II Modelado de Procesos Quimicos

Control Avanzado de Procesos

Capitulo II

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II.

MODELADO DE PROCESOS QUMICOS.

Dependiendo del proceso al que sirven, existen diferentes y muy variados tipos de modelos. Bsicamente, un modelo es: La representacin matemtica de un fenmeno o conjunto de ellos. Dependiendo del conocimiento de las interacciones causa-efecto, los modelos pueden ser clasificados como: Modelos estructurales. Modelos determinsticos. Modelos empricos. Modelos aleatorios.

Modelos estructurales La relacin estructural (topolgica) entre las variables no concierne la relacin funcional. Ejemplo: Evaporador de doble efecto2 1

Si

C2

B2 F CF TF B2 C1

& C1 = f1 (C1 , h1 , F , C F ) & C 2 = f 2 (C1 , C 2 , h1 , B1 ) & h1 = f 3 (C1 , h1 , F , TF , S i )

C1 = Concentracin en el primer efecto. C 2 =Concentracin en el segundo efecto.


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h1 =Entalpa en el segundo efecto. F =Alimento. C F =Concentraron en el alimento. TF =Temperatura del alimento. S =Flujo de vapor. B1, 2 =Flujo de salida en el primero y segundo efecto.

& C1 & C2 & h1

C1 x x x

C2 x

h1 x x x

F x x

CF x

TF

S

B1 x

B2

x

x

Grafica resultante

C1

C2

h1

F

TF

CF

Si

B1

B2

La matriz estructural en la grafica directa indica si una variable afecta a otra variable. El modelado estructural no puede ser usado para diseo cuantitativo, solo para decisiones estructurales y topolgicas. Modelos Deterministicos Basados en las leyes fsicas conocidas a travs de: - Balances de energa, masa y momentum. - Equilibrio termodinmico. - Velocidades cinticas. - Parmetros completamente conocidos (cualitativamente). Bsicamente existen 3 tipos de modelos deterministicos. - Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). - Ecuaciones diferenciales parciales (EDP).


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-

Ecuaciones integro-diferenciales.

Dependiendo de la naturaleza cambiante o no de los estados de un sistema podemos hablar de: - Modelos dinmicos ( dx 0, x 0 ) dt t d ( ) = 0, ( ) = 0 ), representados por - Modelos estticos ( dt t ecuaciones algebraicas.

Principio general de Conservacin. Para una especie A (masa, energa o momentum)

Tasa Tasa de acumulacin = entrada de A de A

-

Tasa de salida de A

Tasa de + produccin de A

Tasa de consumo de A

Ecuaciones Constitutivas Son las expresiones explicitas, expresadas como descripciones matemticas de las que aparecen en las ecuaciones de balance, y estn basadas en leyes fsicas y qumicas. Tales ecuaciones incluyen: 1) Ecuaciones de las propiedades de la materia.Son las definiciones bsicas de masa, momentum y energa en trminos de propiedades fsicas tales como densidad, capacidad calorfica, concentracin, temperatura, etc. 2) Ecuaciones de transporte.Ley de Newton de la viscosidad (transferencia de momentum). Ley de Fourier (transferencia de calor). Ley de Fick de la difusin (transferencia de masa). 3) Velocidades de Reaccin (Cintica Qumica).Ley de accin de masas. Expresin de Arrhenius. 4) Relaciones Termodinmicas.Ecuaciones de estado (ley de gases ideales, ecuaciones de VDW, etc.). Modelos Estocsticos Se usan para corregir el conocimiento incompleto del modelo, de los parmetros o bien para compensar el ruido en las mediciones.

CLASIFICACIN DE VARIABLES EN UN PROCESO


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Estados (X). Variables que describen un sistema. Se entiende por sistema el conjunto de modelo + proceso real que el modelo representa. Manipulaciones (m),(u). Entradas de un sistema. Perturbaciones (d), (u). Variables consideradas (o parcialmente consideradas) en el modelo y que afectan el sistema. Mediciones o variables medibles (y). Salidas. Mediciones o variables no medibles (z). Salidas. Ejemplo: Reactor continuo y agitado ( CSTR )

qi , CAi, Ti qc , Tci Tc

q , CA, T.

Estados: H, CA, T Perturbaciones: qi , CAi, Ti Manipulaciones: qc , Tci, q Medibles. H, T No medibles: CA En General:

z = f ( x, u , d ) &Para un proceso general se tiene:

x = f ( x, u , d ) & y = f ( x, u , d ) &


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Perturbaciones medibles

Perturbaciones No medibles

Perturbaciones No medibles

PROCESO

Mediciones

Salidas No medibles

Si el sistema es lineal.

& x = A x + Bu + C d + w1

y = C x + wzw1 = Ruido blanco para compensar el conocimiento incompleto de A , B y C . w z = Para compensar lo incierto de las mediciones.Ejemplo: Reactor biolgico monosustrato-monobiomasa.

F, Sin

F, S, X, Productos (P)

S, X

Suponer que solo se mide X Reaccin:S X +P

S Sustrato X Biomasa

Balance de masa para biomasa


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X =Balance de masa para sustrato

F X + X V

S=

F in F S S kX V V

k Coeficiente de rendimiento.

=

max Sks + S

Ecuacin de Monod

Todo esto nos lleva a:

1 D 0 X 0 & X = x + + in k 0 D S DS

donde D =

F V

escrita de otra forma

& x = C f (x ) + A x + bcon la salida:

1 0 X y= 0 0 S Estados: X , S Manipulaciones: D Perturbaciones: S in Salidas medibles: X Salidas no medibles: S, P

MODELADO TERICO DE PROCESOSPaso1. Definicin del Proceso Se debe tener en cuenta que es imposible representar todos los aspectos de un proceso fsico. De hecho siempre es posible obtener diferentes modelos para un mismo proceso. As, como primer paso se debe responder las siguientes preguntas bsicas.


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1.- A que propsito servir este modelo? 2.- Qu tan simple o complejo debe ser el modelo? 3.- Qu aspectos del proceso deben ser considerados relevantes y por lo tanto ser considerados por el modelo? 4.- Qu tan extensos son los principios fundamentales de estos aspectos en relacin al conocimiento del proceso? 5.- Cunto tiempo se requiere/tiene para completar el modelo? 6.- Hiptesis sobre el proceso? 7.- 8.- Paso 2. Formulacin del modelo. Una vez contestadas estas preguntas se procede a aplicar los balances y ecuaciones constitutivas. Paso 3. Estimacin de Parmetros. Un modelo no se puede considerar completo hasta no identificar correctamente TODOS los parmetros involucrados en el modelo. Para ellos existen 3 funciones bsicas: a) Literatura. b) Experimentos independientes relacionados en principios fundamentales. c) Experimentos relacionados especficamente con el proceso en cuestin. Paso 4. Validacin del modelo. El modelo debe ser comparado con juegos de datos de otros que los usados para estimar los parmetros. Si el modelo no representa aceptablemente estos nuevos datos, se deben repetir todos los pasos anteriores.

ESTIMACIN DE PARMETROS EN MODELOS TERICOS.Para propsitos de estimacin de parmetros, un modelo terico de cualquier proceso puede ser representado por:

= f ( z, )

(1)

donde: n es el vector de salida del proceso real que pueden ser medidas.

z m es el vector de variables independientes que pueden ser especificadas para cada experimento o que son conocidas precisamente (entradas). p vector de parmetros desconocidos.Notar que si f es una funcin lineal con respecto al vector , entonces se dice que el modelo es lineal en los parmetros. Esto no necesariamente significa que el modelo sea lineal en trminos de las variables del proceso (estados).


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Para estimar p parmetros es necesario desarrollar al menos experimentos. As, el resultado de cada experimento puede representarse como:

n p

(k ) = f ( z (k ), ); k=1,2,,n

(2)

Si incluimos los errores de medicin tenemos

y (k ) = (k ) = f ( z (k ), ) + (k ); k=1,2,,n

(3)

MNIMOS CUADRADOS Es el criterio mas usado para obtener estimados ptimos de los parmetros no conocidos de un modelo. El problema de mnimos cuadrados puede ser representado con el problema de optimizacin.

min S ( ) = [ (k )]T [ (k )]k =1

N

(4)

A partir de (3) tenemosmin S ( ) = min [ y (k ) f ( z (k ), )]T [ y (k ) f ( z (k ), )] k =1 N

(5)

En ocasiones es necesario asignar mas peso a ciertas mediciones precisas y menos peso a otras. As, tenemos el mtodo de MNIMOS CUADRADOS PESADOS, que puede ser representado como:

min S ( ) = min [ y (k ) f ( z (k ), )]T W (k )[ y (k ) f ( z (k ), )] k =1

N

(6)

donde la matriz peso W (k ) nxn refleja la precisin de varias mediciones. y (1) f ( z (1), ) (1) y (2) f ( z (2), ) (2) . . . = + . . . . . . y ( N ) f ( z ( N ), ) ( N )

(7)

Caso lineal (mnimos cuadrados lineales)


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Si F es lineal en los parmetros, entonces (7) se puede representar como:Y = X +

La idea es entonces minimizar el vector de errores

min E E = min[(Y X )]T [(Y X )]T

(8)

En general de requiere que:[(Y X )]T [(Y X )] = 0

lo cual implica que(Y X ) = 0

Y = X

X Y = X XT T

= ( X T X ) 1 X T Y

=estimado

(9)

Caso no lineal Lo mas usado es utilizar mtodos numricos.

Estimacin de parmetros en EDOs por mtodos numricos. Considerar que nuestro modelo tiene la forma general:d = f ( , z , , t ) dt

(10)

yk

k=1,2,,N

donde f () es un vector de funciones no lineales en los argumentos indicados y y k es el k-simo juego de datos obtenidos como salidas en la k-sima corrida. Algoritmo general


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1) Iniciar con 0 = (0) (estimado inicial). 2) Integrar (10) para obtener . 3) Evaluar la funcin de suma de cuadrados del error.

s j = s ( j ) = [ y k k ( j )]T [ y k k ( j )]k =1

N

(11)

4) Actualizar el estimado j

j +1

5) Repetir el paso 2) e iterar para obtener s j +1 6) Continuar hasta que ( s j +1 s j ) CC parmetro de tolerancia

Notar que el procedimiento general esta basado en encontrar un estado pdimensional del vector de parmetros , para localizar el mnimo global de superficie s ( ) . Las tcnicas ms populares para efectuar el proceso (4) son los mtodos de gradiente.

MTODO DE GRADIENTE En forma general se tiene

j +1 = j gdonde

(matriz)

g

(escalar) (vector gradiente de las superficies)

gi =

s i

Los diferentes mtodos dependen de la eleccin de y .

MTODO DE LA MXIMA PENDIENTE

=1, = I

(convergencia muy lenta)


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NEWTON-RAPHSON

=1, = H 1donde

H

1

=

2s i j

(matriz Hessiana)

Trabaja bien cerca del mnimo pero en general no garantiza que en cada paso

s ( j +1 ) < s( j )

MTODO DE LEUENBERG-MARQUARDT

=1, = ( H + k I ) 1donde k es un escalar que puede cambiar en el curso de la optimizacin.

OTROS MTODOS SQP (Sequential Quadratic Programming).

Ejemplo: Una placa caliente con temperatura inicial To es puesta a enfriar en una atmsfera calmada con temperatura constante Ta. Desarrolle un modelo para describir el cambio de temperatura en la placa y describa un mtodo para encontrar los parmetros del modelo. Solucin: Balance de energa

dQ d (mC p T ) = = UA(T Ta ) dt dtintegrando (12) tenemos

(12)

T Ta = mC dtp

dT

UA


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cuya solucin es

T Ta UAt ln = To Ta mC psi se hace k =

(13)

UA mCp

(14)

y reacomodando tenemos

T = Ta + (To Ta )e ktnotar que la expresin anterior es no lineal en k, sin embargo a partir de (13) podemos escribir

=

T Ta = e kt To Ta

ln( ) = ktque ya no es lineal en , pero ahora es lineal en k. Se debe de tomar datos experimentales

ln( ) M

t M

en forma matricial tenemos ln 1 t1 1 ln t 2 2 ( k ) + 2 = M M M ln n t n n

Y = X + Resolver para k con mnimos cuadrados Despus con A, m, C p conocidos, usar (14) para obtener U


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Ejemplo: Ray (Ray W. H. Advanced Process Control, Butter Worths, Boston 1989) muestra que el calentamiento de un cilindro metlico puede ser modelado por la ecuacin:

T k T = r t r r r donde T = T C T = tiempo r = radio del cilindro k = difusividad trmica del material

(15)

En estado estacionario se obtuvieron los siguientes datos: r (cm) T C 0.6 18.6 0.8 19.8 1.2 21.8 1.6 23.2 1.8 23.6 2.0 24 2.2 24.8 2.4 25.6

Encuentre y caracterice (estime los parmetros) de la solucin en estado estacionario del modelo (15) usando los datos anteriores. Solucin: En estado estacionario tenemos

0=

k T r r r r T r r r

0=

Resolviendo tenemos:T = C1 ln r + C 2

(16)

Notar que la solucin en estado estacionario (16) es no lineal en r pero es lineal en los parmetros desconocidos C1 y C2 . Con los datos del problema podemos escribir en forma matricial.


Capitulo II1 1 1 2 1 1 C1 + 1 C 2 1 1 1 8

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18.6 0.51089 19.8 0.2331 21.8 0.1823 23.2 = 0.2170 23.6 0.5878 24.0 0.6931 24.8 0.7885 25.6 0.8755

Resolviendo con = ( X T X ) 1 X T Y

obtenemos C1 4.8505 = C 2 20.939

La solucin completa en estado estacionario es:T = 4.8505 ln r + 20.939

MODELOS EMPRICOS E IDENTIFICACIN DE PROCESOS El sistema es tratado como si fuera una caja negra y la informacin experimental es recolectada a partir a la respuesta a un estimulo externo es usada para inferir (identificar) lo que sucede dentro de la caja. Por lo tanto ningn conocimiento acerca de la naturaleza del proceso problema es necesario (aunque puede ayudar). As, la identificacin de procesos concierne la construccin del modelo, estrictamente a partir de los experimentos del tipo entrada-salida, sin recurrir a ninguna ley respecto a la naturaleza fundamental y/o propiedades del sistema. Las entradas tpicas usadas en el diseo de experimentos para la identificacin de un proceso son:-

Escaln Impulsos Pulso (rectangular o arbitrario) Funciones peridicas (senos, cosenos) Ruido blanco


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Los modelos candidatos ms usuales son: Tipo de Representacin en el dominio del Representacin en Parmetros modelo tiempo el dominio de Laplace k , 1er dy y(s) k + y = ku (t ) = g ( s) = Orden dt u ( s) s + 1 er s k , , 1 con dy ke g (s) = retardo dt + y = ku (t )U (t ) s + 1 do 2 2 k k , 1 , 2 dy d y g ( s) = + y = ku (t ) 2 2 + 2 Orden ( 1 s + 1)( 2 s + 1) dt dt 2do con dy d2y 2 2 + 2 + y = ku (t )U (t ) retardo dt dt nico cero, 2 polos con retardog ( s) = g ( s) = ke s ( 1 s + 1)( 2 s + 1) k (s + 1)e s ( 1 s + 1)( 2 s + 1) k , , 1 , 2 k , , , 1 , 2

-

Procedimiento general: 1. Efectuar una serie exhaustiva de experimentos usando algn tipo de entrada conocida para obtener la respuesta del sistema a tal entrada. 2. Representar los datos en formas clsicas. - Graficas y vs. t - Diagramas de Bode - Etc. 3. Proponer un modelo candidato. 4. Estimar los parmetros del modelo candidato. 5. Validacin.

ALGUNOS TIPS RECORDATORIOS Para entradas del tipo escaln de magnitud unitaria.


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En cuanto a la respuesta a la frecuencia-

La presencia de un trmino de retardo origina que el ngulo de fase , decrece montonamente a medida que la frecuencia aumenta. Primer orden 90 a medida que Segundo orden 180 a medida que El valor asinttico de aumenta en 90 en un sistema con PRP con respecto al mismo sistema sin ceros. El valor asinttico de disminuye en 90 con respecto al mismo sistema sin ceros.

-

-

Ejemplo: Un sistema de orden desconocido (pero mayor a 1) exhibe la siguiente respuesta a un cambio en escaln unitario.

Proponer un modelo y descubrir un mtodo para encontrar los parmetros del sistema.


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Solucin: Sabemos que un sistema de orden N puede ser representado por un primer orden con retardo. La grafica justifica esta hiptesis, por lo tanto proponemos

para nuestro caso u=1

dy + y = ku (t )U (t ) dt

dy + y = kU (t ) dt

Integrando esta ecuacin obtenemos

0 t

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