Click here to load reader

Historisk fremkomst og moderne anvendelse af grafteori – nr. 486

  • View
    223

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Historisk fremkomst og moderne anvendelse af grafteori – nr. 486

  • . .

    Historisk fremkomst og moderne anvendelse af grafteori et matematikfilosofisk undervisningsforlb til gymnasiet

    Uffe Thomas Jankvist januar 2012

    nr. 486 - 2012

    - I, OM OG MED MATEMATIK OG FYSIK

  • Roskilde University, Department of Science, Systems and Models, IMFUFA P.O. Box 260, DK - 4000 Roskilde Tel: 4674 2263 Fax: 4674 3020 Historisk fremkomst og moderne anvendelse af grafte ori et matematikfilosofisk undervisningsforlb til gymn asiet Af: Uffe Thomas Jankvist IMFUFA tekst nr. 486/ 2012 76 pages ISSN: 0106-6242 Den nuvrende gymnasiale bekendtgrelse for matematik ppeger at elever skal tilegne sig viden om matematiske anvendelser, matematikkens historiske udvikling og i en vis grad ogs dens natur som fag. I KOM-rapporten (Niss & Jensen, 2002) omtales tre former for overblik og dmmekraft som i nogen grad modsvarer disse tre aspekter ved faget matematik: matematikkens faktiske anvendelse i andre fag- og praksisomrder; matematikkens historiske udvikling, svel internt som i samfundsmssig belysning; og matematikkens karakter som fagomrde. Et af formlene ved nrvrende undervisningsmateriale har vret at forsge at opstille en ramme for elevers udvikling af disse tre former for overblik og dmmekraft. Mden hvorp dette er sgt gjort er ved sammenstningen af tre originaltekster fra matematikken til et undervisningsmateriale n tekst reprsenterende hver af de tre former for overblik og dmmekraft. Disse tekster prsenteres i dansk oversttelse (i de tilflde hvor en oversttelse ikke allerede fandtes er de oversat af undertegnede) og suppleres undervejs med kommentarer og opgaver. Materialet (og forlbet) er designet sledes, at eleverne selv kan arbejde sig igennem det i grupper (evt. under rdfring med deres underviser), for sledes ogs at opfylde bekendtgrelsens krav om gruppearbejde. Samtidig indeholder forlbet en skriftlig dimension, nemlig i forbindelse med den skaldte afsluttende essay-opgave. Udover at opfylde bekendtgrelsens krav om strre skriftlige produkter tjener denne opgave ogs som en ramme for elevernes udvikling af de tre former for overblik og dmmekraft, idet de tre originaltekster her skal relateres til hinanden svel som til en rkke sprgsml karakteristiske for KOM-rapportens overblik og dmmekraft. Den frste af de tre originaltekster i dette materiale er Leonhard Eulers Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis fra 1736, der i dag regnes for begyndelsen p grafteori. Den nste og mere anvendelsesorienterede tekst er Edsger W. Dijkstras A Note on Two Problems in Connexion with Graphs fra 1959, hvori han bl.a. prsenterer sin algoritme til bestemmelse af korteste vej i en graf. Den sidste og mere filosofiske tekst bestr af David Hilberts introduktion til sit foredrag Mathematische Probleme Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongre zu Paris 1900, hvori han diskuterer matematiske problemers rolle. Nrvrende forlb har vret implementeret i en 1g-klasse p restad gymnasium i forret 2010 som del af et forskningsprojekt finansieret af Det Frie Forskningsrd Kultur og Kommunikation (FKK) under Forsknings- og Innovationsstyrelsen. Klassens egen matematikunderviser gennemfrte forlbet, mens jeg observerede og videofilmede implementeringen. Specielt fulgte jeg n gruppe bestende af fem elever i forbindelse med deres opgaveregning og udarbejdelsen af deres essay-opgave. De didaktiske forskningsresultater af denne undersgelse vil blive prsenteret i fremtidige artikler. Uffe Thomas Jankvist, 2012

  • Historisk fremkomstog moderne anvendelse af grafteori et matematikfilosofisk undervisningsforlb til gymnasiet

    Udformet af

    Uffe Thomas Jankvist

    April 2010 IMADA Syddansk Universitet

  • 2

  • Forord

    Dette undervisningsforlb er udviklet som del af et postdoc-projekt fi-nansieret af Det Frie Forskningsrd i Kultur og Kommunikation underForsknings- og Innovationsstyrelsen. Et af formlene med projektet erat afsge mulighederne for samspillet mellem matematik, matematikkenshistorie samt matematikkens filosofi og videnskabsteori i den gymnasialematematikundervisning og p lngere sigt tvrfaglige kombinationermellem matematik og humaniora i gymnasiets alment studieforberendeforlb (AT).

    Bekendtgrelsen for matematik i gymnasiet stiller i dag krav om enbelysning af faget matematiks samspil med andre fag:Nr matematik indgr i en studieretning, skal der tilrettelgges et fagligtsamarbejde, som indeholder mere omfattende anvendelse af matematik.Herved skal eleven opn en dybere indsigt i matematikkens beskrivelseskraftog i vigtigheden af at overveje og diskutere forudstninger for en matematiskbeskrivelse og plidelighed af de resultater, der opns gennem beskrivelsen.Der skal tilrettelgges undervisningsforlb med det hovedsigte at udvikleelevernes kendskab til matematikkens vekselvirkning med kultur, videnskabog teknologi. (Undervisningsministeriet; 2008, bilag 35, punkt 3.4)

    Sdanne undervisningsforlb kan p naturlig vis placeres under ind-dragelsen af det skaldte supplerende stof:Eleverne vil ikke kunne opfylde de faglige ml alene ved hjlp af kernestoffet.Det supplerende stof i faget matematik, herunder samspillet med andre fag,skal perspektivere og uddybe kernestoffet, udvide den faglige horisont oggive plads til lokale nsker og hensyn p den enkelte skole.For at eleverne kan leve op til alle de faglige ml, skal det supplerende stof, derudfylder ca. 1/3 af undervisningen, bl.a. omfatte: [...] matematik-historiskeforlb. (Undervisningsministeriet; 2008, bilag 35, punkt 2.3)

    Udover det faglige ml som matematikhistoriske forlb generelt rettersig mod (i) retter nrvrende undervisningsforlb sig mod endnu et (ii):Eleverne skal kunne [...]:

    i. demonstrere viden om matematikkens udvikling i samspil med denhistoriske, videnskabelige og kulturelle udvikling

    ii. demonstrere viden om matematikanvendelse inden for udvalgte om-rder, herunder viden om anvendelse i behandling af en mere kompleksproblemstilling (Undervisningsministeriet; 2008, bilag 35, punkt 2.1,nummerering tilfjet)

    For at skitsere nrvrende forlb ganske kort er der tale om at I,eleverne, vil blive introduceret til en matematikhistorisk case, derefteren konkret moderne anvendelse af matematikken i denne og endelig envidenskabsteoretisk/-filosofisk perspektivering af disse.

  • ii

    Tilrettelggelsen af forlbet sger ogs at tage hjde for de arbejds-former som den gymnasiale matematikundervisning iflge bekendtgrelsen(lreplanen) skal bygge p. Om disse hedder det:En betydelig del af undervisningen tilrettelgges som projekt- eller em-neforlb over forskellige dele af kernestoffet og det supplerende stof ellerproblemstillinger, der er genstand for fagsamarbejde. For hvert strre forlbformuleres faglige ml, der tages stilling til arbejdsprocessen, og eleverneudarbejder et skriftligt produkt, som kan dokumentere de faglige resultatereller konklusioner vedrrende en tvrfaglig problemstilling.En del af undervisningen tilrettelgges som gruppearbejde med henblik pat udvikle elevernes matematiske begreber gennem deres indbyrdes fagligediskussion.Der arbejdes bevidst med den mundtlige dimension, herunder selvstndigtilegnelse, bearbejdning og prsentation af forelagte matematiske tekster.I undervisningen lgges der betydelig vgt p opgavelsning som en afgrendesttte for tilegnelsen af begreber, metoder og kompetencer. Lsning af op-gaver foregr bde i timerne og som hjemmearbejde. Endvidere arbejdes dermed strre skriftlige produkter som resultat af arbejdet med projekter ogemner. (Undervisningsministeriet; 2008, bilag 35, punkt 3.2)En essentiel del af dette undervisningsforlb (og -materiale) er derfor

    ogs mden, hvorp der arbejdes med stoffet. Ideen er at I, eleverne, i hjgrad tilegner jer stoffet p egen hnd og i samarbejde med andre elever alts br forlbet kun omfatte et minimum af traditionel tavleundervisningfra underviserens side, f.eks. i form af opsamlinger.

    Det vil vre hensigtsmssigt at der allerede ved forlbets begyndelsebliver dannet et antal elev-grupper, sledes at man i en given gruppearbejder sig igennem forlbet sammen og qua den indbyrdes faglige (ogtvrfaglige) diskussion og opgavelsning opnr en flles forstelse af stoffet.I den forstand skal gruppearbejdet tnkes p som vrende mere end bloten arbejdsform, men ogs en form for metode til tilegnelse af stoffet, tilforstelse og til kompetenceudvikling.

    Forlbet afsluttes med en strre skriftlig opgave, en samling skaldteessay-opgaver, som ogs skal udarbejdes i grupperne og som er essentielfor dkningen af de faglige ml (i og ii).

    I forbindelsen med udarbejdelsen af dette forlb skal flgende personertakkes for deres faglige bidrag i form af diskussioner, forslag, erfaring-sudveksling med mere: Hans Jrgen Munkholm, Bjarne Toft og JessicaCarter, Syddansk Universitet (SDU) i Odense; Janet Barnett, ColoradoState University (CSU) i Pueblo; Jerry Lodder og David Pengelley, NewMexico State University (NMSU) i Las Cruces.

    April, 2010Uffe Thomas JankvistIMADA, Syddansk Universitet

  • Indhold

    1 Introduktion 11.1 Overordnet om undervisningsmaterialet . . . . . . . . . . . 11.2 Opbygning af kapitlerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    2 Euler: Knigsberg-problemet 32.1 Biografi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Optakt til Eulers artikel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Eulers 1736-artikel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4 En moderne version af Eulers stning og bevis . . . . . . . 17

    3 Dijkstra: korteste-vej problemet 233.1 Biografi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2 Optakt til Dijkstras note . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3 Dijkstras 1959-note . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.4 Moderne fremstilling og korrekthed af Dijkstras algoritme . 353.5 Faktiske og praktiske anvendelser . . . . . . . . . . . . . . . 40

    4 Hilbert: matematiske problemer 454.1 Biografi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2 Optakt til Hilberts foredrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.3 Hilberts 1900-foredrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.4 Hilberts radiotale, Knigsberg 1930 . . . . . . . . . . . . . . 584.5 Gdels ufuldstndighedsstninger, Knigsberg 1930 . . . . 594.6 Epilog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    5 Afsluttende skriftlig opgave 635.1 Essay-opgave 1: Matematiske problemer . . . . . . . . . . . 635.2 Essay-opgave 2: Matematiske beviser . . . . . . . . . . . . . 645.3 Essay-opgave 3: Matematik som videnskabsfag . . . . . . . 665.4 Essay-opgave 4: Jeres mening . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

    Litteratur 69

    iii

  • iv

  • 1 Introduktion

    1.1 Overordnet om undervisningsmaterialetDette undervisningsmateriale bestr af i alt fire kapitler, som hver isrhar sit fokus og sigte.

    I det frste kapitel bliver vi introduceret til et faktisk problem, detskaldte Knigsberg-problem, som blev udgangspunktet for udviklingen afen ny gren inden for matematikken, der mange r senere blev kendt somgrafteori.

    I andet kapitel skal vi se en mere moderne anvendelse af grafteoritil formuleringen af en algoritme som lser endnu et konkret problem,nemlig det at finde korteste vej en lsning som internet-sider som f.eks.www.rejseplanen.dk og www.krak.dk ogs benytter sig af.

    I tredje og fjerde kapitel skal vi se p matematikken mere generelt.Nrmere bestemt skal den betragtes som videnskabsfag, bde som en renvidenskab og som en anvendt, herunder dens karakter som fagomrde,f.eks. eventuelle mder hvorp den adskiller sig fra andre discipliner. Tredjekapitel bestr i hovedsagen af uddrag fra et inden for matematikken kendtforedrag, hvori disse aspekter af faget og dets udvikling debatteres. I fjerdekapitel, som er oplgget til forlbets afsluttende skriftlige gruppearbejde,bestr opgaven i at diskutere de i tredje kapitel forelagte problemstillingeri forhold til den matematik som er blevet introduceret i de to tidligerekapitler.

    1.2 Opbygning af kapitlerneI hver af de tre flgende kapitler vil vi komme til at se og studere original-kilder fra matematikken, kilder som skal lses og forsts. Da dette ikkendvendigvis altid vil vre helt ligetil vil der undervejs vre kommentarer,opklarende sprgsml og opgaver, hvis forml det er at lette den videreforstelse og som derfor br forsges lst inden der lses videre. Dissesprgsml og opgaver kan variere i svel svrhedsgrad som omfang ognogle af dem vil have karakter af deciderede bevis-opgaver.

    For nemmere at kunne adskille hvad der er originalkilde fra hvad der erkommentarer, sprgsml og opgaver anvendes der to forskellige skrifttyper:denne for originalkilder og denne for alt andet.

    For yderligere at lette forstelsen af originalkilderne vil der undertidenoptrde forklarende fodnoter, sfremt det ikke kan forventes at det videshvad enten bestemte ord eller matematiske begreber, teorier eller problemerreferer til. Fodnoterne kan ogs blot indeholde referencer til anden litteratur.Men flles for alle disse indfjede fornoter er at de optrder i kantedeparenteser som [disse] for at understrege at der ikke er tale om fodnoter

    1

    www.rejseplanen.dkwww.krak.dk

  • 2 Introduktion

    i den originale tekst. Brugen af kantede parenteser p denne mde: [...],indikerer derimod at der er udeladt en del originalteksten p dette sted.

    De tre originalkilder som vi skal lse i dansk oversttelse er: Leonhard Euler, 1736: Lsning af et problem omhandlende beliggen-

    hedsgeometrien.Originaltitel: Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis.

    Edsger W. Dijkstra, 1959: En note om to problemer relateret tilgrafer.Originaltitel: A Note on Two Problems in Connexion with Graphs.

    David Hilbert, 1900: Matematiske problemer foredrag ved deninternationale matematikkongress i Paris, r 1900.Originaltitel: Mathematische Probleme Vortrag, gehalten auf deminternationalen Mathematiker-Kongre zu Paris 1900.

  • 2 Euler: Knigsberg-problemet

    Leonhard Euler (1707-1783)

    2.1 BiografiLeonhard Euler (1707-1783)1 regnes blandt historiens strste matematikere.Samtidig var Euler ogs en af de mest produktive. Han publicerede utalligevrker indenfor adskillige af matematikkens omrder svel som udenformatematikken. En del af forklaringen p dette kan vre at Euler levedei den periode der ofte kaldes lge de raison eller oplysningstiden, enperiode i hvilken Europa befandt sig i en intellektuel gring med viden-skab svel som kunst i blomstrende udvikling. Franske encyklopdisterarbejdede med udgivelsen af det frste leksikon, et vld af litteratur blevudgivet og erkendelsesteoretiske afhandlinger blev fremlagt. Disse gunstigeforhold for intellektuel virksomhed foranledigede oprettelsen af kongeligeakademier i flere europiske lande. Disse akademier blev financieret af deenkelte landes herskere og der blev her forsket inden for adskillige retningerunder kongens formynderskab. Sledes er mange af det 18. rhundredesvigtigste opdagelser og nyskabelser at finde i analerne fra disse akademier,og det vil ikke vre helt urigtigt at sige at der ogs var en vis konkurrenceakademierne imellem om at tiltrkke de dygtigste videnskabsfolk og mestlovende og anerkendte kunstnere.

    1 Denne biografi er baseret p Dictionary of Scientific Biography (1970-80, vol. IV)samt det omfattende forord i Euler (1770/1972).

    3

  • 4 Euler: Knigsberg-problemet

    Euler var sn af prsten Paul Euler, som i sin studietid blandt andethavde fulgt matematikforelsninger hos matematikeren Jacob Bernoulli(1654-1705), og derfor kunne lre sin sn elementr matematik indenpbegyndt skolegang. Det var Paul Eulers nske at hans sn ligesomhan selv skulle studere teologi p universitetet og blive prst. Som kun14-rig begyndte Leonhard Euler p universitetet i Basel, hvor han blevintroduceret for den bermte professor Johann Bernoulli (1667-1748), enaf tidens frende matematikere og en af de frste til sammen medsin bror Jacob Bernoulli at anvende Leibniz infinitesimalregning. MedBernoullis hjlp fik Euler tilladelse af sin far til at opgive teologistudietog i stedet hellige sig studiet af matematikken. Euler frdiggjorde sineuniversitetsstudier i 1726, alts i en alder af kun 19 r, og samme r fikhan udgivet sin frste videnskabelige artikel.

    Den 24. maj 1727 ankom Euler til Skt. Petersborg, for at udfylde enstilling p det nyligt stiftede akademi, som han forblev knyttet til restenaf sit liv. I 1731 blev han professor i fysik, men arbejdede ogs med flereandre omrder, som f.eks. geografiske landkort. Hans vigtigste arbejde vardog stadig indenfor matematikken, og i 1741 havde han udarbejdet 80-90artikler m.m. (hvoraf 55 blev udgivet) primrt omhandlende matematiskanalyse, talteori og mekanik.

    I 1733 giftede Euler sig med Katharina Gsell og fik snnerne JohannHeinrich og Karl i hhv. 1734 og 1740. I 1741 flyttede hele familien til Berlin,hvor Euler havde fet tilbudt en stilling. Her boede de i de nste 25 r ogde fik endnu tre brn, en dreng og to piger. Under sin tid i Berlin fik Eulerproduceret 380 arbejder, hvoraf de 275 blev publiceret. I 1766 vendte Eulertilbage til Skt. Petersborg. Imidlertid havde han i 1738, som flge af ensygdom, mistet synet p hjre je, og f r efter hans tilbagekomst til Skt.Petersborg mistede han ogs nsten hele synet p det venstre; i 1771 varhan fuldstndig blind. P trods af sit manglende syn producerede Eulernsten halvdelen af sit livs publikationer i perioden efter 1765, med hjlpfra bl.a. to af sine snner samt nogle elever. Om aftenen den 18. september1783 dde Euler af en hjernebldning.

    Som antydet fik Euler fordybet sig i mange omrder (mekanik, astrono-mi, navigation, geografi, hydraulik m.m.), men frst og fremmest var hanmatematiker. Hans foretrukne omrde inden for matematikken var denmatematiske analyse (infinitesimalregning m.m.), men han formede stortset at berre alle sin tids kendte omrder af matematikken. Euler havdeikke mange elever, men var, iflge matematikeren Pierre-Simon Laplace(1749-1827), en vejleder for alle matematikere af sin tid. Af samme grundkaldes 1700-tallet inden for matematikken ogs nogen gange for Eulersra, men Eulers indflydelse var ikke kun begrnset til det 18. rhundrede,arbejderne af mange store matematikere i det 19. rhundrede udsprangdirekte af Eulers produktion. Og Euler videreudviklede og fordybede sigikke kun i allerede eksisterede omrder, han bidrog ogs til fremkomstenaf nye, hvilket artikelen fra 1736 Lsning af et problem omhandlendebeliggenhedsgeometrien er et klassisk eksempel p.

    2.2 Optakt til Eulers artikelI 1679 skrev den bermte tyske filosof og matematiker Gottfried Wilhelmvon Leibniz (1646-1716), en af faderne til vore dages infinitesimalregning,

  • 2.3 Eulers 1736-artikel 5

    i et brev til den hollandske matematiker Christian Huygens (1629-1695):Jeg er ikke tilfreds med algebraen, idet den ikke giver os de korteste metoderej heller de sknneste geometriske konstruktioner. Derfor tror jeg, at vi harbrug for endnu en anden slags analyse som er decideret geometrisk ellerliner, og som kan udtrykke situation [beliggenhed] direkte som algebraudtrykker strrelse direkte. [2]Leibniz beliggenhedsgeometri kendes i dag under navnet topologi og

    udviklingen af denne tog ikke rigtig fat frend i 1800- og 1900-tallet.Ovenstende korrespondance mellem Leibiz og Huygens blev ikke

    offentliggjort frend i 1833, men allerede samme r blev beliggenheds-geometrien omtalt af endnu en stor matematiker, Carl Friedrich Gauss(1777-1855):Hvad angr beliggenhedsgeometrien, som Leibniz igangsatte og som kunto matematikere, Euler og Vandermonde, har kastet et svagt blik p, har vikendskab til og besidder viden der, efter halvandet rhundrede, kun udgren smule mere end ingenting. [3]Dette svage blik som Euler kastede p beliggenhedsgeometrien, og

    som i dag regnes for begyndelsen p moderne grafteori, er netop hansartikel fra 1736.4

    2.3 Eulers 1736-artikelEuler nummererer afsnittende i sin artikel, fra 1 til 21, hvilket gr artiklennemmere at overskue. Bemrkninger, kommentarer og opgaver vil sledesi det flgende komme ind imellem de enkelte afsnit.1. Udover den del af geometrien der beskftiger sig med strrelser, ogsom altid studeres med den allerstrste omhu, omtaler Leibniz en andendel. Sknt det nsten ikke er kendt, var han den frste, der gjorde det,og han kaldte den geometria situs (beliggenhedsgeometri). Iflge Leibnizbeskftiger denne del af geometrien sig udelukkende med bestemmelsen afbeliggenhed samt klargrelsen af beliggenhedsegenskaber. Dette er imidler-tid ikke tilstrkkeligt til at definere, hvad det er for problemer, der henfrerunder denne beliggenhedsgeometri, og hvilken metode der br anvendesved deres lsning. Derfor har jeg, da der i den sidste tid har vret en deltale om et problem, som ser ud til at have med geometri at gre, men somer af en sdan art, at det ikke krver kvantitativ bestemmelse og heller ikketillader en kvantitativ lsning gennem beregning, ikke haft den mindstetvivl ved at henfre det til beliggenhedsgeometrien, isr da der ved detslsning kun kommer beliggenheder i betragtning, mens beregning er nyt-tels. Som eksempel p beliggenhedsgeometrien har jeg flgelig besluttet atfremstille den metode, jeg har opfundet til lsning af problemer af denne art.

    2. Problemet, som man har fortalt mig er ganske velkendt, var da flgende:I Knigsberg i Preussen ligger en A kaldet Kneipfhof, omgivet af en flod,der deler sig i to grene, som det kan ses p figuren [figur 2.1]: grenene

    2 Oversat fra Crowe (1967, s. 3).3 Oversat fra Przytycki (1998, s. 535).4 Eulers artikel er at finde p originalsproget latin i Fleischner (1990), som ogs giveren engelsk oversttelse. En engelsk oversttelse kan ligeledes findes i Biggs et al. (1976).Den her danske oversttelse er at finde i Wolff (1967).

  • 6 Euler: Knigsberg-problemet

    er forsynet med syv broer a, b, c, d, e, f , og g. Der stilles nu flgendesprgsml vedrrende disse broer: Kan man flge en vej, sledes at hverbro overskrides n gang og kun n gang? Jeg fik fortalt, at der er nogleder helt bengter, at dette kan lade sig gre, mens andre betvivler det, ogslet ingen fastslr det som muligt. Udfra dette formulerede jeg flgendegenerelle problem: uanset flodens form og uanset fordelingen af dens greneog uanset antallet af broer at finde ud af, om det er muligt at krydse allebroer n og kun n gang, eller ikke.

    Figur 2.1

    Opgave 1P forsiden af undervisningsmaterialet findes et kort over Knigsberg fra1652. Identificer de syv broer over floden Pregel p dette kort og bekrftderefter at Eulers fremstilling p figur 2.1 er i overenstemmelse hermed.

    Euler begynder sledes sin analyse af Knigsberg-problemet med at ud-skifte bykortet med et simplere diagram, der kun gengiver de for problemetrelevante informationer. I moderne grafteori foretager man en yderligeresimplificering af dette diagram, sledes at landmasserne reprsenteres afpunkter og broerne af streger, kaldet kanter. Samlingen af punkter ogkanter og relationerne imellem dem kaldes en graf.

    Opgave 2Overst Eulers figur 2.1 til en sdan moderne graf. Sammenlign dernstdin egen tegning med dine gruppekammeraters. Er tegningerne ens ellerforskellige?

    Hvorfor det overhovedet er tilladt at erstatte hele omrder (landmasser)med punkter? Svaret er, at det er det fordi der ikke er nogen principielforskel p omrder og punkter, nr vi betragter dem inden for beliggen-hedsgeometrien (topologien), idet den beskftiger sig med egenskaber,der er invariante overfor ndringer i strrelses- og afstandsforhold. Detvsentlige ved de fire omrder i Knigsberg-problemet er at de er heltuden forbindelse til hinanden, p nr broerne, hvilket er det samme forfire punkter i rummet. Alts, at fire punkter i rummet ingen indbyrdes

  • 2.3 Eulers 1736-artikel 7

    relationer har fr vi forbinder dem med linier (svarende til broer i prob-lemet). Nr man sledes kun er interesseret i beliggenheden af punkterneog ikke i afstandene mellem dem, betyder dette ogs at n og samme grafkan have mange forskellige billedlige reprsentationer, hvilket foregendeopgave gerne skulle have illustreret.

    Vi kan selvflgelig give en mere formel og moderne matematisk defini-tion af en graf.5

    Definition 2.1: GrafEn graf G bestr af en mngde af punkter P (G) og en mngde af kanterK(G) samt en funktion , som til hver kant k K(G) tilordner et par,kaldet (k), af punkter fra P (G).

    Vi betrager kun endelige grafer, det vil sige grafer G hvor svel P (G) somK(G) er endelige.

    Skal vi vre helt formelle, s kan vi ogs sige, at en graf G sledes erat betragte som et tripel

    G = (P (G),K(G), G),

    hvor G angiver at der er tale om funktionen tilknyttet netop G. Oftebenyttes betegnelsen (x, y), alts et par af punkter x og y i P (G), ogs sombetegnelse for en kant k med G = (x, y). Sfremt en graf har forskelligekanter k1 og k2 med (k1) = (k2), siges der at vre multiple kanter igrafen.

    Opgave 3Er der multiple kanter i Knigsberg-grafen? Hvilke?

    Opgave 4Angiv for Knigsberg-grafen, som vi nu vil kalde K, mngderne P (K)og K(K) samt de par af punkter, (k), som grafen indeholder. Nr duhar gjort dette, betragt da din liste af til hver kant tilordnede par: Erdenne liste en matematisk mngde?6 Hvornr er en sdan liste af tilkanter tilordnede par en matematisk mngde og hvornr er den ikke?Hvorfor taler vi om K(K) (eller helt generelt om K(G)) som en matematiskmngde?

    Vi vender nu tilbage til Eulers oprindelige artikel, hvori han ogs selvforetager yderligere simplifikationer af det givne problem.3. Da der i Knigsberg-problemet er syv broer, kan dette lses ved enfuldstndig opregning af alle mulige veje, man kan g; p den mde villedet blive klart, om der fandtes eller ikke fandtes en vej som den i prob-lemet forlangte. Men p grund af det store antal kombinationsmulighederer denne lsningsmetode bde for vanskelig og for besvrlig, og i andreproblemer med endnu flere broer vil den slet ikke kunne anvendes. Bleven metode af denne art frt helt til ende, ville man f svar p mange

    5 Prsentationen af moderne grafteoretisk notation i dette undervisningsmateriale ogoversttelsen af de engelske begreber til dansk flger overvejende den af Toft (1985)indfrte.

    6 En matematisk mngde er en uordnet samling af objekter, ogs kaldet mngdenselementer. Det specielle ved en matematisk mngde er at et element m optrde idenne n og kun n gang.

  • 8 Euler: Knigsberg-problemet

    sprgsml, der slet ikke var stillet; heri ligger utvivlsomt rsagen til mangeaf vanskelighederne. Efter at have forkastet denne metode gav jeg mig tilat sge efter en anden, der blot skulle afslre, om der fandtes en vej ellerikke; thi jeg havde mistanke om, at en sdan metode ville vise sig langtsimplere.

    4. Min hele metode beror p et passende valg af betegnelse for denenkelte broovergang; hertil bruger jeg de store bogstaver A, B, C, D, sombetegner hvert af de omrder, der er adskilt fra hinanden af floden. Det ernu sledes, at hvis nogen gr fra omrde A til omrde B enten over broena eller over broen b, da vil jeg betegne denne overgang med bogstaverneAB. Det frste af disse angiver det omrde, den farende kommer fra, ogdet andet det omrde, han nr frem til efter at vre get over broen.Vil den farende fortstte fra omrde B til omrde D over broen f , dareprsenteres denne overgang af bogstaverne BD. To p hinanden flgendeovergange AB og BD vil jeg betegne med de tre bogstaver ABD, idetdet midterste bogstav B angiver svel det omrde, man kommer til efterden frste overgang, som det omrde, der forlades ved den anden overgang.

    5. Dersom den farende nsker at fortstte fra omrde D til omrde Cunder benyttelse af broen g, vil jeg betegne disse tre p hinanden flgendeovergange med de fire bogstaver ABDC. Af disse fire bogstaver kan detses, at den farende frst befandt sig i omrde A, dernst gik over tilomrde B, hvorfra han fortsatte til omrde D for til sidst at n frem tilomrde C. Da disse omrder imidlertid er adskilt fra hinanden af floden,m den gende ndvendigvis have passeret tre broer. En passage af fire phinanden flgende broer vil analogt kunne beskrives med fem bogstaver,og dersom den gende passerer et vilkrligt antal broer, da vil antallet afbogstaver, der giver hans rute, vre n strre end antallet af broer. Enovergang af syv broer krver sledes otte bogstaver til sin betegnelse.

    Efter at have afvist at opskrive en udtmmende liste af alle mulige vejeman kan g, reformulerer Euler problemet i termer af flger af bogstaver(punkter) reprsenterende landomrderne. Derved bliver selve diagrammetoverfldigt for lsningen af problemet.

    I moderne grafteori siger man i dag, at to punkter som er forbundetaf en kant er naboer, og referer til en rkke af nabopunkter som en rute.P den ene side kan vi, ligesom Euler gr, alts anskue en rute som enflge af alternerede (nabo)punkter og kanter, f.eks. x1k1x2k3 . . . xnkn, hvorbde rkkeflgen af punkterne og rkkeflgen af kanterne mellem dem erspecificeret. P den anden side kan vi selvflgelig ogs give en mere formelmoderne definition.

    Definition 2.2: RuteEn rute i en graf mellem punkter x1 og yn er en flge af kanter

    [k1, k2, k3, . . . , kn1, kn] ,

    hvor ki forbinder xi og yi for i = 1, 2, . . . , n og hvor yi = xi+1 for i =1, 2, . . . , n 1.

    Hvis x1 = yn kaldes ruten lukket. Hvis x1 6= yn kaldes ruten ben.

  • 2.3 Eulers 1736-artikel 9

    Udover at en rute kan vre enten ben eller lukket, s findes der ogs andrespecielle former for ruter. Med udgangspunkt i notationen fra definition2.2 definerer vi nu disse.

    Definition 2.3 Sfremt alle kanter i en rute er forskellige kaldes den en tur. Sfremt punkterne x1, x2, . . . , xn og punkt yn alle er forskellige kaldes

    ruten en vej, som forbinder x1 og yn. Sfremt x1, x2, . . . , xn alle er forskellige og x1 = yn, kaldes ruten en

    kreds.

    Lngden af en vej eller en kreds er antallet af kanter i den. Den specielleform for kant som forbinder et punkt med sig selv kaldes en sljfe. Ensljfe er sledes en kreds af lngde 1.

    Opgave 5 Konstrur en rute i Knigsberg-grafen, hvor alle kanter benyttes

    mindst n gang (samme kant m alts gerne indg i ruten fleregange).

    Konstrur en tur af lngde 6 i Knigsberg-grafen. Konstrur en kreds af lngde 4 i Knigsberg-grafen. Hvor lang er den lngste vej, man kan konstruere i Knigsberg-

    grafen?

    Veje og kredse som defineret ovenfor opfattes ogs gerne som delgrafer.

    Definition 2.4: DelgrafSfremt punkterne i en graf G1 er en delmngde af punkter i en grafG2, skrevet P (G1) P (G2), og kanterne ligeledes K(G1) K(G2) ogG1(k) = G2(k) for alle k K(G1), siges G1 at vre en delgraf af G2.

    Opgave 6Tegn to delgrafer K1 og K2 af Knigsberg-grafen K.

    I tilfldet med Knigsberg-problemet er vi interesseret i at finde entur, hvor enhver kant (bro) af grafen benyttes (n og kun n gang) og afden rsag omtales denne specielle form for tur i dag ogs som en Euler-tur.Det mest fordelagtige for en sdan gtur rundt i Knigsberg vil mske nokvre at man ender der hvor man ogs er begyndt, alts at der er tale omen lukket Euler-tur, men selve problemet eftersprger i udgangspunktetkun en Euler-tur (ben eller lukket).

    Opgave 7 Formuler en stringent definition af hvad der forsts ved en Euler-tur

    (bde en ben og en lukket). Kig p definitionerne af rute (ben og lukket), tur, vej, kreds, Euler-

    tur (ben og lukket). Hvilke af disse er defineret p baggrund afgrafens kanter, hvilke p baggrund af grafens punkter, og hvilke pbaggrund af begge?

    Forklar forskellen p en lukket Euler-tur og en kreds. (Giv gerneunderstttende eksempler.)

  • 10 Euler: Knigsberg-problemet

    Efter at have omformuleret Knigsberg-problemet udelukkende i ter-mer af flger af bogstaver (punkter), betragter Euler nu sprgsmlet omhvorvidt et vilkrligt bro-problem har en lsning eller ej.6. Ved denne mde at betegne overgangene p tager jeg ikke hensyn til,hvilke broer der benyttes; thi dersom man ved passage fra et omrde tilet andet kan benytte flere broer, da er det ligegyldigt, hvilken bro manbetjener sig af, nr blot man nr til det nskede omrde. Som flge herafer det klart, at hvis den vej, der frer over figurens syv broer, kan tegnesp en sdan mde, at hver bro passeres n gang og ingen to gange, da vildenne vej kunne reprsenteres af otte bogstaver, og disse bogstaver mvre anbragt p en sdan mde, at bogstaverne A og B str lige ved sidenaf hinanden to gange, idet der er to broer a og b, der forbinder omrderneA og B; af samme grund skal de to bogstaver A og C optrde to gange iumiddelbar rkkeflge i denne suite p otte bogstaver; bogstaverne A ogD skal forekomme en gang lige ved siden af hinanden, og det samme mglde for bogstaverne B og D, og C og D.

    7. Problemet er dermed reduceret til, at man ud fra de fire bogstaver A,B, C og D skal opstille en rkke p otte bogstaver, hvori de ovennvntebogstavrkkeflger skal optrde netop s mange gange som angivet. Frman begynder arbejdet med at finde en sdan opstilling, vil det imidlertidvre p sin plads at undersge, om man overhovedet kan disponere overdisse bogstaver p en sdan mde, at det kan lade sig gre. Thi kandet bevises, at en opstilling af den art ikke kan foretages, da vil enhverbestrbelse i den retning vre ganske nyttels. Jeg har derfor sgt efteren regel, ved hjlp af hvilken det svel i dette som i andre lignendesprgsml let kan afgres, om en sdan bogstavgruppering eksisterer.

    For at udlede denne regel betragter Euler to nye fiktive og adskilteomrder, der er forbundet af et antal broer.8. For at finde denne regel betragter jeg kun omrdet A, hvortil derfrer et vilkrligt antal broer a, b, c, d, . . . osv. [figur 2.2]. Af disse broerbetragter jeg frst kun broen a, der frer til omrdet A. Benytter denfarende sig af denne bro ved overgangen, m han ndvendigvis enten havevret i omrdet A fr sin overgang eller komme til omrdet A efter sinovergang. I overenstemmelse med det ovenfor indfrte m bogstavet A daforekomme en gang i betegnelsen for denne overgang. Frer der tre broera, b, c til omrdet A, og passerer den farende alle tre, da vil bogstavet Aforekomme to gange i angivelsen af hans rute, hvadenten han startede i Aeller ikke. Analogt vil bogstavet A, dersom der er fem broer, der frer til A,forekomme tre gange i angivelsen af en vej, der frer over alle fem broer.Og hvis antallet af broer er et vilkrligt ulige tal, da finder vi antallet afgange, som bogstavet A forekommer, ved at lgge en til dette antal ogtage halvdelen af resultatet.

    I afsnit 8 udleder Euler en regel til bestemmelse af hvor mange gangeet punkt m optrde i reprsentationen af ruten for et givet bro-problemi det tilflde hvor et ulige antal af broer frer til omrdet reprsenteretved dette punkt. Lav flgende opgave fr du lser videre.

  • 2.3 Eulers 1736-artikel 11

    Figur 2.2

    Opgave 8Brug Eulers regel til at bestemme, hvor mange gange hvert af punkterneA, B, C og D vil optrde i reprsentationen af en rute i Knigsberg-problemet. Givet Eulers tidligere konklusion (se Afsnit 5) om at lsningenaf Knigsberg-problemet krver en punktrkkeflge af 8 punkter, er ensdan flge da mulig? Begrund og forklar dit svar.

    9. Lad os vende tilbage til problemet med broerne, der skal passeres iKnigsberg. Da der er fem broer, der frer til en A, m bogstavet Aforekomme tre gange i angivelsen af en vej over disse broer. Da tre broerfrer til omrdet B, m bogstavet B forekomme to gange, og bogstavetD og bogstavet C m ligeledes forekomme to gange hver. I den rkke potte bogstaver, som skal benyttes ved angivelsen af en rute over de syvbroer, skal bogstavet A flgelig forekomme tre gange og bogstaverne B,C og D hver to gange. Men dette er umuligt i en rkke p otte bogstaver.Der flger heraf, at der ikke findes en vej af den nskede slags over de syvbroer ved Knigsberg.

    10. P tilsvarende mde kan vi, nr blot antallet af broer, der frer tilhvert omrde, er ulige, i andre tilflde afgre, om hver enkelt bro kanpasseres n og kun n gang. I de tilflde, hvor summen af alle de gange,hvert enkelt bogstav skal forekomme, er lig med det totale antal broer plusen, kan man finde en vej af den forlangte slags. Men sker det som i vorteksempel, at summen af alle gangene er strre end antallet af broer plusen, da findes der ingen sdan vej. Den regel, jeg har givet til bestemmelseaf antallet af gange, bogstavet A skal forekomme, ud fra antallet af broer,som frer til omrdet A, er gyldig, hvad enten alle broerne kommer fra detene omrde B, som det er tilfldet i figuren [figur 2.2], eller om de kommerfra forskellige omrder; thi jeg betragter kun omrdet A og sprger kunefter antallet af gange, som bogstavet A burde forekomme.

    11. Er antallet af broer til omrdet A imidlertid et lige tal, da m manved overgangen af den enkelte bro vide, hvorvidt den farende pbegyndtesin vandring i A eller ikke. Thi er der to broer, som frer til A, og begynderden farende sin rute i A, da m bogstavet A forekomme to gange; thidet m forekomme n gang som angivelse for en bortgang fra A over denene bro, og en gang til som betegnelse for en tilbagekomst til A ad denanden bro. Begynder den farende derimod sin rute i et andet omrde, davil bogstavet A kun forekomme n gang; thi den ene gang, det er skrevet,angiver i min notation for en sdan rute svel ankomst til A som bortgangfra A.

  • 12 Euler: Knigsberg-problemet

    12. Lad der nu vre fire broer, som frer til omrdet A, og lad denfarende pbegynde sin rute i A. I betegnelsen for hans rute m bogstavetA forekomme tre gange, dersom han krydser hver enkelt bro netop n gang.Pbegynder han derimod sin vandring i et andet omrde, vil bogstavet Akun forekomme to gange. Frer der seks broer til omrdet A, da forekommerbogstavet A fire gange, hvis vandringen tager sin begyndelse i A; mener den farende ikke i A ved starten, da forekommer det kun tre gange.I almindelighed glder alts, at dersom antallet af broer er lige, da vilhalvdelen af dette antal give antallet af gange, bogstavet A vil forekomme,nr ruten ikke tager sin begyndelse i omrdet A; halvdelen af antallet afbroer plus n angiver derimod det antal gange, bogstavet A vil forekomme,nr ruten pbegyndes i A selv.

    Opgave 9Tegn figurer a la Eulers figur 2.2 som illustrerer hver af de ovenstendesituationer som skitseres i Afsnittene 10, 11 og 12, og opskriv for hver affigurerne den flge af bogstaver som angiver ruten herp.

    13. Men da en vej af den sgte slags kun kan tage sin begyndelse i tomrde, kan jeg bestemme antallet af gange, som det bogstav, der brugestil betegnelse af det enkelte omrde, skal forekomme ud fra antallet afbroer, der frer til det pgldende omrde, som halvdelen af summen afalle broerne plus n, hvis antallet af broer er ulige, men som halvdelen afselve antallet af broer, dersom det er lige. I det tilflde, at det totale antalbogstavforekomster er lig det totale antal broer plus n, vil den nskederute kunne gennemfres; men starten skal da foreg i et omrde, hvortilder hrer et ulige antal broer. Er antallet af bogstavforekomster imidlertidn mindre end antallet af broer plus n, da vil den nskede rute med heldkunne gennemfres ved at begynde i et omrde, hvortil der frer et ligeantal broer; thi i det tilflde forges antallet af bogstavforekomster medn.Som set afhnger Eulers definition af antallet af forekomster af et

    bogstav angivende et omrde af om antallet af broer (kanter) frende tilhvert omrde (punkt) er lige eller ulige. I moderne grafteoretisk notationkan man opskrive Eulers resultater ved brug af flgende definerede begreb:

    Definition 2.5: ValensValensen v(x,G) af et punkt x i en graf G er lig a+ b, hvor

    a = antallet af kanter, som har x som prcis det ene endepunkt b = 2 (antallet af sljfer i x).

    En anden mde at sige dette p er at valensen af et punkt i en graf er ligantallet af kanter, der er incidente med punktet. Eftersom sljfer jo erincidente med et punkt to gange skal de selvflgelig tlles dobbelt.

    Opgave 10 Lad der vre givet en kreds C og lad en graf G vre lig denne kreds,

    alts C = G. Hvad er da valensen af alle punkterne i G? Lad der vre givet en vej V og lad en graf G vre lig denne vej,

    alts V = G. Kan vi sige noget om valensen af punkterne i G?

  • 2.3 Eulers 1736-artikel 13

    Lad der vre givet en tur T og lad en graf G vre lig denne tur,alts T = G. Kan vi sige noget om valensen af punkterne i G?

    Opgave 11Lad der for en graf G vre givet punktet x med valensen v(x,G). Medudgangspunkt i Eulers definition i Afsnit 13 opskriv nu formler for antalletaf bogstavforekomster af x i det tilflde hvor v(x,G) er lige og i dettilflde hvor v(x,G) er ulige.

    14. Lad os antage, at der er givet en vilkrlig fordeling af vand og broer,og at vi skal undersge, om det er muligt at krydse hver bro netop n gang.Jeg brer mig da ad p flgende mde: For det frste benvner jeg alleomrder, der er skilt fra hinanden af vand med bogstaverne A,B,C osv.For det andet finder jeg det totale antal broer og lgger n til, hvorefter jeganbringer det fremkomne tal i verste linie for den efterflgende beregning.For det tredie skriver jeg ud for bogstaverne A,B,C,D, . . . opskrevetunder hinanden antallet af broer, som frer til det pgldende omrde. Fordet fjerde afmrker jeg de bogstaver, ud for hvilke der str et lige tal, meden stjerne. For det femte skriver jeg ved siden af alle de lige tal halvdelenaf de pgldende lige tal, og ud for alle de ulige tal et tal, der er lig medhalvdelen af det pgldende ulige tal plus n. For det sjette adderer jegtallene i den sidste kolonne. Er denne sum lig med eller n mindre endantallet af broer plus n, da slutter jeg, at der findes en rute af den nskedeart. Det m imidlertid bemrkes, at dersom summen er mindre end det tal,der noteredes i verste linie, da m ruten ndvendigvis tage sin begyndelsei et af de med stjerne afmrkede omrder, men i et uafmrket omrde,dersom summen er lig med det nvnte tal. I Knigsberg-tilfldet opstillerjeg flgende beregning:

    Antal broer: 7; ngletal: 8

    BroerA, 5 3B, 3 2C, 3 2D, 3 2

    Da denne beregning resulterer i en sum, der er strre end 8, findes deringen rute af den nskede art.Euler har sledes lst det oprindelige problem, Knigsberg-problemet,

    ved at vise at det ikke er muligt at lgge en rute som krydser alle broer nog kun n gang alts i moderne terminologi at der ikke findes en Euler-turi Knigsberg-grafen. (Hvilket ogs gerne skulle vre den konklusion duvar net frem til i opgave 8.) Euler fortstter dernst med at illustreresin metode med et noget mere kompliceret eksempel.15. Lad der vre to er omgivet af vand, og lad dette vand vre iforbindelse med fire floder, sledes som det er vist p figuren [figur 2.3].Lad der, for at man kan komme til erne, vre 15 broer, som frer overfloderne og vandet, der omgiver erne. Sprgsmlet er da, om der findesen vej, der frer over alle broerne, og det sledes at ingen bro krydses togange.

  • 14 Euler: Knigsberg-problemet

    Figur 2.3

    Frst benvner jeg alle omrder, der er skilt fra hinanden af vand, medbogstaverne A,B,C,D,E, F ; der er seks omrder af denne slags. Dernstlgger jeg n til antallet af broer, 15, og stter summen, 16, som overskriftfor flgende beregning:

    16A*, 8 4B*, 4 2C*, 4 2D, 3 2E, 5 3F*, 6 3

    16

    For det tredie skriver jeg bogstaverne A,B,C osv. under hinanden, ogud for hvert anbringer jeg antallet af broer, der frer til det pgldendeomrde, otte broer til A, fire til B, osv. For det fjerde afmrker jeg debogstaver, ud for hvilke der str et lige tal, med en stjerne. For det femteskriver jeg i den tredie kolonne halvdelen af de lige tal; men de ulige tallgger jeg n til, hvorefter jeg skriver halvdelen af dette. For det sjetteadderer jeg tallene i den tredie kolonne og fr summen 16. Da dette tal erlig med det ovenover beregningen anbragte tal 16, flger det, at broernekan passeres p den nskede mde, nr blot ruten tager sit udgangspunktenten i omrde D eller i omrde E, idet disse ikke er afmrket med nogenstjerne. En mulig rute er flgende:

    E aF bB cF dAeF f C g AhC iD kAmE nApB oE lD,

    hvor jeg har anbragt de ved overgangene benyttede broer imellem de storebogstaver.

    Opgave 12Hvorfor m man ikke begynde i et omrde afmrket med en stjerne?

  • 2.3 Eulers 1736-artikel 15

    Opgave 13Tegn figur 2.3 som en moderne graf og kontroller at den af Euler ovenforgivne rute er en lsning af den nskede art.

    Mske har du allerede lagt mrke til dette, at Knigsberg-problemetog Eulers generelle problem er af den type, der gr ud p at tegne en visfigur i n streg, dvs. uden at lfte blyanten fra papiret og uden at tegnedet samme stykke af figuren to gange alts at tegne grafen i n ubrudtstreg.16. Ved at rsonnere p denne mde kan man let i ethvert selv nok skompliceret tilflde afgre, hvorvidt alle broer kan passeres en og kunen gang, eller ikke. Jeg skal nu angive en langt lettere mde, hvorp mankan afgre det samme, som man ogs uden strre vanskelighed kan opnved hjlp af den hidtil anvendte metode, men forinden m jeg fremfreflgende bemrkninger. Jeg bemrker frst, at addition af alle broantal iden anden kolonne efter bogstaverne A,B,C osv. resulterer i et tal, derer dobbelt s stort som det totale antal broer. Grunden hertil er, at hverbro i denne beregning, hvor man optller alle broer, som frer til et givetomrde, tlles med to gange, idet hver bro har forbindelse til begge deomrder, den forener.

    17. Det flger af denne betragtning, at summen af alle broer, som frertil hvert enkelt omrde, er et lige tal, da halvdelen deraf er lig med dettotale antal broer. Det kan derfor aldrig indtrffe, at der blandt antalleneaf broer, som frer til de forskellige omrder, kun er t, der er ulige; ellerat tre er ulige, eller fem osv. Hvis nogle af de til bogstaverne A,B,C osv.knyttede broantal er ulige, m antallet af disse flgelig ndvendigvis vrelige. I Knigsberg-eksemplet var der sledes fire ulige broantal knyttet tilbogstaverne for broerne A,B,C,D, som det kan ses i Afsnit 14. Og i detforegende eksempel i Afsnit 15 er der to ulige antal knyttet til bogstaverneD og E.

    Opgave 14Forsg at konstruere (tegne) en graf der indeholder t punkt med uligevalens, f.eks. 3, og hvor alle andre punkter har lige valens. Hvorfor lykkesdet ikke?

    Eulers resultat i Afsnit 16 refereres ogs nogen gange til som TheHandshake Theorem (hndtryksstningen) p grund af det lignendeproblem med at tlle antallet af hndtryk der finder sted ved socialebegivenheder, hvor alle tilstedevrende giver hinanden hnden prcis ngang. En moderne grafteoretisk formulering af stningen kunne lyde:

    Stning 2.6Summen af alle valenser i en graf G er lig med to gange antallet af kanteri K(G). Vi kan skrive det som:

    xP (G)

    v(x,G) = 2 |K(G)|

    .

  • 16 Euler: Knigsberg-problemet

    Tegnet er det store grske bogstav sigma og benyttes i matematikkensom symbol for at der skal summeres. Det der i ovenstende tilflde skalsummeres er valensen af alle punkter x i punktmngden P (G). De ligestreger | . . . | omkring K(G) betyder at der er tale om antallet af elementer(her kanter) i mngden.

    Opgave 15Forsg selv at argumentere for hvorfor stning 2.6 er korrekt.

    Brugen af moderne notation i stningen ovenfor gr selvflgelig atvi kan fremstille resultatet p meget mere kompakt vis. Og skulle vibevise Eulers resultater ved brug af moderne notation ville beviserne ogsvre vsentlig kortere. Men dette berrer imidlertid ikke korrektheden afresultaterne: hvis der er argumenteret stringent, er et langt bevis fuld aford lige s gyldigt som et kort og kompakt bevis der benytter modernenotation og begreber.

    Kig igen p Eulers resultat i Afsnit 17. Dette kan i moderne grafteoriformuleres som flgende stning:

    Stning 2.7En graf G indeholder altid et lige antal punkter med ulige valens.

    Opgave 16Hvordan ville man argumentere for korrektheden af stning 2.7 ved brugaf moderne grafteoretiske begreber og notation?

    18. Da summen af de tal, der er tilknyttet bogstaverne A,B,C, osv., erlig med to gange antallet af broer, er det klart, at hvis der til denne sumlgges 2 og resultatet derefter divideres med 2, da m dette resultere i dettal, der er anfrt i beregningens verste linie. Hvis alts alle de tal, der erknyttet til bogstaverne A,B,C,D, osv., er lige da vil summen af tallene iden tredie kolonne, som fremkommer ved, at man tager det halve af hvertaf de frstnvnte tal, vre n mindre end ngletallet, som str verst. Idisse tilflde vil der derfor altid findes en vej over broerne. Thi ligegyldigti hvilket omrde ruten tager sin begyndelse, s er der et lige antal broer,der frer dertil, sledes som det er forlangt. I Knigsberg-tilfldet ville detsledes vre muligt at finde en vej, der frer to gange over hver bro; hverbro kunne s at sige deles i to, og antallet af broer til hvert omrde villeda vre lige.

    19. Den nskede gennemkrydsning vil endvidere kunne foretages, hvis derkun er to af de til bogstaverne A,B,C osv. knyttede tal, der er ulige, blotskal ruten pbegyndes i et omrde, hvortil der frer et ulige antal broer.Thi hvis man i overenstemmelse med fremgangsmden halverer de lige talog de ulige tal plus n, da vil summen af disse halvdele vre n strre endantallet af broer og derfor lig med ngletallet i den verste linie.Heraf ses det, at dersom der er fire, seks eller otte osv. ulige tal i den andenkolonne, da vil summen af tallene i den tredie kolonne vre strre endngletallet i overskriften, og den vil overstige dette tal med henholdsvis n,to, tre osv., hvorfor der ikke findes nogen vej af den sgte slags.

  • 2.4 En moderne version af Eulers stning og bevis 17

    20. Om en gennemkrydsning af alle broerne kan foretages eller ikke, kanalts nu i ethvert givet tilflde med lethed erkendes ved hjlp af denneregel [7]:

    i. Er der flere end to omrder, hvortil der frer et ulige antal broer, dakan det med sikkerhed fastsls, at den nskede gennemkrydsning ikkekan foretages.

    ii. Er der imidlertid netop to omrder, hvortil der frer et ulige antalbroer, da vil gennemkrydsningen kunne foretages, nr blot rutenbegynder i det ene af disse omrder.

    iii. Er der sluttelig intet omrde, hvortil der frer et ulige antal broer,da vil den forlangte gennemkrydsning kunne foretages, ligegyldigt ihvilket omrde ruten tager sin begyndelse.

    Disse regler lser alts det givne problem til bunds.

    Opgave 17Forsg at formulere hvert af Eulers tre ovenstende resultater (i, ii og iii)ved brug af de moderne grafteoretiske begreber og den moderne notationder er blevet indfrt indtil nu, s som f.eks. valens.

    21. Men har man fundet ud af, at der findes en vej af den sgte slags,resterer der stadig det sprgsml at finde denne vej. Til det forml anvenderjeg flgende regel: I tankerne elimineres parvis de broer, der frer fra etomrde til et andet, og dette s mange gange som det kan lade sige gre.P den mde vil antallet af broer hurtigt og grundigt formindskes. Dernstfindes en vej af den nskede slags over de resterende broer, hvilket letkan gres. Nr dette er gjort, vil det straks vre klart for enhver, der harfulgt med, at de eliminerede broer ikke griber forstyrrende ind i dennerute, og jeg anser det ikke for ndvendigt at give yderligere undervisning i,hvorledes man finder denne rute.

    2.4 En moderne version af Eulers stning og bevisEn helt moderne formulering af Eulers hovedresultat, eller hovedstning,krver endnu en definition.

    Definition 2.8En graf G, hvor der for ethvert par af punkter x og y findes en rute fra xtil y siges at vre sammenhngende.

    Ovenstende definition implicerer selvflgelig at der findes grafer som erikke-sammenhngende. Sdanne grafer kan opdeles i ikke-overlappende(disjunkte) delgrafer G1,G2, . . . ,Gk, som tilsammen indeholder alle denoprindelige grafs punkter og kanter og som hver for sig selv er sammen-hngende.

    Vi formulerer nu hovedstningen fra Eulers 1736-artikel (iii) i modernegrafteoretiske termer:

    Stning 2.9: HovedstningLad G vre en sammenhngende graf, da indeholder G en lukket Euler-turhvis og kun hvis alle punkter i G har lige valens.

    7 Nummereringen af resultaterne er tilfjet her og findes ikke i Eulers artikel.

  • 18 Euler: Knigsberg-problemet

    Opgave 18Illustrer hvorfor den moderne formulering af Eulers hovedstning speci-ficerer at G er sammenhngende ved at give et eksempel p en ikke-sammenhngende graf, der udelukkende har punkter af lige valens. Forklarhvordan du ved at dit eksempel ikke indeholder en lukket Euler-tur.

    Den anden stning (ii) som Euler til slut opskriver i sin artikel lyderp flgende vis i moderne termer:

    Stning 2.10Lad G vre en sammenhngende graf, da indeholder G en ben Euler-turhvis og kun hvis G indeholder netop to punkter af ulige valens.

    Opgave 19Kig igen p Eulers artikel. Hvordan gr Euler brug af antagelsen om at degrafer han kigger p er sammenhngende?

    Stningerne 2.9 og 2.10 er af den type der ogs kaldes hvis-og-kun-hvis-stninger. Sdanne stninger er kendetegnet ved, at de s at sigeglder begge veje. Ofte anvender man ogs en dobbeltpil , ogs kendtsom en ensbetydende-med-pil, i stedet for udtrykket hvis og kun hvis. Itilfldet med stning 2.9 kan vi alts tnke p det som at vi har givetprmissen P:

    P = (G er en sammenhngende graf).Nu reprsenterer vi de to andre udtryk i stningen ved bogstaverne A ogB sledes:

    A = (G indeholder en lukket Euler-tur).B = (alle punkter i G har lige valens).

    Stning 2.9 kan nu skrives som:

    P : A B.

    Nr vi sledes skal bevise stning 2.9 skal vi alts bde vise at

    A B og A B.

    Strengt taget viser Euler i sin artikel kun den ene vej, hvilket vi skalvende tilbage til lidt senere. Det frste publicerede bevis for den andenvej tilskrives den unge tyske matematiker Carl Hierholzer (1840-1871),hvis bevis blev publiceret for ham af en kollega i 1873 efter hans alt fortidlige dd. Det menes ikke at Hierholzer selv kendte til Eulers 1736-artikel, i stedet henviser han til en artikel af en anden tysk matematiker,Johann Benedict Listing (1808-1882). At man ikke altid var bekendt medtidligere resultater og arbejder var ikke s ualmindeligt dengang, hvormeget matematisk viden blev videregivet enten mundtligt eller i form afprivate korrespondancer. Undertiden medfrte dette ogs en vis grad afusikkerhed med hensyn til hvem der havde udgivet hvad, hvor og hvornr.

    Vi skal her se en moderne udgave af Hierholzers bevis for kun hvis-delen, alts hvis der for en sammenhngende graf er givet at alle punkternehar lige valens s glder at grafen indeholder en lukket Euler-tur.8

    8 Beviset er at finde i Toft (1985).

  • 2.4 En moderne version af Eulers stning og bevis 19

    Bevis ()Lad x1 vre et punkt i grafen G, og lad os begynde en tur i G fra x1, dvs.en flge af forskellige kanter:

    [(x1, x2), (x2, x3), (x3, x4), . . .]

    hvor ingen kant gentages og hvor vi fortstter turen s lnge det er muligt.Da der kun er et endeligt antal kanter i G kan denne tur ikke fortsttei det uendelige, men vil standse i et punkt, som vi vil kalde xn, efter athave gennemlbet turen T :

    T = [(x1, x2), (x2, x3), (x3, x4), . . . , (xn2, xn1), (xn1, xn)] .

    Lad G vre den delgraf af G, som disse kanter og deres endepunkterdanner. Da G kan gennemlbes som turen T har alle punkter i G ligevalenser, medmindre x1 6= xn hvilket vil betyde at x1 og xn har uligevalenser. Dette kan imidlertid ikke vre tilfldet, hvilket vi kan indse pflgende vis: Da T standser i xn er alle kanter der er incidente med xn iG med i T (hvorfor?), hvilket vil sige at xn har lige valens i G, da denhar det i G. Heraf flger at x1 = xn og at alle punkter i G har lige valens.Hvis vores konstruerede tur T omfatter alle kanter i G er vi nu frdige.

    Hvis T ikke omfatter alle kanter i G, kan vi ved at fjerne alle kanternei T fra G f n eller flere sammenhngende grafer G1,G2, . . . ,Gk, hvori allepunkter har lige valens. Det vil sige, at de opfylder samme forudstningsom G.

    Da G er sammenhngende vil et af punkterne xi fra G ligge i G1. Nr vigennemlber turen T kan vi nu standse i xi, derefter foretage en lukket turT1 i G1 (fundet ved samme metode som T i G), for s endelig at fortsttemed resten af T fra xi.

    Ved af flge fremgangsmden ovenfor har vi nu ndret den oprindeligetur T til en ny tur, vi kan kalde den T , som indeholder flere af Gs kanterend T selv. Ved at begynde forfra igen med T i stedet for T og udfreovenstende fremgangsmde igen og igen opns til slut en tur indeholdendealle kanterne i G, alts en lukket Euler-tur.

    Opgave 20Hvordan ved vi at metoden i beviset ovenfor faktisk vil slutte og ikke barefortstter i det uendelige?

    En alternativ metode til at fre bevis for kun hvis-delen () p er vedat lade den konstruerede tur T vre den overhovedet lngst mulige tur iG fra x1, og s bevise at T m indeholde alle Gs kanter. I modstningtil ovenstende bevis vil dette dog ikke vre et konstruktivt bevis, menderimod et modstridsbevis. Frste del af beviset vil g stort set som frstedel af det konstruktive bevis ovenfor, men i anden del skal man ved atantage at T ikke omfatter alle kanter i G fre dette til en modstrid.

    Opgave 21 ()Opskriv et omhyggeligt moderne bevis for den anden vej (). Begyndmed at antage, at G er en sammenhngende graf der indeholder en lukketEuler-tur. Vis s at alle punkter i G har lige valens.

  • 20 Euler: Knigsberg-problemet

    Opgave 22Giv ligeledes et moderne bevis for stning 2.10. Husk, da denne er enhvis-og-kun-hvis stning skal den ogs vises begge veje.

    I matematik kan man opskrive en skaldt sandhedstabel for et udsagn.Lad os se p udsagnet A B. Fordi vi bde har A og B i spil, og hverkan vre enten sand (S) eller falsk (F), skal vi sammenlagt betragte firemuligheder. Sandhedstabellen for udsagnet A B ser ud som flger:

    A B A BS S SS F FF S SF F S

    En mde at forst ovenstende tabel p er ved at forestille sig at dinmatematiklrer har sagt: Hvis du svarer 100% rigtigt p alle sprgsml idin terminsprve, s fr du 12, svarende til udsagnet A B.

    I tilfldet hvor du svarer 100% rigtigt p alle sprgsml (A Sand)og fr dit 12-tal (B Sand), s vil ogs udsagnet A B vre Sandt. Itilfldet hvor du svarer rigtigt, men hvor din matematiklrer alligevelikke giver dig 12 (tilfldet A Sand og B Falsk), s vil du fle dig snydt, dadin matematiklrer ikke overholder sin del af aftalen. Derfor er udsagnetA B Falsk.

    I de to sidste tilflde, alts at du ikke svarer 100% rigtigt, s viludsagnet A B vre Sandt, fordi selve udgangspunktet er Falsk og derderfor s at sige ingen afhngighed er. Det kan enten vre at du, p grundaf andre faktorer, alligevel fr dit 12-tal (tilfldet A Falsk og B Sand).Eller det kan vre at du ikke fr dit 12-tal, hvilket jo vil vre forventeligtda du ikke har svaret 100% rigtigt (tilfldet A Falsk og B Falsk).

    Hvis man ved hjlp af sandhedstabeller kan vise at to udsagn erkvivalente, alts at de har samme sandhedstabel, s kan man bevisematematiske stninger p denne mde. Det matematiske tegn for ikkeer , s hvis vi vil skrive ikke-A og ikke-B skriver vi A og B. Ved atopskrive en sandhedstabel for udsagnet A B kan vi vise at dette erkvivalent () med udsagnet A B, alts

    A B A B.

    Udsagnet A B kaldes ogs gerne for den negerede (eller kontrapositive)af udsagnet A B, fordi samtlige komponenter i frstnvnte s at sige erde modsatte af dem i sidstnvnte.

    Opgave 23Udfyld de tomme felter i nedenstende sandhedstabel og vis derved at deto udsagn er kvivalente.

    A B A B B A B AS S SS F FF S SF F S

  • 2.4 En moderne version af Eulers stning og bevis 21

    Eulers frst opskrevne resultat i Afsnit 20 (i) kan formuleres i modernetermer sledes:

    Stning 2.11Hvis en sammenhngende graf G har mere end to punkter af ulige valens,s indeholder den ikke en Euler-tur.

    Euler beviser hvad der svarer til denne stning (alts resultat i, Afsnit20), det hersker der ingen tvivl om. For at f en bedre forstelse af, hvaddet s er han formelt set ikke beviser opskriver vi den kontrapositive afstning 2.11.

    Opgave 24 Identificer prmissen P og de to komponenter A og B i stning 2.11. Opskriv i ord hvad der svarer til A og B. Opskriv nu i ord den kontrapositive stning (P:BA.) Hvilken vej svarer denne stning til i stning 2.9 (og stning 2.10)?

    Fordi Euler sledes frer stringent bevis for stning 2.11 er der altsogs frt bevis for den kontrapositive af denne. Men strengt taget manglerman i Eulers artikel alts det bevis som frst bliver givet af Hierholzer alts beviset for at en sammenhngende graf hvor alle punkter har ligevalens indeholder en lukket Euler-tur (og den tilsvarende vej i stning 2.10).Det skal dog understreges, at selv om Euler ikke beviser resultatet, s erdet selvflgelig stadig korrekt. Og blandt matematikhistorikere synes derda ogs at vre enighed om at Euler udmrket var klar over korrekthedenaf sit resultat. Biggs et al. (1976) skriver:Desvrre giver Euler ikke et bevis [...], formentlig fordi han betragt-ede det som selvindlysende. Denne mangel p stringens var ganskealmindelig blandt det attende rhundredes matematikere og frte demsommetider ind i fantasiernes verden [...] Ikke desto mindre var Eulersgrafteoretiske intuition korrekt [...] [9]

    9 Biggs et al. (1976, s. 10, oversat fra engelsk)

  • 22

  • 3 Dijkstra: korteste-vej problemet

    Edsger Wybe Dijkstra (1930-2002)

    3.1 BiografiEdsger Wybe Dijkstra (1930-2002)1 blev fdt i Rotterdam, Holland den 11.maj, 1930. Begge hans forldre var veluddannede intellektuelle, hans farvar kemiker og hans mor matematiker. I 1942, i en alder af 12 r, begyndteDijkstra i Gymnasium Erasminium, et gymnasium for hjtbegavede elever.Her modtog han undervisning i grsk, latin, fransk, tysk, engelsk, biologi,kemi og matematik.

    Ved krigens slutning i 1945 overvejede Dijkstra at studere jura ogmuligvis fungere som hollandsk reprsentant ved de Forenede Nationer(FN). Grundet sine yderst gode resultater i kemi, matematik og fysik valgtehan dog istedet at studere teoretisk fysik ved universitetet i Leiden. I som-meren 1951 deltog han i en sommerskole ved Cambridge Universitet. Emnetfor denne sommerskole var programmering, en p davrende tidspunkt nydisciplin. I marts 1952 fik Dijkstra deltidsarbejde ved Matematisk Centeri Amsterdam, et arbejde der kun gede hans interesse for programmering.nsket om at kunne forflge programmeringen yderligere fik Dijkstra tilat frdiggre sin ph.d.-grad i teoretisk fysik s hurtigt som muligt.

    Dijkstra fortsatte nu sit arbejde ved Matematisk Center, hvor han varfrem til begyndelsen af 1960erne. Som sagt var programmering i 1950erne

    1 Denne biografi er baseret p: http://www.thocp.net/biographies/dijkstra_edsger.htm

    23

    http://www.thocp.net/biographies/dijkstra_edsger.htmhttp://www.thocp.net/biographies/dijkstra_edsger.htm

  • 24 Dijkstra: korteste-vej problemet

    stadig et nyt fag og officielt var det endnu ikke en anerkendt profession.Af den rsag var Dijkstra ogs ndt til at skrive teoretisk fysiker underprofession, da hen i 1957 skulle udfylde en gteskabsformular. I 1962 fikDijkstra en stilling ved det matematiske institut p Eindhoven Universitet datalogi var nu kommet til at hre ind under matematik. I 1973 rejsteDijkstra og familien til USA, hvor han frst var privatansat forsker vedBurroughs Corporation, men siden blev professor i datalogi ved TexasUniversitet i Austin (1984). Der blev han frem til sin pension i 2000.Grundet sygdom vendte han tilbage til Holland i april 2002, den 8. augustsamme r dde han af krft.

    Dijkstra modtog adskillige akademiske priser for sine arbejder og resul-tater inden for datalogi og programmering, herunder den prestigefyldteACM Turing Award i 1972. Indenfor programmering begyndte Dijkstrai 1968 bl.a. den skaldte go to considered harmful movement, hvilketrefererer til at jo flere go to kommandoer der er i et computerprogram,jo svrere bliver det at finde hoved og hale i programkoden. Men mestkendt er Dijkstra for sin korteste-vej algoritme, som han udviklede alleredei 1956, mens han stadig var ved Matematisk Center i Amsterdam. Her varDijkstra blevet bedt om at demonstrere hvor kraftfuld centerets computer,en skaldt ARMAC, var. Korteste-vej algoritmen finder den korteste vejimellem to punkter i en graf. Dijkstra benyttede ogs sin ide til at findeen mde, hvorp man kan lede elektricitet til alle essentielle kredslb,mens man benytter mindst muligt dyr kobberledning, et problem som in-genirerne der havde designet ARMAC computeren var stdt ind i. Beggedisse lsninger prsenter Dijkstra i sin artikel En note om to problemerrelateret til grafer,2 som vi skal se nrmere p om lidt. Men fr vi kan detm vi lige omkring noget mere grundlggende grafteori.

    3.2 Optakt til Dijkstras noteDe grafteoretiske problemer som Dijkstra behandler i sin 1959-note krveret par ekstra definitioner, nrmere bestemt en definition af det man forstrved en vgtet graf og en definition af den specielle graf man kalder for ettr.

    Definition 3.1: Vgtet grafEn graf G hvor hver kant k K(G) har en vgt w(k) kaldes en vgtetgraf.

    I de tilflde hvor vi angiver kanten k ved dens punkter x og y kanselvflgelig ogs tale om vgten w(x, y). Det er oplagt at vgtene afkanterne i en graf kan vre et udtryk for lngderne af disse, men manbenytter gerne ordet vgt i stedet for lngde da dette er mere generelt.For udover at vre et udtryk for f.eks. den faktiske vgt i kilometerkan vgten p en kant ogs vre et udtryk for den tid det tager attraversere (tilbagelgge) kanten i en graf (for eksempel hvis vi har engraf over busruter rundt i Kbenhavn) eller den kan vre et udtryk forkonomisk omkostning, alts prisen for at traversere kanten (for eksempelhvis kanterne reprsenterer priserne p internet- og telefonforbindelser)

    2 Dijkstras artikel (Dijkstra; 1959) er oversat fra engelsk til dansk af forfatteren tildette undervisningsmateriale.

  • 3.2 Optakt til Dijkstras note 25

    og s videre. Ofte bruges ordet lngde dog tit som synonym for vgt,hvilket man skal vre opmrksom p da der i et sdant tilflde altsikke lngere er tale om lngden i samme betydning som vi brugte ordet isidste kapitel, alts som antallet af kanter i en rute.

    Begge de problemer som Dijkstra betragter i sin 1959-note tagerudgangspunkt i en vgtet graf. Nr Dijkstras algoritme sledes sgeren korteste-vej mellem to punkter i en graf, s er det alts den korteste vejforstet p den mde at det er vejen med den mindste samlede vgt. Detandet problem som vi omtalte ovenfor, det med at benytte mindst muligkobberledning til forbindelse af elektriske kredslb, er af en lidt anden,omend relateret, type. Problemet gr ud p i en givet graf at konstrueredet skaldt mindste udspndende tr. Et tr er en speciel form for graf,der kan defineres p flgende mde.

    Definition 3.2: TrEn sammenhngende (ikke-orienteret)3 graf T uden kredse som delgrafer,kaldes et tr.

    Et udspndende tr kan nu defineres som:

    Definition 3.3: Udspndende trEt udspndende tr T af en graf G er en delgraf af G, som er et tr ogsom indeholder ethvert punkt i P (G).

    Hvis vi sledes har givet en vgtet graf, s bestr problemet med at findedet mindste udspndende tr sledes i at finde det udspndende tr igrafen som har den mindste samlede vgt.

    Opgave 25Forklar hvordan problemet med at finde det mindste udspndende tr ien graf er det samme som at finde en mde at forbinde elektriske kredslbp, hvor man benytter mindst mulig dyr kobberledning. Tegn eventuelt entegning.

    Ordet ikke-orienteret i definition 3.2 henviser til, at grafer og trerogs kan have en retning p kanterne, alts at der kan vre forskel pkanterne angivet ved punktparrene (x, y) og (y, x), det vil sige kantener orienteret. Dette angives gerne p en figur ved at stte en pil pselve kanten angivende den retning, hvorved kanten kan traverseres. Viskal imidlertid i dette undervisningsforlb begrnse os til studiet af ikke-orienterede grafer. Vi kan indfre endnu et begreb i relation til grafer,en skaldt bro (ikke at forveksle med broerne i Knigsberg, som jo igraf-jemed udgjorde kanter).

    Definition 3.4: BroEn bro i en graf er en kant, som ikke er med i nogen kreds.

    Ved brug af begrebet en bro kan vi nu give endnu en definition af et tr.

    Definition 3.5Et tr T er en sammenhngende graf, hvor alle kanter er broer.

    3 Forklaring flger senere.

  • 26 Dijkstra: korteste-vej problemet

    En vgtet graf kan selvflgelig have flere forskellige udspndende trer(med forskellige vgtsummer) og sgar ogs flere mindste udspndendetrer, men i s fald vil de alle have den samme (mindste) vgt.

    Opgave 26Figur 3.1 forestiller Knigsberg-grafen K som denne oftest fremstilles ibger om grafteori.

    Konstrur tre forskellige udspndende trer i K. Hvor mange forskellige udspndende trer kan man konstruere afK? (Forklar hvordan du kom frem til dit svar.)

    Lad der nu vre givet flgende vgte i K: a = 1; b = 2; c = 5; d = 4; e =2; f = 1; g = 3.

    Find det mindste udspndende tr i K. Find det strste udspndende tr i K, alts det med den strst

    mulige vgt.

    Figur 3.1 Knigsberg-grafen K.

    En graf uden multiple kanter kaldes ogs gerne for en simpel graf. Mankan vise flgende stning om sdanne grafer.

    Stning 3.6En simpel graf G er sammenhngende hvis og kun hvis den har et udspn-dende tr.

    Bevis ()Vi antager at G er sammenhngende. Hvis G ikke er et tr m denindeholde mindst n kreds. Fjern en kant fra en af disse kredse. Denresulterende delgraf G har n kant mindre, men indeholder stadig allepunkterne i G. G er stadig sammenhngende fordi nr to punkter der erforbundet af en vej indeholdende den fjernede kant, s er de ogs forbundetaf en vej som ikke indeholder denne kant. (Hvorfor?) Hvis G ikke er ettr, indeholder den en kreds; s som fr fjerner vi en kant i kredsen.

  • 3.2 Optakt til Dijkstras note 27

    Denne procedure gentages indtil der ikke er flere kredse tilbage (hvilket ermuligt da grafen er endelig). Dette producerer et tr, da grafen forbliversammenhngende under fjernelsen af kanter. Og da dette tr indeholderethvert punkt af G er der tale om et udspndende tr.

    Opgave 27Bevis stning 3.6 den anden vej (), alts antag at en simpel graf G haret udspndende tr T og vis s at G er sammenhngende.

    En anden definition som vi kan have brug for at kende inden vi skallse Dijkstras note er den af et undertr.

    Definition 3.7Et undertr af et tr T er en delgraf af T , som i sig selv udgr et tr.

    De metoder som Dijkstra giver til at lse sine to problemer er hvadder ogs gerne betegnes som algoritmer. For at vre helt p det rene med,hvad vi vil forst ved begrebet en algoritme definerer vi nu dette.

    Definition 3.8En algoritme er en endelig mngde af prcise instruktioner for udfrelsenaf en beregning eller lsningen af et problem.

    Generelt set opfylder algoritmer gerne en rkke egenskaber, eller man er ihvert fald interesseret i at de gr det, da brugbarheden af dem ellers kanvre diskutabel. Disse egenskaber er som flger:

    1. Inddata: En algoritme modtager vrdier fra en nrmere specificeretmngde af inddata.

    2. Uddata: Fra hver mngde af inddata giver algoritmen uddata fraen nrmere specificeret mngde af sdanne. Uddata-vrdierne erlsningerne til problemet.

    3. Prcision: Skridtene af en algoritme m vre prcist defineret.4. Korrekthed: En algoritme m producere de korrekte uddata-vrdier

    for hver mngde af inddata-vrdier.

    5. Terminering: En algoritme m producere det nskede uddata i lbetaf et endeligt, omend eventuelt stort, antal skridt for en hvilken somhelst mngde af inddata.

    6. Effektivitet: Det skal vre muligt at udfre hvert skridt i algoritmennjagtigt som tiltnkt og inden for en endelig tidsperiode.

    7. Generalitet: Algoritmen br kunne anvendes for alle problemer af dennskede form, ikke kun for en speciel mngde af inddata-vrdier.

    Dijkstras to algoritmer kan selvflgelig sttes ind i en historisk sam-menhng bde hvad angr Dijkstras egen motivation og hvad angr denvidere brug og udbredelse af algoritmerne, da Dijkstra langt fra er deneneste der har betragtet disse to problemer. Vi skal imidlertid udstteden historiske diskussion til efter prsentationen af Dijkstras artikel, dadenne vil vre nemmere at forholde sig til nr man frst har kendskab tilselve algoritmerne.

  • 28 Dijkstra: korteste-vej problemet

    3.3 Dijkstras 1959-noteDet almindelige ord p engelsk for et punkt i en graf er vertex, menundertiden benyttes ogs ordet node. Dette ord kan oversttes til detdanske ord knude, og det er det ord som Dijkstra fortrinsvist benytter sigaf i sin tekst. Dijkstra begynder sin fremstilling p flgende vis.Vi betragter n punkter (knuder) for hvilke nogle eller alle par er forbundetmed en kant; lngden af hver kant er givet. Vi begrnser os til det tilflde,hvor der findes mindst en vej imellem to vilkrlige knuder. Vi betragter nuto problemer.Problem 1. Konstrur tret med den samlede mindste lngde imellemde n knuder. (Et tr er en graf med n og kun n vej imellem to vilkrligeknuder.)I fremfrelsen af den lsning vi prsenterer her er kanterne underinddelt itre mngder:I. de kanter der sikkert og vist vil tilhre det tr der skal konstrueres (devil danne et undertr);II. de kanter fra hvilke den nste kant der skal tilfjes mngde I vil blivevalgt;III. de resterende kanter (afvist eller endnu ikke betragtet).Knuderne er underinddelt i to mngder:A. de knuder der er forbundet af kanter i mngde I,B. de resterede knuder (n og kun n kant i mngde II vil fre til hver afdisse knuder).Vi begynder konstruktionen med at vlge en vilkrlig knude som det enestemedlem af mngde A, og med at placere alle kanter der ender i denneknude i mngde II. Til at begynde med er mngde I tom. Fra nu af udfrervi de to flgende skridt gentagende gange:Skridt 1. Den korteste kant tilhrende mngde II fjernes fra denne mngdeog tilfjes til mngde I. Som resultat overfres n knude fra mngde B tilmngde A.Skridt 2. Betragt de kanter der gr fra knuden, der netop er blevet tilfjetmngde A, til de knuder der stadig er i mngde B. Hvis den betragtedekant er lngere end den tilsvarende kant i mngde II, afvises den; hvisden er kortere erstatter den den tilsvarende kant i mngde II og densidstnvnte kant afvises.Vi returnerer da til skridt 1 og gentager processen indtil mngderne II ogB er tomme. Kanterne i mngde I danner da det behvede tr.Den her givne lsning er at foretrkke frem for lsningen givet af J. B.Kruskal [4] og de givet af H. Loberman og A. Weinberger [5].I deres lsninger er alle mske 12n(n 1) kanter frst og fremmestsorteret efter deres lngde. Selv hvis lngderne af kanterne er en beregnbarfunktion af knude-koordinaterne vil deres metoder krve at data for allekanterne bliver gemt p samme tid. Vores metode krver kun samtidiglagring af data for hjst n kanter, dvs. kanterne i mngderne I og II ogkanten der betragtes i skridt 2.

    4 Kruskal jr., J. B. (1956): On the Shortest Spanning Subtree of a Graph and theTravelling Salesman Problem. Proc. Amer. Math. Soc. 7, s. 48-50.

    5 Loberman, H., & A. Weinberger (1957): Formal Procedures for Connecting Terminalswith a Minimum Total Wire Length. J. Ass. Comp. Mach. 4, s. 428-437.

  • 3.3 Dijkstras 1959-note 29

    Opgave 28Hvor gr Dijkstra brug af at den givne graf er sammenhngende? Findstedet i artiklen, hvor han implicit siger at han kun vil betragte sammen-hngende grafer.

    Som set benytter Dijkstra sig af en lidt anderledes definition af et tr:

    Definition 3.9Et tr T er en graf med n og kun n vej imellem to vilkrlige knuder.

    Opgave 29Overbevis dig om, at de tre forskellige definitioner af et tr (definition3.9, definition 3.2 og definition 3.5) alle siger det samme, alts at de erkvivalente.

    Dijkstra giver ingen eksempler til illustration af sin algoritme, s lados se et sdant. Figur 3.2 viser en overskuelig graf med fem punkter ogsyv vgtede kanter.

    Figur 3.2 En vgtet graf.

    Inden vi gr i gang med eksemplet skal det ppeges at der i Dijkstrasoriginalartikel forekommer en mindre uklarhed. Skridt 2 ovenfor burde nokpdagogisk set have sluttet med en linie der sagde noget i retning af:De kanter i mngde III der stadig ikke er afvist og som frer til knuder(punkter) der stadig ikke kan ns via kanterne i mngde II overfrestil mngde II.S i det flgende eksempel vil vi alts udfre ovenstende handling som

    del af Skridt 2. (Forsg undervejs at have i baghovedet, hvad der kunneske hvis vi ikke gjorde dette.)

    Til at begynde med ligger alle punkterne i mngde B og alle kanternei III:

    B = {p, q, r, s, t} og III = {a, b, c, d, e, f, g, h},og de vrige mngder er alle tomme. Det frste der sker i algoritmen er enskaldt initialisering, hvor et vilkrligt punkt overfres til mngde A ogalle kanter incidente med dette punkt overfres til mngde II. Vi vlgerpunkt p og fr sledes

    A = {p} og II = {a, b, f}.

  • 30 Dijkstra: korteste-vej problemet

    Nr initialiseringen har fundet sted begynder frste iteration. Hver iter-ation bestr af et Skridt 1 og et Skridt 2 og algoritmen terminerer nrmngderne II og B er tomme.

    1. iteration1. I Skridt 1 overfres den kant med lavest vgt fra mngde II til

    mngde I. Dette er kant f og vi fr I = {f}. Det punkt som denoverfrte kant ender i overfres til mngde A, dvs. punkt q og vi frA = {p, q}.

    2. I Skridt 2 skal vi nu betragte de kanter der gr fra det til A netopoverfrte punkt, alts q, til de punkter som er i B. Det vil sigekanterne c og g. Da c giver en vej til punkt r som er 3 lang og derforlngere end vejen p 2 fra p til r, forkastes kanten c. Kanten g erendnu ikke afvist og frer til et punkt, nemlig t, som endnu ikke kanns via kanter i II. Derfor overfres g til II.

    P nuvrende tidspunkt er situationen den flgende:

    A = {p, q} og B = {r, s, t}

    I = {f} og II = {a, b, g} og III = {c, d, e, h}.2. iteration

    1. Kanten med den laveste vgt i II overfres til I, dvs. b. Dettilsvarende punkt overfres til A, dvs. r.

    2. Kanterne incidente med r, som frer til punkter i B, er d og e. Bded og e giver anledning til kanter af lavere vgt i det forelbige trend de tilsvarende kanter i mngde II, a og g. Derfor forkastessidstnvnte og d og e tilfjes mngde II.

    Det betyder at billedet nu ser sledes ud:

    A = {p, q, r} og B = {s, t}

    I = {f, b} og II = {d, e} og III = {a, c, g, h}.3. iteration

    1. Kanten e overfres til I og punktet t til A.2. Kanten h er den eneste kant incident med punktet t, som frer til et

    punkt i B nemlig s. Kanten h er af lavere vgt end den tilsvarendekant d II som frer til t, s d forkastes og h tilfjes II.

    A = {p, q, r, t} og B = {s}I = {f, b, e} og II = {h} og III = {a, c, d, g}.

    4. iteration1. Kanten h overfres til I, alts I = {f, b, e, h}. Det tilsvarende punkts overfres til A, alts {p, q, r, t, s}.

    2. Mngderne B og II er tomme og algoritmen er tilendebragt.

    Opgave 30 For hver af de fire ovenstende iterationer tegn en skitse der illustrerer

    forlbet af algoritmen, dvs. hvilke punkter og kanter der er underbetragtning, hvilke mngder de befinder sig i, det forelbige tr,osv.

  • 3.3 Dijkstras 1959-note 31

    Verificer ved inspektion at det endelige tr i 4. iteration ogs er detmindste udspndende tr for grafen.

    Efter at have set ovenstende eksempel p bestemmelsen af et mind-ste udspndende tr i en graf og efterflgende have tegnet et sdanttr i opgave 30 burde det vre til at forestille sig, hvordan et sdanttr og algoritmen til at bestemme det kan bruges til at forbindeelektriske komponenter anvendende den mindst mulige mngde dyr kob-berledning. Komponenterne udgr selvflgelig punkterne i en graf og demulige forbindelser mellem dem udgr kanterne i grafen.

    Som set argumenterer Dijkstra ikke specifikt for korrektheden (punkt 4i listen af de syv egenskaber som algoritmer br opfylde) af sin algoritmetil bestemmelse af mindste udspndende tr. Og det skal vi heller ikke herg i detaljer med, da vores hovedforml med at studere Dijkstras 1959-noteer den anden algoritme han giver den bermte Dijkstras algoritme tilbestemmelse af korteste vej mellem to punkter i en vgtet graf. Som kortantydet i kapitel 1 er denne algoritme hjst anvendelig i diverse praktiskesituationer, og ganske givet benytter de fleste af os den forholdsvist tit uden at vre klar over det. Men mere om det senere, lad os nu frst sealgoritmen som Dijkstra selv prsenterede den.

    Problem 2. Find en vej af samlet minimum lngde mellem to givne knuderP og Q.Vi benytter den kendsgerning, at hvis R er en knude p den minimalevej fra P til Q, s vil kendskab til den sidstnvnte medfre kendskab tilden minimale vej fra P til R. I den prsenterede lsning vil de minimaleveje fra P til de andre knuder vre konstrueret med hensyn til tiltagendelngder indtil Q er net.I fremfrelsen af lsningen er knuderne underinddelt i tre mngder:A. de knuder for hvilke vejen af minimum lngde fra P er kendt; knuder vilblive tilfjet denne mngde i overenstemmelse med tiltagende minimumvej-lngder fra knude P ;B. de knuder fra hvilke den nste knude der tilfjes til A vil blive valgt;denne mngde udgres af alle de knuder som er forbundet med mindst nknude fra A, men som endnu ikke tilhrer A;C. de resterende knuder.Kanterne er ogs underinddelt i tre mngder:I. de kanter som optrder i de minimale veje fra knude P til knuderne imngden A;II. de kanter fra hvilke den nste kant der tilfjes til mngde I vil blivevalgt; n og kun n kant fra denne mngde vil fre til hver knude imngden B;III. de resterende kanter (forkastet eller endnu ikke betragtet).Til at begynde med befinder alle knuderne sig i mngde C og alle kanterneer i mngde III. Vi overfrer nu knude P til mngde A og udfrer dernstgentagende gange de flgende skridt.

  • 32 Dijkstra: korteste-vej problemet

    Skridt 1. Betragt alle kanter r der forbinder knuden som netop blev overfrttil mngde A med knuder R i mngderne B og C. Hvis R tilhrer mngdeB, undersger vi hvorvidt brug af kanten r resulterer i en kortere vej fraP til R end den kendte vej der benytter den tilsvarende vej i mngde II.Hvis det ikke er tilfldet, afvises kant r; hvis brug af kanten r derimodresulterer i en kortere forbindelse mellem P og R end tidligere opnet,erstatter den den tilsvarende kant i mngde II og sidstnvnte kant afvises.Hvis knuden R tilhrer mngde C, tilfjes den til mngde B og kant rtilfjes til mngde II.Skridt 2. Hvis vi begrnser os til kanter fra mngde I og n fra mngde II,vil enhver knude i mngde B kun kunne forbindes til knude P p n mde.Sledes vil enhver knude i mngde B have en afstand fra knude P ; knudenmed minimum afstand fra P overfres fra mngde B til mngde A, ogden tilsvarende kant overfres fra mngde II til mngde I. Vi returnererda til skridt 1 og gentager processen indtil knude Q overfres til mngdeA. S vil lsningen vre fundet.Bemrkning 1. Den ovenfor beskrevne proces kan ogs anvendes i dettilflde, hvor lngden af en kant afhnger af retningen i hvilken dentraverseres.Bemrkning 2. For hver kant i mngderne I og II er det tilrdeligt atgemme information om dens to knuder (i overenstemmelse med tiltagendeafstand fra P ), samt afstanden mellem P og den af kantens knuder derer lngst vk fra P . For kanterne i mngde I er dette den faktiskeminimumsafstand, for kanterne i mngde II er det kun den minimaleafstand fundet indtil videre.Lsningen beskrevet ovenfor er at foretrkke frem for lsningen af L. R.Ford [6] som beskrevet af C. Berge [7], for, uanfgtet af antallet afkanter, behver vi ikke gemme data om alle kanterne samtidig, men kundem for kanterne i mngderne I og II, og dette antal er altid mindre end n.Endvidere synes mngden af arbejde der skal udfres at vre betragteligmindre.Som nvnt af Dijkstra i Bemrkning 1 kan algoritmen forholdsvis

    let udvides til at omfatte grafer med orienterede kanter, men som tidligeresagt vil vi ikke gre dette her. Lad os se et eksempel p hvordan Dijkstrasalgoritme fungerer. Figur 3.3 viser en graf med seks punkter og syv vgtedekanter. Vi skal finde en korteste vej fra p til q. For overskuelighedens skylder eksemplet forholdsvist simpelt og lsningen kan derfor let verificeresved ligefrem inspektion.

    Til at begynde med befinder alle punkterne sig i mngde C og allekanterne er i mngde III, alts

    C = {p, s, t, u, v, q} og III = {a, b, c, d, e, f, g}

    og mngderne A, B, I og II er alle tomme. Det frste der sker i initialiserin-gen er at punkt p overfres til mngde A, dvs. A = {p}. Derefter begynderfrste iteration, som ogs her bestr af et Skridt 1 og et Skridt 2. Algorit-men kres indtil punkt q overfres til A, eller med andre ord slnge q / A.

    6 Ford, L. R. (1956): Network flow theory. Rand. Corp. Paper, P-923.7 Berge, C. (1958): Thorie des graphes et ses applications, s. 68-69. Paris: Dunod.

  • 3.3 Dijkstras 1959-note 33

    Figur 3.3 En vgtet graf G.

    1. iteration1. I Skridt 1 bliver vi bedt om at betragte alle kanter r der forbinder

    punktet netop overfrt til mngde A, det vil i dette tilflde sige p,med knuder R i mngderne B og C. Vi ser alts p kanterne a og b.Da punkterne s og t ikke tilhrer B (som jo stadig er tom) kan vi sebort fra den frste del af Skridt 1. Derimod ligger s og t i mngdenC, hvorfor de nu tilfjes til B. Da B var tom har vi nu B = {s, t}.P lignende vis tilfjes kanterne a og b mngde II, som ogs vartom, hvorfor II = {a, b}.

    2. I Skridt 2 skal punktet med minimum afstand fra p overfres framngde B til mngde A og den tilsvarende kant fra mngde IIskal overfres til mngde I. Det punkt i B der ligger tttest p p ert, hvorfor vi fr A = {p, t}. Den tilsvarende kant er b. Vi fr I = {b}.

    P nuvrende tidspunkt har vi sledes flgende situation:

    A = {p, t} og B = {s} og C = {u, v, q}

    I = {b} og II = {a} og III = {c, d, e, f, g}.

    2. iteration1. Sidst overfrte punkt til A er t, s vi skal se p kanter der forbinder t

    med punkter i B og C. Den eneste sdanne kant er e, som forbindert med punktet v. Da v C tilfjes v til B og kanten e til II, altsB = {s, v} og II = {a, e}.

    2. Den knude i B med minimum afstand til p overfres til A, dvs. s,da denne jo har afstand 4 til p, hvorimod v har afstand 2 + 3 = 5.Den tilsvarende kant er a og overfres til I.

    Situationen med mngderne nu er da:

    A = {p, t, s} og B = {v} og C = {u, q}

    I = {b, a} og II = {e} og III = {c, d, f, g}.

    3. iteration1. De kanter der forbinder s med punkter i B og C er c og d og de

    tilsvarende punkter er u og v. Da v B skal vi nu undersge omkanten d resulterer i en kortere vej fra p til v end den allerede kendte.

  • 34 Dijkstra: korteste-vej problemet

    Det gr den imidlertid ikke, da en traversering fra p til v ad kantd giver en samlet vgt p 4 + 3 = 7, hvorimod afstanden fra p tilv ad kant e kun har samlet vgt 2 + 3 = 5. Alts afvises kanten d.Da u C tilfjes den nu til B, alts fr vi B = {v, u}, og kanten ctilfjes II, dvs. II = {e, c}.

    2. . . .

    Opgave 31 Frdigkr algoritmen p ovenstende eksempel p samme vis som

    gjort indtil nu. Begynd med Skridt 2 i 3. iteration og fortst derfra.(Husk at algoritmen terminerer nr q bliver tilfjet til A.)

    Hvad er den korteste vej fra p til q og hvordan ved du det? (Vink: seSkridt 2 i algoritmen.)

    Opgave 32Tegn figurer af hver enkelt iteration for krslen af Dijkstras korteste-vejalgoritme p grafen i figur 3.3, igen illustrerende hvilke punkter og kanterder er under betragtning, hvilke mngder de befinder sig i, den forelbigtudviklede korteste vej, osv. Verificer til slut ved inspektion at der er taleom den korteste vej mellem punkterne p og q.

    Opgave 33Kr Dijkstras algoritme p den vgtede graf G i figur 3.4 som gjort ieksemplet ovenfor og opskriv udfra mngden I de kant-ruter der giverkorteste vej fra punktet p til alle andre punkter i G.

    Figur 3.4 En vgtet graf G.

    Selv om korteste vej i ovenstende grafer kunne have vret fundetved simpel inspektion, s er inspektion upraktisk for bde mennesker ogcomputere nr en graf indeholder et strre antal kanter (forestil dig f.eks.en graf med 100 punkter og 1000 vgtede kanter).

    Nogle af de bemrkninger som Dijkstra giver undervejs i sin note, ognogle af kommentarerne til andre algoritmer som lser samme eller lignendeproblemer, gr undertiden p mere datalogiske detaljer i forbindelse medkonkrete implementeringer etc. Vi skal berre dette sammen med denhistoriske diskussion i slutningen af kapitlet. Forelbig skal vi koncentrereos om punkt 4 i listen af de syv punkter som algoritmer br opfylde, nemlig

  • 3.4 Moderne fremstilling og korrekthed af Dijkstras algoritme 35

    punktet om korrekthed. Vi skal sledes i nste afsnit se et matematiskbevis for at Dijkstras algoritme producerer det nskede uddata, nemlig enkorteste vej mellem to punkter i en vgtet graf.

    3.4 Moderne fremstilling og korrekthed af Dijkstrasalgoritme

    Som set frer Dijkstra ikke selv et stringent matematisk bevis for korrekt-heden af sin algoritme i 1959-noten, men der er nppe nogen tvivl om,at han var helt p det rene med at algoritmen altid finder den kortestevej. Vi skal i det flgende se en moderne tekstbogsversion af Dijkstrasalgoritme og et bevis for korrektheden af denne. For overskuelighedensskyld (og uden videre tab af generalitet) ser vi p en moderne fremstillingaf Dijkstras algoritme der som inddata tager en simpel sammenhngendegraf (dvs. en sammenhngende graf uden multiple kanter).

    I moderne fremstillinger af Dijkstras algoritme opereres ofte med enform for mrkningsfunktion, som tager sig af mrkningen af punkternemed deres afstand fra begyndelsespunktet p efterhnden som algoritmenskrider frem. Denne funktion kalder vi M og til at begynde med mrkerden begyndelsespunktet p med et 0, M0(p