ikasmaterialak.ehu.eus · HITZAURREA Euskal Herriko Unibertsitateko Zientzia eta Teknologia Fakultatean, Fisika lizentziaturaren bigarren ikasturtean, «Mekanika eta Uhinak I» eta

MEKANIKA KLASIKOA

Juan M. AguirregabiriaFisika Teorikoa eta Zientziaren Historia Saila

etaEuskara Institutua

Universidad

eman ta zabal zazu

Euskal Herrikodel País Vasco Unibertsitatea

ii

Mekanika Klasikoa

Copyright c© 2000–2004 Juan M. AguirregabiriaEuskal Herriko Unibertsitatea,Zientzia eta Teknologia Fakultatea,Fisika Teorikoa eta Zientziaren Historia Saila,P. K. 644, 48080 Bilbo.

Telefonoa: +34 946015915Faxa: +34 946015399Posta elektronikoa: [email protected] orria: http://tp.lc.ehu.es/jma.html

Osorik edo zatiz, eskuz, makinaz zein informatikaz kopiatzea, jabearenidatzizko baimenik gabe, debekaturik dago.

LEHEN ARGITARALDIA : 2004.EKO UZTAILAREN 2

Egileak berak konposatu du testu hau LATEX 2ε formatuan eta egin ditu ar-gazki gehienak. Halaber, irudi gehienak egilearenDynamics Solverprogramaren bidez marraztu dira.

ISBN 84-8373-631-4

Azalean:Brakistokronoaren problema: Hiru bolatxo berdin aldi berean askatzen badira ezkerreko zuloetatik, zeinheltzen da lehenago eskuineko ontzira? (Ikus6.48problema.)

Aurreko orrialdean :Pendulu bikoitzaren eboluzio laua marruskadurarik gabe. Bi hagatxoak berdinak eta masa gabekoak diraeta mutur batetik loturik daude. Hagatxo baten beste muturra puntu finko batetik eseki da eta besteareneanmasa bat dago. Hasieran hagatxoak geldirik eta (ia) posiziobertikalean zeuden, puntu finkoa duena gorantzeta bestea beherantz. Masaren higidura jarraitua marraztuarren, hagatxoenak hobeto ikusteko estrobosko-pio bat erabili da. Ikus242. orriko 6.10problema eta hurrengo simulazioa:http://tp.lc.ehu.es/jma/mekanika/oszilazioak/bikoitza.ds

mailto:[email protected]://tp.lc.ehu.es/jma.htmlhttp://tp.lc.ehu.es/jma/mekanika/oszilazioak/bikoitza.ds

iii

NIRE IKASLEEI

HITZAURREA

Euskal Herriko Unibertsitateko Zientzia eta Teknologia Fakultatean, Fisika lizentziaturarenbigarren ikasturtean, «Mekanika eta Uhinak I» eta «Mekanika eta Uhinak II» ikasten ari dire-nentzat idatzi da testu hau —baina honek ez du esan nahi, inondik ere, ikasleak beste testuli-bururik erabili behar ez duenik: ikasten dena ulertzen eta sakontzen laguntzen dute ikuspuntudesberdinek—. Azken hamaika ikasturteetako esperientziaz baliatu naiz liburu hau idazteko etaazken lau urteetan ikasleek erabili dituzte aurreko idatzaldiak.

Lehen ikasturtean mekanikari buruz ikasten denaren laburpen aurreratua da1. gaia, ikasleakhan lortu zuen ezagutza finkatzen laguntzeko asmoz idatzia.Gai horretako oinarrizko kontzeptufisiko emankorrak oso lagungarriak izango zaizkio beste gaiak ondo ulertzeko.2. gaia ere lehenikasturtean ikusi da, baina hemen tresna matematiko ahaltsuagoak —matrizeak, hain zuzen—erabiltzen dira.3. gaian erlatibitate berezirako sarrera erraz bat egiten daeta4.ean indar zentra-lak aztertzen dira. Solido zurruna da5. gaiaren aztergaia eta mekanika analitikoa6.arena. Oszi-lazio linealak7. gaian ikasi ondoren, kasu ez-linealak aztertu beharko lirateke; baina ikastorduakurriak direnez, ez dira programan sartzen. Hala ere,8. gaian kaos deterministarako sarrera batjarri da. Uhinak aztertzen dira9. gaian eta elastikotasuna eta fluidoen mekanika10.ean. Materialgehigarria ugaria da: datu fisiko, astronomiko eta matematikoen taulakA eranskinean biltzen di-ra eta osagarri matematikoakB delakoan. Badago, gainera, problemak ebazteko lagungarrigertadaitezkeen metodo orokorren bilduma batC eranskinean. Ariketa asko tartekatzen dira testuan,ikasleak teorian azaldutakoa ulertu ote duen egiazta dezan. Enuntziatuan agertzen ez bada, ari-keta bakoitzaren soluzioaD eranskinean dago. Gaien amaieran berrogeita hamar bat problemaebazten dira: batzuek teoria garatzen dute, beste batzuetan kalkulua nahiko luzea da eta, asko-tan, problemak ebazteko teknika interesgarriak erakustendira. Gainera, ebatzi gabeko problemaklaurehun baino gehiago dira eta gehienen soluzioak egiaztatzeko behar denaE eranskinean dago.Amaieran hiztegitxo tekniko bat dago, ikasleak jakin dezannola esaten den euskaraz ikasi duenafrantsesez, gaztelaniaz eta ingelesez.

Testuan ikasturte batean ikus daitekeena baino gehiago badago ere, aitortu behar da testuli-buru on askotan aztertzen diren zenbait gai —hala nola potentzialaren teoria— falta direla etabeste batzuen azalpena —solido zurrunaren kasuan, adibidez— ez dela sakonegia. Bestalde, gaierakargarrienak —astrofisika, adibidez— ikasi baino lehenago egin behar den fisikaren ikasketasistematiko luzeak aspertzea eta etsipena sorraraz ditzake batzuetan ikasleengan. Problema haugainditzen laguntzeko, askotan liburuetan ikusten ez diren problema eta gai interesgarri batzuksartu dira testuan. Horrela, goian esan dugun bezala, programan ez dagoen kaos determinista az-tertzen da. Gai hau, ahal dela, ordutegi normaletik at irakatsiko da ordenagailu-gelan, bide batezikasleak zenbakizko simulazioa egiten ikas dezan. Ikaslearen jakin-mina sortzeko asmo berakbultzatu nau Interneten simulazio askotxo jartzera: dagozkien helbideak testuan agertzen dira etazuzenean erabil daitezke idatzaldi elektronikotik.

v

vi HITZAURREA

Dokumentu elektronikoaren erabilera

Testu honen idatzaldi elektronikoa ikusteko edo inprimatzeko, Acrobat Reader programabehar duzu. Doakoa da eta, oraindik ez badaukazu, hurrengo orrian lor dezakezu:http://www.adobe.com/products/acrobat/readermain.html.

Testu hau ordenagailuaren pantailan ikusten ari bazara, paperezko idatzaldiak ez dituen hi-pertestuaren abantailak erabil ditzakezu. Horrela, formula bat aipatzen den bakoitzean, bere zen-bakian klik eginez gero, formula dagoen orria ikusiko da pantailan. Aurreko posiziora itzultzeko,erabiliView/Go To/Previous Viewmenua edo sakatu atzera egiteko botoia:

Gauza bera egin daiteke irudien, taulen, atalen, erreferentzien, orrien, orri-oinen zenbakietan etahatz erakuslea agertzen den bakoitzean, hala nola WWW helbide baten gainean dagoenean. Az-ken kasuan, Internetekin konektatuta egonez gero, dagokion orria zabalduko da edo, dokumentubaten helbidearen kasuan, dokumentua ekartzeko edo zabaltzeko aukera edukiko duzu. Gogora-tu dokumentu batzuk zabaltzeko, programa egokia behar duzula ordenagailuan. Testu honetangehien erabiltzen dena, hurrengo orritik doan lor daitekeen Dynamics Solver da:http://tp.lc.ehu.es/jma/ds/ds.html.

Huts-zuzenketak eta material osagarria

http://tp.lc.ehu.es/jma/mekanika.html orrian aurki dezakete goian aipaturiko biikasgaietan matrikulatutako ikasleek material osagarria: ikasgaien programak, problema-zerren-dak, liburu honenhutsen zuzenketak, azterketen soluzioak, zenbakizko simulazioak, eta abar.

Eskerrak

Eskerrik asko Ruben Alfonsori eta Unai Iriondori aurkitu zituzten hutsengatik eta Javi Zúñi-gari9.77irudiko Laue-ren diagramagatik.

Zunbeltz Izaolak asmatu zuen nola idatzi LATEX 2ε delakoan marratxo bat hurrengo lerroarenhasieran, lerro-aldaketa hitz elkartu baten marratxoan gertatzen denean1. Eskerrik asko Zunbeltz.

Jazinto Iturbek [38] liburuari buruz egin zizkidan oharrak kontuan eduki dituttestu honenazken orrazketan.

Euskara Zerbitzuko Xabier Alberdik egin zizkidan oharrak eta zuzenketak onuragarriak izandira. Besteak beste, jakinarazi zidan «kontserbakor» eta «konjokatu» hitzak, aspaldidanik erabil-tzen baditugu ere, ez direla egokiak: orain «kontserbatzaile» eta «konjugatu» erabiltzen ditut.

Bereziki eskertu nahi dut Martín Rivasen laguntza, ezin ordainduzkoa izan baita5.14 irudikoesperimentua egiterakoan. Gainera, Martíni zor diot, besteak beste,9.40 irudiko ostadarrarenargazkia.

Leioa, 2000–2004 ikasturteak

1Ikushttp://tp.lc.ehu.es/jma/basque.html.

http://www.adobe.com/products/acrobat/readermain.htmlhttp://tp.lc.ehu.es/jma/ds/ds.htmlhttp://tp.lc.ehu.es/jma/mekanika.htmlhttp://tp.lc.ehu.es/jma/mekanika/zuzenketak.pdfhttp://tp.lc.ehu.es/jma/basque.html

AURKIBIDE OROKORRA

HITZAURREA vDokumentu elektronikoaren erabilera . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . viHuts-zuzenketak eta material osagarria . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . viEskerrak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .vi

IRUDIEN ZERRENDA xxiv

TAULEN ZERRENDA xxv

1 Oinarrizko kontzeptuak 11.1 Partikula puntualaren zinematika . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 2

1.1.1 Geometria euklidearra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21.1.2 Posizioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31.1.3 Denbora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41.1.4 Abiadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51.1.5 Azelerazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

1.2 Partikula puntualaren dinamika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 81.2.1 Galileo-ren inertziaren legea . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 81.2.2 Newton-en bigarren legea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 111.2.3 Akzio eta erreakzioaren printzipioa . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 15

1.3 Bulkada, lana eta energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 151.3.1 Bulkada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151.3.2 Potentzia eta energia zinetikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 161.3.3 Lana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161.3.4 Indar kontserbatzaileak eta energia potentziala . . .. . . . . . . . . . . 171.3.5 Indar-eremu zentralak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 191.3.6 Dimentsio bakarreko indar-eremua . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 191.3.7 Osziladore harmonikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .201.3.8 Energia mekanikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .201.3.9 Marruskadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

1.4 Ebazpen-metodoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .221.4.1 Denboraren menpeko indarra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 221.4.2 Higidura-konstanteak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 231.4.3 Aldagaien banantzea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .241.4.4 Koefiziente konstanteetako ekuazio diferentzial linealak . . . . . . . . . 251.4.5 Hurbilketak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .261.4.6 Metodo kualitatiboak: energia-diagramak . . . . . . . . .. . . . . . . 27

vii

viii AURKIBIDE OROKORRA

1.5 Partikula-sistemak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 311.5.1 Magnitude kolektiboak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .311.5.2 Eboluzio-ekuazio kolektiboak . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 331.5.3 Kontserbazio-printzipioak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 331.5.4 Talkak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .331.5.5 Masa-zentroa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .341.5.6 Bi gorputzen problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .361.5.7 Talka elastikoak bi gorputzen probleman . . . . . . . . . . .. . . . . . 37

1.6 Problema ebatziak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 431.6.1 Abiadura limitea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .431.6.2 Bulkada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .431.6.3 Oreka erlatiboa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .441.6.4 Talka elastikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .451.6.5 Soluzio triangeluarrak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 45

1.7 Problemak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47

2 Higidura erlatiboa 532.1 Translazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54

2.1.1 Partikula-sistemak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 552.1.2 Masa-zentroaren sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55

2.2 Orientazioa eta biraketak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 562.3 Euler-en angeluak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 58

2.3.1 ϕ angelua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .582.3.2 θ angelua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .592.3.3 ψ angelua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60

2.4 Abiadura angeluarra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 612.5 Erreferentzia-sistema ez-inertzialak . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 642.6 Inertzia-indarrak Lurraren gainazalean . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 67

2.6.1 Laborategiko sistema erraztua . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 672.6.2 Grabitate-azelerazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 692.6.3 Higidura bertikala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .702.6.4 Higidura horizontala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .702.6.5 Foucault-en pendulua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .712.6.6 Grabitatearen eraginpeko higidura . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 72

2.7 Problema ebatziak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 732.7.1 Alderanzketak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .732.7.2 Biraketa-ardatza eta biraketa-angelua . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 742.7.3 Hiru gorputzen problema murriztu zirkularra . . . . . . .. . . . . . . . 742.7.4 Lagrange-renL4 etaL5 puntuak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .752.7.5 Coriolis-en efektua ekuatorean . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 76

2.8 Problemak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77

3 Erlatibitate berezia 813.1 Mekanika «galilearra» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 82

3.1.1 Erreferentzia-sistema inertzialak . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 823.1.2 Gertaerak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83

3.2 Einstein-en postulatuak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 84

AURKIBIDE OROKORRA ix

3.3 Minkowski-ren diagramak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 853.3.1 Aldiberekotasuna erlatiboa da. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.4 Lorentz-en transformazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 873.4.1 Minkowski-ren diagramak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89

3.5 Luzeraren uzkurdura eta denboraren zabalkuntza . . . . . .. . . . . . . . . . . 903.5.1 Lorentz eta Fitzgerald-en uzkurdura . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 903.5.2 Denboraren zabalkuntza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 92

3.6 Espazio-denborako tartea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 943.6.1 Espazio motako tarteak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .953.6.2 Denbora motako tarteak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .963.6.3 Argi motako tarteak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .973.6.4 Argi-konoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98

3.7 Abiaduraren transformazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 993.8 Momentu lineala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1013.9 Masa eta energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103

3.9.1 Pausaguneko energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1053.9.2 Energiaren eta momentu linealaren transformazioa . .. . . . . . . . . 1063.9.3 Masa gabeko partikulak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1073.9.4 Energia zinetikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108

3.10 Indarra eta potentzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 1083.11 Compton-en sakabanatzea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 1083.12 Fotoien igorpena eta xurgapena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 110

3.12.1 Fotoi-igorpena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1103.12.2 Fotoi-xurgapena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110

3.13 Problema ebatziak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1113.13.1 Bikien paradoxa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1113.13.2 Doppler efektua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1113.13.3 Grabitate artifiziala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1123.13.4 Masa-zentroaren sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1133.13.5 Fotoi-suziria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114

3.14 Problemak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115

4 Indar zentralak 1214.1 Higidura-konstanteak eta soluzioak . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 123

4.1.1 Dimentsio bakarreko problema baliokidea . . . . . . . . . .. . . . . . 1244.1.2 Higidura erradiala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1244.1.3 Higidura angeluarra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1254.1.4 Orbitaren ekuazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1254.1.5 Binet-en formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1264.1.6 Orbita zirkularren egonkortasuna . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 127

4.2 Indar newtondarrak: Kepler-en problema . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 1284.2.1 Energia potentzial eraginkorra . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 1284.2.2 Orbitaren ekuazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129

4.3 Kepler-en orbitak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1304.3.1 Orbita zirkularrak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1314.3.2 Orbita eliptikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1314.3.3 Kepler-en hirugarren legea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 133

x AURKIBIDE OROKORRA

4.3.4 Bertrand-en teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1334.3.5 Kepler-en ekuazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1354.3.6 Energia mekanikoa eta ardatz nagusia . . . . . . . . . . . . . .. . . . 136

4.4 Orbita irekiak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1374.4.1 Orbita parabolikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1374.4.2 Orbita hiperbolikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138

4.5 Sakabanatze newtondarra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 1414.5.1 Sekzio eragilea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1424.5.2 Rutherford-en sakabanatzea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 1444.5.3 Sekzio eragile osoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1454.5.4 Perizentroa eta nukleoen dimentsioa . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 1464.5.5 Batez besteko ibilbide askea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1464.5.6 Sekzio eragileak masa-zentroan eta laborategian . . .. . . . . . . . . . 147

4.6 Hiru gorputzen problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1484.6.1 Hiru gorputzen problema murriztu zirkularra . . . . . . .. . . . . . . . 148

4.7 Problema ebatziak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1504.7.1 Newton-en problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1504.7.2 Kurba konikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1514.7.3 Sateliteak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1514.7.4 Kometa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1524.7.5 Hohmann-en orbita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153

4.8 Problemak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155

5 Solido zurruna 1615.1 Definizioa eta higidura-ekuazioak . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 162

5.1.1 Askatasun-graduak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1625.1.2 Abiadura-eremua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1635.1.3 Higidura-ekuazioak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .164

5.2 Ardatz finko baten inguruko higidura . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 1645.2.1 Momentu angeluarra eta inertzia-momentua . . . . . . . . .. . . . . . 1655.2.2 Indar-momentua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1665.2.3 Biraketa-erradioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1675.2.4 Energia zinetikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1675.2.5 Pendulu fisikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167

5.3 Inertzia-tentsorea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 1685.3.1 Tentsoreak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1695.3.2 Inertzia-ardatz nagusiak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 1705.3.3 Balio propioen problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1705.3.4 Inertzia-momentu nagusiak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 171

5.4 Ziba simetrikoaren prezesioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 1745.5 Euler-en ekuazioak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 175

5.5.1 Higidura askea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1775.5.2 Ziba simetriko askea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1785.5.3 Higidura askea ardatz nagusi baten inguruan . . . . . . . .. . . . . . . 179

5.6 Problema ebatziak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1815.6.1 Ardatz paraleloen teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1815.6.2 Steiner-en teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181

AURKIBIDE OROKORRA xi

5.6.3 Eraztuna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1825.6.4 Esferaerdi hutsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1835.6.5 Esfera birakorra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185

5.7 Problemak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .186

6 Mekanika analitikoa 1916.1 Koordenatu orokortuak eta loturak . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 192

6.1.1 Problema mekaniko batzuk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1926.1.2 Lotura holonomoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1996.1.3 Desplazamendu birtualak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2006.1.4 Konfigurazio-espazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202

6.2 D’Alembert-en printzipioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 2036.3 Indar orokortuak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 205

6.3.1 Indar kontserbatzaileak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 2066.3.2 Potentzial orokortuak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 207

6.4 Estatika analitikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 2086.5 Bigarren motako Lagrange-ren ekuazioak . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 2106.6 Lehen motako Lagrange-ren ekuazioak . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 213

6.6.1 Problemen ebazpena mekanika analitikoan . . . . . . . . . .. . . . . . 2146.7 Hamilton-en printzipioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 217

6.7.1 Ekintza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2176.7.2 Ekintza minimoaren printzipioa . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 218

6.8 Lotura-indarrak eta Lagrange-ren biderkatzaileak . . .. . . . . . . . . . . . . 2206.8.1 Lotura-indar orokortuak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 2216.8.2 Estatika analitikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 222

6.9 Momentu kanoniko konjugatuak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 2236.9.1 Koordenatu ziklikoak eta kontserbazio-printzipioak . . . . . . . . . . . 223

6.10 Hamiltondarra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2256.10.1 Hamiltondarra eta energia mekanikoa . . . . . . . . . . . . .. . . . . 2266.10.2 Hamiltondarraren kontserbazio-printzipioa: Jacobi-ren integrala . . . .227

6.11 Legendre-ren transformazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 2286.11.1 Hamiltondarra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .229

6.12 Hamilton-en ekuazio kanonikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 2306.12.1 Fase-espazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .231

6.13 Aldagai dinamikoak fase-espazioan . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 2326.13.1 Koordenatu ziklikoak eta kontserbazio-printzipioak . . . . . . . . . . .2326.13.2 Hamiltondarraren kontserbazio-printzipioa . . . . .. . . . . . . . . . . 2326.13.3 Poisson-en makoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2336.13.4 Liouville-ren teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 234

6.14 Problema ebatziak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 2356.14.1 Lotura-indarrak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2356.14.2 Gaugealdaezintasuna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2376.14.3 Higidura-konstanteak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 2386.14.4 Oreka erlatiboa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2386.14.5 Problema baliokideak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 240

6.15 Problemak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .241

xii AURKIBIDE OROKORRA

7 Oszilazioak 2517.1 Oreka egonkorra eta osziladore harmonikoa . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 252

7.1.1 Fasoreak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2547.2 Osziladore indargetua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 255

7.2.1 Indargetze ahula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2567.2.2 Gainindargetzea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2567.2.3 Indargetze kritikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .257

7.3 Osziladore bortxatua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 2577.3.1 Indar sinusoidala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2587.3.2 Inpedantzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2597.3.3 Erresonantzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2617.3.4 Energia-erresonantzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 2637.3.5 Gainezarmenaren printzipioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 2647.3.6 Indar periodikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2647.3.7 Indar orokorra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2657.3.8 Oinarrizko problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .267

7.4 Osziladore harmoniko anisotropoa bi dimentsiotan . . . .. . . . . . . . . . . . 2677.4.1 Modu normalak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2687.4.2 Lissajous-en irudiak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 268

7.5 Oszilazio mihiztatuak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 2707.5.1 Modu normalak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2707.5.2 Oszilazio bortxatuak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .273

7.6 Oszilazio txikiak eta koordenatu normalak . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 2747.6.1 Pendulu mihiztatuak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2767.6.2 Modu normal endekatuak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2817.6.3 Modu normal nuluak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .283

7.7 Tentsiopeko soka diskretua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 2857.8 Tentsiopeko soka jarraitua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 2887.9 Problema ebatziak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 290

7.9.1 Kalitate-faktorea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2907.9.2 Oszilazio ez-linealen periodoa . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 2917.9.3 Pendulu matematikoaren periodoa . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 2917.9.4 Pendulu bikoitza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2927.9.5 Oszilazio elektrikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 295

7.10 Problemak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .297

8 Kaos determinista 3078.1 Tresna mekaniko baten eredu matematiko sinplifikatua . .. . . . . . . . . . . . 3088.2 Oszilazio periodikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 3098.3 Oszilazio indargetuak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 3108.4 Oszilazio bakartuak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 3118.5 Erakarleak eta Poincaré-ren sekzioak . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 3128.6 Oszilazio kaotikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 313

8.6.1 Erakarle bitxiak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3148.7 Fraktalak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .315

8.7.1 Dimentsio fraktala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3168.8 Okinaren transformazioa eta Liapunov-en berretzaileak . . . . . . . . . . . . . 317

AURKIBIDE OROKORRA xiii

8.9 Osin-muga fraktalak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 3188.10 Sakabanatze kaotikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 3208.11 Problema ebatziak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 322

8.11.1 Duffing-en ekuazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3228.11.2 Von Koch-en elur-maluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 322

8.12 Problemak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .324

9 Uhinak 3259.1 Definizioa eta uhin-ekuazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 3269.2 Uhin harmonikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .328

9.2.1 Fase-abiadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3299.3 Uhin periodikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3299.4 Fourier-en analisia eta espektroa . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 3319.5 Talde-abiadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3339.6 Uhin elastikoak barra batean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 334

9.6.1 Deformazio- eta tentsio-eremuak . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 3359.6.2 Higidura-ekuazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3369.6.3 Energia eta momentu linealaren hedapena . . . . . . . . . . .. . . . . 337

9.7 Presio-uhinak gas-zutabe batean . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 3389.7.1 Soinua gas idealetan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3409.7.2 Intentsitatea eta energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 340

9.8 Zeharkako uhinak tentsiopeko soka batean . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 3419.8.1 Inpedantzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3439.8.2 Polarizazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .343

9.9 Uhinak egitura periodiko batean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 3449.10 Uhinak kanal batean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 3449.11 Uhinak bi eta hiru dimentsiotan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 346

9.11.1 Uhin esferikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3489.12 Uhin elektromagnetiko lauak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 349

9.12.1 Polarizazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3529.12.2 Poynting-en bektorea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3569.12.3 Argiaren abiadura ingurune materialetan . . . . . . . . .. . . . . . . . 3579.12.4 Espektro elektromagnetikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 358

9.13 Doppler efektua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3609.13.1 Talka-uhinak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3619.13.2 Doppler efektu elektromagnetikoa . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 362

9.14 Islapena eta errefrakzioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 3649.14.1 Islapen eta errefrakzioaren legeak . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 3659.14.2 Barne-islapen osoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3699.14.3 Islapen- eta transmisio-koefizienteak . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 370

9.15 Interferentzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 3749.15.1 Bi zirrikituren esperimentua . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 3759.15.2 Iturri sinkronoen interferentzia . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 3779.15.3 Interferentzia film mehetan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 379

9.16 Uhin geldikorrak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 3819.16.1 Modu normalak eta aldagaien banantzea . . . . . . . . . . . .. . . . . 3829.16.2 Uhin geldikorrak bi dimentsiotan . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 384

xiv AURKIBIDE OROKORRA

9.16.3 Uhin geldikorrak simetria zilindrikoan . . . . . . . . . .. . . . . . . . 3859.16.4 Uhin geldikorrak hiru dimentsiotan . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 3879.16.5 Uhin-gidak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .388

9.17 Difrakzioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3909.17.1 Fraunhofer-en difrakzioa zirrikitu luze batean . . .. . . . . . . . . . . 3909.17.2 Fraunhofer-en difrakzioa zulo zirkular batean . . . .. . . . . . . . . . 3939.17.3 Fraunhofer-en difrakzioa bi zirrikitu luze berdinetan . . . . . . . . . . .3959.17.4 Difrakzio-sareak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3969.17.5 Fresnel-en difrakzioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 3989.17.6 X izpien difrakzioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .399

9.18 Problema ebatziak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 4019.18.1 Erradiazio-presioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 4019.18.2 Doppler efektua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4019.18.3 Fermat-en printzipioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 4019.18.4 Bi iturri sinkrono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4029.18.5 X izpien difrakzioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .402

9.19 Problemak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .404

10 Ingurune jarraituak 41710.1 Elastikotasuna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 41810.2 Solido elastiko isotropoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 419

10.2.1 Bolumenaren deformazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 42010.2.2 Zeharkako deformazio nulua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 42110.2.3 Kontrako esfortzuak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 42210.2.4 Ebakidura-esfortzuak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 42210.2.5 Zeharkako uhinak barra batean . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 42410.2.6 Bihurdura-uhinak barra batean . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 425

10.3 Deformazio-tentsorea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 42610.3.1 Luzetarako deformazioak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 42810.3.2 Ebakidura-deformazioak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 42810.3.3 Bolumenaren deformazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 430

10.4 Esfortzu-tentsorea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 43110.4.1 Presioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .435

10.5 Elastikotasun-tentsorea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 43510.5.1 Gorputz homogeneo isotropoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 435

10.6 Gorputz elastikoaren higidura-ekuazioak . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 43610.6.1 Indar elastikoen dentsitatea . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 43710.6.2 Eboluzio-ekuazioak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43810.6.3 Indar elastikoen momentuen dentsitatea . . . . . . . . . .. . . . . . . 43810.6.4 Solido homogeneo isotropoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 43810.6.5 Uhin elastikoak mugagabeko ingurune homogeneo isotropoetan . . . .439

10.7 Fluidoak eta abiadura-eremua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 44010.7.1 Korronte-lerroak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44110.7.2 Bortizitatea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44210.7.3 Denborarekiko deribatuak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 44210.7.4 Fluxua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44310.7.5 Jarraitutasunaren ekuazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 444

AURKIBIDE OROKORRA xv

10.7.6 Fluido konprimiezinak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44510.8 Hidrostatika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 445

10.8.1 Manometroa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44610.8.2 Barometroa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44610.8.3 Arkimedes-en printzipioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 447

10.9 Fluido idealak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44710.9.1 Bortizitatearen eboluzioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 44810.9.2 Bernoulli-ren teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 450

10.10 Fluido likatsuak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 45210.10.1 Poiseuille-ren legea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 45210.10.2 Navier eta Stokes-en ekuazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 454

10.11 Reynolds-en zenbakia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 45510.12 Stokes-en eta Newton-en legeak . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 45610.13 Gainazal-tentsioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 458

10.13.1 Mintz esferiko baten bi aldeetako presioen diferentzia . . . . . . . . . . 45910.13.2 Ukipen-angelua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46010.13.3 Kapilaritatea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 461

10.14 Problema ebatziak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 46110.14.1 Deformazio-tentsorearen balio eta bektore propioak . . . . . . . . . . .46110.14.2 Uraren konprimigarritasuna . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 46310.14.3 Pitot-en hodia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46310.14.4 Biskosimetroa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46410.14.5 Azalera osoaren bektorea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 465

10.15 Problemak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .467

ERANSKINAK 477

A Datu-taulak 479A.1 Konstante fisikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 479A.2 Partikulen masak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 480A.3 Astronomia-unitateak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 480A.4 Astroen ezaugarri fisikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 481A.5 Astroen orbita-parametroak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 481A.6 Inertzia-momentu nagusiak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 482A.7 Koloreak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .483A.8 Errefrakzio-indizeak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 483A.9 Solidoen ezaugarri fisikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 484A.10 Fluidoen ezaugarri fisikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 485A.11 Bessel-en funtzio batzuen lehenengo zeroak . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 485A.12 (sinα/α)2 funtzioaren maximoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .486

B Osagarri matematikoak 487B.1 Koordenatu-sistema erabilienak . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 487

B.1.1 Koordenatu cartesiarrak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 487B.1.2 Koordenatu polar zilindrikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 488B.1.3 Koordenatu polar esferikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 489

B.2 Eremu bektorialak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 490

xvi AURKIBIDE OROKORRA

B.2.1 Nabla eragilea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .490B.2.2 Gradientea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .490B.2.3 Errotazionala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .491B.2.4 Dibergentzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .492B.2.5 Laplacetarra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .494B.2.6 Eremu irrotazionalak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .495B.2.7 Eremu solenoidalak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .495B.2.8 Helmholtz-en teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .496B.2.9 Adibideak elektromagnetismoan . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 497

B.3 Zenbaki konplexuak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 498B.3.1 Definizioak eta Argand-en diagrama . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 498B.3.2 Aljebra konplexua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .499B.3.3 Konplexu konjugatua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .499B.3.4 Berreketa eta erroketa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 499

B.4 Integral eta funtzio eliptikoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 500B.5 Dirac-en delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .501B.6 Aldakuntzen kalkulua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 504

B.6.1 Aldaketa infinitesimalak eta mutur-puntuak . . . . . . . .. . . . . . . 504B.6.2 Loturadun muturrak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .506B.6.3 Funtzionalak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .508B.6.4 Muturreko kurbak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .508B.6.5 Loturadun muturrekoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .511

C Problemak ebazteko metodoak 513C.1 Problema ebazten hasi baino lehenago . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 513C.2 Problemaren planteamendua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 513C.3 Kalkuluak egiteko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 513C.4 Emaitzen egiaztapena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 514C.5 Bestelako laguntza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 514

D Ariketa batzuetarako iradokizunak eta soluzioak 515

E Problema batzuen soluzioak 527

BIBLIOGRAFIA 547

AURKIBIDE ALFABETIKOA 553

HIZTEGIA 573

IRUDIEN ZERRENDA

1.1 Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.2 Posizio-bektorearen osagaiak erreferentzia-sistemabatean. . . . . . . . . . . . 21.3 OXY planoko puntu baten koordenatu polarrak. . . . . . . . . . . . . . . .. . 31.4 Abiaduraren definizioa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 51.5 Abzisa lerromakurra eta arkua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 61.6 Triedro intrintsekoa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 71.7 Bi erreferentzia-sistema inertzial. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 101.8 Pendulu matematikoa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 121.9 Posizio-bektoreak estalitako azalera infinitesimala.. . . . . . . . . . . . . . . . 141.10 Akzioa eta erreakzioa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 141.11 Desplazamendu infinitesimala eta indarra. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 161.12 Malgukiaren deformazioa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 201.13 Oszilazio indargetua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 251.14 Energia-diagrama. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 271.15 Energia potentzial elastikoa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 281.16 Energia elastikoaren eboluzioa marruskadura dagoenean. . . . . . . . . . . . . 291.17 Indarraren noranzkoa oreka-puntuen inguruan. . . . . . .. . . . . . . . . . . . 291.18 Hurbilketa parabolikoa energia potentzialaren minimo baten inguruan. . . . . . 301.19 Masa-zentroaren sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 351.20 Bi gorputzen problemaren geometria. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 361.21 Jaurtigaia eta jomuga talka aurretik eta ondoren. . . . .. . . . . . . . . . . . . 371.22 Talka elastikoa masa-zentroaren sisteman. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 381.23 Laborategiaren eta masa-zentroaren arteko transformazioak. . . . . . . . . . . . 391.24 Laborategiko sisteman egindako azterketa. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 391.25 Talka elastikoaren grafiko osoa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 401.26 Energia zinetikoaren transferentzia maximoa. . . . . . .. . . . . . . . . . . . 411.27 Sakabanatze-angeluen arteko erlazioa. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 411.28 Sakabanatze-angelua laborategian eta masa-zentroaren sisteman. . . . . . . . .421.29 Norantz higituko da? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 49

2.1 Foucault-en pendulua Pariseko Panteoian 1851n eta 2003an. . . . . . . . . . . 532.2 Bi erreferentzia-sistema eta partikula bat. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 542.3 Jatorri berekoS etaS ′ triedroak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .562.4 OZ ardatz bereko bi erreferentzia-sistema. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 582.5 S etaS1 erreferentzia-sistemak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .592.6 S1 etaS2 erreferentzia-sistemak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .592.7 S2 etaS ′ erreferentzia-sistemak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .602.8 Euler-en angeluak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 60

xvii

xviii IRUDIEN ZERRENDA

2.9 Bi triedro orokorren arteko erlazioa. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 612.10 Modulu konstanteko bektorearen biraketa infinitesimala. . . . . . . . . . . . . 632.11 Tarteko erreferentzia-sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 642.12 Higidura zirkularra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 652.13 Partikularen sistema propioa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 662.14 Lurra eta laborategiko sistema erraztua. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 672.15 Laborategiaren abiadura eta azelerazioa. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 682.16 Pisua neurtzeko dinamometroa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 692.17 Erakarpen grabitatorioa eta indar zentrifugoa meridianoaren planoan. . . . . . .702.18 Coriolis-en indarra higidura horizontalean. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 712.19 Foucault-en penduluaren oszilazio-planoaren biraketa. . . . . . . . . . . . . . . 712.20 Tiro parabolikoa plataforma birakor batean . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 78

3.1 Argiaren abiadura neurtzeko Foucault-ek erabili zuen tresna. . . . . . . . . . . 813.2 Bi erreferentzia-sistema inertzialakv > 0 denean. . . . . . . . . . . . . . . . .833.3 S etaS ′ erreferentzia-sistemen Minkowski-ren diagramak. . . . . . .. . . . . 853.4 S ′ sisteman geldi dagoen partikularen unibertso-lerroa bi sistemetan. . . . . . . 853.5 I iturritik igorritako fotoiakD1 etaD2 detektagailuetara iristen dira. . . . . . .863.6 γ koefiziente zinematikoaren grafikoa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 883.7 S ′ sistemaren ardatzak, puntu finkoak eta gertaera aldiberekoak. . . . . . . . . 893.8 Luzera propioaren neurketa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 903.9 Gorputz higikorraren luzeraren neurketa. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 913.10 Denbora propioaren neurketa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 923.11 Erloju higikorraren denboraren neurketa. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 923.12 Rossi eta Hall-en esperimentua Lurraren eta muoien sistemetan. . . . . . . . . 933.13 Espazio motako tartea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 953.14 Denbora motako tartea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 963.15 Argi motako tartea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 973.16 G0 gertaeraren argi-konoa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .983.17 Buruz buruko talka elastiko simetrikoa. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 1013.18 Talka simetrikoa partikula baten higidura horizontala kendu ondoren. . . . . . .1023.19 Talka simetrikoa lerro batean. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 1033.20 Compton-en sakabanatzea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 109

4.1 Simulazio mekanikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1214.2 Partikula bat indar-eremu zentral batean eta bi partikulen problema. . . . . . . .1224.3 Momentu angeluarra eta koordenatu polarrak higidura-planoan. . . . . . . . . .1234.4 Posizio-bektoreak∆t tartean estalitako azalera. . . . . . . . . . . . . . . . . .1244.5 Energia potentzial eraginkorra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 1284.6 Perizentroaren posizioa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 1304.7 Orbita bornatuak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1314.8 Orbita eliptikoa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1324.9 Potentzial eraginkorra eta absideen prezesioaV = kr kasuan. . . . . . . . . . .1344.10 Bi orbitaV = kr kasuan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1344.11 Anomalia eszentrikoa eta benetakoa. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 1354.12 Anomalia eszentrikoaren eboluzioa. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 1364.13 Orbita parabolikoa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 138

IRUDIEN ZERRENDA xix

4.14 Orbita hiperbolikoak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 1394.15 Sakabanatze newtondarra ardatzen bi aukera desberdinekin. . . . . . . . . . . .1414.16 Sorta baten sakabanatzea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 1424.17 Esfera tinkoa eta partikulen sakabanatzea. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 1434.18 Geiger eta Marsden-en esperimentuaren eskema. . . . . . .. . . . . . . . . . . 1444.19 α partikulen sakabanatzea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1454.20 Ibilbide askea eta partikula-sortaren intentsitatea. . . . . . . . . . . . . . . . .1464.21 Bi gorputzen problema murriztu zirkularraren orbita bat. . . . . . . . . . . . .1484.22 Puntu lagrangearrak eta bi orbita Lurraren eta Ilargiaren sisteman. . . . . . . .1494.23 Arenstorf-en orbita bat sistema birakorrean eta masa-zentroarenean. . . . . . .1494.24 Arenstorf-en beste bi orbita sistema birakorrean. . . .. . . . . . . . . . . . . . 150

5.1 Giroskopioaren prezesioa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 1615.2 Solido zurrunaren konfigurazioa ezagutzeko metodoa. . .. . . . . . . . . . . . 1625.3 Solido zurruna eta bi erreferentzia-sistemak. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 1635.4 Ardatz finko baten inguruko biraketa. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 1655.5 Hagatxo birakorra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1665.6 Pendulu fisikoa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1685.7 Solidoaren higidura bere puntu baten inguruan. . . . . . . .. . . . . . . . . . 1685.8 Hagatxo arin batez loturiko bi masa. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 1725.9 OY Z simetria-planoa da etaOZ simetria-ardatza. . . . . . . . . . . . . . . . .1735.10 Ziba simetriko arina grabitate-eremuan. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 1755.11 Laborategiko, espazioaren eta solidoaren sistemak. .. . . . . . . . . . . . . . 1765.12 Solidoaren eta espazioaren konoakIx > Iz etaIx < Iz kasuetan. . . . . . . . .1795.13 Tenis-erraketaren ardatz nagusiak. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 1805.14 Xafla eta bolatxoa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 189

6.1 Roberval-enenigma estatikoa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1916.2 Pendulu esferikoa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1946.3 Abiadura angeluar konstantez biratzen ari den hari erdizirkularra. . . . . . . . .1956.4 Atwood-en makina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1966.5 Plano aldapatsua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1976.6 Eraztun bat plano aldapatsuan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 1986.7 Plano aldapatsu higikorra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 1996.8 Pendulu bikoitza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1996.9 Plano aldapatsu higikorra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 2006.10 Desplazamendu birtuala planoaren higidura ezaguna denean. . . . . . . . . . .2016.11 Bigarren desplazamendu birtuala planoaren higidura ezezaguna denean. . . . .2016.12 Indarrak plano aldapatsu higikorraren kasuan. . . . . . .. . . . . . . . . . . . 2026.13 Hagatxoaren oreka. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 2096.14 Ekintza kalkulatzeko bi bide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 2176.15 Osziladore harmonikoaren bi konfigurazio lotzen dituzten bide batzuk. . . . . .2196.16 Pendulu matematikoaren fase-espazioa. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 2316.17 Fase-espazioko eremu baten eboluzioa. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 2346.18 Energia potentzial eraginkorra eta orbita bat. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 240

7.1 Milurtekoaren zubia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 2517.2 Osziladore harmonikoaren(t, x) diagrama eta fase-espazioa. . . . . . . . . . .253

xx IRUDIEN ZERRENDA

7.3 Elongazioa, abiadura eta dagozkien fasoreak. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 2557.4 Osziladore harmoniko indargetuaren(t, x) diagrama eta fase-espazioa. . . . . .2567.5 Osziladore harmoniko gainindargetuaren(t, x) diagrama eta fase-espazioa. . . .2567.6 Osziladore indargetuaren denbora karakteristikoa. . .. . . . . . . . . . . . . . 2577.7 RLC zirkuitua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2577.8 Osziladore bortxatuaren kanpo-indarra, hiru soluzio eta fase espazioa. . . . . .2587.9 Kanpo-indarraren eta soluzio iraunkorraren fasoreak.. . . . . . . . . . . . . . 2597.10 Erantzun iraunkorrarenA anplitudea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2617.11 Anplitudeaγ/ω balio desberdinetarako. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2627.12 Batez besteko energia zinetikoa eta potentzia. . . . . . .. . . . . . . . . . . . 2637.13 Bulkada infinitesimalen batura modura uler daitekef(t) indarra. . . . . . . . .2677.14 Lissajous-en irudiak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 2697.15 Pendulu batek egindako Lissajous-en irudiak. . . . . . . .. . . . . . . . . . . 2697.16 Oszilazio mihiztatuak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 2707.17 Lehen modu normala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2717.18 Bigarren modu normala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 2717.19 C1 etaC2 koefizienteak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2737.20 Modu normalak Mathematica-ren bidez. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 2777.21 Pendulu mihiztatuak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 2787.22 Pendulu mihiztatuen modu normalak. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 2797.23 Penduluen eboluzioa mihiztadura ahularen kasuan. . . .. . . . . . . . . . . . 2807.24 Penduluen eboluzioaθ2(0) = −θ1(0)/2 kasuan. . . . . . . . . . . . . . . . . .2807.25 Penduluen eboluzioa luzeren arteko erlazioal2 = 2l1 denean. . . . . . . . . . .2817.26 Malguki batzuen gainean jarritako xafla. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 2817.27 Molekula lineal triatomikoaren eredu bakuna. . . . . . . .. . . . . . . . . . . 2837.28 Formaldehidoaren bibrazio-modu normalak. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 2857.29 Tentsiopeko soka diskretuaN = 3 partikula berdinekin. . . . . . . . . . . . . .2857.30 N = 14 kasuko modu normalak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2877.31 N = 50 etaN = 100 kasuetako soka diskretuaren pultsazio propioak. . . . . .2877.32 Tentsiopeko soka jarraitua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 2887.33 Soka jarraituaren lehenengo bost modu normalen anplitudeak. . . . . . . . . .289

8.1 Sakabanatze kaotikoa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 3078.2 Tresna mekanikoa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3088.3 Tresna mekanikoaren eredua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 3088.4 Fase-espazioa eta soluzio batzukγ = f = 0 kasuan. . . . . . . . . . . . . . . .3098.5 Fase-espazioa eta soluzio batzukγ = 0.2, f = 0 kasuan. . . . . . . . . . . . .3108.6 Erakarpen-osinakγ = 0.2, f = 0 kasuan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3118.7 Duffing-en ekuazioaγ = 0.2, f = 0.23 kasuan. . . . . . . . . . . . . . . . . .3118.8 Proiekzioak eta Poincaré-ren sekzioa. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 3138.9 Duffing-en ekuazioaγ = 0.2, f = 0.3 kasuan. . . . . . . . . . . . . . . . . . .3138.10 Hasieran oso hurbil dauden bi orbitaγ = 0.2, f = 0.3 kasuan. . . . . . . . . .3148.11 Duffing-en erakarlearen sekzio estroboskopikoat mod 2π = 0 kasuan. . . . . .3158.12 Duffing-en erakarlearen sekzio estroboskopikoaren bihandipen. . . . . . . . .3158.13 Cantor-en multzoa eraikiz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 3168.14 Von Koch-en elur-maluta eraikiz. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 3168.15 Segmentuaren eta karratuaren estalkiak. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 317

IRUDIEN ZERRENDA xxi

8.16 Von Koch-en kurbaren estalkiak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 3178.17 Okinaren transformazioa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 3188.18 Duffing-en ekuazioaren osinakf = 0.1, 0.15 kasuetan. . . . . . . . . . . . . .3198.19 Duffing-en ekuazioaren osinakf = 0.2, 0.23 kasuetan. . . . . . . . . . . . . .3198.20 Duffing-en ekuazioaren osinen handipenakf = 0.2 kasuan. . . . . . . . . . . .3208.21 Energia potentziala eta lau orbitaE = 0.26 denean. . . . . . . . . . . . . . . .3208.22 Sakabanatze-funtzioaE = 1.2 denean. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3218.23 Sakabanatze-funtzioaE = 0.26 denean. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3218.24 Sakabanatze-denboraE = 0.26 denean. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3218.25 8.3problemako fraktala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .324

9.1 Interferentzia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 3259.2 Funtzio baten bi transladatuaka > 0 kasuan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3269.3 Magnitude baten hedapenav > 0 kasuan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3279.4 Uhinarent = ktea. etax = ktea. ebakiak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3279.5 Uhin harmonikoaren eboluzioa puntu batean eta une batean duen profila. . . . .3289.6 Uhin angeluzuzena. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3309.7 Gibbs fenomenoa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3309.8 Pultsu karratua eta bere espektroa. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 3329.9 Modulazio osoa eta partziala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 3339.10 Uhin-pakete baten eboluzioa ingurune sakabanatzailebatean. . . . . . . . . . .3349.11 Barra elastikoaren estatika eta dinamika. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 3359.12 Tarte infinitesimal batean sekzio normala zeharkatzenduen energia. . . . . . .3389.13 Gas-zutabea orekan eta higiduran. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 3399.14 Zeharkako uhina soka batean. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 3429.15 Polarizazio zirkularreko uhina tentsiopeko sokan. . .. . . . . . . . . . . . . . 3439.16 Partikulen ibilbideak kanal batean hedatzen den uhin harmonikoan. . . . . . . .3459.17 Uhin laua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3469.18 Uhina mintz tenkatuan eta elementu diferentzialak pairatutako indarrak. . . . .3479.19 Uhin zirkularrak ur-azalean. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 3509.20 Uhin elektromagnetiko laua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 3519.21 Uhin elektromagnetiko lau harmonikoaOX ardatzean. . . . . . . . . . . . . .3529.22 Malus-en legea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3539.23 Kaltzitaren birrefringentzia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 3549.24 Fotoelastikotasuna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 3559.25 Kristal likidoak, zerua eta polarizazioa. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 3559.26 Tarte infinitesimal batean sekzio bat zeharkatzen duenenergia. . . . . . . . . .3569.27 Espektro elektromagnetikoa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 3589.28 Argi zuria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3599.29 Doppler efektua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 3609.30 Doppler efektua kasu desberdinetan. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 3619.31 Talka-uhina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3629.32 Talka-uhinak uretan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 3629.33 Doppler efektuaren Minkowski-ren diagrama. . . . . . . . .. . . . . . . . . . 3639.34 Xurgapen-espektro baten gorriranzko eta urdineranzko lerrakuntza. . . . . . . .3649.35 Islapena eta errefrakzioa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 3659.36 Uhin-fronteen eta izpien islapena eta errefrakzioa. .. . . . . . . . . . . . . . .365

xxii IRUDIEN ZERRENDA

9.37 Islapen eta errefrakzioaren geometria. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 3669.38 Ispilu-islapena eta islapen lausoa. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 3679.39 Argiaren errefrakzioa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 3689.40 Prisma batek sortutako espektro ikusgaia eta ostadar bikoitza. . . . . . . . . . .3689.41 Islatzea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3699.42 Eskuinean barne-islapen osoa gertatzen da. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 3699.43 Islapen osoa eta zuntz optikoa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 3709.44 Zeharkako uhinak bi soka desberdin lotutan. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 3709.45 Pultsuak ezkerreko (eskuineko) soka astunagoa denean. . . . . . . . . . . . . . 3729.46 Eremu elektrikoaren osagaiak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 3729.47 Argi islatuaren polarizazioa angelu desberdinetan. .. . . . . . . . . . . . . . .3749.48 Bi iturri puntualetatiko uhin esferikoen interferentzia. . . . . . . . . . . . . . .3759.49 Bi zirrikituren esperimentua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 3769.50 Bi zirrikituren esperimentuaren intentsitatea eta interferentzia-zerrendak. . . . .3779.51 N iturri sinkrono berdin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3789.52 Iturri sinkronoen interferentzia. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 3799.53 Lau antena sinkronoen intentsitatea. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 3799.54 Islapena film mehean. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 3809.55 Interferentzia film meheetan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 3819.56 Modu normalak gas-zutabe batean. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 3839.57 Uhin geldikorrak mintz karratu batean. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 3849.58 Harea pilatzen da mintz bibrakor bateko nodo-lerroetan. . . . . . . . . . . . . .3859.59 Uhin geldikorrak mintz zirkular batean. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 3869.60 (nx, ny, nz) koordenatuetako espazioa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3879.61 Bi plano infinitu paralelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 3889.62 Lehen modu normalak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3899.63 Zuntz optikoak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3909.64 Difrakzioa zirrikitu estu luze batean. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 3919.65 Fraunhofer-en difrakzioa zirrikitu estu batean. . . . .. . . . . . . . . . . . . . 3929.66 tanα = α ekuazioaren ebazpen grafikoa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3929.67 Difrakzio-ereduak iturri batekin eta birekin. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 3939.68 Fraunhofer-en difrakzioa zulo zirkular batean. . . . . .. . . . . . . . . . . . . 3949.69 Fraunhofer-en difrakzioa zulo zirkular batekin eta birekin. . . . . . . . . . . . .3949.70 Fraunhofer-en difrakzioa bi zirrikitutan. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 3959.71 Bi zirrikituren interferentzia eta difrakzioa. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .3969.72 Interferentzia-diagrama difrakzio-sare batean. . . .. . . . . . . . . . . . . . .3969.73 Difrakzioa ehun batean zehar eta holograma bat. . . . . . .. . . . . . . . . . . 3979.74 Fresnel-en difrakzioa zirrikitua zabaltzean. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 3989.75 Fresnel-en difrakzioa geometria desberdinekin. . . . .. . . . . . . . . . . . . 3989.76 X izpien difrakzioa kristal-sare batean. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 3999.77 Laue-ren difrakzioa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 400

10.1 Gainazal-tentsioaren ondorio ikusgarria. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 41710.2 Gorputz elastikoen portaera eskematikoa. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 41810.3 Barra elastikoa deformatzen daF indarrak pairatzean. . . . . . . . . . . . . . .41910.4 Barra elastikoa presio hidrostatiko uniformearen menpean. . . . . . . . . . . .42010.5 Zeharkako deformazio nulua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 421

IRUDIEN ZERRENDA xxiii

10.6 Kontrako esfortzuak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 42210.7 Ebakidura-esfortzuak kubo batean. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 42310.8 Zeharkako uhinak barra batean. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 42410.9 Bihurdura barra batean. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 42510.10 Barraren elementu infinitesimala. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 42510.11 dr elementu infinitesimalaren deformazio orokorra. . . . . . . . .. . . . . . . 42610.12 Ebakidura-deformazioa eta biraketa. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 42910.13 Bolumenaren aldaketa infinitesimala. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 43010.14 Gainazal infinitesimal bat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 43210.15 Esfortzuak elementu infinitesimal batzuetan. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 43210.16 Orekan dagoen kubo bat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 43310.17 Bi gainazal kuboaren barruan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 43410.18 Gorputz elastiko baten barruko bolumen bat. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 43710.19 Korronte-lerroak une batean eta bi une hurbiletan. . .. . . . . . . . . . . . . . 44110.20 Kurba itxia eta mugatzen duen gainazal orientatua. . .. . . . . . . . . . . . . . 44210.21 Gainazal bat eta bere elementu infinitesimal bat. . . . .. . . . . . . . . . . . . 44310.22 Gainazal itxia eta inguratzen duen bolumena. . . . . . . .. . . . . . . . . . . 44410.23 Manometroa eta barometroa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 44610.24 Arkimedes-en printzipioa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 44710.25 Zilindro luze bat jario konprimiezin irrotazionalean. . . . . . . . . . . . . . . .44910.26 Ontzi baten hustea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 45010.27 Hodi horizontala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 45110.28 Fluido bat abiadura erlatiboa duten bi plano infinituren artean. . . . . . . . . .45210.29 Fluidoaren abiadura hodi horizontal batean. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 45310.30 Fluidoen hustea hodi horizontal batean barrena. . . . .. . . . . . . . . . . . . 45410.31 Millikan-en esperimentuaren eskema. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 45710.32 Xaboi-uraren mintza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 45810.33 Xaboi-burbuila baten erdia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 45910.34 Solido, likido eta gasaren arteko geruzak. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 46010.35 Detergentearen eragina olio-tanta batean. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 46010.36 Kapilaritatea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 46110.37 Descartes-en urpekaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 47010.38 Buruz behera jarritako edalontzia. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 474

B.1 Koordenatu cartesiarrak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 487B.2 Koordenatu polar zilindrikoak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 488B.3 Koordenatu polar esferikoak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 489B.4 Integrazio-bide irekia eta itxia. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 491B.5 Gainazala eta muga itxia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 492B.6 Gainazal itxia eta inguratzen duen bolumena. . . . . . . . . .. . . . . . . . . 493B.7 Eremu bektorial (a) irrotazionala eta (b) solenoidala.. . . . . . . . . . . . . . .497B.8 Integral eliptiko osoak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 501B.9 Dirac-en delta doan segida bat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 502B.10 f(x) funtzioaren aldaketa infinitesimalak. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 505B.11 f(x, y) funtzioaren aldaketa infinitesimalak maximoan. . . . . . . . . .. . . . 505B.12 Funtzionalaren bi integrazio-biden = 1 kasuan. . . . . . . . . . . . . . . . . .509

xxiv IRUDIEN ZERRENDA

D.1 Integrazio-bideak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 516D.2 Osziladorearen soluzioak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 516D.3 S sisteman geldi dagoen partikularen unibertso-lerroa bi sistemetan. . . . . . .518D.4 I iturritik igorritako fotoiakD1 etaD2 detektagailuetara iristen dira. . . . . . .518D.5 S sistemaren ardatzak, puntu finkoak eta aldibereko gertaerak. . . . . . . . . . 519D.6 Bi gorputzen problemaren orbita newtondar eliptikoak.. . . . . . . . . . . . . 520D.7 Pendulu bikoitza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 521D.8 Azelerazio-fasorea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 523D.9 Fasoreen batura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 525

E.1 7.9problemako fase-espazioa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .537E.2 9.39problemaren soluzioa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .541

TAULEN ZERRENDA

4.1 Orbita newtondarrak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 140

A.1 Konstante fisikoak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 479A.2 Partikulen masak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 480A.3 Denbora- eta astronomia-unitateak. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 480A.4 Astroen ezaugarri fisikoak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 481A.5 Astroen orbita-parametroak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 481A.6 Inertzia-momentu nagusiak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 482A.7 Koloreak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .483A.8 Errefrakzio-indizeak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 483A.9 Solidoen ezaugarri fisikoak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 484A.10 Fluidoen ezaugarri fisikoak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 485A.11 Bessel-en funtzio batzuen lehenengo zeroak. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 485A.12 (sinα/α)2 funtzioaren maximoak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .486

B.1 Koordenatu cartesiarrak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 487B.2 Koordenatu polar zilindrikoak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 488B.3 Koordenatu polar esferikoak. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 489

xxv

xxvi TAULEN ZERRENDA

1. GAIA

Oinarrizko kontzeptuak

1.1 IRUDIA Newton(Eduardo Paollozi, 1995).

1

2 1 Oinarrizko kontzeptuak

Lehen gai honetan mekanikari buruzko oinarrizko kontzeptubatzuk berrikusten dira gehien-bat. Fisika orokorrari buruzko ikastaroetan ikasten den mekanika eta kalkulu bektoriala ondomenperatzen direla suposatuko dugu. Zure kasuan egia ez bada, irakurle hori, jo ezazu lehenmailako testu batera. Arrazoi beragatik, emaitza batzuen frogapen ezagunak ez dira hemen berri-ro egingo.

Hemen erabiliko dugun formalismoa, batzuetanmekanika bektoriala edomekanika new-tondarra deitzen dena, ikuspuntu batetik mekanika klasikoan dagoenzaharrena da Newton-ekinhasten baita. (Aitortu behar da, baina, bektoreak XIX. mendearen amaieran bakarrik sartu zirelafisikan, Gibbs eta Heaviside-ri esker.)6. gaian ikusiko dugun bezala, mekanika klasikoa egite-ko beste forma batzuk daude, kalkuluak egiteko eta fisika modernoan erabiltzen diren kontzeptubatzuk ulertzeko askoz ere erabilgarriagoak direnak.

Hasteko, zinematika aztertuko dugu, geroago mekanikaren legeak eta printzipio nagusiakgogoratzeko. Energia-diagramen erabilgarritasuna orekaeta higiduraren propietate kualitatiboakaztertzean ikusi ondoren, partikula-sistemen dinamikariekingo diogu. Amaitzeko, talkak azter-tuko dira.

1.1 Partikula puntualaren zinematika

Partikula baten higidura deskribatzen duen zinematika (eta, geroago, haren zergatia azaltzenduen dinamika) egitekoerreferentzia-sistemabat aukeratuko dugu. Kontzeptu honen osagaiak(triedro cartesiarra, erregela eta erlojua) erabiliko ditugu magnitude zinematikoak banan banandefinitzeko.

1.1.1 Geometria euklidearra

Mekanika klasikoan zinematika egitean, geometria erabiltzen da abiapuntutzat: geometriaeuklidearra hain zuzen, bestelako geometrien posibilitatea bera ere XIX. mendean bakarrik kon-tsideratu baitzen. Gaur egun badakigu naturaren geometriaez dela guztiz nabaria: fisikak erabakibehar du, teorien eta esperimentuen bidez, zein den matematikak eskaintzen dituen posibilitateenartean benetan gauzatzen dena. Newton-en ikuspuntutik mekanika klasikoaren espazioa absolu-tua da, naturan gertatzen diren fenomeno guztien jokaleku aldaezina,a priori emandakoa.

1.2 IRUDIA Posizio-bektorearen osagaiak erreferentzia-sistema batean.

1.1 Partikula puntualaren zinematika 3

Geometria egiteko, eta erreferentzia-sistema osatzen hasteko, triedro cartesiar zuzen bat (halanola1.2irudikoOXY Z delakoa) aukeratuko dugu. Ardatz cartesiarren norabidea eta noranzkoaadierazten dituzten bektore unitarioaki, j etak dira:

i · i = j · j = k · k = 1, i · j = j · k = k · i = 0, i × j = k. (1.1)

1.1.2 Posizioa

P puntu baten posizioa adieraztekor ≡−→OP posizio-bektoreazbaliatuko gara. Posizio-bek-

torearenosagaiak,x = i · r, y = j · r, z = k · r (1.2)

proiekzio cartesiarren bidez definitzen direnak, puntuaren koordenatu cartesiarrak dira:x ab-zisa, y ordenatua etaz garaiera.

Honela garatzen da posizio-bektorea, bektore unitarioek osaturiko bektore-oinarrian:

r = x i + y j + z k = (i · r) i + (j · r) j + (k · r)k. (1.3)

Jakina, zinematikan, geometrian ez bezala, posizio-bektoreak eta osagaiak magnitudeak diraeta, zenbaki errealez gain, unitateak behar dira haiek neurtzeko (erregela baten bidez, agian).Ondo dakigunez, beti erabiliko dugun Sistema Internazionalean luzera-unitatea metroa1 da.

Koordenatu polar lauak

Adibide moduan, demagunP puntuaOXY plano cartesiarrean dagoela, hau da,z = 0 du-gula. Kasu horretan, posizioa adieraztekox etay koordenatu cartesiarrak erabili daitezke, noski,baina baita hurrengo ekuazioek emandako polarrak ere (ikus1.3irudia):

x = r cosϕ, (1.4)

y = r sinϕ. (1.5)

1.3 IRUDIA OXY planoko puntu baten koordenatu polarrak.

1Metroa, 1/299 792 458 segundoko iraupenean argiak hutsean egindako ibilbidearen luzera da (17.ConférenceGénérale des Poids et Mesures, 1983).


Posizioa zehazteko erabil daitezkeen magnitude ez-cartesiarrakkoordenatu orokortuak dei-tuko dira6. gaian, eta aldagai-aldaketa ematen dituzten (1.4)–(1.5) direlakoaktransformazio--ekuazioak. Haien alderantzizkoak hurrengoak dira, noski:

r =√

x2 + y2, ϕ = arctany

x. (1.6)

Honela adierazten da posizio-bektorea koordenatu cartesiarretan eta polarretan, kasu berezihonetan:

r = x i + y j = r (cosϕ i + sinϕ j) . (1.7)

Baina batzuetan, komenigarriagoak dira koordenatu polarrek definiturikor̂ etaϕ̂ bektore unita-rioak:

r̂ ≡ rr

= cosϕ i + sinϕ j, (1.8)

ϕ̂ ≡ dr̂dϕ

= − sinϕ i + cosϕ j. (1.9)

1.1 ARIKETA Egiaztatu puntu bakoitzean(r̂, ϕ̂,k) delakoa oinarri ortonormal zuzena dela:

r̂ · r̂ = ϕ̂ · ϕ̂ = k · k = 1, r̂ · ϕ̂ = ϕ̂ · k = k · r̂ = 0, r̂ × ϕ̂ = k. (1.10)

Ondorioztatur posizio-bektoreak osagai bakarra duela kasu berezi honetan:

r = r r̂. (1.11)

1.1.3 Denbora

Newton-en beste kontzeptu absolutua den denbora neurtzeko, erloju bat behar da erreferen-tzia-sistema osatzeko. Sistema Internazionalean denbora-unitatea segundoa2 da. 3. gaian, erla-tibitate berezia aztertzean, denboraren eta espazioaren definizio inplizituen muga batzuk azter-tuko dira arreta handiz; baina oraingoz Newton-en kontzeptu intuitiboak (eta, ikusiko dugunez,zehaztu beharrekoak) erabiliko ditugu. Zinematikan aztertuko ditugun beste magnitude guztiakeraikitzeko ez dugu kontzeptu fisiko berriren beharrik.

Denbora aldatzean partikularen posizioa aldatuz joango daibilbidean zehar eta, beraz,t al-diune bati dagokiola kontuan hartu behar dugu:

r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t)k. (1.12)

Hala eta guztiz ere, notazioa laburtzeko, zinematikan (etamekanikan) printzipioz magnitude guz-tiak aldakorrak direnez, denborarekiko menpekotasuna ez dugu gehienetan esplizituki idatziko.Beraz, nahiz eta (1.3) idatzi, (1.12) ulertu behar dugu. Orobat, higidura lauaren adibidean,r, r,ϕ, r̂ etaϕ̂ (baina ezk) denboraren menpekoak direla kontsideratu behar da.

2Segundoa, zesio-133 atomoaren oinarrizko egoeraren bi maila hiperfinoen arteko trantsizioari dagokion erradia-zioaren 9 192 631 770 periodoen iraupena da (13.Conférence Générale des Poids et Mesures, 1967–1968).


1.1.4 Abiadura

Lehen magnitude eratorria abiadura da:

v = ṙ ≡ drdt

= lim∆t→0

r(t+ ∆t) − r(t)∆t

= lim∆t→0

∆r

∆t. (1.13)

(Hemendik aurrerȧnotazio laburtua erabiliko dugu gehienetan denborarekikod/dt deribatuaadierazteko.) Abiaduraren osagai cartesiarrak zuzenean kalkulatzen dira (1.3) adierazpenetik:

ṙ = ẋ i + ẏ j + ż k. (1.14)

1.4 IRUDIA Abiaduraren definizioa.

Abiaduraren esangura geometrikoa1.4 irudian erakusten da.∆r bektorearen norabideaPQkordarena da eta kordaren bi muturrak puntu batera doazenean (hau da,∆t → 0 limitean), de-finizioz, puntu horretako tangentearen norabidea lortzen denez, abiaduraren norabidea aldiunebakoitzean ibilbidearen tangentea da. Argi dago, gainera,abiaduraren noranzkoa higidurarenadela. Beraz, puntu bakoitzean ibilbidearen norabide tangentea eta higiduraren noranzkoa adie-razten dituenbektore unitario tangentea, abiadura bere moduluarekin zatituz lortzen da:

êt ≡ṙ

|ṙ| . (1.15)

1.2 ARIKETA Notazioa. Testu honetan, gehienetan bezala, eskalarrak letra etzanetan idazten di-ra (hala nolax koordenatuaren kasuan) eta bektoreak letra lodi zuzenean (adibidez,r posizio-bekto-rearen kasuan). Gainera, askotan bektore baten modulua idazteko,|r| moduko notazio zehatz osoazbaliatu beharrean, letra bera baina etzana erabiltzen dugu: r ≡ |r|. Baina, praktikan notazio guztiekinbezala, nahasketak gerta daitezke idazkera laburtu honekin. Egia al dȧr abiaduraren moduluȧr dela?Zergatik?

Abiaduraren modulua,

v ≡ |ṙ| =√

ẋ2 + ẏ2 + ż2 = lim∆t→0

|∆r||∆t| , (1.16)

abiadura eskalarra deitzen da eta bere esangura ikusteko, nahikoa da gogoratzea definizioz

Q → P limitean⌢

PQarkuaren luzeraPQ kordarena dela. Aipaturiko arkua∆t denbora-tartean


1.5 IRUDIA Abzisa lerromakurra eta arkua.

ibilbidean zehar egindako distantzia denez, denbora-unitatean egindako distantzia da abiadura

eskalarra.P0 = P (t0) puntu batetik eta higiduraren noranzkoan neurtutako⌢

P0P arkuaren luzerazeinudunas(t) abzisa lerromakurraren definizioa denez, abiaduraren modulua abzisa lerroma-kurraren deribatua dela ikusten dugu:

v = lim∆t→0

|∆r||∆t| = lim∆t→0

|PQ||∆t| = lim∆t→0

|⌢

PQ ||∆t| = lim∆t→0

|⌢

P0Q | − |⌢

P0P |∆t

= lim∆t→0

s(t+ ∆t) − s(t)∆t

= lim∆t→0

∆s

∆t=ds

dt= ṡ. (1.17)

Honela laburbiltzen dira, hortaz, abiaduraren esanahi geometrikoa eta zinematikoa:

ṙ = ṡ êt. (1.18)

Arku infinitesimalaren luzera kalkulatzeko, honen moduluaerabil dezakegu:

ds = ṡ dt = v dt =√

ẋ2 + ẏ2 + ż2 dt =√

dx2 + dy2 + dz2. (1.19)

Ondorioz,

s(t) =∫ P

P0ds =

∫ P

P0

√

dx2 + dy2 + dz2. (1.20)

1.3 ARIKETA Notazioa (berriz). (1.17) berdintza segidan| | ikur bikotea lau gauza desberdinadierazteko erabili da. Azaldu lauak. Zergatik desagertzen da urrats batzuetan aipaturiko bikotea?

Higidura laua

Higidura laua bada, komeni zaiguOXY plano cartesiarra higidura-planoa izateko moduanaukeratzea, bertan koordenatu polarrak erabili ahal izateko (ikus 1.3 irudia). Hori eginez gero,abiadura kalkulatzeko (1.11) adierazpeneko eskuineko gaiko bi osagaiak deribatu beharditugu:

ṙ = ṙ r̂ + r ˙̂r. (1.21)

r̂ bektore deribatzean bektore perpendikular bat,ϕ̂-ren norabidekoa, aurkitzen dugu,˙̂r = (cosϕ i + sinϕ j)˙= ϕ̇ (− sinϕ i + cosϕ j) = ϕ̇ ϕ̂. (1.22)

Ondorioz, higidura lauaren kasuanṙ = ṙ r̂ + rϕ̇ ϕ̂ (1.23)

abiaduraren osagaiakṙ = r̂ · ṙ abiadura erradiala etarϕ̇ = ϕ̂ · ṙ dira. Abiadurarenrϕ̇ osagaiangeluarra, beraz, erradioa biderϕ̇ abiadura angeluarra da.


1.1.5 Azelerazioa

Abiadura deribatuz azelerazioa lortzen da. Hauexek dira osagai cartesiarrak:

a = v̇ = r̈ = ẍ i + ÿ j + z̈ k. (1.24)

Orain, (1.18) adierazpena deribatzeko,˙̂et kalkulatu behar da. Hasteko, deribazio-aldagaia, den-bora izan beharrean, ibilbideak berak definituriko abzisa lerromakurra bada, badakigu lortzenden bektoreâet-ren perpendikularra izango dela, baina, oro har, ez da unitarioa izango. Beraz,definizioz, bere moduluaκ kurbadura da eta honen alderantzizkoaρ kurbadura-erradioa :

κ ≡ 1ρ≡∣

∣

∣

∣

∣

dêtds

∣

∣

∣

∣

∣

. (1.25)

Dagokionbektore unitario normala ,

ên ≡1

κ

dêtds

= ρdêtds, (1.26)

êt-ren perpendikularra da eta, definizioz,normal nagusiarennorabidea definitzen du. Hortaz,

˙̂et =dêtdt

=dêtds

ds

dt=ṡ

ρên (1.27)

erabiliz, azelerazioa honela idazten dela ikusten dugu:

r̈ = s̈ êt +ṡ2

ρên. (1.28)

1.6 IRUDIA Triedro intrintsekoa.

Binormalaêb ≡ êt × ên (1.29)

bektore unitarioak (zergatik da unitarioa?) definituriko norabidea bada, ibilbideko puntu bakoi-tzean(êt, ên, êb) oinarri ortonormal bat dugu,

êt · êt = ên · ên = êb · êb = 1, êt · ên = ên · êb = êb · êt = 0, êt × ên = êb, (1.30)puntuaren eta denboraren menpekoa dentriedro intrintsekoa definitzen duena. Ibilbideak berakdefinituriko triedro natural honetan, abiadurak osagai bakarra du:ṡ = v = êt · ṙ abiadura eskala-rra. Azelerazioak, berriz, bi ditu:̈s = v̇ = êt · r̈ azelerazio tangenteaetaṡ2/ρ = ên · r̈ azelerazionormala. (Ikus, halaber,1.1problema.)


Higidura laua

Higidura lauaren kasuan triedro cartesiarra, intrintsekoa eta koordenatu polarrek definiturikoakontsideratzen ditugu. (Gogoratu1.3 irudia.)

1.4 ARIKETA Egiaztatu higidura lauaren kasuan

˙̂ϕ = −ϕ̇ r̂ (1.31)

betetzen dela eta, beraz, hauxe dela azelerazioa koordenatu polarretan:

r̈ =(

r̈ − rϕ̇2)

r̂ + (rϕ̈ + 2ṙϕ̇) ϕ̂. (1.32)

Kasu honetako triedro intrintsekoa1.2probleman kalkulatuko dugu.

Higidura zirkularra

Demagun ibilbideaR erradioko zirkunferentzia dela. Ageri denez, higidura laua da eta, kalku-luak errazteko, zirkunferentziaren zentroan aukeratuko dugu koordenatu polarren jatorria, ibilbi-dearen ekuazioar = R izateko moduan. Beraz,ṙ = 0 da. Defini ditzagun abiadura eta azelerazioangeluar bektorialak modu honetan:

ω ≡ ϕ̇k, (1.33)ω̇ = ϕ̈k. (1.34)

1.5 ARIKETA Egiaztatu

ṙ = ω × r = Rϕ̇ ϕ̂, (1.35)

r̈ = ω × (ω × r) + ω̇ × r = −Rϕ̇2 r̂ +Rϕ̈ ϕ̂ = −v2

Rr̂ +Rϕ̈ ϕ̂ (1.36)

betetzen dela eta, hortaz, abiadura eskalarra erradioa bider abiadura angeluarra dela, azelerazio nor-malav2/r baliokoazelerazio zentripetoa, eta azelerazio tangentea erradioa biderϕ̈ azelerazio an-geluarra. Ondorioztatu triedro intrintsekoa hauxe dela:

êt = ±ϕ̂, ên = −r̂, êb = ±k, (1.37)

non goiko (beheko) zeinua aukeratu behar denϕ̇ positiboa (negatiboa) denean.

1.2 Partikula puntualaren dinamika

Ondotxo dakigunez, higiduraren kausa aztertzeko dinamikaren lehenengo formulazio osoa,Newton-ek berePrincipia Mathematica Philosophiae Naturalismaisulanean aurkeztu zuena izanzen. Newton-en legeakaztertuko dira atal honetan, baita oinarrizko printzipio eta kontzeptuosagarri batzuk ere.

1.2.1 Galileo-ren inertziaren legea

Newton-en lehen lege honetan bi kontzeptu berri eta hauen arteko erlazioa sartzen dira:par-tikula aske oro abiadura konstantez higitzen da erreferentzia-sistema inertzial guztietan. Aldebatetik,partikula askeak erreferentzia-sistema inertzialguztietan

Documents

ikasmaterialak.ehu.eus · HITZAURREA Euskal Herriko Unibertsitateko Zientzia eta Teknologia Fakultatean, Fisika lizentziaturaren bigarren ikasturtean, «Mekanika eta Uhinak I» eta