II. MOMEN INERSIA BIDANG DATAR

1. PendahuluanMomen inersia dapat disebut juga Momen Kedua atau Momen Kelembaman. Data momen inersia suatu penampang dari komponen struktur akan diperlukan pada perhitungan-perhitungan tegangan lentur, tegangan geser, tegangan torsi, defleksi balok, kekakuan balok/kolom dan sebagainya. Luasan A pada gambar 2.1. merupakan bidang datar yang menggambarkan penampang dari suatu komponen struktur, dengan dA merupakan suatu luasan/elemen kecil.

y

A x dA r y

x O

Gambar 2.1. Potongan Penampang

Secara metematis momen inersia ditentukan dengan persamaan-persamaan berikut:

Momen Inersia terhadap sumbu x:Ix = y2 dA (2.1)

Momen Inersia terhadap sumbu y: Iy = x2 dA (2.2)

Momen Inersia kutub:Ip = r2 dA (2.3)

Momen Inersia Perkalian (Product of Inertia):Ixy = xy dA (2.4)

Momen inersia pada Persamaan 2.1, Persamaan 2.2, dan Persamaan 2.3 selalu bertanda positip, sedangkan momen inersia perkalian pada Persamaan 2.4 dapat bertanda negatip.

10

Momen inersia pada keempat persamaan diatas penggunaannya terbatas pada momen inersia bidang tunggal, sedangkan secara umum banyak bidang/penampang merupakan gabungan dari beberapa penampang tunggal. Misalnya penampang yang berbentuk L adalah gabungan dari dua penampang segi empat. Untuk menyelesaikan momen inersia pada penampang gabungan diperlukan pengembangan dari Persamaan 2.1, 2.2, 2.3, dan 2.4. yang disebut dengan Teori Sumbu Sejajar.2. Teori Sumbu Sejajar

x yo

dA x’ x r y xo A O

r’ O = titik berat luasan A y’

y

Gambar 2.2. Penampang dengan Sumbu TransformasiMomen inersia terhadap sumbu x:

Ix = Ix = Ix =

Sumbu xo melalui titik berat bidang A, maka , sehingga:

Ix = Ixo + Ay’2 (2.5)

Momen inersia terhadap sumbu y:Iy = Iy = Iy =

Sumbu yo melalui titik berat bidang A, maka , sehingga:

Iy = Iyo + Ax’2 (2.6)

11Momen inersia polar:

Ip = Ip = Ip =

Sumbu xo dan sumbu yo melalui titik berat luasan A, maka = 0 dan = 0Sehingga:

Ip = Ipo + Ar’2 (2.7)

Momen inersia perkalian:

Ixy = Ixy =

Sumbu xo dan sumbu yo melalui titik berat luasan A, maka = 0 dan = 0Sehingga:

Ixy = Ixyo + Ax’y’ (2.8)

3. Contoh-ContohContoh 2.1Hitunglah momen inersia (Ix, Iy, Ip, Ixy ) penampang segi empat dengan lebar b dan tinggi h terhadap sumbu x dan sumbu y yang melalui titik berat penampang

y

dy y h x

b

12Penyelesaian:

dA = bdy

Ix = y2dA

Ixo = y2bdy

Ixo = b

Ixo = b

Ixo =

Dengan cara yang sama dapat dihitung Iyo, dengan dA = h dx, sehingga dapat diperolehIy

o =

Momen Inersia polar, Ipo = = = (bh3 + b3h)

Menghitung momen inersia perkalian Ixy:

y

dy

h y

x b

Ixy =

Ixy =

13

Ixy =

Ixy =

Ixy = ¼ b2h2

Untuk menghitung Ixyo gunakan rumus 2.8.

Ixy = Ixyo + Ax’y’

¼ b2h2 = Ixyo + bh.½b.½h

Ixyo = 0

Maka Momen Inersia perkalian segi empat Ixyo = 0

Contoh 2.2Hitunglah momen inersia (Ix, Iy, Ip, Ixy ) penampang segi tiga dengan alas b dan tinggi h terhadap sumbu x dan sumbu y yang melalui titik berat penampang

y

dA

dy y h x b’ b

Penyelesaian:dA = b’dy

b: b’ = h: ( h-y)

b’ =

dA = dy

14Ix = y2dA

Ixo = dy

Ixo = dy

Ixo =

Ixo =

Ixo =

Ixo =

Ixo =

Dengan cara yang sama dapat dihitung Iy, dengan dA = h’ dx, sehingga dapat diperolehIy

o =

Momen Inersia polar, Ipo = = = (bh3 + b3h)

y

dA

h h’ x x dx b

h’: h = (b-x) : b15

h’ =

Ixy =

Ixy =

Ixy =

Ixy = dx

Ixy =

Ixy =

Ixy = Ixy =

Ixy = Ixyo + Ax’y’

= Ixyo +

Ixyo =

Momen Inersia perkalian segitiga pada gambar diatas, Ixyo =

Contoh 2.3Hitunglah momen inersia (Ix, Iy, Ip, Ixy ) penampang lingkaran dengan jari-jari r terhadap sumbu x dan sumbu y yang melalui titik berat penampang y

d dA d x

16Penyelesaian:

dA = d d

Ix =

Ixo =

Ixo =

Ixo =

Ixo =

Ixo =

Ixo =

Ixo = ¼ r4

Momen inersia penampang lingkaran terhadap sumbu yang melalui pusat lingkaran akan bernilai sama yaitu ¼ r4. Sehingga Iy

o = ¼ r4

Ipo = Ix

o + Iyo

Ipo = ¼ r4 + ¼ r4

Ipo = ½ r4

Apabila sumbu x atau sumbu y merupakan sumbu simetri penampang maka Ixy = 0Dengan demikian untuk penampang lingkaran Ixy

o = 0

Contoh 2.4Hitunglah momen inersia (Ix, Iy, Ip, Ixy ) penampang setengah lingkaran dengan jari-jari r terhadap sumbu x dan sumbu y yang melalui titik berat penampang

y

d dA

d x

17Penyelesaian:Momen inersia penampang setengah lingkaran terhadap sumbu x, prinsipnya sama dengan momen inersia lingkaran penuh terhadap sumbu x. Kalau pada lingkaran penuh batas-batas sudutnya dari = 0 sampai = 2, namun pada penampang setengah lingkaran batas-batas sudutnya dari = 0 sampai = .

Ix =

Ix =

Ix =

Ix =

Ix =

Ix =

Ix =

Ix =

Selanjutnya dengan Persamaan 2.5. dapat dihitung Ixo sebagai berikut:

Ix = Ixo + Ay’2

= Ixo +

Ixo = -

Ixo = -

Ixo =

Momen inersia terhadap sumbu y:

Iy = 18

Iyo =

Iyo =

Iyo =

Iyo =

Iyo =

Iyo =

Iyo =

Ipo = Ix

o + Iyo

Ipo = + r4

Ipo =

Karena sumbu y merupakan sumbu simetris, maka Ixyo = 0

Rangkuman momen inersia penampang sederhana (umum) yang telah dibahas diatas dapat dilihat pada Tabel 2.1. Momen inersia ini dapat dipakai untuk menyelesaikan momen inersia penampang gabungan (komposit).

19Tabel 2.1. Momen Inersia Bidang Datar Penampang Umum

segiempat

Y

h x O

B

Ix = Iy = Ip = Ixy = 0

segitiga

y

b/3

h h/3 O x b

Ix = Iy = Ip = Ixy =

lingkaran

y

D = 2r x O

Ix = Iy = Ip = Ixy = 0

setengah lingkaran

Y

4r/3 O y

2 r

Ix =

Iy =

Ip =

Ixy = 0

204. Contoh soal penampang komposit

Contoh 2.5.

Hitunglah momen inersia (Ix, Iy, Ip, Ixy ) penampang baja siku terhadap sumbu x dan sumbu y yang melalui titik berat penampang

12,7 mm

152 mm

12,7 mm

102 mm

Penyelesaian

1. Hitung posisi titik berat penampang, untuk ini sudah dihitung pada contoh 1.4.2. Gambarkan salib sumbu x dan sumbu y pada titik berat penampang sebagai berikut: y

12,7 mm

1 152 mm x O 12,7 mm 50,22 mm 2

102 mm 25,22 mm

3. Bagi penampang menjadi bidang 1 dan bidang 2 seperti pada gambar4. Hitung momem inersia terhadap sumbu x sebagai berikut:

Ix = Ixo + Ay’2

Ix =

21Ix = 3716663,467 + 1282960,055 + 15243,383 + 2182681,908 = 7197548,813 mm4

5. Hitung momen inersia terhadap sumbu y sebagai berikut:Iy = Iy

o + Ax’2

Iy =

Iy = 25946,185 + 687370,848 + 753662,404 + 1170783,602 = 2637763,093 mm4

6. Hitung momen inersia polar sebagai berikut:Ip = Ix + Iy Ip = 7197548,813 + 2637763,093 = 9835311,906 mm4

7. Hitung momen inersia perkalian sebagai berikut:Menghitung momen inersia perkalian, perhatikan tanda jarak, jarak dapat bertanda negatip sesuai dengan posisinya pada salib sumbu. Hal ini berbeda dengan perhitungan Ix dan Iy yang mana jarak dipangkatduakan sehingga tetap bertanda positip.Ixy = Ixy

o + Ax’y’Ixy = 0 + 12,7. 152. [-(25,22- 6,35).(76- 50,22)] + 0 + 89,3.12.7.(57,35-25,22)[-(50,22-6,35)] = - 939078,985 - 1598576,925 = - 2537655,91 mm4

Contoh 2.6.Hitunglah momen inersia (Ix, Iy, Ip, Ixy ) penampang tergambar terhadap sumbu x dan sumbu y yang melalui titik berat penampang

25 mm

225 mm

25 mm 150 mm 25 mm

Penyelesaian1. Hitung posisi titik berat penampang, untuk ini sudah dihitung pada contoh 1.5.2. Gambarkan salib sumbu x dan sumbu y pada titik berat penampang sebagai berikut:

22

y

1 25 mm 99,04 x 2 2 225 mm 150,96

25 mm 150 mm 25 mm

3. Bagi penampang menjadi 3 bagian yaitu bidang1 dan 2 bagian bidang 2 seperti pada gambar4. Hitung momem inersia terhadap sumbu x sebagai berikut:

Ix = Ixo + Ay’2

Ix1 = = 37706274,67 mm4

Ix2 = = 64101618,00 mm 4 +Ix = 101807892,67 mm4

5. Hitung momen inersia terhadap sumbu y sebagai berikut:Iy = Iy

o + Ax’2 Iy1 = = 16666666,67 mm4

Iy2 = = 86718750,00 mm 4 Iy = 103385416,67 mm4

6. Hitung momen inersia polar sebagai berikut:Ip = Ix + Iy Ip = 101807892,67 + 103385416,67 = 205193309,34 mm4

7. Hitung momen inersia perkalian sebagai berikut:Ixy = Ixy

o + Ax’y’Ixy1 = 0 + 0 = 0Ixy2 = 25.225.(- 87,5)(- 38,46) + 25.225.(87,5)(- 38,46) = 0Ixy = Ixy1 + Ixy2 = 0

Momen inersia perkalian akan bernilai 0 apabila salah satu sumbu yang melalui titik berat penampang adalah sumbu simetri.

23Contoh 2.7.Penampang seperti tergambar dibawah, O adalah titik berat penampang. Hitung a supaya Ix = Iy

y

10 mm

x 200 mm O

10 mm 120 10 a 10 120 mm

Penyelesaian

Ix = 4( .120.103 + 120. 10. 1052 ) + 2. .10. 2203

Ix = 52960000 + 17746666,67 = 70706666,67 mm4

Iy = 4[ .10.1203 + 10.120 (70 + a)2] + 2. .103.220 + 2.10.220 (5+ a)2

Iy = 4[1440000 + 1200 (4900 + 70a + 0,25 a2)] + 36666,67 + 4400 (25 +5a + 0,25 a2)Iy = 5760000 + 23520000 + 336000a + 1200 a2 + 36666,67 + 110000 + 22000a + 1100a2

Iy = 2300 a2 + 358000a + 29426666,67

Ix = Iy

70706666,67 = 2300 a2 + 358000a + 29426666,672300 a2 + 358000a – 41280000 = 0a2 + 155,65 a – 17947,83 = 0

a12 =

a1 = = 77,105 mm

Maka nilai a = 77,105 mm

24Soal-soal:

1. Tentukan Ix, Iy, Ixy bidang trapezium berikut ini:

50 mm

120 mm

90 mm

2. Tentukan Ix, Iy, Ixy bidang kombinasi segi empat dengan setengah lingkaran berikut ini

60 mm

60 mm

120 mm

3. Tentukan Ix, Iy, Ixy bidang berikut ini

10 mm 80 mm 10 mm

120 mm

255. Sumbu Utama dan Momen Inersia UtamaSumbu utama adalah sumbu yang saling tegak lurus dan akan memberikan momen inersia, I maksimum dan I minimum pada suatu penampang. Pada komponen struktur yang mengalami gaya aksial/normal tekan maka kecenderungannya batang akan tertekuk terhadap sumbu dengan momen inersia yang paling lemah (minimum). Dengan demikian penentuan sumbu utama dan momen inersia utama menjadi penting.

y

y’ y sin x dA x’

y cos y’ y x’ x cos x sin x

Gambar 2.3. Sumbu Utama

Sumbu x dan sumbu y diputar sehingga menjadi sumbu x’ dan dan sumbu y’ dengan sudut putar sebesar . Dengan demikian dapat diperoleh hubungan sebagai berikut:

x’ = x cos + y sin y’ = y cos - x sin

Ix’ = Ix’ = Ix’ = Ix cos2 + Iy sin2 - 2 Ixy sin cos

Iy’ = Iy’ = Iy’ = Iy cos2 + Ix sin2 + 2 Ixy sin cos

Ix’y’ = Ix’y’ = (x cos + y sin )(y cos - x sin ) dAIx’y’ = (Ix –Iy) sin cos + Ixy (cos2 - sin2)

26Catatan:

sin 2 = 2 sin coscos 2 = cos2 - sin2cos2 = + cos 2sin2 = - cos 2

Ix’ = Ix ( + cos 2) + Iy ( - cos 2) - Ixy sin2Ix’ = Ix + Ix cos 2 + Iy - Iy cos 2 - Ixy sin2

Ix’ = (2.9)

Dengan cara yang sama dapat ditentukan Iy’ dan Ix’y’ sebagai berikut:

Iy’ = (2.10)

Ix’y’ = (2.11)

Dari Persamaan 2.9.

Ix’ - (2.12)

Persamaan 2.11 dan Persamaan 2.12 masing-masing dikuadratkan kemudia dijumlahkan sehingga diperoleh:

(2.13)

Persamaan 2.13 adalah persamaan lingkaran dengan bentuk (x-a)2 + y2 = r2

Ix’y’

r Ix’ O N C M

a

Gambar 2.4. Lingkaran dengan Salib Sumbu Ix’ dan Sumbu Ixy’

27Dari Gambar 2.4. diatas dapat ditentukan Momen inersia maksimum dan momen inersia minimum

Imaks = OM = OC +CMImin = ON = OC – CM

Sehingga:

Pada saat terjadi Imaks dan Imin maka Ix’y’ = 0, sehingga dari Persamaan 2.11 diperoleh:

Contoh 2.8.Penampang seperti tergambar,

1. Tentukan Ix, Iy, Ixy terhadap sumbu x dan sumbu y yang melalui titik berat penampang

2. Tentukan sumbu utama dan momen inersia utama y 10 mm

x 100 mm

10 mm 60 mm 10 mm 60 mm

28Penyelesaian:

Ix = .60.103 + 60.10.552 + .10.1203 + 120.10. 02 + .60.103 + 60.10.(-55)2

Ix = 5,08.106 mm4

Iy = .10.603 + 60.10.(-35)2 + .120.103 + 120.10.02 + .10.603 + 10.60.352 Iy = 1,84. 106 mm4

Ixy = 60.10.(55)(-35) + 120.10.(0)(0) + 60.10.(-55)(35)Ixy = -2,31. 106 mm4

Momen inersia utama:

Imaks = 6,281. 106 mm4

Imin = 0,639. 106 mm4

Sumbu Utama

= 27,48 (berlawanan jarum jam)

29

sumbu min y sumbu maks

27,48 x