Identificarea sistemelor

5/24/2018 Identificarea sistemelor

1/149

Dan tefnoiu Ion Matei Petre Stoica

AAAssspppeeecccttteeeppprrraaaccctttiiiccceeennn

MMMooodddeeelllaaarrreeeaaaiiiIIIdddeeennntttiiifffiiicccaaarrreeeaaaSSSiiisssttteeemmmeeelllooorrr


2/149

Cuprins

Notaii i abrevieri VII

Prefa IX

Introducere 1

1. Caracterizri n timp i frecvenale proceselor stocastice 11

1.1. Analize de proces prin metode ne-parametrice 11A.

Analiza tranzitorie

11

B.Analiza n frecven 11C.Analiza bazatpe corelaie 13D.Analiza spectral 14

1.2. Aspecte practice n analiza proceselor stocastice 15A.Procese total neautocorelate zgomotul alb 15B.Zgomote colorate 17

1.3. Exerciii 181.4. Probleme de simulare 20

2. Identificarea modelelor ne-parametrice 25

2.1. Contextul general de lucru 252.2. Exerciii 262.3. Probleme de simulare 26

3. Identificare parametricprin Metoda Celor Mai Mici Ptrate 34

3.1. Contextul general de lucru 343.2. Exerciii 343.3. Probleme de simulare 35

4. Identificare parametricprin Metoda Variabilelor Instrumentale 39

4.1. Contextul general de lucru 39A.Metoda Variabilelor Instrumentale 39B.Criterii de alegere a structurii modelelor 40C.Criterii de validare a modelelor 44



3/149

Aspecte practice n Modelarea i Identificarea Sistemelor

II

5. Identificare parametricprin Metoda Minimizrii Erorii de Predicie 58

5.1. Contextul general de lucru 58A.Metoda Celor Mai Mici Ptrate Extins 58B.Metoda Minimizrii Erorii de Predicie 60


6. Identificare recursiv 67

6.1. Contextul general de lucru 67A.Algoritmi recursivi de identificare 67B.Rutine MATLABpentru identificare recursiv 75


7.Aplicaii de identificare recursiv 81

7.1. Contextul general de lucru 81A.Aproximarea modelelor complexe 81B.Identificarea parametrilor fizici ai unui proces 87


8. Modelarea i predicia seriilor de timp 104

8.1. Contextul general de lucru 104A.Estimarea modelului polinomial al tendinei 105B.Estimarea componentei sezoniere 107C.Estimarea componentei nedeterministe (aleatoare) 113D.Predicia seriei de timp 115


AnexeA.Despre biblioteca de rutine MATLAB

dedicate Identificrii Sistemelor 129

B.Lista de verificare a mini-simulatoarelor i rutinelor de MIS 134Referine bibliografice 137


4/149

Cuprins

III

Lista figurilor

1.Reprezentarea sistemica modelelor ARMAX. 32.Experimentul obinerii culorii albe din spectrul ROGVAIV. 163.Experimentul obinerii unei nuane de rozdin spectrul ROGVAIV. 16

4.Doumodele de procese stocastice echivalente. 205.Fereastra grafictipica rutinei IISSLLAABB__11AA. 216.Fereastra grafictipica rutinei IISSLLAABB__11BB. 217.Fereastra grafictipica rutinei NNOOIISSEE. 228.Exemplu de analiztranzitorie. 279.Exemplu de analizpe bazde corelaie. 2810.Fereastra spectrala lui Hamming. 3011.Exemplu de analizspectral. 3112.Exemplu de afiare a erorii de estimare cu MCMMP(rspuns n frecven). 36

1

3.Exemplu de afiare a erorii de estimare cu MCMMP(dispersie zgomot). 36

14.Criterii de alegere a structurii modelelor. 4115.Performanele unui model estimat cu MCMMP. 5516.Reprezentarea poli-zeroruri a unui model estimat cu MCMMP. 5517.Dispersia estimata zgomotului. Criteriul aplatizrii i Testul F. 5618.Potrivirea cu datele de identificare. 5619.Potrivirea cu datele de validare. 5720.Criteriul Akaike-Rissanen. 5721.Performanele unui model estimat cu MMEP. 6622.Reprezentarea poli-zeroruri a unui model estimat cu MMEP. 6623.Algoritmul recursiv de bazn IS. 6824.Algoritmul recursiv cu fereastrdreptunghiular. 7025.Algoritmul recursiv cu fereastrexponenial. 72


5/149


IV

26.Algoritmi recursivi de tip gradient. 7327.Algoritmul recursiv cu filtrare Kalman. 7428.Performanele MCMMP-R. 7929.Performanele MVI-R. 7930.Performanele MMEP-R. 8031.Performanele MRLP-R. 8032.Caracteristicile n frecvenale filtrelor Butterworthde tip trece-jos. 83

33.Caracteristicile n frecvenale filtrelor Butterworthde tip trece-band. 83

34.O estimare grosiera spectrului procesului furnizor de date. 10135.Caracteristicile filtrului Butterworth ales. 10136.Performanele modelului ARMAX pe toatlrgimea de band. 10237.Performanele modelului ARMAXpe lrgimea de banda filtrului. 102

38.Date de intrare-ieire furnizate de un motor de curent continuu. 10339.Ieirea msurati cea simulatale motorului de curent continuu. 103

40.Urmrirea parametrilor fizici ai motorului de curent continuu. 10341.Determinarea perioadei optimecu Metoda Wittacker-Robinson. 109

42.Determinarea perioadei optimecu Metoda periodogramei Schuster. 112

43.Algoritmul Levinson-Durbin. 11444.Rata lunara numrului de omeri din SUA. 12145.Circulaia monedei belgiene msuratlunar, timp de 10 ani. 12146.Media lunara numrului de pete solare observate. 12247.Distana lunarparcursa la U.K. Airlines pe cursele interne. 12248.Rata lunara omajului n Marea Britanie. 12349.Rata lunara omajului n Frana. 123


6/149

Cuprins

V

50.Rata lunara omajului n Canada. 12451.Veniturile lunare din impozitele pe telefoane n SUA. 12452.Media lunara timpului mediu de lucru sptmnal n SUA. 12553.Numrul lunar al bolnavilor operai de amigdalitla Spitalul 23 August. 125

54.Intensitatea contiinei colective pe Terra msuratlunar. 12655.Intensitatea radio cosmicmsuratla radio-telescopuldin Indianapolis. 126

56.

Cursul de schimb USD-LEI (eantionare neuniform). 12757.Cursul de schimb EURO-LEI (eantionare neuniform). 12758.Cursul de schimb USD-EURO (eantionare neuniform). 12859.Fereastra grafictipica interfeei bibliotecii de IS. 131


7/149


VI

Lista tabelelor

1.Intervale i nivele de ncredere tipicepentru validarea modelelor. 45

2.Serii de timp disponibile pe Discul Compact. 120


8/149

VII

Notaii matematice specifice

F Operatorul Fourier, definit prin:

==

Zn

njdef

jdef

j enxexeX ][))(()( F , R ,

pentru orice secvendiscretde semnal, absolut sumabil, x .

1F Operatorul Fourier invers, exprimat prin:

+

+==

deeXnXnx njjdef

)(2

1])[(][ 1F , Zn ,

unde este o secvendiscretde semnal, absolut sumabil.

Z Operatorul Z (Transformata Z), definit() prin:

==

Zn

ndefdef

znxzxzX ][))(()( Z ,x

z C ,

pentru orice secven discret de semnal . Suma din definiie esteconvergentntr-o coroancircularcentratn originea planului complex,

xC , care depinde de semnalul .

dB][x valoarea n decibeli a numrului 0>x , definitprin:

xxdef

lg10][ dB = (n Teoria Sistemelor);

xxdef

lg20][ dB = (n Prelucrarea Semnalelor).

Deoarece310 1010242 = , n practic se consider c dB3]2[ dB = (n

Teoria Sistemelor) sau dB6]2[ dB = (n Prelucrarea Semnalelor).

x partea ntreaga numrului real Rx , adicntregul cel mai mare inferiorlui x .


9/149

VIII

Abrevieri

[Ref] Se citeazreferina cu eticheta [Ref]din lista bibliografic.AR Auto-Regressive model(model auto-regresiv)ARMA Auto-Regressive Moving Average model(model auto-regresiv, de medie

alunectoare)ARMAX Auto-Regressive Moving Average with eXogenous control model(model

auto-regresiv, de medie alunectoare, cu control extern)ARX Auto-Regressive with eXogenous control model(model auto-regresiv cu

control extern)cmmmc cel mai mic multiplu comunBJ model Box-Jenkins

dB decibel, decibeliFIR Finite Impulse Response(sistem cu rspuns finit la impuls)FPE Final Prediction Error(eroare finalde predicie)GUI Graphical User Interface(interfagraficconvivialcu utilizatorul)IA InteligenArtificialIIR Infinite Impulse Response(sistem cu rspuns infinit la impuls)IS Identificarea SistemelorLTI Linear Time Invariant Systems (sisteme liniare invariante la deplasri

temporale)MA Moving Average model(model de medie alunectoare)MCMMP Metoda Celor Mai Mici PtrateMCMMP-R Metoda Celor Mai Mici Ptrate n variantrecursivMCMMPE Metoda Celor Mai Mici Ptrate ExtinsMGN Metoda Gauss-NewtonMIMO Multiple Input multiple Outputmodel (model cu intrri i ieiri multiple)MIS Modelarea i Identificarea SistemelorMMEP Metoda Minimizrii Erorii de PredicieMMEP-R Metoda Minimizrii Erorii de Predicie n variantrecursivMRPL-R Metoda de Regresie Pseudo-Liniarn variantrecursivMVI Metoda Variabilelor InstrumentaleMVI-R Metoda Variabilelor Instrumentale n variantrecursivOE Output Error model(model de tip eroare de ieire)PE Programare Evoluionist/EvolutivPS Prelucrarea SemnalelorSISO Single Input Single Outputmodel (model cu o intrare i o ieire)

SNR Signal-to-Noise Ratio(raportul semnal-zgomot)SPA Semnal Pseudo-AleatorSPAB Semnal Pseudo-Aleator BinarTF Transformata FourierTFD Transformata Fourier DiscretTLC Teorema LimitCentralTS Teoria SistemelorTZ Transformata Z


10/149

IX

AAAssspppeeecccttteeeppprrraaaccctttiiiccceeennn

MMMooodddeeelllaaarrreeeaaaiiiIIIdddeeennntttiiifffiiicccaaarrreeeaaaSSSiiisssttteeemmmeeelllooorrr

Dan tefnoiu, Ion Matei, Petre Stoica

Universitatea Politehnica din BucuretiFacultatea de Automatici Calculatoare

Grupul de Identificare a Sistemelor i Prelucrare de Semnal

Splaiul Independenei nr. 313, Sector 6

77206 Bucureti, ROMNIATel. (+ 40 21) 402 9318; Fax. (+ 40 21) 4119163

E-mails: [email protected],[email protected],[email protected]

Prefa

Cartea de fa prezint o serie de aspecte practice uzuale destinate n special

completrii cursurilor introductive de Modelarea Sistemelor, Identificare

(Experimental) a Sistemelor, Prelucrare (Numeric) a Semnalelor i/sau de

Comand (Numeric) a Sistemelor, de la facultile tehnice de profil electric. Fiind

cursuri tipice de matematicaplicatn Automatici/sau Electronic, ele beneficiaz

de o argumentaie riguroas, dar cu multe aspecte teoretice a cror ntelegere poate fi

uuratprintr-o colecie de exemple sau exerciii de gndire i probleme de simulare

pe un mijloc automat de calcul. Printre altele, cartea se dorete a fi o alternativ a

ndrumarelor de laborator [StD9603] (destinat modelrii i prediciei seriilor de timp),

[StD9605](o culegere de probleme rezolvate din domeniul Identificrii Sistemelor) i

[StD9602b](destinat implementrii algoritmilor de tip FFT Fast Fourier Transform

din cadrul Prelucrrii Numerice a Semnalelor).

Universitatea din Uppsala, Departamentul de Sisteme i Control Automat, P.O. Box 27, 75103 Uppsala,SUEDIA.
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]


11/149

X

Cartea debuteazcu o succintprivire de ansamblu asupra domeniilor Modelrii i

Identificrii Sistemelor. Interaciunea cu domeniul Prelucrrii Semnalelor este de

asemenea amintit. Capitolele sunt apoi descrise astfel nct cititorul s fie mai nti

familiarizat cu un suport teoretic minimal necesar nelegerii aplicaiilor abordate. O

serie de exerciii pregtitoare graduale au rolul de a obinui cititorul cu terminologia i

notaiile specifice contextului de lucru n care se desfoaraplicaiile. Exerciiile de

gndire sau problemele de simulare pe calculator sunt formulate n finalul fiecrui

capitol. O colecie de programe scrise n MATLAB(versiunea 6.*) sunt nregistrate pe

Discul Compact ataat crii. Unele dintre aceste programe au fost concepute la

Universitatea din Uppsala (Departamentul de Control Automat) i Institutul Tehnologic

Lund (ambele din Suedia), fiind disponibile gratuit i pe internet la adresa

http://www.syscon.uu.se/Courses/. Ele au fost comentate n limba

englez i uor modificate, pentru mai uoara lor nelegere de ctre cititori. O

succintexplicaie n limba romneste de asemenea furnizat. Alte programe (mai

multe) au fost n ntregime proiectate de ctre grupul de cercetare de Identificare a

Sistemelor i Prelucrare de Semnal din cadrul Facultii de Automatici Calculatoare

a Universitii Politehnica din Bucureti. Cu toate acestea, cititorii sunt invitai s

conceapi propriile lor programe n cursul abordrii aplicaiilor descrise.

Sperm ca prin aceastcarte svenim n ntmpinarea tuturor celor care doresc s

studieze Modelarea i Identificarea Sistemelor dintr-o perspectivpractic.

Autorii.

Bucureti, Mai 2004

MATLABiSIMULINKsunt mrci nregistrate ale firmei MathWorks Inc. din SUA.(http://www.mathworks.com/)
http://www.syscon.uu.se/Courses/http://www.syscon.uu.se/Courses/http://www.syscon.uu.se/Courses/


12/149

1

IInnttrroodduucceerree

Identificarea Sistemelor (IS) este o disciplinal crei obiect de studiu l constituiemodelarea proceselor/sistemelor dinamice folosind date experimentale achiziionate ncursul exploatrii acestora. Modelele matematice cu care se opereaz n cadrul ISsunt n principal bazate pe conceptele de ecuaie diferenial (pentru sistemele cuevoluie n timp continuu) i ecuaie cu diferene(pentru sistemele cu evoluie n timpdiscret). Cu toate acestea, modele ce apeleaz la alte concepte sunt de asemeneautilizate, dar mai mult n scopul unor descrieri calitative ale comportamentuluiprocesului ce trebuie identificat.

Domeniul IS a fost conturat n special odat cu publicaiile lui K.J. strm iP. Eykhoff din anii 70-80 [AsEy71], [EyP74], [EyP81]. n paralel, pot fi menionate

contribuii importante la dezvoltarea domeniului i conturarea unor direcii de cercetareprin publicaiile lui R.L. Kashyap i A.R. Rao [KaRa76], R.K. Mehra i D.G. Lainiois[MeLa76], G.C. Goodwin i R.L. Payne [GoPa77] sau T. Sderstrm [SoT84].Aplicaiile tehnicilor de identificare i estimare parametric(care presupun i modelarematematic) nu au ntrziat s apar. Ele sunt descrise ntr-o serie de simpozioaneIFAC dedicate IS i tehnicilor de estimare parametric, cum ar fi cele de la: Praga(1967, 1970), Haga (1973), Tbilisi (1976), Darmstadt (1979), Washington DC (1982).Numeroase lucrri de sintez i priviri de ansamblu au fost publicate n special nrevistele Automaticaeditate de comitetul IFAC [IFAC80], [IFAC82]. Dar una dintre celemai complete caracterizri ale domeniului a fost publicat n [SoSt89] probabil ceamai citat referindin ultimul deceniu. Au urmat [LjGl94]i [LjL99] dou referineorientate ctre algoritmi de identificare.

n Romnia, perioada cea mai prolificn materie de publicaii din domeniul IS (anii

70-80) nu a rmas fr ecou. Astfel, se poate spune c coala romneasc deIdentificri a fost iniiatn special prin lucrrile lui C. Penescu, M. Tertico i P. Stoica[PITC71], [TeSt80], [TeSt85], [TSP87]. O viziune extrem de practic legatde IS (ncontextul controlului automat al sistemelor) a fost publicat de ctre I.D. Landau n[LaID93](n limba francez), carte care a fost tradusi n limba romn[LaID97].

Indiscutabil, acest scurt istoric nu poate cuprinde panoplia vast a contribuiilorcare au condus la diversificarea si mbogirea domeniului IS. Astzi, IS i continudezvoltarea n special prin deschiderea fa de aplicaiile necesitnd abordri inter-disciplinare. Astfel, algoritmi rapizi i tehnici neconvenionale de identificare au nceputs apar nc de la nceputul anilor 90, prin interaciunea cu alte domenii decercetare, n special cu Prelucrarea Semnalelor (PS), Inteligena Artificial (IA) iProgramarea Evoluionist(PE).

Importana studierii domeniului IS rezid n nsui conceptul de modelarematematic. Numeroase aplicaii de Automatic i/sau de tiina Calculatoarelorapeleaz la modele matematice. n multe cazuri, procesele studiate sunt att decomplexe nct nu este posibilo caracterizare a lor prin descrierea fenomenelor fizicede la baza comportamentului lor, adicfolosind principiile i legile fizicii exprimate prinprin ecuaii de bilan. De multe ori, chiar ecuaiile obinute n acest fel conin un numarde parametri necunoscui. n asemenea situaii, utilizatorul este obligat de mprejurrisapeleze la modele i tehnici de identificare.

Cadrul de lucru specific din IS este structurat n jurul a 3 concepte fundamentale:modelul matematic, semnalul de stimuli metoda de identificare.


13/149


2

n termeni generali, identificarea unui proces/sistem dinamic necesitparcurgereaurmtoarelor etape:

stimularea procesului cu un anumit semnal (daceste posibil);achiziionarea pe un orizont finit de timp a datelor de intrare-ieire astfel

obinute i prelucrarea primara lor (atenuare grosierde zgomot);alegerea unui model matematic adecvat (care s concorde cu datele

achiziionate), dintr-o classpecificde modele;determinarea modelului selectat folosind o metod de identificare

corespunztoare;validarea modelului matematic obinut prin intermediul unei metode de

validare.

Succesul unui experiment de identificareconstnd n etapele de mai sus depinde n

mare msur de maniera n care au fost precizate cele 3 concepte fundamentaleamintite.

Modelele matematice pot fi ne-parametrice sau parametrice. Modelele ne-parametrice sunt utilizate n special pentru a obine descrieri apriorice, mai mult deordin calitativ, ale procesului ce trebuie identificat. n acest caz, datele achizi ionatesunt privite ca date statistice referitoare la evoluia procesului. Metode statistice relativsimple (n general bazate pe tehnica (auto-)corelaiei) sunt aplicate datelor pentru aobine modele att n domeniul timpului ct i al frecvenei. Aceste modele suntdescrise prin reprezentri grafice sau tabele, dar fr a apela la conceptul deparametru. Ele folosesc la analizarea proceselor din diferite perspective. In principiu, 4tipuri de analize pot fi efectuate: analiza n frecven, analiza regimului tranzitoriu,analiza de auto-corelaie i analiza spectral. Primele 2 capitole au ca obiectivprincipal ilustrarea modului n care modelele ne-parametrice pot caracteriza evoluia

unui proces i pot fi identificate.Modelele parametrice cele mai utilizate n aplicaii fac parte din clasa ARMAX

(Auto-Regressive Moving Average with eXogenous control). Reamintim c ecuaiagenerala clasei ARMAX[na,nb,nc] (o ecuaie cu diferene) este urmtoarea:

434214342143421MA

neqC

X

nuqB

AR

nyqA ][)(][)(][)( 111 += , Nn , (1)

unde, prin convenie, parantezele drepte indic timpul discret sau normalizat (pentrutimp continuu, se utilizeazparantezele rotunde). Tot n ecuaia (1), au fost utilizateurmtoarele notaii (consacrate):

u este semnalul de intrare sau de stimul.y este semnalul de ieire sau rspunsul sistemului.e este semnalul stocastic ideal numit zgomot alb. Din punct de vedere statistic,

zgomotul alb este prototipul semnalelor total neautocorelate, adic:

][]}[][{0

2 mnmeneE = , Z mn, , (2)

unde E reprezint operatorul de mediere statistic, 0 este impulsul unitar

centrat n origine (simbolul lui Kronecker), iar 2 este variana zgomotului,necunoscut.


14/149

Introducere

3

1q este operatorul de ntrziere cu un pas (de eantionare), definit prin:( ) ]1[][1 = nfnfq , Zn pentru orice ir de date f (scalar sau vectorial).

A , B , C sunt polinoame de grade finite:

+++=

++=

+++=

nc

nc

nb

nb

na

na

qcqcqC

qbqbqB

qaqaqA

L

L

L

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1)(

)(

1)(

, (3)

unde att coeficieniinaii

a,1

}{

,nbii

b,1

}{

,ncii

c,1

}{

(adic parametrii modelului),

ct i gradele lor na , nb , nc (adic indicii structurali ai modelului) suntnecunoscui i trebuie determinai.

Modelul general al clasei ARMAX aratde fapt csemnalul de ieire se obine carezultat al superpoziiei dintre un semnal utilobinut prin filtrarea semnalului de intrarei un semnal parazit obinut prin filtrarea zgomotului alb, aa cum este ilustrat nFigura 1. Particularitatea principala clasei de modele o constituie faptul cambelefiltre (notate prin H i G n figur) au aceiai poli (dai de rdcinile polinomului A ).Cu alte cuvinte, filtrele sunt simultan stabile sau instabile. n acest context de lucru alIS, se urmrete determinarea modelelor stabile (zerourile lui A trebuie s fieamplasate n interiorul discului unitar din planul complex).

Figura 1. Reprezentarea sistemica modelelor ARMAX.

Cazurile particulare cele mai utilizate n aplicaii sunt modelele: ARX[na,nb] (pentru

1C ), AR[na] (pentru 0B i 1C ), MA[nc] (pentru 1A i 0B ) iARMA[na,nc] (pentru 0B ). Primul model este tipic aplicaiilor de control numericoptimal, n timp ce ultimele 3 sunt utilizate n special pentru modelarea i prediciaseriilor de timp (mai precis, a componentei lor stocastice). O serie de timp (sau unproces stocastic n timp discret) este vzutca o realizare a unui proces stimulat dezgomotul alb.

n acest context, problema principal a IS este determinarea parametrilor, aindicilor structurali i a varianei zgomotului alb, folosind date achiziionate pe unorizont finit de msur:

Nnny

,1]}[{

i, daceste posibil,

Nnnu

,1]}[{

.

H B/A

G C/A

+

v

u y


15/149


4

n vederea rezolvrii acestei probleme, ecuaia (1) a modelelor ARMAX esteexprimatn mod echivalent n forma de regresie liniar:

][][][ nenny T

+= , Nn , (4)

unde nR este vectorul parametrilor necunoscui, iar nR este vectorulregresorilor (format din date msurate i, eventual, estimate). Prin convenie, vectoriisunt de tip coloan, ca i n cazul altor discipline (Teoria Sistemelor (TS) sau PS).

Dimensiunea i configuraia celor 2 vectori din ecuaia (4) depind de modelulselectat. n general, nlimea vectorilor este ncnbnan ++= , iar configuraiainclude 3 componente (cte una pentru fiecare polinom):

[ ]

[ ]

=

=

Nncccbbbaaa

ncnenenenbnunununanynynyn

ncnbna

defT

defT

LLL

LLL

212121

][]2[]1[......][]2[]1[][]2[]1[][

(5)

n mod evident, deoarece zgomotul e nu poate fi msurat separat, ultima componentdin poate fi cel mult estimat printr-un procedeu recursiv, care afecteaz, n

general, precizia modelului.

Dou dintre modelele de interes (ARX i AR), conduc totui la eliminareacomponentei datorate zgomotului alb n ecuaiile (5), care devin:

[ ][ ]

=

=

Nnbbbaaa

nbnunununanynynyn

nbna

defT

defT

LLLL

2121

][]2[]1[][]2[]1[][:ARX

(6)

[ ]

[ ]

=

=

Nnaaa

nanynynyn

na

defT

defT

L

L

21

][]2[]1[][:AR

(7)

n definiiile (6) i (7), se remarc exprimarea vectorilor regresorilor folosind numaidate msurate (care totui sunt corupte i de zgomotul alb filtrat).

Comparativ cu modelele matematice obinute prin scrierea ecuaiilor de bilan

rezultate din exprimarea legilor fizicii, modelele de identificare prezint urmtoarelecaracteristici:

au o generalitate i validitate limitatla anumite clase de procese, semnale destimul i chiar numai la anumite puncte de funcionare ale aceluiai proces;

au o interpretare fizic dificil de dat, deoarece, n majoritatea cazurilor,parametrii nu au semnificaii fizice clare; parametrii sunt mai degrabutilizai cainstrumente menite suureze descrierea funcionrii pocesului;determinarea lor este adesea realizabil prin metode algoritmice, ceea ce le

confereficieni simplitate.


16/149

Introducere

5

Alegerea semnalelor de stimulse bazeazpe un principiu general: dacprocesuleste integrat ntr-un complex sistemic mai larg adicfuncioneazn buclnchis,atunci semnalul de stimul este cel utilizat n cursul exploatrii; dac procesul poatefunciona i n bucl deschis, atunci un model matematic mai precis se obine prinstimularea acestuia cu un semnal persistent. Conceptul de persisteneste crucial nIS. Prin definiie, un semnal u este persistent de ordin 1 dacmatricea de auto-covarian de ordin M , notat cu )(uR

M, este strict pozitiv definit (adic

inversabil):

0

]0[]1[]2[]1[

]1[]0[]1[]2[

]2[]1[]0[]1[

]1[]2[]1[]0[

)( >

=

uuuu

uuuu

uuuu

uuuu

def

M

rrrMr

rrrMr

Mrrrr

Mrrrr

uR

L

L

MOOOM

L

L

. (8)

Elementul generic al matricii Toeplitz simetrice )(uRM

, definite n (8), este dat de

funcia de auto-covarianur , la rndul ei definit prin: ]}[][{][ knunuEkr

def

u = ,

Zk . Datorit ipotezei ergodice, funcia de auto-covarian poate fi aproximat

folosind valorile semnalului msurate pe un orizont finit de timp,Nn

nu,1

]}[{

. Mai

precis:

+=

N

knu knunukNkr 1 ][][

1

][ , 4/,1 Nk

. (9)

Semnificaia conceptului de persistenpoate fi explicatatt n domeniul timpului,ct i n cel al frecvenei.

n domeniul timpului, cu un semnal persistent de ordin se pot determinaprimele M valori ale funciei pondere pentru unui sistem dinamic liniar, ca modelasociat procesului de identificat. Dac h este funcia pondere n cauzi MR estevectorul format din primele valori ale lui h , atunci se obine rezolvnd ecuaiaWiener-Hopf:

),()( uyruRMM

= ),()(1 uyruRMM

= . (10)

n ecuaiile (10), ),( uyrM este vectorul primelor valori ale corelaiei ncruciatedintre ieirea i intrarea procesului. Corelaia ncruciat,

uyr

,, se definete ca i auto-

corelaia, adic: ]}[][{][,

knunyEkrdef

uy = , Zk . Datorit aceleiai ipoteze

ergodice, o relaie aproximativ similar cu (9) poate fi utilizat i n evaluareacorelaiei ncruciate ( ][nu trebuie nlocuit cu ][ny ). Cu ct semnalul de intrare este

mai persistent, cu att modelul sistemului liniar asociat procesului este mai precis,deoarece cu att mai multe valori ale funciei pondere pot fi estimate.


17/149


6

n domeniul frecvenei, definiia echivalent a persistenei este urmtoarea: unsemnal u este persistent de ordin 1 daci numai dacdensitatea sa spectralde putere, notat tradiional prin

u , posed cel puin M linii spectrale nenule.

Reamintim cdensitatea spectralde puterea lui u se obine aplicnd TransfomataFourier (TF) asupra funciei de auto-covarian

ur :

==

Zn

u

defj

uu kjkrer )exp(][))(()( F , R . (11)

Funcia de auto-covarian se poate recupera din densitatea spectral folosindinversabilitatea TF i 2 -periodicitatea sa:

+

+==

dkjkkr uuu )exp()(21])[(][ 1F , Zk . (12)

n definia (11) i formula dual (de inversiune) (12), j este unitatea imaginar(complex), iar se numete pulsaie (armonic) normalizat. O linie spectral dearmonic are amplitudinea )(

u. Se poate demonstra c 0)(

u, ceea ce

justific termenul de densitate spectral de putere. Aadar, un semnal u estepersistent de ordin 1M daci numai dacexistcel puin M pulsaii

1 ,, 1M

astfel nct 0)( >iu

, Mi ,1 . n acest fel, procesul de identificat este stimulat pe

cel puin armonice, pe care este forat s le amplifice sau s le atenueze, nfuncie de comportamentul su intrinsec. Cu ct procesul este stimulat sreacioneze

la mai multe armonice, cu att semnalul de ieire va codifica mai mult informaiedespre comportamentul su.

Semnalul de intrare ideal este zgomotul alb, care are persisten infinit. Dinpcate, acest semnal nu poate fi generat pe cale artificial. Mai precis, semnaleleartefacte(adicproduse artificial) nu pot avea ordin infinit de persisten . Existnssemnale artefacte cu ordin finit de persisten care aproximeaz zgomotul alb, nsensul auto-covarianei. Acestea se numesc Semnale Pseudo-Aleatoare Binare(SPAB) sau, mai simplu, Semnale Pseudo-Aleatoare (SPA). Ele sunt periodice,deoarece algoritmii folosii pentru generarea lor utilizeaz precizia finit dereprezentare a valorilor numerice pe un mijloc automat de calcul. Interesant ns,ordinul lor de persisten este proporional cu perioada. Mai mult, pe msur ceperioada crete, funcia de auto-covarianse apropie de cea a zgomotului alb, adic

valorile semnalelor pseudo-aleatoare devin tot mai necorelate.Utilizarea SPAB sau SPA n IS este foarte frecvent ori de cte ori procesul deidentificat poate fi stimulat n bucl deschis. Modelele obinute folosind acestesemnale au precizie ridicati sunt foarte versatile, putnd fi utilizate pentru o gamlargde puncte de funcionare, semnale de stimul i/sau configuraii de sistem.

n fine, metodele de identificare au drept obiectiv determinarea parametrilornecunoscui ai unui model, propunnd fie relaii directe de calcul, fie proceduri iterative.

n orice caz, necunoaterea nu numai a valorilor parametrilor, ci i a numrului loratrage dupsine adoptarea unei strategii iterative n care complexitatea structuralamodelului este crescut treptat, pn la nivelul la care precizia sa nu mai este


18/149

Introducere

7

ameliorat semnificativ. Mai precis, se pleac de la modelul cel mai simplu, adicparsimonios. Pentru fiecare model de structurdat, se determinparametrii si ise evalueazeroarea fade proces (cu ajutorul unui criteriu predefinit). Daceroareascade n mod semnificativ, se reia procedeul iterativ, adic se crete numrul deparametri, se re-evalueazacetia i eroarea fade proces. Altfel, procedeul iterativeste stopat i se reine ultimul model determinat. Acest model trebuie sfie validat nfinal, folosind teste specifice. De exemplu, un model este valid dac eroarea dintredatele msurate i cele simulate are caracteristicile unui zgomot alb Gaussian.

Determinarea parametrilor necunoscui ai unui model matematic se poate realiza nprincipal folosind metode extrase din Teoria Optimizrilor i/sau din Teoria Estimaiei(Statistice). O privire rapiddar obiectivaruncatasupra acestor metode ar pune nevidenavantajele i dezavantajele lor. Astfel, metodele de optimizare oferalgoritmiiterativi (implementabili) de estimare a parametrilor, dar estimaiile nu pot fi

caracterizate din punct de vedere statistic. Ele asigurconvergenactre punctul deoptim, dar nu garanteazconsistenaestimaiei din punct de vedere statistic. (n acestcontext, o estimaie a unui parametru este consistent dac tinde la valoareaadevrata acelui parametru, pe msurce numrul de date achiziionate din procestinde la infinit, oricare ar fi setul de date utilizat.) Din cealalt perspectiv, a TeorieiEstimaiei, consistena parametrilor poate fi testat, ns metodele efective deevaluare sufer n general de ne-implementabilitate, reprezentnd mai degrab unsuport teoretic pentru alte metode. n plus, aceste metode se bazeaz pe ipotezeadesea restrictive, n scopul asigurrii consistenei. Cele douteorii se intersecteaz,din fericire. Metodele de identificare cele mai interesante i utile sunt cele rezultate dincombinaia optimizrii cu estimarea. Ele sunt implementabile (eventual iterative) ipermit caracterizarea statistic a parametrilor estimai. Prototipul l constiuie MetodaCelor Mai Mici Ptrate(MCMMP), care va fi succint prezentatn continuare.

Prin multplicarea la stnga cu vectorul ][n a ecuaiei de regresie liniar (4) i

aplicarea operatorului de mediere statisticE , se obine:

]}[][{]}[][{]}[][{ nenEnnEnynE T += , Nn . (13)

Ipoteza ergodic permite eliminarea timpului normalizat (discret) n ecuaia (13).Mai mult, procesul furnizor de date are o evoluie observabil, iar matricea ptrat

}{ TE este inversabil. Rezultcvalorile adevrate ale parametrilor sunt:

( ) ( )]}[][{]}[][{]}[][{ 1 nenEnynEnnE T = , (14)

ele nedepinznd de timpul normalizat Nn . S presupunem acum c vectorul

regresorilor nu este corelat cu valoarea curent a zgomotului alb, adic0]}[][{ =nenE . Foarte probabil, aceast ipotez se verific de exemplu n cazul

modelului ARX, deoarece semnalul de intrare este produs artificial de ctre utilizatorsau furnizat de ctre un alt (sub-)sistem, n timp ce semnalul de ieire apare ntrziatcu un pas (aa cum arat ecuaiile (6)). Astfel, termenul care depinde direct dezgomotul alb n (14)poate fi eliminat, ecuaia parametrilor adevrai simplificndu-se:

Temenul provine din limba englez, unde parsimoniousnseamnsrac sau zgrcit. n contextul IS, elnseamnsrac/zgrcit n informaie sau complexitate.


19/149


8

( ) ]}[][{]}[][{ 1 nynEnnE T = . (15)

Odat ce valorile adevrate ale parametrilor au fost exprimate (ca n (14) sau,simplificat, n (15)), valoarea adevrat a varianei zgomotului alb, 2)( , poate fi

determinatn 2 pai:

1.Se evalueazmedia zgomotului alb folosind ecuaia de regresie liniar(4):

= ]}[{]}[{]}[{ nEnyEneE T . (16)

2.Se aplicdefiniia varianei, folosind nco datecuaia (4):( ){ }22 ]}[{][][)( neEnnyE T = . (17)

Cu excepia informaiei structurale, ecuaiile (14)sau (15) (parametri) i (16)-(17)(variana zgomotului alb) conduc la determinarea exact a modelului asociatprocesului de identificat atunci cnd s-ar dispune de un numr infinit de realizri sau,cel puin, de date msurate (cerut de operatorul de mediere statistic).

Cum achiziionarea unui set infinit de date msurate nu este posibil, mediastatistic trebuie aproximatfolosind nco dat ipoteza ergodic. n general, mediastatistic a unui semnal discret f poate fi aproximat cu ajutorul mediei aritmetice

evaluate pe un orizont finit (dar suficient de larg) de msur:

=

=

N

n

def

nfN

fnfE1

][1

]}[{ . (18)

Consecina directa ecuaiei (18)o constituie relaiile aproximative de estimare aparametrilor necunoscui, derivate din (15), (16)i (17):

44 344 21444 3444 21Nr

nynN

R

nnN

N

n

N

N

n

Tdef

N

=

=

= 1

1

1

1

][][1

][][1 . (19)

( )=

=

N

nN

Tdef

nnyN

e1

][][1

; ( )=

=

N

nN

Tdef

N ennyN 1

22 ][][1 . (20)

Se poate demonstra c estimaia (19) minimizeaz funcia cost definit prinnsumarea tuturor p

tratelor erorilor dintre datele de ie

ire m

surate din proces

i cele

simulate cu ajutorul modelului estimat, centrate pe mediile lor. Mai precis:

)(minarg

NN V

S

= , unde: ( )=

=

N

n

def

N nny

1

2][~][~)( V , S , (21)

unde notaiile y~ i ~ indic centrarea datelor pe medie (adic yyy ~ i

~ ), n timp ce S indic domeniul de stabilitate al modelului matematic.

Forma funciei costN

V a condus la conceptul de identificare/estimare folosind

MCMMP. De notat c funcia cost constituie de asemenea o msur a preciziei


20/149

Introducere

9

modelului de identificare propus i, n consecin, poate fi folositpentru a determinaindicii structurali ai acestuia dupa strategia iterativamintit.

Se poate arta cestimaia oferitde MCMMP este consistent(adicN

i 2N

converg la valorile adevrate , respectiv 2)( , pentru N ) dacmatricea NReste perfect determinist i inversabil, iar e este efectiv un zgomot alb. Acestecondiii relativ restrictive pot fi relaxate astfel nct consistena sse conserve.

MCMMP constituie un fel de metod-mam din care au luat natere numeroasealte metode de identificare prin adaptri inspirate de tipul de model utilizat (MetodaVariabilelor Instrumentale pentru modele ARX, Metoda Minimizrii Erorii de Prediciepentru modele ARMAX, Metoda Prediciei Optimale pentru modele AR, etc.). Cu toateacestea, domeniul IS nu se reduce doar la familia de metode generate de MCMMP.Exist, de exemplu, metode de estimare a strilor prin filtrare Kalman sau metode de

identificare robust n care funcia cost NV este exprimat n mod diferit fa dedefiniia (21). Majoritatea covritoare a acestor metode sunt descrise n [SoSt89].

Mdetodologia IS nu poate fi ns un panaceu universal, ci are limitele sale. Maimult, utlizatorul trebuie s o utlizeze cu precauie i tiin. Cele mai importanteprobleme practice care apar n identificarea unui proces sunt enumerate mai jos.

Selectarea mrimilor ce trebuie msurate. Exist situaii n care mrimi deimportancapitalpentru identificarea unui proces nu pot fi msurate n moddirect, fiind inaccesibile. De exemplu, dac se urmrete determinarea unuimodel al vibraiilor unui rulment integrat ntr-un sistem mecanic n vedereadeteciei defectelor sale, este foarte posibil ca senzorii de vibraie(accelerometrele) s nu poat fi amplasai direct pe carcasa rulmentului.Amplasarea lor n alte locaii poate conduce la combinarea i/sau interferena

semnalului msurat cu semnale de vibraie produse de alte componente alesistemului mecanic, deci la posibile modele matematice inadecvate. Pentrusoluionarea acestei probleme dificile, utilizatorul este nevoit s formuleze oproblemalternativde identificare sau sextrag informaia despre procesulstudiat din datele msurate n contextul n care se aflamplasat acesta, dacsunt cunoscute interaciunile dintre diferitele subsisteme ale sistemului global.Revenind la exemplul rulmentului, o metod de extragere a vibraiei doriteconst n utilizarea unor senzori direcionali, orientarea lor ctre rulment ifolosirea unei metode de atenuare a interferenelor. (O astfel de metoda fostde exemplu patentat n SUA [CaDL96].) Costul unei astfel de soluii poate fi

nsridicat, astfel cutilizatorul va fi restricionat de mijloacele de care dispune.Achiziia i prelucrarea primar a datelor. Procesele identificabile se

caracterizeaz prin seturi de date achiziionate pentru care raportul semnal-

zgomot (SNR Signal-to-Noise Ratio) are valori rezonabil de mari. Cu altecuvinte, zgomotul nu trebuie sdomine datele utile. Cu ct SNR este mai mic,cu att modelul asociat procesului riscsfie mai imprecis i procesul este maipuin identificabil. Creterea SNR (adic a dominanei semnalului util n faazgomotului) se poate realiza ntr-o oarecare msur i printr-o prelucrareprimar a datelor. Aceasta const n principal ntr-o tehnic de atenuare azgomotelor (denoising) bazat pe filtrare. Utilizatorul este confruntat aici cuproblema distorsionrii datelor prin alegerea inadecvata filtrului sau a metodeide atenuare de zgomot. Din pcate, ntre datele utile i cele parazite nu sepoate trasa o linie de demarcaie clar, astfel c, indiferent de metoda de


21/149


10

prelucrare primarutilizat, o parte din datele utile riscsfie eliminate, n timpce o parte din datele parazite risc s fie interpretate ca date utile. Pentruadncirea diferenei dintre datele utile i cele parazite, sunt necesare metode deprelucrare sofisticate, care complicn mod nedorit algoritmul de identificare. nconsecin, utilizatorul trebuie sa proiecteze cu grijexperimentul de achiziie adatelor, astfel nct SNR saibvalori suficient de mari.Selectarea unui model matematic adecvat.Aceasta poate fi o problemdificil,n special cnd utilizatorul este confruntat cu un proces avnd comportamentneliniar pronunat. Modelele uzuale de identificare sunt liniare. O manierde aaborda neliniaritile const desigur n selectarea de modele neliniare, cucondiia ca neliniaritile s poat fi caracterizate din punct de vederematematic. O alt abordare ar fi bazat pe adaptarea i implementarea uneireele neuronale. (La baza Teoriei Reelelor Neuronale [DuHa96], [TaI97] se

afltot MCMMP ca tehnicde optimizare n faza de instruire a reelei.) n fine,o a treia strategie, mai apropiat de domeniul IS, este utilizarea modelelorliniare, dar cu parametri variabili n timp, care se auto-adapteazsistematic, nfuncie de datele achiziionate.Variabilitatea proceselor n timp.Aceastcaracteristicrezultpur i simplu din

faptul cvalorile adevrate ale parametrilor variaz n timp. Astfel, se impunefolosirea de modele matematice cu parametri variabili n timp (ca n cazulneliniaritilor). Problema principal care apare acum este legat deconsistena estimaiilor. De aceast dat, estimaiile parametrilor trebuie nunumai s tind statistic (adic odat cu mrirea orizontului de msur) lavalorile lor adevrate, ci s le i urmreasc evoluia n timp cu preciziesuficient de mare. Cele dou cerine sunt n mod evident opuse, astfel nctprincipalul obiectiv al metodei de identificare utilizate (care nu poate fi dectiterativ) este s asigure un bun compromis ntre capacitatea de urmrire aestimaiilor i precizia lor. Un alt compromis care trebuie realizat este cel dintreadaptablitatea modelului matematic i robusteea sa ca sistem dinamic. Estebinecunoscut faptul ca adaptabilitatea excesivconduce la pierderea robusteeisistemelor (adica a capacitii lor de a rejecta cu anumite performaneperturbaiile ce conin ocuri i de a rmne stabile). La rndul ei, robusteeaexcesivconduce la slabe performane de urmrire (adicde adaptabilitate).

Dei succinta prezentare din aceast introducere a focalizat discuia asupradomeniului IS, ar trebui totui precizat c unele dintre tehnicile de identificare pot fi

ntrebuinate i n scopul prelucrrii semnalelor. n special n cazul n care procesuluistudiat nu i se pot pune n evidensemnalele de intrare, informaia despre evoluia sase aflcodificatn setul de date de ieire, care este o serie de timp. Modelele seriilor

de timp sunt frecvent utilizate n estimarea spectral [OpSc85], [OpWi85], [PrMa96],predicie [TeSt85], [StD96] sau filtrarea adaptiv [HaS86] aplicaii mai degrab dePS dect de IS. ns, ntre IS i PS nu se poate trage o linie clarde demarcaie, laintersecia lor aflndu-se metode i tehnici extrem de moderne i eficiente careservesc scopurilor ambelor domenii.

Aplicaiile descrise n continuare ofer exemple practice sugestive care s ajutenelegerea noiunilor teoretice prezentate n diferitele cursuri amintite (n special de ISi PS) i ssugereze cititorului c, n pofida aparenelor date de aparatul matematicutilizat, domeniul IS este unul aplicativ.


22/149

11

CCaappiittoolluull11

CCaarraacctteerriizzrriinnttiimmppiiffrreeccvveennaalleepprroocceesseelloorrssttooccaassttiiccee

11..11..AAnnaalliizzeeddeepprroocceesspprriinnmmeettooddeennee--ppaarraammeettrriicceeObiectivul acestui capitol este de a prezenta cteva aspecte practice legate de

operarea cu modele de identificare ne-parametrice. Aa cum am amintit nIntroducere, modelele ne-parametrice ofercaracterizri (de regulcalitative) ale unuiproces stocastic att n domeniul timpului, ct i n cel al frecvenei. n domeniultimpului, se poate efectua o analiz tranzitorie i/sau o analiz statistic bazat pe

corelaie. n domenul frecvenei, se poate realiza direct o analiz n frecven (de tipFourier) i/sau o analizspectral (statistic). n cadrul capitolului, se pune accentulpe analizele statistice (de corelaie i spectrale). Vom descrie nspe scurt i celelaltetipuri de analize.

A.Analiza tranzitorieAceast tip de analizeste specific aplicaiilor de Teoria Sistemelor (TS) i are ca

obiectiv evaluarea performanelor de stabilitate i robustee ale unui sistem plecnd dela rspunsurile sale la o intrare de tip treaptunitar (rspunsul indicial) sau impulsunitar (rspunsul cauzal la impulssau funcia pondere) [IoV85], [StF00]. Graficele dinzona tranzitorie a acestor rspunsuri ofer ns i posibilitatea de a identifica uniidintre parametrii sistemului liniar asociat (n special pentru sistemele de ordin I sau II).Este vorba despre constantele de timp dominante ale sistemului i, eventual, ctigul

su (sau factorul de amplificare).n cazul n care ieirea sistemului este perturbat n mod sensibl de zgomotnedeterminist, graficul din zona tranzitorie nu mai poate pune n eviden cu uurincaracteristicile sistemului, fiind necesarevaluarea curbei sale mediane n acest scop.

Modelul tranzitoriu este unul de precizie sczut, chiar i n cazul n care SNR arevalori ridicate, deoarece determinarea caracteristicilor procesului se efectueaz prinmetode grafice. Acest model poate fi utilizat totui ca instrument auxiliar n alegereaunui model parametric adecvat, deoarece el furnizeazinformaii grosiere preliminaredespre evoluia procesului.

B.Analiza n frecvenn afara rspunsului indicial sau a rspunsului cauzal la impuls, un sistem dinamic

mai poate fi stimulat s rspund n frecven. Aceasta nseamn c semnalul de

intrare este o armonicelementarde pulsaie 0 :

)sin(][00

nunu = , Nn . (22)

Este binecunoscut faptul c rspunsul unui sistem liniar (discret) asimptotic stabilla intrarea armonic (22) are acceai pulsaie

0 , dar amplitudinea i faza pot fi

diferite (cu faznegativ, datoritntrzierii intrinseci provocate de sistem):

)sin(][00 += nyny , Nn . (23)


23/149

Aspecte Practice n Modelarea i Identificarea Sistemelor

12

n acest context, analiza n frecvense bazeazpe determinarea rspunsului nfrecvenal sistemului, care, prin definiie, este TF a funciei pondere h :

==

Zn

njjdef

j enheheH ][))(()( F , R . (24)

Notaia utilizat n definiia (24) nu este ntmpltoare. Dac U i Y suntTransformatele Z (TZ) ale semnalelor u , respectiv , atunci funcia de transfer asistemului se obine fie cu ajutorul Teoremei de Convoluie a TZ, fie aplicnd TZasupra funciei pondere a sistemului:

uhy ))(()(

)()( zh

zU

zYzH Z== ,

yuhz CCC = . (25)

n (25),x

C denotzona de convergena TZ (o coroancircularcentratn originea

planului complex) determinat de semnalul discret x (oricare ar fi el). Dac cerculunitar aparine zonei de convergen

hC , atunci rspunsul n frecven al sistemului

corespunde cu TZ a funciei pondere evaluatpe cercul unitar (adicpentru jez= ,R ).

Este evident cparametrii0y i din ecuaia (23)pot fi exprimai prin:

)( 000

jeHuy = i )(arg 0 jeH= . (26)

Atunci se pot msura amplitudinile0u i 0y mpreuncu defazajul pentru diferite

pulsaii 0 , astfel nct rspunsul n frecven s fie trasat grafic folosind egalitile(26). Msurarea defazajului nu este ntotdeauna o operaie simpl, mai ales n situaia

n care amplitudinile0u i 0y sunt diferite. Din fericire, defazajul se poate determina i

pe altcale, n cazul pulsaiilor 2 -raionale 000 /2 nm = (cu

N00 ,nm ), folosindurmtorul algoritm:

1.Se alege un orizont de msur a ieirii pe o durat finit i ntreag,proporional cu perioada armonicei de intrare:

000/2 knkmN == , unde

Nk este un factor de proporionalitate arbitrar ales.

2.Se multiplic semnalul de ieire cu )sin(0n , respectiv )cos( 0n , pentru

1,0 Nn . Se obin 2 semnale:

++=+==

+=+==

)2sin(2

sin2

)cos()sin()cos(][][

)2cos(2

cos2

)sin()sin()sin(][][

0

00

0000

0

00

0000

nyy

nnynnyny

nyy

nnynnyny

def

c

def

s

.

(27)

3.Se evalueaz media celor 2 semnale din (27) (sau se integreaz pe durata1,0 N ):


24/149

1. Caracterizri n timp i frecvenale proceselor stocastice

13

==

==

=

=

sin2

][1

cos2

][1

01

0

01

0

yny

Ny

yny

Ny

N

n

cc

N

n

ss

. (28)

Rezultatul (28)s-a obinut simplu, innd cont cmedia unei armonice calculatpe o duratproporionalcu perioada sa este nul.

4.Se evalueazdefazajul direct din (28):

=

=

=

=

1

0

0

1

0

0

)sin(][

)cos(][

2atan2atanN

n

N

n

s

c

nny

nny

y

y

, (29)

unde prin 2atan am notat funcia arc-tangentextins la cele 4 cadrane aleplanului complex (adicinnd cont de semnele numrtorului i numitorului).

Aceast tehniceste similarcu trasarea diagramelor Bode sau Nyquist (adicahodografului) din TS [StF00].

Din pcate, procedeul anterior (n special algoritmul de mai sus) este extrem desensibil la perturbaii nedeterministe. Dendat ce msurtorile sunt afectate de unzgomot, rspunsul n frecvenal procesului poate fi puternic distorsionat.

Att analiza tranzitorie, ct i analiza n frecven sunt tehnici de identificare ne-parametricutile n cazul proceselor cu o bunrejecie a perturbaiilor sau funcionnd

n condiii de izolare fade sursele de perturbaii. Dendatce perturbaiile joacunrol important n comportamentul unui proces (adicSNR nu poate depi un anumitprag de exemplu 4, adicsemnal de 4 ori mai puternic dect zgomotul), mai potrivitear fi urmtoarele 2 tipuri de analiz.

C.Analiza bazatpe corelaieAm amintit n Introducere despre ecuaia lui Wiener-Hopf (ecuaia (10)). Ea

reprezint exemplul tipic de eliminare a zgmotului alb din datele msurate, prinnlocuirea acestora cu secvene de covarian (sau corelaie1) corespunztoare.Definiia practica auto-covarianei este datde ecuaia (9). n mod similar, se poateformula definiia practica covarianei ncruciate.

n general, analiza bazat pe corelaie se desfoar prin evaluarea secvenelorde auto-covarian i covarian ncruciat ale intrrii i ieirii. Astfel, n cazul

modelelor ARMAX, o ecuaie echivalent exprimat cu ajutorul acestor secvene sepoate obine prin multiplicarea ecuaiei (1) cu ][ knu + pentru 0k i aplicareaoperatorului de mediere statistic:

][)(][)(][)( 111 krqCkrqBkrqAueuuy

+= , Nk . (30)

1 Secvena de corelaie se obine prin normalizarea secvenei de covariann gama [-1,+1]. Se poate arta

c ]0[]0[][yuuy

rrkr , Zk i ]0[][yy

rkr , Zk , folosind o inegalitate de tip Cauchy-Buniakowski-

Schwarz [StD9605].


25/149


14

De altfel, se poate verifica uor c ecuaia Wiener-Hopf este un caz particular alecuaiei (30)pentru modelul de sistem cu rspuns finit la impuls (FIR Finite ImpulseResponse), unde 1A i 1C , n condiiile n care intrarea nu este corelat cuzgomotul alb.

Ecuaia (30) (sau oricare dintre cazurile particulare ale ei) constituie punctul deplecare n analiza bazatpe corelaie. De regul, covariana ncruciatdintre intrarei zgomotul alb este nul (intrare necorelat cu zgomotul), dar, n special n bucl

nchis, acastprorpietate s-ar putea snu se verifice. Menionm totui cobiectivuldin acest context nu este determinarea parametrilor modelului de lucru, ci evaluareaefectiv a secvenelor de covarian i reprezentarea lor grafic. Determinareaparametrilor modelului face obiectul metodelor de identificare parametric.

D.Analiza spectralElementul cheie din desfurarea analizei spectrale l constitue densitatea

spectral de putere, definit n (11). Este cunoscut faptul c densitatea spectral aieirii unui sistem dinamic liniar avnd funcia de transfer H poate fi evaluatprintr-orelaie asemntoare ecuaiei (25) (obinutcu ajutorul Teoremei de convoluie, vezide exemplu, [OpSc85], [SoSt89], [PrMa96]):

)()()(2

u

j

y eH= , R . (31)

Practic, (31) arat c spectrul sistemului (amplitudinea rspunsului n frecven)este factorul care moduleazdensitatea spectrala intrrii. De asemenea, el poate fiestimat cu ajutorul celor 2 densiti spectrale tot din ecuaia (31).

Insuficiena ecuaiei (31) const n faptul c nu permite i determinareaargumentului/fazei r

spunsului n frecven

al sistemului. Pentru aceasta, ar trebui

utilizatdensitatea spectralncruciatdintre intrare i ieire,uy

, definitsimilar cu

u sau

y prin aplicarea TF asupra covarianei ncruciate

uyr . Astfel, se poate arta

c[StD9605]:

)()()( u

j

uy eH= , R , (32)

ceea ce conduce la determinarea completa rspunsului n frecvenal sistemului.

Determinarea rspunsului n frecven al sistemului din ecuaia (32) se numeteestimare spectral i necesit estimarea celor 2 densiti spectrale u i uy .

Folosirea definiiilor n vederea estimrii densitilor spectrale este o abordare n carerezultatul sufer 3 tipuri de erori: prima datorat estimrii secvenelor de covarian

prin formule aproximative, a doua datorat implementrii definiiilor densitilorspectrale, care apeleaz la versiunea discret a TF, numiti Transformata FourierDiscret(TFD) [OpSc85], [PrMa96]i a treia datoratunor efecte numerice marginalecauzate de orizontul finit de msura datelor. Dacprimele dousurse de eroare nupot fi atenuate dect prin metode numerice, legat de a treia existo soluie alternativ.Astfel, utilizarea datelor de pe un orizont finit de msur este echivalent cuextragerea unei mulimi finite dintr-un set infinit de date, prin modularea acestuia cu ofereastr dreptunghiular avnd deschiderea corespunztoare. Efectele numericemarginale sunt cauzate de flancurile abrupte ale ferestrei dreptunghiulare. Utilizareaunor ferestre cu flancuri netede poate conduce la atenuarea erorilor marginale, dei


26/149


15

orice alt fereastr diferit de cea dreptunghiular introduce distorsiuni la niveluldatelor msurate.

n PS de asemenea se vorbete despre estimarea spectral, dar prin metodespecifice acestui domeniu (n general bazate pe TFD), fr a apela la conceptul desistem. De fapt, estimarea spectraleste una dintre cele mai vechi probleme de PS,numai cn contextul acestui domeniu, se opereazcu datele msurate n mod directi nu cu secvene de covarian. Utilizarea covarianei i a densitii spectrale estespecificdomeniului IS, deoarece, n acest context, semnalele cu care se opereazsunt n mod aprioric considerate ne-deterministe/stocastice.

Revenind la ecuaiile de transformare (31) i (32), este util s fie reaminit cdemonstrarea lor se bazeaz pe relaii de transformare similare convoluiei, dar ncare intervin secvene de covarian(vezi [SoSt89]i [StD9605]):

+=Z Zp q

uy qpkrqhphkr ][][][][ , Z k . (33)

=Zm

uuy mkrmhkr ][][][ , Z k . (34)

n ecuaiile (33) i (34), h este secvena pondere (rspunsul cauzal la impuls) alsistemului liniar.

11..22..AAssppeecctteepprraaccttiicceennaannaalliizzaapprroocceesseelloorrssttooccaassttiicceeA.Procese total neautocorelate zgomotul alb

Cea mai importantcaracteristica unei perturbaii stocastice const n faptul c

valorile ei nu pot fi cunoscute sau msurate n mod direct. Este ns posibilestimarea lor folosind modele matematice adecvate. Un model deterministic precum)sin()( ttv = este arareori potrivit pentru a caracteriza sau estima valorile unei

perturbaii stocastice. Este mai natural folosirea modelelor statistice pentrudescrierea acestui tip de perturbaii.

Un exemplu simplu de proces stocastic l reprezint aruncarea unei monede.Ieirile generate de acest proces pot fi asociate mulimii }1,1{ + (de exemplu, 1

pentru cap i 1+ pentru pajur). De fiecare datcnd se efectueazun experiment dearuncare a monedei, se obine un set de date de ieire diferit. Secvena de ieireprovenitde la un astfel experiment se numete realizarea procesului aleator.

Deoarece un proces aleator reprezint o ntreag familie de realizri, descriereaacestuia prin intermediul modelelor deterministe nu este realist, aceste modele fiind

capabile sdescrie doar comportamentul unei anumite realizri i nu a ansambluluide realizri. De aceea s-a apelat, ntr-o primfaz, la modele i tehnici de Statistic,ele avnd avantajul de a extrage i transfera n domeniul determinist informaia cucaracter nedeterminist. Aa cum s-a artat n seciunea precedent, dou tipuri deanalize ne-parametrice pot fi utilizate cu succes n descrierea proceselor stocastice:analiza bazatpe corelaie i analiza spectral. De notat catt funcia de covarianct i funcia de densitate spectral sunt entiti deterministe evaluate folosind orealizare a unui proces nedeterminist.


27/149


16

n cazul procesului de aruncare a monedei, caracteristica fundamentalconst nfaptul c fiecare realizare este independent de celelalte, adic nu exist nici ocorelaie ntre evenimente (adicaruncri ale monedei). n termeni matematici, acestproces se poate descrie ca o secvende variabile aleatoare independente

Nnny ]}[{ ,

identic distribuite, de medie nul 0]}[{ =nyE i varian unitar 1]0[ 2 ==yy

r .

Secvena de auto-covarianeste deci:

====

0,0

0,1][]}[][{][ 0

k

kkknynyEkr

def

y pentru

pentru , Z k . (35)

Secvena de auto-corelaie corespunztoare aruncrii monedei (35) arat c acestproces este total neautocorelat(adicobinerea unei valori cap sau pajur n cursul

aruncrii curente nu depinde de valoarea obinutla aruncarea precedent).Aplicnd TF asupra secvenei de auto-covarian (35) se obine o densitate

spectraly constant i unitar (vezi definiia (11)), ceea ce arat c procesul

conine toate componentele de frecvene. Datorit acestui fapt, procesul se mainumete i zgomot alb, prin analogie cu urmtoarea experiende Fizicelementar.Un disc este mpit n 7 sectoare egale, fiecare fiind colorat cu una din culorilefundamentale ale spectrului luminos: R-rou, O-oranj, G-galben, V-verde, A-albastru,I-indigo, V-violet, ca n Figura 2.

Figura 2. Experimentul obinerii culorii albe din spectrul ROGVAIV.

Culorile sunt ordonate n ordinea descresctare a lungimii de undcaracteristicedin spectrul vizibil. Rotirea discului cu o anumit vitezconduce totui la o singurculoare: alb. Efectul se datoreaz recombinrii culorilor fundamentale care sunt nmod egal cantitativ prezente pe disc. n mod analog, unui proces cu densitatespectral constant (adic n care frecvenele culorile sunt n mod egalreprezentate) i s-a asociat sintagma de zgomot alb.

Dacunuia dintre sectoarele discului i se modific aria, atunci culoarea disculuirotit nu mai rmne alb. n Figura 3, sectorului de culoare roie I s-a mrit suprafaa.

Figura 3. Experimentul obinerii unei nuane de roz din spectrul ROGVAIV.

Rezultatul este o nuande roz pentru discul n rotaie, paleta nuanei depinznd deproporiile n care sunt reprezentate culorile fundamentale pe disc. Prin analogie, unuiproces stocastic al crei densitate spectralposedcel puin o armonicdominant i

RO

G

VA

I

VAAllbb

R O

GVA

I

VRRoozz


28/149


17

se asociazconceptul de zgomot colorat. Zgomotele colorate se obin n general prinfiltrarea zgomotului alb.

Revenind la densitatea spectralde putere, aria de sub curba acesteia calculatpeste o anumit band de pulsaii/frecvene reprezint energia procesului n aceaband. n particular, variana procesului este proporional cu energia global aacestuia (vezi relaia de inversiune (12)):

+

==

druyy

)(2

1]0[ 2 . (36)

Atunci cnd s-a fcut referire la procesul de aruncare a monedei ca un exemplu deproces generator de zgomot alb (adic al unor secvene aleatoare totalneautocorelate), s-a presupus de asemenea c el genereaz datele respectnd o

anumitdistribuie de probabilitate (uniform, n aces caz). Cunoaerea aprioric adistribuiei de probabilitate asociate unui proces stocastic este nsfoarte dificil, dacnu imposibil. Din fericire, o mare categorie de procese stocastice sunt normaldistribuite, adicdupa o densitate de probabilitate Gaussian:

( )

=

2

2

2

)][(exp

2

1][

ynyny

def

p , Z n , (37)

unde y este media densitii de probabilitate i 2 este dispersia sa (care msoar

deschiderea clopotului lui Gauss). Pentru procesul avnd distribuia de probabilitate(37) se mai scrie: ( )2,yy N (adic aparine clasei de procese normal

distribuite de medie y i dispersie

2

). Procesul reprezentat de aruncarea monedeinu poate fi considerat normal (ci uniform) distribuit, dect n cazul n care monedautilizat sau mediul nconjurtor prezint imperfeiuni ce favorizeaz apariia maifrecventa unei fee. n acest caz, distribuia este Gaussian, de medie 1+ sau 1(n funcie de faa monedei care iese mai frecvent n urma aruncrilor). n clasa

( )2,yN se ncadreazadesea procese cu distribuie de probabilitate necunoscut,pe baza Teoremei LimitCentral(TLC) din Statistic2.

Observaie

Douprocese stocastice total neautocorelate i normal distribuite sunt i independente.Invers, dou procese independente de medie nul sunt total neautocorelate. Acesteimplicaii arat ce legtur exist ntre 2 concepte statistice diferite: neautocorelare iindependen statistic. Independena statistic arat doar c probabilitatea apariiei

simultane a 2 evenimente independente este egalcu produsul probabilitilor de apariieseparata lor. Procesele independente pot fi corelate dacmediile lor sunt nenule.

B.Zgomote colorateIdentificarea Sistemelor folosind modele neparametrice urmrete s specifice

caracteristicile unui proces aleator cvasi-staionar (adic avnd densitatea spectral

2 Potrivit TLC, un ansamblu cel puin numrabil de procese statistice cu densiti de probabilitate arbitrare

constituie un proces aleator normal distribuit.


29/149


18

aproximativ constant n timp) la trecerea printr-un sistem liniar sau filtru cauzal istabil, a crui funcie de sistem este raional:

==

01

1

1 ][)(

)()(

n

ndef

qnhqA

qBqH . (38)

In definiia (38), A i B sunt polinoame (exprimate ca n definiia (3)), iar h estesecvena pondere a filtrului, ca de obicei. Cauzalitatea i stabilitatea se exprimsimplu astfel [OpSc85]:

Cauzalitate: 0][ =nh , 0


30/149


19

EExxeerrcciiiiuull11..33Prin filtrarea unui zgomot alb e de medie nul i varian unitar se obine unzgomot colorat cu densitatea spectral:

cos25.1

75.0)(

=

y, R . (40)

Considernd cfiltrul utilizat are funcia de sistem:

1

1

1

11

1)(

+=

qa

qbqH , (41)

sse determine cei 2 parametri ai acestuia ( 1a i 1b ). Pot fi ei determinai n modunic folosind numai analiza spectral? Evaluai de asemenea variana 2y a

zgomotului colorat.

EExxeerrcciiiiuull11..44Analiza spectral permite i exprimarea echivalent a modelelor proceselorstocastice, n scopul simplificrii lor. Aceattehniceste utilde exemplu n cazulproceselor afectate de mai multe surse de zgomot. Prin definiie, doumodele deprocese stocastice sunt echivalente dac densitile spectrale de putere aleieirilor lor sunt identice. Identitatea are loc daci numai dacsecvenele lor deauto-covariansunt egale.

Fie un proces ARMA[na,nc]:

][)(][)( 11 neqCnxqA = , Nn , (42)

unde ieirea este x , iar variana zgomotului alb e se noteaz prin 2e . S

presupunem c ieirea modelului (42)este la rndul ei afectatde un zgomot albaditiv, v , neocrelat cu e , avnd variana 2

v . Mai precis, ieirea observabil a

procesului stocastic este:

][][][ nvnxny += , Nn . (43)

Exprimarea modelului cu dou surse de zgomot este incomod. De aceea, secautechivalarea sa cu un model de filtrare exprimat astfel:

][)()(][

1

1

nwqAqBny

= , Nn , (44)

unde w este un unic zgomot alb de varian 2w

. Aceastechivaleneste ilustrat

n Figura 4. S se determine coeficienii i gradul polinomului necunoscutnb

nbqbqbbqB +++= L

1

10

1)( , precum i variana 2w n funcie de polinoamele

A , C i varianele 2e ,2

v , prin echivalarea celor dou modele, n cazul

1==ncna .


31/149


20

Figura 4. Doumodele de procese stocastice echivalente.

Este modelul echivalent (44)unic determinat? Generalizai rezultatul pentru valoriarbitrare ale indicilor structurali na i nc .

Indica ie

Se vor determina i apoi egala secvenele de auto-covarianale ieirilor celor 2 modele,plecnd de la ecuaiile nedeterministe ale acestora i exploatnd necorelarea zgomotelor.

11..44..PPrroobblleemmeeddeessiimmuullaarreeSe considerurmtoarele 2 filtre de zgomot, cu funcii de sistem de ordin 1i de

ordin 2 (respectiv):

1

1

1

11

11

)(

+=

qa

qbqH ;

2

2

1

1

2

2

1

11

21

)(

++

+=

qaqa

qbqbqH , (45)

Cu ajutorul simulrilor care urmeaz, se vor analiza influenele polilor i zerourilorasupra funciei de covarian, densitii spectrale i caracteristicilor diferitelor realizriobinute prin filtrarea unui zgomot alb cu filtrele de tipul (45). Simulrile se bazeazpeurmtoarele rutine disponibile, scrise n limbajul MATLAB (i nregistrate pe Discul

Compact ataat):# IISSLLAABB__11AA

Apel: iissllaabb__11aa((CC,,AA,,NN,,ttaauu__mmaaxx,,nnrr)) ;;Modul de calcul al valorilor adevrate i estimate pentru secvene de auto-

covarian obinute cu ajutorul unui proces ARMA[1,1]. Sunt trasate graficelesecvenelor obinute. Este de asemenea trasat o realizare a zgomotuluicolorat rezultat. Argumentele funciei sunt urmtoarele:CC polinomul MA (vector [1c]);AA polinomul AR (vector [1a]);ttaauu__mmaaxx pivotul maxim al secvenelor de auto-covarian(implicit: 50);nnrr numrul realizrilor de generat (implicit: 1).

Fereastra grafictipic: Figura 5.# IISSLLAABB__11BB

Apel: iissllaabb__11bb((xx,,yy,,SSNNRR)) ;;Modul care simuleaz dependena de SNR a polilor i zerourilor unui model

ARMA[2,2], determinat prin echivalarea sa cu un model AR afectat de 2zgomote necorelate (ca n Exerciiul 4). Argumentele funciei sunt urmtoarele:xx partea reala polilor modelului AR (implicit: 0.5);yy partea imaginara polilor modelului AR (implicit: 0.5);SSNNRR raportul semnal-zgomot (implicit: 3).

Fereastra grafictipic: Figura 6.

C/A +

v

e yB/A

wx y


32/149


21

Figura 5. Fereastra grafictipica rutinei IISSLLAABB__11AA.

Figura 6. Fereastra grafictipica rutinei IISSLLAABB__11BB.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-0.5

0

0.5

1Covariance functions

k

TrueEstimate

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-4

-2

0

2

4Realization (50 samples)

Discrete time

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-0.5

0

0.5

1Covariance functions

k

TrueEstimate

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-4

-2

0

2


Discrete time

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-0.5

0

0.5

1 Covariance functions

k

TrueEstimate

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-4

-2

0

2


Discrete time

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-0.5

0

0.5

1 Covariance functions

k

TrueEstimate

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-4

-2

0

2


Discrete time

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

1Poles (x) and zeros (o)

10-2

10-1

100

101

10-2

10-1

10

0

101

Spectral densities

ARWhite noiseARMA

AR

ARMAWhite

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

1Poles (x) and zeros (o)

10-2

10-1

100

10110

-2

10-1

10

0

101

Spectral densities

ARWhite noiseARMA

AR

ARMAWhite


33/149


22

# NNOOIISSEEApel: nnooiissee((ooppeerraattiioonn)) ;;Modul de generare i simulare a zgomotelor colorate produse de modelele

stocastice (45). Argumentul funciei (ooppeerraattiioonn) este un ir de caractere dinmulimea urmtoare:

cclloossee__nnooiissee

cclloossee__nnooiissee__ddeeff

iinniitt__nnooiissee

mmoovvee__pp

mmoovvee__zz

mmoovveedd__pp

mmoovveedd__zz

mmoovviinngg__pp

mmoovviinngg__zz

nnooiisseecclleeaarr

sshhooww (implicit)ssyysstteemm

wwiinniitt__nnooiissee

Fereastra grafic tipic: Figura 7 (interfa grafic prietenoas, care permitevarierea n timp real a polilor i zerourilor).

Figura 7. Fereastra grafictipica rutinei NNOOIISSEE.


34/149


23

# DD__SSPPEEKKTTRRApel: [[ww,,ffii]]==dd__ssppeekkttrruumm((AA,,BB,,ssiiggmmaa22)) ;;Rutinauxiliar de evaluare a spectrului ieirii unui filtru liniar discret stimulat

cu un zgomot alb. Argumentele funciei sunt urmtoarele:AA numitorul funciei de transfer a filtrului (polinom);BB numrtorul funciei de transfer a filtrului (polinom);SSiiggmmaa22 variana zgomotului alb de la intrare.

Funcia returneaz:ww axa pulsaiilor ( );

ffii densitatea spectral y a zgomotului colorat (de ieire).

# SSPPEEFFAACC

Apel: [[aa,,ll22]]==ssppeeffaacc((rr)) ;;Rutinauxiliarde rezolvare a Problemei factorizrii spectrale. Aceasta constn determinarea unui polinom:

n

nndef

azazzA +++= L11)(

i a varianei 2 cu proprietatea:

( )=

+=

n

k

kk zzkrzAzA0

12 ][2

1)()( , (46)

pentru o secvende covarian ]}[,],1[],0[{ nrrr K . n mod normal, aceast

problem se poate formula pentru orice secven de numere]}[,],1[],0[{ nrrr K , cu condiia s fie pozitiv definit, adic verificnd

inegalitatea:

]0[][ rkr , nk ,0 . (47)

Problema factorizrii spectrale (46) este rezolvat n cazul determinrii unuimodel AR[n] atunci cnd este stimulat de un zgomot alb i se cunoatedensitatea spectral de putere a ieirii (deci i secvena de auto-covarian aieirii, cu ajutorul formulei de inversiune (12)).

Argumentul funciei ssppeeffaacceste rr secvena de (auto-)covarian(vector).Funcia returneaz:aa coeficienii polinomului AR (vector);

ll22 variana zgomotului alb 2 cu care trebuie stimulat modelul AR pentru aobine la ieire exact secvena de auto-covarianrr.

PPrroobblleemmaa11..11Pentru a rezolva punctele urmtoare, se va utiliza funcia NNOOIISSEE.

1.S se testeze grafic dac filtrul obinut n Exerciiul 1.3 (de tipul lui1

H dindefiniia (45)) este corect.


35/149


24

2.Sse varieze polii filtrului 2H din definiia (45)i sse comenteze rezultateleobinute cu ajutorul funciei NNOOIISSEE.

3.Unde trebuie amplasai polii filtrului2

H pentru a obine un filtru trece jos?

4.Unde trebuie amplasai polii filtrului 2H pentru a obine un vrf de rezonan la1= ? Ce se poate spune despre coninutul n frecven al semnalului

analiznd realizrile procesului?

5.Ce efect observai atunci cnd filtrul 2H are zeroul n vecintatea cerculuiunitar?

PPrroobblleemmaa11..22Sse utilizeze modulul de simulare IISSLLAABB__11AApentru a simula un proces stocasticde model ARMA[1,1]. De exemplu, pentru a genera un process de tip AR[1] cu unsingur pol in 0.9, se folosete sintaxa:

iissllaabb__11aa((11,,[[11 00..99]])) ;;

n mod implicit, modulul de simulare alege: NN==110000, ttaauu__mmaaxx==5500i nnrr==11.

1.Sse analizeze maniera n care estimaiile funciilor de covarianvariazcu NN(numrul de eantioane) i ttaauu__mmaaxx (pivotul maximal al secvenei de auto-covarian) pentru diferite locaii ale polilor.

2.S se verifice faptul c estimaiile funciilor de covarian tind ctre valorileadevrate pentru procese de tip AR[1] i MA[1], pe msur ce NN tinde ctreinfinit.

3.Sse verifice corectitudinea rezultatelor obinute la Exerciiile 1.1i 1.2.

PPrroobblleemmaa11..33Se consider un proces stocastic asociat unui model AR[2] cu dou surse dezgomot (ca n contextul Exerciiului 1.4), pe care dorim s l echivalm cu unproces descris de un model ARMA[2,2], avnd o singursursde zgomot. Pentrusimulrile care urmeaz, se va utiliza modulul IISSLLAABB__11BB.

1.S se analizeze maniera n care variaz polii i zerourile modelului ARMAatunci cnd variazSNR. n acest context, SNR este definit prin raportul dintrevariana semnalului util x i variana zgomotului aditiv v (cu notaiile dinExerciiul 1.4).

2.Sse studieze cazurile n care SNR tinde la infinit (semnalul dominzgomotul)i SNR tinde la zero (zgomotul domin semnalul). S se comentezemodificrile nregistrate de densitile spectrale.


36/149

25

CCaappiittoolluull22

IIddeennttiiffiiccaarreeaammooddeelleelloorrnnee--ppaarraammeettrriiccee

22..11..CCoonntteexxttuullggeenneerraallddeelluuccrruuO succintdescriere a modelelor ne-parametrice a fost prezentat n Capitolul 1.

La rndul ei, descrierea face referire la cadrul de lucru conturat n Introducere.Obiectivul acestui capitol este de a ilustra metodologia uzualfolositn identificareane-parametric. Problemele de simulare propuse pot fi abordate n cadrul mediului deprogramare MATLAB, cu ajutorul unor funcii dedicate, aparinnd bibliotecii specializate

n tehnici de IS (numitSystem Identification toolbox).

Aplicaiile studiate utilizeaz dou modele parametrice pentru a genera dateleutilizate n identificarea neparametric. n acest fel, rezultatele de identificare obinute(adic diagramele rezultate n urma analizelor ne-parametrice) pot fi uor verificate.Cele 2 modele sunt: ARX[na,nb] i OE[na,nb] (Output Error model model de tiperoare de ieire). Ambele aparin clasei ARMAX definitprin ecuaia (1). Mai precis,ecuaiile celor 2 modele sunt urmtoarele:

][][)(][)( 11 nenuqBnyqA += :nb]ARX[na, , Nn . (48)

][][)(

)(][

1

1

nenuqA

qBny +=

:nb]OE[na, , Nn . (49)

Polinoamele A i B din ecuaiile (48)i (49)sunt definite n relaiile (3). n ambele

modele, perturbaia e este considerat un zgomot alb Gaussian de medie nul ivarian 2 , necorelat cu intrarea u . Se observczgomotul afecteazieirile celordousisteme n mod diferit. Pentru sistemul descris de modelul ARX, perturbaia eapare ca un zgomot de proces, n timp ce pentru sistemul descris de modelul OE,perturbaia e apare ca un zgomot de msur (i.e. care distorsioneaz ieireamsurat y ).

Urmtoarele polinoame particulare pot fi utilizate n cadrul simulrilor:

11 8.01)( = qqA , 11)( =qqB . (50)

211 56.01.01)( = qqqA , 211 3.05.0)( += qqqB . (51)

De asemenea, zgomotul alb va fi generat cu ajutorul funciei MATLAB

rraannddnn, dispersia

fiind fixat la valoarea 12 = . Pentru a pune n eviden erorile sistematice idiferenele dintre diferitele metode aplicate, vor fi iniiate 100 de experimente, n urmacrora se vor produce 100 de realizri pentru fiecare model. Dac s-ar lucra cu osingurrealizare, unele rezultate ar putea fi dependente ntr-o msurprea mare decaracterul aleator al datelor generate.

n aceest capitol, se vor studia trei metode de identificare ne-parametric, pe bazde: analiztranzitorie, analizde corelaie i analizspectral.


37/149


26

22..22..EExxeerrcciiiiiiEExxeerrcciiiiuull22..11

Verificai dac cele 2 modele generale (48) i (49) pot fi echivalate, n sensuldefiniiei din Exerciiul 1.4.

EExxeerrcciiiiuull22..22Determinai funciile pondere ale celor 2 sisteme liniare modelate de ecuaiile (48)i (49)pentru cazul general ARX[1,1] i OE[1,1]. Particularizare: definiiile (50).

EExxeerrcciiiiuull22..33Deducei relaiile recurente verificate de funciile de auto-covarian ale ieirii n

fiecare din cele 2 modele (48)i (49)pentru cazul particular n care polinoamelesunt definite ca n ecuaiile (50). Evaluai SNR al celor 2 modele n cazul n caresunt stimulate cu treapta unitari comentai rezultatele obinute.

EExxeerrcciiiiuull22..44Deducei relaiile generale ale densitilor spectrale de putere ale ieirilor celor 2modele (48)i (49)pentru cazul particular n care polinoamele sunt definite ca necuaiile (50). n acest caz particular, ca i n cazul particular (51), deduceirspunsurile n frecvenideale ale celor 2 modele (i.e. n absena zgomotului).

22..33..PPrroobblleemmeeddeessiimmuullaarreePPrroobblleemmaa22..11

n cadrul acestei probleme, se va studia analiza tranzitorie. Modelele ARX (48)iOE (49)vor fi simulate de 100 de ori cu intrarea treapt:

=

100,10,1

9,0][

n

nnu (52)

(timp de cel cel mult 100 de perioade de eantionare).

a.S se reprezinte grafic, ntr-o prim fereastr, rspunsul indicial ideal almodelului ARX (48)& (50)(adicn absena zgomotului) plus prima realizare aieirii. ntr-o a doua fereastr, s se traseze media rspunsurilor obinute (nprezena zgomotului), mpreun cu rspunsul indicial ideal i tubul deamplitudine a ieirii oferit de deviaia standard, ca n Figura 8. n acest scop, se

vor folosi funciile MATLAB: ffiilltteerr, mmeeaann i ssttdd. Observai c deviaiastandard trebuie calculatlund n considerare ansamblul statistic al realizrilori nu media acestor realizri. Ce rol credei ca are tubul de deviaie standardastfel ilustrat? Denumii mini-simulatorul pe care l-ai proiectat prin IISSLLAABB__22AA.

b.Studiai convergena ieirii la rspunsul indicial ideal variind numrul derealizri ale procesului ARX n diferite rulri ale mini-simulatorului IISSLLAABB__22AA.Este aparent verificatipoteza ergodic? (Oferii toate explicaiile necesare.)


38/149

2. Identificarea modelelor ne-parametrice

27

Figura 8. Exemplu de analiztranzitorie.

c. Imaginai o tehnicde estimare pe cale grafica celor 2 parametri a i b aimodelului ARX (48)& (50), folosind realizrile ieirii (mai precis zona tranzitoriea acestora).

d.Reluai simul

rile pentru modelul OE (49) & (50) (proiecta

i mini-simulatorul

IISSLLAABB__22BB) i comparai rezultatele cu cele ale simulatorului precedent.

e.Generalizai mini-simulatoarele IISSLLAABB__22AA i IISSLLAABB__22BB pentru cazul unuimodel ARMAX[na,nb,nc] (adicproiectai mini-simulatorul general IISSLLAABB__22CC)utiliznd aceeai intrare (52) i un zgomot alb de dispersie unitar. Rulaisimulatorul n cazul modelelor ARX i OE particularizate prin definiiile (51).Comparai rezultatele celor 2 modele. Pot fi determinai parametrii unui sistemde ordin 2 (amplificare, supra-reglaj, pulsaie de rezonan), afectat de zgomot,prin analiztranzitorie, ca n cazul sistemelor de ordin 1? Dacnu, argumentaide ce. Dacda, explicai n ce consttehnica de identificare.

PPrroobblleemmaa22..22Aceastproblemse referla analiza pe bazde corelaie. Nucleul acestui tip de

analizl constituie ecuaia Wiener-Hopf (10)descris n Introducere. Cu ajutorulacestei ecuaii, se poate determina o mulime finitde valori ale funciei pondere(rspunsul cauzal la impuls) asociate unui model de sistem cu ieiri corupte dezgomot. Dorim s determinm primele 50=M de valori ale funciei ponderefolosind cele 2 modele (48)i (49). Acestea vor fi stimulate cu un SPAB bipolar delungime 100=N . Valorile semnalului de intrare sunt doar 1i +1. Se vor efectua100 de experimente.

a.S se reprezinte grafic, ntr-o prim fereastr, funcia pondere ideal amodelului ARX (48)& (50)(adicn absena zgomotului) plus funcia pondere


39/149


28

estimat rezolvnd ecuaia Wiener-Hopf, cu ajutorul datelor de intrare-ieirecorespunztoare primei realizri a procesului. (Folosii Exerciiul 2.2pentru aimplementa ecuaia generala funciei pondere ideale.) ntr-o a doua fereastr,sse traseze media estimaiilor obinute (n prezena zgomotului), mpreuncusecvena pondere ideali tubul de deviaie standard din jurul mediei, ca nFigura 9. i n acest caz se vor folosi funciile MATLAB: ffiilltteerr, mmeeaanni ssttdd.Denumii mini-simulatorul pe care l-ai proiectat prin IISSLLAABB__22DD.

Figura 9. Exemplu de analizbe bazde corelaie.

b.Reluai simulrile pentru modelul OE (49) & (50) (proiectai mini-simulatorulIISSLLAABB__22EE) i comparai rezultatele cu cele ale simulatorului precedent.

c. Modificai mini-simulatoarele IISSLLAABB__22DD i IISSLLAABB__22EE astfel nct intrarea destimul sfie egalcu:

][8.01

][1

0 nuq

unu

def

f

= , Nn , (53)

unde 6.0)8.0(1 20 ==u este un factor de normare menit s egaleze

varianele lui u (semnalul SPAB original) i fu (versiunea filtrata semnalului

SPAB). Denumii noile mini-simulatoare prin IISSLLAABB__22FF i IISSLLAABB__22GG,respectiv. Observai c, de aceastdat, estimaia secvenei pondere pare a fideviat n ambele cazuri. Care credei c este cauza acestei proprietinedorite?

d.Pentru a diminua deviaia estimaiei secvenei pondere, se pot aplica 2 tehnicide baz: pre-albire de date sau idealizarea matricii de auto-covariana intrrii.


40/149


29

Pre-albirea datelor. Funcia MATLAB ccrraa efectueaz analiza be baz decorelaie nsoitde pre-albirea datelor, dacutilizatorul o dorete. Aceastoperaie constn filtrarea datelor de intrare-ieire cu ajutorul unui filtru IIRde tip AR[na]. Implicit, ordinul filtrului este 10=na , dar utilizatorul poatespecifica propria sa opiune n acest scop. Albirea datelor (mai ales deintrare) conduce la diminuarea deviaiei estimaiei. n general, aceasttehniceste utilizatatunci cnd nu se cunosc suficiente informaii despremaniera n care a fost generatintrarea.

Apelul tipic al funciei ccrraaeste:

[[iirr,,RR,,ccll]] == ccrraa((ddaattaa,,MM,,nnaa,,pplloott)) ;;

unde: ddaattaa este blocul de date msurate (2 coloane: [[yy uu]]);

MM este numrul de valori ale secvenei pondere ce trebuieestimate (implicit: MM==2200);

nnaa este ordinul filtrului de albire IIR-AR (implicit: nnaa==1100); dacnu se dorete pre-albirea datelor, se poate seta nnaa==00;

pplloott este un parametru de afiare grafic; implicit: pplloott==11, careindic trasarea graficului funciei pondere estimate; alteopiuni recunoscute sunt: pplloott==00(trasarea de grafice esteinhibat) i pplloott==22 (se traseaz graficele tuturor funciilorde corelaie implicate);

iirr este rspunsul cauzal la impuls (funcia pondere) estimat();

RR este o matrice care conine urmtoarele informaii decorelaie: pe prima coloan se afl pivoii funciilor de

covarian; pe coloana a doua se aflvalorile secvenei decovarian a ieirii (dup pre-albire, dac a fost cazul); pecoloana a treia se afl valorile secvenei de covarian aintrrii (dup pre-albire, dac este cazul); aceste secvenepot fi i direct trasate grafic prin apelul: ccrraa((RR));

ccll este nivelul de ncredere al estimaiei funciei pondere.

Idealizarea matricii de auto-covarian a intrrii. Dac utilizatorul este lacurent cu metoda de generare a intrrii i poate evalua secvena sa deauto-covarian, atunci matricea ecuaiei Wiener-Hopf (adicmatricea (8)din Introducere) poate fi implementatdirect. n acest context, rezolvareaecuaiei (care presupune totui estimarea corelaiei ncruciate dintreintrare i ieire) conduce la estimaii cu deviaie diminuat.

Folosind fiecare dintre cele 2 tehnici anterioare, s se modifice mini-simulatoarele IISSLLAABB__22FF i IISSLLAABB__22GG pentru a testa diminuarea deviaieiestimaiei n cazul intrrii (53). n cazul celei de-a doua tehnici, se va evaluanti secvena de auto-covariana intrrii n formcomplet. Pentru a construimatricea de auto-covariana intrrii, se poate folosi funcia MATLABttooeepplliittzz(avnd n vedere c aceastmatrice este de tip Toeplitz simetric). Denumiimini-simulatarele obinute prin IISSLLAABB__22HHi IISSLLAABB__22II (pentru modelul ARX)i IISSLLAABB__22JJi IISSLLAABB__22KK(pentru modelul OE).


41/149


30

PPrroobblleemmaa22..33Ultimul tip de analiz, cea spectral, va fi ilustrat n contextul acestei probleme.Prin analiza spectral se urmrete estimarea rspunsului n frecven al unuiproces furnizor de date, folosind ecuaia (32) din Introducere. Ecuaia poate firezolvat dac se estimeaz mai nti densitatea spectral a intrrii ( u ) i

densitatea spectral ncruciat a intrrii i ieirii ( uy ). Funcia MATLAB care

efectueazanaliza spectralplecnd de la date msurate este ssppaa. Apelul tipic alacesteia este:

HH == ssppaa((ddaattaa,,MM,,ww)) ;;

unde: ddaattaa este blocul de date msurate (2 coloane: [[yy uu]]);

MM este dimensiunea ferestrei Hamming aplicate datelor (implicit:MM==mmiinn((lleennggtthh((ddaattaa))//1100,,3300)));

ww este vectorul nodurilor de frecven unde se dorete estimatrspunsul n frecvenal sistemului;

HH este rspunsul n frecvenal sistemului.

De notat c fereastra Hamming este una dintre cele mai convenabile pentruestimarea spectral, avnd expresia:

1

2cos46.054.0][

=

nnW

, Nn , (54)

unde este deschiderea ferestrei, aa cum se poate vedea n Figura 10.

Figura 10. Fereastra spectrala lui Hamming.

Mini-simulatorul IISSLLAABB__22LL(al crui listing este prezentat n seciunea urmtoare)a fost proiectat pentru efectuarea analizei spectrale a modelului ARX (48)& (50), ncazul n care sistemul este stimulat cu intrarea fu (definiia (53) din problema

precedent). Diagrama Bode afiat de funcia IISSLLAABB__22LL este comparat curspunsul n frecvenideal dedus direct din ecuaia modelului (48)(vezi Exerciiul2.4), ca n Figura 11.

a.Efectuai cteva simulri cu diferite valori ale deschiderii ferestrei ( ) pentrua observa influena acestui parametru asupra calitii estimaiei i a propune ovaloare rezonabila lui.

b.nlocuii semnalul de stimul fu din mini-simulatorul IISSLLAABB__22LLcu un zgomotalb (sau un SPAB). Denumii noul simulator prin IISSLLAABB__22MM i repetai

0 50 100-0.5

0

0.5

1

1.5 Hamming

0 50 100-0.5

0

0.5

1

1.5 Hamming


42/149


31

experimentul de la punctul precedent. Comparai rezultatele celor 2 mini-simulatoare IISSLLAABB__22LL i IISSLLAABB__22MM pentru cele mai bune valori aledeschiderii ferestrei Hamming gsite n fiercare caz.

c.Proiectai mini-simulatoarele IISSLLAABB__22NNi IISSLLAABB__22OOinspirate de cele 2 mini-simulatoare anterioare, dar pentru modelul OE (49)& (50). Efectuai din nou oanalizcomparativ.

d.Proiectai mini-simulatoarele IISSLLAABB__22PP, IISSLLAABB__22QQ, IISSLLAABB__22RRi IISSLLAABB__22SSinspirate de cele 4 mini-simulatoare anterioare, dar pentru modelele ARX (48)& (51)i OE (49)& (51). Repetai analiza comparativ.

Figura 11. Exemplu de analizspectral.

CCoommeennttaarriiiipprriivviinnddpprrooiieeccttaarreeaammiinnii--ssiimmuullaattoorruulluuiiIISSLLAABB__22LL.

Rutina IISSLLAABB__22LLutilizeazatt cteva funcii MATLAB (versiunea 6.*) dedicate nspecial domeniilor IS i TS, ct i tipuri de structuri de date specifice domeniului IS(definite ca obiecte n biblioteca System Identificationa m

Documents

Identificarea sistemelor