37
Warmte en de eerste hoofdwet van de thermodynamica Openingsvraag: wat denk jij? Een hete ijzeren kubus van 5 kg (60 C) wordt in thermisch contact gebracht met een koude ijzeren kubus van 10 kg (15 C). Welke uitspraak is waar: (a) De warmte stroomt spontaan van de warme kubus naar de koude totdat beide de- zelfde warmte-inhoud hebben. (b) De warmte stroomt spontaan van de warme kubus naar de koude totdat beide ku- bussen dezelfde temperatuur hebben. (c) De warmte kan spontaan van de warme kubus naar de koude stromen, maar ook spontaan van de koude naar de warme kubus stromen. (d) De warmte kan nooit van een koud voorwerp of gebied naar een warm voorwerp of gebied stromen. (e) Warmte stroomt van de grotere kubus naar de kleinere omdat de grotere meer in- wendige energie heeft. Wanneer een pan met koud water op een brander of op een formuis wordt geplaatst, neemt de temperatuur van het water toe. We zeggen dat de warmte van de hete bran- der naar het koude water stroomt. Wanneer twee voorwerpen bij verschillende tem- peraturen met elkaar in contact worden gebracht, stroomt de warmte spontaan van het hete naar het koude voorwerp. De spontane warmtestroom is zodanig gericht dat hij de temperaturen dichter bij elkaar brengt. Als de twee voorwerpen zo lang met Wanneer het koud is, dienen warme kleren als isolatoren om het warmteverlies van het lichaam naar de omgeving door geleiding en convectie te verminderen. De stralingswarmte van een kampvuur kan jou en je kleren opwarmen. Vuur kan ook rechtstreeks energie overbrengen door warmteconvectie en -geleiding naar wat je aan het koken bent. Warmte, is net als werk, een vorm van energieoverdracht. Warmte is gedefinieerd als een overdracht van energie als gevolg van een temperatuursverschil. Werk is een overdracht van energie door mechanische middelen, niet als gevolg van een temperatuursverschil. De eerste wet van de thermodynamica legt een verband tussen die twee in een Hoofdstuk 19 Inhoud 19.1 Warmte als energie- overdracht 19.2 Inwendige energie 19.3 Soortelijke warmte 19.4 Calorimetrie: het oplossen van vraagstukken 19.5 Latente warmte 19.6 De eerste hoofdwet van de thermodynamica 19.7 Toepassingen van de eerste hoofdwet van de thermo- dynamica; het berekenen van de arbeid 19.8 Molaire soortelijke warmtes voor gassen en de equi- partitie van energie 19.9 Adiabatische expansie van een gas 19.10 Warmteoverdracht: geleiding, convectie en straling algemene uitspraak over behoud van energie: de warmte Q die aan een systeem wordt toegevoegd verminderd met de netto hoeveelheid arbeid W die door het systeem wordt verricht, is gelijk aan de verandering in inwendige energie E inw van het systeem: E inw = Q W. De inwendige energie E inw is de som van alle energieën van de moleculen van het systeem. 570

Hoofdstuk 19 · 19.4 Calorimetrie: het oplossen van vraagstukken 19.5 Latente warmte 19.6 De eerste hoofdwet van de thermodynamica 19.7 Toepassingen van de eerste hoofdwet van de

  • Upload
    others

  • View
    50

  • Download
    1

Embed Size (px)

Citation preview

Warmte en de eerste hoofdwetvan de thermodynamica

Openingsvraag: wat denk jij?

Een hete ijzeren kubus van 5 kg (60�C) wordt in thermisch contact gebracht met eenkoude ijzeren kubus van 10 kg (15�C). Welke uitspraak is waar:(a) De warmte stroomt spontaan van de warme kubus naar de koude totdat beide de-

zelfde warmte-inhoud hebben.(b) De warmte stroomt spontaan van de warme kubus naar de koude totdat beide ku-

bussen dezelfde temperatuur hebben.(c) De warmte kan spontaan van de warme kubus naar de koude stromen, maar ook

spontaan van de koude naar de warme kubus stromen.(d) De warmte kan nooit van een koud voorwerp of gebied naar een warm voorwerp of

gebied stromen.(e) Warmte stroomt van de grotere kubus naar de kleinere omdat de grotere meer in-

wendige energie heeft.

Wanneer een pan met koud water op een brander of op een formuis wordt geplaatst,neemt de temperatuur van het water toe. We zeggen dat de warmte van de hete bran-der naar het koude water ‘stroomt’. Wanneer twee voorwerpen bij verschillende tem-peraturen met elkaar in contact worden gebracht, stroomt de warmte spontaan vanhet hete naar het koude voorwerp. De spontane warmtestroom is zodanig gericht dathij de temperaturen dichter bij elkaar brengt. Als de twee voorwerpen zo lang met

Wanneer het koud is, dienen warme

kleren als isolatoren om het

warmteverlies van het lichaam naar de

omgeving door geleiding en convectie te

verminderen. De stralingswarmte van

een kampvuur kan jou en je kleren

opwarmen. Vuur kan ook rechtstreeks

energie overbrengen door

warmteconvectie en -geleiding naar wat

je aan het koken bent. Warmte, is net als

werk, een vorm van energieoverdracht.

Warmte is gedefinieerd als een

overdracht van energie als gevolg van

een temperatuursverschil. Werk is een

overdracht van energie door

mechanische middelen, niet als gevolg

van een temperatuursverschil. De eerste

wet van de thermodynamica legt een

verband tussen die twee in een

H o o f d s t u k

19Inhoud19.1Warmte als energie-

overdracht19.2 Inwendige energie19.3 Soortelijke warmte19.4 Calorimetrie: het oplossen

van vraagstukken19.5 Latente warmte19.6 De eerste hoofdwet van de

thermodynamica19.7 Toepassingen van de eerste

hoofdwet van de thermo-dynamica; het berekenenvan de arbeid

19.8Molaire soortelijke warmtesvoor gassen en de equi-partitie van energie

19.9 Adiabatische expansie vaneen gas

19.10Warmteoverdracht:geleiding, convectie enstraling

algemene uitspraak over behoud van energie: de warmte Q die aan een systeem wordt

toegevoegd verminderd met de netto hoeveelheid arbeid W die door het systeem wordt

verricht, is gelijk aan de verandering in inwendige energie Einw van het systeem: �Einw =

Q – W. De inwendige energie Einw is de som van alle energieën van de moleculen van het

systeem.

570

elkaar in contact blijven dat hun temperaturen aan elkaar gelijk worden, wordt ge-zegd dat de voorwerpen in thermisch evenwicht met elkaar zijn en dat er tussen hengeen verdere warmtestroom is. Om een voorbeeld te geven: wanneer een koortsther-mometer net in je mond is gestopt, stroomt de warmte van je mond naar de thermo-meter. Wanneer de thermometer in je mond dezelfde temperatuur bereikt als de bin-nenkant van je mond, zijn de thermometer en je mond in evenwicht en stroomt ergeen warmte meer.Warmte en temperatuur worden vaak door elkaar gehaald. Het zijn zeer verschillendebegrippen, waar we duidelijk onderscheid tussen zullen maken. We beginnen dithoofdstuk met het definiëren en gebruiken van het begrip warmte. We beginnen ookmet onze behandeling van de thermodynamica, wat de naam was die we gaven aanhet bestuderen van processen waarbij energie werd overgedragen als warmte en alsarbeid.

19.1 Warmte als energieoverdracht

In het dagelijks leven gebruiken we de term ‘warmte’ alsof we weten wat we bedoe-len. Deze term wordt vaak echter inconsequent gebruikt, dus is het voor ons belang-rijk om warmte duidelijk te definiëren en de verschijnselen en concepten die verbandhouden met warmte te verklaren.We hebben het vaak over de warmtestroom: warmte stroomt van de pit van een gas-fornuis naar een pan soep, van de zon naar de aarde en van iemands mond naar eenkoortsthermometer. Warmte stroomt spontaan van een voorwerp met hogere tempera-tuur naar een voorwerp met lagere temperatuur. In een achttiende-eeuws model vanwarmte werd de warmtestroom ook beschouwd als een beweging van een vloeibaresustantie die caloric werd genoemd. De caloricvloeistof werd echter nooit waargeno-men. In de negentiende eeuw werd ontdekt dat de verschillende verschijnselen die temaken hebben met warmte op een consistente manier kunnen worden beschrevenmet behulp van een nieuw model, dat we zo dadelijk zullen behandelen; hierin wordtwarmte beschouwd als een soort arbeid. Om te beginnen merken we op dat een be-kende eenheid voor warmte, die tegenwoordig nog steeds in gebruik is, naar de calo-ricvloeistof is genoemd. Deze eenheid wordt de calorie (cal) genoemd en is gedefini-eerd als de hoeveelheid warmte die nodig is om de temperatuur van 1 gram watermet 1 graad Celsius te laten stijgen. (Om precies te zijn is het specifieke tempera-tuurbereik van 14,5�C tot 15,5�C opgegeven omdat de vereiste warmte in zeer lichtemate temperatuurafhankelijk is. Binnen het bereik van 0 tot 100�C is het verschilminder dan 1 procent, en voor de meeste doeleinden zullen we dit verschil verwaar-lozen.) In plaats van de calorie wordt meestal de kilocalorie (kcal) gebruikt, die ge-lijk is aan 1000 calorieën. Dus is 1 kcal is de warmte die nodig is om de temperatuurvan 1 kg water met 1�C te laten stijgen. Vaak wordt een kilocalorie een Calorie ge-noemd (met een hoofdletter C); deze Calorie (of de kJ) wordt gebruikt om de ener-giewaarde van voedsel aan te geven. In het Britse eenhedensysteem wordt warmtegemeten in Britse thermische eenheden (Btu). Eén Btu is gedefinieerd als de warmtedie nodig is om de temperatuur van 1 lb water met 1�F te laten stijgen. Het is af teleiden (vraagstuk 4) dat 1 Btu = 0,252 kcal = 1056 J.Het idee dat warmte verwant is aan energieoverdracht werd in de achttiende eeuwonderzocht door een aantal wetenschappers, met name door een Engelse brouwer, Ja-mes Prescott Joule (1818-1889). Een van Joule's experimenten is (in vereenvoudigdevorm) weergegeven in fig. 19.1. Het vallende gewicht zorgt ervoor dat het schoep-wiel gaat draaien. De wrijving tussen het water en het schoepwiel zorgt ervoor dat detemperatuur van het water licht gaat stijgen (door Joule zelfs nauwelijks te meten). Indit experiment en bij vele andere (sommige met betrekking tot elektrische energie),bepaalde Joule dat een zekere hoeveelheid verrichte arbeid altijd equivalent was aaneen bepaalde hoeveelheid warmte-invoer. Kwantitatief gezien bleek 4,186 joule (J)aan arbeid equivalent te zijn aan 1 calorie (cal) aan warmte. Dit staat bekend als hetmechanische equivalent van warmte:

4,186 J = 1 cal;

4,186 kJ = 1 kcal.

Gewicht

FIGUUR 19.1 Het experiment van Jouleop het mechanische equivalent vanwarmte.

Let op

Warmte is geen vloeistof.

Hoofdstuk 19 – Warmte en de eerste hoofdwet van de thermodynamica 571

Als gevolg van deze en andere experimenten interpreteerden wetenschappers warmteniet langer als een stof, maar ook niet helemaal als een vorm van energie. In plaatsdaarvan is warmte een vorm van overdracht van energie: wanneer warmte van eenheet voorwerp naar een koud voorwerp stroomt, wordt er energie overgedragen vanhet hete naar het koude voorwerp. Dus is warmte energie die wordt overgedragenvan het ene voorwerp naar het andere vanwege een verschil in temperatuur. In SI-eenheden is de eenheid voor warmte, net zoals voor elke andere vorm van energie,de joule. Toch worden calorieën en kcal nog steeds gebruikt. Tegenwoordig is de ca-lorie gedefinieerd in termen van de joule (via het hiervoor genoemde mechanischeequivalent van warmte), en niet in de eerder gegeven eigenschappen van water. Hetlaatste is nog steeds handig om te onthouden: 1 cal verhoogt de temperatuur van 1 gwater met 1�C, oftewel 1 kcal verhoogt de temperatuur van 1 kg water met 1�C.Joule's resultaat was cruciaal omdat dit het arbeid-energieprincipe uitbreidde naarprocessen waarbij warmte een rol speelt. Het leidde ook tot het instellen van de wetvan behoud van energie, die we verderop in dit hoofdstuk zullen bespreken.

Voorbeeld 19.1 Schatten De extra calorieën eraf trimmen

Stel dat je alle goede raad in de wind slaat en te veel ijs en cake eet in de orde van500 kilocalorieën. Om dit te compenseren, wil je een hiermee gelijkwaardige hoe-veelheid arbeid verrichten door te gaan traplopen of bergbeklimmen. Wat is de tota-le hoogte die je moet klimmen?

Aanpak De arbeid W die je bij het klimmen moet verrichten is gelijk aan de ver-andering in gravitationele potentiële energie: W = �PE = mgh,waarin h de geklom-men verticale hoogte is. Benader in deze schatting je eigen massa door m � 60 kg.

Oplossing 500 kcal is in joule gelijk aan

(500 kcal)(4,186 � 103 J/kcal) = 2,1 �106 J.De arbeid die moet worden verricht voor het klimmen van een verticale hoogte h isW = mgh. We lossen h hieruit op:

h ¼ W

mg¼ 2; 1� 106 J

60 kgð Þ 9; 80 m/s2� � ¼ 3600 m:

Dit is een enorm hoogteverschil.

Opmerking Het menselijk lichaam zet energie uit voedsel niet 100 procent effi-ciënt om: dit komt eerder in de buurt van een efficiëntie van 20 procent. Zoals wein het volgende hoofdstuk zullen bespreken wordt er altijd enige energie ‘verspild’,zodat je feitelijk slechts (0,2)(3600 m) � 700 m hoeft te klimmen, wat een veelaanvaardbaarder hoogte is.

19.2 Inwendige energie

De som van de energieën van alle moleculen in een voorwerp wordt de inwendigeenergie genoemd. (Soms wordt hiervoor ook de term thermische energie gebruikt.)We introduceren nu het begrip inwendige energie omdat hiermee ideeën over warmtegemakkelijker zijn te verduidelijken.

Onderscheid tussen warmte, inwendige energie en temperatuur

Met behulp van de kinetische theorie kunnen we een duidelijk onderscheid makentussen temperatuur, warmte en inwendige energie. Temperatuur (in kelvin) is eenmaat voor de gemiddelde kinetische energie van afzonderlijke moleculen. Inwendigeenergie is de totale energie van alle moleculen binnen het voorwerp. (Dus twee ijze-ren staven met gelijke massa kunnen dezelfde temperatuur hebben, maar twee vandie staven hebben twee keer zoveel inwendige energie als één.) Warmte ten slotte, iseen overdracht van energie van het ene voorwerp naar het andere vanwege een ver-schil in temperatuur.

Let op

Warmte is overgedragen energie van-wege een �T

Natuurkundein de praktijk

Calorieën eraf trimmen

Let op

Maak onderscheid tussen warmte,inwendige energie en temperatuur.

572 19.2 Inwendige energie

Merk op dat de richting van de warmtestroom tussen twee voorwerpen afhangt vanhun temperaturen en niet van de hoeveelheid inwendige energie van elk voorwerp.Als dus 50 g water van 30�C in contact wordt gebracht (of gemengd) met 200 g wa-ter van 25�C, stroomt de warmte van het water van 30�C naar het water van 25�C,hoewel de inwendige energie van het water van 25�C veel groter is omdat er zoveelmeer van is.

Opgave AGa terug naar de openingsvraag aan het begin van dit hoofdstuk, en beantwoorddie nogmaals. Probeer te verklaren waarom je die de eerste keer misschienanders beantwoord hebt.

Inwendige energie van een ideaal gas

Laten we eens de inwendige energie berekenen van n mol van een ideaal eenatomiggas (één atoom per molecuul). De inwendige energie, Einw, is de som van de trans-latie-energieën van alle atomen.1 Deze som is gelijk aan de gemiddelde kinetischeenergie per molecuul maal het totaal aantal moleculen, N:

Einw ¼ Nð12mv2Þ:Met behulp van vgl. 18.4, K ¼ 1

2mv2 ¼ 3

2kT ; kunnen we dit schrijven als

Einw = 32NkT (19.1a)

oftewel (zie paragraaf 17.9)

Einw = 32nRT, [ideaal eenatomig gas] (19.1b)

waarin n het aantal mol is. Dus hangt de inwendige energie van een ideaal gas uit-sluitend af van de temperatuur en het aantal mol gas.Als de gasmoleculen meer dan één atoom bevatten, dan moet er ook rekening wor-den gehouden met de rotatie- en trillingsenergie van de moleculen (fig. 19.2). Bij ge-geven temperatuur zal de inwendige energie groter zijn dan voor een eenatomig gas,maar het zal voor een ideaal gas nog steeds uitsluitend een functie van de tempera-tuur zijn.De inwendige energie van bestaande gassen hangt voornamelijk af van de tempera-tuur, maar echte gassen wijken in gedrag af van ideaal gas in die zin dat hun inwen-dige energie ook enigszins afhangt van druk en volume (als gevolg van atomaire po-tentiële energie).De inwendige energie van vloeistoffen en vaste stoffen is tamelijk gecompliceerd,omdat hierin ook elektrische potentiële energie is opgenomen die verband houdt metde krachten (oftewel ‘chemische bindingen’) tussen atomen en moleculen.

19.3 Soortelijke warmte

Als warmte naar een voorwerp stroomt, neemt de temperatuur van het voorwerp toe(aangenomen dat er geen faseovergang plaatsvindt). Maar hoe stijgt de temperatuur?Dat hangt ervan af. Al in de achttiende eeuw hadden experimentatoren onderkenddat de hoeveelheid warmte Q die nodig is om de temperatuur van een bepaald mate-riaal te verwarmen, evenredig is met de massa m van het aanwezige materiaal en detemperatuurverandering �T. Deze opmerkelijke eenvoud in de natuur kan wordenuitgedrukt in de vergelijking

Q = mc�T (19.2)

waarin c een karakteristieke grootheid van het materiaal is die de soortelijke warmtewordt genoemd. Omdat c = Q/(m�T), is soortelijke warmte gespecificeerd in eenhe-den J/(kg � �C) (de juiste SI-eenheid) of kcal/(kg � �C). Voor water van 15�C en eenconstante druk van 1 atm geldt c = 4,19 � 103 J/(kg � �C) oftewel 1,00 kcal/(kg � �C),

(a)

(b)

FIGUUR 19.2 Naast translatie-energiekunnen moleculen (a) rotatie-energie en(b) trillingsenergie hebben (zowelkinetische als potentiële).

Let op

De richting van de warmtestroomhangt af van de temperatuur (en nietvan de hoeveelheid inwendige ener-gie).

TABEL 19.1 Soortelijke warmtes(tenzij

anders vermeld bij 1 atm constante druk

en 20�C)

Soortelijkewarmte

Stofkcal/kg�C(= cal/g�C)

J/kg-C*

Aluminium 0,22 900Alcohol (ethyl) 0,58 2400Koper 0,093 390Glas 0,20 840IJzer of staal 0,11 450Lood 0,031 130Marmer 0,21 860Kwik 0,033 140Zilver 0,056 230Hout 0,4 1700WaterIJs (-5�C) 0,50 2100Vloeibaar(15�C)

1,00 4186

Stoom(110�C)

0,48 2010

Menselijk lichaam(gemiddeld) 0,83 3470

Proteïne 0,4 17001 In sommige boeken wordt voor de inwendige energie het symbool U gebruikt. Het ge-bruik van Einw voorkomt verwarring met U, die staat voor depotentiële energie (hoofd-stuk 8).

Hoofdstuk 19 – Warmte en de eerste hoofdwet van de thermodynamica 573

omdat volgens de definitie van de calorie en de joule er 1 kcal warmte nodig is omde temperatuur van 1 kg water met 1�C te laten stijgen. Tabel 19.1 geeft de waardenvan soortelijke warmten voor andere vaste stoffen en vloeistoffen bij 20�C. De waar-den van c voor vaste stoffen en vloeistoffen hangen in enige mate af van de tempera-tuur (en in geringe mate ook van de druk), maar voor temperatuurveranderingen dieniet al te groot zijn, kan c vaak constant worden beschouwd.1 Bij gassen ligt dit ge-compliceerder; die worden behandeld in paragraaf 19.8.

Voorbeeld 19.2 Het verband tussen overgebrachte warmte en

soortelijke warmte

(a) Hoeveel warmte moet er worden toegevoerd om de temperatuur van een leeg ij-zeren vat van 20 kg te laten stijgen van 10�C tot 90�C? (b) En hoeveel als het vatgevuld is met 20 kg water?

Aanpak We passen vgl. 19.2 toe op de verschillende materialen.

Oplossing (a) Ons systeem is uitsluitend het ijzeren vat. Uit tabel 19.1 volgt datde soortelijke warmte van ijzer 450 J/(kg � �C) is. De temperatuurverandering is(90�C − 10�C) = 80�C. Dus geldt:

Q = mc�T = (20 kg)(450 J/(kg � �C))(80�C) = 7,2 � 105 J = 720 kJ.

(b)Ons systeem is het vat plus het water. Voor het water alleen zou

Q = mc�T = (20 kg)(4186 J/(kg � �C))(80�C) = 6,7 � 106 J = 6700 kJ

zijn, oftewel bijna tien maal zoveel als voor een gelijke massa aan ijzer nodig is.Het totaal voor het vat plus het water is 720 kJ + 6700 kJ = 7420 kJ.

Opmerking In (b) ondergingen het ijzeren vat en het water dezelfde temperatuur-verandering �T = 80�C, maar hun soortelijke warmten zijn verschillend.

Als het ijzeren vat bij onderdeel (a) van voorbeeld 19.2 zou zijn afgekoeld van 90�Ctot 10�C, zou 720 kJ aan warmte uit het ijzer zijn gestroomd. Met andere woorden,vgl. 19.2 is geldig voor zowel in- als uitgaande warmtestromen, met een overeen-komstige toe- of afname in temperatuur. Bij onderdeel (b) hebben we gezien dat ervoor een temperatuurverandering van water ongeveer tien maal zoveel warmte nodigis als voor dezelfde temperatuurverandering bij ijzer. Water heeft een van de hoogstesoortelijke warmtes van alle stoffen, waardoor het een ideale stof is voor centralever-warmingssystemen en andere toepassingen waarbij voor een bepaalde warmteover-dracht een minimale daling in temperatuur nodig is. Het is ook de waterinhoud waar-door we bij een warme appeltaart door de warmteoverdracht niet onze mondverbranden aan de bodem maar aan de appels.

19.4 Calorimetrie: het oplossen van vraagstukken

Bij het bespreken van warmte en thermodynamica zullen we het vaak hebben overspecifieke systemen. Zoals reeds genoemd in eerdere hoofdstukken, is een systeemeen voorwerp of verzameling objecten die we willen bekijken. Al het andere in hetheelal zullen we aanduiden als de ‘omgeving’ of de ‘omgevingen’. Er zijn verschil-lende categorieën systemen. Een gesloten systeem is een systeem waar geen massain en uit gaat (maar er kan wel energie worden uitgewisseld met de omgeving). Ineen open systeem kan massa in- en uitgaan (evenals energie). Veel (geïdealiseerde)systemen die we in de natuurkunde bestuderen, zijn gesloten systemen. Maar veelsystemen, waaronder planten en dieren, zijn open systemen omdat ze materialen(voedsel, zuurstof en afvalproducten) uitwisselen met de omgeving. Een gesloten

Natuurkundein de praktijk

Praktische effecten van de soortelijkewarmte van water

1 Om rekening te houden met de afhankelijkheid van c van T, kunnen we vgl. 19.2schrijven in differentiële vorm: dQ = mc(T) dT, waarin c(T) betekent dat c(T) een func-tie van de temperatuur T is. Dan is de warmte Q die nodig is voor de temperatuurver-andering van T1 naar T2 gelijk aanQ ¼ R T2

T1mc Tð ÞdT :

574 19.4 Calorimetrie: het oplossen van vraagstukken

systeem wordt als geïsoleerd beschouwd als er geen energie in enige vorm zijn gren-zen passeert; anders is het niet geïsoleerd.Wanneer verschillende delen van een geïsoleerd systeem verschillende temperaturenhebben, zal warmte (er wordt energie overgedragen) van het deel met hogere tempe-ratuur naar het deel met lagere temperatuur stromen; dat wil zeggen: binnen het sys-teem. Als het systeem echt geïsoleerd is, wordt er geen energie naar binnen of naarbuiten overgedragen. Dus speelt het behoud van energie voor ons opnieuw een be-langrijke rol: de warmte die door het ene deel van het systeem verloren gaat is gelijkaan de warmte die door het andere deel wordt gewonnen:

verloren warmte = gewonnen warmte,

oftewel

energie uit één deel = energie in een ander deel.

Deze eenvoudige verbanden zijn erg nuttig, maar hangen af van de (vaak zeer goede)benadering dat het gehele systeem geïsoleerd is (er vindt geen andere energieover-dracht plaats). Laten we eens een voorbeeld bekijken.

Voorbeeld 19.3 Thee koelt af in een kopje

Als 200 cm3 thee bij 95�C wordt geschonken in een glazen kopje van 150 g, aan-vankelijk op 25�C (fig. 19.3), wat is dan de gemeenschappelijke eindtemperatuur Tvan de thee en het kopje wanneer evenwicht is bereikt, aangenomen dat er geenwarmte naar de omgeving stroomt?

Aanpak We passen behoud van energie toe op ons systeem van thee plus thee-kopje, waarvan we aannemen dat het geïsoleerd is: alle warmte die de thee verlaatstroomt in het kopje. Om het verband tussen de warmtestroom en de temperatuur-verandering te meten, maken we gebruiken van de soortelijke-warmtevergelijking,vgl. 19.2.

Oplossing Omdat thee voornamelijk bestaat uit water, is de soortelijke warmteervan 4186 J/(kg � �C) en de massa m is gelijk aan de dichtheid maal het volume V= 200 cm3 = 200 � 10−6 m3): m = �V = (1,0 � 103 kg/m3)(200 � 10−6 m3) = 0,20 kg.We gebruiken vgl. 19.2, passen behoud van energie toe en noemen de nog onbe-kende eindtemperatuur T:

warmte verloren door de thee = warmte gewonnen door het kopje

mtheecthee(95�C − T) = mkopje ckopje(T − 25�C).

Door getallen in te vullen en gebruik te maken van tabel 19.1 (ckopje = 840 J/(kg � �C) voor glas), kunnen we T oplossen en vinden we

(0,20 kg)(4186 J/(kg � �C))(95�C − T) = (0,15 kg)(840 J/(kg � �C))(T −25�C)

79.500 J − (837 J/�C)T = (126 J/�C)T − 3150 J

T = 86�C.

Door in evenwicht te komen met het kopje daalt de thee 9�C in temperatuur.

Opmerking De temperatuur van het kopje stijgt met 86�C − 25�C = 61�C. Deveel grotere verandering in temperatuur (vergeleken met die van theewater) is hetgevolg van de veel kleinere soortelijke warmte vergeleken met die van water.

Opmerking In deze berekening is de �T (van vgl. 19.2, Q = mc�T) in beide le-den van onze energievergelijking een positieve grootheid. Links staat de ‘verlorenwarmte’ en is �T de begintemperatuur min de eindtemperatuur (95�C − T), terwijlrechts de ‘gewonnen warmte’ staat en �T gelijk is aan de eindtemperatuur min debegintemperatuur. Maar bekijk ook eens de volgende alternatieve aanpak.

Alternatieve oplossing We kunnen voor dit voorbeeld (en voor andere voorbeel-den) ook een andere aanpak gebruiken. We kunnen schrijven dat de totaal overge-dragen warmte van en naar het geïsoleerde systeem gelijk aan nul is:

�Q ¼ 0:

T = ?

(a) (b)

25°C

95°C

FIGUUR 19.3 Voorbeeld 19.3.

Let op

Bij het gebruik van verloren warmte= gewonnen warmte, is �T aan beidekanten positief.

Oplossingsstrategie

Alternatieve aanpak: �Q ¼ 0

Hoofdstuk 19 – Warmte en de eerste hoofdwet van de thermodynamica 575

Dan kan elke term worden geschreven als Q = mc(Teind − Tbegin), en is �T = Teind− Tbegin altijd gelijk aan de eindtemperatuur min de begintemperatuur en kan elke�T positief of negatief zijn. In dit voorbeeld:

�Q ¼ mkopjeckopje T � 25�Cð Þ þ mtheecthee T � 95�Cð Þ ¼ 0:

De tweede term is negatief omdat T minder zal zijn dan 95�C. Oplossen van de ver-gelijkingen leidt tot hetzelfde resultaat.

De uitwisseling van energie, zoals verduidelijkt in voorbeeld 19.3, is de basis vooreen techniek die bekendstaat als de calorimetrie, waarbij warmte-uitwisseling kwan-titatief wordt gemeten. Voor dergelijke metingen wordt gebruikgemaakt van een calo-rimeter; een eenvoudige watercalorimeter is te zien in fig. 19.4. Het is erg belangrijkdat de calorimeter goed geïsoleerd is zodat er vrijwel geen warmte wordt uitgewis-seld met de omgeving. Een belangrijke toepassing van de calorimeter is het bepalenvan soortelijke warmtes van stoffen. In de techniek die bekendstaat als de ‘methodevan mengsels’, wordt een monster van een stof verwarmd tot een hoge temperatuur,die nauwkeurig wordt gemeten, en vervolgens snel in het koude water van de calori-meter geplaatst. De warmte die het monster verliest wordt gewonnen door het wateren de beker van de calorimeter. Door de eindtemperatuur van het mengsel te meten,kan de soortelijke warmte worden berekend, zoals te zien is in het volgende voor-beeld.

Voorbeeld 19.4 Onbekende soortelijke warmte bepalen met calorimetrie

Een ingenieur wil de soortelijke warmte van een nieuwe metaallegering bepalen.Een monster van 0,150 kg van de legering wordt verwarmd tot 540�C. Dit wordtvervolgens snel geplaatst in 0,400 kg water van 10,0�C in een aluminium calorie-meterbeker van 0,200 kg. (De massa van de isolerende mantel is niet van belangomdat we aannemen dat de luchtruimte tussen de mantel en de beker goed isoleert,zodat de temperatuur niet noemenswaardig verandert.) De eindtemperatuur van hetsysteem is 30,5�C. Bereken de soortelijke warmte van de legering.

Aanpak We passen energiebehoud toe op ons systeem, dat we laten bestaan uithet legeringsmonster, het water en de calorimeterbeker. We nemen aan dat dit sys-teem geïsoleerd is, zodat de energie die door de warme legering wordt verloren ge-lijk is aan de energie die wordt gewonnen door het water en de calorimeterbeker.

Oplossing De verloren warmte is gelijk aan de gewonnen warmte:

verloren warmte

door de legering

� �¼ gewonnen warmte

door het water

� �þ gewonnen warmte

door de calorimeterbeker

� �

m‘c‘�T‘ ¼ mwcw�Tw þ mcalccal�Tcal

waarbij de indexen ‘, w en cal verwijzen naar respectievelijk de legering, het wateren de calorimeter, en elke �T > 0. Wanneer we waarden invullen en tabel 19.1 ge-bruiken, gaat deze vergelijking over in

(0,150 kg)(c‘) (540�C − 30,5�C) = (0,400 kg) (4186 J/(kg � �C)) (30,5�C − 10,0�C)

+ (0,200 kg) (900 J/(kg � �C))(30,5�C − 10,0�C)

(76,4 kg�C)c‘ = (34.300 + 3690) J

c‘ = 497 J/(kg�C).

Door deze berekening te maken hebben we alle warmte verwaarloosd die is overge-dragen naar de thermometer en de roerder (die wordt gebruikt om het warmtetrans-port te versnellen en dus het warmteverlies naar buiten toe te verminderen). Hier-mee kan rekening worden gehouden door in het rechterlid van de voorgaandevergelijking extra termen toe te voegen, wat resulteert in een kleine correctie op dewaarde van c‘.

Zorg ervoor dat je bij alle voorbeelden en vraagstukken van dit type alle voorwerpendie warmte winnen of verliezen (voor zover mogelijk) meeneemt. Aan de kant met

Thermometer Roerder

Isolatiemantel Lucht (isolatie)

Calorimeterbeker

Isolatiedeksel

Water

FIGUUR 19.4 Eenvoudigewatercalorimeter.

576 19.4 Calorimetrie: het oplossen van vraagstukken

‘warmteverlies’ hebben we hier uitsluitend de hete metaallegering. Aan de kant met‘warmtewinst’ hebben we zowel het water als de aluminium calorimeterbeker. Om-wille van de eenvoud hebben we zeer kleine massa’s verwaarloosd, zoals die van dethermometer en de roerder, omdat die de energiebalans slechts in zeer geringe matezouden verstoren.

19.5 Latente warmte

Wanneer een materiaal overgaat van de vaste naar de vloeibare fase, of van de vloei-bare naar de gasfase (zie ook paragraaf 18.3), is er een vaste hoeveelheid energie be-trokken bij deze faseovergang. Laten we bijvoorbeeld eens bekijken wat er gebeurtwanneer een blok van 1,0 kg ijs van −40�C langzaam wordt verhit totdat alle ijs ver-anderd is in water, het (vloeibare) water vervolgens wordt verwarmd tot 100�C enverandert in stoom, en vervolgens verhit tot boven 100�C, alles bij een druk van 1atm. Zoals te zien is in de grafiek van fig. 19.5, begint de verhitting van het ijs bij−40�C, en stijgt de temperatuur met een snelheid van circa 2�C/kcal toegevoegdewarmte (voor ijs, c � 0,50 kcal/(kg � �C)). Wanneer echter 0�C wordt bereikt, stoptde temperatuurstijging ondanks dat er nog steeds warmte wordt toegevoerd. Het ijsverandert geleidelijk in water in de vloeibare toestand, zonder temperatuurverande-ring. Nadat er bij 0�C ongeveer 40 kcal is toegevoegd, is de helft van het ijs nogsteeds ijs en is de helft veranderd in water. Nadat er circa 80 kcal oftewel 330 kJ istoegevoegd, is al het ijs veranderd in water, nog steeds bij 0 �C. Verdere warmtetoe-voer zorgt ervoor dat de temperatuur van het water weer toeneemt, nu met een snel-heid van 1�C/kcal. Wanneer 100�C is bereikt, blijft de temperatuur weer constantomdat de toegevoegde warmte wordt gebruikt om het vloeibare water in damp(stoom) te laten veranderen. Er is circa 540 kcal (2260 kJ) nodig om 1,0 kg watervolledig in stoom te laten veranderen, waarna de grafiek weer stijgt, wat aangeeft datde temperatuur van de stoom toeneemt als er warmte wordt toegevoerd.De warmte die nodig is om 1,0 kg van een stof van de vaste in de vloeibare toestandte doen overgaan, wordt de smeltwarmte genoemd; deze wordt genoteerd met LF.De smeltwarmte van water is 79,7 kcal/kg oftewel in de juiste SI-eenheden, 333 kJ/kg (= 3,33 � 105 J/kg). De warmte die nodig is om een stof van de vloeistof- naar dedampfase te doen overgaan wordt de verdampingswarmte genoemd. Voor water isdit 539 kcal/kg oftewel 2260 kJ/kg. Bij andere stoffen horen grafieken die vergelijk-baar zijn met fig. 19.5, hoewel de smeltpunt- en kookpunttemperaturen verschillendzijn, net zoals de soortelijke warmtes en smelt- en verdampingswarmtes. In tabel19.2 worden de waarden gegeven voor de smelt- en verdampingswarmtes, ook wellatente warmtes worden genoemd.De verdampings- en smeltwarmtes staan ook voor de hoeveelheid warmte die uit eenstof vrijkomt wanneer die overgaat van een gas in een vloeistof, of van een vloeistof

20

IJs

Waterenijs

Water en stoom

Water (alle

vloeistoffen)

0 100 740Toegevoegde warmte (kcal)

Wat

erda

mp

(sto

om)

Tem

pera

tuur

(°C

)

120

100

80

60

40

20

0

–20

–40200 300 400 500 600 700

FIGUUR 19.5 Temperatuur als functie van de toegevoegde warmte om 1,0 kg ijs van –40 �C te verwarmen tot stoom van boven 100 �C.

Oplossingsstrategie

Zorg ervoor dat je alle mogelijkebronnen van energieoverdracht mee-rekent.

Hoofdstuk 19 – Warmte en de eerste hoofdwet van de thermodynamica 577

in een vaste stof. Dus komt er bij de overgang van stoom naar water 2260 kJ/kg vrijen bij de overgang van water naar ijs 333 kJ/kg.De warmte die nodig is voor een faseovergang hangt niet uitsluitend af van de latentewarmte, maar ook van de totale massa van de stof. Dat wil zeggen:

Q = mL (19.3)

waarin L de latente warmte van het proces en de stof in kwestie is, m de massa vande stof, en Q de warmte die tijdens het proces is toegevoerd of vrijgekomen. Om eenvoorbeeld te geven, wanneer 5,00 kg water bevriest bij 0�C, komt er (5,00 kg)(3,33 � 105 J/kg) = 1,67 � 106 J aan energie vrij.

Opgave BOnder een pan met kokend water draai je de vlam van de gaspit hoger. Watgebeurt er? (a) De temperatuur van het water gaat stijgen. (b) Er is een lichteafname van het waterverlies door verdamping. (c) De hoeveelheid waterverliesdoor koken neemt toe. (d) Er is een duidelijke toename in zowel de snelheid vanhet koken als de watertemperatuur. (e) Geen van deze mogelijkheden.

Bij calorimetrie speelt soms een faseovergang mee, zoals de volgende voorbeeldenlaten zien. Latente warmtes worden ook vaak gemeten met behulp van calorimetrie.

Voorbeeld 19.5 Zal alle ijs smelten?

Een ijsblok van 0,50 kg wordt bij −10�C in 3,0 kg ijsthee van 20�C gegooid. Welketemperatuur en welke fase zal het uiteindelijke mengsel hebben? De thee kan wor-den beschouwd als water. Verwaarloos alle warmtestroom naar de omgeving, metinbegrip van het vat.

Aanpak Voordat we een vergelijking kunnen opschrijven om behoud van energietoe te passen, moeten we eerst nagaan of de eindtoestand geheel uit ijs bestaat, eenmengsel is van ijs en water bij 0�C, of geheel uit water bestaat. Om de 3,0 kg watervan 20�C af te koelen naar 0�C zou een hoeveelheid energie moeten vrijkomen(vgl. 19.2) van

mwcw(20�C − 0�C) = (3,0 kg)(4186 J/(kg � �C))(20�C) = 250 kJ.

Anderzijds is voor het verwarmen van het ijs van −10�C tot 0�C

mijscijs(0�C − (−10�C)) = (0,50 kg)(2100 J/(kg � �C))(10�C) = 10,5 kJ

nodig, en voor de verandering van ijs naar water bij 0�C (vgl. 19.3)

mijsLF = (0,50 kg)(333 kJ/kg) = 167 kJ,

wat bij elkaar opgeteld 10,5 kJ + 167 kJ = 177,5 kJ is. Dit is onvoldoende energieom de 3,0 kg water bij 20�C af te koelen tot 0�C, dus zien we dat het mengsel ein-digt als uitsluitend water, ergens tussen 0�C en 20�C.

TABEL 19.2 Latente warmtes (bij 1 atm)

Smeltpunt Smeltwarmte Kookpunt Verdampingswarmte

Stof (�C) kcal/kg* kJ/kg (�C) kcal/kg† kJ/kg

Zuurstof –218,8 3,3 14 –183 51 210Stikstof –210,0 6,1 26 –195,8 48 200Ethylalcohol –114 25 104 78 204 850Ammonia –77,8 8,0 33 –33,4 33 137Water 0 79,7 333 100 539 2260Lood 327 5,9 25 1750 208 870Zilver 961 21 88 2193 558 2300IJzer 1808 69,1 289 3023 1520 6340Wolfraam 3410 44 184 5900 1150 4800

†Numerieke waarden in kcal/kg zijn gelijk aan die in cal/g.

Oplossingsstrategie

Bepaal eerst de eindtoestand (of geefeen schatting)

Oplossingsstrategie

Bepaal vervolgens deeindtemperatuur

578 19.5 Latente warmte

Oplossing Om de eindtemperatuur T te bepalen, passen we energiebehoud toe enschrijven we: warmtewinst = warmteverlies,

warmte om 0; 50 kg

ijs te verwarmen

van� 10�Ctot 0�C

0BBB@

1CCCAþ

warmte voor

de overgang

van 0; 50 kg

ijs naar water

0BBB@

1CCCAþ

warmte voor

temperatuurstijging

van 0,50 kg water

van 0�C tot T

0BBB@

1CCCAþ

warmte verloren

door 3,0 kg afkoeling

van het water van

20�C tot T

0BBB@

1CCCA

Met behulp van deze resultaten vinden we

10,5 kJ + 167 kJ + (0,50 kg) (4186 J/(kg � �C))(T − 0�C)= (3,0 kg)(4186 J/(kg � �C))(20�C − T).

Als we T hieruit oplossen, vinden we

T = 5,0�C.

Opgave CHoeveel ijs van −10�C zou er in voorbeeld 19.5 extra nodig zijn om de thee afte laten koelen tot 0�C en net al het ijs te laten smelten?

Voorbeeld 19.6 Bepaling van een latente warmte

De soortelijke warmte van vloeibaar kwik is 140 J/(kg � �C). Wanneer 1,0 kg vastkwik bij zijn smeltpunt van −39�C geplaatst wordt in een aluminium calorimetervan 0,50 kg gevuld met 1,2 kg water van 20,0�C, smelt het kwik en wordt voor deeindtemperatuur van de combinatie 16,5�C gevonden. Wat is de smeltwarmte vankwik in J/kg?

Aanpak We volgen de oplossingsstrategie die we zojuist hebben besproken.

Oplossing

1. Is het systeem geïsoleerd? Het kwik wordt in een calorimeter geplaatst, dienaar we aannemen goed geïsoleerd is. Ons geïsoleerd systeem is de calorime-ter, het water en het kwik.

Oplossingsstrategie

Calorimetrie

1. Zorg dat je voldoende informatie hebt om behoud van ener-gie toe te passen. Stel jezelf de vraag: is het systeem geïso-leerd (of bijna geïsoleerd, zodat een goede benadering kanworden verkregen)? Weten we alle belangrijke bronnen vanenergieoverdracht of kunnen we ze berekenen?

2. Pas behoud van energie toe:

verloren warmte = gewonnen warmte

Voor iedere stof in het systeem verschijnt er ofwel in hetlinker- ofwel in het rechterlid van de vergelijking een termmet betrekking tot warmte (energie). (Een andere moge-lijkheid is het gebruik van �Q ¼ 0.

3. Als er geen faseovergangen plaatsvinden, zal elke term inde energiebehoudvergelijking (bij punt 2) van de vorm zijn

Q(winst) = mc(Teind − Tbegin),

oftewel

Q(verloren) = mc(Tbegin − Teind)

waarbij Tbegin en Teind respectievelijk de begin- en eind-temperaturen van de stof zijn, en m en c respectievelijk demassa en de soortelijke warmte.

4. Als er wel faseovergangen plaatsvinden, dan zouden inde energiebehoudsvergelijking termen kunnen voorkomenvan de vorm Q = mL, waarbij L de latente warmte is.Maar alvorens weenergiebehoud toepassen, bepalen (ofschatten) we in welke fase de eindtoestand zal zijn, zoalswe ook deden in voorbeeld 19.5 door de verschillende bij-dragen voor de warmte Q te berekenen.

5. Zorg ervoor dat elke term aan de juiste kant van de ener-gievergelijking terechtkomt (gewonnen warmte of verlo-ren warmte) en dat elke �T positief is.

6. Merk op dat wanneer het systeem thermisch evenwichtbereikt, de eindtemperatuur van elke stof dezelfde waar-de heeft. Er is één Teind.

7. Los je onbekende op uit de energievergelijking.

Hoofdstuk 19 – Warmte en de eerste hoofdwet van de thermodynamica 579

2. Behoud van energie. De warmte die door het kwik wordt gewonnen = dewarmte die wordt verloren door het water en de calorimeter.

3. en 4. Faseovergangen. Er is een faseovergang (van kwik), en we gebruikenvergelijkingen voor de soortelijke warmte. De warmte die door het kwik (Hg)wordt gewonnen, omvat een term voor het smelten van het kwik,

Q(smelten vast kwik) = mHgLHg,

plus een term die de verwarming van het vloeibare kwik van −39�C tot+16,5�C voorstelt:

Q(verwarmen vloeibaar kwik) = mHgcHg (16,5�C − (−39�C))

= (1,0 kg)(140 J/(kg � �C))(55,5�C) = 7770 J.

Al deze warmte die door het kwik wordt gewonnen wordt verkregen uit hetwater en de calorimeter, die afkoelen:

Qcal + Qw = mcalccal(20,0�C − 16,5�C) + mwcw(20,0�C − 16,5�C)

= (0,50 kg) (900 J/(kg � �C)) (3,5�C)+ (1,2 kg)(4186 J/(kg � �C))(3,5�C) = 19.200 J.

5. De energievergelijking. Energiebehoud zegt ons dat de warmte die door hetwater en de calorimeterbeker wordt verloren gelijk is aan de warmte die ge-wonnen wordt door het kwik:

Qcal + Qw = Q(smelten vast kwik) + Q(verwarmen vloeibaar kwik)

oftewel

19.200 J = mHgLHg + 7770 J.

6. Evenwichtstemperatuur. Deze is gegeven als 16,5�C, wat we reeds gebruikthebben.

7. Oplossen. De enige onbekende in onze energievergelijking (punt 5) is LHg, delatente smeltwarmte van kwik. We lossen deze op en nemen mHg = 1,0 kg:

LHg ¼ 19.200 J� 7770 J

1,0 kg¼ 11.400 J/kg � 11 kJ=kg:

waarbij we hebben afgerond tot op twee significante cijfers.

Verdamping

De latente warmte om een vloeistof in een gas te doen veranderen is niet alleen no-dig op het kookpunt. Water kan zelfs bij kamertemperatuur overgaan van de vloei-stof- naar de gasfase. Dit proces wordt verdamping genoemd (zie ook paragraaf18.4). Bij een temperatuurdaling neemt de waarde van de verdampingswarmte lichttoe: bij 20�C bijvoorbeeld, is deze 2450 kJ/kg (585 kcal/kg) vergeleken met 2260 kJ/kg (= 539 kcal/kg) bij 100�C. Wanneer water verdampt, koelt de resterende vloeistofaf, omdat de benodigde energie (de latente verdampingswarmte) uit het water zelfkomt; dus moet de inwendige energie ervan, en dus de temperatuur, dalen.1

Verdamping van water op de huid is een van de belangrijkste methoden die het li-chaam gebruikt om de temperatuur te regelen. Wanneer de temperatuur van het bloedstijgt tot iets boven normaal, detecteert het hypothalamusgebied in de hersenen dezetemperatuurstijging en stuurt een signaal naar de zweetklieren om de productie teverhogen. De energie (latente warmte) die nodig is om dit water te verdampen is af-komstig van het lichaam, en dus moet het lichaam afkoelen.

Natuurkundein de praktijk

Lichaamstemperatuur

1 Op grond van de kinetische theorie is verdamping een afkoelingsproces omdat juist desnelst bewegende moleculen aan het oppervlak ontsnappen. Hierdoor daalt de gemid-delde snelheid van de overgebleven moleculen, dus op grond van vgl. 18.4 ook detemperatuur.

580 19.5 Latente warmte

Kinetische theorie van latente warmtes

Met behulp van de kinetische theorie kunnen we inzien waarom er energie nodig isom een stof te smelten of te verdampen. Op het smeltpunt verhoogt de latente smel-twarmte niet de gemiddelde kinetische energie (en de temperatuur) van de moleculenin de vaste stof, maar wordt in plaats daarvan gebruikt als tegenwicht voor de poten-tiële energie behorend bij de krachten tussen de moleculen. Dat wil zeggen, er moetarbeid worden verricht tegen deze aantrekkende krachten in om de moleculen los tebreken van hun betrekkelijk vaste posities in de vaste stof, zodat ze in de vloeistof-fase vrij over elkaar kunnen rollen. Ook is er energie nodig om de moleculen die inde vloeistoffase dicht bij elkaar worden gehouden, te laten ontsnappen naar de gas-fase. Bij dit proces wordt de ordening van de moleculen veel heftiger verstoord danbij smelten (de gemiddelde afstand tussen de moleculen neemt sterk toe), en dus isin het algemeen de verdampingswarmte voor een stof veel groter dan de smelt-warmte.

19.6 De eerste hoofdwet van de thermodynamica

Tot nu toe hebben we in dit hoofdstuk inwendige energie en warmte besproken. Maarbij thermodynamische processen speelt vaak ook arbeid een rol.In hoofdstuk 8 hebben we gezien dat bij de overdracht van energie van het ene voor-werp naar het andere met mechanische middelen, arbeid wordt verricht en in para-graaf 19.1 dat warmte een energieoverdracht is van het ene voorwerp naar een andermet een lagere temperatuur. Dus lijkt warmte veel op arbeid. Om deze van elkaar teonderscheiden wordt warmte gedefinieerd als een energieoverdracht als gevolg vaneen temperatuurverschil,terwijl arbeid een energieoverdracht is die niet het gevolg isvan een temperatuurverschil.In paragraaf 19.2 definieerden we de inwendige energie van een systeem als het to-taal van alle energieën van de moleculen binnen het systeem. We zouden verwachtendat de inwendige energie van een systeem zou toenemen als er arbeid op wordt ver-richt of warmte aan toegevoegd. Evenzo zou de interne energie afnemen als erwarmte uit het systeem zou stromen of als er door het systeem arbeid zou wordenverricht op iets uit de omgeving.Het is dus redelijk om behoud van energie uit te breiden en een belangrijke wet voorte stellen: de verandering in inwendige energie van een gesloten systeem, �Einw, isgelijk aan de energie die aan het systeem wordt toegevoegd verminderd met de hoe-veelheid arbeid die het systeem op de omgeving verricht. In vergelijkingsvorm schrij-ven we

�Einw = Q − W (19.4)

waarin Q de netto toegevoegde warmte aan het systeem is en W de netto verrichtearbeid door het systeem.1

Bij het gebruik van de tekenconventies voor Q en W moeten we zorgvuldig en con-sistent te werk gaan. Omdat W in vgl. 19.4 de arbeid is die door het systeem is ver-richt, is, als er arbeid op het systeem is verricht, W negatief en zal Einw toenemen.Volgens een soortgelijke redenering is Einw positief voor toegevoegde warmte aanhet systeem; dus als er warmte uit het systeem gaat, is Q negatief.Vgl. 19.4 staat bekend als de eerste hoofdwet van de thermodynamica. Het is eenvan de belangrijkste wetten uit de natuurkunde, en de geldigheid ervan berust op ex-perimenten (zoals die van Joule) waarop geen uitzonderingen zijn waargenomen.Omdat Q en W staan voor energie die naar of vanuit het systeem wordt overgebracht,verandert de inwendige energie overeenkomstig. Dus is de eerste hoofdwet van dethermodynamica een belangrijke en brede formulering van de wet van behoud vanenergie.

Eerste hoofdwet van dethermodynamica

Toegevoegde warmte is +Verloren warmte is −Arbeid op systeem is +Arbeid door systeem is −

1 Deze conventie stamt uit de tijd van de stoommachines: men was geïnteresseerd in deinvoer van warmte en de uitvoer van arbeid, die beide als positief werden gezien. Inandere boeken zie je de eerste hoofdwet van de thermodynamica soms geschreven als�Einw = Q + W, waarbij W betrekking heeft op de arbeid die op het systeem wordtverricht.

Hoofdstuk 19 – Warmte en de eerste hoofdwet van de thermodynamica 581

Het is zinvol om op te merken dat de wet van behoud van energie pas aan het eindvan de negentiende eeuw is geformuleerd, omdat deze wet afhing van de interpretatievan warmte als vorm van energieoverdracht.Vgl. 19.4 is van toepassing op een gesloten systeem. Deze vergelijking is ook vantoepassing op een open systeem (paragraaf 19.4) als we rekening houden met de ver-andering in inwendige energie als gevolg van de toe- of afname van de hoeveelheidmaterie. Bij een geïsoleerd systeem (paragraaf 19.4), wordt er geen arbeid verricht engaat er geen warmte het systeem in of uit, dus W = Q = 0, en dus �Einw = 0.Een systeem is op een zeker moment in een bepaalde toestand en er kan een be-paalde hoeveelheid inwendige energie, Einw , aan worden toegekend. Een systeem‘heeft’ echter geen bepaalde hoeveelheid warmte of arbeid. In plaats daarvan leidt ar-beid op een systeem (zoals het comprimeren van een gas) of het toevoegen of ont-trekken van warmte aan een systeem, tot een toestandsverandering van het systeem.Dus spelen arbeid en warmte een rol bij thermodynamische processen die het sys-teem van de ene toestand in de andere kunnen laten overgaan; ze zijn niet kenmer-kend voor de toestand zelf. Grootheden die de toestand van een systeem beschrijven,zoals de inwendige energie Einw, de druk P, het volume V, de temperatuur T en de-massa m of het aantal mol n, worden toestandsvariabelen genoemd. Q en W zijn geentoestandsvariabelen.Omdat Einw een toestandsvariabele is, die alleen afhankelijk is van de toestand vanhet systeem en niet van de manier waarop het systeem in die toestand gekomen is,kunnen we schrijven

�Einw = Einw,2 − Einw,1 = Q − W

waarin Einw,1 en Einw,2 staan voor de interne toestanden van het systeem in toestan-den 1 en 2, en Q en W voor de toegevoegde warmte aan het systeem en de arbeiddie door het systeem wordt verricht bij de overgang van toestand 1 naar toestand 2.Het kan soms handig zijn om de eerste hoofdwet van de thermodynamica in differen-tiële vorm te schrijven:

dEinw = dQ − dW.

Hierin stelt dEinw een oneindig kleine verandering in de inwendige energie voor ter-wijl er een oneindig kleine hoeveelheid warmte dQ aan het systeem wordt toege-voegd en het systeem een oneindig kleine hoeveelheid arbeid dW verricht.1

Voorbeeld 19.7 Gebruik van de eerste hoofdwet

Er wordt 2500 J warmte toegevoerd aan een systeem en 1800 J arbeid op het sys-teem verricht. Wat is de verandering in inwendige energie van het systeem?

Aanpak We passen de eerste hoofdwet van de thermodynamica toe op ons sys-teem, vgl. 19.4.

Oplossing De aan het systeem toegevoegde warmte is Q = 2500 J. De door hetsysteem verrichte arbeid is −1800 J. Waarom het minteken? Omdat 1800 J verrichtop het systeem (zoals gegeven) gelijk is aan −1800 J verricht door het systeem, enwe het laatste nodig hebben voor de tekenconventies die we gebruikten in vgl.19.4. Dus geldt

�Einw = 2500 J − (−1800J) = 2500 J + 1800 J = 4300 J.

1 De differentiële vorm van de eerste hoofdwet wordt vaak geschreven als

dEinw ¼ dQ� dW ;

waarbij de streep boven het differentiaalsymbool wordt gebruikt om ons eraan te herin-neren dat W en Q geen functies zijn van de toestandsvariabelen (zoals P, V, T en n).Deinwendige energie, Einw , is een functie van de toestandsvariabelen, en dus stelt dEinw

de differentiaal voor (die een exacte differentiaal wordt genoemd) van een of anderefunctie Einw. De differentialen zijn geen exacte differentialen (het zijn niet de differen-tialen van een of andere wiskundige functie); ze stellen gewoon oneindig kleine hoe-veelheden voor. Deze kwestie is verder niet van belang voor dit boek.

582 19.6 De eerste hoofdwet van de thermodynamica

Misschien had je intuïtief al gedacht dat de 2500 J en de 1800 J bij elkaar zoudenmoeten worden opgeteld, omdat ze beide betrekking hebben op energie die wordttoegevoegd aan het systeem. Je ziet dat je gelijk hebt.

Opgave DWat zou de inwendige energieverandering in voorbeeld 19.7 zijn als er 2500 Jaan warmte aan het systeem wordt toegevoegd en 1800 J aan arbeid door hetsysteem wordt verricht (dat wil zeggen: als uitvoer)?

*Uitbreiding van de eerste hoofdwet van de thermodynamica

Om de eerste hoofdwet van de thermodynamica in zijn volledige vorm te kunnen be-schrijven, beschouwen we een systeem met zowel kinetische energie K (er is bewe-ging) als potentiële energie U. Dan zou de eerste hoofdwet van de thermodynamicadeze termen moeten bevatten en geschreven moeten worden als

�K + �U + �Einw = Q − W. (19.5)

Voorbeeld 19.8 Kinetische energie omgezet in thermische energie

Een kogel van 3,0 g dringt met een snelheid van 400 m/s een boom binnen en komter aan de andere kant met een snelheid van 200 m/s weer uit. Waar verloor de kogelkinetische energie en wat was de overgedragen energie?

Aanpak Neem als systeem de kogel en de boom. Er is geen potentiële energie inhet spel. Er wordt geen arbeid op (of door) het systeem verricht door externe krach-ten, noch wordt er warmte toegevoegd omdat geen energie is overgedragen als ge-volg van een temperatuurverschil. Dus wordt de kinetische energie omgezet in in-wendige energie van de kogel en de boom.

Oplossing Uit de eerste hoofdwet van de thermodynamica zoals gegeven in vgl.19.5, weten we dat Q = W = �U = 0, dus geldt

�K + �Einw = 0

oftewel, als we voor de begin- en eindsnelheid de indexen ‘begin’ en ‘eind’ gebrui-ken

�Einw ¼ ��K ¼ � Keind � Kbegin

� � ¼ 12m v2begin � v2eind

� �

= 12(3,0 � 10−3 kg)((400 m/s)2 − (200 m/s)2) = 180 J.

Opmerking De inwendige energie van zowel de kogel als de boom nemen toe,omdat beide een temperatuurstijging ervaren. Als we alleen de kogel als ons sys-teem hadden gekozen, zou er arbeid op zijn verricht en zou er warmteoverdrachthebben plaatsgevonden.

19.7 Toepassingen van de eerste hoofdwet van dethermodynamica; het berekenen van de arbeid

Laten we in het licht van de eerste hoofdwet van de thermodynamica eens enkeleeenvoudige processen analyseren.

Isotherme processen (�T = 0)

We beginnen met een geïdealiseerd proces dat wordt uitgevoerd bij constante tempe-ratuur. Een dergelijk proces wordt een isotherm proces genoemd (naar de Grieksebetekenis ‘gelijke temperatuur’). Als het systeem een ideaal gas is, dan geldt PV =nRT (vgl. 17.3), dus voor een vaste hoeveelheid gas die op constante temperatuurwordt gehouden, geldt PV = constant. Dus volgt het proces een kromme zoals AB inhet PV-diagram van fig. 19.6, waarin een kromme is getekend voor PV = constant.

A

0

A′B

B′V

P

Hogere TLagere T

FIGUUR 19.6 PV-diagram voor eenideaal gas dat een isotherm procesondergaat bij twee verschillendetemperaturen.

Hoofdstuk 19 – Warmte en de eerste hoofdwet van de thermodynamica 583

Elk punt op de kromme, zoals punt A, stelt de toestand van het systeem voor op eenzeker moment, dat wil zeggen: de druk P en het volume V. Bij een lagere tempera-tuur zou een ander isotherm proces worden voorgesteld door een kromme zoals A'B'in fig. 19.6 (het product PV = nRT = constant is kleiner wanneer T kleiner is). Dekrommen in fig. 19.6 worden isothermen genoemd.Laten we aannemen dat het gas is opgesloten in een vat met een beweegbare zuiger,fig. 19.7, en dat het gas in contact is met een warmtereservoir (een lichaam waarvande massa zo groot is dat, in het ideale geval, de temperatuur niet noemenswaardigverandert wanneer er warmte aan het systeem wordt toegevoegd). We nemen ook aandat het proces van compressie (volumeafname) of expansie (volumetoename) quasis-tatisch (‘vrijwel statisch’) wordt uitgevoerd, waarbij we extreem traag bedoelen, zo-dat al het gas vrij beweegt tussen een reeks evenwichtstoestanden, die elk dezelfdeconstante temperatuur hebben. Als aan het systeem een hoeveelheid warmte Q wordttoegevoegd en de temperatuur constant moet blijven, zal het gas uitzetten en een hoe-veelheid arbeid W op de omgeving uitoefenen (het oefent een kracht uit op de zuigeren beweegt deze over een afstand). De temperatuur en de massa worden constant ge-houden, dus volgt uit vgl. 19.1 dat de inwendige energie niet verandert: �Einw =32nR�T = 0. Dus geldt op grond van de eerste wet van de thermodynamica, vgl. 19.4,�Einw = Q − W = 0, dus W = Q: de arbeid die door het gas in een isotherm proceswordt uitgevoerd is gelijk aan de warmte die wordt toegevoegd aan het gas.

Adiabatische processen (Q = 0)

Een adiabatisch proces is een proces waarbij geen warmte in of uit het systeem kanstromen: Q = 0. Deze situatie kan zich voordoen als het systeem zeer goed geïso-leerd is, of het proces zo snel verloopt dat de warmte (die zeer langzaam stroomt)geen tijd heeft om naar binnen of naar buiten te stromen. Een voorbeeld van een pro-ces dat vrijwel adiabatisch is, is de zeer snelle expansie van gassen in een interneverbrandingsmotor. Een langzame adiabatische expansie van een ideaal gas verlooptzoals de kromme AC in fig. 19.8. Omdat Q = 0, volgt uit vgl. 19.4 dat �Einw = −W.Dat wil zeggen: als het gas uitzet, neemt de inwendige energie af; dus neemt ook detemperatuur af (omdat �Einw = 3

2nR�T). Dit is duidelijk te zien in fig. 19.8, waar hetproduct PV (= nRT) in punt C kleiner is dan in punt B (de kromme AB is voor eenisotherm proces, waarbij �Einw = 0 en �T =0). Bij de omgekeerde bewerking, eenadiabatische compressie (bijvoorbeeld door van C naar A te gaan), wordt er arbeidverricht op het gas, en dus neemt de inwendige energie toe en stijgt de temperatuur.In een dieselmotor wordt het brandstof-luchtmengsel snel adiabatisch samengedruktmet een factor 15 of meer; de temperatuurstijging is zo groot dat het mengsel spon-taan ontbrandt.

Isobare en isovolumetrische processen

Isotherme en adiabatische processen zijn gewoon twee mogelijke processen die zou-den kunnen voorkomen. Twee andere eenvoudige thermodynamische processen zijn tezien in de PV-diagrammenvan fig. 19.9. (a) Een isobaar proces is een proces waarbijde druk constant wordt gehouden, dus wordt het proces voorgesteld door een horizon-tale rechte lijn in het PV-diagram, fig. 19.9a. (b) een isovolumetrisch (oftewel iso-choor) proces is Een proces waarbij het volume niet verandert (fig. 19.9b). Bij dezeprocessen, en bij alle andere, geldt de eerste hoofdwet van de thermodynamica.

Arbeid die wordt uitgevoerd bij volumeveranderingen

Vaak willen we de arbeid berekenen die bij een proces wordt uitgevoerd. Stel dat weeen gas hebben in een cilindrisch vat met een beweegbare zuiger (fig. 19.10). Wemoeten altijd zorgvuldig definiëren wat ons systeem is. In dit geval kiezen we alsons systeem het gas; dus maken de wanden en de zuiger van het vat deel uit van deomgeving. Laten we nu eens berekenen wat de arbeid is die door het gas wordt ver-richt wanneer het quasistatisch uitzet, zodat P en T op elk moment gedefinieerd zijnvoor het systeem.1

Ideaal gas

Beweeg-bare zuiger

FIGUUR 19.7 Een ideaal gas in eencilinder met een beweegbare zuiger.

A

B

V

P

0

C

Isotherm

Adiabaat

FIGUUR 19.8 PV-diagram voor eenadiabatisch (AC) en isotherm (AB) procesop een ideaal gas.

A B

(a)V

P

00Isobaar

B

A

(b)V

P

Isovolumetrisch

FIGUUR 19.9 (a) Isobare processen (bijgelijke druk). (b) Isovolumetrischeprocessen (bij gelijk volume).

dl

P

oppervlakte A

FIGUUR 19.10 De arbeid die door eengas wordt verricht wanneer het volumetoeneemt met dV = A dl is dW = P dV.

1 Als het gas snel uitzet of wordt samengedrukt, dan zou er turbulentie zijn en zoudenverschillende delen verschillende drukken (en temperaturen) hebben.

584 19.7 Toepassingen van de eerste hoofdwet van de thermodynamica; het berekenen van de arbeid

Het gas zet uit tegen de zuiger met oppervlakte A. Het gas oefent een kracht F = PAuit op het gas, waarin P de druk in het gas is. De arbeid die door het gas wordt ver-richt voor een oneindig kleine verplaatsing van de zuiger d~l is

dW ¼ ~F� d~l ¼ PA d‘ ¼ P dV

omdat de oneindig kleine volumetoename gelijk is aan dV = A d‘. Als het gas sa-mengedrukt zou zijn, zodat d~l naar het gas toe gericht zou zijn, zou het volume afne-men en dV < 0. De arbeid die door het gas wordt uitgevoerd, zou in dat geval nega-tief zijn, wat op hetzelfde neerkomt als zeggen dat er positieve arbeid op het gas isverricht, niet door het gas. Bij een eindige volumeverandering van VA naar VB zoude door het gas verrichte arbeid W gelijk zijn aan

W ¼Z

dW ¼Z VB

VA

PdV : ð19:7Þ

De vergelijkingen 19.6 en 19.7 zijn geldig voor de verrichte arbeid bij een willekeu-rige volumeverandering (door een gas, een vloeistof of een vaste stof), zolang als hetquasistatisch gebeurt.Om vgl. 19.7 te integreren moeten we weten hoe de druk tijdens het proces varieert,en dit is afhankelijk van het type proces. Laten we eerst eens kijken naar een quasi-statische isotherme expansie van een ideaal gas. Dit proces wordt voorgesteld doorde kromme tussen de punten A en B in het PV-diagram van fig. 19.11. De arbeid diedoor het gas in dit proces wordt verricht is, volgens vgl. 19.7, precies het gebied tus-sen de PV-kromme en de V-as, het gekleurde gebied in fig. 19.11. We kunnen de in-tegraal in vgl. 19.7 voor een ideaal gas berekenen door gebruik te maken van de ide-ale gaswet, P = nRT/V. De arbeid verricht bij constante T is

W ¼Z VB

VA

P dV ¼ nRT

Z VB

VA

dV

V¼ nRT In

VB

VA:

isotherm proces;

ideaal gas

� �ð19:8Þ

Laten we nu eens op een andere manier naar een ideaal gas tussen dezelfde toestan-den A en B bekijken. Laten we ditmaal eens de druk in het gas verlagen van PA totPB, zoals aangegeven door de lijn AD in fig. 19.12. (In dit isovolumetrisch proceskan de warmte uit het gas stromen zodat de temperatuur ervan daalt.) Laat vervol-gens het proces uitzetten van VA tot VB bij constante druk (= PB), wat wordt aange-geven door de lijn DB in fig. 19.12. (In dit isobare proces, wordt warmte toegevoegdaan het gas om de temperatuur te verhogen.) Bij het isovolumetrisch proces ADwordt geen arbeid verricht, omdat dV = 0:

W = 0. [isovolumetrisch proces]

Bij het isobare proces DB blijft de druk constant, dus

W ¼Z VB

VA

P dV ¼ PBðVB � VAÞ ¼ P�V : [isobaar proces] ð19:9aÞ

Ook hier wordt de arbeid in het PV-diagram voorgesteld door de oppervlakte onderde kromme (ADB) en de V-as, zoals aangegeven door het gekleurde gebied in fig.19.12. Met behulp van de ideale gaswet kunnen we ook schrijven

W = PB(VB − VA) = nRTB 1−VA

VB

� �.

isobaar proces;

ideaal gas

� �(19.9b)

Zoals we aan de gekleurde gebieden in fig. 19.11 en 19.12 kunnen zien, of door ge-tallen in te voeren in vgl. 19.8 en 19.9 (probeer dit voor VB = 2VA), is de verrichtearbeid bij deze twee processen verschillend. Dit is een algemeen resultaat. De arbeiddie wordt verricht om een systeem van de ene toestand naar de andere over te bren-gen hangt niet alleen af van de begin- en eindtoestanden maar ook van het type pro-ces (oftewel de ‘gevolgde weg’).Dit resultaat benadrukt opnieuw het feit dat arbeid niet kan worden beschouwd alseen eigenschap van een systeem. Hetzelfde geldt voor warmte. De warmte-invoer dienodig is om het gas van toestand A te laten overgaan in toestand B hangt af van hetproces; bij het isotherme proces van fig. 19.11 blijkt de warmte-invoer groter te zijndan bij het proces ADB van fig. 19.12. Algemeen geldt dat de hoeveelheid toege-voegde of onttrokken warmte bij het overbrengen van een systeem van de ene toe-stand naar de andere niet alleen afhangt van de begin- en eindtoestand maar ookvan de gevolgde weg of het proces.

PA

P

V

A

PBB

VBVA0

FIGUUR 19.11 Arbeid die verricht isdoor een ideaal gas in een isothermproces is gelijk aan de oppervlakte onderde PV kromme. De oppervlakte van hetgekleurde gebied is gelijk aan de doorhet gas verrichte arbeid bij het uitzettenvan VA tot VB.

Isotherm

PA

P

V

A

DPB

B

VBVA0Is

ovol

umet

risch

Isobaar

FIGUUR 19.12 Het proces ADB bestaatuit een isovolumetrisch (AD) en eenisobaar (DB) proces.

Hoofdstuk 19 – Warmte en de eerste hoofdwet van de thermodynamica 585

Conceptvoorbeeld 19.9 Arbeid bij isotherme en adiabatische processen

In fig. 19.8 hebben we PV-diagrammen gezien voor een gas dat op twee manierenuitzet, isotherm en adiabatisch. Het beginvolume VA was in beide gevallen het-zelfde, evenals de eindvolumes (VB = VC). Bij welk proces werd er door het gas demeeste arbeid verricht?

Antwoord Ons systeem is het gas. De meeste arbeid werd verricht door het gasin het isotherm proces, wat we op twee manieren kunnen inzien door te kijken naarfig. 19.8. Op de eerste plaats was de ‘gemiddelde’ druk gedurende het isothermeproces AB hoger, dus was W = P�V groter (�V is voor beide processen gelijk).Op de tweede plaats kunnen we de oppervlakte onder elke kromme bekijken: deoppervlakte onder kromme AB, die de verrichte arbeid voorstelt, was groter (omdatde kromme AB hoger ligt in fig. 19.8) dan die onder AC.

Opgave EIs de arbeid, die door het gas in proces ADB van fig. 19.12 is verricht, groterdan, kleiner dan, of gelijk aan de verrichte arbeid in het isotherm proces AB?

Voorbeeld 19.10 De eerste hoofdwet bij isobare en

isovolumetrische processen

Deze conventie stamt uit de tijd van de stoommachines: men was geïnteresseerd inde invoer van warmte en de uitvoer van arbeid, die beide als positief werden ge-zien. In andere boeken zie je de eerste hoofdwet van de thermodynamica soms ge-schreven als �Einw = Q + W, waarbij W betrekking heeft op de arbeid die op hetsysteem wordt verricht.Een ideaal gas wordt bij een constante druk van 2,0 atmlangzaam samengedrukt van 10,0 l tot 2,0 l. Dit proces wordt in fig. 19.13 voorge-steld door de lijn van B naar D. (Bij dit proces stroomt er enige warmte uit het gasen daalt de temperatuur.) Vervolgens wordt er warmte toegevoegd aan het gas,waarbij het volume constant blijft, en de druk en de temperatuur mogen stijgen (lijnDA) totdat de temperatuur de oorspronkelijke waarde bereikt (TA = TB). Bereken(a) de totale hoeveelheid arbeid die door het gas in het proces BDA is verricht, en(b) de totale warmtestroom naar het gas.

Aanpak (a)Alleen bij het compressieproces BD wordt arbeid verricht. Bij het pro-ces DA blijft het volume constant, dus is �V = 0 en wordt er geen arbeid verricht.(b) We gebruiken de eerste hoofdwet van de thermodynamica, vgl. 19.4.

Oplossing (a)Tijdens de compressie BD is de druk 2,0 atm = 2(1,01 �105 N/m2)en de verrichte arbeid (omdat 1 l = 103 cm3 = 10−3 m3)

W = P�V = (2,02 � 105 N/m2)(2,0 � 10−3 m3 − 10,0 � 10−3m3) = −1,6 � 103 J.De totale arbeid die door het gas is verricht, is −1,6 � 103 J, waarbij het mintekenbetekent dat er +1,6 � 103 J arbeid op het gas wordt verricht.

(b) Omdat de temperatuur in het begin en aan het einde van het proces BDA gelijkzijn, is er geen verandering in inwendige energie: �Einw = 0. Uit de eerste hoofd-wet van de thermodynamica weten we dat

0 = �Einw = Q − W

dus is Q = W = −1,6 � 103 J. Omdat Q negatief is, gaat er bij het hele proces, BDA,1600 J aan warmte verloren.

Opgave FAls in voorbeeld 19.10 de warmte die het gas bij proces BD verliest gelijk isaan 8,4 � 103 J, wat is dan de verandering in inwendige energie van het gasgedurende het proces BD?

A

B

P

PA

PB D Isobaar

Isotherm

Isov

olum

etris

ch

0 2 4 6 8 10 V (L)

FIGUUR 19.13 Voorbeeld 19.10.

586 19.7 Toepassingen van de eerste hoofdwet van de thermodynamica; het berekenen van de arbeid

Voorbeeld 19.11 Verrichte arbeid in een motor

In een motor zet 0,25 mol van een ideaal eenatomig gas in de cilinder snel en adia-batisch uit tegen de zuiger. Bij dit proces daalt de temperatuur van het gas van1150 K tot 400 K. Hoeveel arbeid verricht het gas?

Aanpak Als systeem nemen we het gas (de zuiger wordt tot de omgeving gere-kend). De druk is niet constant en de variabele waarde ervan is niet gegeven. Inplaats daarvan kunnen we de eerste hoofdwet van de thermodynamica gebruiken,omdat we �Einw kunnen bepalen uit Q = 0 (het proces is adiabatisch).

Oplossing We bepalen �Einw uit vgl. 19.1 voor de inwendige energie van eenideaal eenatomig gas, waarbij we eind- en begintoestanden aangeven met de in-dexen ‘eind’ en ‘begin’:

�Einw = Einw,1 − Einw,2 = 32nR(Teind − Tbegin)

= 32(0,25 mol)(8324 J/mol �K)(400 K − 1150 K)

= −2300 J.Vervolgens volgt uit de eerste hoofdwet van de thermodynamica, vgl. 19.4:

W = Q − �Einw = 0 − (−2300 J) = 2300 J.

Tabel 19.3 geeft een kort overzicht van de processen die we hebben besproken.

Vrije expansie

Eén type adiabatisch proces is een zogeheten vrije expansie waarbij een gas adiaba-tisch kan uitzetten zonder enige arbeid te verrichten. Het apparaat om een vrije ex-pansie weer te geven is te zien in fig. 19.14. Het bestaat uit twee goed geïsoleerdecompartimenten (om ervoor te zorgen dat er geen warmte in of uit stroomt) verbon-den door een klep of een afsluitkraan. Het ene compartiment is gevuld met gas, hetandere is leeg. Wanneer de kraan wordt geopend, zet het gas uit zodat beide compar-timenten worden gevuld. Er gaat geen warmte in of uit (Q = 0), en er wordt geen ar-beid verricht omdat het gas geen ander voorwerp in beweging brengt. Dus geldt Q =W = 0 en op grond van de eerste hoofdwet van de thermodynamica, �Einw = 0. Deinwendige energie van een gas verandert niet bij vrije expansie. Bij een ideaal gasgeldt bovendien �T = 0, omdat Einw uitsluitend afhangt van T (paragraaf 19.2). Ex-perimenteel wordt de vrije expansie gebruikt om te bepalen of de inwendige energievan echte gassen uitsluitend van T afhangt. Het is zeer lastig om deze experimentennauwkeurig uit te voeren, maar gebleken is dat de temperatuur van een echt gas bijvrije expansie zeer licht daalt. Dus hangt de interne energie van echte gassen, in ge-ringe mate, zowel af van de druk, het volume als van de temperatuur.Een vrije expansie kan niet in een PV-diagram worden getekend, omdat het een snel,en geen quasistatisch proces is. De tussenliggende toestanden zijn geen evenwichts-toestanden, en dus is de druk (en op sommige momenten zelfs het volume) niet dui-delijk gedefinieerd.

FIGUUR 19.14 Vrije expansie.

TABEL 19.3 Eenvoudige thermodynamische processen en de eerste hoofdwet

Proces Wat is constant: De eerste hoofdwet voorspelt:

Isotherm T = constant �T = 0 zorgt dat �Einw = 0, dus Q = W

Isobaar P = constant Q = �Einw+ W = �Einw + P�V

Isovolumetrisch V = constant �V = 0 zorgt dat W = 0, dus Q = �Einw

Adiabatisch Q = 0 �Einw = -W

Hoofdstuk 19 – Warmte en de eerste hoofdwet van de thermodynamica 587

19.8 Molaire soortelijke warmtes voor gassen en deequipartitie van energie

In paragraaf 19.3 bespraken we het begrip soortelijke warmte en gebruikten dit bijvaste stoffen en vloeistoffen. In tegenstelling tot bij vaste stoffen en vloeistoffen han-gen de waarden van soortelijke warmtes voor gassen veel sterker af van de manierwaarop het proces wordt uitgevoerd. Twee belangrijke processen zijn de processenwaarbij ofwel het volume ofwel de druk constant wordt gehouden. Daar waar het bijvaste stoffen en vloeistoffen weinig uitmaakt, laat tabel 19.4 zien dat de soortelijkewarmtes van gassen bij constant volume (cV) en bij constante druk (cP) sterk ver-schillen.

Molaire soortelijke warmtes voor gassen

Het verschil in soortelijke warmtes voor gassen is eenvoudig te verklaren met behulpvan de eerste hoofdwet van de thermodynamica en de kinetische theorie. Voor hetgemak gebruiken we de molaire soortelijke warmtes, CV en CP, gedefinieerd als dewarmte nodig om 1 mol gas met 1�C te laten stijgen bij respectievelijk constant vo-lume en constante druk. Dat is, in analogie met vgl. 19.2, de warmte Q die nodig isvoor het verhitten van de temperatuur van n mol gas bij �T:

Q = nCV�T [constant volume] (19.10a)

Q = nCP�T. [constante druk] (19.10b)

Uit de definitie van molaire soortelijke warmte (of door het vergelijken van vgl. 19.2en 19.10) volgt duidelijk dat

CV = McV

CP = McP

waarbij M de molecuulmassa van het gas is (M = m/n in gram/mol). De waardenvoor de molaire specifieke warmtes zijn opgenomen in tabel 19.4, en we zien dat dewaarden voor gassen met hetzelfde aantal atomen per molecuul vrijwel hetzelfde

zijn.We gebruiken nu de kinetische theorie en stellen ons voor dat een ideaal gas lang-zaam wordt verhit via twee verschillende processen: eerst bij constant volume en ver-volgens bij constante druk. Bij beide processen laten we de temperatuur toenemenmet dezelfde waarde, �T. In het proces bij constant volume wordt geen arbeid ver-richt omdat �V = 0. Dus wordt, op grond van de eerste hoofdwet van de thermody-namica, de toegevoegde warmte (die we noteren als QV) geheel omgezet in de inwen-dige energie van het gas:

QV = �Einw

TABEL 19.4 Soortelijke warmtes voor gassen bij 15 �C

Soortelijke warmtes(kcal/kg �K)

Molaire soortelijke(cal/mol �K)

Gas cV cP CV CP CP – CV

(cal/mol �K)� ¼ CP

CV

EenatomigHe 0,75 1,15 2,98 4,97 1,99 1,67Ne 0,148 0,246 2,98 4,97 1,99 1,67

TweeatomigN2 0,177 0,248 4,96 6,95 1,99 1,40O2 0,155 0,218 5,03 7,03 2,00 1,40

DrieatomigCO2 0,153 0,199 6,80 8,83 2,03 1,30H2O (100�C) 0,350 0,482 6,20 8,20 2,00 1,32

588 19.8 Molaire soortelijke warmtes voor gassen en de equipartitie van energie

In het proces dat wordt uitgevoerd bij constante druk, wordt arbeid verricht, en dusdraagt de toegevoegde warmte, QP, niet alleen bij aan de inwendige energie maarwordt ook gebruikt om arbeid te verrichten, W = P�V. Daarom moet er bij dit procesbij constante druk meer warmte worden toegevoegd dan bij het eerste proces bijconstant volume. Uit de eerste hoofdwet van de thermodynamica weten we dat voorhet proces bij constante druk geldt

QP = �Einw + P�V.

Omdat �Einw voor beide processen gelijk is (�T werd gelijk gekozen), kunnen wede twee eerdere vergelijkingen combineren:

QP − QV = P�V.

Uit de ideale gaswet weten we dat V = nRT/P, dus voor een proces bij constante drukgeldt �V = nR�T/P. Als we dit invullen in de vorige vergelijking en vgl. 19.10, vin-den we

nCp�T � nCV�T ¼ PnR�T

P

� �

of, na vereenvoudiging,

CP − CV = R. (19.11)

Omdat de gasconstante R = 8,314 J/mol �K = 1,99 cal/mol �K, is onze voorspellingdat CP circa 1,99 cal/mol �K groter zal zijn dan CV. Dit ligt inderdaad zeer dicht inde buurt bij wat experimenteel wordt gevonden, zoals te zien is in de op een-na-laat-ste kolom van tabel 19.4. We berekenen nu de molaire soortelijke warmte van eeneenatomig gas met behulp van de kinetische theorie. Bij een proces dat wordt uitge-voerd bij constant volume, wordt geen arbeid verricht; dus volgt uit de eerste wetvan de thermodynamica dat als er warmte Q aan het gas wordt toegevoegd, de in-wendige energie van het gas verandert met

�Einw = Q.

Bij een ideaal eenatomig gas is de inwendige energie Einw gelijk aan de totale kineti-sche energie van alle moleculen,

Eint ¼ N 12mv

2� �

¼ 32nRT

zoals we gezien hebben in paragraaf 19.2. Dus kunnen we met behulp van vgl.19.10a �Einw = Q schrijven in de vorm

�Einw = 32nR�T = nCV�T (19.12)

oftewel

CV = 32R. (19.13)

Omdat R = 8,314 J/mol �K = 1,99 cal/mol �K, voorspelt de kinetische theorie dat CV

= 2,98 cal/mol �K voor een eenatomig gas. Dit ligt zeer dicht bij de experimentelewaarden voor eenatomige gassen zoals helium en neon (tabel 19.4). Uit vgl. 19.11wordt voor CP een waarde voorspeld van circa 4,97 cal/mol �K, eveneens in overeen-stemming met experimentele waarnemingen.

Equipartitie van energie

De gemeten molaire soortelijke warmtes voor complexere gassen (tabel 19.4), zoalstweeatomige en drieatomige gassen, nemen toe met het aantal atomen per molecuul.Dit is te verklaren door aan te nemen dat de inwendige energie niet alleen uit transla-tie-energie, maar ook uit andere vormen van energie bestaat. Neem bijvoorbeeld eentweeatomig gas. Zoals te zien is in fig. 19.15, kunnen de twee atomen roteren rondtwee verschillende assen (maar rotatie rond een derde as door de twee atomen zouweinig bijdragen aan de energie omdat het traagheidsmoment zo klein is). De mole-culen kunnen zowel rotatie- als translatie-energie hebben. Dit kan handig worden be-schreven met behulp van het begrip vrijheidsgraden, waarbij we het aantal onafhan-kelijke manieren bedoelen waarop moleculen energie kunnen bezitten. Om een

(a)

As

(b)

As

FIGUUR 19.15 Een tweeatomigmolecuul kan roteren rond tweeverschillende assen.

Hoofdstuk 19 – Warmte en de eerste hoofdwet van de thermodynamica 589

voorbeeld te geven: een eenatomig gas heeft drie vrijheidsgraden, omdat een atoomeen snelheid kan hebben langs de x-as, de y-as en de z-as. Deze worden gezien alsdrie onafhankelijke bewegingen omdat één van de drie componenten niet van invloedis op de andere. Een tweeatomig molecuul heeft dezelfde drie graden van vrijheid be-horende bij de translatie-energie plus twee extra vrijheidsgraden behorende bij rota-tie-energie, wat een totaal van vijf vrijheidsgraden oplevert. Een snelle blik op tabel19.4 leert dat CV voor tweeatomige gassen ongeveer 5/3 maal zo groot is als die vooreen eenatomig gas: dat wil zeggen, in dezelfde verhouding als hun graden van vrij-heid. Dit resultaat bracht negentiende-eeuwse natuurkundigen op een belangrijk idee,het principe van equipartitie van energie. Dit principe stelt dat energie gelijk wordtverdeeld onder de actieve graden van vrijheid, en in het bijzonder dat elke actievegraad van vrijheid van een molecuul gemiddeld een energie heeft die gelijk is aan12kT. Dus is de gemiddelde energie van een molecuul van een eenatomig gas gelijkaan 3

2kT (wat we al weten) en van een tweeatomig gas 52kT. Dus zou de inwendige

energie van een tweeatomig gas gelijk zijn aan Einw = N(52kT) = 52nRT, met n het

aantal mol.Op grond van hetzelfde argument dat we gebruikten voor eenatomige gassen, zienwe dat voor tweeatomige gassen de molaire soortelijke warmte bij constant volumegelijk is aan 5

2R = 4,97 cal/mol �K, in overeenstemming met gemeten waarden. Com-plexere moleculen hebben zelfs nog meer graden van vrijheid en derhalve groteremolaire soortelijke warmtes.De situatie bleek echter gecompliceerder te zijn, toen metingen lieten zien dat voortweeatomige gassen bij zeer lage temperaturen, CV slechts een waarde van 3

2R heeft,alsof moleculen ervan slechts drie graden van vrijheid zouden hebben. En bij zeerhoge temperaturen was CV ongeveer gelijk aan 7

2R, alsof er zeven graden van vrijheidwaren. De verklaring is dat bij lage temperaturen vrijwel alle moleculen uitsluitendtranslatie-energie hebben. Dat wil zeggen: er gaat geen energie naar de rotatie-ener-gie, dus zijn er uitsluitend drie graden van vrijheid ‘actief’. Daarentegen zijn bij zeerhoge temperaturen alle vijf de graden van vrijheid actief plus twee extra graden. Wekunnen de twee nieuwe graden van vrijheid interpreteren als behorende bij de tweetrillende atomen alsof ze verbonden waren door een veer, zoals weergegeven in fig.19.16. Eén graad van vrijheid is afkomstig van de kinetische energie van de trillings-beweging, en de tweede van de potentiële energie van de trillingsbeweging (12kx

2).Bij kamertemperatuur zijn deze twee graden van vrijheid blijkbaar niet actief. Ziefig. 19.17.

Waarom er bij lagere temperaturen minder graden van vrijheid ‘actief’ waren, werduiteindelijk verklaard door Einstein met behulp van de kwantumtheorie. (Volgens dekwantumtheorie neemt energie geen continue waarden aan, maar is ze gekwantiseerd:ze kan slechts bepaalde waarden aannemen, en er is een bepaalde minimale energie.De minimale rotatie- en trillingsenergieën zijn hoger dan bij de eenvoudige transla-tie-energie, dus is er bij lagere temperaturen en lagere translatie-energie, onvoldoendeenergie om de rotatie- en trillingsenergie op te wekken.) Berekeningen gebaseerd opde kinetische theorie en het principe van equipartitie van energie (met de aanpassin-gen uit de kwantumtheorie) geven numerieke resultaten die overeenkomen met expe-rimentele waarnemingen.

FIGUUR 19.16 Een tweeatomigmolecuul kan trillen, alsof de tweeatomen verbonden waren door een veer.Natuurlijk zijn ze niet verbonden dooreen veer; in plaats daarvan oefenen zekrachten op elkaar uit die elektrisch vanaard zijn, maar van een vorm die doetdenken aan een veerkracht.

R27

20 50 100 200 500 1000 2000 10.0005000

4R

2R

3R

R

R25

R

0 T (K)

CV

Translatie-energie

Rotatie-energie

Trillingsenergie

23

FIGUUR 19.17 Molaire soortelijkewarmte CV als functie van detemperatuur voor waterstofmoleculen(H2). Bij toename van de temperatuurkan een deel van de translatie-energievia botsingen worden omgezet in rotatie-energie en, bij nog hogere temperaturen,in trillingsenergie. (Opmerking: bij 3200K valt H2 uiteen in twee atomen, dus ishet laatste deel van de krommegestippeld getekend.)

590 19.8 Molaire soortelijke warmtes voor gassen en de equipartitie van energie

*Vaste stoffen

Het principe van equipartitie van energie kan ook worden toegepast op vaste stoffen.De molaire soortelijke warmte van elke vaste stof ligt bij elke temperatuur dicht bij3R (6,0 cal/mol �K), fig. 19.18. Dit wordt de Dulong-en-Petit-waarde genoemd naarde wetenschappers die deze waarde voor het eerst maten in 1819. (Merk op dat tabel19.1 de soortelijke warmtes per kilogram geeft en niet per mol.) Bij hoge temperatu-ren heeft elk atoom klaarblijkelijk zes graden van vrijheid, hoewel sommige ervanbij lage temperaturen niet actief zijn. Elk atoom in een vaste stof met een kristalstruc-tuur kan trillen rond zijn evenwichtsstand alsof het met veren met elk van zijn burenwas verbonden. Dus kan het drie graden van vrijheid voor kinetische energie hebbenen nog drie andere behorende bij de potentiële energie van de trilling in de x-, y- enz-richtingen, wat in overeenstemming is met de gemeten waarden.

19.9 Adiabatische expansie van een gas

De PV-kromme voor de quasistatische (langzame) adiabatische expansie (Q = 0) vaneen ideaal gas was weergegeven in fig. 19.8 (kromme AC). Deze is wat steiler danbij een isotherm proces (�T = 0), wat erop wijst dat bij dezelfde volumeveranderingde verandering in de druk groter zal zijn. Dus moet de temperatuur van het gas tij-dens een adiabatische uitzetting dalen. Omgekeerd moet de temperatuur tijdens eenadiabatische compressie stijgen.We kunnen de relatie afleiden tussen de druk P en het volume V van een ideaal gasdat adiabatisch kan uitzetten. We beginnen met de eerste hoofdwet van de thermody-namica, geschreven in differentiële vorm:

dEinw = dQ − dW = −dW = −P dV.

omdat voor een adiabatisch proces geldt dQ = 0. Vgl. 19.12 levert ons een verbandop tussen �Einw en CV, die geldig is voor elk ideaal-gasproces omdat Einw voor eenideaal gas uitsluitend een functie is van T. We schrijven dit in differentiële vorm:

dEinw = nCV dT.

Wanneer we deze laatste twee vergelijkingen combineren, vinden we

nCV dT + P dV = 0.

Vervolgens nemen we de differentiële vorm van de ideale gaswet, PV = nRT, waarbijwe P, V en T laten variëren:

P dV + V dP = nR dT.

Uit deze betrekking lossen we dT op, substitueren dit in de vergelijking hiervóór envinden

nCVP dV þ V dP

nR

� �þ P dV ¼ 0

of, door te vermenigvuldigen met R en anders te rangschikken:

(CV + R)P dV + CVV dP = 0.

Uit vgl. 19.11 zien we dat CV + R = CP , dus

CPP dV+ CVV dP = 0, oftewel

CP

CVP dV þ V dP ¼ 0:

We definiëren

� =CP

CV(19.14)

zodat onze laatste vergelijking overgaat in

dP

Pþ �

dV

V¼ 0:

0 100 300 900700500

654

23

10

Temperatuur (K)

Mol

aire

soor

telij

ke w

arm

tebi

j con

stan

t vol

ume

(cal

/mol

· K

)

Lood Koper

BerylliumDiamant

FIGUUR 19.18 Molaire soortelijkewarmtes als functie van de temperatuur.

Hoofdstuk 19 – Warmte en de eerste hoofdwet van de thermodynamica 591

Na integratie gaat dit over in

ln P + ln V = constant.

Dit vereenvoudigt (met behulp van de regels voor optelling en vermenigvuldigingvan logaritmen) tot

PV � = constant. [quasistatisch adiabatisch proces; ideaal gas] (19.15)

Dit is het verband tussen P en V voor een quasistatische adiabatische expansie ofcontractie. Dit zal erg nuttig blijken als we in het volgende hoofdstuk warmtemotorengaan bestuderen. Tabel 19.4 (par. 19.8) geeft de waarden van � voor sommige echtegassen. Fig. 19.8 vergelijkt een adiabatische expansie (vgl. 19.15) in kromme ACmet een isotherme expansie (PV = constant) in kromme AB. Het is belangrijk om teonthouden dat de ideale gaswet, PV = nRT, ook geldt voor een adiabatische expansie(PV � = constant); het is duidelijk dat in dit laatste geval PV niet constant is, wat be-tekent dat T niet constant is.

Voorbeeld 19.12 Compressie van een ideaal gas

Een ideaal eenatomig gas wordt gecomprimeerd beginnend in punt A in het PV-diagram van fig. 19.19, waarbij PA = 100 kPa, VA = 1,00 m3 en TA = 300 K. Hetgas wordt eerst adiabatisch gecomprimeerd tot toestand B (PB = 200 kPa). Vervol-gens wordt het gas in een isotherm proces verder gecomprimeerd van punt B totpunt C (VC = 0,50 m3). (a) Bepaal VB. (b) Bereken de op het gas verrichte arbeidgedurende het hele proces.

Aanpak Volume VB wordt verkregen met behulp van vgl. 19.15. De arbeid diedoor een gas wordt verricht, wordt gegeven door vgl. 19.7, W ¼ R

PdV : De arbeidop het gas is het tegengestelde hiervan: Wop ¼ � R

P dV :

Oplossing Bij het adiabatisch proces blijkt uit vgl. 19.15 dat PV� = constant. Dusis PV � = PAV

�A ¼ PBV

�B waarbij voor een eenatomig gas � = CP/CV = (5/2)/(3/2) = 3

2.

(a) Vgl. 19.15 levert VB = VA(PA/PB)1/� = (1,00 m3)(100 kPa/200 kPa)

35 = 0,66 m3.

(b) Op elke moment in het adiabatisch proces wordt de arbeid P gegeven doorP ¼ PAV

�AV

−� . De op het gas verrichte arbeid bij de overgang van VA naar VB is

WAB ¼ �Z B

AP dV ¼ �PAV

�A

Z VB

VA

V��dV ¼ �PAV�A

1

�� þ 1

� �V 1��B � V 1��

A

� �:

Omdat � = 53, is −� +1 = 1 − � = −23, dus

WAB ¼ � PAVA53

� �� 3

2

� �V

�23

A

� �VB

VA

� ��23�1

24

35 ¼ þ 3

2PAVA

VB

VA

� ��23�1

24

35

¼ þ 3

2100 kPað Þ 1,00 m3

� �0,66ð Þ�2

3�1

� �¼ þ48 kJ:

Bij het isotherme proces van B naar C wordt arbeid verricht bij constante tempera-tuur, dus is op elk moment van het proces de druk gelijk aan P = nRTB/V en

WBC ¼ �Z C

BP dV ¼ �nRTB

Z VC

VB

dV

V¼ �nRTB ln

VC

VB¼ �PBVB ln

VC

VB¼ þ37 kJ:

De totale arbeid verricht op het gas is 48 kJ + 37 kJ = 85 kJ.

19.10 Warmteoverdracht: geleiding, convectie enstraling

Warmteoverdracht van de ene plaats of het ene lichaam naar het andere gebeurt opdrie manieren: door geleiding, convectie en straling. We zullen deze stuk voor stukbehandelen; maar in de praktijk kunnen ook twee van deze manieren, of alle drie te-gelijkertijd voorkomen. We beginnen met geleiding.

P (kPa)

V (m3)

C

B

A

0,500 1,00

Isotherm

Adiabaat200

100

FIGUUR 19.19 Voorbeeld 19.12

592 19.10 Warmteoverdracht: geleiding, convectie en straling

Geleiding

Wanneer een metalen pook uit een heet vuur wordt gehaald of een zilveren lepel ineen hete kop soep wordt geplaatst, wordt het blootgestelde uiteinde van de pook ofde lepel eveneens heet, hoewel het niet rechtstreeks in contact is met de warmtebron.We zeggen dat de warmte van het hete naar het koude uiteinde wordt ‘geleid’.Bij veel materialen is warmtegeleiding voor te stellen als iets dat tot stand komt viabotsingen tussen moleculen. Als één kant van een voorwerp wordt verwarmd, gaande moleculen steeds sneller bewegen. Op het moment dat ze botsen met hun langza-mer bewegende buren, dragen ze een deel van hun kinetische energie over op dezeandere moleculen, die op hun beurt energie overdragen naar moleculen nog verderweg in het voorwerp. In metalen zijn het voornamelijk de botsingen van vrije elek-tronen die verantwoordelijk zijn voor de geleiding.Warmtegeleiding van het ene naar het andere punt vindt uitsluitend plaats als er eentemperatuurverschil tussen de twee punten bestaat. Het is ook experimenteel vastge-steld dat de snelheid van de warmtestroom door een stof evenredig is met het tempe-ratuurverschil tussen beide kanten. De snelheid van de warmtestroom hangt ook afvan de omvang en de vorm van het voorwerp. Laten we, om dit kwantitatief te on-derzoeken, eens kijken naar de warmtestroom door een uniforme cilinder, zoals tezien in fig. 19.20. Experimenteel is aangetoond dat de warmtestroom �Q over eentijdsinterval �t wordt gegeven door de betrekking

�Q

�t¼ kA

T1 � T2‘

ð19:16aÞ

waarin A de oppervlakte van de dwarsdoorsnede van het voorwerp is, ‘ de afstandtussen beide kanten van het voorwerp, met respectievelijk temperaturen T1 en T2, enk een evenredigheidsconstante die de thermische conductiviteit wordt genoemd, diekarakteristiek is voor het materiaal. Uit vgl. 19.16a zien we dat de snelheid van dewarmtestroom (in J/s) recht evenredig is met de oppervlakte van de dwarsdoorsnedeen met de temperatuurgradiënt (T1 − T2)/‘.In sommige gevallen (zoals wanneer k of A niet constant kunnen worden beschouwd)moeten we de limiet van een oneindig dunne laag met dikte dx bekijken. Vgl. 19.16agaat dan over in

dQ

dt¼ �kA

dT

dx; ð19:16bÞ

waarin dT/dx de temperatuurgradiënt1 is en het minteken er staat omdat de warmte-stroom loopt in de richting tegengesteld aan die van de temperatuurgradiënt.De thermische conductiviteit, k, is voor een aantal stoffen gegeven in tabel 19.5.Stoffen met een grote k geleiden warmte snel en worden goede thermische geleidersgenoemd. Tot deze categorie behoren de meeste metalen, hoewel er zelfs hier grotevariatie is, zoals je merkt wanneer je de uiteinden vasthoudt van een zilveren lepelen een roestvrijstalen lepel die in dezelfde warme kop soep staan. Stoffen waarvoor kklein is, zoals wol, glasvezel, polyurethaan en ganzendons, zijn slechte warmtegelei-ders en daarom goede warmte-isolatoren.De verschillen in de waarden van k zijn een verklaring van eenvoudige verschijnse-len zoals waarom bij dezelfde temperatuur een tegelvloer veel kouder aanvoelt daneen vloer met een tapijt. Tegels zijn een betere warmtegeleider dan het vloerkleed.Warmte die van je voeten naar het tapijt stroomt wordt niet snel afgevoerd, duswarmt het oppervlak van het tapijt snel op tot de temperatuur van je voeten, wat aan-genaam aanvoelt. Tegels daarentegen voeren de warmte snel af en kunnen dus snelmeer warmte van je voeten afvoeren, zodat de oppervlaktetemperatuur van je voetendaalt.

Warm Koud

T1 T2

Warmtestroom

A

l

FIGUUR 19.20 Warmtestroom tussengebieden met temperaturen T1 en T2. AlsT1 groter is dan T2 stroomt de warmtenaar rechts; de snelheid wordt dangegeven door vgl. 19.16a.

TABEL 19.5 Thermische conductiviteit

Thermischeconductiviteit, kkcal J

Stof (s �m � �C) (s �m � �C)Zilver 10 �10–2 420Koper 9,2 �10–2 380Aluminium 5,0 �10–2 200Staal 1,1 �10–2 40IJs 5 �10–4 2Glas 2,0 �10–4 0,84Baksteen 2,0 �10–4 0,84Beton 2,0 �10–4 0,84Water 1,4 �10–4 0,56Menselijkweefsel

0,5 �10–4 0,2

Hout 0,3 �10–4 0,1Glasvezel 0,12 � 10–4 0,048Kurk 0,1 �10–4 0,042Wol 0,1 �10–4 0,040Ganzendons 0,06 � 10–4 0,025Polyurethaan 0,06 � 10–4 0,024Lucht 0,055 � 10–4 0,023

1 De vergelijkingen 19.16 zijn zeer goed vergelijkbaar met de diffussievergelijkingen(paragraaf 18.7) en de stroom van vloeistoffen door een pijp (paragraaf 13.12). In diegevallen bleek de stroom van materie evenredig te zijn aan de concentratiegradiëntdC/dx, of de drukgradiënt (P1 − P2)/‘. Deze nauwe overeenkomst is een van de rede-nen dat we spreken over een ‘warmtestroom’. Toch moeten we in gedachten houdendat er in het geval van warmte geen materie stroomt, maar dat er energie wordt over-gedragen.

Hoofdstuk 19 – Warmte en de eerste hoofdwet van de thermodynamica 593

Voorbeeld 19.13 Warmteverlies door ramen

Een belangrijke bron van warmteverlies uit een huis vormen de ramen. Bereken deomvang van de warmtestroom door een glazen ruit van 2,0 m � 1,5 m en die 3,2mm dik is, als de temperaturen van het binnen- en buitenoppervlak respectievelijk15,0�C en 14,0�C zijn (fig. 19.21).

Aanpak Warmte stroomt door geleiding via het glas van de hogere binnentempe-ratuur naar de lagere buitentemperatuur. We gebruiken de warmtegeleidingsvergelij-king, vgl. 19.16a.

Oplossing Hier is A = (2,0 m)(1,5 m) = 3,0 m2 en ‘ = 3,2 � 10−3 m. Met behulpvan tabel 19.5 voor het bepalen van k vinden we

�Q

�t¼ kA

T1 � T2l

¼ 0,84 J/s�m� �Cð Þ 3,0 m2ð Þ 15,0�C� 14,0�Cð Þ3,2� 10�3mð Þ

¼ 790 J/s:

Opmerking Deze warmtestroom is equivalent met (790 J/s)/(4,19 � 103 J/kcal) =0,19 kcal/s, oftewel (0,19 kcal/s) � (3600 s/u) = 680 kcal/u.

Bij voorbeeld 19.13 zou je kunnen opmerken dat 15�C voor de woonkamer van eenhuis aan de lage kant is. De kamer zelf kan zelfs een stuk warmer zijn, en buiten kanhet veel kouder zijn dan 14�C. Maar de temperaturen van 15�C en 14�C zijn de tem-peraturen op de raamoppervlakken, en er is gewoonlijk een aanzienlijke temperatuur-daling van de lucht in de buurt van het raam, zowel aan de binnen- als aan de buiten-kant. Dat wil zeggen dat de luchtlaag aan beide zijden van het raam werkt als eenisolator, en dat normaal gesproken het grootste deel van de temperatuurdaling tussende omgeving in en die buiten het huis plaatsvindt via de luchtlaag. Als er een stevigewind staat, zal de lucht buiten een raam constant gevuld zijn met koude lucht; detemperatuurgradiënt langs het glas zal groter zijn en er zal een veel groter warmtever-lies zijn. Door de dikte van de luchtlaag te vergroten, zoals door het gebruik vantwee glaspanelen gescheiden door een luchtlaag, wordt het warmteverlies sterker te-ruggebracht dan door het simpelweg vergroten van de glasdikte, omdat de thermischeconductiviteit van lucht veel kleiner is dan die van glas.De isolerende eigenschappen van kleding komen voort uit de isolerende eigenschap-pen van lucht. Zonder kleding zouden onze lichamen in stilstaande lucht de lucht incontact met de huid opwarmen, waardoor we ons nog steeds redelijk aangenaam zou-den voelen omdat lucht een zeer goede isolator is.Maar omdat de lucht zich verplaatst (er zijn briesjes, er is tocht, en mensen lopenrond), wordt de warme lucht vervangen door koude lucht, waardoor het temperatuur-verschil toeneemt en dus ook het warmteverlies van het lichaam. Kleren houden onswarm door de lucht vast te houden zodat die zich niet zo gemakkelijk kan verplaat-sen. Het is niet de kleding die ons isoleert, maar de lucht die door de kleding wordtvastgehouden. Ganzendons is een zeer goede isolator omdat zelfs een kleine hoeveel-heid ervan al donzig wordt en een grote hoeveelheid lucht vasthoudt.(Voor praktische doeleinden worden de thermische eigenschappen van bouwmateria-len, met name wanneer ze bestemd zijn voor isolatie, gewoonlijk opgegeven in R-waarden (oftewel ‘thermische weerstand’), gedefinieerd voor een gegeven dikte ‘van het materiaal:

R = ‘/k.

De R-waarde van een gegeven stuk materiaal combineert de dikte ‘ en de thermischeconductiviteit k in één getal. De SI-eenheid van R is K �m2/W. (In de Verenigde Sta-ten worden R-waarden opgegeven in Britse eenheden zoals ft2 � h � F�/Btu: 1 K · m²/W � 5,67446 ft² · �F · h/Btu). Tabel 19.6 geeft de R-waarden voor enkele veel ge-bruikte bouwmaterialen. De R-waarden nemen evenredig toe met de dikte van hetmateriaal: zo heeft bijvoorbeeld 5 cm glasvezel een R-waarde van 1 (wat ook als R-1wordt genoteerd), terwijl 10 cm R-2 is.Het omgekeerde van de R-waarde is de thermische geleiding van een materiaal, deU-waarde genoemd: U = 1/R = k/‘ (vroeger werd dit de K-waarde van het materiaalgenoemd). Dit is een specificatie die vaak terug te vinden is bij ruiten en andere

14,0°C

A =3,0 m2

= 3,2 × 10-3 m

15,0°C

l

FIGUUR 19.21 Voorbeeld 19.13.

Natuurkundein de praktijk

Dubbel glas

Natuurkundein de praktijk

Kleren isoleren doordat ze een laaglucht vasthouden

Natuurkundein de praktijk

R-waarden van thermische isolatie

594 19.10 Warmteoverdracht: geleiding, convectie en straling

bouwmaterialen. Typische waarden voor enkel glas, gewoon dubbel glas en superiso-lerend glas zijn respectievelijk 5,8 W/(m2K), 2,8 W/(m2K) en 1,1 W/(m2K), hetgeenbetekent dat voor een gelijke oppervlakte en een gelijk temperatuurverschil, enkelglas meer dan 5 keer meer warmteverlies geeft dan superisolerend glas.

Convectie

Hoewel vloeistoffen en gassen in het algemeen geen erg goede warmtegeleiders zijn,kunnen ze snel warmte overbrengen door convectie. Convectie is het proces waarbijwarmte door de massale beweging van de moleculen van de ene plaats naar de an-dere stroomt. Terwijl geleiding te maken heeft met moleculen (en/of elektronen) diezich slechts over korte afstanden verplaatsen en botsen, heeft convectie te maken metde verplaatsing van grote aantallen moleculen over grote afstanden.Een heteluchtoven, waarin lucht wordt verwarmd die vervolgens door een ventilatorin een ruimte wordt geblazen, is een voorbeeld van gedwongen convectie. Er bestaatook natuurlijke convectie, en een bekend voorbeeld is dat hete lucht opstijgt. Zo zetde lucht boven een radiator (of een ander type verwarming) bij verwarming uit(hoofdstuk 17) en neemt dus de dichtheid af. Omdat de dichtheid ervan minder isdan die van de omringende koelere lucht, stijgt deze op, net als een houtblok dat inwater wordt ondergedompeld naar boven drijft omdat de dichtheid ervan minder isdan die van water. Warme of koude oceaanstromen, zoals de Warme Golfstroom, zijnvoorbeelden van natuurlijke convectie op een mondiale schaal. Een ander voorbeeldis de wind, en het weer in het algemeen wordt in hoge mate beïnvloed door convec-tieluchtstromen.Wanneer een pan water wordt verwarmd (fig. 19.22), gaan er convectiestromen lopenals het verwarmde water onder in de pan opstijgt vanwege de verminderde dichtheid.Dat verwarmde water wordt vervangen door koeler water van boven in de pan. Ditprincipe wordt gebruikt in veel verwarmingssystemen, zoals het heetwaterverwar-mingssysteem uit fig. 19.23. Water wordt verwarmd in de ketel, en als de tempera-tuur stijgt, zet het uit en stijgt op zoals weergegeven. Dit zorgt ervoor dat het waterin het verwarmingssysteem gaat circuleren. Vervolgens gaat heet water de radiatorenbinnen, wordt warmte via geleiding overgebracht naar de lucht, en stroomt het afge-koelde water weer terug naar de ketel. Het water circuleert dus vanwege convectie;soms worden pompen gebruikt om de circulatie te verbeteren. Als gevolg van con-vectie wordt ook de lucht in de hele ruimte verwarmd. De lucht die door de radiato-ren wordt verwarmd, stijgt op en wordt vervangen door koelere lucht, wat resulteertin koelere luchtstromen, zoals weergegeven door de groene pijlen in fig. 19.23.Andere typen ketels zijn eveneens afhankelijk van convectie. Heteluchtverwarmingenmet roosters (openingen) dicht bij de vloer hebben vaak geen ventilatoren maar zijnafhankelijk van natuurlijke convectie, wat aangenaam kan zijn. Bij andere systemenwordt wel een ventilator gebruikt. In beide gevallen is het belangrijk dat koude luchtterug kan stromen naar de ketel zodat er convectiestromen door de ruimte kunnen lo-pen als deze gelijkmatig verwarmd moet worden. Convectie is niet altijd de bestekeus. Zo komt bijvoorbeeld een groot deel van de warmte van een open haard niet inde kamer terecht, maar gaat door de schoorsteen naar buiten.

Straling

Voor convectie en geleiding is het noodzakelijk dat er materie aanwezig is, die alsmedium dient om de warmte over te brengen van het warme naar het koude gebied.Maar een derde type warmteoverdracht vindt plaats zonder dat er enig medium aante pas komt. Alle leven op aarde is afhankelijk van de energieoverdracht van de zon,en deze energie wordt via lege (of bijna lege) ruimte overgedragen aan de aarde.Deze vorm van energieoverdracht is warmte (omdat de temperatuur van het zonneop-pervlak veel hoger (6000 K) is dan het aardoppervlak) en wordt straling genoemd.De warmte die we van een open vuur ontvangen is voornamelijk stralingswarmte.Zoals we in deel II zullen zien, bestaat straling in wezen uit elektromagnetische gol-ven. Op dit punt volstaat het om te zeggen dat straling van de zon bestaat uit zicht-baar licht plus licht van veel andere golflengtes waar het oog niet gevoelig voor is,met inbegrip van infraroodstraling (IR-straling).Gebleken is dat de hoeveelheid energie die een voorwerp per seconde uitstraalt,evenredig is met de vierde macht van de kelvintemperatuur, T. Dat wil zeggen: een

Koudwater

Warmwater

FIGUUR 19.22 Convectiestromen ineen pan water op een fornuis.

Radiator

HeetwaterKetel

Koud

FIGUUR 19.23 Convectie speelt een rolbij het verwarmen van een huis. Decirkelvormige pijlen staan voor deconvectieluchtstromen in de kamers.

TABEL 19.6 R-waarden

Materiaal Dikte R-waarde(ft

2 � h- � F�/Btu)Glas 1

8 inch 1Baksteen 3 1

2 inch 0,6 – 1Gelaagd hout 1

2 inch 0,6Glasvezel-isolatie

4 inch 12

Natuurkundein de praktijk

Convectieverwarming van een huis

Hoofdstuk 19 – Warmte en de eerste hoofdwet van de thermodynamica 595

voorwerp straalt bij 2000 K, 24 = 16 maal zoveel uit als bij 1000 K. De hoeveelheidstraling is ook evenredig met de oppervlakte A van het uitstralende voorwerp, dus isde snelheid waarmee de energie het voorwerp verlaat, �Q/�t, gelijk aan

�Q

�t¼ "�AT4:

Dit wordt de Stefan-Boltzmannvergelijking genoemd, waarin σ een universele con-stante is die de Stefan-Boltzmannconstante wordt genoemd en de waarde

σ = 5,67 � 10−8 W/m2 �K4 heeft.

De factor ε (de Griekse letter epsilon) wordt de emissiviteit genoemd en is een getaltussen 0 en 1 dat karakteristiek is voor het oppervlak van het uitstralende materiaal.Zeer zwarte oppervlakken, zoals steenkool, hebben een emissiviteit die dicht bij 1ligt, terwijl glanzende metaaloppervlakken een emissiviteit hebben die dicht bij nulligt en dus overeenkomstig weinig straling uitzenden. De waarde is enigszins afhan-kelijk van de temperatuur van het materiaal.Niet alleen zenden glanzende oppervlakken minder straling uit, ze absorberen ookminder van de straling die erop valt (het meeste wordt gereflecteerd). Zwarte en zeerdonkere voorwerpen zijn goede uitstralers (ε � 1), en ze absorberen vrijwel alle stra-ling die erop valt; daarom kun je op een zonnige en warme dag gewoonlijk beterlichtgekleurde kleding dragen dan donkere. Een goede absorbeerder is dus ook eengoede uitstraler.Elk voorwerp zendt niet alleen energie uit door straling maar absorbeert ook energiedie wordt uitgestraald door andere voorwerpen. Als een voorwerp met emissiviteit εen oppervlakte A een temperatuur T1 heeft, straalt het energie uit met een snelheidεσAT4

1 . Als de omgeving van het voorwerp een temperatuur T2 heeft, zal de snelheidwaarmee de omgeving energie uitstraalt evenredig zijn met T 4

2 , en de snelheid waar-mee de energie door het voorwerp wordt geabsorbeerd evenredig met T4

2 . De nettosnelheid van de warmtestroom van het voorwerp wordt gegeven door

�Q

�t¼ "�A T4

1 � T 42

� �; ð19:18Þ

waarin A de oppervlakte is van hetvoorwerp, T1 de temperatuur en ε de emissiviteit(bij temperatuur T1) en T2 de omgevingstemperatuur. Deze vergelijking is consistentmet het experimentele feit dat evenwicht tussen het voorwerp en zijn omgevingwordt bereikt wanneer ze op dezelfde temperatuur zijn gekomen. Dat wil zeggen:wanneer T1 = T2 moet �Q/�t gelijk zijn aan nul, dus moet ε voor emissie en absorp-tie gelijk zijn. Dit bevestigt het idee dat een goede uitstraler een goede absorbeerderis. Omdat zowel het voorwerp als de omgeving energie uitstralen, is er een nettoenergieoverdracht van het ene voorwerp naar het andere totdat alles op dezelfde tem-peratuur is.

Voorbeeld 19.14 Schatten Afkoeling door straling

Een atleet zit uitgekleed in een kleedkamer waarvan de donkere muren een tempe-ratuur van 15�C hebben. Schat zijn warmteverlies door straling, uitgaande van eenhuidtemperatuur van 34�C en ε = 0,70. Neem aan dat de oppervlakte van het li-chaam dat niet in contact is met de stoel gelijk is aan 1,5 m2.

Aanpak We gebruiken vgl. 19.18, met kelvintemperaturen.

Oplossing Er geldt

�Q

�t¼ "�A T4

1 � T 42

� �= (0,70)(5,67 � 10−8 W/m2 �K4)(1,5 m2)[(307 K)4 − (288 K)4] = 120 W.

Opmerking Het ‘vermogen’ van deze uitrustende atleet is iets meer dan het ver-bruik van een gloeilamp van 100 Watt.

Een rustend persoon produceert van nature intern warmte met een vermogen van cir-ca 100 W, wat minder is dan het warmteverlies door straling zoals berekend in voor-beeld 19.14. Derhalve zou zijn lichaamstemperatuur dalen, waardoor hij zich heel on-

Natuurkundein de praktijk

Het verschil tussen donkere en lichtekleding

Natuurkundein de praktijk

Verlies van stralingswarmte van hetlichaam

Oplossingsstrategie

Gebruik de kelvintemperatuur

596 19.10 Warmteoverdracht: geleiding, convectie en straling

behaaglijk zou gaan voelen. Het lichaam reageert op het extreme warmteverlies doorde stofwisseling te versnellen; een manier om dit te doen is het lichaam te laten ril-len. Vanzelfsprekend kan kleding veel opvangen. Voorbeeld 19.14 laat zien dat ie-mand zich onbehaaglijk kan voelen, zelfs als de temperatuur van de lucht bijvoor-beeld 25�C is, wat behoorlijk warm is voor een binnentemperatuur. Als de wandenof de vloer koud zijn, gaat er straling naartoe, ongeacht de temperatuur van de lucht.Het is zelfs zo dat naar schatting straling verantwoordelijk is voor circa 50 procentvan het warmteverlies van een zittend persoon in een normale kamer. Kamers zijnhet aangenaamst wanneer de wanden en de vloer warm zijn en de lucht niet zo warmis. Vloeren en wanden kunnen worden verwarmd door middel van bijvoorbeeldwarmwaterleidingen. Dergelijke verwarmingssystemen worden tegenwoordig steedsmeer toegepast, en het is interessant om op te merken dat 2000 jaar geleden de Ro-meinen, zelfs in huizen in de afgelegen provincie Britannica, hun huizen verwarmdendoor gebruik te maken van de warmwater- en stoomleidingen in de vloeren.De verwarming van een voorwerp door straling van de zon kan niet worden berekendmet behulp van vgl. 19.18 omdat die vergelijking uitgaat van een een uniforme tem-peratuur, T2, van de omgeving van het voorwerp, terwijl de zon in wezen een punt-bron is. De zon moet dus worden behandeld als een aparte energiebron. De verwar-ming door de zon wordt dan ook berekend uit het feit dat per seconde en pervierkante meter oppervlak circa 1350 J aan energie de atmosfeer van de aarde raaktonder rechte hoeken met de zonnestralen. Dit getal, 1350 W/m2, wordt de zonnecon-stante genoemd. De atmosfeer kan tot circa 70 procent van deze energie absorberenalvorens deze de grond raakt, afhankelijk van het wolkendek. Op een heldere dagraakt circa 1000 W/m2 het aardoppervlak. Een voorwerp met emissiviteit ε met eenoppervlakte A naar de zon gericht absorbeert energie van de zon met een vermogen,in watt, van ongeveer

�Q

�t¼ 1000 W/m2

� �"A cos �; ð19:19Þ

waarin � de hoek tussen de zonnestralen en een lijn loodrecht op het oppervlak A is(fig. 19.24). Dat wil zeggen: A cos � is de ‘effectieve’ oppervlakte, onder rechte hoe-ken met de zonnestralen.De verklaring voor de seizoenen en de poolkappen (zie fig. 19.25) hangt af van dezefactor cos � in vgl. 19.19. De seizoenen zijn niet het resultaat van hoe dicht de aardebij de zon staat: op het noordelijk halfrond is het zelfs zomer als de aarde het verstverwijderd is van de zon. Alleen de hoek (dat wil zeggen, �) is echt van belang. Ver-der houdt het feit dat de zon de aarde ‘s middags meer verwarmt dan bij zonsopgangen zonsondergang ook verband met deze factor cos �.Een interessante toepassing van thermische straling in de diagnostische geneeskundeis thermografie. Een speciaal instrument (de thermograaf) scant het lichaam, meetop een aantal punten de intensiteit van de straling en vormt een beeld dat lijkt op eenröntgenfoto (fig. 19.26). Gebieden met hoge stofwisselingsactiviteit, zoals tumoren,zijn vaak zichtbaar op een thermogram als gevolg van hun hogere temperatuur enderhalve verhoogde straling.

A cos θ

A θ θ

FIGUUR 19.24 Stralingsenergie op eenlichaam onder een hoek �.

23°

(Zomer)(A) ≈ 0°θ

Zonne-schijn(Juni)

evenaar

(C) ≈ 90°(Koud)

θ θ (B) ≈ 50° (Winter)

Juni

(b)

(a)

Aarde(Juni)

Aarde(December)

Zon

As

As

Evenaar

FIGUUR 19.25 (a) De seizoenen van deaarde ontstaan door de hoek van 2312

die de aardas maakt met zijn baan rondde zon. (b) Het zonlicht in juni maakt eenhoek van circa 23� met de evenaar. Dusis � in het zuiden van de VerenigdeStaten (A) in de buurt van 0� (directzomerzonlicht), terwijl op het zuidelijkhalfrond (B) � is 50� of 60�, waardoor erminder warmte kan wordengeabsorbeerd: dus is het winter. In debuurt van de polen (C) is er nooit sterkdirect zonlicht; cos � varieert van circa 1

2

in de zomer tot 0 in de winter; en metdeze geringe verwarming kan zich dus ijsvormen.

(a) (b)

FIGUUR 19.26 Thermogrammen van de armen enhanden van een gezond persoon (a) voor en (b) na hetroken van een sigaret, wat een temperatuurdaling laatzien als gevolg van een slechtere bloedsomloop alsgevolg van het roken. De thermogrammen hebbenkleurcodes die overeenstemmen met de temperatuur; deschaal rechts loopt van blauw (koud) naar wit (heet).

Hoofdstuk 19 – Warmte en de eerste hoofdwet van de thermodynamica 597

Voorbeeld 19.15 Schatten Straal van een ster

De reuzenster Betelgeuse zendt stralingsenergie uit met een vermogen dat 104 maalzo groot is dan dat van de zon, terwijl de oppervlaktetemperatuur slechts de helft(2900 K) die van de zon is. Schat de straal van Betelgeuse, ervan uitgaande datvoor beide ε = 1. De straal van onze eigen zon is rZ = 7 � 108 m.

Aanpak We nemen aan dat zowel Betelgeuse als de zon bolvormig zijn, met bo-loppervlakte 4�r2.

Oplossing We lossen A op uit vgl. 19.17:

4�r2 ¼ A ¼ �Q=�tð Þ"�T4

:

Dus geldt

r2Br2Z

¼ �Q=�tð ÞB�Q=�tð ÞZ

� T4Z

T4B

¼ 104� �

24� � ¼ 16� 104:

Dus is rB ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi16� 104

prZ ¼ 400ð Þ 7� 108 mð Þ � 3� 1011 m:

Opmerking Als Betelgeuse onze zon was, zou ze ons omhullen (de aarde is‘slechts’ 1,5 � 1011 m verwijderd van de zon).

Opgave GMet een waaier kun je jezelf op een warme dag afkoelen door (a) hetstralingsvermogen van de huid te vergroten; (b) het geleidingsvermogen tevergroten; (c) de gemiddelde vrije weglengte van de lucht te verkorten; (d) deverdamping van zweet te verhogen; (e) geen van deze mogelijkheden.

Natuurkundein de praktijk

Astronomie:de afmeting van een ster

Samenvatting

Inwendige energie, Einw, staat voor de totale energie van al-le moleculen in een voorwerp. Voor een ideaal eenatomiggas geldt

Einw = 32NkT = 3/2nRT (19.1)

waarin N het aantal moleculen is en n het aantal mol.Warmte is de overdracht van energie tussen voorwerpenvanwege een temperatuurverschil. Warmte wordt dus geme-ten in energie-eenheden, zoals joule.Warmte en inwendige energie worden soms ook uitgedruktin calorieën of kilocalorieën (kcal), waarbij

1 kcal = 4,186 kJ

de hoeveelheid warmte is, die nodig is om de temperatuurvan 1 kg water met 1�C te laten stijgen.De soortelijke warmte, c, van een stof is gedefinieerd als deenergie (oftewel de warmte) die nodig is om de temperatuurvan één massa-eenheid van de stof met 1 graad te laten toe-nemen; uitgeschreven als vergelijking:

Q = mc�T (19.2)

met Q de geabsorbeerde of afgegeven warmte, �T is de tem-peratuurstijging of -daling en m de massa van de stof.Wanneer er tussen twee delen van een geïsoleerd systeemwarmte stroomt, zegt de wet van behoud van energie dat dewarmte die door het ene deel van het systeem wordt gewon-nen, gelijk is aan de warmte die door het andere deel van hetsysteem wordt verloren. Dit is de basis van calorimetrie, dekwantitatieve meetmethode voor warmte-uitwisseling.

Wanneer een stof zonder temperatuurverandering overgaatnaar een andere fase, vindt energie-uitwisseling plaats. Desmeltwarmte is de warmte die nodig is om 1 kg van eenvaste stof te doen overgaan in de vloeistoffase; deze is ookgelijk aan de afgegeven warmte wanneer de stof verandertvan vloeistof naar vaste stof. De verdampingswarmte is deenergie die nodig is om 1 kg van een stof te doen overgaanvan de vloeistof- naar de dampfase; het is ook de energie diewordt afgestaan wanneer de stof van damp overgaat naarvloeistof.De eerste hoofdwet van de thermodynamica stelt dat deverandering �Einw van een systeem gelijk is aan de warmtedie aan een systeem wordt toegevoegd, Q, verminderd metde netto hoeveelheid arbeid W, die door het systeem wordtverricht:

�Einw = Q − W (19.4)

Deze belangrijke wet is een brede herformulering van het be-houd van energie en blijkt te gelden voor alle processen.Twee eenvoudige thermodynamische processen zijn iso-therme processen, dat wil zeggen uitgevoerd bij constantetemperatuur, en adiabatische processen, dat wil zeggen dater geen warmte wordt uitgewisseld. Twee andere processenzijn isobare processen (uitgevoerd bij constante druk) en iso-volumetrische processen (uitgevoerd bij constant volume).De arbeid die door een gas wordt verricht om het volume teveranderen met dV is dW = P dV, waarbij P de druk is.Arbeid en warmte zijn geen functies van de toestand van eensysteem (zoals P, V, T, n en Einw), maar hangen af van het ty-

598 Samenvatting

pe proces dat een systeem van de ene toestand in de anderedoet overgaan.Het verband tussen de molaire soortelijke warmte van eenideaal gas bij constant volume, CV, en bij constante druk, CP,wordt gegeven door

CP − CV = R. (19.11)

met R de gasconstante. Voor een eenatomig gas geldt CV =32R.Voor ideale gassen samengesteld uit tweeatomige of comple-xere moleculen, is CV gelijk aan 1

2R maal het aantal gradenvan vrijheid van het molecuul. Tenzij de temperatuur zeerhoog is, zullen sommige graden van vrijheid niet actief zijnen dus niet bijdragen. Op grond van het principe van equi-partitie van energie wordt energie gelijk verdeeld onder deactieve graden van vrijheid met gemiddeld een hoeveelheid12kT per molecuul.Wanneer een ideaal gas adiabatisch (Q = 0) uitzet (of in-krimpt), geldt het verband PV� = constant, met

� =CP

CV(19.14)

Warmteoverdracht van de ene plaats of het ene voorwerpnaar het andere gebeurt op drie manieren: geleiding, convec-tie en straling.Bij geleiding wordt energie via botsingen overgedragen tus-sen moleculen of elektronen met hogere kinetische energienaar langzamer bewegende buren.Convectie is de energieoverdracht door de massale verplaat-sing van moleculen over aanzienlijke afstanden.Straling, waarvoor de aanwezigheid van materie niet is ver-eist, is energieoverdracht door elektromagnetische golven,zoals van de zon.Alle voorwerpen stralen een hoeveelheid energie uit die even-redig is met de vierde macht van de kelvintemperatuur (T4) enmet de oppervlakte. De uitgestraalde (of geabsorbeerde) ener-gie hangt ook af van de aard van het oppervlak, dat wordt ge-karakteriseerd door de emissiviteit, ε, (donkere oppervlakkenabsorberen en stralen meer uit dan lichtkleurige). Op een hel-dere dag komt de straling van de zon op het aardoppervlakbinnen met een snelheid van circa 1000 W/m2.

Vragen

1. Wat gebeurt er met de arbeid op een fles appelsap wanneerdeze heftig heen en weer wordt geschud?

2. Wanneer een warm voorwerp een koud voorwerp opwarmt,is er dan een temperatuurstroom tussen de voorwerpen?Zijn de temperatuurveranderingen van de twee voorwerpengelijk? Licht je antwoord toe.

3. (a) Als twee voorwerpen met verschillende temperaturenmet elkaar in contact worden gebracht, is het dan vanzelf-sprekend dat de warmte van het voorwerp met de hoogsteinwendige energie naar het voorwerp met de laagste inwen-dige energie stroomt? (b) Is het mogelijk dat er warmtestroomt zelfs als de inwendige energieën van de twee voor-werpen gelijk zijn? Licht je antwoord toe.

4. In warme gebieden waar tropische planten groeien maar detemperatuur in de winter enkele malen kan dalen tot onderhet vriespunt, kan de vernietiging van gevoelige planten alsgevolg van bevriezing worden teruggebracht door ze’s avonds water te geven. Licht je antwoord toe.

5. De soortelijke warmte van water is tamelijk groot. Leg uitwaarom dit water bijzonder geschikt maakt voor verwar-mingssystemen (dat wil zeggen: voor warmwaterradiatoren).

6. Waarom blijft water in een veldfles koeler als het stoffenomhulsel van de veldfles vochtig wordt gehouden?

7. Leg uit waarom brandwonden door stoom van 100�C op dehuid vaak ernstiger zijn dan brandwonden veroorzaakt doorwater van 100�C.

8. Leg met behulp van de concepten van latente warmte en in-wendige energie uit waarom water bij verdamping afkoelt(de temperatuur ervan daalt).

9. Zullen aardappelen ook sneller koken als het water harderkookt?

10. Zeer hoog in de atmosfeer van de aarde kan de temperatuur700�C zijn. Toch zal een dier hier eerder doodvriezen dangebraden worden. Leg uit waarom.

11. Wat gebeurt er met de inwendige energie van waterdamp inde lucht die op de buitenkant van een koud glas water con-denseert? Wordt er arbeid verricht of warmte uitgewisseld?Leg uit waarom.

12. Gebruik de wet van behoud van energie om te verklarenwaarom de temperatuur van een goed geïsoleerd gas toene-emt bij compressie (bijvoorbeeld door een zuiger aan te du-wen), terwijl de temperatuur bij expansie van het gas af-neemt.

13. Bij een isotherm proces wordt door een ideaal gas 3700 Jaan arbeid verricht. Is dit voldoende informatie om te bepa-len hoeveel warmte er aan het systeem is toegevoegd? Zoja, hoeveel?

14. Onderzoekers bij mislukte poolexpedities wisten te overle-ven door zichzelf met sneeuw te bedekken. Waarom zoudenze dat doen?

15. Waarom voelt nat zand op het strand koeler aan dan droogzand?

16. Waarom is het bij luchtverwarming van een huis met een ver-warmingsketel van belang dat er een ventilatiekanaal is omde lucht terug de ketel in te laten stromen? Wat gebeurt er alsdit ventilatiekanaal geblokkeerd is door een boekenkast?

17. Is het mogelijk dat de temperatuur van een systeem cons-tant blijft, hoewel er warmte in en uit stroomt? Zo ja, geefenkele voorbeelden.

18. Leg uit hoe de eerste hoofdwet van de thermodynamica kanworden toegepast op de menselijke stofwisseling. Merk inhet bijzonder op dat iemand arbeid W verricht, maar dat erzeer weinig warmte wordt toegevoegd aan het lichaam (erzelfs eerder warmte uitstroomt). Waarom daalt de inwendi-ge energie dan niet drastisch in de tijd?

19. Verklaar in woorden waarom CP groter is dan CV.20. Leg uit waarom bij adiabatische compressie de temperatuur

van een gas toeneemt.21. Een ideaal eenatomig gas kan uitzetten tot tweemaal zijn

volume (1) isotherm; (2) adiabatisch; (3) isobaar. Teken elkervan in een PV-diagram. Bij welk proces is �Einw hetgrootst en bij welk het kleinst? En bij welk proces is W hetgrootst, en bij welk het kleinst? En bij welk proces is Q hetgrootst, en bij welk het kleinst?

22. Plafondventilatoren kunnen soms twee kanten op werken,in die zin dat ze in het ene seizoen de lucht naar beneden

Hoofdstuk 19 – Warmte en de eerste hoofdwet van de thermodynamica 599

blazen en in het andere seizoen omhoog zuigen. Hoe moetje ’s zomers de ventilator instellen? En in de winter?

23. Bij slaapzakken en parka’s van ganzendons wordt vaak hetaantal centimeter loft vermeld, dat wil zeggen de feitelijkedikte van het materiaal wanneer het de ruimte krijgt omdonzig te worden. Leg uit waarom.

24. Bij de moderne microprocessorchips is bovenop een koel-plaat gelijmd die eruitziet als een reeks vinnen. Waarom?

25. Zeebriesjes komen vaak voor op zonnige dagen aan de kustvan een groot water. Geef een verklaring hiervoor, ervanuitgaande dat de temperatuur van het land sneller stijgt dandie van het nabijgelegen water.

26. De aarde koelt bij helder weer ‘s nachts veel sneller af danwanneer het bewolkt is. Waarom?

27. Leg uit waarom de luchttemperatuur altijd wordt afgelezenop een thermometer in de schaduw.

28. Een te vroeg geboren baby in een couveuse kan gevaarlijkonderkoeld raken zelfs wanneer de luchttemperatuur in decouveuse warm is. Leg uit waarom.

29. De vloer van een huis op een fundering waaronder de luchtkan stromen is vaak kouder dan een vloer die rechtstreeksop de grond rust (zoals een betonnen funderingslaag). Leguit waarom.

30. Waarom is de binnenkant van een thermoskan verzilverd(fig. 19.27), en waarom is er een vacuüm tussen de binnen-en de buitenwand?

31. Een dag van 22�C is warm, terwijl zwemwater van 22�Ckoud aanvoelt. Waarom?

32. Op het noordelijk halfrond is er voor het verwarmen vaneen kamer met een raam op het noorden veel meer warmtenodig dan voor een kamer met een raam op het zuiden. Leguit waarom.

33. Warmteverlies door ramen vindt plaats door de volgendeprocessen: (1) ventilatie rond randen; (2) via de kozijnen,

met name als die van metaal zijn; (3) door de glaspanelenen (4) door straling. (a) Wat is (zijn) bij de eerste drie demechanisme(n): geleiding, convectie of straling? (b) Welkevan deze warmteverliezen zijn door zware gordijnen te ver-minderen? Geef een gedetailleerde toelichting.

34. Vroeg op de dag, nadat de zon de helling van een bergheeft bereikt, is er vaak een lichte opwaartse beweging vande lucht. Later op de dag, als de helling in de schaduw iskomen te liggen, is er een kleine luchtverplaatsing naar be-neden. Leg uit waarom.

35. Een stuk hout in de zon absorbeert meer warmte dan eenstuk glanzend metaal. Toch voelt het metaal als je het op-pakt warmer aan dan het stuk hout. Leg uit waarom.

36. Een ‘nooddeken’ is een stuk dun glanzend plasic folie(voorzien van een metaallaag). Leg uit hoe je hiermee on-beweeglijke mensen warm kunt houden.

37. Leg uit waarom dicht bij de oceaan gelegen steden meestalminder extreme temperaturen hebben dan verder landin-waarts gelegen steden met dezelfde breedtegraad.

Vraagstukken

19.1 Warmte als energieoverdracht1. (I) Tot welke temperatuur zal 8700 J aan warmte 3,0 kg

water met een begintemperatuur van 10,0�C verwarmen?2. (II) Wanneer een duiker in de oceaan springt, lekt er water

in de ruimte tussen de huid en het duikerspak, waardoor ereen waterlaag van 0,5 mm dik wordt gevormd. Aangeno-men dat de totale oppervlakte van het duikerspak dat deduiker bedekt 1,0 m2 is en dat het oceaanwater het pak bin-nengaat bij 10�C en door de duiker wordt opgewarmd totde huidtemperatuur van 35�C, geef dan een schatting hoe-veel energie (uitgedrukt in aantallen snoeprepen van 300kcal) voor dit verwarmingsproces nodig is.

3. (II) Een gemiddeld actief persoon verbruikt circa 2500 kcalper dag. (a) Hoeveel is dit in joule? (b) Hoeveel is dit in ki-lowattuur? (1 kWh is de energie die omgezet wordt wan-neer gedurende 1 u een vermogen van 1 kW ontwikkeldwordt, dus 1 kWh = 1 kW � 1 u = 1000 J/s � 3600 s =3,6 � 106 J) (c) Als jouw elektriciteitsbedrijf circa 10 euro-cent per kilowattuur rekent, hoeveel zou je energie per dagdan kosten als je die van het elektriciteitsbedrijf zou moetenkopen? Zou je jezelf van een dergelijk bedrag per dag in le-ven kunnen houden?

4. (II) Een British thermal unit (Btu) is een eenheid vanwarmte in het Britse systeem van eenheden. Eén Btu is ge-

definieerd als de warmte die nodig is om de temperatuurvan 1 lb water met 1�F te laten stijgen. Laat zien dat

1 Btu = 0,252 kcal = 1056 J.

5. (II) Hoeveel joules en kilocalorieën worden gegenereerdwanneer de remmen worden gebruikt om een auto van1200 kg vanuit rust tot een snelheid van 95 km/u te bren-gen?

6. (II) Een kleine dompelaar wordt geschat op een vermogenvan 350 W. Geef een schatting hoe lang het duurt om eenkop soep (ervan uitgaande dat dit 250 ml water is) te ver-warmen van 15�C tot 75�C.

19.3 en 19.4 Soortelijke warmte; calorimetrie7. (I) Een koelsysteem van een auto bevat 18 l water. Hoeveel

warmte absorbeert dit als de temperatuur stijgt van 15�C tot95�C?

8. (I) Wat is de soortelijke warmte van een metaal als er voorhet verhitten van 1 kg van het metaal van 18,0�C tot37,2�C 135 kJ nodig is?

9. (II) (a) Hoeveel energie is er nodig om een pan met 1,0 lwater van 20�C op 100�C te brengen? (b) Hoe lang zoueen dergelijke hoeveelheid energie een gloeilamp van 100W kunnen laten branden?

Stop

Warme of koude vloeistof

Buitenwand

Isolatiemateriaal

Vacuüm

Lucht

Binnenwand

FIGUUR 19.27Vraag 30.

600 Vraagstukken

10. (II) Bij het absorberen van een gelijke hoeveelheid warmtevertonen monsters van koper, aluminium en water dezelfdetemperatuurstijging. Wat is de verhouding van hun massa’s?

11. (II) Hoe lang doet een percolator met een vermogen van750 W erover om 0,75 l water met een begintemperatuurvan 8,0�C aan de kook te brengen? Neem aan dat het deelvan de kan waarin het water wordt verwarmd gemaakt isvan 280 g aluminium en dat er geen water wegkookt.

12. (II) Een pas gesmeed heet ijzeren hoefijzer (massa = 0,40kg) (fig. 19.28) wordt in een ijzeren pot van 0,30 kg met1,05 l water gegooid, die aanvankelijk een temperatuur van20,0�C heeft. Als de uiteindelijke evenwichtstemperatuur25,0�C is, geef dan een schatting van de begintemperatuurvan het hete hoefijzer.

13. (II) Voordat een glazen thermometer in 135 ml water wordtgeplaatst, wijst hij 23,6�C aan. Wanneer het water en dethermometer in evenwicht gekomen zijn, wijst de thermo-meter 39,2�C aan. Wat was de oorspronkelijke temperatuurvan het water? (Hint: negeer de massa van de vloeistof bin-nen de glazen thermometer.) Dit vraagstuk is een voorbeeldvan een in de natuurkunde vaak voorkomend probleem, na-melijk dat de meting zelf de te meten grootheid beïnvloedt.

14. (II) Geef een schatting van het aantal kilocalorieën dat vrij-komt bij verbranding (oxidatie) van 65 g snoepgoed aan dehand van de volgende metingen (dit is tegelijk de calorie-inhoud zoals vermeld op de snoepwikkel). Een monster van15 g van het snoep wordt geplaatst in een smal aluminiumvat met massa 0,325 kg, dat gevuld is met zuurstof. Dit vatwordt geplaatst in 2,00 kg water in een aluminium calori-meterbeker met massa 0,624 kg bij een begintemperatuurvan 15,0�C. Het zuurstof-snoepmengsel in het smalle vatwordt aangestoken en de eindtemperatuur van het gehelesysteem is 53,5�C.

15. (II) Wanneer een stuk ijzer van 290 g met een temperatuurvan 180�C geplaatst wordt in een aluminium caloriemeter-beker van 95 g die 250 g glycerine van 10�C bevat, wordteen eindtemperatuur van 38�C gemeten. Geef een schattingvan de soortelijke warmte van glycerine.

16. (II) De warmtecapaciteit, C,van een voorwerp is gedefini-eerd als de hoeveelheid warmte die nodig is om de tempe-ratuur met 1�C te laten stijgen. Dus is er om de temperatuurmet �T te laten stijgen een hoeveelheid warmte Q nodig,gelijk aan

Q ¼ C�T :

(a) Druk de warmtecapaciteit C uit in de soortelijkewarmte, c, van het materiaal. (b) Wat is de warmtecapaciteitvan 1,0 kg water? (c) Van 35 kg water?

17. (II) De 1,20 kg zware kop van een hamer heeft net voordathij een spijker raakt, een snelheid van 7,5 m/s (fig. 19.29)en wordt tot stilstand gebracht. Geef een schatting van detemperatuurstijging van een ijzeren spijker van 14 g na tien

van dergelijke opeenvolgende hamerslagen. Neem aan datde spijker alle energie absorbeert.

19.5 Latente warmte18. (I) Hoeveel warmte is er nodig om 26,50 kg zilver met een

begintemperatuur van 25�C te laten smelten?19. (I) Bij inspanning kan iemand in 25 min tijd door verdam-

ping van water op de huid 180 kcal afgeven. Hoeveel wateris er dan verloren gegaan?

20. (II) Een ijsklontje van 35 g wordt op zijn smeltpunt in eengeïsoleerd vat met vloeibaar stikstof gegooid. Hoeveel stik-stof verdampt er als dit op het kookpunt van 77 K is en eenlatente verdampingswarmte van 200 kJ/kg heeft? Neemvoor het gemak aan dat de soortelijke warmte van ijs cons-tant is en gelijk aan de waarde in de buurt van het smelt-punt.

21. (II) Bergbeklimmers op grote hoogten eten geen sneeuw,maar smelten die altijd eerst boven een vuurtje. Bereken,om in te zien waarom, de energie die uit je lichaam wordtgeabsorbeerd (a) als je 1,0 kg sneeuw van −10�C eet diedoor jouw lichaam wordt opgewarmd tot een lichaamstem-peratuur van 37�C. (b) Als je 1,0 kg sneeuw van −10�Cmet een vuurtje opwarmt en de resulterende 1,0 kg watervan 2�C opdrinkt, en die door je lichaam laat opwarmen tot37�C.

22. (II) Een ijzeren boiler met een massa van 180 kg bevat 730kg water van 18�C. Een verwarmingselement levert energiemet een vermogen van 52.000 kJ/u. Hoe lang duurt hetvoordat (a) het water het kookpunt heeft bereikt, en (b) allewater in stoom is veranderd?

23. (II) Bij een wielerwedstrijd op een warme dag drinkt eenrenner in 3,5 uur tijd 8,0 l water. Als we de benadering ma-ken dat alle energie van de wielrenner wordt gebruikt voorde verdamping van zijn zweet, hoeveel energie, uitgedruktin kcal, heeft hij dan tijdens zijn race verbruikt? (Omdat deefficiëntie van de renner slechts circa 20 procent is, wordthet grootste deel van de verbruikte energie omgezet inwarmte, dus zit onze benadering er niet ver naast.)

24. (II) De soortelijke warmte van kwik is 138 J/(kg�C). Bepaalde latente warmte van het smelten van kwik aan de handvan de volgende volgende caloriemetergegevens: 1,00 kgvast kwik wordt op zijn smeltpunt van −39,0�C in een alu-minium caloriemeter van 0,620 kg geplaatst, die gevuld ismet 0,400 kg water van 12,80�C; de resulterende even-wichtstemperatuur is 5,06�C.

25. (II) Op de plaats van een misdrijf merkt de forensisch onder-zoeker op dat de 7,2 g loden kogel die in een deurkozijn wasblijven steken, klaarblijkelijk op het moment van inslag vol-ledig gesmolten was. Aangenomen dat de kogel werd afge-schoten op kamertemperatuur (20�C), wat berekent de on-derzoeker dan als de minimale loopsnelheid van het pistool?

26. (II) Een schaatser van 58 kg komt vanuit een beweging met7,5 m/s tot stilstand. Aangenomen dat het ijs een tempera-

FIGUUR 19.28Vraagstuk 12.

FIGUUR 19.29Vraagstuk 17.

Hoofdstuk 19 – Warmte en de eerste hoofdwet van de thermodynamica 601

tuur van 0�C heeft en dat 50 procent van de warmte diedoor wrijving wordt gegenereerd wordt geabsorbeerd doorhet ijs, hoeveel ijs smelt er dan?

19.6 en 19.7 De eerste hoofdwet van dethermodynamica

27. (I) Schets een PV-diagram van het volgende proces: 2,0 lvan een ideaal gas wordt bij atmosferische druk bij con-stante druk afgekoeld tot een volume van 1,0 l, en vervol-gens isotherm teruggeëxpandeerd tot 2,0 l, terwijl de drukbij constant volume wordt verhoogd totdat de oorspronke-lijke druk is bereikt.

28. (I) Een gas wordt opgesloten in een cilinder voorzien vaneen lichte wrijvingsloze zuiger; het gas wordt op atmosferi-sche druk gehouden. Wanneer er 1250 kcal aan warmte aanhet gas wordt toegevoegd, blijkt het volume langzaam toete nemen van 12,0 m3 tot 18,2 m3. Bereken (a) de arbeiddie door het gas wordt uitgevoerd en (b) de verandering inde inwendige energie van het gas.

29. (II) De druk in een ideaal gas wordt, terwijl het in een vatmet vaste wanden wordt bewaard, geleidelijk gehalveerd.Tijdens het proces verliest het gas 365 kJ aan warmte. (a)Hoeveel arbeid werd er tijdens dit proces verricht? (b)Watwas de verandering in inwendige energie van het gas gedu-rende dit proces?

30. (II) 1,0 l lucht met een (absolute) begindruk van 3,5 atmzet isothermisch uit totdat de druk 1,0 atm is. Vervolgenswordt de lucht bij constante druk samengedrukt tot het be-ginvolume en ten slotte teruggebracht tot de oorspronkelij-ke druk door te verhitten bij constant volume. Teken hetproces in een PV-diagram met inbegrip van getallen en na-men bij de assen.

31. (II) Beschouw het volgende tweestapsproces. Uit een ideaalgas kan bij constant volume warmte wegstromen zodat dedruk daalt van 2,2 tot 1,4 atm. Vervolgens zet het gas, bijconstante druk, uit van een volume van 5,9 l tot 9,3 l, waar-bij de temperatuur zijn oorspronkelijke waarde bereikt. Ziefig. 19.30. Bereken (a) de totale arbeid die door het gas indit proces wordt verricht, (b) de verandering in inwendigeenergie van het gas in het proces, en (c) de totale warmte-stroom in of uit het gas.

32. (II) Het PV-diagram in fig. 19.31 toont twee mogelijke toe-standen van een systeem dat 1,55 mol van een eenatomigideaal gas bevat. (P1 = P2 = 455 N/m2, V1 = 2,00 m3, V2 =8,00 m3). (a) Teken een grafiek van een isobare expansievan toestand 1 naar toestand 2, en noem dit proces A.(b) Bepaal de arbeid die door het gas wordt verricht en deverandering in de inwendige energie van het gas bij procesA. (c) Teken de grafiek van het tweestapsproces bestaande

uit een isotherme expansie van toestand 1 tot het volumeV2, gevolgd door een isovolumetrische temperatuurverho-ging naar toestand 2, en noem dit proces B. (d) Bepaal deverandering in de inwendige energie van het gas voor hettweestapsproces B.

33. (II) Stel dat 2,60 mol van een ideaal gas met volume V1 =3,50 m3 bij een temperatuur T1 = 290 K isotherm kan uit-zetten tot V2 = 7,00 m3 bij T2 = 290 K. Bepaal (a) alle doorhet gas verrichte arbeid, (b) de aan het gas toegevoerdewarmte, en (c) de verandering in de inwendige energie vanhet gas.

34. (II) In een motor wordt een vrijwel ideaal gas adiabatisch ge-comprimeerd tot de helft van het volume. Hierdoor wordt2850 J arbeid verricht op het gas. (a) Hoeveel warmte stroomter in of uit het gas? (b) Wat is de verandering in inwendigeenergie van het gas? (c) Stijgt of daalt de temperatuur?

35. (II) Anderhalf mol van een ideaal eenatomig gas zet adiaba-tisch uit en verricht hierbij 7500 J aan arbeid. Wat is de tem-peratuurverandering van het gas gedurende deze expansie?

36. (II) Bepaal (a) de verrichte arbeid, en (b) de verandering ininwendige energie van 1,00 kg water wanneer het allemaalaan de kook wordt gebracht tot stoom van 100�C. Ga uitvan een constante druk van 1,00 atm.

37. (II) Hoeveel arbeid wordt er verricht door een pomp bij hetgeleidelijk isotherm comprimeren van 3,50 l stikstof van0�C en 1,00 atm tot 1,80 l bij 0�C?

38. (II) Wanneer een gas het pad langs de getekende krommeuit fig. 19.32 van a naar c doorloopt, is de verrichte arbeiddoor het gas Q = −35 J en de aan het gas toegevoerdewarmte Q = −63 J. Langs pad abc is de verrichte arbeid W= −54 J. (a) Wat is Q voor pad abc? (b) Als Pc = 1/2Pb,wat is dan W voor pad cda? (c) Wat is Q voor pad cda?(d) Wat is Einw,a − Einw,c? (e) Als Einw,d − Einw,c = 12 J, watis dan Q voor pad da?

39. (III) Als een gas vanuit toestand a in toestand c wordt ge-bracht via de kromme uit fig. 19.32, komt er 85 J aanwarmte vrij uit het systeem en wordt er 55 J arbeid op hetsysteem verricht. (a) Bepaal de verandering in inwendigeenergie, Einw,a − Einw,c. (b) Wanneer het gas langs het pad

1,4 atm

2,2 atm

P

0 5,9 L 9,3 L V

cb

a

FIGUUR 19.30Vraagstuk 31.

0 2 4 6 8

1 2

10

200

500400300

100

V (m3)

P(N/m2)FIGUUR 19.31

Vraagstuk 32.

b

c

a

d

V

P

0

FIGUUR 19.32Vraagstukken 38, 39en 40.

602 Vraagstukken

cda wordt gevoerd, is de door het gas verrichte arbeid W =38 J. Hoeveel warmte Q wordt bij het proces cda toege-voegd aan het gas? (c) Als Pa = 2,2Pd, hoeveel arbeidwordt er dan door het gas verricht in het proces abc? (d)Wat is Q voor pad abc? (e) Als Einw,a − Einw,b = 15 J, watis Q dan voor het proces bc? Hier is een overzicht van water gegeven is:

Qa!c ¼ �85 J

Wa!c ¼ �55 J

Wcda ¼ 38 J

Einw;a � Einw;b ¼ 15 J

Pa ¼ 2,2Pd:

40. (III) Stel dat een gas met de klok mee de rechthoek uit fig.19.32 doorloopt, beginnend in b, dan naar a, d, c, en weereindigend in b. Gebruik de waarden uit vraagstuk 39 en(a) beschrijf iedere tak van het proces, en (b) bereken denettoarbeid die gedurende de cyclus wordt verricht, (c) bere-ken de totale verandering van de inwendige energie gedu-rende de cyclus, en (d) de netto warmtestroom tijdens de cy-clus. (e) Welk percentage van de opgenomen warmte werdomgezet in bruikbare arbeid, dat wil zeggen: hoe efficiënt isdeze ‘rechthoekscyclus’ (uitgedrukt in een percentage)?

*41. (III) Bepaal de arbeid die wordt verricht door 1,00 mol vaneen Van der Waals-gas (paragraaf 18.5) wanneer dit iso-therm expandeert van volume V1 tot V2.

19.8 Moleculaire soortelijke warmte voor gassen;equipartitie van energie

42. (I) Wat is de inwendige energie van 4,50 mol van een ide-aal tweeatomig gas bij 645 K, aangenomen dat alle gradenvan vrijheid actief zijn?

43. (I) Als een verwarming een kamer van 3,5 m � 4,6 m �3,0 m die lucht van 20�C en 1,0 atm bevat voorziet van1,8 � 106 J/u, hoeveel zal de temperatuur dan in één uur stij-gen, aangenomen dat er geen warmte of luchtmassa naarbuiten weglekt? Neem aan dat lucht een ideaal tweeatomiggas is met molecuulmassa 29.

44. (I) Toon aan dat wanneer de moleculen van een gas n gra-den van vrijheid hebben, dat dan de theorie voorspelt datCV = 1

2nR en CP = 12(n + 2)R.

45. (II) Een bepaald eenatomig gas heeft soortelijke warmte cV= 0,0356 kcal/(kg � �C), die binnen een breed temperatuur-bereik weinig verandert. Wat is de atoommassa van dit gas?Welk gas is het?

46. (II) Toon aan dat de arbeid die door n mol van een ideaalgas bij adiabatische expansie wordt verricht, gelijk is aan W= nCV(T1 − T2), met T1 en T2 respectievelijk de begin- eneindtemperatuur, en CV de molaire soortelijke warmte bijconstant volume.

47. (II) Een concertzaal van 22.000 m3 is gevuld met 1800 be-zoekers. Als er geen ventilatie zou zijn, hoeveel zou deluchttemperatuur in 2,0 u stijgen als gevolg van de stofwis-seling van de mensen (70 W per persoon)?

48. (II) De soortelijke warmte bij constant volume van een be-paald gas is 0,182 kcal/(kg �K) bij kamertemperatuur en demolecuulmassa is 34. (a) Wat is de soortelijke warmte bijconstante druk? (b) Wat is volgens jou de molecuulstruc-tuur van dit gas?

49. (II) Een monster van 2,00 mol stikstofgas wordt bij con-stante druk verhit van 0�C tot 150�C (1,00 atm). Bepaal

(a) de verandering in inwendige energie, (b) de door hetgas verrichte arbeid (c) de aan het gas toegevoerde warmte.

50. (III) Een monster van 1,00 mol van een ideaal tweeatomiggas bij een druk van 1,00 atm en een temperatuur van 420K doorloopt een proces waarbij de druk lineair toeneemtmet de temperatuur. De eindtemperatuur en druk zijn 720 Ken 1,60 atm. Bepaal (a) de verandering in inwendige ener-gie, (b) de door het gas verrichte arbeid en (c) de aan hetgas toegevoerde warmte. (Ga uit van vijf actieve gradenvan vrijheid.)

19.9 Adiabatische expansie van een gas51. (I) Een monster van 1,0 mol van een ideaal tweeatomig

gas, aanvankelijk bij 1,00 atm en 20�C, zet adiabatisch uittot 1,75 maal het beginvolume. Wat zijn de einddruk eneindtemperatuur van het gas? (Neem aan dat er geen mole-culaire trillingen zijn.)

52. (II) Toon met behulp van vgl. 19.6 en 19.15 aan dat de ar-beid die verricht wordt door een gas dat geleidelijk adiaba-tisch expandeert van druk P1 en volume V1 naar P2 en V2,wordt gegeven door W = (P1V1 − P2V2)/(� − 1).

53. (II) Een monster van 3,65 mol van een ideaal tweeatomiggas zet adiabatisch uit van een volume van 0,1210 m3 tot0,750 m3. Aanvankelijk was de druk 1,00 atm. Bepaal(a) de begin- en eindtemperatuur, (b) de verandering in in-wendige energie, (c) de door het gas verloren warmte en(d) de op het gas verrichte arbeid. (Neem aan dat er geenmoleculaire trillingen zijn.)

54. (II) Een ideaal eenatomig gas, bestaande uit 2,8 mol meteen volume van 0,086 m3, zet adiabatisch uit. De begin- eneindtemperatuur zijn respectievelijk 25�C en −68�C. Wat ishet eindvolume van het gas?

55. (III) Een monster van 1,00 mol van een ideaal eenatomiggas, aanvankelijk onder een druk van 1,00 atm, doorloopteen driestapsproces: (1) het expandeert adiabatisch van T1= 588 K tot T2 = 389 K; (2) het wordt gecomprimeerd bijconstante druk totdat de temperatuur gelijk is aan T3;(3) het keert via een constant-volumeproces terug naar deoorspronkelijke druk en temperatuur. (a) Teken deze pro-cessen in een PV-diagram. (b) Bepaal T3. (c) Bereken voorelk proces de verandering in inwendige energie, de door hetgas verrichte arbeid en de aan het gas toegevoerde warmte,en (d) doe dit ook voor de gehele cyclus.

56. (III) Beschouw een luchtpakketje dat naar een andere hoog-te y in de atmosfeer van de aarde beweegt (fig. 19.33). Alshet pakketje hoogte verliest, krijgt het de druk P van de om-ringende lucht. Uit vgl. 13.4 weten we dat

dP

dy¼ ��g

waarbij � de hoogteafhankelijke dichtheid van het pakketjeis.Gedurende deze beweging zal het volume van het pakketjeveranderen, en, omdat lucht een slechte warmtegeleider is,nemen we aan dat deze expansie of inkrimping adiabatischzal plaatsvinden. (a) Ga uit van vgl. 19.15, PV� = constant,en laat zien dat voor een ideaal gas dat een adiabatisch pro-ces ondergaat, P1−�T� =constant. Toon vervolgens aan dathet verband tussen de druk en de temperatuur van het pakjewordt gegeven door

1� �ð Þ dPdy

þ �P

T

dT

dy¼ 0

Hoofdstuk 19 – Warmte en de eerste hoofdwet van de thermodynamica 603

en dus

1� �ð Þ ��gð Þ þ �P

T

dT

dy¼ 0:

(b) Combineer de ideale gaswet met het resultaat uit onder-deel (a) om aan te tonen dat het verband tussen de verande-ring in de temperatuur van het pakketje en de hoogteveran-dering wordt gegeven door

dT

dy¼ 1� �

mg

k

met m de gemiddelde massa van een luchtmolecuul en k deconstante van Boltzmann. (c) Gebruik het feit dat lucht eentweeatomig gas is met een gemiddelde molecuulmassa van29, en toon aan dat dT/dy = −9,8�C/km. Deze waarde wordtde adiabatische gradiënt voor droge lucht genoemd. (d) InCalifornië dalen de de overheersende westenwinden af vaneen van de grootste hoogten (de 4000 m hoge Sierra Neva-da) tot een van de grootste diepten (Death Valley, −100 m)van het vasteland van de Verenigde Staten. Als een drogewind op de top van de Sierra Nevada een temperatuur van−5�C heeft, wat is dan de temperatuur van de wind nadat hijis afgedaald tot Death Valley?

19.10 Geleiding, convectie en straling57. (I) (a) Hoeveel vermogen wordt er uitgestraald door een bol

van wolfraam (emissiviteit ε = 0,35) met een straal van 16 cmbij een temperatuur van 25�C? (b) Als de bol is opgesloten ineen ruimte waarvan de wanden op −5�C worden gehouden,wat is dan de netto energiestroom per seconde uit de bol?

58. (I) Eén uiteinde van een 45 cm lange koperen staaf met eendiameter van 2,0 cm wordt op 460�C gehouden, en het an-dere uiteinde wordt ondergedompeld in water van 22�C.Bereken de warmtegeleiding langs de staaf.

59. (II) Hoe lang doet de zon erover om een blok ijs van 0�C meteen vlak horizontaal opervlak van 1,0 m2 en dikte 1,0 cm tesmelten? Neem aan dat de zonnestralen een hoek van 35� ma-ken met de verticaal en dat de emissiviteit van ijs 0,050 is.

60. (II) Warmtegeleiding door de huid. Stel dat 150 W aanwarmte door geleiding vanuit de haarvaten van het bloedonder de huid naar het lichaamsoppervlak van 1,5 m2

stroomt. Als het temperatuurverschil 0,50�C is, geef daneen schatting van de gemiddelde afstand van de haarvatentot het huidoppervlak.

61. (II) Een keramische (ε = 0,70) en een metalen theepot (ε =0,10) bevatten elk 0,55 l thee van 95�C. (a) Geef een schat-ting van het warmteverlies van elk, en (b) geef voor elk eenschatting van het temperatuurverlies na 30 min. Beschouwuitsluitend straling, en ga uit van een omgevingstempera-tuur van 20�C.

62. (II) Een koperen en een aluminium staaf met dezelfdelengte en dwarsdoorsnede worden bij de uiteinden aan el-kaar bevestigd (fig. 19.34). Het koperen uiteinde wordt ineen oven geplaatst die op een constante temperatuur van225�C wordt gehouden. Het aluminiumuiteinde wordt ineen ijsbad geplaatst dat op een constante temperatuur van0,0�C wordt gehouden. Bereken de temperatuur op het ver-bindingspunt van de twee staven.

63. (II) (a) Geef met behulp van de zonneconstante een schat-ting welk vermogen aan energie de aarde ontvangt van dezon. (b) Neem aan dat de aarde een gelijke hoeveelheidstraling terug de ruimte in stuurt (dat wil zeggen: de aardeis in evenwicht). Geef dan, ervan uitgaande dat de aardeeen volmaakte uitstraler is (ε = 1,0), een schatting van degemiddelde oppervlaktetemperatuur. (Hint: gebruik opper-vlakte A ¼ 4�r2E; en leg uit waarom.)

64. (II) Een gloeilamp van 100 W genereert 95 W aan warmte,die wordt gedissipeerd via een glazen bol met een straalvan 3,0 cm en een dikte van 0,50 mm. Wat is het tempera-tuurverschil tussen het binnen- en het buitenoppervlak vande bol?

65. (III) Een binnenthermostaat wordt gewoonlijk ingesteld op22�C, maar ’s nachts voor een periode van negen uur terug-gezet naar 12�C. Geef een schatting hoeveel warmte er ex-tra nodig zou zijn (uitgedrukt in een percentage van het da-gelijks verbruik) als de thermostaat ’s nachts niet zouworden teruggezet. Neem aan dat de buitentemperatuurvoor de negen nachtelijke uren gemiddeld 0�C is en voorde rest van de dag 8�C, en dat het warmteverlies van hethuis evenredig is met het verschil tussen de binnen- en bui-tentemperatuur. Om een schatting voor de gegevens te ver-krijgen, moet je andere vereenvoudigende aannames ma-ken; geef aan welke dat zijn.

66. (III) Hoe lang duurt het bij benadering voordat 9,5 kg ijsvan 0�C smelt wanneer dit in een zorgvuldig verzegeldepiepschuim vrieskist van 25 cm � 35 cm � 55 cm wordtgeplaatst, waarvan de wanden 1,5 cm dik zijn? Neem aandat het geleidingsvermogen van piepschuim het dubbele isvan dat van lucht en dat de buitentemperatuur 34� C is.

67. (III) Een cilindrische pijp heeft een inwendige straal R1 eneen uitwendige straal R2. Het inwendige van de pijp bevatheet water met temperatuur T1. De buitentemperatuur is T2(< T1). (a) Toon aan dat het warmteverlies per tijdseenheidvoor een stuk pijp met lengte L gelijk is aan

dQ

dt¼ 2�k T1 � T2ð ÞL

ln R2=R1ð Þ ;

met k de thermische conductiviteit van de pijp. (b) Stel depijp is van staal en R1 = 3,3 cm, R2 = 4,0 cm en T2 = 18�C.Als de pijp stilstaand water van T1 = 71�C bevat, wat isdan het temperatuurverlies per tijdseenheid in het begin?(c) Stel dat water van 71�C de pijp verlaat en zich ver-

y

y = 0

‘Pakketje’ of Nluchtmoleculen

FIGUUR 19.33 Vraagstuk 56.225°C T = ? 0,0°C

Koper Aluminium

FIGUUR 19.34 Vraagstuk 62.

604 Vraagstukken

plaatst met een snelheid van 8,0 cm/s. Wat is dan de tempe-ratuurdaling per afgelegde cm?

68. (III) Stel dat de isolerende eigenschappen van de muur vaneen huis voornamelijk afkomstig zijn van een laag baksteenvan 10,0 cm en een R-3,35 isolatielaag, zoals weergegevenin fig. 19.35. Wat is het totale vermogen aan warmteverliesdoor een dergelijke muur, als de totale oppervlakte 18 m2 enhet temperatuurverschil over de dikte van de wand 7�C is?

Algemene vraagstukken

69. Een blikje frisdrank kan circa 0,20 kg vloeistof van 5�C be-vatten. Het drinken van deze vloeistof kan feitelijk iets vanhet vet van het lichaam verbruiken, omdat er energie nodigis om de vloeistof op te warmen tot lichaamstemperatuur(37�C). Hoeveel kilocalorieën moet de drank bevatten op-dat deze perfect in balans is met de warmte die nodig is omde drank (in hoofdzaak water) te verwarmen?

70. (a) Bepaal het totale vermogen dat door de zon naar de ruimtewordt uitgestraald, ervan uitgaande dat de zon bij T = 5500 Keen perfecte uitstraler is. De straal van de zon is 7,0 � 108 m.(b) Bepaal hieruit het vermogen per eenheidsoppervlak datop aarde arriveert, op een afstand van 1,5 � 1011 m.

71. Geef, om een idee te krijgen hoeveel thermische energie deoceanen op de wereld bevatten, een schatting van dewarmte die vrijkomt wanneer een kubus van oceaanwatermet een ribbe van 1 km, 1 K wordt afgekoeld. (Behandelvoor deze schatting het oceaanwater als zuiver water.)

72. Een bergbeklimmer draagt een ganzendonzen jas van 3,5cm dik en met een totale oppervlakte van 0,95 m2. De tem-peratuur aan de oppervlakte van de kleding is −18�C en opde huid 34�C. Bepaal het vermogen van de warmtestroomdoor de jas (a) ervan uitgaande dat deze droog is en dat dethermische conductiviteit k die van ganzendons is, en (b)ervan uitgaande dat de jas nat is, dus k is de k van water ende jas is in elkaar gaan klitten tot een dikte van 0,50 cm.

73. Gedurende lichte activiteit kan iemand van 70 kg 200 kcal/ugenereren. Geef, ervan uitgaande dat 20 procent hiervanwordt omgezet in nuttige arbeid en de andere 80 procent inwarmte, een schatting van de temperatuurstijging van het li-chaam na 30 min, als er geen warmte wordt afgestaan aande omgeving.

74. Geef een schatting van het vermogen waarmee warmte vanhet inwendige van het lichaam geleid wordt naar het opper-vlak. Ga uit van een weefseldikte van 4,0 cm, een huidtem-peratuur van 34�C en een inwendige temperatuur van 37�C,en van een uitwendige oppervlakte van 1,5 m2. Vergelijkdit met de gemeten waarde van circa 230 W die moet wor-den gedissipeerd door iemand die lichte arbeid verricht. Dittoont duidelijk de noodzaak aan van convectieve afkoelingdoor het bloed.

75. Een marathonloopster heeft tijdens een wedstrijd een ge-middelde stofwisselingssnelheid van circa 950 kcal/u. Alsde hardloopster een massa van 55 kg heeft, geef dan eenschatting hoeveel vocht zij via verdamping op de huid ver-liest gedurende een wedstrijd van 2,2 u.

76. Een huis heeft goed geïsoleerde muren van 19,5 cm dik (gauit van geleiding van lucht) en een oppervlakte van 410m2, een houten dak van 5,5 cm dik en een oppervlakte van280 m2, en onbedekte ramen van 0,65 cm dik en een totaleoppervlakte van 33 m2. (a) Neem aan dat warmte alleenverloren gaat door geleiding en bereken het vermogen aanwarmte dat aan dit huis moet worden geleverd om de bin-nentemperatuur op 23�C te houden als de buitentempera-tuur −15�C is. (b) Als het huis aanvankelijk een tempera-tuur van 12�C heeft, geef dan een schatting hoeveel warmteer moet worden geleverd om de temperatuur binnen 30 minte laten stijgen tot 23�C. Neem aan dat uitsluitend de luchtmoet worden verwarmd en dat het volume gelijk is aan 750m3. (c) Als aardgas 0,080 per kilogram kost en de verbran-dingswarmte 5,4 � 107 J/kg bedraagt, hoe groot zijn dan demaandelijkse kosten om het huis 24 uur per dag zoals inonderdeel (a) te houden, ervan uitgaande dat 90 procentvan de geproduceerde warmte wordt gebruikt voor het ver-warmen van het huis? Neem de soortelijke warmte vanlucht gelijk aan 0,24 kcal/(kg �C).

77. Bij een doorsnee partijtje squash (fig. 19.36), slaan tweemensen een zachte rubberen bal tegen een muur totdat ze erbijna bij neervallen als gevolg van uitdroging en vermoeid-heid. Neem aan dat de bal de muur raakt met een snelheidvan 22 m/s en weerkaatst met een snelheid van 12 m/s, endat de kinetische energie die bij het proces verloren gaat,de bal opwarmt. Wat is de temperatuurstijging van de balna één weerkaatsing? De soortelijke warmte van rubber iscirca 1200 J/(kg � �C).

Baksteen(R1)

Isolatie(R2)

T2

Warmte-stroom

T1

FIGUUR 19.35Vraagstuk 68. Tweeisolatielagen van eenmuur.

FIGUUR 19.36 Vraagstuk 77.

Hoofdstuk 19 – Warmte en de eerste hoofdwet van de thermodynamica 605

78. Een fietspomp is een cilinder van 22 cm lang en 3,0 cmdoorsnee. De pomp bevat lucht van 20,0�C en 1,0 atm. Alsde uitgang onderaan de pomp geblokkeerd is en de hendelzeer snel wordt ingedrukt, waardoor de lucht tot de helftvan zijn oorspronkelijke volume wordt gecomprimeerd, hoeheet wordt dan de lucht in de pomp?

79. 250 g water wordt verwarmd in een magnetron. Op zijnmaximumstand kan de oven de temperatuur van het vloei-bare water in 1 min 45 s (= 105 s) verhitten van 20�C tot100�C. (a) Met welk vermogen voert de magnetron energietoe aan het vloeibare water? (b) Het toegevoerde vermogenvan de magnetron naar het water blijft constant. Bepaalhoeveel gram water wegkookt als de magnetron 2 min aan-staat (in plaats van slechts 1 min 45 s).

80. De temperatuur binnen de aardkorst neemt met elke 30 mdiepte circa 1,0�C toe. De thermische conductiviteit van deaardkorst is 0,80 W/(m � �C). (a) Bepaal voor de geheleaarde de hoeveelheid warmte die in 1,0 u wordt overgedra-gen van het inwendige naar het oppervlak. (b) Vergelijkdeze warmte met de hoeveelheid energie die de aarde bin-nenkrijgt als gevolg van de straling van de zon.

81. Op een meer vormt zich een ijslaag. De temperatuur van delucht boven de laag is −18�C, die van het water 0�C. Neemaan dat de smeltwarmte van het water dat aan de onderkantvan de laag bevriest, door de laag naar de lucht erboven wordtgeleid. Hoe lang duurt het om een laag ijs van 15 cm dik tevormen?

82. Bij het ingaan van de dampkring smelt een ijzeren metero-riet. Als de begintemperatuur buiten de dampkring −105�Cwas, bereken dan de minimale snelheid die de meteorietmoet hebben gehad alvorens de dampkring binnen te gaan.

83. Een diepzeeduiker laat vanaf een diepte van 14,0 m eenluchtbel met een diameter van 3,60 cm gaan. Neem aan datde temperatuur constant 298 K is, en dat de lucht zich ge-draagt als een ideaal gas. (a) Hoe groot is de bel wanneerdeze aan de oppervlakte komt? (b) Schets een PV-diagramvan het proces. (c) Pas de eerste hoofdwet van de thermo-dynamica toe op de bel, en bepaal de arbeid die de luchtverricht om de bel naar de oppervlakte te brengen, de ver-andering in zijn inwendige energie, en de toe- of afge-voerde warmte van de lucht in de bel bij het opstijgen.Neem de dichtheid van water gelijk aan 1000 kg/m3.

84. Een zuigercompressor is een apparaat dat lucht comprimeertdoor een heen-en-weerbeweging in één rechte lijn, zoals eenzuiger in een cilinder. Beschouw een zuigercompressor diewerkt op 150 omw/min. Tijdens een compressieslag wordt1,00 mol aan lucht gecomprimeerd. De begintemperatuurvan de lucht is 390 K, de motor van de compressor leverteen vermogen van 7,5 kW om de lucht te comprimeren, ener wordt warmte afgevoerd met een vermogen van 1,5 kW.Bereken de temperatuurverandering per compressieslag.

85. Bij een kamertemperatuur van 18�C is de temperatuur vanhet glasoppervlak van een gloeilamp van 75 W 75�C. Maak

een schatting van de oppervlaktemperatuur van een gloei-lamp van 150 W met een glazen bol van dezelfde afmeting.Beschouw alleen straling, en ga ervan uit dat 90 procentvan de energie wordt uitgezonden in de vorm van warmte.

86. Stel dat 3,0 mol neon (een ideaal eenatomig gas) bij STPlangzaam en isotherm wordt gecomprimeerd tot 0,22 maalhet oorspronkelijke volume. Vervolgens laat men het gassnel en adiabatisch expanderen tot het oorspronkelijke vo-lume. Bepaal de hoogste en laagste temperaturen en druk-ken die door het gas worden bereikt, en laat in een PV-dia-gram zien waar deze waarden voorkomen.

87. Bij zeer lage temperaturen is de molaire soortelijke warmtevan veel stoffen evenredig met de derde macht van de abso-lute temperatuur: C ¼ k T 3

T 30; hetgeen soms ook wel de wet

van Debye wordt genoemd. Voor bergzout is T0 = 281 Ken k = 1940 J/(mol �K). Bepaal de warmte die nodig is om2,75 mol zout te verwarmen van 22,0 K tot 48,0 K.

88. Een dieselmotor kan starten zonder een ontstekingsplugdoor adiabatische compressie van lucht tot een temperatuurboven de ontbrandingstemperatuur van de dieselvloeistof,die bij de maximale compressie wordt geïnjecteerd in een ci-linder. Neem aan dat de lucht bij 280 K en volume V1 in decilinder gaat en adiabatisch wordt gecomprimeerd tot 560�Cen volume V2. Aangenomen dat de lucht zich gedraagt alseen ideaal gas waarvan de verhouding CP tot CV gelijk isaan 1,4, bereken dan de compressieverhouding V1/V2 van demotor.

89. Wanneer 6,30 � 105 J aan warmte wordt toegevoerd aan eengas in een cilinder, afgesloten door een lichte wrijvingslozezuiger, waardoor het gas op atmosferische druk blijft, blijkthet volume toe te nemen van 2,2 m3 tot 4,1 m3. Bereken(a) de arbeid die door het gas wordt uitgevoerd en (b) deverandering in de inwendige energie van het gas. (c) Geefdit proces weer in een PV-diagram.

90. In een koude omgeving kan iemand warmte verliezen doorgeleiding en straling, met een vermogen van circa 200 W.Geef een schatting hoe lang het duurt voor de lichaamstem-peratuur daalt van 36,6�C tot 35,6�C als de stofwisselingtijdens dit proces bijna tot stilstand komt. Ga uit van eenmassa van 70 kg. (Zie tabel 19.1.)

*Numeriek/computer*91. (II) Stel dat 1,0 mol stoom van 100�C met een volume van

0,50 m3 isotherm uitzet tot een volume van 1,00 m3. Neemaan dat stoom voldoet aan de Van der Waals-vergelijking(P + n2a/V2)(V/n − b)= RT, vgl. 18.9, met a = 0,55 N �m4/mol2 en b = 3,0 � 10−5 m3/mol. Bepaal met behulp van hetverband dW = P dV numeriek de totale verrichte arbeid W.Je resultaat mag niet meer dan 2 procent afwijken van hetresultaat dat wordt verkregen door integratie van de uit-drukking voor dW.

Antwoorden op de opgaven

A: (b).B: (c).C: 0,21 kg.D: 700 J.

E: Minder.F: −6,8 � 103 J.G: (d).

606 Antwoorden op de opgaven