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CAPITULO 12 ANALISIS DE DATOS Para la creación de la Teoría, la sola colección de resultados experimentales es insuficiente, debe de agregarse siempre un elemento de invención libre e imaginativa, de la mente humana Albert Einstein Los científicos emplean diversos métodos para analizar los datos colectados en observaciones, experimentos e investigaciones documentales, buscando leyes de la naturaleza, relaciones entre las leyes o verificando leyes teorías y modelos. Desde la más remota antigüedad el hombre ha colectado, ordenado y clasificado datos, tratando de encontrar patrones repetitivos en ellos. Egipcios, Mayas y Babilonios, descubrieron la periodicidad de los eclipses y la duración del año gracias al análisis de datos reunidos por los sacerdotes durante decenas de años. Hoy las computadoras permiten el procesamiento de datos en formas insospechadas por los científicos, y han acelerado el trabajo necesario para analizar grandes cantidades de datos. Entre los métodos más básicos para analizar datos

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CAPITULO 12

ANALISIS DE DATOS

Para la creación de la Teoría, la sola colección de resultados experimentales

es insuficiente, debe de agregarse siempre un elemento de invención

libre e imaginativa, de la mente humana

Albert Einstein

Los científicos emplean diversos métodos para analizar los datos colectados en

observaciones, experimentos e investigaciones documentales, buscando leyes de la

naturaleza, relaciones entre las leyes o verificando leyes teorías y modelos. Desde la más

remota antigüedad el hombre ha colectado, ordenado y clasificado datos, tratando de

encontrar patrones repetitivos en ellos. Egipcios, Mayas y Babilonios, descubrieron la

periodicidad de los eclipses y la duración del año gracias al análisis de datos reunidos por

los sacerdotes durante decenas de años. Hoy las computadoras permiten el procesamiento

de datos en formas insospechadas por los científicos, y han acelerado el trabajo necesario

para analizar grandes cantidades de datos. Entre los métodos más básicos para analizar

datos están las clasificaciones, tabulaciones, razones y proporciones.

Clasificación

En 1896 el químico ruso Dimitri Mendeleyev (1834 - 1907), descubrió que los elementos

que entonces se conocían, tenían ciertas propiedades químicas distintivas que “se re-

petían” periódicamente, si se ordenaban conforme a su peso atómico. Por ejemplo el litio

tiene propiedades en común con el sodio y el potasio. El ordenó los elementos conocidos

en base a dichas propiedades comunes creando una tabla de clasificación que publicó en

1898, en la que dejó espacios vacíos donde deberían estar elementos desconocidos en su

época, pero Mendeleyev acertadamente predijo que deberían existir, e inclusive indicó

qué propiedades químicas deberían tener. Al pasar de los años uno por uno todos los

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Aníbal Rodríguez Gómez EL ANÁLISIS DE DATOS 152

elementos faltantes fueron identificándose. Por ejemplo Francois Lecoq de Boisbaudran

descubrió en 1875 un elemento que Mendeleyev predijo tendría propiedades similares al

aluminio y lo llamó Gallium. La tabla periódica es un gran esquema de clasificación.

La clasificación consiste en ordenar fenómenos, cosas o hechos teóricos en base a

alguna propiedad o cualidad común a todos ellos. Los trabajos de clasificación han sido

fundamentales para el progreso de la ciencia. En la Biología abundan los esquemas de

clasificación de los seres vivos, y hasta la aparición del trabajo de Darwin era en gran

parte una ciencia casi exclusivamente clasificatoria. La clasificación se utiliza para lo

siguiente:

Identificar propiedades comunes de fenómenos, seres vivos o cosas.

Identificar patrones reveladores de leyes naturales.

Predecir la existencia de fenómenos, seres vivos o cosas, cuando se encuentran

patrones repetitivos.

Seleccionar métodos de análisis que pueden ser comunes a cosas que se repiten

periódicamente.

Los esquemas de clasificación son un reflejo del orden existente en la naturaleza. En su

nivel más sencillo clasificamos las cosas por propiedades apreciables a simple vista como

son el volumen, la forma, el color, el sabor, el olor, la textura de la superficie y otras. Los

químicos emplean las reacciones de las sustancias en contacto con otras sustancias, o las

relaciones con la composición química de los seres vivos, para clasificar sustancias. Los

Biólogos emplean cuestiones relacionadas con fisiología de los seres vivos. Los físicos

clasifican sustancias por su dureza, brillantez, su habilidad para conducir corriente

eléctrica y otras propiedades. La clasificación es un instrumento de análisis poderoso para

la ciencias, y todas las ramas de la ciencia están llenas de clasificaciones en todos sus

niveles.

Ejemplo 12.1 Productores y consumidores

entre los seres vivos

Los Biólogos en sus estudios acerca de las

relaciones entre los seres vivos, los clasifican

en productores o sea aquellos organismos que

152

Productores ConsumidoresPastos ConejosArboles VacasFlores ChivosRaíces Ratones

Cuadro 12.1

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Aníbal Rodríguez Gómez EL ANÁLISIS DE DATOS 153

fabrican su propia comida extrayendo sustancias directamente de la Tierra, el agua y el

aire, y consumidores, o sea aquellos que se comen a los productores a los que se llama

consumidores. El cuadro 12.1 clasifica ambos tipos de organismos.

Ejemplo 12.2 Cadena alimenticia en un lago.

Las cadenas alimenticias son esquemas de clasificación muestran las relaciones entre

consumidores secundarios, como es el caso de los carnívoros, que se alimentan a su vez

de consumidores primarios, e indican también las cantidades relativas de organismos de

un tipo que tiene que existir en un medio ambiente dado, para sostener a los que se

alimentan de ellos y además poder reproduión de la clasificacióncirse, y seguir

existiendo.

Gráficamente las cadenas alimenticias se representan en

esquemas en forma de triángulo. La figura 12.1 muestra

una cadena alimenticia sencilla de un lago. Las algas y las

plantas acuáticas son los productores primarios. De ellos

se alimentan insectos y gusanos acuáticos y peces. Los

peces pequeños a su vez se alimentan de esos insectos y

gusanos acuáticos, y los peces grandes se alimentan de los

pequeños. Evidentemente el número de productores primarios es mucho mayor que el de

secundarios, y así cada consumidor que se alimenta de los organismos mas chicos

presenta un número mas reducido, y por ello la cadena adopta la forma de un triángulo.

Tablas. Las tablas son esquemas sencillos para ordenar datos. En las matemáticas

llamamos a las cantidades que medimos variables, pues en general su valor cambiará

conforme realizamos experimentos y observaciones en diferentes circunstancias. A los

valores de las variables que medimos en las investigación se les llama datos. Cuando

realizamos observaciones o experimentos usualmente ordenamos los datos para

analizarlos. Evidentemente la ordenación de datos se realiza buscando mostrar las

relaciones de las variables que experimentamos. Por ejemplo si deseamos saber como se

calienta una cierta cantidad de agua a partir de cierta temperatura inicial cuando se

somete a calentamiento por un mechero, podemos medir dos variables el tiempo que

transcurre y la temperatura. Si medimos la temperatura cada minuto y el agua está a la

Algas y plantas acuáticas

Insectos, gusanos

Peces pequeños

Peces grandes

Figura 12.1

153

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Aníbal Rodríguez Gómez EL ANÁLISIS DE DATOS 154

temperatura inicial de 10oC obtenemos datos como el los siguientes: 1 min, 12oC; 2 min,

14oC; 3 min, 16oC; 4 min, 18oC; 5 min, 20oC. Anotados así los datos resultan difíciles de

interpretar. Sin embargo si se anotan en una tabla, es más fácil analizarlos. Para tabular

datos es conveniente acomodar claramente la variable que nosotros manejamos a

voluntad o independiente y la que indica el cambio que estamos analizando o

dependiente. Para el calentamiento de agua, es fácil darse cuenta que la variable que

manipulamos a nuestra voluntad es el tiempo durante el cual calentamos el agua, y la

variable que nos indica el calentamiento es la temperatura. Una tabla conveniente seria la

que se muestra a continuación.

TABLA 12.1

t (minutos) 0 1 2 3 4 5

T (oC) 10 12 14 16 18 20

La tabla permite visualizar de inmediato que conforme aumenta el tiempo durante el

cual se calienta el agua su temperatura aumenta uniformemente, a razón de 2oC cada

minuto. Con este ejemplo podemos apreciar los elementos más básicos de una tabla. Los

encabezados muestran las variables con las unidades respectivas, y se acomodan

usualmente al inicio del renglón. Los datos se anotan en correspondencia uno a uno entre

las dos variables.

No es la única forma en que se emplean las tablas. Podemos usarlas para anotar los

valores de alguna propiedad de la

materia para diferentes materiales. La

tabla 12.2 presenta las temperaturas a

las que se funden y se evaporan

diversos materiales. Esta tabla asume

un formato vertical en lugar del

horizontal del ejemplo anterior.

Ambos formatos son empleados por igual, siendo la elección de uno u otro un problema

exclusivamente de conveniencia. En general solo la imaginación limita las aplicaciones

de las tablas.

154

Sustancia Temperatura de fusión

(oC)

Temperatura de evaporación

(oC)Oxígeno -219 - 183Agua 0 100Plomo 328 1620Cobre 1083 2582Acero 1535 2582

Tabla 12.2

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Aníbal Rodríguez Gómez EL ANÁLISIS DE DATOS 155

Matemáticas y Ciencia

Para la ciencias naturales, la matemática es un lenguaje sucinto económico y

conveniente, que permite representar la realidad y a partir de ello hacer predicciones de

cosas que deben de suceder, como por ejemplo: las propiedades de una aleación, o de una

nueva sustancia química, o de una planta, o el vuelo de un satélite en el espacio

interplanetario.

Matemáticas e idealización La Física es la ciencia que ha ido más lejos en el uso de las

matemáticas como lenguaje para la descripción de los fenómenos naturales. Los Físicos

han podido expresar en estructuras matemáticas de una gran complejidad, virtualmente

la totalidad de las leyes que integran su disciplina. Sin embargo aunque en los textos

encontramos a las leyes de la Física expresadas como si fueran fórmulas matemáticas

perfectas, a menudo al aplicarlas a casos reales, tenemos que efectuar diversas

aproximaciones. Por ejemplo cuando calculamos la trayectoria real de un objeto como

una pelota de béisbol en el aire, tenemos que agregar a las ecuaciones, términos

adicionales para tomar en cuenta factores como la resistencia del aire. Las descripciones

matemáticas de la realidad a menudo son idealizaciones cuya validez está restringida

por las condiciones en las que se describe el fenómeno. Las descripciones matemáticas

mas básicas para analizar datos son las razones y las proporciones.

Razones y Proporciones

Para buscar relaciones numéricas y fórmulas sencillas entre cantidades, también nos

auxiliamos de las razones y las proporciones.

Razones. Todos hemos aprendido a dividir sumar multiplicar y restar, y que existe una

conexión entre dichas operaciones y cosas que ocurren en la vida diaria. Si exploramos el

significado de una división, digamos 10/5 = 2 el resultado significa que el número 10 o

numerador es 2 veces más grande que el número 5 o denominador. El número 2 es la

razón o relación entre los números 10 y 5. Si dividimos 1/2 = .5 el resultado indica que el

numerador es la mitad de lo que vale el denominador. Las razones son divisiones que

utilizamos para comparar datos, y el resultado indica que tan grande o tan chico es un

número con respecto al otro. A vía de ejemplo acerca del empleo de las razones veamos

los datos de la tabla 12.3 donde se presentan las medidas en kilogramos de las masas

promedio del cerebro, la masa corporal promedio, y el número estimado de neuronas en

155

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Aníbal Rodríguez Gómez EL ANÁLISIS DE DATOS 156

el cerebro de algunos animales y el ser humano.

TABLA 12.3

Animal

Masa del

cerebro (kg)

Masa del cuerpo

(kg)

Número

neuronas en el

cerebro (en

millones)

Relación

Masa del

cerebro

Masa del cuerpo

Número de

neuronas por kg

de masa

corporal

Rata .002 .3 20 .007 67

Elefante 6 7 000 18 000 .001 3

Delfín 1.75 150 10 000 .012 67

Gorila .6 250 3 600 .002 14

Hombre 1.3 60 8 500 .009 146

Los datos de las dos primeras columnas no tienen mucho sentido. Si relacionásemos

directamente masa encefálica con inteligencia, parecería que el elefante es el más

inteligente. Si se emplea la razón (Masa del cerebro/masa del cuerpo) parecería que el

delfín es el mas inteligente. Los biólogos y médicos que estudian la inteligencia de los

seres vivos, emplean la razón número de neuronas

masa corporal como indicador de inteligencia, que se

presenta en la sexta columna. En ella la ventaja favorece claramente al hombre.

Obviamente eso no lo es todo. Las investigaciones sobre inteligencia han ido más allá de

la relación de arriba. Sin embargo en este ejemplo puede apreciarse como las

comparaciones de datos mediante razones, permiten obtener resultados importantes

Proporciones. Una proporción es una razón o división pero no entre dos números fijos,

sino entre dos variables y se escribe como una división algebraica entre dos literales. Por

ejemplo la división (distancia/tiempo) = velocidad abreviada d/t = v, relaciona a los

cambios en la variable distancia (d) con los cambios en la variable tiempo (t). La variable

velocidad (v) representa un valor que puede cambiar conforme cambian los valores de la

distancia al pasar el tiempo. En (d/t) = v, se relacionan variables, o sea cantidades

pueden una infinidad de valores. El significado de la letra v es con mucho el mismo que

el significado del número 5 en el ejemplo de la razón (10/5) = 2, solo que v no

representa un número fijo determinado, sino un conjunto de números que puede ser

infinito, según sea el conjunto de valores que adopten d y t. Este es un ejemplo de lo que

156

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Aníbal Rodríguez Gómez EL ANÁLISIS DE DATOS 157

se llama una proporción. Analizando las tablas de valores entre variables, es posible

inducir relaciones matemáticas que describen la forma en que una variable cuando

cambia la otra.

La proporción directa Suponga que observamos un coche moviéndose en línea recta y

que en le preciso instante que pasa frente a nosotros, disparamos un reloj, y observamos

que en un segundo viaja 20 metros a partir de donde estamos parados, que en el siguiente

segundo viaja otros 20 metros, y que sigue viajando 20 metros cada segundo, sin que el

conductor modifique el movimiento. En el primer segundo se habrá alejado 20 metros de

nosotros, en dos segundos 40 metros, en tres segundos 60 metros, y en cuatro segundos

estará a 80 metros de nosotros. Podemos ordenar los datos en una tabla.

Tabla 12.4

Distancia (metros)

0 20 40 60 80

Tiempo (segundos)

0 1 2 3 4

Una primera aproximación para analizar los resultados es comparar los cambios en la

variable independiente con los cambios en la variable dependiente. Esto se hace restando

valores sucesivos de ambas variables.

El cambio de la variable independiente entre el primer y segundo valor es 1 s - 0 s =

1 s y el cambio correspondiente en la variable dependiente es 20 m - 0 m = 20 m.

El cambio de la variable independiente entre el segundo y tercer valor es 2 s - 1 s = 1

s y el cambio correspondiente en la variable dependiente es 40 m - 20 m = 20 m.

El cambio de la variable independiente entre el tercer y el segundo valor es 3 s – 2 s

= 1 s y el cambio correspondiente en la variable dependiente es 60 m - 40 m = 20 m

El cambio de la variable independiente entre el cuarto y el tercer valor es 4 s - 3 s = 1

s y el cambio correspondiente en la variable dependiente es: 80 m – 60 m = 20 m

Vemos que a cambios iguales en la variable independiente (el tiempo) corresponden

cambios iguales en la variable dependiente (la distancia). Cada vez que la variable

independiente (tiempo) aumenta por 1 segundo, la variable dependiente (distancia)

aumenta por 20 metros. Otra forma de decir esto es: En una proporción directa, si una

variable se duplica la otra también se duplica, si una variable se triplica la otra también

se triplica, es decir ambas variables cambian al mismo ritmo.

157

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Aníbal Rodríguez Gómez EL ANÁLISIS DE DATOS 158

Lo anterior sugiere una relación matemática entre las variables. Una forma elemental de

buscar esta relación es dividir entre si los valores de una variable entre los valores de la

otra es decir efectuar todas las divisiones posibles de: variable dependiente

variable independiente .

Dividiendo las distancias entre los tiempos correspondientes de la tabla 12.4 obtenemos:

(20m/1s) = 20 m/s, (40m/2s) = 20 m/s, (60m/3s) = 20 m/s y (80m/4s) = 20 m/s. Esto

indica que para dichos datos (d/t) = constante = v, constante que se llama en los cursos de

física rapidez. Hemos obtenido la ecuación: (d/t) = 20 m./s. A esta ecuación la llamamos

fórmula empírica pues se obtiene directamente de los datos sin recurrir a principios más

fundamentales. Despejando tenemos: d = (20 m./s.)t. Postular esta ecuación presupone

que si tomamos mas y mas medidas, miles de ellas del mismo fenómeno, al efectuar las

divisiones d/t el resultado siempre será idealmente de 20 m/s.

Con lo anterior podemos apreciar que si la relación entre dos variables es una proporción

directa la fórmula que relaciona ambas variables será: variable dependiente

variable independiente =

constante. En el álgebra las variables se identifican a menudo con las letras x, y aunque

no es regla general. A menudo la variable independiente se identifica con la letra x,

mientras que la variable dependiente se identifica con la letra y la ecuación

correspondiente a un proporción directa es, en general: y = (constante) x.

Ejemplo 12.3 Supongamos que medimos los volúmenes y las masas de un conjunto de 5

canicas de vidrio, y que los

resultados son los escritos en la

tabla 12.5.

Análisis de datos.

Dividiendo masa

volumen para cada

uno de las parejas de datos de la tabla obtenemos:

1.6 g/.52 ml = 3.06 g/ ml 12.6 g/ 4.19 ml = 3.01 g/ ml

42.4 g/ 14.14 ml = 3.00 g/ ml 100.5 g/ 33.51 ml = 3.00 g/ ml

196 gr/ 65.45 ml = 3.00 g/ ml La constante se obtiene promediando los

158

Tabla 12.5Masa (gramos) Volumen (ml = cm.3 )

1.6 .5212.6 4.1942.4 14.14100.5 33.51196.4 65.45

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Aníbal Rodríguez Gómez EL ANÁLISIS DE DATOS 159

valores masa

volumen, es decir constante =

(3.06 + 3.01+ 3 + 3 + 3)gr. ml.

5 = 3.01 g/ml. Con

esto la ecuación empírica es:masa

volumen =

M

V= 3.01 g/ml o bien M = (3.01 g/ml)V

Esta constante se llama densidad, y usualmente se denota con la letra griega (rho). La

fórmula es:M

V = o bien: M = V. La ecuación empírica sirve para calcular valores

que no están en los datos originales. Si queremos saber la masa de una canica con

volumen de 2 ml se sustituye este valor en la fórmula: M = V = (3.01 g/ml) (2ml.) =

6.02g

La proporción inversa Supongamos que al nivel del mar encerramos 20 mililitros de

aire en una jeringa de plástico, y que sellamos el

agujero de salida herméticamente. Los científicos

definen que la presión que del aire a nivel del mar vale

una atmósfera, entonces los 10 ml de aire quedarán

encerrados en la jeringa a la presión inicial de una

atmósfera.

Si se oprime el émbolo aumentará la presión por encima de la atmosférica, y el volumen

del aire de la jeringa disminuirá, hasta que se iguale la presión que ejerce con la que

oprime el émbolo. Conforme se aumenta la presión más y más, el volumen disminuirá

más y más (fig. 12.2), es decir conforme aumenta la presión, el volumen de aire dentro

de la jeringa disminuye. Si hacemos cuidadosamente el experimento obtendremos valores

como los que se muestran en la tabla de abajo.

Tabla 12.5

Presión 1 atmósfera 2 atmósferas 3 atmósferas 4 atmósferasVolumen 10 ml. 5 ml. 3.333 ml. 2.25 ml.Aplicando un análisis semejante al que se hizo con la proporción directa obtenemos:

El cambio en la presión entre el primer y segundo valor es (2 – 1) atm = 1 atm y el

cambio correspondiente en el volumen es 5 ml - 10 ml = - 5 ml

El cambio en la presión entre el segundo y el tercer valor es (3 – 2) atm = 1 atm y el

cambio correspondiente en el volumen es 3.333 ml - 5 ml = - 1.667 ml

El cambio en la presión entre el tercer y el cuarto valor es: (4 - 3) atm = 1 atm y el

Figura 12.2

159

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Aníbal Rodríguez Gómez EL ANÁLISIS DE DATOS 160

cambio correspondiente en el volumen es 2.25 ml - 3.333 ml = - 1.083 ml

Es evidente que si la presión se duplica el volumen se reduce a la mitad, si la presión se

triplica el volumen se reduce a la tercera parte, si la presión se cuadruplica el volumen se

reduce a la cuarta parte. Es decir al aumentar la presión el volumen disminuye. Esto es

entre las variables hay una proporción inversa, pues cuando una aumenta la otra

disminuye

Para determinar la ecuación empírica correspondiente a los datos de presión y volumen,

la división de una variable entre otra no nos ayuda mucho, pero si multiplicamos entre si

los valores de ambas variables obtenemos lo siguiente:

1 atm10 ml = 10 atm ml 2atm5 ml = 10 atm ml

3 atm3.333 ml = 10 atm ml 4 atm2.25 ml = 10 atm ml

Estos resultados indican de inmediato que la ecuación que relaciona ambas cantidades es

Presiónvolumen = constante o abreviadamente: PV = 10 atm ml En general la

ecuación correspondiente a un proporción inversa es x y = (constante).

La Proporción Directa con el Cuadrado La tabla 12.6 presenta los valores en metros,

de los radios de un conjunto de cinco discos ordenados de menor a mayor, así como las

áreas de sus superficies en metros cuadrados. Podemos considerar como variable

independiente el radio de cada disco y como variable dependiente el área

correspondiente.

Tabla 12.6Disco 1 Disco 2 Disco 3 Disco 4 Disco 5

Radio(metros)

1 2 3 4 5

Area

(metros2

)

3.1416 12.5664 28.2743 50.2656 78.5398

El cambio en el radio entre el primer y segundo datos es: (2m – 1m) = 1 m y el

cambio correspondiente en el área es (12.5664 – 3.1416) m2 = 9.4248 m2

El cambio en el radio entre el segundo y el tercer datos es: (3m–2m) m = 1 m y el

cambio correspondiente en el área es (28.2743 – 12.5664) m2 = 15.7079 m2.

El cambio en el radio entre el tercer y el cuarto datos es: (4m – 3m) m = 1 y el

cambio correspondiente en el área es (50.2656 – 28.2743) m2 = 21.9912 m 2.

160

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Aníbal Rodríguez Gómez EL ANÁLISIS DE DATOS 161

El cambio en el radio entre el cuarto y el quinto datos es: (5 m – 4 m) m = 1 m y el

cambio correspondiente en el área es (78.5398 – 50.2656) m2 = 28.2742 metros2.

Al aumentar el valor de la variable independiente (el radio), se incrementa el valor de la

dependiente (el área) pero no es ninguna de las proporciones que ya hemos visto. Para

determinar la ecuación empírica, se usan las razones entre números pero no se dividirán

entre si las variables dependientes e independientes, ahora se dividirán los valores

sucesivos de la variable dependiente, es decir los valores sucesivos del área, entre el

primer valor del área, redondeando los resultados conforme a las reglas de redondeo.

12.5664

3.1416 = 428.2744

3.1416 = 950.2656

3.1416 = 1678.5398

3.1416 = 25

Esto se interpreta de la forma siguiente, al doblar el valor del radio (2m = 21m), el área

se cuadriplica, al triplicar el valor del radio (3m = 31m), el área crece 9 veces, al

cuadruplicar el valor del radio (4m = 41m), el área crece 16 veces y al quintuplicar el

valor del radio (5m = 51m), el área crece 25 veces. Vemos también que 22 = 4; 32 = 9;

42 = 16; 52 = 25. Es decir el área se incrementa con forme el cuadrado del incremento en

valor del radio. Este es un ejemplo de proporción directa con el cuadrado. En la

proporción directa con el cuadrado al doblarse el valor de una variable, la otra se

incrementa al cuádruple, si se triplica el valor de una variable la otra se incrementa

nueve veces, y en general una variable se incrementa conforme el cuadrado del

incremento de la otra. La ecuación de la proporción directa con el cuadrado es y =

(constante)x2.

Para obtener la ecuación empírica en base a que en el análisis se observó una relación con

el cuadrado de todos los radios, se crea otra tabla copiando de la tabla anterior los datos

de las áreas, relacionándolas con los cuadrados del radio correspondiente (tabla 12.7)

TABLA 12.7

Area

(metros2

)

3.1416 12.5664 28.2743 50.2656 78.5398

Radio2

(metros2

)

1 4 9 16 25

161

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Aníbal Rodríguez Gómez EL ANÁLISIS DE DATOS 162

Dividiendo area

radio2 para cada uno de las parejas de datos de esta última tabla obtenemos:

3.1416

1= 3.1416 =

12.5664

4= 3.1416 =

28.2743

9= 3.1416 =

50.2655

16= 3.1416 =

78.5398

25= 3.1416 =

El resultado es bien claro Area del disco

radio2 = constante o en símbolos: A

r2 = constante = ,

de donde despejando área, la fórmula empírica es A = r2, es decir la fórmula para

encontrar el área encerrada por un círculo

No siempre las relaciones entre datos experimentales se ajustan a estos modelos. A

menudo el investigador tiene que hacer uso de su imaginación, así como cientos o miles

de ensayos, para encontrar relaciones útiles entre sus datos. Johannes Kepler, en una

época sin calculadoras, pudo dar sentido a los datos que le legó Tycho Brahe y construir

un nuevo modelo del Universo con mucha paciencia y cálculos “a mano”.

Ejemplo 12.4 Johannes Kepler analizó detenidamente los datos mostrados en las dos

primeras columnas de la tabla 12.8, relacionando la distancia de los planetas visibles a

simple vista hasta el Sol con el tiempo que les tomaba en dar una sola vuelta alrededor

del Sol, o sea su periodo de traslación. Kepler analizó varios años los datos, y el mismo

relata que en una primera aproximación dividió los datos de distancia y periodo entre si y

obtuvo los números de la cuarta columna de la tabla 12.8 que no le dijeron mucho.

TABLA 12.8Planeta Distancia

media al Sol (metros)

Periodo(días)

distancia

periodo Distancia3 Periodo2 distancia3

periodo2

Mercurio 5.835x1010 87.77 6.6486x108 1.987x1032 7,703.57 2.579x1028

Venus 1.086x1011 224.70 4.8331x108 1.281x1033 50,490.09 2.537x1028

Tierra 1.5x1011 365.25 4.10678x108 3.375x1033 133,407.56 2.53x1028

Marte 2.286x1011 6812.98 3.31314x108 1.195x1034 476,072.4 2.51x1028

Júpiter 7.8x1011 4,332.62 1.8003x108 4.746x1035 18,771,596 2.52x1031

Saturno 1.427x1012 10,7512.20 1.3263x108 2.906x1036 1.1576x108 2.51x1028

Sin embargo cuando dividió el cubo de cada distancia entré el cuadrado de cada periodo

obtuvo casi una constante. De hecho con los datos actuales sabemos que es una constante,

y descubrió una ley natural, que describe como se relacionan la distancia media de cada

planeta alrededor del Sol con el tiempo que le toma girar una vuelta alrededor del Sol.

162

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Aníbal Rodríguez Gómez EL ANÁLISIS DE DATOS 163

La relación que se aprecia en la última columna de la tabla 12.4 le indicó a Kepler que

entre las distancias medias entre cada uno de los planetas y el Sol, y el periodo de

translación de cada planeta alrededor del Sol existe la relación distancia

3

periodo2 = constante.

¿Como fue que a Kepler se le ocurrió dividir precisamente esos valores? Eso es algo que

Kepler definió después de muchos ensayos utilizando su imaginación e inventiva.

El ejemplo anterior nos muestra que por mas recetas matemáticas que tengamos a la

mano u otros auxiliares, nada sustituye el ingenio e imaginación del hombre. De hecho

en el análisis de la cuarta columna Kepler redujo el problema a una proporción directa

entre dos expresiones complejas como son el cuadrado del periodo y el cubo de la

distancia. La ecuación resultante es más compleja que una proporción directa: d3

=(constante)T2.

Intuición e Imaginación Científica

El empleo de auxiliares matemáticos es indudablemente una gran ayuda para buscar

regularidades en la naturaleza, sin embargo, nada sustituye la imaginación, la intuición

y otras cualidades del científico que a menudo supera con creces lo que le dicen estos

instrumentos de análisis. Los científicos ocupan diversas aproximaciones a los

problemas, y se guían por intuiciones que no son estrictamente lógicas. Para darnos una

idea de lo que es el método científico, tal y como es practicado por los científicos en la

realidad, nos referiremos nada menos que a Albert Einstein.

En una carta a su amigo el Filósofo Maurice Solovine, Einstein le describió su método.

Esquema de EinsteinFigura 12.3

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Aníbal Rodríguez Gómez EL ANÁLISIS DE DATOS 164

“El científico (Einstein) empieza su trabajo con el mundo de la experiencia, que incluye

lo que el científico ha aprendido en la escuela, sus lecturas y los resultados de los

experimentos propios o efectuados por otros científicos. En base únicamente a su

intuición física (Einstein era Físico), el salta de esos resultados concretos, y abstrae, o

sea inventa razonadamente, un postulado absoluto y muy general”. Por ejemplo la teoría

de la relatividad.

Einstein hizo varios de estos brincos conceptuales, mucho más allá de lo que cualquier

experimento de su tiempo podía verificar. Por ejemplo Einstein relacionó a la gravedad

con la Geometría del Universo sin ninguna base aparente conforme a los resultados de la

ciencia de su época. El siguiente paso es utilizar el postulado para deducir resultados

teóricos específicos que pueden ser verificados experimentalmente. Einstein predijo que

cuerpos muy grandes como el sol desviarían a los rayos de luz. Si un experimento

falsifica (no corresponde) al resultado teórico, hace caer al postulado en que se apoya. El

teórico no puede deducir estrictamente el postulado absoluto de las experiencias

concretas pues un postulado absoluto va mucho más allá de lo que los resultados

experimentales concretos y las experiencias permiten. Einstein afirmaba que “Para la

creación de la Teoría, la sola colección de resultados experimentales es insuficiente,

debe de agregarse siempre un elemento de invención libre e imaginativa de la mente

humana”. La intuición del investigador es primordial pero no es estrictamente un aspecto

racional o matemático del método y la creatividad científica.

Preguntas

1. Definir clasificación

2. ¿Para que se emplean los esquemas de clasificación¿

3. ¿Como se relacionan las clasificaciones con los hechos de la naturaleza?

4. ¿Porque las relaciones entre consumidores y productores sirven para elaborar

esquemas de clasificación?

5. ¿Porqué una pirámide alimenticia es un esquema de clasificación?

6. Busque en los textos de la biblioteca y describa un esquema de clasificación

empleado en la Física

7. Busque en los textos de la biblioteca y describa un esquema de clasificación

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Aníbal Rodríguez Gómez EL ANÁLISIS DE DATOS 165

empleado en la Química

8. Busque en los textos de la biblioteca y describa un esquema de clasificación

empleado en la Biología

9. Busque en los textos de la biblioteca y describa un esquema de clasificación

empleado en la Agronomía

10. Busque en los textos de la biblioteca y describa un esquema de clasificación

empleado en la climatología

11. Busque en los textos de la biblioteca y describa un esquema de clasificación

empleado en las matemáticas

12. Busque en los textos de la biblioteca y describa un esquema de clasificación

empleado en la zoología

13. Busque en los textos de la biblioteca y describa un esquema de clasificación

empleado en la Botánica

14. ¿ Cual es la relación entre las matemáticas y la ciencia?

15. ¿Porqué los modelos matemáticos de fenómenos naturales se llaman idealizaciones?

16. ¿Para que se emplean las tablas?

17. Busque en la biblioteca una tabla de valores empleada en la física reprodúzcala y

explique para que sirve

18. Busque en la biblioteca una tabla de valores empleada en la botánica reprodúzcala y

explique para que sirve

19. Busque en la biblioteca una tabla de valores empleada en la zoología reprodúzcala y

explique para que sirve

20. Busque en la biblioteca una tabla de valores empleada en la química reprodúzcala y

explique para que sirve

21. Busque en la biblioteca una tabla de valores empleada en la Agronomía reprodúzcala

y explique para que sirve

22. Busque en la biblioteca una tabla de valores empleada en la Geología reprodúzcala y

explique para que sirve

23. Busque en la biblioteca una tabla de valores empleada en la Climatología

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Aníbal Rodríguez Gómez EL ANÁLISIS DE DATOS 166

reprodúzcala y explique para que sirve

24. Defina razón y proporción

25. Defina proporción directa

26. Busque en la biblioteca una ley de la física que emplee una proporción directa

empleada en la física y explíquela junto con la fórmula correspondiente

27. Busque en la biblioteca una ley de la botánica que emplee una proporción directa

empleada en la física y explíquela junto con la fórmula correspondiente

28. Busque en la biblioteca una ley de la zoología que emplee una proporción directa

empleada en la física y explíquela junto con la fórmula correspondiente

29. Busque en la biblioteca una ley de la química que emplee una proporción directa

empleada en la física y explíquela junto con la fórmula correspondiente

30. Busque en la biblioteca una ley de la Agronomía que emplee una proporción directa

empleada en la física y explíquela junto con la fórmula correspondiente

31. Busque en la biblioteca una ley de la Geología que emplee una proporción directa

empleada en la física y explíquela junto con la fórmula correspondiente

32. Busque en la biblioteca una ley de la Climatología que emplee una proporción directa

empleada en la física y explíquela junto con la fórmula correspondiente

33. Busque en la biblioteca una ley de la Mecánica que emplee una proporción directa

empleada en la física y explíquela junto con la fórmula correspondiente

34. Explicar como se determina la constante experimental de una proporción directa

35. Busque en la biblioteca una tabla de valores de una proporción directa para la Física

reprodúzcala grafíquela y calcule la constante y la ecuación empírica

36. Busque en la biblioteca una tabla de valores de una proporción directa para la

zoología reprodúzcala grafíquela y calcule la constante y la ecuación empírica

37. Busque en la biblioteca una tabla de valores de una proporción directa para la

botánica reprodúzcala grafíquela y calcule la constante y la ecuación empírica

38. Busque en la biblioteca una tabla de valores de una proporción directa para la

química reprodúzcala grafíquela y calcule la constante y la ecuación empírica

39. Busque en la biblioteca una tabla de valores de una proporción directa para la

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Aníbal Rodríguez Gómez EL ANÁLISIS DE DATOS 167

Geología reprodúzcala grafíquela y calcule la constante y la ecuación empírica

40. Busque en la biblioteca una tabla de valores de una proporción directa para la

Meteorología reprodúzcala grafíquela y calcule la constante y la ecuación empírica

41. Busque en la biblioteca una tabla de valores de una proporción directa para la

Agronomía reprodúzcala grafíquela y calcule la constante y la ecuación empírica

42. Busque en la biblioteca una tabla de valores de una proporción directa para la

Astronomía reprodúzcala grafíquela y calcule la constante y la ecuación empírica

43. Describa que es una proporción inversa su gráfica y su ecuación

44. Busque en la biblioteca una tabla de valores de una proporción inversa para la Física

reprodúzcala grafíquela y calcule la constante y la ecuación empírica

45. Busque en la biblioteca una tabla de valores de una proporción inversa para la

zoología reprodúzcala grafíquela y calcule la constante y la ecuación empírica

46. Busque en la biblioteca una tabla de valores de una proporción inversa para la

botánica reprodúzcala grafíquela y calcule la constante y la ecuación empírica

47. Busque en la biblioteca una tabla de valores de una proporción inversa para la

química reprodúzcala grafíquela y calcule la constante y la ecuación empírica

48. Busque en la biblioteca una tabla de valores de una proporción inversa para la

Geología reprodúzcala grafíquela y calcule la constante y la ecuación empírica

49. Busque en la biblioteca una tabla de valores de una proporción inversa para la

Meteorología reprodúzcala grafíquela y calcule la constante y la ecuación empírica

50. Busque en la biblioteca una tabla de valores de una proporción inversa para la

Agronomía reprodúzcala grafíquela y calcule la constante y la ecuación empírica

51. Busque en la biblioteca una tabla de valores de una proporción inversa para la

Astronomía reprodúzcala grafíquela y calcule la constante y la ecuación empírica

52. Busque en algún libro de Biología, Químico o Física alguna ley que se establezca

mediante una proporción directa con el cuadrado, reprodúzcala explique porqué es

directa con el cuadrado y escriba su fórmula

53. Busque en algún libro de Biología, Químico o Física alguna tabla de valores para una

ley que se establece mediante una proporción directa con el cuadrado, reprodúzcala y

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Aníbal Rodríguez Gómez EL ANÁLISIS DE DATOS 168

grafíquela

54. Busque en los libros de Física, Biología o Química, alguna tabla de valores en la que

la división de un valor entre otro es la clave para entender los resultados,

reprodúzcala y explique que es lo que representa o como se interpreta

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