II. MILIEUX DIÉLECTRIQUES : ASPECTS MICROSCOPIQUES II. A Champ local (Lorentz); champ de Maxwell. II. B Relation entre la polarisabilité et ε; cas dilué (fluide), cas dense (liquide, solide). II. C Polarisabilité α à l’échelle d’un constituant (atome, molécule). II. D Conséquences: rigidité diélectrique des condensateurs; ferroélectricité.

Appendice : polarisabilité orientationnelle d’un liquide polaire.

Description macroscopique du diélectrique

II. A Champ local (Lorentz); champ de Maxwell.

𝑷

E0 E0

-P σP= +P σP=

E=E0-P/ε0 Champ de Maxwell

II. A Champ local (Lorentz); champ de Maxwell.

Eloc

Description microscopique du diélectrique

Champ local (de Lorentz) Quelle relation lie le champ de Maxwell au champ local?

E0

II. A Champ local (Lorentz); champ de Maxwell.

A l’intérieur de la sphère on calcule le champ créé par chaque dipôle atomique

A l’extérieur de la sphère on utilise le champ moyen des dipôles atomiques c’est à dire le champ de Maxwell

-P σP= +P σP=

𝑷

E0

E=E0-P/ε0

+

𝑷

+

+

+ + +

- - - -

-

𝑛 𝑛

II. A Champ local (Lorentz); champ de Maxwell.

E0

Ecav Ecav = P/3ε0

Sur la surface de la sphère on a des charges surfaciques qui créent le champ de cavité à l’intérieur de la sphère

A l’intérieur de la sphère on calcule le champ de proximité créé sur l’atome central par chaque dipôle atomique

Eprox=0 Pour un empilement cubique,

II. A Champ local (Lorentz); champ de Maxwell.

E0

Eprox

Eloc = E+Ecav+Eprox

II. A Champ local (Lorentz); champ de Maxwell.

Eloc = E+P/3ε0

Pour une structure cristalline même non cubique et une cavité de forme quelconque, on peut établir que

Le champ de Maxwell est E = E0 + Edep où Edep est le champ dépolarisant introduit au chapitre I (dépend de l’orientation de E0 par rapport à la surface du matériau)

D’où le champ local agissant sur chaque atome du diélectrique

p = ε0 α Eloc α est la polarisabilité du milieu (homogène à un volume)

II. A Champ local (Lorentz); champ de Maxwell.

Eloc = E+P/3ε0

Dans un milieu linéaire homogène et isotrope, le dipôle créé sur chaque atome lorsqu’on applique le champ extérieur E0 est tel que

P = n p = n ε0 α Eloc

n dipôles par unité de volume

or, au chapitre I, on a vu que P = ε0 χe E = ε0 (εr -1) E

⇒ εr −1εr +2 = nα 3

Clausius - Mossotti

II. B Relation entre la polarisabilité α et εr; cas dilué (fluide), cas dense (liquide, solide).

Eloc = E+P/3ε0

εr −1εr +2 = nα 3

Pour un milieu dilué (typiquement un gaz), la densité de molécules n est très faible, si bien que nα <<1. De la formule de Clausius-Mossotti ci-dessus, on déduit que εr ~ 1. Le dénominateur est alors proche de 3 et on en conclut que εr -1 ~ nα Or P = ε0 χe E = ε0 (εr -1) E d’où P~ ε0 nα E. Par définition, P = n ε0 α Eloc si bien que E= Eloc . On peut donc assimiler le champ de Maxwell au champ local.

Bertin, Faroux, Renault, Electromagnétisme 4

n=( ρ/M) Na ⇒ εr −1

εr +2 xM/ ρ =Na α/3

Nombre d’Avogadro

Masse molaire

Gauss ⇒ 4π d2 Ec =−𝑞 ε0

𝑑3

𝑅3

II. C Polarisabilité α à l’échelle d’un constituant (atome, molécule).

𝑢𝑥 La force électrostatique exercée sur la charge +q par les charges –q distribuées de façon uniforme dans la sphère de rayon R s’écrit 𝐹𝐹 = 𝑢𝑥𝑞𝑞𝐹

où le champ 𝑞𝑙𝑙𝐹 exerce une force = 𝑞𝑞𝑙𝑙𝐹

L’équilibre mécanique pour la charge +q se traduit par 𝐹𝐹 + = 0

sur la charge +q

𝐹𝐹 = 𝑢𝑥𝑞𝑞𝐹 = −𝑢𝑥 𝑞2

4π ε0 𝑅3 d

Le nuage électronique est soumis à deux forces : • − 𝐹𝐹 (principe de l’action et de la réaction) • 𝐹𝑒 = −𝑞𝑞𝑙𝑙𝐹

Il est aussi à l’équilibre, puisque − 𝐹𝐹 + 𝐹𝑒 = 0

D’où la polarisabilité électronique αe = 𝑞2

𝑘 ε0 (q=Z|e|)

αe = 4π 𝑅3

II. C Polarisabilité α à l’échelle d’un constituant (atome, molécule).

p=qd =qkd/k=-qFc/k=-qFe/k=q2Eloc/k =ε0αeEloc

𝑢𝑥

𝐹𝐹 joue le rôle d’une force de rappel d’un ressort D’où l’on pose 𝐹𝐹 = −𝑢𝑥𝑘𝑘. On identifie alors k à k= 𝑞2

4π ε0 𝑅3 .

Le moment du dipôle induit est p=qd

Polarisabilité ionique d’un cristal ionique (ex Na+ Cl-)

d+ déplacement de l’ion/équilibre + sous l’action du champ Eloc d- déplacement de l’ion/équilibre - sous l’action du champ Eloc 𝑘 (d+ + d-) = q Eloc p = ε0 αi Eloc 𝑘 est la constante de rappel du « ressort » liant Na+ à Cl-

αi = 𝑞2

𝑘 ε0 (q=Z|e|)

+ -

Polarisabilité orientationnelle de molécules polaires (ex H2O) : p est le moment dipolaire des molécules individuelles

p

𝑞𝑝 = −𝑝.𝑞𝑙𝑙𝐹

Polarisabilité orientationnelle de molécules polaires (ex H2O) : p est le moment dipolaire des molécules individuelles

αori = 𝑝2

3 𝑘𝐵𝑇 ε0

L(x)=coth (x)-1/x (Langevin)

p

p

Le calcul effectué dans l’appendice montre que :

⇒ εr −1εr +2 = nα 3 α = αe +αi+ αori

Les contributions à la polarisabilité sont additives.

Bertin, Faroux, Renault, Electromagnétisme 4

molécule

→ E + e

le

+ 2 e

II. D Conséquences: rigidité diélectrique des condensateurs; ferroélectricité.

Rigidité diélectrique :

Si le champ électrique est suffisamment fort, il peut ioniser une molécule (ou un atome) c’est-à-dire arracher un électron de la couche périphérique.

→

Comme c’est une particule chargée, l’électron ne peut parcourir qu’une petite distance le (appelée libre parcours moyen). Si une deuxième molécule (ou atome) est à une distance inférieure à le, il y a un choc qui peut arracher un deuxième électron au système, etc. Cette réaction en chaine crée un canal conducteur dans le matériau. Il n’est plus isolant si le canal traverse toute l’épaisseur du diélectrique. Il y a rupture diélectrique. La rigidité diélectrique est donc le champ maximal que l’on peut appliquer au diélectrique sans créer de rupture.

+ σs

- σs

+++++++++++++++++++++++++++

---------------------------

E<E0

Charge constante

E0= σs/ε0

⇒ tension de rupture plus élevée que celle de l’air

D0 =ε0E0 =D=εE=ε0εrE ⇒

χe =« ∞ » pour nα 3 =1 ⇒ P= ε0 χe E ≠ 0 même si E=0 !!

⇒ εr −1εr +2 = nα 3

Clausius-Mossotti

χe 𝟑+χe

= nα 3 ⇒χe = nα

𝟏− nα𝟑

La densité n est une fonction de T donc ceci peut se produire en abaissant T au dessous d’une valeur seuil, Tc.

Ferroélectricité:

Ps = polarisation à saturation : valeur maximale de P quand tous les dipôles sont parallèles à E. Pr = polarisation rémanente : valeur de P quand E=0 Ec = champ coercitif : Valeur de E telle que P=0

La polarisation du ferroélectrique n’est plus proportionnelle à E

L’effet de E est d’orienter les moments dipolaires permanents parallèlement à sa direction :

Pour minimiser l’énergie du milieu, des domaines se forment spontanément. Dans chaque domaine, P a une valeur finie mais sur l’ensemble du volume, P=0, initialement.

APPENDICE : POLARISABILITÉ ORIENTATIONNELLE D’UN LIQUIDE POLAIRE

Une substance polaire est constituée de molécules présentant des dipôles permanents 𝑝 avec une densité volumique n. En l’absence de champ, l’orientation des dipôles dans l’espace est isotrope. En présence d’un champ 𝑞=𝑞𝑢𝑍 et à température finie, la densité dn de dipôles orientés à l’intérieur d’un angle solide dΩ = sin𝜃 𝑘𝜃𝑘𝑑 autour d’une direction donnée -- ici 𝑢𝑍 -- est de la forme :

dn = A exp[-Ep/kBT] dΩ (𝑞𝑝 = −𝑝.𝑞 = −𝑝𝑞 cos𝜃 , kB constante de Boltzmann)

La densité totale n est donc donnée par n=∬A exp[−Ep/kBT] sin𝜃 𝑘𝜃𝑘𝑑

La fonction à intégrer ne dépend pas de ϕ qui varie de 0 à 2π. Par ailleurs, on introduit la variable x=cosθ et sinθ dθ = d[-cosθ] = -dx. θ varie de 0 à π, donc x varie de 1 à -1 d’où

n= 2𝜋𝜋 ∫ exp[pEx/kBT] 𝑘𝑑1−1 = 4𝜋𝜋kBT/pE sinh[pE/kBT]

Le moment dipolaire moyen parallèle à E est donc donné par pZ= ∫ 𝑝 cos 𝜃 𝑑𝑑𝑑

pZ= ∫ 𝑝 cos 𝜃 𝑑𝑑𝑑

= 4𝜋𝜋𝑝 ∫ 𝒙 exp[pEx/kBT] 𝑑𝑥1

−1𝑑

= p[cotanh λ -1/λ] où λ=pE/kBT