IŞCĂRI ARTICULARE ALE · PDF file IŞCĂRI ARTICULARE ALE IGIDULUI

172

IX.MIŞCĂRI PARTICULARE ALE RIGIDULUI

Dintre mişcările particulare ale corpurilor rigide, cele mai frecvent

întâlnite sunt cele înscrise în tabelul 9.1 Tabelul 9.1

Familia de

mişcare

Mişcări particulare Exemple Definiţie

Translaţie curbilinie

Un solid este în mişcare de translaţie într-un reper R, dacă tot timpul mişcării o dreaptă oarecare a solidului rămâne paralelă cu poziţia ei iniţială.

Translaţie rectilinie

Toate punctele solidului se deplasează după linii paralele între ele. Tr

an sla

ţia

Translaţie circulară

Toate punctele solidului se deplasează după curbe geometrice identice ori superpozabile.

MIŞCĂRI PARTICULARE ALE RIGIDULUI

173

Familia de mişcare

Mişcări particulare Exemple Definiţie

Ro ta ţia

Rotaţie cu axă

fixă

Toate punctele solidului descriu cercuri concentrice cu centrele pe axa de mişcare.

M işc

ar e

pl an

ă

Mişcare plan-

paralelă

Toate punctele solidului se deplasează în plane paralele între ele.

Alte mişcări ale rigidului întâlnite în studiul cinematicii corpurilor şi

sistemelor de corpuri, sunt:

• mişcarea elicoidală; • mişcarea rigidului cu punct fix; • mişcarea generală.

FUNDAMENTE DE MECANICĂ - Teorie şi Aplicaţii

174

174

9.1 Mişcarea de rotaţie cu axă fixă

9.1.1 Studiul general al mişcării. Grade de libertate

Un rigid efectuează o mişcare de rotaţie cu axă fixă, dacă două

puncte ale sale O1 şi O2 (deci o axă a sa ), rămân fixe tot timpul mişcării, (fig.9.1). Axa fixă se numeşte axă de rotaţie.

Fig.9.1 Mişcarea de rotaţie cu axă fixă Deoarece poziţia rigidului la un moment dat este complet precizată

cu ajutorul unghiului θ =θ(t), rezultă că în mişcarea de rotaţie cu axă fixă rigidul are un singur grad de libertate.

De asemenea, deoarece: 0 a ; 0v o0 == (9.1)

MIŞCĂRI PARTICULARE ALE RIGIDULUI

175

iar conform fig.9.1: kωω = şi kεε = (9.2)

Rezultă că în cazul mişcării de rotaţie cu axă fixă, ω este un vector dirijat după axa de rotaţie iar modulul său este viteza unghiulară ω = θ& . De asemenea, se remarcă faptul că vectorii ω şi ε sunt coliniari tot timpul mişcării.

9.1.2 Studiul distribuţiei de viteze

Distribuţia de viteze în mişcarea de rotaţie cu axă fixă rezultă din relaţia generală a lui Euler pentru distribuţia de viteze :

r x ωvv o +=

(9.3)

în care se ţine seama de relaţiile (9.1) şi (9.2), obţinându-se : r x v ω= (9.4) Din relaţia (9.4) rezultă că vectorul viteză v este perpendicular pe planul definit de vectorii ω şi r şi are modulul : d d sin r v ⋅=⋅=⋅⋅= θωαω &

(9.5) unde braţul d se află în planul definit de vectorii ω şi r iar vectorul v este perpendicular de O’M. Aceste rezultate, similare cu cele din mişcarea circulară a punctului material, justifică sensul fizic al vectorului ω , ca vector ce caracterizează mişcarea de rotaţie a rigidului şi denumirea acestuia de vector viteză unghiulară.

Expresiile analitice ale vitezei se obţin din dezvoltarea determinantului :

FUNDAMENTE DE MECANICĂ - Teorie şi Aplicaţii

176

176

z y x

0 0 k j i

r x v ωω ==

(9.6) de unde: ; 0 v ; x v ; y - v zyx === ωω (9.7)

9.1.3 Studiul distribuţiei de acceleraţii

Distribuţia de acceleraţii în mişcarea de rotaţie cu axă fixă rezultă din relaţia generală a lui Euler pentru distribuţia de acceleraţii:

) r x ( x r x aa o ωωε ++=

(9.8)

în care se ţine seama de relaţiile (9.1) şi (9.2), obţinându-se : ) r x ( x r x a ωωε += (9.9) unde r x ε , reprezintă componenta tangenţială a acceleraţiei, iar ) r x ω x ( ω reprezintă componenta normală a acesteia (axipetă).

Expresiile analitice ale acceleraţiei rezultă din dezvoltarea

determinanţilor :

0 x -yω

ω 0 0 k j i

zy x

ε0 0 k j i

a ω

+=

(9.10) de unde: 0 a ; y - x a ; x - y- a z

2 y

2 x === ωεωε

(9.11)

MIŞCĂRI PARTICULARE ALE RIGIDULUI

177

Din studiul distribuţiei de viteze şi de acceleraţii rezultă că în mişcarea de rotaţie cu axă fixă, vectorii viteză şi acceleraţie aparţin unor plane paralele cu planul xOy, iar punctele situate pe axa de rotaţie au viteze şi acceleraţii nule. Observaţie: În construcţia de maşini, pentru maşinile rotative, în mod curent se dă turaţia exprimată în rot/min. Relaţia de legătură între viteza unghiulară şi turaţie se obţine considerând că mişcarea este efectuată într-un minut:

30

n ⋅ =

πω unde ω se măsoară în rad/s iar rotaţia în rot/min.

9.2 Mişcarea elicoidală

9.2.1 Studiul general al mişcării. Grade de libertate

Un rigid efectuează o mişcare elicoidală, dacă două puncte ale

sale O1 şi O2 (deci o axă a sa ), rămân tot timpul mişcării pe o dreaptă presupusă fixă, (fig.9.2) numită axa mişcării elicoidale.

Fig.9.2 Mişcarea elicoidală

FUNDAMENTE DE MECANICĂ - Teorie şi Aplicaţii

178

178

Mişcarea elicoidală se poate considera ca fiind compusă din următoarele mişcări :

• translaţie de-a lungul axei mişcării, originea sistemului mobil deplasându-se pe axa Oz după legea:

zo = zo(t) (9.12)

• rotaţie în jurul axei mişcării, definită de parametrul : θ=θ(t)

(9.13) Astfel, corpul înaintează şi se roteşte simultan faţă de axa notată Oz

în fig.9.2, iar poziţia rigidului este definită cu ajutorul parametrilor independenţi zo = zo(t) şi θ = θ (t), rezultând că în această mişcare, rigidul are două grade de libertate.

Analog cu mişcarea de rotaţie cu axă fixă şi în acest caz :

k şik εεωω == (9.14)

iar viteza şi acceleraţia originii sistemului mobil sunt :

ka k z a ; k v k z v ooooo ⋅==⋅== &&&0 (9.15) Rezultă că în cazul mişcării elicoidale, vectorii ov şi ω sunt coliniari, tot timpul fiind dirijaţi după axa mişcării.

9.2.2 Studiul distribuţiei de viteze

Distribuţia de viteze în mişcarea elicoidală rezultă din relaţia generală (9.3) în care se ţinea seama de (9.14) şi (9.15), rezultând expresiile analitice ale vitezei :

z y x

0 0 k j i

kv r x vv oo ωω +=+=

(9.16)

MIŞCĂRI PARTICULARE ALE RIGIDULUI

179

de unde : ; v v ; x v ; y - v ozyx === ωω (9.17)

9.2.3 Studiul distribuţiei de acceleraţii

Distribuţia de acceleraţii în mişcarea elicoidală rezultă din relaţia

generală (9.8) în care se ţinea seama de (9.14) şi (9.15), rezultând expresiile analitice ale acceleraţiei :

0 x y-

0 0 k j i

z y x

0 0 k j i

kaa o ωω

ωε ++=

(9.18)

de unde : oz 2

y 2

x a a ; y - x a ; x - y- a === ωεωε (9.19)

Din studiul vitezelor şi acceleraţiilor unor puncte aparţinând rigidului în mişcare elicoidală, rezultă că distribuţia de viteze şi acceleraţii se obţine prin suprapunerea unui câmp de rotaţii e