II - surya sebayang | Just another site .Web viewUntuk menyelesaikan momen inersia pada penampang

  • View
    217

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of II - surya sebayang | Just another site .Web viewUntuk menyelesaikan momen inersia pada penampang

II

II. MOMEN INERSIA BIDANG DATAR

1. Pendahuluan

Momen inersia dapat disebut juga Momen Kedua atau Momen Kelembaman. Data momen inersia suatu penampang dari komponen struktur akan diperlukan pada perhitungan-perhitungan tegangan lentur, tegangan geser, tegangan torsi, defleksi balok, kekakuan balok/kolom dan sebagainya. Luasan A pada gambar 2.1. merupakan bidang datar yang menggambarkan penampang dari suatu komponen struktur, dengan dA merupakan suatu luasan/elemen kecil.

y

A

x dA

r

y

x

O

Gambar 2.1. Potongan Penampang

Secara metematis momen inersia ditentukan dengan persamaan-persamaan berikut:

Momen Inersia terhadap sumbu x:

Ix =

y2 dA

(2.1)

Momen Inersia terhadap sumbu y:

Iy =

x2 dA

(2.2)

Momen Inersia kutub:

Ip =

r2 dA

(2.3)

Momen Inersia Perkalian (Product of Inertia):

Ixy =

xy dA

(2.4)

Momen inersia pada Persamaan 2.1, Persamaan 2.2, dan Persamaan 2.3 selalu bertanda positip, sedangkan momen inersia perkalian pada Persamaan 2.4 dapat bertanda negatip.

10

Momen inersia pada keempat persamaan diatas penggunaannya terbatas pada momen inersia bidang tunggal, sedangkan secara umum banyak bidang/penampang merupakan gabungan dari beberapa penampang tunggal. Misalnya penampang yang berbentuk L adalah gabungan dari dua penampang segi empat. Untuk menyelesaikan momen inersia pada penampang gabungan diperlukan pengembangan dari Persamaan 2.1, 2.2, 2.3, dan 2.4. yang disebut dengan Teori Sumbu Sejajar.

2. Teori Sumbu Sejajar

x yo

dA

x x

r y

xo

A O

r O = titik berat luasan A

y

y

Gambar 2.2. Penampang dengan Sumbu Transformasi

Momen inersia terhadap sumbu x:

Ix =

(

)

+

dA

y

y

2

'

Ix =

+

+

dA

y

dA

yy

dA

y

2

2

'

'

2

Ix =

+

+

dA

y

ydA

y

dA

y

2

2

'

'

2

Sumbu xo melalui titik berat bidang A, maka

=

0

ydA

, sehingga:

Ix = Ixo + Ay2

(2.5)

Momen inersia terhadap sumbu y:

Iy =

(

)

+

dA

x

x

2

'

Iy =

+

+

dA

x

dA

xx

dA

x

2

2

'

'

2

Iy =

+

+

dA

x

xdA

x

dA

x

2

2

'

'

2

Sumbu yo melalui titik berat bidang A, maka

=

0

xdA

, sehingga:

Iy = Iyo + Ax2

(2.6)

11

Momen inersia polar:

Ip =

(

)

(

)

[

]

+

+

+

dA

y

y

x

x

.

'

'

2

2

Ip =

[

]

+

+

+

+

+

dA

y

yy

y

x

xx

x

.

'

'

2

'

'

2

2

2

2

2

Ip =

(

)

(

)

+

+

+

+

+

ydA

y

xdA

x

dA

y

x

dA

y

x

'

2

'

2

'

'

2

2

2

2

Sumbu xo dan sumbu yo melalui titik berat luasan A, maka

xdA

= 0 dan

ydA

= 0

Sehingga:

Ip = Ipo + Ar2

(2.7)

Momen inersia perkalian:

Ixy =

(

)

(

)

+

+

dA

y

y

x

x

'

'

Ixy =

+

+

+

dA

y

x

ydA

x

xdA

y

xydA

'

'

'

'

Sumbu xo dan sumbu yo melalui titik berat luasan A, maka

xdA

= 0 dan

ydA

= 0

Sehingga:

Ixy = Ixyo + Axy

(2.8)

3. Contoh-Contoh

Contoh 2.1

Hitunglah momen inersia (Ix, Iy, Ip, Ixy ) penampang segi empat dengan lebar b dan tinggi h terhadap sumbu x dan sumbu y yang melalui titik berat penampang

y

dy

y

h x

b

12

Penyelesaian:

dA = bdy

Ix =

y2dA

Ixo =

-

h

h

2

1

2

1

y2bdy

Ixo = b

[

]

h

h

y

2

1

2

1

3

3

1

-

Ixo = b

[

]

3

8

1

3

1

3

8

1

3

1

.

.

h

h

+

Ixo =

3

12

1

bh

Dengan cara yang sama dapat dihitung Iyo, dengan dA = h dx, sehingga dapat diperoleh

Iyo =

h

b

3

12

1

Momen Inersia polar, Ipo =

dA

r

2

=

(

)

+

=

+

x

y

I

I

dA

y

x

2

2

=

12

1

(bh3 + b3h)

Menghitung momen inersia perkalian Ixy:

y

dy

h y

x

b

Ixy =

xydA

Ixy =

h

bybdy

0

2

1

13

Ixy =

h

ydy

b

0

2

2

1

Ixy =

[

]

h

y

b

0

2

2

1

2

2

1

Ixy = b2h2

Untuk menghitung Ixyo gunakan rumus 2.8.

Ixy = Ixyo + Axy

b2h2 = Ixyo + bh.b.h

Ixyo = 0

Maka Momen Inersia perkalian segi empat Ixyo = 0

Contoh 2.2

Hitunglah momen inersia (Ix, Iy, Ip, Ixy ) penampang segi tiga dengan alas b dan tinggi h terhadap sumbu x dan sumbu y yang melalui titik berat penampang

y

dA

dy

y

h

x

b

b

Penyelesaian:

dA = bdy

3

2

b: b =

3

2

h: (

3

2

h-y)

b =

)

(

3

2

y

h

h

b

-

dA =

)

(

3

2

y

h

h

b

-

dy

14

Ix =

y2dA

Ixo =

-

h

h

y

3

2

3

1

2

EMBED Equation.3

)

(

3

2

y

h

h

b

-

dy

Ixo =

-

-

h

h

y

h

b

by

3

2

3

1

3

2

3

2

)

(

dy

Ixo =

[

]

h

h

y

h

b

y

b

3

2

3

1

4

4

1

3