4
~im/t,~ Historicizam Zdravko Kunzik, Zagreb .,/ Uspjesnost nastave malemalike ovisi 0 mnogim ~initeljima. Vazne ideje za ostva- renje ovog cilja nastavnik matematike nalazi vec u nacelima nastave matematike. Jedno od presudnihje bez sumnje nacclo intcrcs,l: Nas/ava ma/ematike mora biti takva da kad ucenika budi illleres prona predmelll. To nije lako postici. Matematika se ub- raja u teze nastavne predmete, zahtijeva ne- prekidan rad u koji je potrebno uloziti dosta vremena, truda i napora. Ucenici nisu uvijek spremni tako raditi i svladavanje matematic- kih sadIiaja zadaje im dosta teskoea. Medu- tim, ako ucenici pokazuju interes prema pred- metu, ako matematiku uce sa zadovoljslvom, mnoge te.skoee nestaju i nastava matematike i proces ucenja odvijaju se mirnije i uspjesni- je. Vrijeme ucenja brzo prolazi, matematicki saddaji lakse se usvajaju. BuduCi da je inleres najveci poticaj za ucenje matematike i kao takav nezamjenjiv, nastavnik mora pronaci nacine njegova pobu- divanja i njegovanja. Jedan od jos dovoljno neiskoristenih nacina su historicizmi. ,/ Historicizamje proucavanje ad- redenog pitanja preteino s povije- sne 11fan.~. i. isticanje i naglasava- nje Povijesnih cinjenica medu svim druglm Cinjenicama. 52 ~.5t. @ Dakle, inleres prema matematici moze se poticati i posebnim sadrzajima same ma- tematike, Ijepolom njezinih ideja, djelotvor- noseu njezinih metoda, njezinim dostignuei- ma. Sve to mozemo raditi koristeei mali ma- tematicki vremeplov. Ucenici obicno nemaju ni najosnovniju predodzbu 0 razvoju mate- matike, 0 njezinoj staroj i bogatoj povijesti ani mozda misle daje matematika uvijek bila takva kakva je sada. Njih treba osposobiti da nauce vrednovati matematiku, cijeniti suvre- mene matematicke pojmove, ideje i metode. ani ee ih bolje shvatiti ako poznaju barem djelomicno njihov razvoj. Kao elementi historicizama mogu poslu- ziti: znanstvcna matematii'ka otkrica, po- vijesni razvoj matematii'kih ideja, anegdo- te iz zivota vclikih matematii'ara, matema- tii'kc zanimljivosti i dr. Takvi sadrzaji, primjereno odabrani i za- nimljivo opisani, mogu biti vrlo korisni i po- ucni. Mnogi veliki matematicari, uz sav svoj znanstveni rad, dali su znacajne doprinose i skolskoj malematici. Danas se rezullati nji- hovih istrazivanja mogu naei na stranicama lldzbenika matematike za osnovnu i srednje skole. Veee doprinose skolskoj matemalici dali Sll: Tales, Pi/agora, Euklid, Dio/ant, Arhi- med, Viete, Napier, Briggs, Descartes, Ca- valieri, de Fennat, Pascal, Newlon, Leibniz, Euler, Ga/lss, Homer, Dirichlet. ~':l- ~ -v.)'> () i;..~ " J / m ~ 17, 2002 ?i :! Radi potpllnosti navodimo i one mate- maticare ciji su doprinosi skolskoj matemati- ci nesto manji i koji se II njoj spominju ovim redom: van Ceulen, Heron, Cardan0, Tar- taglia, Stirling, Lobacevski, Guldin, Getal- die, Hamilton, Apolonije, Papus, BoSkovie, Goldbach, Jacob Bemo/llli, Dedekind, Can- tor, Weierstrass, de Moivre, Venn, de Morgan, d'Alembert, Bayes, Fibonacci, Cauchy. ~ A) Veliki matematicari Pogledajmo najprije nekoliko historici- zama koji se odnose na velike matematicare i njihove doprinose skolskoj matematici. Meou prvima koji se spominjll pri ob- radi skolske matematike Sll matematicari ko- ji su zivjeli i radili u staroj Grckoj. Grcki matematicari Sll cesto putovali u druge zem- lje, upoznavali matematicka dostignuca dru- gih kultura i na kraju skupili veliko znanje. Njihova je zasluga sto su razvili djelotvorne istrazivacke metode, pa su oni primjenom tih metoda matematiku razvili kao znanos!. Sto 0 njihovom radu saznaju ucenici? Malo. Pretcino su to pojedinacne i sture ci- njenice, au nekim udzbenicima manjka cak i to. Uzmimo kao primjer prvog od njih, Tale- sa. Ucenici uce dva poucka koji nose njegovo ime. To su TalesovpO/lcak0 obodnom kutu nad promjerom kruznice i Talesov poucak 0 proporcionalnosti /I pramen/l pravaca. Evo tih izreka: Obodni kut nad promjerom kruznice je pravi kut. Aka se dva ukrstena pravca ravnine pre- sijeku s dva paralelna pravca, onda su odgo- varajuCi odresci na tim pravcima proporcio- /Jalni. Bilo bi pozeljno da ucenici pri usvajanju ovih poucaka cuju malo vise i tko je Tales i koje su njegove zasluge. U tu svrhu mogao bi posluziti ovaj historicizam: TALES (Milet, Mala Azija, oko 625. - oko 548. p.K.). Starogrcki rnatematicar, fizicar, as- tronom i filozof. "Otac" grcke maternati- ke i prvi grcki astronom. Bavio se trgovi- nom. U mladosti je bio u Babilonu i Egiptu, gdje je izucavao razlicite znanosti. Odatle je vjcrojatno u Grcku prenio njihova znanja iz geometrije. Po povratku osnovao je u Mile- tu filozofsku skolu (Miletska skala). Svojim predvioanjem pomrcine Sunca 28. 5. 585. g. p. K. stekao slavu jednog od "sedam mudra- ca" (Solo/J, Tales, HUon. Pitak, Bijant, Kle- obul, Perijander). lzracunao je visinu Veli- ke egipatske piramide pomoeu njezine sjene. Bio je prvi matematicar koji je dokazivao ma- tematicke tvrdnje, iako njegov dokaz jos nije logicki strog. Osim navedena dva poucka Talesu se pri- pisuju i mnoge druge geometrijske tvrdnje. Evo jos nekih od njih: jed/Jakost vrS/Jih kl'- tova, jednakost kuiova IIZoS/JOViCII jed/Jako- kracnog lrokwa, treCi poucak 0 suklad/Josti trokuta (K-S-K), promjer raspolavlja krug. Njegovo ime nosi i jedan krater na vid- Ijivoj strani Mjeseca. Problem. Pri proucavanju piramide u osmom razredu ucenicima bi se moglo pos- taviti pitanje sto misle kako i u koje vrijeme dana je Tales izracunao visinu piramide po- moeu sjene. BuduCi da je osnovka piramide kvadrat, ucenici bi sigurno imali neke ide- je. Problem bi pobudio interes. Nastava bi postala mnogo "zivotnija". * * * ~ 17, 2002 ~ ~~-O i'$ (}J.t{'~ "Z_..J 53

Historicizam - Naslovnica | PMF · PDF filegih kultura i na kraju skupili veliko znanje. ... "Otac" grcke maternati- ... Listajuci stare i nove udzbenike pone

  • Upload
    docong

  • View
    226

  • Download
    2

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Historicizam - Naslovnica | PMF · PDF filegih kultura i na kraju skupili veliko znanje. ... "Otac" grcke maternati- ... Listajuci stare i nove udzbenike pone

~im/t,~

Historicizam

Zdravko Kunzik, Zagreb

.,/Uspjesnost nastave malemalike ovisi 0

mnogim ~initeljima. Vazne ideje za ostva-renje ovog cilja nastavnik matematike nalazivec u nacelima nastave matematike. Jedno

od presudnihje bez sumnje nacclo intcrcs,l:Nas/ava ma/ematike mora biti takva da

kad ucenika budi illleres prona predmelll.

To nije lako postici. Matematika se ub-raja u teze nastavne predmete, zahtijeva ne-prekidan rad u koji je potrebno uloziti dostavremena, truda i napora. Ucenici nisu uvijekspremni tako raditi i svladavanje matematic-kih sadIiaja zadaje im dosta teskoea. Medu-tim, ako ucenici pokazuju interes prema pred-metu, ako matematiku uce sa zadovoljslvom,mnoge te.skoee nestaju i nastava matematikei proces ucenja odvijaju se mirnije i uspjesni-je. Vrijeme ucenja brzo prolazi, matematickisaddaji lakse se usvajaju.

BuduCi da je inleres najveci poticaj zaucenje matematike i kao takav nezamjenjiv,nastavnik mora pronaci nacine njegova pobu-

divanja i njegovanja. Jedan od jos dovoljnoneiskoristenih nacina su historicizmi.

,/

Historicizamje proucavanje ad-redenog pitanja preteino s povije-

sne 11fan.~.i. isticanje i naglasava-nje Povijesnih cinjenica medu svimdruglm Cinjenicama.

52 ~.5t. @

Dakle, inleres prema matematici mozese poticati i posebnim sadrzajima same ma-tematike, Ijepolom njezinih ideja, djelotvor-noseu njezinih metoda, njezinim dostignuei-ma. Sve to mozemo raditi koristeei mali ma-

tematicki vremeplov. Ucenici obicno nemajuni najosnovniju predodzbu 0 razvoju mate-matike, 0 njezinoj staroj i bogatoj povijestiani mozda misle daje matematika uvijek bilatakva kakva je sada. Njih treba osposobiti danauce vrednovati matematiku, cijeniti suvre-mene matematicke pojmove, ideje i metode.ani ee ih bolje shvatiti ako poznaju baremdjelomicno njihov razvoj.

Kao elementi historicizama mogu poslu-ziti: znanstvcna matematii'ka otkrica, po-vijesni razvoj matematii'kih ideja, anegdo-te iz zivota vclikih matematii'ara, matema-tii'kc zanimljivosti i dr.

Takvi sadrzaji, primjereno odabrani i za-nimljivo opisani, mogu biti vrlo korisni i po-ucni.

Mnogi veliki matematicari, uz sav svojznanstveni rad, dali su znacajne doprinose iskolskoj malematici. Danas se rezullati nji-hovih istrazivanja mogu naei na stranicamalldzbenika matematike za osnovnu i srednjeskole.

Veee doprinose skolskoj matemalici daliSll: Tales, Pi/agora, Euklid, Dio/ant, Arhi-med, Viete, Napier, Briggs, Descartes, Ca-valieri, de Fennat, Pascal, Newlon, Leibniz,Euler, Ga/lss, Homer, Dirichlet.

~':l- ~-v.)'> () i;..~

" J /m~ 17, 2002

?i:!

Radi potpllnosti navodimo i one mate-

maticare ciji su doprinosi skolskoj matemati-

ci nesto manji i koji se II njoj spominju ovimredom: van Ceulen, Heron, Cardan0, Tar-

taglia, Stirling, Lobacevski, Guldin, Getal-die, Hamilton, Apolonije, Papus, BoSkovie,Goldbach, Jacob Bemo/llli, Dedekind, Can-

tor, Weierstrass, de Moivre, Venn, de Morgan,d'Alembert, Bayes, Fibonacci, Cauchy.

~A) Veliki matematicari

Pogledajmo najprije nekoliko historici-zama koji se odnose na velike matematicarei njihove doprinose skolskoj matematici.

Meou prvima koji se spominjll pri ob-radi skolske matematike Sllmatematicari ko-

ji su zivjeli i radili u staroj Grckoj. Grckimatematicari Sll cesto putovali u druge zem-lje, upoznavali matematicka dostignuca dru-gih kultura i na kraju skupili veliko znanje.Njihova je zasluga sto su razvili djelotvorneistrazivacke metode, pa su oni primjenom tihmetoda matematiku razvili kao znanos!.

Sto 0 njihovom radu saznaju ucenici?Malo. Pretcino su to pojedinacne i sture ci-njenice, au nekim udzbenicima manjka cak ito. Uzmimo kao primjer prvog od njih, Tale-sa. Ucenici uce dva poucka koji nose njegovoime. To su TalesovpO/lcak0 obodnom kutunad promjerom kruznice i Talesov poucak 0proporcionalnosti /I pramen/l pravaca. Evotih izreka:

Obodni kut nad promjerom kruznice jepravi kut.

Aka se dva ukrstena pravca ravnine pre-sijeku s dvaparalelnapravca, onda su odgo-varajuCi odresci na tim pravcima proporcio-/Jalni.

Bilo bi pozeljno da ucenici pri usvajanjuovih poucaka cuju malo vise i tko je Tales ikoje su njegove zasluge. U tu svrhu mogaobi posluziti ovaj historicizam:

TALES

(Milet, Mala Azija, oko 625. - oko 548.p.K.). Starogrcki rnatematicar, fizicar, as-tronom i filozof. "Otac" grcke maternati-ke i prvi grcki astronom. Bavio se trgovi-nom. U mladosti je bio u Babilonu i Egiptu,gdje je izucavao razlicite znanosti. Odatle jevjcrojatno u Grcku prenio njihova znanja izgeometrije. Po povratku osnovao je u Mile-tu filozofsku skolu (Miletska skala). Svojimpredvioanjem pomrcine Sunca 28. 5. 585. g.p. K. stekao slavu jednog od "sedam mudra-ca" (Solo/J, Tales, HUon. Pitak, Bijant, Kle-obul, Perijander). lzracunao je visinu Veli-ke egipatske piramide pomoeu njezine sjene.Bio je prvi matematicar koji je dokazivao ma-tematicke tvrdnje, iako njegov dokaz jos nijelogicki strog.

Osim navedena dva poucka Talesu se pri-pisuju i mnoge druge geometrijske tvrdnje.Evo jos nekih od njih: jed/Jakost vrS/Jih kl'-tova, jednakost kuiova IIZoS/JOViCIIjed/Jako-kracnog lrokwa, treCi poucak 0 suklad/Jostitrokuta (K-S-K), promjer raspolavlja krug.

Njegovo ime nosi i jedan krater na vid-Ijivoj strani Mjeseca.

Problem. Pri proucavanju piramide uosmom razredu ucenicima bi se moglo pos-taviti pitanje sto misle kako i u koje vrijemedana je Tales izracunao visinu piramide po-moeu sjene. BuduCi da je osnovka piramidekvadrat, ucenici bi sigurno imali neke ide-je. Problem bi pobudio interes. Nastava bipostala mnogo "zivotnija".

** *

~ 17, 2002 ~ ~~-O i'$ (}J.t{'~"Z_..J 53

Page 2: Historicizam - Naslovnica | PMF · PDF filegih kultura i na kraju skupili veliko znanje. ... "Otac" grcke maternati- ... Listajuci stare i nove udzbenike pone

U drugorn razredu srednjih skola obra-duju se jednakosti

b CXI+X2=--, XlX2=-

a a

i'" koje povezuju,rjesenja Xl, X2 kvadratne jed-nadzbe ax2+bx+c = 0 i njezine koeficijentea, b, c, te analogne jednakosti

bXI +X2 +X) = --,a

c dXIX2 + XIX) + X2X) = -. XIX2X3 = --a azakubnujednadzbu(u3+bx2+cx+d = O. Ucetvrtorn razredu ove jednakosti se general i-ziraju. U sva tri slucajujednakosti se nazivajuVieteove formule. A 0 Vieteu znaju sarno daje francuski rnaternaticar. BuduCi da je iducegodine 400-ta godisnjica njegove srnrti. bilobi dobro i za ucenike poucno da saznaju nes-to viSe Cinjenica 0 njegovom zivotu i djelu.Historicizarn:

FRAN<;:OIS VrETE

(1540., Fontenay-le-Comte - 13. pro-sinca 1603., Paris). Francuski matematicar."Otac" algebre. Po profesiji bio je pravnik.PrivukIa ga je astronornija, pa je zbog njernorao proucavati trigonometriju i algebru.

U njegovim radovima algebra postajeopCom znanosti 0 algebarskim jednadzbama.Prvi je 1591. godine uveo sIova za oznake,ne sarno nepoznanica, vee i danih veIicina,

",,,koeficijenataJ 'Do tada su se razmatrale sa-rno konkretne jednadZbe. Time je omoguciopo prvi pUlaprikaz svojstava algebarskih jed-nadZbi i njihovih rjesenja pornocu opcih for-mula. Razradio je jednolik pristup rjesavanjujednadzbi drugog, treeeg i cetvrtog stupnja.Uveo je novu metodu rjesavanja kubne jed-nadzbe. te dao trigonometrijsko rjeSenje tejednadzbe u nesvodljivom sluCaju. Nasaoje jednakosti koje izraZavaju vezu rjesenja ikoeficijenata jednadzbe. danas poznate kaoVieteove fonnule. Za priblizno rjesavanjejednadzbi opisao je metodu koja je slicna po-znatoj Newtonovoj metodi. Slabost njegovealgebre je to sto nije priznavao iracionalne.negativne i kompleksne brojeve. I njegovasimbolika nije sasvim podesna.

U trigonometriji njegov doprinos su pot-puno rjcSenje zadace 0 odredenosti ravnins-kog ili sfernog trokuta ako su zadana tri ele-menta i prikazi velicina sin nx i cos nx pomo-cu sinx i cosx. Njegovo djelo "Matematickikanon" iz 1579. godine sadrzi tablice sinu-sa. kosin usa. tangensa. kotangensa. sekansa ikosekansa.

On je prvi promatrao beskonacni pro-dukt i upisivanjem u kruznicu praviInih poli-gona sa 4. 8. 16.. . stranica nasao da jc

cimeje poceo period matemalike promjenlji-vih veliGina. Otkrio jc analiticku geometriju("Geometrija", 1637.). Danas se koordinatnisustav po njegovu latiniziranom imenu Kar-tezije (Cartesius) naziva Kartezijev koordi-natni sustav. Uveo je algebarsku melodu ugeometriji i melodu neodredenih koeficijena-la. Razvio je pojampolencije i uveo danasnjeoznacavanje eksponenta. Dao je potpuno ob-jasnjenjc negalivnih brojeva i zasnovao opc-racije s njima. On ima predodzbu 0 realnombroju koja je bliska danasnjoj. Vec 1628.godine jasno razlikuje pozitivna i negativnarjesenja. a govori i 0 imaginarnim rjesenji-ma algebarskih jednadzbi. Od njega potjecunazivi realan i imaginaran.

Njegovo ime nosi i jedan krater na vid-ljivoj strani Mjcseca.

~=A ~(I+A). ~(I+A).ili u danasnjim oznakama

2 n n n- =cos - . cos - . cos - .n 4 8 16

Viete je pomocu ravnala i sestara rijesio Apo-lonijev problem 0 konstrukciji kruznice kojadodiruje tri danc kruznice. sto mu je donijelonaziv Galski Apolonije.

Druzio se i dopisivao s nasim matemati-carcm M. Gctaldicem.

Njcgovo irne nosi i jedan krater na vid-Ijivoj strani Mjeseca.

rtb

B) Velika otkrica

Povijest velikih matematickih otkrica ta-koder je vrlo poucna. Ona nam najbolje od-razava duh vremena u kojem je neko otkricenastalo, upoznaje nas s nacinom rada velikihmatematicara toga vremena i nacinom njiho-vog misljenja, sto moze poticajno djelovatina svakog tko se upoznaje s tim idejama. Ra-zmotrit cerna ukratko nekoliko znacajnih tre-nutaka iz te povijesti koji su bliski skolskojmatematici. Njih opisuju historicizmi: aksi-omatska izgradnja geomelrije. otkrice anali-ticK.egeometrije. utemeljenje diferencijalnogi integralrlOgraeuna i otkrice neeuklidske ge-omelrije.

EUKLIDSKA GEOMETRIJA

* * *

Listajuci stare i nove udzbenike pone-kad za pravokutni koordinatni sustav moze-mo naci naziv Kartezijev koordinatni sustav.Najcesce bez objasnjenja odakle potjece tajnaziv. Tko je taj Karlezije? BuduCi da seradi 0 Descartesu, jednom od osnivaca anali-ticke geometrije. udzbenici bi trebali sadria-vati vise cinjenica 0 njegovom zivotu i radu.Historicizam:

RENE DESCARTES

(31. ozujka 1596.. La Haye - II. velja-ce 1650.. Stockholm). Francuski matema-ticar. fizicar i filozof. Njegovo znanstvenodjelo obuhvaca mnoge znanosti: filozofiju.matematiku. fiziku, psihologiju. fiziologiju,medicinu. meteorologiju i dr.

U filozofiji on je osnivac racionalizma ismatraju ga ocem moderne filozofije. U ma-tcmatici uveo je pojam promjenljive veliGine.

Kao sto je ranije receno. starogrcki mate-matieari su do III. stoljeca p. K. sku pili veliko

znanje. Zato je bio sasvim prirodan pokusajda se dotadasnja matematika sistematizira i

da se ona cijela ili neke njezine teorije zas-nuju na odredenorn broju jednostavnih istina.

polaznih tvrdnji. koje se pretpostavljaju kaotoene i bez dokaza.

Zamisao je ostvario Euklid (oko 330. -

oko 275.) oko 300. godine p.K. u svom gla-sovitom djelu "Elementi" u 13 knjiga. Na

pocetku Euklid daje pregled polaznih tvrd-

nji geomctrije. podijeljenih u dvije sku pine.Polazne tvrdnje prve sku pine karakteriziraju

opCa svojstva veliCina i nazivaju se aksiomi.Ima ih 9. Takva je na primjer tvrdnja:

Cjelina je veCa od dijela.

Polazne tvrdnje dnlgc skupinc imaju cis-

to geometrijski karakter i nazivaju se posllI/a-Ii. Ima ih 5. Posebno je vaZan V. postulat kojise u nasim udzbcnicima iskazuje u sljedccem

ekvivalentnom i jednostavnijem obliku:

TocKom izvan pravca maze se POVIIC!to-

eno jedall pravac paralelan slim pravccm.

Sada sc na temelju aksioma i postulata

putem logickih zakljucivanja izgractujc cijcla

geometrija ravnine.

Navedeno djelo je. i pored stanovitih ne-

dostataka. sjajno dostignuce antike. Vise od

2000 godina ono je sluzilo kao uzor sustav-

nog izlaganja elementarne geometrije i sve doXIX. stoljeca bilo osnovni udzbenik iz koje-

ga se ona ucila. Danas je uobicajeno da segeometrija koja se predaje u skolama nazivaeuklidska geometrija.

ANALITICKA GEOMETRIJA

Ideja koordinatne metode nije dostignu-

ce novoga vrernena. Primjenjivali su je vec

stari Egipcani i starogrcki astronomi (Hiparlz,

Plolemej). ali su pomanjkanje prikladne sim-

bolike i opCeg pojma broja kocili njezin raz-

voj. Analiticku geometriju otkrili su neovis-no jedan od drugoga francuski matematicariRene Descartes (1596. - 1650.) i Pierre de

Fennat (1601. - 1665.).

Descartes je analiticku metodu objeloda-

nio 1637. godine u "Geometriji", dijelu svoje

"Rasprave 0 metodi". On ispitujc ovisnost

dviju duzina ili tocaka. vec prema karakteru

promatranog neodreaenog problema. Pri iz-vodenju prve analiticke formulc koristi Viete-ovu algebarsku analizu i rabi koordinatni Sll-stay koji nije koordinatni sustav u danasnjemsmislu i nema nazive njegovih dijelova. Ima

54 ~. () .&. <dY1 ~~,' ''b

~- ~~ '1>(_/) ~h't ~f' ~ 17. 2002() (~ ~{'

~ .r--. (t ~() /i'<:-- ~ 55~ 17.2002

Page 3: Historicizam - Naslovnica | PMF · PDF filegih kultura i na kraju skupili veliko znanje. ... "Otac" grcke maternati- ... Listajuci stare i nove udzbenike pone

ishodiste, jednu os, drugu os uspostavlja pre-rna nuznosti, a vladanje krivulje proucava sa-rno u I. kvadrantu.

Fermat je analiticku rnetodu opisao u ne-velikorn djelu "Uvod u teoriju ravninskih iprostornih rnjesta", koje je napisao oko 1636.godine, ali je djelo objavljeno tek 1679. go-dine. Za razliku od Descartesa on promatraneodredene jednadzbe, na prirnjcr jednadz-bu 5 dvije nepoznanice. Postoji beskonacnomnogo parova brojeva koji zadovoljavaju ta-kvu jednadzbu. Parovi se mogu predoeiti ukoordinatnorn sustavu pornocu nekc krivulje.Kod Fermata koordinatni sustav nalazimo pr-vi puta kao sredstvo predoeavanja krivulja.Izbjegava negativne brojeve, a to znaci da ion sve svodi na I. kvadrant. U "Uvodu" na-

lazirno jednadzbe oblika y = kx, xy = m2,x2, + y2 = a2, x2 :I: a2y2 = b2 FcrmatovejG:Jnadzbe nisu ovako suvremene, vec su pi-sane u duhu nepodcsne Vieteove simbolike.Fermatova prednost je u cinjenici da je onanaliticku metodu prenio u prostor i napravioniz primjena.

Prema opisanim povijesnim cinjenicamaopravdano bi bilo koordinatni sustav zvatiDescaT1esov /wordinatni sustav ili Femwtov/wordinatni sustav.

DIFERENCUALNI I INTEGRALNIRACUN

Uvodenje analitickc metode dalo je sna-tan poticaj razvoju metode grafickog predo-Cavanja, razvoju pojma funkcije te je posluzi-10 kao osn~va za izgradnju diferencijalnog iintegralnog racuna. Racun su utemeljili neo-visno jedan od drugoga Isaac Newton (1643.-1727.) i Gottfried Wilhelm Leibniz (1646.- 1716.), ali na razlicitim idejama. Njihovimradovirna prethodili su radovi drugih mate-rnaticara (Cavalieri, Roberval, Femwt. Wal-lis, Barrow). Infinitezimalne metodc matc-maticari su primjenjivali jos u antici (Eudok-so, Arhimed, metoda ekshaustije).

Newton je prornatrao matematiku sarnol)ab naCin za fiz*iilna istraiivanja. Takva ve-zajasno jedosla do izraiaja u njegovoj metodijluksija. Osnovne ideje te metode temeljene

56 ~~.~

na fizikalnim razmatranjima (problem brzi-ne) za potrebe mchanikc razradio jc izmcau1665. i 1666. godinc. Derivaciju je nazvao

jllIksija. a uvodi i termin limes. Otkrio jeobratni karakter opcracija difcrenciranja i in-tegriranja, dao je i niz otkrica u teoriji besko-nacnih redova, a razradio je i posebnu metoduistrazivanja funkcija primjenom beskonacnihredova.

Leibniz do olkrica dolazi preko geomct-rijskih razmatranja (problem tangel/te) izme-au 1673. i 1676. godinc. Njegov je pristupapstraktan. Uveo je pojam karakteristicnoglrokuta i dcrivaciju definirao pomocu novogpOJma diferel/cijala. Formulirao je niz pra-vila, pored ostalog i pravila za diferencira-nje produkta i pOlencije. Osim diferencijalauveo je i mnogc druge matematicke termine(fllnkcija, vanjabla, konstanta, diferencijalniraclIn, diferel/cijall/a jedl/adzba, algoritam,apscisa, ordinata, koordinata) i oznake.

Newton je ocito prvi ulemeljio infinite-zirnalni racun, ali je Leibnizova zasluga utome Slosu njegov pristu]ri'simbolika suvrc-meniji. Rezultate svojih otkrica oba osnivacaobjelodanili su nekoIiko godina kasnije.

lat zamijenio novim aksiomom 0 paralelnimpravcima koji glasi:

Toc"kom izval/ pravca II ravnini prolazedva pravca koji Sll parale/ni s tim pravcem.

Ravnina naravno vise nije cuklidska.Ravnina u kojoj se oSlvaruje zahljev Loba-cevskog naziva se ravnina Loba(.~evskog ilihiperbolic"ka ravnina. Na temelju gomjegaksioma Lobacevski izgraauje novi geome-trijski sustav koji je on nazvao imaginarnageometrija. Gauss je loj geomctrij i dao na-ziv neellklidska geometrija. Danas se onanaziva jos geomelrija Lobac.'evskog i hiper-bolic"ka geometrija. Danom roaenja novoggeometrijsko sustava smatra se 23. veljace1826. godine kada je na zasjedanju Fizicko-matematickog fakulteta Sveucilista u Kaza-nju Lobacevski izlozio svoj rad "Kratko izla-ganje osnova geometrije sa strogirn dokazomteorema 0 paralelnim pravcima".

Na pomisao 0 postojanju neeuklidskegeometrije dosla su jos dva matematicara: C.F. Gauss (1777. - 1855.) i maaarski mate-maticar J. Bolyai (1802. - 1860.). Gauss jeosnovne ideje neeuklidske geometrije imaorazradene vec 1824. godine, ali se zarekao daza zivota nece dopustiti njihovo objavljiva-nje. Bolyaije do svojih rezultata dosao 1825.godine, ali ih je objavio tek 1831. godine.

NEEUKLIDSKA GEOMETRUA

Sve do XIX. stoljeca nitko nije sumnjaou to da su svi Euklidovi postulati apsolutne ipostojane istine i da je eukIidska geometrijajedini geometrijski sustav. Jedino se stvorilomisljenje da je V. postulat:Euklidov aksiom0 paralelama, zbog svoje slozenosti ovisan0 ostalim postulatima, te da se prema tomepomocu njih moze dokazati. Mnogi matema-ticari su to i pokusali.

Ruski matematicar N. l. Lobac.'evski

(1792. - 1856.) napravio je prekretnicu urazvoju geometrije. Na pocetku i sam po-kusava dokazati V. postulat, ali uskoro uvidada je to uzaludan posao i donosi sudbonosnezakljucke:

V. postulat je nedokaziv. Tcorija paralelamora biti opcenitija i dublja.

Pitanje paralelnih pravaca Lobacevski jerazrijesio na taj nacin da je EukIidov V.postu-

~.

C) Pojmovi i simboli

Nastava matematike upoznaje ucenike 5mnogim cinjenicama iz terminologije i sim-boIike. To se znanje u svakom visem razrc-du sve vise prosiruje i obogacuje. Iz ovogpodrucja mogu se izvuci mnoge zanimljivecinjenice. U ovom odjeljku dat cemo malipregled pojmova i silnbola s naglaskom naimenima matematicara koji su ih prvi uveli.Evo tog pregleda:

Apolonije: asimptota, apscisa, ordinata, ap-likata, hiperbola, parabola.

Descartes: a2 (pise i aa), a3, a4 itd. (1628),

x, y, Z (1637), realan, imagilla-ran.

Wallis:Leibniz:

CX)(1655).: (znak za dijeljenje, 1684),(znak za mnozenje, 1698), d (di-fercncijal), .r (integral, 1686).n (1706).e (baza prirodnih logaritama,1736), i (imaginama jcdinica,1777), 6 (razlika, prirasl), L(suma), sin, cas, tg, Clg (trigono-metrijske funkcije), f(x) (funk-cija).konjllgirallo kOlllplekslli brojevi(1821), ;:"(1853).

Jones:Euler:

Cauchy:

~

D) Izreke

Za ucenike mogu biti poucne i izreke 0matematici i matematicarima. Citirane u na-

stavi u pogodnom trenutku one ce pozitivnoutjecati na razvijanje pravilnog stava ucenika0 vrijednosti i vaznosti matematike. Posto-je mnoge takve izreke. Izrekli su ih velikimatematicari, ali i velikani iz drugih podru-cja ljudske djelatnosti. Evo nekoliko takvihizreka:

Brojevi vladaju svemirom.(Pitagora)

** *

Bog uvijek geomelrizira.(Platon).* *

Matematika je kraljica Zllallosti i aril-metika je kraljica matematike.

(Gauss)** *

Nema nikakve sigumosli tamo gdje se Ile

moze primijeniti neka ad matematic"kih zna.nosti ili Ildto sto je u vezi s tim matematic"kimZllallostima.

(Leonardo da Vinci)

::1~~ "'" ~.~.. ~" J Y' .;:w; . ~ ~ 17,2002 ~ /~~.@ 4()O J.~(--~ 57M~ 17,2002

Page 4: Historicizam - Naslovnica | PMF · PDF filegih kultura i na kraju skupili veliko znanje. ... "Otac" grcke maternati- ... Listajuci stare i nove udzbenike pone

* * *

Zanemarivanje ma/ema/ike s/e/i svakom

VUllljU.

(Bacon)** *

"~I!/ Bilo je mn'o'go vise mas/e u Arhimedovoj

glavi negoli U Homerovoj.

(Voltaire)* *

Sva djelovanja prirade samo SUma/ema-tick posljedice malog broja us/aljenih zako-na.

(Laplace)** *

Napre/kom i usavrsavanjem ma/ema/ike

uvjetovano je blagos/anje driave.

(Napoleon)** *

Nadahnuce je potrebno poeziji kao i ge-ome/nji.

(Puskin)

* * *

Ne bi Ii se glazba mogla opisa/i kao ma-

ternatika osjecaja, a rnatema/ika kao glazba

razuma? - njihov je duh isti/(Sylvester)

* * *

.'11' Maternalioar koji nije pomalo i pjesniknece nikada bi/i pravi ma/ema/icar.

(Weierstrass)* * *

Cijele brajeve stvorio je dragi Bog, a sveos/alo djelo je covjeka.

(Kronecker)

* * *

Pos/oji i drugi razlog za veliki ugled ma-

tema/ike: on je u tome da ma/ema/ika pm-za egzaklnirn prirodnim znanos/ima s/anovi/umjeru sigumosti koja se bez ma/ema/ike ne

hi mogla p~stici.(Einstein)

58 ~~ 4)

** *.~

~

.

;..

J

:~

.j\1

Ma/cma/ika, kad je covjek dobra shva/i,

sadrti ne SQmo is/inu vec i najvi!fu Ijepo/u.

(Russel)

~E) Anegdote

Kao sto je slucaj sa svim velikanima co-vjecanstva, i 0 velikim matematicarima pri-caju se anegdote. lone imajll svoju pOllcnustranu. Zbog pomanjkanja prostora 0 tomcdrugom prilikom.

* * *

0 mnogim gore navedenim matematica-rima i zanimljivostima vezanim za nasu temupisano je u nasim matematickim casopisimaMa/ema/ic7.:o-fizic7.:ilis/, Ma/ka, Ma/ema/ikai !fkola i Poucak. Citalelji mogu 1Injima na-ci obilje novih cinjenica koje Sll pogodne zaprosirenje znanja ucenika 0 matematici, gle-dajllci s povijesne strane.

.~

.~

;,1

j

~I

,I:1

~

.]

Litcratura

[I] N. M. Beskin, 0 nekim osnovllim prillcipimapredavallja ma/ema/ike, Matematika 2 (1985),5-10.

[2] A. I. Borodin - A. S. Bugaj, VydajuJi'iesjama/ema/iki, Radjans'ka skola, Kiev 1987.

(3] Z. Dadic, Povijes/ ideja i meloda u ma/emalici ificici, Skolska knjiga. Zagreb 1992.

[4] I. Gusic. Tales. Matka 9 (1994),21-23.[51 I. Gusic, Ma/emalicki rjeCllik, Element, Zagreb

1995.[61 S. Kukovai'ec, Veliki malemalicari i Skolska

ma/emalika. diplomski rad, Zagreb 2002.[7j Z. Kurnik, Relic Descarles, Matcmatika i skala 6

(2000),26--29.[8] Z. Kurnik, /75 godilla od olkrica Ileellk/ids-

ke geome/rije, Matematika i skola 8 (2001),129-132.

[9] Z. Kumik, Pierre de Ferma/ (1601. - 1665.),Poui'ak 8 (2001),68-80.

:;;"10;,~ ~.

' j''''' ~ M~~ 17,2002