Homoloǵıa Simplicial

2018-2019

Versión 1.0

Departamento de Geometŕıa y Topoloǵıa, Universidad de Sevilla

Índice general

Caṕıtulo 1. Repaso de Álgebra Lineal. 11.1. Definición de Espacio Vectorial. 11.2. Dependencia lineal, sistemas generadores, bases y finitud. 11.3. Dimensión 11.4. Coordenadas. 21.5. Aplicaciones lineales. 21.6. Referencias. 3

Caṕıtulo 2. Rudimentos de Álgebra Homológica 42.1. Sucesiones exactas 42.2. Complejos de cadenas y homoloǵıa 52.3. Complejos de cocadenas y cohomoloǵıa 9

Caṕıtulo 3. Complejos simpliciales 123.1. Śımplices y complejos simpliciales finitos 123.2. Subdivisiones: la subdivisión baricéntrica 153.3. Subdivisión baricéntrica 173.4. La topoloǵıa del poliedro |K|. 203.5. Aplicaciones simpliciales. Aproximación simplicial 22

Caṕıtulo 4. Complejos abstractos 254.1. Complejos abstractos 25

Caṕıtulo 5. Homoloǵıa simplicial 295.1. Homoloǵıa simplicial orientada 295.2. Seudovariedades y orientación 365.3. Algunos cálculos 38

Caṕıtulo 6. La invariancia homotópica de la homoloǵıa simplicial 406.1. Homoloǵıa simplicial y subdivisiones baricéntricas 406.2. Invariancia homotópica de la homoloǵıa simplicial 416.3. Homoloǵıa local. Algunos teoremas de invariancia. 426.4. Grado de aplicaciones entre seudovariedades 43

Caṕıtulo 7. Aplicaciones de la homoloǵıa: Teorema del punto fijo de Brouwery grado de aplicaciones entre esferas 45

7.1. Homoloǵıa de las esferas. El teorema del punto fijo de Brouwer. 45

Caṕıtulo 8. Aplicaciones de la homoloǵıa: Teorema del punto fijo deLefschetz-Hopf y teorema de Borsuk-Ulam 49

8.1. Traza de un endomorfismo. Teorema de Hopf 49

iii

Índice general iv

8.2. Teorema de Lefschetz-Hopf y teorema de Borsuk-Ulam 51

Caṕıtulo 9. Cohomoloǵıa simplicial 559.1. Complejos de cocadenas y cohomoloǵıa 559.2. Cohomoloǵıa simplicial 579.3. Orientación y cohomoloǵıa 599.4. Los productos ’cap’ y ’cup’ 60

Apéndice A. Repaso de Topoloǵıa General 66

Apéndice B. Teoŕıa de Homotoṕıa básica 70

Apéndice C. Aplicaciones simpliciales contiguas y homoloǵıa 73

Apéndice D. Traza de un endomorfismo. Terorema de Hopf 75

Apéndice E. Nociones básicas de Álgebra Conmutativa 80

Apéndice F. Homoloǵıa simplicial con coeficientes en un anillo d.i.p. R 84

Apéndice G. La computabilidad de la homoloǵıa simplicial 85

Apéndice H. Equivalencias de la (co)homoloǵıa simplicial orientada yordenada 88

Apéndice I. Relación: Ejercicios de Cohomoloǵıa 93

Caṕıtulo 1

Repaso de Álgebra Lineal.

AlgBasica1.1. Definición de Espacio Vectorial.

Un espacio vectorial V es un conjunto, cuyos elementos llamaremos vectores,dotados de una operación interna + : V × V → V , llamada suma, y una operaciónexterna · : K × V → V , llamado producto escalar, respecto a un conjunto K,llamado conjunto de escalares, tal que

i) (V,+) es grupo abeliano;ii) K es un cuerpo;iii) El producto escalar y la suma de vectores verifican:

a) (α + β)v = αv = βvb) α(v + w) = αv + βwc) α(βv) = (αβ)v.d) 1v = v

1.2. Dependencia lineal, sistemas generadores, bases y finitud.

Dados {v1, . . . , vr} ⊂ V diremos que w depende linealmente de {v1, . . . , vr}si existen α1, . . . , αr ∈ K tales que w =

∑ri=1 αivi.

Un conjunto S = {v1, . . . , vr} ⊂ V se dice linealmente independiente, olibre, si ninguno de ellos depende linealmente de los demás.

Equivalentemente la única forma de obtener el vector nulo es mediantela combinación lineal nula de escalares.Un conjunto S = {v1, . . . , vr} ⊂ V se dirá sistema generador de V si todovector v ∈ V depende linealmente de S.Un espacio vectorial se dirá de tipo finito si está generado por un conjuntofinito.Si V es de tipo finito, entonces un conjunto de vectores S ⊂ V se dirá basesi es sistema generador y es linealmente independiente.Si V 6= 0 es un espacio vectorial de tipo finito, entonces dado cualquiersistema finito de generadores G ⊂ V , existe una base B de V formada porvectores de G.

1.3. Dimensión

Si V es un espacio vectorial G = {u1, . . . , un} es un sistema generadory S = {v1, . . . , vm} es un conjunto linealmente independiente, entoncesn ≤ m.Si V es un espacio vectorial de tipo finito, entonces todas las bases de Vtienen el mismo número de elementos. Este número se le llama dimensiónde V .

1

1.5. APLICACIONES LINEALES. 2

Si V es un espacio vectorial de tipo finito, entonces todo sistema linealmenteindependiente puede completarse hasta obtener una base.Si V es un espacio vectorial de dimensión finita, y L una variedad lineal deV , entonces L también tiene dimension finita, y dimL ≤ dimV . Además,la igualdad sólo se da si L = V .Si L1, L2 son variedades lineales de un espacio vectorial V , entonces

L1 + L2 = {v1 = v2/v1 ∈ L1, v2 ∈ L2}

es variedad lineal de V .Es más, es la más pequeña conteniendo L1 ∪ L2 y se verifica que

dim(L1 + L2) = dim(L1) + dim(L2)− dim(L1 ∩ L2)

Si L1 ∩ L2 = {0}, entonces escribimos L1 + L2 como L1 ⊕ L2.Si L es variedad lineal de V , entonces v1 ∼ v2 si y sólo si v2 − v1 ∈ L esuna relación de equivalencia sobre V .

Es más, el espacio cociente V/ ∼= V/L es espacio vecctorial y la apli-cación cociente π : V → V/L es aplicación lineal.

Si además V es de dimensión finita, entoncesV/L es de dimensión finitay se verifica

dim(V/L) = dim(V )− dim(L)

1.4. Coordenadas.

Si V es un espacio vectorial con base B = {u1, . . . , un} entonces cualquierw ∈ V se escribe de forma única como w = α1u1 + · · ·+αnun con αi ∈ K.

Aśı podemos indentificar w con la n-upla (α1, . . . , αr), que llamaremoscoordenadas de w con respecto a la base B. De hecho, V es isomorfo a Kn.Si B′{v1, . . . , vn} es otra base de V , entonces w ∈ V tiene dos coordenadas:unas respecto a B y otras respecto a B′. Es fácil ver que el cambio decoordenadas viene expresado por una matriz AB′,B ∈Mn×n(K).Sea V un espacio vectorial de dimensión n, y sea B una base de V . Dado unsistema B′ de n vectores, sea AB′,B ∈Mn×n(K) la matriz cuyas columnascontienen las coordenadas de los vectores de B′ respecto a B.

Entonces B′ es una base si y solo si A es no singular.

1.5. Aplicaciones lineales.

Una aplicación lineal, u homomorfismo, f : V → V ′ entre espacios vecto-riales sobre el mismo cuepo K es una aplicación que verifica: f(αv +w) =αf(u) + f(w).

Ésta induce dos subespacios vectoriales:

kef = {v ∈ V/f(v) = 0} ⊆ V y Im f = {f(v) v ∈ V } ⊆ V ′

.Una aplicación f : V → V ′ es inyectiva si y soólo si ker f = {0}, essobreyectiva si y sólo si Im f = V ′ e isomorfismo si y sólo si es inyectiva ysobreyectiva.Las aplicaciones lineales ker f → V y Im f → V ′, inducidas por lasinclusiones, son inyectivas y definen espacios vectoriales cocientes V/ker fy coker f = V ′/Im f .

1.6. REFERENCIAS. 3

Es más, la aplicación f : V → V ′ induce una aplicación lineal f :V/ker f → Im f que es isomorfismo. Aśı tenemos el siguiente diagramaconmutativo:

0→ ker f → V V ′ → coker f → 0ց ր

V/ker f ∼= Im f

que se conoce como sucesión ker−coker. Nótese que dim(V ) = dimker( f)+dim(Im f) y dim(V ′) = dim(Im f) + dim(coker f).

1.6. Referencias.

Todo esto, más y mejor explicado se puede encontrar enhttp:/personal.us.es/meneses/algebra_lineal_08_09.pdf.

http:/personal.us.es/meneses/algebra_lineal_08_09.pdf

Caṕıtulo 2

Rudimentos de Álgebra Homológica

AlgHom

El uso sistemático del Álgebra en Topoloǵıa fue impulsado por E. Noether(1882-1935) quien influyó decisivamente en P.S. Alexandroff (1896-1982) y H. Hopf(1894-1971) en cuyo libro se introduce por primera vez la homoloǵıa a partir de uncomplejo de cadenas.

En este caṕıtulo auxiliar se repasan las nociones básicas de Álgebra Homológi-ca que necesitemos. Trabajaremos con espacios vectoriales no necesariamente dedimensión finita con coeficientes en un cuerpo F.

2.1. Sucesiones exactas

Definición 2.1.1. Un diagrama de homomorfismos entre F-espacios vectorialesde la forma

· · · →Mi−1fi−1−→Mi

fi−→Mi+1 → · · ·

se dice sucesión exacta si Im(fi−1) = ker(fi) para todo i ∈ Z.

El siguiente lema es inmediato

Lema 2.1.2. Se verifica:

(a) 0→M1f1→M2 es exacta si y sólo si f1 es inyectiva.

(b) M1f1→M2 → 0 es exacta si y sólo si f1 es sobreyectiva.

(c) 0 → M1f1→ M2

f2→ M3 → 0 es exacta si y sólo si f1 es inyectiva, f2 es

sobreyectiva y f2 induce un isomorfismo de Coker(f1) sobre M3.

Definición 2.1.3. Una sucesión exacta del tipo del apartado (c) del lemaprecedente se denomina sucesión exacta corta.

b6 Proposición 2.1.4. Si 0→ V1 →f V2 →

g V3 → 0 es una sucesión exacta cortaentre F-espacios vectoriales entonces V2 ∼= V1 ⊕ V3.

Demostración. �

b7 Proposición 2.1.5. (Lema de los cinco) Sea el diagrama conmutativo

✲ ✲ ✲ ✲

✲ ✲ ✲ ✲

❄ ❄ ❄ ❄ ❄N1 N2 N3 N4 N5

M1 M2 M3 M4 M5θ1 θ2 θ3 θ4

ψ1 ψ2 ψ3 ψ4 ψ5

φ1 φ2 φ3 φ4

donde las filas son exactas, ψ2 y ψ4 son isomorfismos, ψ1 es sobreyectiva y ψ5inyectiva. Entonces, ψ3 es isomorfismo.

4

2.2. COMPLEJOS DE CADENAS Y HOMOLOGÍA 5

Demostración. Veamos que ψ3 es inyectiva. Sea x ∈ M3 con ψ3(x) = 0.Entonces, ψ4θ3(x) = φ3ψ3(x) = 0, de donde θ3(x) = 0, por ser ψ4 inyectiva. Porexactitud, existe y ∈M2 con θ2(y) = x, siendo φ2ψ2(y) = ψ3θ2(y) = ψ3(x) = 0, porlo que existe z ∈ N1 con φ1(z) = ψ2(y). Como ψ1 es sobreyectiva, existe w ∈ M1con ψ1(w) = z. Pero ψ2θ1(w) = φ1ψ1(w) = φ1(z) = ψ2(y), de donde θ1(w) = y, porser ψ2 inyectiva. Finalmente, se tiene que x = θ2(y) = θ2θ1(w) = 0 por exactitud.

Probemos ahora que ψ3 es sobreyectiva. Dado x ∈ N3, como ψ4 es sobreyectiva,existe p ∈ M4 con ψ4(p) = φ3(x). Aśı, ψ5θ4(p) = φ4ψ4(p) = φ4φ3(x) = 0 porexactitud. Como ψ5 es inyectiva, θ4(p) = 0 y existe un r ∈ M3 con θ3(r) = p,por exactitud. Ahora, tenemos φ3ψ3(r) = ψ4θ3(r) = ψ4(p) = φ3(x), de dondeψ3(r) − x ∈ ker(φ3) = Im(φ2). Entonces, existe un s ∈ N2 con φ2(s) = ψ3(r) − x.Como ψ2 es sobreyectiva, existe un t ∈M2 con ψ2(t) = s. Finalmente, se tiene que

ψ3(r − θ2(t)) = ψ3(r)− φ2ψ2(t) = ψ3(r) − φ2(s) = ψ3(r) − (ψ3(r)− x) = x.

�

Nota 2.1.6. Nótese que para demostrar que ψ3 es inyectiva se usa que ψ1 essobreyectiva y que ψ2 y ψ4 son inyectivas; y para la demostración de la sobreyecti-vidad de ψ3 se utiliza que ψ5 es inyectiva y que ψ4 y ψ2 son sobreyectivas.

Corolario 2.1.7. Si en el diagrama anterior cada ψi, i 6= 3, es un isomorfis-mo, entonces ψ3 es también un isomorfismo.

2.2. Complejos de cadenas y homoloǵıa

c1 Definición 2.2.1. Un complejo de cadenas C es un diagrama del tipo

· · · → Cn+1∂n+1−→ Cn

∂n−→ Cn−1 → · · · (n ∈ Z)

donde cada Cn es un F-espacio vectorial y ∂n∂n+1 = 0. Los homomorfismos ∂n sedenominan operadores borde.

Se denominan n-ciclos a los elementos x ∈ Zn(C) = ker ∂n y n-bordes a los ele-mentos de Bn(C) = Im∂n+1. Nótese queBn(C) ⊆ Zn(C). Se define entonces el n-ési-mo F-espacio vectorial de homoloǵıa de C como el cociente Hn(C) = Zn(C)/Bn(C).La clase de homoloǵıa de un ciclo z se denota por [z].

Definición 2.2.2. Si C y C′ son complejos de cadenas, la suma directa C ⊕ C′

es el complejo de cadenas definido por los operadores borde ∂n ⊕ ∂′n : Cn ⊕ C

′n →

Cn−1 ⊕ C′n−1.

c3 Definición 2.2.3. Dados dos complejos de cadenas C1 = {C1n, ∂1n} y C

2 ={C2n, ∂

2n}, un homomorfismo de complejos de cadenas f : C

1 → C2 es una familia dehomomorfismos f = {fn : C1n → C

2n} verificando que, para cada n, el diagrama

✲

✲

❄ ❄C2n C

2n−1

C1n C1n−1

fn fn−1

∂1n

∂2n

2.2. COMPLEJOS DE CADENAS Y HOMOLOGÍA 6

es conmutativo. La conmutatividad del diagrama anterior implica, en particular,que fn(Zn(C1)) ⊆ Zn(C2) y fn(Bn(C1)) ⊆ Bn(C2). Por tanto, f induce homomorfis-mos f∗ : Hn(C1)→ Hn(C2), donde f∗([z]) = [fn(z)]. A f∗ se le llama homomorfismoinducido por f .

Una simple comprobación, aplicando la definición, nos da

Proposición 2.2.4. Se verifica: (a) id∗ = Id; y (b) (g ◦ f)∗ = g∗ ◦ f∗.

c5 Definición 2.2.5. Una sucesión de complejos 0→ C1f→ C2

g→ C3 → 0 se dice

exacta cuando, para todo entero n, se verifica que la sucesión 0 → C1nfn→ C2n

gn→

C3n → 0 es exacta.

c6 Proposición 2.2.6. Dada una sucesión exacta como la de la definición ante-

rior, se tiene que la sucesión Hn(C1)f∗→ Hn(C2)

g∗→ Hn(C3) es exacta.

Demostración. Puesto que g ◦f = 0, g∗ ◦f∗ = (g ◦f)∗ = 0∗ = 0 y, por tanto,se tiene la inclusión Im(f∗) ⊆ ker(g∗). Veamos la otra inclusión.

Sea [z2] ∈ Hn(C2) de modo que g∗([z2]) = [gn(z2)] = 0; por definición de n-borde, existe un x3 ∈ C3n+1 con ∂

3n+1x3 = gn(z2). Por exactitud, existe x2 ∈ C

2n+1

con gn+1(x2) = x3. Entonces, gn(z2 − ∂2n+1x2) = gn(z2) − ∂3n+1x3 = 0 y, por

exactitud, existe un z1 ∈ C1n con fn(z1) = z2 − ∂2n+1(x2). Además,

fn−1∂1nz1 = ∂

2nfn(z1) = ∂

2n(z2 − ∂

2n+1x2) = 0,

de donde ∂1nz1 = 0, por ser fn−1 inyectiva. Aśı, z1 es un ciclo y f∗[z1] = [z2 −∂2n+1x2] = [z2]. �

c7 Proposición 2.2.7. Dada una sucesión exacta de complejos como enc52.2.5,

existe un homomorfismo ∂∗ : Hn(C3)→ Hn−1(C1) tal que la sucesión larga

· · · → Hn(C1)

f∗→ Hn(C

2)g∗→ Hn(C

3)∂∗→ Hn−1(C

1)→ · · ·

es exacta. Esta sucesión es llamada sucesión exacta larga de homoloǵıa.

Demostración. Definamos el homomorfismo ∂∗. Sea [z3] ∈ Hn(C3). Por exac-titud, existe un x2 ∈ C2n con gn(x2) = z3. Tenemos que gn−1∂

2nx2 = ∂

3ngn(x2) =

∂3nz3 = 0, luego existe un único y1 ∈ C1n−1 con fn−1(y1) = ∂

2n(x2). Observamos

que fn−2∂1n−1y1 = ∂

2n−1fn−1(y1) = ∂

2n−1∂

2nx2 = 0, y como fn−2 es inyectiva, ha

de ser ∂1n−1y1 = 0, de donde y1 es un ciclo y se puede considerar [y1] ∈ Hn−1(C1).

Definimos entonces ∂∗([z3]) = [y1].Veamos que [y1] no depende de las elecciones tomadas anteriormente. En efecto,

si x̄2 ∈ C2n verifica que gn(x̄2) = z̄3 para cierto z̄3 con [z̄3] = [z3], tenemos que existe

un w3 ∈ C3n+1 de modo que z̄3 = z3 + ∂3n+1w3. Aśı, gn(x̄2) = z3 + ∂

3n+1w3.

Ahora, como gn−1(∂2nx̄2) = ∂

3ngn(x̄2) = ∂

3n(z3 + ∂

3n+1w3) = 0, existe un único

ȳ1 con fn−1(ȳ1) = ∂2nx̄2. Tenemos que gn(x̄2 − x2) = ∂

3n+1w3 y para w3 existe y2 ∈

C2n+1 con gn+1(y2) = w3. Aśı, gn(x̄2−x2−∂2n+1y2) = ∂

3n+1(w3)−∂

3n+1gn+1(y2) = 0.

Aśı, existe un único elemento a1 ∈ C1n con fn(a1) = x̄2−x2−∂2n+1(y2). Enton-

ces, fn−1(ȳ1−y1) = ∂2n(x̄2−x2) = ∂2n(fn(a1)−∂

2n+1(y2)) = ∂

2nfn(a1) = fn−1(∂

1na1).

Como fn−1 es inyectiva, ha de ser ȳ1 − y1 = ∂1na1 y, aśı, [ȳ1] = [y1].Definimos entonces ∂∗[z3] = [y1]. Nótese que ∂∗ es homomorfismo, pues dado

λ[z13 ] + µ[z23 ] podemos elegir el x2 asociado a λz

13 + µz

23 como λx

12 + µx

22, donde x

i2

está asociado a zi3, i = 1, 2, y λ, µ ∈ R.

2.2. COMPLEJOS DE CADENAS Y HOMOLOGÍA 7

Estamos en condiciones de probar la exactitud de la sucesión; para ello, teniendoen cuenta la proposición anterior, basta probar las siguientes inclusiones.(i) Im(∂∗) ⊆ ker(f∗). Dado ∂∗[z3] = [y1], sabemos que fn−1(y1) = ∂2nx2. Entonces,f∗([y1]) = [fn−1(y1)] = [∂

2nx2] = 0.

(ii) ker(f∗) ⊆ Im(∂∗). Sea f∗([y1]) = 0. Entonces, existe x2 ∈ C2n con fn−1(y1) =

∂2nx2. Como ∂3ngn(x2) = gn−1∂

2n(x2) = gn−1fn−1(y1) = 0 por exactitud, tenemos

que z3 = gn(x2) es un ciclo y ∂∗[z3] = [y1].(iii) Im(g∗) ⊆ ker(∂∗). Tenemos que ∂∗g∗([x2]) = ∂∗[gn(x2)] = [y1] = 0, pues y1verifica que fn−1(y1) = ∂

2nx2 = 0 y el ser fn−1 inyectiva implica que y1 = 0.

(iv) ker(∂∗) ⊆ Im(g∗). Sea [z3] con ∂∗[z3] = [y1] = 0. Entonces, fn−1(y1) = ∂2nx2,gn(x2) = z3 y existe w1 ∈ C1n con ∂

1nw1 = y1. Aśı, fn−1(y1) = fn−1(∂

1nw1) =

∂2nfn(w1) = ∂2nx2. Luego ∂

2n(x2 − fn(w1)) = 0 y x2 − fn(w1) es un ciclo; además,

g∗([x2−fn(w1)]) = [gn(x2)−gnfn(w1)] = [z3], pues gnfn(w1) = 0 por exactitud. �

Definición 2.2.8. Sea C = {Cn, ∂n} un complejo de cadenas. Sea, para cadaentero n, C′n ⊆ Cn un subespacio vectorial tal que ∂n(C

′n) ⊆ C

′n−1. Entonces, a la

familia C′ = {C′n, ∂n|C′n} se le denomina subcomplejo de C.

c439 Definición 2.2.9. Sea C un complejo de cadenas y C1 y C2 dos subcomplejos

suyos. Consideramos la sucesión exacta 0 → C1 ∩ C2i→ C1 ⊕ C2

j→ C, donde

in(x) = (x,−x) y jn(x, y) = x + y. Entonces, de la sucesión anterior se obtiene lasucesión exacta corta de complejos

0→ C1 ∩ C2i→ C1 ⊕ C2

j→ Imj → 0

donde Imj es el subcomplejo de C formado por las imágenes Imjn, y la sucesiónexacta larga de homoloǵıa asociada a ésta última,

· · · → Hn(C1 ∩ C2)→ Hn(C

1 ⊕ C2)→ Hn(Imj)∆→ Hn−1(C

1 ∩ C2)→ · · ·

se denomina sucesión de Mayer-Vietoris del triple (C; C1, C2). Nótese que Im(j) esel subcomplejo de C, C1+C2, engendrado por C1 y C2. Además se tiene el isomorfismonatural Hn(C1)⊕Hn(C2) ∼= Hn(C1 ⊕ C2).

Definición 2.2.10. Un complejo de F-espacios vectoriales {Cn, ∂n} se dicepositivo cuando Cn = 0 para todo entero n < 0.

Definición 2.2.11. Dado un complejo positivo C = {Cn, ∂n}, se denominaaumento de C a un homomorfismo sobreyectivo ε : C0 → F de modo que ε ◦ ∂1 = 0.

Nótese que, de esta manera, si ∂̃n = ∂n para n ≥ 1 y ∂̃0 = ε entonces C̃ ={C̃n; ∂̃n} donde C̃n = Cn si n ≥ 0, C̃−1 = R y C̃n = 0 si n < −1 es un complejo decadenas, llamado el complejo aumentado de C.

La homoloǵıa H̃n(C) = Hn(C̃) se denomina homoloǵıa reducida de C. Nótese queHn(C) = Hn(C̃) cuando n ≥ 1 y H−1(C̃) = 0. Un homomorfismo entre complejos

aumentados es un homomorfismo de complejos de cadenas f : {C̃1n; ∂̃1n} → {C̃

2n; ∂̃

2n}

con f−1 = Id.

c12 Nota 2.2.12. (a) Dada la sucesión exacta corta de complejos de cadenas posi-

tivos 0→ C1f→ C2

g→ C3 → 0 y aumentos ε1 y ε2 tales que ε2f0 = ε1, construimos

la sucesión exacta obvia 0→ C̃1f̃→ C̃2

g̃→ C3 → 0. La sucesión exacta larga asociada

· · · → H̃n(C1)→ H̃n(C

2)→ Hn(C3)→ H̃n−1(C

1) · · ·

2.2. COMPLEJOS DE CADENAS Y HOMOLOGÍA 8

se denomina sucesión exacta larga de homoloǵıa reducida.(b) Dados dos subcomplejos C1, C2 ⊆ C del complejo de cadenas positivo C y

un aumento ε : C0 → F tal que ε|C10∩C20 es un aumento, podemos considerar los

correspondientes complejos aumentados C̃, C̃1, C̃2 y C̃1 ∩ C2. Entonces de la sucesiónexacta

0→ C1 ∩ C2i→ C1 ⊕ C2

j→ C

se obtiene la sucesión exacta corta

0→ C̃1 ∩ C2ĩ→ C̃1 ⊕ C̃2

j̃→ Ĩmj → 0,

que en el lugar −1 es 0→ F→ F⊕ F→ R→ 0 con los homomorfismos obvios. Seobtiene aśı una sucesión exacta larga

· · · → H̃n(C1 ∩ C2)→ H̃n(C

1)⊕ H̃n(C2)→ H̃n(Imj)

∆→ H̃n−1(C

1 ∩ C2)→ · · ·

denominada sucesión de Mayer-Vietoris reducida del triple (C; C1, C2).

Definición 2.2.13. Dos homomorfismos de complejos de cadenas f, g : C1 →C2, son homotópicos, y se nota por f ≃ g, cuando existe una familia de ho-momorfismos {hn : C1n → C

2n+1}, llamada homotoṕıa, de modo que fn − gn =

∂2n+1hn + hn−1∂1n para todo n ∈ Z.

· · · C2n C2n−1 · · ·✲C

2n+1

✲ ✲✲

C1n C1n−1 · · ·✲ ✲· · · ✲

∂2n+1 ∂2n

∂1n

❄❄ ❄❄

gn fn gn−1 fn−1

✠✠

hnhn−1

Lema 2.2.14. La relación de ser homotópicos es una relación de equivalencia.

Demostración. En efecto, la familia H = {hn} con hn = 0 para todo nhace que f ≃ f . Además si f ≃ g por medio de H = {hn}, entonces g ≃ f pormedio de {−hn}. Finalmente sean f ≃ g y g ≃ k por medio de H = {hn} y {jn},respectivamente. Entonces, f ≃ k por medio de {hn + jn}. �

c15 Lema 2.2.15. Sean f, g : C2 → C3, k : C3 → C4 y l : C1 → C2. Entonces, sif ≃ g, se verifica que k ◦ f ≃ k ◦ g y f ◦ l ≃ g ◦ l.

Demostración. Sea {hn} una homotoṕıa entre f y g. Entonces, la familia{kn+1 ◦hn} es una homotoṕıa entre k◦f y k◦g, ya que knfn−kngn = kn(hn−1∂2n+∂3n−1hn) = knhn−1∂

2n+ ∂

4n+1kn+1hn. De forma análoga se demuestra que la familia

{hn ◦ ln} define una homotoṕıa para f ◦ l y g ◦ l. �

Corolario 2.2.16. Sean f, g : C1 → C2 y k, s : C2 → C3 tales que f ≃ g yk ≃ s. Entonces, k ◦ f ≃ s ◦ g.

Demostración. Según el lema anterior, k ◦ f ≃ k ◦ g ≃ s ◦ g, de donde sesigue el resultado, por transitividad. �

2.3. COMPLEJOS DE COCADENAS Y COHOMOLOGÍA 9

Definición 2.2.17. El homomorfismo de complejos de cadenas f : C1 → C2 sedice una equivalencia de homotoṕıa cuando existe g : C2 → C1 con f ◦ g ≃ IdC2 yg ◦ f ≃ IdC1 . En tal caso, se dice que C

1 y C2 son homotópicamente equivalentes, yg una inversa homotópica de f .

Proposición 2.2.18. Si f, g : C1 → C2 son homotópicas, entonces f∗ = g∗,siendo f∗ = g∗ : Hn(C1)→ Hn(C2).

Demostración. Sea {hn : C1n → C2n+1} una homotoṕıa entre f y g. Entonces,

si x ∈ Zn(C1), tenemos que

fn(x) − gn(x) = hn−1∂1nx+ ∂

2n+1hn(x) = ∂

2n+1hn(x).

Luego f∗([x]) = [fn(x)] = [gn(x)] = g∗([x]). �

Corolario 2.2.19. Si f : C1 → C2 es una equivalencia de homotoṕıa, entoncesf∗ : Hn(C1)→ Hn(C2) es un isomorfismo para todo entero n.

Demostración. Sea g : C2 → C1 una inversa homotópica de f . Entonces, porla proposición anterior, g∗ ◦ f∗ = (g ◦ f)∗ = (IdC1)∗ = Id y f∗ ◦ g∗ = (f ◦ g)∗ =(IdC2)∗ = Id, siendo aśı g∗ y f∗ isomorfismos. �

Proposición 2.2.20. Sea C un complejo con Hn(C) = 0 para todo n ≥ 0.Entonces, IdC ≃ 0 si y sólo si Zn(C) es sumando directo de Cn para todo entero n.

Demostración. Supongamos que {hn : Cn → Cn+1} es una homotoṕıa entreIdC y 0; entonces, Id = hn−1∂n+∂n+1hn. Puesto que ∂n(Bn(C)) = 0 por ∂n◦∂n+1 =0, tenemos que ∂n+1hn|Bn(C) = idBn(C). Por tanto,

0→ Zn+1(C)→ Cn+1∂n+1−→ Bn(C)→ 0

es escindible, luego Zn+1(C) es sumando directo. Rećıprocamente, si Cn = Zn(C)⊕

Nn, entonces Nn ∼= Bn−1(C). Sea tn = ∂̃−1n , donde ∂̃n es el isomorfismo inducidopor ∂n.

Por otro lado, Bn(C) = Zn(C), pues Hn(C) = 0 para todo entero n. Aśı, Cn =Bn(C) ⊕ tnBn−1(C). Definimos hn : Cn → Cn+1 como hn|Bn(C) = tn+1, con tn+1 :Bn(C)→ Cn+1, siendo hn|tnBn−1(C) = 0. Entonces, dado x ∈ Cn, x = bn+ tn(bn−1)y ∂nbn = 0, luego

hn−1∂n(x) + ∂n+1hn(x) = hn−1∂n(bn) + hn−1∂ntn(bn−1) + ∂n+1tn+1(bn) =

= tn∂ntn(bn−1) + bn = tn(bn−1) + bn = x.

Aśı, {hn} nos da una homotoṕıa entre IdC y 0. �

2.3. Complejos de cocadenas y cohomoloǵıa

En la definición de complejo de cadenas se dió un orden decreciente a los ı́ndices.Obviamente podemos dar una definición análoga sin más que invertir el sentido delas flechas en la definición

c12.2.1. Tenemos aśı

coho1 Definición 2.3.1. Un complejo de cocadenas C es un diagrama del tipo

· · · −→ Cn−1δn

−→ Cnδn+1

−→ Cn+1 −→ · · ·

donde cada Cn es un F-espacio vectorial y δn+1δn = 0. Los homomorfismos sellaman operadores coborde. Más aún, a los elementos de ker δn+1 = Zn(C) se lellaman n−cociclos y a los de Bn(C) = Imδn n−cobordes. Al cociente Hn(C) =Zn(C)/Bn(C) se le llama n−ésimo espacio vectorial de cohomoloǵıa de C.

2.3. COMPLEJOS DE COCADENAS Y COHOMOLOGÍA 10

d2 Ejemplo 2.3.2. Todo complejo de cadenas de F-espacios vectoriales C = {· · · →

Cn∂n→ Cn−1 → · · · } tiene asociado un complejo de cocadenas C∗ = {· · · →

C∗nδn+1

→ C∗n+1 → · · · } llamado el complejo dual de C y que está definido porC∗n = HomF(Cn,F), el F-espacio vectorial dual de C, y δ

n = ∂∗n con ∂∗n(f) = f ◦∂n.

La cohomoloǵıa de C∗ es llamada cohomoloǵıa del complejo de cadenas C y denotadaHn(C) en vez de Hn(C∗).

La noción de un homomorfismo f = {fn : Cn → Dn} entre dos complejos decocadenas C = {Cn, δn} y C′ = {Dn, δn} es ahora inmediata (ver

c32.2.3).

d4 Nota 2.3.3. Obsérvese que todo homomorfismo de complejo de cadenas f :C → D induce un homomorfismo f∗ : D∗ → C∗ entre los correspondientes complejosduales de manera que si fn : Cn → Dn es la n−ésima componente de f f∗n : D

∗n →

C∗n es f∗n(α) = α ◦ fn para todo α ∈ D

∗n = HomF(Dn,F).

Igualmente la noción sucesión exacta de complejos de cocadenas es análoga ala de complejos de cadenas y toda sucesión exacta corta de complejos de cocadenas

0→ C1f→ C2

g→ C3 → 0 induce una sucesión exacta en cohomoloǵıa

· · · −→ Hn(C1) −→ Hn(C2) −→ Hn(C3)δ∗−→ Hn+1(C1) −→ · · · (1)

La demostración de este resultado es análoga a la dada enc62.2.6 y

c72.2.7 para com-

plejos de cadenas. Dejamos la demostración de la exactitud de (1) como ejercicio.

Nota 2.3.4. Si 0 → Cf→ D

g→ E → 0 es una sucesión exacta de complejos de

cadenas, en general la correspondiente sucesión de complejos duales

0→ E∗g∗

→ D∗f∗

→ C∗ → 0 (2)

no tiene que ser exacta pues el homomorfismo f∗ no es sobreyectivo en general.

Aśı, si tomamos la sucesión 0→ Zϕ2→ Z→ Z2 → 0 con ϕ2(x) = 2x y aplicamos

HomZ(−,Z) obtenemos la sucesión

0 = HomZ(Z2,Z) −→ HomZ(Z,Z)ϕ∗2−→ HomZ(Z,Z)→ 0

que no es exacta pues ϕ∗2 no es sobreyectiva. Se puede demostrar (ejercicio) que si

Mf→M ′

g→M ′′ → 0 es exacta entonces

0 −→ HomR(M′′, A)

g∗

−→ HomR(M′, A)

f∗

−→ HomR(M,A)

es exacta.Sin embargo en las aplicaciones que daremos aqúı tendremos que (2) será siem-

pre exacta pues trabajaremos con espacios vectoriales y ello será consecuencia dela observación anterior y de la existencia en toda sucesión exacta de espacios vec-toriales

0 L1 L0 M 0✲ ✲ ✲ ✲d1 p

π j

❨ ❨

de homomorfismos π y j con πd1 = IdL1 y pj = IdM . Verb62.1.4.

Nota 2.3.5. Podemos también definir para todo complejo de cocadenas positivo

C (i.e. Cn = 0 para n < 0) un aumento como un homomorfismo inyectivo Fε→ C0

tal que δ1 ◦ ε = 0. Podemos entonces hablar de la cohomoloǵıa reducida de C y

2.3. COMPLEJOS DE COCADENAS Y COHOMOLOGÍA 11

dejamos como ejercicio la construcción de la sucesión exacta larga de cohomoloǵıareducida.

Finalmente recordemos que dos homomorfismos de complejos de cocadenasf, g : C1 → C2 se dicen homotópicos si existe una familia de homomorfismos{hn : Cn+1 → Dn} tales que en el diagrama

se tiene fn − gn = hnδn+1 + δnhn−1.

d5 Nota 2.3.6. Sean f, g : C → D dos homomorfismos homotópicos entre com-plejos de cadenas. Entonces sus duales f∗, g∗ : D∗ → C∗ también son homotópicos(ejercicio).

Observemos que para calcular la cohomoloǵıaH∗(C) de un complejo de cadenasde F-espacios vectoriales C como en

coho19.1.1, primero se toma el dual del complejo C

y contrario se calcula la homoloǵıa de éste. Es natural preguntarse por la relaciónde H∗(C) y el resultado de tomar primero la homoloǵıa de C y contrario el dual deésta. En lo que sigue damos una respuesta parcial a esta cuestión.

cohom1 Proposición 2.3.7. Sea C un complejo de cadenas de F-espacios vectoriales.Existe un isomorfismo

β : Hn(C) −→ HomR(Hn(C);R)

que lleva la clase de cohomoloǵıa [f ] en el homomorfismo β([f ])([z]) = f(z). Estehomomorfismo es llamado homomorfismo de Kronecker.

cohom3 Nota 2.3.8. En general, cuando los coeficientes son un anillo DIP, R el núcleode β puede ser determinado dando lugar a conocido Teorema de Coeficientes Uni-versales (ver

Munkreslibro[?]) que queda fuera de nuestros propósitos.

Caṕıtulo 3

Complejos simpliciales

temaCompSimpEl lenguaje de la Topoloǵıa General permite formular precisa y concisamente

numerosos problemas bajo un mismo punto de vista. Sin embargo, las solucionesa tales problemas en toda su generalidad son prácticamente inalcanzables. Estehecho era ya bien conocido por los primeros topólogos quienes restringieron susestudios a espacios con estructuras adicionales que los hicieran más manejables.El ejemplo t́ıpico de tales espacios son los poliedros los cuales forman una clase losuficientemente restrictiva para evitar las anomaĺıas de la Topoloǵıa General y losuficientemente general para contener a casi todos los espacios de interés.

La caracteŕıstica principal que distingue a un poliedro P de un espacio topológi-co arbitrario es su triangulabilidad; esto es, P está construidos a partir de puntos,segmentos, triángulos, tetraedros, etc... que son pegados por sus caras. Como con-secuencia de esta estructura combinatorial los casos patológicos de la una excesivageneralidad desaparecen de nuestro campo de trabajo. El estudio topológico de lospoliedros forma una especialidad de la Topoloǵıa conocida como Topoloǵıa Combi-natorial o Poliedral. A exponer los elementos de esta disciplina está dedicado estecaṕıtulo.

3.1. Śımplices y complejos simpliciales finitos2.1

Los complejos simpliciales son estructuras combinatoriales que permiten la in-tervención del Álgebra en la Topoloǵıa gracias a la definición de la homoloǵıasimplicial y los invariantes asociados a ella. La noción de complejo simplicial sedesarrolló gradualmente a partir de los estudios de poĺıgonos y poliedros tridi-mensionales que se remontan a los oŕıgenes de las Matemáticas. La definición decomplejo simplicial que sigue es atribuida a J.W. Alexander (1888-1971).

n1 Definición 3.1.1. Dados A,B ⊂ Rn definimos el ’join’ de A y B como elconjunto

AB = {λa+ µb/a ∈ A, b ∈ B;λ, µ ≥ 0;λ+ µ = 1}.

n2 Ejercicio 3.1.2. Demuestra que AB =⋃a∈A,b∈B[a, b] donde [a, b] es el seg-

mento en Rn que une los puntos a y b. Si A = ∅, entonces AB = B. Si A = {a},denotaremos AB = aB. Nótese que el segmento [a, b] de más arriba es {a}{b}.

n3 Definición 3.1.3. a) Una colección de puntos {a0, . . . , an} ⊆ Rm se dice af́ınmen-te independiente si los vectores {a1 − a0, . . . , an − a0} son linealmente indepen-dientes.

b) Si todo punto en aB disitnto de a se escribe de forma única como λa+ µb conb ∈ B;λ, µ ≥ 0;λ + µ = 1 entonces se dice que aB es el cono de vértice a conbase B.

12

3.1. SÍMPLICES Y COMPLEJOS SIMPLICIALES FINITOS 13

Definición 3.1.4. Dados n+1 puntos af́ınmente independientes en Rm llama-remos n-śımplice o śımplice de dimensión n al conjunto convexo

σn = {x ∈ Rm;x =n∑

i=0

λiai con

n∑

i=0

λi = 1 y λi ≥ 0}

Los coeficientes λi son llamados las coordenadas baricéntricas. Llamaremos interior

de σ a◦σ = {x ∈ σ;λi > 0}. Los puntos ai (0 ≤ i ≤ n) se llamarán vértices de

σ y se escribirá σ = (a0, a1, . . . , an). Aśı un 0-śımplice es un punto, un 1-śımplicees un segmento, un 2-śımplice es un triángulo, un 3-śımplice es un tetraedro, etc.En general, un śımplice σ = (a0, a1, . . . , an) está definido como el menor conjuntoconvexo ( envolvente convexa) que contiene a los vértices a0, . . . , an.

Nota 3.1.5. (a) Dos n-śımplices σ = (a0, . . . , an) y τ = (b0, . . . , bn) sonaf́ınmente isomorfos; esto es, existe una biyección f : σn → τn con f(Σni=0λiai) =Σni=0λibi. Ver

2.4.23.1.15 más adelante. (b) Un n-śımplice σ = (a0, . . . , an) ⊆ Rm se con-

sidera topologizado por la topoloǵıa relativa de Rm. Obsérvese que ésta coincidecon la topoloǵıa intŕınseca de σ definida por la distancia d(Σni=0λiai,Σ

ni=0µiai) =√

Σni=0(λi − µi)2. (c) Si σ ⊆ Rm es un n-śımplice su interior no coincide con el

interior topológico si n 6= m pues este último es vaćıo.

n4 Ejercicio 3.1.6. Si B = σ ⊂ Rn es un q-śımplice y aσ es cono en Rn, entocesaσ es un (q + 1)-śımplice.

2.1.3 Definición 3.1.7. SeanR1 ⊆ R2 ⊆ . . . las inclusiones canónicasRn ⊆ Rn+1 (n ≥1) dadas por x 7→ (x, 0). Consideremos R∞ =

⋃∞n=1 R

n y e0 = (1, 0, . . . , 0, . . .), ej =

(0, . . . ,

j

∧1, 0, . . .) la base canónica. Se llama n-śımplice canónico ∆n a la envolvente

convexa de los puntos ei (0 ≤ i ≤ n).

2.1.4 Definición 3.1.8. Sean σ y τ dos śımplices en Rm. Se dirá que τ es cara deσ, y lo denotaremos por τ ≤ σ si los vértices de τ son vértices de σ. Si τ 6= σ yτ ≤ σ diremos que τ es una cara propia de σ y escribiremos entonces τ < σ. Si

τ ≤ σ, se dirá que◦τ es una cara abierta de σ. La unión de caras propias de un

n-śımplice σ = (a0, . . . , an) se llamará borde de σ, y lo denotaremos por•σ. Nótese

que•σ = {x ∈ σ; x =

∑ni=0 λiai tal que λj = 0 para algún j} y por tanto

◦σ = σ−

•σ.

2.1.5 Proposición 3.1.9. (a) Todo śımplice σ es reunión disjunta de sus caras abier-tas.

(b) Dos caras de σ o son disjuntas o se encuentran en una cara.

Demostración. (a) Sea p ∈ σ. Si a0 . . . an son los vértices de σ, tenemosp =

∑ni=0 λiai,

∑ni=0 λi = 1 y λi ≥ 0 Sean i1 . . . ik los ı́ndices con λis > 0 (1 ≤ s ≤

k). Sea σk el śımplice de vértices ai1 , . . . , aik . Tenemos p ∈◦σk. Además dos caras

abiertas son disjuntas por la unicidad de las coordenadas baricéntricas al ser lospuntos a0 . . . an af́ınmente independientes.

(b) Sean σ1 y σ2 caras y σ1 ∩ σ2 6= ∅. Sean ai1 , . . . , aim los vértices comunesa σ1 y σ2. Entonces σ1 ∩ σ2 = (ai1 , . . . , aim) por la unicidad de las coordenadasbaricéntricas. �

2.1.6 Definición 3.1.10. Llamamos complejo simplicial finito a una colección finitaK de śımplices en algún Rm verificando

3.1. SÍMPLICES Y COMPLEJOS SIMPLICIALES FINITOS 14

(i) Si σ1, σ2 ∈ K entonces σ1 ∩ σ2 = ∅ ó σ1 ∩ σ2 es una cara común de σ1 y σ2.(ii) Si σ ∈ K y τ ≤ σ entonces τ ∈ K.

Un subcomplejo L ⊆ K es un conjunto de śımplices de K que es un complejosimplicial. La dimensión de K es el numero máx{dimσ;σ ∈ K}.

Se llama m-esqueleto de K y se denota Km o bien skm(K) al subcomplejo

Km = {σ ∈ K; dim(σ) ≤ m}

Diremos queK0 es el conjunto de vértices de K y los 1-śımplices serán llamadoslas aristas de K. El conjunto de los puntos de los śımplices de K se le denominapoliedro subyacente a K, y lo denotaremos por |K|, es decir:

|K| =⋃{σ : σ ∈ K} ⊆ Rm

Observación: Todo śımplice σ determina un complejo simplicial al considerarσ y todas sus caras. En lo que sigue, σ denotará indistintamente un śımplice o elcomplejo simplicial determinado por él.

Definición 3.1.11. Llamaremos grafo a todo complejo simplicial K tal quedim(K) ≤ 1. Se dirá que un grafo G es un árbol si es contráctil.

Observación: A menos que se indique lo contrario por “complejo simplicial”seentenderá “complejo simplicial finito”.

2.1.8 Proposición 3.1.12. Sea K un complejo simplicial y x ∈ |K|. Entonces xestá en el interior de un único śımplice de K, llamado śımplice soporte de x.

Demostración. Si x ∈ |K| entonces x ∈ σ para algún śımplice σ ∈ K. Por2.1.53.1.9 (a) x ∈

◦τ para alguna cara τ ≤ σ. Sea otro śımplice ν ∈ K con x ∈

◦ν. Ahora

si x ∈◦ν ∩

◦τ tenemos x ∈ ν ∩ τ = µ donde µ es la cara común de ν y τ , luego si

ν 6= µ x tiene alguna coordenada nula respecto a los vértices de ν, lo que contradice

x ∈◦ν. Aśı ν = µ. Análogamente τ = µ. Por tanto ν = τ . �

2.1.9 Corolario 3.1.13. Sean σ, τ ∈ K con◦σ ∩ τ 6= ∅. Entonces σ ≤ τ .

Demostración. Sea x ∈◦σ ∩ τ , como τ es la unión de todas sus caras por

2.1.53.1.9 (a) debe existir µ ≤ τ con x ∈

◦µ. Entonces x ∈

◦µ ∩

◦σ y por

2.1.83.1.12 tenemos

µ = σ ≤ τ . Como ocurre siempre en Matemáticas, una vez que han sido defi-nidos objetos dotados de una cierta estructura, se pasa a considerar aplicacionesentre ellos compatibles con la estructura de los mismos. En nuestro caso, definimoslas aplicaciones simpliciales como aquellas aplicaciones que respetan la estructurasimplicial. Más expĺıcitamente, �

Definición 3.1.14. Sean K1 y K2 complejos simpliciales y ϕ una aplicacióndefinida entre los vértices de K1 y K2. Se dice que ϕ es aplicación simplicial sidado un śımplice σ ∈ K1 con σ = (v0 . . . vn), los vértices ϕ(v0) . . . ϕ(vn) están enun mismo śımplice de K2.

Al referirnos a una aplicación simplicial ϕ entreK y L, escribiremos ϕ : K → L.Obsérvese que la composición de aplicaciones simpliciales es siempre una aplicaciónsimplicial.

2.4.2 Definición 3.1.15. Un isomorfismo simplicial entre dos complejos simplicialesK1 y K2 es una biyección ϕ entre los vértices tal que (v0 . . . vn) es un śımplice deK1 si y sólo si (ϕ(v0) . . . ϕ(vn)) es un śımplice de K2. Nótese que la inversa de unisomorfismo simplicial también es isomorfismo simplicial.

3.2. SUBDIVISIONES: LA SUBDIVISIÓN BARICÉNTRICA 15

Antes de continuar hay que hacer los ejercicios 207, 208, 209, 210,211 y 212

3.2. Subdivisiones: la subdivisión baricéntrica2.2

El desarrollo de la Topoloǵıa Combinatorial necesitó pasar de una triangulaciónfijada de un poliedro a considerar el poliedro en si mismo como espacio topológico.Para ello fue esencial la noción de subdivisión. En particular, el ejemplo más cono-cido de subdivisón baricéntrica fue introducido por H. Poincaré (1854-1912) es unode los muchos resultados innovadores debidos a Poincaré que impulsaron el estudiode la Topoloǵıa Algebraica.

2.2.1 Definición 3.2.1. Sean K y K ′ complejos simpliciales. Se dice que K ′ es unasubdivisión de K si se cumplen las siguientes condiciones:

(i) |K| = |K ′|(ii) Si σ′ ∈ K ′ entonces existe un σ ∈ K tal que σ′ ⊆ σ.

La condición (ii) puede ser sustituida por la siguiente:(ii’) Todo śımplice de K es unión de śımplices de K ′. En particular los vértices

de K son vértices de K ′.Dejamos como ejercicio la comprobación de la equivalencia de la definición ante-rior con (ii’) en lugar de (ii). Prestaremos especial atención al caso particular desubdivisión llamada subdivisión baricéntrica y cuya definición es como sigue:

n7 Proposición 3.2.2. 1. Dado x ∈ σ, sea L(x, σ) = {α/x /∈ α, α < σ},entonces xL(x, σ) es subdivisión de σ.

2. Sea K un complejo simplicial y a ∈ |K|. Sea L el complejo simplicial cuyosśımplices son aquellos σ ∈ K tales que a /∈ σ y aquellos en aL(a, σ) sia ∈ σ. Entonces L es subdivisión de K, obtenida por estrellamiento desdea ∈ |K|.

n8 Corolario 3.2.3. El complejo simplicial L obtenido al estrellar sucesivamentedesde {an}n≥0 ⊂ |K| es subdivisión de K.

Definición 3.2.4. Dado un n-śımplice σ llamamos el baricentro de σ al puntob(σ) =

∑ni=0

1n+1ai donde (a0 . . . an) = σ.

n9 Corolario 3.2.5. Si {an}n≥0 son los baricentros de los śımplices de K or-denados por su dimensión de forma decreciente, entonces el complejo simplicial Lobtenido al estrellar sucesivamente desde {an}n≥0 ⊂ |K|, L = sdK, es la llamadaprimera subdivisión baricéntrica de K.

Ejercicio 3.2.6. La subdivisión baricéntrica de K, sdK, es el complejo simpli-cial formado por los śımplices descritos más arriba y cuyos vértices son baricentrosb(σ) con σ ∈ K.

= K = sdK

Figura 0

3.2. SUBDIVISIONES: LA SUBDIVISIÓN BARICÉNTRICA 16

Nota 3.2.7. 1. Dado un complejo simplicial K y los śımplices σ0 < σ1 <. . . σn ∈ K es una simple comprobación verificar que los puntos {b(σ0), . . . , b(σn)}son af́ınmente independientes y determinan aśı un śımplice dentro de σn.

2. Además, nótese que si σ es de dimensión n, a cada śımplice de sdK con-tenido en σ se asocia biyectivamente a una permutación de los vértices deσ.

3. Para subdivisiones baricéntricas reiteradas usamos la notación

sdmK = sd(sdm−1K) m ≥ 1sd0K = K.

Figura 0: Segunda subdivisión baricéntrica de un 2-śımplice

Definición 3.2.8. Se define el diámetro de un śımplice como la mayor distanciaentre dos puntos del śımplice, es decir, dado un śımplice σ su diámetro δ(σ) será:

δ(σ) = máx{‖x− y‖;x, y ∈ σ}

donde ‖ ‖ es la norma eucĺıdea.

2.2.5 Lema 3.2.9. Dado un n-śımplice σ de vértices vi (0 ≤ i ≤ n), se verifica

δ(σ) = máx{‖vi − vj‖; 0 ≤ i, j ≤ n}.

Demostración. Sean p y q dos puntos de σ. Si p =∑n

i=0 λivi tenemos

‖p− q‖ = ‖n∑

i=0

λivi − q‖ = ‖n∑

i=0

(λivi − λiq)‖ ≤n∑

i=0

λi · ‖vi − q‖ ≤ máx0≤i≤n

‖vi − q‖.

Análogamente si q =∑n

j=0 µjvj , ‖vi − q‖ ≤ máx0≤j≤n

‖vi − vj‖. Entonces tenemos

‖p− q‖ ≤ máx0≤i,j≤n

‖vi − vj‖

luego δ(σ) ≤ máx0≤i,j≤n

‖vi − vj‖ y se sigue el resultado. �

2.2.7 Definición 3.2.10. Se denomina medida de un complejo simplicial K al núme-ro m(K) = sup{δ(σ); σ ∈ K}.

3.3. SUBDIVISIÓN BARICÉNTRICA 17

2.2.8 Proposición 3.2.11. Sea K un complejo simplicial de dimensión r, entonces

m(sdK) ≤ rr+1m(K), por tanto m(sd

nK) ≤(

rr+1

)nm(K).

Demostración. Sea µ ∈ sdK, y sean b(σ0), b(σ1), . . . , b(σk) los vértices de µcon σ0 < σ1 < . . . < σk. De acuerdo con

2.2.53.3.6 podemos suponer δ(µ) = ‖b(σ1) −

b(σ2)‖. Entonces si σ1 = {p0 . . . pn} y σ2 = {p0 . . . pnpn+1 . . . ps} tenemos

‖n∑

i=0

1

n+ 1pi − b(σ2)‖ =

1

n+ 1‖

n∑

i=0

(pi − b(σ2))‖ ≤ máx{‖pi − b(σ2)‖; i ≤ n}

y

‖pi − b(σ2)‖ = ‖pi −s∑

j=0

1

s+ 1pj‖ =

1

s+ 1‖

s∑

j=0

pi − pj‖ ≤

≤ ss+1 máx{‖pi − pj‖} ≤

ss+1δ(σ2).

Por tanto, ya que dim(σ2) = s ≤ r = dimK

δ(µ) ≤s

s+ 1δ(σ2) ≤

s

s+ 1m(K) ≤

r

r + 1m(K).

�

3.3. Subdivisión baricéntrica2.2

El desarrollo de la Topoloǵıa Combinatorial necesitó pasar de una triangulaciónfijada de un poliedro a considerar el poliedro en si mismo como espacio topológico.Para ello fue esencial la noción de subdivisión. En particular, el ejemplo más cono-cido de subdivisón baricéntrica fue introducido por H. Poincaré (1854-1912) es unode los muchos resultados innovadores debidos a Poincaré que impulsaron el estudiode la Topoloǵıa Algebraica.

2.2.1 Definición 3.3.1. Sean K y K ′ complejos simpliciales. Se dice que K ′ es unasubdivisión de K si se cumplen las siguientes condiciones:

(i) |K| = |K ′|(ii) Si σ′ ∈ K ′ entonces existe un σ ∈ K tal que σ′ ⊆ σ.

La condición (ii) puede ser sustituida por la siguiente:(ii’) Todo śımplice de K es unión de śımplices de K ′. En particular los vértices

de K son vértices de K ′.Dejamos como ejercicio la comprobación de la equivalencia de la definición ante-rior con (ii’) en lugar de (ii). Prestaremos especial atención al caso particular desubdivisión llamada subdivisión baricéntrica y cuya definición es como sigue:

Definición 3.3.2. Dado un n-śımplice σ llamamos el baricentro de σ al puntob(σ) =

∑ni=0

1n+1ai donde (a0 . . . an) = σ. Dado un complejo simplicial K y los

śımplices σ0 < σ1 < . . . σn ∈ K es una simple comprobación verificar que los pun-tos {b(σ0), . . . , b(σn)} son af́ınmente independientes y determinan aśı un śımplicedentro de σn.

La subdivisión baricéntrica de K, sdK, es el complejo simplicial formado porlos śımplices descritos más arriba y cuyos vértices son baricentros b(σ) con σ ∈ K.

3.3. SUBDIVISIÓN BARICÉNTRICA 18

= K = sdK

Figura 0

Lema 3.3.3. sdK es efectivamente una subdivisión de K.

Demostración. Tenemos que sdK es un complejo simplicial pues

(b(µ0), . . . , b(µm)) ∩ (b(σ0), . . . , b(σn)) 6= ∅ (1)

es el śımplice γ formado por los baricentros comunes. En efecto, obviamente γestá contenido en la intersección anterior. Rećıprocamente, si x está en dicha inter-sección

x =

k∑

t=1

ρitb(µit) y x =

l∑

s=1

λjsb(σjs) con λjs > 0 y ρit > 0

Entonces x ∈◦µik ∩

◦σjl y µik = σjl = ν.

Si x = b(ν) obviamente x ∈ γ. Suponemos x 6= b(ν) y consideramos la semi-

rrecta Γ que pasa por b(ν) y x. Entonces hay un único punto y ∈•ν ∩ Γ De acuerdo

con las ecuaciones

x = ρikb(ν) + (1− ρik) ·∑k−1

t=1ρit

1−ρikb(µit)

x = λjlb(ν) + (1− λjl) ·∑l−1

s=1λjs

1−λjlb(σjs)

obtenemos que los sumatorios representan puntos de•ν y por tanto ambos sumandos

representan el único punto y ∈•ν ∩ Γ, luego λil = ρik e

y =

k−1∑

t=1

ρit1− ρik

b(µit) =

l−1∑

s=1

λjs1− λjl

b(σjs).

Aśı y ∈◦σjl−1 ∩

◦µik−1 y por ello σjl−1 = µik−1 . Podemos continuar inductivamente

hasta probar que k = l, ρit = λjt(1 ≤ t ≤ k), y b(µit) = b(σjt).Ahora debemos comprobar las condiciones (i) e (ii) de la definición

2.2.13.3.1. Por

convexidad la propiedad (ii) sigue fácilmente. En lo que sigue demostraremos (i)por inducción sobre el número n de śımplices de K.

Si n = 1 entonces K = {∗} y no hay nada que probar. Supongamos que hemosprobado el resultado para n − 1. Sea K un complejo con n śımplices. Sea σ unśımplice de máxima dimensión y consideremos K ′ = K − {σ}. Es claro que estecomplejo sólo tiene n − 1 śımplices. Por tanto todo śımplice de K ′ es unión deśımplices de sdK ′ y |K ′| = |sdK ′|.

Sea x ∈◦σ con x 6= b(σ) (de otra manera no hay nada que probar) y sea y ∈

•σ el

único punto en la semirrecta que une b(σ) con x. Entonces y ∈ |sdK ′| y por ello yestá en el interior de cierto śımplice (b(σ0) . . . b(σk)) con σ0 < σ1 < . . . < σk ∈ K ′.

Como y ∈•σ ∩

◦σk, tenemos que σk < σ y por convexidad x ∈ (b(σ0) . . . b(σk)b(σ)).

Aśı |K| ⊆ |sdK|. La otra inclusión sigue de la definición de sdK. �

3.3. SUBDIVISIÓN BARICÉNTRICA 19

Nota 3.3.4.

1. Nótese que si σ es de dimensión n, a cada śımplice de sdK contenido en σse asocia biyectivamente a una permutación de los vértices de σ.

2. Para subdivisiones baricéntricas reiteradas usamos la notación

sdmK = sd(sdm−1K) m ≥ 1sd0K = K.

Figura 0: Segunda subdivisión baricéntrica de un 2-śımplice

Definición 3.3.5. Se define el dimetro de un śımplice como la mayor distanciaentre dos puntos del śımplice, es decir, dado un śımplice σ su dimetro δ(σ) será:

δ(σ) = máx{‖x− y‖;x, y ∈ σ}

donde ‖ ‖ es la norma eucĺıdea.

2.2.5 Lema 3.3.6. Dado un n-śımplice σ de vértices vi (0 ≤ i ≤ n), se verifica

δ(σ) = máx{‖vi − vj‖; 0 ≤ i, j ≤ n}.

Demostración. Sean p y q dos puntos de σ. Si p =∑n

i=0 λivi tenemos

‖p− q‖ = ‖n∑

i=0

λivi − q‖ = ‖n∑

i=0

(λivi − λiq)‖ ≤n∑

i=0

λi · ‖vi − q‖ ≤ máx0≤i≤n

‖vi − q‖.

Análogamente si q =∑n

j=0 µjvj , ‖vi − q‖ ≤ máx0≤j≤n

‖vi − vj‖. Entonces tenemos

‖p− q‖ ≤ máx0≤i,j≤n

‖vi − vj‖

luego δ(σ) ≤ máx0≤i,j≤n

‖vi − vj‖ y se sigue el resultado. �

2.2.7 Definición 3.3.7. Se denomina medida de un complejo simplicialK al númerom(K) = sup{δ(σ); σ ∈ K}.

2.2.8 Proposición 3.3.8. Sea K un complejo simplicial de dimensión r, entonces

m(sdK) ≤ rr+1m(K), por tanto m(sd

nK) ≤(

rr+1

)nm(K).

3.4. LA TOPOLOGÍA DEL POLIEDRO |K|. 20

Demostración. Sea µ ∈ sdK, y sean b(σ0), b(σ1), . . . , b(σk) los vértices de µcon σ0 < σ1 < . . . < σk. De acuerdo con

2.2.53.3.6 podemos suponer δ(µ) = ‖b(σ1) −

b(σ2)‖. Entonces si σ1 = {p0 . . . pn} y σ2 = {p0 . . . pnpn+1 . . . ps} tenemos

‖n∑

i=0

1

n+ 1pi − b(σ2)‖ =

1

n+ 1‖

n∑

i=0

(pi − b(σ2))‖ ≤ máx{‖pi − b(σ2)‖; i ≤ n}

y

‖pi − b(σ2)‖ = ‖pi −s∑

j=0

1

s+ 1pj‖ =

1

s+ 1‖

s∑

j=0

pi − pj‖ ≤

≤ ss+1 máx{‖pi − pj‖} ≤

ss+1δ(σ2).

Por tanto, ya que dim(σ2) = s ≤ r = dimK

δ(µ) ≤s

s+ 1δ(σ2) ≤

s

s+ 1m(K) ≤

r

r + 1m(K).

�

3.4. La topoloǵıa del poliedro |K|.2.3

En esta sección se exponen los útiles básicos para expresar la topoloǵıa de unpoliedro en términos de la estructura simplicial proporcionada por una triangulacióndel mismo.

Sobre el poliedro subyacente |K| a un complejo simplicial K en Rm puedenconsiderarse tanto la topoloǵıa relativa de la topoloǵıa eucĺıdea de Rm como latopoloǵıa débil de los śımplices; es decir, la topoloǵıa final asociada a las inclusionesiσ : σ →֒ |K|. Teniendo en cuenta que los n-śımplices son subespacios compactos ypor tanto cerrados de Rm, se sigue inmediatamente la siguiente

Proposición 3.4.1. En |K| ⊆ Rm, la topoloǵıa relativa de la topoloǵıa eucĺıdeay la topoloǵıa débil coinciden, y hacen a |K| compacto.

2.3.2 Corolario 3.4.2. Dado un complejo simplicial K se verifica:(1) A ⊆ |K| es abierto (cerrado) si y sólo si A ∩ σ es abierto (cerrado) en σ

para todo σ ∈ K.(2) f : |K| −→ Y es continua si y sólo si la restricción f |σ a cada śımplice

σ ∈ K es continua.

Corolario 3.4.3. Si L ⊆ K es subcomplejo simplicial entonces |L| es cerradoen |K|.

Nota 3.4.4. Obsérvese que toda aplicación simplicial ϕ : K1 → K2 da lugara una aplicación (que también denotamos por ϕ) ϕ : |K1| → |K2| definida porextensión lineal. Esto es, si x =

∑ni=0 λivi ∈ σ = (v0 . . . vn) se define

ϕ(x) =∑

λiϕ(vi)

Nótese que ϕ es continua ya que la restricción ϕ|σ a cada σ ∈ K1 es lineal y |K1|está dotada de la topoloǵıa débil de todos los śımplices. Además ϕ es homeomor-fismo si y sólo si ϕ es un isomorfismo simplicial (ejercicio).

tria Definición 3.4.5. Un espacio topológico X se dice triangulable si existe unpoliedro |K| y un homeomorfismo h : |K| −→ X . El par (K,h) es llamado unaestructura simplicial o triangulación de X .

3.4. LA TOPOLOGÍA DEL POLIEDRO |K|. 21

Se define la dimensión de X como la dimensión de un complejo simplicial K talque (K,h) es una triangulación de X . Se probará más adelante que la dimensiónde X no depende de la triangulación escogida (ver

7.22’6.3.6).

Definición 3.4.6. Sea K un complejo simplicial y σ ∈ K un śımplice. Se llamaestrella de σ en K al conjunto st(σ;K) = {µ ∈ K; σ ≤ µ}. Sin embargo, salvoque se indique lo contrario, se denotará por st(σ;K) y se llamará estrella de σ alsubcomplejo

st(σ;K) = {τ ∈ K; existe ρ ∈ K con τ, σ ≤ ρ}.

Obsérvese que |st(σ;K)| =⋃{µ ∈ K;σ ≤ µ}.

Si x ∈ |K| se define la estrella de x en K como el subcomplejo st(x;K) de Kformado por todos los śımplices que contienen a x y todas sus caras. Si σ ∈ K es el

único śımplice de K con x ∈◦σ (

2.1.83.1.12) se tiene st(x;K) = st(σ;K). Por otra parte

se define la estrella abierta de σ como el conjunto

◦st(σ;K) =

⋃{◦µ;σ ≤ µ ∈ K}.

Claramente◦st(σ;K) ⊆ |st(σ;K)|. Más aún, la estrella abierta de x en K es el

conjunto◦st(x;K) =

⋃{◦µ;x ∈ µ ∈ K}

y se tiene la igualdad◦st(σ;K) =

◦st(x;K) si x ∈

◦σ.

Definición 3.4.7. El subcomplejo lk(σ;K) ⊆ K definido por

lk(σ;K) = {ρ ∈ st(σ;K);σ ∩ ρ = ∅}.

se llama engarce de σ en K. Análogamente se define el engarce de x ∈ |K| como elsubcomplejo

lk(x;K) = {ρ ∈ st(x;K);x /∈ ρ}.

Se tiene la igualdad |lk(x;K)| = |st(x;K)| −◦st(x;K) para todo x ∈ |K|.

2.3.7 Proposición 3.4.8. Sea K un complejo simplicial y sean v0 . . . vk vértices deK. Son equivalentes

(a) v0 . . . vk son vértices de un śımplice σ ∈ K.

(b)k⋂

i=0

◦st(vi;K) 6= ∅.

(c)k⋂

i=0

st(vi;K) 6= ∅. Aqúı usamos la definición de st(vi;K) como conjunto de

śımplices.

Demostración. (a) ⇒ (b) Si σ contiene a los vértices v0 . . . vk, entonces

◦σ ⊆

k⋂

i=0

◦st(vi;K). Para comprobar (b)⇒ (c), sea x ∈

k⋂

i=0

◦st(vi;K). Entonces x ∈

◦σi

con vi vértice de σi. Por2.1.83.1.12 σ0 = σ1 = . . . = σk = σ y σ ∈ st(vi;K) para todo i.

(c)⇒ (a) Es claro que σ ∈k⋂

i=0

st(vi;K) implica que vi ∈ σ para todo i ≥ 0. �

3.5. APLICACIONES SIMPLICIALES. APROXIMACIÓN SIMPLICIAL 22

2.3.8 Lema 3.4.9. Sea K un complejo simplicial. Si σ, µ ∈ K son dos śımplices con◦st(σ;K) ∩ µ 6= ∅ entonces σ ≤ µ.

Demostración. Si x ∈◦st(σ;K) ∩ µ entonces x ∈

◦τ con σ ≤ τ y x ∈ µ. Por

2.1.93.1.13, σ ≤ τ ≤ µ. �

2.3.9 Proposición 3.4.10. Si K es un complejo simplicial y σ ∈ K, la estrella abier-

ta◦st(σ;K) es un abierto de |K| que contiene a

◦σ.

Demostración. Sabemos que la topoloǵıa de |K| es la topoloǵıa débil de las

inclusiones σ ⊆ |K|. Por tanto, bastará comprobar que◦st(σ;K)∩µ es abierto en µ

para todo śımplice µ ∈ K. De acuerdo con2.3.83.4.9, si

◦st(σ;K)∩µ 6= ∅ entonces σ ≤ µ

y tenemos las igualdades

◦st(σ;K) ∩ µ

(1)=⊔{◦τ ;σ ≤ τ ≤ µ}

(2)= µ−

⊔{◦ρ;σ 6≤ ρ ≤ µ} =

(3)= µ−

⋃{ρ;σ 6≤ ρ ≤ µ}

donde (1) sigue de la definición, (2) de2.1.53.1.9 y (3) del hecho de que si σ 6≤ ρ

entonces toda cara ξ ≤ ρ cumple σ 6≤ ξ. El resultado sigue de que el conjunto⋃{ρ;σ 6≤ ρ ≤ µ} es compacto y por tanto cerrado en µ. �

3.5. Aplicaciones simpliciales. Aproximación simplicial2.4

La noción de aplicación simplicial es debida a L.E.J. Brouwer (1881-1967) quientambién demostró por primer vez el teorema de aproximación simplicial que muestracómo reemplazar aplicaciones continuas entre poliedros por aplicaciones simplicialesde manera conveniente. Este teorema es crucial para poder aplicar la homoloǵıasimplicial como veremos en

tema5’6.

Definición 3.5.1. Sean K1 y K2 complejos simpliciales y f : |K1| → |K2|continua. Una aplicación simplicial ϕ : K1 → K2 se dice aproximación simplicialde f si para todo x ∈ |K1|, ϕ(x) pertenece al śımplice soporte de f(x) ∈ K2.Equivalentemente si f(x) ∈ σ ∈ K2 entonces ϕ(x) ∈ σ.

2.4.5 Nota 3.5.2. Si v ∈ |K1| y f(v) es un vértice de K2 entonces f(v) = ϕ(v) siϕ es aproximación simplicial de f . Por tanto toda aproximación simplicial de unaaplicación simplicial f coincide con f .

2.4.5bisbis Proposición 3.5.3. Sean K1 y K2 complejos simpliciales y f : |K1| → |K2|continua tal que f ||L| es simplicial, donde L ⊆ K1 es subcomplejo. Si ϕ : |K1| →|K2| es una aproximación simplicial de f entonces d(f, ϕ) ≤ m(K2) donde d(f, ϕ) =sup{‖f(x)− ϕ(x)‖;x ∈ |K1|}.

Demostración. Como ϕ es aproximación simplicial de f se tiene que paratodo x ∈ |K1| existe σ ∈ K2 tal que f(x) y ϕ(x) ∈ σ, luego ‖f(x)−ϕ(x)‖ ≤ δ(σ) ≤m(K2) y se sigue el resultado. �

2.4.6 Proposición 3.5.4. Sean K1 y K2 dos complejos simpliciales y f : |K1| →|K2| continua. Sea ϕ una aplicación entre los vértices de K1 y K2. Entonces ϕ esuna aproximación simplicial de f si y sólo si para todo vértice v ∈ K1 se tiene

f(◦st(v;K1)) ⊆

◦st(ϕ(v);K2).

3.5. APLICACIONES SIMPLICIALES. APROXIMACIÓN SIMPLICIAL 23

Demostración. Comprobemos primero que ϕ es aplicación simplicial. Sea

σ ∈ K1 con vértices v0, . . . , vk. Por2.3.73.4.8 tenemos

⋂ki=0

◦st(vi;K1) 6= ∅ luego

∅ 6= f

(k⋂

i=0

◦st(vi;K1)

)⊆

k⋂

i=0

f(◦st(vi;K1)) ⊆

k⋂

i=0

◦st(ϕ(vi);K2)

aśı que los vértices ϕ(vi) (i = 0, . . . , k) está en un mismo śımplice de K2 y ϕ esaplicación simplicial.

Sea ahora x ∈ |K1| tal que x ∈◦σ con σ ∈ K1. Si v0, . . . , vk son los vértices de σ,

tenemos x ∈⋂ki=0

◦st(vi;K1). Entonces, igual que antes, f(x) ∈

⋂ki=0

◦st(ϕ(vi);K2).

Es decir, ϕ(v0), . . . , ϕ(vk) son vértices del śımplice soporte de f(x) y ϕ es aproxi-mación simplicial de f .

Rećıprocamente, si x ∈◦st(v;K1), entonces existe ζ ∈ K1 con v vértice de ζ y

x ∈◦

ζ. Por otro lado, f(x) ∈◦σ para algún σ ∈ K2. Como ϕ es una aproximación

simplicial, ϕ lleva el śımplice ζ en un śımplice σ′ ∈ K2 tal que ϕ(v) es vértice de

σ′, ϕ(x) ∈◦

σ′ y además ϕ(x) ∈ σ. Por2.1.93.1.13, σ′ es una cara de σ y ϕ(v) ∈ σ. Luego

f(x) ∈◦σ ⊆

◦st(ϕ(v);K2) y f(

◦st(v;K1)) ⊆

◦st(ϕ(v);K2). �

2.4.7 Corolario 3.5.5. Una aplicación continua f : |K1| → |K2| admite una apro-ximación simplicial ϕ : K1 → K2 si y sólo si para cada vértice v ∈ K1 se verifica◦st(v;K1) ⊆ f

−1(◦st(w;K2)) para algún vértice w ∈ K2.

Demostración. Supongamos que ϕ es una aproximación simplicial de f . En-

tonces por2.4.63.5.4 se tiene que para todo vértice v ∈ K1, f(

◦st(v;K1)) ⊆

◦st(ϕ(v);K2).

Luego◦st(v;K1) ⊆ f−1(

◦st(w;K2)) para w = ϕ(v). Rećıprocamente si

◦st(v;K1) ⊆

f−1(◦st(w;K2)), definimos una aplicación entre los vértices de K1 y K2 por ϕ(v) =

w. Por tanto◦st(v;K1) ⊆ f

−1(◦st(ϕ(v);K2)). Es decir, f(

◦st(v;K1)) ⊆

◦st(ϕ(v);K2)

y por2.4.63.5.4 se sigue que ϕ es aproximación simplicial de f . �

2.4.8 Proposición 3.5.6. (Teorema de aproximación simplicial). Sean K1 yK2 complejos simpliciales y f : |K1| → |K2| continua. Entonces existe una subdivi-sión baricéntrica sdnK1 y una aplicación ϕ : |sdnK1| → |K2| que es aproximaciónsimplicial de f .

Demostración. Tomemos el recubrimiento abierto de |K1|,

U = {f−1(◦st(q;K2)); q vértice de K2}. Para ello usamos que f es continua y

2.3.93.4.10.

Por el lema de Lebesgue (1.13.5.10) existe el número de Lebesgue ε > 0 asociado

al recubrimiento U . Sea n tal que m(sdnK1) <ε2 (ver

2.2.83.3.8). Si p es un vértice de

sdnK1 y x ∈◦σ e y ∈

◦

ζ con σ, ζ ∈ st(p; sdnK1), se tiene ‖x−y‖ ≤ ‖x−p‖+‖y−p‖<ε2 +

ε2 = ε.

Por tanto, δ(st(p; sdnK1)) < ε y existe un vértice qp deK2 tal que f(◦st(p; sdnK1)) ⊆

◦st(qp;K2). Ahora se sigue de

2.4.73.5.5 que existe tal ϕ aproximación simplicial de f . �

Corolario 3.5.7. Sean K1 y K2 complejos simpliciales y f : |K1| → |K2|continua. Dado ε > 0 existen subdivisiones baricéntricas de K1 y K2, sd

nK1 ysdmK2 respectivamente y una aproximación simplicial ϕ : sd

nK1 → sdmK2 tal qued(f, ϕ) < ε.

3.5. APLICACIONES SIMPLICIALES. APROXIMACIÓN SIMPLICIAL 24

Demostración. Sea sdmK2 con m(sdmK2) < ε. Por el teorema de aproxima-

ción simplicial (2.4.83.5.6) existe una subdivisión baricéntrica sdnK1 y una aplicación

ϕ : |sdnK1| → |sdmK2| que es aproximación simplicial de f : |K1| → |K2| =|sdmK2|. Finalmente d(f, ϕ) ≤ m(sdmK2) < ε por

2.4.5bisbis3.5.3. �

2.4.10 Proposición 3.5.8. (Teorema de aproximación simplicial de pares).Sea f : (|K|, |K1|)→ (|L|, |L1|) una aplicación continua con K1 ⊂ K y L1 ⊂ L sub-complejos. Entonces existe una aproximación simplicial de f ϕ : (sdnK, sdnK1)→(L,L1).

Demostración. Sea ϕ : sdnK → L una aproximación simplicial de f . Sa-

bemos que para cada vértice p ∈ sdnK1, f(◦st(p; sdnK)) ⊆

◦st(ϕ(p);L) por

2.4.63.5.4.

Como f(|K1|) ⊆ |L1| se sigue f(p) ∈◦st(ϕ(p);L) ∩ |L1|. Luego existe σ ∈ L con

ϕ(p) ∈ σ y f(p) ∈◦σ ∩ |L1| 6= ∅. Por tanto, σ < ζ con ζ ∈ L1 y σ ∈ L1. Aśı ϕ(p) es

vértice de L1 y por ello

f(◦st(p; sdnK1)) = f(

◦st(p; sdnK) ∩ |K1|) ⊆

◦st(ϕ(p);L) ∩ |L1| =

◦st(ϕ(p);L1)

De aqúı se sigue fácilmente que ϕ(sdnK1) ⊆ L1 (ver2.3.73.4.8). �

Nota 3.5.9. Este último resultado se generaliza a aplicaciones continuas entre(n+ 1)-tuplas

f : (|K|, |K1|, |K2|, . . . , |Kn|)→ (|L|, |L1|, |L2|, . . . , |Ln|)

donde Ki ⊆ K y Li ⊆ L son subcomplejos (0 ≤ i ≤ n).

1.1 Nota 3.5.10 (Lema de Lebesque). DAdo un espacio métrico (X, d) y U un re-cubrimiento por abiertos, existe un ǫ > 0, número de Lebesgue, que verifica quedado cualquier A ⊂ X con δ(A) < ǫ existe U ∈ U con A ⊂ U .

Caṕıtulo 4

Complejos abstractos

temaCompAbsA pesar de la sencillez de su definición original, los complejos simpliciales tal

y como fueron definidos en el Caṕıtulotema2??, son excesivamente “ŕıgidos”para ser

manipulados con facilidad. Pensemos por ejemplo en cómo representar de maneracómoda un complejo simplicial que triangule el plano proyectivo. Estos inconvenien-tes fueron rápidamente resueltos por los fundadores de la Topoloǵıa Combinatorialcon la introducción de los complejos abstractos. Aśı, ya en 1923 dichos complejoshab́ıan sido estudiados sistemáticamente por W. Mayer (1887-1947).

4.1. Complejos abstractos3.1

En esta sección se introduce la noción de complejo abstracto como la formaliza-ción de las propiedades del conjunto de vértices de un complejo simplicial. Ademásse demuestra que todo complejo abstracto finito representa un complejo simplicialen algún espacio eucĺıdeo. En las dos secciones que siguen veremos la utilidad de loscomplejos abstractos a la hora de obtener triangulaciones de espacios de pegamientoy espacios de órbitas.

Definición 4.1.1. Sea V un conjunto. Un complejo abstractoA es una colecciónno vaćıa de partes finitas de V verificando las siguientes condiciones:

(i) A contiene todos los conjuntos unitarios de V .(ii) Dado Σ ∈ A todo subconjunto de Σ pertenece a A.

A los elementos de V se les llama vértices de A, y a los elementos de A śımplicesde A. Se llama dimensión de A al número (posiblemente ∞)

dimA = sup{card (Σ); Σ ∈ A} − 1

Ejemplos 4.1.2. (a) Sea K un complejo simplicial. Entonces K tiene asociadoel siguiente complejo abstracto A(K):

- Los vértices de A(K) son los vértices de K.- Los elementos de A(K) son los conjuntos de vértices de K situados en un

mismo śımplice.(b) Sea U = {Uα}α∈Λ un recubrimiento de un espacio X . Se define el siguiente

complejo abstracto N(U) asociado a U y llamado nervio del recubrimiento U . Losvértices de N(U) son los elementos de U , y una colección finita {Uα1 , . . . , Uαk} es

un śımplice de N(U) si⋂kj=1 Uαj 6= ∅. Es inmediato comprobar que N(U) es un

complejo abstracto (ejercicio).

Definición 4.1.3. Se llama isomorfismo entre dos complejos abstractos A1 yA2 a una biyección ϕ : V1 → V2 entre los vértices de A1 y A2 tal que si {a0, . . . , ak}es un śımplice de A1 entonces {ϕ(a0), . . . , ϕ(ak)} es un śımplice de A2, y rećıpro-camente. Aśı dos complejos simpliciales son simplicialmente isomorfos si y sólo sisus complejos abstractos asociados son isomorfos.

25

4.1. COMPLEJOS ABSTRACTOS 26

Definición 4.1.4. Una realización de un complejo abstracto A es un complejosimplicial K cuyo correspondiente complejo abstracto es isomorfo a A. Aśı losvértices de K pueden ser etiquetados de tal forma que un conjunto de vértices deK generan un n-śımplice de K si y sólo si el correspondiente conjunto de vérticesde A es un n-śımplice de A.

3.1.5 Proposición 4.1.5. Todo complejo abstracto finito A de dimensión n admiteuna realización K en R2n+1.

Demostración. Sean v1, v2, . . . , vα los vértices de A y consideremos en R2n+1

los puntos de p1, p2, . . . , pα, donde

pi = (i, i2, i3, . . . , i2n+1) con 1 ≤ i ≤ α.

Probemos en primer lugar que un conjunto {pjk ; 1 ≤ k ≤ 2n+2} cualquiera de 2n+2 puntos son af́ınmente independientes; es decir, los vectores pj2−pj1 , . . . , pj2n+2−pj1son linealmente independientes en R2n+1. Esto es, el determinante

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

j2 − j1 j3 − j1 · · · j2n+2 − j1j22 − j

21 j

23 − j

21 · · · j

22n+2 − j

21

......

. . ....

j2n+12 − j2n+11 j

2n+13 − j

2n+11 · · · j

2n+12n+2 − j

2n+11

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

no es nulo. Para ello observamos que este determinante tiene el mismo valor que

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 · · · 1 1j1 j2 · · · j2n+1 j2n+2j21 j

22 · · · j

22n+1 j

22n+2

......

. . ....

...j2n+11 j

2n+12 · · · j

2n+12n+1 j

2n+12n+2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=∏

1≤l

4.1. COMPLEJOS ABSTRACTOS 27

v0 v1 v2 v0

v3 v4 v5 v3

2. Triangulación de la banda de Möbius

v1 v4 v5 v0

v0 v3 v2 v1

3. Triangulación del toro

v0 v1 v4 v0

v0 v1 v4 v0

v3

v2

v3

v2

v5

v7

v6

v8

4. Triangulación del plano proyectivo

v0 p v1

q

a

b c

d

v0pv1

q

5. Triangulación de la botella de Klein

4.1. COMPLEJOS ABSTRACTOS 28

v0 v4 v1 v0

v0 v1 v4 v0

v3

v2

v3

v2

v5

v7

v6

v8

Caṕıtulo 5

Homoloǵıa simplicial

temaHomologiaSimplicialAunque algunas ideas de la Topoloǵıa Algebraica se remontan a L. Euler (1707-

1783) no es hasta que la aparición de la homoloǵıa simplicial que Topoloǵıa Alge-braica adquiere entidad propia como parte de la Matemáticas. La homoloǵıa sim-plicial tiene sus oŕıgenes en una serie de trabajos de Poincaré durante el peŕıodo1895-1900. No obstante, estos trabajos son más un “programa de trabajo”que unestudio riguroso por lo que se tardó unos veinte años en formalizar completamentela homoloǵıa simplicial.

En este caṕıtulo damos un tratamiento sistemático de la homoloǵıa simplicial anivel combinatorio que será completado en el siguiente caṕıtulo al demostrarse quela homoloǵıa es en realidad un invariante topológico del poliedro independiente dela triangulación del mismo.

5.1. Homoloǵıa simplicial orientada5.1

Esta sección está dedicada a la versión orientada de la homoloǵıa simplicial. Elprincipio básico subyacente a esta aproximación es la idea de asignar signos a laorientaciones, lo que constituye una relación muy rudimentaria entre la Geometŕıay Álgebra.

5.1.1 Definición 5.1.1. SeaK un complejo simplicial, dado un śımplice σ = (v0, . . . , vk),se define la siguiente relación de equivalencia “∼”sobre el conjunto de las ordena-ciones de los vértices de σ:

(v0, . . . , vk) ∼ (vπ(0), . . . , vπ(k))

si π es una permutación par de los ı́ndices. Es decir, se puede pasar de un orden aotro mediante un número par de trasposiciones. Esta relación es de equivalencia yda lugar a dos clases de equivalencia que llamaremos una orientación de σ y unavez escogida, σ se dice un śımplice orientado.

Dado un q-śımplice σq ∈ K sean σq1 y σq2 las dos posibles orientaciones de σ

q

(q > 0). Dado un anillo R sea Cq(K;F) el cociente del F-espacio vectorial con basetodos los q-śımplices orientados de K por el subespacio generado por los elementosσq1 + σ

q2 . A Cq(K;F) se le llama el F-espacio vectorial de las q-cadenas simpliciales

orientadas de K (q ≥ 0) .

Nota 5.1.2. (a) Si σ = {∗} es un 0-śımplice, entonces sólo hay una orientaciónsobre σ y C0(K;F) es el F-espacio vectorial engendrado por los vértices de K.

(b) Definimos Cq(K;F) = 0 si K = ∅ y Cq(K;F) = 0 si q > dim(K) ó q < 0.(c) Obsérvese que Cq(K;F) es un F-espacio vectorial para el cual una base

se obtiene al escoger cada q-śımplice σ ∈ K con una orientación e identificar elelemento −σ de Cq(K;F) con σ orientado con la orientación opuesta

29

5.1. HOMOLOGÍA SIMPLICIAL ORIENTADA 30

Notación 5.1.3. Por [vπ(0) . . . vπ(k)] se denotará el śımplice σ = (v0 . . . vk)con la orientación definida por la permutación π.

Dados un n-śımplice τ y un (n− 1)-śımplice σ de un complejo simplicial K sellama orden de incidencia de σ en τ con coeficientes en F

[σ : τ ] ={

0∈F si τ 6≤σ1∈F en caso contrario

Si σ y τ están orientados se llama orden de incidencia orientado de σ en τ a

[σ : τ ]or =

{0 si τ 6≤σ

1∈F si τ≤σ y τ tiene la orientación inducida por σ−1∈F si τ≤σ y τ no tiene la orientación inducida por σ

Si σ está orientado por el orden [v0, . . . , vn] se llama orientación inducida por σ enτ a la orientación (−1)i[v0, . . . , v̂i, . . . , vn] si vi es el vértice que falta en τ .

Se llama F-coeficiente de incidencia (orientado) de τ en el complejo de śımpli-ces orientados K a OK(τ) =

∑σ∈K [σ : τ ] ∈ F (OK(τ) =

∑σ∈K [σ : τ ]

or ∈ F,respectivamente).

Definición 5.1.4. Definimos el q-ésimo operador borde simplicial orientado alhomomorfismo

∂q : Cq(K;F) −→ Cq−1(K;F)

como la extensión lineal de la aplicación

∂q[p0 . . . pq] =

q∑

i=0

(−1)i[p0 . . . p̂i . . . pq]

donde [p0 . . . p̂i . . . pq] indica el (q − 1)-śımplice orientado obtenido al eliminar elvértice que ocupa el lugar i.

5.1.3 Lema 5.1.5. La definición de ∂q no depende de la permutación que define[p0 . . . pq]. De hecho, si σ

q1 y σ

q2 son las dos orientaciones de σ

q se tiene

∂q(σq1 + σ

q2) = 0

Demostración. Bastará probar que para σ1 = [p0p1 . . . pq] y σ2 = [p1p0 . . . pq]se tiene ∂qσ1 + ∂qσ2 = 0. Para ello observamos que

∂qσ1 = [p1p2 . . . ]− [p0p2 . . . ] +∑

i6=0,1

(−1)i[p0p1 . . . p̂i . . . pn]

y

∂qσ2 = [p0p2 . . . ]− [p1p2 . . . ] +∑

i6=0,1

(−1)i[p1p0 . . . p̂i . . . pn]

De acuerdo con la definición de Cq−1(K;F), ∂q(σq1 + σ

q2) = 0. �

5.1.4 Lema 5.1.6. Se verifica ∂q∂q+1 = 0

Demostración. Tenemos

∂q∂q+1[p0 . . . pq+1] = ∂q

(q+1∑

i=0

(−1)i[p0 . . . p̂i . . . pq+1]

)=

q+1∑

i=0

(−1)i

q+1∑

j>i

(−1)j−1[p0 . . . p̂i . . . p̂j . . . pq+1] +

j

5.1. HOMOLOGÍA SIMPLICIAL ORIENTADA 31

Entonces el śımplice [p0 . . . p̂k . . . p̂t . . . pq+1] aparece dos veces en la expresión dearriba y con signos opuestos. Una vez cuando primero desaparece pk y otra vezcuando lo hace pt. Supongamos k < t, en el primer caso i = k < j = t y elcoeficiente es (−1)k(−1)t−1, en el segundo caso i = t > j = k y el coeficiente es(−1)t(−1)k. Por tanto todo śımplice figura con coeficiente nulo. Hemos probadoque ∂q∂q+1 es nulo sobre los generadores, y por tanto es el homomorfismo nulo. �

5.1.5 Definición 5.1.7. El complejo de cadenas positivo C∗(K;F) = {Cq(K;F), ∂q}es llamado el complejo de cadenas simpliciales orientadas de K con coeficientesen el cuerpo F. La homoloǵıa de este complejo se denota Hq(K;F) y se llama elq-ésimo F-espacio vectorial de homoloǵıa orientada de K .

Definición 5.1.8. Dadas bases {σ}σn∈K y {τ}τn−1∈K de Cn(K;F) y Cn−1(K;F),respectivamente, el operador borde ∂n se escribe entonces

∂n(σ) =∑

τ∈K

[σ : τ ]orτ

En efecto, con la notación anterior, si τ ≤ σ está orientado con la orientacióninducida de σ entonces [σ : τ ]or = 1 y τ = (−1)i[vo, . . . , v̂i, . . . , vn]. En caso con-trario, [σ : τ ]or = −1 y τ = −(−1)i(vo, . . . , v̂i, . . . , vn). En otras palabras, la matrizrepresentando ∂n tiene respecto a las bases elegidas la forma siguiente

. . .... . . .

. . . [σ : τ ]or . . .

. . ....

. . .

Esta matriz es la llamada la n-ésima matriz de incidencia.

Nota 5.1.9.

a) Obsérvese que ∂(σ) es la suma de los (n − 1)-śımplices del borde de σ con susorientaciones inducidas.

b) Por tanto, si F es un cuerpo que contiene a Z ⊆ F como subanillo (e.g. Q,R,C)entonces la matriz de ∂n está constituida por 0 y ±1 ∈ Z. En particular, su trazaes un número entero.

c) Si F = Z2 entonces [σ : τ ]or = [σ : τ ] y ∂(σ) =∑

τ∈K [σ : τ ]τ .

5.1.6 Proposición 5.1.10. Si K 6= ∅, el complejo positivo {Cq(K;F), ∂q} admiteaumento.

Demostración. Sea ε : C0(K;F) −→ R el homomorfismo extensión lineal deε(p) = 1 para todo vértice p ∈ K. La composición

C1(K;F)∂1−→ C0(K;F)

ε−→ F

es nula. En efecto, si tomamos [p0, p1] ∈ C1(K;F)

ε∂1[p0, p1] = ε(p1 − p0) = 1− 1 = 0.

�

Notación 5.1.11. Denotaremos por H̃q a los F-espacios vectoriales de homo-loǵıa orientada reducida de K.

5.1. HOMOLOGÍA SIMPLICIAL ORIENTADA 32

Proposición 5.1.12. Sean K1,K2 complejos simpliciales y ϕ : K1 −→ K2una aplicación simplicial. Entonces ϕ induce un homomorfismo de complejos decadenas C(ϕ) definido por la extensión lineal de C(ϕ)[p0 . . . pq] = [ϕ(p0) . . . ϕ(pq)]si no aparecen vértices repetidos y C(ϕ)[p0 . . . pq] = 0 en caso contrario.

En particular si ϕ = Id entonces C(ϕ) = Id y si ψ : K2 −→ K3 es otraaplicación simplicial se tiene C(ψ ◦ ϕ) = C(ψ) ◦ C(ϕ).

Demostración. Es inmediato que la definición de C(ϕ) no depende de per-mutación que define la orientación; comprobemos la igualdad ∂q ◦C(ϕ) = C(ϕ)◦∂q.Si ϕ no repite ningún vértice tenemos

C(ϕ)∂q([p0 . . . pq]) = C(ϕ)

(q∑

i=0

(−1)i[p0 . . . p̂i . . . pq]

)=

=

q∑

i=0

(−1)i([ϕ(p0) . . . ˆϕ(pi) . . . ϕ(pq)]) = ∂qC(ϕ)([p0 . . . pq])

Si ϕ repite algún vértice, digamos ϕ(pi) = ϕ(pj), entonces se tiene que ∂qC(ϕ)([p0 . . . pq]) =0. Por otro lado

q∑

i=0

(−1)iC(ϕ)([p0 . . . p̂i . . . pq]) = 0

pues si k 6= i, j C(ϕ)([p0 . . . p̂k . . . pq]) = 0 y, suponiendo que i < j, se tiene

(−1)i[ϕ(p0)... ˆϕ(pi)...ϕ(pj)...ϕ(pq)] + (−1)j [ϕ(p0)...ϕ(pi)... ˆϕ(pj)...ϕ(pq)] = 0

ya que, en caso de no haber más vértices repetidos, como ϕ(pi) = ϕ(pj) el númerode trasposiciones para pasar del primer śımplice ordenado al segundo es j − i − 1.Obsérvese que ϕ(pj) ocupa el lugar j−1 en el primer śımplice. La fórmula C(ψ◦ϕ) =C(ψ)C(ϕ) sigue fácilmente por la propia definición de C(ϕ). �

Corolario 5.1.13. Toda aplicación simplicial ϕ : K1 −→ K2 induce un ho-momorfismo

ϕ∗ : Hq(K1;F) −→ Hq(K2;F)

tal que (ψ ◦ ϕ)∗ = ψ∗ ◦ ϕ∗ e Id∗ = Id.

Notación:

Notación 5.1.14. Con el fin de simplificar la notación usaremos también ϕ∗como notación alternativa a C(ϕ) si no hay lugar a confusión.

5.1.9 Proposición 5.1.15. Sea K un complejo simplicial. Consideramos el complejocono L = v ∗K. Entonces la homoloǵıa orientada de L es Hq(L;F) = 0 para todo

q 6= 0 y H0(L;F) ∼= F. En el caso reducido H̃q(L;F) = 0 para todo q.

Demostración. Consideremos el complejo de cadenas D = {Dq, ∂q} donde

Dq = 0 si q 6= 0 y D0 = R. Definimos τq : {Dq, ∂̃q} −→ {Cq, ∂q} por τq = 0si q 6= 0 y τ0(λ) = λv. Aqúı Cq denota el complejo Cq(L;F). Por otra parte seaεq : {Cq, ∂q} −→ {Dq, ∂̃q} dada por εq = 0 si q 6= 0 y ε0 el aumento de

5.1.65.1.10,

esto es, ε0(w) = 1 para todo vértice w ∈ L. Se tiene claramente que ε ◦ τ = IdD.Probaremos ahora que τ ◦ ε es homotópica a la identidad, para ello consideramosla familia de homomorfismos

{hq : Cq(L;F) −→ Cq+1(L;F)}

5.1. HOMOLOGÍA SIMPLICIAL ORIENTADA 33

dados por las extensiones lineales de

hq([p0 . . . pq]) =

{[v, p0 . . . pq] si pi 6= v 0 ≤ i ≤ q q ≥ 00 en otro caso

Es fácil comprobar que esta definición es compatible con el cociente que defineCq(L;F) en

5.1.15.1.1. Veamos ahora la igualdad ∂q+1hq + hq−1∂q = IdCq − τqεq para

todo q. Si q < 0 el resultado es trivial. Si q = 0 y p 6= v entonces (∂1h0+h−1∂0)(p) =∂1[v, p] = p− v = (Id0 − τ0ε0)(p). Si ahora p = v se tiene que el primer término es0, y también Id0(v) − τ0ε0(v) = v − v = 0. Para q > 0 si v 6= pi entonces:

(∂q+1hq + hq−1∂q)[p0 . . . pq] =

= ∂q+1[v, p0 . . . pq] + hq−1

(q∑

i=0

(−1)i[p0 . . . p̂i . . . pq]

)=

= [p0 . . . pq] +

q∑

i=0

(−1)i+1[v, p0 . . . p̂i . . . pq] +

q∑

i=0

(−1)i[v, p0 . . . p̂i . . . pq] =

= [p0 . . . pq] = (IdCq − τqεq)[p0 . . . pq]

pues τq ◦ εq = 0. Finalmente si v = pi0 para algún i0, entonces:

(∂q+1hq + hq−1∂q)[p0 . . . pq] = hq−1∂q[p0 . . . pq] =

= hq−1

(q∑

i=0

(−1)i[p0 . . . p̂i . . . pq]

)= (−1)i0hq−1[p0 . . . p̂i0 . . . pq] =

= (−1)i0 [v, p0 . . . p̂i0 . . . pq] = (−1)i0 [pi0 , p0 . . . p̂i0 . . . pq]) =

= [p0 . . . pq].

Por tanto {τq} y {εq} son equivalencias de homotoṕıa entre complejos de cadenasy en particular {εq} induce un isomorfismo

ε∗ : Hq(L;F)∼=−→ Hq(D)

lo que implica la proposición para el caso no reducido. Para el caso reducido con-

sideramos el complejo aumentado D̃ dado por el aumento IdR : D0 → R. Es claroque la homoloǵıa de D̃ es trivial. Además los homomorfismos ε y τ pueden serextendidos a homomorfismos ε̃ y τ̃ entre los correspondientes complejos aumen-tados por ε̃−1 = τ̃−1 = IdR. Finalmente la misma homotoṕıa hq prueba que ε̃ yτ̃ son equivalencias de homotoṕıa entre los complejos de cadenas aumentados y

aśı H̃q(L;F) = 0 para todo q. �

5.1.9’ Corolario 5.1.16. La homoloǵıa simplicial orientada reducida de todo śımpli-ce es nula.

homologesferas Corolario 5.1.17. Sea•σ el borde del n-śımplice σn. Entonces H̃n−1(

•σ;F) ∼= F

y nula en otro caso. Además un generador en el caso no trivial es la clase de lacadena ∂(σ).

Demostración. Se tiene que los complejos (aumentados) de cadenas orienta-

das de σ y•σ coinciden hasta dimensión q ≤ n−1. Por tanto de

5.1.9’5.1.16 se deduce que

H̃q(•σ;F) = 0 para q ≤ n− 2. También tenemos Cq(

•σ;F) = 0 para q ≥ n. Por tanto

H̃n−1(•σ;F) = ker ∂n−1, donde ∂n−1 indica el operador borde en ambos complejos

aumentados (esto es, ∂0 = ε es el aumento). Puesto que el complejo aumentadode σ tiene homoloǵıa trivial, entonces ker ∂n−1 = Im∂n, y además ∂n es inyectivo

donde el operador borde ∂n : Cn(σ;F) → Cn−1(σ;F) = Cn−1(•σ;F) aparece en el

5.1. HOMOLOGÍA SIMPLICIAL ORIENTADA 34

complejo de σ. Puesto que Cn(σ;F) es isomorfo a F generado por σ se sigue Im∂n,

y por tanto H̃n−1(•σ;F), es isomorfo a F generado por ∂(σ). �

Definición 5.1.18. Sea K un complejo simplicial y L ⊆ K un subcomplejo.Entonces el complejo de cadenas {Cq(L;F), ∂′q} donde ∂

′q = ∂q|Cq(L;F) es un sub-

complejo de {Cq(K;F), ∂q} y se llama homoloǵıa orientada relativa del par (K,L)a la homoloǵıa del complejo de cadenas relativas:

C∗(K,L;F) = {Cq(K,L;F), ∂̃q} = {Cq(K;F)/Cq(L;F), ∂̃q}

donde ∂̃q es el paso al cociente del operador borde ∂q.

Proposición 5.1.19. Si L es un subcomplejo de K se tiene la sucesión exactade homoloǵıa simplicial orientada de (K,L)

. . . −→ Hq(L;F)i∗−→ Hq(K;F)

j∗−→ Hq(K,L;F)

∂∗−→ Hq−1(L;F) −→ . . .

Demostración. Se sigue al considerar la sucesión exacta de complejos decadenas:

0 −→ C∗(L;F)i−→ C∗(K;F)

j−→ C∗(K;L;F) −→ 0.

Donde i es la inclusión canónica y j es la proyección natural. Verc72.2.7. �

Nota 5.1.20. Si reemplazamos Cq(K) y Cq(L) por los complejos con aumen-

to C̃q(K) y C̃q(L) obtenemos que el complejo relativo con aumento coincide conel propio complejo (ver

c122.2.12(a)) y tenemos aśı la sucesión exacta de homoloǵıa

simplicial orientada reducida.

. . . −→ H̃q(L;F) −→ H̃q(K;F) −→ Hq(K,L;F) −→ H̃q−1(L;F) −→ . . .

La siguiente proposición es una consecuencia inmediata de la exactitud de lasucesión del par y de

homologesferas5.1.17

homologpar Proposición 5.1.21. Si σ es un n-śımplice (n ≥ 1), se tiene

Hq(σ,•σ;F) ∼= H̃q−1(

•σ;F) ∼=

{F si q = n0 en otro caso

Además un generador de Hq(σ,•σ;F) es el propio śımplice (orientado) σ.

5.1.13 Proposición 5.1.22. Sea K un complejo simplicial, K1 y K2 dos subcomplejosde K. Entonces existe una sucesión exacta (sucesión de Mayer-Vietoris):

. . .→ Hq(K1∩K2;F)ϕ→ Hq(K1;F)⊕Hq(K2;F)

ψ→ Hq(K1∪K2;F)

∆→ Hq−1(K1∩K2;F)→ . . .

donde ϕ(x) = (i1∗(x),−i2∗(x)) y ψ(x) = j1∗(x) + j2∗(x) con jt : Kt → K1 ∪K2 eit : K1 ∩K2 → Kt (t = 1, 2) las correspondientes inclusiones.

Demostración. Tenemos porc4392.2.9 que la sucesión:

→ Hq(C1 ∩C2;F)ϕ→ Hq(C1;F)⊕Hq(C2;F)

ψ→ Hq(Im j)

∆→ Hq−1(C1 ∩ C2;F)→

es exacta, donde Ci = {Cq(Ki;F); ∂q} i = 1, 2. Ahora bien, obsérvese que porser Ci complejo libre, se tiene que C1 ∩ C2 = C∗(K1 ∩ K2;F). Además Imj =C∗(K1 ∪K2;F); en efecto, que Imj ⊆ Cq(K1 ∪K2;F) se tiene de manera trivial.Si σ ∈ K1 ∪K2 es un śımplice orientado, entonces σ ∈ K1 ó σ ∈ K2; si por ejemploσ ∈ K1 entonces j(σ, 0) = σ con lo que σ ∈ Imj. De manera similar se tendŕıasi σ ∈ K2, y por tanto se tiene la inclusión Cq(K1 ∪ K2;F) ⊆ Imj al estar todoelemento básico de Cq(K1 ∪K2;F) en Imj. �

5.1. HOMOLOGÍA SIMPLICIAL ORIENTADA 35

5.1.14 Nota 5.1.23. (a) La sucesión exacta de5.1.135.1.22 también es válida para la ho-

moloǵıa reducida de acuerdo conc122.2.12(b).

b) Por el segundo teorema de isomorf́ıa tenemos para todo q el isomorfismo

iq : Cq(K2;F)/(Cq(K1;F) ∩ Cq(K2;F))∼=−→

(Cq(K1;F) + Cq(K2;F))/Cq(K1;F) = Cq(K1 ∪K2;F)/Cq(K1;F)

que induce isomorfismos (teorema de escisión de la homoloǵıa simplicial)

i∗ : Hq(K2,K1 ∩K2;F) ∼= Hq(K1 ∪K2,K1;F).

Estos isomorfismos son llamados isomorfismos de escisión. Más aún, de acuerdocon la definición de ∆ (ver

c72.2.7) se tiene que ∆ es la composición

Hq(K1 ∪K2;F)j∗→ Hq(K1 ∪K2,K1;F)

i∗←−∼=Hq(K2,K1 ∩K2;F)

∂∗→ Hq−1(K1 ∩K2;F)

donde ∂∗ es el operador borde de la sucesión del par (K1,K1 ∩K2).

A partir de aqúı estamos en disposición de calcular la homoloǵıa de espaciosbien conocidos. Comenzamos recordando que un colapso K ցց L es una sucesiónde colapsos elementales K = K0 ց K1 ց . . .Kn = L, donde Ki colapsa ele-mentalmente a Ki+1 si existe un śımplice σi ∈ Ki y una cara τi < σi tal queKi+1 = Ki − {σi, τi}. Ver ejercicio

B-pl2.50?? para más detalles.

calcola Proposición 5.1.24. Sea L ⊆ K un subcomplejo al cual colapsa K. EntoncesK y L tienen la misma homoloǵıa (reducida).

Demostración. Bastará suponer que tenemos un colapso elementalK ց L =K − {σ, τ} a través de la cara libre τ < σ. En tal caso, aplicamos la sucesión deMayer-Vietoris en

5.1.135.1.22 a K,K1 = L y K2 = σ. Entonces K1∩K2 es el cono sobre

•τ y aśı todas las homoloǵıas reducidas de K2 y K1 ∩K2 son triviales por

5.1.95.1.15 y

5.1.9’5.1.16. De aqúı se sigue inmediatamente un isomorfismo H̃