of 119 /119
i BAHAN AJAR KALKULUS 2 Disusun Oleh: Drs. Moch. Chotim, MS. Muhammad Kharis, S.Si, M.Sc JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2011

# blogardliyan.files.wordpress.com€¦ · ii DAFTAR ISI DAFTAR ISI............................................................................................................ii BAB

others

• View
35

0

Embed Size (px)

Citation preview

i

BAHAN AJAR

KALKULUS 2

Disusun Oleh: Drs. Moch. Chotim, MS.

Muhammad Kharis, S.Si, M.Sc

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2011

ii

DAFTAR ISI

DAFTAR ISI ............................................................................................................ ii BAB I. ANTI TURUNAN ...................................................................................... 1

I.1 Turunan ......................................................................................................... 1 I.2 Antiturunan ................................................................................................... 6

I.3 Evaluasi ....................................................................................................... 20 BAB II. INTEGRAL TENTU DAN PENGINTEGRALAN ................................... 21

II.1 Notasi Sigma ............................................................................................ 21 II.2 Induksi Matematika .................................................................................. 24 II.3 Jumlah Riemann ....................................................................................... 25 II.4 Integral Tertentu ....................................................................................... 29

II.5 Teorema-teorema Integral Tertentu .......................................................... 32 II.6 Pendiferensialan Integral Tertentu terhadap Batas Atasnya ....................... 38 II.7 Evaluasi ................................................................................................... 44

BAB III. PENGGUNAAN INTEGRAL .............................................................. 46 III.1 Luas Daerah Bidang Datar........................................................................ 46 III.2 Volume Benda Putar ................................................................................ 46

BAB IV. FUNGSI LOGARITMA, FUNGSI EKSPONEN, DAN FUNGSI HIPERBOLIK ........................................................................................................ 49

IV.1 FUNGSI LOGARITMA ........................................................................... 49 IV.2 Bilangan e ................................................................................................ 54 IV.3 Logaritma Asli Sebagai Anti Turunan ...................................................... 55 IV.4 Fungsi Eksponen Asli ............................................................................... 59

IV.5 Hampiran Nilai bilangan e ........................................................................ 65 IV.6 Fungsi Eksponen dan Logaritma Untuk Bilangan Pokok Yang Lain ......... 67

BAB V. TEKNIK INTEGRAL .............................................................................. 68

V.1 Teknik Substitusi ...................................................................................... 68 V.2 Integral Fungsi Trigonometri .................................................................... 73 V.3 Teknik Substitusi Fungsi Trigonometri ..................................................... 84

V.4 Integral Parsial ......................................................................................... 95 V.5 Integral Fungsi Rasional. .......................................................................... 99 V.6 Integral Fungsi Rasional yang Memuat Sin x dan Cos x ......................... 112

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 117

1

BAB I. ANTI TURUNAN

I.1 Turunan

Pembahasan tentang turunan tidak dapat dipisahkan dari pengertian tentang

fungsi, baik fungsi eksplisit maupun fungsi implisit. Fungsi eksplisit adalah fungsi

yang secara umum penulisannya dinyatakan dalam bentuk 푦 = 푓(푥), sedangkan

fungsi implisit adalah fungsi yang secara umum penulisannya dinyatakan dalam

bentuk 푓(푥, 푦) = 0.

Perhatikan beberapa contoh fungsi di bawah ini.

1. 푦 = 2 − √2− 3푥

2. 푦 = 3푥 − 4푥 + 3

3. 푦 = 푥 푥√푥

4. 푥 + 푦 − 25 = 0

5. 푥푦 + 푥 푦 − 2 = 0

6. 푥 − 2푥 + 푦 − 5 = 0

Pada contoh di atas, fungsi no 1, 2, dan 3 adalah fungsi eksplisit, sedangkan

contoh 4, 5, dan 6 adalah fungsi implisit. Semua fungsi yang ditulis dalam bentuk

eksplisit dapat diubah penulisannya dalam bentuk implisit, akan tetapi tidak semua

fungsi yang ditulis dalam bentuk implisit dapat diubah dalam bentuk eksplisit.

Perhatikan contoh 5 di atas. Selanjutnya dari fungsi-fungsi tersebut, dapat ditentukan

turunannya.

Tulis (푥 + )x = 푡. Jelas ∆푥 = 푡 – 푥

Karena 0x maka xt

Sehingga definisi turunan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk lain

Definisi I-1

Turunan fungsi 푦 = 푓(푥) adalah fungsi lain yang dinotasikan dengan 푓 ’(푥) dan

didefinisikan oleh f’(x) = x

xfxxfx

)()(lim0

, asalkan limitnya ada.

2

푓 ’(푥) = xt

xftfxt

)()(lim , asalkan limitnya ada.

Notasi lain untuk turunan 푦 = 푓(푥) dinyatakan dengan )(, xfDdxdy

x , dx

xdf )( .

Jika fungsi yang diketahui dinyatakan dalam bentuk implisit, maka

turunannya dapat dilakukan dengan menggunakan kaidah differensial yaitu dengan

cara mendiferensialkan masing-masing variabel dalam fugsi tersebut. Berikut ini

diberikan beberapa contoh menentukan turunan fungsi eksplisit dan implisit.

Contoh I-1

Berikut cara mencari dxdy dari beberapa fungsi yang diberikan.

1. Dipunyai 푦 = x + 퐶.

Berdasarkan definisi di atas diperoleh

x

xfxxfdxdy

x

)()(lim0

= x

xxxx

0

lim

= x

xxxx

0

lim . xxxxxx

= 0

limx }{

)()(xxxx

xxx

= xxxxx

x

0lim

= xxxx

1lim0

= x2

1

2. Dipunyai y = )1(

3x .

Berdasarkan definisi di atas diperoleh

x

xfxxfdxdy

x

)()(lim0

3

= x

xxxx

13

)1(3

lim0

= )}1)(1{()1(3)1(3lim

0 xxxxxxx

x

= )1)(11(

3lim0 xxx

= 2)1(3x

Fungsi-fungsi yang mempunyai turunan sebagaimana dijelaskan pada contoh

di atas disebut fungsi yang differensiabel (dapat diturunkan).

Dengan cara yang sama, jika y = xn maka turunannya ditentukan oleh:

xxfxxf

dxdy

x

)()(lim0

= x

xxxLimnn

x

)(0

=x

xxxxnnnxxnnxnxx nnnnnn

x

)(...)(!3

)2)(1()(!2

)1(

lim

33221

0

= x

xxxnnnxxnnxnx nnnn

x

)(....)(!3

)2)(1()(!2

)1(

lim

33221

0

= ])(....)(!3

)2)(1()(!2

)1([lim 12321

0

nnnn

xxxxnnnxxnnnx

= nx 1n

3. Dipunyai x 02522 y

Dengan mendiferensialkan masing-masing variabel, diperoleh:

d(x )2 + d(y )2 - d(25) = d(0)

022 ydyxdx

x + y dxdy = 0

yx

dxdy

4

4. Tentukan dxdy dari x2y + xy2 – 2 = 0.

Penyelesaian:

Jelas d(x2y) + d(xy2 ) – d(2) = d(0)

(x2dy + 2xydx) + (2xydy + y2dx) = 0

(2xy + y2) dx + (2xy +x2) dy = 0

dxdy = - 2

2

22

xxyyxy

Secara umum, misal u = u(x), v = v(x), dan w = w(x) adalah fungsi yang

masing-masing dapat diturunkan dan c sebarang bilangan real, maka dengan

menggunakan definisi turunan dapat ditentukan beberapa rumus umum turunan

fungsi sebagai berikut.

1. dxd (c) = 0

2. dxd (x) = 1

3. dxd (xn) = nxn1

4. dxd (un) = nun1

dxd (u)

5. dxd ( u + v) =

dxd (u) +

dxd (v)

6. dxd (u – v) =

dxd (u)

dxd (v)

7. dxd ( u v w ... ) =

dxd (u)

dxd (v)

dxd (w) ...

8. dxd (cu) = c

dxd (u)

9. dxd (uv) = u

dxd (v) + v

dxd (u)

10. dxd (uvw) = uv

dxd (w) + uw

dxd (v) + vw

dxd (u)

5

11. dxd (

vu ) = 2v

dxdvu

dxduv

Bukti sifat-sifat di atas diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.

Selanjutnya, dengan menggunakan definisi turunan

dxdy =

xxfxxf

x

)()(lim0

, dapat ditunjukkan beberapa turunan fungsi geometri di

bawah ini.

y = cos x, maka

dxdy =

xxfxxf

x

)()(lim0

= x

xxxx

cos)cos(lim0

= x

xxxxxx

x

2)(sin

2)(sin2

lim0

= 2

sin2

)2sin(2lim0

xx

xxx

= -sin x.

Analog, diperoleh turunan fungsi trigonometri yang lain:

1. dxd (sinx) = cos x

2. dxd (cos x) = -sin x

3. dxd (tan x) = sec2x

4. dxd (cot x) = -csc2x

5. dxd (sec x) = sec x tan x

6. dxd (csc x) = -csc x cot x

6

I.2 Antiturunan

Antiturunan merupakan balikan dari turunan, sehingga untuk mempelajarinya

harus dikaitkan dengan turunan fungsi.

Menurut definisi turunan, jika y = x maka xdx

dy2

1 .

Dengan cara yang sama, diperoleh

1. Jika y = x +3 maka xdx

dy2

1 .

2. Jika y = x - 3 maka xdx

dy2

1 .

3. Jika y = x - 100 maka xdx

dy2

1

4. Jika y = x + 71 maka

xdxdy

21

, dan seterusnya.

Dengan kata lain, untuk y = x + C, C R maka xdx

dy2

1 .

Karena antiturunan merupakan balikan dari turunan, maka penulisan bentuk di atas

dapat disederhanakan dengan 퐴√

= √푥 + 퐶.

Hal ini berarti bahwa fungsi y = Cx , dengan C R mempunyai turunan

xdxdy

21

atau antiturunan dari f(x) =

x21 adalah F(x) = x + C, C R .

Fungsi-fungsi yang dapat ditentukan antiturunannya disebut integrable

(terintegralkan).

Definisi antiturunan diberikan di bawah ini.

Dalam hal yang lebih umum, bentuk 퐴√

= √푥 + 퐶 dinyatakan dengan

∫√

= √푥 + 퐶.

Definisi I-2

Dipunyai 퐹: 퐼 ⟶ 푅 dan 푓: 퐼 ⟶ 푅.

Jika 퐹 (푥) = 푓(푥) untuk setiap 푥 휖 퐼 maka. F disebut suatu anti turunan f pada selang I.

Jika 푥 merupakan suatu titik ujung dari I maka 퐹 ,(푥) hanya perlu turuanan satu sisi.

7

Jadi, Jika y = f(x) mempunyai antiturunan F(x) + C, maka

∫ 푓(푥) 푑푥 = 퐹(푥) + 퐶,퐶 휖 푅.

Bentuk ∫ 푓(푥) 푑푥 = 퐹(푥) + 퐶, f(x) disebut integran dan F(x) + C disebut anti

turunan.

Bukti:

Untuk mengembangkan suatu hasil yang berbentuk

f(x) dx = F(x) + C, C Real.

Kita cukup menunjukkan bahwa )(])([ xfCxFDx

Dalam kasus di atas rrr

x xxnr

CrxD

)1(1

11

1

Kelinearan integral diberikan oleh teorema berikut.

Bukti:

Untuk membuktikan teorema di atas, cukup dengan mendeferensialkan ruas kanan

dan amati bahwa kita memperoleh integran dari ruas kiri.

1. [ ∫ ( ) ] = 퐾 [∫ ( ) ] = 퐾푓(푥)

Teorema I-5

Dipunyai f dan g fungsi-fungsi yang mempunyai turunan dan K suatu konstanta. Untu

f dan g berlaku aturan di bawah ini.

1. dxxKf )( = K dxxf )( ,

2. dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ ,

3. dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ ,

Teorema I-4

∫ sin 푥 푑푥 = − cos푥 + 퐶 dan ∫ cos푥 푑푥 = sin 푥 + 퐶

Teorema I-3

Jika r sebarang bilangan rasional kecuali 1, maka

Crxdxx

rr

1

1

.

8

2. [ ∫ ( ) ∫ ( ) ] = [∫ ( ) ] + [∫ ( ) ] = 푓(푥) + 푔(푥)

3. [ ∫ ( ) ∫ ( ) ] = [∫ ( ) ] [∫ ( ) ] = 푓(푥)− 푔(푥)

Contoh I-2

Tentukan integral berikut berdasarkan sifat integral di atas.

1. dxxx 2

Penyelesaian:

Jelas dxxx 2 = xdxdxx 2

= 22

13

21

31 CxCx

= Cxx 23

21

31

2. dxx

x22 1

Penyelesaian:

Jelas dxx

x22 1

= dxxxx

12 24

= dxx

dxx

xdxx

x 12 24

= dxxdxxdxx 2/12/32/7 2

3. dxx

xx

3

2)1(

Penyelesaian:

Jelas dxx

xx

3

2)1(=

3

2 )12(x

xxxdx

= dxx

xdxx

xdxx

x

33

2

3

3

2

= dxxdxxdxx 3/23/53/8 2

= Cxxx 3/53/83/11

53

43

113 .

9

Contoh I-3

1. Hitunglah . .1144 2 dxxx

Penyelesaian:

Jelas )114( 2 xd = 8x dx.

Jadi dxxx 1143 2 = 11421 2x d(8x)

= Cx

2/3

)114(21 2/32

= 2/32 )114(31

x + C.

2. Hitunglah .52

32

dyy

y

Penyelesaian:

Jelas d(2y )52 = 4y dy.

dyy

y52

32

= ydyy 3)52( 2/12

= ydyy 443)52( 2/12

= ydyy 4.)52(43 2/12

= Cy

2/1

)52(.43 2/12

= Cy 5223 2 .

Teorema I-6

Diberikan f fungsi yang differensiabel dan n bilangan rasional dengan n ≠ 1, maka:

,1

)()(')(1

Crxfdxxfxf

rr C Real.

10

3. Hitunglah .)26sin(3 dxx

Penyelesaian:

Tulis U = 6x + 2.

Jelas dU = 6 dx atau 3 dx = 2

dU .

Jadi dxx )26sin(3 = 2sin dUU

= CU )cos(21

= .)26cos(21 Cx

4. Hitunglah .sincos1 xdxx

Penyelesaian:

Tulis A = .cos1 x

Jelas A xcos12 dan 2A dA = (-sin x) dx.

xdxx sincos1 = dAAA )2.(

= -2 dAA2

= CA 3

32

= .)cos1(32 3 CA

Contoh I-4

Tentukan: (a) dxxx ).cos2( dan (b) dxx ).12( .

Penyelesaian:

(a) Jelas dxxdxxdxxx .cos.2).cos2(

= )(sin)( 212 CxCx

= )(sin 212 CCxx

= Cxx sin2 .

(b) Jelas dxdxxdxx .2).12(

= Cxx 2 .

11

Teorema berikut diperlukan untuk menentukan integral tak tentu fungsi-

fungsi komposisi yang juga dikenal dengan teorema penggantian.

Bukti:

Dipunyai IRg .

Jadi )]([)]([' xgfxgF )]([)]([)]]([[

xgfxgdxgFd

.

CxgFdxxgxgf )]([).(')].([ .

Contoh I-5

Tentukan: (a) dxx.2cos.2 , dxx .)5(10 9 , dan (c) dxxxx ).23()62( 263 .

(a) Strategi:

(1) Ingat rumus:

Cxdxx sin.cos .

(2) Jika x diganti 2x, diperoleh:

Cxxdx 2sin)2(.2cos .

Penyelesaian:

Jelas dxx.2cos.2

= )2(.2cos xdx

= Cx 2sin .

(b) Strategi:

(1) Ingat rumus:

.10

.10

9 Cxdxx

(2) Jika x diganti (x+5), diperoleh

(3) .10

)5()5(.)5(10

9 Cxxdx

Penyelesaian:

Jelas dxx .)5(10 9

= dxx 9)5(10

= )5()5(10 9 xdx

= Cx

10

)5(.1010

= Cx 10)5( .

Teorema I-7 (Penggantian)

Dipunyai )(xgy mempunyai turunan pada gD dan IRg dengan I adalah suatu

selang. Jika )(xfy terdefinisi pada selang I sehingga )()(' xfxF , maka

CxgFdxxgxgf )]([).(')].([ .

12

(c) Strategi:

(1) Ingat rumus:

Cxdxx7

.7

6 .

(2) Jika x diganti 623 xx ,

Diperoleh:

)62()62( 363 xxdxx

= Cxx

7

)62( 73

.

(3) Jelas dxxxxd ).23()62( 23

Penyelesaian:

Jelas dxxxx ).23()62( 263

= )62()62( 363 xxdxx

= Cxx

7

)62( 73

.

Bukti:

Dipunyai dUVdVUVUd ..).( .

dUVdVUVU ...

dUVVUdVU ... .

Teorema ini efektif apabila dVU . sulit dicari, akan tetapi dUV . dengan

mudah dapat ditentukan.

Contoh I-6

Tentukan: (a) dxxx .cos. dan (b) ..sin.2 dxxx

Teorema I-8 (Integral Parsial)

Jika )(xUU dan )(xVV adalah fungsi-fungsi yang mempunyai turunan pada selang buka I, maka dUVVUdVU ... .

13

(a) Strategi:

(1) Ubah dxxx .cos. menjadi

)(sin. xdx

(2) Tulis )(xUx dan )(sin xVx .

(3) Gunakan Teorema 7.

Penyelesaian:

Jelas dxxx .cos.

= )(sin. xdx

= dxxxx .sinsin.

= Cxxx cossin.

(b) Strategi

(1) Ubah dxxx .sin.2 menjadi

)(cos.2 xdx .

(2) Tulis )(2 xUx dan

)(cos xVx .

(3) Gunakan Teorema 7.

(4) Ubah dxxx .cos. menjadi

)(sin. xdx

(5) Gunakan sekali lagi Teorema 7

Penyelesaian:

Jelas dxxx .sin.2

= )(cos.2 xdx

= )](.coscos.[ 22 xdxxx

= dxxxxx .cos.2cos.2

= )(sin.2cos.2 xdxxx

= ).sinsin.(2cos.2 dxxxxxx

= Cxxxxx cos2sin.2cos.2 .

Berikut ini disenarai beberapa rumus teknis yang diperoleh berdasarkan

pengalaman.

No Rumus Teknis No Rumus Teknis

1 Cxdx 9 Cxdxxx csc.cot.csc

2 Cxdxx

2.

2

10

Cxx

dx

1

2sin

1

= Cx 1cos

3 C

nxdxx

nn

1.

1

11

Cxx

dx

1

2 tan1

= Cx 1cot

4 Cxdxx cos.sin 12 Cx

xxdx

1

2sec

1

= Cx 1csc

14

5 Cxdxx sin.cos 13 C

aU

Ua

dU

1

22sin

= CaU

1cos

6 Cxdxx tan.sec 2 14 C

aU

122 tan1

= CaU

a 1cot1

7 Cxdxx cot.csc 2 15

C

aU

aUU

dU 1

2sec1

1

= CaU

a 1csc1

8 Cxdxxx sec.tan.sec

Contoh I-7

Tentukan:

(a) dxx.21 (b) dxxx .21 (c) 12.2xdxx (d) dxx.sin 3

(e) dxx.sin 4 (f) dxx.sin (g) xdxx

cos1.sin (h) dxx.tan 4

(i) xxdx

).1( (j) 522 xx

dx (k) 24 xx

dx (l) 22

.

xx

dxx

Strategi:

(1) Ingat rumus Cxdxx 23

23

21

. .

(2) Jika x diganti (1-2x), diperoleh:

(3) Cx

xdx

23

23

21 )21(

)21(.)21(

(4) Ingat bahwa dxxd 2)21(

Penyelesaian:

(a) Jelas dxx.21

= dxx 21

)21(

= )21(.)21(21

21

xdx

= Cx

23

23

)21(.

21

= Cxx

321)21( .

15

Strategi:

(1) Ubah dxxx .21 menjadi bentuk

Penyelesaian:

(b) Jelas dxxx .21

= dxxx .)21)].21(1[21

= dxxdxx .)21(21.)21

21

23

= dxx .)2121 dxx .)21(

41

23

=

6

21)21( xxCxx

1021)21( 2

(c) Penyelesaian:

Jelas 12.2xdxx =

dxxx .)12(2 2

1

=

dxxx .)12].(1)12[( 21

=

dxxdxx .)12(.)12( 21

21

=

)12(.)12(21)12(.)12(

21 2

121

xdxxdx

= Cxxx

123

12)12( .

Strategi:

(1) Ingat dxxxd .sin)(cos

(2) Ingat Cxdxx3

.3

2

(3) Jika x diganti cos x diperoleh:

Cxxdx3

cos)(cos.cos3

2 .

Penyelesaian:

(d) Jelas dxx.sin 3

= dxxx .sin.sin 2

= )(cos).cos1( 2 xdx

= )(cos.cos)(cos 2 xdxxd

= Cxx 3

coscos3

.

16

Strategi:

(1) Ingat rumus

2sin = 22 sincos

= 2sin21 = 1cos2 2 .

Penyelesaian:

(e) Jelas dxx.sin 4

= dxx .)(sin 22 =

dxx 2

22cos1

= dxxdxxdx .cos41.2cos

21

41 2

= )2(2cos41

4xxdx

dxx .2

4cos141 2

= dxxx81

42sin

4

)4(.4cos321 xdx

= Cxdxxx32

4sin81

42sin

4

= Cxxx32

4sin42sin

83 .

Strategi:

(1) Tulis yx

(2) Jelas x

dxdy2

= dyyy .sin.2

= )(cos. ydy .

(4) Selanjutnya gunakan integral parsial,

yaitu: dUVUVUdV .

Penyelesaian:

(f) Jelas dxx.sin

= )(cos. ydyt

= dyyyy .coscos.

= Cyyy sincos.

= Cxxx sincos. .

17

Strategi:

(1) Ingat dxxxd .sin)cos1(

(2) Ingat

Cxdxx 21

21

.2

(3) Jika x diganti xcos1 , diperoleh:

)cos1(.)cos1( 21

xdx

= Cx 21

)cos1(2

Penyelesaian:

(g) Jelas xdxx

cos1.sin

=

)cos1()cos1( 21

xdx

= Cx 21

)cos1(2

= Cx cos12 .

Strategi:

(1) Ingat rumus:

,tan1sec 22 xx

dxxxd .sec)(tan 2 ,

Cxdxx3

.3

2 , dan

Cxdxx tan.sec 2 .

Penyelesaian:

(h) Jelas dxx.tan 4

= dxxx .tan.tan 22

= dxxx ).1.(sectan 22

= dxxdxxx .tan.sec.tan 222

= dxxxdx ).1(sec)(tan.tan 22

= dxdxxx .sec3

tan 23

= Cxxx tan

3tan3

.

Strategi:

(1) Tulis yx .

(2) Jelas x

dxdy2

.

Penyelesaian:

(i) Jelas xxdx

).1(

= 212

ydy

= Cy 1tan.2

= Cx 1tan.2 .

18

Strategi:

(1) Tulis 522 xx menjadi

4)1( 2 x

(2) Ingat rumus:

Cxx

dx 12 tan

1

(3) Jika x diganti 2

1x , diperoleh:

Cxx

xd

21tan

12

12

11

2

Penyelesaian:

(j) Jelas 522 xxdx

= 4)1( 2xdx

=

1

214

12x

dx

=

12

12

1

21

2x

xd

= C

x

22

1tan 1

.

Strategi:

(1) Ubah 24 xx menjadi:

4)42..2( 2 xx

= 2)2(4 x .

(2) Ingat Rumus:

Cxx

dx

1

2sin

1.

Penyelesaian:

(k) Jelas 24 xx

dx

= 2)2(4 x

dx

=

2

221

)2(21

x

xd

= C

x

22

2sin 1

Strategi:

(1) Ingat )1(2)2( 2

x

dxxxd

.

(2) Tulis )]1(1[ xx

dan

22 )1(12 xxx .

Penyelesaian:

(l) Jelas 22

.

xx

dxx

= dxxx

x .2

)1(12

=

22 )1(12

).1(

xdx

xx

dxx

19

= )2()2(21 22

12

xxdxx

2)1(1

)1(

x

xd

= 22 xx Cx )1(sin 1 .

20

I.3 Evaluasi

Kerjakan soal-soal di bawah ini.

1. Periksa kebenaran pernyataan berikut ini:

(a) 20 )( xxF adalah anti turunan dari xxf 2)( .

(b) xxF 1)( merupakan antu turunan x

xf

121)(

(c) xxxF 2cos.)( merupakan anti turunan dari xxxxf 2sin.22cos)( .

(d) xxxF .)( merupakan anti turunan dari xxxf .)( pada .

2. Jika suatu fungsi )(xfy terdefinisi untuk 0x , melalui titik (4,0), dan

gradien garis singgung di setiap titik ditentukan oleh persamaan

21

21

)(' xxxf

, tentukanlah persamaan fungsi f .

3. Berikan masing-masing 3 buah contoh untuk membenarkan Teorema 5, yaitu:

dxxgdxxfdxxgxf ).().()].()([

dan .).(.).(. dxxfKdxxfK

4. Hitunglah anti turunan dari:

(a) 23 2)( xxxf (b) 22sin.3)( xxxf

5. Tentukan:

(a) dxxx .4

(b) dxxx .12

(c) xx 215

(d) dxxx .sin1.cos

(e) 3 cos1.sin

xdxx

(f) xdxx

1.2

21

BAB II. INTEGRAL TENTU DAN PENGINTEGRALAN

Pada BAB 2 ini dibicarakan teorema yang cukup melandasi tentang integral,

yaitu teorema dasar kalkulus 1 dan 2. Dengan ditemukannya dua teorema ini dunia

menjadi gempar. Perhitungan integral yang tadinya harus dihitung dengan waktu la-

ma, bahkan perlu dibantu dengan mesin hitung, dengan kledua teorema ini pekerjaan

menjadi cukup sederhana dan dapat diselesaikan dengan cepat tanpa bantuan mesin

hitung. Dibuka dengan pasal yang berisi tinjau ulang tentang notasi sigma.

II.1 Notasi Sigma

Perhatikan jumlah 10 bilangan asli pertama: 1 + 2 + 3 + … + 10. Bentuk ini

dapat ditulis dengan

10

1

10321i

i

yang dibaca"sigma I, I dari 1 sampai 10". Dengan cara serupa, dapat dinyatakan:

(a)

50

1

22222 )50(321s

s ,

(b)

n

iin aaaaa

1321 ,

(c)

10

1

1101

31

21

11

n n , dan

(d)

n

i in 3 121

1.21

15.21

14.21

13.21

.

Contoh II-1

Jelas 1032110

1

i

i

= )10543()21(

=

10

3

2

1 iiii .

Contoh II-2

Tulis dengan notasi sigma bentuk-bentuk berikut ini:

(a) 22222 ,

(b) 15131197531 ,

22

(c) 18161412108642 , dan

(d) 1018265503726171052 .

Strategi:

(1) Tulis 2ic untuk setiap i = ,2,3,4,5.

Penyelesaian:

(a) Jelas 22222

= 54321 ccccc

=

5

1iic

=

5

1

2i

.

Strategi:

(1) Ingat: Bilangan asli ganjil yang ke-n

adalah 2 . n. 1.

Penyelesaian:

(b) Jelas 15131197531

=

8

1

)12(i

i .

Strategi:

(1) Ingat: Bilangan asli genap yang ke-n

adalah 2 . n.

(2) Jelas 18 = 2 . 9.

Penyelesaian:

(c) Jelas 2 + 4 + 6 + … + 18 =

9

1

2n

n .

Strategi:

(1) Jelas: 112 2 ,

125 2 ,

110101 2 .

Penyelesaian:

(d) Jelas

10

1

2 )1(10011052i

i

Berikut ini disajikan beberapa teorema yang sering digunakan. Khususnya dalam

perhitungan integral tentu melalui limit jumlah Riemann.

Teorema II-1

(a) cncn

i.

1

untuk sembarang konstanta c,

(b)

n

ii

n

ii accac

11

... .

(c)

n

i

n

ii

n

iiii bdacbdac

1 11

..)..(

23

Strategi:

Tulis cci untuk setiap ni ,...,2,1 .

Bukti (a):

Jelas

n

ii

n

icc

11

= nccc 21

= ccc

= cn. .

Bukti (b):

Jelas n

n

ii acacacac .... 21

1

= )( 21 naaac

=

n

iiac

1

. .

Bukti (c):

Jelas

n

iii bdac

1

)..( = )..()..()..( 2211 nn bdacbdacbdac

= nacacac ... 21 + nbdbdbd ... 21

=

n

iiac

1

. +

n

iibd

1

. .

Contoh II-3

Hitunglah: (a)

6

1

5i

dan (b)

5

1

2 )54(i

ii

Penyelesaian:

(a) Jelas

6

1

5i

= 6 . 5 = 30.

(b) Jelas

5

1

2 )54(i

ii =

5

1

2

ii +

5

1

4i

i -

5

1

5i

.

= (1+4+9+16+25) + 4(1+2+3+4+5) + 5 . 5

= 90.

24

II.2 Induksi Matematika

Induksi matematika merupakan pembuktian kebenaran suatu pernyataan P(n) benar

untuk setiap bilangan asli atau bilangan cacah n. Dua langkah baku dalam

induksi matematik, yaitu:

pertama P(1) benar dan

kedua P(k+1) benar apabila P(k) benar.

Dengan demikian dapat dinyakan:

Contoh II-4

Buktikanlah: (a) 2

)1(321

nnn ,

(b) nn .22 untuk setiap bilangan asli n,

(c) 83 n habis dibagi 2n untuk setiap bilangan asli n,

(d) 6

)12)(1(941 2

nnnn ,

(e) 2

1

3

2)1(

nnin

i

, dan

(f) 30

)196)(1( 23

1

4

nnnnnin

i.

Buktinya sederhana. Berikut ini hanya dibuktikan butir (a), sedang butir yang lain

diserahkan pembaca sebagai latihan.

P(1) benar

P(n) benar P(k+1) benar apabila P(k) benar

25

Bukti (a):

Tulis

n

iin

1

321 .

Tulis )(nP :

n

i

nni1 2

)1( .

Jelas )1(P :

1

1 2)11.(1

ii .

Jelas

1

1

1i

i dan 12

)11.(1

.

Dipunyai P(k) benar.

)1(1

kkik

i.

Jelas

1

1

k

ii = )1(

1

kik

i= )1(

2)1(

kkk =

2]1)1).[(1( kk .

Jadi P(k+1) benar apabila P(k) benar.

)1(321

nnn .

II.3 Jumlah Riemann

Pada pasal ini disajikan pengertian jumlah Riemann suatu fungsi yang meru-pakan

dasar pendefinisian integral tentu.

Definisi II-2

Dipunyai [a,b] suatu selang tutup. Suatu partisi nP untuk selang [a,b] adalah sembarang

himpunan yang terdiri (n+1) bilangan

nxxxx ,,,, 210 ,

dengan

bxxxxa n 210 .

26

Contoh II-5

Jelas bahwa

3

25,2,

23,

34,

45,16P adalah suatu partisi untuk selang [1,3]. Agar

lebih memahami konsep yang dikembangkan, perhatikanlah gambar berikut

ini.

Gambar II-1 6P suatu partisi untuk [1,3]. memperlihatkan bahwa dengan partisi 6P ,

selang [1,3] terbagi menjadi 6 buah subselang, yaitu:

]25,2[],2,

23[],

23,

34[],

34,

45[],

45,1[ , dan ]3,

25[ .

Panjang untuk tiap subselang tidak perlu sama, sebagai contoh, panjang subselang

pertama ditulis dengan:

011 xxx = 145 =

41 .

Selanjutnya:

122 xxx = 45

34 =

121 ,

233 xxx = 34

23 =

61 ,

344 xxx = 232 =

21 ,

455 xxx = 223 =

21 , dan

566 xxx = 233 =

21 .

Panjang subselang terbesar dinyatakan dengan 6P dibaca denga "norm 6P ". Dengan

demikian pada contoh ini 21

6 P .

1 45

34

23

2 25

3

Gambar II-1 6P suatu partisi untuk [1,3].

27

Contoh II-6

Periksa apakah

1,

54,

53,

52,

51,

61,0 merupakan suatu partisi untuk selang [0,1]. Jika

merupakan suatu partisi, tentukan normnya.

Penyelesaian:

Tulis P =

1,

54,

53,

52,

51,

61,0 .

Jelas .154

53

52

51

610

Jadi P suatu partisi untuk selang [0,1].

Jelas

531,

53

54,

52

53,

51

52,

61

51,0

61maksP =

51,

301,

61 =

51 .

Contoh II-7

Tentukan jumlah Riemann untuk fungsi 825)( 23 xxxxf pada selang [0,5]

dengan partisi 0 < 1,1 < 2 < 3,2 < 4 < 5 dan titik sampel

5,01 t , 5,12 t , 5,23 t , 6,34 t , dan 55 t .

Penyelesaian:

Jelas 5R =

n

iii xtf

1

).(

= xtfxtfxtfxtfxtf 5544332211 ).().().().().(

= )45).(5()2,34).(6,3()22,3).(25()1,12).(

23()01).(

21( fffff

= (7,875).(1,1)+(3,125).(0,9)+(-2,625)(1,2)+(-2,944).(0,8)+ (18).1

= 23,9698.

Definisi II-3

Dipunyai ],[: baf suatu fungsi, nP suatu partisi untuk selang [a,b], dan

],[ 1 iii xxt . Bangun

xtfR iin ).( .

Bangun nR disebut Jumlah Riemann untuk f pada selang [a,b].

28

Gambar situasinya:

Contoh II-8

Hitunglah jumlah Riemann untuk fungsi xxF 9)( pada selang [0,9]

menggunakan partisi 0 < 1 < 2 < 4 < 6 < 7 < 9 dan titik sampel it yang

merupakan titik-titik tengah subselan ke i.

Penyelesaian:

Jelas 00 x , 11 x , 22 x , 43 x , 64 x , 75 x , dan 96 x .

Selanjutnya: 21

2010

201

01

xx

xt ,

23

2121

212

12

xxxt ,

32

2422

1223

xxxt ,

52

4642

2334

xxxt ,

213

2676

234

45

xx

xt , dan

82

7972

4556

xxxt .

Y 18

15 12 9 6 3 2,5 3,6 0 X 0,5 1,5 4,5 -3 -6

Gambar II-2 Interpretasi Geometri dari 5R

29

6R =

6

1

).(i

ii xtf

= xtfxtfxtfxtfxtfxtf 665544332211 ).().().().().().(

= )79)(6()67)(5()46)(4()24)(3()12)(23()01)(

21( ffffff

= 2.31.42.52.61.2

151.2

17

= 6410122

152

17

= 40.

II.4 Integral Tertentu

Pada pasal ni didefinisikan pengertian integral tertentu sebagai limit jumlah Riemann

sebagai berikut.

Catatan:

(a) Definisi formal integral tertentu diberikan dengan ,

(b) Dalam kasus selang [a,b] dibagi menjadi n bagian sama panjang, maka

0P nm ,

(c) Pada bentuk b

a

dxxf ).( , f disebut integrn, a disebut batas bawah, dan b disebut

batas atas integral,

Definisi II-4

Dipunyai fungsi ],[: baf .

Jika

n

iiiPxtf

maka dikatakan fungsi f terintegralkan secara Riemann pada selang [a,b].

Selanjutnya ditulis

n

iiiPxtf

10).(lim =

b

a

dxxf ).(

disebut integral tertentu (integral Riemann) fungsi f dari a ke b.

30

(d) Dalam kasus fungsi f kontinu pada selang [a,b] dan 0)( xf pada [a,b],

b

a

dxxf ).( menyatakan luas daerah yang dibatasi oleh grafik f, garis x = a, garis

x = b, dan sumbu X,

(e) Integral tertentu adalah suatu bilangan riil yang dapat bernilai positif, nol,

atau negatif.

Contoh II-9

Hitunglah b

a

dxx ).3( .

Penyelesaian:

Tulis 3)( xxf

Bangun partisi untuk selang [1,4] yang membagi selang [1,4] menjadi n buah

subselang yang sama panjang.

Jelas nn

xi314

untuk setiap I = 1, 2, 3, …, n.

Jelas 10 x , n

x 311 , n

x 3.212 ,…, n

ixi3).1(11 ,

nixi

3.1 , dan 4nx

.

Pilih ii xt untuk setiap ],[ 1 iii xxt .

ni

niftf i .

a

dxx ).3( =

n

iiiPxtf

10).(lim

=

n

in nni

1

3.23lim

=

n

i

n

in ni

n 112 169lim

=

nn

nnnn

.62

)1(.9lim 2

=

nn

nnnn

.62

)1(.9lim 2

= 629 =

23

.

31

Contoh II-10

Hitunglah 1

0

2 .dxx .

Penyelesaian:

Bangun partisi untuk selang [0,1] yang membagi selang [0,1] menjadi n buah

subselang yang sama panjang.

Jelas nn

xi101

untuk setiap I = 1, 2, 3, …, n.

Jelas 00 x , n

x 11 ,

nx 2

2 ,…, n

ixi1

1

, nixi , dan 1nx .

Pilih n

ixt ii1

1

.

0

2 .dxx =

n

iiiPxtf

10).(lim

=

n

in nni

1

2 3.23lim

=

n

inii

n 1

23 )12(1lim

=

n

i

n

i

n

inii

n 111

23 121lim

=

nnnnnnnn 2

)1(.26

)12)(1(1lim 3

=

222

116

)12)(1(limnn

nn

nnn

= 31 .

Contoh II-11

Hitunglah b

a

dxx. .

Penyelesaian:

Bangun partisi untuk selang [a,b] yang membagi selang [a,b] menjadi n buah

subselang yang sama panjang.

Jelas n

abxi

untuk setiap I = 1, 2, 3, …, n.

32

Jadi ax 0 ,n

abax 1 ,

nabax )(2

2

,…,n

abiaxi))(1(

1

,

nabiaxi

)( dan bxn .

Pilih 1 ii xt .

a

dxx. =

n

iiiPxtf

10).(lim

= n

abn

abian

in

.))(1(lim

1

=

n

ini

nab

naba

1

2

)1()(lim

=

n

i

n

ini

nab

naba

1

2

1

)1(1)(lim

=

nnn

nabn

naba

n 2)1(..)(lim

2

= 2

2 222 aabbaab

= .2

22 ab

II.5 Teorema-teorema Integral Tertentu

Definisi integral; tertentu dari fungsi f pada selang [a,b] dapat diperluas untuk kasus

푏 = 푎, atau 푏 < 푎 yang didefinisikan sebagai berikut.

Teorema II-6

Jika fungsi f kontinu pada selang [푎, 푏], maka f terintegral secara Riemann pada selang

[푎,푏].

Definisi II-5

(a) Jika f (a) terdefinisi maka a

a

dxxf 0).( .

(b) Jika a > b dan a

b

dxxf ).( terdefinisi, maka a

b

dxxf ).( = b

a

dxxf ).( .

33

Teorema II-7

Bukti:

Tulis f (x) = 1.

Jelas f terdefinisi pada .

Buat partisi untuk selang [a,b] yang membagi selang [a,b] menjadi n buah subselang

yang sama panjang.

Jelas n

abxi

untuk setiap I = 1, 2, 3, …, n.

Pilih sembarang ],[ 1 iii xxt .

a

dxxf ).( =

n

iiiPxtf

10).(lim =

n

n

i nab

1.1lim = )(lim.1 ab

n n

= ab .

Teorema II-8

Buktinya sederhana, diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.

Bukti:

(1) Buat partisi untuk selang [a,b] yang membagi selang [a,b] menjadi n bah

subselang yang sama panjang.

Teorema II-9

Jika fungsi-fungsi f dan g terintegral pada selang [a,b], maka fumgsi-fungsi (f + g) dan

K.f dengan K konstanta terintegralkan, yaitu:

(1) b

a

dxxgxf )()( = b

a

dxxf ).( + b

a

dxxg ).( .

dan

(2) b

a

dxxfK ).(. = b

a

dxxfK ).(.

b

a

dxK. =

n

iiPxK

10.lim = )( abK .

b

a

n

iiP

abxdx10

lim

34

a

dxxgxf )()( =

n

iiiiPxtgtf

10.)()(lim

=

n

iiiPxtf

10).(lim +

n

iiiPxtg

10).(lim

= b

a

dxxf ).( + b

a

dxxg ).( .

Diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.

Interpretasi geometri Teorema II-10:

Bukti:

Kasus a < c < b:

Teorema II-11

Jika fungsi f kontinu pada suatu selang yang memuat 푎,푏, dan 푐 maka

b

a

dxxf ).( = c

a

dxxf ).( + b

c

dxxf ).(

tanpa memperhatikan urutan 푎,푏, dan 푐.

Teorema II-10

Jika D adalah daerah daerah tertutup yang dibatasi grafik fungsi f , garis x = a, x = b,

dan sumbu X maka

b

a

dxxfL .)(

Y f X 0 a b Gambar II-3 Grafik f pada [푎, 푏]

35

Buat [partisi untuk selang [a,b] yang membagi selang [a,b] menjadi n buah subselang

yang sama panjang dan c merupakan suatu titik ujung suatu subselang.

Tulis

n = m + p

dengan m merupakan banyak subselang dalam selang [a,c] dan p adalah banyak

subselang dalam selang [c,b].

Tulis

kmk xz dan kmk tu .

a

dxxf ).( =

n

iiiPxtf

10).(lim

=

m

i

n

kkkiinzufxtf

1 1).(.).(lim

=

n

iiinxtf

1

).(lim +

n

kikpzuf

1

).(lim

= c

a

dxxf ).( + b

c

dxxf ).( .

Kasus c < a < b:

Berdasarkan kasus 1, dapat disimpulkan bahwa

b

c

dxxf ).( = a

c

dxxf ).( + b

a

dxxf ).( .

Jelas a

c

dxxf ).( = c

a

dxxf ).( .

c

dxxf ).( = c

a

dxxf ).( + b

a

dxxf ).(

b

a

dxxf ).( = c

a

dxxf ).( + b

c

dxxf ).( 5tanpa memperhatikan urutan dari a, b, dan

c.

Teorema II-12

Jika f terintegral pada selang [푎,푏] dan 0)( xf pada selang [푎,푏] maka

b

a

dxxf 0).( .

36

Bukti:

Buat partisi untuk selang [a,b] yang membagi selang [a,b] menjadi n buah subselang

yang sama panjang.

Jelas

n

iiiPxtf

10).(lim .

Andaikan b

a

dxxf 0).( .

Pilih 0)(],[ iiii tfbat .

a

dxxf 0).( .

Bukti:

Dipunyai )()( xgxf pada selang [푎, 푏].

Jelas 0)()( xfxg pada selang [푎,푏].

a

dxxfxg 0)].()([

0).().( b

a

b

a

dxxfdxxg

b

a

b

a

dxxgdxxf ).().( .

Teorema II-13

Jika f dan g terintegral pada selang [푎, 푏] dan )()( xgxf pada [푎,푏]

Maka

b

a

b

a

dxxgdxxf ).().( .

37

Bukti:

Dipunyai )(min xfmbxa

dan )(xfmaksMbxa

.

Jelas Mxfm )( .

a

b

a

b

a

dxMdxxfdxm .).(. b

a

abMdxxfabm )().()( .

Interpretasi geometri Teorema II-14:

Contoh II-12

Hitunglah: (a) 1

0

2 ).( dxxx (b) 1

0

2 .6 dxx (c) 1

0

2 ).763( dxxx .

Strategi:

(1) ingat 21.

1

0

dxx dan 31.

1

0

2 dxx .

Penyelesaian:

(a) Jelas 1

0

2 ).( dxxx

Teorema II-14

Jika f kontinu pada selang [푎, 푏], )(min xfmbxa

, dan )(xfmaksMbxa

,

maka

b

a

abMdxxfabm )().()( .

Y M m X 0 a b Gambar II-4 Terlihat bahwa luasan yang dinyatakan dengan

b

a

abMdxxfabm )().()(

38

(2) Gunakan teorema kelinieran

= 1

0

21

0

.. dxxdxx

= 31

21 =

65 .

(b) Jelas ∫ 6푥 푑푥 = 2푥 ] = 2.

(c) Jelas ∫ (3푥 − 6푥 + 7)푑푥 = 푥 − 3푥 + 7푥] = 1 − 3 + 7 = 5.

II.6 Pendiferensialan Integral Tertentu terhadap Batas Atasnya

Contoh II-13

Tentukan:

(푎)푑 ∫ 푡 푑푡

푑푥

(푏)푑 ∫ (3푡 − 1)푑푡

푑푥

Penyelesaian:

(a) Jelas ∫ 푡 푑푡 = = − .

= = 푥 .

Atau

Berdasarkan Teorema II-15 diperoleh

푑 ∫ 푡 푑푡푑푥 = 푥 .

(b) Jelas ∫ (3푡 − 1)푑푡 = − 푡 = − 푥

푑 ∫ 푓(푡)푑푡푑푥 = 푓(푥)

Teorema II-15

Jika f kontinu pada selang [푎, 푏] dan 푥 suatu titik dalam [푎, 푏]

maka

39

Jadi ∫ ( )

= = 6푥 − 2푥.

Atau

Berdasarkan Teorema II-15 diperoleh

푑 ∫ (3푡 − 1)푑푡푑푥 =

푑 ∫ (3푡 − 1)푑푡푑(푥 ) .

푑(푥 )푑푥

= (3푥 − 1). 2푥 = 6푥 − 2푥.

Berikut ini merupakan teorema nilai rata-rata integral

Berikut ini merupakan teorema substitusi dalam integral tertentu

Teorema Dasar Kalkulus

Teorema dasar Kalkulus memberikan kemudahan untuk menghitung Integral Tentu,

berikut teorema tersebut :

Contoh II-14

1. Perlihatkan bahwa jika r Q dan r -1, maka

11

11

ra

rbdxx

rrb

a

r

Teorema II-18

Jika 푓(푥) kontinu pada [푎, 푏] dan 퐹(푥) sebarang anti turunan 푓(푥),

maka b

a

dxxf )( = F(b) – F(a). Selanjutnya ditulis F(b) – F(a) = baxF )]([

푓 푔(푥) 푔 (푥)푑푡 = 푓(푢)푑푢( )

( )

Teorema II-17

Jika 푔 mempunyai turunan kontinu pada [푎, 푏] dan f kontinu pada daerah nilai 푔 maka

푓(푡)푑푡 = 푓(푐)(푏 − 푎)

Teorema II-16

Jika f kontinu pada selang [푎, 푏] dan maka terdapat suatu bilangan 푐 antara 푎 dan 푏

sedemikian hingga

40

Penyelesian

Karena F(x) = 1

1

rx r

suatu anti turunan dari f(x) = xr, maka menurut teorema dasar

Kalkulus .11

)()(11

ra

rbaFbFdxx

rrb

a

r

Contoh II-15

1. Jelas

0 4cos2

4cos dxxdxx 24

41.

4cos8

0

dxx

2. Jelas dxx

x

5

52

5

4= 0.

Tentukan hasil integral

1. dxx 2

0

)2(

Penyelesaian:

dxx 2

0

)2( = 2

0

2

22

xx

=

200.2

222.2

22

= (4+2) – (0+0) = 6

2. 2

0

32 )1( dxxx

Penyelesaian:

Misalnya u = (x 13 ) du = 3x 2 dx dxxdu 2

3

Teorema II-19

Jika 푓(푥) fungsi genap, yaitu suatu fungsi yang memenuhi sifat 푓(−푥) 푓(푥) , maka:

dxxfa

a

)( = 2 dxxfa

0

)( dan

Jika 푓(푥) fungsi ganjil, yaitu suatu fungsi yang memenuhi sifat 푓(−푥) = − 푓(푥),

maka dxxfa

a

)( = 0.

41

Untuk x = 0 maka u = 1 dan untuk x = 2 maka u = 9, sehingga:

2

0

32 )1( dxxx = 9

1 3duu =

9

1

2

6

u =

61

691 =

690

3. 4

1

)1( duuu

Penyelesaian:

Misal p = u p 2 = u 2p dp = du

Untuk u = 1 maka p = 1

Untuk u = 4 maka p = 2, sehingga:

4

1

)1( duuu = 2

1

2 2.)1( pdppp

= 2

1

32 )22( dppp

= 2

1

43

42

32

pp

=

4343 )1(

42)1(

32)2(

42)2(

32

=

42

328

316

= 4

303

14 =

431

4.

8

42 15xxdx

Penyelesaian:

Misal A = 152 x A 2 x 152

2A dA = 2x dx

Untuk x = 4 maka A = 1

Untuk x = 8 maka A = 7, sehingga

8

42 15xxdx =

7

=

7

1

dA = [A] 71 = 7 – 1= 6

5. Jelas

10

6225 x

dx = 10

655ln

5.21

xx

42

= 5656ln

101

510510ln

101

= 11ln1013ln

101

6. Tentukan b

a

dxxf )(

dengan f(x) =

2,21,2

10,2

untukxxxuntuk

xuntukx

Penyelesaian:

Soal di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat

b

a

dxxf )( b

c

c

a

dxxfdxxf )()( , c ),( ba

sehingga:

b

a

dxxf )( 2

1

5

2

1

0

22 dxxdxxdx

= 5

2

2

1

1

0

2

22

xxx

= (1-0) +(4-2) + 112/5

= 29

8.

3

3

x dx

Menurut definisi fungsi harga mutlak, bentuk di atas dapat dinyatakan dengan

3

3

x dx = 3

0

x dx +

0

3

x dx.

= 0

3

23

0

2

22

xx

= (8/3 – 0) – (0 – 8/3)

= 3

16

43

Berdasarkan contoh di atas, tentukan hasil pengintegralan fungsi-fungsi berikut ini:

1. 8

1

31 dxx

2. dxxx 2)1(

= dxxxx 21

= dxxxxx )2( 2 , dengan sifat integral diperoleh

= xdx - xx2 dx + dxx2

= 33

225

12

31)

52(2

21 CxCxCx

= 32132

52

31)

52(2

21 CCCxxx

= Cxxx 325

2

31)

52(2

21

44

II.7 Evaluasi

Kerjakan soal-soal berikut ini

1. dzz

z

22 )1(

2. dss

ss3

2)1(

3. dxxx 3)2(

4.

1

1

22 4 dxxx

= 2 221

0

4 xx dx

Misal 24 x = u

4-x 2 = u 2 atau x 2 = 4 - u 2

-2x dx = 2 u du atau dx = duxu

5.

2

2

24 dxx

6.

3

0 1 xdx

7. 4

2

216 dxx

x

8.

27

83/1xx

dx

9. 2

0 2sin dxx

10. 3/

0

2 3sin

xdxx

11.

2/

0 2cos3

xdx

12. 11

3

32 dxx

13. 9

4 11

xx dx

14. dxex x2

0

3 2

15. 4/

6/ 2sin

xdx

16.

2

12 22xx

dx

17.

2

12 )1(

)1( dxxx

x

18.

2

12)2(

)2(xx

dxx

19. 2

1

2 )1ln( dxxx

20.

4/

0 sin2

xdx

21.

1

22 34

)1( dxxx

x

22. 4

0

12 dxxx

23.

3

13

2

31 dx

xxx

24. a

a

dxxa8

33/13/1

25. 2/

0

2 3sin3cos

xdxx

45

26. xdxx 3cos3sin2/

0

2

27. Hitunglah b

a

dxxf )( , jika:

a. f(x) =

21,2)1(210,2

xuntukxxuntukx

b. f(x) =

21,110,1 2

xuntukxxuntukx

c. f(x) =

20,2202,1 2

xuntukxxuntukx

d. f(x) = 2x untuk - 44 x

e. f(x) = xx , untuk -1 2 x

f. f(x) = (x- x ) 2

g. f(x) = x x2 , untuk - 21 x

46

BAB III. PENGGUNAAN INTEGRAL

III.1 Luas Daerah Bidang Datar

Pada bagian ini dibicarakan tentang penggunaan integral tertentu untuk

menghitung luas daerah pada bidang Datar.

III.2 Volume Benda Putar

Suatu daerah D pada bidang datar apabila diputar dengan suatu poros tertentu akan

menghasilkan suatu benda putar. Volum benda putar tersebut dapat dihitung dengan

menggunakan integral tertentu.

퐴 = − 푓(푥)푑푥

Teorema III-3

Dipunyai D adalah daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi f yang kontinu pada [푎, 푏] dan

푓(푥) < 0 untuk setiap 푥휖[푎,푏],푥 = 푎,푥 = 푏 dan sumbu X. Jika A adalah luas daerah D,

maka

퐴 = [푓(푥)− 푔(푥)]푑푥

Definisi III-2

Dipunyai D adalah daerah yang dibatasi oleh dua grafik fungsi f dan g dengan 푓(푥) ≥ 푔(푥)

untuk setiap 푥휖[푎,푏],푥 = 푎,푥 = 푏 dan sumbu X. Jika A adalah luas daerah D, maka

퐴 = 푓(푥)푑푥

Definisi III-1

Dipunyai D adalah daerah yang dibatasi oleh grafik fungsif dengan 푓(푥) ≥ 0 untuk setiap

푥휖[푎, 푏],푥 = 푎, 푥 = 푏 dan sumbu X. Jika A adalah luas daerah D, maka

47

1. Metode Cakram

Dipunyai fungsi f kontinu pada selang [푎, 푏]. Misalkan daerah D dibatasi oleh grafik

f, sumbu X, x = a, dan x = b diputar dengan poros sumbu X akan membangun suatu

benda putar. Volum benda putar tersebut akan dicari dengan menggunakan

metode cakram sebagai berikut.

Buat partisi untuk selang [푎,푏]. Pilih titik sampel ti ∈[xi−1, xi ].

Volum cakram ke-i adalah

푉 = 휋. [푓(푡 )] .∆ 푥.

푉 = lim‖ ‖→

휋. [푓(푡 )] .∆ 푥 = 휋 [푓(푥)] 푑푥

2. Metode Cincin

Misalkan daerah D dibatasi oleh grafik fungsi g dan h dengan 푔(푥) ≥ ℎ(푥)

pada [푎, 푏],푥 = 푎, dan 푥 = 푏. Akan ditentukan volum benda yang terjadi jika

daerah D diputar terhadap sumbu X.

Buat partisi untuk selang [푎, 푏] pada sumbu X.

Pilih titik sampel ti ∈[xi−1, xi ].

Tulis Vi : volum cincin ke-i.

Jelas

푉 = 휋. [푔(푡 )] .∆ 푥 − 휋. [ℎ(푡 )] .∆ 푥

= 휋. [[푔(푡 )] − [ℎ(푡 )] ].∆ 푥.

푉 = lim‖ ‖→

휋. [[푔(푡 )] − [ℎ(푡 )] ].∆ 푥. = 휋 [[푔(푥)] − [ℎ(푥)] ]푑푥

3. Metode Sel Silinder (Kulit Tabung)

Dipunyai daerah D yang dibatasi oleh grafik fungsi kontinu 푓 dengan 푓(푥) ≥ 0

pada selang [푎,푏], garis 푥 = 푎, garis 푥 = 푏, dan sumbu X. Akan ditentukan volum

benda yang terjadi jika daerah D diputar terhadap sumbu Y. Bangun partisi untuk

selang [푎,푏].

Pilih titik sampel ti ∈[xi−1, xi ] dengan ti berada tepat di tengah subselang

[푥 ,푥 ]. Jadi 푡 = atau 2푡 = 푥 − 푥 .

Tulis Vi = volume silinder ke – i.

48

Jelas 푉 = 휋.푥 .푓(푡 ) − 휋.푥 . 푓(푡 )

= 휋. 푓(푡 )(푥 −푥 )

= 휋. 푓(푡 )(푥 + 푥 )(푥 − 푥 )

= 2휋. 푡 . 푓(푡 )∆ 푥.

푉 = lim‖ ‖→

2휋. 푡 .푓(푡 )∆ 푥 = 2휋 푥푓(푥)푑푥.

49

BAB IV. FUNGSI LOGARITMA, FUNGSI EKSPONEN,

DAN FUNGSI HIPERBOLIK

IV.1 FUNGSI LOGARITMA

Fungsi logaritma merupakan fungsi yang sering dijumpai dalam te-rapan.

Sebagai contoh model pertum-buhan populasi dan model peluruhan radio aktif yang

sederhana. Pada bab ini diawali dengan membangun fungsi logaritma asli.

Dipunyai

C1n

xdxx1n

n untuk n –1. Masalahnya sekarang bagaimana

mencari xdx . Bangun fungsi f: (0,+)R dengan

t1)t(f . Jelas bahwa f kontinu.

Grafik f disaji-kan berikut ini.

Y

f

1

T

1 x=1+h Gambar IV-1 Grafik fungsi f dengan ttf 1)( .

Langkah selanjutnya bangun pengaitan R),0(:F dengan x

1 tdt)x(F . Akan

ditunjukkan F merupakan suatu fungsi.

(1) Ambil sembarang ),0(x .

Kasus x = 1:

Jelas R0t

dt)1(F1

1 .

Pilih 0 R.

Jelas 0 = F(1).

Kasus x > 1:

Tulis x = 1 + h, h > 0.

Jelas )h1(F)x(F = h1

1 tdt = 0x R+.

Pilih Rx0 .

Jelas )x(Fx0 .

50

Kasus 0 < x < 1:

Tulis x = 1 – , 0 < < 1.

Jelas F(x) = F(1 – ) = 1

1 tdt =

1

1 tdt = 1x R– .

Pilih 1x R.

Jelas 1x = F(x).

Jadi Ry),0(x y= F(x).

(2) Ambil sembarang ),,0(x,x 21 21 xx .

Jelas F(x1)= 1x

tdt

1=

2x

tdt

1=F(x2).

Jadi ),,0(x,x 21 21 xx , F(x1) = F(x2).

Jadi F suatu fungsi.

Sekarang dikaji lebih mendalam mengenai sifat-sifat fungsi F tersebut.

Berdasarkan sifat-sifat yang teridentifikasi, akan dapat dibuat sket grafik F.

Fungsi R),0(:F yang di-definisikan sebagai x

1 tdt)x(F memi-liki

sifat-sifat: (a) F(1) = 0.

(b) F(x) > 0 apabila x > 1.

(c) F(x) < 0 apabila 0 < x < 1.

Bukti:

Tulis )t(ft1 .

Jelas f kontinu pada (0,+).

(e) F kontinu pada (0,+).

(f) Grafik F naik.

Bukti:

Ambil sembarang 2121 xx),,0(x,x .

Jelas )x(F 1 1

1

x

tdt =

2

1

x

tdt = F(x2).

51

Jadi 2121 xx),,0(x,x , F(x1) = F(x2).

Jadi grafik F naik.

(g)

)x(Flimx

dan

)x(Flim0x

.

(h) Grafik F cekung ke bawah.

Bukti:

Ambil sembarang ),0(x .

Jelas x > 0.

Jelas F(x) = dx

xFd )]([ =

dxd x )( 1

= 2x1

0.

Jadi grafik F cekung ke bawah. Berdasarkan sifat-sifat fungsi F ini, dapat

dibuat sket grafik F sebagai berikut .

Y f

X

0 1

Gambar IV-2 Grafik F dengan x

1 tdt)x(F .

Selanjutnya fungsi yang diba-ngun ini diberi lambang dengan

F(x) = ln x

dan disebut dengan fungsi logaritma asli.

Berdasarkan definisi itu, diperoleh suatu teorema:

Teorema IV-1

..

Contoh IV-1

Tentukan f(x) apabila:

(a) f(x) = ln 2x,

(b) f(x) = ln (3x2 + 5), dan

(c) f(x) = ln7(2x – 3).

0dengan1)(ln x

xdxxd

52

Strategi:

(1) Ingat rumus xdx

xd 1)(ln .

(2) Jika x diganti 2x, diperoleh:

xxd

xd21

)2()]2[ln( .

(3) Gunakan aturan rantai

Penyelesaian (a):

Jelas dx

xfdxf )]([)(

= dx

xdxdxd )2(.)2()2(ln

= 2.21x

= x1 .

Strategi:

(1) Ingat rumus xdx

xd 1)(ln .

(2) Jika x diganti (3x2 + 5), diperoleh:

5x3

1)5x3(d)]5x3[ln(d

22

2

.

(3) Gunakan aturan rantai

Penyelesaian (b):

Jelas dx

)]x(f[d)x(f

= dx

)5x3(d.)5x3(d)]5x3[ln(d 2

2

2

= 5x3

x62

.

Strategi:

(1) Ingat rumus 67

7)( xdxxd

.

(2) Jika x diganti ln7(2x–1), diperoleh:

)12(ln7)]12[ln()]12([ln 6

7

x

xdxd

.

(3) Gunakan aturan rantai.

Penyelesaian (c):

Jelas dx

xfdxf )]([)(

= dx

xd )]12([ln 7

= dxxd

xdxd

xdxd )12(.

)12()]12([ln

.)]12([ln)]12([ln 7

= 2.12

1)].12(ln.7[ 6

xx

= 12

)12(ln.14 6

xx .

53

Berikut ini disajikan beberapa teorema yang berkaitan dengan fungsi logaritma

asli.

Bukti (a):

Ambil sembarang 푥 (0, +).

Bangun 푓: (0, +)푅 dan 푔: (0, +)푅 dengan 푓(푥) = ln푎푥 dan 푔(푥) = ln 푥.

Jelas xdx

axdaxdaxdxf 1)(.

)()(ln)( dan

xdxxdxg 1)(ln)( .

Jadi 푓(푥) = 푔(푥) + 퐶 ln푎푥 = ln푥 + 퐶.

Pilih 푥 = 1.

Jelas 퐶 = ln푎.

Jadi ln푎푥 = ln 푥 + ln푎.

Pilih 푥 = 푏.

Jadi ln(푎푏) = ln푎 + ln푏.

Bukti (b):

Ambil sembarang 푥 (0, +).

Bangun 푓: (0, +)푅 dan 푔: (0, +)푅 dengan 푓(푥) = 푙푛 dan 푔(푥) = 푙푛 푥.

Jelas xdx

dd

dxf b

x

bx

bx 1)(

.)()(ln

)( dan xdx

xdxg 1)(ln)( .

Jadi 푓(푥) = 푔(푥) + 퐶 푙푛 = 푙푛 푥 + 퐶.

Pilih 푥 = 푏.

Jelas C = – ln b.

Jadi ln = ln 푥 − ln푏

Pilih x = a.

Jelas ln ba = ln a – ln b.

Teorema IV-2

Jika 푎, 푏, 푟푅, 푎 > 0,푏 > 0, dan 푟 rasional maka:

(a) ln(푎푏) = ln푎 + ln푏.

(b) blnalnbaln

(c) aln.raln r

54

Bukti (c):

Buktinya sederhana, diserahkan kepa-da pembaca sebagai latihan.

IV.2 Bilangan e

Karena fungsi f: (0,+)R de-ngan f(x) = ln x kontinu, naik, dan mempuinyai

range Rf = R, maka teorema nilai rata-rata untuk turunan menjamin adanya x secara

tunggal sehingga ln x = 1. Bilangan ini diberi lambang dengan e. Dengan demikian

dapat didefinisikan:

Definisi IV-3

Telah ditunjukkan bahwa bi-langan e merupakan bilangan irrasional dan hampiran e

teliti sampai 12 desi-mal adalah

e 2,718281818459.

Dari Teorema I-2, diperoleh:

ln en = n. ln e = n . 1 = n.

Dari persamaan ini dapat ditentukan titik-titik yang terletak pada grafik f(x) = ln x.

Hasilnya dicatat dalam daftar berikut ini.

Daftar 1: nilai ln en

n x = en f(x) = ln en

–2 0,13534 –2

–1 0,36788 –1

0 1 0

1 2,71828 1

2 7,38906 2

ln e = 1.

55

Jika titik-titik ini digambar, akan diperoleh gambar berikut ini:

Y

(e2,2) (e,1) (1,0) X (e– 1,–1) (e–2 ,–2 ) (e–3,–3 )

Gambar 3: Grafik f (x) = ln x

IV.3 Logaritma Asli Sebagai Anti Turunan

Berdasarkan definisi fungsi lo-garitma asli dapat diturunkan teorema berikut

ini.

Teorema IV-4

Bukti:

Tulis )x(fx1 dan xln)x(F .

Ambil sembarang x R, x 0.

Kasus x < 0:

Jelas )(lnln xx .

xfdxF )]([)(

= dx

xdxdxd )(.)()][ln(

= x1 = 푓(푥).

Kasus x > 0:

Jelas xx lnln .

xfdxF )]([)(

= dx

xd )(ln

= x1 = 푓(푥).

Jadi 퐹(푥) suatu anti turunan 푓(푥).

Jadi anti diferensial 푓(푥) adalah 퐹(푥) + 퐶.

dx ln .

Jika x R, x 0 maka

Cxx

dx ln .

56

Contoh IV-2

Tentukanlah integral-integral berikut ini:

(a) 3x2

dx (b) dx

xsinxxcos1 (c)

dxx2x

1x2 (d)

dx

1xx3x 2

.

Penyelesaian (a):

Jelas 3x2

dx = 3x2

)3x2(d21

= C2

3x2ln

.

Strategi:

(1) Ingat Cxlnx

dx

(2) Jika x diganti (2x+3), diperoleh:

C3x2ln3x2

)3x2(d

.

(3) Jelas d(2x+3) = 2 dx.

(4) Adakan koreksi akibat pengganti-

an.

Penyelesaian (b):

Jelas dx

xsinxxcos1 =

xsinx)xsinx(d

= Cxsinxln .

Strategi:

(1) Ingat Cxlnx

dx

(2) Jika x diganti (x + sin x), diper-

oleh:

Cxsinxlnxsinx

)xsinx(d

.

(3) Jelas d(x + sin x) = (1 + cos x) dx.

(4) Adakan koreksi akibat pengganti-

an.

Penyelesaian (c)

Jelas

dxx2x

1x2 =

x2x)x2x(d

21

2

2

= C2

x2xln 2

.

Strategi:

(1) Ingat Cxlnx

dx

(2) Jika x diganti (x2 + 2x), diper-

oleh:

Cx2xlnx2x

)x2x(d 22

2

.

(3) Jelas d(x2 + 2x) = 2(x + 1) dx.

(4) Adakan koreksi akibat penggan-

tian.

57

Penyelesaian (d):

Jelas dx

1xx3x 2

=

dx].1x

2)2x[(

=

1x

dx2dx)1x(

= C1xln2x2

x2 .

Strategi:

(1) Sederhanakan 1x

x3x 2

1x

2)2x(

.

(2) Ingat Cxlnx

dx

(3) Jika x diganti (x + 1), diper-

oleh:

C1xln1x

)1x(d

.

(4) Jelas d(x + 1) = dx.

(5) Adakan koreksi akibat penggan-

tian.

Perhatian 1:

Contoh IV-3

Dipunyai f: (e– 2 ,1)R , f (x) = ln x.

(a) Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik f, sumbu X, x = e– 2, dan x = 1.

(b) Tentukan panjang busur grafik f.

Penyelesaian:

Grafik f:

Y X . Gambar IV-3 Grafik 푓 (푥) = ln 푥.

Bentuk Cx 32ln21 dapat ditulis dalam bentuk lain, sbagai contoh:

Tulis C = 1ln21 C .

Jadi Cx 32ln21 = 1ln

2132ln

21 Cx

1

58

Penyelesaian (a):

Tulis A: luas daerah yang diminta

Jelas A =

1

2

)(e

dxxf =

1

2

lne

dxx =

1

2

lne

dxx =

1

1

2

2 )(ln.ln.e

exdxxx

=

1

1

2

2ln.e

edxxx = 1

e2 2x)2(e1

= 22

112ee

= 112 e

.

Penyelesaian (b):

Dipunyai 푓(푥) = ln 푥.

Jelas f(x) = dx

xfd )]([ = xdx

xd 1)(ln .

Tulis l: panjang busur grafik f.

Jelas l = dxxfe

1

2

2

)]([1

= dxxe

1

22

11

= dxx

x

e

1 2

2

1 .

Tulis 푥 + 1 = 푦 .

Jelas 2x.dx = 2y.dy dan 12 yx .

Batas y:

x y

e– 2 14 e

1 2

2

14 12

2

ey

dyy

= dxy

e

2

14 111 2

=

2

14

2

14

2

14 1

)1(

2

1

1

)1(

2

1

eee y

yd

y

yddx

= x + 2

1411ln

21

eyy =

59

1e2 4 C

ee

1111ln

1212ln

21

4

4

Contoh IV-4

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafk 푓(푥) = 푥 − , sumbu X, 푥 = 1, dan

푥 = 푒.

Penyelesian:

Grafik f:

Y 1 f 1 e X

Gambar IV-4 Grafik 푓: [1,푒]푅 dengan 푓(푥) = 푥 − .

Tulis A: daeah yang diarsir.

Jelas 1 x < e 111

xe.

ex

x 110 .

Jelas A = e

dxxf1

)( = e

dxx

x1

1 = e

dxx

x1

)1( = e

xx

1

2

ln2

( =

211

2

2e

= 2

32 e 2,19.

Jadi hampiran luas daerah yang diarsie adalah 2,19 satuan luas.

IV.4 Fungsi Eksponen Asli

Dipunyai fungsi f: (0,+)R dengan f(x) = ln x. Jelas f kontinu dan grafik f

naik. Ini menunjukkan bahwa fungsi f memiliki invers. Fungsi ekspo-nen asli

dibangun dengan diawali dengan definisi berikut ini.

Definisi IV-5

Jika x (0,+) didefinisikan y = ln x x = ey.

60

Berdasarkan definisi ini, fungsi invers untuk f ditulis f –1 dengan

f –1(x) = ex, – < x < + .

Jelas

(f f –1)(x) = f [f –1(x)] = ln (ex) = x

dan

(f –1 f )(x) = f –1 [f (x)] = e ln x = x.

Karena f –1 merupakan invers f, maka untuk menggambar grafik f –1 diperoleh

dengan mencerminkan grafik f terhadap garis y = x. Daftar nilai f dan f –1 terlhat pada

daftar berikut ini.

Daftar nilai f:

x ... e– 2 e– 1 1 e e2 ...

ln x ... –2 –1 0 1 2 ...

Daftar nilai f –1:

x ... –2 –1 0 1 2 ...

ex ... e– 2 e– 1 1 e e2 ...

Grafik f dan f –1 seperti tampak pada gambar berikut ini.

Y y= x X

Gambar IV-5 Grafik f (x) = ln x dan inversnya.

Berikut ini disajikan beberapa teorema fungsi eksponen asli.

Teorema IV-6

Jika x1, x2 R dan r rasional maka (1) 2121. xxxx eee

(2) 21

2

1xx

x

x

eee

(3) 11 )( rxrx ee

61

Bukti:

(1) Tulis 11

xey dan 22

xey .

Jelas 11 ln yx dan 22 ln yx .

Jadi x1 + x2 = ln y1 + ln y2 x1 + x2 = ln (y1.y2) y1.y2 = 21e xx

2121. xxxx eee .

(2) Tulis 11

xey dan 22

xey .

Jelas 11 ln yx dan 22 ln yx .

Jadi 2121 lnln xxxx 2

121 ln

xxxx 21e

xx xx

2

1 .

(3) Bukti untuk (3) diserahkan pembaca sebagai latihan.

Teorema IV-7

Bukti:

Ambil sembarang x R.

Dipunyai ln ex = x.

Jelas dx

xddx

ed x )()][ln( 1)(.

)()][ln(

dxed

eded x

x

x

1)(.1

dxed

e

x

x xx

edxed

)( .

Interpretasi Geometri Teorema 4.7

Y (1,e) 0 (e,1) X Gambar IV-6 Grafik fungsi f: R R , dengan f(x) = ex.

Jika x R maka xx

edxed

)( .

62

Gambar IV-6 Grafik fungsi f: R R , dengan f(x) = ex. merupakan grafik fungsi 푓: 푅 푅 dengan f (x) = ex. Teorema IV-7 menyatakan bahwa

f ’(x) = f (x).

Ini berarti bahwa kecenderungan garis singgung di sembarang titik (x, y) pada grafik f

sama dengan koordinat y titik tersebut.

Sebagai contoh:

(a) kemiringan garis singgung di titik (– 1, 1/e) adalah 1/e.

(b) kemiringan garis singgung di (0,1) adalah 1, dan

(c) kemiringan garis singgung di titik (1, e) adalah e.

Contoh IV-5

Tentukan dxdy apabila:

(a) y = e6x (b) y = ex.sin x. Penyelesaian:

(a) Jelas dxed

dxdy x )( 6

= dx

xdxd

ed x )6(.

)6()( 6

= 6.6xe = 6 . e6x.

Stratetgi:

(1) Ingat rumus xx

edxed

)( .

(2) Jika x diganti 6x, diperoleh xx

exd

ed 66

)6()( .

(3) Selanjutnya gunakan aturan rantai.

Penyelesain (b) :

Jelas dx

eddxdy xx )( sin.

= dx

xxdxxd

ed xx )sin.(.

)sin.()( sin.

= ))(sin)(sin..(sin.

dxxdx

dxxdxe xx

= xxexxx sin.).sincos.(

= )sincos..(sin. xxxe xx .

Strategi:

(1) Ingat rumus xx

edxed

)( .

(2) Jika x diganti x.sin x, diperoleh:

xsin.xxsin.x

e)xsin.x(d)e(d .

(3) Selanjutnya gunakan aturan rantai.

63

Contoh IV-6

Tentukan semua ekstrim relatif untuk fungsi f: R R dengan f (x) = x2.e– x .

Strategi:

(1) Tentukan dx

xfd )]([ .

(2) Tentukan bilangan kritis untuk f.

Tulis dengan x1 dan x2.

(3) Tentukan )(xf

(4) Tentukan tanda )( 1xf dan )( 2xf

(5) Gunakan uji turunan kedua

Y 3 f 2 1 X -2 -1 1 2 3 4

Gambar IV-7 Grafik f : R R, f (x) = x2.e– x .

Penyelesaian:

Jelas dx

xfdxf )]([)( = dx

exd x ).( 2

= dxxde

dxedx x

x )(.)(.2

2

= xedx

xdxd

edx xx

2.)(

.)()(

.2

= )2( x

exx .

Jelas 0)( xf )2( xexx = 0 x = 0 x = 2.

Jadi titik kritis f adalah x1 = 0 dan x2 = 2.

Selanjutnya dx

exexdxfxx ).2.()(

2

= dx

exddx

exd xx ).(.2).( 2

=

dxxde

dxedx x

x )(.)(.2

2

+

dxxde

dxedx x

x )(.)(. =

xedx

xdxd

edx xx

2.)(.)()(.2

64

+

xx

edx

xdxd

edx )(.)()(. = xxxx eexexex ..2.2

= xexx ).13( 2 .

Jadi 01)0()( 1 fxf dan 01)2()( 22 e

fxf .

Jadi f (0) = 0 merupakan minimum re-latif f dan f (2) = 2

4e

merupakan mak-simum

relatif f.

Teorema IV-8

Teorema IV-8 merupakan akibat langsung Teorema IV-7, yaitu:

(1) ex merupakan suatu anti turunan ex.

(2) anti diferensial ex adalah ex + C.

(3) dengan demikian

Cedxe xx . .

Contoh IV-7

Tentukan integral-integral berikut ini

(a) dxe x3 dan

(b) dxex x .. 12 3

Penyelesaian (a):

Jelas dxe x3 = )3(31 3 xde x

= Ce x

3

3

.

Strategi:

(1) ingat rumus Cedxe xx .

(2) jika x diganti (-3x), diperoleh:

Cexde xx 33 )3(.

(3) jelas d(–3x) = –3.dx

penggantian itu.

Untuk setiap x R, Cedxe xx .

65

Penyelesaian (b):

Jelas dxex x .. 12 3

= )1(.31 313

xde x

= Cx

3

13

.

Strategi:

(1) ingat rumus Cedxe xx .

(2) jika x diganti (x3 – 1), diperoleh:

Cexde xx 131 33

)1(. .

(3) jelas d(x3 – 1) = 2x2.dx

penggantian itu.

IV.5 Hampiran Nilai bilangan e

Mencari hampiran untuk bi-langan e menggunakan definisi

e

dtt

e1

1.1ln

agak sulit. Untuk keperluan ini diberi-kan definisi lain untuk bilangan e se-bagai

berikut:

Definisi IV-9

Hasil untuk hampiran nilai e, dicatat pada daftar berikut.

Daftar 2: Nilai e untuk beberapa nilai n.

n

n

n

11

n

n

n

11

1 2,000000 500 2,715569

5 2,488320 1.000 2,716924

20 2,653298 2.500 2,717738

50 2,691588 5.000 2,718010

100 2,704814 10.000 2,718146

250 2,712865 100.000 2,718268

… … … …

Jika nilai n diperbesar, akan diperoleh nilai hampiran untuk bilang-an e, yaitu:

e 2,7182818 …

memanfatkan Definisi IV-9.

x

x x11lime

Teorema IV-10

Bukti:

Jelasx

x xr1lim

=

x

x xr1lim

=

r.rx

xrx11lim

=

r

rx

rx

rx11lim

= re .

Contoh IV-8

Hitunglah nilai limit berikut ini:

(a) x

x x

11lim , (b) x

x x

31lim , (c) x

x x

261lim

, (d)

x

x x

2

11lim .

Penyelesaian:

(a) Jelas x

x x

11lim = )1.(

)(11lim

x

x x=

111lim

x

x x= e–1 =

e1 .

(b) Jelas x

x x

31lim =

3.3

3

11lim

x

x x

=

3.3

33

11lim

x

x x

=

3

3

33

11lim

x

x x = e3.

(c) Jelas x

x x

261lim

=

12.6

6

11lim

x

x x

=

12

6

66

11lim

x

x x = e12.

(d) Jelas x

x x

2

11lim = xx

x xx

1111lim = x

x

x

x xx

11lim.11lim

= 1

11lim.11lim

x

x

x

x xx = e .

e1 = 1.

x

x

r

xre

1lim

IV.6 Fungsi Eksponen dan Logaritma Untuk Bilangan Pokok Yang Lain

Dengan menggunakan definisi fungsi eksponen asli, domain f (x) = ax, x > 0

dapat diperluas untuk semua bilangan real, baik rasional atau tak rasional. Untuk

membangun perluasan ini diperlukan teorema-teorema berikut ini.

Teorema IV-11

Teorema IV-12

Bukti:

Ambil sembarang a, x R, a > 0, dan r bilangan rasional.

Dipunyai ax = ex. ln a.

Jika x diganti r, diperoleh: ar = er. ln a.

Jadi aln.rr elnaln aln.raln r .

Teorema IV-13

Bukti:

Tulis [ex]r = y.

Jelas ln y = ln [ex]r = r. ln ex = r.x.

Jadi y = er.x [ex]r = ex.r.

Teorema IV-14

Hanya dibuktikan untuk (c), bukti yang lain diserahkan pembaca sebagai latihan.

Bukti (c):

Jelas (ax)y = (ex.ln a)y = exy.ln a = xyaeln = axy.

Jika a, x, y R dan a > 0 maka (a) yxyx aaa .

(b) yxy

x

aaa

(c) (ax)y = ax.y.

Jika x,r R maka [ex]r = ex.r.a

Jika a R, a > 0, dan r bi-langan rasional, maka aln.raln r .

ax = ex. ln a, x R.

BAB V. TEKNIK INTEGRAL

Beberapa macam teknik pengintergralan digunakan untuk menentukan

antiturunan suatu fungsi. Hal ini bertujuan untuk memudahkan dalam

menentukan selesaian integral fungsi yang ditentukan. Agar teknik

pengingtegralan mudah dipahami oleh pembaca, maka dalam bab ini dirincikan

teknik pengintegralan dimaksud dengan syarat-syarat yang ditentukan. Teknik-

teknik integral tersebut adalah: Teknik Substitusi, Integral Fungsi

Trigonometri, Teknik Substitusi Fungsi Trigonometri, Integral Parsial, Integral

Fungsi Rasional, dan Integral Fungsi Rasional yang memuat fungsi

Trigonomteri.

Berikut ini penjelasan teknik-teknik dalam pengintegralan.

V.1 Teknik Substitusi

Istilah lain untuk teknik substitusi adalah pemisalan. Teknik substitusi

pada umumnya digunakan untuk memudahkan selesaian integral ke bentuk

rumus dasar rumus integral tak tentu, yaitu;

a. nx dx = 1

1

nx n

+ C, asalkan n -1 atau

b. dxxfxf n )(')( = 1

)( 1

nxf n

+ C, asalkan n -1

Karena rumus di atas adalah pedoman umum. maka integrannya

menyesuaikan dengan rumus di atas. Jika belum sesuai atau menyimpang dari

bentuk di atas maka sedapat mungkin diubah terlebih dahulu. Dengan demikian

setelah integran sesuai dengan bentuk baku integralnya dapat dilakukan dengan

mengaplikasikan rumus dasar integral tidak tentu. Akhirnya selesaiannya dapat

dilakukan dengan metode substitusi.

Perhatikan beberapa contoh berikut:

1. x1 dx

Misal u = x1

xu 12

)1()( 2 xdud

dxudu 2

Substitusi bentuk terakhir ke x1 dx, diperoleh

duuu )2( = -2 duu2

Dengan rumus dasar di dapat

x1 dx = -2 duu2

= -2 Cu

3

3

= - Cx 3)1(32

2. dxx 11)123(

Misal A = 3x + 12

d(A) = d(3x+12)

dA = 3 dx

dx = 3

dA

Sehingga dxx 11)123( = 311 dAA

= dAA11

31

= CA)

12(

31 12

= CA 12

361

= Cx

36

)123( 12

3. xCos 22 dx

Misal A = 2x

d(A) = d(2x)

dA = 2 dx

dx = 2

dA

xCos 22 dx = 2

cos2 dAA

= ACos2 dA21

= dAA

22cos1

21

41

= CAA 82sin

4

= Cxx

84sin

42

= Cxx

84sin

2

4. xx 44 2 (4x+2) dx

Jawab

Misal A = xx 44 2

A 2 = 4x 2 4x

2A dA = (8x+4) dx

2A dA = 2(4x+2) dx

A dA = (4x+2) dx

Sehingga

xx 44 2 (4x+2) dx = A .A dA

= dAA2

= CA 3

31

= 3 2 4431 xx + C

5. 43ttdt

Jawab

Misal P = 43 t

P 2 = 3t + 4 t = 3

42 P

d(P 2 ) = d(3t+4)

2P dp = 3 dt dt = Pdp32 , sehingga

43ttdt =

p

dppP )32)(

34(

2

= dpP )82(91 2

6. 2

2

16 xdxx

Jawab

Misal U = 216 x

U 2 = 16 - x 2 x 2 = 16 - U 2

d(U 2 ) = d(16 - x 2 )

2U du = (-2x)dx

dx = dux

U

2

2

16 xdxx =

uxuu )16( 2

du

= dux

u

216

= - duux

)16(1 2

= 2

3

1 316 C

xuC

xu

= Cx

xxx

x

316)16(1616

22

2

= Cxx

xx

3

)16()16(16 2/322/12

Soal-soal

Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini:

1. dttt 2/3)2(

Jawab

Misal M = (t+2) 23

M 2 = (t+2) 3

2M dM = 3(t+2) 2 dt

dttt 2/3)2( = 2)2(32..

tMdMtM

= dMM

tt 2

2)2(32

= 32 3

1)2(3

2 Mt

t

+ C

= 29

2 )2()2(9

2

t

tt + C

= Ctt 2

5

)2(92

2. dxx

x

sin

3. 123tdt

4. dx

xx

2sin2cos1

2

5.

dttt

ttt13

13sin)16(2

2

6. 92xxdx

7. dxxx 2/3)23(

8. dx

xx

162

9. dxx3

sin

10. xxdx

2cos16sin

11. dxx )42cos(

12. dxxx )1sin( 2

13. dxxx )1cos( 32

14. dxxx 7/122 )3(

15. dx

xxx1

322

16.

dx

eeee

xx

xx

22

22

17. dte

et

t

6

3

4

18. dx

xx

44

2

19. 44xxdx

20. dxxx cos21sin

V.2 Integral Fungsi Trigonometri

Sebelum membahas teknik integral fungsi trigonometri secara lebih

rinci, berikut ini diberikan integral dasar fungsi trigonometri yang menjadi

acuan untuk menentukan hasil pengintegralan dengan teknik fungsi

trigonometri. Bentuk dasar tersebut adalah:

1. xsin dx = -cos x + C

2. xcos dx = sin x + C

3. tan x dx = ln Cx sec

= -ln Cx cos

4. cot x dx = - ln Cx csc

= ln Cx sin

5. xsec dx = ln Cxx tansec

6. csc x dx = ln Cxx cotcsc

Berdasarkan bentuk di atas selanjutnya diberikan beberapa kasus bentuk

integral fungsi trigonometri yang dibahas pada bagian ini, diantaranya adalah:

A. ,sin xdxm dan xdxmcos dengan m bilangan ganjil atau genap positip

Jika m bulat positip dan ganjil, maka m diubah menjadi (m-1) + 1, atau

m digenapkan terdekat. Selanjutnya substitusi dengan menggunakan kesamaan

identitas 1cossin 22 xx atau sin x2 = 1 - cos x2 atau cos x2 = 1 - sin x2 .

Akhirnya dengan substitusi tersebut didapat kesamaan antara integran

dengan tanda integrasinya, sehingga dengan mudah dapat diselesaikan.

Contoh:

1. xdx3sin

Jawab

xdx3sin = dxx 1)13(sin

= xxsinsin 2 dx

= )cos()cos1( 2 xdx

= )(coscos)cos(1 2 xdxd

= -cos x + Cx 3cos31

2. dxx 5cos

Jawab

dxx 5cos = x1)15(cos dx

= xdxxcoscos4

= )(sin)sin1( 22 xdx

= )(sin)sinsin21( 42 xdxx

= )(sinsin)(sinsin2)(sin1 42 xxdxxdxd

= sin x - Cxx 53 sin51sin

32

3. dxx)2(sin 5

Jawab:

Misal u = 2x, du = 2dx atau dx = 2

du

Sehingga 2sin)2(sin 55 duudxx

= udu5sin21

= uduu sinsin21 4

= )cos()cos1(21 22 udu

= )cos()coscos21(21 42 uduu

= Cuuu 53 sin101sin

31cos

21

= Cxxx 2sin1012sin

312cos

21 53

Bentuk xdxmcos , dxmsin , jika m bilangan bulat positip genap,

selesaiannya dapat dilakukan dengan menggunakan substitusi kesamaan

setengah sudut

sin x2 = 2

2cos1 x dan cos 2

2cos12 xx

Contoh:

1. xdx2sin

Karena pangkatnya genap, digunakan kesamaan setengah sudut, maka

xdx2sin = dxx

22cos1

= xdxdx 2cos21

21

= Cxx 42cos

2

2. xdx4cos

Jawab

xdx4cos = 22 )(cos x dx

=

dxx 2

22cos1

= dxxx )2cos

41

22cos

41(

2

= xdxdxxdx 2cos41

22cos

41 2

= + dxx

2)4cos1(

41

= Cxxxx

324sin

842sin

4

= Cxxx

324sin

42sin

83

3. xdx2sin 4

Misal u = 2x , du = 2dx atau dx = 2

du , sehingga

xdx2sin 4 = 2sin

4 duu

=

duu 2

22cos1

21

= duuu )2cos2cos21(41

21 2

= uduududu 2cos812cos

41

81 2

=

duuududu2

4cos1812cos

41

81

42sin

4xx

= ududuududu 4cos161

1612cos

41

81

= Cuuuu 4sin641

1612sin

81

81

Karena u = 2x, maka

xdx2sin 4 = Cxxxx )2(4sin641)2(

161)2(2sin

81)2(

81

B. xdxx nm cossin

Jika m atau n bilangan bulat positip ganjil, sedangkan lainnya sebarang

bilangan, maka faktorkan sin x atau cos x dengan menggunakan kesamaan

identintas 1cossin 22 xx dengan terlebih dahulu mengubah salah satu

bilangan ganjil. Misal m ganjil maka ubah m dengan m = (m-1)+1 , jika n

ganjil diubah menjadi (n-1)+1. Jika m dan n genap digunakan kesamaan

setengah sudut sin x2 = 2

2cos1 x dan cos 2

2cos12 xx sehingga diperoleh

hasil pengintegralannya.

Contoh

1. xdxx 23 cossin

Jawab

Karena m ganjil, maka gunakan substitusi kesamaan identitas

xdxx 23 cossin = dxx 21)13( cossin

dxxx 22 cossinsin = xdxxx sincos)cos1( 22

= )cos()cos(cos 42 xdxx

= )cos(cos)cos(cos 42 xxdxxd

= Cxx 53 cos51cos

31

= cos Cxx )31cos

51( 23

2. xdxx 32 cossin

Karena n ganjil, maka ubah menjadi genap

xdxx 32 cossin = xdxxx coscossin 22

= )(sin)sin1(sin 22 xdxx

= )(sinsin)(sinsin 42 xxdxxd

= Cxx 53 sin51sin

31

3. xdxx 33 cossin

Jawab xdxx 33 cossin

Karena kedua pangkat bilangan ganjil, pilih salah satu untuk diubah

xdxx 33 cossin = xdxxx coscossin 23

= )(sin)sin1(sin 23 xdxx

= )(sinsin)(sinsin 53 xxdxxd

= Cxx 64 sin61sin

41

Atau

xdxx 33 cossin = dxxxx 32 cossinsin

= )cos(cos)cos1( 32 xxdx

= )cos()cos(cos 53 xdxx

= Cxx 64 cos61cos

41

4. xdxx 22 sincos

Kedua pangkat bilangan genap, sehingga diperoleh:

xdxx 22 sincos =

dxxx

22cos1

22cos1

= dxx)2cos1(41 2

=

dxx

24cos11

41

=

dxx

24cos

21

41

= Cxx

84cos

241

= Cxx

644cos

8

4. xdxx 44 cossin

Jawab

Karena kedua pangkatnya bilangan genap, untuk menentukan selesaiannya

gunakan kesamaan setengah sudut sin x2 = 2

2cos1 x dan cos 2

2cos12 xx ,

sehingga:

xdxx 44 cossin = dxxx 2222 )(cos)(sin

=

dxxx 22

22cos1

22cos1

= dxxxxx )2cos2cos21)(2cos2cos21(161 22

= dxxx )2cos2cos21(161 42

= xdxdxxdx 2cos1612cos

81

161 42

=

dxxxdx2

24cos1

161

24cos1

81

161

=

dxxxxdx 22 )4cos4cos21(641

24cos1

81

161

=

dxxxdxdxxdx2

8cos16414cos

321

641

24cos1

81

161

=

dxxdxxdxdxxdx 8cos128

1128

14cos321

641

24cos1

81

161

= dxxdxxdxdxxdxdxdx 8cos128

1128

14cos321

6414cos

161

161

161

= xdxxdxdx 8cos128

14cos321

1283

= Cxxx 8sin

102414sin

1281

1283

C. ,tan xdxn dan dxxncot

Dalam kasus ini jika n genap gunakan kesamaan identitas 1 +

xx 22 sectan dan 1+cot xx 22 csc . Jika n ganjil ubah menjadi (n-1)+1 dan

gunakan kesamaan 1 + xx 22 sectan dan 1+cot xx 22 csc .

Perhatikan contoh berikut:

1. xdx3tan

Karena pangkat n ganjil maka diubah dalam bentuk perkalian yang salah

satunya genap, selanjutnya gunakan kesamaan identitas 1 + xx 22 sectan

Sehingga diperoleh

xdx3tan = x2tan tanx dx

= )1(sec2 x tan x dx

= x2sec tan x dx - tan x dx

= tan x sec x2 dx – ln xsec + C

= xtan d(tan x) – ln xsec + C

= Cxx seclntan21 2

2. xdx4cot

Karena pangkat n , langsung gunakan kesaman identintas 1+cot xx 22 csc ,

sehingga didapat

xdx4cot = dxx 22 )(cot

= dxx 22 )1(csc

= dxxx )1csc2(csc 24

= dxxxx )1csc2csc)(csc 222

= `1csc2csc)cot1( 222 dxxxx

= dxxdxdx )cot(2)cot()cot1( 2

= Cxxxx cot2cot31)cot( 3

= Cxxx cotcot31 3

D. xdxx nm sectan , dan xdxx nm csccot

Bentuk ini mempunyai dua kasus yaitu n genap m sebarang dan m

ganjil n sebarang. Jika n genap dan m sebarang gunakan kesamaan 1 + tan

xx 22 sec atau

1 + cot x2 = csc x2 .

Contoh

1. dxxx 45 sectan

Karena salah satu pangkat bilangan genap, maka langsung gunakan

kesamaan identitas 1+tan xx 22 sec , sehingga diperoleh

dxxx 45 sectan = dxxxx 225 secsectan

= dxxxx 225 sec)tan1(tan

= )tan(tan 75 xx d(tgnx)

= Cxx 86 tan81tan

61

2. dxxx 44 csccot

Jawab

dxxx 44 csccot = dxxxx ))(csc(csccot 224

= )cot()1(cotcot 24 xdx

= )cot()cot(cot 46 xdxx

= Cxx 57 cot51cot

71

Sedangkan untuk m bilangan ganjil dan n sebarang juga dengan

menggunakan substitusi kesamaan identitas

1 + tan xx 22 sec atau 1 + cot x2 = csc x2 .

Contoh:

1. xdxx 33 sectan = xdxxxx secsectantan 22

= )(secsectan 22 xdx

= )(secsec)1(sec 22 xdxx

= )(sec)sec(sec24 xdxx

= Cxx 35 sec31sec

51

2. xdxx 2/13 sectan = x2tan tan x sec x2/3 sec x dx

= x2(sec -1)sec x2/3 d(sec x)

= x2/1(sec sec )2/3 x d(secx)

= xx 2/12/3 sec2sec32 + C

E. nxdxmxcossin , ,sinsin nxdxmx nxdxmxcoscos

Integral bentuk ini juga sering muncul, untuk menyelesaikannya digunakan

rumus kesamaan hasil kali, yaitu:

sin mx cos nx = ])sin()[sin(21 xnmxnm

sin mx sin nx = ])cos()[cos(21 xnmxnm

cos mx cos nx = ])cos()[cos(21 xnmxnm

Contoh y

1. sin 3x cos 4x dx = ])43sin()43[sin(21 xx dx

= x7sin21 + sin (-x) dx

= x7cos141 - cos

21 x + C

2. xx 2sin3sin dx = ])23cos()23[cos(21 xx dx

= 21 (cos 5x – cos x) dx

= sin101 5x + sin

21 x + C

3. cos y cos 4y dy = y)41[cos(21 +cos(1-4)y] dy

= )]3cos(5[cos21 yx dy

= Cyy 3sin615sin

101

Soal-soal

Tentukan hasil integral berikut ini.

1. dxx)4(sin 3

2. dxx )3

(cos4

3. dxxx )2(cos)2(sin 42

4. dxxx

5cos

5sin 33

5. xdxx 321

cos3sin

6. dttt 2cos)2(sin 3

7. xdx6tan

8. dxx)3(cot4

9. dxxx 4csccot

10. xdxx 2sec2tan 2

11. dxxx 2)cot(tan

12. xdxx sin3sin

13. ydy4csc4

14. qdqq 24 sectan

15. xdxx 3sin2cos

16.

dxx

3cot 4

17. zdzz 321

cossin

18. xdxx 2/35 sectan

19. xdxx 3coscos

20. dxxx

25sin

2sin

V.3 Teknik Substitusi Fungsi Trigonometri

Teknik substitusi fungsi trigonometri digunakan untuk menyelesaikan

integral jika integrannya memuat bentuk-bentuk:

a. 22 xa , a > 0, a Real

b. 22 ax = 22 xa , a > 0, a Real

c. 22 ax , a > 0, a Real

atau bentuk lain yang dapat diubah menjadi bentuk di atas, misalnya

222 xba = 22

xba

xba 22 = 22

xba

222 bxa = 2

2

abx atau cbxax 2 yang dapat diubah menjadi bentuk

Integrannya memuat 22 xa atau sejenisnya, Gunakan substitusi

x = a sin t atau sin t = ax

x = a sin t dx = a cos t dt

dengan -2

2

t sehingga,

22 xa = 22 )sin( taa

= )sin1( 22 ta

= a cos t

Catatan

Gambar segitiga siku-siku di atas yang masing-masing sisinya diketahui

berguna untuk menentukan nilai fungsi trigonometri yang lain, yaitu cos t, tan t,

cot t, sec t, dan csc t. Hal ini dikarenakan sangat mungkin hasil dari

pengintegralan adalah fungsi-fungsi tersebut.

Contoh:

Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:

1. 24 x dx

Jawab

t

xa

22 xa

Substitusi x = 2 sin t

sin t = 2x

dx = 2 cos t dt

24 x = tt cos2sin44 2

Sehingga

24 x dx = tdtt cos2.cos2

= tdtt coscos4

= 4 tdt2cos = 4 dtt

2)2cos1(

= 2 dt + 2 t2cos dt

= 2t + sin 2t + C

= 2t + 2 sin t cos t

= 2 arc sin2

422

2xxx

+ C

Atau 4 tdt2cos = 4 (2cossin tt + Ct

21 )

= 2 sint cost + 2t + C

= 2

2x

24 2x + 2 arc sin

2x + C

= Cxxx

2

arcsin22

4 2

2. 24 xx

dx

Jawab

tx

2

24 x

24 xx

dx = 2)2(4 x

dx

Substitusi (x-2) = 2 sin t,

dx = 2 cos t dt

tx cos2)2(4 2 , sehingga

2)2(4 x

dx = ttdt

cos2cos2

= dt

= t + C

= arc sin

22x + C

3. 2616 xx

dx

Jawab

2616 xx

dx = 2)3(25 x

dx

Substitusi (x-3) = 5 sin t,

dx = 5 cos t dt

2)3(25 x = 5 cos t, sehingga

2616 xx

dx = ttdt

cos5cos5

= dt

= t + C

= arc sin 5

3x + C

2x

24 xx

2

t

5

2616 xx

3xt

4. 22 3 xx dx

Jawab

Substitusi x = `sin3 A

22 )sin3(33 Ax

= Acos3 , sehingga

22 3 xx dx = AdAAA cos3.cos3sin3 2

= 9 AdAA 22 cossin

= 9

dAAA

22cos1

22cos1

= dAA)2cos1(49 2

=

dAA)2

4cos1(149

89

= CAx

4sin4.8

93

arcsin89

= CAAAAx

)sin)(coscossin4(329

3arcsin

89 22

=

AAAAx 22 sin)(coscos(sin

3arcsin

89 + C

= Cxxxxx

33

)3(3

333

arcsin89 222

x

t

3

23 x

5. dxx

x 225

Jawab:

Substitusi x = 5 sin A atau sin A = 5x dan dx = 5 cos A dA

Sehingga

dxx

x 225 = dAAAA

cos5.sin5cos5

= 5 dA

AA

sinsin1 2

= 5 ln CCosActgAA 5csc

= 5 ln Cxx

xx

5

255255 22

Kerjakan soal berikut sebagai latihan bagi pembaca

1. 2

32 )1( x

dx

2. 225 xxdx

5x

225 xA

3. 22 9 xxdx

4. 23

2 )4( xx

dx

5. dxxx 22 1

6. dxx

x 2

3

16

7. )45( 2xxdx

8. 2/32

2

)tan4(sec

xxdx

9. 2/32 )6( xdx

10. dxx

x

2

23

Integral yang integrannya memuat bentuk 22 xa atau bentuk yang

sejenisnya, selesaiannya menggunakan substitusi

x = a tan t, -2

2

t sehingga,

Untuk membantu menyelesaikan bentuk di atas, perhatikan segitiga berikut ini:

22 xa = taa 222 tan

= )tan1( 22 ta

t

ax 2

a

x

= a sec t

Karena x = a tan t maka dx = a sec t2 dt.

Contoh:

Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini.

1. 29 xdx

Jawab

Substitusi x = 3 tan t

dx = 3 sec dt

29 x 2)tan3(9 t

= 3 sec t, sehingga

29 xdx = t

tdtsec3

sec3 2

= tdtsec

= ln Ctt tansec

= ln 33

9 2 xx

+ C

= ln Cxx 29

2.

54

)12(2 xx

dxx

Jawab

54

)12(2 xx

dxx = dxxxxx

x )54

1

54

2(22

t2

29 xx

3t

=

1)2(1)2(

222 x

dxx

xdx

Substitusi (x+2) = tan t

x = (tan t) - 2

dx = sec 2 t dan

1)2( 2 x = sec t, sehingga

54

)12(2 xx

dxx =

1)2(1)2(

222 x

dxx

xdx

=

ttdt

ttdtt

secsec

secsec).2(tan2 22

= tdttdtt sec4sectan2 - tsec dt

= 2 sec t – 5 ln Ctt tansec

= 2 Cxxxxx )2(54ln554 22

Kerjakan soal berikut sebagai latihan

1. 22 )9( xdx

dx

2. dxx 23

3. xx 12 dx

4. 1342 xxdx

5. 52

32 xx

xdx

6. dtt

t

42

2x

542 xx

1 t

7. dxxx 25

8. 2524ttdt

9. 2/32 )186( zzdz

10. 122 xxdx

11. 2/32)16( xdx

12. 224 ppdp

Integral yang integrannya memuat bentuk 22 ax atau sejenisnya,

selesaiannya menggunakan substitusi

x = a sec t, -2

2

t .

Karena x = a sec t maka dx = a sec t tan t dt, dan

22 ax = 222 sec ata

= a tan t

Selanjutnya perhatikan segitiga siku-siku di bawah ini

Contoh:

Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:

1. dxx

x 92

Jawab x

xa

t22 ax

Substitusi x = 3 sec t

dx = 3 sec t tan t dt

92 x = 3 tan t, sehingga

dxx

x 92 = tdtttt tansec3

sec3tan3

= 3 tdt2tan

= 3 dtt )1(sec 2

= 3 tan t – 3 t + C

= 3 Cxarcx

3

sec33

92

2. 822 xx

dx

Jawab

822 xx

dx = 9)1( 2x

dx

Substitusi (x-1) = 3 sec t,

dx = 3 sec t tgn t dt

9)1( 2 x = 3 tgn t, sehingga

9)1( 2x

dx = ttdt

tan3tansec3

= tdtsec

= ln Ctt tansec

3

92 x

t

822 xx

1x

t

3

= ln Cxxx

3

823

1 2

Kerjakan pengintegralan berikut sebagai latihan.

1. 12 x dx

2. 252

2

xdxx

3. dtt

t3

2 4

4. 21616 xxdx

5. 62xx

dx

6. 122 tt

dt

7. 823 xxdx

8. 2/32 )94( xdx

9. )78( 2 xxxdx

10. 44xxdx

V.4 Integral Parsial

Secara umum integral parsial digunakan untuk menentukan selesaian

integral yang integrannya merupakan perkalian dua fungsi uv, dimana u = f(x)

dan v = g(x).

Karena y = uv, maka menurut definisi differensial dan turunan fungsi

y = uv diperoleh

dy = d(uv)

d(uv) = u dv + v du

Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh

vduudvuvd )(

vduuvdudv )(

vduuvudv

Bentuk terakhir ini dinamakan rumus integral parsial. Prinsip yang

digunakan dalam integral parsial adalah integran yang berbentu uv di

manipulasi menjadi u dv dan dalam menentukan udv tidak boleh memunculkan

persoalan yang lebih sulit dibandingkan dengan udv tersebut.

Perhatikan beberapa contoh berikut ini.

Tentukan integral persial berikut ini

1. xdxxcos

Jawab

Bentuk xdxxcos diubah menjadi udv,

Misal u = x , dv = 1 dx

dv = cos x dx , v = xcos dx = sin x

Akibatnya xdxxcos = x d(sin x).

Dengan rumus integral parsial

vduuvudv , diperoleh

x d(sin x) = x sin x - xsin d(x)

= x sin x - xsin dx

= x sin x + cos x + C

Akhirnya diperoleh xdxxcos = x sin x + cos x + C

2. xx 1 dx

Pilih u = x , du = dx

dv = x1 , v = x1 dx = 3 132 x

Sehingga xx 1 dx = )132( 3 xxd

Berdasarkan rumus integral parsial

vduuvudv , diperoleh

xx 1 dx = )132( 3 xxd

= 3 113

2 x - )(132 3 xdx

= 3 113

2 x - dxx3 132

= 3 113

2 x - Cx 3 4)1(42

3. xsin e x dx

Pilih u = sin x maka du = d(sinx) = cos dx

dv = dxex , v = dxe x = xe , sehingga:

xsin e x dx = sin x d( )xe

= )(sinsin xdexe xx

= xdxexe xx cossin

Diperoleh bentuk xdxe x cos yang juga diselesaikan dengan metode parsial

Pilih u = cos x , dv = d(cos x) = sin x dx

dv = dxex , v = dxe x = xe , sehingga:

xcos e x dx = cos x d( )xe

= )(coscos xdexe xx

= dxxexe xx )sin(cos

= ,)sincos dxxexe xx

Akhirnya diperoleh

xsin e x dx = xdxexe xx cossin

= xex sin ,)sincos dxxexe xx

xsin e x dx = 21

xex sin21 Cxex cos

Berdasarkan contoh di atas kerjakan soal di bawah ini sebagai latihan.

1. dxxx 2sec

2. dxx 3sin

Jawab:

dxx 3sin = xdxx sinsin 2

Pilih u = sin2 x du = d(sin2 x ) = 2sinx cos x

dv = sin x dx maka v = xdxsin = - cos x

Sehingga

dxx 3sin = )cos(sin 2 xdx

= -cos x sin2x - dxxxd )(sincos 2

= -cos x sin2x + dxxxx cossin2cos

= -cos x sin2x + 2 dxxx )sin1(sin 2

xdx3sin = -cos x sin2x + 2 dxxxdx )sin2sin3

3 xdx3sin = -cos x sin2x + 2 xdxsin

xdx3sin = xdxxx sin

32

3sincos 2

= Cxxx

)(cos32

3sincos 2

3. x tan x dx

4. arc tan x dx

5. x ln x dx

6. 3 72xx dx

7. arc cos 2x dx

8. 2x e x2 dx

9. xxdx

21dx

10. xx 3sin3cos dx

11. dxxe x 1

12. xdxx 25 sectan

13. )2cos()2( xx dx

14. dxxex2

15. ex )12( x31 dx

16. x3sec dx

17. 3x 24 x dx

18. x3ln dx

19. xx sin2 dx

20. xx 12 dx

V.5 Integral Fungsi Rasional.

Fungsi rasional adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk F(x)

= )()(

xgxf , dimana f(x) , g(x) adalah fungsi pangkat banyak (polinom) dan g(x)

0.

Fungsi pangkat banyak adalah suatu fungsi yang dinyatakan dengan

f(x) = a o + a 1x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + … + a n x n , n = 1, 2, 3, … , sehingga fungsi

rasional adalah fungsi berbentuk )()(

xgxf yang pembilang dan penyebutnya

polinom.

Contoh

1. F(x) = 23

12

xxx (Fungsi Rasional Sejati)

2. F(x) = 44

42

2

xx

x (Fungsi Rasional Tidak Sejati)

3. F(x) = xxxxx

512

3

35

(Fungsi Rasional Tidak Sejati)

Pada contoh di atas, (1) disebut fungsi rasional sejati, karena derajat

pembilang lebih dari derajat penyebut, sedangkan (2) dan (3) disebut fungsi

rasional tidak sejati, karena derajat pembilang lebih besar atau sama dengan

derajat penyebut.

Untuk langkah selanjutnya jika suatu fungsi rasional termasuk jenis tidak sejati,

maka fungsi tersebut dijadikan fungsi rasional sejati. Melalui proses pembagian

panjang akan diperoleh fungsi rasional sejati. Sehingga:

F(x) = xxxxx

512

3

35

= x 32 + xx

x5

)114(3

F(x) = )()(

xgxf , g(x) 0.

Dalam menentukan integral fungsi rasional, langkah yang ditempuh adalah:

1. Nyatakan integrannya dalam bentuk fungsi rasional sejati.

2. Faktorkan penyebut g(x) dari fungsi rasional F(x) = )()(

xgxf sampai tidak

dapat difaktorkan lagi.

3. Dalam hal langkah nomor 2 di atas, g(x) dapat berupa kombinasi antara:

- fungsi linear berbeda, g(x) = (x-a)(x-b)….(x-t) dstnya.

- fungsi linear berulang, g(x) = (x-a) n

= (x-a)(x-a)(x-a) … (x-a)

- fungsi liner dan kuadrat, g(x) = (x-a)(ax 2 +bx + c)

- fungsi kuadrat berbeda, g(x) = (ax )(2 cbx px 2 + qx + c)

- fungsi kuadrat berulang, g(x) = (ax )2 cbx n dan seterusnya.

4. Nyatakan integran menjadi bentuk penjumlahan n-pecahan parsial sehingga

integran dapat ditentukan antiturunannya,

Misal : )()(

xgxf ...

)()( 22

2

11

1

bax

Abax

A (Penyebut kombinasi liner

berbeda)

...)()()()(

)(3

32

21

bax

Abax

Abax

Axgxf (kombinasi lenear

berulang)

...)()(

222

2

22

112

1

11

cxbxa

BxAcxbxa

berbeda)

5. Integralkan secara keseluruhan jumlah n-pecahan parsial tersebut yang

merupakan hasil akhir pengintegralan dengan terlebih dahulu menentukan

konstanta A 1 , A 2 , …A n dan B1 , B 2 , …B n .

Contoh

1. Tentukan dx

x 12

2

Karena intergran adalah fungsi rasional sejati, selanjutnya faktorkan

integran:

12

2x dx =

dxxx )1)(1(

2

=

dx

xB

xA

)1()1(

= dxxx

xBxA

)1)(1(

)1()1(

= dx

xxBAxBA

)1)(1()()(

Diperoleh A + B = 0 , A – B = 2 atau A = 1, B = -1 sehingga:

12

2xdx =

dx

xx )1(1

11

= dx

x 11 -

dxx 1

1

= ln Cxx 1ln1

= ln Cxx

11

2. ,

11 dx

xx integran fungsi rasional tidak sejati, maka:

dx

xdx

xx

121

11

= dx

xdx

12

= x + ln (x-1) 2 + C

Soal-soal

Tentukan hasil pengintegralan berikut:

1. dxxxx

x

)6(

123

Jawab

dxxxx

x

)6(

123 =

dxxxx

x)3)(2(

1

= dxx

Cx

BxA

)3()2(

= dxxxx

xxCxxBxxA

6

)2)(()3)(()3)(2(23

= dx

xxxAxCBAxCBA

66)23()(

23

2

Diperoleh A + B + C = 0

A + 3B – 2C = 1

-6A = 1

Atau A = - 61 , B =

103 , C =

152

Sehingga dxxxx

x

)6(

123 =

)3(15

2)2(10

361

xdx

xdx

xdx

= Cxxx 3ln1522ln

103ln

61

2. 92xdx

3. 672 xxdx

4. dx

xxxx

8243

2

2

Jawab

dx

xxxx

8243

2

2

= dxxx

x )82

451( 2 , menurut teorema 2.2

= dxxx

xdx82

451 2

= x + C1+ dxxx

x82

452

dxxx

x82

452 =

dxx

Bx

A24

, menurut teorema 2.2

= 82

)4()2(2 xx

dxxBxA

= 82

)42()(2 xx

dxBAxBA

Diperoleh A+B = 5, 2A-4B= 4 atau A = 4, B = 1

Sehingga dxxx

x82

452 =

dxxx 2

14

4

= 4 ln cxx 2ln4

= ln (x-4) cx 2ln4

= ln Cxx )2()4( 4

5. 432 xxxdx

6. dx

xxxxx

213

23

2

Contoh (Penyebut integran dalam faktor linear berulang)

1. dxxx

x44

12 , karena integran adalah fungsi rasional sejati maka:

dxxx

x44

12 =

dxxx

x)2)(2(

1

= dx

xx

2)2(1

= dxx

Bx

A

2)2()2(

= dxx

BxA

2)2(

)2(

=

2)2()2(

xABAx dx

Sehingga diperoleh

A = 1 , B – 2A = 1 atau A = 1 dan B+ 3, sehingga

dxxx

x44

12 =

2)2()2( x

Bx

A dx

=

dx

xxdx

2)1(3

)2(

= ln Cx

x

)2(

32

2. dxxx

x44

12

2

Integran di atas bukan fungsi rasional sejati, maka diubah terlebih dahulu

menjadi fungsi rasional sejati. Sehingga:

dxxx

x44

12

2

= dxxx

x44)45(1 2

= dxxx

xdx44

452

Selanjuntnya

dxxxdx

xxx

22 )2(45

4445

=

dx

xB

xA

2)2()2(

= dx

xBxA

2)2()2(

= dx

xBAAx

2)2()2(

Diperoleh A = 5, 2A + B = 4 atau A = 5, B = -6, sehingga:

22 )2(6

)2(5

)2(45

xxdx

xx dx

= 5 ln Cx

x

)2(

62

3. dx

xxxdxx

1)53(

23

Integran fungsi rasional sejati, sehingga:

dx

xxxdxx

1)53(

23 = 2)1)(1()53(

xx

dxx

= dxx

Cx

Bx

A

2)1()1()1(

= dx

xxxCxxBxA

2

2

)1)(1()1()1)(1()1(

= dxxx

CBAxACxBA

2

2

)2)(1()()2()(

Diperoleh

A+ B = 0, C-2A = 3, A-B+C = 5 atau A = ½, B = -1/2, C = 4, sehingga

dx

xxxdxx

1)53(

23 = dxx

Cx

Bx

A

2)1()1()1(

= 21

2)2(

4)2(2

1)1( x

dxxdx

xdx

= ½ ln Cx

xx

)2(

42ln211

4. 23

36

444

xxxx dx ( integran bukan fungsi rasional sejati)

Jawab :

23

36

444

xxxx dx =

dx

xxxxxx 23

223

4427268164

= dxxxx )68164( 23 + dxxx

x

23

2

44272

= xxxx 68834

41 234 + dx

xxx

23

2

44272

Selanjutnya dicari dxxx

x

23

2

44272 = dx

xxx

)4()0(4272

2

2

= dx

xC

xB

xA

)4(2

= dxxx

xCxxBxA

23

2

4)()4)(()4(

= dx

xxCxBxBxAAx

23

22

444

Sehingga didapat B+C = 272, A-4B = 0, -4A = 4

atau A = -1, B = 41

, C = 4

1089

Sehingga:

dxxx

x

23

2

44272 = xxxx 688

34

41 234 - Cxx

x 4ln

41089ln

411

Soal-soal

Tentukan hasil dari:

1. dx

xx

2)3(1

3. dxxx

x 52

8

)1()2(

4. dxxx

xx

34

2

521019

5. dxxxx

2)4)(2(21

Selain dalam bentuk penyebut integran dinyatakan dalam faktor linear berbeda

dan berulang, dapat juga difaktorkan dalam kombinasi linear dan kuadrat.

Artinya penyebut dapat difaktorkan dalam bentuk kombinasi linear dengan

Selanjutnya integran dengan bentuk seperti ini dijadikan jumlah pecahan n

parsial

rqxpxCBx

baxA

xgxf

2)()( , berdasarkan jumlah tersebut dapat ditentukan A,B,

dan C.

Contoh

1. dx

xxxx

)1)(14(136

2

2

Karena integran fungsi rasional sejati maka

dx

xxxx

)1)(14(136

2

2

=

dxx

CBxxA

)1()14( 2

= dxxx

xCBxxA

)1)(14(

)14)(()1(2

2

= dxxx

CAxCBxBA

)1)(14(

)()4()4(2

2

Diperoleh

A+4B = 6, (B+4C) = -3, (A+C) = 1 atau A = 2, B = 1, dan C = -1 sehingga:

dx

xxxx

)1)(14(136

2

2

=

dxxx

x )1(1

)14(2

2

=

dx

xdx

xxdx

x 11

1)14(2

22

= Carctgxxx 1ln2114ln

42 2

2. dx

xxxxx

232

24

23

Integran merupakan fungsi rasional sejati, sehingga

dx

xxxxx

232

24

23

= dx

xxxxx

)2)(1(2

22

23

=

dx

xDCx

xBAx

21 22

= dx

xxxDCxxBAx

)2)(1()1)(()2)((

22

22

= dx

xxDBxCAxDBxCA

)2)(1()2()2()()(

22

23

Diperoleh

A+C = 1, B+D = 1, 2A+C= 1, 2B+D = 2 atau A=0, B=1, C=1, D=0 sehingga:

dx

xxxxx

232

24

23

=

dx

xx

x 211

22

=

dx

xxdx

x 211

22

= arctg x + Cx 1ln21 2

3. dxxxx

xx)1)(2)(3(

182

23

Jawab: Penyebut adalah kombinasi linear berbeda (x+3) dan (x-2) dengan

kuadrat (x )12 , sehingga

dxxxx

xx)1)(2)(3(

182

23

=

dxx

DCxx

Bx

A)1()2()3( 2

=

dxxxx

xxDCxxxBxxA)1)(2)(3(

)2)(3()1)(3()1)(2(2

22

=

dx

xxxDBAxCDBAxDCBAxCBA

)1)(2)(3()632()6()32()(

2

23

Maka diperoleh

A + B + C = 1, -2A+3B+C+D = -8, A+B+D-6C = 0, -2A+3B-6D = -1 atau

A = 2, B = -1, C = 0, D = -1

dxx

DCxx

Bx

A)1()2()3( 2 =

dxxxx )1(

1)2(

1)3(

22

= 2 ln(x+3) – ln(x-2) – arctan x + C

= ln(x+3) 2 - ln(x-2) – arctan x + C

= ln

)2()3( 2

xx arctan x + C

xx)1)(2)(3(

182

23

= ln

)2()3( 2

xx arctan x + C

Soal-soal

Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:

1. dxxx

xx

4

823

2

Jawab

dxxx

xx

4

823

2

= dx

xxxx

)4(82

2

2

=

dxx

CBxxA )

4( 2

= dxxx

xCBxxA

4

)()4(3

2

=

xxACxxBA

44)(

3

2

Didapat A+B = 2, C = 1, 4A = -8 atau A = -2, B = 4, dan C = 1

dxx

CBxxA )

4( 2 =

dxx

xdxx 4

1422

=

dxx

dxx

xdxx 4

14

4222

= ln 4ln2 22 xx + ½ arc tan Cx

2

2. dx

xxx)1(

42

3

Jawab:

dx

xxx)1(

42

3

= dxx

xx )1

5( 2

= dx

xxxdx

152

= ½ x2 - 5 dx

xx

12

= 21 x2 – 5.

21

dxx

x1

22

= ½ x2 - Cx 1ln25 2

= ½ x2 – ln (x2+1)5/2 + C

= ½ x2 – ln 52 )1( x + C

3. dx

xxxxx

1681652

35

23

4. dx

xxxxx

232

24

23

(fungsi rasional sejati)

Jawab

dx

xxxxx

232

24

23

= dx

xxxxx

)2)(1(2

22

23

=

21 22 xsrx

xqpx dx

= dx

xxxsrxxqpx

23)1)(()2)((

24

22

= dx

xxsqxrpxsqxrp

23)2()2()()(

24

23

Didapat

p + r = 1, q + s = 1, 2p + r = 1, dan 2q + s = 2

atau p = 0, q = 1, r = 1, s = 0

sehingga

21 22 xsrx

xqpx dx =

21

122 xxdxdx

x

= arc tan x + ½ ln (x )22 + C

= arc tan x + ln 22 x + C

5. dx

xxx

22

3

)1(1

Jawab

dx

xxx

22

3

)1(1 =

222 )1(1 xsrx

xqpx dx

= dx

xsrxxqpx

22

2

)1()()1)((

= dx

xsqxrpqxpx

22

23

)1()()(

Diperoleh

p = 1, q = 0, p+r = 1, dan q+s = -1

atau p = 1, q = 0, r = 0, dan s = -1

sehingga

dx

xxx

22

3

)1(1 =

dxx

dxx

x222 )1(

11

= ln Cx

xx

)1(2

1)1(1 2

222

6. dxxxx

xxx)32)(5(

15522

23

Jawab

dxxxx

xxx)32)(5(

15522

23

= dxxxDCx

xBAx

325 22

= dx

xxxxDCxxxBAx

)32)(5()5)(()32)((

22

22

Catatan : diteruskan sendiri

V.6 Integral Fungsi Rasional yang Memuat Sin x dan Cos x

Fungsi F(x) = )(,0)(,)()( xfxg

xgxf

dan g(x) mememuat fungsi

trigonometri dapat juga dikategorikan sebagai fungsi rasional, hanya saja tidak

dapat disebut sejati atau tidak sejati. Hal ini dikarenakan

f(x) = sin x dan f(x) = cos x tidak mempunyai derajat seperti halnya dengan

fungsi polinomial. Pengintegralan jenis ini menggunakan METODE

SUBSTITUSI.

Berikut ini diberikan beberapa contoh fungsi rasional yang pembilang dan

penyebutnya memuat f(x) = sin x atau g(x) = cos x.

1. F(x) = x

xcos

sin1

2. F(x) = x

xsin

cossin21

3. F(x) = x

xcos

2sin5

4. F(x) = xsin23

1

5. F(x) = xx cossin1

2

Sehingga dalam bentuk pengingtegralan fungsi rasional yang pembilang dan

penyebutnya memuat fungsi trigonometri adalah:

1. xxdx

cossin1

2. xdxcos2

3. xxdx

cossin1

4. xx

sincossin21 dx

5. xsin231

dx

Selesaian integral bentuk-bentuk di atas adalah menggunakan metode substitusi

x = 2 arc tan z sehingga dx = dzz21

2

.

Selanjutnya sin x dan coc x di substitusi ke bentuk variabel z.

Karena x = 2 arc tan z maka:

zx

2tan

Menurut rumus identitas fungsi trigonometri

1 + tan

22 x = sec

22 x

1 + z

2sec22 x

22

11

2cos

zx

Menurut rumus identitas fungsi trigonometri yang lain

sin 1cos22 xx

12

cos2

sin 22

xx , sehingga didapat

sin 22

111

2 zx

= 2

2

1 zz

Dengan rumus jumlah cosinus didapat:

cos 2x = cos x2 sin 2 x

2sin

2coscos 22 xxx

2

2

2 111cos

zz

zx

= 2

2

11

zz

Dengan rumus jumlah sinus didapat:

sin 2x = 2 sin x cos x

sin x = 2 sin

2x cos

2x

= 2 22

2

11

1 zzz

= 212

zz

Dengan demikian integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri

dapat diselesaikan dengan menggunakan substitusi

x = 2 arc tan z, sin x = 212

zz

, cos x = 2

2

11

zz

Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh di bawah ini.

Tentukan selesaian dari

1. xxdx

cossin1

Jawab

xxdx

cossin1 =

2

2

2

2

11

121

12

zz

zz

dzz

=

2

2

22

2

2

11

12

11

12

zz

zz

zz

zdz

= zdz22

2

= zdz

1

= ln z1 + C

= ln Cx

2tan1

2. xdxcos2

Jawab xdxcos2

=

2

2

2

112

12

zz

zdz

=

2

2

2

2

2

11

1)1(2

12

zz

zz

zdz

= 2312

zdz

=

22

313

2

z

dz

= 332 arc tan

3/1

z + C

= 3

2 arc tan 3 z + C

= 3

2 arc tan 3 (tan x/2) + C

3. xdx

sin53 =

Jawab

xdx

sin53 =

2

2

1253

12

zz

zdz

= zzdz

10332

2

= )3)(13(2

zzdz

=

dz

zB

zA

)3()13(

= dzzz

BAzBA

)3)(13(

)()3(

=

dz

zz )3(1

)13(3

= 3 ln Czz 3ln13

= 3 ln Cxx 3

2tanln1

2tan3

Soal-soal

Selidiki kebenaran hasil pengintegralan berikut ini!

1. xdxsin21

= 32

2tan

322

tanln

33

x

x

+ C

2. xdxsin2

= 3

12

tan2arctan

32

x

+ C

3. xdx

sin35 = arctan

21

4

32

tan5 x

+ C

4. xxdx

cossin1 = ln

2tan1

2tan

x

x

+ C

5. C

x

xdx

3

42

tan5arctan

32

sin45

6. Cxx

dx

2tan

33arctan

332

cos2

7. Cxx

dx

)

2tan5arctan(

552

23

8. Cx

xxx

xdx

coscos1ln

)cos1(cossin 2

2

9.

x

xxdxx tan1ln

tan1sec)tan2(2

22

Cx

3

1tan2arctan3

2

10. xdxtan = ln Cx sec

11. xcot dx = -ln Cx csc

DAFTAR PUSTAKA Bartle, G. Robert. & Sherbert, Donald R. 2000. Introduction to Real Analysis. Third

Edition. New York: John Wiley & Sons, Inc. Berkey, D. Dennis. 1988. Calculus. 2nd Edition. New York: Saunders College

Publishing. Chotim, M. 2005. Kalkulus 2. Semarang: Penerbitan FMIPA UNNES. Purcell, E.J. & Varberg, D. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitis. (Diterjemahkan

oleh I Nyoman, Bana Kartasasmita, dan Rawuh). Jilid 1. Jakarta: Penerbit Erlangga.