I Motores de Induccion Trifasicos 2005

8/8/2019 I Motores de Induccion Trifasicos 2005

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MOTOR DE INDUCCIN I: Fundamentos, circuitoelctrico equivalente y caractersticas ms relevantes

I.1. INTRODUCCIN

Las mquinas de induccin, muy ampliamente utilizadas en la industria, secaracterizan por su robustez y bajo mantenimiento debido a la ausencia en muchasde ellas de contactos elctricos mviles. Al igual que otras mquinas elctricasrotativas presentan dos circuitos elctricos alojados, en la parte esttica de lamquina el esttor y en la mvil el rotor, respectivamente. Ambos circuitos sonrecorridos por corrientes alternas a diferencia de lo que ocurre con las mquinas dec.c. y con las mquinas sncronas, de modo tal que slo el circuito del esttor sealimenta desde la red, ya que la corriente circulante por el rotor se crea en ste por

induccin electromagntica, fenmeno del cual procede precisamente el nombre demquina de induccin.

A pesar de que las mquinas de induccin podran funcionar como motor ocomo generador (incluso como freno segn se ver), su empleo ms extendido es elde motor y en lo sucesivo se har referencia a ste.

De hecho, la gran mayora de los motores empleados en la industria modernason de induccin, ya que abarcan una gama de potencias muy amplia que va desdelos pequeos motores de potencia fraccionaria o pocos kW, normalmente

monofsicos como los utilizados en electrodomsticos, hasta motores trifsicos decentenares de kW para accionamiento de bombas, elevadores, etc. Incluso existenmquinas de induccin lineales como las empleadas fundamentalmente en sistemasde transporte.

En resumen, puede decirse que los motores de induccin, por su simplicidadde constitucin presentan una robustez, fiabilidad de funcionamiento, bajaincidencia de averas y precio, que los han llevado a ser la principal fuente motrizde la industria actual.

I.2. CARACTERSTICAS CONSTRUCTIVAS

Los motores de induccin son convertidores electromecnicos de energa quetransforman energa de tipo elctrico que llega a su esttor en energa mecnica quesale del rotor, estando constituidos bsicamente por:

a) Un sistema elctrico compuesto por los circuitos inductor (en el esttor) einducido (en el rotor), de los cuales el primero tiene como misin lacreacin del flujo magntico variable necesario para la generacin de femen el inducido y la circulacin de la corriente consecuente que originar el


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movimiento, y el segundo servir de soporte a la circulacin de la citadacorriente.

El circuito elctrico del esttor est compuesto por bobinas alojadas

en las ranuras correspondientes, practicadas en la parte interna del mismo,conformando un bobinado distribuido a lo largo de su periferia, con lo quese consigue un mayor aprovechamiento del cobre y del hierro de lamquina, as como una onda de F.m.m* ms senoidal, y un par ms suave.En el caso de que sea trifsico existir un bobinado independiente por cadafase que se colocar convenientemente, como posteriormente se ver, que

podr ser conectado en estrella o en tringulo a la red de alimentacin.

Por su parte el circuito elctrico del rotor estar constituido por los

conductores introducidos en las ranuras de la parte exterior del rotor,conectados de forma tal, y esto es fundamental, que den lugar a un circuitocerrado. La forma en que se realiza el circuito del rotor caracteriza a los dostipos bsicos de motores de induccin trifsicos, a saber:

1. De rotor bobinado y anillos rozantes.

2. De rotor en cortocircuito o en jaula de ardilla.

En la primera de las formas el circuito del rotor est formado por un bobinado distribuido, uno para cada fase, cuyos terminales se conectan atres anillos que giran solidariamente con el eje del motor y sobre los cualesdeslizan sendas escobillas estticas que sirven para conectar el bobinado delrotor a un circuito exterior.

En la segunda de las formas, el circuito del rotor est compuesto porunas barras de cobre, aluminio u otros materiales conductores que seembeben en las ranuras del rotor y que se cortocircuitan mediante losanillos situados en los extremos, originando una estructura tpica de jaulade ardilla que es la que da nombre a este tipo de motor.

b) Un sistema mecnico, formado por el esttor y el rotor, cuyos ncleosferromagnticos son laminados, para evitar prdidas de energa ya queambos estarn sometidos a la accin de campos magnticos variables.Evidentemente, entre el esttor y el rotor existe una separacin que esconocida como entrehierro y que debe ser lo menor posible con el fin deconseguir elevados niveles de flujo magntico con pequeas intensidades deexcitacin.

* F.m.m. es la fuerza magnetomotriz


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3

c) Un sistema magntico de acoplamiento, constituido por el campo magnticoexistente en el entrehierro, mediante el cual se transfiere la energa delesttor al rotor salvando al citado entrehierro.

Fig. 1

ESTTOR

ENTREHIERRO

ROTOR

(a)

Banda de fase a 60

Ncleo laminado delesttor

Ranuras para el bobinado delesttor (slo se muestra una fase)

Rotor laminado

Detalle del bobinadodel rotor

(b)

Ranuras para el bobinado del rotor

Anillo decortocircuito

(c)

Conexin en estrella Conexin en tringulo

(d)

a

c

b

a

c

b

c a b

a

c

b

a c

b c

b a

60


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4

Para materializar las ideas recogidas con anterioridad, en la Fig.1 puedenobservarse:

a- Una seccin simplificada de un motor trifsico

b- Un esttor con las ranuras interiores.c- Un rotor bobinado y un rotor en jaula de ardilla.

d- Posibles conexiones en estrella y en tringulo del bobinado del esttor de unmotor trifsico.

I.3. CAMPOS MAGNTICOS GIRATORIOS: TEOREMAS DELEBLANC Y FERRARIS

I.3.1. ONDAS DE FUERZA MAGNETOMOTRIZ E INDUCCIN EN EL

ENTREHIERRO

Supngase un motor de induccin trifsico en el que para simplificarinicialmente su anlisis puede considerarse que cada bobinado de una fase ocupaslo dos ranuras, como puede apreciarse en la Fig. 2, en la que se ha representadoslo una fase (las otras dos se encontraran situadas a 120 y 240 respectivamenteen la periferia interna del esttor).

Ese bobinado produce un campo magntico cuyas lneas de induccin seobservan en la misma figura. Desde otro punto de vista, el citado bobinado crea un

imn con dos polos; el norte se encontrara en la parte superior donde las lneas deflujo salen del esttor y el sur en la parte inferior donde las citadas lneas entran enel mismo.

Fig. 2

F ()

0 , 2


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Si se rectifican las circunferencias del rotor y del esttor la figura anterior setransformara en laFig. 3.a:

Fig. 3

Representacin de la F.m.m. a lo largo de la periferia rectificada del esttor.

Y de la que puede deducirse que cualquier lnea de flujo magntico concatena

una fuerza magnetomotriz, es decir una intensidad neta, igual a i (siendo i laintensidad circulante por el conductor). Adems puede comprobarse cmo latrayectoria de estas lneas queda dividida en dos partes, estando cada una de ellas

bajo la zona de influencia de polos distintos. Si se aplica el teorema de Ampre acualquiera de estas lneas se tendra que:

H dl H dl H dl H dl H dl ie el

eh ehl

r rl

eh ehle eh r eh

. . . . . = + + + =1 2

(1)

Suponiendo que la permeabilidad magntica de los materiales del rotor o delesttor es infinita* los sumandos primero y tercero de la expresin anterior se

anularan quedando en consecuencia queH dl H dl ieh eh

leh eh

leh eh

. .1 2

+ =

Y considerando que Hel y dleh son vectores paralelos, que el entrehierro tiene

un espesor constante ly queHel es constante, se llega a que:

Heh . l + Heh . l = i

* En la realidad no seran infinita pero s mucho mayor que la correspondiente al entrehierro, por lo que lastensiones magnticas en el esttor y rotor pueden despreciarse frente a las del entrehierro

SUR NORTE SUR ROTOR

ESTTOR

i/2

F.m.m.

D

2

(a)

(b)


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7

Como se ha indicado anteriormente, la realidad constructiva de los motores en raznde diversas ventajas apuntadas hace que los devanados de las distintas fases delinductor se encuentren distribuidos a lo largo de la periferia del esttor, tal que el

correspondiente a una de las fases (por ejemplo la a) quedara de la forma siguiente:

Lneas de flujoo campo magntico

120

Rotor

Esttor

Ranuras para elbobinado del rotor

Ranuras para elbobinado del esttorEntrehierro

Fig. 4

Manteniendo iguales consideraciones respecto a las reluctancias rotor y esttoras como del espesor del entrehierro, la aplicacin del teorema de Ampreconducira a que la distribucin de la F.m.m. a lo largo del entrehierro adoptar unaonda de forma escalonada (trazo continuo en la Fig.5), donde de nuevo, para mejorcomprensin, se han rectificado las circunferencias del rotor y esttor.

Fig. 5.- Onda de fuerza magnetomotriz producida en el entrehierro por el devanado

distribuido de la fase "a".

ROTOR NORTE

ESTTOR

D/2

X

F.m.m

i

ii

i


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La onda escalonada citada puede aproximarse a la onda senoidal fundamentalde su descomposicin en armnicos ( tal descomposicin dar tambin lugar a ondasde frecuencia superior que ocasionan de hecho efectos nocivos en el funcionamiento

del motor, ver Apndice 1), que se ha dibujado en trazo discontinuo en la Fig.5.Para obtener la onda senoidal fundamental en este caso, puede aplicarse el teoremade superposicin y sumar las fundamentales debidas a cada espira o bobina,obtenidas segn el procedimiento seguido anteriormente. Grficamente la situacinsera:

Se trata como se puede comprobar de la suma de ondas senoidales que seencuentran desfasadas el espacio correspondiente a un diente . .D r P siendo r el

nmero de ranuras por polo, yPel nmero de polos de la mquina.

Como es frecuente en Electrotecnia, las ondas senoidales pueden representarse por medio de vectores giratorios, que en un momento dado constituirn losrespectivos fasores. As pues tales ondas senoidales se pueden sustituir por vectores,que en el plano complejo se hallan desfasados un ngulo que sera el quesubtiende cada diente en la circunferencia del esttor. La suma de las ondas,consiguientemente, se facilita al quedar reducida a la suma de vectores. En estesentido es claro que la amplitud de la onda resultante, no puede ser la suma de lasamplitudes de las ondas individuales (ello comportara que el vector suma de losvectores representativos tuviese por mdulo la suma algebraica de los mdulos),sino que ser el mdulo del vector resultante de la suma de los fasores antessealados (suma vectorial) .

Segn se razona en el Apndice 2, puede calcularse la amplitud buscadamultiplicando por un factor de minoracinKd (factor de distribucin) la suma de lasamplitudes individuales, de modo que para el caso analizado se tendr que:

(Amplitud) F.m.m. = Kd . 4 . 2i/ (4)

Y cuando en lugar de ser 4 las ranuras ocupadas por las bobinas de cada fase ypolo, tenga q, y stas tengan Nespiras, puede generalizarse a:

F.m.m. = Kd . q . 2i.N/ (5)

Si la bobina no es de paso diametral, tendr que introducirse un nuevo factorllamado factor de paso,Kp (ver apndice 2.2), de modo que quedara:

Eje del bobinadode fase


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9

F.m.m. = Kd . Kp . q . 2Ni/

As pues, con la aproximacin indicada, la circulacin de corriente por losconductores de la fase a del esttor, da lugar a una onda senoidal de fuerza

magnetomotriz en el entrehierro.

Ahora bien, si se recuerda que segn el teorema de Ampre:

F.m.m. = H . l (A.v.) (6)

donde en el caso que se est considerando les el espesor del entrehierro, y que en elaire se cumple que:

B Heh = 0 . (T) (7)

se tendr que:

B l Fmm l K K q

N ieh p d = =

0 0 2

. . . . . (T) (8)

Y dado que 0 es constante, se concluye que la onda senoidal de F.m.m. dalugar a otra onda senoidal de induccin magntica que slo se diferencia de laanterior en su amplitud (que en este caso ser la de la F.m.m. multiplicada por elcoeficiente 0/ l).

De la simple observacin de la onda se deduce que la induccin magntica esmxima en el eje magntico del bobinado y a partir de ah disminuye hasta anularseen el plano medio del citado bobinado. La expresin analtica de la induccin B en

funcin, o bien del ngulo recorrido o de la coordenada lineal x tomada sobre lacircunferencia media del entrehierro, considerando para ambas el origen en elmximo de la onda (eje magntico de la fase), ser:

( )B Bmaxc = cos (9)

y como:

xD

= .2

( )B x B xDmaxc=

.cos 2 (10)

La expresin anterior sera vlida en el supuesto de que la corriente i que

circulara por los conductores fuese continua. Si eso no es as, como por ejemplo encorriente alterna en que la citada intensidad vara senoidalmente con el tiempo, lamagnitud Bmax

* variar en la misma forma en el tiempo, con lo que la induccin

obedecera a la ecuacin:

( )B x t B xD B tx

Dmax max, . cos . cos .cos*=

=

2 2 (11)

donde es la pulsacin de la corriente alterna que circula por los conductores delesttor.


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Como ha quedado reflejado, ladisposicin del bobinado de la fase aen la Fig.4 ha dado lugar a la creacin

de dos polos magnticos, con lo que seestara ante una mquina bipolar. Noobstante, caben otras disposicionesconstructivas que permiten que el

bobinado de cada fase origine ms dedos polos; como muestra se recoge enla Fig.6el devanado correspondiente auna mquina de cuatro polos. Con talesantecedentes puede hacerse ahora ladistincin entre grados geomtricos y

grados elctricos, y la relacin que unea ambos.

En este sentido, se hacomprobado como en la mquina bipolar al recorrer completamente la periferia derotor (es decir, 360 geomtricos), se observa una onda completa de induccin (esdecir 360 elctricos). As pues en este caso:

elect geom= (obsrvese que en este caso la mquina tiene un par de polos ).

Si se examina ahora la mquina tetrapolar se puede concluir que al recorrerlos 360 geomtricos de la periferia del rotor, se observan dos ondas completas deinduccin magntica (es decir 720 elctricos), luego ahora se tiene que:

elect geom= 2 .

(ntese que se trata de una mquina con dos pares de polos).

Concluyendo, puede establecerse la expresin general siguiente para unamquina con un nmero cualquiera de polos:

elect geomp= . (12)

siendo p el nmero de pares de polos

Volviendo a la onda de induccin, cuando se trate de una mquina tetrapolarla representacin que se obtendra sera la siguiente:

Fig. 6

Devanado de una mquina de cuatro polos.


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Fig. 7

Y la correspondiente expresin analtica:

( ) ( ) ( )B B Bmax geom max elect = =* *. cos . cos2 (13)

que puesta en funcin de la coordenada x, y considerando que la induccin Bmax*

vara senoidalmente, con el tiempo llegara a :

( )B x t B t xDmax, . cos .cos .=

2

2 (T) (14)

De donde puede deducirse que, para cualquier nmero de polos, la onda de

induccin que tiene una variacin espacialx y temporal tquedara de la forma:

( )B x t B t P xDmax, . cos .cos=

(T) (15)

siendoPel n de polos de la mquina.

En la figura siguiente se representa en trazo discontinuo la onda de induccinen funcin de x para cuatro instantes diferentes (se le ha puesto el subndice "a"

para recordar que se trata de la onda producida por la fase a).

B

2 gradosgeomtricos


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Fig. 8

I.3.2. TEOREMA DE LEBLANC

Si se tiene en cuenta que:

( ) ( )cos . cos cos cosA B A B A B= + +1

2

1

2

La igualdad (15) puede ponerse en la forma:

( )B x t B P

Dx t

B P

Dx ta

max

B

max

Ba a

, . cos . cos=

+ +

+

2 2

(T) (16)

Es decir, la onda de induccin producida por la fase a puede descomponerseen dos, que vienen representadas en trazo continuo en la figura anterior en cuatroinstantes distintos y, como se aprecia en la misma, son ondas viajeras que sedesplazan a lo largo de la circunferencia media del entrehierro.

As, por ejemplo, si se analiza la onda Ba

+ , el valor de la misma ser mximo

siempre que se verifique que:

Ba (x,t)

x0

D/p

Ba+Ba-

2D/p

Ba (x,t)

Ba+Ba-

Ba (x,t)

Ba+

Ba-

Ba (x,t)

Ba-

Ba+


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PD

x t = 0

Ello lleva a que, cuando ha transcurrido un tiempo t1 desde el momento en

que se suministra corriente al bobinado del esttor, el mximo de la onda seencuentra en el punto determinado por la coordenadax siguiente:

xD

Pt1 1= . .

En cambio, cuando el citado tiempo sea t2 el mximo ocupar la posicindada por:

xD

Pt2 2= . .

En definitiva, si t2 > t1 se cumplir quex2 > x1 y en el intervalo de tiempo t2- t1, el mximo (y la onda de B

a

+ ) han recorrido un espaciox2 - x1. En consecuencia,

tal onda se desplaza en sentido positivo (considerando ste hacia la derecha), conuna velocidad de:

( )

( ) ( )vD

Pt t

t tD

P=

=

. ..

2 1

2 1

(m/s)

Siguiendo un razonamiento anlogo para Ba

, se tendr que:

P

Dx t+ = 0

xD

P t1 1= . .

xD

Pt2 2= . .

Si t2 > t1 se cumple que x2 < x1 lo que indica que esta onda se desplaza ensentido negativo a la misma velocidad que la onda B

a+ , de modo que la citada

velocidad expresada en funcin de la frecuencia f de la corriente alterna dealimentacin del esttor quedar como:

v f D P = 2 . / (m/s) (17)

Si en lugar de utilizar la disposicin rectificada de esttor y rotor, se empleala forma circular que se observa en la Fig.9, pueden representarse las ondas deinduccin comentadas (para una superficie de paso constante coincidiran, condistinta amplitud, con las de flujo magntico), mediante vectores cuya direccinsealar en cada momento la posicin del valor mximo de la onda correspondiente.De acuerdo con tal representacin, el vector correspondiente a Ba a se

mantendr fijo en el eje magntico del bobinado mientras que loscorrespondientes a B

a +,

a +, y B

a ,

a tendrn carcter giratorio, desplazndose

en sentidos contrarios con igual velocidad angular, dada por:

ind P= 2 (rad geomtricos/s)


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O bien, ponindola en funcin del nmero de pares de polos de la mquina:

pP

=2

ind

p= (rad geomtricos/s)

O recordando que:

elec geomp= .

ind = (rad elctricos/s)

Resumiendo, puede concluirse que un campo magntico alternoBa fijo enel espacio, puede descomponerse en (o considerarse compuesto por la suma de) doscampos magnticos giratorios de amplitud mitad (de la mxima que puede alcanzarel campo alterno) y que giran, en sentidos contrarios a una misma velocidad angularind , que expresada en radianes elctricos es igual a la pulsacin del campomagntico alterno , y en radianes geomtricos a sta dividida por el nmero de

pares de polos del devanado. Esta conclusin constituye el Teorema de Leblanc.

Fig. 9

I.3.3. TEOREMA DE FERRARIS

Hasta aqu se ha considerado slo la existencia del devanado de la fase a. Enrealidad tales consideraciones haran referencia, en su caso, a motores monofsicos,

pero en el supuesto de que sean trifsicos habr que tener en cuenta los otros dosdevanados b y c que como se ha indicado se sitan a 120 y 240 (elctricos)respectivamente en relacin con el a, tal como se observa en la Fig.1. Adems cadauno de estos devanados, si el sistema que alimenta al motor es trifsico equilibrado,estar recorrido por corrientes desfasadas en 2/3.

Eje magnticode la fase a

Lneas deinduccin

a+a-

a

D


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En consecuencia, la aplicacin de un desarrollo similar al realizado para lafase a llevara a que los bobinados b y c darn lugar a las ondas de induccinmagntica siguientes:

( )B x t B t PD

xb max, . cos . cos=

2

323

( )B x t B t P

Dxc max, . cos . cos=

4

3

4

3

Aplicando el principio de superposicin, la induccin total producida por lostres devanados ser:

Btot (x , t) = Ba (x , t) + Bb (x , t) + Bc (x , t)

Realizando para Bb yBc la misma descomposicin que paraBa se tiene que:

( )B x t B PDx t B PDx t B PDx t

B P

Dx t

B P

Dx t

B P

Dx t

totmax max max

max max max

, . cos .cos .cos

.cos .cos .cos

= + + + +

+ +

+

+ +

2 2 2

2

4

3 2 2

8

3

( )B x t BP

Dx ttot max, . cos=

3

2 (18)*

De nuevo se est ante una onda viajera cuya velocidad angular en radianesgeomtricos es /p , o en radianes elctricos.

Grficamente puede llegarse a la misma conclusin a partir de la observacin

de la Fig.10, en la que se han descompuesto en sus respectivas componentesmviles los campos alternos fijos en el espacio que originaran cada uno de los tresdevanados monofsicos del esttor, ya que puede comprobarse como:

1) Las tres componentes que giran a dextrorsum se encuentran en fase en elespacio, dando como resultante una onda de induccin de amplitud 3/2 Bmax .

2) Las tres componentes que giran en sentido sinestrorsum forman un sistemade tres vectores iguales y desfasados 120 cuya resultante es nula.

3) El sentido de giro del campo magntico giratorio resultante se invertir si secambia la secuencia de alimentacin de las fases del esttor, de modo que si

* En general, si en lugar de ser tres fases fueran m la expresin para la onda de induccin sera:

( )B x t m

BP

Dx ttot max, ) cos )=

2

con ( )B l K q N I l K N I max D r D q=

=

0 02 2 0 9. . . ' . .

siendo:

I el valor eficaz de la corrienteNq el nmero de conductores por fase y poloNr el nmero de conductores por ranura


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tal frecuencia es "abca" como se recoge en la Fig.10, el sentido ser elhorario, y si se cambia a "acba" el sentido ser el antihorario.

Adems puede constatarse cmo en el instante en que el devanado de unadeterminada fase es recorrido por la intensidad mxima, el mximo del campo

magntico giratorio resultante coincide con el eje magntico del citado devanado, esdecir, en su giro, el vectorBres va pasando por los ejes magnticos de las fases a,b c, cuando las intensidades que recorren los respectivos devanados son mximas. Porello, si se analiza la expresin

( )B x t BP

Dx tres max, . cos=

3

2

la intensidad ser mxima en la fase a cuando .t = 0 y en tales condiciones el Bres mximo coincidir con el eje magntico de la fase a.

En resumen, puede establecerse que un devanado trifsico esttico queproduce p pares de polos magnticos, recorrido por corrientes alternas que formanun sistema trifsico equilibrado, de pulsacin , crea un campo magntico giratorioque gira a la velocidad angular /p (rad geom/seg), lo que constituye el enunciadodel teorema de Ferraris si las condiciones anteriores se extienden a un devanado

polifsico recorrido por corrientes que forman un sistema polifsico equilibrado.

La velocidad del campo magntico giratorio recibe el nombre de velocidadsncrona ns, y frecuentemente se expresa en rpm. As, el devanado trifsico delesttor de un motor de p pares de polos, alimentado por una red de 50 Hz defrecuencia, estar caracterizado por una velocidad sncrona de:

Fig. 10

Eje magnticode la fase a

Eje magnticode la fase b

Eje magnticode la fase c

a

a-

c- b

c

b-

a+ = b+ = c+

Flujo resultantegiratorio


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17

( )( )

nf

p

rad

s

s min

rad rev

f

ps=

=2 60

2

601 1

. .(rpm) (19)

y por tanto las velocidades sncronas para motores de 1 y 2 pares de polos sern,

respectivamente de:( )

( )n

rad

s

s min

rad revrpms = =

2 50

1

60

23000

. ;( )

( )n

rad

s

s min

rad revrpms = =

2 50

2

60

21500

.

I.4. FUERZAS ELECTROMOTRICES INDUCIDAS

Un campo magntico giratorio como el descrito en el apartado anterior crearpor induccin fuerzas electromotrices, tanto en los bobinados del esttor como enlos del rotor, ya que, en general, ambos cortarn un flujo magntico variable con el

tiempo. En lo que sigue se obtendrn las expresiones correspondientes para talesfuerzas electromotrices (fems).

Comenzando por el esttor, puede suponerse al iniciar el anlisis que el bobinado de cada fase est concentrado en un par de ranuras, que en el caso de bobinas de paso diametral y la mquina sea bipolar estarn separadas 180geomtricos o elctricos, y que en el caso de que la mquina tenga mayor nmerode polos mantendr la distancia de 180 elctricos, con lo cual irn reduciendo sudistancia en grados geomtricos (por ejemplo en la tetrapolar estarn a 180/p=90grados geomtricos) * de lo que se desprende que la distancia lineal entre las dos

ranuras citadas en el caso de una mquina con p pares de polos ser . /D p2 . As,la situacin para el devanado de la fase a ser la representada en la figura siguiente:

Fig.11

* El espacio ocupado por un polo se llama paso polar. A las bobinas que tienen sus ranuras opuestas situadas

a la distancia de un paso polar se les denomina de paso diametral, existiendo tambin bobinas de pasoacortado o alargado segn que las citadas ranuras se encuentren a menor o mayor distancia del citado pasopolar ( ver figura enApndice A.2.2).

Bres

V

L

dx

Dp2

x = 0


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El flujo magntico que atraviesa el espacio correspondiente a un polo podrcalcularse mediante el desarrollo siguiente:

[ ]

= =

=

=

=

=

=

= + =

=

=

=

=

=

= B L dx B

P

Dx t L dx

BD

PL

P

Dx t

B LD

P

P D

p Dt

P D

p Dt

B LD

Pt t

B L D

P

resx D p

x D p

maxx D p

x D p

max

x D p

x D p

max

maxmax

4

4

4

4

4

4

4 4

2

. . . cos .

. . . sen

. . . sen sen

. . . cos cos. . .

'

'

'

''

( ).cost Wb

donde:

L es la longitud axial del esttor.

B Bmax max' =

3

2siendo Bmax la induccin mxima debida a cada devanado de

fase.

El flujo obtenido es el llamado flujo por polo que como se observa es elconcatenado o abrazado por el bobinado concentrado de la fase a que se harepresentado y que, de forma simplificada, vale:

= ma x . cos t (Wb)

con

max maxBD L

P= 2 '

.

En consecuencia, aplicando la ley de Faraday en la bobina de la fase a delesttor y considerando que tal bobina solo tiene una espira, se inducir una fem quetendr por valor:

e1 = - d/dt = ma x..sen t

Si la citada bobina presenta N1 espiras, alojadas en cada una de las ranuras

representadas, la fem total inducida ser:e1= N1 .max ..sen t = E1 max .sen t

ya que al estar todos los conductores en la misma ranura sus fem inducidas estarnen fase, y la resultante de todas ellas ser la suma algebraica de cada una de lasindividuales.

Ahora bien, ya se ha indicado que en la prctica el devanado de cada fase nose halla concentrado sino distribuido tal como se aprecia en la Fig.4. En este casolas fems inducidas en cada una de las bobinas del devanado no se encuentran en

fase y al sumarlas, para dar la resultante indicada, deber realizarse una sumavectorial (ver Apndice 2), cuyo resultado ser inferior a la suma algebraica. Para


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19

cuantificar esta situacin se introduce el coeficiente o factor de distribucinKd, conlo cual:

E1 max = Kd .N1 .max .

dondeN1 es ahora el nmero de espiras en serie por cada fase y polo.

Hasta aqu se ha considerado que las bobinas son diametrales. Sin embargoes frecuente que en mquinas polifsicas dichas bobinas presenten un paso acortado(esta disposicin elimina armnicos), por lo que debe introducirse adems un factorde paso (verApndice 2.2) de modo que la expresin anterior quedara:

E1 max = Kd .Kp.N1 .max .

Normalmente el producto de Kd . Kp se resume en un nico factor llamadofactor de devanado K

De interesa ms el valor eficaz que el mximo de la fem

inducida, de forma que si se admite que la onda tiene forma senoidal, introduciendoel factor de forma correspondiente, se llega a que:

EE

K N f K N f max Dmax

D max1 1 12

22

4 44= = =. . . ' . . . .

(V) (20)

En general cuando la mquina tenga ms de un par de polos, N1ser el nmerode espiras por fase.

I.5. FUNCIONAMIENTO DEL MOTOR DE INDUCCIN TRIFSICO

El principio de funcionamiento del motor de induccin es muy simple ypuede describirse con la siguiente sucesin de fenmenos:

En primer lugar al conectar al devanado del esttor a la red se produce, comose ha visto, el campo magntico giratorio que induce fem en el propio devanado delesttor y tambin en el del rotor, ya que ste cortar un flujo magntico variable. Acontinuacin, si el devanado del rotor constituye un circuito cerrado, la feminducida en el mismo har que circule corriente y, por ltimo, la interaccin de stacon el campo magntico, dar lugar a fuerzas de origen electromagntico que crean

el par motor causante del giro del rotor.

Despus de esta breve descripcin pueden analizarse con ms detalle lossiguientes modos de funcionamiento:

I.5.1.FUNCIONAMIENTO CON EL ROTOR EN REPOSO

Considrese un motor trifsico de rotor bobinado en reposo pero con suesttor conectado a la red. Esta situacin puede darse en el momento del arranque sise bloquea el rotor o siempre que el circuito del rotor se encuentre abierto. Bajo este

supuesto, la velocidad relativa del campo magntico giratorio respecto a losbobinados del esttor y del rotor ser la misma, esto es, la velocidad de sincronismo


20/65

20

ns y por tanto las frecuencias de las fems. inducidas en el esttor y en el rotor serniguales entre s y a la frecuencia de la tensin de alimentacinf1.

Las magnitudes de las fuerzas electromotrices, inducidas en el esttor y en el

rotor sern:

E K N f D max1 1 1 14 44= ' . . . . (V)

E K N f D max2 2 2 14 44= ' . . . . (V)

dondeKD2 yN2 tienen el mismo significado en el rotor que KD1 yN1 en el esttor.

A la relacin existente entre E1 y E2 se le denomina relacin de tensiones,esto es:

r EE

K NK Nt

D

D

= =12

1 1

2 2

.

.

En muchos casos, los factores de devanado del rotor y del esttor son igualesy por tanto:

rt = N1/N2 = re relacin de espiras

Si el rotor estuviera abierto no circulara corriente por el mismo y enconsecuencia la corriente que recorrera el esttor sera la de excitacin necesaria

para el mantenimiento del campo magntico (si no se consideran prdidas

mecnicas).

En este sentido el diagrama fasorial de las variables de una fase ser elrepresentado en la Fig.12, siempre que no se considerasen las prdidas magnticasen los ncleos del esttor y del rotor.

La situacin representada correspondeal caso en que los ejes magnticos de los

devanados de las fases del rotor estacionariocoincidan con los de los devanados delesttor. Si esto no ocurriera, situacin que

puede darse con facilidad, se producir undesfase entre las fems inducidas en el esttory en el rotor igual al ngulo que separe a losejes citados, lo que permite el que unamquina de induccin de rotor bobinadoestacionario pueda ser empleada como uncorrector de fase.

U1

E1

E 2

I 0 (giratorio)

E1

I 0R .1

I0X . j1

Fig. 12


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21

I.5.2.FUNCIONAMIENTO CON EL ROTOR GIRANDO

Cuando se conecta el esttor a la red trifsica, si el motor es de jaula deardilla, o si siendo de anillos rozantes tiene sus bobinados cerrados, las fems

inducidas en el rotor harn circular corrientes por el mismo, que al interaccionarcon el campo magntico del entrehierro darn lugar al par correspondiente, y el ejedel motor, si no se le bloquea, comenzar a girar en el sentido que lo hace el campomagntico giratorio como consecuencia de la ley de Lenz que obliga a que lasconsecuencias de las fems inducidas se opongan a las causas que las producen. Eneste caso la causa sera la velocidad relativa de la onda de flujo magntico respectodel rotor y, por lo tanto, el rotor se acelerar hasta alcanzar una velocidad deequilibrio n inferior a la velocidad sncrona ns. Evidentemente si el rotor llegase agirar a la velocidad del campo magntico giratorio, no se creara ni fem ni corriente

alguna en el rotor y como consecuencia desaparecera el par y el motor se parara.

El motor de induccin segn lo indicado girar en condiciones normales auna velocidad prxima a la de sincronismo pero sin llegar a ella, razn por la cualtambin recibe el nombre de asncrono.

La diferencia entre la velocidad sncrona y la de giro del rotor se denominadeslizamientos y suele expresarse en % relativo a la velocidad sncrona, es decir:

sn n

ns

s

=

100

Ya se ha comprobado cmo el campo magntico girando a una velocidad nsrespecto al esttor (o al rotor en reposo) originaba las fems cuya frecuencia era f1 ,estando ambas (ns y f1) relacionadas por la expresin (19). Si ahora el rotor semueve y la velocidad del campo magntico respecto a l es de ns-n, la fem inducida(y las corrientes a que sta pudiera dar lugar) tendr una frecuenciaf2, distinta de f1,que valdr:

( )f

p n ns2 60

=.

(Hz) (21)

siendop el nmero de pares de polos y estando ns y n expresadas en rpm.

Por lo tanto:

fp

n s f ss2 160= =. . . (22)

con el deslizamientos considerado en tanto por uno.

De acuerdo con lo anterior, el valor eficaz de la fuerza electromotriz en cadafase del rotor valdr ahora:

E K N f s D max2 2 2 24 44= ' . . . .

Y sustituyendof2 segn (22) se llega a que:


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22

E K N s f s E s D max2 2 2 1 24 44= =' . . . . . .

donde E2s indica la fem inducida en cada fase del rotor cuando ste gira con undeslizamientos y, como se comprueba, es igual a la correspondiente con el rotor en

reposoE2 (esto es, a la frecuencia del esttorf1) multiplicada por el deslizamiento.

Las corrientes en el rotor tambin pulsarn a la frecuencia f2 y puesto queste presenta un nmero de pares de polos igual al del bobinado del esttor (en elcaso de motores de rotor bobinado porque el devanado se dispone constructivamente

para que tenga el mismo nmero de polos que el del esttor, y en el de rotor de jaulade ardilla porque automticamente se adapta el rotor a los polos del esttor) y porl circula un sistema polifsico equilibrado de corrientes, se originar un campomagntico giratorio propio, que se mueve "respecto al rotor" a la velocidad angularsiguiente:

nf

p22 60=

. (rpm)

en el mismo sentido que ns o n.

Puesto que la velocidad relativa del rotor respecto al esttor es n, la que presentar el campo magntico giratorio creado en el rotor en relacin con unobservador situado en el esttor sera:

( )( )

n n nf

pn s n n

nn n

nn n n rpm

s

s

ss s

2 22

2

60'

'

..

.

= + = + = +

=

+ =

Con lo que se demuestra que los campos magnticos giratorios creados porlas corrientes del esttor y del rotor, se desplazan a la misma velocidad absoluta(igual a la de sincronismo). Ambos campos son por tanto estacionarios entre s, perono se encuentran en fase.

I.6. CIRCUITO ELCTRICO EQUIVALENTE

El establecimiento de un circuito elctrico equivalente al motor de induccin,permite sustituir su realidad fsica por un modelo con el que estudiar y predecir elcomportamiento del motor indicado.

Como se ha demostrado, cuando por los devanados del esttor y del rotorcirculan corrientes, se generan sendos campos magnticos, que giran a la velocidadde sincronismo respecto del esttor, y cuya suma conduce al campo resultante. Esteltimo inducir tensiones elctricas tanto en el esttor como en el rotor (a lasfrecuencias f1 y f2 respectivamente) de igual modo que el flujo comn induca

tensiones en los bobinados del transformador, por lo que el circuito elctricoequivalente al motor ser parecido al de un transformador.


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23

I.6.1. MOTOR IDEAL Y MOTOR REAL

Si el motor fuera ideal estara caracterizado porque:

1. Las resistencias de sus bobinados seran nulas.

2. El flujo magntico resultante afectara por entero a los devanados delesttor y del rotor.

3. Los materiales ferromagnticos de los ncleos del esttor y del rotorcareceran de histresis, y no habra prdidas por corrientes deFoucault.

4. Las reluctancias magnticas de los ncleos tendran un valor nulo yel espesor del entrehierro sera despreciable.

5. No existiran prdidas mecnicas (por ventilacin y rozamientos)

Lo que implicara que:

1) Los conductores de los devanados fuesen perfectos y en consecuencia, enlos rotores en jaula de ardilla (o en los del tipo devanado sin resistenciasexternas), se originasen corrientes infinitas, lo que es fsicamenteimposible. Por lo tanto, los devanados del esttor y los del rotor en unmotor real, deben presentar resistencias que se simbolizarn para cada fase

porR1 y R2 respectivamente.

2) No existieran flujos dispersos en los bobinados del esttor y del rotor demanera que el flujo resultante producira en cada fase las fems. e1 y e2 deltipo estudiado en el apartado (4). Sin embargo, en el motor real el flujoresultante no abraza en su totalidad y de forma comn a los bobinados delesttor y del rotor, dando lugar a flujos que slo afectan a uno u otro, talcomo se observa en la Fig.13. As pues, el flujo que concatena cada

bobinado (rotor y esttor), puede descomponerse en dos:

a) El comn a ambos que dar lugar a las fems. e1 y e2 que se hanindicado.

b) El flujo disperso en cada bobinado que originar fems deautoinduccin con coeficientes L1 y L2 y que pueden considerarsemediante las reactancias correspondientes X1 y X2 del esttor y delrotor respectivamente, que reciben el nombre de reactancias dedispersin.


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24

Fig. 13

3) La intensidad de excitacin (la que es necesaria para crear el campo

magntico del motor) y la induccin o flujo magntico a que ste da lugarestuvieran en fase. Ello obligara a que las ondas de F.m.m. y de flujocorrespondientes tambin se hallaran en fase. No obstante, los materialesferromagnticos siempre presentan una cierta histresis y al igual queocurre en los transformadores, la corriente de excitacin tendr un ciertoadelanto con respecto a la induccin o flujo que genera (este adelanto seincrementa si se tiene en cuenta el efecto de las corrientes de Foucault).

Naturalmente este desfase tambin se producir entre las ondas de F.m.m.y flujo correspondientes.

4) La F.m.m. concatenada por cualquier lnea de induccin debera ser nula yas la relacin entre la intensidad circulante por cada fase del esttor I1 y

la que recorre cada fase del rotorI2 sera:

Relacin de intensidades = = =r II

r ri f t2

1

.

siendorf = relacin de fases entre el esttor y el rotor.rt = relacin de tensiones

Para comprobarlo, puede seguirse el razonamiento siguiente:

Si las reluctancias magnticas de los ncleos son nulas y el entrehierrotiene un espesor despreciable (los motores reales presentan un espesor deentrehierro ciertamente reducido), al aplicar a una lnea de induccin o aun camino de flujo magntico, como el representado en la Fig.14 la ley deHopkinson, se comprobara que:

N1 . I1 + N2 . I2 = . = 0

Flujo disperso de ranura

Flujo de fuga delas envolventes

Flujo comn


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25

Fig. 14

Por otra parte, se sabe que tanto el devanado del esttor como el delrotor originan ondas de F.m.m. que giran a la misma velocidad respecto al

esttor. En consecuencia, para que se mantenga la F.m.m. resultante nulaen cualquier punto, ambas ondas deben:

a) encontrarse en oposicin de fase, estando producidas por unadistribucin de corriente en el esttor y en el rotor tal como la que seaprecia en laFig.15.

b) tener la misma amplitud. Esta condicin conduce a que:

0 92

0 92

1 1 1 1 2 2 2 2' . .. .

' . .. .m K N I

p

m K N I

pD D= *

Es decir:

*

En el caso de motores trifsicos m1 = 3 y m2 puede ser un nmero entero cualquiera.m1 y m2 son el nmero de fases del esttor y de rotor respectivamente.N1 y N2 son ahora los nmeros de espiras en serie por fase en el esttor y rotor respectivamente.

Fig. 15

Flujo magntico

Esttor

Entrehierro

Rotor

Superficie delesttor

Superficie del rotorEntrehierro


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26

Si a la relacin entre m1 y m2 se le da el nombre de relacin de fases rf puede escribirse que la relacin de intensidades valdr, segn lo indicadoanteriormente:

rI

I r ri f t= =2

1 .

Bajo las condiciones indicadas cuando el rotor se encontrara abierto yno hubiese I2 , la intensidad en el esttor sera nula ya que tendra que

cumplirse que:

0 92

01 1 1 1' . . . .m K

pN ID =

No obstante, aunque por el rotor no circule corriente, cuando se conectael esttor a la red de alimentacin, por sus devanados tiene que circular

una corriente que es la necesaria para la creacin del campo magnticocuya variacin puede inducir tensiones en el rotor y hacer funcionar almotor. Esta intensidad es la anteriormente indicada intensidad deexcitacin o tambin llamada intensidad de vaco, de modo que la fuerzamagnetomotriz a que da lugar obedecer a la expresin siguiente:

0 92

1 11 0 0' . . . . .

m K

pN ID =

donde ya se ha considerado la situacin real en que existe un cierto,

aunque pequeo, espesor en el entrehierro y en que los ncleos magnticostienen reluctancias finitas, con lo que la que se incluye en la ecuacinanterior, 0, ser la equivalente a las de los citados ncleos y entrehierroconectados en serie.

Precisamente, cuando el motor se cargue y por el devanado del rotorcircule una corriente I2 , para que se mantenga el valor del flujo 0

(condicin que debe darse para una tensin fija de alimentacin del esttor)que implcitamente mantendr una misma R0 ser preciso que en el esttoraparezca una intensidad suplementaria a la I0 que anule la F.m.m. creada

por el rotor, lo que resumidamente podra ponerse de la siguiente manera:

0 9 0 9 0 91 1 1 1 2 2 2 20

1 1 1 0' ' 'm K N I

P

m K N I

P

m K N I

PD D D+ = =

de donde puede deducirse que:

I II

ri1 0

2=

Obsrvese tambin cmo la onda de flujo resultante res comentada

en prrafos anteriores, es originada precisamente por la intensidad devaco en el esttor, ya que el fasor correspondiente a la onda de F.m.m. del


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esttor puede descomponerse en dos, uno que se encuentra en oposicin defase con el del rotor (producido por la intensidad I ri2 / circulando en el

esttor) y anulando ste, y otro que ser igual al de la F.m.m resultante producida porI

0y que segn se aprecia en la Fig.16 origina el

correspondiente del flujo o induccin resultante.

Fmm1

Fmm2

Fmmres

B ( )resI 0

res

E1

I 1

s

Fig. 16

5) Si no se producen prdidas mecnicas toda la energa que desde el sistemaelectromagntico se transfiere al eje el motor podra emplearse comoenerga til. No obstante, el eje al girar experimenta rozamientos y para larefrigeracin del propio motor se incorporan, en muchos casos sobre elmismo eje, ventiladores que extraen parte de la energa suministrada por elcitado eje motor, dando lugar a que no toda la energa mecnica producidaest realmente disponible para el accionamiento de mquinas que es lamisin ltima de todo motor.

I.6.2. CIRCUITO DEL ESTTOR

Al igual que se procede en el circuito equivalente de transformadorestrifsicos, en el del motor trifsico se establecer el circuito correspondiente a unasola fase, con lo que las magnitudes de las tensiones e intensidades sern simples.

De acuerdo con las consideraciones realizadas en el apartado 6.1(especialmente con lo argumentado en los puntos 1,2,3 y 4), una fase del esttor

podra sustituirse por el siguiente circuito elctrico:


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28

I1

U1

R1 X = L1 1 1 I0

Im Ip

Xm Rp E1

Fig. 17

Sobre el que conviene hacer las siguientes puntualizaciones:a) Tanto las corrientes como las tensiones y fuerzas electromotrices

presentan la frecuencia de alimentacin f1.

b) La fuerza electromotriz creada por el flujo comn es E1 , mientras que la

correspondiente al flujo disperso viene cuantificada por la reactancia X1(que como se ve tiene como pulsacin 1 correspondiente a f1).

c) La rama en paralelo (que como se observa se halla dividida a su vez en

otras dos,) est relacionada con el campo magntico resultante y obliga aque an con el motor en vaco (rotor abierto o girando a la velocidad desincronismo), por el esttor circule corriente (la de vaco).

Una de las ramas indicadas incluye la reactancia de magnetizacin por la que circula la corriente magnetizante, esto es, la parte de laintensidad de vaco cuya F.m.m. se encuentra en fase con el flujoresultante.

La otra, representa la resistencia con la que se cuantifican las prdidas

en los ncleos ferromagnticos por histresis y corrientes parsitas. Estrecorrida por la intensidad de prdidas IP que es la parte de la intensidadde vaco cuya F.m.m. est en cuadratura con la onda de flujo resultante (laadelanta en 90 elctricos), y por tanto en oposicin de fase con la onda dee1.

d) Si el motor se encuentra en vaco I1 e I0 , coincidirn, pero en caso

contrario, como se ha indicado en el apartado 6.1 (punto 4), serndiferentes.

e) Las relaciones analticas entre las variables recogidas en el circuito sernlas siguientes:


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30

De nuevo E2s es la fem inducida por el flujo comn y X2s es la reactancia dedispersin con que se cuantifica la fem inducida en cada fase del rotor comoconsecuencia de la variacin del flujo magntico que afecta slo al rotor.

Del circuito de la figura se desprende que:

( )E R j X I I E

R j X s s s s ss

s s2 2 2 2 2

2

2 2

= + =+

. (23)

Lo que lleva, como es conocido, a que el desfase entre la intensidad y lafem valga:

= arcX

Rs

s

tg 2

2

y a que el mdulo de la intensidad sea:

( ) ( )I E

R Xs

s

s s

22

2

2

2

2=

+

La ecuacin (23), puede ponerse de la forma:

Is E

R j s X

E

R s j X s22

2 2

2

2 2

=+

=+

.

. . .

que dara un fasorI2 cuyo mdulo es igual al correspondiente al de la ecuacin (23)

y cuyo desfase respecto a E2 es el mismo que I2 tena respecto a Es2 .

I.6.4.CIRCUITO EQUIVALENTE COMPLETO

I.6.4.1. Reduccin de los valores del rotor a la frecuencia del

esttor

La nica forma que tiene el esttor de enterarse de lo que ocurre en el rotores analizando las ondas de flujo y F.m.m. que ste crea en el entrehierro. Eneste sentido, si varias situaciones en el rotor produjesen las mismas ondasindicadas, el esttor no las distinguira. Ello implica que se podra sustituir elrotor inicial por otro con la misma F.m.m. e igual f.d.p. a idntica velocidad.

En el apartado anterior se ha indicado que la fem Es2 del rotor tiene una

frecuencia f2. No obstante, la onda viajera en el entrehierro de las fuerzaselectromotrices en cada uno de los conductores del rotor, se desplazarespecto al esttor a la velocidad de sincronismo y en fase con el flujomagntico o induccin magntica que la crea. Por su parte, la onda de F.m.m.del rotor se mover a la misma velocidad ns respecto al esttor pero irdesfasada respecto a la de fem el ngulo que se desprenda de la impedanciadel rotor (verFig.19 bis) y la amplitud de la citada F.m.m. vendr dada por

el valor de la intensidad en el rotorI2 .


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31

Fig. 19 bis

Volviendo al apartado anterior, si se tiene en cuenta que:

E s E s2 2= .

R Rs2 2=

X s X s2 2= .

donde E2, R2 y X2son los valores de las respectivas magnitudes para rotor enreposo (a la frecuencia del esttorf1).

Puede ponerse que:

( ) ( ) ( ) ( )I

s E

R X

E

R s X s s2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2=

+=

+

.

tg= =X

R

X

R ss

s

2

2

2

2

Las modificaciones parecen triviales, pero se ha introducido un aspectofundamental como es el que la intensidad I2 se obtiene a partir de valores

Onda de flujo o induccin

coordenada x

res

Onda de fem sobre conductores

Onda de corriente

Barra del rotor enjaula de ardilla

Anillo de cortocircuito (cierre de la jaula),tambin con distribucin senoidal

NORTE(flujo saliente del esttor)

SUR

Velocidad de los conductores


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32

(E2 , X2) correspondientes a rotor parado (frecuencia del esttor f1),

concluyndose que, desde el punto de vista del esttor, el circuito de laFig.19 correspondiente al rotor a un deslizamiento s y el siguiente:

I2

E2

X . j = L . j2 1 2

R / s2

Fig. 20

correspondiente a un rotor parado cuyas variables senoidales tienen la mismafrecuencia que las del esttorf1, son equivalentes, ya que:

1) la onda viajera de E2 rotara a la velocidad de sincronismo y con el

mismo desfase respecto a la de flujo que la de Es2 .

2) La onda de F.m.m. del rotor tendra el mismo desfase en relacin con

la E2 y la amplitud sera la misma porque el mdulo de I2 no vara. Endefinitiva producira la misma onda de F.m.m. que la intensidad en elcircuito de laFig.19, que se encontraba a la frecuencia f2.

Como puede comprobarse al reducir el rotor a la frecuencia del esttoraparece la resistencia R2/s dependiente del deslizamiento. Esta resistenciasuele descomponerse en dos de la siguiente manera:

R

sR R

s2

2 2

11= +

.

Con lo que el circuito anterior se transformara en :

I 2

E2

X2

R (1/s - 1)2

R2


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33

Fig. 21

de modo que con la reduccin indicada, la resistencia que aade realmente esla variable representada, que posee un importante significado fsico ya que la

potencia asociada a esta resistencia es precisamente la mecnica suministradaal eje del rotor para un deslizamiento s dado.

I.6.4.2. Reduccin de los valores del rotor a los del esttor

Considrese la situacin mostrada en la Fig.22 en que a un ncleoferromagntico se encuentran arrolladas tres bobinas de las caractersticasindicadas, de modo que la energa es suministrada a la bobina 1 y al circular

por ella una cierta intensidad se crea un flujo magntico variable que induceunas fems en las bobinas 2 y 3, cuyos valores sern de 20 V y 10 V,respectivamente dadas las espiras de cada una.

Fig. 22

Si la bobina 2 suministra energa a una resistencia R2 de 2 por ellacircular una intensidad de 10 A, lo que provocar un consumo de 200 Wy lacreacin de una F.m.m. de 100 A.v. Por su parte la bobina 3 al suministrar

energa a una carga cifrada en una resistencia de 05 dar lugar a unaintensidad de 20 A originando una F.m.m. de 100 A.v. y consumiendo 200 w.

En ambos casos las potencias cedidas a las cargas son iguales y lasF.m.ms producidas tambin, de modo que la bobina 1 (que podra serconsiderada el primario de un transformador), reaccionara de la mismaforma, esto es demandando de la alimentacin una intensidad de 1 A, ya que:

por un lado absorbera la potencia de 200 V x 1 A = 200 W que es laque tiene que transferir.

N1 = 100

N2 = 10

N3 = 5

R2 = 2

R3 = 05

U1 = 200 V

I1


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34

por otro, para restablecer las condiciones de flujo iniciales en elncleo tendr que anular las F.m.ms. creadas en las bobinas 2 3, esdecir:

N1 . I1 = 100 . 1 = N2 . I2 = 10 x 10

Claro est, que el sentido mostrado en los arrollamientos implica que ambasF.m.m. sean de signo contrario por lo que

N I N I 1 1 2 2 0. .+ =

En resumen, puede concluirse que la bobina 1 ve a las dos cargas R2 y R3iguales y desde aqulla no podra distinguirse entre ambas. Estecomportamiento equivalente es debido a que las dos resistencias cuando serefieren a la bobina 1 presentan valores iguales, como se comprueba a

continuacin:R R

N

N2 21

2

2 222

100

102 10 200' . . .=

=

= =

R RN

N3 31

3

2 2205

100

505 400 200' . ' . ' .=

=

= =

Tambin puede observarse cmo la bobina 1 reaccionara con una mismaF.m.m. a las bobinas 2 y 3. Ello es consecuencia de que sus intensidadesreferidas a la bobina 1 son tambin iguales.

' 2

2 2 1

10. 10 . 1 A

100

NI I

N= = =

' 33 3

1

5. 20 . 1 A

100

NI I

N= = =

En el caso del motor de induccin, como se ha indicado anteriormente, elesttor reacciona ante una intensidad en el secundario I2 demandando una

intensidad suplementaria a la de vaco, que valdra I ri2 , por lo tanto, los

efectos de una intensidad I2 en el rotor pueden sustituirse por los de una

intensidad I I r i2 2' = en el esttor. Esta intensidad es la llamada "del rotor

referida o reducida al esttor".

Por otro lado una fem E2 en el rotor (que est en fase con la del esttor y a

la misma frecuencia, despus de que se proceda segn el apartado 6.4.1)tendra los mismos efectos que una fem E r E t2 2.

'= en el esttor, siendo E2' la

llamada fem del rotor referida al esttor. Por tanto, para reducir las tensionesdel rotor al esttor ser preciso multiplicar por la rt.

Si en la Fig.22 se supone que la bobina 1 representa el devanado delesttor, y las 2 y 3 los devanados de los posibles rotores de caractersticas

distintas, que se resumen junto con las del esttor en el siguiente cuadro:


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35

ESTTOR ROTOR 1 ROTOR 2

Conductores por fase N1 N2 N3Factor de devanado KD1 KD2 KD3 Nmero de fases m1 m2 m3

Para que se cumpliesen las relaciones siguientes:

F.m.m.1 = F.m.m.2 = F.m.m.3

Potencia de salida en 2 3 = Potencia de entrada en 1

U2 . I2 = U3 . I3 = U1 . I1

y teniendo en cuenta que:

U U r con r K N

K Nt tD

D1 2 1 1

1 1

2 2

= =..

.

U U r con r K N

K Nt tD

D1 3 2 2

1 1

3 3

= =..

.

se tendra que verificar que:

m K N I m K N I m K N I D D D1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3. . . . . . . . .= =

Como

I U R22

2=

I U R33

3

=

sustituyendo:

m K N I m K N U R m K N U r

RD D Dt

1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 21 1

2

. . . . . . . . .= =

RU

r r II

U

r r Rt i t i2

1

1 1 11

1

1 1 2

= =. . . .

o lo que es lo mismo:

m K N I m K N U R m K N U r

RD D Dt

1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 31 2

3

. . . . . . . . .= =

RU

r r II

Ur r Rt i t i

31

2 2 11

1

2 2 3

= =. . . .

En ambos casos el esttor (primario) reaccionara como si la resistencia delrotorR2 oR3 hubiera pasado al esttor valiendo rt1 .ri1.R2 rt1.ri2 .R3 y si:

rt1 . ri1 . R2 = rt2 . ri2 . R3

Los efectos de R2 y R3 sobre el esttor seran los mismos, debido a que lasresistencias de estos rotores referidos al primario lo son. Resumiendo, paradeducir el valor de una resistencia, de una reactancia o una impedancia del

rotor al esttor, deber multiplicarse por la relacin de transformacin y porla de intensidades, es decir:


36/65

36

R r r R r r Rt i t f 2 22

2' . . . .= =

donde:

R2' es la resistencia del rotor referida a la del esttor ()

R2 es la resistencia del rotor ()

Para conocer los valores de las impedancias reducidas al esttor tambinpodra haberse razonado del siguiente modo:

Puesto que las intensidades y tensiones referidas al esttor valen:

U U rt2 2' .=

I I ri22' =

Si se pretende que las impedancias referidas al esttor sigan siendo elcociente entre tensiones e intensidades se deber cumplir que:

ZU

I

U r

I r

U

Ir r Z r r t

it i t i2

2

2

2

2

2

22

''

'

.. . . .= = =

=

En definitiva se llegara a la misma conclusin: Z Z r r t i2 2' . .=

I.6.4.3. Circuito equivalente

Tras las consideraciones anteriores puede establecerse el circuito elctrico

equivalente completo por fase que es el representado en la figura siguiente:I1

U1

R1 X1

I0

Im I

Xm R E1 R (1/s - 1) = R'2' s

R2' X2' I2'

E2'

Fig.23

En el que como se ha demostrado todas las variables se encuentran a lafrecuencia del esttor representando cada una lo siguiente:

U1 es la tensin simple (fase-neutro) (V)

I1 la intensidad simple (A)


37/65

37

R1 la resistencia del esttor por fase ()X1 la reactancia de dispersin del esttor por fase ()E1 la fem inducida por fase (V)

I0 la intensidad de vaco (A)Im la intensidad magnetizante (A)

IPla intensidad de prdidas (A)

Xm la reactancia de magnetizacin ()RP la resistencia de prdidas en el ncleo ()R2

' la resistencia del rotor referida al esttor ()

E2' la fem inducida por fase en el rotor referida al esttor (V)

X2' la reactancia de dispersin del rotor referida al esttor ()

I2' la intensidad del rotor por fase referida al esttor (A)

Rs' la resistencia de deslizamiento referida al esttor (R)

I.6.5. CIRCUITOS EQUIVALENTES APROXIMADOS

Admitiendo algunas simplificaciones, el circuito equivalente al que se hallegado en el apartado anterior puede ser modificado de manera que se faciliten losclculos que pudieran ser necesarios. En esta lnea se contemplarn dos circuitosaproximados.

a) Circuito equivalente aproximado 1.

Si se admite que las cadas de tensin en R1 y X1 son reducidas latensin U1 ser prcticamente igual a E1 y la rama de magnetizacin en

paralelo podr ser trasladada a los bornes del esttor segn se aprecia en laFig.24.

Esta simplificacin facilita el clculo de I2' y de I0 ya que ambas

pueden calcularse directamente dividiendo la tensin U1 por las respectivas

impedancias.

Obsrvese que se ha representado I2' en sentido contrario al que se ha venido empleando para I2 ,

por lo que ahora la relacin

I I I r i1 0 2= se convierte en

I I I 1 0 2= +' , que se corresponde con la

aplicacin de la 1 ley de Kirchhoff al nudo correspondiente.


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38

I1

U1

R1 X1

I0

Xm RpR (1/s - 1)2'

R2' X2' I 2'

Fig.24

Este circuito puede simplificarse an ms teniendo presente que si el

esttor se alimenta desde una fuente de tensin y de frecuencia constantes,las prdidas magnticas en el ncleo del esttor se mantendrn constantes.Cuando el rotor gira libremente, casi lo hace a la velocidad de sincronismo,con lo que la frecuencia de las corrientes inducidas f2 ser muy baja ascomo las prdidas magnticas en el ncleo del rotor. Por contra, como lavelocidad de giro ser alta, tambin lo sern las prdidas por rozamientosy ventilacin. Por otro lado, si el rotor se carga y disminuye su velocidad,la frecuencia f2 aumentar y con ella las prdidas magnticas en el mismo,

pero al girar ms despacio se reducirn sus prdidas por rozamiento y

ventilacin. En resumen, las prdidas magnticas en el rotor y lasmecnicas tienen una evolucin contraria con la velocidad del rotor, por loque puede asumirse que cuando la mquina se alimente desde una fuentede tensin y frecuencia constantes la suma de las prdidas magnticas ymecnicas permanece bsicamente constante a cualquier velocidad y ambas

prdidas pueden ser englobadas dentro del trmino de prdidasrotacionales, por lo que la resistencia Rp puede ser eliminada del circuitoequivalente, quedando:

I1

U1

R1 X1

I0

XmR (1/s - 1)2'

R2' X2' I 2'

E1

Fig. 25


39/65

39

b) Circuito equivalente reducido 2.

En aquellas ocasiones en que la fem inducida E1 difiera

ostensiblemente de U1

cuando la reactancia de dispersin es alta y

corrientes de vaco elevadas (del 30 al 50% de la correspondiente a plenacarga), no es conveniente trasladar la rama paralelo a los terminales delesttor, aunque s puede mantenerse la simplificacin en cuanto a Rptratada en el punto anterior. Por ello el circuito equivalente aproximadoque quedara es el recomendado por la I.E.E.E. *, representado acontinuacin.

I1

U1

R1 X1

R (1/s - 1)2'

R2' X2' I2'

I0

XmE1

Fig. 26

I.6.6. CIRCUITO THEVENIN EQUIVALENTE

Con vistas a simplificar los clculos, la parte del circuito equivalente que sehalla encerrada dentro del contorno marcado en la figura siguiente puede sersustituida por su Thevenin equivalente, de modo que los valores de U1 ,R1, X1 y

Xm quedan reemplazados por los valores Uth , Rth y Xth .

I1

U1

R1 X1

R (1/s - 1)2'

R2' X2' I 2'

I 0

XmE1

Sustituir por el Thevenin equivalente

Fig. 27

* The Institute of Electrical and Electronics Engineers, Inc.


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40

Los clculos necesarios pueden ser desarrollados por el lector y conducen aque:

a)

( )

RX R

X X Rth

m

m

=+ +

21

1

2

1

2

.

expresin que puede reducirse, si se admite que ( )R X X m12

1

2 + , a la

siguiente:

RX

X XRth

m

m

=+

1

2

1.

b)( )

( ) ( )X

X X R X X

X X Rth

m m

m

=+ +

+ +

12

12

12

1

2

1

2

. .

que si X Xm1 queda convertida en:

Xth = X1

c)( )

UX

R X X Uth

m

m

=+ +1

21

2 1.

y teniendo en cuenta que ( )R X X m12

1

2 +

UX

X XUth

m

m

=+

11.

Con lo que el circuito con el Thevenin equivalente sera el representado

seguidamente:

Uth

Rth X th

R (1/s - 1)2'

R2' X'2I2'

Fig. 28

I.7. BALANCE DE POTENCIAS Y RENDIMIENTO *

El motor de induccin, como cualquier otra mquina, absorbe unadeterminada potencia y entrega otra diferente, lo que se debe a que en el procesode conversin electromecnica se producen prdidas de potencia. Estas prdidas se

*

Las potencias que se tratarn corresponden a las ondas fundamentales de corrientes y tensiones, por lo queno se considerarn las prdidas de potencia que puedan existir como consecuencia de los armnicos de ordensuperior de tales magnitudes.


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41

aprecian grficamente en el diagrama de flujo de la Fig.29 que va desde lapotencia de entrada a la de salida.

Fig. 29

Las expresiones de cada una de las potencias implicadas se detallan acontinuacin:

Potencia de entrada o absorbida P1

P1 = m1 . U1 . I1 . cos 1

con m1 = 3 en el caso de que el motor sea trifsico.

Prdidas de potencia en el esttorPes

La potencia perdida en el esttor puede dividirse en la debida alefecto Joule Pcu,e y la de origen magntico en el ncleo PFe,e, de maneraque:

Pes = Pcu,e + Pfe,e

donde:

PFe = m1 . RP . IP2

Pcu,e = m1. R1. I12

Potencia electromagnticaPem

Potencia

electromagntica

Prdidas en elncleo del esttor

Prdidas en elncleo del rotor

Prdidasmecnicas

Esttor

Rotor

Prdidas enla resistencia

del esttor

Prdidasen laresistenciadel rotor

Potencia mecnicainterna

Potenciade entrada


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42

Una vez que de la potencia de entrada se deducen las prdidas en elesttor se obtiene la potencia que atraviesa el entrehierro y se transmite alrotor, denominada potencia electromagnticaPem y valdr:

Pem = P1 - Pes = m1 . U1 . I1 . cos 1 - m1 . R1 .I12 - m1 . RP . IP2

y teniendo en cuenta que si es la potencia que se transmite al rotor, ser lacorrespondiente a la activa consumida en la parte derecha del esquemaequivalente completo, por lo que se llega a:

P m E I m E r I

rm

E I

rem t i f= = =1 2 2 2 1 2

22 1

2 2 2. . . cos . . . . cos .. . cos' '

Pem = m2 . E2 . I2 . cos 2

o bien:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )P m R s I m R s r r I r m R s I em t i i= = =1 2 22

1 2

2

2

2

2 2 2

2

. . . . . . . .' '

* Prdidas en el rotorPr

Las prdidas de carcter electromagntico en el rotor se deben a losmismos efectos que en el esttor, por lo que puede escribirse que:

Pr = Pcu,r + PFe,r

siendo:

P m R I m R I cu r,' '. . . .= =1 2 2

2

2 2 22

con R2 la resistencia por cada fase del rotor.

Las prdidas de potencia en el ncleo del rotor pueden considerarsedespreciables en funcionamiento normal, ya que ste se alcanza paradeslizamientos muy pequeos que conllevan valores de frecuencia en elrotorf2 muy reducidos, de los que dependen directamente las prdidasaludidas.

Potencia mecnica interna Pmi

De todo lo anterior se deduce que la potencia que aparece en formamecnica en el eje del motorPmi vale:

Pmi = Pem - Pr

y segn el circuito equivalente valdr:

( )P m Rs

I m Rs

Imi =

=

1 2 2

2

2 2 221 1

11. . . . . .' '

la cual da el significado fsico a la potencia disipada en la resistencia

variable que aparece en el circuito equivalente. Recurdese que en elcircuito equivalente de un transformador esta resistencia no exista, lo que


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43

parece ahora razonable ya que el transformador no suministra potenciamecnica.

Potencia mecnica de salida P2

Por ltimo si a la potencia mecnica interna se le restan las prdidasde tipo mecnico en el eje del rotor (ventilacin y rozamiento) la potenciaque realmente se hallar disponible en el citado eje, es decir la realmentetil para el accionamiento de una determinada mquina, valdr:

P2 = Ptil = Pmi - Pmec

El rendimiento del motor de induccin ser:

=P

P2

1

Si se despreciasen todas las prdidas menos las debidas al efecto Joule en elrotor, se obtendra el llamado rendimiento ideal, elctrico o interno cuyo valorsera:

emi mi

em

P

P

P

P

m Rs

I

mR

sI

s= = =

= 1

2 2 22

22

22

11

1. . .

. .

que como se ve, al igual que el rendimiento , depende fuertemente deldeslizamiento. En la Fig.30 se han representado las relaciones grficas entre los

rendimientos descritos y el deslizamiento, de lo que se desprende que,evidentemente, el rendimiento real es menor que el ideal y que si se desea que laeficiencia del motor sea alta ste debe operar a una velocidad cercana a la desincronismo. De hecho, los motores de induccin pueden presentar rendimientos a

plena carga prximos al 95%.

Fig. 30

e

nns0

05

1

, e


44/65


45/65

45

V

A

W

W

M3

Fig. 31

As se tendr que: *

[A] = I0(A) (intensidad de vaco)

[W1] + [W2] = P0 (W) (potencia del ensayo en vaco)

[V] = Un (V) (tensin nominal, que es la aplicada en el ensayo)

y de la medida de la resistencia del esttor se conocer R1 , (el valor de esta R1medida a una determinada temperatura debe ser corregido a la temperatura defuncionamiento del motor y si fuese necesario debe introducirse el factor debido al

posible efecto pelicular). Como en el ensayo en vaco al no estar cargado el rotor

funciona prcticamente a la velocidad de sincronismo y por tanto a undeslizamiento prximo a cero, se entiende que el valor de R s2

' , ser muy elevado

y puede despreciarse la rama correspondiente al rotor en el circuito equivalente,quedando:

I 1

U1

R0

Xm

X1

Fig. 32

donde se ha incluido en la R0 (resistencia por fase para el ensayo a rotor en vaco)la resistencia del devanado por fase del esttor y la de prdidas rotacionales, yrecordando que I1 ser la intensidad de vaco por fase, esto es:

I1 = I0 (Esttor en estrella) ; II

10

3= (Esttor en tringulo)

* Los corchetes encerrando la inicial del aparato de medida indican la lectura del mismo


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46

De la misma forma que:

UUn

13

= (Esttor en estrella) ; U1 = Un (Esttor en tringulo)

Las prdidas rotacionales, que como se ha indicado pueden asumirse comoconstantes e independientes de la carga del motor, pueden ser calculadas a partirde:

Pro t = P0 - 3R1 I12

Adems, la reactancia de dispersin y la de magnetizacin X1 y Xm puedenser englobadas en una sola, de acuerdo con el circuito equivalente mostrado(Fig.32) y que se transformara en el siguiente:

I1

U1

R0 X0

I1

U1

Z0

Fig. 33del que se deduce que:

ZU

I01

1

=

y como:P R I R

P

I0 0 1

20

0

123 3

= =

la reactancia X0 puede determinarse segn:

X Z R0 02

02=

Recordando que:

X0 = X1 + Xm

En el supuesto de que se quisieran separar las dos componentes de lasprdidas rotacionales (mecnicas y magnticas) se actuara del siguiente modo:

1) En el esquema de montaje del ensayo (Fig.31) se ira variando la tensinde alimentacin desde aproximadamente 02.Un hasta 11.Un.

2) A los sucesivos valores de las potencias P0 obtenidas para las distintastensiones aplicadas se les restaran las correspondientes prdidas en eldevanado del esttor3R1.I1

2* y la potencia resultante que representar las prdidas rotacionales en cada caso, se dibujar en funcin de la tensin,

resultando una grfica como la dibujada a continuacin.* I1 tambin ir variando cuando lo haga la tensin de alimentacin


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47

Fig. 34

3) Se extrapola la curva para U=0 de forma que el punto de corte de lamisma con el eje de ordenadas dar las prdida de potencia mecnica. Estaafirmacin se fundamenta en que al ir variando la tensin lo que semodifica son las prdidas magnticas (directamente ligadas a travs delflujo magntico a la tensin aplicada), pero las prdidas de tipo mecnico,como dependen de la velocidad de giro del rotor y sta solo es funcin dela frecuencia de las corrientes y del nmero de polos con que se hayadevanado el esttor, permanecern constantes, por lo que para U=0

Pmec= Pro t y Pmag= 0. Evidentemente, de lo expresado se sigue que paracada tensin aplicada, la diferencia de ordenadas entre la curva de Prot y larecta de Pmec dar el correspondiente valor de Pmag siendo particularmenteinteresante aquel en que U = Un (condiciones nominales).

I.8.2. ENSAYO A ROTOR BLOQUEADO

En este ensayo, similar al de cortocircuito en transformadores, se bloquea elrotor del motor impidindole que gire y se aplica una tensin en el esttor tal quela intensidad de la corriente que circule por el rotor y su frecuencia sean las

correspondientes a las condiciones normales de funcionamiento. Ello obligar aque el valor de la citada tensin y de su frecuencia sean inferiores a las nominalesya que de un lado, al estar el motor bloqueado (s=1), la resistencia del rotor serala mnima e inferior a la que aparecera en funcionamiento normal condeslizamientos muy pequeos, lo que implicara que si se aplica la tensinnominal, se daran corrientes en el rotor muy superiores a las nominales, y de otroque al ser s=1 en el ensayo, la frecuencia de las corrientes inducidas en el rotorser la misma que la del esttorf1 , al contrario de lo que ocurre en funcionamientonormal en que debido a los pequeos deslizamientos tal frecuencia f2 es muy

inferior a la del esttor, aspecto a considerar ya que la frecuencia tiene especial

Prot

Pmec

02 Un UnU

Pmec

Pmag


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48

incidencia sobre el valor de las reactancias de dispersin y sobre el valor efectivode las resistencias si se considera el efecto pelicular.

En general se aconseja que el ensayo se realice a una frecuencia que supone

aproximadamente el 25% de la nominal. No obstante, para motores de menos de20 CV el efecto de la frecuencia puede ser despreciado y efectuarse el ensayo afrecuencia nominal, si bien a una tensin reducida que origine la intensidadnominal en el esttor y rotor.

El esquema de montaje de los aparatos necesarios para llevar a cabo elensayo es idntico al del ensayo en vaco, con la salvedad de que el rotor se

bloquea y que la alimentacin del esttor se realiza a travs de unautotransformador que permite ir variando la tensin en el esttor hasta que el

ampermetro de lnea marque la intensidad nominal, anotndose entonces laslecturas del voltmetro y de los vatmetros que sern las siguientes:

[A] = I1n (A) intensidad nominal de lnea en el esttor

[V] = U1R B (V) tensin de lnea del ensayo a rotor bloqueado

[W1] + [W2] = P1R B (W) potencia absorbida en el ensayo a rotor bloqueado

Al analizar las condiciones bajo las que se realiza el ensayo, puedenhacerse algunas simplificaciones en el circuito elctrico equivalente. En este

sentido, si el rotor est bloqueado y el deslizamiento s es igual a la unidad, larama representativa de los efectos de los ncleos ferromagnticos se encontrar en paralelo con otra rama, la del rotor, que, en las condiciones indicadas, presentauna impedancia X j R2 2

' '. + mucho menor que la correspondiente a los citados

ncleos ferromagnticos, por lo que esta ltima puede eliminarse del circuito sincometer gran error, quedando el mismo de la forma siguiente:

I 1

U1

R1 X1

R2'

X2'

Fig. 35

o bien, reuniendo las dos resistencias y las dos reactancias en una sola:


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49

Se puede establecer que:

P I R RP

IRB n RB RB

RB

n

= =33

12

12

U Z IRB RB n1 1= .

ZU

IX Z RRB

RB

nRB RB RB= =

1

1

2 2;

donde se introducirn en U1RB e I1n las magnitudes simples que corresponden, segnel modo de conexin del esttor, a las de lnea medidas en el ensayo.

Y de donde puede deducirse el valor de R2'

, conocido del ensayo anterior elde R1, ya que:

R R RRB2 1' =

En cuanto a las reactancias de dispersin su suma ser conocida al valer:

X X X RB = +1 2'

En muchos motores, adems puede admitirse que X X1 2=' y por tanto:

X XXRB

1 2 2= ='

Con lo que puede finalmente conocerse el valor de la reactancia demagnetizacin Xm ya que como se recordar del ensayo anterior:

X X X X X X

m mRB

0 1 0 2= + =

En algunos casos, dado que el valor de R2 posee una notable influencia enel comportamiento del motor como se ver ms adelante, se realizan clculos ms

precisos que no excluyen de entrada el efecto de la reactancia de magnetizacin enel ensayo a rotor bloqueado

I.9. PAR

I.9.1. EL PAR DESDE EL PUNTO DE VISTA ELECTROMAGNTICO

En el apartado 3.3, se comprob cmo el devanado trifsico del esttor delmotor de induccin produca una onda de flujo viajera cuya expresin analticaera:

B BP

Dx tres max=

3

2.cos

La onda de induccin resultante de la creada por el citado esttor y la

producida por el rotor tendr una expresin similar, difiriendo slo en el valormximo, ya que se trata de una onda que gira a la misma velocidad y en el mismo

I1

U1

RRB XRB

Fig. 36


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50

sentido, estando si acaso desfasada respecto a la del esttor. Si esta ltima no esde inters puede tomarse como referencia la total, que tendra en consecuencia lasiguiente forma:

B B PD

x tTOT max=

.cos

Como puede apreciarse en la Fig.37, en el rotor cuando est parado puedeasumirse que se produce una onda viajera de intensidad (capa de corriente) sobrela superficie del citado rotor, que gira a la misma velocidad que la onda de flujo

pero desfasada respecto de la misma un ngulo que depender de la impedanciadel citado rotor. La formulacin matemtica de esta onda de corriente sera lasiguiente:

A AP

Dx t

max=

.cos (A/m)

donde A es el valor de esta intensidad de corriente por unidad de longitud de laperiferia del rotor.

El mdulo de la fuerza de origen electromagntico producida por lainteraccin de la induccin magntica antes mencionada y la corriente circulante

por cada elemento diferencial (de periferia) del rotor valdr:

dF= L.B.di (N)

siendo L la longitud axial de los conductores del rotor.

dF=L.B.A.dx (N)

Fig. 37

Onda de flujo

coordenada x

Onda de corriente

Barra delrotor en jaulade ardilla

Anillo de cortocircuito

(cierre de la jaula)

res


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51

con dx , diferencial de longitud en la periferia del rotor (verFig.38). Introduciendolos valores de B y de A se deduce que:

dF L B AP

D

x tP

D

x t dxmax max=

. . . cos . cos . (N)

Integrando entrex=0 y x= D se tendr que:

F L B AP

Dx t

P

Dx t dxmax max

D

=

. . . cos . cos .

0

F L B A

P

Dx t

dx dxmax maxD D

=

+

. . .cos

.cos

.

2 2

2 20 0

F L B A

D

P

P

D x t Dmax max

D

=

+

. . . . sen

cos

.4 2 2 20

( ) ( )[ ]F L B AD

PP t t Dmax max=

+

=

. . . . sen . . . sencos

.4

2 2 22

0

F L B A Dmax max= . . . . cos .1

2 (N)

El sentido de la fuerzavendr dado por el del productovectorial de los elementos decorriente y la induccin B, comose puede observar en la Fig.38,que recoge un trozo diferencialde la superficie del rotor bajouna zona de polo sur del esttor.

Una vez obtenida la fuerza total sobre el rotor, el par puede calcularsemultiplicndola por el radio de aqul, esto es:

Fig. 38

Corriente di

dF

InduccinB

L

dx

Direccin de avancedel rotor


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52

C A B L DD

max max=

2 2

. . . . . . cos (N . m)

C L D A Bmax max=

4

2. . . . . cos

donde Ces el par sobre el rotor.

Y teniendo presente que:

Volumen del rotor = (.L.D2) / 4 (m3)

se llega a que:

C = Vro t .Bma x .Ama x .cos (N.m)

Por su parte, si se considera que la potencia es el producto del par por las

revoluciones del rotor y que stas en radianes por segundo, valen:me c = n. 2/60 (rad/s)

con n= velocidad de giro del rotor (rpm)

La potencia valdr:

P= (/30). n .Vro t .Bma x .Ama x .cos (W)

Acerca de las frmulas anteriores conviene hacer las apreciaciones deinters que se describen a continuacin:

a. Al ser el ngulo constante para una impedancia del rotor fijada, tambinlo sern la potencia y el par.

b. La potencia y el par son directamente proporcionales al volumen del rotory, en definitiva, al tamao de la mquina.

c. La potencia se incrementa en proporcin directa a la velocidad, lo quesupone que para una mquina dada al aumentar la velocidad defuncionamiento tambin lo har su potencia.

d. La potencia y el par tambin se incrementan de manera directamente proporcional a la induccin magntica. En este sentido podranincrementarse ambas aumentando la corriente de magnetizacin; noobstante hay que tener presente el fenmeno de saturacin magntica quehace que, una vez alcanzada la zona de saturacin, para conseguir

pequeos incrementos de induccin sea preciso un gran incremento de laintensidad que la produce, lo que podra dar lugar a calentamientos y a sereconmicamente poco interesante.

e. La potencia y el par aumentan de modo directamente proporcional a la

intensidad en el rotor. De ello se desprende que aumentando tal intensidadse extraer ms par y potencia del motor, pero, en este caso, tambin


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53

existen lmites a la elevacin de la intensidad ya que los calentamientos producidos por efecto Joule podran ocasionar degradaciones y daos enlos aislamientos y, al final, incluso la destruccin de la mquina. Mediante

la incorporacin de sistemas de refrigeracin y experimentalmente medianteel uso de superconductores (en los que el efecto Joule prcticamentedesaparece) pueden alcanzarse valores elevados de las intensidades.

I.9.2. PAR EN FUNCIN DE LOS PARMETROS DEL CIRCUITO EQUIVALENTE

La conocida relacin entre potencia, par y velocidad:

P=C.

aplicada al caso del motor de induccin dara lugar a :

( )P C m I R

s smi mec mec= = . . . . 2 22 2

1 (W)

con mecn

=2

60. (rad/s)

si se supone que la velocidad de giro del rotorn viene dada en r.p.m.

Teniendo en cuenta que la velocidad de giro del rotor en funcin de lavelocidad de sincronismo vale:

( ) ( ) ( ) ( )

mec sss s

ns

f

ps

f

p= = = = 1 1

260

160 2

601

21 1. ..

..

. ..

C m IR

sPmec s em. . . = =2 2

2 2

con lo que:

C P m I R

sm I

R

smec sem

s s

= = =1 1 1

2 22 2

1 2

2 2

. . . . . . .'

'

De modo que para cualquier valor del deslizamiento s, conocidos los parmetros del circuito equivalente, podr calcularse I2

' y consecuentemente el

par.

As, por ejemplo si se trabaja sobre el circuito equivalente de la Fig.28 sededucir que:

( )

IU

RR

sX X

th

th th

2

2

2

2

2

'

''

=

+

+ +

y consecuentemente:


54/65

54

*

( )C

m U

RR

sX X

R

smec s

th

th th

=

+

+ +

12

2

2

2

2

2

. .

''

'

O, si se utilizase el circuito aproximado de la Fig.24:

( )

IU

RR

sX X

21

12

2

1 2

2

'

''

=

+

+ +

y el par

( )C

m U

RR

sX X

R

smec s=

+

+ +

1 12

12

2

1 2

2

2

. .

''

'

que como se ve es el mismo que el resultante de considerar el circuito Theveninequivalente, si se sustituyen Uth,Xth y Rth porU1,X1yR1respectivamente. El errorque se cometera con este proceder, estara en el entorno del 5%.

La expresin grfica del par en funcin del deslizamiento puede deducirsede modo rpido si se tienen presentes las consideraciones siguientes:

1) Para valores reducidos de deslizamiento se cumplir que:

RR

so

RR

s

th +

+

2

12

'

'

>>

X X

o

X X

th +

+

2

1 2

'

'

y que:

R

sRth

2'

>> oR

sR2 1

'

>>

Con lo que la frmula del par podra simplificarse y quedar de lamanera siguiente:

C

m UR s

o

m U

Rs

mec

s

s

th

1 1

2

2

12

2

. .

. .

'

'

Lo que supone que en las proximidades del sincronismo s=0 el parevoluciona linealmente con el deslizamiento.

2) Para valores elevados de deslizamiento se verificar que:

* De nuevo habr que sustituir m1por 3 para los motores trifsicos.


55/65

55

( )X X RR

sth th+ >> +

2

2''

o ( )X X RR

s1 2 12+ >> +

'

'

y en consecuencia el par puede aproximarse segn:

( )

( )

C

m U

X X

R

s

o

m U

X X

R

s

mec

s

s

th

th

+

+

1 12

1 2

22

12

2

22

. .

. .

'

'

'

'

indicando que en las proximidades del punto de arranque, s=1, el par varade manera inversamente proporcional al desli

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I Motores de Induccion Trifasicos 2005