ii DAFTAR ISI DAFTAR ISI............................................................................................................ii

i

BAHAN AJAR

KALKULUS 2

Disusun Oleh: Drs. Moch. Chotim, MS.

Muhammad Kharis, S.Si, M.Sc

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2011

ii

DAFTAR ISI

DAFTAR ISI ............................................................................................................ ii BAB I. ANTI TURUNAN ...................................................................................... 1

I.1 Turunan ......................................................................................................... 1 I.2 Antiturunan ................................................................................................... 6 I.3 Evaluasi ....................................................................................................... 20

BAB II. INTEGRAL TENTU DAN PENGINTEGRALAN ................................... 21 II.1 Notasi Sigma ............................................................................................ 21 II.2 Induksi Matematika .................................................................................. 24 II.3 Jumlah Riemann ....................................................................................... 25 II.4 Integral Tertentu ....................................................................................... 29 II.5 Teorema-teorema Integral Tertentu .......................................................... 32 II.6 Pendiferensialan Integral Tertentu terhadap Batas Atasnya ....................... 38 II.7 Evaluasi ................................................................................................... 44

BAB III. PENGGUNAAN INTEGRAL .............................................................. 46 III.1 Luas Daerah Bidang Datar........................................................................ 46 III.2 Volume Benda Putar ................................................................................ 46

BAB IV. FUNGSI LOGARITMA, FUNGSI EKSPONEN, DAN FUNGSI HIPERBOLIK ........................................................................................................ 49

IV.1 FUNGSI LOGARITMA ........................................................................... 49 IV.2 Bilangan e ................................................................................................ 54 IV.3 Logaritma Asli Sebagai Anti Turunan ...................................................... 55 IV.4 Fungsi Eksponen Asli ............................................................................... 59 IV.5 Hampiran Nilai bilangan e ........................................................................ 65 IV.6 Fungsi Eksponen dan Logaritma Untuk Bilangan Pokok Yang Lain ......... 67

BAB V. TEKNIK INTEGRAL .............................................................................. 68 V.1 Teknik Substitusi ...................................................................................... 68 V.2 Integral Fungsi Trigonometri .................................................................... 73 V.3 Teknik Substitusi Fungsi Trigonometri ..................................................... 84 V.4 Integral Parsial ......................................................................................... 95 V.5 Integral Fungsi Rasional. .......................................................................... 99 V.6 Integral Fungsi Rasional yang Memuat Sin x dan Cos x ......................... 112

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 117

1

BAB I. ANTI TURUNAN

I.1 Turunan

Pembahasan tentang turunan tidak dapat dipisahkan dari pengertian tentang

fungsi, baik fungsi eksplisit maupun fungsi implisit. Fungsi eksplisit adalah fungsi

yang secara umum penulisannya dinyatakan dalam bentuk = ( ), sedangkan

fungsi implisit adalah fungsi yang secara umum penulisannya dinyatakan dalam

bentuk ( , ) = 0.

Perhatikan beberapa contoh fungsi di bawah ini.

1. = 2 − √2− 3

2. = 3 − 4 + 3

3. = √

4. + − 25 = 0

5. + − 2 = 0

6. − 2 + − 5 = 0

Pada contoh di atas, fungsi no 1, 2, dan 3 adalah fungsi eksplisit, sedangkan

contoh 4, 5, dan 6 adalah fungsi implisit. Semua fungsi yang ditulis dalam bentuk

eksplisit dapat diubah penulisannya dalam bentuk implisit, akan tetapi tidak semua

fungsi yang ditulis dalam bentuk implisit dapat diubah dalam bentuk eksplisit.

Perhatikan contoh 5 di atas. Selanjutnya dari fungsi-fungsi tersebut, dapat ditentukan

turunannya.

Tulis ( + )x = . Jelas ∆ = –

Karena 0x maka xt 

Sehingga definisi turunan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk lain

Definisi I-1

Turunan fungsi = ( ) adalah fungsi lain yang dinotasikan dengan ’( ) dan

didefinisikan oleh f’(x) = x

xfxxf x 

 

)()(lim 0

, asalkan limitnya ada.

2

’( ) = xt

xftf xt 

 

)()(lim , asalkan limitnya ada.

Notasi lain untuk turunan = ( ) dinyatakan dengan )(, xfD dx dy

x , dx xdf )( .

Jika fungsi yang diketahui dinyatakan dalam bentuk implisit, maka

turunannya dapat dilakukan dengan menggunakan kaidah differensial yaitu dengan

cara mendiferensialkan masing-masing variabel dalam fugsi tersebut. Berikut ini

diberikan beberapa contoh menentukan turunan fungsi eksplisit dan implisit.

Contoh I-1

Berikut cara mencari dx dy dari beberapa fungsi yang diberikan.

1. Dipunyai = x + .

Berdasarkan definisi di atas diperoleh

x

xfxxf dx dy

x  

 

)()(lim 0

= x

xxx x 

  0

lim

= x

xxx x 

  0

lim . xxx xxx

 

= 0

lim x }{

)()( xxxx

xxx  

=  xxxx x

x  

 0 lim

= xxxx 

1lim 0

= x2

1

2. Dipunyai y = )1(

3 x .

Berdasarkan definisi di atas diperoleh

x

xfxxf dx dy

x  

 

)()(lim 0

3

= x

xxx x 

 

 

1 3

)1( 3

lim 0

= )}1)(1{( )1(3)1(3lim

0 xxxx xxx

x  



= )1)(11(

3lim 0 xxx 

 

= 2)1( 3 x



Fungsi-fungsi yang mempunyai turunan sebagaimana dijelaskan pada contoh

di atas disebut fungsi yang differensiabel (dapat diturunkan).

Dengan cara yang sama, jika y = xn maka turunannya ditentukan oleh:

x xfxxf

dx dy

x  

 

)()(lim 0

= x

xxxLim nn

x  



)( 0

= x

xxxxnnnxxnnxnxx nnnnnn

x 

 

 

 



)(...)( !3

)2)(1()( !2

)1(

lim

33221

0

= x

xxxnnnxxnnxnx nnnn

x 

 

 

 



)(....)( !3

)2)(1()( !2

)1(

lim

33221

0

= ])(....)( !3

)2)(1()( !2

)1([lim 12321 0



 

 

  nnnn

x xxxnnnxxnnnx

= nx 1n

3. Dipunyai x 02522 y

Dengan mendiferensialkan masing-masing variabel, diperoleh:

d(x )2 + d(y )2 - d(25) = d(0)

022  ydyxdx

 x + y dx dy = 0

 y x

dx dy



4

4. Tentukan dx dy dari x2y + xy2 – 2 = 0.

Penyelesaian:

Jelas d(x 2y) + d(xy2 ) – d(2) = d(0)

 (x2dy + 2xydx) + (2xydy + y2dx) = 0

 (2xy + y2) dx + (2xy +x2) dy = 0

 dx dy = - 2

2

2 2

xxy yxy

 

Secara umum, misal u = u(x), v = v(x), dan w = w(x) adalah fungsi yang

masing-masing dapat diturunkan dan c sebarang bilangan real, maka dengan

menggunakan definisi turunan dapat ditentukan beberapa rumus umum turunan

fungsi sebagai berikut.

1. dx d (c) = 0

2. dx d (x) = 1

3. dx d (xn) = nxn1

4. dx d (un) = nun1

dx d (u)

5. dx d ( u + v) =

dx d (u) +

dx d (v)

6. dx d (u – v) =

dx d (u) 

dx d (v)

7. dx d ( u  v  w  ... ) =

dx d (u) 

dx d (v) 

dx d (w)  ...

8. dx d (cu) = c

dx d (u)

9. dx d (uv) = u

dx d (v) + v

dx d (u)

10. dx d (uvw) = uv

dx d (w) + uw

dx d (v) + vw

dx d (u)

5

11. dx d (