HidroDinamica Alonso Sepulveda

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2/ Hidrodinamica

Hidrodinamica

Alonso Sepulveda S.

Instituto de FısicaUniversidad de AntioquiaMedellın, agosto 2013

A Carlota, mi madre,por la tierra y por el agua.A Guillermo, mi padre,por el aire y por el fuego.

Indice general

Presentacion VII

Introduccion VIII

1. Hidrostatica 1

1.1. Equilibrio hidrostatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1. Principio de Pascal y presion hidrostatica . . . . . . . . . . . 4

1.1.2. Principio de Arquımedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.3. Isobaras, isoclinas y potenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2. Fluidos y gravitacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.1. Gravitacion newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.2. Masa autogravitante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3. Gases ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4. Hidrostatica en sistemas no inerciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4.1. Fluido acelerado linealmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4.2. Fluido en reposo en un sistema rotante . . . . . . . . . . . . 21

1.4.3. Fluido autogravitante en rotacion . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2. Hacia la dinamica 30

2.1. Teorema de Cauchy-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.1.1. Dilatacion y compresibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2. Conservacion de la masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.1. El caso estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.3. Cinematica de fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.3.1. Campo de velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.3.2. Derivadas lagrangiana y euleriana . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.4. Modelos incompresibles de galaxias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.5. Teorema de transporte de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

iii

iv/ Hidrodinamica

3. Fluidos no viscosos 44

3.1. Ecuacion de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.1. Flujo isentropico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2. Ecuacion de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2.1. Teorema de Torricelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3. Ecuaciones de movimiento y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.3.1. Fluido rotante en estado estacionario . . . . . . . . . . . . . . 54

3.4. Circulacion. Teorema de Hankel-Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.4.1. Flujo estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.4.2. Flujo potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.5. Teorema de Bernoulli-Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.6. Flujo incompresible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.7. Flujo bidimensional incompresible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.7.1. Funcion de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.7.2. Flujo incompresible e irrotacional . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.7.3. Flujo incompresible y rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.7.4. Lıneas de flujo, caudal y funcion de flujo . . . . . . . . . . . . 63

3.8. Flujo compresible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.9. Fuentes y sumideros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.9.1. Fuente lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.10. Teorema sobre combinacion de movimientos . . . . . . . . . . . . . . 72

3.10.1. Fuente y sumidero lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.10.2. Dipolo hidrodinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.10.3. Dipolo puntual y flujo uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.11. Fluido ideal en un sistema rotante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.12. Leyes de conservacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.12.1. Un teorema interesante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4. Vortices 83

4.1. Vorticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.1.1. El sentido fısico de la vorticidad . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.1.2. Perfiles de vorticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.2. Circulacion y vorticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.3. Fuentes de vorticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.4. Dos teoremas sobre vorticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.5. Teorema de Kelvin-Lebovitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.6. Vortices y tornados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.6.1. Fuente lineal y vortice libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Indice general /v

5. Hidrodinamica y electromagnetismo 101

5.1. Un teorema de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.2. Magnetostatica e hidrodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.3. Electrostatica e hidrodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.4. Espiras y vortices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.5. Toroides y anillos de humo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.6. Interaccion entre vortices anulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.7. Interaccion entre vortices lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

6. Fluidos viscosos 113

6.1. Momento lineal y esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.2. Esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6.2.1. Esfuerzos viscosos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.2.2. Fuerza y esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186.2.3. Simetrıa del tensor de esfuerzos . . . . . . . . . . . . . . . . . 1206.2.4. Forma general del tensor viscoso . . . . . . . . . . . . . . . . 121

6.3. Ecuacion de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236.3.1. Consideraciones adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6.4. Navier-Stokes y sistemas coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276.5. Hidrodinamica adimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

6.5.1. La ecuacion de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1306.5.2. Una consideracion termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . 130

6.6. Flujo viscoso, incompresible y homogeneo . . . . . . . . . . . . . . . 1316.6.1. Flujo 2-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.6.2. Flujo 3-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

6.7. Ejercicios y problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1326.7.1. Flujo de Hele-Shaw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1376.7.2. Flujo de Couette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1386.7.3. Flujo viscoso en un tubo vertical . . . . . . . . . . . . . . . . 139

6.8. Ley de arrastre de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1436.9. Viscosımetro de cono y plato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1496.10. Un caso no estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1526.11. Disipacion viscosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1546.12. Magnetohidrodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

Apendices 159

A. Delta de Dirac 161

B. Operadores diferenciales 163

C. Dıadas 166

vi/ Hidrodinamica

D. Identidades vectoriales y diadicas 168

E. Funciones de Legendre y Bessel 170

E.1. Algunas propiedades de P`(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170E.2. Algunas propiedades de Pm

` (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172E.3. Algunas propiedades de Qm

` (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172E.4. Algunas propiedades de Jm y Nm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173E.5. Algunas propiedades de Iν y Kν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

F. Formulas utiles 177

G. Alfabeto griego 179

H. Lista de sımbolos 180

Bibliografıa 183

Indice alfabetico 185

Presentacion

Ademas de unas pocas sesiones sobre los principios de Arquımedes y Pascal, y lasleyes de Torricelli y Bernoulli, es poco lo que en las carreras de fısica se dedicaa los contenidos profundos de la mecanica de los fluidos. Esto a pesar de que lahidrodinamica es la disciplina con la que nacio la teorıa clasica de los campos. Yaunque el tema es obligado en los programas de ingenierıa, en las carreras de fısicacarece de un adecuado interes.

Cree el autor de estas notas que el tema de los fluidos es necesario como inicio deuna formacion solida, es decir fısica y matematica, en teorıa de campos; en primerlugar porque, historicamente, el estudio de los fluidos creo el lenguaje con el que sedescriben los campos. Es el lenguaje de Gauss, Poisson, Laplace, entre otros.

La hidrodinamica propuso las nociones de flujo, fuentes, divergencia, rotacional,circulacion y vorticidad, habituales en la teorıa de fluidos, en la electromagneticay en la del calor y el sonido; nociones cuyas versiones mas abstractas son ya lugarcomun en todas las teorıas de campos, clasicos y cuanticos.

El proposito de este texto es simple: comenzar con las elaboraciones de Ar-quımedes y Pascal y avanzar, con un tono vectorial, hacia la formulacion dinamicade Euler, que recupera los teoremas de Torricelli y Bernoulli, dirigiendose luego ha-cia los teoremas sobre circulacion y vortices desarrollados, entre otros, por Kelvin yHelmholtz, y que tanto enriquecieron el tema. Desde allı explicitar la hermosa ana-logıa entre campos electricos y fuentes hidrodinamicas y entre campos magneticosy vortices, que nutrio los ingeniosos esfuerzos de Maxwell para entender el campoelectromagnetico como manifestacion de un exotico fluido, el eter, con el que tantosonaron los fısicos del siglo XIX. El ultimo capıtulo es una introduccion al tema delos fluidos viscosos newtonianos.

Este texto no pretende reemplazar o mejorar los incontables y hermosos librosescritos sobre el tema. Tampoco aspira a convertirse en un manual para estudiantesde ingenierıa pues su interes y su proposito son los de proveer una formacion mınimaen teorıa de campos, para fısicos teoricos. No quiere ser, en modo alguno, un manualpara estudiantes de hidraulica. De hecho, este escrito surgio de los cursos dictadospor el autor a estudiantes de la carrera de fısica de la Universidad de Antioquia,por lo que a ellos quiere dirigirse.

El autor quiere que el lector considere este texto como el inicio de una cadenade topicos que, esbozados aquı en sus tecnicas esenciales, deberıan prolongarse enlos cursos de electrodinamica clasica y cuya natural culminacion habrıa de lograrseen los cursos de astrofısica gravitacional y de teorıa cuantica de campos.

Alonso Sepulveda S.

Introduccion

Fluido es el nombre generico para lıquidos y gases. Un gas llena completamenteun recipiente cerrado, pero no un lıquido.

Un fluido es una sustancia que no soporta esfuerzos tangenciales, cuando esta enreposo. Es decir, si hay esfuerzos tangenciales fluye. Ası, un fluido soporta la exis-tencia de esfuerzos tangenciales solo si esta en movimiento.

Las sustancias que fluyen bajo la accion de esfuerzos tangenciales finitos sellaman fluidos plasticos.

Los lıquidos se aceleran bajo esfuerzos tangenciales, en tanto los solidos se de-forman pero pueden permanecer en equilibrio. Estos ultimos aceptan esfuerzos tan-genciales.

La densidad de un fluido en un punto se define como

ρ = lım∆V→0

∆m

∆V.

Esta definicion, sin embargo, no es valida si ∆V tiene dimensiones laterales delorden del camino libre medio de una molecula o atomo de la sustancia, porque,entonces, la densidad promedio varıa discontinuamente de acuerdo al numero demoleculas que en cada momento esten dentro de ∆V . Por esto conviene redefinir ladensidad del siguiente modo:

ρ = lım∆V→∆V

∆m

∆V,

donde ∆V es el mas pequeno volumen, alrededor del punto donde se evalua ρ, parael cual los promedios estadısticos tienen sentido. Otras propiedades del fluido sedefinen de modo similar. Solo en este contexto el fluido puede considerarse continuo.

En este texto se asume que las funciones que describen el fluido (v, ρ, P, T, µ . . .)son lo suficientemente suaves para que las operaciones usuales del calculo puedanrealizarse sobre ellas. Se asume, ası, que ρ es continuo, de modo que la estructuragranular de la materia no sera tomada en cuenta.

Los fluidos pueden clasificarse en compresibles e incompresibles, y en ideales(o perfectos) y reales (viscosos). En los ideales, la viscosidad es cero o muy bajamientras en los reales la viscosidad es notoria y la conductividad calorıfica es baja.

Lıquidos viscosos tıpicos son los aceites grasos y la glicerina. Lıquidos de bajaviscosidad son el agua y la gasolina. El coeficiente de viscosidad de los primeros esunas 100 veces el de los segundos. La viscosidad del agua es unas 10 veces mayorque la de un gas.

Indice general /ix

Un fluido newtoniano es aquel en el que los esfuerzos viscosos dependen lineal-mente del gradiente de la velocidad.

El flujo de un fluido es laminar o turbulento; el primero puede describirse enterminos de placas de fluido que se deslizan unas sobre otras, el segundo es unmovimiento altamente complejo, dominado por la no linealidad.

La transicion de laminar a turbulento, de acuerdo a Reynolds (1883), dependedel valor de la expresion adimensional:

Re =ρvr

µ,

donde ρ es la densidad, v es la velocidad promedio, r es una dimension tıpica delfluido y µ es la viscosidad. Re se conoce como numero de Reynolds y es una medidade la importancia relativa de las fuerzas inerciales respecto a las viscosas.

Un fluido con Re < 1050 es laminar, con Re > 3500 ya es turbulento. El flujoen una tuberıa llega a ser turbulento cuando Re > 2000. Esto explica por que lamayorıa de los flujos en sistemas de grandes dimensiones y baja viscosidad sonturbulentos.

Los flujos no turbulentos pueden describirse como suaves movimientos de unalamina de fluido sobre otra. El flujo turbulento puede considerarse como un campode velocidad no estacionario, fluctuante, superpuesto sobre un patron de flujo lami-nar. De hecho, la mayorıa de los flujos que ocurren en la naturaleza son turbulentos:la capa lımite de la atmosfera terrestre, las corrientes de agua bajo la superficie delos oceanos, la atmosfera de las estrellas, las nubes de gases interestelares...

Los movimientos turbulentos son disipativos, es decir, no pueden mantenerse ası mismos, dependen de sus alrededores para obtener energıa. La turbulencia es elresultado, ya sea del crecimiento de pequenas perturbaciones en un flujo laminar, ode la inestabilidad convectiva del movimiento. En el primer caso, la energıa cineticaes extraıda de la energıa cinetica del flujo medio, en el segundo caso viene de laenergıa potencial del sistema.

Los fundamentos de la hidrodinamica de fluidos no viscosos fueron puestos porD’Alembert, Euler y Lagrange en el siglo XVIII. Las ecuaciones de fluidos viscososnewtonianos fueron desarrolladas por Navier (1822), Cauchy (1828), Poisson (1829)y Stokes (1854), entre otros.

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Hidrostatica

El libro y el capıtulo primero comienzan proponiendo la ley fundamental de lahidrostatica, obtenida de la nocion de equilibrio aplicada a un fluido. El primerconcepto de importancia en la teorıa de fluidos es la presion. Despues de demostrarque las fuerzas externas que mantienen el equilibrio hidrostatico han de ser conser-vativas, se exploran, en su orden, los principios de Arquımeds, de Pascal, y de losvasos comunicantes.

La palabra principio se conserva aquı por razones historicas, aunque estricta-mente, es decir, desde el punto de vista de la axiomatica de la teorıa, se trata deteoremas deducibles de la ley basica del equilibrio de los fluidos, cuyo origen seencuentra en las leyes de Newton. En verdad, la hidrostatica se fundamenta enlas tres leyes de Newton y la definicion de presion. Los llamados “principios” deArquımedes, Pascal, o de vasos comunicantes, son solo proposiciones que −en sumomento− no podıan deducirse de un principio de orden general. Conservan sunombre de principio solo por razones historicas; desde el punto de vista axiomatico,repitamos, son teoremas.

Un enfasis particular se hace sobre el hecho de que el principio de Arquımedestamben se satisface para campos electrostaticos, aun en ausencia de gravedad.

A continuacion se definen las nociones de isobaras, isoclinas y equipotenciales,de alta utilidad en los estudios siguientes. De la coincidencia de las superficies depresion y densidad constante, en el caso hidrostatico, se sigue que el fluido es unbarotropo, vale decir, que la presion hidrostatica es funcion exclusiva de la densidad.

La introduccion de la teorıa newtoniana de la gravitacion, permite obtener laecuacion que describe el equilibrio de un fluido sometido a su propia gravedad. Estecaso tiene importancia solo en el caso de grandes masas, como las lunas, la Tierra, losplanetas, las estrellas y en general los cuerpos celestes. En este primer acercamientoa los sistemas autogravitantes se fundamenta el estudio de los sistemas astrofısicos,como las estrellas, las galaxias o los cumulos de galaxias.

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2/ Hidrodinamica

El capıtulo continua con el estudio de los gases ideales y finaliza con las ecua-ciones de la hidrostatica en sistemas no inerciales, linealmente acelerados o enrotacion. El ultimo caso encuentra su primera y mas notable aplicacion en un mode-lo simple de la forma de la Tierra, basado en que un fluido homogeneo en rotacionpresenta una forma esferoidal. Con esta ecuacion se inicia tambien la descripcionde la forma de las estrellas y las galaxias.

1.1. Equilibrio hidrostatico

En un fluido en reposo en un campo gravitacional, cada porcion de materia esta enequilibrio estatico, por lo cual debe haber una fuerza ascendente que contrarresteel peso del elemento de fluido. En principio esta fuerza ascendente deberıa tambienestar presente en un fluido electricamente cargado que se sumerja en un campoelectrico, aun en ausencia de gravitacion. Esta fuerza ascendente se asocia al efectoneto de la presion que el fluido ejerce sobre cada elemento diferencial de volumen.Por presion se entiende la fuerza normal (perpendicular) por unidad de area, ejercidasobre una superficie.

Considerese un elemento diferencial de volumen del fluido. La fuerza en direccionx sobre el volumen dV , debida a la presion, es (figura 1.1):

∆Fx = [−Px+∆x + Px] ∆y∆z

=

[−Px − ∂P

∂x∆x+ Px

]∆y∆z = −∂P

∂x∆V ,

z

x

y

Px∆Ax Px+∆x∆Ax

Py∆Ay

Py+∆y∆Ay

Pz∆Az

Pz+∆z∆Az

Figura 1.1: Fuerzas debidas a la presion, que actuanperpendicularmente sobre cada una de las caras de unelemento diferencial de volumen de un fluido

y analogamente para y y z tal que, en forma vectorial, puede escribirse:

∆Fp = −∇P ∆V . (1.1)

1. Hidrostatica /3

En equilibrio, la fuerza neta que actua sobre un elemento diferencial de volumendel fluido es cero, esto es:

∑i ∆Fi = 0. Las fuerzas son debidas a la presion sobre

la superficie del elemento de volumen, y a su peso, aunque tambien pueden actuarsobre el fuerzas electricas, si el fluido esta cargado, o las llamadas fuerzas ficticias, siel elemento de volumen esta en un sistema de referencia acelerado. En un fluido enreposo la viscosidad no se evidencia en modo alguno pues sus efectos estan asociadosal deslizamiento de unas capas del fluido sobre otras. Ası, el equilibrio estatico sedescribe por:

∆Fe +∆Fp = 0 , (1.2)

donde ∆Fe incluye todas las fuerzas externas.

Ha de notarse que, cuando se trata de fluidos, las fuerzas son de dos tipos: 1. lasque actuan sobre las superficies (como la presion y las fuerzas viscosas) y 2. lasvolumetricas como la gravedad, las fuerzas electromagneticas o las fuerzas ficticias.

En los fluidos estaticos las fuerzas de superficie se reducen solo a las presionesque son siempre normales, pues un fluido en reposo no acepta esfuerzos tangenciales,los que solo estan presentes en fluidos viscosos en movimiento. Entonces, de (1.1) y(1.2):

∆Fe −∇P ∆V = 0 .

Definiendo la densidad volumetrica de las fuerzas externas como:

fe =∆Fe

∆V, (1.3)

puede escribirse:

fe = ∇P , (1.4)

que es la ecuacion basica de la hidrostatica. Aunque fue propuesta a partir de unanalisis realizado en coordenadas cartesianas, no es difıcil demostrar que (1.4) esvalida en coordenadas curvilıneas ortogonales (vease apendice B).

Teniendo en cuenta que ∇ × ∇P = 0, para cualquier funcion P continua yderivable, se sigue de (1.4), tomando el rotacional, que:

∇× fe = 0 .

En consecuencia, la fuerza externa que actua sobre un fluido debe ser derivablede un potencialH, si el fluido esta en equilibrio estatico; esto es, fe = −∇H. Solo hayequilibrio hidrostatico si las fuerzas volumetricas sobre un fluido son conservativas.Este es el caso de las fuerzas gravitacionales, electrostaticas e inerciales.

¿Que ocurre en un fluido cargado, colocado en un campo magnetico?

4/ Hidrodinamica

1.1.1. Principio de Pascal y presion hidrostatica

Ahora bien, de (1.4), y por integracion a lo largo de un camino que va del punto 1al punto 2, en el interior de un fluido:

∫ 2

1

fe · dr =

∫ 2

1

∇P · dr =

∫ 2

1

dP = P2 − P1 , (1.5)

de modo que la diferencia de presion entre dos puntos de un fluido en equilibriohidrostatico depende solo de las fuerzas externas, como la gravedad, por ejemplo.Si no hay fuerzas, entonces P2 = P1. Observese que:

P2 − P1 = (P2 + C)− (P1 + C) =

∫ 2

1

fe · dr , (1.6)

por lo que la adicion de una constante C, a la presion, en cada punto de un fluido,deja invariante la diferencia P2 − P1; es decir, cualquier cambio, C, de presion −enun punto− esta acompanado por un cambio igual en los demas puntos del fluido.Esta afirmacion se conoce como principio de Pascal.

Este principio introduce un gauge global en la hidrostatica. En forma diferencialy tomando en cuenta que ∇C = 0 se sigue: fe = ∇P = ∇(P + C).

AA 21

(a) (b)

F1 F2F1 F2

A1 A2

E

a b

Figura 1.2: Principio de Pascal. a. En la prensa de Pascal la presionsobre los embolos de areas A1 y A2 es la misma; b. cuando se aumenta lapresion sobre el embolo E, la velocidad de salida del lıquido aumenta delmismo modo en todos los agujeros

El principio de Pascal asegura que un cambio de presion, en un fluido de densidadconstante, se establece en el de modo uniforme. Este es el fundamento de la prensahidraulica (figura 1.2a). Se colocan dos pesos sobre los embolos de areas A1 y A2 demodo que el fluido permanezca en equilibrio. Desechando el peso de las columnas

1. Hidrostatica /5

de fluido, que es irrelevante en este analisis (¿por que?), la presion sobre las areasA1 y A2 es la misma, de modo que:

P =F1

A1=F2

A2,

de donde se sigue que:

F2 = F1A2

A1.

Un gran peso F2, como un automovil, puede ser sostenido en la prensa hidraulicade una serviteca por una fuerza pequena F1, como la ejercida por el operario, siA2 A1.

Cuando el embolo pequeno de area A1, en la figura 1.2a, hace descender unvolumen de fluido ∆V una distancia ∆l1, un volumen igual debe ascender en elembolo de area A2 una distancia ∆l2, por lo que A1∆l1 = A2∆l2, asumiendo queel fluido es incompresible, es decir, si su densidad permanece constante. El trabajorealizado por el embolo de la izquierda es:

∆W1 = F1 ∆l1 =

(F2A1

A2

)(A2

A1∆l2

)= F2 ∆l2 = ∆W2 ;

en consecuencia, el trabajo realizado por el embolo de la izquierda es igual al trabajonecesario para subir el peso de la derecha; de lo contrario, la prensa de Pascal podrıautilizarse para conseguir trabajo gratuito, convirtiendose en una maquina creadorade energıa.

Una observacion simple e interesante es la siguiente: si se hunde el embolo Een el cascaron esferico lleno de lıquido de la figura 1.2b −en la que se han hechopequenos agujeros− aumenta la presion interna. El lıquido sale con tanta mayorvelocidad, desde todos los agujeros, cuanta mayor sea la presion sobre el embolo, loque muestra que el exceso de presion se transmite igualmente a todos los puntos.

Si la fuerza externa es la gravedad se tendra:

fe =∆F

∆V=

∆m

∆Vg = ρg ,

por lo cual, de (1.4):∇P − ρg = 0 . (1.7)

Ademas, la integral de lınea entre los puntos 1 y 2 en la figura 1.3 es, de acuerdocon la ecuacion (1.5), con ρ y g constantes:

P2 − P1 =

∫ 2

1

fe · dr =

∫ 2

1

ρg · dr =

∫ 2

1

ρ g(−k) · (i dx+ k dz)

6/ Hidrodinamica

h

1

2

1

2

•

•

i

k

Figura 1.3: La diferencia de presion entre lospuntos 1 y 2 en el interior de un fluido en el campode gravedad terrestre depende solo de suseparacion vertical

= −ρg∫ 2

1

dz = −ρg(z2 − z1) = −ρgh . (1.8)

Ası pues, la presion en el interior de un lıquido aumenta a medida que se de-sciende en el:

P1 = P2 + ρgh ,

expresion que es identica a : (P1 + C) = (P2 + C) + ρgh .Esta ecuacion asegura que, si sobre un recipiente con lıquido se ejerce una fuerza

sobre su superficie libre, con un piston por ejemplo, la presion aumenta en la mismacantidad en cada punto del fluido, de modo tal que la diferencia de presion entrecualquier pareja de puntos depende solo de su diferencia de altura (figura 1.3).

En el analisis de la prensa de Pascal, donde se desecho el peso de las columnas,la presion resulta ser la misma en todos los puntos.

Volveremos sobre la integral∫ 2

1fe · dr al final de la seccion 1.1.3.

Ejercicios

1. Para un fluido de densidad constante en el campo gravitacional terrestre, de(1.7) con g = −gk, y tomando componentes cartesianas resulta que:

i∂P

∂x+ j

∂P

∂y+ k

∂P

∂z+ ρgk = 0 ; se sigue que:

∂P

∂x=∂P

∂y= 0 ,

∂P

∂z+ ρg = 0 ,

de donde se concluye que:

dP =∂P

∂xdx+

∂P

∂ydy +

∂P

∂zdz = −ρg dz ,

1. Hidrostatica /7

es decir: P = ρgz + C. En la superficie libre del lıquido (z = h) la presion es laatmosferica P0, entonces C = P0 + ρgh. Por tanto:

P = P0 + ρg(h− z) . (1.9)

Es cierto entonces que puntos a igual profundidad tienen igual presion, indepen-dientemente de la forma del recipiente (figura 1.4a). Esto da validez al llamado prin-cipio de los vasos comunicantes y resuelve la llamada paradoja hidrostatica segunla cual −erroneamente− la presion dentro de un fluido dependerıa de la forma delrecipiente que lo contiene. Como se ve aquı, el principio de los vasos comunicanteses otro resultado derivado de la ecuacion (1.4) para fuerzas fe gravitacionales.

De acuerdo con la interpretacion erronea, la presion en B (figura 1.4) es mayorque en A, pues hay mas lıquido, por encima, en B que en A. La presion en C serıaintermedia a las de A y B. La supuesta paradoja es que PA = PB = PC .

La ecuacion (1.9) presenta la presion como una cantidad escalar, lo que asegu-ra que en cada punto del interior del fluido la presion es la misma en todas lasdirecciones.

H

y

h

L

Idy

L

h

H

y

dy

A B C• • •

a b

Figura 1.4: a. En los vasos comunicantes, la presion en los puntos A,B,C, ubicados ala misma altura, es la misma; b. la fuerza hidrostatica horizontal ejercida por el agua deuna represa sobre un elemento diferencial de pared vertical de altura dy y ancho L

2. Calcule la fuerza neta horizontal debida a la presion del agua sobre la paredde una represa en la que el agua alcanza una altura H (figura 1.4b).

La presion atmosferica que actua a ambos lados de la pared no ejerce una fuerzaneta, por lo que no se tomara en cuenta. A una altura y, desde el fondo de la represa,la presion tiene un valor:

P = ρgh = ρg(H − y) .

La fuerza horizontal que el agua ejerce sobre la porcion diferencial de pared dearea Ldy es:

dF = P dA = PLdy = ρgL(H − y) dy ,

8/ Hidrodinamica

de modo que la fuerza neta horizontal, hacia la derecha, debida al agua, es:

F = ρgL

∫ H

0

(H − y) dy =1

2ρgLH2 .

3. Un manometro consiste en un recipiente con gas a presion P , conectado a untubo en U con mercurio (cuya densidad es ρ

Hg=13,59 gr/cm3), abierto a la atmosfera

(figura 1.5a). El peso de la columna de mercurio y la presion atmosferica, que actuaen el brazo derecho del tubo en U, contrarrestan la presion del gas contenido en elrecipiente. P es la presion absoluta del gas; a la diferencia P −P0 = ρgh se le conocecomo presion manometrica. Las unidades de la presion son newton/m2 denominadoPascal y es equivalente a 1kg/m · s2.

P

P

h

P0

P0 + ρgh

Gas

h

C

a b

Figura 1.5: Dos instrumentos hidrostaticos simples: a. el manometro, b. el barometro

4. El barometro es un instrumento que mide la presion atmosferica. Inventadoen 1643 por Evangelista Torricelli, un discıpulo de Galileo, consiste en un tubolargo que se llena con mercurio y se invierte dentro de un recipiente con el mismolıquido metalico (figura 1.5b). Cuando el tubo alcanza su posicion vertical, el pesodel mercurio lo hace descender hasta alcanzar una altura h, por encima del niveldel lıquido en el recipiente (a nivel del mar esta altura es de 76 cm). El extremosuperior queda con una camara C practicamente al vacıo y a presion cercana a cero.De hecho, la parte superior del barometro contiene un poco de gas de mercurio auna muy baja presion, conocida como presion de vapor. La superficie del mercurioen el recipiente esta a presion atmosferica y equilibra el peso de la columna demercurio de altura h, tal que P0 = ρgh.

Una atmosfera es la presion equivalente a la de una columna de Hg de 760 mm,igual a 760 Torricelli, unidad mas conocida como torr, y que en MKS es igual a1,05×105 Pascal.

1. Hidrostatica /9

Problemas:

1. La compuerta CD en la figura 1.6a puede girar alrededor de C. ¿que fuerzahorizontal F , ejercida a una altura h, es necesaria para impedir que lacompuerta gire bajo la accion del agua a su izquierda, si su ancho es L?

2. ¿Cual es la fuerza por unidad de longitud necesaria para impedir que elcilindro de la figura 1.6b ruede bajo la accion del agua situada a su izquierda?

FD

C

h R F

a b

Figura 1.6: Fuerza hidrostatica, a. sobre una compuerta plana en unarepresa, b. sobre la superficie de un cilindro horizontal

1.1.2. Principio de Arquımedes

De acuerdo con la ecuacion (1.3), la fuerza externa sobre un elemento de volumenen el interior de un fluido es:

Fe =

∫

V

fe dV ,

y la fuerza debida a la presion es:

Fp = −∫

V

∇P dV = −∮

S

P dS = −∮

S

P n dS .

Esta ultima ecuacion da la fuerza neta debida a la presion sobre el elemento devolumen V y superficie S, este ocupado por el fluido o por otro cuerpo (figura 1.7a).

En equilibrio el volumen V de fluido esta en reposo:

Fp + Fe = 0 .

De aca se sigue el principio de Arquımedes, si la fuerza externa es la gravedad. Lafuerza ascendente ejercida por la presion del resto del fluido sobre un elemento devolumen en su interior contrarresta el peso de esa porcion de volumen del fluido. Lamisma Fp ascendente, conocida como empuje o fuerza de flotacion actua sobre unvolumen V del fluido, o sobre un volumen identico de un cuerpo que lo reemplace.Ası pues, de acuerdo con Arquımedes:

10/ Hidrodinamica

Todo cuerpo sumergido en un lıquido experimenta un empuje ascendente igualal peso del volumen de lıquido desalojado.

La presion hidrostatica ejerce, sobre un volumen cualquiera dentro del fluido,una fuerza neta hacia arriba Fp = −

∫V∇P dV , que se opone al peso del volumen

sumergido cuyo valor es de:

F =

∫

V

ρg dV, . (1.10)

Si un cuerpo sumergido en el fluido tiene un peso mayor que el peso del volumendesalojado, el cuerpo desciende, en caso contrario asciende.

El principio de Arquımedes puede obtenerse, en forma equivalente, de (1.9),si se considera un pequeno cilindro de altura L y area de la base A, sumergidoverticalmente en un fluido. La presion (P2) es mayor en la cara inferior que en lasuperior (P1), debido al peso del fluido, lo que genera una fuerza neta ascendenteF = (P2−P1)A. De acuerdo con (1.9) el empuje es entonces: F = ρg(AL) = ρgV =mg, correspondiente al peso del lıquido desalojado por el cilindro, ya que ρ es ladensidad del fluido.

P1

P2A

L

+ + + + + +

− − − − − −

+ + + +

+ ++ +

+ + + +

E

a b

Figura 1.7: Principio de Arquımedes. a. El empuje experimentado enel campo de gravedad es un efecto ascendente debido a la presionneta P2 − P1, que tambien se presenta si, b. el campo gravitacional esreeemplazado por un campo electrico E

Si no hay campo de gravedad pero el fluido tiene carga electrica positiva y sele coloca entre las placas de un condensador con la placa inferior negativa comoen la figura 1.7b, cada elemento de volumen del fluido experimentara un empujeascendente igual a la fuerza electrica sobre el volumen.

Si una porcion del volumen es reemplazada por un cuerpo con densidad decarga menor que la densidad de carga del fluido entonces el cuerpo asciende. Comose vera en la seccion 1.4, la existencia del empuje ocurre tambien en un fluidosometido a la accion de fuerzas ficticias, ya sean lineales o centrıfugas.

1. Hidrostatica /11

Problemas:

1. Un bloque, formado de dos materiales de densidades ρ1 y ρ2 menores quela del agua, y alturas h1 y h2, se coloca en un recipiente con lıquido (figura1.8a). ¿Que distancia a se sumerge el bloque?

2. Un tronco cilındrico uniforme de longitud L y radio R flota en agua (figura1.8b, visto el tronco a lo largo de su eje). La densidad del tronco es 0,509gr/cm3. Evalue h.

ρ1

ρ2

h1

h2

a

a b

h

E

Mg

Figura 1.8: Cuerpos semisumergidos en agua: a. Un bloque doble; b. un cilindro

1.1.3. Isobaras, isoclinas y potenciales

De (1.4) se sigue que, para un fluido de densidad ρ −en general dependiente de laposicion− en un campo de gravitacion g:

−ρg +∇P = 0 o: ρ∇G +∇P = 0 . (1.11)

Tomando el rotacional de la segunda ecuacion (1.11), (vease el apendice C):

ρ∇×∇G +∇ρ×∇G +∇×∇P = 0 .

puesto que ∇ × ∇G ≡ 0 y ∇ × ∇P ≡ 0 se sigue que, en un fluido de densidadvariable, se satisface la condicion:

∇ρ×∇G = 0 o: ∇ρ× g = 0 . (1.12)

Esto significa que, punto a punto, la direccion de las lıneas del campo de gravita-cion coinciden con las del gradiente de la densidad, o, equivalentemente, que lassuperficies de igual densidad (isoclinas) y las equipotenciales gravitacionales soncoincidentes.

Si (1.11) se escribe en la forma ∇G + ∇P/ρ = 0, y se toma su rotacional, sesigue que para un fluido compresible:

∇ρ×∇P = 0 ,

12/ Hidrodinamica

de donde se concluye que las superficies de presion constante (isobaras) y las dedensidad constante son coincidentes. De esta ecuacion se concluye que la presion esuna funcional exclusiva de la densidad: P = P (ρ). En efecto,

∇ρ×∇P = ∇ρ×(dP

dρ∇ρ

)=dP

dρ∇ρ×∇ρ = 0 .

Los fluidos para los cuales es cierto que P = P (ρ) se conocen como barotropos.De un modo analogo, puede demostrarse de (1.12) que G es funcional de ρ: G = G(ρ).

Ası pues, las superficies de G, ρ y P constantes son las mismas. Este resultado esvalido cualquiera sea la forma del campo gravitacional. En particular, si g = −k glas superficies G, ρ y P seran planos horizontales. En el exterior de la masa terrestre,supuesta esferica, es cierto que g = GM r/r2 y G = −GM/r, por lo que las tressuperficies son esfericas y concentricas.

La integral de fe que dio lugar a (2.3) puede ser escrita en forma general como:

∫ 2

1

fe · dr = −∫ 2

1

ρ∇G(ρ) · dr ,

donde ahora ρ es una variable. Entonces:

∫ 2

1

fe · dr = −∫ 2

1

∇H(ρ) · dr = −∫ 2

1

dH(ρ) = −H(ρ)|21 .

con ∇H(ρ) = ρ∇G(ρ), de donde, multiplicando escalarmente por dr, se obtiene:dH = ρdG. La funcional H(ρ) actua como un potencial. La fuerza fe es conservativa.

1.2. Fluidos y gravitacion

En las subsecciones siguientes se enuncian los fundamentos de la teorıa newtoni-ana de la gravitacion, y se construye la ecuacion basica de fluidos autogravitantes.

1.2.1. Gravitacion newtoniana

De acuerdo con Newton, la fuerza de gravitacion que una masa puntual M ejercesobre otra puntual m (figura 1.9a) esta dada por:

FM→m = −GMm(r− r′)

|r− r′|3 .

La fuerza gravitacional que una distribucion de masa de densidad ρ(r′) ejercesobre una una masa puntual m, localizada en r, se calcula como la ejercida por el

1. Hidrostatica /13

elemento diferencial dM(r′), localizado en r′, sobre la masa m en r, e integrandosobre la masa total de la distribucion. Se obtiene (figura 1.9b):

FM→m = −Gm∫

M

dM(r′)(r− r′)

|r− r′|3 = −Gm∫

V

ρ(r′)(r− r′)

|r− r′|3 dV ′ .

•

• mM

r′

r− r′

r

O

dM •

m

r′

r− r′

r

Oa b

Figura 1.9: Geometrıa para describir la atraccion gravitacional, a.entre masas puntuales; b. entre una distribucion de masa y unamasa puntual

Teniendo en cuenta que:

∇

(1

|r− r′|

)= − r− r′

|r− r′|3,

la fuerza gravitacional puede escribirse:

FM→m = Gm

∫

V

ρ(r′)∇

(1

|r− r′|

)dV ′

= −m∇

[−G

∫

V

ρ(r′)

|r− r′| dV′]= −m∇G ,

donde se ha definido el potencial gravitacional de la masa M en la forma:

G = −G∫

V

ρ(r′)

|r− r′| dV′ . (1.13)

En consecuencia FM→m = −m∇G. El cociente (FM→m)/m define el campo degravitacion de M . Entonces:

FM→m

m= g(r) = −∇G(r) = −G

∫

M

ρ(r′)(r− r′)

|r− r′|3 dV ′ . (1.14)

Tambien: FM→m = −m∇G = mg.

14/ Hidrodinamica

El caso mas simple, el de una masa puntual M , corresponde a una densidadvolumetrica ρ(r′) = Mδ(r′), si M se localiza en el origen de coordenadas. Lacantidad δ(r′) es una delta de Dirac (vease el apendice A). Notese que

∫ρ dV =

M∫δ(r)dV =M.

Reemplazando en (1.13) y (1.14) se obtiene, para una masa M puntual:

G = −G∫

V

Mδ(r′)

|r− r′| dV′ = −GM

r, (1.15)

g(r) = −∇G(r) = −GMr2

er . (1.16)

Ahora bien, volviendo a (1.13) y tomando su laplaciano:

∇2G(r) = −G∇2

∫

V

ρ(r′)

|r− r′| dV′ = −G

∫

V

ρ(r′)∇2

(1

|r− r′|

)dV ′ ,

y como, segun el apendice A:

∇2

(1

|r− r′|

)= −4πδ(r− r′) , es cierto que:

∇2G(r) = −4πG

∫

V

ρ(r′)δ(r− r′) dV ′ = 4πGρ(r) , (1.17)

de donde se sigue que, en el interior de las masas, el potencial gravitacional satisfacela ecuacion de Poisson:

∇2G(r) = 4πGρ(r) . (1.18)

y en el exterior G(r) satisface la ecuacion de Laplace: ∇2G(r) = 0 . De otro lado,tomando la divergencia de (1.14):

∇ · g(r) = −∇ ·∇G(r) = −∇2G(r) = −4πGρ(r) , (1.19)

que es la ley de Gauss para el campo gravitacional newtoniano g(r). Integrando laanterior ecuacion sobre un volumen interior o exterior a la distribucion de masa, yutilizando el teorema de Gauss, se obtiene

∮g · dS = 4πGM , (1.20)

dondeM es la masa contenida dentro de la superficie S. Facilmente se demuestra de(1.20) que, para una masa esferica uniforme M de radio R, el campo gravitacionalen su interior o exterior es radial y tiene un valor:

1. en el exterior g = GM/r2,2. en el interior g = GMr/R3.

1. Hidrostatica /15

Los respectivos potenciales gravitacionales son:1. G = −GM/r,2. G = −GMr2/2R3.Ahora bien, para un punto ubicado a una distancia h de la superficie de una

masa esferica uniforme de radio R y masa M , con h R, se tiene:

G(r) = − GM

R+ h= − GM

R(1 + h/R)= −GM

R

(1 +

h

R

)−1

' −GMR

(1− h

R

)= −GM

R+GM

R2h = −GM

R+ gh ;

se ha utilizado el valor de la aceleracion de gravedad en la superficie terrestre g =GM/R2 que se obtiene de (1.16). Ası, el potencial gravitacional en las cercanıas dela superficie terrestre es: G(h) = gh+ constante.

Finalmente, el rotacional de (1.14) permite asegurar que el campo gravitacionales conservativo:

∇× g = 0 . (1.21)

En efecto, el trabajo realizado por el campo de gravedad para mover una partıcu-la puntual m a lo largo de una trayectoria cerrada c es cero:

∮

c

F · dr = m

∮

c

g · dr = m

∫

S

∇× g · dS = 0 .

En el ultimo paso se ha tenido en cuenta el teorema de Stokes. La integralde superficie se realiza sobre aquella limitada por la trayectoria c. De un modoequivalente, el trabajo realizado por el campo para mover una masa puntual entrelos puntos a y b es:

∫ b

a

F · dr = m

∫ b

a

g · dr = −∫ b

a

∇G · dr =

∫ b

a

dG = G(b)− G(a) ,

donde hemos tomado en cuenta que dG = ∇G · dr. En consecuencia, el trabajorealizado entre a y b es independiente del camino, y depende solo de los potencialesgravitacionales en los puntos inicial y final.

1.2.2. Masa autogravitante

La gravitacion, en este caso, es de un cuerpo sobre sı mismo. Es el caso de la Tierra,las estrellas, las galaxias, los cumulos de galaxias, objetos cuyo comportamientoglobal, hasta cierto punto, puede aproximarse al de un fluido.

Dividiendo la segunda de las ecuaciones (1.11) por ρ y tomando la divergenciase obtiene:

∇ ·(∇P

ρ

)+∇2G = 0 ,

16/ Hidrodinamica

y utilizando (1.18) se sigue:

∇ ·(∇P

ρ

)+ 4πGρ = 0 . (1.22)

En esta ecuacion, en general, ρ = ρ(r), P = P (r), de modo que es valida, incluso,para fluidos compresibles. Si se quiere contar con un sistema completo de ecuaciones,es necesario disponer de una ecuacion de estado que relacione P y ρ.

Con (1.22) y la ecuacion de estado pueden elaborarse modelos simples de laTierra, las estrellas o las galaxias.

Si hay simetrıa esferica, es decir si la densidad y la presion dependen solo dela coordenada radial, la ecuacion (1.22) toma la forma (vease el apendice B paraobtener la forma de los operadores en coordenadas esfericas):

1

r2d

dr

(r2

ρ

dP

dr

)+ 4πGρ = 0

1.2.2.1. Condiciones de frontera

Un fluido autogravitante en estado estacionario es capaz de alcanzar un estado enel que hay una frontera definida. Para este caso las condiciones de frontera son lassiguientes:

a. El potencial gravitacional es continuo a traves de la interfase que separa lamateria del vacıo:

G1|S = G2|S .Esta condicion la satisface automaticamente la solucion (1.13).

b. La presion se anula en la superficie del fluido:

P |S= 0 .

Problemas:

1. Considere un objeto astrofısico esferico autogravitante, una galaxia porejemplo, con una densidad ρ(r) = ρ0(1 − r2/a2), 0 ≤ r ≥, donde aes el radio de la esfera.

Calcule dP/dr y P como funciones de r exigiendo P = P0 en r = a y queno aparezcan infinitos. ¿Cual es la masa total?

2. Evalue la distribucion de la presion P (r) en el interior de un fluido auto-gravitante esferico de densidad constante ρ, radio R y masa M .

3. Evalue P (r) para una esfera de gas autogravitante de radio R y masa M ,una estrella por ejemplo, si su ecuacion de estado es P (r) = αρ(r).

1. Hidrostatica /17

Para grandes masas de fluido la densidad es siempre una variable de posicion.Esto es especialmente cierto para los gases que rodean una masa planetaria o parala materia que conforma las estrellas y las galaxias. Si el fluido esta en equilibriomecanico y termico es cierto que:

dφ = −S dT + V dP ,

donde φ es el potencial termodinamico por unidad de masa, S es la entropıa porunidad de masa y V es el volumen especıfico, es decir el volumen por unidad demasa (V = dV/dm = 1/ρ). En el equilibrio termico se cumple dT = 0, por lo quedφ = V dP = dP/ρ. La ecuacion ∇P/ρ+∇G = 0 toma la forma: ∇φ+∇G = 0 yen consecuencia, la condicion de equilibrio termodinamico se escribe:

φ+ G = constante

1.3. Gases ideales

En los gases hay una gran separacion entre sus atomos o moleculas, comparadacon sus tamanos. Los componentes tienen una energıa cinetica que depende de sutemperatura. De hecho, segun la teorıa cinetica de los gases, la temperatura es unamedida de la energıa cinetica promedio de las partıculas que componen el gas.

La presion sobre las paredes del recipiente que contiene el gas se debe al choquede sus partıculas componentes. En un gas ideal los componentes se consideranpartıculas puntuales y no hay perdida de energıa debido a los choques entre sı ocon las paredes. En un gas real es necesario tomar en cuenta el tamano de suscomponentes. Para los gases ideales es cierto que:

PV = nRT ,

donde R es la constante de los gases, cuyo valor es de 0,082 atm·litro/K; las can-tidades P, V, T y n son: la presion en atmosferas (atm), el volumen en litros, latemperatura en Kelvin (K) y el numero de moles. Una mol de un gas a condicionesnormales (20C y 1 atm) ocupa 22,4 litros y contiene 6,02×1023 moleculas, conocidocomo el numero de Avogadro, N0.

En lo que sigue se tendra en cuenta que N es el numero de atomos o moleculasdel gas, µ es el peso molecular (masa de una molecula en gramos), m = Nµ es lamasa total del gas, en gramos y ρ su densidad. El numero de moles n es, entonces,N/N0. Ası pues:

PV = nRT =N

N0RT = N

(R

N0

)T ;

la anterior ecuacion equivale a:

PV = NkT , (1.23)

18/ Hidrodinamica

donde k = R/N0 es la constante de Boltzmann. Tambien:

P =NkT

V=Nµ

V

kT

µ=m

V

kT

µ,

que puede escribirse:

P = ρkT

µ. (1.24)

Ejercicios

1. Sea un gas ideal isotermico (de temperatura constante) en un campo de gra-vitacion uniforme, regido por (1.24). De (1.11) con g = −k g:

dP

dz= −ρg = −µP

kT;

por integracion se obtiene: P = P0e−µgz/kT , donde P = P0 en z = 0. Ademas:

ρ = ρ0e−µgz/kT , con ρ0 = P0µ/kT .

2. El modulo de compresibilidad de un fluido, tambien llamado modulo volumetri-co de elasticidad, se define como el siguiente cociente, evaluado a temperaturaconstante:

B(P ) =presion

deformacion unitaria

∣∣∣T= − ∆P

∆V/V

∣∣∣T

=∆P

∆ρρ∣∣∣T

Se ha utilizado m = ρV , de la que, por diferenciacion: 0 = ρ∆V + V∆ρ. Enconsecuencia, en el lımite diferencial:

dV

V= −dρ

ρ= − dP

B(P ), de donde:

ρ = ρ0e∫

P

P0dP/B(P )

.

• Para un gas ideal isotermico (∆T = 0), de PV = nRT :

P∆V + V∆P = 0 , de donde:

B =∆P

∆V/V= P y

1. Hidrostatica /19

ρ = ρ0e∫

P

P0dP/B(P )

= ρ0P

P0.

• Si B = cte = B0 :

ρ = ρ0e∫

P

P0dP/B(P )

= ρ0e(P−P0)/B0 , de donde:

P = P0 +B ln

(ρ

ρ0

).

3. En la atmosfera terrestre, dentro de los lımites de la troposfera, es aproxima-damente cierto que la temperatura del aire es T = T0−az, donde la constantea tiene un valor de 0,00356616 F/pie y T0 =288.16K.

La conexion entre grados centıgrados y Farenheit es TF = 9TC/5 + 32.

Considerando la atmosfera como un gas ideal:

P =ρkT

µ=ρk

µ(T0 − az) ,

y de dP/dz = −ρg se sigue:

dP

dz= − gPµ

k(T0 − az), de donde: P = P0

(T0 − az

T0

)µg/ka

.

4. Un tanque con lıquido cae libremente. ¿Cual es la diferencia de presion entredos puntos cualquiera A y B en su interior?

Las fuerzas externas son la gravedad y la fuerza ficticia, cuya suma es:

fe = ρ(g − a) ;

a es la aceleracion del sistema de referencia, y como este cae libremente,entonces a = g, de modo que fe = 0, por lo cual ∇P = 0 y, en consecuencia,PA = PB .

Se sigue, entonces, que un cuerpo sumergido en un lıquido en caıda libre noexperimenta empuje.

1.4. Hidrostatica en sistemas no inerciales

Los dos sistemas no inerciales mas simples son el linealmente acelerado y elrotante. En las dos siguientes subsecciones se exploran las ecuaciones hidrodinamicasen estos sistemas de referencia.

20/ Hidrodinamica

1.4.1. Fluido acelerado linealmente

Cerca a la superficie terrestre, un recipiente con lıquido es sometido a una ace-leracion horizontal constante a en direccion y, a = aj (figura 1.10). Entonces, ladensidad de fuerza externa es:

fe = ρg + fficticia = ρg − ρa

= ρ∇(−G − ay) = −ρ∇Gef = −ρ∇(gz + ay) ,

donde Gef = G + ay es el potencial efectivo, de modo que ∇P + ρ∇Gef = 0 es laecuacion que reemplaza a (1.11).

S inercial

a

z

y

z

y

a

h

Figura 1.10: Un recipiente con lıquido sometido aaceleracion lineal a constante

En particular, si la densidad es constante:

P + ρ(gz + ay) = C .

Si en el punto (y, z) = (0, h) la presion es P0, entonces:

P = P0 + ρg(h− z)− ρay .

La superficie libre P = P0 corresponde al plano inclinado:

z = h− a

gy .

Si, en vez de aceleracion en y, el sistema acelerado tiene las otras componentes:a = iax + jay + kaz, entonces Gef = a · r+ gz.

Ahora bien, sin el uso de potenciales puede escribirse:

fe = fg + fficticia ,

1. Hidrostatica /21

que en componentes toma la forma:

−ρ(k g − j a) = i∂P

∂x+ j

∂P

∂y+ k

∂P

∂z

∴∂P

∂x= 0 ,

∂P

∂y= −ρa , ∂P

∂z= −ρg .

De la lınea anterior, y utilizando la definicion del diferencial total se obtiene:

dP =∂P

∂xdx+

∂P

∂ydy +

∂P

∂zdz

= −ρa dy − ρg dz ; por tanto:

P = C − ρay − ρgz .

Problemas:

1. La figura 1.11a muestra un recipiente con lıquido de densidad constanteque rueda por un plano inclinado de pendiente β. Evalue el angulo queforma la superficie libre del lıquido con la horizontal.

2. En el problema anterior elimine las ruedas del recipiente y suponga uncoeficiente de friccion µ que permita el deslizamiento.

3. Demuestre que un globo con helio, suspendido con una cuerda dentro dellıquido, se orienta hacia adelante, con la cuerda perpendicular a la super-ficie libre del lıquido (figura 1.11b).

a

90°

b

(a) (b)

©

a

a b

Figura 1.11: Lıquidos en campos de fuerzas ficticias. a. Recipiente conlıquido que rueda en un plano inclinado; b. Un globo con helio,suspendido dentro de un lıquido acelerado

1.4.2. Fluido en reposo en un sistema rotante

Con el fin de estudiar la estatica de un fluido que gira uniformemente, considerese laecuacion basica de la hidrostatica desde un sistema rotante. En (1.4) deben incluirse,

22/ Hidrodinamica

ademas de la gravedad, si es el caso, las fuerzas ficticias. En este caso, la densidadvolumetrica de fuerza centrıfuga es:

f =dF

dV=dm

dVω2r er = ρω2r er ,

por lo cual la fuerza efectiva es:

fe = ρg + ρω2r er = ρ∇

[−G +

ω2r2

2

]= ∇P , (1.25)

en consecuencia:∇P

ρ+∇

(G − ω2r2

2

)= 0 . (1.26)

La cantidad G−ω2r2/2 se conoce como potencial efectivo Gef . De modo equivalente:−ρ∇Gef = ∇P.

Dos casos de interes son:

A. Fluido de densidad constante. En este caso, de (1.26), ∇[P/ρ+ G − ω2r2/2],de donde, P + ρgz − ω2r2/2 = C.

Con P = P0 en z = Z0 y r = 0, se sigue: P0 + ρgz0 = C, de donde:

P = P0 + ρg(z − z0) +ω2ρ

2r2 .

ω

z0 (r, z)•

Figura 1.12: Lıquido en reposo en un recipiente cilındrico rotante

Las isobaras son, en consecuencia, paraboloides de revolucion (figura 1.12).En particular, la superficie libre del lıquido, aquella donde P es la presionatmosferica P0, es la paraboloide:

ω2r2 = 2g(z − z0)

Notese que la forma de la superficie no depende de ρ, siempre que esta seaconstante.

1. Hidrostatica /23

B. Si se trata de un gas ideal en un recipiente cerrado, de (1.26):

∇P

ρ+∇

(G − ω2r2

2

)=

∇P

PµkT +∇

(G − ω2r2

2

)= 0

donde T se asume constante. Entonces:

∇

[kT

µlnP + gz − ω2r2

2

]= 0 , con G = gz ; entonces:

kT

µlnP + gz − ω2r2

2= C .

Si P = P0 en r = z = 0 se sigue:

kT

µln

(P

P0

)+ gz − ω2r2

2= 0 , o tambien:

P = P0eµ(ω2r2/2−gz)/kT

Las isobaras, z = ω2r2/2g, corresponden a paraboloides de revolucion.

Problemas:

1. Considere un fluido politropico P = αρn, en reposo en un sistema rotante,y en presencia de un campo de gravitacion uniforme g = −kg. Evalue ρ(r)si ρ = ρ0 en r = z = 0.

2. Suponga un cono de abertura α con vertice en el centro de la Tierra y consu eje coincidente con el eje polar como en la figura 1.13. Si se introduceagua en el cono hasta una distancia radial R0 y se supone constante sudensidad. La Tierra gira, alrededor del eje polar, con velocidad angular ω.¿Cual es la dependencia de la presion con la distancia desde el centro de latierra? ¿Cual es la forma de las isobaras?

3. En el polo norte se construye un gran recipiente cilındrico que contiene unlıquido de densidad ρ ¿Que forma tienen las superficies de presion constan-te? Si P = P0 en z = h y r =

√

x2 + y2 = 0 ¿cual es la forma de lasuperficie libre del lıquido?

1.4.3. Fluido autogravitante en rotacion

En un sistema rotante la ecuacion de equilibrio (1.11) ha de ser reemplazada porotra donde, en vez de G, aparezca el potencial efectivo Gef = G − ω2r2/2, quecontiene el potencial gravitacional y el centrıfugo:

∇P

ρ+∇

(G − ω2r2

2

)= 0 ,

24/ Hidrodinamica

aα

Figura 1.13: Un cono perforado en laTierra con el vertice en su centro. La Tierragira sobre su eje con velocidad angular ω

correspondiente a la ecuacion (1.26).Consideremos el caso en que G es debido al propio fluido, es decir, el fluido

autogravita. En tal situacion, tomando la divergencia de (1.26):

∇ ·(∇P

ρ

)+∇2G − 2ω2 = 0 ,

y como, segun (1.18): ∇2G = 4πGρ, se sigue:

∇ ·(∇P

ρ

)+ 4πGρ− 2ω2 = 0 . (1.27)

Esta ecuacion establece la conexion entre la presion y la densidad de un fluidoautogravitante, que se encuentra en reposo en un sistema de referencia que rota convelocidad angular ω constante. A la ecuacion (1.27) hay que acompanarla con unaecuacion de estado, para tener un sistema de ecuaciones diferenciales simultaneas.

La ecuacion de estado mas simple es ρ = constante y sera estudiado a continua-cion. Un caso mas complejo es el de un barotropo, palabra con la que se denominaun fluido cuya presion depende solo de su densidad, esto es P = P (ρ). Si la relacionespecıfica es P = αρn se trata de un politropo.

1.4.3.1. La forma de la Tierra

Considerese un fluido autogravitante en rotacion uniforme y de densidad constante.De (1.27) con ρ = ρ0 :

∇2P + 4πGρ20 − 2ω2ρ0 = 0 . (1.28)

En coordenadas cartesianas esta ecuacion diferencial, homogenea, para P , tienecomo solucion:

P = Ax+By + Cz + Ex2 + Fy2 +Gz2 +H + Jxy + Lxz +Nyz .

1. Hidrostatica /25

Esta ecuacion describe una superficie cuadrica. Incluye elipsoides, esferoides, es-feras, paraboloides e hiperboloides de una y dos hojas, trasladados y rotados. Lostres primeros terminos de la solucion corresponden a traslacion y pueden omitirse;los tres ultimos corresponden a rotacion y son ignorables si se escoge un sistemacoordenado de ejes principales. Ası pues, la ecuacion puede reducirse a:

P = Ex2 + Fy2 +Gz2 +H .

Como la forma de la figura ha de ser cerrada y hay simetrıa cilındrica, la unicaopcion es un elipsoide de revolucion, esto es, un esferoide de la forma

P = E(x2 + y2) +Gz2 +H ,

si z es el eje de rotacion. Si se impone la condicion de que la presion sea cero en lasuperficie de un esferoide de revolucion de semiejes a y b se tendra:

P = P0

(1− x2 + y2

a2− z2

b2

). (1.29)

La presion en el centro geometrico del esferoide es P0 y puede calcularse de (1.28),reemplazando (1.29). Se obtiene:

−P0

(4

a2+

2

b2

)+ 4πGρ20 − 2ω2ρ0 = 0 , de donde:

P0 =2πGρ20 − ω2ρ02/a2 + 1/b2

.

Ahora bien, de (1.26) para ρ = ρ0 se sigue:

∇

(P

ρ0+ G − ω2r2

2

)= 0 , es decir:

P

ρ0+ G − ω2r2

2= C , o:

P

ρ0+ Gef = C , de donde:

Gef = G − ω2r2

2= C − P

ρ0

= C − P0

ρ0

(1− x2 + y2

a2− z2

b2

).

Si en la superficie del elipsoide, (x2+y2)/a2+z2/b2 = 1, se recalibra el potencialefectivo para que tome el valor cero (Gef = 0), entonces C = 0, de donde:

Gef =P0

ρ0

(1− x2 + y2

a2− z2

b2

)= − P

ρ0, (1.30)

26/ Hidrodinamica

z

Figura 1.14: Algunas lıneas del campogravitacional efectivo (lıneas gruesas hiperbolicas) yequipotenciales efectivas (lıneas delgadas elıpticas)en el, interior de un fluido que gira alrededor deleje vertical z

de lo cual puede concluirse que las isobaras y las equipotenciales efectivas son equi-valentes (figura 1.14).

El potencial gravitacional en el interior del fluido es, entonces:

G = Gef +ω2r2

2

= −P0

ρ0

(1− x2 + y2

a2− z2

b2

)+ω2

2(x2 + y2)

= −P0

ρ0+ (x2 + y2)

(P0

ρ0a2+ω2

2

)+ z2

P0

ρ0b2,

tal que las equipotenciales gravitacionales son tambien esferoidales, aunque su formano coincide con la de los de los esferoides de Gef constante; en efecto, considerandosolo la equipotencial G = 0, se obtiene el elipsoide:

(x2 + y2)

(1

a2+ω2ρ02P0

)+z2

b2= 1 ,

cuya excentricidad es :

εG =

√1− b2

a2(1 + b2ω2ρ02P0) ,

mientras la excentricidad de la elipsoide (1.29) es:

εP =

√1− b2

a2.

1. Hidrostatica /27

Problema: Demuestre, pasando a coordenadas esfericas (x = r sen θ cosϕ, y =r sen θ senϕ, z = r cos θ), que el campo gravitacional efectivo gef = −∇Gef

tiene, en el interior del fluido, la forma (vease la figura 1.14):

gef =2P0

ρ0r

[

−er

(

sen2 θ

a2+

cos2 θ

b2

)

+ eθ

(

−1

a2+

1

b2

)

sen θ cos θ

]

.

De la anterior ecuacion puede observarse que:

gef |θ=0 = gpolar = −er2P0

ρb,

gef |θ=π/2 = gecuatorial = −er2P0

ρa.

El anterior es un modelo simple de una estrella rotante (sin conveccion) o de laTierra asumida como un fluido homogeneo. La ecuacion (1.29) dice que la Tierraes aproximadamente un esferoide (un elipsoide de revolucion). De acuerdo con elresultado del problema anterior:

gpolar − gecuatorialgpolar

=(1/b− 1/a)

1/b= 1− b/a = 1− 6,356,911

6,378,388= 0,003367 .

Este valor, obtenido reemplazando los valores de los radios polar y ecuatorial dela tierra pueden compararse con el obtenido reemplazando los valores medidos dela gravedad efectiva en el polo y el ecuador:

gpolar − gecuatorialgpolar

=9,8320− 9,7805

9,832= 0,00524 .

La discrepancia entre los dos valores deberıa ser atribuible a las deficiencias delmodelo. De hecho, para comenzar, la Tierra no es un cuerpo homogeneo.

1.4.3.2. Los canales hidrostaticos de Newton

Hay un argumento simple, debido a Newton, que permite demostrar que laTierra rotante tiene la forma de un esferoide de revolucion. Newton imagina doscanales perforados en la Tierra que confluyen en su centro; el primero de ellos desdeel polo y el segundo desde el ecuador (figura refcanales). Si estos canales se llenande agua la presion en el centro, debido a ambos, debera ser la misma para que sealcance el equilibrio hidrostatico. Puesto que el agua que llena el canal horizontalesta sometida a la gravitacion y a la accion centrıfuga, ha de ser mas largo que elcanal vertical, cuyo lıquido esta sometido solo a la gravitacion. En consecuencia laTierra toma una forma achatada en los polos y alargada en el ecuador.

Para simplificar el argumento, y teniendo en cuenta que la distorsion en la formaesferica de la Tierra es pequena debido a su baja rotacion, el campo de gravitacionterrestre en cualquier punto en su interior puede asimilarse al de una esfera a la queademas suponemos de densidad constante.

28/ Hidrodinamica

a

b

dF2

dF1

ω

Figura 1.15: La presion de las dos columnas delıquido es la misma en el centro de la Tierra. En lasuperficie es cero

a. La fuerza gravitacional sobre un elemento diferencial de masa dm en el canalvertical es:

dF1 = dmg = ρ gdV ,

de modo que el peso total de la columna de altura b es:

F1 =

∫ρg dV =

∫ b

0

ρGMr

R3Adr ,

donde A es la seccion transversal (constante) de la columna. Entonces,

F1

A= P1 = ρ

GM

R3

b2

2.

b. Un elemento de masa en el canal horizontal esta sometido a la gravitacion ya la fuerza centrıfuga, tal que la fuerza hacia el centro es:

dF2 = dmg − ω2r dm = dm(g − ω2r

),

en consecuencia, con dm = ρdV , e integrando en el volumen:

F2

A= P2 = ρ

(GMR3

− ω2)a22.

Como P1 = P2, se concluye que:

b2 = a2(1− ω2R3

GM

)= a2

(1− ε2

). (1.31)

En la ultima expresion ε2 = ω2R3/GM es la excentricidad, si se asume que lafigura de la Tierra es un esferoide. Usando los datosM = 5,98×1024 Kg, G = 6,67×

1. Hidrostatica /29

10−11 (MKS), ω = 7,27×10−5 rad/s y R (radio promedio)= 6.367×103 m, se obtieneε = 0,058. Sin embargo, utilizando las medidas de los semiejes mayor y menor dela Tierra, a = 6,378,388 m y b = 6,356,911 m y la definicion de excentricidadb2 = a2

(1 − ε2

)se obtiene ε2 = (1 − (b/a)2)2 = 0,082. Este ultimo valor es el

70% del calculado siguiendo el metodo de los canales de Newton. La discrepanciaes atribuible a la no homogeneidad del material terrestre.

En su calculo original Newton no utilizo la excentricidad sino la elipticidaddefinida como e = (a− b)/R.

Un razonamiento analogo aplicado a la figura 1.16, en el caso en el que el canalhorizontal no coincide con el eje x, da lugar a:

F2 =

∫ x

0

ρAdr′(GMr cos θ

R3− ω2r′

)= ρA

(GMR3

− ω2)x22,

F1 =

∫ b

y

ρAdr′GMr

R3= (b2 − y2)

ρGM

2R3.

x

yr

r′

ω

θ

Figura 1.16: La presion generada por el lıquido enel punto de encuentro de los canales es la misma,lo que permite demostrar que la figura de la Tierraen rotacion es una elipsoide de revolucion

Igualando las presiones en el punto de interseccion de los canales se obtiene:

b2 − y2 = x2(1− ω2R3

GM

),

y reemplazando (1.31) se sigue:

x2

a2+y2

b2= 1 ,

lo que permite concluir que un fluido homogeneo y autogravitante, en rotacion,adquiere la forma de un esferoide.

2

Hacia la dinamica

Despues de demostrar el teorema de Cauchy-Stokes, que involucra la traslacion,rotacion y deformacion de un elemento de fluido, se define el coeficiente de dila-tacion, se introduce la nocion de compresibilidad o incompresibilidad de un fluidoy se estudian las condiciones bajo las cuales un fluido es o no compresible, y eso no deformable. En el caso hidrostatico, un fluido incompresible tiene densidadconstante en todos los puntos, en tanto que en el caso hidrodinamico un fluidopuede ser incompresible y sin embargo tener una densidad variable con la posicion.

Se presenta luego la ley de conservacion de la masa y se define el caudal. Despuesde la consideracion del caso estacionario se anuncia que en los modelos estacionariosde galaxias es frecuente encontrar densidades variables con la posicion en un fluidoincompresible.

Se introduce a continuacion la cinematica de los fluidos, las derivadas lagrangianay euleriana, la conexion entre ellas y su significado en la teorıa de fluidos. A partirde este punto, se extienden las consideraciones sobre fluidos incompresibles condensidades variables con la posicion al caso no estacionario.

El capıtulo finaliza con el estudio de la conexion entre las derivadas lagrangianay euleriana de integrales de funciones, lo que conduce al teorema de transporte deReynolds.

2.1. Teorema de Cauchy-Stokes

El movimiento mas general de un elemento suficientemente pequeno de un cuer-po deformable puede representarse como la combinacion de traslacion, rotacion ydeformacion en tres ejes perpendiculares.

Los puntos A y B, en la figura 2.1a, estan separados dr. El punto A se mueve unapequena distancia η, mientras B se mueve η + dη (figura 2.1b). Se asume dη dr

30

2. Hacia la dinamica /31

A

B

dr

A

B

dr

B′

A′

ηdr′

η + dη

a b

Figura 2.1: Construccion de la nocion de deformacion. a. Lospuntos A y B en el interior de un cuerpo deformable estanseparados infinitesimalmente; b. Si el cuerpo se deforma lospuntos se desplazan hacia A′ y B′

tal que ∂ηi/∂xj 1.El trayecto entre A y B′ puede escribirse en las formas ABB′ o AA′B′, es decir:

dr+ η + dη = η + dr′ ,

de donde la separacion entre A′ y B′ es:

dr′ = dr+ dη .

Ahora bien, el elemento dη puede expandirse como:

dη =3∑

j=1

∂η

∂xjdxj = dr ·∇η

= dr ·[1

2

(∇η + (∇η)T

)+

1

2

(∇η − (∇η)T

)]= dr · [E+ F] . (2.1)

En la expresion anterior, ∇η es una dıada (vease apendice B) expresable, enforma cartesiana, como:

∇η =∑

ij

(ei

∂

∂xi

)(ejηj) =

∑

ij

eiej∂ηj∂xi

(∇η)T =∑

ij

eiej∂ηi∂xj

. (2.2)

El superındice T significa traspuesto. En (2.1) se han definido las dıadas:

E =1

2

(∇η + (∇η)T

)

=1

2

∑

ij

eiej

(∂ηj∂xi

+∂ηi∂xj

)=

1

2

∑

ij

eiej (∂iηj + ∂jηi) = ET , y

32/ Hidrodinamica

F =1

2

(∇η − (∇η)T

)

=1

2

∑

ij

eiej

(∂ηj∂xi

− ∂ηi∂xj

)=

1

2

∑

ij

eiej(∂iηj − ∂jηi) = −FT .

con ∂i = ∂/∂xi La dıada E es simetrica, mientras F es antisimetrica. Puede de-mostrarse que:

∂iηj − ∂jηi =∑

k

εijk

(∇× η)k . (2.3)

Problema: Demuestre la ecuacion (2.3), partiendo de la siguiente definicion dela componente k del rotacional de η:

(∇× η)k =∑

kij

εkij∂iηj .

Tenga en cuenta la siguiente propiedad del sımbolo de Levi-Civita:∑

k

εijkεlmk

= δilδjm − δimδjl .

Es posible, entonces, escribir:

F =1

2

∑

ijk

eiej εijk(∇× η)k ,

de donde se sigue:

dr · F =1

2

∑

ijk

dr · eiej εijk(∇× η)k =1

2

∑

ijkl

(el dxl) · eiej εijk(∇× η)k ;

con el · ei = δli se obtiene:

dr · F =1

2

∑

ijk

dxi ej εijk(∇× η)k =1

2(∇× η)× dr ,

por tanto, de (2.1):

dη = dr · E+ dr · F = dr · E+1

2(∇× η)× dr , o tambien:

η′ = η + dr · E+1

2(∇× η)× dr . (2.4)

Si los puntos A y B estan en movimiento, es decir si η = v dt, se sigue:

v′ = v +1

2dr ·

[∇v + (∇v)T

]+ ω × dr = v + dr · D+ ω × dr ,


donde se ha definido la velocidad angular en la forma:

ω =1

2∇× v ,

y la dıada de deformacion como:

D =1

2

[∇v + (∇v)T

]. (2.5)

En componentes cartesianas:

Dij =1

2(∂ivj + ∂jvi) . (2.6)

En (2.4) η representa una traslacion, (∇×η)× dr/2 = (ω dt)× dr una rotacionpor un angulo diferencial dϕ = ω dt, y dr · E = dr · D dt corresponde a una defor-macion (figura 2.2).

= + +

Figura 2.2: El cambio mas general de un cuerpo deformable puededescomponerse en traslacion, rotacion y deformacion

La cantidad Dij mide el movimiento relativo entre las partes o capas del fluido.Se anula cuando el fluido esta en reposo (v = 0) o en rotacion con velocidadangular constante (v = ω× r). La dıada de componentes Dij sera de utilidad en laformulacion del tensor viscoso en el capıtulo 6.

Para comprender en una forma simple que E esta asociada a una deformacionbasta tener en cuenta que por rotacion de los ejes coordenados puede diagonalizarsela dıada simetrica E, de modo analogo a como puede diagonalizarse una matrizsimetrica. Se obtiene:

ε1 0 00 ε2 00 0 ε3

.

Entonces, de dr′ = dr + dη, y considerando solo el termino en E (=∑

ij eiejεij),puede escribirse: dr′ = dr+ dr ·E, que en componentes cartesianas, con εji = εj δji,es:

dx′i = dxi +∑

j

dxj εji = dxi +∑

j

dxj εj δji = dxi(1 + εi) = dxi(1 + ∂iηi) . (2.7)

34/ Hidrodinamica

Esta ecuacion muestra que cada elemento diferencial dxi se deforma, dilatandoseo comprimiendose, en una cantidad determinada por el valor y el signo de εj .

2.1.1. Dilatacion y compresibilidad

Considerese un elemento diferencial de volumen en movimiento. Se define la dilata-cion Θ como el cambio en el volumen por unidad de volumen:

Θ =∆V ′ −∆V

∆V, (2.8)

donde, teniendo en cuenta (2.7):

∆V ′ = ∆x′∆y′∆z′ = ∆x∆y∆z(1 + ε1)(1 + ε2)(1 + ε3)

' ∆x∆y∆z(1 + ε1 + ε2 + ε3) = ∆V (1 +∑

i

εi) .

Se han desechado potencias de ε de orden mayor que el primero. Reemplazando∆V ′ en (2.8), se sigue:

Θ =3∑

i=1

εi =3∑

i=1

∂ηi∂xi

= ∇ · η =d(∆V )

dV. (2.9)

Es cierto entonces que:∇ · η dV = d(∆V ) .

Si η = v dt se concluye que:

∇ · v dV =d

dt(∆V ) . (2.10)

Es tambien cierto que:

∑

i

d

dt∆Vi =

d

dt

∑

i

∆Vi =dV

dt,

de donde se sigue:dV

dt=

∫

V

∇ · v dV =

∮

S

v · dS .

Incompresibilidad significa, por definicion, que Θ = 0 (o d(∆V )/dt = 0) o tam-bien:

∇ · v = 0 . (2.11)


Un cuerpo puede ser deformable e incompresible, basta con que ε1 + ε2 + ε3 = 0con al menos dos coeficientes ε diferentes de cero. Es indeformable si ε1 = ε2 = ε3 =0. Si es indeformable, es incompresible. ¿Puede ser compresible e indeformable?¿Compresible y deformable?

Estudie la validez de la siguiente frase: si un fluido es incompresible, entonces,∇ · v = 0, y si ∇ · v = 0 entonces es incompresible.

Problema: ¿Son las tres siguientes columnas, expresiones para la velocidad vali-das en un fluido incompresible?

vx = 2y + 3t vx = 2 cosx− sen y vx = x+ y + zvy = 2x− t vy = y senx− xt vy = ey

vz = x2 + y2 vz = 3t2 + z senx vz = z − ez

2.2. Conservacion de la masa

El modulo del vector densidad de corriente de masa J se define como:

J =corriente de masa

area transversa=dm

dt

1

dS=

di

dS,

y en forma general puede escribirse la corriente de masa que fluye desde el interiorde la superficie cerrada S de la figura 2.3a como:

i =

∮

S

J · dS .

J

dS

a b

J

dS

dl

Figura 2.3: Geometrıa para el estudio de la conservacion de la masa. a. J da lacorriente de masa que fluye desde el interior del volumen; el elemento desuperficie dS apunta hacia afuera; b. Un tubo de flujo de longitud dl y area dSen un campo de velocidad v

Si la masa se conserva, la que sale por unidad de tiempo del volumen V ha deser igual a la rata de disminucion de la masa en el interior, esto es:

∮

S

J · dS = −dmdt

= − d

dt

∫ρ dV ,

36/ Hidrodinamica

donde ρ = dm/dV es la densidad volumetrica del fluido. Entonces:

∮

S

J · dS = −∫

V

∂ρ

∂tdV ,

y segun el teorema de la divergencia:

∮

S

J · dS =

∫

V

∇ · J dV , de modo que:

∫

V

[∇ · J+

∂ρ

∂t

]dV = 0 .

Como esta integral es valida independientemente del tamano del volumen ha de sercierto que:

∇ · J+∂ρ

∂t= 0 . (2.12)

Esta ecuacion expresa la ley experimental de la conservacion de la masa, tambienllamada ecuacion de continuidad. Es cierto tambien que (figura 2.3b):

J =dm

dS dt= ρ

dV

dS dt= ρ

dl

dt= ρv ,

por lo que puede, en general, escribirse:

J = ρv .

La conservacion de la masa toma entonces la forma:

∇ · (ρv) + ∂ρ

∂t= 0 .

Ademas, la tasa con la que la masa de un fluido atraviesa una porcion de superficieplana es:

dm

dt=

∫

V

J · dS =

∫

V

ρv · dS = ρvS ,

con S y v paralelos. El caudal se define en la forma:

Q =1

ρ

dm

dt.

En el caso de un fluido de densidad de masa constante, el caudal se escribe:

Q =1

ρ

d

dt(ρV ) =

dV

dt.


La conservacion de la masa se refiere a la de la masa total que interviene encualquier proceso. Cuando ocurren reacciones quımicas, la masa de cada compuestono se conserva. De hecho, aparecen nuevas especies quımicas. Una expresion de noconservacion de la masa del compuesto i tiene la forma:

∇ · Ji +∂ρi∂t

= qi ,

donde qi representa la rapidez por unidad de volumen (dmi/dV dt) con que segenera masa del compuesto i. El descubrimiento esencial de Lavoisier fue el de laconservacion de la masa total en los procesos quımicos, a pesar de la no conservacionde la masa de cada componente.

Problema: ¿Cambia la forma matematica de la ley de conservacion de la masaen un sistema rotante?

2.2.1. El caso estacionario

Si la derivada parcial temporal de ρ es nula, es decir si se trata de un flujo esta-cionario, la ecuacion de continuidad se escribe: ∇ · J = 0, tal que

∮J · dS = 0. Si

se escoge en la figura 2.3b una superficie cerrada con la forma de un tubo, cuyasparedes laterales coinciden con las lıneas del vector J, se tendra J · dS = 0 paralas paredes laterales, puesto que J y dS son perpendiculares, de modo que solocontribuyen las tapas izquierda y derecha (S1 y S2) del tubo de flujo. Ası:

∮

S

J · dS = 0 =

∫

S1

J · dS1 +

∫

S2

J · dS2 ,

como J y dS1 son antiparalelos, mientras J y dS2 son paralelos se sigue que:∫

S1

J dS1 =

∫

S2

J dS2 ,

lo que indica que el flujo que entra es igual al flujo que sale.

2.3. Cinematica de fluidos

Las definiciones cinematicas basicas y la diferencia entre derivadas lagrangianay euleriana son desarrolladaas en las siguientes secciones.

2.3.1. Campo de velocidad

En la dinamica de partıculas y cuerpos rıgidos, es posible describir separadamenteel movimiento de cada partıcula mediante el uso de subındices. Ası, por ejemplo, lavelocidad de la n-sima partıcula se especifica mediante la ecuacion vn = vn(t).

38/ Hidrodinamica

Sin embargo, en el caso de un cuerpo deformable como un fluido, al que se con-sidera un medio continuo, es necesario introducir un conjunto infinito de variablesde posicion que identifiquen a cada punto del fluido. La velocidad ha de escribirseen este caso: v = v(r, t).

v

Figura 2.4: Las lıneas de flujo del campo develocidad son tangentes a la velocidadinstantanea del fluido

Las coordenadas espaciales toman el lugar del ındice n, lo que implica que lacinematica del fluido se describe utilizando un campo de velocidad v = v(r, t).Ha de introducirse tambien un campo de aceleracion a = a(r, t). En general, lascantidades que describen el fluido, densidad y presion entre ellas, seran tambiencampos dependientes de la posicion y del tiempo. En los casos en que las propiedadesdel fluido sean independientes del tiempo, en cada punto del espacio, se dira que elflujo es estacionario. En particular, entonces, v = v(r), a = a(r).

Es usual representar el flujo con la ayuda de lıneas de flujo, que son siempretangentes al vector velocidad del fluido (figura 2.4). Si el flujo es estacionario, laorientacion de las lıneas de flujo se mantiene fija en cada punto, y las partıculasdel fluido se mueven a lo largo de trayectorias coincidentes con las lıneas de flujo.Si el flujo no es estacionario, el patron de lıneas de flujo da una representacioninstantanea del flujo.

2.3.2. Derivadas lagrangiana y euleriana

Cuando se estudian fluidos hay dos formas diferentes, aunque relacionadas, de des-cribir su movimiento.

Una de ellas consiste en estudiar el movimiento de un elemento especıfico ∆mde fluido. En este caso se utiliza la segunda ley de Newton que contiene la derivadatemporal d/dt que describe el movimiento del elemento de masa ∆m. Tal derivada seconoce como derivada siguiendo el movimiento o derivada material, pues se refiereal movimiento de una porcion del fluido. Para enfatizar que la derivada temporal serealiza siguiendo la partıcula, a menudo se utiliza la notacion D/Dt en vez de d/dt.A esta derivada tambien se le conoce como derivada lagrangiana. La velocidad deun elemento de fluido se escribe v = Dr/Dt y la aceleracion a = Dv/Dt.


La otra version, debida a Euler, propone considerar el fluido como un campo;sugiere establecerse en un punto fijo r, desde el cual el fluido tiene una velocidad v,una aceleracion a, y evaluar allı las diversas cantidades hidrodinamicas, entre ellas laderivada temporal de las funciones asociadas al fluido. Esta ultima se conoce comoderivada parcial temporal. Recıprocamente sugiere tambien establecerse en un ciertoinstante del tiempo y estudiar en ese instante las variaciones de las cantidades fısicascon la posicion. Esto da lugar a las derivadas parciales espaciales. Respectivamente,se trata de evaluar ∂/∂t y ∂/∂xi. La primera de ellas se conoce como derivadaeuleriana.

De acuerdo con el calculo diferencial, una funcion f(r, t) tiene en coordenadascartesianas un diferencial de la forma:

df =∂f

∂tdt+

∂f

∂xdx+

∂f

∂ydy +

∂f

∂zdz =

∂f

∂tdt+ dr ·∇f ,

de modo que la derivada total temporal de cualquier funcion f(r, t) asociada alfluido puede expresarse como:

df

dt=∂f

∂t+ v ·∇f , (2.13)

donde v = dr/dt. En el sistema de referencia donde r es la posicion de un elementodiferencial de volumen del fluido, dr/dt es la velocidad de tal volumen, de modoque se trata de una derivada lagrangiana. La expresion es valida incluso en loscasos en que el campo escalar f(r, t) sea reemplazado por un campo vectorial odiadico, con tal de que se trate de una propiedad evaluada siguiendo el movimiento.Para reafirmar este caracter general, la relacion entre las derivadas lagrangiana yeuleriana puede escribirse en la forma:

D

Dt=

∂

∂t+ v ·∇ . (2.14)

En particular, si (2.14) se aplica al vector posicion r:

Dr

Dt=∂r

∂t+ v ·∇r .

La derivada temporal parcial de r representa la variacion de la posicion con el tiemposi la posicion permanece constante. Es obvio que su valor es cero. Ademas, segun elapendice C, es cierto que ∇r = I, donde I es la identidad diadica, por lo que:

v ·∇r = v · I = v ,

y en consecuencia, como se espera, la derivada total de la posicion de un punto enmovimiento, es su velocidad:

Dr

Dt= v . (2.15)

40/ Hidrodinamica

Como un segundo ejemplo, si se aplica (2.14) sobre v se obtiene:

Dv

Dt=∂v

∂t+ v ·∇v . (2.16)

En la ultima ecuacion es necesario senalar terminos que extienden las definicionesde la mecanica newtoniana de partıculas:

• Dv/Dt es la aceleracion de un punto material, como se define en mecanicanewtoniana de partıculas. Es una derivada sustancial, es decir, evaluada si-guiendo el movimiento de un elemento diferencial de masa; ası como la veloci-dad se definio como (2.15), siguiendo el movimiento.

• ∂v/∂t se conoce como aceleracion local; es la que mide un observador fijo enun punto del espacio y existe solo en condiciones no estacionarias.

• v · ∇v se llama aceleracion convectiva; corresponde a la que ocurre comoresultado de los gradientes de velocidad. En efecto, puesto que v(r, t) es uncampo es posible que tenga diferentes valores en diferentes puntos y en elmismo instante, independientemente de si la situacion es o no estacionaria.Tal caso ocurre, por ejemplo, cuando un fluido en regimen estacionario viajapor un conducto cuyo diametro disminuye. Es cierto que, si la densidad semantiene constante, la velocidad del fluido sera tanto mayor cuanto menorsea el diametro, por lo que ∂ivj 6= 0. Este es un termino no lineal en lavelocidad, lo que hace que la hidrodinmica sea una teorıa no lineal.

Problema: Por combinacion de (2.14) para ρ y la ecuacion de continuidad de-muestre que, para un elemento de fluido en movimiento con velocidad v:

Dρ

Dt+ ρ∇ · v = 0 . (2.17)

De la ultima ecuacion se sigue, para un fluido incompresible (∇ · v = 0, segun(2.11)) que Dρ/Dt = 0, o si se quiere:

∂ρ/∂t = −v ·∇ρ . (2.18)

El ultimo resultado muestra que, para un fluido incompresible en estado esta-cionario (∇ · v = 0, ∂ρ/∂t = 0), es posible que ρ varıe con la posicion, con talde que v ·∇ρ = 0. Este caso se presenta, por ejemplo, en los modelos de galaxiasconformadas por capas de fluido de distinta densidad que deslizan unas sobre otras,y donde la velocidad del fluido es perpendicular al gradiente de la densidad.

En un modelo altamente idealizado de atmosfera planetaria, podrıamos tenercapas de densidad decreciente con la altura. Si cada capa de fluido se mueve convelocidad v tangencial a las superficies de isodensidad, sera cierto que v ·∇ρ = 0,lo que indica un fluido incompresible.


Nota

De la conservacion de la masa de un elemento de fluido ∆m que se mueve convelocidad v se sigue:

D

Dt∆m = 0 =

D

Dt(ρ∆V ) =

Dρ

Dt∆V + ρ

D(∆V )

Dt=

[∂ρ

∂t+ v ·∇ρ

]∆V + ρ

D(∆V )

Dt,

y como segun la ecuacion de continuidad el corchete es igual a −ρ∇ · v, se sigue:

D∆V

Dt= ∇ · v∆V ,

coincidente con la ecuacion (2.10).

2.4. Modelos incompresibles de galaxias

Una galaxia es un conjunto numeroso de estrellas cuya evolucion esta dominadapor su propia gravitacion. Dado que las distancias entre las estrellas son pequenasrespecto al tamano del sistema, es posible aproximar la galaxia a un fluido al que,ademas, puede asociarse una presion (correspondiente al movimiento aleatorio de lasestrellas) y una rotacion del fluido galactico. La densidad del fluido puede modelarsecomo una estructura de capas de cebolla; en cada capa la densidad es constante, yel fluido se mueve paralelamente a las capas, como en la figura 2.5. En general, ladensidad cambia de una capa a otra y puede tambien cambiar con el tiempo. Eneste modelo de capas no cambian ni ρ ni ∆V en la misma capa, de modo que segun(2.17): ∇ · v = 0. Por tanto, un modelo de este tipo es incompresible. Es precisoobservar que incompresible no es sinonimo de homogeneo; mas bien, aquı cada capaes homogenea, y la densidad cambia de una a otra. Si la densidad es la misma entodas las capas, entonces el fluido es incompresible y homogeneo.

Se dice, en general, tratese o no de regimen estacionario, que un fluido es incom-presible si ∇ · v = 0, es decir si:

D

Dt(∆V ) =

D

Dt

(∆m

ρ

)= −∆m

ρ2=Dρ

Dt= 0 , de donde:

Dρ

Dt= 0 .

El ultimo termino asegura que la densidad no cambia a medida que el elementode masa se mueve en una placa. Tampoco el elemento ∆V.

Puesto que:Dρ

Dt=∂ρ

∂t+ v ·∇ρ = 0 ,

se sigue que, en un fluido incompresible:

∂ρ

∂t= −v ·∇ρ , (2.19)

42/ Hidrodinamica

v

Figura 2.5: Corte ecuatorial de las “capas de cebolla” en quepuede descomponerse el “fluido” de una galaxia de tipoelipsoidal. Las diferentes capas tienen diferente densidad,aunque en cada capa la densidad es constante. Los elementosdiferenciales de masa se mueven con velocidad v, sin salirse desu capa

de modo que si el regimen es estacionario, es decir si la densidad se mantieneconstante en cada punto a traves del tiempo, entonces el movimiento del fluidoes perpendicular al gradiente de la densidad:

v ·∇ρ = 0 .

2.5. Teorema de transporte de Reynolds

Una aplicacion importante de la ecuacion (2.14) es el teorema que establece laconexion entre las derivadas lagrangiana y euleriana de integrales de funcionesescalares, vectoriales o diadicas. En forma equivalente, este teorema establece laconexion entre las nociones de sistema y volumen de control.

Considerese un sistema de referencia S desde el cual se observa un fluido cuyocampo de velocidad es v(r, t). El sistema es un fluido de tamano finito, contenido,en el instante t, en un volumen de control, que por definicion esta fijo en S. En elinstante t el sistema es identico al fluido contenido en el volumen de control, aunque,en los instantes posteriores el volumen de control permanezca fijo y el sistema sedesplace en el espacio. Ası pues, en tales instantes posteriores se tendra un volumenque viaja con el sistema, por lo que sera de utilidad la ecuacion (2.14).

Sea F (t) alguna propiedad extensiva del fluido, que puede ser escalar, vectorialo diadica. Una propiedad extensiva es aquella que depende del tamano del sistema−como la masa−, en tanto que una propiedad intensiva es una caracterıstica de-pendiente de la posicion y del tiempo y que no depende del tamano del sistema. Lo


son por ejemplo la temperatura, la presion y la densidad. Se asumira que F (t) tieneuna densidad volumetrica f(r, t), de modo que F (t) =

∫Vf(r, t) dV .

El proposito aquı es evaluar la tasa de cambio de F (t), asociada al sistema yrelacionarla con las variaciones espacio-temporales de f(r, t) asociadas al volumende control.

Sea∫Vf(r, t) dV una integral sobre un volumen material, es decir un volumen

que se mueve con el fluido y que, en el instante t, coincide con el volumen de control.La derivada temporal de la integral es:

DF (t)

Dt=

d

dt

∫

V

f(r, t) dV =

∫

V

[df

dtdV + f

d

dt(dV )

]=

∫

V

[df

dtdV + f∇ · v dV

],

donde se ha usado la ecuacion (2.10). Teniendo en cuenta (2.14) para f(r, t) se sigue:

D

Dt

∫

V

f(r, t) dV =

∫

V

[∂f

∂t+ v ·∇f + f∇ · v

]dV =

∫

V

[∂f

∂t+∇ · (fv)

]dV .

Finalmente, el teorema de transporte de Reynolds toma la forma:

D

Dt

∫

V

f(r, t) dV =

∫

V

∂f

∂tdV +

∮

S

fv · dS .

La primera integral a la derecha puede tambien escribirse ∂∂t

∫Vf dV . La tasa de

cambio de∫f dV tomada sobre un volumen material es igual a la tasa de cambio de∫

Vf dV tomada sobre el volumen de control, fijo en el espacio, que instantaneamente

coincide con el volumen en movimiento, mas el flujo de fv a traves de la frontera.La superficie del volumen diferencial fijo en el espacio es imaginaria por lo que

el flujo puede pasar libremente a traves de ella.

3

Fluidos no viscosos

El capıtulo se inicia con la deduccion de la ecuacion de Euler, no lineal en la ve-locidad, que es la base de la hidrodinamica de los fluidos ideales (no viscosos). Estaecuacion se especializa a continuacion al caso isentropico, siempre asociado a unfluido barotropico. En el caso estacionario, la ecuacion de Euler isentropica per-mite deducir la ecuacion de Bernoulli. De esta, a su vez, se obtiene el teorema deTorricelli.

Con el proposito de permitir la solucion de algunos problemas propuestos en eltexto, las ecuaciones de Euler y de continuidad se expresan en coordenadas carte-sianas, cilındricas y esfericas.

La circulacion es una nocion de gran importancia en la estructura de la hidrodi-namica. Demostraremos que, si el flujo es no viscoso e isentropico, la circulacion esuna constante del movimiento; este resultado se conoce como teorema de Hankel-Kelvin.

En el caso estacionario, con circulacion nula, se dice que el flujo es irrotacional,y puede describirse con un potencial escalar de velocidad, analogo al potencialelectrostatico. La nocion de flujo rotacional e irrotacional permite volver sobre de-sarrollos anteriores, para deducir el teorema de Bernoulli-Euler. Resulta, entonces,que puede estudiarse el flujo rotacional o irrotacional de un fluido compresible oincompresible. En particular, el potencial de velocidad de un flujo irrotacional eincompresible satisface la ecuacion de Laplace.

En el caso de fluidos incompresibles puede definirse una funcion de flujo, de granutilidad en el caso bidimensional. Despues de resolver algunos problemas ilustra-tivos, se introducen las nociones de fuentes y sumideros hidrodinamicos y se deducela ecuacion de Euler en un sistema rotante.

Para finalizar se obtienen las leyes de conservacion del momento lineal, del mo-mento angular y de la energıa, para fluidos perfectos, vale decir, no viscosos.

44

3. Fluidos no viscosos /45

3.1. Ecuacion de Euler

De acuerdo con la segunda ley de Newton, el movimiento de un elemento diferencialde masa ∆m sometido a la accion de fuerzas (figura 3.1), se describe con la ecuacion:

∆mDv

Dt=∑

i

∆Fi , o tambien:

ρ∆VDv

Dt=∑

i

∆Fi ,

de donde se sigue, introduciendo las densidades volumetricas de fuerza:

ρDv

Dt=∑

i

fi = fp + fext = −∇P + fext , de modo que:

ρDv

Dt+∇P = fext . (3.1)

vDm

v∆m

Figura 3.1: Diagrama que ilustra la descripcionlagrangiana del movimiento de un elemento diferencial demasa

Utilizando (2.14), aplicada al vector v, se obtiene la ecuacion de Euler 1755:

ρ∂v

∂t+ ρv ·∇v +∇P = fext . (3.2)

El segundo termino de la anterior ecuacion revela que esta es una ecuacion nolineal en la velocidad. De la identidad

∇(A ·B) = (A ·∇)B+ (B ·∇)A+A× (∇×B) +B× (∇×A) ,

46/ Hidrodinamica

con A = B = v se sigue:

1

2∇v2 = v ·∇v + v × (∇× v) ,

de modo que, por reemplazo de v ·∇v en la ecuacion de Euler se obtiene:

ρ∂v

∂t+ρ

2∇v2 − ρv × (∇× v) +∇P = fext .

A diferencia del caso hidrostatico, no es ahora una condicion necesaria que lasfuerzas externas sean derivables de un potencial, es decir que las fuerzas sean con-servativas. Ahora pueden incluirse, ademas de las fuerzas electricas (incluyendo lasque varıan con el tiempo), las gravitacionales e inerciales (centrıfugas, de Coriolis yde aceleracion lineal), y las fuerzas magneticas.

El tratamiento siguiente se restringe solo a fuerzas conservativas y, especıfica-mente, a fuerzas gravitacionales, centrıfugas y de aceleracion constante. Mas tardese introduciran fuerzas de Coriolis, aunque para estas no hay potenciales escalaresconservativos. Para las fuerzas externas puede escribirse entonces f = −ρ∇G con:

G = Ggrav −ω2r2

2+ a · r .

Ası pues, la ecuacion de movimiento para fluidos no viscosos, en presencia de estasfuerzas, es:

ρ∂v

∂t+ρ

2∇v2 − ρv × (∇× v) +∇P + ρ∇G = 0 . (3.3)

3.1.1. Flujo isentropico

Se asumira en esta seccion que no hay intercambio de calor entre diferentes regionesdel fluido, de modo que el flujo es adiabatico.

El movimiento de un fluido perfecto −es decir no viscoso− es adiabatico.En este caso, la entropıa (dS = dQ/T ) de cada porcion del fluido es constante

aunque este en movimiento. Si S es la entropıa por unidad de masa (S = dS/dm),la condicion de movimiento adiabatico tiene la forma:

DS

Dt= 0 . esto es:

∂S

∂t+ v ·∇S = 0 ;

por la conservacion de la masa es tambien cierto que:

∂ρ

∂t+∇ · (ρv) = 0 .


Multiplicando la primera de estas ecuaciones por ρ, la segunda por S y sumandolasse obtiene la siguiente ley de conservacion para la entropıa:

∂

∂t(ρS) +∇ · (ρSv) = 0 , donde:

ρS =dm

dV

dS

dm=dS

dV,

es la densidad volumetrica de entropıa, y ρSv es la densidad de flujo de entropıa(dS/dAdt).

Si, en algun instante, S es constante en el volumen inicial, entonces, de dS/dt = 0se sigue que S es constante en todo instante posterior. Tal movimiento se denominaisentropico. Si H es la entalpıa especıfica (entalpıa por unidad de masa), T latemperatura y V el volumen especıfico (V = V/m = V/(ρV ) = 1/ρ), de la ecuaciontermodinamica:

dH = T dS + V dP ,

con dS = 0 y V = 1/ρ, se sigue:

∇H =∇P

ρ, (3.4)

de modo que, en el caso isentropico, la ecuacion de movimiento del fluido toma laforma:

∂v

∂t+∇

(1

2v2 +H + G

)− v × (∇× v) = 0 . (3.5)

De la condicion isentropica ∇H = ∇P/ρ se sigue, tomando el rotacional, que∇P ×∇ρ = 0, de modo que P = P (ρ); es decir: el flujo isentropico esta asociadoa un fluido barotropico. Tambien, de:

ρ∇H = ∇P ,

tomando el rotacional se concluye: ∇ρ×∇H = 0, de donde H = H(ρ).La descripcion del estado del fluido en movimiento se hace utilizando v, P y ρ,

que en total son cinco cantidades. Son necesarias entonces cinco ecuaciones, que sonlas siguientes:

• Ecuacion de movimiento (3.5), Expresadas en componentes son 3 ecuaciones.• Ecuacion de continuidad (1 ecuacion).• Ecuacion de estado (1 ecuacion).Es necesario, ademas, proveer condiciones de frontera. Para un fluido ideal (no

viscoso, sin intercambio de calor) son las siguientes:

48/ Hidrodinamica

A. El fluido no puede penetrar una superficie solida, es decir, la componentede la velocidad perpendicular al area de frontera es cero:

v · n|S= 0 ;

El vector n es perpendicular al area. Si la superficie se mueve con velocidad vS

entonces v · n|S= v

S.

B. Si hay dos fluidos inmiscibles, la presion y la componente de v normal a lainterfase son las mismas a ambos lados. Si la interfase se mueve, entonces v·n|

S= v

S.

Ahora bien, tomando el rotacional de (3.5) desaparece el termino del gradientey se obtiene una ecuacion que solo contiene la velocidad y que describe la evoluciontemporal de ∇× v, cantidad a la que llamaremos vorticidad:

∂

∂t(∇× v)−∇[v × (∇× v)] = 0 : (3.6)

Una solucion −la mas simple− a la ecuacion (3.6) es ∇ × v = 0, a la que seconoce como flujo irrotacional.

3.2. Ecuacion de Bernoulli

De (3.5), particularizada para estado estacionario (∂v/∂t = 0), tomando su pro-ducto escalar con dr = v dt y teniendo en cuenta que:

dr · [v × (∇× v)] = v × [v × (∇× v)]dt = 0 ,

Puesto que v · (v × bsξ) = 0, se concluye que:

dr ·∇(1

2v2 +H + G

)=

d

dl

(1

2v2 +H + G

)= 0 ,

donde d/dl indica la derivada en direccion de la velocidad, es decir a lo largo de unalınea de flujo. Es entonces cierto que a lo largo de una lınea de flujo, se cumple lasiguiente condicion, conocida como ecuacion de Bernoulli:

1

2v2 +H + G = constante ; (3.7)

La constante es la misma para todos los puntos de una misma lınea de flujo,pero diferente para diferentes lıneas. Para el caso incompresible: H = P/ρ.

La tangente en un punto de una lınea de flujo va en direccion de la velocidad enese punto. La ecuacion de una lınea de flujo es v × dr = 0. En estado estacionarioestas lıneas no varıan con el tiempo y coinciden con las trayectorias de las partıculasdel fluido.


Un tubo de flujo es un cilindro curvilıneo de fluido en movimiento, cuyas paredeslaterales son lıneas de flujo, y cuyas tapas cortan a las paredes laterales a lo largode una curva hecha de partıculas del fluido.

Si un fluido de densidad constante se mueve en un tubo horizontal, el terminoG = gz permanece constante, de modo que (3.7) se reduce a 1

2ρv2 +P = constante,

donde se ha utilizado H = P/ρ.

En consecuencia, en un tubo horizontal, mientras mas grande sea la velocidadmas baja sera la presion y recıprocamente. Este efecto es el responsable de la ascen-sion de un aeroplano, pues el perfil de las alas se disena de modo que sea mas curvaen su parte superior. Esto hace que la velocidad en la zona superior del ala sea masalta y por tanto la presion mas baja. El resultado es una presion ascendente queeleva el avion. Si A es el area del ala, y P1 y P2 las presiones debajo y encima delala, la fuerza ascendente es F = A(P1 − P2) = Aρ(v21 − v22)/2. Una aproximacionaceptable para la fuerza ascensional es

F = Aρ(v21 − v22)/2 = Aρ(v1 + v2)(v1 − v2)/2 = Aρv(v1 − v2) ,

donde la velocidad promedio, v, es muy cercana a la velocidad del aeroplano respectoal aire.

Notemos que la ecuacion (1.9) puede, tambien, ser obtenida de (3.7), en el casoestatico.

3.2.1. Teorema de Torricelli

Sea un fluido de densidad constante que sale por el agujero 2 de la figura 3.2. Con elfin de preservar el estado estacionario, permanece abierta una llave A que mantieneconstante la altura h del fluido.

A1

2

P0

P0

h

Figura 3.2: La presencia del grifo A garantiza quela altura h del lıquido permanezca constanteaunque este salga por el desague 2

50/ Hidrodinamica

Ante todo:

H =

∫

P

dP

ρ=

1

ρ

∫

P

dP =P

ρ,

de modo que la ecuacion de Bernoulli se escribe:

1

2ρv2 + P + ρG = constante ; con G = ρz :

1

2ρv2 + P + ρgz = constante; .

Aplicando esta ecuacion, que es la forma estandar de la ecuacion de Bernoulli,a los puntos 1 y 2 de la figura 3.2, se sigue:

1

2ρv21 + P0 + ρgh =

1

2ρv22 + P0 . (3.8)

Si el area del orificio 2 es mucho menor que la del recipiente (A1) puede aproxi-marse v1 a cero, tal que:

v2 =√2gh ,

expresion conocida como ecuacion de Torricelli.Si A1 y A2 son comparables, debe introducirse la ecuacion de continuidad. De

los desarrollos que siguen a (2.12) se sigue que el caudal (dV/dt) que atraviesa 1 esel mismo que atraviesa 2. Esto es:

Q = A1v1 = A2v2, o: v1 =A2

A1v2 ;

reemplazando en (3.8), se obtiene una forma mejorada de la ecuacion de Torricelli:

v2 =

√√√√2gh

[1 +

(A2

A1

)2]

.

Esta expresion desecha los efectos debidos a la viscosidad y a la forma del orificio.Puede hacerse una correccion introduciendo el coeficiente de descarga cd en la forma:

Q = cdA2v2 .

Ejercicio

Un fluido se mueve de izquierda a derecha en el conducto de la figura 3.3, cuya areatransversa cambia de A1 a A2. El regimen es estacionario. Evaluar el cambio en lapresion asociado al cambio de area.


v1 v2

P1 P2A1 A2

H h

a b

Figura 3.3: a. El lıquido fluye hacia la derecha a lo largo de un conducto deseccion trasversal variable; b. ¿Que altura h alcanza a subir la columna de lıquidoen el surtidor?

Es cierto ahora que:

1

2ρv21 + P1 =

1

2ρv22 + P2 y v1A1 = v2A2 ;

se sigue que:

P1 − P2 =1

2ρv21

[(A1

A2

)2

− 1

].

Esta expresion permite establecer un metodo para determinar la velocidad de unfluido en un tubo: basta introducir dos medidores de presion en zonas contiguas deltubo con diferente area, como en la figura 3.3a. Este instrumento se conoce comotubo de Venturi.

Problemas:

1. Un tanque de agua de altura H fija vierte lıquido hacia arriba por la salidainferior (figura 3.3b). ¿Que altura h alcanza a subir la columna?2. Considere el flujo estacionario de un gas ideal incompresible. Utilizando laecuacion de Bernoulii demuestre que:

1

2v2 +

kT

µln ρ+ G = constante.

3.3. Ecuaciones de movimiento y continuidad

1. La ecuacion general de movimiento (3.3) tiene, en coordenadas cartesianas (x, y, z),la forma:

52/ Hidrodinamica

ρ∂vx∂t

+ ρvx∂xvx + ρvy∂yvx + ρvz∂zvx + ∂xP + ρ∂xG = 0 ,

ρ∂vy∂t

+ ρvx∂xvy + ρvy∂yvy + ρvz∂zvy + ∂yP + ρ∂yG = 0 ,

ρ∂vz∂t

+ ρvx∂xvz + ρvy∂yvz + ρvz∂zvz + ∂zP + ρ∂zG = 0 . (3.9)

La ecuacion de continuidad, (2.12), es:

∂ρ

∂t+ ∂x(ρvx) + ∂y(ρvy) + ∂z(ρvz) = 0 . (3.10)

2. En coordenadas cilındricas (r, ϕ, z) estas cuatro ecuaciones toman la forma:

ρ∂vr∂t

+ ρvr∂rvr + ρvϕr∂ϕvr + ρvz∂zvr −

vϕ2

r+ ∂rP + ρ∂rG = 0 ,

ρ∂vϕ∂t

+ ρvr∂rvϕ + ρvϕr∂ϕvϕ + ρvz∂zvϕ + ρ

vrvϕr

+1

r∂ϕP +

ρ

r∂ϕG = 0 ,

ρ∂vz∂t

+ ρvr∂rvz + ρvϕr∂ϕvz + ρvz∂zvz + ∂zP + ρ∂zG = 0 ,

∂ρ

∂t+

1

r∂r(rρvr) +

1

r∂ϕ(ρvϕ) + ∂z(ρvz) = 0 . (3.11)

3. En coordenadas esfericas (r, θ, ϕ):

ρ∂vr∂t

+ ρvr∂rvr + ρvθr∂θvr + ρ

vϕr sen θ

∂ϕvr − ρv2θ + v2ϕ

r+ ∂rP + ρ∂rG = 0 ,

ρ∂vθ∂t

+ ρvr∂rvθ + ρvθr∂θvθ + ρ

vϕr sen θ

∂ϕvθ + ρvrvθr

− ρv2ϕr

cot θ

+1

r∂θP +

ρ

r∂θG = 0 ,

ρ∂vϕ∂t

+ ρvr∂rvϕ + ρvθr∂θvϕ + ρ

vϕr sen θ

∂ϕvϕ + ρvrvϕr

+ ρvθvϕr

cot θ

+1

r sen θ∂ϕP +

ρ

r sen θ∂ϕG = 0 ,

∂ρ

∂t+

1

r2∂r(r

2ρvr) +1

r sen θ∂θ(ρvθ sen θ) +

1

r sen θ∂ϕ(ρvϕ) = 0 . (3.12)


Ejercicio

Un fluido incompresible, no viscoso, fluye a lo largo del interior de un cono deabertura α, como en la figura 3.4. Desechando la gravedad y considerando solodiferencias de presion, estudiar la conexion entre la presion y la velocidad de flujoen estado estacionario.

α

z

x

y

r1

Figura 3.4: Un desague conico

Si no hay rotacion del fluido, sera cierto que: v = −vrerDe las cuatro ecuaciones (3.12) se obtiene:

ρvr∂vr∂r

+∂P

∂r= 0,

∂P

∂θ= 0,

∂P

∂ϕ= 0,

∂

∂r(ρr2vr) = 0 .

De la segunda y tercera: P = P (r). De la cuarta: r2vr = C(θ). Para la lınea deflujo θ = 0 y en el punto de salida r = r1, es cierto que r21v1 = r2vr.

De la primera:1

2ρv2r + P = D(θ) .

Para la lınea de flujo θ = 0 la ultima ecuacion se expresa:

1

2ρv2r + P =

1

2ρv21 + P1 ,

donde P1 y v1 corresponden al punto de salida. Entonces:

P − P1 =ρ

2(v21 − v2r) =

ρv212

(1− r41

r4

).

Notese que el angulo α no aparece en el resultado final. ¿Por que?

54/ Hidrodinamica

3.3.1. Fluido rotante en estado estacionario

Este problema ha sido resuelto desde un sistema de referencia que gira con el lıquido.Se resuelve aquı desde el sistema inercial, acudiendo directamente a la ecuacion demovimiento (3.3), en el caso estacionario, con ρ constante y en presencia de uncampo gravitacional uniforme.

En (3.3) es cierto, entonces, que v = ω × r, por lo que ∇ × v = 2ω y enconsecuencia v×(∇×v) = 2(ω×r)×ω. Facilmente se concluye (haga el desarrollopaso a paso) que (3.3) se reduce a:

−ω2(eyy + exx) +∇P

ρ+ ezg = 0 ,

de donde se obtienen las tres ecuaciones:

∂P

∂x− ω2ρx = 0 ,

∂P

∂y− ω2ρy = 0 ,

∂P

∂x+ ρg = 0 .

En consecuencia:

dP =∂P

∂xdx+

∂P

∂ydy +

∂P

∂zdz = ρω2(x dx+ y dy)− ρg dz , de donde:

P = P0 +ρω2

2(x2 + y2) + ρg(z0 − z) ,

en acuerdo con el resultado del problema de la seccion 1.4.2.

3.4. Circulacion. Teorema de Hankel-Kelvin

El siguiente teorema sobre conservacion de la circulacion es de gran importancia enla hidrodinamica y es muy util en la solucion de problemas.

• • •• • •

••••••

•• • • •

••••••

•1

2

v(a)dt v(b)dt

dl

dl′

a b

t

c

Figura 3.5: Curva material en movimiento


En la figura 3.5 los puntos a y b corresponden a dos partıculas del fluido que semueven con velocidades v(a) y v(b). El area inferior esta bordeada por una curvac hecha de partıculas. Esta se denomina “curva material” y viaja con el fluido a lavelocidad del fluido. Entre las curvas 1 y 2 hay una diferencia temporal dt.

De la grafica es cierto que v(a) dt+ dl′ = dl+ v(b) dt, lo que permite definir:

dv = v(b)− v(a) =dl′ − dl

dt=

d

dt(dl) . (3.13)

La circulacion del fluido, Γ, se define como la integral de lınea a lo largo de lacurva cerrada c:

Γ =

∮

c

v · dl , (3.14)

y su derivada temporal lagrangiana es:

DΓ

Dt=

D

Dt

∮

c

v · dl . (3.15)

Al realizar la derivacion ha de tenerse en cuenta el cambio, tanto en v como enla forma de la curva, esto es:

DΓ

Dt=

∮

c

Dv

Dt· dl+

∮

c

v · DDt

(dl) ;

teniendo en cuenta la ecuacion (3.13), puede escribirse:

DΓ

Dt=

∮

c

Dv

Dt· dl+

∮

v

v · dv =

∮

c

Dv

Dt· dl+ v2

2

∣∣∣a

a=

∮

c

Dv

Dt· dl , esto es:

DΓ

Dt=

∮

c

Dv

Dt· dl ,

expresion que se conoce como ecuacion de Kelvin. Reemplazando aquı la ecuacionde movimiento, cuya forma lagrangiana es:

ρDv

Dt+∇P + ρ∇G = 0 , se sigue:

DΓ

Dt= −

∮

c

[∇P

ρ+∇G

]· dl .

En el caso isentropico: ∇H = ∇P/ρ, de modo que:

DΓ

Dt= −

∮∇ [H + G] · dl = −

∮d [H + G] ,

56/ Hidrodinamica

lo que implica que la circulacion del campo de velocidad isentropico, de un fluidoideal y barotropico, es una constante del movimiento:

Γ = constante .

La cantidad Γ, a la que tambien se conoce como intensidad del vortice, no puedecrearse o destruirse en un fluido ideal isentropico. Dicho de otro modo, la vorticidades una propiedad convectiva que se conserva en el flujo del fluido.

Este es el teorema de Hankel-Kelvin de circulacion (enunciado entre 1861 y 1869)o ley de conservacion de la circulacion de la velocidad o ley de conservacion de laintensidad del vortice.

Problema: La ecuacion de movimiento de un fluido isentropico, en un sistemarotante con velocidad angular ω constante, se escribe en la forma:

ρdv

dt+∇

[

H + G +ω2r2

2

]

+ 2ρv × ω = 0 .

Demuestre que la circulacion se conserva, esto es que: dΓ/dt = 0 .

3.4.1. Flujo estacionario

En esta seccion se presenta una aplicacion del teorema de Hankel-Kelvin a un flujoestacionario, es decir, independiente del tiempo.

Considerese un punto P en una lınea de flujo (figura 3.6), en el que ∇× v = 0.

P

P ′

P ′′

v

c

• • •

Figura 3.6: Lınea de flujo estacionaria, concirculacion alrededor del punto P

La circulacion (3.14), calculada para un entorno infinitesimal alrededor de P es:

Γ =

∮

c

v · dl ,

donde el contorno c, que tiende a cero, abarca al punto P y encierra la lınea de flujo.Puesto que, del teorema de Stokes, es cierto que

∮cv · dl =

∫∇ × v · dS, entonces

Γ = 0.Ahora bien, Γ es cero en el punto P , pero este punto se desplaza junto con el

contorno c infinitesimal y “material”. Como Γ es cero en P , lo sera a lo largo de


toda la lınea de flujo, por lo cual ∇× v = 0 en todos los puntos de la misma lıneade corriente.

Si el movimiento no es estacionario el resultado subsiste aunque no se hablara aho-ra de lınea de flujo sino de trayectoria del punto P .

3.4.2. Flujo potencial

Considerese el flujo de un fluido alrededor de una esfera fija (figura 3.7a), y supongaseque muy lejos (r → ∞) de la esfera es cierto que ∇× v = 0 y que el flujo es esta-cionario.

(a) (b)a b

v

v

S

Figura 3.7: a. Flujo uniforme en el infinito que pasa alrededor deuna esfera. b. Exclusion de una superficie de campana en un fluidoideal

Esto significa que ∇× v = 0 en el infinito para cada lınea de flujo. Por tanto,∇× v = 0 para todos los puntos sobre la misma lınea y para todas las lıneas.

Es decir, el flujo es irrotacional en todo el espacio, por lo cual:

v = ∇φ , (3.16)

ya que ∇×∇φ ≡ 0. Este se llama flujo potencial. La funcion φ se llama potencialde velocidad y es una funcion escalar de la posicion y del tiempo.

En general, el movimiento de un fluido alrededor de cualquier cuerpo, esta-cionario o no, si es uniforme en el infinito (v = constante, de donde ∇v = 0), esirrotacional.

Ademas:• Si en cierto instante el movimiento de un fluido en cada punto del espacio

es irrotacional, entonces Γ es cero alrededor de cualquier contorno cerrado y, por elteorema de Hankel-Kelvin, Γ = 0 para todo t posterior.

Problema: Demuestre que las lıneas de flujo en el caso irrotacional no puedenser cerradas.

58/ Hidrodinamica

• En los fluidos ideales (que no existen) hay ciertas lıneas que es necesario ex-cluir de consideracion pues en ellas ∇× v 6= 0, como las que conforman la superficieS en forma de campana en la figura 3.7b y que, en su parte izquierda, son tangentesa la esfera.

• Γ = constante se obtuvo para flujo isentropico. Para flujo no isentropico:dΓ/dt 6= 0, por lo cual, si en algun momento ∇× v = 0 entonces, mas tarde,∇× v 6= 0. Solo el flujo isentropico puede ser irrotacional.

• Para flujo irrotacional ∇× v = 0 y en consecuencia

Γ =

∮

c

v · dl =∫

S

∇× v · dS = 0 .

Por tanto no puede haber lıneas cerradas en el flujo irrotacional.En el flujo rotacional (∇× v 6= 0) las lıneas de flujo pueden ser abiertas o

cerradas. Dos ejemplos, ilustrados respectivamente en las figuras 3.8 a y b, son lossiguientes:

y

x

(a) (b)a b

vv

Figura 3.8: Dos ejemplos de flujo rotacional con lıneas deflujo a. cerradas y b. abiertas. Las flechas indican ladireccion del campo de velocidad

1. v = eθAr, con A constante. Este es un perfil de velocidad solo con compo-nente angular en coordenadas polares. Es un flujo rotacional: ∇× v = 2Aez 6= 0.

2. v = j ax. Corresponde a un perfil de velocidad con lıneas de flujo abiertas.El flujo es tambien rotacional: ∇× v = ka 6= 0.

3.5. Teorema de Bernoulli-Euler

En esta seccion se revisa el teorema de Bernoulli tomando en consideracion si elflujo es, o no, rotacional.

A. Flujo irrotacional. En este caso v = ∇φ. Para flujo irrrotacional e isen-


tropico la ecuacion (3.5) toma la forma:

∂

∂t∇φ+∇

(v2

2+H + G

)= 0 , es decir:

∇

(∂φ

∂t+v2

2+H + G

)= 0 , (3.17)

de donde se sigue:∂φ

∂t+v2

2+H + G = f(t) . (3.18)

En la ultima ecuacion, H =∫dP/ρ y f(t) es arbitraria. Esta es una primera

integral de las ecuaciones del flujo irrotacional.

Recalibracion

Como v = ∇φ en el flujo irrotacional, es posible realizar, sin alterar v, una trans-formacion de recalibracion (gauge) sobre φ, de la forma:

φ′ = φ+ g(t) .

En efecto, v = ∇φ = ∇(φ′−g(t)) = ∇φ′, por lo cual la primera de las ecuaciones(3.18) queda:

∂

∂t(φ′ − g(t)) +

v2

2+H + G = f(t) .

Si escogemos f(t) = −dg(t)/dt se obtiene:

∂φ′

∂t+v2

2+H + G = 0 ,

lo que significa que es posible prescindir de f(t) en (3.18), en el caso dinamico.Ahora bien, de (ref3.18), y para un flujo estacionario irrotacional puede, en-

tonces, escribirse:v2

2+H + G = constante , (3.19)

donde la constante es la misma para todos los puntos del espacio. De otro lado,tambien para flujo irrotacional y estacionario, multiplicando (3.17) por dl = v dt sesigue: d(v2/2+H+G) = 0, por lo cual, v2/2+H+G=constante, siendo esta ultimaigual para todos los puntos sobre la misma lınea de flujo. Este es el teorema deBernoulli, solo que ahora se ha propuesto para flujo irrotacional y se ha concluidoque la constante es la misma, no solo en puntos de una lınea de flujo, sino en todoel espacio.

60/ Hidrodinamica

B. Flujo rotacional. Es cierto ahora que∇×v 6= 0. La ecuacion de movimiento(3.5):

∂v

∂t+∇

(v2

2+H + G

)− v × (∇× v) = 0 ,

es valida para flujo isentropico. Multiplicando por dr = v dt se tiene:

v · ∂v∂t

dt+ d

(v2

2+H + G

)− v · [v × (∇× v)] dt = 0 .

El ultimo termino de la izquierda es nulo. La ecuacion toma la forma:

∂

∂t

(v2

2

)+d

dt

(v2

2+H + G

)= 0 .

En estado estacionario, v2/2 +H + G es una constante y la misma para todoslos puntos en la misma lınea de flujo: Esta forma del teorema de Bernoulli, vistaantes, vale tanto si el flujo es rotacional como si es irrotacional, en tanto que (3.19)vale solo para flujo irrotacional. En los casos A. y B. el flujo es isentropico.

Nota

Las anteriores consideraciones sobre circulacion y rotacional permiten regresar conprovecho al problema del flujo conico en el ejercicio de la seccion 3.3.

Si se asume que, muy lejos, el flujo es irrotacional entonces, de acuerdo al teoremade Hankel-Kelvin, ∇× v sera cero en toda la region. En consecuencia, segun elteorema de Bernoulli-Euler:

v2

2+H = constante .

Si ρ es constante, el resultado que se sigue es el obtenido en la seccion 3.3.

3.6. Flujo incompresible

En la seccion 2.1 se definio la incompresibilidad de un fluido como ∇ · v = 0.Ademas, la evolucion temporal de ∇× v puede estudiarse a partir de (3.6):

∂

∂t(∇× v)−∇[v × (∇× v)] = 0 .

Esta ecuacion permite flujo rotacional e irrotacional. En el segundo caso se anulaidenticamente, por lo cual, para flujo irrotacional e incompresible es cierto que:

∇× v = 0 y ∇ · v = 0 .


De la primera es cierto que v = ∇φ y, reemplazando en la segunda, se con-cluye que el potencial de velocidad para flujo incompresible satisface la ecuacion deLaplace:

∇2φ = 0 . (3.20)

A la solucion de esta ecuacion deben imponersele condiciones de frontera en lassuperficies donde el fluido se encuentre con solidos. La componente normal de lavelocidad del fluido debe satisfacer:

v · n = vS=∂φ

∂n

∣∣∣S

,

donde vSes la componente normal de la velocidad en la superficie.

En este caso incompresible e irrotacional, la ecuacion (3.18) hace posible calcularla presion, si primero se calcula φ:

∂φ

∂t+

1

2∇φ ·∇φ+

P

ρ+ G = f(t) . (3.21)

El potencial de velocidad fue introducido por Euler, quien demostro que losfluidos obedecen, en situaciones especiales, la condicion que luego se llamo ecuacionde Laplace.

3.7. Flujo bidimensional incompresible

Despues de introducir la funcion de flujo, se se exploran en esta seccion diversassituaciones de flujo bidimensional incompresible, rotacional e irrotacional.

3.7.1. Funcion de flujo

Se introduce la funcion de flujo ψ(x, y), valida para flujos dependientes de dosvariables, lo que puede ocurrir para flujos bidimensionales (como el existente entreplacas paralelas muy cercanas) o flujos independientes de la coordenada z.

Para flujo bidimensional en el plano (x, y), la condicion de incompresibilidad∇ · v = 0 se escribe:

∂vx∂x

+∂vy∂y

= 0 ,

que se satisface automaticamente si:

vx =∂ψ

∂yy vy = −∂ψ

∂x. (3.22)

Basta entonces una sola funcion ψ(x, y) para describir el flujo incompresible 2-D.

62/ Hidrodinamica

Es cierto que ∇ · v = 0 implica v = ∇×A. Las ecuaciones (3.22) puedenobtenerse de aca si se hace A = kψ. En efecto:

v = ∇×A = ∇ψ × k = i∂ψ

∂y− j

∂ψ

∂x. (3.23)

Ası pues, la funcion de flujo ψ es utilizable para flujo incompresible bidimen-sional, quedando por estudiar si el flujo es irrotacional o no.

3.7.2. Flujo incompresible e irrotacional

En este caso ∇× v = 0. Reemplazando v = ∇×A = ∇× (kψ) puede escribirse:

∇× v = ∇× (∇×A) = ∇× (∇× (kψ))

= ∇(∇ · (kψ))−∇2(kψ)

= ∇(∂3ψ)− k∇2ψ = −k∇2ψ .

Se ha tenido en cuenta que ∂3ψ = 0, y como ∇× v = 0 se sigue que, para flujoincompresible e irrotacional:

∇2ψ = 0 . (3.24)

En este caso es tambien cierto, de acuerdo a (3.20), que tambien el potencial develocidad satisface la ecuacion de Laplace:

∇2φ = 0 . (3.25)

Ahora bien, para establecer la conexion entre ψ y φ para flujo irrotacional eincompresible, basta tener en cuenta que, de ∇ · v = 0, se sigue v = ∇ × (kψ) yque, de ∇× v = 0, se sigue v = ∇φ. En consecuencia:

v = ∇φ = ∇× (kψ) = ∇ψ × k , (3.26)

esto es ∇φ = ∇ψ × k, de donde se sigue ∇φ ·∇ψ = 0. De acuerdo con la ultimaecuacion las superficies φ constante y ψ constante son ortogonales. Tambien, de(3.26):

dr ·∇φ = dr · (∇ψ × k) = dφ ,

por lo cual la conexion entre ψ y φ toma la forma:

φ =

∫(∇ψ × k) · dr .


3.7.3. Flujo incompresible y rotacional

Se usaran en lo que sigue tres identidades vectoriales que vienen de v = ∇×A (dedonde ∇ · v = 0) y A = kψ:

• ∇× v = −k∇2ψ ,

• v × (∇× v) = (∇×A)× (−k∇2ψ) = −[(∇× (kψ))× k]∇2ψ

= −[(∇ψ × k)× k]∇2ψ = [∇ψ − (k ·∇ψ)k]∇2ψ

= ∇ψ∇2ψ ,

• ∇× (v × (∇× v)) = ∇× (∇ψ∇2ψ) = −∇(∇2ψ)×∇ψ .

La primera de estas expresiones se dedujo en la subseccion anterior. Reemplazan-do en (3.6), que es valida para flujo rotacional(compresible o no) se obtiene:

k∂

∂t(∇2ψ)−∇(∇2ψ)×∇ψ = 0 ; (3.27)

En esta ecuacion vectorial solo la tercera componente es no trivial, y tiene laforma:

∂

∂t(∇2ψ)− ∂1(∇2ψ)∂2ψ + ∂2(∇2ψ)∂1ψ = 0 .

En este caso no es utilizable el potencial φ, de modo que es necesario evaluar ψpara conocer v, o directamente resolver las ecuaciones de movimiento.

3.7.4. Lıneas de flujo, caudal y funcion de flujo

De (3.21a), es cierto que:

dψ(x, y) =∂ψ

∂xdx+

∂ψ

∂ydy = (v × dr)3 ,

y, como v × dr = 0 es la ecuacion de las lıneas de flujo, se sigue que estas tambiense describen con la ecuacion dψ = 0; es decir:

ψ = constante , (3.28)

es la ecuacion de las lıneas de flujo para el caso 2-D incompresible (rotacional o no).A continuacion se demuestra que, para el caso 2-D incompresible, el caudal puede

expresarse en terminos de ψ.Como v = ∇ψ × k segun la ecuacion (3.23), se sigue, multiplicando vectorial-

mente por k, que k× v = ∇ψ, de donde (figura 3.9):

dl ·∇ψ ≡ dψ = k× v · dl

64/ Hidrodinamica

k

dl n

v

Figura 3.9: Geometrıa para el estudio del caudal

De la definicion de caudal, Q =∫v · dS, se sigue (figura 3.9):

Q =

∫v · n L dl = L

∫v dl = −L

∫ 2

1

dψ = L(ψ1 − ψ2) .

Ası pues, para flujo rotacional o irrotacional 2D:• ψ satisface ∇ · v = 0.• ψ = constante, representa lıneas de corriente.• ψ1 − ψ2 mide el caudal.

Nota

En coordenadas polares, (caso 2-D), la condicion de incompresibilidad ∇ · v = 0 seescribe:

∂

∂r(rvr) +

∂vϕ∂ϕ

= 0 ,

por lo cual ψ esta asociado con vr y vϕ en la forma:

rvr =∂ψ

∂ϕ, vϕ = −∂ψ

∂r. (3.29)

3.8. Flujo compresible

En el caso de un fluido compresible, 2-D, y en estado estacionario, puede definirseuna funcion η analoga a la funcion de flujo ψ, utilizando la ecuacion de continuidad∇ · (ρv) = 0, que toma la forma:

∂

∂x(ρvx) +

∂

∂y(ρvy) = 0 ,

que se satisface identicamente si:

ρ

ρ0vx =

∂η

∂y,

ρ

ρ0vy = −∂η

∂x,


donde ρ0 es la densidad constante de referencia. En forma compacta, de ∇ · ρv = 0se sigue, en el caso 2D, ρv = ∇× C = ∇× kψ = ∇η × k.

Ejercicios

1. Sobre un cilindro muy largo de radio a fluye una corriente de fluido en estadoestacionario, la que, muy lejos, tiene una velocidad constante v = −k v0 (figura3.10). Esto implica que, muy lejos del cilindro, es cierto que ∇× v = 0, y deacuerdo al teorema de Hankel-Kelvin ∇× v sera cero en todo el espacio. Se asumeque el fluido es incompresible, por lo cual, de ∇ ·v = 0 y ∇× v = 0 se cumple que∇2φ(r, ϕ) = 0, donde r y ϕ son coordenadas polares.

v

rϕ

Figura 3.10: Fluido incompresible que pasa cercade un cilindro largo. Lejos del cilindro el flujo esuniforme. El eje vertical ascendente es k, encoordenadas polares

El potencial lejano correspondiente a v = −k v0 en el infinito es φ = −v0 z (enefecto, v = ∇φ = ∇(−v0z) = −k v0).

La solucion general a la ecuacion de Laplace en coordenadas polares es:

φ(r, ϕ) =

∞∑

n=0

(An +

Bn

rn

)(Cn cosnϕ+Dn sennϕ) , (3.30)

donde los valores enteros de n garantizan la continuidad del potencial. Reemplazan-do en esta ecuacion el potencial lejano φ = −v0z = −v0r cosϕ para r → ∞ seobtiene:

Cn = 0, AnDn = −v0 δn1 ,de modo que (3.30), con BnDn ≡ En se escribe:

φ = −v0r cosϕ+

∞∑

n=0

En

rnsennϕ .

66/ Hidrodinamica

Es necesario, ademas, imponer la condicion de que la componente normal de lavelocidad sea cero sobre la superficie del cilindro, v · er|r=a = 0, esto es:

∂φ

∂r

∣∣∣r=a

= 0 .

Esta condicion conduce a:

−v0 senϕ−∞∑

n=1

Enn

an+1sennϕ = 0 , de donde:

En = −v0a2 δn1 . En consecuencia:

φ(r, ϕ) = −v0(r +

a2

r

)senϕ .

La velocidad es entonces:

v = ∇φ = er∂φ

∂r+

eϕ

r

∂φ

∂ϕ

= −v0[er

(1 +

a2

r2

)senϕ+ eϕ

(1− a2

r2

)cosϕ

].

La presion se evalua teniendo en cuenta que en este flujo es valido el teoremade Bernoulli, expresado en (3.7), y que toma la forma:

v2

2+P

ρ=v202

+P0

ρ,

donde P0 es la presion en r → ∞. Entonces:

P = P0 +ρ

2(v20 − v2) .

Problema: ¿Puede usarse la funcion de flujo ψ en este problema? Si ası es, ¿cuales su valor?

2. Un fluido incompresible, ideal y en regimen estacionario, fluye sobre una esferade radio a, cuyo centro coincide con el origen de coordenadas. Muy lejos de la esferala velocidad del fluido es v = −kv0. Evaluar los perfiles de velocidad y presion.

Como en el ejercicio anterior, es cierto que ∇2φ = 0. La solucion general a laecuacion de Laplace en coordenadas esfericas (vease el apendice E.2 y Sepulveda(2009)), teniendo en cuenta la simetrıa azimutal, que reduce los polinomios asociadosde Legendre Pm

l (cos θ) a polinomios ordinarios Pl(cos θ), es:

φ(r, θ, ϕ) =

∞∑

l=0

(Alr

l +Bl

rl+1

)Pl(cos θ) . (3.31)


La primera condicion de frontera asegura que lejos de la esfera el potencial develocidad es de la forma:

φ→ −v0z = −v0r cos θ = −v0rP1(cos θ) .

De modo que la solucion general (3.31), para r grande, da lugar a:

−v0P1(cos θ) =

∞∑

l=0

AlrlPl(cos θ) ,

de donde se sigue Al = −v0 δl1. El potencial toma, entonces, la forma:

φ =∞∑

l=0

(−v0rlδl1 +

Bl

rl+1

)Pl(cos θ) . (3.32)

La segunda condicion de frontera asegura que la velocidad radial del fluido enla superficie de la esfera se anula, esto es:

vr|r=a =∂φ

∂r

∣∣∣r=a

= 0 .

Se obtiene entonces

Bl = −v0la2l+1

(l + 1)δl1 ,

al reemplazar en el potencial (3.32) se obtiene finalmente:

φ = −v0[r +

a3

2r2

]cos θ .

Las superficies equipotenciales son perpendiculares a las lıneas de flujo. El perfilde velocidad se calcula con:

v = ∇φ = er∂φ

∂r+

eθ

r

∂φ

∂θ+

eϕ

r sen θ

∂φ

∂ϕ,

y da como resultado:

v = v0

[−er

(1− a3

r3

)cos θ + eθ

(1 +

a3

2r3

)sen θ

]. (3.33)

Problema:

Demuestre que ∇× v = 0.

68/ Hidrodinamica

θ

dF

a

vo

v0α

a b

Figura 3.11: a. Geometrıa para el calculo de la fuerza normal a la esfera.b. Flujo uniforme bidimensional

Como se desecha en este problema el efecto de la gravedad, la ecuacion deBernoulli (3.7) se escribe: P = constante− ρv2/2, y con P = P0, v = v0 en r → ∞se sigue que P = P0 + ρ(v20 − v2)/2. Finalmente, substituyendo v2 de (3.33) seobtiene el perfil de presion:

P = P0 +ρ

2v20

[1−

(1− a3

r3

)2

cos2 θ −(1 +

a3

2r3

)2

sen 2θ

]. (3.34)

Puede ahora calcularse el efecto de la presion sobre la esfera. La pregunta quesurge de inmediato es: ¿el fluido arrastra la esfera? La experiencia muestra queası es, solo que en los casos reales los fluidos tienen viscosidad. ¿Ocurre el arrastrede la esfera aun en el caso aquı estudiado de fluido ideal?

El analisis puede iniciarse aceptando que hay una presion normal al elementodiferencial de superficie esferica, como en la figura 3.11a. Esta presion da lugar a unafuerza con componentes vertical y horizontal, la segunda de las cuales se anula alintegrar sobre la esfera, debido a la simetrıa azimutal. La fuerza diferencial verticales de la forma dFv = P cos θ dA y la presion en (3.34) ha de evaluarse en r = a.Ası, la fuerza vertical neta es:

Fv = −∫

A

P cos θ dA = −∫ π

θ=0

∫ 2π

ϕ=0

P cos θ(a2 sen θ dθ dϕ)

= −2πa2[(P0 +

ρv202

)sen 2θ

2− 9

4ρv20

sen 4θ

4

]π

0

= 0 .

La fuerza vertical tambien es nula. En consecuencia, una esfera en reposo en unfluido no viscoso no experimenta arrastre, es decir, el fluido no se la lleva. Comono se ha tomado en cuenta la gravedad, tampoco hay empuje. Ha de notarse quela diferencia de presion P − P0 se debe solo al movimiento del fluido, pues nohay presion hidrostatica. Que las ecuaciones digan que no hay arrastre y que la


experiencia afirme que sı, se conocio en su epoca como la paradoja de D’Alembert.Como se vera en el capıtulo 6, la aparente paradoja la resuelve la viscosidad delfluido.

3. En la region de la figura 3.11b existe un flujo uniforme bidimensional, incom-presible, con direccion constante α. Calcular la funcion de flujo y el potencial develocidad.

Puesto que el flujo es uniforme en todo el plano, es cierto que ∇× v = 0 y portanto v = ∇φ. Como el fluido es incompresible: ∇ · v = 0 de donde ∇2φ = 0. Lavelocidad se escribe: v = v0(i cosα+ j senα).

De: v = ∇ψ × k, ecuacion (3.23), se sigue:

k× v = k× (∇ψ × k) = ∇ψ .

El vector k es perpendicular al plano (x, y). Ası:

dψ = ∇ψ = dr · (k× v) , de donde:

ψ = r · (k× v) + constante .

El potencial de velocidad se calcula con:

dφ = ∇φ · dr = v · dr , tal que:

φ = v · r+ constante .

3.9. Fuentes y sumideros

En esta seccion se demuestra, con ejemplos, que hay una profunda analogıa entrehidrodinamica y electrostatica. Esta sera analizada en el capıtulo 5, en el que,ademas, se incluira la analogıa entre vorticidad y magnetostatica.

Ante todo considerese una fuente puntual tridimensional de donde fluye un lıqui-do o gas. Una fuente puntual es una abstraccion matematica, que se ejemplifica conuna esfera perforada por multiples agujeros distribuidos de modo uniforme.

Una fuente es un punto singular donde la ecuacion de continuidad se ha demodificar para dar cuenta de la salida de fluido.

La ecuacion de continuidad con fuentes tiene la forma:

∇ · (ρv) + ∂ρ

∂t= q ,

donde q representa la rata de “generacion” de masa por unidad de volumen (1/V )dM/dt.Para un fluido de densidad constante y en estado estacionario ∂ρ/∂t = 0, de donde∇ · v = q/ρ.

70/ Hidrodinamica

La condicion ∇ ·v = 0 ya no es valida pues hay “ generacion de masa”. ∇ ·v = 0es valida solo en el exterior de la fuente.

La expresion ∇ · v = q/ρ dice: la masa diverge (fluye) desde una fuente, o: q/ρes la fuente del campo de velocidad. Se sigue, por integracion en el volumen, con qasumido costante:

∫

V

∇ · v dV =

∮

S

v · dS =

∫

V

q

ρdV =

q

ρV =

1

V

dM

dt

V

ρ

= ρdV

dt

1

ρ=dV

dt= Q = caudal.

Por tanto, la ley de Gauss en forma integral se escribe:

∮

S

v · dS = Q .

Esta integral se conoce como el flujo del campo vectorial v. En esta ecuacion Qes el caudal que viene del interior de la superficie cerrada S, y es analoga a la leyde Gauss en electrostatica.

Si se encierra la fuente puntual en una superficie matematica esferica de radior, la ultima integral conduce a:

v =Q

4πr2. (3.35)

En un fluido incompresible, una fuente se define como un punto desde el cual elfluido sale radialmente en todas las direcciones. En un sumidero el fluido entra. Laintensidad de la fuente o (sumidero) en un fluido incompresible es la tasa volumetricade flujo desde la fuente (Q = dV/dt). Notese la analogıa de (3.35) con el campo deuna carga electrica puntual Q: E = Q/4πε0r

2. En este punto comienza a ser claropor que el lenguaje de la teorıa de campos viene de los fluidos: fuentes y divergenciason conceptos hidrodinamicos.

3.9.1. Fuente lineal

Una fuente lineal hidrodinamica corresponde a una lınea (en la practica una mangueracon multiples agujeros distribuidos de modo uniforme) de la cual fluye masa radial-mente.

Para simplificar, se asume que el fluido se extiende radialmente, no dependiendode la coordenada z; esto es, el flujo viaja en el plano (r, ϕ).

La integral∮v · dS = Q da lugar, como en el caso del campo electrico debido a

un alambre con densidad de carga electrica λ (E = λ/2πε0r), a:

v =1

2πr

Q

Ler .


dS ,v

k

Figura 3.12: Geometrıa para el calculo del flujo debido auna fuente hidrodinamica lineal

Como se trata de un fluido incompresible, en el caso 2-D existe una funcion deflujo ψ, que satisface ∇ · v = 0 por fuera de la fuente.

De ∇ · v = 0 se sigue la ecuacion (3.23): v = ∇ψ × k, de donde:

dψ = ∇ψ · dr = dr · (k× v) = dr ·(k× Qer

2πLr

)=

Q

2πLrdr · eϕ =

Q

2πLdϕ .

En consecuencia:

ψ =Qϕ

2πL+ constante . (3.36)

Nota

Es facil ver que, en los casos de fuentes puntuales y lineales, es cierto que∇× v = 0,de modo hay un potencial de velocidad.

• En el caso puntual:

v =Q

4πr2er = er

∂φ

∂r,

y el potencial es:

φ = − Q

4πr+ C .

• En el caso lineal:

v =Q

2πLrer = er

∂φ

∂r,

y el potencial es:

φ = − Q

2πLln (r/r0) . (3.37)

72/ Hidrodinamica

3.10. Teorema sobre combinacion de movimientos

Considerese un fluido incompresible en flujo bidimensional, con v1 = ∇ψ1 × k, y,en el mismo flujo, otro movimiento descrito por v2 = ∇ψ2 × k.

El movimiento combinado esta dado por:

v1 + v2 = ∇(ψ1 + ψ2)× k = ∇ψ × k , con ψ = ψ1 + ψ2Γ

Puede concluirse entonces que la combinacion de dos (o mas) movimientos 2Dde un fluido incompresible se logra por adicion de sus funciones de flujo ψ.

En lo que sigue se consideran algunas aplicaciones interesantes.

3.10.1. Fuente y sumidero lineales

La situacion se representa en la figura 3.13a, en la que a la izquierda hay una fuentelineal, a la derecha un sumidero tambien lineal, ambos de la misma intensidad(Q = Q+ = −Q−). Del teorema anterior y de (3.36):

ψ = ψ+ + ψ− =Q

2πL(ϕ+ − ϕ−) . (3.38)

+ −

r+

r−

ϕ+ϕ−

•ψ

Figura 3.13: Fuente (+) y sumidero (−) hidrodinamicos de igualintensidad −igual caudal− separados una distancia a. Si ladistancia entre ellos es pequena, en comparacion con r+ y r−, sellamara un dipolo hidrodinamico, analogo al dipolo electrico

Las lıneas de flujo corresponden a ψ = constante. De la figura 3.13:

tanϕ+ =y

x− a, tanϕ− =

y

x+ a; se sigue que:


tan(ϕ+ − ϕ−) =tanϕ+ − tanϕ−1 + tanϕ+ tanϕ−

=2ay

x2 + y2 − a2,

ademas, de (3.38) es cierto que:

tan(ϕ+ − ϕ−) = tan

(2πL

Qψ

)=

2ay

x2 + y2 − a2, por lo cual:

x2 tan

(2πL

Qψ

)+

[y − a tan

(2πL

Qψ

)]2= a2 tan

(2πL

Qψ

)[1− tan

(2πL

Qψ

)],

que corresponde a la familia de los cırculos c, con centros en el eje y a distanciasy = a tan(2πLψ/Q), que tocan la fuente y el sumidero (figura FSHa).

El potencial de velocidad es φ = φ+ + φ−, esto es, usando (3.37):

φ = − Q+

2πLln

(r+r0

)− Q−

2πLln

(r−r0

)

=Q

2πLln

(r−r+

)=

Q

4πLln

(r2−r2+

)

=Q

2πLcoth−1

(r2 + r20

2rr0 cosϕ

);

se ha tenido en cuenta que 12 ln(x+ 1/x− 1) = coth−1 x. Invirtiendo la ecuacion se

obtiene:

x2 + y2 + r20 = −2r0x coth

(2πL

Qφ

),

con x = r cosϕ; finalmente, despues de reorganizar:

(x− r0 coth

(2πL

Qφ

))2

+ y2 =

(r0 csch

(2πL

Qφ

))2

φ = constante corresponde a cırculos de radio coth(2πLφ/Q) con centros en el ejex a distancias x = ±r0 coth(2πLφ/Q). Puede demostrarse que las familias φ =constante y ψ = constante son ortogonales, en acuerdo con ∇φ · ∇ψ = 0, de laseccion 3.7.2.

3.10.2. Dipolo hidrodinamico

Un dipolo lineal hidrodinamico consiste en una pareja en la que una fuente y unsumidero lineales estan muy cercanos.

Para la pareja descrita en la subseccion anterior es cierto que:

tan

(2πL

Qψ

)=

2ay

x2 + y2 − a2=

2ra senϕ

r2 − a2, o tambien:

74/ Hidrodinamica

2πL

Qψ = tan−1

(2ra senϕ

r2 − a2

).

Para a → 0 con 2aQ = constante, y con tanα ' α para α pequeno, puedeescribirse:

2πL

Qψ ' 2ra senϕ

r2 − a2' 2ra

r2senϕ =

2a

rsenϕ ,

con lo que finalmente se obtiene:

ψ =µd

2πL

senϕ

r,

donde µd = 2aQ es el momento de dipolo hidrodinamico. Las lıneas de corrientedel fluido tienen ψ = constante, que corresponden a la ecuacion en coordenadaspolares:

r =

(µd

2πLψ

)senϕ .

Dibuje esta familia de cırculos.De la seccion 3.7.1 se sigue que:

v = ∇ψ × k =µd

2πL

1

r2[er cosϕ+ eϕ senϕ] .

Problema: Probar que este flujo es irrotacional. Demuestre que el valor de φ es:

φ = −µd

2π

cosϕ

r+ constantete

Las equipotenciales son cırculos. Observe que este potencial y el electrostaticotienen la misma forma. Note que en la definicion µb = 2aQ, Q desempena elpapel de la carga electrica, como en la ecuacion (3.35).

3.10.3. Dipolo puntual y flujo uniforme

Considerese, en coordenadas polares, la funcion de flujo ψ = −ψ2 +ψ1 formada, ensu orden, por un dipolo puntual y un flujo uniforme, como el de la figura 3.11b, conα = 0. Entonces:

ψ = −ψ2 + ψ1 = − µd

2πL

senϕ

r+ v0y

= − µd

2πL

senϕ

r+ v0r senϕ

=µd

2πL

senϕ

r

(−1 +

2πLv0µd

r2)

= U0senϕ

r

(−1 +

r2

a2

). (3.39)

Se han definido U0 = µd/2πL y a2 = (2πLv0/µd)−1.

Es facil ver que una lınea de flujo ψ = 0 es r = a; otras dos son ϕ = 0 yϕ = π. Corresponden, como lo muestra la figura 3.15 a un cilindro y dos planos


(cuya proyeccion en el plano del papel da un cırculo y dos lıneas). La forma de laslıneas de flujo se obtiene haciendo ψ = constante y despejando r. Se obtiene:

r =1

2

ψa2

U0 senϕ±

√(ψa2

U0 senϕ

)2

+ 4a2

,

expresion en donde se escoge el signo positivo (¿por que?). Se sigue que:

vr =1

r

∂ψ

∂ϕ= U0

cosϕ

r2

(−1 +

r2

a2

),

vϕ = −∂ψ∂r

= U0senϕ

r2

(1 +

r2

a2

),

y es cierto que vr|r=a = 0 y vϕ|r=a = 2U0 senϕ, de modo que el campo de velocidadtiene componente tangencial pero no normal al cırculo r = a.

El campo de velocidad es, en consecuencia, el de un fluido que pasa bordeandoun cilindro de radio a y que muy lejos tiene velocidad vr = U0 cosϕ/a

2 y vϕ =U0 senϕ/a

2.

Problema: Evalue el campo de presion y el potencial de velocidad. Demuestreque ∇× v = 0.

Ejercicios

1. Considere la funcion de flujo ψ = x2 − y2. Evalue el perfil de velocidad y elpotencial hidrodinamico.

De v = ∇ψ × k se obtiene: v = −2(iy + jx), y de dφ = ∇φ · dr = v · dr :

dφ = −2(y dx+ x dy) , tal que: φ = 2xy + constante .

Las lıneas de ψ y φ constante, correspondientes a lıneas de flujo y equipotenciales,respectivamente, se muestran en la figura 3.14a.

2. Si la funcion de flujo es ψ = 2xy se sigue: φ = x2 − y2. Esta funcion de flujopermite describir el movimento de un fluido en el cuadrante de la figura 3.14b. Esfacil ver que: v = 2(ix − jy), de donde se sigue que las velocidades en las paredesson: v|x=0 = −2jy y v|y=0 = 2ix. El flujo es incompresible, pues ∇ · v = 0.

3. Suponga que el flujo incompresible a lo largo de un tubo tiene un perfil develocidad vx = v0(1− r2/a2)e−αt, donde r es la distancia radial polar, a es el radiodel tubo y r la coordenada polar. Evaluar ρ, utilizando la ecuacion (2.18).

4. Considere una fuente lineal colocada en un flujo uniforme. En este caso:

ψ = −v0r senϕ+Q

2πϕ . Se sigue entonces que:

76/ Hidrodinamica

f cte

y cte

f cte

y cte

(a) (b)a b

ψ cte

φ cte

φ cte

ψ cte

Figura 3.14: Funcion de flujo y potencial hidrodinamico para a. un tipode flujo que ocupa todo el plano y b. otro que ocupa solo el primercuadrante

y = 0. ψ = 0

Figura 3.15: Flujo generado por una fuente lineal en uncampo de velocidad uniforme

φ = −v0r cosϕ+Q

2πln

(r

r0

),

vr = −v0 cosϕ+Q

2πr,

vϕ = v0 senϕ .

El perfil de velocidad se muestra en la figura 3.15. La fuente lineal es perpendicularal plano del papel.

Problemas:

1. Sea ψ = x3 − y3; demuestre que este no es un flujo potencial.2. Supongase el siguiente perfil de velocidad:

vx = −y

x2 + y2vy =

x

x2 + y2.

Demuestre que la ecuacion de la lıneas de corriente es x2 + y2.


3. Dado φ = x3 − 3xy2 a. evalue vx y vy . b. Evalue ψ. c. Grafique.4. Un flujo bidimensional estacionario, incompresible, esta descrito por φ =k(x2−y2)/2. Obtenga ψ,v, P en el plano z constante, si P = P0 en x = y = 0.Dibuje las lıneas de corriente.5. Sea φ = a(x2 + y2 − 2z2), para un flujo estacionario. Verifique que estaexpresion corresponde a flujo irrotacional e incompresible. Calcule P si, enx = y = z = 0, se cumple P = P0.6. ¿Pueden las siguientes componentes de v caracterizar un flujo incompresible?

vx = x2y vy = x+ y + z vz = z2 + x2

7. Un flujo bidimensional incompresible tiene vx = x2 − y2 y vz = 0. Evalue v.

3.11. Fluido ideal en un sistema rotante

La ecuacion de movimiento de un fluido ideal tiene la forma general (3.2):

ρ∂v

∂t+ ρv ·∇v +∇P = fext ,

donde fext incluye todas las fuerzas externas. En los sistemas rotantes aparecen,ademas de la gravitacion, las fuerzas centrıfugas, de Coriolis, y la llamada acele-racion de Euler, que se debe a la variacion temporal de la velocidad angular delsistema rotante. Los terminos son los siguientes:

• f1 = −ρω × (ω × r): centrıfuga.• f2 = 2ρv × ω: Coriolis.• f3 = −(dω/dt)× r = −ω × r: Euler• f4 = ρg = −ρ∇G: gravitacion.En vez de la ecuacion (3.3) puede escribirse, en el sistema rotante:

∂v

∂t+

1

2∇v2 − v × (∇× v) +

∇P

ρ+∇G

−ω × (ω × r)− ω × r+ 2v × ω = 0 .

En el caso isentropico (∇P/ρ = ∇H), y teniendo en cuenta que el potencialcentrıfugo es de la forma G = 1

2 |ω × r|2, puede escribirse:

∂v

∂t+∇

[H +

1

2v2 + G − 1

2|ω × r|2

]

−v × (∇× v)− ω × r+ 2v × ω = 0 .

Si, ademas, el sistema de referencia tiene aceleracion lineal a constante, al interiordel corchete ha de anadirse el potencial G ′ = a ·r, correspondiente a la fuerza ficticiaf = −ρ∇G′ = −ρa.

78/ Hidrodinamica

3.12. Leyes de conservacion

En la mecanica newtoniana de las partıculas hay leyes de conservacion para la masa,el momento lineal, el momento angular y la energıa. En esta seccion se demuestraque estas leyes pueden extenderse al flujo de fluidos, si se definen de modo apropiadolas densidades volumetricas de las cantidades conservadas.

1. Conservacion de la masa

Como se dedujo en la seccion 2.2, esta ley de conservacion se describe mediante laexpresion:

∇ · (ρv) + ∂ρ

∂t= 0 . (3.40)

2. Conservacion del momento lineal

Multiplicando (2.14) por ρ y utilizando la identidad diadica:

∇ · (AB) = B(∇ ·A) + (A ·∇)B ,

con A = ρv, B = v y la ayuda de (2.16), puede escribirse:

ρDv

Dt= ρ

∂v

∂t+∇ · (ρvv)− v∇ · (ρv) ,

reemplazando ∇ · (ρv) = 0 de (3.40):

ρDv

Dt=

∂

∂t(ρv) +∇ · (ρvv) .

Puesto que, segun (3.1):

ρDv

Dt+∇P = fe , se sigue:

∂

∂t(ρv) +∇ · (ρvv + P I) = fe .

En esta expresion ρv tiene el significado de densidad volumetrica de momentolineal del fluido, g = ρv, y T

′ = ρvv+P I es la densidad de flujo de momento lineal.Puede escribirse:

∂g

∂t+∇ · T′ = fe .

De acuerdo con la anterior ecuacion, las fuerzas externas cambian el momentolineal de un elemento de masa. Solo en ausencia de fuerzas externas se conserva elmomento lineal total.


Problema: Si la fuerza externa es la gravedad, ¿como se escribe la anterior leyde conservacion para un fluido de densidad constante?

3. Conservacion del momento angular

Es cierto que:

ρr× Dv

Dt= ρ

D

Dt(r× v) = ρ

∂

∂t(r× v) + ρv ·∇(r× v)

= ρ∂

∂t(r× v) +∇ · ((ρv)r× v)− r× v∇ · (ρv) ,

donde se ha utilizado la identidad diadica para ∇ · (AB) introducida en el numeral2, con A = r×B y B = ρv. Ademas, reemplazando ∇ · (ρv) de (3.40):

ρr× Dv

Dt=

∂

∂t(ρr× v) +∇ · (ρv(r× v)) ; como:

fe = ρdv

dt+∇P , se sigue:

r× fe = ρr× Dv

Dt= ρ

D

Dt(r× v)

=∂

∂t(ρr× v) +∇ · (ρv(r× v)) .

Es cierto que ∇ · (r × IP ) = −r × ∇P , por lo cual, definiendo la densidadvolumetrica de torque como N = r× fe, puede escribirse:

∂

∂t(ρr× v) +∇ · [ρv(r× v)− r× IP ] = Ne ,

En forma compacta:∂L∂t

+∇ ·M = Ne ,

donde L = r× ρv es la densidad volumetrica de momento angular del fluido, M =ρv(r×v)− r× IP es la densidad de flujo de momento angular y Ne es la densidadvolumetrica de torque externo. El momento angular del fluido se conserva si lasfuerzas externas no generan torques.

4. Conservacion de la energıa

¿Como cambia con el tiempo la energıa de un elemento diferencial de volumen?

80/ Hidrodinamica

La densidad volumetrica de energıa cinetica e interna es:

E =1

2ρv2 + ρε ,

donde ε es la energıa interna por unidad de masa; ε es energıa que no puede “verse”a escala macroscopica, y que proviene de fuentes tales como potenciales intermole-culares y vibraciones moleculares. Si se le cede energıa al fluido, o si se le permiteque haga trabajo, su energıa cinetica mas la energıa interna cambia.

En lo que sigue, se evaluan separadamente los terminos ∂(ρv2/2)/∂t y ∂(ρε)/∂t.Para el primero de ellos:

∂

∂t

(1

2ρv2)

=1

2v2∂ρ

∂t+ ρv · ∂v

∂t

= −1

2v2∇ · (ρv) + ρv ·

[−1

ρ∇P −∇G − v ·∇v

];

en el primer termino a la derecha de la igualdad se ha utilizado la ecuacion decontinuidad, y en el segundo la ecuacion (3.2), con fe = −ρ∇G; ademas:

ρv ·∇G = ∇ · (ρGv)− G∇ · (ρv) = ∇ · (ρGv) + G ∂ρ∂t

= ∇ · (ρGv) + ∂

∂t(ρG) ,

con ∂G/∂t = 0 (el potencial gravitacional es independiente del tiempo), y:

∇P = ρ∇H − ρT∇S ,

v · [(v ·∇)v] =1

2v ·∇v2 , de modo que:

∂

∂t

(1

2ρv2)

= −1

2v2∇ · (ρv)− ρv ·∇

(1

2v2 +H

)

− ∇ · (ρGv)− ∂

∂t(ρG) + ρTv ·∇S . (3.41)

Ahora bien, el segundo termino, ∂∂t (ρε), se calcula como sigue:

dε = T dS − P dV = T dS +P

ρ2dρ .

V es el volumen especıfico definido como V = dV/dm = 1/ρ. Se sigue:

d(ρε) = ε dρ+ ρ dε = ε dρ+ ρT dS +P

ρ2dρ

=

(ε+

P

ρ

)dρ+ ρT dS = H dρ+ ρT dS ,


donde H = ε+ P/ρ. Ası:

∂

∂t(ρε) = H

∂ρ

∂t+ ρT

∂S

∂t= −H∇ · (ρv)− ρTv ·∇S .

Con dS/dt = 0 = ∂S/∂t+ v ·∇S, entonces:

∂

∂t

(1

2ρv2 + ρε+ ρG

)= −

(1

2v2 +H

)∇ · (ρv)− ρv ·∇

(1

2v2 +H

)

− ∇ · (ρGv) = −∇ ·[(

1

2v2 +H + G

)ρv

]. (3.42)

Finalmente, la conservacion de la suma de las energıas cinetica, interna y gravi-tacional, toma la forma:

∂

∂t

(1

2ρv2 + ρε+ ρG

)+∇ ·

[(1

2ρv2 + ρε+ ρG + P

)v

]= 0 . (3.43)

Con obvias definiciones de densidad volumetrica de energıa E ′ y densidad deflujo de energıa S, puede escribirse la conservacion de la energıa en la forma:

∂E ′

∂t+∇ · S = 0 .

En presencia de efectos viscosos, como se vera en la seccion 6.13, esta ecuaciondebera revisarse para incluir disipacion viscosa.

3.12.1. Un teorema interesante

Una expresion matematica interesante, que contiene el nucleo de una ley de conser-vacion puede ser demostrada en una forma simple.

Sea Q alguna propiedad de un fluido (escalar Q, vectorial Qi, diadica Qij , etc).Entonces, si ρ es la densidad volumetrica de masa:

d

dt

∫

V

ρQdV =

∫

V

∂

∂t(ρQ)dV =

∫

V

[∂ρ

∂tQ+ ρ

∂Q

∂t

]dV

=

∫

V

[−∇ · (ρv)Q+ ρ

∂Q

∂t

]dV

=

∫

V

[−∇ · (ρvQ) + ρv ·∇Q+ ρ

∂Q

∂t

]dV

=

∫

V

[−∇ · (ρvQ) + ρ

dQ

dt

]dV . (3.44)

82/ Hidrodinamica

Es cierto entonces que:

ρdQ

dt= ∇ · (ρvQ) +

∂

∂t(ρQ) . (3.45)

Problema: Demuestre que las expresiones para conservacion de masa, momentolineal y angular pueden obtenerse de (3.45) con Q = 1, v y r×v, respectivamente.

4

Vortices

El capıtulo se inicia con un estudio de la nocion de vorticidad, que resulta ser unaredefinicion con caracter local de la nocion de velocidad angular. De hecho, la nocionde vorticidad puede hacerse equivaler a la velocidad angular diferencial.

Despues del estudio de algunos perfiles simples de vorticidad y de la definicionde intensidad del vortice y del flujo del campo de vorticidad, se propone que lavorticidad se adhiere a las partıculas del fluido, viaja con ellas, y que el campo devorticidad carece de fuentes; tiene divergencia nula.

Se identifican a continuacion algunas de las mas importantes fuentes de vorti-cidad y se enuncian dos teoremas importantes validos para flujo isentropico y unteorema debido a Lebovitz valido para sistemas autogravitantes.

La presentacion termina con el estudio de diversos tipos de vortices y con ladiscusion del efecto Magnus, de importancia en la descripcion del movimiento de laspelotas de baseball, que no se realiza en el plano vertical que se asocia al movimientoparabolico.

4.1. Vorticidad

Una cantidad introducida en la seccion 3.4 en conexion con el teorema de Hankel-Kelvin es el rotacional de la velocidad, cantidad conocida como la vorticidad, ξ,definida como:

ξ = ∇× v; . (4.1)

Como consecuencia de su definicion, ∇ · ξ = ∇ ·∇× v = 0 , de lo que se sigueque el campo de vorticidad tiene divergencia nula. Esta proposicion sera exploradamas tarde.

Un vortice es una region de un fluido que gira alrededor de un punto o una lınea.

83

84/ Hidrodinamica

Puede observarse la vorticidad en la superficie de un fluido siguiendo el movimien-to de un corcho o un recorte de papel sobre el cual se ha marcado una cruz. Si losbrazos de la cruz giran es senal de que hay vorticidad.

Sin vorticidad no habrıa vientos, ¿por que?

4.1.1. El sentido fısico de la vorticidad

Considerese un solido que gira con velocidad angular ω, constante por simplicidad.De v = ω × r se sigue que:

ξ = ∇× v = ∇× (ω × r)

= ω(∇ · r)− r(∇ · ω) + (r ·∇)ω − (ω ·∇)r

= 3ω − ω = 2ω .

Se ha tenido en cuenta que las derivadas espaciales de ω son nulas. Ası, en uncuerpo rıgido, con ω constante: ω = ξ/2.

En un fluido, ξ es una funcion de la posicion (y en general del tiempo) querepresenta, en cada punto, el doble de la velocidad angular de un elemento de fluido.

Si en algun punto ∇× v es cero, el flujo es irrotacional en ese punto. En talcaso un elemento de fluido en ese punto no tiene velocidad angular.

4.1.2. Perfiles de vorticidad

De ξ = ∇× v se sigue, de acuerdo al teorema de Stokes y a la ecuacion (3.14):∫

S

ξ · dS =

∫

S

∇× v · dS =

∮

c

v · dl ≡ Γ .

Se ha definido la circulacion del campo de velocidad en la forma:

Γ =

∫

S

ξ · dS .

La curva cerrada c rodea una superficie abierta S. Si la curva c rodea un vorticeen el fluido, y es tal que dl es paralelo a v, entonces Γ es positiva y da una medidade la rotacion del fluido alrededor del vortice.

∇× v es diferente de cero en la vecindad de un vortice. Pero tambien ∇× v

puede ser diferente de cero en regiones donde no hay vortices (es decir, en regionesdonde el fluido no circula alrededor de un punto), siempre y cuando exista ungradiente transverso de velocidad, como en el siguiente caso, ilustrado en la figura4.1a, en la que un fluido viscoso baja por un plano inclinado.

En la seccion 6.10 se demuestra que en este caso:

vz = A[1− (x/L)

2],

4. Vortices /85

Lz

x

β

c

g

v

x

z

ξ

v

j

a b

Figura 4.1: a. Un fluido viscoso baja a lo largo de un plano inclinadodesarrollando vorticidad. b. Campos de velocidad y vorticidad en el flujo viscosounidimensional a lo largo del plano inclinado. En ambos dibujos la vista es lateral

donde A es una constante que depende, entre otros factores, de la viscosidad delfluido. Utilizando coordenadas cartesianas puede concluirse que:

ξ = ∇× v =2A

L2xj .

Puede observarse en la grafica 4.1 que la circulacion a lo largo de la curva cerradac es diferente de cero. La figura 4.1bmuestra los campos de velocidad y de vorticidad.

Ahora bien, en coordenadas cilındricas (r, ϕ, z) el rotacional se escribe:

∇×A = er

[1

r

∂Az

∂ϕ− ∂Aϕ

∂z

]+ eϕ

[∂Ar

∂z− ∂Az

∂r

]

+ ez1

r

[∂(rAϕ)

∂r− ∂Ar

∂ϕ

].

Si el flujo ocurre en el plano (r, ϕ), con v = eϕvϕ(r), esta expresion se reduce a:

ξ =ez

r

∂

∂r(rvϕ) .

Un par de casos interesantes es el siguiente:• vϕ = Ar. En este perfil el fluido gira como un solido, y se conoce como flujo

tipo rueda (figura 4.2a). La vorticidad es constante e igual a ξ = 2Aez.• vϕ = A/r. Este perfil de velocidad implica ξ = 0 en r 6= 0 y ξ 6= 0 en el eje;

ξ esta concentrado, por tanto, en una lınea (figura 4.2b). Este caso corresponde aun filamento de vorticidad.

86/ Hidrodinamica

Problema:

Calcule el campo de vorticidad ξ y la circulacion Γ del siguiente campo de veloci-dad: v = j a x.

x

v v

x

(a) (b)a b

v v

ξ

ξ

Figura 4.2: Campos de velocidad y vorticidad a. en el flujo tiporueda, b. alrededor de un filamento de vorticidad

4.2. Circulacion y vorticidad

De acuerdo con la seccion 3.4, el teorema de Hankel-Kelvin es valido solo para flujoisentropico.

La cantidad Γ, en la ecuacion (3.14), puede ser interpretada como una medidade la velocidad media de rotacion −a lo largo de la curva cerrada− de la integral decirculacion de v. La cantidad Γ se mantiene constante en el tiempo. Puesto que elcontorno c se desplaza con el fluido, resulta que Γ viaja con el fluido manteniendofijo su valor. Es cierto que:

dS

c dl

Figura 4.3: Relacion de regla de mano derechaentre dl y dS para una superficie abierta

Γ =

∮

c

v · dl =∫

S

∇× v · dS =

∫

S

ξ · dS = Φξ .

De acuerdo con el teorema de la divergencia, Φξ da el flujo del campo de vorti-cidad sobre una superficie abierta rodeada por una “curva material” c (figura 4.3)que viaja con el fluido, y es tambien la intensidad del vortice Γ que corresponde ala circulacion del campo v. Ademas, es una constante: Γ = Φξ = constante.

4. Vortices /87

De aca se sigue que la vorticidad promedio en una seccion transversal es inver-samente proporcional a la seccion transversal:

Γ =

∫

S

ξ · dS =

(1

S

∫

S

ξ · dS)S = 〈ξ〉S .

La intensidad del vortice, Γ =∮cv · dl, es analoga a la intensidad de corriente

electrica, i =∫J · dS = (1/µ0)

∮cB · dl, como se vera en detalle en el capıtulo 5.

Ahora bien, puesto queDΓ/Dt = 0, segun el teorema de Hankel-Kelvin, se sigue:

DΦξ

Dt= 0 ,

de acuerdo con lo cual los vortices no pueden crearse o destruirse. Son una propiedadconvectiva del flujo. La vorticidad se “adhiere” a las partıculas individuales del fluidoy viaja con ellas. Debe notarse que Φξ es el flujo de ξ a traves de una superficie queviaja con el fluido; este no es el caso en magnetismo, pues allı dS es fijo.

Un tubo de flujo de lıneas de campo de velocidad tiene paredes laterales cons-truidas con vectores v “enraizados” en una curva c (figura 4.4a).

De∫ξ · dS =constante, o de ∇ · v = 0 se sigue:

∫

S1

ξ · dS =

∫

S2

ξ · dS , es decir:

es decir:

Γ1 = Γ2 .

de acuerdo con el teorema de Hankel-Kelvin. Como consecuencia, si el fluido giramas de prisa el tubo se encoge (figura 4.4b); en efecto, de

∮v ·dl = Γ se sigue que la

velocidad promedio a lo largo de la curva c es inversamente proporcional al radio:〈v〉 = Γ/2πr.

Una vez iniciado, el movimiento de rotacion de una porcion de fluido ideal (noviscoso) no puede perderse; no puede tampoco generarse rotacion en una porcionde fluido que no estuviera ya rotando.

Puesto que ξ = ∇× v, es siempre cierto que ∇ · v = 0, de modo que, indepen-dientemente de la forma de la superficie cerrada se cumple que

∮ξ · dS = 0.

En particular, puede escogerse un tubo de flujo estacionario de lıneas ξ, conocidocomo tubo de vorticidad (figura 4.4c), caracterizado por tener flujo lateral nulo, talque

∮ξ · dS = 0 de donde

∮S1

ξ · dS =∮S2

ξ · dS: ası pues, el flujo de vorticidad queentra es igual al que sale.

Puesto que∇·ξ = 0 es siempre cierto que el campo de vorticidad no tiene fuentes,es decir, no hay puntos dentro del fluido de donde salen o a donde convergen laslıneas del campo ξ, por lo cual, las lıneas del campo ξ son cerradas o terminan en

88/ Hidrodinamica

la frontera del fluido. Las lıneas de ξ cerradas se llaman anillos de vorticidad, y suejemplo cotidiano mas hermoso es el anillo de humo de los fumadores.

Una lınea de vortice es la que en cada punto lleva la direccion de ξ en ese punto.

Un tubo de vorticidad, como se ha dicho, es un tubo vectorial del campo ξ,formado por lıneas de vortice que pasan a traves de una curva cerrada c. Cuandola seccion transversal es muy pequena se habla de un filamento de vorticidad osimplemente de un vortice (figura 4.5a).

v mayor

v menorv menor

v mayor

x

S1

S2

x

S2

v

n2

n1 x

S1

S2

x

S1

S2

ξ

a b c

c

S1

Figura 4.4: a.Tubo de flujo formado con lıneas de campo de velocidad. b. En un tubode flujo de velocidad la velocidad es tanto menor cuanto mayor sea el radio del tubo. c.Las paredes de un tubo de vorticidad estan formadas por vectores ξ

ξ

v

a a

vξ

Figura 4.5: a. Filamento de vorticidad. b. Hoja de vorticidad

Una hoja de vorticidad (figura 4.5b) es una superficie que es tangente al vectorξ en cada uno de sus puntos.

Si un tubo de vorticidad se comprime, su seccion transversal decrece por lo queξ debe aumentar; ası, el estrechamiento del tubo de vorticidad puede incrementar lavorticidad, pero no puede crearla ni destruirla.. Un tubo de vorticidad con intensidaddiferente de cero no puede terminar en el interior del fluido. O forma un anillo o seextiende hasta el infinito o esta unido a una frontera solida. En efecto, si terminaseen un punto dentro del fluido, entonces ξ serıa cero en ese punto pero, por el teoremade Hankel-Kelvin deberıa ser cero desde el principio del tubo.

4. Vortices /89

4.3. Fuentes de vorticidad

Una fuente de vorticidad, usualmente la mas importante, es la viscosidad del fluido,como lo muestra el siguiente caso.

Sea una placa plana P en movimiento horizontal por la accion de alguna fuerzaexterna (figura 4.6). La placa pone en movimiento las capas del fluido que estansobre ella, a diferentes distancias, hasta que se establece un perfil de velocidad comose muestra en la figura.

v S

A B

C D

P

Figura 4.6: La placa plana inferior, en movimiento hacia la derecha,genera vorticidad en las capas sucesivas de un fluido viscoso

La circulacion a lo largo del contorno ABCD es diferente de cero (debido algradiente de velocidad) por, lo que ∇× v 6= 0. Las aspas S giran en direccioncontraria a las agujas del reloj debido a que la velocidad del fluido es mas alta cercaa la placa.

Este ejemplo muestra difusion de la velocidad debida a la viscosidad. En losfluidos perfectos (ideales) no hay tal difusion; por lo que las lıneas de vorticidad,una vez creadas, persisten.

Otro caso en el que aparece vorticidad es en el encuentro de dos flujos de diferentevelocidad, que generan un perfil donde hay vorticidad. Este comportamiento apareceen la secuencia de la figura 4.7.

¿Como se entiende aquı el teorema de Hankel-Kelvin? ¿Aparecio vorticidaddonde no la habıa?

El teorema de Hankel-Kelvin vale para un fluido sin viscosidad, isentropico ycon fuerzas volumetricas conservativas.

Estas restricciones permiten enumerar dos fenomenos responsables de la genera-cion de vorticidad:

• La viscosidad genera vorticidad en la frontera del fluido, y se propaga pordifusion.

• Falta de barotropıa, lo que ocurre cuando la presion depende no solo de ladensidad sino tambien de la temperatura, por ejemplo. En la figura 4.8 se muestraun recipiente con fluido, colocado cerca a una fuente de calor que genera vorticidad

90/ Hidrodinamica

dentro del fluido. inmediatamente encima de la llama (punto c) el fluido alcanza,por conveccion, una velocidad mas alta que en zonas mas frias, de modo que lacirculacion alrededor de la trayectoria c no es nula.

v

v

1

2

a b c

v1

v2

Figura 4.7: En a. se muestra el encuentro de dos fluidos dediferente velocidad. En b. aparecen los perfiles de velocidadcorrespondientes a cada fluido. c. En la zona comun, entre los dosperfiles, aparece vorticidad

v

calor

c

Figura 4.8: Una fuente termica cercana a un fluidogenera vorticidad

4.4. Dos teoremas sobre vorticidad

1. Si una superficie (o una curva) se mueve con el flujo de un fluido isentropicoy es una hoja (o curva) de vorticidad en t = 0, lo seguira siendo para t > 0.

En efecto, si ξ · n = 0 en t = 0, entonces:∫

S

ξ · n dS∣∣∣t=0

= 0 , de donde:ξ · n∣∣∣t= 0 .

2. El siguiente teorema fue enunciado por Helmholtz en 1858:Para flujo isentropico es cierto que:

d

dt

(ξ

ρ

)−(ξ

ρ·∇)v = 0 ;

4. Vortices /91

El cociente ξ/ρ es la vorticidad por unidad de masa propagada con el movimientodel fluido.

Demostracion

La ecuacion (3.5) puede expresarse en la forma:

∂v

∂t− v × ξ +∇

(1

2v2 +H + G

)= 0 .

Tomando el rotacional y teniendo en cuenta que:

∇× ∂v

∂t=

∂

∂t∇× v =

∂ξ

∂tse sigue:

∂ξ

∂t−∇× (v × ξ) = 0 . Puesto que:

∇× (v × ξ) = (ξ ·∇)v − ξ(∇ · v)− (v ·∇)ξ + v(∇ · ξ) ,con ∇ · ξ = 0 se sigue:

∂ξ

∂t+ (v ·∇)ξ − (ξ ·∇)v + ξ(∇ · v) = 0 ,

o tambien, utilizando (2.14):

Dξ

Dt− (ξ ·∇)v + ξ(∇ · v) = 0 . (4.2)

Ademas, la ecuacion de continuidad puede expresarse en la forma:

Dρ

Dt+ ρ∇ · v = 0 .

Eliminando ∇ · v entre esta ecuacion y (4.2):

Dξ

Dt− (ξ ·∇)v − ξ

ρ

Dρ

Dt= 0 , equivalente a:

D

Dt

(ξ

ρ

)−(ξ

ρ·∇)v = 0 . (4.3)

De (4.3) pueden obtenerse algunas conclusiones:• Para un flujo incompresible bidimensional: ∇ · v = 0, de donde v = ∇ψ× k

y ξ = ∇× v = ∇ × (∇ψ × k) = −k∇2ψ, por lo cual de (4.3), con ξ · ∇ ≡ 0, sesigue:

D

Dt∇2ψ = 0 ,

92/ Hidrodinamica

esto es: ∇2ψ = constante. Tambien:

D

Dt

(ξ

ρ

)= 0 , de donde:

ξ

ρ=ξ

ρk = constante .

• Para un fluido incompresible 3-D:

D

Dt

(ξ

ρ

)−(ξ

ρ·∇)v = 0 .

Si ∇ · v = 0 es cierto que v = ∇×A. Ası:

ξ = ∇× v = ∇× (∇×A) = ∇(∇ ·A)−∇2A .

En este caso puede escogerse el gauge ∇ ·A = 0.• Es demostrable que:

D

Dt

(ξ

ρ·∇Q

)=

ξ

ρ·∇DQ

Dt+

1

ρ

(∇× Dv

Dt

)·∇Q , (4.4)

donde Q es una funcion escalar, vectorial o diadica, de r y t.

Problema:

Demuestre que, para Q = r, (4.4) se reduce a (4.3).

4.5. Teorema de Kelvin-Lebovitz

En el caso de sistemas autogravitantes, hay una aplicacion importante del teoremade Hankel-Kelvin referida a trayectorias cerradas trazadas en la superficie de unfluido, con dl paralelo a la velocidad.

De acuerdo cn la ecuacion (??a):

dΓ

dt=

∮

c

dv

dt· dl = −

∮

c

[∇P

ρ+∇G

]· dl ,

pero∮c∇G ·dl =

∮dG = 0. Puesto que la superficie del fluido es una isobara y como

en la superficie dl es perpendicular a ∇P , se sigue que la integral que contiene Pse anula. Ası, Γ es constante, si se calcula a lo largo de una trayectoria que siga laslıneas de flujo y este ubicada en su superficie.

Problema:

1. Demuestre la validez del anterior teorema en un sistema rotante con velocidadangular constante.2. Demuestre que este teorema puede generalizarse a cualquier contorno localizadosobre una superficie isobara en el interior del fluido, si dl es paralelo a la velocidad.No es necesario imponer la condicion de que el flujo sea isentropico.

4. Vortices /93

4.6. Vortices y tornados

Un vortice bidimensional esta asociado a un filamento de vorticidad rectilıneo, queen la figura 4.9 sale del plano del papel. La velocidad es, en verdad, bidimensionalsi no hay efectos de borde, y es la misma en todos los planos paralelos que sonperpendiculares al filamento, esto es:

v = eϕvϕ , vr = vz = 0 .

Si el fluido es incompresible: ∇ · v = 0, de donde, en coordenadas polares:∂vϕ/∂ϕ = 0, por tanto vϕ = vϕ(r).

Un vortice libre es aquel en el que el flujo es irrotacional (∇× v = 0), de modoque ∂(rvϕ)∂r = 0,por lo cual: vϕ = C/r.

.

f cte

ycte

vv

a

.b

a

b

a b

Figura 4.9: a.Campo de velocidad asociado a un filamento devorticidad perpendicular al plano del papel. Los cırculoscorresponden a potencial de velocidad φ constante, en tanto quepara las lıneas radiales ψ (la funcion de flujo) es constante. b. Loscontornos a y b se utilizan para la evaluacion de la circulacion

La vorticidad es cero en r 6= 0 y diferente de cero en r = 0, lo que muestra que setrata de un filamento de vorticidad. (Para un vortice forzado, vϕ no es proporcionala 1/r, tal que la vorticidad es diferente de cero en todo el espacio). Se sigue que:

Γ =

∮

c

v · dl =∮

ϕ

eϕvϕ · eϕr dϕ

=

∮

ϕ

C

rr dϕ = 2πC .

por lo cual: C = Γ/2π. Entonces:

v =eϕΓ

2πr, (4.5)

94/ Hidrodinamica

con Γ constante; Γ/2π es la intensidad del vortice libre. Puesto que v = ∇φ sesigue, de (4.5):

er∂φ

∂r+

eϕ

r

∂φ

∂ϕ=

eϕΓ

2πr

el potencial de velocidad es, entonces:

φ =Γ

2πϕ .

Problema:

Demuestre que, en este caso, la funcion de flujo es:

ψ = −Γ

2πln( r

a

)

,

donde la constante de integracion ha sido escogida tal que ψ = 0 en r = a.Observe que ∇ψ ·∇φ = 0, como debe ser, degun la seccion 3.7.2.

La expresion v = eϕΓ/2πr es divergente en r = 0, de modo que un vortice libreno ocurre naturalmente, aunque los tornados, huracanes y remolinos se aproximana vortices libres.

Cerca del centro de un tornado las velocidades llegan a ser muy altas y las pre-siones muy bajas; como resultado de efectos viscosos, sin embargo, estas velocidadestienden a cero en cercanıas del centro. El ojo de un huracan, por ejemplo, es unlugar de relativa calma.

El agua que baja girando hacia el drenaje en una banera se aproxima a unvortice libre.

Problema:

Considerando el contorno a de la figura 4.9b, demuestre que, para un vortice libre:∮

v · dl = 0. ¿Que pasa en el contorno b que rodea el eje?

Ejercicio

Un tanque cilındrico, abierto a la atmosfera, contiene un lıquido de densidad cons-tante, en estado estacionario; en su interior hay un vortice forzado en r < a, y enr > a hay un vortice libre y otro forzado. Estudiar el regimen de presiones y laforma de la superficie libre. El fluido se extiende hasta distancias mucho mayoresque a.

• Para r < a:v = eϕvϕ = ωreϕ .

De la ecuacion hidrodinamica (3.9) en coordenadas polares:

∂P

∂ϕ= 0 , −vϕ

r+

1

ρ

∂P

∂r= 0 ,

1

ρ

∂P

∂z+ g = 0 ,

4. Vortices /95

de donde P = P (r, z), y:

dP =∂P

∂rdr +

∂P

∂zdz = ρω2r dr − ρg dz = ρ d

(ω2r2

2− gz

);

se sigue: P = ρ(ω2r2/2− gz

)+C. Si P = P0 en r = 0, z = z0, entonces: C = ρgz0,

por lo cual:

P = P0 + ρ

(ω2r2

2− g(z − z0)

).

Este perfil de presion es valido en r < a. La superficie libre del lıquido, corres-pondiente a P = P0 es un paraboloide de revolucion; v = ωr es un vortice forzadoy representa un flujo del tipo rueda.

La altura del fluido en r = a se calcula haciendo P = P0, r = a, z = b; se obtieneb = z0 + ω2a2/2g.

• Para r > a: vϕ = ωr + Γ/2πr y:

dP = ρv2ϕrdr − ρg dz =

ρ

r

(ωr +

Γ

2πr

)2

dr − ρg dz

= ρ

(ω2r +

Γ2

4π2r3+ωΓ

πr

)dr − ρg dz .

En consecuencia:

P − P0 = ρ

(ω2r2

2− Γ2

8π2r2+ωΓ

πln r

)− ρgz +D .

En r = a, z = b, se tiene P = P0; con esta condicion se obtiene D. Finalmente:

P = P0 + ρ

[ω2

2(r2 − a2)− Γ2

8π2

(1

r2− 1

a2

)+ωΓ

πln( ra

)]− ρg(z − b) .

El perfil de presion se muestra en la figura 4.10.

4.6.1. Fuente lineal y vortice libre

Para la fuente lineal es cierto que:

ψ1 =Q

2πLϕ+ constante .

Para el vortice libre:

ψ2 = − Γ

2πln( ra

).

De acuerdo con el teorema sobre superposicion de movimientos:

ψ = ψ1 + ψ2 =Q

2πLϕ− Γ

2πln( ra

)+ constante .

96/ Hidrodinamica

Problemas:

1. Evaluar v y P . Dibuje las lıneas del campo v. Son espirales.2. Considere un sistema formado por una fuente lineal, un vortice libre y un flujouniforme v = −iv0. Evaluar ψ, v y P .

P = Po

b

a

zo

z

r

z0

z

b

a

P = P0

r

Figura 4.10: Perfil de presion. En r < a hay unvortice forzado. En r > a hay un vortice libre yotro forzado

Ejercicio

Estudiar el sistema formado por un dipolo hidrodinamico, un vortice libre y un flujouniforme, en coordenadas polares. El fluido es incompresible. Este sistema permitedescribir el efecto Magnus.

Para el flujo uniforme en direccion i: ψ1 = −v0r senϕ.Para el dipolo en direccion i: ψ2 = µ

2πr senϕ.

Para el vortice libre: ψ3 = − Γ2π ln (r/a) .

Es cierto, entonces, que el sistema se describe con:

ψ = −v0r senϕ+µ

2πrsenϕ− Γ

2πln( ra

)

=(−v0r +

µ

2πr

)senϕ− Γ

2πln( ra

).

Una lınea de corriente con ψ = 0 puede construirse con r2 = a2 = µ/2πv0, talque µ = 2πv0a

2, por lo que:

ψ = −v0(r − a2

r

)senϕ− Γ

2πln( ra

). (4.6)

Puesto que r = a es un cilindro, la ecuacion (4.6) describe el flujo de un fluidocon circulacion Γ que bordea un cilindro de radio a.

El perfil de velocidad se calcula de v = ∇ψ × k. Se sigue:

vr = −v0(1− a2

r2

)cosϕ ,

vϕ = v0

(1 +

a2

r2

)senϕ+

Γ

2πr. (4.7)

4. Vortices /97

En r = a, la componente radial de la velocidad es cero y la velocidad tangenciales vϕ = 2v0 senϕ + Γ/2πa. Hay puntos, sobre la superficie del cilindro, donde lavelocidad del fluido es cero (vr = vϕ = 0); corresponden a angulos dados por

senϕ0 = − Γ

4πav0.

Hay dos valores de ϕ0 que satisfacen esta ecuacion, correspondientes a los puntosP1 y P2 de la figura 4.11a, que se conocen como puntos de estancamiento, pues enellos la velocidad del fluido es nula. Resulta que:

• Si Γ/4πav0 < 1 hay dos puntos de estancamiento situados simetricamenterespecto a la vertical que pasa por el centro del cilindro.

• Si Γ/4πav0 = 1 los puntos P1 y P2 se reducen a uno solo, P3, ubicado enϕ = 3π/2 (figura 4.11b).

Del siguiente analisis se concluye que hay un punto de estancamiento fuera dela frontera del cilindro: si r 6= a, de (4.7) para vr = vϕ = 0 se sigue cosϕ = 0, dedonde ϕ = π/2 o 3π/2. Solo el segundo valor es util para la condicion vϕ = 0 y dalugar a

Γ

4πav0=

(1 +

a2

r2

)r

2a> 1 .

Al resolver para r solo el valor con r > a es aceptable, dando lugar a un puntode estancamiento P4 (figura 4.12a).

En los tres dibujos anteriores las lıneas del campo v estan mas juntas arriba queabajo, lo que indica velocidad mas alta arriba.

El estudio anterior ha sido cinematico. Si se quiere obtener informacion sobre lapresion ha de acudirse a la dinamica.

Muy lejos, el campo de velocidad, cuyo rotacional es cero ξ = 0, es:

v = −v0er cosϕ+ v0eϕ senϕ = −v0i .

. .

P P1 2P1 P2 .

P3

P3

a b

Figura 4.11: a. P1 y P2 se conocen como puntos de estancamiento. En ellos lavelocidad del fluido es nula y corresponden a Γ/4πav0 < 1. b. Si Γ/4πav0 = 1, haysolo un punto de estancamiento P3

98/ Hidrodinamica

.

P4P4

a b

Figura 4.12: a.P4 es un punto de estancamiento fuera de la superficies del cilindro.b. En la zona sombreada exterior al cilindro la circulacion es distinta de cero

De acuerdo con el teorema de Hankel-Kelvin el rotacional ha de ser cero entoda la region excepto en la zona sombreada de la figura 4.12b, exterior al cilindro.Esta zona esta desconectada de las lıneas de flujo que vienen del infinito y tienenΓ/4πav0 < 1. Observese, por la forma de las lıneas de campo v, que, en la zonasombreada,

∮v · dl 6= 0 para una trayectoria que rodee el cilindro.

Ahora bien, de acuerdo al teorema de Bernoulli:

P +1

2ρv2 = P0 +

1

2ρv20 ,

donde P0 y v0 son valores en el infinito. Reemplazando v2 = v2r + v2ϕ se obtiene:

P = P0 −1

2ρv20

[(1− a2

r2

)2

cos2 ϕ+

(1 +

a2

r2

)2

sen 2ϕ− 1

]

− Γ2ρ

8π2r2− v0ρΓ

2πr

(1 +

a2

r2

)senϕ . (4.8)

La presion en cercanıas del cilindro es menor que P0, y en la superficie delcilindro es mayor por debajo que por encima, lo que da lugar a la fuerza ascensionaldel efecto Magnus, que se presenta cuando hay esferas o cilindros rotantes sobre loscuales viaja un fluido.

El fluido ejerce sobre cada elemento diferencial de superficie una fuerza quepuede descomponerse en vertical, Fv, y horizontal, Fh (figura 4.13a).

El arrastre resulta de la suma de los diferenciales horizontales, pero la simetrıadel problema muestra que Fh = 0: no hay arrastre en ausencia de viscosidad.

El calculo de Fv, que da lugar a la fuerza de sustentacion, es como sigue:

Fv =

∫dFv = −

∮P dA senϕ = −aL

∫ 2π

0

P senϕdϕ .

4. Vortices /99

ϕ

dFdFv

dFh

ϕv

v

a b

Figura 4.13: a. Geometrıa para el calculo de las fuerzas de arrastre y desustentacion sobre un cilindro. b. Un cilindro rotante en movimiento selevanta, ilustrando el efecto Magnus

Al reemplazar la presion, utilizando la ecuacion (4.6.1), el unico termino que dauna integral no nula es:

Fv =v0ρΓ

πaaL

∫ 2π

0

sen 2ϕdϕ , de donde se sigue:

Fv = Γρv0L .

Debe notarse que esta fuerza ascensional, independiente del radio del cilindro,lo levanta. Tal fuerza levanta el cilindro.

El flujo que propone este problema puede obtenerse dando rotacion a un cilindroalrededor de su eje, mientras a la vez esta en movimiento traslacional respecto alfluido. En este caso la circulacion resulta de la accion de la viscosidad en la superficiedel cilindro. Un experimento simple que ilustra la fuerza de sustentacion asociada alefecto Magnus es el siguiente: se enrolla una cuerda alrededor de un tubo de carton.al jalar rapidamente hacia la derecha (figura 4.13b) el cilindro se levanta.

La Fv observada es menor que la calculada y depende de la relacion longi-tud/diametro, de la rugosidad y del numero de Reynolds. El efecto Magnus seutiliza en la descripcion del movimiento de las pelotas de baseball; la trayectoria deestos cuerpos rotantes no se realiza usualmente en el plano vertical que se asocia almovimiento parabolico.

Problemas:

1. Considere una fuente lineal y un flujo uniforme. Demuestre que:

ψ = v0y +Q

2πtan−1

( y

x

)

.

100/ Hidrodinamica

Calcule vx y vy . Identifique los puntos de estancamiento.2. El llamado ovalo de Rankine (figura 4.14) se obtiene con una fuente lineal, unsumidero lineal de igual intensidad y un flujo uniforme. Demuestre que:

ψ = v0y −Q

2πarctan

(

2ay

x2 + y2 − a2

)

;

la distancia 2a es el espaciamiento entre fuente y sumidero. Calcule vx y vy .Calcule la diferencia de presion entre los puntos de estancamiento y la ubicaciondel punto de presion mınima.

Figura 4.14: Perfil de velocidad para el ovalo de Rankine

3. El agua que desciende, mientras gira, hacia el drenaje de una banera, es aproxi-madamente un vortice libre ψ = (Γ/2π) ln(r/a). Despreciando vr y vz , utilice elteorema de Bernoulli para obtener la ecuacion del embudo que forma la superficielibre del lıquido.4. Se tapa repentinamente el drenaje de una banera. El flujo resultante, se asume,tiene un vortice libre desde el infinito hasta a, y de tipo rueda (vϕ = ωr) desdea al origen. Si se desprecian vr y vϕ se sigue: ∂P/∂r = ρv2ϕ/r, ∂P/∂z = −ρg.Encuentre la forma de la superficie libre, si la profundidad en el centro de ladepresion es z0, y si el flujo cambia de vortice libre a tipo rueda en z = b (figura4.1g).5. Demuestre que la diferencia de presion entre los puntos superior e inferior deun cilindro circular rotante es ∆P = (8∆P0/v0)vϕ donde ∆P0 = Pe − P∞.La presion en el punto de estancamiento es Pe, en el infinito es P∞ y vϕ es lavelocidad circunferencial.

5

Hidrodinamica y

electromagnetismo

Este capıtulo es un intermezzo en el libro y su lectura puede omitirse sin afec-tar la continuidad del tema. Tiene el proposito de mostrar la analogıa entre lahidrodinamica newtoniana y la teorıa maxwelliana del campo electromagnetico.Comienza por explorar diversas nociones paralelas, fundamentales en la teorıa decampos: campo de induccion magnetica y componente transversa de la velocidaddel fluido, potencial vectorial magnetico y potencial vectorial hidrodinamico, den-sidad de corriente electrica y densidad del vortice, intensidad de campo electrico ycomponente longitudinal de la velocidad del fluido, potencial electrico y potencialescalar hidrodinamico, como los principales.

Esta analogıa esta en la base de la teorıa hidrodinamica del campo electro-magnetico, explorada en la segunda mitad del siglo XIX, de acuerdo con la cualel campo electrico esta asociado a fuentes y sumideros hidrodinamicos y el cam-po magnetico a vortices de eter. Esta teorıa intento describir, sin exito alguno, laspropiedades fundamentales del eter electromagnetico.

La correspondencia propuesta permite resolver problemas hidrodinamicos me-diante la solucion previa del analogo problema electromagnetico. Por ejemplo, laecuacion del campo de velocidades de un filamento lineal o circular de vorticidad, ode un anillo de humo, puede puede obtenerse de la correspondiente para el campomagnetico de una corriente lineal o circular, o de un toroide con corriente.

Un estudio de una estetica singular es el de la interaccion entre anillos de vortici-dad, ejemplificable con anillos de humo, caso en el cual la analogıa permite alcanzarconclusiones esplendidas. El capıtulo termina con el estudio de la interaccion entrevortices paralelos, siguiendo una lınea de analisis analoga a la realizada por Amperepara las corrientes electricas paralelas.

101

102/ Hidrodinamica

5.1. Un teorema de Helmholtz

Un campo vectorial es la suma de un campo longitudinal y otro transverso.Por definicion, un campo longitudinal tiene rotacional nulo; un campo transverso

tiene divergencia nula.Segun el teorema (vease Wills (1958)) el campo M puede escribirse en la forma:

M = Ml +Mt = ∇φ+∇×A .

Es claro que ∇×Ml = 0 y ∇ · Mt = 0; φ es un potencial escalar y A es unpotencial vectorial.

5.2. Magnetostatica e hidrodinamica

El campo magnetostatico esta regido por las dos ecuaciones siguientes:

∇ ·B = 0 y ∇×B = µ0Je .

El vector Je es la densidad de corriente electrica. La primera ecuacion aseguraque B es un campo transverso, de modo que existe un potencial vectorial magneticoAm, tal que B = ∇×Am. La segunda ecuacion toma la forma:

∇×B = ∇× (∇×Am) = ∇(∇ ·Am)−∇2Am = µ0Je .

Escogiendo el gauge ∇ ·Am = 0, puede escribirse:

∇2Am = −µ0Je , cuya solucion es:

Am(r) =µ0

4π

∫

V

Je(r′)

|r− r′| dV′ =

µ0i

4π

∫

l

dl′

|r− r′| .

La primera forma contiene corrientes volumetricas Je (coulombs/segm2), y lasegunda corrientes lineales i (coulombs/seg). Un elemento de corriente se escribeJe dV = i dl.

Pasando a la hidrodinamica, la parte del vector velocidad cuya divergencia esnula es vt, por lo que v = ∇×Ah. En los casos donde hay vortices pero nosumideros el campo v es enteramente transverso.

ξ = ∇× v puede escribirse:

ξ = ∇× (vt + vl) = ∇× vt = ∇× (∇×Ah) = ∇(∇ ·Ah)−∇2Ah .

Escogiendo el gauge ∇ ·Ah = 0, se obtiene:

ξ = −∇2Ah ,

5. Hidrodinamica y electromagnetismo /103

donde Ah es el potencial vectorial hidrodinamico. La solucion a la anterior ecuacionde Poisson es:

Ah(r) =1

4π

∫

V

ξ(r′)

|r− r′| dV′ =

Γ

4π

∫

l

dl′

|r− r′| ;

se ha definido aquı el elemento de vorticidad ξ dV = Γ dl, siendo Γ la intensidad delvortice.

Lo dicho hasta este punto, permite plantear las siguientes correspondencias entremagnetostatica e hidrodinamica:

B −→ vt

Am −→ Ah

B = ∇×Am −→ vt = ∇×Ah

µ0Je −→ ξ

µ0i −→ Γ∇ ·B = 0 −→ ∇ · vt = 0∇×B = µ0Je −→ ∇× vt = ξ

Estas correspondencias permiten, como se ejemplificara mas adelante, resolverproblemas hidrodinamicos estableciendo su analogıa con problemas magneticos:vortices y corrientes obedecen ecuaciones del mismo tipo, aunque es necesario en-fatizar que la analogıa no es total, pues

1. B es un campo vectorial axial, en tanto que v es un campo vectorial polar(vease Sepulveda (2009), seccion 1.3.3).

2. Esta restringida al caso estacionario. Notese que en la ecuacion∇×B = µ0Je

no se incluye la corriente de desplazamiento, que no tiene analogo hidrodinamico.

5.3. Electrostatica e hidrodinamica

Aun hay mas: el campo electrostatico puede obtenerse de un potencial escalar φe

en la forma E = −∇φe, de donde se sigue que ∇×E = 0, por lo cual el campoelectrostatico es longitudinal. Como, ademas, ∇ ·E = ρe/ε, se sigue:

∇ ·E = ∇ · (−∇φe) = −∇2φe =ρeε0, es decir:

∇2φe = −ρeε0, cuya solucion es:

φm(r) =1

4πε0

∫

V

ρe(r′)

|r− r′| dV′ .

En el caso hidrodinamico, es cierto que la componente vl se obtiene de unpotencial escalar vl = ∇φe. En consecuencia, como ∇ · vl = Q, se obtiene:

∇2φh = Q

104/ Hidrodinamica

Ası pues, la correspondencia puede extenderse para incluir la electrostatica y lahidrodinamica:

E −→ vl

−φe −→ φhE = −∇φe −→ vl = ∇φh−ρe/ε0 −→ Q∇ ·E = ρe/ε0 −→ ∇ · vl = Q∇×E = 0 −→ ∇× vl = 0

ervese que en rotE = 0 esta ausente el termino de induccion, que no tieneanalogo hidrodinamico. Ası, la analogıa se reduce al caso estacionario.

Problemas con fuentes hidrodinamicas pueden tratarse como problemas de car-gas electricas.

Ejercicios

1. Evaluar el campo magnetico debido a una corriente electrica rectilınea i.La ley de Ampere en forma diferencial, ∇×B = µ0J, puede expresarse en la

forma integral: ∮

c

B · dl = µ0i .

El campo magnetico tiene la forma de cırculos concentricos a la corriente. Toman-do una trayectoria circular, como en la figura 5.1a, se llega a B(2πr) = µ0i, de donde

B =µ0i

2πreϕ .

2. Considere un vortice lineal de intensidad Γ que genera un campo de velocidadtangencial vt en r. La ecuacion correspondiente a la ley integral de Ampere tiene laforma: ∮

c

vt · dl = Γ .

Tomando una trayectoria circular (figura 5.1b) se sigue, como en el caso magne-tostatico:

vt =Γ

2πreϕ .

Este es el perfil de velocidad de un vortice libre (ecuacion (4.5)). Observese lacorrespondencia B → vt y µ0i→ Γ.

Problema:

Utilizando el teorema de Bernoulli demuestre que:

P = P0 +1

2ρv20

(

1−a2

r2

)

,

donde P0 es la presion en r = a.


i

r

B

dS

c

k

r

dS

c

k

vt

(a) (b)a b

ki

r

B

dS

kΓ

r

vt

dS

Figura 5.1: a. Campo magnetico de una corriente rectilınea. b.Campo de velocidad de un vortice lineal

5.4. Espiras y vortices

Segun la magnetostatica elemental, el campo magnetico en el eje de una espiracircular de radio a con corriente i, como en la figura 5.2a esta dado por:

B =µ0ia

2

2(a2 + z2)3/2k .

En el centro de la espira siempre hay campo magnetico.

a ai

. .

B vt

(a) (b)a b

B

a

i

v

a

Γ

Figura 5.2: a. Campo magnetico de una espira circular decorriente. b. Campo de velocidad de un vortice anular

Este problema magnetostatico tiene su equivalente hidrostatico en un filamentode vortice en forma de anillo (vortice anular), como en la figura 5.2b. Teniendo en

106/ Hidrodinamica

cuenta la correspondencia: B → vt y µ0i→ Γ, el perfil de velocidad en el eje de unvortice anular tiene la forma:

vt =Γa2

2(a2 + z2)3/2k .

El campo de velocidad es diferente de cero en el centro, lo que significa que unvortice circular esta siempre en movimiento: su momento lineal neto es diferente decero. Ademas, a mayor radio del vortice menor velocidad central v0.

En las graficas 5.2a y 5.2b se muestran los campos B y vt para todo el espacio.La forma del campo magnetico, desarrollada en el texto de Arfken, pag. 566, con lanotacion de la figura 5.3 es:

B = µ0ia∞∑

l=1

P 1l (0)

(l − 1)!

(l + 1)!

[er

rl(l + 1)Pl(cos θ)

rl<

rl+1>

− eθ

rP 1l (cos θ)A

],

con A = rl(l + 1)/al+1 si r < a y A = −lal/rl+1 si r > a.

.

j

q

z

y

x

a

x

y

z

rθ

ϕ

a

Figura 5.3: Coordenadas esfericas

En la expresion para B, Pml (cos θ) es un polinomio asociado de Legendre,

Pl(cos θ) es un polinomio ordinario de Legendre y:

P 12l(0) = 0 y P 1

2l+1(0) =(−)l(2l + 1)!

(2ll!)2.

Problema:

Evalue el correspondiente perfil hidrodinamico. Demuestre que ∇ · vt = 0 y evaluela vorticidad ξ en todo el espacio.

5.5. Toroides y anillos de humo

La figura 5.4a representa una corriente electrica J que viaja en el interior de un anillotoroidal. Las lıneas de campo magnetico circulan alrededor del toroide. El sistema


hidrodinamico analogo es un anillo de fumador como se muestra en la figura 5.4b;en tal caso se trata de un toroide con vorticidad ξ extendida en el espacio, ası comola corriente electrica en el toroide tiene densidad volumetrica.

(a) (b)

Bv

x

a b

B v

J ξ

Figura 5.4: a. En un toroide con corriente electrica circular en suinterior, las lıneas del campo magnetico rodean el toroide. b. Elanalogo hidrodinamico es un anillo de humo, con ξ circular en elinterior y campo de velocidad rodeando el anillo. Notese en amboscasos la regla de mano derecha que conecta J con B y ξ con v

En el anillo de fumador de la figura 5.5 observe la conexion entre la direccionde movimiento del centro del vortice y la direccion de la vorticidad.

.

Vo

Figura 5.5: Natalia dedicada a producir y entenderlos campos ξ y v de un anillo de fumador

5.6. Interaccion entre vortices anulares

Un anillo de fumador es un toroide de vorticidad. Las siguientes consideracionessobre las acciones mutuas entre estos anillos seran solo cualitativas, dada la di-ficultad para realizar al nivel de este texto un analisis matematico detallado. En

108/ Hidrodinamica

el estudio siguiente el anillo de vorticidad y su campo de velocidad (figura 5.6a)sera representado por la figura 5.6b.

Observese que la vorticidad en la figura 5.6b sale del plano del papel por la partesuperior y entra por la inferior. Tomando la espira con la mano derecha la direccionde la velocidad en el centro va, con el pulgar, hacia la derecha.

vo vo

.

(a) (b)

a b

v0 v0

Figura 5.6: a. Anillo de vorticidad y su campo develocidad. b. Representacion simplificada

Ahora bien, sean los tres siguientes casos:1. Dos anillos antiparalelos, con las direcciones de vorticidad mostradas en la

figura 5.7a. En la region central la presion es menor que en otras zonas (¿porque?), por lo cual las espiras se acercan y cada uno de los vortices tiende a ampliarradialmente al otro.

vo

.

vo

.

vo

.

vo

.

(a) (b)a b

v0 v0 v0 v0

Figura 5.7: Los vortices de la figura a. se atraen y mientras seacercan se amplıan. Los vortices de la figura b. se repelen ymientras se alejan se contraen


vo

.

vo

.

A BA B

(a) (b)a b

v0 v0

A B

Figura 5.8: Interaccion entre vortices paralelos. a. Dos vorticesparalelos viajan con la misma velocidad. b. El vortice A ensanchaal B mientras el B comprime al A

2. En la figura 5.7b los vortices paralelos se alejan y cada uno comprime radial-mente al otro. La presion en la zona central es menor que en zonas lejanas. En losdos casos anteriores el momento lineal total del sistema es cero.

Es interesante notar que los dos vortices de las figuras 5.7 tienen su analogoen dos anillos de corriente electrica, cada uno de los cuales corresponde a un imanelemental. En el analogo magnetico de la figura 5.7a los polos N de los imanes estanenfrentados, por lo que las espiras se repelen; en el analogo de la figura 5.7b, lospolos S estan tambien enfrentados y hay repulsion.

Hay repulsion en los casos magnetico e hidrodinamico.3. En la figura 5.8a dos vortices paralelos identicos viajan hacia la derecha, con

la misma velocidad. De acuerdo con la figura 5.8b, el vortice B comprime al vorticeA y el A ensancha a B, de modo que B es mayor que A si, inicialmente, los vorticesson identicos.

El analogo magnetico en este caso son dos espiras con corriente electrica, conel N de la izquierda enfrentado al S de la derecha. Se presenta atraccion entre losimanes equivalentes.

Regresando al caso 1, el perfil de velocidad en el plano medio P (figura 5.9a),tiene la forma de estrella mostrado en la figura 5.9b, de modo que este plano medioactua como una pared, y el anillo de la derecha se comporta como una imagen delde la izquierda.

La conclusion a la que puede llegarse con este analisis es la siguiente: un anillode vorticidad que viaje hacia una pared, con su plano paralelo a ella, se ensancharadialmente a medida que se acerca. La pared repele el anillo de vorticidad.

110/ Hidrodinamica

.

.

v

P

(a) (b)

v

a b

v P

v

Figura 5.9: En a. se muestra un anillo de vortice frente a unapared P . En b. aparece el perfil de velocidad sobre la pared

5.7. Interaccion entre vortices lineales

Para estudiar la interaccion entre filamentos de vortice, conviene retomar el casomagnetico analogo de una corriente rectilınea i (figura 5.10). Se sabe que en estecaso el potencial vectorial A es:

A =µ0i

4π

∫ L

−L

dl√r2 + z2

=µ0i

4πk ln

[√r2 + z2 + z

r

]L

−L

=µ0i

4πk ln

[√r2/L2 + 1 + 1√r2/L2 + 1− 1

]' µ0i

2πk ln

(2L

r

).

En el ultimo paso se ha asumido que L r y se han expandido binomialmentelos radicales.

El campo magnetico es, entonces:

B =µ0i

2πrk× er =

µ0i

2πreϕ .

En consecuencia, para un vortice lineal:

B =µ0i

2πrk× er .

Ahora bien, considerese una pareja de vortices lineales antiparalelos, con la geo-metrıa de la figura 5.11.


ereϕ

dz

k

R

i

Figura 5.10: Geometrıa para el estudio del campomagnetico de una corriente rectilınea

Γ Γ

1 2

R

r

r−R

x

y

z

Figura 5.11: Geometrıa para el estudio del campode velocidad de una pareja de vortices linealesantiparalelos

Para el par de filamentos es cierto que:

v =Γ

2π

[k× r

r2− k× (−R+ r)

|R− r|2

].

Con r = ix+ jy, R = jR y |R− r| =√(r − y)2 + x2, es facil demostrar que:

v =Γ

2π

[−i

(y

x2 + y2+

R− y

x2 + (R− y)2

)+ jx

(1

x2 + y2− 1

x2 + (R− y)2

)].

Observese que v → 0 para x, y → ∞. El campo de velocidad del filamento 1 enla posicion del 2 y del 2 en la posicion del 1 son iguales y con un valor iΓ/2πR; esdecir, los dos filamentos se mueven en direccion i con igual velocidad (figura 5.12a).

112/ Hidrodinamica

La presion en la zona entre los filamentos es menor que afuera, (¿por que?) por loque los filamentos se atraen. ¿Que ocurrirıa si se tratase de corrientes electricas?

• • •×

v v v

va b

Figura 5.12: Vista superior de una pareja de filamentos devorticidad, a. antiparalelos, b. paralelos. Las flechas curvas danla direccion del campo de velocidad. Los filamentos tienden amoverse como lo indican las flechas rectas

La presion debida al filamento 1 se calcula partiendo de la ecuacion de Bernoulli:

P = P∞ − 1

2ρv2 = P∞ − 1

2ρ

(Γ

2π

)21

x2 + y2, por tanto:

∇P =ρΓ2

4π2r4r .

Entonces, la densidad de fuerza debida a 1, que actua sobre 2, ubicada en el puntox = 0, y = R, es:

f = −∇P = − ρΓ2

4π2R3j ,

de modo que 1 atrae a 2.

Problemas:

1. Considere dos filamentos de vorticidad paralelos y con vorticidad en la mismadireccion. Demuestre que el campo de velocidad es tal que los filamentos viajanen las direcciones mostradas por las dos flechas rectas en la figura 5.12b, lo queimplica que los filamentos se repelen, aunque no con direcciones opuestas.

2.Un filamento de vorticidad se coloca paralelo a una pared plana. Demuestrecon palabras (y basandose en la figura 5.12a) que el filamento viaja paralelo a lapared sin cambiar su distancia a ella, y que viaja mas rapido mientras mas cercase coloque de la pared. Demuestre, equivalentemente, que el vortice es arrastradopor su imagen.

6

Fluidos viscosos

Con el proposito de estudiar el movimiento de fluidos viscosos, conviene definir antetodo la nocion de esfuerzo, que permite comprender las fuerzas viscosas en lıquidosy gases en terminos de fuerzas normales y cortantes sobre las capas de fluido enmovimiento relativo. Los esfuerzos se representan como dıadas o matrices cuadradas,o tensores de segundo orden. En general los esfuerzos son dıadas simetricas y enparticular los esfuerzos viscosos dependen de las primeras derivadas de la velocidad.

A partir de la consideracion de los esfuerzos viscosos es posible generalizar laecuacion de Euler para obtener la ecuacion de Navier-Stokes, que es la base de ladescripcion del movimiento de fluidos viscosos.

Diversas consideraciones se hacen a partir de este punto: una concerniente a laescritura de la ecuacion de Navier-Stokes en diversos sistemas coordenados, otra so-bre su adimensionalizacion, que permite definir el numero de Reynolds, basico en eldiseno de perfiles aerodinamicos, despues de lo cual se realizan diversas aplicacionesa problemas bi y tri dimensionales, incluidos los flujos de Hele-Shaw, Couette y laley de arrastre de Stokes.

El capıtulo termina con algunas consideraciones sobre energıa para el flujo vis-coso.

6.1. Momento lineal y esfuerzos

Esta primera seccion tiene un doble proposito: 1. volver sobre la expresion quedescribe el flujo de momento lineal en un fluido, y 2. introducir la nocion de ezfuerzo,que sera util en la descripcion de los efectos viscosos.

Ante todo, ρvi es la componente i del momento lineal por unidad de volumendel fluido (vease seccion 3.12). Su rata de cambio para un volumen ∆V fijo en el

113

114/ Hidrodinamica

espacio es:∂

∂t(ρvi) = ρ

∂vi∂t

+ vi∂ρ

∂t. (6.1)

El primer termino de la derecha puede reescribirse utilizando ecuacion (3.2):

ρ∂vi∂t

= −∂iP − ρvk∂kvi + fi (ext) ,

donde ∂k ≡ ∂/∂xk. Usando la ecuacion de continuidad (3.40), el segundo terminoa la derecha de (6.1) se escribe: ∂ρ/∂t = −∂k(ρvk). Ası, en (6.1):

∂

∂t(ρvi) = −∂iP − ρvk∂kvi − vi∂k(ρvk) + fi (ext)

= −∂iP − ∂k(ρvkvi) + fi (ext)

= −∂k[Pδki + ρvkvi] + fi = −∂kTki + fi (ext) ,

donde Tki ≡ Pδki + ρvkvi, o tambien:

T = P I+ ρvv ; (6.2)

por tanto:∂

∂t(ρvi) + ∂kTki = fi (ext) ,

o, en forma de dıadas y vectores:

∇ · T+∂

∂t(ρv) = fext . (6.3)

Si fext = 0, esta expresion corresponde a una ley de conservacion. En efecto, confext = 0, e integrando en el volumen:

∫

V

∇ · T dV +

∫

V

∂

∂t(ρv) dV = 0 , se sigue:

∮

S

dS · T+d

dt

∫

V

ρv dV = 0 .

La segunda integral es el momento lineal del fluido, ası:∮

S

dS · T+dP

dt= 0 .

Si el fluido esta totalmente contenido en el interior de la superficie, de modo quenada fluye a traves de ella, entonces T|

S= 0, tal que P es constante; de lo contrario

P fluye a traves de la superficie, lo que se describe con∮dS · T.

6. Fluidos viscosos /115

La cantidad ρv es la densidad volumetrica de momento lineal del fluido (dP/dV ).T es la densidad de flujo de momento lineal del fluido (dP/dS dt), conocido tambiencomo tensor o dıada de esfuerzos.

Ha de observarse que T es simetrico: T = T, por lo cual, en vez de nueve, tienesolo seis componentes independientes. Puede escribirse:

T =∑

ij

eiejTij =∑

ij

[Pδij + ρvivj ]eiej .

La ecuacion (6.3) describe la transferencia reversible de momento lineal debidoal transporte mecanico de las partıculas del fluido de un lugar a otro y a las fuerzasdebidas a la presion que actua sobre el fluido.

La viscosidad esta asociada a transferencia irreversible de momento lineal desdepuntos donde v es grande a otros donde es pequena. Este es un proceso de difusionde momento lineal.

La dıada de esfuerzos puede escribirse como una matriz cuadrada:

T =

P + ρv21 ρv1v2 ρv1v3ρv2v1 P + ρv22 ρv2v3ρv3v1 ρv3v2 P + ρv23

.

6.2. Esfuerzos

Con el fin de estudiar el efecto de una fuerza dF que actua sobre una superficie dS(figura 6.1), conviene descomponerla en sus partes normal dFn y tangencial dFt. Losesfuerzos normal y tangencial se definen como las correspondientes fuerzas, normaly tangencial, por unidad de area:

Tn =dFn

dS, Tt =

dFt

dS.

n

dFndF

dFt

Figura 6.1: La fuerza que actua sobre unasuperficie puede descomponerse en partestangencial y normal

116/ Hidrodinamica

Ademas, dFt puede descomponerse en dos fuerzas perpendiculares dFtx y dFty,ubicadas en el plano tangencial, de modo que:

Ttx =dFtx

dS, Tty =

dFty

dS.

Tzz

Tzy

Tzx

Txx

Txz Txy

Tyy

Tyz

Tyx

xy

z

Figura 6.2: Los esfuerzos sobre un elemento diferencialde volumen se aplican sobre sus superficies y soncantidades que poseen dos direcciones a la vez, la de lasuperficie y la de la fuerza

Conviene ahora refinar la notacion. Para ello se introduce el paralelepıpedo dela figura 6.2. El elemento de area perpendicular al plano xy se llama dSz = dx dy yapunta en direccion z; en general:

dS = ex dAx + ey dAy + ez dAz = ex dy dz + ey dz dx+ ez dx dy .

El esfuerzo normal al plano xy toma la forma:

Tzz =dFz

dSz,

y los esfuerzos tangenciales al plano xy son:

Tzx =dFx

dSz, Tzy =

dFy

dSz.

El primer ındice se refiere a la direccion normal a la superficie sobre la que seaplica la fuerza, y el segundo a la direccion de la fuerza. En forma general, coni, j = 1, 2, 3 se define el esfuerzo debido a una fuerza dFj , de direccion j, que actuasobre la superficie dSi cuya normal es xi como:

Tij =dFj

dSi. (6.4)


Los esfuerzos normales tienen ındice repetido, pues la direccion de la fuerza yde la normal al plano en que se aplica son colineales.

6.2.1. Esfuerzos viscosos

Considerese un fluido confinado a la region entre dos placas paralelas (figura 6.3).La inferior es fija y la superior se mueve con velocidad v.

A medida que la placa superior se mueve arrastra consigo el fluido. Este movimien-to se transmite a las capas inferiores, estableciendose un perfil de velocidad como elmostrado en la figura. Para mantener este movimiento se necesita la accion de unafuerza, si el fluido es viscoso. Hay un amplio tipo de fluidos para los cuales, comolo establecio Newton, el esfuerzo ejercido sobre la placa superior es directamenteproporcional a la velocidad e inverso a la separacion entre las placas. Se llamanfluidos newtonianos, y para ellos es cierto que:

F

A= η

v

l= −η (0− v)

(l − 0).

El cociente F/A se conoce como esfuerzo cortante o cizalladura y se representacon la letra T , y η es un coeficiente especıfico para cada fluido, que depende de suspropiedades atomicas y moleculares, y de la temperatura.

l

x

y

v

Figura 6.3: Un fluido viscoso entre un par deplacas es arrastrado cuando la placa superior semueve. La placa inferior esta fija

Siendo mas precisos, la anterior ecuacion ha de escribirse:

Tyx = −η ∂vx∂y

,

que dice: hay un esfuerzo cortante en direccion x (en el plano xz) que se transmitehacia el interior del fluido en direccion y. El primer ındice en Tyx da la direccion enque se transmite el momento lineal, cuya direccion esta dada por el segundo ındice.Ası, momento lineal x se transmite en direccion y. Observese que y es la coordenadaperpendicular al area Ay.

118/ Hidrodinamica

Tyx es la densidad de flujo de cantidad de movimiento x en direccion y (Tyx =dpx/dAy dt).

En forma general, la ley de Newton de viscosidad tiene la forma:

Tij = −η ∂vj∂xi

. (6.5)

El signo “menos” asegura que la velocidad decrece a medida que el momento estransmitido. En los fluidos newtonianos el coeficiente η, conocida como viscosidadabsoluta o dinamica, es una constante. En los fluidos no newtonianos, entre loscuales estan los aceites, plasticos y polımeros, η depende de la velocidad (figura6.4).

En unidades c.g.s. la viscosidad tiene unidades de dina cm−2 s = gr cm−1 s−1

y se conoce como poise. La viscosidad dinamica varıa con la temperatura pero esrelativamente insensible a la presion siempre que esta sea moderada.

a

b

t

v/ x

T a

b

∂v/∂x

Figura 6.4: Dos tipos de fluido: a. pseudoplastico, b. newtoniano

La viscosidad cinematica ν se define como ν = η/ρ y sus unidades son cm2 s−1,unidades enteramente cinematicas a las que se conoce como stokes. 1 Stokes es 1cm2 s−1.

A 20C estos son algunos valores de la viscosidad absoluta (η) y cinematica (ν):

Fluido η ν

agua 0,010 0,010aire 0,00018 0,150alcohol 0,018 0,022glicerina 8,5 6,8mercurio 0,0156 0,0012

6.2.2. Fuerza y esfuerzos

Ahora bien, considerese el flujo de momento lineal a traves de un elemento di-ferencial de volumen dV . Con referencia a la figura 6.5, cantidad de movimiento de


direccion x entra al volumen ∆V por la cara 1 y sale por la 2, entra por la 3 y salepor la 4, entra por la 5 y sale por la 6.

Momento lineal de direccion x puede entrar por las caras Ax, Ay, Az debidoa esfuerzos Txx,Tyx y Tzx. Ası, de acuerdo con la definicion (6.4) de esfuerzo, elmomento lineal total en direccion x que entra por unidad de tiempo al volumen dVes:

dFx = Txx dAx + Tyx dAy + Tzx dAz .

La rata de acumulacion de cantidad de movimiento x en el elemento de volumenes la rata con que entra menos la rata con que sale:

dFx = (Txx dAx)x + (Tyx dAy)y + (Tzx dAz)z

− (Txx dAx)x+dx − (Tyx dAy)y+dy − (Tzx dAz)z+dz .

Por expansion en Taylor de los tres ultimos terminos (para el segundo, porejemplo: (Tyx dAy)y+dy = (Tyx dAy)y + ∂yTyx (dAy dy)) se obtiene:

dFx = −[∂xTxx dAx dx+ ∂yTyx dAy dy + ∂zTzx dAz dz]

= −[∂xTxx + ∂yTyx + ∂zTzx] dV = −3∑

j=1

∂jTjxdV .

1 23

4

5

6

z

x

y

dAx

dAy

dAz

Figura 6.5: Cubo diferencial a traves del cualfluye momento lineal

En general, si dFi es la rata de acumulacion en el volumen de cantidad demomento lineal con direccion i, puede escribirse:

dFi = −3∑

j=1

∂jTji dV , o: fi =dFi

dV= −

3∑

j=1

∂jTji .

En forma compacta:

f = −∇ · T . (6.6)

120/ Hidrodinamica

Es esta la conexion entre fuerza y esfuerzos. Por integracion:∫

V

f dV = −∫

V

∇ · T dV = −∮

S

dS · T = F .

En particular, para la presion T = P I, de donde:

F = −∮

S

dS · IP = −∮

S

dSP = −∮

S

P n dS .

6.2.3. Simetrıa del tensor de esfuerzos

Puede demostrarse, en forma general, que la cantidad T debe ser simetrica. Estopuede hacerse considerando el equilibrio rotacional de un cubo diferencial, bajola accion de esfuerzos. En efecto, considerando el equilibrio rotacional respecto aleje AB en la figura 6.6 (donde se representan las direcciones de las fuerzas y losesfuerzos implicados), se toman en cuenta los esfuerzos que podrıan generar torquesalrededor de ese eje. Como el torque neto ha de ser cero, se sigue, con T ′

yx = Tyx|y+dy

y T ′xy = Txy|x+dx:

(Tyx|y+dy + Tyx|y)dy

2dAy + (−Txy|x+dx − Txy|x)

dx

2dAx = 0 ,

de donde, por expansion en Taylor:

(2Tyx + ∂yTyx dy) dV − (2Txy + ∂xTxy dx) dV = 0 .

z

x

y

T ′

yx

Txy T ′

xy

TyxA

B

Figura 6.6: El cubo diferencial esta enequilibrio bajo las dos parejas de esfuerzos

Los terminos en derivadas de T dan lugar a diferenciales (dy)2 dx dz y (dx)2 dy dzque son desechables en el lımite tendiente a cero frente a los dos restantes, tal que,finalmente:

Txy = Tyx


El argumento anterior puede extenderse al equilibrio alrededor de los dos ejesrestantes, para permitir concluir que:

Tij = Tji , esto es: T = T .

Los esfuerzos, de cualquier tipo, son simetricos. Su simetrıa se debe, en el fondo,a la conservacion del momento angular. La simetrıa no solo indica que |Tij | = |Tji|,sino tambien que las direcciones relativas mostradas en la figura 6.6 son las correctas.Ası, las fuerzas que generan los esfuerzos deben apuntar, en parejas, hacia o lejosde cada arista del paralelepıpedo.

Esta dıada (o tensor de segundo orden) es reducible por diagonalizacion a trescomponentes:

T =

T1 0 00 T2 00 0 T3

,

donde T1, T2 , T3 se conocen como los esfuerzos principales.

6.2.4. Forma general del tensor viscoso

En (6.2) ambos terminos de la derecha son simetricos, lo que no ocurre con (6.5),que debe entonces ser modificada conservando sus rasgos esenciales.

Volviendo al principio, la friccion interna en un fluido, que es el origen de suviscosidad, ocurre si diferentes porciones (“capas”) se mueven con diferente veloci-dad; es necesario que haya movimiento relativo entre varias placas. Ası, el tensorviscoso, que desde ahora se llamara S (con componentes Sij), debe depender de lasderivadas espaciales de v. En el caso mas simple puede asumirse que Sij dependesolo de las primeras potencias de estas derivadas, en acuerdo con la ley experimentalde Newton, y que no contiene terminos proporcionales a la velocidad, pues Sij esnulo si la velocidad es nula.

Ademas, la forma matematica del tensor viscoso debe ser tal que Sij se anula siel fluido esta en reposo o en rotacion uniforme, es decir del tipo v = ω × r. Con elproposito de obtener la forma apropiada de Sij , ha de notarse primero que si hayrotacion rıgida, esto es si:

v = ω × r =∑

jkl

ejεjklωkxl =∑

j

ejvj , entonces:

∂ivj + ∂jvi = 0 .

122/ Hidrodinamica

Demostracion:

∂ivj + ∂jvi = ∂i

(∑

kl

εjklωkxl

)+ ∂j

(∑

kl

εiklωkxl

)

=∑

kl

εjklωkδil +

∑

kl

εiklωkδjl

=∑

k

(εjki

+ εikj

)ωk ,

y como εjki

= −εikj

se sigue lo prometido:

∂ivj + ∂jvi = 0 .

Ası pues, para que Sij se anule en un fluido en rotacion estacionaria, debecontener esta especıfica combinacion simetrica de derivadas, que es la medida delmovimiento relativo entre las diversas partes del fluido contenida en Dij en (2.6).Como se sabe, la simetrıa es tambien exigida por la conservacion del momentoangular (seccion 6.3).

Siguiendo a Stokes, puede asumirse que el tensor viscoso Sij es proporcional aDij . Tal conexion es consistente con la idea de que la friccion interna ocurre solocuando elementos de masa adyacentes se mueven con diferente velocidad. Es ciertoque ambos tensores, Sij y Dij son simetricos, pero tambien lo es δijD donde D es la

traza deDij , esto es:D =∑i=3

i=1Dij = ∇ · v. Puesto que no hay otras combinacionesde derivadas de la velocidad que sean simetricas y se transformen correctamente bajorotacion y traslacion, resulta que la forma mas general del esfuerzo viscoso es:

Sij = aDij + b δijD . Ası pues:

Sij =a

2(∂ivj + ∂jvi) + b δij∇ · v . (6.7)

El signo “menos” de (6.5) se absorbera en la definicion T = −S, como severa luego. Se asume que los coeficientes a y b son independientes de v.

Una forma mas conveniente de Sij se basa en la escritura del parentesis en (6.7)como una cantidad simetrica de traza nula. Esto remite a un teorema general delalgebra lineal que se enuncia ası: toda matriz cuadrada simetrica, con elementosreales, puede expresarse como la suma de una matriz simetrica de traza nula y otraproporcional a la matriz identidad. Entonces:

Sij = η

(∂ivj + ∂jvi −

2

3δij∇ · v

)+ ζδij∇ · v ,

donde ahora el parentesis tiene traza nula y se han redefinido los coeficientes ay b. Ahora, η = a/2 es el primer coeficiente de vorticidad, conocido en lengua


inglesa como shear viscosity y se ha introducido el segundo coeficiente de vorticidadζ = b+2η/3, conocido como bulk viscosity, asociado a la compresibilidad del fluido.En fluidos incompresibles ∇ · v = 0. Es posible demostrar que ambos coeficientesdependen solo de propiedades termodinamicas (como presion y temperatura), y queη > 0 y ζ > 0.

6.3. Ecuacion de Navier-Stokes

La ecuacion de Euler (3.2) con f = −ρ∇G se escribe:

ρDviDt

= −∂iP − ρ ∂iG

= −∑

j

∂j(Pδji)− ρ ∂iG =∑

j

∂jTPji − ρ∂iG ,

donde TPji es el tensor de esfuerzos para la presion. El tensor de esfuerzo viscoso

puede incluirse como T = −S, tal que fv = −∇·T = ∇·S; la ecuacion de movimientotiene ahora la forma:

ρ∂v

∂t+ ρv ·∇v +∇P −∇ · S+ ρ∇G = 0 , o tambien: (6.8)

ρDv

Dt+∇ · T+ ρ∇G = 0 ,

con: T = P I+ ρvv − S. La expresion

ρDv

Dt= f −∇ · T , equation∗

se conoce como ecuacion de movimiento de Cauchy (1828), y es valida para cualquierdıada T, sea de esfuerzos, viscosa, de densidad de flujo de momento lineal, etc.

La ecuacion (6.8) puede escribirse como:

∂

∂t(ρv) +∇ · (ρvv) +∇P −∇ · S+ ρ∇G = 0 .

En esta ecuacion, el primer termino describe la rata de incremento del momentolineal por unidad de volumen, el segundo describe la ganancia de momento linealpor unidad de volumen debido a la conveccion, el tercero da la fuerza por unidadde volumen debida a la presion, el cuarto da la rata de ganancia de momento linealpor unidad de volumen debida a la viscosidad y el ultimo da la fuerza gravitacionalpor unidad de volumen.

124/ Hidrodinamica

Ahora bien, es cierto que:

(∇ · S)i =∑

j

∂jSji = η∑

j

∂j

[∂ivj + ∂jvi −

2

3δji∇ · v

]+ ζ∂i∇ · v

= η∑

j

[∂i∂jvj +∇2vi

]− 2

3∂i∇ · v + ζ∂i∇ · v

= η∇2vi +(ζ +

η

3

)∂i(∇ · v) .

En forma vectorial completa:

∇ · S = η∇2v +(ζ +

η

3

)∇(∇ · v) .

Ası pues, la ecuacion de movimiento se escribe:

ρ∂v

∂t+ ρv ·∇v +∇P + ρ∇G − η∇2v −

(ζ +

η

3

)∇(∇ · v) = 0 . (6.9)

Problema:

¿Como se escribe esta ecuacion si η y ζ son funciones de la posicion?

Si el fluido es incompresible (∇ · v = 0):

ρ∂v

∂t+ ρv ·∇v +∇P + ρ∇G − η∇2v = 0 . (6.10)

Esta es la ecuacion de Navier-Stokes, desarrollada por Louis Navier (1785-1836)y George Stokes (1819-1903).

Problema:

Para flujo irrotacional demuestre que:

S = 2η∇∇φ+ (ζ − 2η/3)I∇2φ ,

y para flujo irrotacional e incompresible:

S = 2η∇∇φ .

Observese que el flujo viscoso irrotacional e incompresible satisface la mismaecuacion que el flujo no viscoso irrotacional e incompresible. En efecto, notese queη∇2v = −η∇ × ∇× v = 0 tal que la ecuacion de Navier-Stokes se reduce a laecuacion sin viscosidad. Las ecuaciones son las mismas, pero las condiciones defrontera son diferentes.

Para la ecuacion de Euler, sin viscosidad, se ha exigido que el fluido no atravieselas fronteras solidas (v · n = 0), pero puede moverse tangencialmente a ellas, estoes v × n 6= 0.


Para la ecuacion de Navier-Stokes el termino ∇2v que, en general, esta pre-sente, eleva el orden de la ecuacion diferencial de 1 a 2, lo que, matematicamente,esta acompanado por un aumento del numero de condiciones de frontera. Por ejem-plo, sobre una pared solida en reposo se anade, en el caso viscoso, la condicion deque la velocidad tangencial sea cero (condicion de deslizamiento); tal que ahora lascondiciones de frontera sobre paredes en reposo son: v|

S= 0. Una condicion de

frontera extra es exigida por condiciones de unicidad.De acuerdo con la teorıa cinetica es razonable aceptar que la componente tan-

gencial de la velocidad es cero sobre una superficie de frontera S en reposo. Experi-mentalmente se comprueba, con un alto grado de precision (inyectando tinta en elfluido), que la velocidad se acerca a cero en la frontera.

Un punto crucial en la condicion tangencial v× n = 0 es que provee un mecanis-mo por el cual una frontera puede producir vorticidad en el fluido. Vease la seccion4.3.

6.3.1. Consideraciones adicionales

1. La presion puede ser facilmente eliminada de la ecuacion de Navier-Stokes(6.9) si la densidad es constante: Ante todo, usando en (6.9) la identidad:

∇v2 = 2v ·∇v + 2v × (∇× v) , se obtiene:

ρ∂v

∂t+

1

2ρ∇v2 − ρv × (∇× v) +∇P + ρ∇G − η∇2v = 0 .

Tomando el rotacional, y como ∇×∇ = 0:

∂

∂t(∇× v)−∇× (v × (∇× v))− ν∇2

∇× v = 0 ,

donde ν = η/ρ es la viscosidad cinematica. Con ξ = ∇× v puede escribirse:

∂ξ

∂t−∇× (v × ξ)− ν∇2ξ = 0 ;

a esta ecuacion se le han de imponer las condiciones de frontera sobre com-ponentes normales y tangenciales: v · n|

S= 0 y v × n|

S= 0, si la frontera

esta en reposo. Si la frontera esta en movimiento con velocidad v|S, la segunda

condicion se reemplaza por v × n|S= v

S.

2. La fuerza que actua sobre un elemento dS de la superficie, en reposo, querodea el fluido es:

dF = −T · dS = −(P I+ ρvv − S) · dS|S= −(P dS− S · n)|

S. Entonces:

126/ Hidrodinamica

dF

dS= −(P n− S · n)|

S;

El vector unitario n apunta hacia afuera del fluido.

3. Las condiciones de frontera para un fluido autogravitante son:

a. Continuidad del potencial gravitacional a traves de la interfase:

G1|S = G2|S .

b. Los esfuerzos se anulan en la superficie del fluido:

n · T|S= 0 ,

o, en forma equivalente:

n · (P I+ ρvv − S)|S= 0 .

Para un fluido ideal (no viscoso): (P n · I)|S= 0, equivalente a P |

S= 0.

4. Para un fluido de densidad constante la ecuacion (6.9) se escribe:

ρDv

Dt+∇(P + ρG)− η∇2v = 0 .

De la seccion 3.4 es cierto que:

DΓ

Dt=

∮

c

Dv

Dt· dl .

Reemplazando la primera en la segunda y utilizando el teorema de Stokes:

DΓ

Dt= ν

∮

c

∇2v · dl = ν

∫

S

∇× (∇2v) · dS

= ν

∫

S

∇2(∇× v) · dS = ν

∫

S

∇2ξ · dS .

La circulacion no es ahora una constante del movimiento. Su rata de cambiodepende de la viscosidad.


6.4. Navier-Stokes y sistemas coordenados

En esta seccion se presentan las componentes de la dıada T = −S + P I y de lasecuaciones de movimiento, para densidad constante y flujo incompresible, en coor-denadas cartesianas, cilındricas y esfericas.

La ecuacion de continuidad se reduce a la de incompresibilidad y puede leerseen varios sistemas coordenados en la seccion 3.3, por lo que no se incluye en lasiguiente lista.

1. En coordenadas cartesianas:

Txx = −2η∂xvx + P Tyy = −2η∂yvy + PTzz = −2η∂zvz + P Txy = −η(∂xvy + ∂yvx)Tyz = −η(∂yvz + ∂zvy) Txz = −η(∂xvz + ∂zvx) .

ρ∂vx∂t

+ ρvx∂xvx + ρvy∂yvx + ρvz∂zvx + ∂xP + ρ ∂xG − η∇2vx = 0 ,

ρ∂vy∂t

+ ρvx∂xvy + ρvy∂yvy + ρvz∂zvy + ∂yP + ρ ∂yG − η∇2vy = 0 ,

ρ∂vz∂t

+ ρvx∂xvz + ρvy∂yvz + ρvz∂zvz + ∂zP + ρ ∂zG − η∇2vz = 0 . (6.11)

2. En coordenadas cilındricas:

Trr = −2η∂rvr + P Trϕ = −η (∂ϕvr + r∂rvϕ − vϕ) /rTϕϕ = −2η (∂ϕvϕ + vr) /r + P Tϕz = −η(r∂zvϕ + ∂ϕvz)/rTzz = −2η∂zvz + P Tzr = −η(∂zvr + ∂rvz) .

ρ∂vr∂t

+ ρvr∂rvr + ρvϕr∂ϕvr + ρvz∂zvr − ρ

vϕ2

r+ ∂rP + ρ ∂rG

−η(∂2rvr +

1

r2∂2ϕvr + ∂2zvr +

1

r∂rvr −

2

r2∂ϕvϕ − vr

r2

)= 0 ,

ρ∂vϕ∂t

+ ρvr∂rvϕ + ρvϕr∂ϕvϕ + ρvz∂zvϕ + ρ

vrvϕr

+1

r∂ϕP +

ρ

r∂ϕG

−η(∂2rvϕ +

1

r2∂2ϕvϕ + ∂2zvϕ +

1

r∂rvϕ +

2

r2∂ϕvr −

vϕr2

)= 0 ,

ρ∂vz∂t

+ ρvr∂rvz + ρvϕr∂ϕvz + ρvz∂zvz + ∂zP + ρ ∂zG

−η(∂2rvz +

1

r2∂2ϕvz + ∂2zvz +

1

r∂rvz

)= 0 . (6.12)

128/ Hidrodinamica

3. En coordenadas esfericas:

Trr = −2η∂rvr + P ,

Tθθ = −2η

(1

r∂θvθ +

vrr

)+ P ,

Tϕϕ = −2η

(1

r sen θ∂ϕvϕ +

vrr

+vθr

cot θ

)+ P ,

Trθ = −η(1

r∂θvr + ∂rvθ −

vθr

),

Tθϕ = −η(

1

r sen θ∂ϕvθ +

1

r∂θvϕ − vϕ

rcot θ

),

Tϕr = −η(∂rvϕ +

1

r sen θ∂ϕvr −

vϕr

),

ρ∂vr∂t

+ ρvr∂rvr + ρvθr∂θvr + ρ

vϕr sen θ

∂ϕvr − ρv2θ + v2ϕ

r+ ∂rP + ρ ∂rG

−η[1

r∂2r (rvr) +

1

r2∂2θvr +

1

r2 sen 2θ∂2ϕvr +

cot θ

r2∂θvr

− 2

r2∂θvθ −

2

r2 sen θ∂ϕvϕ − 2

vrr2

− 2

r2vθ cot θ

]= 0 ,

ρ∂vθ∂t

+ ρvr∂rvθ + ρvθr∂θvθ + ρ

vϕr sen θ

∂ϕvθ + ρvrvθr

− ρv2ϕr

cot θ

+1

r∂θP + ρ

1

r∂θG − η

[1

r∂2r (rvθ) +

1

r2∂2θvθ +

1

r2 sen 2θ∂2ϕvθ

+cot θ

r2∂θvθ −

2 cos θ

r2 sen 2θ∂ϕvϕ +

2

r2∂θvr −

vθr2 sen 2θ

]= 0 ,

ρ∂vϕ∂t

+ ρvr∂rvϕ + ρvθr∂θvϕ + ρ

vϕr sen θ

∂ϕvϕ + ρvrvϕr

+ ρvθvϕr

cot θ

+1

r sen θ∂ϕP +

ρ

r sen θ∂ϕG − η

[1

r∂2r (rvϕ) +

1

r2∂2θvϕ

+1

r2 sen 2θ∂2ϕvϕ +

cot θ

r2∂θvϕ +

2

r2 sen 2θ∂ϕvr +

2 cos θ

r2 sen 2θ∂ϕvθ

− vϕr2 sen 2θ

]= 0 . (6.13)


6.5. Hidrodinamica adimensional

El proposito de esta seccion es estudiar las propiedades de escala de la ecuacion deNavier-Stokes, con el fin de introducir un parametro adimensional, el numero deReynolds ,Re, que da una medida de la importancia de los efectos viscosos.

Dado un problema cualquiera de flujo, es posible identificar en el una longitudcaracterıstica L (por ejemplo, el diametro de un tubo o de una esfera sumergida enun fluido, el tamano de un obstaculo dentro del fluido, la separacion entre dos placasentre las cuales viaja fluido, etc.), una velocidad caracterıstica V (por ejemplo lavelocidad lejana del fluido). Estas dos escogencias determinan una escala de tiempoT = L/V . Puede escogerse como referencia el valor ρ0 de la densidad del fluido enalgun punto conveniente, por ejemplo lejos.

En lo que sigue se escribe la ecuacion de Navier-Stokes en variables adimensio-nales denotadas con el sımbolo . Ası: xi = xi/L, vi = vi/V , t = t/T , ρ = ρ/ρ0.

La ecuacion (6.9), que es mas general que la ecuacion de Navier-Stokes (6.10)toma la forma:

ρ∂v

∂t+ ρ v · ∇v + ∇

(PT

Lρ0V

)+ ρ ∇

(GTLV

)−(ηT

L2ρ0

)∇2v

−(

T

L2ρ0

)(ζ +

η

3

)∇(∇ · v) = 0 .

Con T = L/V se sigue: P = PT/Lρ0V = P/ρ0V2, G = G/V 2; y con ν = η/ρ0

se concluye que:

ρ∂v

∂t+ ρ v · ∇v + ∇P + ρ ∇G − 1

R∇2v

−(ζ +

1

3Re

)∇(∇ · v) = 0 . (6.14)

Se han definido, ademas: ζ = ζ/ρ0L2 y Re = L2ρ0/η T = LV/ν. Esta ultima

es una cantidad construida con cantidades independientes de la presion y densidaddel fluido, que establece una relacion entre las fuerzas inerciales y las viscosas. Sele conoce como numero de Reynolds. El numero crıtico de Reynolds distingue entreel flujo laminar y el turbulento.

Dos flujos del mismo fluido, que tengan la misma geometrıa y los mismos valoresde Re y ζ + 1/3Re se llaman similares. Por ejemplo, dos sistemas con V1 = 10,

L1 = 10 y V2 = 100 L2 = 1 tienen los mismos R y ζ + 1/3Re. Las ecuacionesadimensionales (6.14) son las mismas para ambos flujos.

La similaridad de flujos es util en el diseno de modelos experimentales. En eldiseno de alas de avion, por ejemplo, en vez de construir el ala a tamano real, esmas rapido, facil y economico realizar las pruebas sobre una version a escala que

130/ Hidrodinamica

tenga la misma geometrıa que el ala real, y de modo que el numero de Reynoldssea el mismo en ambos. Puede entonces esperarse que los resultados experimentalessean cercanos al flujo real.

No puede decirse que si ν es pequeno entonces los efectos viscosos no son im-portantes, ya que no se han tenido en cuenta las otras dimensiones del problema.Decir “ν pequeno” no es una afirmacion fısicamente significativa a menos que al-guna escala de distancia y velocidad sea escogida; pero decir “Re es pequeno” sı essignificativo fısicamente.

Si Re < 1050 el flujo es laminar, es decir hay capas identificables de fluido. SiR > 3500 el flujo es completamente turbulento. La zona intermedia es de transicion.

6.5.1. La ecuacion de Stokes

Desechando los efectos de la gravedad y para flujo incompresible, (6.14) toma laforma:

ρ∂v

∂t+ ρ v · ∇v + ∇P − 1

R∇2v = 0 . (6.15)

Esta ecuacion asegura que el fluido es transportado debido a diferencias depresion, pero que tambien hay disipacion de la velocidad debido a la viscosidad.

Si Re es pequeno puede esperarse que sea valida la siguiente aproximacion:

ρ v · ∇v − 1

Re∇2v ' − 1

Re∇2v ,

tal que (6.15) puede aproximarse a:

ρ∂v

∂t+ ∇P − 1

Re∇2v ' 0 ,

que es la ecuacion de Stokes para flujo incompresible, valida para Re pequeno (flujolento, gran viscosidad, cuerpos pequenos). Es una ecuacion lineal de tipo parabolico.La solucion a esta ecuacion provee una buena aproximacion a la solucion de laecuacion de Navier-Stokes. Notese en particular que el termino no lineal ρ v · ∇v

ha sido excluido, lo que matamaticamente simplifica el problema.Para altos valores deRe, sin embargo, el termino ρ v·∇v (conocido como termino

de inercia o conveccion) es importante, y tal vez el dominante. En cualquier casoes necesario tener presente que matematicamente y sin importar cuan pequeno sea∇2v/R, produce sin embargo un gran efecto puesto que es el responsable de que lacondicion de frontera sea v|

S= 0 en vez de v · n|

S= 0.

6.5.2. Una consideracion termodinamica

Entre flujo ideal y viscoso hay una diferencia notable en cuanto a la energıa del fluido,pues el termino viscoso provee un mecanismo de conversion de energıa macroscopica


en energıa interna. Esta transferencia, segun la termodinamica, es en un solo sentido.En particular, para un fluido incompresible:

dEcinetica

dt≤ 0

De esta condicion, que asegura que la energıa cinetica no puede aumentar aexpensas de la energıa interna, es posible demostrar, y no se hara aquı, que η ≥ 0,y que para flujo compresible: η ≥ 0 y ζ ≥ 0 (ver el texto de Chorin, pag 40).

6.6. Flujo viscoso, incompresible y homogeneo

Estudiaremos este tipo de fluido en los casos bi y tridimensional.

6.6.1. Flujo 2-D

De (6.14), con ∇ · v = 0 y ρ = 1:

∂v

∂t+ v ·∇v +∇(P + G)− 1

Re∇2v = 0 .

Se ha eliminado el sımbolo que va sobre cada cantidad en (6.14) por simplicidad,pero ha de entenderse que la ecuacion es adimensional en cada termino.

Con v ·∇v = 12∇v2 − v × ξ:

∂v

∂t− v × ξ +∇

(1

2v2 + P + G

)− 1

R∇2v = 0 .

Tomando el rotacional:

∂ξ

∂t−∇× (v × ξ)− 1

Re∇2ξ = 0 . (6.16)

Se ha tenido en cuenta que, de acuerdo con la definicion de vorticidad: ξ =∇× v, y que ∇ conmuta con ∂/∂t y con ∇2. Ademas:

∇× (v × ξ) = ξ ·∇v − v ·∇ξ + v(∇ · ξ)− ξ(∇ · v) , (6.17)

y es cierto que ∇ · ξ = 0, ∇ · v = 0 y ξ ·∇ = 0, en el caso 2-D. Ası pues, (6.16)toma la forma:

∂ξ

∂t+ v ·∇ξ − 1

Re∇2ξ = 0 , (6.18)

o si se quiere:dξ

dt=

1

Re∇2ξ .

132/ Hidrodinamica

La ecuacion (6.18) muestra difusion de la vorticidad, debido a la viscosidad. Enefecto, el primero y el ultimo termino de (6.18) conforman una ecuacion de difusion;el factor v ·∇ξ indica transporte convectivo de la vorticidad.

Como se trata de flujo bidimensional incompresible se sigue que v = ∇ψ× k. Lacondicion de frontera v|

S= 0 implica ∇ψ× k|

S= 0, por tanto ∂1ψ|S = ∂2ψ|S = 0.

Problema:

En un regimen de baja velocidad puede asumirse que v · ξ ' 0, por lo cual:

∂ξ

∂t−

1

Re∇2ξ = 0 .

Demuestre que:∂

∂t∇2ψ +

1

Re∇4ψ = 0 ,

con ∇4 ≡ ∇2∇2, por lo que, en el caso estacionario:

∇4ψ = 0 .

6.6.2. Flujo 3-D

La ecuacion (6.16) es valida en este caso. Pero en (6.17), ξ ·∇ 6= 0, aunque ∇ · ξ =∇ · v = 0; por tanto, (6.16) es ahora:

∂ξ

∂t− ξ ·∇v + v ·∇ξ − 1

Re∇2ξ = 0 , (6.19)

que tambien puede escribirse:

dξ

dt− ξ ·∇v − 1

Re∇2ξ = 0 .

Esta ecuacion asegura que la vorticidad es transportada convectivamente y pre-senta difusion. Para flujo viscoso, en consecuencia, la circulacion no es una constantedel movimiento.

6.7. Ejercicios y problemas

Para la solucion de problemas de flujo es necesario tener en cuenta:

• La ecuacion de continuidad.

• La ecuacion de movimiento.

• La ecuacion de estado P = P (ρ).

• La ecuacion para η = η(P ).

En lo que sigue se asumira que η y ρ son constantes y que el flujo es incompre-sible, de modo que son validas las ecuaciones (6.13), (6.11) y (6.12).


a

x

y

vP1 P2

x = 0 x = L

Figura 6.7: Flujo a lo largo de un par de placas planas paralelas

Como un primer ejercicio considerese el flujo incompresible a lo largo de un parde placas paralelas separadas una distancia a (figura 6.7). El perfil de velocidad esindependiente de z, P = P1 en x = 0 y P = P2 en x = L.

La solucion mas simple es de la forma: vx = vx(x, y, t).

Con el proposito de aclarar el papel de la viscosidad se estudian separadamente,para este problema, los casos no viscoso y viscoso.

A. Flujo no viscoso

De ∇ · v = 0 se sigue: ∂vx/∂x = 0, de modo que vx = vx(y, t). De la ecuacionde movimiento (6.10) con G = η = 0:

ρ∂v

∂t+ ρv ·∇v +∇P = 0 ,

se sigue, para la componente x :

ρ∂vx∂t

+ ρvx∂xvx + ∂xP = 0 ,

y como ∂xvx = 0 :

ρ∂vx∂t

+∂P

∂x= 0 ;

derivando en x se sigue: ∂2xP = 0, de donde P = ax+ b.Las condiciones de frontera sobre P dan lugar a:

P = (P2 − P1)x

L+ P1 ,

y de la expresion:

ρ∂vx∂t

+∂P

∂x= 0 ,

134/ Hidrodinamica

por substitucion de P , se obtiene:

ρ∂vx∂t

+P2 − P1

L= 0 , de donde:

vx =P2 − P1

Lρt+ C .

Esta expresion asegura que, en ausencia de viscosidad, la velocidad aumentaindefinidamente con el tiempo. Esto no es cierto en un flujo real, viscoso.

¿Que ocurre con las dos restantes ecuaciones de movimiento?

B. Flujo viscoso

Las condiciones de frontera para la presion son identicas, la velocidad tienecomponente solo en x, sin dependencia de z.

La ecuacion de continuidad conduce a ∂xvx = 0.La componente x de la ecuacion de movimiento:

ρ∂v

∂t+ ρv ·∇v +∇P − 1

Re∇2v = 0 ,

da lugar a:

ρ∂vx∂t

+ ∂xP − η ∂2yvx = 0 ,

y la segunda y tercera ecuaciones de movimiento dan lugar a ∂yP = 0 y ∂zP = 0,de modo que P = P (x, t). Como P es estacionario, puede escribirse

ρ∂vx∂t

− η ∂2yvx +dP

dx= 0 ,

por lo cual dP/dx = α, esto es P = αx+C, y utilizando las condiciones de fronterase concluye que α = (P2 − P1)/L, por lo que:

P = (P2 − P1)x

L+ P1 , y ası:

ρ∂vx∂t

− η ∂2yvx = −α .

Esta ecuacion admite una solucion estacionaria de la forma:

∂2yvx = −αη.

Por integracion se obtiene:

vx =P2 − P1

2ηLy2 + βy +D .


Con las condiciones vx(y = 0) = vx(y = a) = 0 se sigue, finalmente:

vx(y) =P2 − P1

2ηLy(a− y) .

El perfil de velocidad (figura 6.8) es una parabola.

v

Figura 6.8: Perfil de velocidad de un fluido viscosoen movimiento a lo largo de un par de placasplanas paralelas

La presencia de viscosidad permite que la presion sea balanceada por el terminoη∇2v y hace posible el estado estacionario.

Problema:

Obtenga, con P constante, la siguiente solucion transiente:

vx(y, t) =

∞∑

n=1

Dne−(n2π2η/a2ρ)t sen

(nπ

at)

.

Ejercicio

Considerese un fluido viscoso de densidad constante, y en regimen estacionario, quese mueve sobre un plano inclinado bajo la accion de la gravedad. La profundidad,constante, del fluido es h (figura 6.9).

De la ecuacion de movimiento (6.10), con vx = exvx, las dos primeras compo-nentes de la ecuacion ded movimiento son:

ρvx∂vx∂t

+∂P

∂x− η∇2vx − ρgx = 0 ,

∂P

∂y− ρgy = 0 .

En las anteriores ecuaciones, gx = g sen θ y gy = −g cos θ. La tercera ecuacionde movimiento se anula identicamente.

136/ Hidrodinamica

h

g

y

x

θ

θg cos θ

g sen θ

v

Figura 6.9: Fluido en descenso por un plano inclinado

La ecuacion de continuidad da: ∂vx/∂x = 0, de modo que vx = vx(y, t). Ası pues:

−∂P∂x

+ η∂2vx∂y2

+ ρg sen θ = 0 , (6.20)

−∂P∂y

− ρg cos θ = 0 . (6.21)

De la ultima ecuacion:

P = −ρgy cos θ + f(x) ,

donde f(x) puede ser incluso una constante. Como P = P0 en y = h, se sigue:

P = P0 + ρg(h− y) cos θ .

Ası pues, (6.21) queda:

η∂2vx∂y2

+ ρg sen θ = 0 , de donde:

vx = −ρgy2

2ηsen θ + Cy +D .

En y = 0 es cierto que vx = 0, por lo que D = 0; ademas, en y = h (superficielibre del lıquido) no hay esfuerzo viscoso, Txy = 0, lo que conduce a C = ρgh sen θ/η.Entonces:

vx =ρgy

ηsen θ

(h− y

2

).

El caudal tiene la forma:

1

ρ

dm

dt=

∫vx dA =

∫vx dz dy =

ρgb

ηsen θ

∫ y=h

y=0

(hy − y2/2) dy =ρgbh3

3ηsen θ ;

la cantidad b es el ancho del canal que porta el fluido.


6.7.1. Flujo de Hele-Shaw

Se conoce con este nombre el flujo entre un par de placas paralelas separadas unadistancia h pequena (figura 6.10). El fluido es viscoco y su flujo es estacionario.

Este problema sera resuelto para un numero de Reynolds bajo, que permitadesechar v ·∇v. Las dos placas estan muy cercanas, y se asumira flujo paralelo alas placas. Ademas v = exvx, con un valor cero en z = 0 y z = h. Puede esperarseque ∂vx/∂x sea pequeno en comparacion con ∂vx/∂z.

v

z

xh

Figura 6.10: En el caso de Hele-Shaw, un fluidoviscoso se mueve entre un par de placas planasparalelas, separadas una pequena distancia h

Ası pues, la ecuacion de movimiento (6.10) tiene como componentes:

∂P

∂x− η

∂2vx∂z2

= 0,∂P

∂y= 0,

∂P

∂z= −ρg ,

y de la ecuacion de continuidad: ∂vx/∂x = 0, de donde vx = vx(z). Es ciertoentonces que P = −ρgz + f(x). Reemplazando en la primera:

∂f

∂x= η

∂2vx∂z2

, de donde se sigue:

vx =

(1

η

∂f

∂x

)z2

2+ C1(x)z + C2(x) .

Imponiendo las condiciones de frontera vx|z=0,h = 0 se sigue: C2 = 0 y C1 =−(h/2η)∂f/∂x, tal que:

vx =z

2η(z − h)

∂f

∂x.

Derivando respecto a x y con ∂vx/∂x = 0, se sigue: ∂2vx/∂x2 = 0. Entonces:

f = ax+ b y vx =z

2η(z − h)a .

Si P = P0 en x = z = 0, se sigue que P = P0−ρgz+ax y si vx = v0 en z = h/2,se obtiene a = 8v0η/h

2, por lo cual:

vx = 4z(z − h)v0h2

y P = P0 − ρgz +8v0η

h2x .

138/ Hidrodinamica

6.7.2. Flujo de Couette

Se conoce con este nombre el flujo de un fluido incompresible entre un par de pla-cas paralelas (figura 6.11). La placa inferior esta fija mientras la superior se muevehorizontalmente con velocidad constante v0, arrastrando el fluido. No hay gradientesde presion y se considera despreciable la accion de la gravedad. La velocidad tienecomponente solo en direccion x y el flujo es estacionario. Para simplificar un pocomas el problema, se asume que el numero de Reynolds es pequeno, tal que v·∇v ' 0.

v0

y

x

h

Figura 6.11: Flujo entre un par de placas planasparalelas. La placa superior se mueve con velocidadconstante

La ecuacion de movimiento (6.10) se reduce a:

∇2vx = 0 .

Si hay simetrıa en z, entonces ∂vx/∂z = 0, y de la ecuacion de continuidad sesigue que ∂vx/∂x = 0, tal que:

∂2vx∂x2

= 0 ,

cuya solucion es vx = ay + b. Al imponer la condicion de frontera vx|y=0 = 0, seobtiene b = 0, y con vx|y=h = v0 se sigue:

vx = v0y

h.

Problema:

Resuelva el problema anterior, si hay un gradiente de presion con P = P1 en x = 0,y P = P2 en x = L.

Ejercicio

Un cilindro de radio a se mueve en direccion z con velocidad v0 constante en el ejede un cascaron cilındrico hueco de radio b, como en la figura 6.12. Estudiar el perfilde velocidad para regimen estacionario, sin gradientes de presion y desechando elefecto de la gravedad. Solo existe vz(r).


v0

ab

z

Figura 6.12: Hay fluido entre los doscilindros. El cilindro interno se mueve haciaarriba, con velocidad constante v0,arrastrando el fluido viscoso, que permaneceen reposo en r = b

El termino v ·∇v se anula identicamente y de modo automatico se satisface laecuacion de continuidad. La ecuacion de Navier-Stokes se reduce a:

d

dr

(rdvzdr

)= 0 ,

cuya solucion es: vz = C ln r + E. Con vz|r=b = 0 se sigue E = C ln(r/b), y convz|r=a = v0 se obtiene finalmente:

vz = v0ln(r/b)

ln(a/b).

Problemas:

1. Evalue Trr, Trϕ, Trz , Tϕz , Tϕϕ, Tzz . Demuestre que la fuerza de friccion porunidad de longitud del cilindro es:

F

L=

2πηv0

ln(b/a).

2. Resuelva el problema anterior si, ademas, el cilindro interno gira con velocidadangular ω constante.

6.7.3. Flujo viscoso en un tubo vertical

Un fluido imcompresible y viscoso viaja a lo largo de un tubo vertical de seccioncircular, bajo la accion de un gradiente de presion. Por la simetrıa angular del flujoaxial, ϕ no aparece, por lo cual P = P (r, z) y v = ezvz(r).

La ecuacion de continuidad asegura que ∂vz/∂z = 0, de donde vz = vz(r) y dela ecuacion de Navier-Stokes:

∂P

∂r= 0 de donde: P = P (z) ,

−∂P∂z

+η

r

∂

∂r

(r∂vz∂r

)− ρg = 0 . Entonces:

140/ Hidrodinamica

ρg +dP

dz=η

r

d

dr

(rdvzdr

).

El termino de la izquierda es funcion solo de z, y el de la derecha solo de r, demodo que cada uno debe ser constante. En consecuencia:

ρg +dP

dz= α y

η

r

d

dr

(rdvzdr

),

cuyas soluciones son:

P = (α− ρg)z +B y vz =αr2

2η+ C ln r +D .

Si P = P0 en z = z0 en la primera, y si C = 0 en la segunda para evitar infinitosen r = 0, e imponiendo vz|r=a = 0 se sigue:

P = P0 + (α− ρg)(z − z0) y vz =α

4η(r2 − a2) .

Por eliminacion de α entre estas dos ecuaciones, se obtiene la siguiente depen-dencia entre la velocidad y el gradiente de la presion:

vz =(r2 − a2)

4η

[(P − P0

z − z0

)+ ρg

]. (6.22)

El valor de α puede obtenerse conocida la velocidad v0 en la superficie r = 0.Resulta α = −4ηv0/a

2, con lo cual el perfil de velocidad se expresa como:

vz = v0

(1− r2

a2

).

Este perfil de velocidad es parabolico. El caudal es:

Q =

∫dV

dt=

∫2πr dr

dz

dt=

∫ r=a

r=0

2πr dr vz ;

al reemplazar vz se obtiene la ley de Poiseuille (Jean Louis Poiseuille (1799-1869)),que expresa la dependencia del caudal con la cuarta potencia del radio:

Q =π(P0 − P )

8η(z − z0)a4 .

De (6.22), la velocidad maxima del fluido se obtiene en r = 0, y la velocidadpromedio es:

〈vz〉 =1

Az

∫vz dAz =

1

πa2

∫vz r dr dθ =

(P − P0

z − z0

)a2

8η.


Problema:

Obtenga el perfil de velocidad para el flujo axial entre dos cascarones concentricosde seccion circular y radios interior a1 y exterior a2. Demuestre que la velocidad yel caudal son:

vz =∆P

4η(z − z0)

[

a22 − r2 +a22 − a21ln(a2/a1)

ln(r/a2)

]

,

Q =π∆P

8η(z − z0)

[

a42 − a41 −a22 − a21ln(a2/a1)

]

= A〈vz〉 = π(a22 − a21)〈vz〉 .

Ejercicio: Problema de Poiseuille para un gas

Considere el flujo axial viscoso de un gas ideal en un tubo cilındrico. Asuma que elefecto de la gravedad es despreciable. Este es el problema de Poiseuille para un gas.

De la ecuacion de continuidad: ∂(ρvz)/∂z = 0 se sigue ρvz = f(r). La variableϕ no aparece debido a la simetrıa azimutal. Ası, vz = vz(r) y ρ = ρ(r).

Las ecuaciones de movimiento, utilizadas en el anterior problema de Poiseuilletienen la forma:

∂P

∂r= 0 , de donde: P = P (z) y:

−∂P∂z

+η

r

∂

∂r

(r∂vz∂r

)= 0 . Se sigue que:

Q =π(P0 − P )

8η(z − z0)a4 .

La masa por unidad de tiempo que atraviesa una seccion transversal del tuboes una constante C, por lo cual dm/dt = qρ = C; entonces:

P0 − P =8η(z − z0)C

πρa4, de donde:

dP

dz= − 8ηC

πρa4.

Si se combina esta ecuacion con la ecuacion de estado, P = ρkT/µ, se obtiene:

P 2 − P 20 =

16ηkT

πa4µ(z − z0) .

Problemas:

1. Un cilindro de radio a1 se coloca en el eje de un cascaron cilındrico de radio a2.El cascaron exterior gira con velocidad angular ω constante, y en el espacio entrelos dos hay un fluido viscoso. Este instrumento se conoce como viscosımetro de

Couette-Hatschek (figura 6.13a).

142/ Hidrodinamica

Asumiendo simetrıa en z, considerando ρ y η constantes y desechando la gravedad,demuestre que:

vϕ =ωr

[

1−(

a1

a2

)2]

[

1−(a1

r

)2]

,

Trϕ = −ηr∂

∂r

(vϕ

r

) ∣

∣

∣

r=a1

=2ηωa22a22 − a21

.

Calcule el torque por unidad de longitud sobre el cilindro interior. Pruebe queTrr = Tϕϕ = Tzz = 0 y que:

Trϕ = −ηr∂

∂r

(vϕ

r

)

= −ηrω

[1− (a1/a2)2]

∂

∂r

[

1−a1

r

]

= −2ηωa1

[1− (a1/a2)2]

1

r2.

El torque necesario para hacer rotar el cilindro a velocidad ωa2 es:

τ = a2F = a2

∫

Trϕ dAr =4ηωa21πL

[1− (a1/a2)2].

La medida del torque y la velocidad angular permiten determinar la viscosidad delfluido.Demuestre, ademas, que de la ecuacion de movimiento ∂P/∂r = ρv2ϕ/r se sigue:

∂P

∂r=

ρω2

[1− (a1/a2)2]

1

r

[

1−a21r2

]2

.

a1

a2

ω

a1

a2

ω1

ω2

a b

Figura 6.13: Dos cascarones cilındricos concentricos, con fluido entreellos. En a. solo el cascaron externo gira, en b. giran ambos

2. Resolver el problema anterior si ambos cilindros giran con velocidades angularesω1 y ω2 (figura 6.13b).Demuestre que:

vϕ =1

[1− (a1/a2)2]

[(

ω2 − ω1

(

a1

a2

)2)

r +(ω1 − ω2)

ra21

]

.

Considere los siguientes casos particulares: a. ω1 = 0. b. ω1 = ω2. c. a2→∞ conω2 → 0. d. a1 = 0


Demuestre que:

a.Trϕ|r=a1= η

[

∂vz

∂r−vz

r

]

= −2ηa22ω1 − ω2

a22 − a21,

b.F

L= Trϕ|r=a1

× 2πa1 = fuerza de friccion/longitud ,

c.

(

F

L

)

× a1 = 4πηω1 − ω2

a21 − a22a21a

22 = torque .

3. Calcule vϕ y P para el flujo debido a la rotacion de un cilindro de radio Ralrededor de su eje, si el cilindro esta en un medio muy extenso. ¿cual es la formade la superficie libre del lıquido? El fluido esta sujeto a su peso.Evalue los esfuerzos en este vortice en terminos de r y P∞.4. Un lıquido viscoso se mueve en el espacio entre dos cascarones esfericosconcentricos, como en la figura 6.14. Asuma vr = vϕ = 0. Evalue vθ, P y loselementos del tensor de esfuerzos.

Figura 6.14: Un fluido viscoso se mueveentre dos cascarones esfericos concentricos

6.8. Ley de arrastre de Stokes

Considerese el flujo estacionario, viscoso e incompresible, con densidad constante,que bordea una esfera fija de radio R. El fluido tiene una velocidad v0 en el infinito.El coeficiente de viscosidad es constante. Se desecha el campo de gravedad.

En la ecuacion de Navier-Stokes aparece el termino v ·∇v que es del orden dev2/l y tambien el termino (η/ρ)∇2v que es del orden de ηv/ρl2. El cociente de estosdos terminos es v/νl que es el numero de Reynolds. Si Re 1 puede desecharse eltermino v ·∇v.

Ası pues, la ecuacion de Navier-Stokes tiene la forma:

∇P − η∇2v = 0 . (6.23)

144/ Hidrodinamica

Tomando el rotacional:

∇×∇2v = 0 . (6.24)

Ha de tenerse en cuenta, ademas, la ecuacion de continuidad: ∇ · v = 0.Conviene descomponer el campo v en la forma v = v0 + v′, donde v0 es el

campo lejano. En consecuencia, en el infinito: v′ = 0.El desarrollo que sigue es el propuesto por Landau en Fluid mechanics, (1959).Reemplazando en la ecuacion de continuidad:

∇ · v = ∇ · (v0 + v′) = ∇ · v′ = 0 , por tanto:

v′ = ∇×A .

El campo vectorial A depende de v0 y r y es un vector axial. La forma mas simplemas simple es A ∝ r× v0 g(r) que en general puede escribirse:

A = ∇f(r)× v0 .

Es entonces cierto que:

v′ = ∇×A = ∇× (∇f(r)× v0) .

Ahora bien, en (6.24):

∇×∇2v = ∇× (∇2v′) = ∇2(∇× v′)

= ∇2[∇×∇× (∇f(r)× v0)]

= ∇2[∇(∇ · (∇f × v0)]−∇2(∇f × v0)) .

Pero ∇ · (∇f × v0) ≡ 0 por lo que:

∇2∇2(∇f × v0) = 0 , o tambien:

∇(∇2∇2f) = 0 ,

cuya solucion mas simple es:

∇2∇2f = 0 .

Puesto que f = f(r) puede escribirse ∇2∇2f = 0 como:

1

r2d

dr

(r2d

dr(∇2f)

)= 0 ,

de donde ∇2f = −C/r +D, esto es:

1

r2d

dr

(r2df

dr

)= −C

r+D , que da lugar a:

f = −Cr2

+Dr2

6− E

r. (6.25)


Problema:

Demuestre que v′ = ∇×A = ∇ × (∇f(r) × v0), en coordenadas esfericas toma laforma:

v′ = v0

[

2er cos θ

(

−C

2r+D

3+E

r3

)

− eθ sen θ

(

−C

2r+

2D

3−E

r3

)]

. (6.26)

De modo que si v′ → 0 en r → ∞, entonces D = 0. Se sigue entonces, reem-plazando en (6.25) y redefiniendo las constantes:

f = −Cr2

− E

r= ar +

b

r(6.27)

y de la ecuacuon (6.26):

v = v0

[er cos θ

(−2a

r+

2b

r3+ 1

)+ eθ sen θ

(a

r+

b

r3− 1

)]; (6.28)

hemos tenido en cuenta que (figura 6.15):

v0 = v0k = v0(er cos θ − eθ sen θ) .

ker

eθ

θ

θ

Figura 6.15: Construccion que permiteestablecer la relacion entre k, er y eθ

Puesto que se trata de un fluido viscoso, en la superficie de la esfera, v = 0, ycon esta condicion de frontera en (6.28), se sigue:

b = R3/4 y a = 3R/4 ,

por lo que el perfil de velocidad tiene la forma:

v = v0

[er cos θ

(−3R

2r+R3

2r3+ 1

)+ eθ sen θ

(3R

4r+R3

4r3− 1

)]. (6.29)

Reemplazando los valores de a y b en (6.27) se obtiene:

f =3R

4r +

R3

4r. (6.30)

146/ Hidrodinamica

El calculo de la presion puede iniciarse desde (6.23):

∇P − η∇2v = ∇P − η∇2v′ = ∇P − η∇2[∇× (∇f(r)× v0)] = 0 , (6.31)

pero:

∇× (∇f × v0) = ∇× (∇× (fv0)) = ∇(∇ · (fv0)−∇2(fv0)

= ∇(v0 ·∇f)− v0∇2f = ∇(v0 ·∇f) . (6.32)

Por tanto, de (6.31) y (6.32):

∇[P − η∇2(v0 ·∇f)] = 0 ,

cuya solucion mas simple, que satisface P = P0 en r → ∞ es:

P = P0 + η∇2(v0 ·∇f) .

Reemplazando (6.30) se obtiene:

P = P0 −3

2

v0R

r2η cos θ .

Los esfuerzos totales sobre la esfera incluyen la presion y los viscosos, y son:Trr, Trθ, Trϕ, Tθθ, Tθϕ y Tϕϕ. Las nueve fuerzas correspondientes tienen la forma:

dFr = Trr dSr , dFθ = Trθ dSr , dFϕ = Trϕ dSr ,dFr = Trθ dSθ , dFθ = Tθθ dSθ , dFϕ = Tθϕ dSθ ,dFr = Trϕ dSϕ , dFθ = Tϕθ dSϕ , dFϕ = Tϕϕ dSϕ .

Los unicos esfuerzos no nulos, capaces de generar componentes verticales de lafuerza en la superficie de la esfera son Trr y Trθ. Los demas, o son nulos, o porintegracion sobre la superficie, dan fuerzas netas nulas. La componente verticaldebida a Trθ es (figura 6.16a):

Fv = −dFθ sen θ = −Trθ dSr sen θ .

Reemplazando

Trθ = −η[1

r

∂vr∂θ

+∂vθ∂r

− vθr

],

evaluado en r = R, e integrando sobre la superficie de la esfera se obtiene:

Fv = 2πRηv0

(−3

2

)∫ π

0

sen 3θ dθ = −4πηRv0 . (6.33)


θ

θ Fv

Fh θθ

dS

dFv

dFθ

a b

Figura 6.16: Calculo de fuerzas sobre una esfera. a. Geometrıa paracalcular fuerzas vertical y horizontal correspondientes a Trθ. b. Geometrıapara calcular la componente vertical de la fuerza asociada a Trr

El esfuerzo Trr ejerce sobre la esfera una fuerza radial de direccion −er (figura6.16b), cuya componente horizontal neta es cero debido a la simetrıa azimutal, y sucomponente vertical es:

Fv =

∫Trr dSr cos θ =

∫ [−P + 2η

∂vr∂r

]dSr cos θ

∣∣∣r=R

= −∫P dSr cos θ

∣∣∣r=R

= −R2

∫ ϕ=2π

ϕ=0

∫ θ=π

θ=0

[P0 −

3

2

v0η

Rcos θ

]cos θ sen θ dθ dϕ

= −2πηRv0 . (6.34)

Ha de observarse que P0 no contribuye a Fv ¿Por que?La suma de las dos componentes verticales, (6.33) y (6.34), da:

Fv = −6πηRv0 .

Esta expresion, conocida como ley de arrastre de Stokes es valida para Re ' 0,1.Para Re = 1 predice una fuerza 10% mas baja de la observada.

Para un disco circular plano de radio R, en movimiento paralelo a su eje: Fv =16πηRv0. Para un disco de radio R, moviendose en su plano: Fv = 32ηRv0/3.

Velocidad lımite

Una esfera de densidad ρs y radio R, que cae dentro de un fluido de densidad ρl,

esta sometida a su peso, al empuje y al arrastre de Stokes; a medida que aumenta lavelocidad, tambien aumenta Fv de modo que la esfera alcanza una velocidad lımiteconstante v

lcuando la suma de las fuerzas se anula, esto es, cuando −mg+E+Fv

es cero. Ası: −ρsV g + ρlV g + 6πηRv

l= 0 ,

148/ Hidrodinamica

donde V es el volumen de la esfera. Entonces:

vl=

2

9ηR2g(ρs − ρ

l) .

Problema:

Considere un fluido viscoso en movimiento entre dos placas paralelas separadasuna distancia L (figura 6.17). La placa inferior (z = 0) esta en reposo y la superior(z = L) gira con Ω constante. No considere gravedad ni efectos de borde.

a. Escriba las ecuaciones de continuidad y movimiento. ¿De que factores depen-den la velocidad y la presion?

b. Demuestre que la ecuacion de movimiento, despues de la separacion de va-riables vθ = A(r)B(z) toma la forma:

1

A

d

dr

[

1

r

d

dr(rA)

]

+1

B

d2B

dz2= 0 .

Considere constantes de separacion α2 y −α2 respectivamente.c. Analice el caso α = 0 y demuestre que vθ = Cr(az + b).d. Para −α2 demuestre que la ecuacion radial es:

d2A

dr2+

1

r

dA

dr−

(

α2 +1

r2

)

A = 0 .

La solucion a esta ecuacion es una funcion de Bessel modificada I1(αr) (verapendice E.5).¿Por que no se utiliza la funcion de Bessel modificada K1(αr)?

x

y

z

Ω

R

L

Figura 6.17: Un fluido viscoso se colocaentre dos placas de radios muy grandes. Lasuperior gira con velocidad angularconstante

Resuelva la ecuacion para B(z). Escriba la solucion general, donde se incluye lasolucion para α = 0:

vθ = I1(αr)[D senαz + E cosαz] + Cr(az + b) .

e. Aplicando las condiciones de frontera en z = 0, L, demuestre que el perfil develocidad es:

vθ =

∞∑

n=1

DnI1(nπr

L

)

sen(nπz

L

)

+Ωr( z

L

)

.


6.9. Viscosımetro de cono y plato

Un cono de abertura θ0 gira alrededor de su eje con velocidad angular Ω, arras-trando un fluido viscoso ubicado entre θ = θ0 y θ = π/2 (figura 6.18). En el planohorizontal hay un plato circular fijo que experimenta un torque debido a la rotaciondel fluido arrastrado por el cono. Si se miden el torque y la velocidad angular esposible determinar la viscosidad.

Por simplicidad se desprecian en este analisis los efectos de gravedad y de bordey se considera que la situacion es estacionaria (Ω constante). La velocidad tiene solocomponente vϕ = vϕ(r, θ), con simetrıa azimutal.

Ahora bien, las ecuaciones de movimiento de la seccion 6.4 en coordenadas esferi-cas se reducen a:

−v2ϕr

+1

ρ

∂P

∂r= 0 ,

−v2ϕr

cot θ +1

ρr

∂P

∂θ= 0 ,

1

r

∂2

∂r2(rvϕ) +

1

r2 sen θ

∂

∂θ

(sen θ

∂vϕ∂θ

)− vϕr2 sen 2θ

= 0 . (6.35)

x

y

z

Ω

Lθ0

Figura 6.18: Un fluido viscoso se coloca enel espacio entre un cono y el planohorizontal inferior. El cono gira alrededor desu eje

La ecuacion de continuidad se satisface identicamente.La tercera ecuacion puede ser resuelta por la separacion de variables:

vϕ =1

rf(r)G(θ) , de donde se sigue:

r2f

f+

1

G sen θ

d

dθ(G sen θ)− 1

sen 2θ= 0 ,

150/ Hidrodinamica

con f = d2f/dr2 y G = dG/dθ. Se sigue entonces:

r2f

f= l(l + 1) y

1

G sen θ

d

dθ(G sen θ)− 1

sen 2θ= −l(l + 1) .

La primera ecuacion, del tipo de Euler, tiene como solucion:

f = Arl+1 +Br−l ,

y la segunda, con el cambio de variable x = cos θ, se convierte en una ecuacionasociada de Legendre con m = ±1:

d

dx

[(1− x2)

dG(x)

dx

]+

[l(l + 1)− 1

1− x2

]G(x) = 0 ,

cuya solucion es:G(x) = CP 1

l (x) +DQ1l (x) ,

donde P 1l (x) y Q

1l (x) son lo polinomios asociados de Legendre de primera y segunda

clase (veanse los apendices E.2 y E.3). Ası, la solucion de (6.35) es:

vϕ =∞∑

l=1

[Alr

l +Bl

rl+1

][ClP

1l (x) +DlQ

1l (x)] ,

Puesto que r = 0 esta incluido y como allı vϕ → ∞, se sigue que Bl = 0, demodo que la solucion puede escribirse:

vϕ =

∞∑

l=1

rl[C ′lP

1l (x) +D′

lQ1l (x)] .

Esta solucion debe satisfacer las siguientes condiciones de frontera:1. En θ = θ0 : vϕ = Ωr sen θ0.2. En θ = π/2 : vϕ = 0.

De acuerdo con la primera:

Ωr sen θ0 =∞∑

l=1

rl[C ′lP

1l (cos θ0) +D′

lQ1l (cos θ0)]

= r[C ′1P

11 (cos θ0) +D′

1Q11(cos θ0)]

+∞∑

l=2

rl[C ′lP

1l (cos θ0) +D′

lQ1l (cos θ0)] , y como:

P 11 = sen θ y Q1

1 = −(cot θ +

sen θ

2ln

(1 + cos θ

1− cos θ

))= − sen θ[ θ ] ,


donde se ha definido [ θ ] en la forma:

[ θ ] ≡[cos θ

sen 2θ+

1

2ln

(1 + cos θ

1− cos θ

)];

se sigue: Ω = C ′1 − D′

1[ θ0 ]. Para l ≥ 2 los coeficientes C ′l y D′

l son cero. Enconsecuencia:

vϕ = r[Ω +D′1([ θ0 ]− [ θ ])] .

La segunda condicion de frontera impone vϕ = 0 en θ = π/2, y como [π/2] = 0,se sigue: D′

1 = −Ω/[ θ0 ], por lo cual:

vϕ =[ θ ]

[ θ0 ]Ωr sen θ . (6.36)

Las dos primeras ecuaciones (6.35) permiten evaluar P , con vϕ dado por (6.36),por integracion de la ecuacion:

dP =∂P

∂rdr +

∂P

∂θdθ = v2ϕρ

[dr

r+ cot θ dθ

];

dAθ

dFϕ

Figura 6.19: Geometrıa para el calculo del torque debido a dFϕ

El torque ejercido por el fluido sobre la placa inferior se asocia al esfuerzo tan-gencial sobre el area dAθ = r dr dϕ (figura 6.19). Es cierto que:

dFϕ = Tϕθ dAθ

por lo cual el torque se escribe:

dτ = r dFϕ = rTϕθ dAθ ,

donde, de acuerdo con la seccion 6.4, en coordenadas esfericas, y substituyendo(6.36):

Tϕθ = −η[1

r

∂vϕ∂θ

− vϕr

cot θ

]=η

rsen θ

∂

∂θ

( vϕsen θ

)

=2ηΩ

[ θ0 ] sen 2θ.

152/ Hidrodinamica

Ası pues, el torque neto sobre la placa circular horizontal de radio R es:

τ =

∫rTϕθ dAθ

∣∣∣θ=π/2

=

∫ 2π

0

∫ R

0

r2ηΩ

[ θ0 ]r dr dϕ =

4πηΩR3

3[ θ0 ].

La ultima ecuacion permite evaluar la viscosidad conocido el diseno del instru-mento y medidos los valores de Ω y τ .

6.10. Un caso no estacionario

Un fluido viscoso incompresible, en reposo, esta confinado a un recipiente cilındricode radio a. En t = 0 la pared se pone en rotacion alrededor de su eje con velocidadangular Ω. Asumiendo que los efectos de gravedad son despreciables evaluese elperfil de velocidad vϕ(r, t).

Con vr = vz = 0, las ecuaciones de movimiento de la seccion 6.4 en coordenadascilındricas dan lugar a:

ρv2ϕr

= −∂P∂r

, (6.37)

ρ∂vϕ∂t

= µ∂

∂r

[1

r

∂

∂r(rvϕ)

], (6.38)

∂P

∂z= 0 . (6.39)

La presion depende entonces solo de r y puede evaluarse con la primera ecuacioncuando se calcule vϕ.

La segunda ecuacion permite evaluar el perfil de velocidad conocidas las condi-ciones iniciales y de frontera:

1. vϕ(a, t) = Ωa, t > 0.2. vϕ(r, 0) = 0.La ecuacion homogenea para vϕ puede resolverse por la separacion de variables:

vϕ(r, t) = R(r)T (t) , de donde:

1

R

[R+

R

r− R

r2

]=ρT

µT= −α2 .

La solucion para α = 0 es:

T ∝ e−α2µt/ρ ;

para lograr este exponencial decreciente se ha elegido −α2. La ecuacion para r,

R+R

r− R

r2+ α2R = 0 ,


es una ecuacion de Bessel de orden 1 (ver apendice E,4), tal que:

R(r) = AJ1(αr) +BN1(αr) ,

donde J1(αr) y N1(αr) son funciones de Bessel y Neumann; dado que la funcion deNeumann es divergente en r → 0 ha de hacerse B = 0. Por otra parte, con α = 0:T = constante y

R+·Rr

−R = 0, ,

cuya solucion es:

R = Cr +B

r;

puesto que r puede tomar el valor cero, debe hacerse B = 0 para evitar un infinitoen el eje, por lo que:

vϕ = Cr .

En consecuencia, la solucion general carente de infinitos tiene la forma:

vϕ = Cr +AJ1(αr)e−α2µt/ρ . (6.40)

La condicion de frontera vϕ(a, t) = Ωa, en t > 0, da lugar a:

Ωa = Ca+AJ1(αa)e−α2µt/ρ .

por lo cual C = 2Ω y αa = χ1lson las raıces de J1. Ası pues, puesto que cada valor

de l provee una solucion, habra de proponerse la siguiente suma sobre l:

vϕ = Ωr +

∞∑

l=1

AlJ1

(χ1lr

a

)e−χ2

1lµt/ρa2

.

La segunda condicion, vϕ(r, 0) = 0, permite escribir:

Ωr +

∞∑

l=1

AlJ1

(χ1lr

a

)= 0 ;

multiplicando por rJ1(χ1lr/a), integrando en r entre 0 y a, y teniendo en cuenta la

condicion de ortogonalidad de las funciones de Bessel, descrita en el apendice E.4,se sigue:

Al = − 2Ω

aχ1lJ2(χ1l), en consecuencia:

vϕ(r, t) = Ωr − 2Ω

a

∞∑

l=1

J1(χ

1lr

a

)

χ1lJ2(χ1l)

e−χ2

1lµt/ρa2

.

Observese que, en t → ∞, se obtiene vϕ(r) = Ωr, lo que significa que, despuesde un tiempo largo, el fluido gira con la pared, con velocidad angular constante Ω.

154/ Hidrodinamica

Problemas:

1. Un cilindro solido de radio a1 se fija en el eje de un cascaron cilındrico deradio a2. Entre a1 y a2 hay un fluido viscoso. En t = 0, el cascaron se pone enmovimiento con velocidad angular Ω. Calcule vϕ(r, t). Resulta que en t → ∞ elperfil es estacionario y de la forma:

vϕ = Ωr[1− (a1/a2)2]

[1− (a1/r)2],

como en un problema anterior. La solucion radial contiene, en principio, funcionesde Bessel y Neumann.

2. Un recipiente cilındrico de radio a que contiene un lıquido viscoso gira convelocidad angular Ω0 en regimen estacionario. En t = 0 la pared r = a se fre-na suavemente de modo que su velocidad angular sea Ω(t) = Ω0e−αt. Calculevϕ(r, t).

3. En el problema anterior suponga que la pared r = a se detiene repentina-mente. Estudie la evolucion de vϕ(r, t) hasta llegar al reposo.

6.11. Disipacion viscosa

Es necesario reconsiderar la argumentacion sobre conservacion de energıa propuestaen la seccion 3.12, pues ahora se trata de fluidos viscosos, en los que hay disipacionde energıa.

Los nuevos desarrollos pueden hacerse en forma paralela a los de la seccion 3.12.En efecto, en el calculo de ∂( 12ρv

2)/∂t, en vez de utilizar la ecuacion (3.2), ha deusarse (6.8), que contiene el tensor viscoso S. De esta forma, la ecuacion (3.41) tomala forma:

∂

∂t

(1

2ρv2)

= −1

2v2∇ · (ρv)− ρv ·∇

(1

2v2 +H

)

− ∇ · (ρGv)− ∂

∂t(ρG) + ρTv ·∇S + v · (∇ · S) .

El calculo de ∂(ρε)/∂t es el mismo del numeral 4 de la seccion 3.12. De estemodo, en vez de (3.42) se obtiene:

∂

∂

(1

2ρv2 + ρε+ ρG

)= −∇ ·

[(1

2v2 +H + G

)ρv

]+ v · (∇ · S) .

El ultimo termino puede transformarse en:

v · (∇ · S) =∑

ij

vi∂jSji =∑

ij

∂j(viSji)−∑

ij

Sji∂ivj

= ∇ · (S · v)− S : ∇v , tal que:

∂

∂t

(1

2ρv2 + ρε+ ρG

)+∇ ·

[(1

2v2 +H + G

)ρv − S · v

]= −S : ∇v . (6.41)


El ultimo termino, −S : ∇v, corresponde a la rapidez de conversion irreversiblede energıa interna. Es un termino disipativo. En el balance de energıa no se haincluido el trasporte termico, de modo que se trata entonces de un fluido isotermico,palabra que aquı significa que el calor generado por la friccion no causa un cambioapreciable en la temperatura. El termino S : ∇v, sin embargo, es responsable decambios apreciables en la temperatura en sistemas de flujo rapido donde ∇v esgrande, como en el vuelo a alta velocidad y en la lubricacion.

Problema:

Demuestre que:

S : ∇v =1

2ηS : S+

(

ζ −2

3η

)

(∇ · v)2 .

Utilizando el resultado del problema anterior, la ecuacion (6.41) puede escribirse:

∂E∂t

+∇ · S = −[1

2ηS : S+

(ζ − 2

3η

)(∇ · v)2

],

donde E es la densidad volumetrica de energıa (dE/dV ) y S el vector de Poyn-ting (densidad de flujo de energıa, (dE/dAdt)). La energıa disipada por unidad detiempo es:

dE

dt= −

∫

V

[1

2ηS : S+

(ζ − 2

3η

)(∇ · v)2

]dV . (6.42)

Ejercicio

Evaluar la potencia disipada dE/dt en un fluido viscoso, en el caso de un flujopotencial incompresible (donde, por tanto v = ∇φ y ∇ · v = 0).

De ∇× v = 0 se sigue: ∂ivj − ∂jvi = 0, tal que:

S : S = η2∑

ij

(∂ivj + ∂jvi)(∂ivj + ∂jvi)

= 4η2∑

ij

∂ivj∂ivj = 4η2∑

ij

[∂i(vj∂ivj)− vj∂i∂ivj ]

= 4η2[∇ · ((∇v) · v)− (∇2v) · v] .

Para flujo incompresible: ∇× v = 0, o v = ∇φ, y como ∇ · v = 0, es ciertoque ∇2φ = 0; en consecuencia:

∇(∇2φ) = ∇2(∇φ) = ∇2v = 0 , por lo cual:

S : S = 4η2∇ · ((∇v) · v) = 2η2∇ · (∇v2) ,

156/ Hidrodinamica

ası pues, en (6.42) con ∇ · v = 0, la potencia disipada es de la forma:

dE

dt= − 1

2η

∫

V

S : S dV = −η∫

V

∇ · (∇v2) dV

= −η∮

S

dS ·∇v2 = −η∮

S

∂v2

∂ndS < 0 .

Puesto que el resultado es una cantidad negativa, es cierto que se trata dedisipacion y es irreversible.

6.12. Magnetohidrodinamica

Hay una rama de la fısica, que conjuga el electromagnetismo y la hidrodinamica,que se ha desarrollado ampliamente debido a sus aplicaciones en plasmas para fusionnuclear, nubes interestelares, entre otros. Uno de los acercamientos a la solucion deestos problemas es la formulacion clasica que hace uso de las ecuaciones de Maxwelly de Navier-Stokes.

En lo que sigue supondremos la existencia de un fluido electricamente cargado,compuesto de partıculas electricas o iones.

Dado un campo electromagnetico, E y B, el movimiento de una carga puntualse describe por la ecuacion de fuerza de Lorentz F = q(E+v×B/c), que se asumevalida aun para campos variables con el tiempo. Si la distribucion de cargas esvolumetrica, para un elemento diferencial de carga debe escribirse: dF = dq(E+v×B/c). Puesto que dq = ρ′ dV , ρ′v = J, donde ρ′ es la densidad volumetrica de cargaelectrica (carga/volumen), J la densidad de corriente electrica (carga/area tiempo),y si f es la densidad volumetrica de fuerza (dF/dV ), se sigue entonces:

f = ρ′E+J×B

c. (6.43)

A partir de esta ecuacion, y con el concurso de las ecuaciones de Maxwell, esposible obtener el tensor de campo electromagnetico que es el analogo de tensorde esfuerzos (6.2). Incluiremos, ademas, fuerzas gravitacionales, para las cuales f =−ρ∇G. El procedimiento es como sigue:

De las ecuaciones de Maxwell para las fuentes (vease Sepulveda (2009a)), enunidades gaussianas:

ρ′ =1

4π∇ ·E, J =

c

4π

(∇×B− 1

c

∂E

∂t

)


y reemplazando ρ′ y J en la ecuacion (6.43) se sigue:

f =1

4π

[E(∇ ·E) + (∇×B)×B− 1

c

∂E

∂t×B

]

=1

4π

[E(∇ ·E)−B× (∇×B)− 1

c

∂

∂t(E×B) +

1

cE× ∂B

∂t

]

=1

4π

[E(∇ ·E)−B× (∇×B)− 1

c

∂

∂t(E×B)−E× (∇×E)

].

Teniendo en cuenta la identidad diadica, valida para cualquier campo A:

∇ ·(AA− 1

2I (A ·A)

)= A(∇ ·A)−A× (∇×A) ,

se obtiene la siguiente expresion:

∇ · (−T′) +

∂g

∂t= −f , (6.44)

donde se han definido la densidad de momento lineal del campo electromagnetico,g, y el tensor de esfuerzos de Maxwell, T′, en la forma:

g =E×B

4πc=

S

c2, T

′ =1

4π

[EE+BB− 1

2I(E2 +B2)

]. (6.45)

La dıada −T′ corresponde a la densidad de flujo de momento lineal del campo. Las

componentes cartesianas de esta dıada tienen la forma:

T ′ij =

1

4π

[EiEj +BiBj −

1

2δij(E

2 +B2)

]= T ′

ji . (6.46)

Entonces, debido a la simetrıa de la dıada, de las nueve componentes de T soloseis son diferentes.

En el caso de gases cargados el-ectricamente, en la ecuacion (6.44), f es la densi-dad volumetrica de fuerza externa que aparece en la ecuacion hidrodinamica (6.3).Por tanto, con f = fext y reemplazando (6.3) y (6.44):

∇ · (T− T′) +

∂

∂t(ρv + g) . (6.47)

Esta expresion tiene la forma de una ley de consercacion, de acuerdo con lacual, el momento lineal total de los campos hidrodinamico y electromagnetico seconserva.

En el caso particular de medios continuos neutros electricamnete (ρ = 0), escierto, segun las ecuaciones de Maxwell que E = 0. Las anteriores ecuaciones danlugar, entonces, a lo que se conoce como magnetohidrodinamica.

Apendices

A

Delta de Dirac

Para el caso unidimensional la “funcion” delta es a menudo definida por las siguien-tes propiedades:

δ(x) = 0 si x 6= 0 ,∫ ∞

−∞δ(x) dx = 1 ,

∫ ∞

−∞f(x) δ(x) dx = f(0) .

En el ultimo renglon la primera ecuacion es caso particular de la segunda cuandof(x) = 1. δ(x) es real. f(x) es continua en x = 0.

De estas definiciones se sigue que δ(x) debe ser un “pico” infinitamente altoy delgado de area 1. En el sentido usual, ninguna funcion de tal clase existe. Esposible aproximar, sin embargo, la “funcion” delta por una variedad de funcionesllevada a un lımite, por ejemplo:

1. δn(x) =n√πe−n2x2

, de donde:∫∞−∞ δn(x) dx = 1 .

El area bajo la curva es independiente de n.

2. δn(x) = n/π(1 + n2x2) .

3. δn(x) = sennx/πx .

lımn→∞ δn(x) no existe; sin embargo, reconociendo

∫ ∞

−∞f(x)δ(x) dx = f(x0) ,

como la propiedad fundamental, puede tratarse δ(x) en la forma:

∫ ∞

−∞f(x) δ(x) dx = lım

n→∞

∫ ∞

−∞f(x) δn(x) dx .

Ası , por ejemplo, con δn(x) = ne−n2x2

/√π:

161

162/ Hidrodinamica

∫ ∞

−∞f(x) δ(x) dx = lım

n→∞

∫ ∞

−∞

n√πe−n2x2

f(x) dx

= lımn→∞

n√π

∫ ∞

−∞e−n2x2

f(x) dx

= lımn→∞

n√πf(0)

∫ ∞

−∞e−n2x2

dx

= lımn→∞

n√πf(0)

√π

n= f(0) .

Se ha tenido en cuenta que para n muy grande la integral es apreciable solo six→ 0. Ahora, desplazando la singularidad al punto x = x0 se tiene:

∫ ∞

−∞f(x) δ(x− x0) dx = f(x0) , (A.1)

o tambien:

∫ b

a

f(x) δ(x− x0) dx =

f(x0) , si a ≤ x0 ≤ b0 , si x0 > 0 o x0 < a

∫ b

a

f(x) δ(x− x0) dx =

f(x0) , si a ≤ x0 ≤ b

0 , si x0 > 0 o x0 < a

En tres dimensiones:∫ ∞

−∞f(r) δ(r− r0) dV = f(r0) ,

donde, en coordenadas cartesianas:

δ(r− r0) = δ(x− x0) δ(y − y0) δ(z − z0) .

La siguiente es una identidad de gran importancia en teorıa de campos:

∇2

(1

|r− r′|

)= −4πδ(r− r′) . (A.2)

B

Operadores diferenciales

En sistemas coordenados ortogonales en tres dimensiones, el elemento diferencialde lınea se define por:

dr =∑

i

∂r

∂uidui =

∑

i

hieidui ,

donde las coordenadas de un punto corresponden a (u1, u2, u3), hi son los factoresde escala y ei son los vectores unitarios:

hi =

∣∣∣∣∂r

∂ui

∣∣∣∣ , ei =1

hi

∂r

∂ui.

Veanse los detalles en Sepulveda (2009).El elemento de volumen es:

dV = h1h2h3 du1du2du3 ,

y el vector de superficie tiene componentes:

dSi = hjhk dujduk (i 6= j 6= k) .

Con h definido como h1h2h3, los operadores diferenciales basicos se expresan enla forma:

∇φ =∑

i

ei

hi

∂φ

∂ui,

∇ ·A =1

h

∑

i

∂

∂ui

(Ai

hi

),

∇×A =1

h

∑

ijk

ei hi εijk∂

∂uj

(Akhk

),

163

164/ Hidrodinamica

∇2φ =1

h

∑

i

∂

∂ui

(h

h2i

∂φ

∂ui

).

En coordenadas esfericas, por ejemplo: (u1, u2, u3) = (r, θ, ϕ), con:

x = r sen θ cos ϕ , y = r sen θ senϕ , z = r cos θ ,

por lo que:

r = ix+ jy + kz

= ri sen θ cos ϕ+ rj sen θ senϕ+ rk cos θ ,

de donde: h1 =

∣∣∣∣∂r

∂r

∣∣∣∣ = 1 , h2 = r , h3 = r sen θ , h = r sen 2θ .

El elemento de volumen es dV = r2 sen θ dr dθ dϕ y:

er = i sen θ cos ϕ+ j sen θ senϕ+ k cos θ ,

eθ = i cos θ cos ϕ+ j cos θ senϕ− k sen θ ,

eϕ = −i senϕ+ j cos ϕ .

Recıprocamente:

i = er sen θ cos ϕ+ eθ cos θ cos ϕ− eϕ senϕ ,

j = er sen θ sen ϕ+ eθ cos θ senϕ+ eϕ cos ϕ ,

k = er cos θ − eθ sen θ .

Los operadores diferenciales en las coordenadas usuales son:

• Cartesianas: (x, y, z)

∇φ =∑

i

ei∂φ

∂xi,

∇ ·A =∑

i

∂Ai

∂xi,

∇×A = ex

[∂Az

∂y− ∂Ay

∂z

]+ ey

[∂Ax

∂z− ∂Az

∂x

]

+ez

[∂Ay

∂x− ∂Ax

∂y

],

∇2φ =∑

i

∂2φ

∂x2i.

Apendice B. Operadores diferenciales /165

• Cilındricas: (ρ, ϕ, z)

∇φ = eρ∂φ

∂ρ+ eϕ

1

ρ

∂φ

∂ϕ+ ez

∂φ

∂z,

∇ ·A =1

ρ

∂

∂ρ

(ρAρ

)+

1

ρ

∂Aϕ

∂ϕ+∂Az

∂z,

∇×A = eρ

[1

ρ

∂Az

∂ϕ− ∂Aϕ

∂z

]+ eϕ

[∂Aρ

∂z− ∂Az

∂ρ

]

+ez1

ρ

[∂(ρAϕ)

∂ρ− ∂Aρ

∂ϕ

],

∇2φ =1

ρ

∂

∂ρ

(ρ∂φ

∂ρ

)+

1

ρ2∂2φ

∂ϕ2+∂2φ

∂ϕ2.

• Esfericas: (r, θ, ϕ)

∇φ = er∂φ

∂r+

1

reθ∂φ

∂θ+ eϕ

1

r sen θ

∂φ

∂ϕ,

∇ ·A =1

r2∂(r2Ar)

∂r+

1

r sen θ

∂(sen θAθ)

∂θ+

1

r sen θ

∂Aϕ

∂ϕ,

∇×A =er

r sen θ

[∂(sen θAϕ)

∂θ− ∂Aθ

∂ϕ

]

+eθ

r

[1

sen θ

∂Ar

∂ϕ− ∂(rAϕ)

∂r

]+

eϕ

r

[∂(rAθ)

∂r− ∂Ar

∂θ

],

∇2φ =1

r2∂

∂r

(r2∂ϕ

∂r

)+

1

r2 sen θ

∂

∂θ

(sen θ

∂φ

∂θ

)

+1

r2 sen2 θ

∂2φ

∂ϕ2.

C

Dıadas

Entre vectores unitarios ortogonales, en el espacio tridimensional, tres tipos de pro-ducto pueden ser definidos:

Escalar: ei · ej = δijPuesto que A =

∑iAiei, B =

∑iBiei, se sigue que:

A ·B =∑

ij

ei · ejAiBj =∑

i

AiBi .

Vectorial: ei × ej =∑

k εijkek, tal que:

A×B =∑

kij

ekAiBj ;

εijk es el sımbolo de Levy-Civita, definido por ε123 = 1 y antisimetrico respecto alintercambio de ındices contiguos. Ası, por ejemplo, ε123 = −ε213 = ε132 y ε : 112 =ε111 = 0. Es cierto que:

3∑

k=1

εijkεlmk = δilδjm − δimδjl .

Diadico: Da como resultado una forma bilineal en los vectores de la base:

AB =

(∑

i

Aiei

)∑

j

Bj ej

=

∑

ij

AiBj eiej .

AB se conoce como dıada. Es una forma bilineal en ei. En general, sin referenciaal producto de dos vectores, una dıada o diadico se define como:

T =∑

i j

Tij eiej ,

166

Apendice C. Dıadas /167

T =∑

i j Tji eiej es la transpuesta de la dıada T y Tij son las componentes de T.Una dıada de interes particular es la identidad (o unidad), escrita como:

I =∑

i

eiei =∑

ij

δij eiej ;

ası pues, las componentes de la identidad diadica son los elementos de la delta deKronecker. Es cierto que:

I ·A = A · I = A ,

y, en general, T ·A 6= A · T, a no ser que T sea simetrica, es decir que Tij = Tji.El producto escalar entre dos dıadas es una dıada:

T ·M =∑

ijk`

Tij eiej · eke`Mk`

=∑

ijk`

TijMk`eie` δjk

=∑

ij

TijMj` eie` .

Puede tambien definirse un producto escalar doble entre dıadas de acuerdo conla prescripcion:

eiej : eke` = δi` δjk , tal que:

T : M =∑

ij TijMji , que es un escalar.Facilmente puede probarse que:

• La divergencia de una dıada es un vector.

• El gradiente de un vector es una dıada.

• El rotacional de una dıada es una dıada.

• a ·M · b = ba : M = M : ba.

D

Identidades vectoriales y

diadicas

• A× (B×C) = (A ·C)B− (A ·B)C

• A · (B×C) = B · (C×A) = C · (A×B)

• ∑i eiei =

∑ij δij eiej = I

• A · I = I ·A = A

• I× ei = ei × I = −∑ij εijk ej ek

• ∇×∇φ = 0

• ∇ ·∇×A = 0

• ∇(φA) = (∇φ)A+ φ∇A

• ∇(A ·B) = (A ·∇)B+ (B ·∇)A+A× (∇×B) +B× (∇×A)

=(∇B)·A+ (∇A) ·B• ∇ · (φA) = φ∇ ·A+A ·∇φ

• ∇ · (A×B) = B · (∇×A)−A · (∇×B)

• ∇ · (AB) = B(∇ ·A) + (A ·∇)B

• ∇ · (φT) = φ∇ · T+∇φ · T• ∇× (∇×A) = ∇(∇ ·A)−∇2A

• ∇× (φA) = φ∇×A+∇φ×A

• ∇× (A×B) = A(∇ ·B)−B(∇ ·A) + (B ·∇)A− (A ·∇)B

• ∇× (∇× T) = ∇(∇ · T)−∇2T

168

Apendice D. Identidades vectoriales y diadicas /169

• ∇× (AB) = (∇×A)B− (A×∇)B

• ∇ · (T×A) = (∇ · T)×A+ (T ·∇)×A , T es el transpuesto de T.

• ∇ · (A× T) = (∇×A) · T−A · (∇× T)

• ∇ · (A · T) = A · (∇ · T) + T : (∇A)

• ∇ · (T ·A) = (∇ · T) ·A+ T : (∇A)

• ∇ · r = 3

• ∇× r = 0

• ∇rn = n r rn−1

• ∇

(1

|r−r′|n−1

)= −(n− 1) r−r

′

|r−r′|n+1 , n 6= 1

• ∇2(r ·A) = 2∇ ·A+ r · ∇2A

• r ·∇×A = iL ·A , con L ≡ 1i r×∇

•∫∇φdV =

∮φdS

•∫∇A dV =

∮dSA

•∫∇ ·A dV =

∮dS ·A , Teorema de la divergencia

•∫∇ · T dV =

∮dS · T

•∫∇×A dV =

∮dS×A

•∫∇× T dV =

∮dS× T

•∫∇×A · dS =

∮A · d` , Teorema del rotacional

•∫dS ·∇× T =

∮d` · T

•∫dS ×∇φ =

∮φd`

E

Funciones de Legendre y

Bessel

En las siguientes secciones se presentan algunas de las propiedades mas impor-tantes de las funciones especiales utilizadas en el texto. Una buena cantidad depropiedades adicionales puede encontrarse en los libros de Gradshteyn-Ryzhik yAbramowitz-Stegun que se indican en la bibliografıa.

E.1. Algunas propiedades de P`(x)

Los polinomios de Legendre ordinarios de primera clase Pl(x) son soluciones,con l entero positivo, a la ecuacion diferencial:

(1− x2)Pl(x)− 2xPl(x) + l(l + 1)Pl(x) = 0 .

P0(x) = 1 , P1(x) = x , P2(x) =12 (3x

2 − 1) ,

P3(x) =12 (5x

3 − 3x) , P4(x) =18 (35x

4 − 30x2 + 3) ,

P5(x) =18 (63x

5 − 70x3 + 15x) .

1. Recurrencias:

• P`+1 − P`−1 − (2`+ 1)P` = 0, ` ≥ 1, P ≡ dP/dx .

• (`+ 1)P`+1 − (2`+ 1)xP` + `P`−1 = 0, ` ≥ 1 .

• P`+1 − xP` − (`+ 1)P` = 0, ` ≥ 0

• (x2 − 1)P` − `xP` + `P`−1 = 0, ` ≥ 1 .

170

Apendice E. Funciones de Legendre y Bessel /171

2. Valores especiales:

• P0(x) = 1 .

• P`(±1) = (±1)` .

• P2`+1(0) = 0 .

• P2`(0) =(−)`(2`− 1)!!

2``!=

(−)`(2`− 1)!

22`−1`!(`− 1)!.

En la ultima lınea se introduce el factorial doble. Es suficientemente conocidoque n! = n(n − 1)(n − 2) · · · 1, por ejemplo 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1. El factorialdoble se ejemplifica con 8!! = 8× 6× 4× 2, 7!! = 7× 5× 3× 1. En general:

(2n)!! = 2n n! , (2n+ 1)!! =(2n+ 1)!

2n n!, (2n− 1)!! =

(2n− 1)!

2n−1 (n− 1)!.

Ortogonalidad:

Los polinomios ordinarios de Legendre satisfacen la condicion de ortogonalidad:

∫ 1

−1

Pl(x)Pl′(x) dx =2δll′

2l + 1.

Propiedades utiles:

• 1

(1− x2)1/2=π

2

∞∑

`=0

(4`+ 1)

[(2`− 1)!!

2``!

]2P2`(x) .

•∞∑

`=0

P`(x)t` =

1

(1− 2xt+ t2)12

, |t| < min|x±√x2 − 1| .

=

∞∑

`=0

P`(x)

t` + 1, |t| > max|x±

√x2 − 1| .

•∞∑

`=0

(2`+ 1)P`(x)t` =

1− t2

(1− 2xt+ t2)32

.

•∫ 1

−1

x`P`(x) dx =2`+1(`!)2

(2`+ 1)!.

•∫ 1

−1

xmP`(x) dx = 0 para m < ` .

Simetrıa:

• P`(−x) = (−1)`P`(x) .

172/ Hidrodinamica

E.2. Algunas propiedades de Pm` (x)

Son los polinomios asociados de Legendre de primera clase que son soluciones a laecuacion:

(1− x2)Pml (x)− 2xPm

l (x) +

(l(l + 1)− m2

1− x2

)Pml (x) = 0 ,

donde l es un entero positivo y m toma valores enteros entre −l y l. Estospolinomios satisfacen la condicion de ortogonalidad:

∫ 1

−1

Pml (x)Pm

l′ (x) dx =2

2l + 1

(l +m)!

(l −m)!δll′ .

Valores especiales:

• P 12l(0) = 0 y P 1

2l+1(0) =(−)l(2l + 1)!

(2ll!)2.

• P 0` (x) = P`(x) .

• Pm` (0) = 0 , para `+m = impar .

• Pm` (0) =

(−)`−m

2 (`+m)!

2m(`+m2

)!(`−m2

)!, para `+m = par .

• P 12`(0) = 0 .

• P 12`+1(0) =

(−)`(2`+ 1)!

(2``!)2=

(−)`(2`+ 1)!!

(2`)!!.

• Pm` (−x) = (−)`+mPm

` (x) .

• Pm` (±1) = (±1)`δm0 .

Las relaciones de recurrencia pueden encontrarse en el texto de Arfken, pag 560,citado en la bibliografıa.

E.3. Algunas propiedades de Qm` (x)

Son las funciones de Legendre asociadas de segunda clase:

• Qm` (x) = (−)m(1− x2)m/2 d

m

dxmQ`(x) .

• Q`(1) = ∞ .

• Q`(∞) = 0 .


• Q`(−x) = (−1)`+1Q`(x) .

• Q`(0) = 0 , ` : par .

• Q`(0) =(−1)`+1(2`)!!

(2`+ 1)!!, ` : impar .

• Q0(x) =1

2ln

(1 + x

1− x

), −1 < x < 1 .

• Q0(x) =1

2ln

(1 + x

x− 1

), −1 > x > 1 .

• Q1(x) =1

2x ln

(1 + x

1− x

)− 1, −1 < x < 1 .

• Q1(x) =1

2x ln

(1 + x

x− 1

)− 1, −1 > x > 1 .

• Q2(x) =1

4(3x2 − 1) ln

(1 + x

1− x

)− 3

2x .

• Q3(x) =x

4(5x3 − 3) ln

(1 + x

1− x

)− 5

2x2 +

2

3.

• Todos los Q`(x) contienen logaritmo.

• Q0(ix) = −i cot−1 x, 0 < x <∞ .

• Q1(ix) = x cot−1 x− 1, 0 < x <∞ .

• Todos los Q`(ix) contienen cot−1 x.

•∫ 1

−1

Qmn (x)Pm

` (x) dx = (−)m1− (−)`+n(n+m)!

(`− n)(`+ n+ 1)(n−m)!.

•∫ ∞

1

Pn(x)Qn(x) dx =1

(m− n)(m+ n+ 1), m > n > 0

E.4. Algunas propiedades de Jm y Nm

Son las funciones de Bessel y Neumann para m entero que son soluciones a laecuacion:

x2y(x) + xy(x) + (x2 −m2)y(x) = 0 .

1. Recurrencias:

• Jm−1(x) + Jm+1(x) =2m

xJm(x) .

• Jm−1(x)− Jm+1(x) = 2dJm(x)

dx.

174/ Hidrodinamica

• d

dx[xm Jm(x)] = xmJm−1(x) .

• d

dx

[x−m Jm(x)

]= −x−m Jm+1(x) .

• Jm(x) = (−)mxm(

d

xdx

)m

J0(x) .

2. Simetrıas:

• Jm(x) = (−1)mJm(−x) , Nm(x) = Nm(−x) .• J−m(x) = (−1)mJm(x) , N−m(x) = (−1)mNm(x) .

3. Formas lımite: Para valores de ν reales y positivos:

• x 1:

Jν(x)→1

Γ(ν + 1)

(x2

)ν.

Nν(x)→

2π [ln(x/2) + 0,5772 + · · · ] , ν = 0

−Γ(ν)π

(2x

)ν →∞ si x→0 , ν 6= 0 .

• x 1:

Jν(x)→√

2

πxcos(x− νπ/2− π/4) .

Nν(x)→√

2

πxsen(x− νπ/2− π/4) .

• ν→∞:

Jν(x)→1√2πν

(ex2ν

)ν.

Nν(x)→√

2

πν

(ex2ν

)−ν

.

• Jν(0) = δν0 .

4. Propiedades utiles:

•∞∑

n=1

J0(αnx)

αnJ1(x)=

1

2.


•∫ ∞

0

e−|α|xJn(xβ) dx =

(√α2 + β2 − |α|

)n

βn√α2 + β2

, n > −1−

•∫ ∞

0

J0(kρ)e−

√k2−α2|z|dk√k2 − α2

=eiα

√ρ2+z2

√ρ2 + z2

.

•∫ ∞

0

J0(kρ)k dk√k2 − α2

=eiαρ

ρ.

•∫∞0J0(kρ) cosαk dk =

1√

ρ2−α2si ρ > α ,

0 si ρ < α .

•∫∞0J0(kρ) senαk dk =

0 si ρ > α ,

1√α2−ρ2

si ρ < α .

• Jn(x) =1

2πin

∫ 2π

0eix−inθ dθ .

E.5. Algunas propiedades de Iν y Kν

Son las funciones de Bessel modificadas de primera y segunda clase, solucionesa la ecuacion:

x2y(x) + xy(x) + (−x2 − ν2)y(x) = 0 .

1. Recurrencias:

• Iν−1(x)− Iν+1(x) =2νx Iν(x) .

• Iν−1(x) + Iν+1(x) = 2Iν(x)x .

• Kν−1(x)−Kν+1(x) = − 2νx Kν(x) .

• Kν−1(x) +Kν+1(x) = −2Kν(x)x .

2. Simetrıas:

• Im(x) = I−m(x) , m entero .

• Km(x) = K−m(x) .

176/ Hidrodinamica

3. Formas lımite:

• x 1 : Iν(x)→ 1Γ(ν+1)

(x2

)ν

Kν(x)→− [ln(x/2) + 0,5772 · · · ]→∞ si x→0 , ν = 0 ,

Kν(x)→Γ(ν)

2

(2

x

)ν

→∞ si x→0 , ν 6= 0 .

• x 1 : Iν(x)→ 1√2πx

ex , Kν(x)→√

π2x e

−x .

F

Formulas utiles

• f(x) =∑∞

n=0(x−x0)

n

n!

(dnf(x)dxn

)

x=x0

.

• f(x) =∑∞

n=0xn

n!

(dnf(x)dxn

)

x=0.

• f(x− x0) =∑∞

n=0(x−x0)

n

n!

(dnf(x−x0)

dxn

)

x=x0

.

• f(x− x0) =∑∞

n=0xn

n!

(dnf(x−x0)

dxn

)

x=0.

• (a+ b)n =∑∞

k=0n!an−kbk

k!(n−k)! , |b| < |a| .

• (a+ b)−n =∑∞

k=0(−1)n(n+k−1)!a−n−kbk

k!(n−1)! , |b| < |a|, n > 0 .

• (a+ b+ c)n =∑∞

k=0

∑∞l=0

n!an−kbk−lcl

(n−k)!(k−l)!l! , |c| < |b| < |a| .

• cos2 x+ sen2 x = 1 .

• cosh2 x− senh2 x = 1 .

• sen(x± y) = senx cos y ± sen y cosx .

• cos(x± y) = cosx cos y ∓ senx sen y .

• senh(x± y) = senhx cosh y ± senh y coshx .

• cosh(x± y) = coshx cosh y ∓ senhx senh y .

• cosx cos y = 12 cos(x+ y) + 1

2 cos(x− y) .

• senx cos y = 12 sen(x+ y) + 1

2 sen(x− y) .

177

178/ Hidrodinamica

• senx sen y = − 12 cos(x+ y) + 1

2 cos(x− y) .

• senx = (eix − e−ix)/2i .

• cosx = (eix + e−ix)/2 .

• senhx = (ex − e−x)/2 .

• coshx = (ex + e−x)/2 .

• eix = cosx+ i senx .

• senx =∑∞

n=0(−)nx2n+1

(2n+1)! .

• cosx =∑∞

n=0(−)nx2n

(2n)! .

• senhx =∑∞

n=0x2n+1

(2n+1)! .

• coshx =∑∞

n=0x2n

(2n)! .

• ex =∑∞

n=0xn

(n)! .

• n! = n(n− 1)(n− 2) · · · 2× 1 .

• n!! = n(n− 2)(n− 4) · · · 4× 2, si n es par .

• n!! = n(n− 2)(n− 4) · · · 3× 1, si n es impar .

G

Alfabeto griego

Letra Mayuscula Minuscula

Alfa A αBeta B βGama Γ γDelta ∆ δEpsilon E εZeta Z ζEta H ηTeta Θ θIota I ιKappa K κLambda Λ λMu M µNu N νXi Ξ ξOmicron O oPi Π πRo P ρSigma Σ σTau T τUpsilon Υ υFi Φ φ, ϕChi X χPsi Ψ ψOmega Ω ω

179

H

Lista de sımbolos

Sımbolos matematicos

≈ : Aproximadamente igual a' : Igual o del orden de∝ : Proporcional a| ψ | : Modulo de ψi :

√−1

T : Matriz, dıadaT : Matriz o dıada transpuestas∇ : Gradiente∇2 : Laplaciano

Escalares

B(ρ) : Modulo de compresibilidad volumetricaE : EnergıaE : Densidad volumetrica de energıaG : Constante de CavendishG : Potencial gravitacionalGef : Potencial efectivoH : Entalpıai : Corriente de masa, corriente electricaK : Constante de Boltzmannm, M : MasaN : Numero de moleculas en un gasN0 : Numero de Avogadron : Numero de moles en un gas

180

Apendice H. Lista de sımbolos /181

P : PotenciaQ : CaudalR : Constante de los gasesRe : Numero de ReynoldsS : EntropıaT : Temperatura absolutat : TiempoV : VolumenW : Trabajoδ(x− x′) : Delta de Dirac en 1Dδ(r− r′) : Delta de Dirac en 3Dδij : Delta de Kronecker en 3Dεijk : Sımbolo de Levi-Civita en 3Dε0 : Permitividad del vacıoη : viscosidad dinnamicaΓ : Circulacion, intensidad del vorticeλ : Densidad lineal de cargaµ0 : Permeabilidad del vacıoν : Viscosidad cinematicaρ : Densidad volumetrica de masa; coordenada radial polarρe : Densidad volumetrica de carga electricaφe : Potencial escalar electricoφ, φh : Potencial escalar hidrodinamicoψ : Funcion de flujoχe : Susceptibilidad electricaχm: Susceptibilidad magneticaΘ : DilatacionΩ : Angulo solidoζ : Segundo coeficiente de viscosidad

Polinomios

Jν(x) : Funciones de BesselNν(x) : Funciones de NeumannPl(x) : Polinomios de LegendrePml (x) : Polinomios asociados de LegendreQl(x) : Funciones de Legendre de segunda claseQm

l (x) : Funciones asociadas de Legendre de segunda clase

182/ Hidrodinamica

Vectores

Ah : Potencial vectorial hidrodinamicoAm : Potencial vectorial magneticoa : AceleracionB : Induccion magneticaE : Intensidad del campo electricoei : Vector unitario en direccion iF : Fuerzaf : Densidad volumetrica de fuerzag : Densidad volumetrica de momento lineal; aceleracion de gravedadH : Intensidad de campo magneticoJ : densidad de corriente de masaJe : Densidad de corriente electricaL : Densidad volumetrica de momento angulardl, dr : Diferencial de longitudn : Vector unitario normalp : Momento linealr : PosicionS : Vector de PoyntingdS : Diferencial de superficiet : Vector unitario tangencialv, V : Velocidadλ : Densidad superficial de corrienteξ : VorticidadN : Densidad volumetrica de torqueω : Velocidad angular

Dıadas

D : Dıada (o tensor) de deformaconI : Dıada (o tensor) identidadM : Densidad de flujo de momento angularS : Dıada (o tensor) de viscosidadT : Densidad de flujo de momento lineal

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Indice alfabetico

Aceleracionconstante, 20convectiva, 40Euler, de, 77gravedad de, 15local, 40

Ampereley de, 104

Anillofumador, de, 107vorticidad, de, 88

Arquımedesprincipio de, 9

Arrastre, 98Atmosfera, 8, 17Avogadro

numero de, 17

Barometro, 8Barotropo, 12, 24Bernoulli

ecuacion de, 48, 51-Euler

teorema de, 58, 60teorema de, 66, 98

Besselfuncion de, 148, 153, 170, 173

Boltzmannconstante de, 18

Campoaceleracion, de, 38

conservativo, 15diadico, 39electrostatico, 103gravitacional, 13, 15, 18, 23, 54efectivo, 27

longitudinal, 102magnetostatico, 102transverso, 102vectorial, 39

axial, 103polar, 103

velocidad, de, 35, 37, 108vorticidad, de, 83, 86

Cauchyecuacion de, 123-Stokes

teorema de, 30Caudal, 36, 50, 63Circulacion, 55, 84

conservacion de la, 54, 56Cizalladura, 117Coeficiente

descarga, de, 50friccion, de, 21

Compresibilidad, 34modulo de, 18

Condicionesfrontera, de, 16, 47

Conservacioncirculacion, de la, 54, 56de la intensidad del vortice, 56energıa, de la, 79

185

186/ Hidrodinamica

entropıa, de la, 47masa, de la, 36, 37, 41, 46, 78momento

angular, del, 79lineal, del, 78

ConstanteBoltzmann, de, 18gases, de los, 17

Continuidadecuacion de, 36

Conveccion, 90, 130Corriente

electrica, 102elemento de, 102lineal, 102volumetrica, 102

Couetteflujo de, 138-Hatschekviscosımetro de, 141

Curva material, 55

D’Alembertparadoja de, 69

Dıada, 31esfuerzo, de, 115

Deformacion, 30, 31, 33dıada de, 33

DeltaDirac, de, 161Kronecker, 167

Densidadconstante, 6, 20, 22, 24, 49, 65corriente, de

de masa, 35variable, 11, 17

Derivadaeuleriana, 38, 42lagrangiana, 38, 42material, 38sustancial, 40total temporal, 39

Dıada, 32, 114, 167antisimetrica, 32deformacion, de, 33identidad, 39, 167simetrica, 32, 33

Difusion, 89ecuacion de, 132velocidad, de la, 89Vorticiodad, de la, 132

Dilatacion, 34Dipolo

hidrodinamico, 73, 96momento de dipolo, 74

Diracdelta de, 161

Disipacion, 154, 156Divergencia, 163

EcuacionBernoulli, de, 48, 51Cauchy, de, 123continuidad, de, 36, 47, 52, 64con fuentes, 69

difusion, de, 132estado, de, 16, 24, 47Euler, de, 45Kelvin, de, 55Laplace, de, 61, 66movimiento, de, 47, 51Navier-Stokes, de, 124Poisson de, 14Torricelli, de, 50

EfectoMagnus, 96, 98, 99

Ejes principales, 25Elasticidad

modulo de, 18Elipsoide

revolucion, de, 25Elipticidad, 29Empuje, 10, 19, 147Energıa

Indice alfabetico /187

cinetica, 17, 81consevacion de la, 79densidad de, 81, 155densidad de flujo de, 81, 155gravitacional, 81interna, 80, 81, 131

Entalpıaespecıfica, 47

Entropıa, 17, 46conservacion de la, 47densidad de flujo de, 47densidad volumetrica de, 47por unidad de masa, 46

Equilibrioestatico, 2hidrostatico, 3, 4termico, 17termodinamico, 17

Equipotencial, 74efectiva, 26gravitacional, 26

Esferoide, 25, 27Esfuerzo, 113

cortante, 117dıada de, 115normal, 115principal, 121tangencial, 3, 115tensor de, 115

Espira, 105Estado

ecuacion de, 16estacionario, 49

Estancamientopuntos de, 97

Euler, 61aceleracion de, 77ecuacion de, 45

Filamentovorticidad, de, 85, 88, 112

Fluido

autogravitante, 16, 23, 24barotropico, 47compresible, 11, 16, 64ideal, 47, 58, 68, 126incompresible, 5, 35, 40, 41, 53inmiscible, 48newtoniano, 117no newtoniano, 118no viscoso, 46, 53perfecto, 46politropico, 23rotante, 54viscoso, 154

Flujo, 38adiabatico, 46compresible, 124Couette, de, 138estacionario, 37, 38, 57irrotacional, 59

funcion de, 62, 64Hele-Shaw, de, 137ideal, 130incompresible, 60, 66, 71bidimensional, 62, 91e irrotacional, 62, 63tridimensional, 92

irrotacional, 48, 57, 58, 93isentropico, 46, 47, 55, 58, 89lıneas de, 38, 48, 56, 63laminar, 129, 130momento

lineal, de, 113no isentropico, 58rotacional, 60, 63similar, 129tasa volumetrica, 70tipo rueda, 85, 95tubo de, 35, 49, 87turbulento, 129, 130uniforme, 69viscoso, 130, 139

188/ Hidrodinamica

Friccioncoeficiente de, 21

Fronteracondiciones de, 16

Fuente, 70, 72lineal, 95puntual, 71

Fuerza(s)ascencional, 49, 99ascendente, 2centrıfuga, 22centrıfugas, 77conservativas, 3, 46Coriolis, de, 46, 77electricas, 46electromagneticas, 3externas, 3, 19ficticia, 77ficticias, 3, 10, 22gravitacion, de, 12gravitacional, 12, 123neta, 3, 7, 10

horizontal, 7normal, 2viscosas, 3volumetricas, 3

Galileo, 8Gas

ideal, 17, 19, 23real, 17

Gauge, 4, 59Gauss

ley de, 14Gradiente, 163Grados

centıgrados, 19Farenheit, 19Kelvin, 17

Hankel-Kelvinteorema de, 56, 60, 86, 92, 98

Hele-Shawflujo de, 137

Helmholtzteorema de, 90, 102

Hidrostatica, 3paradoja, 7

Hojavorticidad, de, 88

Huracan, 94ojo del, 94

Incompresibilidad, 34Intensidad

corriente electrica, de, 87Isobaras, 12, 23, 92Isentropico, 47Isoclinas, 11

Kelvinecuacion de, 55grados, 17-Lebovitz

teorema de, 92Kronecker

delta, 167

Laplaceecuacion de, 61

Laplaciano, 163Lavoisier, 37Legendre

funcion de, 170polinomio asociado de, 106polinomio ordinario de, 106polinomios

asociados de, 66Levi-Civita

sımbolo de, 32, 166Ley

Ampere, de, 104de arrastre de Stokes , 147Gauss, de, 14


Poiseuille, de, 140Lınea

vortice, de, 88

Magnusefecto, 96, 98, 99

Manometro, 8Masa

autogravitante, 15conservacion de la, 36, 37, 78generacion de, 69

Medio continuo, 38Mercurio, 8Modulo

compresibilidad, de, 18elasticidad, de, 18

Mol, 17Momento

angularconservacion del, 79densidad de, 79densidad de flujo de, 79

lineal, 113conservacion del, 78densidad de, 78, 115densidad de flujo de, 78, 115, 118difusion de, 115

Navier-Stokesecuacion de, 124

Neumannfuncion de, 153, 173

NumeroAvogadro, de, 17Reynolds, de, 99, 129, 137

Paraboloide, 22, 95Paradoja

D’Alembert, de, 69hidrostatica, 7

Pascal, 8prensa de, 4, 6

principio de, 4Peso

molecular, 17Poise, 118Poiseuille

ley de, 140Poisson

ecuacion de, 14Politropo, 24Potencial, 3, 46

centrıfugo, 23, 77efectivo, 20, 22, 23gravitacional, 13, 15, 16, 26termodinamico, 17vectorial, 110

hidrodinamico, 103magnetico, 102

velocidad, de, 57, 61, 69, 73, 94Poynting

vector de, 155Prensa

hidraulica, 4Pascal, de, 4, 6

Presion, 2, 7, 16, 17, 24, 41, 48, 125ascendente, 49atmosferica, 7, 8, 22manometrica, 8perfil de, 68vapor, de, 8

PrincipioArquımedes, de, 9Pascal, de, 4vasos comunicantes, de los, 7

Propiedadconvectiva, 56, 87extensiva, 42intensiva, 42

Radioecuatorial, 27polar, 27

Rankine

190/ Hidrodinamica

ovalo de, 100Recalibracion, 59Remolinos, 94Reynolds

numero de, 99, 129, 137Rotacion, 30Rotacional, 163

SımboloLevi-Civita, de, 32

Sistema, 42acelerado linealmente, 20rotante, 21

StokesLey de arrastre de, 147teorema de, 56, 84teorema, de, 15

Sumidero, 70, 72

Temperatura, 17, 47Tensor

viscoso, 121Teorema

Bernoulli-Euler, de, 58, 60

Bernoulli, de, 66, 98Cauchy-Stokes, de, 30divergencia, de la, 36Hankel-Kelvin, de, 56, 86, 92, 98Helmholtz, de, 102Kelvin-Lebovitz, de, 92Reynolds, de, 42Stokes, de, 15, 56

Tierraexcentricidad de la, 29forma de la, 24

Tornados, 94Toroide, 106

vorticidad, de, 107Torque

densidad de, 79Torr, 8

Torricelli, 8ecuacion de, 50

Trabajo, 5, 15Transferencia

momento lineal, de, 115Traslacion, 30Troposfera, 19Tubo

de flujo, 49flujo, de, 35, 87Venturi, de, 51vorticidad, de, 87

Unidadespresion, de, 8

Vorticeforzado, 95

Vasos comunicantesprincipio de los, 7

Velocidadangular, 33, 84circunferencial, 100difusion de la, 89lımite, 147perfil de, 135

Venturitubo de, 51

ViscosımetroCouette-Hatschek, de, 141de cono y plato, 149

Viscosidad, 89, 99, 115, 142, 152absoluta, 118cinematica, 118dinamica, 118Ley de Newton de, 118unidades de la, 118

Volumende control, 42especıfico, 17especıfico, 47

Vortice, 83, 88


anular, 105bidimensional, 93forzado, 93, 94intensidad del, 56lınea de, 88libre, 93, 94lineal, 104, 110

Vorticidad, 48, 83anillo de, 88campo de, 83, 86difusion de la, 132elemento de, 103filamento de, 85, 88, 93, 112fuente de, 89hoja de, 88por unidad de masa, 91primer coeficiente de, 122promedio, 87toroide de, 107tubo de, 87

Documents

HidroDinamica Alonso Sepulveda