En matemticas, las identidades trigonomtricas son igualdades que involucran funciones trigonomtricas, verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ngulos sobre los que se aplican las funciones). Estas identidades, son tiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonomtricas. Otra aplicacin importante es el clculo de integrales indefinidas de funciones no-trigonomtricas: se suele usar una regla de sustitucin con una funcin trigonomtrica, y se simplifica entonces la integral resultante usando identidades trigonomtricas. Notacin: se define cos2 , sen2 , etc; tales que sen2 es (sen )2.

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[editar] Relaciones bsicasRelacin pitagrica

Identidad de la razn

De estas dos identidades, se puede extrapolar la siguiente tabla. Sin embargo, ntese que estas ecuaciones de conversin pueden devolver el signo incorrecto (+ ). Por ejemplo, si , la conversin propuesta en la tabla indica que , aunque es posible que . Para obtener la nica respuesta correcta se necesitar saber en qu cuadrante est .

Funciones trigonomtricas en funcin de las otras cinco.

Funci n

sen

cos

tan

csc

sec

cot

sen

cos

tan

csc

sec

cot

[editar] De las definiciones de las funciones trigonomtricas

Son ms difciles de probar en la circunferencia trigonomtrica o goniomtrica (tiene radio=1):

A veces es importante saber que cualquier combinacin lineal de una serie de ondas senoidales que tienen el mismo perodo pero estn desfasadas, es tambin una onda senoidal del mismo perodo pero con un desplazamiento de fase diferente. Dicho de otro modo:

Es llamada identidad trigonomtrica fundamental, y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades ms, muy tiles para problemas introductorios del tipo conocido el valor de la funcin seno, obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni calculadora). Por ejemplo, si se divide ambos miembros por cos, se tiene:

Calculando la recproca de la expresin anterior:

Entonces puede expresarse la funcin seno segn alguna otra conocida:

y anlogamente con las restantes funciones .

[editar] Teoremas de la suma y diferencia de ngulosPueden demostrarse segn la Frmula de Euler o mediante la proyeccin de ngulos consecutivos. La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno, y las restantes de la recproca correspondiente.

De lo que se sigue para determinados ngulos suplementarios:

Para ngulos complementarios:

Para ngulos opuestos:

[editar] Identidades del ngulo mltipleSi Tn es el n-simo Polinomio de Chebyshev entonces

Frmula de De Moivre:

[editar] Identidades del ngulo doble, triple y medioPueden obtenerse remplazndolo y por x (o sea ) en las identidades anteriores, y usando Pitgoras para los dos ltimos (a veces es til expresar la identidad en trminos de seno, o de coseno solamente), o bien aplicando la Frmula de De Moivre cuando n = 2.

Frmula del ngulo doble

Frmula el ngulo triple

Frmula del ngulo medio

[editar] Producto infinito de Euler

[editar] Identidades para la reduccin de exponentesResuelve las identidades tercera y cuarta del ngulo doble para cos(x) y sin(x).

Seno

Cose no

Otro s

[editar] Paso de producto a sumaPuede probarse usando el teorema de la suma para expandir los segundos miembros.

[editar] De dnde se origina ?Esta explicacin muestra cmo obtener la frmula anterior paso por paso (en otras palabras, es una demostracin de como hacerlo). Sabemos por el teorema de la suma y la resta que:

Si separamos la suma de la resta quedan entonces los dos posibles casos: 1): 2): Si tomamos la ecuacin 1) y despejamos cos(x)cos(y) nos queda que: 3):

Y si sumamos el miembro de la derecha de la ecuacin 2) al miembro izquierdo de la ecuacin 3), y para mantener la igualdad se suma el lado izquierdo de la ecuacin 2) en el lado derecho de la ecuacin 3). (Recuerda que si se suma un elemento a ambos lados de la ecuacin se mantiene la misma), quedara:

Simplificando el elemento sin(x)sin(y) y sumando cos(x)cos(y) quedara: 2cos(x)cos(y) = cos(x + y) + cos(x y) Y por ltimo multiplicando ambos lados de la ecuacin por queda:

Nota 1: este procedimiento tambin se puede aplicar para demostrar el origen de las otras dos ecuaciones simplemente cambiando los valores. Nota 2: Usando 3) y el resultado anterior se obtiene tambin:

Notar el cambio de signo.

[editar] Paso de Suma a ProductoReemplazando x por (a + b) / 2 e y por (a b) / 2 en las identidades de Producto a suma, se tiene:

[editar] Eliminar seno y cosenoA veces es necesario transformar funciones de seno y coseno para poderlas sumar libremente, en estos casos es posible eliminar senos y cosenos en tangentes.

[editar] Funciones trigonomtricas inversas

[editar] Composicin de funciones trigonomtricas

[editar] Frmula de productos infinitosSeno Coseno

[editar] Frmula de Euler

[editar] Teorema del cosenoEn todo tringulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ngulo comprendido entre ellos. Para ngulos agudos (menores de 90):

Para ngulos rectos (iguales a 90): a2 = b2 + c2 Mejor conocido como Teorema de Pitgoras Para ngulos obtusos (mayores a 90):

[editar] HistoriaLos Elementos de Euclides, que datan del siglo III a. C., contienen ya una aproximacin geomtrica de la generalizacin del teorema de Pitgoras: las proposiciones 12 y 13 del libro II, tratan separadamente el caso de un tringulo obtusngulo y el de un tringulo acutngulo. La formulacin de la poca es arcaica ya que la ausencia de funciones trigonomtricas y del lgebra oblig a razonar en trminos de diferencias de reas.1 Por eso, la proposicin 12 utiliza estos trminos:En los tringulos obtusngulos, el cuadrado del lado opuesto al ngulo obtuso es mayor que los cuadrados de los lados que comprenden el ngulo obtuso en dos veces el rectngulo comprendido por un lado de los del ngulo obtuso sobre el que cae la perpendicular y la recta exterior cortada por la perpendicular, hasta el ngulo obtuso. Euclides, Elementos.2

Siendo ABC el tringulo, cuyo ngulo obtuso est en C, y BH la altura respecto del vrtice B (cf. Fig. 2 contigua), la notacin moderna permite formular el enunciado as:

Fig. 2 - Tringulo ABC con altura BH.

Faltaba esperar la trigonometra rabe-musulmana de la Edad Media para ver al teorema evolucionar a su forma y en su alcance: el astrnomo y matemtico al-Battani3 generaliz el resultado de Euclides en la geometra esfrica a principios del siglo X, lo que permiti efectuar los clculos de la distancia angular entre el Sol y la Tierra.4 5 Fue durante el mismo perodo cuando se establecieron las primeras tablas trigonomtricas, para las funciones seno y coseno. Eso permiti a Ghiyath al-Kashi,6 matemtico de la escuela de Samarcanda, de poner el teorema bajo una forma utilizable para la triangulacin durante el siglo XV. La propiedad fue popularizada en occidente por Franois Vite quien, al parecer, lo redescubri independientemente.7 Fue a finales del siglo XVII cuando la notacin algebraica moderna, aunada a la notacin moderna de las funciones trigonomtricas introducida por Euler en su libro Introductio in analysin infinitorum, permitieron escribir el teorema bajo su forma actual, extendindose el nombre de teorema (o ley) del coseno.8

[editar] Teorema del senoEn todo tringulo se da la siguiente relacin entre la longitud de sus lados a, b y c y el seno de sus respectivos ngulos opuestos A, B y C

[editar] Demostracin

El teorema de los senos establece que a/sin(A) es constante. Dado el tringulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento BO hasta cortar la circunferencia, se obtiene un dimetro BP.

Ahora, el tringulo PBC es recto, puesto que BP es un dimetro, y adems los ngulos A y P son iguales, porque ambos son ngulos inscritos que abren el segmento BC (Vase definicin de arco capaz). Por definicin de la funcin trigonomtrica seno, se tiene

donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:

Repitiendo el procedimiento con un dimetro que pase por A y otro que pase por C, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2R y por tanto son iguales. La conclusin que se obtiene suele llamarse teorema de los senos generalizado y establece: Para un tringulo ABC donde a, b, c son los lados opuestos a los ngulos A, B, C respectivamente, si R denota el radio de la circunferencia circunscrita, entonces:

Puede enunciarse el teorema de una forma alternativa:

En un tringulo, el cociente entre cada lado y el seno de su ngulo opuesto es constante e igual al dimetro de la circunferencia circunscrita.

b = qa + c 2abcosb== Aplicacin == El teorema del seno es usado con frecuencia para resolver problemas en los que se conoce un lado del tringulo y dos ngulos y se desea encontrar las medidas de los otros lados.

[editar] Definiciones exponencialesFuncin Funcin inversa