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Universit Pierre et Marie Curie, Universit Paris-Sud, Ecole des Mines de Paris

& Ecole Nationale du Gnie Rural des Eaux et des Forts

DEA Hydrologie, Hydrogologie, Gostatistique et Gochimie Filire Hydrologie et Hydrogologie Quantitatives

ETUDE DE LA DISTRIBUTION STATISTIQUE

DES PLUIES ANNUELLES

Auteur : Harouna KARAMBIRI Directeur de recherche : M. Pierre HUBERT

Laboratoires d'accueil: CIG Ecole des Mines de Paris LGA UPMC Paris 6

septembre 1999

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Remerciements Je tiens tout particulirement remercier mon encadreur, M. Pierre HUBERT, qui a bien voulu me proposer ce sujet et me suivre tout au long de ce travail de mmoire. Je remercie galement M. Hocine BENDJOUDI, pour sa grande disponibilit et ses conseils. Je n'oublie pas Mlle Keltoum CHAOUCHE, pour sa collaboration et son appui aux questions mathmatiques et statistiques. Que tous ceux ou toutes celles, qui m'ont aid et soutenu, d'une manire ou d'une autre, de loin ou de prs, trouvent ici l'expression de ma profonde et sincre gratitude. Harouna KARAMBIRI.

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Page RESUME...

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INTRODUCTION..

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I- Prsentation des donnes...

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I-1- Description de la base de donnes.. 3 I-2- Analyse l'chelle globale.

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II- Multifractalit et Hydrologie....

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III- Distribution des sries annuelles. 11 III-1- Limites de la loi normale..

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III-2- Application des multifractals l'tude des sries annuelles. 12 III-3- Estimation de l'exposant de dcroissance algbrique qD .. 13 III-4- Essai de proposition d'une fonction densit de probabilit 15 III-4-1- Etude et trac de la fonction.

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III-4-2- Paramtres statistiques. 20 a) Mode..

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b) Mdiane. 21 c) Moments 22 III-4-3- Estimation des paramtres de la loi thorique partir des donnes

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IV- Essai d'une autre mthode d'estimation de l'exposant de dcroissance algbrique qD ...

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IV-1- Approche thorique.

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IV-2- Application aux donnes.

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CONCLUSION..

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REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES. 32 ANNEXES..

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SOMMAIRE

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Rsum

Ltude statistique des sries pluviomtriques revt une importance capitale en hydrologie, surtout en ce qui concerne le dimensionnement des ouvrages hydrauliques et ltude des amnagements hydro-agricoles. Cest ainsi que lon retrouve dans la littrature toute une plthore douvrages sur le sujet. Si depuis des dcennies, les lois statistiques classiques ont fait le bonheur des hydrologues statisticiens, amnageurs, concepteurs et autres, aujourdhui, un constat amer se pose : Toutes ces lois classiques, souvent utilises abusivement, trouvent des limites dans l'tude des vnements doccurrence rare. Des tudes rcentes (Hubert et Bendjoudi, 1996) ont montr que la loi de Laplace-Gauss (loi normale) qui est la plus utilise pour la modlisation statistique des pluies annuelles, mais aussi toutes les autres lois dcroissance exponentielle, ne permettent pas d'ajuster d'une faon satisfaisante les queues de distribution des sries longues. Faut-il donc en finir avec la normalit ? De nouveaux outils bass sur les dmarches fractales et multifractales ont t introduits et ont permis de montrer que les sries pluviomtriques suivent plutt une loi dcroissance algbrique moins rapide qu'une dcroissance exponentielle, et que l'exposant qD pourrait tre invariant d'chelle et universel. Dans ce rapport, nous avons appliqu cette approche 233 sries pluviomtriques annuelles de dure suprieure ou gale 100 ans. Le paramtre qD a t estim 4,51. Nous proposons galement une nouvelle loi algbrique de distribution des probabilits ainsi qu'une autre mthode d'estimation de qD.

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Introduction

Les prcipitations constituent les principales entres des systmes hydrologiques tels que les bassins versants. Elles sont vitales pour les tres humains dans la mesure o elles assurent la recharge des ressources en eau et favorisent le dveloppement des activits humaines (agriculture, pche, production d'nergie,). Mais, elles peuvent devenir aussi dangereuses, voire mortelles, en causant des inondations. Voil plusieurs sicles que l'homme a commenc s'intresser ces phnomnes naturels en essayant de les mesurer, de les analyser, de comprendre leur origine et les processus selon lesquels ils se manifestent. Mais hlas, il a t trs souvent limit par les instruments de mesure et les outils d'approche. Les seules mesures fiables disponibles aujourd'hui datent seulement des sicles derniers (18me sicle). L'avnement des nouvelles technologies telle que l'informatique, a permis une avance considrable en hydrologie en ce qui concerne l'acquisition, le stockage et le traitement des donnes pluviomtriques. C'est ainsi que l'on a vu natre toute une pliade de modles mathmatiques et statistiques. Pendant longtemps, les hydrologues se sont contents de dvelopper des modles ad hoc, spcifiques une certaine chelle de temps, pour proposer des solutions aux problmes pratiques urgents, avec pour seul souci la qualit de l'ajustement aux donnes empiriques (Hubert et Bendjoudi, 1997). Aujourd'hui, la pratique montre que ces modles ne suffisent plus expliquer la distribution des vnements d'occurrence rare. Les approches fractales puis multifractales, empruntes l'tude de la turbulence hydrodynamique, ont donn une nouvelle dimension l'analyse et l'interprtation des champs de pluies. Dans ce mmoire, nous nous proposons d'tudier la distribution des sries pluviomtriques partir de ces formalismes fractals et multifractals, afin de dterminer les paramtres des lois qui les rgissent et de proposer de nouveaux modles statistiques de probabilit. Nous commencerons par une tude globale des donnes qui permettra d'avoir une vision spatiale de la rpartition des pluies. Nous aborderons ensuite la notion de multifractalit, son introduction en hydrologie et son application sur les donnes. Pour finir, nous proposerons une nouvelle fonction densit de probabilit et une autre mthode d'estimation du paramtre de dcroissance algbrique des queues de distributions.

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I- Prsentation des donnes

I1- Description de la base de donnes

La base de donnes initiale comprend 368 sries pluviomtriques annuelles. Les dures dobservation minimale et maximale sont respectivement de 39 et 299 ans, avec une moyenne de 106 ans.

Les donnes proviennent du monde entier. Elles ont t rassembles par

l'intermdiaire de plusieurs organismes. Les donnes des pays de la Mditerrane proviennent de la base AMHY du projet FRIEND-AMHY du Programme Hydrologique International de l'UNESCO (Bendjoudi et Hubert, 1997). Celles de l'Afrique de l'Ouest et du centre ont t recueillies auprs de l'IRD (ex. ORSTOM) et du CIEH. Quelques donnes franaises proviennent de Mto-France. Le reste des donnes a t collect un peu par-ci par-l, notamment grce la base de donnes GHCN Version 2 Precipitation Beta Release du site Internet www.ncdc.noaa.gov de la NOAA et de l'dition 1994 du logiciel WORLD WEATHERDISC.

Pour ce travail, nous nous limitons aux sries dune dure de 100 ans au

moins, qui sont au nombre de 233. Pour ces sries, les dates de dbut de mesure se situent entre 1697 et 1895 et les dates de fin de chronique, entre 1893 et 1996. La dure moyenne dobservation est de 126 ans.

Pour faciliter la lecture et le traitement de la base, les sries ont t classes par ordre dcroissant de nombre dannes dobservation.

Les entres de cette base sont (tableau 1) : - le numro de la station - le nom de la station - le code ISO du pays (AFNOR, 1994) - anne de dbut de la srie - anne de fin de la srie - dure de la srie (annes) - nature de la grandeur mesure (P=pluie) - pas de temps de disponibilit des sries (A=annuel) - latitude de la station (degr, minute) - longitude de la station (degr, minute)

A chaque station, correspond un fichier dextension ".dat" dont la racine est le nom de la station (huit premiers caractres au maximum en partant de la gauche). Ces fichiers contiennent le nom de la station suivi du nom du pays, la date de dbut suivie du nombre d'annes dobservation et la chronique de mesures.

Les traitements ont t effectus laide de programmes en fortran 77, avec souvent des sorties sous Microsoft Excel pour le trac des graphiques.

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I2- Analyse l'chelle globale

Il s'agit dans cette partie de chercher savoir s'il existe une interaction des

phnomnes se produisant aux diffrentes stations. Soient deux pluviomtres spars par une distance d; Marsan et al (1996), selon leur modle, dfinissent la liaison entre les signaux 1(t) et 2(t) observs en ces deux points par l'expression:

),2(21 ,)()(

qKqq tdttt + (1) o q est l'ordre des moments et K(2,q) la fonction d'chelle des moments ou fonction de structure (voir chapitre 2). On peut gnraliser cette relation pour un rseau de pluviomtres en dfinissant la fonction de corrlation gnralise :

( ) ),(),(, 2121 ),( ttxxtxtxI qnqnqqn ++= (2) avec q1,q2 : ordres des moments En considrant les moments d'ordre 1 (q1 = q2 = 1), on montre (Marsan et al, 1996) que pour deux domaines purement spatial et temporel pris sparment, la fonction de corrlation se met sous la forme:

( ) )2(11

)1,1(:),0(K

Hn ttIttemporelDomaine

(3)

( ) )2()1,1(:)0,( Kn xxIxspatialDomaine (4) o H est un coefficient d'anisotropie espace-temps.

A l'chelle annuelle, les sries pluviomtriques peuvent tre considres comme tant indpendantes les unes par rapport aux autres. L'application de la relation (3) qui vise caractriser et quantifier la corrlation cette chelle ne revt donc pas une grande importante. Elle serait plus significative plus petite chelle (minute, heure).

Intressons-nous plutt la relation (4) qui ne dpend pas de l'chelle (temporelle) et qui semble trs enrichissante. On considre les pluviomtres (stations) deux deux spars par une distance x. On dtermine pour chaque couple, le domaine de dfinition qui n'est rien d'autre que l'intersection des annes d'observation de chacune des stations du couple. Prenons un exemple: Si on prend deux stations, l'une tant observe de 1980 1990 et l'autre de 1985 1995, on travaillera, pour ce couple, sur l'intervalle allant de 1985 1990.

Sur ce domaine de dfinition, on applique la relation (2) avec t=0, q1=q2=1; Ce qui revient faire la moyenne des produits des deux sries pralablement normalises,

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au mme pas de temps et sur leur domaine commun. La distance x sparant deux stations est calcule partir des coordonnes gographiques des deux stations (latitude, longitude) l'aide de la trigonomtrie sphrique. On procde ainsi pour tout le rseau et on reporte sur un graphique (graphique 1) les valeurs de la fonction de corrlation en fonction des distances considres. Il faut signaler que nous avons retenu seulement les couples dont le domaine de dfinition tait au moins gal 10 ans. Avant d'interprter ce graphique, il serait judicieux d'analyser d'abord pour les mmes couples de stations, le coefficient de corrlation classique entre les sries des deux stations sur le domaine de recouvrement. Le graphique 2 montre la variation de ce coefficient en fonction de la distance. Pour des distances faibles, le coefficient de corrlation est lev (autour de 0,8); il diminue avec l'augmentation de la distance. Au-del d'une certaine distance (environ 4000 km) le nuage de points reste centr sur l'axe y=0. Compte tenu de l'opacit du nuage due au nombre important de points (26 982), nous avons cherch affiner sa lisibilit en faisant des moyennes par intervalle de distance de 500 km (graphique 3). Sur ce graphique, on peut souligner une dcroissance de la corrlation bien marque pour des distances allant de 0 environ 4000 km. Aprs cette distance, le coefficient oscille autour de 0 avec une moyenne pratiquement nulle. Cela nous permet de dfinir, pour une station donne, un cercle de corrlation centr sur cette station, de rayon 4000 km, l'intrieur duquel toute autre station sera corrle avec la premire.

Revenant au graphique 1, on retrouve cette porte de 4000 km o le nuage de points semble plus pais et plus compact; il s'effile et s'effrite au-del de cette distance. On s'intressera plus particulirement cette premire partie de la fonction de corrlation afin de quantifier la relation (4). Pour cela, nous avons fait la moyenne comme prcdemment, des valeurs de la fonction au pas de distance de 500 km (graphique 4). Un ajustement des points a t fait et on trouve: ( ) 0091,0)2(0091,0)1,1( = KxxIn Cette valeur est comparer celle de 0,22 0,06 trouve par Marsan (1998) pour des spectres d'nergie de donnes de rflectivit radar sur une priode de 2,5 jours et un domaine carr de 500 km environ, avec une rsolution de 2 km x 2 km toutes les 15 minutes. Il faut noter que plus K(2) est lev, plus la fonction de corrlation dcrot rapidement et moins la distance de corrlation est grande. La valeur que nous avons trouve se justifie donc par la grande chelle d'tude considre (plusieurs milliers de km). Nous avons repris la mme tude, mais cette fois-ci, en distinguant les couples de stations ayant une orientation Est-Ouest (E-W) ou Ouest-Est (W-E) et ceux ayant une orientation Sud-Nord (S-N) ou Nord-Sud (N-S). On admettra qu'un couple a une orientation Est-Ouest, si l'angle entre la droite (plutt l'arc) reliant les deux stations et l'Equateur gographique est infrieur 45. Il aura une orientation Sud-Nord dans le cas contraire. Les graphiques 5, 6, 7, 8 montrent respectivement, en fonction de la distance, les variations des coefficients de corrlation E-W, S-N et des fonctions de corrlation E-W et S-N. Pour apprcier les diffrences, examinons plutt les graphiques 9 et 10.

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Sur le graphique 9, on retrouve toujours une premire phase, pendant laquelle, les coefficients de corrlation restent levs et dcroissent rapidement avec la distance. Cette dcroissance est plus forte dans la direction S-N que dans la direction E-W. On pourrait dfinir des portes de 2000 km pour la direction S-N et 3000 km pour la direction E-W. Au-del de ces distances, les valeurs des coefficients de corrlation suivant les deux directions se rejoignent et vacillent autour de 0. Ces mmes portes se retrouvent sur le graphique 10, en ce qui concerne les fonctions de corrlation. Des rgressions sur les premiers points, selon chaque direction, donnent les rsultats suivants:

( ) 0076,0)2(: 0076,0)1,1( = KxxIWEdirection n

( ) 0087,0)2(: 0087,0)1,1( = KxxINSdirection n La valeur de K(2) dans la direction S-N est plus leve que celle dans la direction E-W; ce qui se traduit par: pour une mme distance, la corrlation est plus forte dans la direction E-W que S-N. La dcroissance rapide de la fonction de corrlation dans cette dernire direction justifie sa faible porte.

Des explications plus physiques peuvent venir tayer ces analyses thoriques: Loin de vouloir aborder ici, en dtails, les phnomnes complexes de la circulation atmosphrique et de la gnration de pluie, nous tenons rappeler simplement que la circulation dans l'atmosphre se fait diffremment selon deux zones: - La zone intertropicale qui s'tend entre les latitudes 30 S et 30 N, est marque

par l'existence de vastes cellules convectives (cellules de HADLEY) o l'air chaud s'lve prs de l'Equateur et redescend des latitudes plus leves. Il existe galement des courants de retour dans les basses couches de l'atmosphre vers l'Equateur. On appelle Zone de Convergence Intertropicale, la rgion o convergent ces courants venant de l'Hmisphre Nord et de l'Hmisphre Sud; laquelle zone varie en fonction des saisons. Les cellules ne montent pas toutes uniformment le long de l'Equateur, celles qui se dplacent longitudinalement sont appeles cellules de WALKER.

- La zone extratropicale s'tend au-del des latitudes 30 N ou 30 S en direction

des ples. Cette zone est marque par un climat beaucoup plus variable. La vitesse du vent peut tre dfinie en termes de systme local de coordonnes cartsiennes inscrit sur la terre. A chaque latitude et longitude sur la terre (sphre) de rayon R, le vent admet deux composantes:

NSouSNdirectiondtdRv

EWouWEdirectiondtdRu

=

=

cos

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D'une manire gnrale, les principaux rgimes de vent la surface de la terre s'tablissent suivant une direction d'Est en Ouest aux basses latitudes et d'Ouest en Est aux plus hautes latitudes. Ces vents, appels vents zonaux, peuvent atteindre jusqu' plus de 30 m.s-1 dans les jets puissants subtropicaux centrs sur des latitudes d'environ 30 (Hartmann, 1994). La composante mridionale du vent est beaucoup moins leve et correspond la convergence des alizs vers l'Equateur. Elle peut atteindre une vitesse maximale de 1 m.s-1 (Hartmann, 1994). Cette circulation gnrale peut tre perturbe par la naissance de phnomnes plus complexes telles que les moussons indiennes et africaines au mois de juillet qui ont des directions variables (Chapel et al, 1996). On comprend donc mieux la forte corrlation des stations pluviomtriques dans la direction E-W (ou W-E) cause de la circulation gnrale des phnomnes atmosphriques dans cette direction, notamment les nuages qui sont l'origine des pluies. Parlant de nuages, il faut rappeler qu'on en distingue principalement trois types selon l'altitude: les cirrus (nuages hauts), les cumulus (nuages moyens) et les stratus (nuages bas). Ils sont constitus de fines gouttelettes d'eau ou de particules de glace en suspension dans l'atmosphre. Les prcipitations se produisent quand les blocs de nuages deviennent sursaturs en vapeur d'eau, provoquant ainsi condensation et chute de gouttes. Cette sursaturation est normalement cause par un refroidissement des nuages durant leur ascension qui peut tre force par les mouvements atmosphriques. On estime environ 3 jours le temps de sjour rel des molcules d'eau dans l'atmosphre (Hartmann, 1994). On peut donc, sans trop se tromper, tenir le raisonnement suivant: un paquet de nuages sursaturs, qui commence prcipiter et qui se dplace la vitesse moyenne du vent de 15 m.s-1 soit 54 km/h, aura parcouru pendant 3 jours, une distance d'environ 4000 km avant de s'vanouir compltement. Cela pourrait expliquer la porte de corrlation des stations (4000 km) observe sur le graphique 2, en supposant que les signaux enregistrs chaque couple de stations rsultent de la ralisation d'un mme vnement pluvieux. Ce premier traitement qui constitue une vision globale, permet de toucher du doigt toute la difficult que reprsente l'tude des phnomnes atmosphriques tels que les champs de pluies. Il est bien entendu qu'une telle approche simpliste fait abstraction de beaucoup de facteurs influenant les prcipitations, notamment l'orographie et l'anthropisation. Dans la suite, nous nous intresserons plus particulirement la distribution temporelle des pluies qui ncessite de nouvelles dmarches plus robustes fondes sur des concepts physiques (naturels), mme de traduire fidlement le comportement des perturbations atmosphriques.

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II- Multifractalit et Hydrologie

Le terme fractal qui vient du mot latin fractus dsignant un objet de forme irrgulire et discontinue, a t utilis pour la premire fois par Mandelbrot pour dcrire le chaos qui rgne dans les phnomnes naturels (Mandelbrot, 1974). Cette notion qui tait purement gomtrique au dpart (Mandelbrot, 1982), a permis de renouveler les approches de nombreux domaines de sciences de la nature en y introduisant explicitement la notion d'chelle. Lextrme variabilit des champs gophysiques, qui rsulte dinteractions fortement non linaires entre diffrentes chelles et/ou champs, nest pas bien traduite par les approches traditionnelles. Cette variabilit intervient sur de trs grandes gammes dchelles allant des chelles dites de dissipation (infrieures ou gales au millimtre) aux chelles plantaires (plusieurs milliers de kilomtres) en espace et de la milliseconde aux chelles gologiques en temps (Schertzer et Lovejoy, 1985b), (Schertzer et Lovejoy, 1994). Pour aborder ces caractristiques fondamentales, de nouveaux outils bass sur des dmarches fractales ont t dvelopps. La manire la plus simple daborder le problme (variabilit non linaire) est de supposer quun processus lmentaire permet que cette variabilit se reproduise d'chelle en chelle ; do les termes de cascade multiplicative et d'invariance d'chelle. Les champs gophysiques, compte tenu de leur complexit, ne peuvent se rduire un simple cadre gomtrique "blanc ou noir" ; cest dire loccurrence ou la non-occurrence dun phnomne caractris par sa seule dimension fractale D mesurant son degr dirrgularit. Cela conduirait ngliger la distribution dans lespace et/ou dans le temps de lintensit des phnomnes tudis. Lapproche multifractale vise donc une prise en compte simultane des chelles et des intensits (Schertzer et Lovejoy, 1987a). Les turbulences atmosphriques sont rgies par les quations de Navier et Stokes et les modles multifractals ont dabord t conus pour reproduire les proprits de ces quations (Schertzer et Lovejoy, 1987b, 1991).

Lapparition des fractals puis des multifractals en hydrologie a surtout t motive par le caractre intermittent tant dans lespace que dans le temps des phnomnes pluvieux. Ils ont fortement contribu lapprhension et la comprhension des processus complexes de gnrations pluviomtorologiques. Les caractristiques fractales ou multifractales des champs de pluie ont t observes et analyses dans l'espace (Lovejoy, 1981 ; Schertzer et Lovejoy, 1987a;), dans le temps (Hubert et Carbonnel, 1989; Hubert et al, 1993 ; Lima et Grasman, 1999;) et la fois dans les deux directions (Marsan et al, 1996 ; Marsan, 1998). Il a t montr (Kolmogorov, 1962 ; Mandelbrot, 1974) que les transferts dnergie de gros tourbillons vers les petits seffectuent lors de cascades dune manire multiplicative et la fraction de flux transmise est dtermine par un facteur alatoire.

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Le cas le plus simple de telles cascades est la gnration de cascades discrtes multiplicatives autosimilaires. Il faut entendre par autosimilaire, le fait qu' chaque tape de la cascade, chaque tourbillon gnr ressemble au gros tourbillon une homothtie prs. Si nous considrons par exemple un domaine purement spatial bidimensionnel de taille L x L, correspondant la structure la plus grande d'intensit ou densit du flux d'nergie 0, on peut dvelopper une cascade discrte multiplicative autosimilaire par itration d'un gnrateur invariant d'chelle jusqu' une chelle de rsolution fine l=L/, o est le rapport d'chelle maximum. Quand +, on observe l'apparition de singularits, extrmes en certains points et faibles en d'autres, correspondant une concentration de l'activit du champ sur une portion de plus en plus faible de l'espace (Schertzer et Lovejoy, 1994). A l'chelle l1= L/1, on divise le domaine en 1x1 structures (1 entier) et on attribue chaque structure ainsi cre une intensit 1,i=0*1,i (ime structure du 1er pas de cascade), o 1,i sont les ralisations indpendantes les unes des autres d'une variable alatoire positive , comme nous l'avons dit plus haut. est caractris par une fonction K(q) telle que :

)(1

qKq = (5) avec la condition 1= K(1)=0 qui rsulte de la conservation en moyenne d'ensemble de l'nergie totale chaque pas de cascade. K(q) est appele fonction de structure ou de "scaling" des moments. Si n est le champ obtenu aprs n itrations, on a :

)()(1

qKqnKnqqn === (6)

En considrant n = on arrive une quation fondamentale des multifractals:

)(qKq (7) D'une faon quivalente, en termes de probabilit, cette quation peut se rcrire (Schertzer et Lovejoy, 1991) : [ ] )(Pr Cob f (8) o C() est une fonction de codimension qui caractrise la probabilit d'occurrence des singularits d'ordre suprieur . Les auteurs font remarquer que le signe signifie galit en englobant les facteurs constants multiplicatifs et les variations lentes en chelle (ex. logarithme).

Les deux fonctions K(q) et C() se dduisent l'une de l'autre par une transformation de Legendre (Parisi et Frisch, 1985):

( ))(max)(

CqqK = ( ))(max)( KqCq

= (9)

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Ce qui permet d'tablir des relations univoques entre ordres des moments et des singularits:

ddCq )(=

dqqdK )(

= (10)

En gophysique, notamment en hydrologie, les mesures faites sont des

quantits habilles, puisqu'elles sont l'intgration l'chelle d'observation de processus qui se sont poursuivis jusqu' des chelles infiniment plus petites.(c'est l'exemple de pluies horaires, mensuelles ou encore annuelles, qui sont l'intgration temporelle de processus se dveloppant des chelles beaucoup plus fines). Ces proprits habilles sont distinguer des proprits nues qui correspondent des processus arrts l'chelle d'observation. Les proprits habilles qui cachent les variabilits plus petites chelles que l'chelle d'observation, peuvent conduire des divergences de moments d'ordre suffisamment grand (Mandelbrot, 1974; Schertzer et Lovejoy, 1987b). q quand pour q suffisamment grand Ce qui correspond une transition de phase multifractale, analogue une transition de phase thermodynamique. Cette divergence des moments est quivalente une chute algbrique lente de la distribution des intensits au-del d'un certain seuil. On montre (Schertzer et Lovejoy, 1992) qu'il existe un ordre de moment critique qD, dfini par K(qD)=D(qD 1), qD>1, D: dimension de l'espace support, au-del duquel, il y a divergence. A qD , correspond un ordre de singularit critique D, au-del duquel, la fonction de codimension C() devient linaire:

( ) )()( DDD CqC += si D f (11) Pour suffisamment grand, on peut donc rcrire la distribution de la probabilit au dpassement du flux d'nergie : [ ] DqCob )(Pr f (12) Si on dfinit un seuil = , on a :

[ ] Dqob fPr (13) Cette quation, trs rvlatrice, montre que quelle que soit l'chelle considre, la probabilit au dpassement d'un seuil suffisamment grand, est une fonction algbrique dcroisante de ce seuil et que l'exposant qD est indpendant de l'chelle considre. C'est ce rsultat que nous utiliserons par la suite pour caractriser les queues de distributions des sries pluviomtriques annuelles de la base de donnes.

Cette transition de phase qualifie de transition de phase multifractale du premier ordre survient suite des discontinuits dans les premires drives des fonctions K(q) et C(); A cause du nombre fini de donnes de mesures (problmes d'chantillonnage), il apparat une autre transition de phase multifractale du second ordre due aux discontinuits dans les drives secondes de K(q) et C(). L'ordre des moments critique correspondant est qS (Lima et Grasman, 1999; ..).

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III- Distribution des sries annuelles

III1- Limites de la loi normale

Nous n'avons nullement l'intention dans cette partie de nous taler sur les modles statistiques employs en hydrologie. L'accent sera surtout mis sur un modle qui a pratiquement valeur de dogme (Hubert et Bendjoudi, 1996), savoir la loi de Laplace-Gauss (loi normale) qui est largement utilise pour l'ajustement des sries pluviomtriques annuelles. Cette loi se dfinit comme suit : Si X est une variable alatoire qui suit une loi normale, sa fonction densit de probabilit est :

=2

2 )(21exp

21)(

xxf ,- < x < + , avec : moyenne de la srie, :

cart-type de la srie. L'utilisation rpandue de cette loi pour l'tude et l'analyse des cumuls pluviomtriques annuels est en fait base sur le thorme central limite qui stipule que : la somme de n variables alatoires, indpendantes, de variance finie et identiquement distribues, est asymptotiquement normale (Kottegoda, 1980). Lequel thorme peut se gnraliser toute somme de n variables alatoires condition qu'aucune variable ou groupe de variables n'occupe dans la somme une place prpondrante par rapport aux autres ou encore que toutes les variables initiales soient du mme ordre de grandeur (Dagnelie, 1970). Il se dgage deux problmatiques de ce thorme savoir les notions d'indpendance et de distribution identique. Si, des chelles de temps assez grandes (annes), l'on peut considrer les vnements pluvieux comme tant relativement indpendants, est-il raisonnable d'admettre cette hypothse petites chelles ? La pluie qui tombe un instant t donn, ne dpend-t-elle pas de l'activit pluvio-orageuse prcdente ? Il faudrait peut-tre rappeler qu'en ralit, dans la nature, la pluie n'a pas d'chelle. Elle n'est ni horaire, ni journalire, ni annuelle (Hubert et Bendjoudi, 1996). C'est un phnomne qui se droule au cours du temps selon ses propres lois. Les chelles actuelles ne traduisent en fait que notre incapacit cerner et retrouver les paramtres invariants d'chelle qui rgissent ces lois.

Si l'on peut difficilement admettre cette hypothse d'indpendance, il est par contre inadmissible que les pisodes pluvieux soient identiquement distribus, quand on sait qu'ils varient dans un rapport de 1 1000 (Bendjoudi et Hubert, 1998). Les priodes pluvieuses, quelle que soit la rgion, ne durent que quelques heures par an. En France, cette dure varie entre 400 et 1400 heures par an, soit environ 10% du temps (Rmniras et Hubert, 1990). Il faut noter que cette estimation de la dure des prcipitations en un lieu, trs lie l'chelle d'observation partir de laquelle elle est calcule, est bien mal dfinie et finalement trs critiquable. Comme nous l'avons vu dans le chapitre prcdent, les instruments de mesure (pluviomtres, pluviographes, etc) habillent les proprits de la pluie et masquent ainsi les htrognits et irrgularits qui peuvent survenir plus petites chelles que l'chelle d'observation et entraner des consquences dramatiques (Schertzer et Lovejoy, 1994). C'est le cas d'une simple averse qui peut bouleverser tout un bilan

15

hydrologique annuel. Considrer les pisodes pluvieux du mme ordre de grandeur, reviendrait donc ignorer la nature mme du phnomne pluviogne, c'est dire l'intermittence et la variabilit spatio-temporelle. Utilise souvent tort, la pratique montre que la loi normale s'carte des valeurs de mesures en ce qui concerne les vnements extrmes. Dans la plupart des cas, ces valeurs sont tout simplement cartes sous prtexte qu'elles relvent d'erreurs de mesure ou d'une autre logique. Faut-il continuer dvelopper ou raccommoder des modles statistiques douteux, desquels les vnements les plus riches en information sont exclus, et bass sur des hypothses elles-mmes douteuses ? Ou alors, faut-il rechercher des outils plus performants, rationnels et physiques, traduisant la nature intrinsque des observations faites ? C'est l que l'approche multifractale trouve toute sa place et toute sa justification en ce sens qu'elle permet de rendre compte en une thorie unifie des lois d'chelles et de l'intermittence associe des champs de pluie.

III2- Application des multifractals l'tude des sries annuelles

Nous reprenons ici un des rsultats les plus fondamentaux des multifractals savoir que la probabilit de dpassement, quelle que soit l'chelle considre, d'un seuil suffisamment grand, est une fonction algbrique dcroissante de ce seuil, traduit par l'quation (13) :

[ ] qDob fPr Pour un seuil assez grand h d'une prcipitation H, on aura:

[ ] qDhhHob fPr (14) Cette approche a dj t applique une banque de donnes pluviomtriques annuelles comprenant 71 sries d'une dure suprieure ou gale 90 ans (Bendjoudi et Hubert, 1998). Nous l'tendons ici notre base de donnes de 233 sries de dure d'observation au moins gale 100 ans. Afin de respecter la contrainte de conservation d'ensemble de la "masse" totale, et de pouvoir comparer les sries les unes par rapport aux autres, celles-ci ont t normalises (moyenne=1) et standardises (cart-type=1). Si ( ) niiY ,1= est une srie d'observations de moyenne m et d'cart-type , la srie normalise et standardise

( ) niiX ,1= est telle que: mYX ii

+= 1 , i=1,n.

Les sries ont t ranges par ordre croissant et pour chaque valeur Xi, nous avons calcul la probabilit empirique au dpassement correspondante par la formule de

WEIBULL: 1

1)(Pr+

+=

ninXXob if , i tant le rang et n le nombre dobservations.

Les points reprsentatifs de ces probabilits empiriques au dpassement ont t reports sur un graphique log-log. A ces points, nous avons superpos la courbe correspondant la probabilit au dpassement issue de lajustement des donnes une loi normale (graphique 11).

16

Pour toutes les sries, l'ajustement des donnes empiriques la loi normale

est satisfaisant sauf pour les valeurs extrmes. On note en effet pour toutes les sries et cela d'une manire systmatique, que la loi normale dcroche pour des seuils grands, donc des probabilits au dpassement faibles. Cette cassure se produit dans l'ensemble pour des probabilits au dpassement infrieures ou gale 0,05 (priode de retour 20 ans). Au-del de cette probabilit, la loi normale n'est plus valable puisque la loi des grands nombres ne s'applique plus, d'o perte d'ergodicit, divergence des estimateurs statistiques usuels et dpendance des estimations de la taille de l'chantillon (Bendjoudi et Hubert, 1998): C'est la transition de phase multifractale du premier ordre. Elle correspond une chute algbrique de la distribution des intensits, infiniment moins rapide qu'une dcroissance exponentielle. Ce qui n'tait qu'une conjecture thorique, se voit bien vrifi par les donnes empiriques. En effet, au-del de la cassure, les points empiriques s'organisent autour d'une droite. C'est en fait la traduction de l'quation (14) en logarithme:

[ ]( ) )(Pr hLogqhHobLog Df -qD tant la pente de la droite.

Des tudes prcdentes (Hubert et Bendjoudi, 1996) effectues sur la srie de Ddougou (Burkina Faso), aux chelles de temps annuelle, mensuelle et journalire, montrent une dcroissance algbrique de pentes similaires des queues de distribution pour ces trois chelles. Ce qui milite en faveur d'une invariance d'chelle du paramtre qD (graphique 12).

III-3- Estimation de l'exposant de dcroissance algbrique qD

Partant donc de ce constat, nous avons ajust une droite, pour toutes les sries, sur les points dont la probabilit empirique au dpassement est infrieure 5%, afin d'estimer qD. Le tableau 2 regroupe les rsultats; il comprend la liste des stations, le code du pays, la dure de la srie, la valeur de qD, le coefficient de corrlation de l'ajustement et le nombre de points utiliss. Les coefficients de corrlation sont satisfaisants (moyenne = 0,96). Le nombre de points utiliss varient de 15 pour les plus longues sries 5 pour les plus courtes avec une moyenne de 6 points. En fait ces points reprsentent 5% du nombre total d'observation; puisque:

11)(Pr+

+=

ninXXob if par la formule de WEIBULL

)1(95,005,01

105,0)(Pr ++

+ ni

ninXXob if (les sries tant classes par

ordre croissant).

Les valeurs de qD s'chelonnent de 2 26. La moyenne sur toutes les sries est de 5,9; la dispersion autour de cette valeur centrale est 3,7. Il est intressant de voir comment voluent les diffrentes valeurs de qD d'une station une autre. Le graphique 13 montre cette volution en fonction du nombre d'annes d'observation des sries. Les points ne sont pas rpartis au hasard. On peut en effet remarquer une espce de noyau dlimit par les intervalles [100;140] pour les dures et [2;7]

17

pour les valeurs de qD, o la densit des points est plus leve. Au-del, les points sont pars. La dgradation horizontale de ce noyau peut s'expliquer par le nombre de moins en moins lev de sries de plus de 150 ans. Mais la faible densit de points au-dessus du noyau (verticalement) pourrait traduire l'existence d'une valeur de convergence de qD au sein du noyau. Une petite statistique sur ce noyau donne une valeur moyenne de qD de 4,4 et un cart-type de 1,3.

Entre 100 et 140 ans, on note une forte variation verticale des valeurs de qD (2 26). Trs rapidement, cette variation s'attnue lorsque la dure des sries augmente. Les points semblent encadrs par deux courbes enveloppes virtuelles minorante et majorante qui convergent vers une mme limite lorsque le nombre d'annes d'observation devient grand. Pour essayer d'approcher cette valeur "idale" de qD qui serait la limite d'une srie infinie, nous avons utilis les 6 plus longues sries (de plus de 200 ans). En nous fondant sur la moyenne et l'cart-type de ces sries, nous pouvons estimer la valeur limite de qD 4,5 1. Cette valeur est proche de celle trouve pour le noyau d'attraction. Il y a lieu de relever que cette estimation de l'exposant de dcroissance qD est lgrement suprieure celle faite dans les travaux prcdents (Bendjoudi et Hubert, 1998) qui est de 3,8 0,5. La recherche dans la littrature de nouvelles sries de plus en plus longues, s'avre indispensable pour affiner davantage la dtermination de ce paramtre.

Nous avons appliqu d'autres formules empiriques de calcul de la probabilit au dpassement savoir:

Cunnane: 2.0

6.0)(Pr+

+=

ninXXob if

Hazen: n

inXXob i+

=

5.0)(Pr f

o i est le rang du seuil et n le nombre dobservations. Toutes ces formules posent le mme constat que celle de Weibull: le dcrochage de la loi normale des donnes empiriques pour des probabilits infrieures ou gales 0,05 et la chute algbrique des queues de distribution. Elles donnent cependant des estimations un peu plus leves du paramtre qD (5,2 1,2 pour Cunnane et 5,5 1,2 pour Hazen).

Pour mettre en vidence la divergence des moments statistiques du fait de la transition de phase multifractale, nous avons calcul les moments d'ordre 1 6. Le graphique 14 montre la variation de ces moments pour la station de Gibraltar (Espagne) en fonction du nombre d'annes utilis N, allant de 1 la dure de la srie (202 ans). On distingue essentiellement deux parties: Une premire partie entre 1 et 70 ans, o les moments fluctuent beaucoup en raison de la taille assez faible des chantillons. Les amplitudes de ces fluctuations sont moindres pour les moments d'ordre 1 3 comparativement aux moments d'ordre 4 6.

Intressons-nous la deuxime partie se situant au-del de 70 ans. Dans cette partie, les trois premiers moments se stabilisent rapidement et deviennent

18

constants. Alors que les moments d'ordre 4, 5 et 6 ont du mal se stabiliser et ont tendance diminuer quand N augmente. Cette instabilit des moments d'ordre suprieur ou gal 4 traduit bien le fait qu'un phnomne s'est produit: c'est la transition de phase multifractale. L'ordre critique des moments se situe donc autour de 4, ce qui consolide l'estimation faite plus haut. Le moment d'ordre 4 n'existant pas, des paramtres statistiques tel que le coefficient d'aplatissement n'ont aucune signification. Les consquences pratiques d'une dcroissance algbrique des queues de distribution des sries sont assez lourdes, surtout en ce qui concerne les risques hydrologiques et les cots des ouvrages de gnie civil. Quand on multiplie un seuil d'intensit par 10, on divise sa probabilit au dpassement par 10qD, on multiplie donc sa priode retour par 10qD. En adoptant la valeur de qD de 4,5 , on est trs loin des rsultats donns par une distribution normale qui divise par 10 la probabilit au dpassement d'un seuil 10 fois plus grand. En outre, un vnement qualifi de millennal par une loi normale, ne serait en fait que centennal dans le cas de notre modle.

Le graphique 15 permet de mieux visualiser ces diffrences. Nous y avons reprsent la priode de retour T de l'intensit maximale de chaque srie, calcule par la loi normale, en fonction de la dure n de la srie qui correspond la priode de retour empirique de la plus grande intensit. Pour des raisons de commodit, l'axe des ordonnes est en chelle logarithmique.

Hormis quelques rares points, la quasi-totalit des points (plus de 90%) se situe au-dessus de la premire bissectrice. Le nuage de points n'est aucunement allong le long de cette droite; il est plutt orient verticalement. Alors que la priode retour empirique varie entre 100 et 299 ans, avec une moyenne de 126 ans, celle thorique varie de 38 ans 4,3 millions d'annes avec une moyenne de 57 000 ans. Pour des vnements qui sont dans l'ensemble centennaux, 40% sont estims plus que millennaux par la loi gaussienne.

Comme nous pouvons donc le constater, la loi normale fait une forte

surestimation des priodes de retour des vnements extrmes. Ce qui a une incidence sur les cots des ouvrages hydrauliques.

III-4- Essai de proposition d'une fonction densit de probabilit

L'introduction des approches multifractales dans l'tude de la distribution des pluies annuelles ouvre de nouvelles perspectives la modlisation spatio-temporelle des champs de prcipitations. Au lieu de peaufiner des modles statistiques bass sur des lois dcroissance exponentielle trop rapide, il est peut-tre grand temps que les mathmaticiens statisticiens uvrent la recherche de nouvelles lois prsentant un comportement "fat tail" ou "heavy tail" (dcroissance lente); c'est dire des lois de probabilit dcroissance algbrique. Nous citons pour revue:

19

- La loi de Pareto gnralise (Van Montfort et Witter, 1986):

=

=0,0)exp(10,/100,0)1(1

)(

/1

pp

fpp

ppp

ZZZZZ

xXP (15)

o

=

xZ

avec : paramtre de position ( x > ) : paramtre d'chelle ( > 0 ) : paramtre de forme. - La loi de Halphen B-1 (Morlat, 1956):

Fonction densit de probabilit:

0exp)(

2)(2

1221 fxpourx

mxmx

efmxfB

+

=

(16)

> 0 et sont des paramtres de forme m > 0 est un paramtre d'chelle ef est la fonction factorielle exponentielle dfinie comme suit:

( )dxexef xx +

=2

0

12)( Dans cette mme foule, nous essayons ici de proposer une fonction densit de probabilit qui prsente un comportement algbrique.

Soit la fonction: ( )cba

xmxxh+

=)( x 0, avec a>-1 ; b>0 ; m>0 ; c>(a+1)/b

L'intgrale de cette fonction vaut:

( ) )(11

)(1

00 cbb

acb

a

mdxxm

xdxxh bbca

cb

a

+

+

=

+=

+++

(Lide D.R., 1992)

Dfinissons une fonction telle que: 0)(

)()(0

=

+x

dxxh

xhxf

20

On aura:

( ) 0*11)()( 1

+

+

+

=

+x

xmx

bac

bam

cbxf cba

bbca (17)

Avec a>-1 ; b>0 ; m>0 ; c>(a+1)/b est bien une fonction densit de probabilit puisqu'elle est continue, positive et drivable sur ]0;+[ et

+=

01)( dxxf .

Elle prsente un comportement algbrique puisque, quand bcaxxfx + )(, (a-bc1). Dans ce cas, la probabilit au dpassement vaut:

[ ] )1()(Pr + + = abcx x bca xdxxdxxfxXob f L'exposant de dcroissance algbrique est qD=bc-a-1. Dans le cadre de ce travail, pour simplifier ltude de la fonction, nous adopterons b=1. On a donc:

En mettant m en facteur, on obtient :

( ) ( ) c

a

mx

mx

acamcxf

+

+

=

1*

11)()( (18)

m reprsente le paramtre dchelle, a et c les paramtres de forme.

III-4-1- Etude et trac de la fonction Dsignons par X, la variable alatoire dont la fonction densit de probabilit (fdp) est . Soit g la fdp d'une variable alatoire U tel que: U=X/m La probabilit lmentaire se dfinit comme suit: Prob(x

21

( ) ( ) ( )ca

uu

acacug

++

=

1*

11)()( (19)

La courbe (Cg) de la fonction est semblable celle de (C) un facteur d'chelle prs. La fonction g(u) peut se mettre sous la forme:

( ) ( )ca

uu

acaBug

++=

1*

1,11)(

o B est la fonction bta dfinie par: )()()(),(

vuvuvuB

+

=

g est drivable sur ]0 ;+[ et sa drive vaut :

( ) [ ]ucaauu

acaBug c

a

)(*1

*)1,1(

1)( 11

+++

=+

On distingue plusieurs cas suivant les valeurs de a: -1

22

)1()0( ccg = et )1()0( = cg Tableau de variation:

a>0 Le signe de g(u) dpend du signe de a+(a-c)u.

0)( =

= ugac

au : la courbe de g admet une tangente horizontale en

acag

acaM ,

0)( fugac

au

< : g est strictement croissante.

0)( pugac

au

> : g est strictement dcroissante.

( ) ( )ac

c

a

acca

acaBacag

+=

*1,1

1 et g(0)=0

Tableau de variation:

ac

a

acag

0 0

+ 0u

g

g

- + 0

0

+

c-1

0u

g

g

- c(1-c)

23

Il faudra remarquer que dans l'intervalle ]0;1], g'(u)+ quand u0, la courbe de g (Cg) admet donc une tangente verticale l'origine. Alors que dans l'intervalle ]1; +[, g'(0)=0: (Cg) admet une tangente horizontale l'origine. Quelle que soit la valeur du paramtre a, 0)(lim =

+ug

u: (Cg) admet l'axe des

abscisses comme asymptote l'infini. Choix des paramtres a et c a>-1 et c>a+1 Si nous reprsentons sur un graphe ces deux conditions (ingalits), nous obtenons un domaine D de combinaisons acceptables des paramtres a et c. Le graphique 16 montre les allures de la fonction g pour quelques valeurs de a et c.

III-4-2- Paramtres statistiques

a) Mode Le mode est la valeur de la variable pour laquelle la fonction densit de probabilit atteint son maximum. Il sobtient en faisant g(u) = 0. Pour 1

24

Pour a>0:

acamx

mxu

acauug

=

=

== 0)(

le mode vaut : ac

ame

=mod (20)

b) Mdiane Elle est dfinie comme tant la valeur de la variable de part et d'autre de laquelle, on retrouve 50% de la distribution. Si on note xmd la mdiane, on doit avoir :

+==

md

md

x

xdxxfdxxf

05,0)()( (21)

Cette quation tant difficile, voire impossible rsoudre littralement compte

tenu de lintgrale de la fonction f qui est trs complexe, nous proposons une rsolution numrique base sur une discrtisation trapzodale de l'intgrale dont lalgorithme est le suivant :

( ) ( ) c

a

mx

mx

acamcxf

+

+

=

1*

11)()(

oui

non

Dbut

Entrer m,a,c, pas

S=0 x1=0

x2=x1+pas

S=S+[f(x1)+f(x2)]*pas/2

S

25

c) Moments

Le moment dordre p se met sous la forme :

[ ])1()1(

)1()1()(0

+++

== +

acapacpamdxxfxXE ppp (22)

On vrifie bien que, pour p=0 , [ ] + == 00 1)( dxxfXE Les conditions d'existence de ces moments sont: a+p>-1, c>a+p+1, et m>0. Ce qui donne pour l'ordre des moments: -(a+1)

26

III-4-3- Estimation des paramtres de la loi thorique partir des

donnes

Cette estimation s'est faite l'aide des mthodes traditionnelles:

- Mthode du maximum de vraisemblance: C'est une mthode optimale, tout au moins asymptotique, car elle prend en

compte tous les lments de l'chantillon individuellement. En considrant la fonction f(x,a,c,m) et la srie d'observations indpendantes (Xi)i=1,n, on dfinit la vraisemblance par: L=f(x1,a,c,m)*f(x2,a,c,m)*..* f(xi,a,c,m)*.f(xn,a,c,m) Ou encore:

[ ]=

=

n

ii mcaxfLogLLog

1),,,()(

La mthode consiste maximiser la fonction L ou Log(L) par rapport aux paramtres a,c,m, en annulant les drives partielles:

000 =

=

=

mL

cL

aL

On obtient ainsi autant d'quations que de paramtres qui permettent d'estimer ces derniers. - Mthode du maximum d'entropie:

On dfinit la fonction entropie relative un systme X[(xi,pi)]i=1,n par:

)()(1

i

n

ii pLogpXH

=

= o pi tant la probabilit associe xi.

Pour un systme continu de fonction densit de probabilit dfinie sur un domaine D, l'entropie vaut:

[ ]dxxfLogxfXHD= )()()(

Il s'agit l galement de maximiser la fonction H sous certaines contraintes (exemple: relations tablissant la moyenne ou l'cart-type de la srie). - Mthode des moments:

Elle consiste remplacer dans les relations entre moments thoriques et paramtres, les moments thoriques par les moments empiriques calculs partir de l'chantillon. On utilise autant de moments qu'il y a de paramtres et on obtient ainsi une estimation de ces derniers.

L'application des deux premires mthodes n'est pas aise compte tenu des complexits mathmatiques engendres par les drives partielles qui ne permettent pas d'expliciter les paramtres. Quant la mthode des moments, elle s'applique facilement, mais les rsultats ne sont pas satisfaisants (c

27

Ne disposant pas de ressources informatiques sophistiques, nous avons d,

pour une premire approche, simplifier davantage la fdp en adoptant m=1. Dans ce cas, nous avons pu estimer les paramtres a et c partir des moments d'ordre 1 (moyenne) et d'ordre 2 centr (variance). Si on appelle e1 et e2 respectivement la moyenne et la variance dtermines partir de l'chantillon, on a les relations suivantes:

[ ]

=

+=

=

+=

22

1

)3()2()1)(1()(

2)1(

eacac

caXVar

eac

aXE

Aprs rsolution, on trouve :

( )

1

2

212

1

1

111

eeee

a+

+

+

= (26)

( ) 21 1212

1 +++= eeeec (27)

Ces paramtres ont t estims pour chaque srie. Afin de valider l'estimation, nous avons calcul pour toutes les sries, le mode et la mdiane thoriques partir de la loi . Les graphiques 17 et 18 montrent les rsultats des comparaisons avec le mode et la mdiane empiriques des sries. Comme nous pouvons le constater, les nuages de points s'allongent trs bien le long de la premire bissectrice. Le coefficient de corrlation entre mode estim et mode empirique est de 0,983; celui entre mdianes estime et empirique est 0,999. Ce qui tmoigne de l'excellence des estimations.

Revenons maintenant l'estimation d'exposant de dcroissance algbrique qD. Pour une srie normalise et standardise, les quations (26) et (27) deviennent: a=2 et c=7. On calcule qD=c-a-1 qD = 4. Cette valeur qualifie de thorique est proche de celle estime empiriquement qui est de 4,51. La probabilit au dpassement thorique d'un seuil x d'une variable alatoire X se calcule par:

[ ] + == xx

dxxfdxxfxXob0

)(1)(Pr f . Nous avons repris le graphique 11 en y ajoutant cette probabilit thorique (voir graphique 19). Si nous nous intressons aux vnements extrmes qui sont les plus importants, contrairement la loi normale, la loi dcrot lentement et colle assez

28

bien avec les donnes empiriques. Dans cette partie, l'ajustement est satisfaisant. Par contre, pour des probabilits au dpassement suprieures 0,05 , la loi semble dcrocher un peu des donnes empiriques par rapport la loi normale. On distingue essentiellement pour cette partie, deux zones. L'une comprise entre les probabilits 0,05 et 0,6 , o la loi se trouve en dessous des valeurs empiriques. L'autre allant des probabilits 0,6 1, o la loi se situe au-dessus des donnes empiriques. Toutefois, on peut remarquer que les carts entre la loi thorique et la loi empirique (Weibull) ne sont pas assez grands. Notons galement que les valeurs de probabilit de 1, donnes par pour des faibles valeurs de x, sont dues, comme nous l'avons vu plus haut, la forme de dmarrage de la courbe de qui admet une tangente horizontale l'origine pour a>1. S'il y a aujourd'hui un fait qu'on ne peut plus nier, c'est la distribution de probabilit des intensits pour des seuils levs, suivant une loi dcroissance algbrique caractrise par un exposant qD qui serait invariant d'chelle et universel. Cela ne doit pas cependant nous faire oublier toute la complexit que reprsentent les phnomnes naturels telle que la pluie. La mise au point de modles base physique, reproduisant fidlement le comportement de tels phnomnes n'est certainement pas chose facile. Cette fonction , qui n'est qu' sa premire tude, montre toute la puissance que reprsentent de telles lois par rapport aux lois classiques dcroissance exponentielle beaucoup plus rapide. Il y a donc lieu d'affiner l'tude en explorant d'autres horizons (b1,m1 par exemple).

29

IV- Essai d'une autre mthode d'estimation de l'exposant de dcroissance algbrique qD

Les mthodes empiriques (Weibull, Cunnane, Hazen) permettent toutes de poser les mmes constats, savoir une dcroissance algbrique des queues de distribution et l'existence d'un exposant qD qui, selon toute vraisemblance, serait invariant d'chelle et universel. Mais les estimations de qD par ces diffrentes mthodes restent assez disparates. En outre, ces mthodes empiriques sont limites car, si elles calculent les probabilits au dpassement pour deux seuils s1 et s2 conscutifs, on n'a aucune information par contre sur ce qui se passe entre s1 et s2 ( ]s1;s2[ ). C'est donc pour combler ces lacunes, que nous nous proposons de tester une nouvelle approche d'estimation de qD, base sur le comportement algbrique et l'irrgularit des sries pluviomtriques. Cette approche fait actuellement l'objet d'un travail intensif de recherche dans le cadre de la Thse de Keltoum CHAOUCHE (Laboratoire GRESE, ENGREF).

IV-1- Approche thorique (Keltoum CHAOUCHE, paratre)

Considrons une variable alatoire X avec les ralisations (Xi)i=1,n pas de temps qui correspondent une suite d'intensits. Soit un seuil s variant de 0 ( )ini X,1max= . Soit une variable alatoire de ralisations i (i=1,n) telles que:

==

sXsisXsi

ii

ii

01

f (i=1n)

On dfinit par:

=

=n

iisd

1)( : la dure de dpassement du seuil s

=

=n

iiiXsp

1)( : le cumul des intensits dpassant le seuil s

= nD : la dure totale des observations

=

=n

iiXP

1

: le cumul total des intensits

Sur le graphe ci-dessous, d(s) et p(s) correspondent respectivement aux sommes des largeurs et des aires des rectangles hachurs.

30

dfinition de d(s) et p(s)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

pas de temps

inte

nsit

Xi

seuil s

On reporte sur un graphique, pour tout seuil s, les points d'abscisse x(s) et d'ordonne y(s) dfinies par:

=

=

= ==

n

ii

n

ii nnD

sdsx11

1loglog)(log)( (28)

=

= ==

n

ii

n

iii Xn

XnP

spsy11

1log1log)(log)( (29)

soient (Ui)i=1,n et (Vi)i=1,n deux suites de variables alatoires telles que:

iii

ii

XVU

=

=

i=1,,n

On peut admettre (loi des grands nombres) que =

n

iiXn 1

1 , =

n

iiUn 1

1 , =

n

iiVn 1

1 convergent

respectivement vers E[X], E[U] et E[V]. On a donc:

[ ][ ] [ ] )31(loglog)(

)30(log)(XEVEsy

UEsx=

=

On dfinit pour une variable alatoire X de densit de probabilit f, la probabilit au dpassement G par:

+

==

xdttfxXPxG

RRG

)()()(

:

f

31

En se plaant dans le cas d'une dcroissance algbrique des queues de distribution, la fonction G se met sous la forme gnrale (Keltoum CHAOUCHE, paratre):

qxxrxGx = ).()(1 avec q>1 (31) r vrifie:

Kxrx

=+

)(lim et r est croissante sur [1,+[ (33)

00).(1 1 ff etAavecAxxxrx (34) On appelle fonction de vitesse de dpassement de G (Keltoum CHAOUCHE, paratre), la fonction h dfinie par:

+

=

s

G

ssGshs )()(1 (35)

On montre (Keltoum CHAOUCHE, paratre) que pour un seuil s positif: [ ][ ] )37()(

)36()(

+

+=

=

s

GssGVE

sGUE

On calcule la pente a(s) en tout point (x(s),y(s)):

ssxssy

sa

= )(

)(

)(

ssGsG

GssG

Gss

sGssGsa

s

s

+

+

+

=

+

+

)()(*

)(

)()()(

Cette pente s'exprime en fonction de la vitesse de dpassement h:

)(11

1)(

sh

sa+

= (38)

Aprs une intgration par partie, on a:

dtttrqq

xxrGx

q

x

q

+

+

+

=1

1

)(1

11

)(

[ ])(11

1)()(

1 xqxxG

G

xhx +

==

+

avec dtttrxr

xxx

qq

+

=1

1

)()(

)(

32

la relation (34) permet d'crire:

)()()(

)12(

xrqAxx

q

+

++

Cherchons la limite de la pente a(s) lorsque le seuil s tend vers l'infini:

)(1lim1

1)(lim

sh

sa

s

s

+

++

=

[ ] 0)(lim1

1)(lim11

1)(

1lim =

=+

=+++

scarq

sqsh sss

On a donc:

qqsa

s

1)(lim =+

(39)

Pour un seuil assez grand, la pente devrait donc tendre vers q

q 1

Cette pente, dans le cas d'une loi algbrique est bien diffrente de 1; alors qu'on montre (Keltoum CHAOUCHE, paratre) que pour une loi normale ou exponentielle elle vaut 1. Pour plus de dtails sur les dmonstrations, se rfrer : Keltoum CHAOUCHE, 1999, paratre. Estimation graphique du paramtre de dcroissance algbrique. Laboratoire GRESE, ENGREF, Paris, France.

33

IV-2- Application aux donnes

Nous avons appliqu l'approche thorique notre banque de donnes de 233

sries pluviomtriques annuelles. Pour chacune d'entre elle, nous avons report sur un graphique en chelle log-log, pour un seuil variant de 0 l'intensit maximale, le cumul des intensits dpassant ce seuil normalis l'intensit totale, en fonction de la dure de dpassement de ce seuil normalise par la dure totale.

Sur le graphique 20, on remarque que les points sont quasiment tous aligns. En nous intressant aux vnements extrmes, nous avons fait un ajustement linaire sur les trois derniers points pour toutes les sries. Les coefficients de dtermination sont tous gaux 1. Les valeurs des pentes des droites de rgression sont consignes dans le tableau 3. On note que les pentes sont toutes diffrentes de 1, ce qui tmoigne d'un comportement algbrique des sries. Nous avons cherch savoir s'il existe une relation entre ces pentes et la dure des sries. Le graphique 21 montre cette relation. La rpartition des points est comparable celle trouve sur le graphique 13 pour les valeurs de qD. Dans l'intervalle de temps [100,150], les points sont assez disperss verticalement. Plus la dure de la srie augmente, moins ces dispersions sont importantes. Les points semblent envelopps dans deux courbes infrieure et suprieure qui convergeraient vers une mme limite quand la dure d'observation tend vers l'infini. Pour approcher cette limite, nous avons considr la moyenne et l'cart-type des six plus longues sries (de plus de 200 ans). Nous l'estimons 0,928 0,025. A partir de la relation (39), on peut dterminer la valeur de l'exposant de dcroissance algbrique qD. En prenant la valeur moyenne de 0,928 pour la pente, on trouve qD=13,89. Il est bien entendu que cette valeur de qD reste leve par rapport celles trouves prcdemment au chapitre 3. On peut expliquer cet cart, d'une part, par l'application de la loi des grands nombres et le passage au logarithme qui introduisent un biais non ngligeable. Il faudrait d'autre part, se pencher sur l'influence que pourrait avoir la dimension D de l'occurrence des pluies et les biais qu'elle peut introduire dans nos estimations (nous avons admis ici que la pluie se dveloppait sur l'ensemble de la dimension temporelle, c'est dire un ensemble de dimension D=1). Il y a donc lieu de chercher quantifier tous ces biais afin d'apporter une correction la valeur de qD trouve.

34

Conclusion

Les phnomnes naturels telles que les prcipitations, n'ont pas fini de nous enseigner, cause de leur complexit due leur extrme variabilit. Il reste certainement encore beaucoup dire et faire sur l'tude de la distribution des pluies annuelles. Dans ce rapport, nous n'avons peut-tre analys qu'une petite partie de ce qui pourrait tre demain tout un "iceberg" risquant de bouleverser les connaissances hydrologiques actuelles. Durant ce travail, nous nous sommes rendus compte de toute la difficult qu'il y a modliser les queues de distribution. Cette tude devrait donc tre poursuivie sur des sries de plus en plus longues qui sont celles qui permettent de mieux mettre l'preuve les modles statistiques, car on y retrouve en principe davantage d'vnements rares dont la probabilit d'apparition est faible (Hubert et Bendjoudi, 1996). Les consquences attaches ces vnements rares sont trs lourdes (crues, inondations, dimensionnement et cots des ouvrages) d'o tout l'intrt les matriser afin de mieux les estimer. Les approches fractales et multifractales ouvrent une nouvelle re la modlisation espace-temps des champs de pluies. Elles permettent de mieux rendre compte de la nature intermittente spatio-temporelle des prcipitations. Contrairement aux lois classiques dcroissance exponentielle beaucoup trop rapide, les dmarches multifractales mettent en vidence une dcroissance algbrique des queues de distribution avec un exposant qD qui serait invariant d'chelle et universel. Les implications d'un tel rsultat sont nombreuses et considrables tant sur le plan scientifique, conomique que social. Pour terminer, nous osons esprer que ces nouveaux outils (fractals et multifractals) ont de beaux jours devant eux et que les chercheurs s'investiront de plus en plus dans cette voie en vue d'une meilleure connaissance et comprhension des phnomnes naturels.

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37

Annexes Tableau 1: Prsentation de la base de donnes Tableau 2: liste des stations avec les valeurs de qD, le coefficient de corrlation et le nombre de points utiliss Tableau 3: Liste des stations avec les valeurs des pentes Graphique 1: Variation de la fonction de corrlation Graphique 2: Variation du coefficient de corrlation Graphique 3: Variation du coefficient de corrlation moyen Graphique 4: Variation de la fonction de corrlation moyenne Graphique 5: Variation du coefficient de corrlation E-W Graphique 6: Variation du coefficient de corrlation N-S Graphique 7: Variation de la fonction de corrlation E-W Graphique 8: Variation de la fonction de corrlation N-S Graphique 9: Comparaison des coefficients de corrlation Graphique 10: Comparaison des fonctions de corrlation Graphique 11: Probabilit empirique et ajustement une loi normale Graphique 12: Srie pluviomtrique de Ddougou: Invariance d'chelle Graphique 13: Variation de qD en fonction de la dure des sries Graphique 14: Evolution des moments d'ordre 1 6 en fonction du nombre N

d'annes utilis ( Gibraltar ) Graphique 15: Comparaison des priodes de retour empirique n et thorique T (loi normale) Graphique 16: Trac de la fonction densit de probabilit g Graphique 17: Comparaison des modes empirique et estim Graphique 18: Comparaison des mdianes empirique et estime Graphique 19: Probabilit empirique et ajustements loi normale et loi f propose Graphique 20: Autre mthode d'estimation de qD: Ajustement sur les 3 derniers points Graphique 21: Variation de la pente en fonction de la dure des sries.

RemerciementsPageI1- Description de la base de donnesI2- Analyse l'chelle globale

Il faudra remarquer que dans l'intervalle ]0;1], g'(u)(+( quand u(0, la courbe de g (Cg) admet donc une tangente verticale l'origine. Alors que dans l'intervalle ]1; +([, g'(0)=0: (Cg) admet une tangente horizontale l'origine.

Choix des paramtres a et cIII-4-2- Paramtres statistiquesModeb) Mdianec) MomentsLe moment dordre p se met sous la forme:

IV-1- Approche thorique (Keltoum CHAOUCHE, paratre)IV-2- Application aux donnes

Conclusion