejlesztésük során, például az ún. halasztott

tőketörlesztéses hitelkonstrukcióval összekapcsolódó életbiztosításnál,

amelynél az életbiztosítás lejárati összege fedezi a felvett hitel

tőketörlesztésének egy meghatározott részét, a lejáratig az ügyfél pedig a

bank részére kamatot, illetve költségeket, a biztosító részére pedig a

biztosítási díjat fizeti.

Ezen két eset közül az első esetben a banki és biztosítási termékek kombinálása miatt

létrejövő addicionális kockázati hatások más jellegűek, mint a második esetben. Az

első esetben (amikor az addicionális kockázatok termékszinten tipikusan nem


7

jellemzőek) a lehetséges többletkockázatok kialakulását nagyban befolyásolják olyan

vállalatspecifikus tényezők, amelyek például a marketingstratégia kialakításával is

összefüggnek: annak eldöntése például, hogy mekkora kedvezményt kapjanak ügyfelek

a biztosítási díjból, amennyiben valamely banknál folyószámlával rendelkeznek,

bizonyos szempontból hasonlít arra a kérdésre, hogy milyen összeget érdemes költeni

például bizonyos termékek reklámozására; a hasonlóság lényege, hogy ezek a kérdések

az adott döntés következtében várhatóan létrejövő bevétel-, illetve

jövedelemnövekedéssel függnek össze.

A biztosítással kombinált banki termékek esetében a kétféle termék kombinálása

következtében létrejövő addicionális kockázatok tekintetében a második eset érdemel

nagyobb figyelmet: amikor az addicionális kockázatok már a termékszinten is

megmutatkoznak, különösen érdekes lehet az intézményszintű kockázati hatások

esetében jelentkező tendenciák meghatározása. Magyarországon az utóbbi években

egyre nagyobb jelentőségűek lettek például azok a hitelek, amelyeknél a hitelhez

életbiztosítás is kapcsolódik, amely bizonyos esetekben (például elhalálozás esetén) a

hiteltartozás adott részének visszafizetését biztosítja a szerződésben meghatározott

bank számára. A biztosítási díjat tipikusan a hitelt igénybe vevő ügyfelek fizetik, így ez

a konstrukció a biztosító számára az értékesítés (és feltehetően a jövedelmezőség)

emelkedésével, a bank számára pedig a kockázat csökkenésével járhat. Elképzelhető

viszont olyan helyzet is, amelyben az ügyfél a felvett hitelt nem ingatlan vásárlására

fordítja (amikor feltehetően nagymértékben érdekelt a hitel zökkenőmentes

törlesztésében), hanem például unit-linked jellegű életbiztosítás biztosítási díját fedezi a

hitel összegéből úgy, hogy később az életbiztosítási szolgáltatás legyen elegendő a hitel

törlesztésére. Magas kockázatú befektetési portfólió választásakor ebben az esetben

előfordulhat, hogy a biztosítási szolgáltatás nem fedezi a hiteltörlesztéshez szükséges

összeget, ami kedvezőtlenül befolyásolhatja a bank intézményszintű kockázatát. A

tanulmányban bemutatott elméleti modell, illetve az ehhez kapcsolódó (tanulmányban

szereplő) számítások eredményei ezzel a jelenséggel is foglalkoznak.


8

2.2. A kockázat mérésének lehetőségei termékkombinációknál

A banki és biztosítási tevékenységet számos kockázat jellemzi, maga a banki és

biztosítási tevékenység alapvető jellemzője bizonyos fajta kockázatok kezelése. A

biztosítással kombinált banki termékek kockázatainak áttekintéséhez érdemes először

külön a banki, majd pedig külön a biztosítási termékek kockázatával foglalkozni, majd

ezután ezek ismeretében könnyebben kiemelhetők a banki és biztosítási tevékenység

összekapcsolódásával összefüggő addicionális kockázati hatások. A „hagyományos”

banki tevékenység alapja a betétgyűjtés valamint a hitelek nyújtása, ezen túl

napjainkban természetesen további, például értékpapírokkal kapcsolatos tevékenység is

jellemezheti a bankokat. A bankok esetében a források és eszközök lejárati idejének

harmonizálása az „intézményszintű” kockázat jellemző eredetének tekinthető, míg

például a hitelkockázat (a hitel vissza nem fizetésével kapcsolatos kockázat) tipikus

„termékszintű” kockázatnak minősíthető. A biztosítási díjakat jellemzően az időszak

elején kapó biztosítók esetében az „intézményszintű” kockázat eredhet például a

befektetési eszközportfólió összetételéből, illetve teljesítményéből, míg jellegzetes

„termékszintű” kockázatnak tekinthető az adott biztosítási szerződésekben található

biztosítási kockázat. A biztosítással kombinált banki termékek esetében a

következőkben a kockázatok termékszintű eredetére koncentrálva az intézményszintű

kockázatot érintő hatásokra koncentrálunk. Ebben a tanulmányban nem foglalkozunk

tehát a bank és biztosító intézményszintű együttműködéséből adódó kockázati

hatásokkal (ezzel például Szüle[2004], Szüle[2006] illetve Szüle[2007] foglalkozik). A

következőkben azzal kapcsolatos megfontolásokat tekintünk át, hogy milyen

mutatószám lehet alkalmas a termékszinten létrejövő kockázati hatások

intézményszintű kockázatot érintő hatásának mérésére.

A banki, illetve a biztosítási tevékenység során számos kockázat merül fel, amelyek

tanulmányozása, illetve ezek mérési lehetőségeinek feltérképezése elősegítheti az

elemzés céljára megfelelő mutatószám kiválasztását. A banki és biztosítási

tevékenységet jellemző kockázatok közül néhány fontosabb esetében a kockázat

mérésének lehetőségei egyebek mellett például OWC[2001] alapján:


9

– a hitelkockázat abból adódik, hogy az ügyfelek esetlegesen nem törlesztik

megfelelően a bank számára hiteltartozásaikat, ezen kockázat mérésekor

alkalmazható mutatószám lehet például:

� a fizetésképtelenség, illetve csőd valószínűségének

meghatározása

� a fizetésképtelenség, illetve csőd esetében bekövetkező veszteség

mérése

� gazdasági tőke (economic capital) számítása

– az életbiztosítási kockázat főként a halálozás miatt a pénzáramlások

időzítésében és összegében jelenik meg, ezen kockázat mérésére például

stressz-tesztek lehetnek alkalmasak

– a nem-életbiztosítási kockázat különböző (biztosítási) események miatt

bekövetkező veszteségek mértékére vonatkozik és például a biztosítási

események gyakoriságának modellezése járulhat hozzá a kockázatok

méréséhez

– a piaci kockázat abból származhat, hogy egyes piaci tényezők (például

bizonyos árfolyamok, volatilitások, korrelációk) kedvezőtlenül alakulnak,

ezen kockázat mérésére például Value-at-Risk számolható, vagy például

szcenárió-elemzés alkalmazható

– az üzleti kockázat (amely például a termékek körének illetve az adott

piacnak a megválasztásában rejlik) például a historikus jövedelmezőség

volatilitásával mérhető.

A fenti felsorolásból kiderül, hogy nemcsak a kockázatok, de a lehetséges kockázati

mutatószámok köre is széles. A kockázati mutatószámok közül az intézményszintű

kockázat mérésére alkalmas lehet például a Value-at-Risk, illetve ehhez némiképpen

hasonlóan számíthatók további mutatószámok. A megfelelő intézményszintű kockázati

mutatószám kiválasztásához érdemes azt is áttekinteni, hogy miként értelmezhető,

illetve számolható a Value-at-Risk, illetve az egyik leggyakrabban említett, ehhez

bizonyos tekintetben hasonló másik mutatószám, a TailVaR.

A Value-at-Risk (VaR) mutatószám egyik első alkalmazása a JPMorgan RiskMetrics

rendszerének első változatához köthető, azóta számos intézményben a kockázatmérés


10

során alkalmazott egyik fontos mutatószámmá vált. (McNeil et al.[2005] 9. o.) A VaR

definícióját McNeil et al.[2005] (37-38. o.) alapján tekintjük át: tekintsük kockázatos

eszközök valamely portfólióját adott ∆ rögzített időtartam alatt, valamilyen ( )1,0∈α

megbízhatósági szintet és jelölje a megfelelő veszteségeloszlás eloszlásfüggvényét:

FL(l) = P(L≤l)

A portfólió VaR értéke α megbízhatósági szinten az a legkisebb l érték amelynél az a

valószínűség hogy az L veszteség meghaladja l-t nem nagyobb mint (1- α):

( ){ } ( ){ }ααα ≥∈=−≤>∈= lFRllLPRlVaR L:inf1:inf

A megbízhatósági szint (α) tipikus értéke a gyakorlatban 0,95 vagy 0,99, a piaci

kockázat kezelésében az időhorizont (∆) általában 1-10 nap, a hitelkockázatnál pedig 1

év. (McNeil et al.[2005], 38. o.) A Bázeli Bizottság (bankok esetében) a piaci

kockázattal kapcsolatban a VaR alkalmazásánál 99 %-os szintet, az időhorizont (∆)

értékére pedig 10 napot javasol (McNeil et al.[2005], 43.o.). A VaR értékét bizonyos

esetekben intézményszintű kockázattal összefüggésben, a szabályozói tőkekövetelmény

kiszámítására is alkalmazzák, például a belső modellel történő számításos

megközelítést alkalmazó bankok számára a piaci kockázat (market risk) esetében a

szabályozói tőkekövetelmény képlete (McNeil et al.[2005], 43.o.):

SRi

itt CVaRk

VaR +

⋅∑=

+−60

1

10,199,0

10,99,0 60

,max

ahol 10,99,0

jVaR 10 napos VaR-t jelent 99 %-os megbízhatósági szinten a j napon számolva

(t a mai napot jelöli). A bank belső modelljének minőségétől függ 3≤k≤4 értéke (stress

factor). A CSR értéke a specifikus kockázatra vonatkozik (azokra a kockázatokra,

amelyek az általános piaci faktorok figyelembevétele után a kibocsátó-specifikus

(issuer-specific) árváltozásokhoz kapcsolódnak).


11

A VaR egyik problémája, hogy nem nyújt információt azoknak a veszteségeknek a

mértékéről, amelyek 1-α értéknél kisebb valószínűséggel következnek be. Egy másik

mutatószám, az Expected Shortfall (ES) kiküszöböli ezt a problémát. Tekintsük L

(veszteséget reprezentáló) valószínűségi változót és tegyük fel hogy ( ) ∞<LE , ekkor

FL sűrűségfüggvény és α megbízhatósági szint esetében az Expected Shortfall (ES)

értéke (McNeil et al.[2005], 44. o.):

( )∫⋅−=

1

1

1

α

αα

duLVaRES u

Folytonos valószínűség-eloszlások esetében ezt a mutatószámot (ES) úgy is lehet

értelmezni, hogy ez a várható veszteség értékét mutatja, ami akkor merül fel ha a VaR

értékét túllépte a veszteség. Ekkor tehát (McNeil et al.[2005], 45. o.):

( )αα VaRLLEES ≥=

Az Expected Shortfall (ES) mutatóhoz hasonló mutatószám például a tail conditional

expectation (TCE), illetve a conditional VaR (CVaR) (McNeil et al.[2005], 47.o.).

Finkelstein et al.[2006] a CTE (conditional tail expectation) mutatószámot a

legmagasabb (100-x)%-ot kitevő veszteség átlagos költségeként határozza meg és

megállapítja hogy ez a veszteséget reprezentáló valószínűségi változó folytonos

eloszlásfüggvénye esetében megegyezik a TailVaR mutatószámmal. Panjer[2001]

(normális eloszlással kapcsolatos elemzésében) az ( )αVaRLLE ≥ képletet a TailVaR

mutatószám definiálására alkalmazza. A továbbiakban ennek megfelelően folytonos

veszteség-eloszlásfüggvény esetében az Expected Shortfall és a TailVaR mutatószámot

szinonimaként említjük.

Folytonos veszteség-eloszlásfüggvény esetén a TailVaR értéke meghaladja a VaR

értéket. Ez már a definícióból is következik, és az 1. sz. ábra is ezt a jelenséget

szemlélteti:


12

1. sz. ábra: VaR és TailVaR értékek összehasonlítása

veszteség jelenértékének sűrűségfüggvénye

Value-at-Risk (x% megbízhatósági szinten)

Tail Value-at-Risk (x% megbízhatósági szinten)

A két (tőkeszükséglet mérésére is alkalmas) kockázati mutatószám egyes matematikai

tulajdonságaik alapján is összehasonlítható. A kockázati mutatószámokkal

kapcsolatban szokás például elemezni, hogy az adott mutatószám koherensnek

tekinthető-e. A koherens kockázati mérőszámok tulajdonságainak leírását több

tanulmány illetve könyv is tartalmazza (például Artzner et al.[1998], Panjer[2001],

McNeil et al.[2005] 238-240. o.), a következőkben ezeket a jellemzőket tekintjük át.

Tegyük fel hogy adott két korlátos veszteséget jelentő valószínűségi változó (X és Y), a

kockázati mérőszámot jelölje ρ függvény (a kockázati mérőszám jelentheti például az

adott kockázathoz rendelhető szolvenciatőke értékét). Koherensnek tekinthető egy

kockázati mutatószám, amennyiben jellemzők rá a következő tulajdonságok:

– szubadditivitás (subadditivity): ρ(X+Y)≤ρ(X)+ρ(Y): két kockázat kombinált

tőkeszükséglete nem haladja meg a két kockázatra külön számított

tőkeszükséglet összegét

– monotonitás (monotonicity): ha X≤Y minden lehetséges kimenet esetén,

akkor ρ(X)≤ρ(Y): ha egy kockázat minden esetben nagyobb veszteségekkel

jár mint egy másik kockázat akkor a tőkeszükséglete is nagyobb

– pozitív homogenitás (positive homogeneity): minden λ pozitív konstansra

ρ(λ·X)=λ·ρ(X): ez például azt jelenti, hogy a tőkeszükséglet független attól

hogy milyen devizában mérik a kockázatot

– átváltási invariancia (translation invariance): minden α pozitív konstansra

ρ(X+α)=ρ(X)+α: ez azt jelenti, hogy egy determinisztikus értéknek az adott

X kockázathoz való hozzáadásával a tőkeszükséglet a hozzáadott értékkel

változik meg.


13

A szubadditivitás figyelembe veszi azt a pénzügyi elméletben elterjedt gondolatot,

hogy diverzifikációval a kockázat csökkenthető. A VaR esetében nem garantált a

szubadditivitás feltevésének teljesülése, így a VaR nem tekinthető koherens kockázati

mutatószámnak. Az Expected Shortfall (illetve a TailVaR) ezzel szemben koherens

kockázati mutatószámnak tekinthető (McNeil et al.[2005], 243. o.)

Érdemes megjegyezni, hogy az IAA (International Actuarial Association) a biztosítók

esetében a szolvenciatőke (illetve a tőkeszükséglet) mérésénél a TailVaR mutatószámot

preferálja (Finkelstein et al.[2006]), ami a biztosítók esetében gyakran tapasztalható

aszimmetrikus veszteség-eloszlásfüggvényekkel is kapcsolatban lehet.

Az intézményszintű kockázat mérésénél tehát gyakori a VaR, illetve a TailVaR

mutatószám alkalmazása. Érdemes lehet azt is áttekinteni, hogy különböző felügyeleti

szolvencia-mérési módszertanokban milyen módon alkalmazzák e két mutatószámot,

illetve érdekes lehet az is, hogy milyen kockázatokkal foglalkoznak egyes banki és

biztosítási szolvencia-értékelő módszerek. A felügyeleti modellek jellemzőit az

összehasonlítás során CEA-Mercer Oliver Wyman[2005] alapján vázoljuk. A

felügyeleti modellek különböző szempontok szerinti összehasonlításakor a

tanulmányozott modellek (solvency regimes) említésekor a következőkben az alábbi

jelöléseket alkalmazzuk:

– FTK: Financial Assessment Framework (Hollandia)

– SST: Swiss Solvency Test (Svájc)

– FSA: FSA (Financial Services Authority) integrated prudential sourcebook

for insurers (Egyesült Királyság)

– JR: Jukka Rantala modell, a CEA Solvency II munkacsoportjának korábbi

elnöke neve alapján elnevezett modell; a CEA a standard megközelítés

(Standard Approach) kidolgozásával foglalkozott

– NAIC: National Association of Insurance Commissioners modell (USA)

– 2002 GDV: a német biztosítók felügyeleti modellje (átdolgozása

folyamatban)

– S&P: Standard&Poor's európai biztosítói csoport tőkemodell


14

Az egyes szolvencia-értékelő modellek között a modell által tartalmazott kockázat-

fajták esetében a főbb különbségeket az 1. sz. táblázat tartalmazza:

1. sz. táblázat: Felügyeleti szolvencia-értékelő modellekben található kockázatok

biztosítói szolvencia modellek

banki

szolvencia

modell

Solvency I

2002

GDV NAIC S&P JR FSA FTK SST Bázel II

Biztosítási

kockázat + + + + + + +

Katasztrófa-

kockázat (+) +

tiszta piaci

kockázat + + + (+) + + + +

ALM

kockázat + + + + + +

Hitelkockázat + + + (+) + + Bázel II +

működési /

üzleti

kockázat + + + (+) + +

+: foglalkozik vele a modell

(+): kidolgozása folyamatban van

nincs jelölés: nem foglalkozik vele a modell

Forrás: CEA - Mercer Oliver Wyman[2005]

A biztosításokra jellemző biztosítási (underwriting) kockázat a Solvency I modellen

kívül minden, az összehasonlításban szereplő biztosítási modellben szerepel3, valamint

szintén elterjedt például a hitelkockázat és a piaci kockázat modellekben történő

szerepeltetése (ezen kockázatokkal általában a fejlettebb vállalati belső modellek is

foglalkoznak).

A szolvencia modellek kockázati mérőszámai az elemzésben szereplő felügyeleti

modellek esetében a következők (2. sz. táblázat):

3 Természetesen a Solvency I modell is figyelembe veszi a biztosítások során jelentkező biztosítási kockázatot, azonban egyszerűbb megközelítéssel, a biztosítási tevékenységet jellemző más kockázatokkal együttesen tekinti a hatását; a táblázatban ezért is nem szerepel külön jelölés e kockázat-fajtánál a Solvency I modell esetében.


15

2. sz. táblázat: Szolvencia-értékelő modellek kockázati mérőszámai

biztosítói szolvencia modellek

banki

szolvencia

modell

Solvency I

2002

GDV NAIC S&P JR FSA FTK SST Bázel II

nem meghatározott +

standard Value-at-Risk + + + + + + +

Tail Value-at-Risk +

Forrás: CEA - Mercer Oliver Wyman[2005]

A továbbiakban a kockázat mérésére a TailVaR mutatószámot alkalmazzuk, mivel –

bár kiszámítása nehézkesebb lehet, mint a VaR mutatószámé – a problémák esetében

várható veszteségek nagyságára is utal az értéke.

A tanulmány következő fejezetében bemutatott elméleti modellben tehát az

intézményszintű kockázat mérésénél a TailVaR mutatószám szerepel, mivel ez

bizonyos esetekben egyes modelleknél az adott intézmény tőkeszükségletének

mérésére is alkalmas lehet, így a banki termékek biztosítási termékekkel történő

kockázati hatásait olyan modell-keretben lehet tanulmányozni, amely a gyakorlatban is

relevánsnak tekinthető mutatószámokat is alkalmaz. A tanulmány korábbi részeiben

már volt szó arról, hogy a biztosítással kombinált banki termékeknek milyen fontosabb

fajtáit lehet megkülönböztetni és ennek során megállapítható volt, hogy a termékek

kombinálásából eredő kockázati hatások főként az olyan kombinációknál lehetnek

jelentősek, amelyeknél a banki és biztosítási termék „integrált” termékkonstrukció,

tehát nem csupán a termékek együttes értékesítéséről és esetlegesen az együttes

értékesítésnél kedvezmény nyújtásáról van szó. Napjainkban az egyik legelterjedtebb

ehhez hasonló termékkonstrukció az életbiztosítással kombinált banki hitel, így a

következőkben bemutatott elméleti modell és az ehhez kapcsolódó számítások ehhez a

termékkonstrukcióhoz kapcsolódnak.


16

3. Elméleti modell a biztosítással kombinált banki

termékek kockázatának mérésére

3.1. Modellfeltevések

A következőkben bemutatott elméleti modellben az egyik fő cél annak bemutatása,

hogy a banki termékek biztosítási termékekkel való kombinálása során milyen

kockázati hatások jöhetnek létre, illetve annak felderítése, hogy az elemzésben szereplő

lehetséges biztosítási termékek közül melyek azok, amelyek az elemzésben szereplő

banki termékkel kombinálva az intézményszintű kockázat emelkedését okozhatják.

A biztosító és a bank működését modellfeltevések között elemezzük. A modellezés

során a fő cél, hogy a biztosítási és banki tevékenységek legfontosabb vonásai

szerepeljenek a modellben. A modell emiatt nem vállalkozik arra, hogy a gyakorlatban

tapasztalható helyzetek pontos mása legyen4, ehelyett azt célozza, hogy bemutassa,

melyek azok a tendenciák, amelyek a biztosítási és banki tevékenység legfontosabb

vonásainak együttes hatása eredményeképpen kialakulhatnak.

A tanulmányban bemutatott modell a biztosító és a bank működését néhány egyenlet

alapján írja le. Ezekben az egyenletekben bizonyos értékeket valószínűségi változónak

tekintünk. Ezen valószínűségi változók konkrét értékei alapján kiszámolható a biztosító

és a bank veszteségének jelenértéke. A kockázat mérésére a modell a tőkeszükséglet

mérésére is alkalmasnak tekinthető TailVaR mutatószámot alkalmazza. Az elméleti

levezetések után az eredményeket szimulációk eredményei alapján is szemléltetjük. A

biztosító és bank esetében a veszteség-jelenértékeket 1000 szimuláció alapján

számoljuk ki.5 A szimulált értékekből meghatározható a veszteség-jelenérték empirikus

4 A gyakorlatban tapasztalható összes sajátosságot figyelembe vevő modell bemutatása meghaladja e tanulmány terjedelmi korlátait. 5 Filipovic-Rost[2005] szerint a felmérésben szereplő biztosítók belső modelljei esetében a szimulációk száma 1000 és 1.000.000 között van: 1000 szimuláció már stabil eredményeket adhat az életbiztosítás esetében beágyazott opciók („embedded options”) nélkül, míg a nem-életbiztosítások esetében ennél többre is szükség lehet.


17

hisztogramja, amiből következtetni lehet a veszteség-jelenérték eloszlására, illetve a

különböző hisztogramok összehasonlításával lehetőség van különböző

termékkombinációk kockázatosságának összehasonlítására.

A modellezés során az is a célok között szerepel, hogy a felépített modell néhány

fontosabb vonásában hasonlítson a szolvencia (tőkeszükséglet) értékelésénél

használatos felügyeleti illetve vállalati (belső) modellekre. A tanulmányban követett

modellezési eljárás során alkalmazott feltevések és a biztosítók felügyeleti valamint

vállalati (belső) modelljeinek feltevései esetében a 3. sz. táblázat tartalmazza azt, hogy

a tanulmányban bemutatott modell például mely felügyeleti modellhez illetve a

biztosítók belső modelljeihez milyen mértékben hasonló az adott szempont alapján.

3. sz. táblázat: A tanulmányban bemutatott modell egyes jellemzői

saját modell felügyeleti modellek

vállalati (belső)

modellek

kockázat mérése TailVaR SST 13-ból 2

időperiódus 1 év általában 1 év 13-ból 10: 1 év

módszer sztochasztikus

szimuláció alapján

veszteségfüggvény

eloszlásán alapul

FSA, FTK, SST:

diszk.CF előrejelzés

szerepel

13-ból 8: sztochasztikus

faktormodell

Forrás: CEA - Mercer Oliver Wyman[2005], Filipovic-Rost[2005]

A biztosítással kombinált banki termékek esetében azokkal az esetekkel foglalkozunk a

modellben, amikor a banki termék – a modellben ez az adott paraméterekkel

rendelkező hitel – és a biztosítás kombinálása olyan módon történik, hogy a biztosítási

szolgáltatás kifizetésével történhet meg a hiteltörlesztés. (Ezen kívül a modellben utalás

történik arra is, hogy milyen kockázati hatások megjelenésével függ össze, ha a

biztosítás mindössze „kiegészíti” a banki hitelt, tehát a hiteltől függetlenül van

biztosítása az ügyfélnek, amelynek kifizetéseit a bank bizonyos esetben igénybe veheti

törlesztés céljára.) Az előző fejezetben leírtak alapján a biztosítással kombinált banki

termékek közül ezek a lehetőségek azok, amelyek jelentősebb összefüggést jelentenek a

banki és a biztosítási termékek között, így tehát az elméleti modellben azon esetek

elemzésére törekszünk, amelyek jelentősebb hatást gyakorolhatnak az intézményszintű

kockázatosságra. Az elméleti modell alapján a következő eseteket elemezzük:


18

– a biztosítás nélküli helyzet

– klasszikus vegyes életbiztosítás igénybevétele (amely magában foglalja a

kockázati életbiztosítási és elérési életbiztosítási részeket is)

– unit-linked életbiztosítás igénybevétele.

A modellezés során azt feltételezzük, hogy a banki termék és a biztosítás futamideje

megegyezik egymással, és az áttekinthetőbb eredmények érdekében ez a futamidő a

modellben egy év. Azzal együtt, hogy a gyakorlatban a biztosítással kombinált banki

termékek futamideje ennél gyakran hosszabb, az egy éves időtáv feltételezése alkalmas

a különböző termékkonstrukciókban rejlő kockázatosság összehasonlító modellezésben

történő szerepeltetésére. A gyakorlatban általában jellemző hosszabb futamidő során

nyilvánvalóan számos tényező befolyásolja a „termékszintű” és intézményszintű

kockázatosságot, például az ügyfelek halandósági valószínűségei is változnak évről

évre, illetve például unit-linked termékek esetén valamely befektetési stratégia

választása esetében az egyes időszakokban elért befektetési hozamok együttes

eredményessége is különbözhet az egyéves befektetési hozamok eredményességétől

(ezenkívül például szintén fontos lehet, hogy a biztosításoknál milyen mértékben

jellemző az egyes években a maradékjogok igénybevétele). Jelen elemzés fő célja

annak áttekinthető bemutatása, hogy a banki termékek biztosítási termékekkel történő

kombinálása hogyan befolyásolja a termékszintű, illetve intézményszintű kockázatot.

Az áttekinthetőség érdekében a modellben olyan feltevések találhatók, amelyek a

gyakorlatban tapasztalható komplex helyzetekből igyekszik kiemelni a kockázatosságot

befolyásoló legfontosabb tényezőket, és a tanulmány ezek hatásainak elemzésével

foglalkozik. Az elméleti modellben az egy éves futamidő alkalmazása olyan feltevés,

amely lehetővé teszi, hogy az elemzés áttekinthetően koncentrálhasson a banki és

biztosítási termékek kombinálásának kockázatot érintő hatásaira. Az egy éves futamidő

feltevése a modellben például a következő jelenségekkel függ össze:

– a biztosítások díja tipikusan a biztosítási időszak elején fizetendő, a

számítások minél inkább áttekinthető szinten tartása érdekében az elméleti

modell nem foglalkozik az évesnél gyakoribb biztosítási díjfizetéssel, ami

ebben a modell-keretben azt jelenti, hogy az érintett ügyfelek egyszeri

biztosítási díjat fizetnek (az ennél gyakoribb díjfizetés feltételezése azzal


19

járna, hogy például az ügyfelek éven belüli esetleges elhalálozásának

kockázatra gyakorolt hatásával is szükséges lenne foglalkozni, amely az

elméleti levezetéseket jelentősen bonyolíthatná

– a biztosítási szolgáltatások, illetve a biztosítási összeg kifizetésére a

biztosítási tartam, vagyis az egy éves tartam végén kerülhet sor (a biztosítási

esemény bekövetkezése esetében)

– a bankhitel visszafizetése, illetve a hitelkamat megfizetése az egy éves

futamidő végén esedékes (természetesen a gyakorlatban tapasztalható, hogy

például a jelzáloghitelek törlesztése ennél hosszabb időt vesz igénybe)

– az ügyfél bankhitellel kapcsolatos fizetési nehézségei a futamidő végén

jelentkezhetnek.

Az elméleti modell (amely az előzőekben leírtak szerint a gyakorlatban tapasztalható

helyzet egyszerűsítését jelenti) ilyen módon kiemeli a banki termékekkkel, illetve a

biztosítási termékekkel kapcsolatos pénzáramlások különbözőségét.

Az intézményszintű kockázatot elemezve fontos megállapítás az is, hogy amennyiben

azt feltételezzük, hogy a banki termékek igénybevevőinek biztosítási kockázata nem

szignifikánsan magasabb mint azoké a biztosítást vásároló ügyfeleké, akiknek

biztosítása nem banki termékkel kombinált, akkor megállapítható, hogy a biztosító

intézményszintű kockázata a banki termékkel kombinált biztosítással rendelkező

ügyfelek megléte miatt nem változik szignifikánsan az elméleti modellben. Ezen

megfontolás alapján a biztosítással kombinált banki termékekben rejlő addicionális

kockázat mérésére a bank intézményszintű kockázata esetében törekszik a modell.

Ilyen feltevések esetén a bank és a biztosító közül a bank az az intézmény, amelynek

intézményszintű kockázatára a banki termék biztosítással történő kombinálása hatással

lehet. A modell ezen hatás mértékének bemutatatására törekszik.

3.1.1. A bank modellje

A tanulmányban bemutatott modellben a bankot alapvetően kereskedelmi banknak

tekintjük, azaz a feltevések szerint a bank betéteket gyűjt (a betétek után adott

nagyságú forrásköltséget fizet a bank), amelyeket aztán a biztosítási tartammal


20

megegyező futamidejű hitelek nyújtására fordít. A gyakorlatban természetesen a hitelek

futamideje általában nagyobb a betétekénél, a modellben a hitelek és betétek azonos

futamideje az áttekinthetőbb számítások elősegítése érdekében van feltételezve. A

felvett hitel összege a feltevések szerint a modellben minden hiteladós esetében azonos

és a felvett hitel összege megegyezik a kockázati, illetve az elérési életbiztosítás

(vegyes biztosításnál) biztosítási összegével. Egy ügyfél a feltevések szerint p

valószínűséggel nem fizeti vissza a hitelt, a hitel vissza nem fizetésének a feltevések

szerint lehet oka az, hogy a hiteladós elhunyt vagy pedig az hogy a hiteladósnak

gazdasági nehézségei vannak.6

A feltevések szerint a bank a saját tőkéjét és az idegen forrásokat teljes egészében

hitelek kihelyezésére fordítja7, a hitelállomány pedig homogén olyan értelemben, hogy

a hiteladósok jellemzői (például életkoruk) megegyeznek és a kihelyezett hitel értéke

valamint a hitelkamatláb is azonos minden hiteladós esetében. Amennyiben ST-vel

jelöljük a bank saját tőkéjét, B-vel a banknál elhelyezett betétek értékét és n pedig a

hitelt felvevő ügyfelek számát jelöli, akkor ezek alapján teljesül, hogy az ügyfél által

felvett hitel összege (T)8:

n

BSTT

+=

A feltevések szerint az egy éves futamidejű hiteleknél az egy éves időtáv végén kerül

sor a hitel (a tőketartozás és a kamat) törlesztésére, illetve nem fizető hitel esetében a

bank semmilyen törlesztést nem kap. A feltevések szerint az egyes hitelek esetében p

valószínűség rendelhető a fizetésképtelenség eseményéhez, így az i-dik hitel esetében

definiálható ξ1i (karakterisztikus) valószínűségi változó (i= 1, …, n) a

következőképpen:

6 A feltevések szerint a hitel vissza nem fizetése esetén semmilyen összeg nem folyik be a hiteladóstól (a tartozás egy része sem). 7 A gyakorlatban a bankok természetesen a hiteleken túl további eszközökkel is rendelkeznek. A modellben ezekkel a további eszközökkel elsősorban az eredmények áttekinthetősége érdekében nem foglalkozunk részletesen. A modell alapján levezethető főbb eredményeket egyébként nem befolyásolná számottevően a további eszközök figyelembevételével végzett elemzés, amennyiben a további eszközök és a hitelállomány értékalakulásának függetlenségét feltételezzük. 8 Az elméleti modellben alkalmazott egyik egyszerűsítő feltevés alapján a modell nem foglalkozik például a bank által képzett különböző tartalékokkal sem.


21

1 fizetésképtelenség esetében

ξ1i =

0 ha nincs fizetésképtelenség.

A nemfizető hitelek számát jelentő ξ1 valószínűségi változó a ξ1i (karakterisztikus)

valószínűségi változók összegeként írható fel, tehát binomiális eloszlású:

ξ1 =ξ11 + …+ ξ1n

A binomiális eloszlást jellemző két fontos érték a várható érték és a variancia, a ξ1

valószínűségi változó eloszlása esetében ezek a paraméterek a következőképpen

számíthatók ki:

E(ξ1) = n·p (várható érték)

Var(ξ1) = n·p·(1–p) (variancia, szórásnégyzet)

Megfelelően nagy n esetén (ez már n=1000 esetében is teljesülhet) a binomiális

eloszlás a normális eloszlással közelíthető. Mivel a gyakorlatban egy bank hiteleinek

száma e határt gyakran jóval meghaladhatja, így a nem fizető hitelek számát mutató ξ1

valószínűségi változót a továbbiakban normális eloszlással közelíthetőnek tekintjük.

A bank eredménye a hitel futamidejének végén (1 év elteltével) a modellfeltevések

alapján úgy számítható ki, hogy az összes (nem fizetésképtelen) hiteladós által

(hitelkamattal együtt) visszafizetett összeget a betéteseknek visszafizetendő pénz

forrásköltséggel növelt összegével csökkentjük. A modellben a hitelkamatot k, a

betétek után fizetendő kamat értékét pedig f jelöli, így az alkalmazott feltevések

alapján az egy év múlvai banki profit értéke a következőképpen határozható meg:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )fBnkn

BSTfBnkT +⋅−−⋅+⋅

+=+⋅−−⋅+⋅ 1111 11 ξξ


22

A bank intézményszintű kockázatosságának mérésekor ezen képlet alapján először a

bank veszteségének jelenértéke kiszámítására kerül sor, majd a veszteség-jelenérték

alapján történik a kockázati mutatószám (a TailVaR) értékének számítása. A bank

eredményességét alapvetően befolyásoló tényező a hitelkamat és a forrásköltség

különbsége, a hitelkamat meghatározására jellemzően úgy kerül sor, hogy a hitelek

kamatai várhatóan elegendőnek bizonyuljanak a források után fizetendő költségek (és

egyéb költségek) kifizetésére is. Az ehhez minimálisan szükséges hitelkamat

meghatározásával az elméleti modell nem foglalkozik, azonban a kockázatra gyakorolt

jelentős hatása következtében a hitelkamat és a forrásköltség különbségének az

intézményszintű kockázati mutatószámra gyakorolt hatását elemzi a tanulmány.

3.1.2. A biztosítások jellemzői

A biztosító a tanulmányban bemutatott elméleti modellben 1 éves tartamú

hagyományos vegyes életbiztosításokat és unit-linked életbiztosításokat árul (az

értékesített biztosítások meghatározott paraméterekkel rendelkeznek), amelyeknél a

kockázati illetve az elérési rész biztosítási összege az 1 éves futamidejű banki hitel

tőketörlesztésének felel meg. A biztosítási összeg kifizetésére a feltevések szerint az 1

éves tartam végén kerül sor. A feltevések szerint a biztosításokat x éves korú férfiak9

vásárolják, a biztosítási díjat az ekvivalencia-elv10 alapján adott néphalandósági tábla11

és technikai kamatláb12 alkalmazásával számolják ki. A modellszámítások során a fő

cél az, hogy a banki és biztosítási termékek kombinálása során esetlegesen létrejövő

kockázatra vonatkozó (ezáltal pedig a tőkeszükségletet is érintő) hatásokat

számszerűsíteni lehessen. Ennek érdekében a gyakorlatban ténylegesen jellemző

9 A számítások könnyen elvégezhetők női biztosítottak esetében is, biztosítási szempontból a különbségek elsősorban – azonos életkor feltevése esetén – a halandósági valószínűségek különbözőségében jelentkeznek. Természetesen a számítások elvégezhetők olyan halandósági valószínűségekkel is, amelyek kiszámolására a férfi illetve női biztosítottak esetében jellemző halandósági valószínűségek együttes figyelembevételével került sor. A biztosítással kombinált banki termékek kockázatainak elemzése során azonban a biztosítottak neme nem befolyásolja jelentősen az elemzés következtetéseit. A szimulációs számítások során x értéke egyébként a feltevések szerint 35 év. 10 Az ekvivalencia-elv alapján az életbiztosítások esetében a biztosító szempontjából a várható kiadások jelenértéke megegyezik a várható bevételek jelenértékével. 11 A halandósági tábla olyan adatokat tartalmaz, amelyből sor kerülhet például halandósági valószínűségek kiszámítására. A halandósági tábla azt mutatja meg, hogy (adott halandósági valószínűségek esetében) 100.000 újszülött feltételezése esetén mennyi lesz az 1,2,3, … stb. évet elérők száma (a halandósági táblák gyakran maximum 100 éves életkort vesznek figyelembe). A halandósági tábla alapján bizonyos feltevések alkalmazásával kiszámolható valamely életbiztosítás nettó (költségek nélkül számított) díja. 12 Az életbiztosítási díj kalkulációja során a diszkontálásnál alkalmazott ráta.


23

számos tényező közül a leginkább lényegesnek tartottak szerepelnek a modellben.

Emiatt például a modellben a feltevések szerint a biztosításokat nettó díjon vásárolják

meg, illetve a költségekről azt feltételezzük, hogy azokat az ügyfelek a futamidő

kezdetekor teljes mértékben megfizetik.13

A következőkben a tanulmányban az egyes biztosítások banki termékkel történő

kombinálásakor létrejövő kockázati hatásokat elemezzük. A „klasszikus” biztosítások

közül figyelmet érdemel a kockázati és az elérési életbiztosítás megkülönböztetése. A

vegyes életbiztosítás a kockázati és az elérési életbiztosítás kombinálásával jön létre,

amelynek során a következő biztosítási szolgáltatások fordulhatnak elő a legegyszerűbb

esetet feltételezve:

– a kockázati életbiztosítás esetében a biztosított személy elhalálozása

esetében a szerződésben meghatározott kedvezményezett részére történik

meg a biztosítási összeg kifizetése, a tanulmányban bemutatott elméleti

modellben a banki hitellel „integrált” biztosításnál a biztosítással kombinált

banki termékek esetében a kedvezményezett a hitelnyújtó bank, a biztosítási

összeg pedig a hitel esedékes tőketörlesztése

– az elérési életbiztosításnál a biztosítási összeg kifizetése akkor esedékes, ha a

biztosított személy a biztosítási tartam végén életben van, a tanulmányban

szereplő elméleti modellben a klasszikus vegyes biztosításnál az elérési

biztosítás biztosítási összege a bank által nyújtott hitel esedékes

tőketörlesztésével egyezik meg.

Ezek alapján a „klasszikus” vegyes biztosítás nettó díja a modellben:

il

lB

il

lB

x

xelérési

x

xkockázati

+⋅⋅+

+⋅

−⋅ ++

1

1

1

11 11

ahol:

Bkockázati: a kockázati életbiztosítás biztosítási összege

Belérési: az elérési életbiztosítás biztosítási összege

13Ilyen módon gyakorlatilag ugyanahhoz a (biztosító által) befektetendő pénzösszeghez jutunk mint ami a tanulmányban bemutatott modellben szerepel.


24

lx: a néphalandósági táblában az életben lévő x éves személyek száma

i: a technikai kamatláb

A kockázati és az elérési életbiztosítás biztosítási díja jelentősen eltérhet egymástól

(azonos biztosított és biztosítási tartam esetében is). A kockázati életbiztosításnak

azonos feltételek (vagyis azonos életkorú biztosított, és azonos biztosítás tartam)

esetében általában alacsonyabb a díja, mint az elérési életbiztosításnak. Az egyes

életbiztosításoknál a díjak meghatározásánál ugyanakkor fontos tényező a biztosított

személy életkora is. A kockázati életbiztosításoknál például 2 éves biztosítási tartamot

feltételezve az egyes belépési korok esetében az egyszeri (költségeket nem tartalmazó)

nettó díj egységnyi biztosítási szolgáltatás esetében a következőképpen alakul (férfi

biztosítottakat feltételezve14, 2.sz. ábra):

2.sz.ábra: Kockázati életbiztosítás egyszeri nettó díjai

0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 Forrás: saját számítások

A kockázati életbiztosítások egyszeri nettó díja tehát minden egyéb tényezőt

változatlannak feltételezve a nagyobb belépési életkor esetén magasabb; ez a tendencia

a magasabb életkorban jellemző nagyobb halandósági valószínűségekkel függ össze.

Megfigyelhető ugyanakkor, hogy a 2 éves tartam feltételezése esetében egységnyi

biztosítási összegre vonatkozóan viszonylag alacsonynak tekinthető az életbiztosítás

nettó díja: még 45 éves biztosított feltételezése esetén is mindössze alig több mint 2

százaléka az egyszeri nettó díj a biztosítási összegnek. A tanulmányban szereplő

modellben feltételezzük, hogy a biztosítással kombinált banki termékek esetében az

életbiztosítás egyszeri díját az ügyfelek fizetik15, amennyiben ilyen jellegű

14 1998-as halandósági adatokat alkalmazva a számításoknál (adatok forrása: Banyár[2003]). A számítások során a technikai kamat értéke 1%. 15 A banki hitellel „integrált” és a „kiegészítő” jellegű életbiztosítás esetén is.


25

életbiztosítással kombinálják a banki terméket (hitelt), ez a számpélda azt mutatja, hogy

ez a feltevés nem jelenti az elemzésben szereplő ügyfelek feltűnően magas anyagi

megterhelését. Magasabb futamidő esetében (ami a gyakorlatban a biztosítással

kombinált banki termékeket általában jellemzi) természetesen nagyobb lehet a

kockázati életbiztosítások díja is, ebben az esetben azonban feltételezhető, hogy azt a

hosszabb futamidő alatt rendszeres díjfizetéssel teljesítik, így egyébként ezen díjak

fizetése is megvalósítható lehet a biztosítással kombinált banki termékeket igénybevevő

ügyfelek számára. Amennyiben például a kockázati életbiztosításnál 20 éves biztosítási

tartamot feltételezünk, a különböző belépési korú ügyfeleknél éves díjfizetés esetében

az éves nettó díjak egységnyi biztosítási összegnél a következőképpen alakulnak (3.sz.

ábra):

3.sz. ábra: Kockázati életbiztosítás éves nettó díjai

0,000

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

0,014

0,016

0,018

0,020


Látható tehát, hogy 20 éves biztosítási és díjfizetési tartam esetében az évente fizetendő

nettó biztosítási díj a kockázati életbiztosításnál (az előző példához hasonló további

paraméterek esetében) szintén viszonylag alacsony érték a biztosítási összeghez képest.

A modellfeltevések szerint tehát a kockázati életbiztosítás díját az ügyfelek fizetik (és

nem a bank fizeti meg a biztosítási díjat).

A kockázati életbiztosítás mellett a „klasszikus” vegyes életbiztosítás másik

alkotóeleme az elérési életbiztosítás. Ennél a biztosításnál azonos (a biztosított

életkorára és nemére, a technikai kamatra, stb. vonatkozó) paramétereket feltételezve a

díjak gyakran magasabbak, mint a kockázati életbiztosításnál. Az előzőekhez hasonlóan

néhány belépési életkort tekintve például 20 éves biztosítási és díjfizetési tartam

esetében egységnyi biztosítási összegre vonatkozóan az éves nettó díjak az elérési


26

életbiztosításnál a következőképpen alakulnak (az azonos paraméterekkel számolható

kockázati életbiztosítás éves nettó díjaival összehasonlítva, 4.sz. ábra):

4. sz. ábra: Elérési és kockázati biztosítás éves nettó díjai

0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0,030

0,035

0,040

0,045

0,050


A kockázati életbiztosítással szemben az elérési életbiztosítás (éves) díjai minden

egyéb tényező változatlanságát feltételezve a biztosított magasabb életkora esetében

alacsonyabbak, ami a magasabb életkorban jellemző magasabb halandósági

valószínűségekkel van összefüggésben. Az elérési életbiztosítások egyszeri díjai

különböző életkorok esetében általában jelentősen meghaladják a kockázati

életbiztosítás esetében számolható egyszeri díjakat (továbbra is nettó díjakat elemezve).

A következő ábra egységnyi biztosítási összegre vonatkozóan adott életkorokban a

kockázati és az elérési életbiztosítás egyszeri nettó díjait hasonlítja össze (az elérési

biztosítás díjait vonaldiagram szemlélteti, az elérési biztosítási díjak értékei a jobb

oldali tengelyen találhatók, 5. sz. ábra):

5. sz. ábra: Kockázati és elérési biztosítás egyszeri nettó díjai

0

0,001

0,002

0,003

0,004

0,005

0,006

0,007

0,008

0,009

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

0,978

0,980

0,982

0,984

0,986

0,988

0,990

Forrás: saját számítások


27

A tanulmányban szereplő modellben egy éves tartam esetében elemezzük a

biztosítással kombinált banki termékek egyes kockázatait. A gyakorlatban előfordulhat,

hogy a vegyes biztosítás megtakarítási jellegű elérési életbiztosítási részével

összefüggésben befizetett rendszeres díjak alapján kapott biztosítási összeg alapján

történik meg a bankhitel tőketörlesztése. Ahogyan azt az előző példák is mutatják,

hosszabb futamidejű hitelnél (illetve ezzel összefüggésben hosszabb tartamú

biztosításnál) a rendszeres (például éves) díjak fizetése az egyszeri díjakkal

összehasonlítva általában alacsonyabb anyagi megterhelést jelent az ügyfelek számára.

A tanulmányban bemutatott elméleti modellben az áttekinthetőbb eredmények elérése

érdekében egy éves futamidejű hitellel (és ezzel összefüggésben egy éves tartamú

biztosítással) foglalkozunk, tehát a biztosítási időszak elején fizetendő biztosítási díj a

modellben szereplő vegyes biztosítás esetében jelentősnek tekinthető kiadást jelent az

ügyfél részére. Az elméleti modell keretein belül ez a gyakorlatban tapasztalható

helyzetek egyfajta egyszerűsítésének tekinthető (az elméleti modell így szemlélteti a

banki termék – hitel – illetve a biztosítás jellemző pénzáramlás-szerkezetében gyakran

megfigyelhető különbségeket): a biztosítás nélküli helyzet és a banki termék (hitel)

különböző biztosítási termékekkel történő kombinálásából adódó kockázati hatások

irányának, illetve mértékének összehasonlítására ilyen modell-keretben is lehetőség

van, és ezen kívül ilyen feltevésekkel mérsékelhető egyes, az eredmények lényeges

vonásait nem befolyásoló tényezők áttekinthetőséget csökkentő hatása. A „klasszikus”

vegyes életbiztosítás esetében a modellben további feltevés, hogy az elméleti

modellben nem szükséges többlethozam-visszatérítéssel foglalkozni, mivel az

(alacsony kockázatúnak feltételezett) befektetési portfólió (ügyfelek számára jóváírt)

hozama megegyezik a technikai kamattal. Ez a feltevés elősegíti, hogy a befektetési

portfóliók ügyfelek általi megválasztásának lehetőségét lehetővé tevő unit-linked

életbiztosítások, illetve a „klasszikus” életbiztosítás (banki termékekkel történő

kombinálás során létrehozott) kockázatra gyakorolt hatásai jól elkülönítve

tanulmányozhatók legyenek.

A unit-linked (befektetési egységhez kötött) életbiztosítások esetében Banyár[2003]

alapján a gyakorlatban fontos jellemző, hogy az ügyfél megválaszthatja, milyen legyen

a biztosítás tartalékának befektetési portfóliója (a biztosító által kínált lehetőségeken

belül), illetve hogy a biztosítás költségszerkezete tipikusan átláthatóbb az ügyfelek


28

számára, mint a vegyes biztosítások esetében. Banyár[2003] alapján a unit-linked

(befektetési egységhez kötött) életbiztosítások fontosabb jellemzői napjainkban:

– a díj egy részét a biztosító már a díj befizetésekor levonja bizonyos típusú

költségeire

– a biztosítónál a befizetett díj befektetésére általában különböző választható

eszközalapok állnak rendelkezésre (és a befektetéseket általában naponta

értékelik)

– a biztosító szolgáltatása halálesetnél egy előre meghatározott haláleseti

összeg vagy a befektetési egységalapok értéke (ha ez magasabb a haláleseti

összegnél)

– a biztosító a biztosítási tartam végén, lejáratkor a befektetési egységalapok

értékét fizeti ki.

A unit-linked (befektetési egységhez kötött) életbiztosítás nevében a „unit” (illetve az

„egység”) szó arra utal, hogy az eszközalapokban az ügyfél pénzét úgynevezett

egységekben tartják nyilván (és az egységeket a biztosító eladási és vételi árfolyamon16

értékeli). Az egységek két fajtája a kezdeti és a felhalmozási egység. A kezdeti

egységek főként a biztosító kezdeti (például szerzési) költségeinek fedezetéül

szolgálnak, illetve a biztosító a haláleseti kockázat díját is az adminisztrációs

költségekhez hasonlóan, egységek elvonásával szokta beszedni. Érdekes azt is

megemlíteni, hogy a haláleseti kockázat díja attól is függhet (változó lehet), hogy

mekkora az eszközalapokban lévő egységek összes értéke, ha ugyanis ez a haláleseti

összegnél magasabb, akkor a biztosító az adott időszakban nem szed külön kockázati

díjat, ellenkező esetben pedig a haláleseti biztosítási összeg és az eszközalapokban lévő

pénz különbsége, valamint az ügyfél neme és kora alapján kerül sor a kockázati díj

kiszámítására.

A unit-linked életbiztosítások gyakorlati jellemzői alapján az elméleti modellben a

fontosabb tulajdonságok kiemelésével kerül sor a modellben szereplő, egy éves

16 Az ügyfél díjfizetése úgy is tekinthető, hogy a biztosító eladási árfolyamon egységeket ad el az ügyfélnek, a biztosító szolgálatásának fizetése pedig tekinthető úgy, hogy a biztosító vételi árfolyamon egységeket vásárol az ügyféltől. Az eladási árfolyam természetesen meghaladja a vételi árfolyamot.


29

biztosítási tartamú unit-linked életbiztosítás modellezésére. Az elméleti modell a

következő feltevéseket tartalmazza a unit-linked életbiztosításokkal kapcsolatban:

– a biztosítási díj magában foglalja a haláleseti kockázat díját és az ügyfél által

befektetésre szánt összeget

– a biztosító költségeiről (a vegyes életbiztosításnál feltétezettekhez

hasonlóan) azt feltételezzük, hogy azt az ügyfél a futamidő kezdetekor teljes

mértékben megfizeti, így az elemzésben a befektetés eredményre gyakorolt

hatására lehet koncentrálni

– a biztosító szolgáltatása az ügyfél elhalálozása esetében az előre

megállapított haláleseti összeg (amely a banki hitel tőketörlesztésének

megfelelő érték), illetve a befektetési eszközalap értéke közül a magasabbik

összeg, ebből a feltevések szerint az ügyfél elhalálozása esetén a banki hitel

tőketörlesztésének megfelelő összeg a bankot illeti meg (ez a feltevés azért

kerül be az elméleti modellbe, hogy a különböző befektetési portfóliók

kockázatosságra gyakorolt hatását áttekinthetőbben lehessen bemutatni: a

halandósági kockázat fiatal ügyfelek esetében viszonylag alacsony, így az

elméleti modell legfontosabb eredményeit az elhalálozás esetén fizetendő

összeg részletesebb, kifinomultabb definiálása csekélyebb mértékben

befolyásolná)

– a biztosító szolgáltatása az eszközalapok aktuális értéke abban az esetben,

amikor az ügyfél megéli a biztosítási tartam végét (ebből a modellfeltevések

szerint a bank maximum a felé fennálló tartozás értékét kapja meg17).

Az elméleti modellben tehát a főbb kockázati tendenciák minél világosabb bemutatása

érdekében nem kerül sor például az egységek esetében a vételi és az eladási árfolyam

közötti különbözet figyelembevételére sem. Ezzel együtt az elméleti modell alapján

lehetőség van a biztosítás nélküli helyzet, illetve az ügyfélállomány meghatározott

részében alkalmazott, a kockázati és elérési részt tartalmazó „klasszikus” vegyes

biztosítás, valamint a unit-linked életbiztosítás banki (hitel) termékkel történő

kombinálásakor tapasztalható helyzet kockázati sajátosságainak összehasonlítására.

17 A banki hitellel „integrált” unit-linked biztosításnál a modellfeltevések szerint a tőketörlesztés értékét, a „kiegészítő” jellegű unit-linked biztosításnál pedig a tőketörlesztés kamattal növelt értékét.


30

3.2. A kockázat mérése biztosítás nélküli helyzetben

A következőkben a bank intézményszintű kockázatát elemezzük abban az esetben,

amikor a banki hitelekhez nem kapcsolódik semmilyen biztosítás. A továbbiakban az

ezen esettel kapcsolatos eredményeket a banki termék (hitel) különböző biztosításokkal

történő kombinálásakor létrejövő helyzetekben tapasztalható eredményekkel való

összehasonlításra alkalmazzuk.

Az előzőekben bemutatott feltevések alapján a bank intézményszintű kockázatának

mérésére a bank veszteség-jelenértékéhez kapcsolódóan számítható TailVaR

mutatószámot alkalmazzuk. Ezen mutatószám kiszámításához kapcsolódóan – az

előzőekben bemutatott modellfeltevések alapján – a következő jelölések alkalmazására

kerül sor:

ξ1: nemfizető hitelek száma

p: nemfizetési valószínűség egy hitel esetében

n: hitelek száma

T: egy kihelyezett hitel (tőketartozás egy hiteladós esetében)

k: éves hitelkamatláb

f: a bank idegen forrásai esetében a forrásköltség

r: a saját tőke elvárt hozama

ST: saját tőke értéke

B: a bank idegen forrásainak (pl. betétek) értéke.

A feltevések szerint a bank hitelei egy éves futamidejűek, az egy év elteltével kerül sor

a hitel kamatának és tőketörlesztésének megfizetésére. A feltevések szerint a bank

hitelfelvevő ügyfeleinek egy része nem törleszti a hiteleit (a feltevések szerint ekkor a

teljes tartozás megfizetése elmarad és rész-törlesztés sem történik), a banknak

ugyanakkor a teljes betétállományra vonatkozóan van kamatfizetési kötelezettsége (a

feltevések szerint a bankban elhelyezett betétek futamideje is egy év, tehát megegyezik

a hitelek futamidejével). Ezen feltevések alapján a bank egy év múlvai veszteségének


31

értéke az egy év múlvai profitból számolható ki és az egy év múlvai veszteség értéke a

vissza nem fizetett hitelek értékének figyelembevételével:

( ) ( ) ( ) ( )fBkBSTkn

BST+⋅++⋅+−+⋅

+⋅ 1111ξ

Ezen érték alapján valamely megfelelő elvárt hozam alapján kiszámítható a veszteség

jelenértéke is, amelynek értéke (az egy év múlvai veszteség jelenértéke esetében a

továbbiakban az η1 jelölést alkalmazva):

( ) ( ) ( )r

fB

r

kBST

r

k

n

BST

+

+⋅+

+

+⋅+−

+

+⋅

+⋅=

1

1

1

1

1

111 ξη

Mivel (az előzőekben a modellfeltevéseknél bemutatott levezetések alapján) a

nemfizető hitelek számát jelentő ξ1 valószínűségi változó binomiális eloszlású és

normális eloszlással közelíthetőnek tekintjük, így a (nem fizető hitelek számát mutató)

ξ1 valószínűségi változó esetében jellemző várható érték és variancia

figyelembevételével az η1 valószínűségi változó esetében a várható érték és a variancia

a következőképpen írható fel:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r

kBST

r

fBp

r

kBSTE

+

+⋅+−

+

+⋅+⋅

+

+⋅+=

1

1

1

1

1

11η (várható érték)

( ) ( ) ( ) ( )n

pp

r

kBSTVar

−⋅⋅

+

+⋅+=

1

1

12

1η (variancia)

A veszteség jelenértékét reprezentáló η1 valószínűségi változó esetében a TailVaR

mutatószám a következőképpen határozható meg:

( ) ( )( ) ( )11 1η

α

αη Var

VaRfETailVaR ⋅

−+=


32

ahol az f(x) függvény a normális eloszlás sűrűségfüggvényét jelenti. Normális eloszlású

valószínűségi változó esetében ezen kívül megállapítható, hogy a VaR (Value-at-Risk)

értéke a megbízhatósági szintet jelző α paraméter, illetve a várható érték és a variancia

figyelembevételével a következőképpen írható fel:

( ) ( ) ( ) ( )αηηα 111

−Φ⋅+= VarEVaR

ahol Φ(x) a standand normális eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvényét

jelöli.

A TailVaR mutatószám – normális eloszlásúnak tekinthető η1 valószínűségi változó

esetében – tehát a következőképpen írható fel:

( )( )

( ) ( )( )( )

( )1

2

11 1

2

11

21

ηα

ηπη

η

ηα

Var

eVar

ETailVaR

Var

EVaR

⋅−

⋅⋅⋅

+=

⋅

−−

Ebben a képletben alkalmazva a ( ) ( ) ( ) ( )αηηα 111

−Φ⋅+= VarEVaR képletet, a

TailVaR érték a bank egy év múlvai veszteségének várható értéke, illetve az ehhez

kapcsolódóan kiszámolható variancia alapján a következőképpen írható fel:

( )( )( )

( )12

1

21

2

1

1

1η

παη

α

VareETailVaR ⋅⋅⋅

⋅−

+=

−Φ−

Mivel az előzőekben bemutatottak alapján kiszámolható az η1 valószínűségi változó

várható értéke és varianciája, így ezeket alkalmazva a bank veszteség-jelenértéke

esetében a TailVaR értéke az előzőekben bemutatott jelölések alkalmazásával a

következőképpen írható fel:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2

221

2

1

1

11

1

1

1

11

1

1 α

πα

−Φ−

⋅⋅

⋅−

⋅−⋅

⋅

+

+⋅++

+

+⋅+−⋅

+

+⋅+e

n

pp

r

kBST

r

fBp

r

kBST


33

Ez a bank kockázati mutatószáma abban az esetben, amikor a hitelekhez nem

kapcsolódik életbiztosítás. A TailVaR értékét a számolások során alkalmazott

paraméterek is befolyásolják.

A TailVaR értéke módosul például, ha a bank által alkalmazott kockázati prémium

változik (ezt a modellben a hitelek kamata és a betétek után fizetendő kamat

különbségeként definiálhatjuk, illetve legalábbis az megállapítható, hogy a kockázati

prémium értéke kapcsolatban van e kétféle kamat különbségével); ha a hitelkamat

meghaladja a betéti kamatot, a kiinduló helyzethez képest csökken a TailVaR értéke

(ennek szemléltetése található a 6. sz. ábrán). A 6. sz. ábra a különböző kockázati

prémium változások (ebben az esetben ez tehát a hitelkamat és a forrásköltség

különbségére utal) esetében a TailVaR értékének módosulását mutatja a hitelkamat és a

forrásköltség azonosságához képest egy számolásos példa alapján):

6. sz. ábra: TailVaR változás a kockázati prémium változásakor

-500

-450

-400

-350

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

0,0% 0,5% 1,0% 1,5% 2,0% 2,5% 3,0% 3,5% 4,0% 4,5% 5,0%


Ez az eredmény azt jelenti, hogy minden egyéb feltétel változatlansága esetén

magasabb hitelkamat alacsonyabb TailVaR értéket (vagyis kisebb tőkeszükségletet)

jelent a modellfeltevések alapján számítva. Ehhez kapcsolódóan egyébként érdemes

megemlíteni, hogy a modellfeltevések szerint a banki ügyfelek fizetésképtelenségi

valószínűsége és a hitelkamat mértéke között a modellfeltevések alapján nincsen

összefüggés. Lehetne olyan modellt is létrehozni, amelyben például a magasabb

hitelkamat nagyobb fizetésképtelenségi valószínűséget is jelentene, egy ilyen

modellben lehetne például elméleti keretben is számszerűsíteni az optimális hitelkamat

mértékét. Mivel azonban az elemzés a banki termékek biztosítással történő

kombinálásából adódó kockázati hatásokra koncentrál, a hitelkamatot egyszerűen


34

paraméternek tekinti a modell (és nem foglalkozik az optimális hitelkamat

meghatározásával).

A 7. sz. ábra azt szemlélteti, hogy a hitel vissza nem fizetésének valószínűségében

bekövetkezett változás hogyan befolyásolja a TailVaR értékét (egy kiindulópontnak

tekintett 5%-os értékhez képest mekkora a változás), ha a fizetésképtelenség

valószínűsége változik. Az előzőekben leírtakra utalva itt is érdemes megemlíteni, hogy

a fizetésképtelenség valószínűsége és a hitelkamat között az elméleti modell nem

definiál függvényszerű kapcsolatot. A 7. sz. ábra alapján megállapítható, hogy minden

egyéb tényező változatlanságát feltételezve magasabb fizetésképtelenségi valószínűség

nagyobb TailVaR értéket jelent. Ez az eredmény úgy is értelmezhető, hogy ha a banki

hitelfelvevők állományában magasabb a fizetési nehézségek bekövetkezésének

valószínűsége, akkor minden egyéb tényezőt változatlannak feltételezve nagyobb a

bank tőkeszükséglete. A 7. sz. ábra ennek szemléltetésére azt mutatja, hogy egy

kiinduló 5 %-os fizetésképtelenségi valószínűséghez képest változtatva a

fizetésképtelenség valószínűségét, mennyivel változik a kiinduló helyzethez képest a

TailVaR értéke.

7. sz. ábra: TailVaR módosulása a fizetésképtelenség valószínűségének módosulásakor

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

1000

1200

1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15%


3.3. Kockázat és vegyes életbiztosítás

A bank intézményszintű kockázatát a banki termékek biztosítással kombinálása is

érintheti. A továbbiakban ebben a fejezetben tegyük fel, hogy az összesen n


35

hitelszerződésből a·n hitelszerződéshez18 kapcsolódik életbiztosítás is, amely

„klasszikus” vegyes életbiztosítás, azaz a biztosított elhalálozása esetén a

kedvezményezett részére a hitel tőketörlesztésének megfelelő összeg kifizetése történik

meg, míg a biztosított személy tartam végi életben léte esetében a biztosított személy

részére történik meg a biztosítási összeg kifizetése. Tételezzük fel, hogy az

életbiztosítások díját a hitelszerződéssel rendelkező ügyfelek fizetik, ezzel kapcsolatos

kiadások nem merülnek fel a bank esetében. Feltételezhető továbbá az is, hogy az

életbiztosítások egyszeri díját minden ügyfél megfizeti.

Jelölje ξ2 a nemfizető hitelek számát a hitelállománynak abban a részében, amelyhez

életbiztosítás is kapcsolódik és jelölje ξ3 a nemfizető hitelek számát az életbiztosítás

nélküli hitelállományban. Az egyes hitelek esetében a nemfizetés valószínűsége a

továbbiakban is legyen p. Ilyen feltevések esetében a bank 1 év múlvai nyeresége (a

korábbi jelölések alkalmazásával) a következőképpen írható fel:

( ) ( ) ( )( ) ( )fBnakTnaTnakT +⋅−−⋅−⋅+⋅+⋅⋅+−⋅⋅⋅ 111 32 ξξ

ahol n

BSTT

+= .

A hitelek egy éves futamidejének elteltével a veszteség értéke a banknál tehát:

( ) ( ) ( )knTfBkTkT +⋅⋅−+⋅+⋅+⋅+⋅⋅ 111 32 ξξ

A továbbiakban (az előző eredményekkel való összehasonlítás egyszerűbbé tétele

érdekében) jelölje η2 az egy év múlvai veszteség jelenértékét (az elvárt hozamot r

jelöli):

( ) ( ) ( )r

knT

r

fB

r

kT

r

kT

+

+⋅⋅−

+

+⋅+⋅

+

+⋅+⋅

+

⋅=

1

1

1

1

1

1

1 322 ξξη

18 Tegyük fel, hogy a·n egész szám.


36

Tegyük fel, hogy ξ2 és ξ3 együttes eloszlása kétváltozós normális eloszlás és a két

valószínűségi változó közötti kovariancia nulla, ekkor ( )

32 1

1

1ξξ ⋅

+

+⋅+⋅

+

⋅

r

kT

r

kT eloszlása

egydimenziós normális eloszlás. Ezen eloszlás esetében a várható érték a

következőképpen számolható ki:

( ) ( ) ( )( )akakpr

BST

r

kT

r

kTE −⋅++⋅⋅⋅

+

+=

⋅

+

+⋅+⋅

+

⋅11

11

1

1 32 ξξ .

A variancia értékét ( )

32 1

1

1ξξ ⋅

+

+⋅+⋅

+

⋅

r

kT

r

kT esetében az előző feltevések teljesülésekor a

következőképpen lehet meghatározni:

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )akakpprn

BST

r

kT

r

kTVar −⋅++⋅⋅−⋅⋅

+⋅

+=

⋅

+

+⋅+⋅

+

⋅111

11

1

122

2

2

32 ξξ .

Az egy év múlvai veszteség jelenértékéhez kapcsolódóan a következőkben a TailVaR

értékének meghatározására kerül sor. Az adott feltevések teljesülésekor normális

eloszlásúnak tekinthető egy év múlvai veszteség jelenértékére vonatkozóan a várható

értékre, illetve a varianciára az előzőekben bemutatott képletek alkalmazásával

felírhatók a következő képletek:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )r

kBST

r

fBakak

r

pBSTE

+

+⋅+−

+

+⋅+−⋅++⋅⋅

+

⋅+=

1

1

1

111

12η (várható érték)

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )akakpprn

BSTVar −⋅++⋅⋅−⋅⋅

+⋅

+= 111

1

22

2

2

2η (variancia)

A TailVaR képlete tehát az egy év múlvai veszteség-jelenérték esetében az előzőekben

is bemutatottak alapján (ezt a képletet a továbbiakban jelölje TailVaR2):

( ) ( )( )( )2

22

21

2

1

1

1 α

ηπα

η

−Φ−

⋅⋅⋅

⋅−

+ eVarE


37

Az előzőekben a várható érték és a variancia esetében bemutatott képletek

alkalmazásával a TailVaR értéke tehát a következőképpen határozható meg akkor,

amikor a bank hitelállományának egy részéhez klasszikus vegyes életbiztosítás

kapcsolódik:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )+

+

+⋅+−

+

+⋅+−⋅++⋅⋅

+

⋅+

r

kBST

r

fBakak

r

pBST

1

1

1

111

1

( ) ( ) ( )( )( )( )222

221

111

12

1

1

1 α

πα

−Φ−

⋅−⋅++⋅⋅−⋅

⋅

+

+⋅

⋅⋅

−eakak

n

pp

r

BST

Az életbiztosításokkal kombinált hiteleknek a banki kockázatra (a TailVaR értékére)

gyakorolt hatását olyan módon is vizsgálhatjuk, hogy összehasonlítjuk a TailVaR

mutatószám értékét a teljes egészében életbiztosítások nélküli állomány illetve a

részben életbiztosítással kombinált hiteleket is tartalmazó banki hitelállomány esetében.

A teljes egészében életbiztosítás nélküli hitelállomány esetében a TailVaR értékét az

előzőekben a következőképpen határoztuk meg (ezt a továbbiakban TailVaR1 jelöli):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2

221

2

1

1

11

1

1

1

11

1

1 α

πα

−Φ−

⋅⋅

⋅−

⋅−⋅

⋅

+

+⋅++

+

+⋅+−⋅

+

+⋅+e

n

pp

r

kBST

r

fBp

r

kBST

Legyen a következőkben D=TailVaR1 – TailVaR2, vagyis számítsuk ki a két esetben

számított TailVaR értékek különbségét:

( ) ( ) ( )( )

22

1

21

2

1

1

11

11Ce

n

pp

r

BSTC

r

pBSTD ⋅⋅

⋅⋅

−⋅

−⋅⋅

+

++⋅

+

⋅+=

−Φ−

α

πα

ahol

( ) ( ) ( )[ ]kakakC +⋅−+⋅−+= 1111

és


38

( ) ( ) ( ) akakkC ⋅+−⋅+−+= 2222 111 .

Belátható, hogy mivel [ ]1,0∈a és 0>k , így 01 ≥C és 02 ≥C . Megállapítható tehát,

hogy 21 TailVaRTailVaR ≥ , tehát az életbiztosítással kombinált banki hitelállomány

esetében a bank kockázatát mérő mutatószám értéke alacsonyabb (egyenlőség az a=0

esetben teljesül). Tekintsük a következő képletet:

( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )( )2

22

2221

2

1

1

11

1112

1

1

α

πα

−Φ−

⋅⋅

⋅−

⋅−⋅

⋅

+

+⋅

⋅+−⋅+⋅

+−−

+

⋅+=

∂

∂e

n

pp

r

BST

akak

kk

r

pBST

a

D

Mivel 0>∂

∂

a

D, így belátható az is, hogy a bank kockázata annál nagyobb, minél kisebb

a hitelállományon belül az életbiztosítással kombinált hitelek aránya.

3.4. Kockázat és unit-linked életbiztosítás

A bank intézményszintű kockázatára tehát hatással lehet, ha adott banki terméket

(ebben az elemzésben hitelt) valamilyen adott biztosítással kombinálva értékesítenek.

Az egyes biztosítások esetében különbség mutatkozhat a bank intézményszintű

kockázatát érintő hatás mértékében a biztosítással kombinált banki termékek esetében.

Tegyük fel a következőkben, hogy a bank hiteleinek egy részéhez nem klasszikus

vegyes, hanem unit-linked életbiztosítás kapcsolódik, amelynek díját (illetve a

költségeket) teljes mértékben az ügyfelek fizetik a szerződés kezdetekor. A

következőkben megkülönböztetjük a banki hitellel „integrált” unit-linked biztosítás,

valamint a banki hitelt „kiegészítő” jellegű unit-linked biztosítás esetét (ez utóbbi

esetben a feltevések szerint az ügyfélnek a banki hiteltől függetlenül van unit-linked

biztosítása, amelynek szolgáltatásaiból fizetésképtelenség esetén a bank felé fennálló


39

tartozás törleszthető. A unit-linked életbiztosítás esetében a modellfeltevések szerint a

következő szolgáltatások lehetségesek:

– a biztosított személy elhalálozása esetében az életbiztosítás alapján a bank

számára a futamidő végén kifizetésre kerül a hitel tőkeértéke

– a banki hitelt „kiegészítő” unit-linked biztosításnál amennyiben a biztosított

személy megéli a tartam végét és valamilyen ok miatt fizetésképtelen (vagyis

nem tudja törleszteni a hitelt), akkor az életbiztosítás alapján a unit-linked

biztosításban szereplő befektetés aktuális értékének kifizetésére kerül sor. A

unit-linked életbiztosítás esetében a befektetés kezdeti értékét N jelöli (ez a

különböző kezdeti költségek után fennmaradt biztosítási díj értékét mutatja),

és a befektetési hozamot jelölő rbef alkalmazásával a hitel tőketartozásának

esedékességekor a az életbiztosítás esetében a befektetés értéke ( )befrN +⋅ 1

– a banki hitellel „integrált” unit-linked biztosításnál a biztosított személy

tartam végi életben léte esetén a unit-linked biztosítás szolgáltatása alapján

kerül sor a banki hitel törlesztésére (tőketörlesztés és kamatok fizetésére).

Tekintsük először azt az esetet, amikor a unit-linked biztosítással a bankhiteltől

függetlenül rendelkezik az ügyfél, és a banknak az ügyfél fizetésképtelensége esetén

lehetősége van igénybe venni a törlesztésre a unit-linked biztosítás alapján a biztosító

szolgáltatását (nevezzük ezt „kiegészítő” jellegű unit-linked biztosításnak). Jelölje ξ4 a

nemfizető hitelek számát a hitelállománynak abban a részében, amelyhez életbiztosítás

is kapcsolódik és jelölje ξ5 a nemfizető hitelek számát a hitelállománynak abban a

részében, amelynél a hitelhez nem kapcsolódik életbiztosítás. Az egyes hitelek esetében

a nemfizetés valószínűsége p. A hitelállománynak azon részében, amelyben a

hitelekhez életbiztosítás is kapcsolódik, a nemfizető hitelek esetében

megkülönböztetjük azokat az eseteket, amelyekben a nemfizetés a biztosított személy

elhalálozásának következménye (jelölje ξ4,kock az elhunyt biztosítottak számát).

Feltételezzük, hogy a biztosított személy elhalálozása esetében a bank a hitel esetében a

tőketartozás értékét kapja meg az életbiztosítás szolgáltatásaként. Abban az esetben,

amikor a hitelhez (unit-linked) életbiztosítás is kapcsolódik, és a nemfizetésre nem a

biztosított személy elhalálozása miatt kerül sor (tehát a biztosított személy életben van),

a bank ( )befrN +⋅ 1 és a tőketartozás értéke közül a kisebb értéket kapja meg a biztosító


40

szolgáltatásaként. Ez azt jelenti, hogy (kedvező befektetési hozamok esetében) a

befektetés és a tőketartozás értékének különbözete a biztosítottat illeti – ekkor a bank

nemfizetés esetén teljes egészében megkapja a tőketartozás összegét. Kedvezőtlen

befektetési hozamok esetén azonban a biztosító a bank részére mindössze a befektetés

értékét fizeti ki (amely alacsonyabb is lehet tehát mint a hitel tőketartozásának

összege).

Ilyen feltevések esetében a bank 1 év múlvai nyeresége a következőképpen írható fel:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ){ } ( )kockbef

kock

TrNnaT

TnakTfBankT

,444

,445

,1min

111

ξξξ

ξξξ

−⋅+⋅+−⋅⋅+

+⋅+−⋅⋅⋅++⋅−−−⋅⋅+⋅

ahol n

BSTT

+= .

Érdemes megvizsgálni azt az esetet, amelyben a befektetési hozam olyan, hogy az

életbiztosítás esetében a befektetés értéke éppen megegyezik a hitel tőketartozásának

értékével, ebben az esetben érvényesül a következő összefüggés:

( ){ }TrNT bef ,1min +⋅= .

Jelölje az ehhez az esethez tartozó befektetési hozam értékét *befr .

Ebben az esetben

( ){ } ( ) ( ) 4,44,4,44,4 ,1min ξξξξξξξ ⋅=−⋅+⋅=−⋅+⋅+⋅ TTTTrNT kockkockkockbefkock

Ez az eset akkor teljesül, ha *befbef rr ≥ , ekkor ugyanis

( ){ } ( )kockbef TrNT ,44,1min ξξ −⋅+⋅= . Amennyiben *befbef rr < , akkor

( ){ } ( )kockbef TrNT ,44,1min ξξ −⋅+⋅> .


41

Ha tehát *befbef rr ≥ , a bank egy év múlvai nyereségének képlete hasonló ahhoz a

képlethez, amely ahhoz az esethez tartozott, amikor a bank hitelállományának egy része

esetében a hitelekhez klasszikus vegyes életbiztosítások kapcsolódtak, ebben az esetben

a bank egy év múlvai nyereségének képlete a következő volt:

( ) ( ) ( )( ) ( )fBnakTnaTnakT +⋅−−⋅−⋅+⋅+⋅⋅+−⋅⋅⋅ 111 32 ξξ

Ha a hitelek egy részéhez unit-linked életbiztosítás kapcsolódik és *befbef rr ≥ , akkor a

bank egy év múlvai nyereségének értékét a következő képlet írja le:

( ) ( ) ( )( ) ( )fBnakTnaTnakT +⋅−−⋅−⋅+⋅+⋅⋅+−⋅⋅⋅ 111 54 ξξ .

Ez a képlet előállítható a klasszikus vegyes biztosítás esetében levezethető előző

képletből a 24 ξξ = és a 35 ξξ = behelyettesítéssel. A bank kockázatának

mutatószámául választott TailVaR érték kiszámításánál először az egy év múlvai

nyereség értékét vezettük le, a további számítások ezen alapulnak. Belátható tehát,

hogy a bank abban az esetben, amikor a hitelállomány egy részéhez („kiegészítő”

jellegű) unit-linked életbiztosítás kapcsolódik, legfeljebb olyan alacsony TailVaR

mutatószámmal rendelkezhet ezen modell-keretben, mint abban az esetben, amikor a

hitelállomány egy részéhez klasszikus vegyes életbiztosítás kapcsolódott.

Tekintsük a következőkben azt az esetet, amikor a unit-linked biztosítás és a banki hitel

„integrálására” kerül sor úgy, hogy az ügyfelek a biztosító részére befizetik a unit-

linked biztosítás díját és a bankhitel törlesztésére a biztosító szolgáltatásával kerül sor.

Az előző jelölések alapján ekkor a bank 1 év múlvai nyeresége a következőképpen

írható fel:

( ) ( )( ) ( )( ) ( ){ } ( )kockbef

kock

nakTrN

TfBankT

,4

,45

1,1min

111

ξ

ξξ

−⋅⋅+⋅+⋅+

+⋅++⋅−−−⋅⋅+⋅

Mivel a TailVaR kiszámítására ebből a képletből kiindulva kerülhet sor, így már ezen

képlet alapján is levonhatók egyes következtetések: az egyik fontos következtetés lehet,


42

hogy a képlet alapján bizonyos paraméter-beállításoknál a bank intézményszintű

kockázata nagyobb lehet az állomány egy részében unit-linked biztosítással „integrált”

bankhitel jelenlétekor, mint teljes egészében bankhitelhez kapcsolt biztosítással nem

rendelkező ügyfélállomány esetében. Ezt a jelenséget a következőkben, a szimulációs

számítások eredményeinek bemutatásakor szemléltetjük.


43

4. Szimulációs eredmények

Az előzőekben bemutatott elméleti modell eredményei szimulációs számítások

eredményeivel is illusztrálhatók. A szimulációs eredményeket a bank veszteség-

jelenértéke esetében számolható hisztogramokra összpontosítva mutatjuk be a

következőkben, mivel az intézményszintű kockázat mérése során az ezen ábrán

bemutatható empirikus eloszlások alakja, illetve különböző hisztogramok eltérése

értékes információt jelenthet.

A szimulációk során a banki állományban a feltevések szerint a különböző okokból

fizetésképtelen ügyfelek számát az egyes szimulációk során a következőképpen lehet

meghatározni:

( )ξ1−f

ahol:

f-1(x): az n·p várható értékű és n·p(1-p) varianciájú normális eloszlású valószínűségi

változó eloszlásfüggvényének inverz függvénye19, ahol p azt a valószínűséget jelzi,

hogy egy ügyfél valamilyen okból nem fizeti vissza a hitelt

ξ: a [0,1] intervallumon egyenletes eloszlású valószínűségi változó.

Az előzőekben az elméleti modellben a veszteség-jelenérték alapján került sor a

TailVaR mutatószám kiszámolására, amely a bank intézményszintű kockázatosságának

mérőszáma a modellben. A TailVaR (illetve az Expected Shortfall mutatószám)

értelmezése FL sűrűségfüggvény és α megbízhatósági szint esetében (McNeil et

al.[2005], 44. o.):

( )∫⋅−=

1

1

1

α

αα

duLVaRES u .

19 A központi határeloszlás tétellel kapcsolatban az előzőekben a biztosítási állományban összesen elhunytak számánál leírtak alapján.


44

Az intézményszintű kockázatossággal kapcsolatban lévő TailVaR (amit például az adott

intézmény tőkeszükségletének egy mutatószámaként is lehet értelmezni) értéke tehát

annál nagyobb, minél magasabb egy adott veszteségjelenérték-szint feletti veszteség-

jelenértékek várható értéke. A szimulációs eredmények értelmezése szempontjából ez

azt jelenti, hogy ha két veszteség-jelenérték hisztogramot tekintünk, az a hisztogram

jelez magasabb kockázati szintet (nagyobb TailVaR értéket), amelynél az empirikus

eloszlás a magasabb értékek tartományában található (egyszerűsített fogalmazással),

illetve megfigyelhető, hogy valamely α megbízhatósági szint esetében nagyobb a

releváns veszteség-jelenérték szint feletti értékek várható értéke. A szimulációs

számolások során empirikus TailVaR értékek számolására nem kerül sor, elsősorban

mivel az elméleti modellben a különböző esetekben számítható elméleti TailVaR

értékekkel kapcsolatos összehasonlítások megtalálhatók, és így nem szükséges az

empirikus értékekből a szimulációs eljárásból feltehetően adódó bizonyos becslési hibát

is tartalmazó becslések előállítása. Ezen kívül a szimulációs eredmények többnyire igen

egyértelműek, jól mutatják azokat a különbségeket, amelyek az egyes paraméter-

beállítások alkalmazásával a banki termék különböző biztosításokkal történő

kombinálása során tapasztalhatók.

A következőkben tehát különböző paraméter-beállítások alapján számítható veszteség-

jelenértékekből előállítható hisztogramok elemzésére kerül sor. A hisztogramok

előállításához minden bemutatott esetben a szimuláció során 1000 veszteség-jelenérték

számítására került sor. Esetenként a szimuláció során számított empirikus veszteség-

jelenérték eloszlások alapján az elméleti eloszlás esetében a normális eloszlásra lehet

következtetni (a Jarque-Bera tesztstatisztika alkalmazásával20), statisztikai

számításokkal a normális eloszlásra vonatkozó nullhipotézist minden empirikus

hisztogram esetében teszteljük. A veszteség-jelenérték empirikus eloszlása esetében a

normális eloszlásra vonatkozó következtetések egyebek mellett illusztrálják például azt

is, hogy a gyakorlatban milyen nehézségekbe ütközhet valamely hasonló helyzetben a

TailVaR érték kiszámítása (normális eloszlás esetében ugyanis az előzőekben az

elméleti modellben bemutatott képlet alapján lehetőség van TailVaR értékek

számolására, nem normális eloszlás esetén a TailVaR értékek számolása

problematikusabb lehet).

20 A Jarque-Bera tesztstatisztika kiszámításához alkalmazott képletet és a tesztstatisztika empirikus értékének értékeléséhez kapcsolódó néhány adatot a Melléklet tartalmaz.


45

A kiinduló helyzetben, amikor a bank ügyfélállományának egy része sem rendelkezik a

hitelhez kapcsolódó életbiztosítással, a veszteség-jelenértékek szimulált értékéből lehet

következtetni a kockázatosságra. Tekintsük ebben az esetben a veszteség-jelenértékek

hisztogramját, illetve az empirikus eloszlásra illeszthető normális eloszlás görbéjét (8.

sz. ábra):

8. sz. ábra: Empirikus eloszlás a biztosítás nélküli helyzetben

0,00

0,01

0,01

0,02

0,02

0,03

0,03

0,04

-582

,16

-577

,67

-573

,18

-568

,69

-564

,19

-559

,70

-555

,21

-550

,72

-546

,23

-541

,74

-537

,25

-532

,76

-528

,27

-523

,77

-519

,28

-514

,79

-510

,30

-505

,81

-501

,32

-496

,83

-492

,34

-487

,85

-483

,36

-478

,86

-474

,37

-469

,88

-465

,39

-460

,90

-456

,41

-451

,92

-447

,43

-442

,94

-438

,44

-433

,95


A 8. sz. ábra alapján megállapítható, hogy az empirikus eloszlás hasonlít a normális

eloszlásra, ami a normális eloszlásra vonatkozó nullhipotézis esetében statisztikai

módszerrel is megállapítható (a Jarque-Bera tesztstatisztika empirikus értéke 0,0677

ami alacsonyabb mint a releváns kritikus érték – ez 5,99 – tehát az elméleti eloszlás

ebben az esetben normális eloszlásnak tekinthető). A hisztogram, illetve az ezen

szereplő értékek a továbbiakban a banki (hitel) termék különböző biztosításokkal

történő kombinálásakor létrejövő, kockázatot érintő hatások tanulmányozása során a

kiinduló helyzetet jelentik, tehát a többi (különböző biztosítással kombinált banki

termékeknek az ügyfélállomány egy része esetében való meglétekor) számolható

hisztogramot ehhez a hisztogramhoz hasonlítjuk.

Tekintsük most az az esetet, amikor a banki hitel vegyes életbiztosítással kombinálható

és a banki ügyfélállomány fele rendelkezik biztosítással kombinált hitellel, míg az

ügyfélállomány másik része nem rendelkezik a hitellel kombinált biztosítással. Ebben

az esetben a biztosítás nélküli eset (a kiinduló helyzet) és az állomány egy részében


46

meglévő hitellel kombinált biztosítás esetében számolható empirikus veszteség-

jelenértékek hisztogramjai a következőképpen alakulnak (9. sz. ábra):

9. sz. ábra: Biztosítás nélküli helyzet és vegyes biztosításos helyzet összehasonlítása

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

-825

,180

33

-817,

2767

6

-809,

3732

-801

,469

63

-793

,5660

7

-785

,6625

-777

,7589

4

-769

,8553

7

-761

,951

81

-754,

04824

-746,

1446

7

-738,

24111

-730,

3375

4

-722,

43398

-714

,5304

1

-706

,6268

5

-698

,7232

8

-690

,8197

2

-682

,9161

5

-675,

01258

-667,

1090

2

-659,

20545

-651

,3018

9

-643

,3983

2

-635

,4947

6

-627

,5911

9

-619

,6876

3

-611,

78406

-603,

8805

-595,

97693

-588,

0733

6

-580

,169

8

-572

,2662

3

-564

,3626

7

-556

,459

1

-548

,555

54

-540

,6519

7

-532

,748

41

-524,

8448

4

-516,

9412

7

-509

,037

71

-501

,1341

4

-493

,230

58

-485

,3270

1

-477

,4234

5

-469

,519

88

-461,

61632

-453,

7127

5

-445,

80918

-437,

9056

2

vegyes

biztosítás

a=0,5

nincs

biztosítás


A veszteség-jelenérték hisztogramját a vegyes biztosítással való kombinálás során

egyértelműen alacsonyabb értékek jellemzik, mint a biztosítás nélküli helyzetben

számolható veszteség-jelenérték hisztogramot, ami – az elméleti eredmények

levezetésével párhuzamosan – szintén azt mutatja, hogy a bankhitel vegyes biztosítással

történő kombinálása ebben a modell-keretben a bank intézményszintű kockázatát

csökkenti. Az ügyfélállomány egy részében a hitel vegyes életbiztosítással történő

kombinálása esetében számítható empirikus adatok alapján egyébként az ebben az

esetben jellemző elméleti eloszlás normális eloszlásnak tekinthető (a Jarque-Bera

tesztstatisztika értéke 1,218). Az elméleti modell konstrukciója alapján a vegyes

biztosítás esetében a bank számára hasonlóak a törlesztési pénzáramlások abban az

esetben, amikor az ügyfeleknek a hitellel „integrált” biztosításuk van, illetve abban az

esetben, amikor a hitelen kívül mindössze „kiegészítő” a (hasonló paraméterekkel

rendelkező) biztosítás.

A biztosításoknál a másik, elemzésben szereplő lehetőség a unit-linked életbiztosítás

kötése. Ebben az esetben tapasztalható különbség a hitellel „integrált”, illetve a hitelt

„kiegészítő” biztosítás esetében. A hitellel „integrált” biztosítási terméknél úgy

tekintjük, hogy az ügyfél a biztosítónak díjat fizet és a biztosító által nyújtott

szolgáltatásból fizeti a hitel miatt fennálló kötelezettségeit, míg a „kiegészítő”

biztosításnál úgy tekintjük, hogy az ügyfél a hitelen kívül rendelkezik egy (az előző


47

esethez hasonló paraméterekkel rendelkező) biztosítással, amelynek szolgáltatásait

megállapodás alapján a bank igénybe veheti a tartozás rendezésére az ügyfél

fizetésképtelensége esetén. A unit-linked biztosításnál a befektetési hozamot normális

eloszlású21 valószínűségi változónak tekintjük, amelynél a szórás paraméter

meghatározása jelzi a befektetés kockázatosságát. Tekintsük a következőkben azt az

esetet, amelynél a hitellel „integrált” unit-linked biztosítás esetében viszonylag

alacsony befektetési kockázat mellett történik az életbiztosítás megtakarítási részére

befizetett díjak befektetése, és hasonlítsuk össze a veszteség-jelenérték hisztogramját

ebben az esetben a biztosítás nélküli helyzet (előzőekben is bemutatott)

hisztogramjával (a bank ügyfélállományán belül továbbra is az ügyfelek fele

rendelkezik a feltevések szerint biztosítással, vagyis a=0,5 az elméleti modell

paraméterei között, 10 .sz. ábra):

10. sz. ábra: Biztosítás nélküli helyzet és unit-linked biztosításos helyzet összehasonlítása

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

-925

,690

59

-915,

7565

2

-905,

8224

4

-895

,888

37

-885

,9542

9

-876

,020

21

-866

,0861

4

-856

,1520

6

-846

,217

99

-836,

28391

-826,

3498

3

-816,

41576

-806,

4816

8

-796,

54761

-786

,6135

3

-776

,6794

6

-766

,7453

8

-756

,8113

-746

,8772

3

-736,

94315

-727,

0090

8

-717

,075

-707

,1409

2

-697

,2068

5

-687

,2727

7

-677

,3387

-667

,4046

2

-657,

47054

-647,

5364

7

-637,

60239

-627,

6683

2

-617,

73424

-607

,8001

6

-597

,8660

9

-587

,9320

1

-577

,997

94

-568

,0638

6

-558

,129

79

-548,

1957

1

-538,

2616

3

-528

,327

56

-518

,3934

8

-508

,459

41

-498

,5253

3

-488

,5912

5

-478

,657

18

-468,

7231

-458,

7890

3

-448,

85495

-438,

9208

7

unit-linked

biztosítás

a=0,5

nincs

biztosítás


Az eredmények azt mutatják, hogy alacsony befektetési kockázat vállalása esetén a

bankhitel unit-linked életbiztosítással való kombinálása szintén a bank intézményszintű

kockázatát csökkentő hatású lehet (azzal együtt hogy a befektetési kockázat meglétével

is összefüggésben a unit-linked életbiztosítás veszteség-jelenértékeinek hisztogramja

nagyobb szórású). A unit-linked biztosításos hisztogramon szereplő értékek alapján

21 A számításokat viszonylag könnyen lehetne általánosítani, és más eloszlásúnak tekintett hozam-értékeket alkalmazni a szimuláció során. A gyakorlatban a hozamok gyakran nem tekinthetők normális eloszlásúnak, jellemző tendencia például hogy a hozam-eloszlások szélei nem olyan „keskenyek” mint a normális eloszlás esetében. Mivel az elméleti modellben a bank szempontjából a befektetési hozamok esetében az extrém kis hozamok okozhatnak kockázatnövekedést (az intézményszintű kockázat tekintetében), ezért a hozamértékek szimulációja során a normális eloszlás feltevése „óvatos” becslésnek tekinthető (nem normális hozameloszlás feltevése esetében a bank intézményszintű kockázata szempontjából kedvezőtlennek tekinthető esetek a szimulációk során gyakrabban fordulhatnának elő).


48

egyébként megállapítható, hogy a megfelelő, ehhez tartozó elméleti eloszlás

normálisnak tekinthető (mivel a Jarque-Bera tesztstatisztika értéke 0,322).

Ebben a példában a vegyes életbiztosítás illetve a unit-linked életbiztosítás esetében

ábrázolható eredményeket közvetlenül is összehasonlítva megállapítható, hogy a unit-

linked életbiztosításos hisztogram a magasabb értékek tartományában helyezkedik el,

tehát ebben az esetben a bank intézményszintű kockázata magasabb a unit-linked

életbiztosítással „integrált” hitel esetében, mint a vegyes életbiztosításnál (hasonló

paramétereket feltételezve, tehát például azzal a feltevéssel, hogy az ügyfélállomány

felének van biztosítással kombinálva a hitele, 11. sz. ábra).

11. sz. ábra: Vegyes biztosításos és unit-linked biztosításos helyzet összehasonlítása

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

-926

,055

96

-916

,852

62

-907

,649

28

-898

,445

94

-889

,242

6

-880

,039

26

-870

,835

92

-861

,632

58

-852

,429

25

-843

,225

91

-834

,022

57

-824

,819

23

-815

,615

89

-806

,412

55

-797

,209

21

-788

,005

87

-778

,802

53

-769

,599

19

-760

,395

85

-751

,192

51

-741

,989

17

-732

,785

83

-723

,582

49

-714

,379

15

-705

,175

81

-695

,972

47

-686

,769

13

-677

,565

79

-668

,362

45

-659

,159

11

-649

,955

77

-640

,752

44

-631

,549

1

-622

,345

76

-613

,142

42

-603

,939

08

-594

,735

74

-585

,532

4

-576

,329

06

-567

,125

72

-557

,922

38

-548

,719

04

-539

,515

7

-530

,312

36

-521

,109

02

-511

,905

68

-502

,702

34

-493

,499

-484

,295

66

-475

,092

32

unit-linked

biztosítása=0,5

vegyes

biztosítás

a=0,5


Amennyiben egyébként azt feltételezzük, hogy az ügyfélállomány fele esetében a banki

hitellel nem „integrálva” hanem mindössze „kiegészítő” jelleggel van kombinálva a

unit-linked biztosítás, a szimuláció eredményeképpen kapott empirikus hisztogramok is

különböznek. E két esetben kapott hisztogramokat mutatja a 12. sz. ábra:

12. sz. ábra: Unit-linked biztosítások hatásának összehasonlítása

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

-926

,055

96

-916

,852

62

-907

,649

28

-898

,445

94

-889

,242

6

-880

,039

26

-870

,835

92

-861

,632

58

-852

,429

25

-843

,225

91

-834

,022

57

-824

,819

23

-815

,615

89

-806

,412

55

-797

,209

21

-788

,005

87

-778

,802

53

-769

,599

19

-760

,395

85

-751

,192

51

-741

,989

17

-732

,785

83

-723

,582

49

-714

,379

15

-705

,175

81

-695

,972

47

-686

,769

13

-677

,565

79

-668

,362

45

-659

,159

11

-649

,955

77

-640

,752

44

-631

,549

1

-622

,345

76

-613

,142

42

-603

,939

08

-594

,735

74

-585

,532

4

-576

,329

06

-567

,125

72

-557

,922

38

-548

,719

04

-539

,515

7

-530

,312

36

-521

,109

02

-511

,905

68

-502

,702

34

-493

,499

-484

,295

66

-475

,092

32

kiegészítő unit-linked

biztosítás

a=0,5

unit-linked biztosítás

a=0,5



49

A 12. sz. ábra alapján arra lehet következtetni, hogy a bankhitel „kiegészítő” unit-

linked biztosítással történő kombinálása esetén alacsonyabb a bank intézményszintű

kockázatának mutatószáma, mint az „integrált” unit-linked életbiztosítás esetében. (A

„kiegészítő” jellegű unit-linked biztosításos hisztogramon szereplő értékek alapján

egyébként tesztelve a normális eloszlásra vonatkozó nullhipotézist, megállapítható

hogy a megfelelő elméleti eloszlás normális eloszlásnak tekinthető, mivel a Jarque-

Bera tesztstatisztika értéke 0,593.) A biztosítás nélküli esetet a banki hitel „kiegészítő”

jellegű biztosítással való kombinálásával összehasonlítva a következő ábra alapján

megállapítható, hogy a biztosítás nélküli esetben a bank intézményszintű kockázata

magasabb (13. sz. ábra):

13. sz. ábra: Unit-linked biztosítás alkalmazásának hatása

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

-810

,609

71

-803

,000

5

-795

,391

29

-787

,782

08

-780

,172

87

-772,

5636

6

-764,

9544

5

-757

,345

24

-749

,736

03

-742

,126

82

-734

,517

61

-726

,9084

-719

,299

19

-711

,689

98

-704

,080

77

-696

,471

56

-688

,862

35

-681

,253

14

-673

,643

94

-666

,034

73

-658

,425

52

-650

,816

31

-643

,2071

-635

,597

89

-627

,988

68

-620

,379

47

-612

,7702

6

-605

,1610

5

-597

,5518

4

-589

,9426

3

-582

,333

42

-574

,724

21

-567

,115

-559

,505

79

-551

,896

58

-544

,287

37

-536

,678

16

-529

,068

95

-521

,459

75

-513

,850

54

-506

,241

33

-498

,632

12

-491,

0229

1

-483

,413

7

-475,

8044

9

-468

,195

28

-460

,586

07

-452

,976

86

-445

,367

65

-437

,758

44

kiegészítő unit-linked

biztosítás

a=0,5

nincs biztosítás

a=0,5


Érdemes lehet azzal is foglalkozni, hogy hogyan változnak az eddigi eredmények, ha a

bank ügyfélállománya esetében az eddiginél kisebb, illetve nagyobb azon szerződések

aránya, ahol a hitelt valamilyen fajta biztosítással is kombinálják. A következőkben

azokat az eseteket tekintjük, amikor az előzőektől eltérően nem az ügyfélállomány fele,

hanem 10 szzázaléka, illetve 90 százaléka esetében kerül sor a hitel valamilyen fajta

biztosítással történő kombinálására. Tekintsük először azokat az eseteket, amikor a

hitelt vegyes életbiztosítással kombinálják, és hasonlítsuk össze ezeket a biztosítás

nélküli esettel akkor ha a feltevések szerint a bank ügyfélállományának különböző

részénél történik meg a hitel biztosítással kombinálása. Az eredmények alapján

megállapítható, hogy (egyébként a szimuláció alapjául szolgáló elméleti modell

konstrukciójával is összefüggésben) a legkisebb intézményszintű kockázatot a bank

számára az az eset jelenti, amikor az ügyfélállomány 90 százaléka esetében


50

tapasztalható a banki hitel vegyes biztosítással történő kombinálása, a legmagasabb

intézményszintű kockázati szintet pedig a három eset közül az jelenti, amelynél a bank

ügyfélállományának mindössze 10 százaléka esetében tapasztalható a banki hitel

vegyes biztosítással történő kombinálása. A szimuláció alapján számított empirikus

adatok alapján számítható hisztogramokat a 14. és 15. sz. ábra mutatja:

14. sz. ábra: Vegyes biztosítások (1.eset) 15. sz. ábra: Vegyes biztosítások (2.eset)

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,1

-825

,774

61

-819

,059

61

-812

,344

61

-805

,629

61

-798

,914

61

-792

,199

61

-785

,48 46

-778

,769

6

-772

,054

6

-765

,339

6

-758

,624

6

-751

,909

6

-745

,194

6

-738

,479

59

-731

,764

59

-725

,049

59

-718

,334

59

-711

,619

59

-704

,904

59

-698

,189

59

-691,

4745

9

-684

,759

58

-678

,04 45

8

-671

,329

58

-664

,614

58

-657

,899

58

-651

,184

58

-644

,469

58

-637

,754

57

-631,

0395

7

-624

,324

57

-617

,609

57

-610

,894

57

-604

,179

57

-597

,464

57

-590

,749

57

-584

,034

56

-577

,319

56

-570

,604

56

-563

,889

56

-557

,174

56

-550

,459

56

-543

,744

56

-537

,029

55

-530,

3145

5

-523

,599

55

-516

,88 45

5

-510

,169

55

-503

,454

55

-496

,739

55

vegyes biztosítás

a=0,1

vegyes biztosítása=0,5

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

-984

,000

1

-978

,426

21

-972

,852

32

-967

,278

43

-961

,704

53

-956

,130

64

-950

,556

75

-944

,982

86

-939

,408

97

-933

,835

08

-928

,261

18

-922

,687

29

-917

,113

4

-911

,539

51

-905

,965

62

-900,

3917

3

-894

,817

83

-889

,243

94

-883

,670

05

-878,

0961

6

-872

,522

27

-866

,94 83

8

-861

,374

48

-855

,800

59

-850

,226

7

-844

,652

81

-839

,078

92

-833

,505

03

-827

,931

13

-822

,357

24

-816

,783

35

-811

,209

46

-805

,635

57

-800

,061

68

-794,

4877

8

-788

,913

89

-783

,34

-777

,766

11

-772,

1922

2

-766

,618

33

-761

,04 44

3

-755

,470

54

-749,

8966

5

-744

,322

76

-738

,74 88

7

-733

,174

98

-727

,601

08

-722

,027

19

-716

,45 33

-710

,879

41

vegyes biztosítás

a=0,5

vegyes biztosítás

a=0,9

Forrás: saját számítások Forrás: saját számítások

Az elméleti eloszlások egyébként mindegyik ábrán szereplő empirikus eloszlás adatai

alapján számítva normális eloszlásnak tekinthetők (abban az esetben, amikor a

feltevések szerint a banki ügyfélállomány 10 százaléka rendelkezik biztosítással, a

Jarque-Bera tesztstatisztika empirikus értéke kerekítve 0,597 és abban az esetben

amikor a biztosítással rendelkezés aránya 90 százalék, a Jarque-Bera tesztstatisztika

empirikus értéke kerekítve 1,981). Ezeket a hisztogramokat a biztosítás nélküli esetnél

a veszteség-jelenértéknél számolható hisztogrammal összehasonlítva a következő

eredményekhez jutunk (16. és 17. sz. ábra):

16. sz. ábra: Vegyes bizt. hatása (a=0,1) 17. sz. ábra: Vegyes bizt. hatása (a=0,9)

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

0,035

0,04

0,045

0,05

-636

,856

19

-632,

7571

5

-628

,6581

1

-624,

5590

7

-620

,4600

4

-616

,361

-612

,2619

6

-608

,162

92

-604,

0638

9

-599

,9648

5

-595,

8658

1

-591

,7667

7

-587

,667

74

-583

,5687

-579

,469

66

-575

,3706

3

-571

,271

59

-567,

17255

-563

,073

51

-558

,974

48

-554

,8754

4

-550

,776

4

-546

,6773

6

-542

,578

33

-538,

47929

-534

,380

25

-530,

28121

-526

,182

18

-522,

08314

-517

,984

1

-513,

8850

7

-509

,7860

3

-505

,686

99

-501,

58795

-497

,488

92

-493,

38988

-489

,290

84

-485,

1918

-481

,0927

7

-476,

9937

3

-472

,8946

9

-468

,795

65

-464

,6966

2

-460

,597

58

-456,

4985

4

-452

,399

5

-448,

3004

7

-444

,2014

3

-440

,102

39

-436

,0033

6

nincs biztosítás

vegyes biztosítás

a=0,1

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

-981

,258

71

-970

,202

05

-959,

14539

-948

,088

72

-937

,032

06

-925,

97539

-914

,918

73

-903

,8620

6

-892,

8054

-881

,748

74

-870

,692

07

-859,

6354

1

-848

,578

74

-837

,5220

8

-826,

46542

-815

,408

75

-804

,352

09

-793,

2954

2

-782

,238

76

-771

,1820

9

-760,

12543

-749

,068

77

-738

,012

1

-726,

95544

-715

,898

77

-704

,8421

1

-693,

7854

4

-682

,728

78

-671

,6721

2

-660,

61545

-649

,558

79

-638

,5021

2

-627,

4454

6

-616

,388

8

-605

,3321

3

-594,

27547

-583

,218

8

-572

,1621

4

-561,

1054

7

-550

,048

81

-538

,9921

5

-527,

9354

8

-516

,878

82

-505,

82215

-494

,765

49

-483

,708

83

-472

,6521

6

-461,

5955

-450

,538

83

-439,

48217

nincs biztosítás

vegyes biztosítás

a=0,9



51

Az eredmények alapján megállapítható tehát, hogy a biztosítás nélküli esethez képest

mindkét elemzésben szereplő eset az intézményszintű kockázat csökkenését jelenti, a

bank intézményszintű kockázatának csökkenése pedig abban az esetben nagyobb,

amikor az ügyfélállományának nagyobb része rendelkezik vegyes biztosítással

kombinált banki hitellel.

Amennyiben a bank hiteleinek egy részéhez (10 százalékához vagy 90 százalékához)

olyan unit-linked biztosítás kapcsolódik, amely „integrálva” van a banki hitellel, a

szimuláció eredményei szintén érdekesek. A bank intézményszintű kockázatát érintő

hatás hasonló az előzőekben a banki hitel vegyes biztosítással történő kombinálásánál

tapasztaltakhoz: amennyiben a bank ügyfélállományán belül magasabb a biztosítással

rendelkezés aránya, akkor a bank intézményszintű kockázata alacsonyabbnak

tekinthető, ez a hatás azonban kevésbé erős mint a vegyes életbiztosítás esetében (a

banki hitel vegyes életbiztosítással történő kombinálásakor kapott eredményeknél a

hisztogramok nagyobb mértékben elkülönültek egymástól, mint ebben az esetben,

amikor az ügyfelek meghatározott része a banki hitellel „integrált” unit-linked

biztosítással rendelkezik (18. és 19. sz. ábra):

18. sz. ábra: Unit-linked biztosítások (1. eset) 19. sz. ábra: Unit-linked biztosítások (2. eset)

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

0,035

0,04

0,045

0,05

-924

,5802

7

-912,

42556

-900

,2708

4

-888,

11613

-875

,9614

1

-863

,806

7

-851

,6519

8

-839,

4972

7

-827

,342

55

-815,

1878

4

-803

,033

12

-790,

8784

1

-778

,723

69

-766,

56898

-754

,4142

6

-742,

25955

-730

,1048

3

-717,

95011

-705,

7954

-693,

6406

8

-681

,485

97

-669,

3312

5

-657

,176

54

-645,

0218

2

-632

,867

11

-620,

7123

9

-608

,557

68

-596,

4029

6

-584

,248

25

-572,

09353

-559

,9388

2

-547

,784

1

-535

,629

39

-523,

4746

7

-511

,319

96

-499,

1652

4

-487

,010

52

-474,

8558

1

-462

,701

09

-450,

5463

8

-438

,391

66

-426,

2369

5

-414

,082

23

-401,

9275

2

-389

,772

8

-377

,6180

9

-365

,463

37

-353,

3086

6

-341

,153

94

-328,

9992

3


a=0,1


a=0,5

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

0,035

0,04

0,045

0,05

-103

4,451

9

-1023

,058

8

-101

1,665

6

-1000

,272

4

-988

,8792

9

-977,

48613

-966

,0929

8

-954

,6998

2

-943,

30666

-931

,9135

1

-920,

52035

-909

,1271

9

-897,

73403

-886

,3408

8

-874,

94772

-863

,5545

6

-852,

16141

-840

,7682

5

-829,

37509

-817

,981

94

-806,

5887

8

-795

,195

62

-783,

8024

7

-772

,409

31

-761,

0161

5

-749,

623

-738,

2298

4

-726

,836

68

-715,

4435

3

-704

,050

37

-692,

6572

1

-681

,264

05

-669,

8709

-658,

47774

-647

,0845

8

-635,

69143

-624

,2982

7

-612,

90511

-601

,5119

6

-590

,118

8

-578

,7256

4

-567,

33249

-555

,9393

3

-544,

54617

-533

,153

02

-521,

7598

6

-510

,3667

-498,

9735

5

-487

,580

39

-476,

1872

3


a=0,5


a=0,9


Abban az esetben, amikor a bank ügyfélállományának 10 százaléka rendelkezik unit-

linked biztosítással, a szimuláció során kapott értékek alapján megállapítható hogy az

elméleti eloszlás normális eloszlásnak tekinthető (a Jarque-Bera tesztstatisztika

empirikus értéke 0,543), azonban a másik esetben, amikor az ügyfélállomány 90

százalékának van a banki hiteléhez kapcsolódó unit-linked biztosítása, az elméleti

eloszlás már nem tekinthető normális eloszlásnak (a Jarque-Bera tesztstatisztika

empirikus értéke ebben az esetben kerekítve 20,864). A normális eloszlástól való


52

eltérés az előző diagramon is megfigyelhető. A normális eloszlástól való eltérés

egyébként azzal lehet összefüggésben, hogy ha az ügyfélállomány nagy része esetében

kapcsolódik a banki hitelhez unit-linked biztosítás, jobban érvényesül az a hatás, hogy

amennyiben az ügyfél bank felé fennálló tartozásának megfizetésére a biztosítási

eszközalapban lévő pénz alapján kerül sor, a befektetési hozamtól függően nem

feltétlenül kerül sor a teljes (bank felé fennálló) tartozás visszafizetésére. A 20. sz. ábra

azt mutatja meg, hogy (adott paraméter-beállítások alapján) az elméleti modell alapján

készített szimuláció milyen eredményeket mutat a biztosítási eszközalap befektetési

hozama és a banknak visszafizetett tartozás összefüggéséről (a vízszintes tengelyen a

befektetési hozamok, a függőleges tengelyen pedig a bank számára fizetett összeg

szerepel, 1000 elemű szimuláció alapján):

20. sz. ábra: Befektetési hozam és bankhitel törlesztésének összefüggése

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

-0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 Forrás: saját számítások

A 20. sz. ábra egyébként azt is mutatja, hogy ebben a helyzetben a bank által kapott

törlesztés bizonyos opciós sajátosságokkal rendelkezik. 22

A banki hitellel „integrált” unit-linked biztosítás esetében kapott eredményeket a

biztosítás nélküli helyzetben kapott eredményekkel is összehasonlíthatjuk. Érdekes

jelenség, hogy a szimulációs eredmények alapján abban az esetben, amikor a banki

ügyfélállomány mindössze 10 százaléka rendelkezik a banki hitellel „integrált” unit-

linked biztosítással, a bank intézményszintű kockázatát jelző mutatószám nem

egyértelműen tekinthető alacsonyabbnak a biztosítás nélküli esetben mérhető

intézményszintű kockázati mutatószámnál (21. sz. ábra). A másik esetben, amikor a

22 Az előző grafikonon egy európai típusú eladási opció kötelezettjének lejáratkori pozícióját jelző ábrára jellemző tendencia rajzolódik ki.


53

banki ügyfélállomány 90 százaléka rendelkezik banki termékkel „integrált” unit-linked

biztosítással, az intézményszintű kockázatot jelző mutatószám alacsonyabbnak

tekinthető a biztosítás nélküli esetet jelző mutatószámnál (22. sz. ábra). Ez az eredmény

arra utalhat, hogy már a feltevések szerint viszonylag alacsony befektetési kockázatnál

is előfordulhat olyan helyzet, amikor a banki termék és a unit-linked biztosítás

„integrálása” a bank intézményszintű kockázatának emelése irányában hat.

21. sz. ábra: Unit-linked bizt. hatása (a=0,1) 22. sz. ábra: Unit-linked bizt. hatása (a=0,9)

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

-751

,531

12

-742

,872

35

-734

,213

58

-725

,554

8

-716

,896

03

-708

,237

26

-699

,578

49

-690

,919

71

-682

,260

94

-673

,602

17

-664

,943

4

-656,

2846

2

-647

,625

85

-638

,967

08

-630

,308

3

-621

,649

53

-612

,990

76

-604

,331

99

-595

,673

21

-587

,014

44

-578,

3556

7

-569

,696

89

-561

,03 81

2

-552

,379

35

-543

,720

58

-535

,061

8

-526

,403

03

-517

,744

26

-509

,085

48

-500,

4267

1

-491

,767

94

-483

,109

17

-474

,450

39

-465

,791

62

-457

,132

85

-448

,474

07

-439

,815

3

-431

,156

53

-422

,497

76

-413

,838

98

-405

,180

21

-396

,521

44

-387

,862

67

-379

,203

89

-370,

5451

2

-361

,886

35

-353

,22 75

7

-344

,568

8

-335

,910

03

-327

,251

26

nincs biztosítás


a=0,1

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

-103

4 ,086

5

-102

1,96

27

-100

9,83

88

-997

,714

87

-985

,590

98

-973

,4670

8

-961

,343

19

-949,

2193

-937

,0954

-924

,971

51

-912,

8476

2

-900

,723

72

-888

,599

83

-876

,475

94

-864

,352

04

-852,

2281

5

-840

,104

26

-827,

9803

6

-815

,856

47

-803

,732

58

-791

,608

68

-779

,484

79

-767

,3609

-755

,2370

1

-743

,113

11

-730

,9892

2

-718

,865

33

-706

,741

43

-694

,6175

4

-682

,493

65

-670

,3697

5

-658

,245

86

-646

,121

97

-633

,998

07

-621

,874

18

-609

,750

29

-597

,626

39

-585,

5025

-573

,378

61

-561

,254

71

-549,

1308

2

-537

,006

93

-524

,883

04

-512

,759

14

-500

,635

25

-488,

5113

6

-476

,387

46

-464

,263

57

-452

,1396

8

-440

,015

78

nincs biztosítás


a=0,9


Az eredményeket a vegyes biztosítás és a unit-linked biztosítás esetében kapott

hisztogramok alapján is össze lehet hasonlítani (23. és 24. sz. ábra):

23. sz. ábra: Unit-linked és vegyes bizt. (a=0,1) 24. sz. ábra: Unit-linked és vegyes bizt. (a=0,9)

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

-751

,531

12

-742

,872

35

-734

,2135

8

-725,

5548

-716

,896

03

-708,

23726

-699

,578

49

-690

,919

71

-682

,2609

4

-673,

60217

-664 ,9

434

-656

,2846

2

-647,

6258

5

-638

,967

08

-630,

3083

-621,

64953

-612

,990

76

-604

,3319

9

-595,

6732

1

-587

,014

44

-578

,3556

7

-569,

69689

-561

,038

12

-552

,379

35

-543,

72058

-535 ,0

618

-526

,403

03

-517

,7442

6

-509,

0854

8

-500

,426

71

-491,

76794

-483

,109

17

-474

,450

39

-465

,7916

2

-457,

1328

5

-448

,474

07

-439,

8153

-431,

1565

3

-422

,497

76

-413

,8389

8

-405,

18021

-396

,521

44

-387

,8626

7

-379,

2038

9

-370

,545

12

-361

,8863

5

-353,

22757

-344,

5688

-335

,910

03

-327,

25126

vegyes biztosítás

a=0,1


a=0,1

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

-103

5,4

656

-102

6,0

999

-1016

,7341

-100

7,3

684

-998

,002

62

-988,

63687

-979

,271

12

-969

,9053

8

-960,

53963

-951

,173

88

-941

,808

13

-932,

4423

8

-923

,076

63

-913

,7108

8

-904,

34513

-894

,979

38

-885

,613

63

-876,

2478

8

-866

,882

13

-857

,5163

8

-848,

15063

-838

,784

89

-829

,4191

4

-820,

05339

-810

,687

64

-801

,3218

9

-791,

9561

4

-782

,590

39

-773

,2246

4

-763,

85889

-754

,493

14

-745

,1273

9

-735,

7616

4

-726

,395

89

-717

,0301

5

-707,

6644

-698

,298

65

-688,

9329

-679,

5671

5

-670,

2014

-660

,8356

5

-651,

4699

-642

,104

15

-632,

7384

-623

,372

65

-614,

0069

-604

,6411

5

-595,

2754

-585

,909

66

-576,

54391

vegyes biztosítás

a=0,9


a=0,9


Ezek az eredmények azt mutatják, hogy a vegyes biztosítás kockázatcsökkentő hatása

(a bank intézményszintű kockázatára vonatkozóan) meghaladja a hasonló

paraméterekkel rendelkező unit-linked biztosításét az elméleti modell alapján számított

szimulációs példában.


54

Az eddigiekben a unit-linked biztosításnál viszonylag alacsony befektetési kockázatot

feltételeztünk. Érdekes lehet ezen kívül a magasabb befektetési kockázat esetét is

tanulmányozni. Azonos várható hozam esetében kissé magasabb befektetési kockázat

feltevésével a befektetési hozam esetében (azzal a feltételezéssel együtt, hogy a bank

ügyfélállományának fele rendelkezik a banki hitellel „integrált” unit-linked

biztosítással) a kisebb és a nagyobb befektetési kockázat esetén a unit-linked

biztosításos esetekben számolható értékek hisztogramjait a következő ábra hasonlítja

össze. A magasabb befektetési kockázattal jellemezhető helyzetben egyébként a bank

veszteség-jelenértékei esetében a szimuláció során számolható hisztogramnál

megállapítható, hogy a megfelelő elméleti eloszlás nem tekinthető normális eloszlásnak

(a Jarque-Bera tesztstatisztika empirikus értéke 412,547). Ez azzal függ össze, hogy

ebben az esetben az alacsonyabb befektetési kockázatos esethez képest még

fokozottabban jelentkezhet a bankkal szemben fennálló adósság törlesztésénél az

előzőekben említett „opciós” tulajdonság (25. sz. ábra).

25. sz. ábra: Unit-linked biztosítások összehasonlítása (különböző befektetési kockázatnál)

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

-914

,802

94

-883,

09356

-851,

3841

8

-819,

6748

-787

,9654

2

-756,

25603

-724,

5466

5

-692,

8372

7

-661

,1278

9

-629

,418

51

-597

,709

13

-565,

9997

5

-534

,2903

7

-502

,580

99

-470

,871

6

-439

,162

22

-407

,452

84

-375

,743

46

-344

,034

08

-312

,324

7

-280

,615

32

-248

,905

94

-217

,196

55

-185

,487

17

-153

,777

79

-122

,068

41

-90,

3590

29

-58,

6496

48

-26,

9402

67

4,76

9114

46

36,4

7849

57

68,1

8787

69

99,897

2581

131,60

6639

163,31

6021

195,0254

02

226,73

4783

258,44

4164

290,15

3545

321,

8629

27

353,

5723

08

385,

2816

89

416,99

107

448,

7004

52

480,

4098

33

512,

1192

14

543,

8285

95

575,

5379

76

607,

2473

58

638,

9567

39

unit-linked biztosításmagasabb befektetési

kockázat

unit-linked biztosítás,

alacsony befektetési kockázat


A magasabb befektetési kockázatnál (a biztosító eszközalapja esetében) a bank

intézményszintű kockázata tehát nagyobbnak tekinthető. A biztosítás nélküli helyzet és

a magasabb befektetési kockázatú unit-linked biztosításos helyzet hisztogramjának

összehasonlítása azt mutatja, hogy a unit-linked biztosítással kombinált banki hiteleket

is tartalmazó banki hitelállomány esetében számolható banki intézményszintű

kockázati mutatószám magasabb, mint a biztosítás nélküli helyzetben, ebben az esetben


55

tehát a banki hitelek unit-linked biztosítással történő kombinálása növeli a bank

intézményszintű kockázatot mérő mutatószámát (26. sz. ábra):

26. sz. ábra: Magas befektetési kockázat hatása unit-linked biztosításnál

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

-903

,427

25

-871

,947

68

-840

,468

11

-808

,988

54

-777

,508

97

-746,

0294

1

-714,

5498

4

-683

,070

27

-651

,590

7

-620

,111

13

-588

,631

56

-557

,151

99

-525

,672

42

-494

,192

85

-462

,713

28

-431

,233

71

-399

,754

14

-368

,274

57

-336

,795

-305

,315

43

-273

,835

87

-242

,3563

-210

,876

73

-179

,397

16

-147

,917

59

-116

,438

02

-84,95

845

-53,47

888

-21,999

311

9,48

0258

31

40,9

5982

76

72,439

397

103,

9189

66

135,

3985

36

166,

8781

05

198,

3576

74

229,83

7244

261,31

6813

292,79

6382

324,27

5952

355,75

5521

387,23

509

418,71

466

450,19

4229

481,67

3798

513,15

3367

544,63

2937

576,11

2506

607,59

2075

639,07

1645


magasabb befektetési

kockázat

nincs biztosítás



56

5. Összefoglalás A biztosítással kombinált banki termékek kockázatossága eltérhet a „klasszikus”,

önállóan értékesített banki és biztosítási termékek kockázatosságától. A termékekből

adódó kockázat megváltozása az egyes intézmények (bank, illetve biztosító)

„intézményszintű” kockázatosságát is befolyásolhatják. Jelen tanulmány azzal

foglalkozott, hogy a termékszinten a banki és biztosítási termékek kombinálása

következtében létrejövő kockázati módosulások hogyan befolyásolják az egyes

intézmények „intézményszintű” kockázatát. A tanulmány ezt a kérdést egy

(gyakorlatban jellemző tulajdonságokkal rendelkező) elméleti modell keretében

elemezte és az eredményeket szimulációs számítások eredményeinek bemutatásával

illusztrálta.

A kockázat fogalma rendkívül tág, és a tanulmányban egy olyan mutatószám

alkalmazásával került sor a kockázat mérésére, amely a termékszintről eredő kockázati

hatások intézményszintű hatásainak mérésére is alkalmasnak tekinthető. Ez a

mutatószám a TailVaR, amelyet a gyakorlatban bizonyos esetekben a tőkeszükséglet

mérésére is alkalmaznak.

A gyakorlatban megfigyelhető termékkombinációkat elméleti megfontolások, illetve az

elméleti modell eredményei alapján a következő kockázati kategóriákba is sorolhatjuk:

1. a banki és biztosítási termékek kombinálása lényegében mindössze

„keresztértékesítésnek” (cross-selling) tekinthető (például ha a bankbetéteket

illetve hiteleket és biztosítási termékeket mindössze együttesen értékesítik,

abban az esetben is ha esetleg kedvezmény vagy garantált hozam is társul a

termékek együttes értékesítéséhez)

2. a termékkombinálás úgy történik, hogy van összefüggés a banki és biztosítási

termékek pénzáramlásai között (például vegyes életbiztosítás elérési összegéből

kerül sor valamely hitel törlesztésére), azonban ezek a pénzáramlások többnyire


57

fixek, vagyis értékük adottnak tekinthető, nem változik például befektetési

hozamok hatására

3. a termékkombinálás úgy történik, hogy a banki és biztosítási termékek

pénzáramlása között van összefüggés és a pénzáramlások többnyire változóak

(illetve például valamely befektetési hozamoktól függnek), erre az esetre példa

lehet a unit-linked biztosítással kombinált bankhitel, amelynél a hiteltörlesztést

a befektetési hozamoktól függő értékű biztosítási szolgáltatásból tervezik

teljesíteni.

E három kockázati kategória közül a legnagyobb kockázatúnak a harmadik kategória

tekinthető. A biztosítással kombinált banki termékek esetében tehát a kockázati szint

(például az intézményszintű kockázatosság esetében) mérséklése azzal is összefügghet,

hogy milyen mértékben lehetséges a termékkombinációknál a banki és biztosítási

termék pénzáramlásainak összefüggésében a nem fix, hanem például befektetési

hozamtól függő elemek lehetséges elemeinek tartományát szűkíteni (biztonságosnak

tekinthető mértékűre). A befektetési kockázat kockázatosságot növelő hatását

csökkentheti például ha a unit-linked biztosításoknál az ügyfél által választható

lehetséges befektetési eszközök halmazát a biztosítással kombinált banki termékeknél

gondosan mérlegelve határozzák meg, például derivatív eszközöket (határidős

ügyleteket, opciós ügyleteket, swap ügyleteket) nem domináns mértékben

választhatnak az ügyfelek. Az ügyfelek tájékozottságának növekedése szintén jó

hatással lehet például a unit-linked életbiztosítással kombinált banki termékek esetében,

hiszen előfordulhat, hogy a kockázatokról szóló precíz tájékoztatás hatására kisebb

kockázatú befektetési portfóliót választanak az ügyfelek.

Az egyes intézmények kockázatának emelkedése a „rendszerszintű” kockázat

fokozódásával is járhat (például valamely bank pénzügyi problémái akár más bankok

pénzügyi helyzetét is befolyásolhatják), így szintén előnyös lehet a biztosítással

kombinált banki termékekből adódó kockázati hatások rendszeres mérése (például a

TailVaR mutatószám alkalmazásával, vagy valamilyen más módon), illetve a

számolható kockázati mutatószámoknak a pénzügyi szervezetek felügyelete általi

időnkénti áttekintése.


58

Irodalomjegyzék

ARTZNER, P. - DELBAEN, F. - EBER, J. - HEATH, D.[1998]: Coherent measures of risk

http://www.math.ethz.ch/~delbaen/ftp/preprints/CoherentMF.pdf

BANYÁR JÓZSEF[2003]: Életbiztosítás.

Aula Kiadó

CEA - MERCER OLIVER WYMAN[2005]: Solvency Assessment Models Compared

Comité Européen des Assurances (CEA), Mercer Oliver Wyman Limited

FILIPOVIC, D. - ROST, D.[2005]: Benchmarking Study of Internal Models (carried out on

behalf of The Chief Risk Officer Forum)

FINKELSTEIN, G. - HOSHINO, T. - INO, R. - MORGAN, E.[2006]: Economic Capital

Modeling: Practical Considerations. Milliman Inc.

MCNEIL, A.J. - FREY, R. - EMBRECHTS, P.[2005]: Quantitative Risk Management:

Concepts, Techniques and Tools. Princeton University Press

OWC[2001]: Study on the risk profile and capital adequacy of financial

conglomerates. Oliver, Wyman & Company

PANJER, H.H.[2001]: Measurement of risk, solvency requirements and allocation of

capital within financial conglomerates

http://www.soa.org/research/files/pdf/measurement_risk.pdf

SZÜLE BORBÁLA[2004]: Diverzifikáció és kockázat a pénzügyi konglomerátumokban.

Ph.D. értekezés, Budapesti Corvinus Egyetem


59

SZÜLE BORBÁLA[2006]: A pénzügyi konglomerátumok létrejöttének kockázati hatásai.

Közgazdasági Szemle, LIII. évfolyam, július-augusztus, pp. 661-680.

SZÜLE BORBÁLA[2007]: Pénzügyi konglomerátumok szolvencia-elemzése.

Posztgraduális aktuárius szakdolgozat, Budapesti Corvinus Egyetem


60

Melléklet

Jarque-Bera tesztstatisztika az egyváltozós normalitás tesztelésében A tesztstatisztika leírása McNeil et al.[2005] 69. oldalán található.

A Jarque-Bera tesztstatisztika esetében egyszerre történik annak értékelése, hogy az adatok ferdesége és csúcsossága megfelel-e a normális eloszlás feltevésének. Tegyük fel hogy adott egy n elemű minta, a mintaelemeket jelölje Xi (i=1, …, n), ekkor a mintából számolható ferdeségi (skewness) és csúcsossági (kurtosis) mutatószámokat a következőképpen lehet számolni:

( )

( )2

3

1

2

1

3

−

−

=

∑

∑

=

=

n

XX

n

XX

bn

ii

n

ii

( )

( )2

1

2

1

4

−

−

=

∑

∑

=

=

n

XX

n

XX

kn

ii

n

ii

ahol a mintaátlag kiszámítására alkalmazott képlet a következő:

n

X

X

n

ii∑

== 1

A Jarque-Bera tesztstatisztika a következő képlettel írható le:

( )

−⋅+⋅⋅

234

1

6

1kbn

A nullhipotézisben szereplő (egyváltozós) normális eloszlás esetén a Jarque-Bera tesztstatisztika aszimptotikusan 2 szabadságfokú χ2-eloszlást követ.

Documents

II. TÉMA Kockázati transzferek, kockázatmérés · biztosítási kockázat. A biztosítással kombinált banki termékek esetében a A biztosítással kombinált banki termékek